EST-712 - Métodos Estadísticos 1

EST-712 - Métodos Estadı́sticos 1
Felipe Osorio
www.ies.ucv.cl/fosorio
Instituto de Estadı́stica, PUCV
Marzo 18, 2016
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Información
Horario:
Clases: Viernes, Sala 4, 19:15-21:30 hrs.
Contacto:
E-mail: [email protected]. Oficina 6, Instituto de Estadı́stica.
Web: www.ies.ucv.cl/fosorio/teaching.html
Evaluación:
Pruebas:
Trabajo:
29 Abril
27 Mayo
Exposición/Análisis de datos
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Programa del curso
I Introducción y conceptos básicos.
I Principios de inferencia estadı́stica.
I Estimación máximo verosı́mil.
I Test de hipótesis.
I Tópicos adicionales.*
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Bibliografı́a
Casella, G., and Berger, R.L. (2002).
Statistical Inference (2nd Ed.).
Duxbury, Pacific Grove.
Pawitan, Y. (2001).
In All Likelihood: Statistical Modelling and Inference using Likelihood.
Oxford University Press.
Rohde, C.A. (2014).
Introductory Statistical Inference with the Likelihood Function.
Springer, New York.
Wasserman, L. (2003).
All of Statistics: A concise course in statistical inference.
Springer, New York.
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Motivación mediante ejemplos
I ¿Existe competencia en el mercado de AFPs chileno?
I El desempeño de los estudiantes chilenos en el SIMCE.
I Modelando rentabilidades de acciones en el mercado chileno usando el CAPM1 .
I Un procedimiento para suavizamiento robusto.
I Ideas sobre el proceso de modelación.
1 CAPM: Capital asset pricing model
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Ideas subyacentes
“Todos los modelos son errados, pero algunos son útiles.”
– George Box.
“Aunque puede parecer una paradoja, toda la ciencia exacta está
dominada por la idea de aproximación.”
– Bertrand Russell.
Principio KISS: “Keep It Simple, Stupid.”
– Clarence “Kelly” Johnson.
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Ideas subyacentes
“Todos los modelos son errados, pero algunos son útiles.”
– George Box.
“Aunque puede parecer una paradoja, toda la ciencia exacta está
dominada por la idea de aproximación.”
– Bertrand Russell.
Principio KISS: “Keep It Short and Simple.”
– Clarence “Kelly” Johnson.
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El éxito de Google: Aplicar el principio KISS2
Evolución de Yahoo vs. Google:
Cuota de mercado de los motores de búsqueda:
Google (86%)
Bing (3%)
Baidu (5%)
Yahoo (6%)
2 En estadı́stica este se conoce como Principio de Parsimonia.
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Esto NO es una crı́tica al sistema de AFP...
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Administradoras de Fondos de Pensiones (AFP) de Chile
Aplicación:
Conjunto de datos:
El sistema de AFP (o de capitalización
individual) chileno está en vigor desde
1980.
Rentabilidades mensuales de AFPs: Cuprum,
Habitat, PlanVital y ProVida en el periodo
de agosto/2005 a diciembre/2013.
Ahorros de los contribuyentes son administrados en un sistema de multifondos.
Datos fueron obtenidos desde el sitio web
de la superintendencia de pensiones (www.
spensiones.cl)
Existe 5 tipos de fondos (A, B, C, D y E)
divididos por la proporción del portfólio que
es invertido en tı́tulos de renta variable.
El fondo A tiene la mayor proporción de
inversión en renta variable, la que disminuye progresivamente para los fondos B,
C, D y E.
Conjunto de datos con 101 observaciones y
4 variables (solamente datos del Fondo D).
Obs. 28, 30, 35, 38, 39, 42, 66, 73 y 75 son
identificadas como outliers.
QQ-plot de distancias transformadas
revelan la presencia de colas pesadas.
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Administradoras de Fondos de Pensiones (AFP) de Chile
Aplicación:
Conjunto de datos:
El sistema de AFP (o de capitalización
individual) chileno está en vigor desde
1980.
Rentabilidades mensuales de AFPs: Cuprum,
Habitat, PlanVital y ProVida en el periodo
de agosto/2005 a diciembre/2013.
Ahorros de los contribuyentes son administrados en un sistema de multifondos.
