Análisis estadístico de la demanda de agua potable de la ciudad de

Análisis estadístico de la demanda de agua potable de la ciudad de

Tema C: Agua y Ciudad
Análisis estadístico de la demanda de
agua potable de la ciudad de Valencia.
Aplicación a la predicción con análisis de series temporales
César Alejandro Espinoza Rodríguez (1) y Juan Bautista Marco Segura (2)
(1)
Ingeniero Civil; Estudiante de doctorado en Ingeniería hidráulica y medio ambiente;
Universidad Politécnica de Valencia; [email protected]
(2)
PhD, I.C.C.P.; Catedrático y director del Departamento de Ingeniería Hidráulica y Medio
Ambiente (DIHMA); Universidad Politécnica de Valencia; [email protected]
Resumen
La predicción de la demanda de agua potable es necesaria para el diseño, operación y gestión de sistemas
urbanos de abastecimiento. En la parte correspondiente al diseño, la predicción se aplica para proyectar y planear
nuevos desarrollos o expansiones, como por ejemplo tanques de almacenamiento, estaciones de bombeo y
capacidad de conducción de acueductos. En cuanto a la operación y gestión, la predicción cobra especial
relevancia en sistemas con déficit en sus suministros o en sistemas con demandas máximas y mínimas de corta
duración que someten al sistema a un estrés muchas veces evitable.
Un modelo predictivo con fundamento en el análisis de las series de demandas -actualmente son de fácil
obtención ya que los sistemas de registro de datos tipo SCADA son cada vez más habituales en organismos
operadores modernos- puede representar una potente herramienta para los gestores de sistemas de agua potable y
resultar en beneficios como por ejemplo, una operación más eficiente que provoque una reducción de fugas y
ahorro de energía, entre otras. A lo largo de este documento, haremos un análisis estadístico de la serie temporal
del volumen total de agua potable demandado diariamente a lo largo de 4 años por los usuarios de la ciudad de
Valencia, España. Se hará un análisis conjunto con variables climáticas (temperatura máxima, mínima y media)
y sociológicas (días festivos y puentes) en busca de una mejor comprensión del comportamiento de la demanda
diaria y sus patrones de variación.
En este estudio se investiga el desempeño del análisis de series temporales por medio de modelos ARIMA para
la predicción de la demanda de agua a corto plazo. Se presta especial atención al calendario de festividades
(propio de cada ciudad y comunidad) por representar un aporte de variabilidad puntual o temporal que perturba
el patrón de demandas que se reproduce a lo largo del año.
1 Introducción
En un mundo en el que la población y las zonas urbanas se encuentran en constante expansión, uno de los
primeros efectos en aparecer es el incremento de la demanda de recursos hídricos. En las últimas décadas las
sociedades se han vuelto cada vez más conscientes de la importancia de un buen uso del agua. El uso eficiente
del agua tiene no solo efectos benéficos en lo que respecta a lo económico, a su vez se refleja en beneficios
ambientales y de sostenibilidad.
Para poder realizar un adecuado diseño y operación de los sistemas de recursos hídricos y un uso eficiente del
agua disponible, se requiere la habilidad de predecir los caudales disponibles y demandados. La modelación y la
predicción de la demanda de agua urbana cobran especial relevancia en ciudades donde los recursos hídricos son
limitados. De entre la variedad de metodologías que existen para modelar y predecir la demanda de agua urbana,
los modelos estocásticos destacan por ser una metodología consolidada y apropiada para el tratamiento de la
incertidumbre y la aleatoriedad del proceso.
Tema C: Agua y Ciudad
2 Área de Estudio
Un problema importante en la gestión de sistemas de suministro y distribución de agua potable, es la predicción
de la demanda diaria con el fin de programar en las fuentes de captación los caudales que serán demandados,
programar los bombeos necesarios buscando minimizar los costes energéticos y evitar sobrepresiones en la red
de distribución. El caso de la ciudad de Valencia no es la excepción. El sistema de abastecimiento suministra
agua potable a 807,396 habitantes (Valencia-Ayuntamiento, 2006b1) en su zona urbana y contaba al 2005 con
417,868 abonados, de los cuales 372,580 eran domésticos y 45,288 industriales (Valencia-Ayuntamiento,
2006a2), el área metropolitana que incluye a l’horta nord, l’horta sud, l’horta oest y l’horta centro también son
abastecidas por este sistema. La ciudad es abastecida desde los sistemas hidrológicos de los ríos Júcar y Turia,
los caudales obtenidos desde el río Júcar, derivados en la presa de Tous son tratados en la ETAP Picassent-El
Realón. La ETAP La Presa-Manises trata caudales con origen en ambos ríos. En la Tabla 1 se presenta un
resumen de las capacidades de tratamiento y almacenamiento de las ETAP mencionadas. Resumen de estaciones
de tratamiento de agua potable que abastecen a Valencia.
