departamento de matemáticas

Transcripción

PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA
DEPARTAMENTO DE
MATEMÁTICAS
CURSO 2015 – 2016
I.E.S. VICTORIO MACHO
PALENCIA
Departamento de Matemáticas
ÍNDICE
1. ASPECTOS GENERALES...……….……..……..………………5
Introducción…………………………………………………………………….……...5
Componentes del departamento…………………………………………………….5
Materias impartidas: distribución de asignaturas y grupos……………………….6
2. PROGRAMACIÓN DE E.S.O. LOMCE (1º Y 3º)…..………..7
Introducción. Justificación de la Programación………………….…………………7
Objetivos de la ESO y objetivos del área de Matemáticas………….…………..11
Competencias………………………………………………………………………..17
Metodología………………………………………………….………….……………21
MATEMÁTICAS 1º ESO (LOMCE)………………………………………….……23
Objetivos, contenidos, criterios de evaluación, estándares de
aprendizaje……………………………………………………………………………24
Estándares de aprendizaje evaluables básicos…………………………………112
REFUERZO DE MATEMÁTICAS 1º ESO (CLYM DE 1º)…………………….114
MATEMÁTICAS 3º ESO ENSEÑANZAS ACADEMICAS (LOMCE)……….116
aprendizaje…………………………………………………………………………..117
MATEMÁTICAS 3º ESO ENSEÑANZAS APLICADAS (LOMCE)………….184
aprendizaje…………………………………………………………………………..185
2
3. PROGRAMACIÓN DE E.S.O LOE
(2º Y 4º)……..…….233
Objetivos generales de la E.S.O………………………………………………....233
Metodología…………………………………………………………………….…..235
MATEMÁTICAS 2º ESO (LOE)………………………………………….....…..236
Objetivos, contenidos, competencias básicas y criterios de evaluación…..…237
Contenidos mínimos…………………………………………………………...…..258
REFUERZO DE MATEMÁTICAS 2º ESO (CLYM DE 2º)…………………….260
MATEMÁTICAS 4º ESO OPCIÓN A (LOE)………………………….….…….262
Objetivos, contenidos, competencias básicas y criterios de evaluación……..263
Contenidos mínimos……………………………………………………………….286
MATEMÁTICAS 4º ESO OPCIÓN B (LOE).…………………...…………......288
Objetivos, contenidos, competencias básicas y criterios de evaluación……..289
Contenidos mínimos………………………………………………………………..311
MEDIDAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD EN ESO……………...313
CRITERIOS DE CALIFICACIÓN EN ESO………………..…..…………315
4. PROGRAMACIÓN DE BACHILLERATO LOMCE
(1º) ...319
Introducción. Justificación de la Programación………………………………….319
Objetivos generales del Bachillerato…………………………………………….321
Competencias. Metodología………………………………………………………322
MATEMÁTICAS I (1º BACHILLERATO LOMCE)…………………..……......335
Objetivos, contenidos, competencias, recursos…………………………………336
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I (1º BACH. LOMCE)………..412
Objetivos, contenidos, competencias, recursos…………………………………413
3
5. PROGRAMACIÓN DE BACHILLERATO
LOE
(2º) ......476
Objetivos generales del Bachillerato…………………………………………….476
Metodología…………………………………………………………………………477
MATEMÁTICAS II (2º BACHILLERATO LOE)……………………….….…….479
Contenidos………………………………………………………………………….480
Criterios de evaluación…………………………………………………………….483
Contenidos mínimos……………………………………………………………….484
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS II (2º BACH. LOE)……………485
Contenidos…………………………………………………………………………..486
Criterios de evaluación……………………………………………………………..488
Contenidos mínimos………………………………………………………………..489
MEDIDAS ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD EN BACHILLERATO….490
CRITERIOS DE CALIFICACIÓN EN BACHILLERATO….……………492
6. PLAN DE FOMENTO DE LA LECTURA…………………………………494
7. PLAN FOMENTO DE LA CULTURA EMPRENDEDORA……………..494
8. ACTIVIDADES EXTRAESCOLARES…………………………………….495
9. EVALUACIÓN DE LA PROGRAMACIÓN……………………………….495
4
ASPECTOS GENERALES
INTRODUCCIÓN
La programación didáctica del Departamento de Matemáticas en este
curso 2014-2015 responde a:

Los planteamientos didácticos de la L.O.M.C.E. para los cursos 1º, 3º de
ESO y 1º de Bachillerato, ajustándose los currículos a lo establecido en el
Real Decreto 1105/2014 del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte,
de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la
Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato, y en la Orden
EDU/362/2015 y EDU/363/2015 de la Consejería de Educación de la
Comunidad de Castilla y León (BOCYL de 8-5-2015) por las que se
establece el Currículo de la Educación Secundaria Obligatoria y del
Bachillerato para esta Comunidad.