Datos fueron obtenidos desde el sitio web
de la superintendencia de pensiones (www.
spensiones.cl)
Existe 5 tipos de fondos (A, B, C, D y E)
divididos por la proporción del portfólio que
es invertido en tı́tulos de renta variable.
El fondo A tiene la mayor proporción de
inversión en renta variable, la que disminuye progresivamente para los fondos B,
C, D y E.
Conjunto de datos con 101 observaciones y
4 variables (solamente datos del Fondo D).
Obs. 28, 30, 35, 38, 39, 42, 66, 73 y 75 son
identificadas como outliers.
QQ-plot de distancias transformadas
revelan la presencia de colas pesadas.
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Identificando observaciones atı́picas
En mercados emergentes como el chileno
suele ocurrir periodos con alta volatilidad.
39
20
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75
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66
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73
30
28●
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0
Este tipo de observaciones puede tener un
efecto nefasto sobre la inferencia estadı́stica.3
38
35
10
Existe una bateria de procedimientos para
detectar observaciones que presentan un
comportamiento es aberrante/atı́pico.
Mahalanobis distances
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80
100
Index
3 Es decir, Ud. puede llegar a conclusiones erróneas!
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Evaluando los supuestos distribucionales
Transformed distances Q−Q plot
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4
El supuesto de normalidad es habitual en
este tipo de problemas.
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2
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Sample Quantiles
Usando test de hipótesis y técnicas gráficas
se concluye que el supuesto de normalidad
no es soportado por los datos.
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Es decir, suponga x1 , . . . , xn una muestra
aleatoria desde Np (µ, Σ).
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−2
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0
1
2
Theoretical Quantiles
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Análisis multivariado usando la distribución t de Student
I Osorio, F., and Galea, M. (2016).
Multivariate analysis using the t distribution and its application to return
assessment of the Chilean pension system.
Sometido a Annals of Applied Statistics.
Caracterı́sticas del problema:
I
AFPs invierten esencialmente en la misma cartera de inversiones.
I
Mercados emergentes suelen presentar alta volatilidad.
I
Los datos son bien modelados usando la distribución t multivariada.
Conclusiones:
I
Aparentemente, no existe competencia en el mercado de AFP.
I
Cálculo óptimo de los porcentajes de inversión en los distintos fondos.
I
Test para evaluar la igualdad entre razones de Sharpe.4
4 Trabajo en desarrollo junto al prof. Manuel Galea (PUC)
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Datos del SIMCE
Desde 1988 el SIMCE evalua los resultados de aprendizaje de los estudiantes del
sistema de educación chileno.
Objetivos:
I Describir el comportamiento del aprendizaje de los estudiantes.
I Determinar si existe diferencias significativas entre el tipo de dependencia
(municipal, subvencionado, particular).
Caracterı́sticas del problema:
I Mediciones de un mismo individuo (estudiante) a través del tiempo (4◦ y 8◦
básico, 2◦ medio).5
I Datos disponibles para los años 2007, 2011 y 2013, pruebas de Lenguaje y
Matemáticas.
5 Conocido como: datos con estructura longitudinal.
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Datos del SIMCE
Perfiles individuales de los puntajes del SIMCE en matemáticas, organizados por tipo
de dependencia.
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Estimación robusta en modelos de curvas de crecimiento
I Maturana, P., and Osorio, F., (2016).
Robust estimation in GMANOVA.
Para ser enviado a Journal of Statistical Planning and Inference.
Caracterı́sticas del problema:
I
Aproximadamente 132K estudiantes para ser analizados (base de datos
de mediano porte).
I
Crecimiento lineal (cuadrático?) a través del tiempo.
I
Igual número de mediciones por individuo (datos balanceados).
Alternativas para análisis:
I
Modelos con efectos-mixtos.
I
Modelos multi-nivel.
I
Modelo de curvas de crecimiento (GMANOVA).
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Datos de Concha y Toro6
1.0
Rentabilidades mensuales de Concha y Toro vs. IPSA, ajustados por bonos de interés
del Banco Central entre marzo/1990 a abril/1999.
0.4
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0.2
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0.0
Concha y Toro
0.6
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−0.2
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−0.3
−0.2
−0.1
0.0
0.1
0.2
IPSA
6 Osorio and Galea (2006), Statistical Papers 47, 31-38.
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Datos de Concha y Toro
Modelo CAPM (Valoración de Activos de Capital, Sharpe, 1964):
E(r) = rf + β(E(rm ) − rf ),
usando datos observados, podemos escribir
Rt = α + β IP SAt + ,
t = 1, . . . , T.