ETAP
La Presa
El Realón
Total
Capacidad de
Tratamiento (m3/seg.)
3.2
3.0
6.2
Capacidad de
Tratamiento (m3/día)
276,000
259,000
535,000
Capacidad de
Almacenamiento (m3)
90,000
100,000
190,000
La ciudad de Valencia ha experimentado un crecimiento de población a lo largo de las últimas décadas,
reflejándose en un incremento del 16.99% en los últimos 24 años y que ha provocado un aumento de la demanda
de agua para abastecimiento urbano. El clima en Valencia es mediterráneo con temperaturas mínimas en los
meses de Enero y Febrero, temperaturas máximas en el mes de agosto y con lluvias principalmente en los meses
de octubre y noviembre.
3 Datos
Se han analizado 4 años (1461 días) de datos de demanda de agua urbana (m3/día) y temperatura del periodo
comprendido entre 2001 y 2004. Los datos de demanda analizados, corresponden a la cantidad de metros cúbicos
aportados cada día a la red de distribución de agua potable que abastece a la totalidad de la población de la
ciudad de Valencia desde las dos estaciones de tratamiento mencionadas en el punto 3 de este documento. El
volumen de agua distribuida mediante la red de baja presión –utilizada principalmente para riego de jardines– de
la ciudad no fue considerada en este estudio. Los datos de demanda fueron proporcionados por el departamento
técnico de Aguas de Valencia, las series de temperaturas fueron obtenidas en el Instituto Nacional de
Meteorología (INM) y corresponden a los datos registrados en la estación meteorológica que se localiza en las
instalaciones del INM del parque de viveros municipales.
Los tres primeros años de datos fueron utilizados para estimar los parámetros de los modelos y un año se ha
reservado para su validación.
4 Análisis preliminar
El comportamiento de la demanda a lo largo del tiempo es el resultado del uso conjunto de los diferentes
consumidores de agua abonados al sistema (domésticos, comerciales, industriales, etc.), cada uno con sus
patrones característicos. El objetivo del análisis preliminar es identificar las características generales de la serie
temporal en estudio para contar con argumentos con los cuales tomar decisiones respecto al tipo de modelo
estadístico que le será ajustado posteriormente. Se realizará un análisis cualitativo y cuantitativo de la serie de
demandas, considerando la serie completa así como series individualizadas por año. Se hará un análisis
descriptivo de estadística clásica y de métodos gráficos con el fin de identificar características relevantes que nos
expliquen rasgos del comportamiento de la serie.
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4.1 Estadísticos básicos y patrones predominantes de la demanda
4.1.1 Tendencia
La serie de demandas de la Figura 1 presenta una clara tendencia a la alza en el periodo en estudio. Al ajustar
una línea de tendencia lineal observamos que el aumento de la demanda fue de 10,260 m3/año, aunque no se
descarta que si se contara con una serie más larga, en un futuro la tendencia pudiera ser revertida, por ejemplo
mediante programas de recuperación de perdidas por fugas en las redes, racionamiento o por una sensibilización
de la población en el uso del agua. En la misma figura se puede observar que existe un patrón estacional similar
en todos los años, con valores mínimos en los tercios de cada uno de los años y valores máximos a la mitad del
año, cada uno de estos máximos y mínimos con distinta magnitud. El valor medio de la serie oscila en los
300,000 m3 con valores mínimos en los meses de abril y agosto y máximos a finales de los meses de junio. La
Tabla 2 resume los estadísticos básicos de cada año y de la serie completa. Los valores de asimetría nos indican
que los valores tienen una distribución cercana a la normal.
