Geometría. Selectividad CCNN. Castilla y León.

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Colecciones de ejercicios
1. [2014] [EXT-A] Sea el punto A(1,1,3) y la recta de ecuación r 
x-y+2 = 0
.
z=2
a) Calcular el plano perpendicular a la recta r que pase por A.
b) Calcular la distancia del punto A a la recta r.
2. [2014] [EXT-B] a) Dados el punto A(3,5,1), la recta r 
x-1
= y+2 = z+1 y el plano   3x-2y+z+5 = 0, determinar el punto B de 
2
tal que la recta AB sea paralela a la recta r.
b) Hallar las coordenadas de un vector de módulo 1, que sea perpendicular a los vectores PQ y PR, siendo P(1,3,-1), Q(2,0,1) y
R(-1,1,0).
3. [2014] [JUN-A] Sea  el plano que pasa por los puntos A(1,-1,1), B(2,3,2), C(3,1,0) y r la recta dada por r 
x-7 y+6 z+3
=
=
.
-1
2
2
a) Calcular el ángulo que forman la recta r y el plano .
b) Calcular los puntos de r que distan 6 unidades del plano .
4. [2014] [JUN-B] Calcular la recta contenida en el plano 1  x+y+z = 3, paralela al plano 2  x = 0, y que pasa por el punto
simétrico de B(-1,1,1) respecto de 2.
5. [2013] [EXT-A] Sea el plano   x+y+z = 0, la recta r  x = y = z y el punto A(3,2,1).
a) Hallar la recta que pasa por A, es paralela a  y corta a r.
b) Hallar los puntos de r que equidistan de A y de .
6. [2013] [EXT-B] Sean las rectas r  x = -y = z-1 y s  x-2 = y = z-m.
a) Determinar m para que las rectas sean coplanarias.
b) Para m = 2, calcular la distancia entre las rectas.
7. [2013] [JUN-A] Sean los puntos A(1,2,-1), P(0,0,5), Q(1,0,4) y R(0,1,6).
a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A, es paralela al plano que pasa por los puntos P, Q y R, y tal que la primera
componente de su vector director es doble que la segunda.
b) Hallar la distancia del punto A al plano que pasa por P, Q y R.
x=1
.
y-z = 4
a) Hallar la ecuación del plano que pasa por P, por un punto R de la recta r y es perpendicular a la recta que pasa por Q y por R.
b) Hallar el ángulo que forman la recta r y el plano   x-y-3 = 0.
8. [2013] [JUN-B] Sean los puntos P(1,4,-1), Q(0,3,-2) y la recta r 
y+2
= z-1 y s 
2
a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y corta a r y s.
b) Hallar la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A.
9. [2012] [EXT-A] Dados el punto A(2,1,1) y las rectas r  x =
x+y = 0
, se pide:
x+z = 2
x = 3+2t
y = -1-t .
z=1
a) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(1,0,5) y corta perpendicularmente a la recta s.
b) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y a s.
10. [2012] [EXT-B] Sea s la recta de ecuaciones paramétricas
x-2 y z+1
x y-1 z-3
=
=
; s
= =
.
-2
2
3
1
-1
1
a) Justificar razonadamente que ambas rectas se cruzan.
11. [2012] [JUN-A] Se consideran las rectas: r 
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b) Hallar la perpendicular común y que corta a las dos rectas.
12. [2012] [JUN-B] Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P(2,1,3) y Q(1,3,1); los otros dos sobre una recta r que
pasa por el punto R(-4,7,-6).
a) Calcular la ecuación de la recta r.
b) Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado.
c) Hallar las coordenadas de uno de los otros vértices.
13. [2011] [EXT-A] Sean la recta r 
x+y = 1
y el plano   x+(m+1)y+mz = m+1. Estudiar la posición relativa de la recta y el plano
my+z = 0
según los valores de m.
14. [2011] [EXT-B] a) Calcular un vector unitario y ortogonal a los vectores v = (1,2,0) y w = (-1,0,1).
x y+3
y+1 = 0
b) Calcular el plano que contiene a las rectas r 
y s
=
= z-2.
x+z = 1
-1
0
15. [2011] [JUN-A] a) Determinar la posición relativa de la recta r 
y-x = 1
y el plano   x-y = 0.
z-2x = 0
b) Hallar el plano perpendicular a  que contiene a r.