Caracterı́sticas del problema:
I Relación lineal entre las variables.
I Posibles perı́odos de alta volatilidad.
Hipótesis de interés:
I H0 : β > 1 (Amante del riesgo).
I H0 : β = 1 (Neutral al riesgo).
I H0 : β < 1 (Aversión al riesgo).
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1.0
Datos de Concha y Toro
0.4
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0.2
Concha y Toro
0.6
0.8
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−0.3
−0.2
−0.1
0.0
0.1
0.2
IPSA
b = 0.89 y β
b = 0.35, respectivamente).
Ajuste usando errores normales (—) y Cauchy (– –). (β
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Mediciones de Radiación Solar (Davies y Gather, 1993)
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Mediciones de Radiación Solar (Davies y Gather, 1993)
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Mediciones de Radiación Solar (Davies y Gather, 1993)
2.5
I Mediciones de la radiación del sol
2.0
tomadas durante el vuelo de un globo
meteorológico.
I Una gran cantidad de observaciones
y
1.5
son consideradas outliers.
0.5
(Kovac y Silverman, 2000; Lee y Oh,
2007; Tharmaratnam et al., 2010).
1.0
I Se ha sugerido usar métodos robustos
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I Diagnóstico de influencia en splines
penalizados (Osorio, 2016).7
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0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
7 Osorio (2016), Annals of the Institute of Statistical Mathematics, (por aparecer).
22 / 41
Mediciones de Radiación Solar (Davies y Gather, 1993)
2.5
I Mediciones de la radiación del sol
2.0
tomadas durante el vuelo de un globo
meteorológico.
I Una gran cantidad de observaciones
y
1.5
son consideradas outliers.
0.5
(Kovac y Silverman, 2000; Lee y Oh,
2007; Tharmaratnam et al., 2010).
1.0
I Se ha sugerido usar métodos robustos
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I Diagnóstico de influencia en splines
penalizados (Osorio, 2016).7
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7 Osorio (2016), Annals of the Institute of Statistical Mathematics, (por aparecer).
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Métodos Spline: Diseño técnico
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Métodos Spline: Diseño técnico8
8 Imágenes extraı́das desde página web del Prof. Carl de Boor, University Wisconsin-Madison
25 / 41
Suavizamiento usando P-splines
Considere el modelo de regresión no paramétrica
Yi = g(ti ) + i ,
i = 1, . . . , n,
donde las respuestas Yi son medidas en los puntos de diseño ti , g es una función
suave definida en [a, b] y {i } representa disturbios aleatorios.
Tı́picamente, g
bλ puede ser obtenido como solución de un problema de mı́nimos
cuadrados penalizados (PLS)
Z b
n
X
S(λ) =
{Yi − g(ti )}2 + λ
{g 00 (t)}2 dt,
λ > 0,
i=1
a
sobre la clase de todas las funciones dos veces diferenciables.
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Suavizamiento usando P-splines
Considere el modelo de regresión no paramétrica
Yi = g(ti ) + i ,
i = 1, . . . , n,
donde las respuestas Yi son medidas en los puntos de diseño ti , g es una función
suave definida en [a, b] y {i } representa disturbios aleatorios.
Tı́picamente, g
bλ puede ser obtenido como solución de un problema de mı́nimos
cuadrados penalizados (PLS)
Z b
n
X
S(λ) =
{g 00 (t)}2 dt,
λ > 0,
{Yi − g(ti )}2 + λ
i=1
a
sobre la clase de todas las funciones dos veces diferenciables.
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Suavizamiento usando P-splines
El criterio PLS puede ser adaptado para ajuste de curvas usando P-splines:
S(λ) = (Y − Ba)> (Y − Ba) + λ a> K > Ka,
λ > 0,
donde Y = (Y1 , . . . , Yn )> , B = (Bj (ti )) es matriz n × p, K > K es una representación matricial de la penalidad descrita por Eilers y Marx (1996) y
g(t) =
p
X
aj Bj (t),
j=1
con a = (a1 , . . . , ap )> y p el número de funciones base conocidas B1 (t), . . . , Bp (t).
Una elección común para las funciones base es B-splines.
En este contexto λ denota un parámetro de suavizamiento.