Figura 1
Serie temporal de demanda de agua de la ciudad de Valencia. 2001-2004
Tabla 1 Resumen de estadísticos básicos de la serie de demandas
Estadístico
Datos
Media*
Mediana*
Desv. Est.*
Varianza
Mínimo*
Máximo*
Rango*
Asimetría
Curtosis
2001
365
307,995
309,212
24,346
5.9E+08
218,212
367,439
149,227
-0.49
0.31
2002
365
311,240
314,793
23,983
5.8E+08
230,605
367,319
136,714
-0.61
0.49
2003
365
331,019
333,687
22,758
5.2E+08
238,398
386,866
148,468
-0.54
1.23
2004
366
335,998
337,154
22,794
5.2E+08
247,273
386,276
139,002
-0.53
0.05
2001-04
1461
321,573
324,001
26,409
7.0E+08
218,212
386,866
168,654
-0.44
0.36
*.Valores en m3/día
4.1.2 Estacionareidad de la serie de demandas
De la Figura 1 es evidente que la serie no es estacionaria respecto a la media. En la Tabla 2 se observa que el
valor medio de la demanda urbana en metros cúbicos por día, aumentó desde los 307,995.92 hasta los
335,998.80. Este incremento de la demanda, en la mayoría de las ocasiones, es explicado como la resultante del
crecimiento de la población abastecida de agua para satisfacer sus necesidades. Las series no estacionarias
pueden ser detectadas calculando el coeficiente de la función de autocorrelación (ACF) definido por Box y
Jenkins (1976)8.
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(∑ (x( ) • x( ) )) −  1 ∑ x( ) • ∑ x(
n−k
t
rk =
t+k
t
1/ 2
1
2

2
∑ x(t ) − n − k (∑ x(t ) ) 
t+k )



1/ 2
1
2

2
∑ x(t + k ) − n − k (∑ x(t + k ) ) 
Donde x es la variable, t es el tiempo y los sumatorios se realizan desde t=1 hasta t=n-k. La ecuación presentada
determina el grado de correlación entre observaciones que están separadas k unidades de tiempo. La Figura 2
representa el correlograma ó (ACF) de la serie analizada. Se observa que existe una dependencia fuerte con los
valores anteriores, o lo que es lo mismo, los coeficientes de rk no se reducen rápidamente hacia cero, el
comportamiento esperado para una serie estacionaria.
Figura 2
Autocorrelograma de la demanda de agua urbana. 2001-2004
4.1.3 Estacionalidad y periodicidad
De la inspección visual de las figuras presentadas y del cuadro de estadísticos básicos podemos observar que la
serie de demandas de agua de la ciudad de Valencia, presenta una muy marcada variación estacional influenciada
por factores climáticos y sociales como son los periodos vacacionales y el calendario de festividades. Sin
embargo, existen también componentes periódicos en la demanda que se repiten a lo largo del tiempo como es el
patrón semanal de la demanda. Es esperable por ejemplo, que cada día de la semana a lo largo del tiempo
registre valores de demanda diaria similares. La Figura 3 representa los patrones de la demanda semanal para
cada uno de los años de la serie.
Figura 3
Patrón de demanda semanal. 2001-2004
Analíticamente las periodicidades dentro de un ciclo anual pueden ser fácilmente identificadas desde los datos de
demanda registrados mediante el análisis de Fourier, definido como:
N /2
 2πmt 
 2πmt 
x(t ) = a0 + ∑ am cos
 + bm sin 

 N 
 N 
m =1
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Donde a 0 es la media del conjunto de datos, m es el número de armónicos, N la longitud de la serie, y
t=1,2,...,N es el tiempo. Los coeficientes de la serie de Fourier am y bm se calculan usando la transformada
discreta de Fourier, cuando m≠N/2 se definen como:
am =
2 N
 2πmt 
xt cos

∑
N m=1
 N 
bm =
2 N
 2πmt 
xt sin 

∑
N m=1
 N 
Y cuando m=N/2
am =
1 N
t
xt (− 1)
∑
N m=1
bm = 0
La Figura 4 presenta los resultados obtenidos con el análisis y se muestra que el armónico predominante en
todas las series corresponde con el patrón semanal, es decir con el de 7 días de duración (0.14 ciclos/día). Para
los años 2001 al 2004 este armónico nos produce una varianza explicada de 26, 17, 27 y 29% respectivamente.
En la Figura 2 de la sección 5.1.2, el correlograma de la serie, se puede observar que existe un patrón repetitivo
cada 7 retardos, lo cual viene a confirmar los resultados obtenidos por el análisis de Fourier.