16. [2011] [JUN-B] a) Hallar la recta que pasa por el punto A(1,-1,0), está contenida en el plano   x+y = 0 y corta a la recta
s  x = y = z.
b) Hallar la distancia del punto B(2,-2,2) a la recta s.
17. [2010] [EXT-A] a) Determinar las ecuaciones de los planos paralelos al plano   12x+3y-4z = 7 que distan 6 unidades del mismo.
b) Probar que el punto P(1,1,2) pertenece a , y calcular la recta perpendicular a  que pasa por P.
18. [2010] [EXT-B] Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,-1,1) y corta perpendicularmente a la recta
x-2 y-1
=
= z.
r
2
2
x-y+az = 0
, con a  , y el plano   x+y+z-2 = 0.
ay-z = 4
a) Hallar los valores de a para los que r es paralela a .
b) Para a = 2, hallar la distancia de r a .
c) Para a = 1, hallar la distancia de r a .
19. [2010] [JUN-A] Se consideran la recta r 
20. [2010] [JUN-B] Dados el punto P(1,1,-1), la recta r  x =
y+6
= z-3 y el plano   6x+6z-12 = 0, se pide:
4
a) Hallar el punto simétrico de P respecto del plano .
1
b) Hallar los puntos Q de r que distan
unidades de longitud de .
2
x-1 y-2
=
= z y el punto P(1,8,2).
2
3
a) Hállese el punto A de r tal que el vector AP es perpendicular a r.
b) Determínese el plano  que es paralelo a r, pasa por B(5,1,0) y por el simétrico de P respecto de r.
21. [2009] [EXT-A] Se considera la recta r 
22. [2009] [EXT-A] Determinar el ángulo que forman la recta r 
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x y+1
=
= z y el plano   x+y-z = 4.
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2x+y+z = 4
x-ay+z = a .
3x+2z = 5
b) Interpretar la discusión realizada en a) en términos de la posición relativa de los planos dados por cada una de las ecuaciones
del sistema.
23. [2009] [EXT-B] a) Discutir, según el valor del parámetro real a, el siguiente sistema de ecuaciones:
24. [2009] [EXT-B] Sea 0 un número real, y las rectas de ecuaciones r 
z
x
=y= ,s

2
x = 1+4
y = 2 .
z = 3-2
Para el valor de  para el que r y s son paralelas, hallar el plano que las contiene.
25. [2009] [JUN-A] Sea r la recta que pasa por los puntos A(1,1,1) y B(3,1,2), y sea s la recta de ecuaciones s 
x-2z = 1
. Se pide:
y-2 = 0
a) Estudiar su posición relativa.
b) Si fuera posible, calcular su punto de intersección.
c) Calcular, si existe, un plano que las contenga.
26. [2009] [JUN-A] Hallar la distancia desde el punto P(1,3,-2) a la recta s 
27. [2009] [JUN-B] Calcular la distancia entre las rectas de ecuaciones r 
28. [2008] [EXT-A] Hallar la distancia entre el punto A(2,1,4) y la recta r 
x = 2+3
y = -1+
z = 1-2
y-2 z-3
3x-y = -1
y s  x-2 =
=
.
7x-z = -4
3
4
z
x-1
= y+1 = .
3
2
29. [2008] [EXT-B] Se consideran las rectas r y s de ecuaciones respectivas r 
y=1
,s
z=0
x=0
.
z=2
a) Estudiar la posición relativa de r y s.
b) Determinar la recta que corta perpendicularmente a r y s.
c) Hallar la distancia entre r y s.
30. [2008] [EXT-B] Hallar el seno del ángulo formado por la recta r y el plano  dados por: r 
x=z
;   x+y = z.
2y+z = 3
x+y+2z = 2
.
x+2y-z = 3
a) Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos.
b) Para a = 2, calcular la recta que pasa por P(1,0,-1), es paralela al plano  y se apoya en la recta r.
31. [2008] [JUN-A] Se considera el plano   x+ay+2az = 4 y la recta r 
32. [2008] [JUN-A] Sabiendo que tres de los vértices de un paralelogramo son A(1,1,2), B(1,1,4) y C(3,3,6), hallar el área del mismo.
33. [2008] [JUN-B] Dada la recta r  2x+y = 2, calcular el punto P de la recta r tal que la perpendicular a r por P pase por el punto
1,-1 .
34. [2007] [EXT-A] Determinar el punto simétrico de P(4,0,3) respecto del plano de ecuación x = y.