27 / 41
Procedimiento de Estimación9
Paso E: Para θ (k) una estimación de θ en la k-ésima iteración, calcular:
Qλ (θ|θ (k) ) = −
n
1
log φ −
{(Y − Ba)> W (k) (Y − Ba) + λ a> K > Ka},
2
2φ
(k)
(k)
donde W (k) = diag(τ1 , . . . , τn ) con
τi =
ν+1
,
ν + Di2 (θ)
2
Di2 (θ) = (Yi − b>
i a) /φ
Paso M: Actualizar θ (k+1) como:
(k+1)
= (B > W (k) B + λK > K)−1 B > W (k) Y ,
(k+1)
=
aλ
φλ
1
(k+1)
(k+1) 2
{S (k) (aλ
) + λkK aλ
k },
n W
donde SW (a) = (Y − Ba)> W (Y − Ba).
9 Algoritmo EM (Esperanza-Maximización) penalizado
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Procedimiento de Estimación9
Paso E: Para θ (k) una estimación de θ en la k-ésima iteración, calcular:
Qλ (θ|θ (k) ) = −
n
1
log φ −
{(Y − Ba)> W (k) (Y − Ba) + λ a> K > Ka},
2
2φ
(k)
(k)
donde W (k) = diag(τ1 , . . . , τn ) con
τi =
ν+1
,
ν + Di2 (θ)
2
Di2 (θ) = (Yi − b>
i a) /φ
Paso M: Actualizar θ (k+1) como:
(k+1)
= (B > W (k) B + λK > K)−1 B > W (k) Y ,
(k+1)
=
aλ
φλ
1
(k+1)
(k+1) 2
{S (k) (aλ
) + λkK aλ
k },
n W
donde SW (a) = (Y − Ba)> W (Y − Ba).
9 Algoritmo EM (Esperanza-Maximización) penalizado
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HEAVY versión 0.2-35 (www.ies.ucv.cl/heavy)10
I Proveer funcionalidad básica para modelación estadı́stica usando mezclas de
escala normal en R, via un paquete.
I Estimación en modelos de regresión (heavyLm), modelos lineales con efectos
mixtos (heavyLme), análisis multivariado (heavyFit) y splines penalizados
(heavyPS) usando el algoritmo EM.
I Cálculos asociados con la estimación de parámetros son realizados llamando
rutinas en C y Fortran (BLAS, LINPACK y Mathlib).
I Familias: normal, Cauchy, Student-t, slash y normal contaminada.
I Algunas bases de datos de ejemplo.
I Generadores de números aleatorios (RNG) multivariados.
10 Disponible también en CRAN: http://cran.r-project.org/package=heavy
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Alternativa usando un algoritmo Monte Carlo EM
Statistical Modelling 2009; 9(3): 235–255
Robustness for general design mixed models using
the t-distribution
J Staudenmayer1 , E E Lake2 and M P Wand3
1
Department of Mathematics and Statistics, University of Massachusetts, USA
2
Eigenstat Inc., Newton, Massachusetts, USA
3
School of Mathematics and Applied Statistics, University of Wollongong, Australia
Abstract: The t-distribution allows the incorporation of outlier robustness into statistical models
while retaining the elegance of likelihood-based inference. In this paper, we develop and implement a
linear mixed model for the general design of the linear mixed model using the univariate t-distribution.
This general design allows a considerably richer class of models to be fit than is possible with existing
methods. Included in this class are semi-parametric regression and smoothing and spatial models.
I Modelo lineal mixto bajo errores t de Student univariados.
Key words: additive model; nonparametric regression; random effects; semi-parametric models; spa-
statistics
I EstimacióntialML
usando un algoritmo Monte Carlo EM.
Received November 2005; revised: February 2008; accepted: May 2008
I Aplicación en regresión no paramétrica.
1 Introduction
I 175 iteraciones
MCEM
18 horas.