Figura 4
Periodograma de frecuencias de la serie de demandas de agua urbana.
4.2 Variable Exógena – Temperatura
Es muy frecuente encontrar en las publicaciones científicas relativas a la modelación y predicción de la demanda
que la temperatura del aire (entre otras variables climáticas) es utilizada para explicar el comportamiento de la
demanda de agua urbana[2,3,4,5,6]). Es de esperar que en épocas más cálidas la demanda de agua de las ciudades
aumente. La Tabla 3 presenta los estadísticos básicos de la temperatura registrada.
Tabla 2 Resumen de estadísticos básicos de la serie de temperatura media diaria
Estadístico
Datos
Media*
Mediana*
Desv. Est.*
Varianza
Mínimo*
Máximo*
Rango*
*.Valores en ºC
2001
365
19.22
20.00
5.67
32.25
4.00
30.50
26.50
2002
365
18.85
18.80
4.94
24.44
9.80
28.00
18.20
2003
365
19.11
18.00
6.27
39.33
5.40
31.90
26.50
2004
366
17.99
17.40
6.22
38.69
5.20
30.20
25.00
2001-04
1461
18.79
18.50
5.81
33.85
4.00
31.90
27.90
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Figura 5
Evolución conjunta: temperatura media y demanda diaria. Año 2001 y 2001-2004
En los gráficos de la Figura 5 se presenta la evolución conjunta de la serie de demandas y la temperatura media
para la serie completa y para el año 2001, se aprecia que si bien es cierto que existe una correlación en el
comportamiento de las series, ésta no parece ser demasiado fuerte como para considerar que la temperatura guía
el proceso de demanda. Los valores máximos de las series no son contemporáneos. Existen periodos en los
cuales la relación es inversa (destacados con flecha) y durante los cuales, aparentemente otro fenómeno pasa a
gobernar el proceso o cuando menos lo perturba temporalmente. Los coeficientes de correlación de Pearson (r)
calculados para la demanda diaria y la temperatura media en el tiempo (t) y (t-1) se presentan en la Tabla 4. Los
valores de correlación obtenidos son bajos (0.1834 y 0.1722) y el proceso se explica de una mejor manera por
sus propios valores pasados, ya que se obtiene un coeficiente de correlación más alto (0.6686).
Tabla 3 Coeficientes de correlación Temperatura media-Demanda diaria
Variable
Temp. media (t)
Temp. media (t-1)
Demanda (t-1)
r
Demanda (t)
0.1834
0.1722
0.6686
5 Determinación del Modelo de series temporales ARIMA
5.1 Formulación básica
Los modelos de series temporales ARIMA fueron introducidos por Box y Jenkins (1976)8, y han sido
ampliamente utilizados durante las últimas décadas para modelar y predecir el comportamiento de series de
demandas con diversas características [3,4,5,6,7]. La notación básica de los modelos Box y Jenkins con términos
no estacionales de orden (p,d,q) y términos estacionales de orden (P,D,Q) se suele abreviar como modelo
SARIMA(p, d, q)x(P, D,Q)s y puede ser escrito como
φ p ( B)Φ P ( B s )(1 − B) d (1 − B s ) D X t = θ q ( B)ΘQ ( B s ) Z t
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5.2 Determinación del los órdenes s, d y D
En el análisis exploratorio realizado anteriormente hemos encontrado que la serie de demandas no es estacionaria
por tener una tendencia creciente. La técnica más habitual para transformar una serie en estacionaria es la
diferenciación simple y usualmente no hacen falta más de 2 diferencias para conseguirlo, es decir que d suele
tomar valores pequeños, la misma regla se aplica para los valores de D, es decir las diferencias estaciones. La
anterior recomendación tiene el objetivo de no perder el sentido físico de la serie que estemos analizando.
Mediante el análisis de Fourier y la observación del ACF pudimos comprobar que existe un componente
periódico predominante en la serie temporal de 7 días, es decir s=7. Se probaron varias combinaciones de
órdenes de diferencia, los mejores ACF y PACF (función de autocorrelación parcial) se presentan en la Figura 6.
Ya que el ACF de la serie original nos indica que la serie no es estacionaria y presenta valores máximos cada 7
periodos, se aplicó una diferencia regular de orden 1 y una diferencia estacional de orden 7. Las
transformaciones aplicadas resultan en PACF y ACF con una apariencia que puede ser abordada con modelos
ARIMA.