35. [2007] [EXT-B] De una recta r se sabe que está contenida en el plano  de ecuación x-y = 0, que A 0,0,0 pertenece a r, y que el
vector que une A y B 1,0,-1 es perpendicular a r. Determinar la recta r, y calcular la distancia entre r y el plano paralelo a  que
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pasa por B.
36. [2007] [JUN-A] Sea el plano  x+y-2z-5 = 0 y la recta r x=y=z. Se pide:
a) Calcular la distancia de la recta al plano.
b) Hallar un plano que contenga a r y sea perpendicular a .
c) Hallar el punto simétrico de P(-1,3,3) respecto a .
37. [2007] [JUN-B] Dadas las rectas r
x+y-z = 0
y s
x+2y = 7
x=2
, hallar un punto de cada una de ellas, de tal forma, que el vector que
y = -5
los una sea perpendicular a ambas.
x-y+2z = 1
y el plano  ax-y+z+1 = 0 son paralelos.
2x+y-5z = 2
b) Para a = 2, calcúlese la ecuación del plano que contiene a r y es perpendicular a , y hállese la distancia entre r y .
38. [2006] [EXT-A] a) Hállese el valor de a para el que la recta r
39. [2006] [EXT-A] Hállense las ecuaciones de la recta que pasa por P(2,1-1), está contenida en el plano  x+2y+3z = 1, y es
x = 2z-3
.
perpendicular a la recta r
y = z+4
2x-y = m
, s
z+2y = 3
a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten.
b) Para m = 1, hállese la ecuación del plano que contiene a r y s.
40. [2006] [JUN-A] Sean r y s las rectas dadas por : r
x+y = 2
.
x+2z = 3
x = -2+2
41. [2006] [JUN-A] Calcúlese la distancia del punto P 1,1,1 a la recta r y = 0
z = -
42. [2006] [JUN-B] Hállese la distancia entre el plano , que pasa por los puntos A 2,0,-1 , B 0,0,0 y C 1,1,2 , y el plano  de
ecuación x-5y+2z-6 = 0.
43. [2005] [EXT-A] (a) Calcúlense los valores de a para los cuales las rectas r
3x+ay-6az+1 = 0
y s
-x+y+3z-3 = 0
x = -1-
y = 3+ son perpendiculares.
z = 1+a
(b) Para a = 1, calcúlese la recta que pasa por (1,1,1) y se apoya en r y s.
44. [2005] [EXT-A] Calcúlese el simétrico del punto P(1,1,1) respecto del plano x+y+z = 0.
45. [2005] [EXT-B] Calcúlese el volumne del tetraedro de vértices A(1,1,1), B(1,2,3), C(2,3,1), D(3,1,2).
46. [2005] [JUN-A] Calcúlese la distancia del origen al plano  que pasa por A(1,2,0) y contiene a la recta r
47. [2005] [JUN-B] (a) Determínese el simétrico de A(-3,1,-7) respecto de la recta r x+1 =
x+2 y-1
=
= z.
3
2
y-3 z+1
=
.
2
2
(b) Hállese la distancia entre A y r.
48. [2005] [JUN-B] Dados el punto A(3,5,-1) y la recta r
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z+1
x-1
= y+2 =
, hállese el punto B perteneciente a r tal que el vector de
4
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extremos A y B es paralelo al plano  de ecuación 2x-2y+z+5 = 0.
49. [2004] [EXT-A] Sea m un número real y sean r y  la recta y el plano dados respectivamente por:
2x-my+z = 2-m
;   3x+2z = 2-m
r
x+2y+z = 0
a) Estúdiese la posición relativa de r y  en función del valor de m.
b) Para el valor m = 1, hállese la ecuación del plano que pasa por el punto de corte de r y  y es perpendicular a la recta
t  x = y = z.
50. [2004] [EXT-A] Calcúlese la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones: r 
x = 1+2
x y-3 z-2
,s
=
=
.
y=0
-1
1
-1
z = -
51. [2004] [EXT-B] Hállese la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(2,2,-1), B(4,0,2) y es perpendicular al plano
  x-5y+2z-6 = 0.
x+y+1 = 0
2x-z+3 = 0
a) Escríbase la recta r en forma paramétrica.
b) Para cada P de r, determínese la ecuación de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente al eje OZ.