Mixed models
are a tomaron
flexible extension
of ordinary regression models that have proven
useful for dealing with repeated measures (e.g., Laird and Ware, 1982), spatial
correlation (for example, O’Connell and Wolfinger, 1997) and non-linearity through
spline-based models (for example, Wahba, 1978; Speed, 1991; Lin and Zhang,
1999; Kammann and Wand, 2003; Ruppert et al. 2003). These developments and
their various combinations allow mixed models to handle a wide variety of problems
in a modular framework. It is important to note that in order for the mixed model
to be useful for spline-based models, the random effects of the design matrix cannot
be restricted to be of a specific form such as the block diagonal design matrices that
are used in repeated measures designs. We use the label general design for models
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0.5
1.0
y
1.5
2.0
2.5
Modelo ajustado usando distribuciones con colas pesadas
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0.0
0.2
0.4
0.6
x
0.8
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1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
33 / 41
Modelo ajustado bajo la distribución Student-t usando HEAVY
34 / 41
El problema del modelado
Considere la función
Y = sen{2π(1 − x)2 },
−2
−1
y
0
1
2
cuyo gráfico es dado por:
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
35 / 41
El problema del modelado
Suponga que “generamos” datos, usando
Yi = sen{2π(1 − xi )2 } + σi ,
i = 1, . . . , 100,
2
donde xi ∼ U (0, 1), i ∼ N (0, 1) y σ = 1/2,
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−2
y
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0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
36 / 41
El problema del modelado
Lamentablemente, en la práctica sólo disponemos de los datos observados:
(x1 , Y1 ), (x2 , Y2 ), . . . , (x100 , Y100 ),
2
el primer paso es hacer un análisis exploratorio:
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0.2
0.4
0.6
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1.0
x
37 / 41
El problema del modelado
El analista propone el modelo:
Yi = g(xi ) + i ,
i = 1, . . . , 100,
2
y su objetivo es “estimar” la función g(·) desde los datos, obteniendo
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0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
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El problema del modelado
En Estadı́stica se estudia teóricamente, la “bondad del modelo” comparando
Y = sen{2π(1 − x)2 },
v.s.
Yb = g
b(x),
2
esto es, el modelo ajustado v.s. el modelo subyacente (verdadero).
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−2
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0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
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Esquema de Modelación Estadı́stica
delación
Recolección de datos: Muestreo.
Análisis exploratorio de datos.
DATOS
MODELO
Análisis Multivariado.
Técnicas de Regresión.
AJUSTE
Series de Tiempo, entre (muchas) otras.
NO
NO
DIAGNÓSTICO
SI
CONCLUSIÓN
Inferencia Estadı́stica.
Bondad de ajuste, técnicas gráficas.
Análisis de Sensibilidad.
Comunique sus resultados!
40 / 41
Esquema de Modelación Estadı́stica
delación
Recolección de datos: Muestreo.
Análisis exploratorio de datos.
DATOS
MODELO
Análisis Multivariado.
Técnicas de Regresión.
AJUSTE
Series de Tiempo, entre (muchas) otras.
NO
NO
DIAGNÓSTICO
SI
CONCLUSIÓN
Inferencia Estadı́stica.
Bondad de ajuste, técnicas gráficas.
Análisis de Sensibilidad.
Comunique sus resultados!
40 / 41
Esquema de Modelación Estadı́stica
delación
Recolección de datos: Muestreo.
Análisis exploratorio de datos.
DATOS
MODELO
Análisis Multivariado.
Técnicas de Regresión.
AJUSTE
Series de Tiempo, entre (muchas) otras.
NO
NO
DIAGNÓSTICO
SI
CONCLUSIÓN
Inferencia Estadı́stica.
Bondad de ajuste, técnicas gráficas.
Análisis de Sensibilidad.
Comunique sus resultados!
40 / 41
Esquema de Modelación Estadı́stica
delación
Recolección de datos: Muestreo.
Análisis exploratorio de datos.
DATOS
MODELO
Análisis Multivariado.
Técnicas de Regresión.
AJUSTE
Series de Tiempo, entre (muchas) otras.
NO
NO
DIAGNÓSTICO
SI
CONCLUSIÓN
Inferencia Estadı́stica.
Bondad de ajuste, técnicas gráficas.
Análisis de Sensibilidad.
Comunique sus resultados!
40 / 41
Esquema de Modelación Estadı́stica
delación
Recolección de datos: Muestreo.
Análisis exploratorio de datos.
DATOS
MODELO
Análisis Multivariado.
Técnicas de Regresión.
AJUSTE
Series de Tiempo, entre (muchas) otras.
NO
NO
DIAGNÓSTICO
SI
CONCLUSIÓN
Inferencia Estadı́stica.
Bondad de ajuste, técnicas gráficas.
Análisis de Sensibilidad.
Comunique sus resultados!
40 / 41
OK, Ready to start?
41 / 41