Figura 6
ACF y PACF de la serie de demandas observada y diferenciada
5.3 Selección de los ordenes p, q, P y Q
Una de las propiedades de la metodología de Box y Jenkins, es la de que los órdenes AR y MA regulares y
estacionales pueden ser deducidas mediante la observación de los ACF y PACF. En nuestro caso, se observa una
leve sobrediferenciación ya que los valores de correlación se han vuelto negativos y presentan el patrón
característico que nos indica la necesidad de uno o varios componentes de media móvil (MA) no estacionales –
un corte rápido del ACR y una disminución lenta del PACF de valores negativos–. El número de valores de
PACF fuera de los límites críticos (no presentados en las figuras) nos señala que deben ser incluidos hasta dos
componentes MA no estacionales. Es evidente también el patrón característico que nos indica la necesidad de
Tema C: Agua y Ciudad
incluir un componente de media móvil estacional (SMA) ya que la autocorrelación en el periodo estacional es
negativa. En base a lo anterior, el modelo que consideraremos de inicio será un ARIMA (0,1,2)x(0,1,1)7.
5.4 Calibración y validación de los modelos
Como ya se indicó, la serie de demandas con la que contamos corresponde a 1461 datos de demanda diaria, 4
años comprendidos desde Enero de 2001 a Diciembre de 2004. Hemos dividido los datos en dos grupos, los tres
primeros años (2001, 2002 y 2003) serán utilizados para calibrar el modelo ARIMA y 1 año (2004) se utilizará
para validar el modelo y observar sus resultados. Independientemente de los datos que nos aporta la observación
del correlograma, hemos analizado 4 modelos ARIMA distintos que han sido los que mejores resultados han
aportado en un análisis preliminar. La diferencia entre ellos reside en la inclusión o no inclusión de un segundo
componente de media móvil no estacional y la temperatura como variable exógena. Se ha determinado que la
temperatura máxima (Tmax) es la variable exógena que más información nos aporta al modelo9, por lo que la
temperatura media y mínima no serán consideradas en adelante para la selección del modelo. Para evaluar el
desempeño de los modelos se han considerado estadísticos que miden la magnitud de los errores como son el
RMSE, MAE y MAPE, y los que miden el sesgo, ME y MPE. Ya que todos los estadísticos anteriores ignoran
la cantidad de términos incluidos en los modelos, y que siempre podríamos utilizar una cantidad infinita de
términos para obtener un mejor desempeño, se utilizó también el criterio de Akaike (1974)10 AIC y el BIC
(Bayesian Information Criterion) de Schwartz que penalizan por cada término adicional. Los resultados
obtenidos en la fase de validación se presentan en la Tabla 5. En todos los casos los valores obtenidos fueron
levemente más pobres en fase de validación que los obtenidos en calibración.
Tabla 4 Comparación del desempeño de los modelos en fase de validación
Modelo ARIMA
RMSE
MAE
MAPE
ME
MPE
A-(0,1,1)x(0,1,1)7
B-(0,1,1)x(0,1,1)7+Tmax
C-(0,1,2)x(0,1,1)7
D-(0,1,2)x(0,1,1)7+Tmax
11,143.56
10,662.31
11,101.84
10,603.67
7,932.46
7,629.09
7926.92
7,553.24
2.409
2.323
2.413
2.297
-17.65
2.32
-24.56
-9.90
-0.0861
-0.0656
-0.0955
-0.0817
Logverosim
-15,738.40
-15,696.90
-15,723.20
-15,680.70
AIC
BIC
31,480.87
31,399.77
31,452.44
31,369.31
31,491.43
31,415.61
31,468.29
31,390.43
5.5 Modelo seleccionado
Los modelos ARIMA ajustados a la serie de demandas diaria de agua urbana han obtenido valores aceptables en
su desempeño. La selección de un determinado modelo depende de varios factores, entre ellos el horizonte de
predicción así como de la disponibilidad de datos de predicción de la variable exógena. Si suponemos que
podemos contar con predicciones precisas de la temperatura, el modelo seleccionado será el D, en el caso de no
contar con las predicciones, el modelo indicado sería el C. Los ACF y PACF, periodograma y periodograma
acumulativo de los de los residuos en fase de validación del modelo D se presentan en las Figura 7 y 8. La
apariencia de los gráficos de ACF y PACF nos indica que el modelo consigue captar la estructura del modelo ya
que solamente 4 valores son significativos para el intervalo de confianza del 95%. El periodograma de los
residuos muestra que el modelo ha conseguido captar las periodicidades detectadas y el periodograma
acumulativo queda contenido dentro de los intervalos de 99 y 95% quedando muy próximo a un ruido blanco. El
modelo D obtiene un R2 de 0.79 y coeficiente de correlación r de 0.89, el modelo C obtiene R2 de 0.88 y r de
0.77, por lo que los desempeños no son muy diferentes considerando que el modelo C contiene un parámetro
menos. Los parámetros estimados para el modelo C son θ1=0.409 correspondiente al MA(1), θ2=0.167
correspondiente al MA(2) y Θ=0.874529 correspondiente al SMA(1).