52. [2004] [JUN-A] Sea la recta r
53. [2004] [JUN-A] Determínese si el plano   2x+3y-4 = 0 corta o no al segmento de extremos A(2,1,3) y B(3,2,1).
54. [2004] [JUN-B] Hállese la ecuación del plano que contiene a la recta r x = y = z y es perpendicular al plano   x+y-z-1 = 0.
x+y = 5
x-2z = 0
, s
x+2z = a
y-z = 2
a) hallar el valor de a para que ambas rectas estén en el mismo plano.
b) Hallar la ecuación de dicho plano.
55. [2003] [EXT-B] Dadas las rectas r y s: r 
56. [2003] [EXT-B] ¿Cuál es el ángulo que forma la recta x = y = z con el eje OX?
57. [2003] [EXT-B] Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (3,5) y es tangente a la recta 4x+3y-2 = 0.
2x-y+z = 3
58. [2003] [JUN-A] a) Hallar el valor del parámetro a para que los planos de ecuaciones x-y+z = 2 se corten en una recta r.
3x-y+az = 4
b) Obtener la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,3,1) y contiene a la recta r del apartado anterior.
1
3
2
y= +
3
z=

x=
59. [2003] [JUN-A] Hallar la distancia del punto P(2,1,1) a la recta r 
60. [2003] [JUN-B] Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,2,-1), es paralela al plano   2x+y-z-3 = 0 y
y-1 z-4
perpendicular a la recta r  x =
=
.
-1
3
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61. [2003] [JUN-B] ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro (3,2) que es tangente al eje OX?
Soluciones
x=1
10. a) y = 0
b) x+2y-1 = 0 11. b) (x,y,z) =
z = 5+
m{0,1}: secante. 14. a)
x = 2+
y = -1-2
z = 1+2
18.
2 -1 2
, ,
3 3 3
19. a) -1, 2 b)
-91 20 8
, , +(0,1,1) 12. a) (x,y,z) = (-4,7,-6)+(-1,2,-2) b) 2x-y-2z+3 = 0 c) (-1,1,0) 13. m = 0: contenida; m = 1: pralela;
98 7 7
b) 2x+y+2z-1 = 0 15. a) paralela b) x+y-z+1 = 0 16. a)
x=
y= ;
z=
30
42.
5
1 b)
x = 1-30k
y = 13k
z = -1+5k
39.
x+2y+3z = 1
2x+y+z = 4
40. a) 1 b) 10x+7y+6z-23 = 0
48.
-7 -11 -23
,
,
3 3 3
49. a) m = 2, r contenida en ; a  2: se cortan b) x+y+z = 0 50.
7 2 9
, ,
5 5 5
33.
17. a) 12x+3y-4z+71 = 0; 12+3y-4z-85 = 0 b)
7 -4
,
5 5
34.
8,-4,3
41.
35.
6
2
2
36. a)
3 10
2
27.
10
2
28.
5 6
b) x-y = 0 c) 3,-1,3
6
43. (a) 3 (b)
6 14
7
x-y-3z+3 = 0
x+y-2 = 0
133
7
29. a) se cruzan b)
37.
44. (-1,-1,-1)
5,1,6 , 2,-5,6
x=0
y = 1 c) 2
z=
30.
3
9
31. a)
38. a) 2 b) 4x+y-7z-4 = 0;
6
2
3
5 59
46.
47. (a) (-3,-3,-3) (b) 2 2
2
59
x= 
x=
 - 
y = -1- b) y = -1- + (+1) 53. corta en
z = 3+2
z = 3+2
x = 1+2
3 60. y = 2-7 61. (x-3)2+(y-2)2 = 4
45.
51. 11x-y-8z-28 = 0 52. a)
54. x-y = 0 55. a) 4 b) x+4y-6z-8 = 0 56. 54º44'8'' 57. (x-3)2+(y-5)2 = 25 58. a) 1 b) 3x-y+z-4 = 0 59.
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x = 1+12
y = 1+3
z = 2-4
2 3
c) 0 20. a) (3,1,1) b) (0,-6,3), (-1,-10,2) 21. a) (4,4,1) b) x+3y-9z-7 = 0 22. 38º6'47'' 23. a) a=1: c.i.; a1: c.d. b) se cortan:
3
a=1, recta; a1, punto 24.  = -1, 3x-7y-z = 0 25. a) paralelas c) x-2y-2z+3 = 0 26.
32. 4 2
x=k
2 6
y = -k b)
3
z=0
z = -1-3
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