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Figura 7
Figura 8
ACF y PACF de los residuos del modelo D
Periodograma y acumulativo de los residuos del modelo D
5.6 Comportamiento de los modelos
En la sección anterior ha quedado demostrado que los modelos del tipo ARIMA con variable exógena y sin ella,
consiguen captar adecuadamente el patrón de la demanda diaria. En la Figura 10 se puede observar una
comparación entre los valores de predicción y los observados, así como también los valores de los errores
absolutos. Los errores a un horizonte de 7 días de predicción son mayores que los de a un solo día, y se
magnifican en momentos puntuales. Haciendo un análisis de los errores se encuentra que existe una coincidencia
temporal con el calendario de festividades y de actividades de la localidad. Es decir, que los errores más grandes
en términos absolutos coinciden con las principales festividades nacionales y locales, siendo aún más grandes
cuando su efecto produce una cantidad consecutiva de días no laborables por unirse a días de fin de semana. Este
desempeño de los modelos ARIMA se entiende desde la perspectiva de que los modelos son calibrados desde los
datos para captar el comportamiento de la serie, posteriormente las predicciones se realizan tomando en cuenta
los valores del pasado de la serie, así como los errores de predicción ajustados por un factor. Un cambio
repentino del patrón de comportamiento habitual de la serie no puede ser anticipado por el modelo ya que no
cuenta con una estructura que le informe de su próxima ocurrencia. Es así que tanto en la fase de calibración
como en validación los errores máximos coinciden en fechas como semana santa, fiestas de fallas y San José, el
día del trabajo, el día de la comunidad Valenciana, entre otras.
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Figura 9
Validación del modelo C, año 2004. Predicción a 1 y 7 días
6 Conclusiones
Se han ajustado modelos estocásticos para la predicción de la demanda de agua urbana en la ciudad de Valencia.
La parsimonia de los modelos y la evaluación su desempeño se ha considerado a la hora de seleccionar los que
ofrecieron los mejores resultados. Se ha incluido la temperatura máxima diaria como variable exógena que guía
el patrón anual de la demanda, a pesar de que las correlaciones con respecto a la demanda diaria no son
suficientemente buenas en determinados periodos del año, como ejemplo, durante toda la duración del periodo
vacacional del mes de agosto. La inclusión de la temperatura en la estructura del modelo produce mejorías leves
en los estadísticos de los residuos a coste de incluir un parámetro más a estimar para el modelo.
En lo que respecta a los errores de predicción, las predicciones se ven afectadas fuertemente y producen peores
resultados ante la ocurrencia de eventos puntuales que producen una variación brusca del patrón de demandas
registrado a lo largo del año, estas variaciones son producidas principalmente por el calendario de festividades
locales y nacionales. A su vez, es de esperar que la ignorancia de este tipo de eventos en el conjunto de datos de
calibración, introduzca un sesgo en la estimación de los parámetros y por tanto no sean los mejores estimadores
posibles para ser utilizados posteriormente en la predicción.
La metodología utilizada para ajustar modelos estocásticos del tipo ARIMA, podría ser mejorada para el caso de
Valencia mediante la utilización de modelos diferenciados para distintas épocas del año del tipo verano e
invierno. Por otra parte, la consideración del calendario de festividades como un conjunto de variables
deterministas, donde sus efectos sean previstos y caracterizados durante la fase de calibración y posteriormente
anticipados durante la predicción, tentativamente puede ser una alternativa que entregue mejores estimaciones de
parámetros de los modelos y a su vez mejores predicciones.
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