Los planteamientos didácticos de la L.O.E para los cursos 2º, 4º de ESO
y 2º de Bachillerato, ajustándose a los currículos de Matemáticas para la
ESO (D. 52/2007, BOCYL 23-5-2007) y de Bachillerato (D. 42/2008,
BOCYL 11-6-2008).
COMPONENTES DEL DEPARTAMENTO
El curso 2015 – 2016 el departamento de matemáticas está formado por:





Juan Casado Pérez
Félix Gómez Crespo
María Victoria de la Hera Cuevas
Mª Asunción Jubrias López
Juan Carlos Pérez Rubio (Jefe de Departamento)
Además también imparte asignaturas del departamento José Luis Pollos
(Departamento de Tecnología), una hora de CLYM de 1º ESO D, y varios
miembros del Departamento de Orientación se encargan de los apoyos a
alumnos ACNEES y ANCES.
5
MATERIAS IMPARTIDAS: DISTRIBUCIÓN DE ASIGNATURAS Y GRUPOS
El presente curso el Departamento tiene asignadas 88 horas lectivas semanales
repartidas de la siguiente forma:
ESO
CURSOS
1º
2º
3º
4º
GRUPO
A
A
B
B
C
C
D
D
A
A
B
B
C
C
D
D
A
B
C
A
B
ASIGNATURA
MATEMATICAS
REFUERZO DE MATEM.
MATEMATICAS
REFUERZO DE MATEM.
MATEMATICAS
REFUERZO DE MATEM.
MATEMATICAS
REFUERZO DE MATEM.
MATEMATICAS
REFUERZO DE MATEM.
MATEMATICAS
REFUERZO DE MATEM.
MATEMATICAS
REFUERZO DE MATEM.
MATEMATICAS
REFUERZO DE MATEM.
MATEMATICAS ACADEM.
MATEMATICAS ACADEM.
MATEMATICAS ACADEM.
MATEMATICAS APLICAD.
MATEMATICAS OPCIÓN A
MATEMATICAS B
MATEMATICAS B
PROFESOR
Juan Carlos Pérez Rubio
Juan Casado Pérez
José Luis Pollos
Juan Casado Pérez
Juan Casado Pérez
Mª Victoria de la Hera Cuevas
Juan Casado Pérez
Juan Casado Pérez
Juan Casado Pérez
HORAS
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
4
4
4
4
4
4
BACHILLERATO
CURSO
1º
GRUPO
ASIGNATURA
PROFESOR
HORAS
A
MATEMTICAS I
Yasone Jubrias López
4
B
MATEMTICAS I
4
C
MAT APLICADAS CCSS I
4
A
MATEMTICAS II
4
C
MAT APLICADAS CCSS II
Juan Casado Pérez
4
2º
6
PROGRAMACIÓN
DE
E.S.O.
LOMCE
1º y 3º ESO
1. INTRODUCCIÓN
A) JUSTIFICACIÓN DE LA PROGRAMACIÓN
La Programación Didáctica de Matemáticas para el Primer y Tercer Curso de la
Educación Secundaria Obligatoria está fundamentada en lo establecido en el Real
Decreto 1105/2014 del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, de 26 de diciembre,
por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del
Bachillerato, y en la Orden EDU/362/2015 de la Consejería de Educación de la
Comunidad de Castilla y León por el que se establece el Currículo de la Educación
Secundaria Obligatoria para esta Comunidad.
Nuestro Proyecto propone un modelo de enseñanza-aprendizaje comprensivo que se
enmarca dentro del paradigma de la educación universal (global o integral) que ha de
preparar a todos los ciudadanos para tener éxito en la vida, a través de la adquisición y
el desarrollo de las Competencias Clave. Este modelo sigue las directrices de los
distintos estudios promovidos por instancias nacionales e internacionales, entre los
cuales destaca el proyecto DeSeCo de la OCDE, el informe Eurydice y el programa
PISA.
7
Entendemos que la función de la enseñanza es facilitar el aprendizaje de los alumnos y
las alumnas, ayudándoles a construir, adquirir y desarrollar las Competencias Clave que
les permitan integrarse en la sociedad del conocimiento y afrontar los continuos cambios
que imponen en todos los órdenes de nuestra vida los rápidos avances científicos y la
nueva economía global.
Por competencias se entiende, en un sentido amplio, la concatenación de saberes que
articulan una concepción del ser, del saber, saber hacer y saber convivir, tal y como se
indica en el informe de la Unesco de la Comisión Internacional sobre la educación para
el siglo XXI (Delors, 1996).
La inclusión de las competencias clave en el currículo tiene como finalidad que las
alumnas y los alumnos a) puedan hacer posible el pleno ejercicio de la ciudadanía en
el marco de la sociedad de referencia; b) construyan un proyecto de vida satisfactorio;
c) alcancen un desarrollo personal emocional y afectivo equilibrado; y d) accedan a
otros procesos educativos y formativos posteriores con garantías de éxito.
En una sociedad en constante cambio las demandas que tiene un individuo varían de
una situación a otra y de un momento a otro. Por este motivo defendemos un modelo
de competencia holístico, dinámico y funcional que surge de la combinación de
habilidades prácticas, conocimientos (incluyendo el conocimiento tácito), motivación,
valores éticos, actitudes, emociones y otros componentes sociales y de comportamiento
que se movilizan conjuntamente para lograr una acción eficaz.
Ser competente, desde este enfoque, significa ser capaz de activar y utilizar ante un
problema el conocimiento que el alumno o la alumna tiene. Esta concepción está
alineada con los principios del aprendizaje significativo y funcional de las teorías
constructivistas (p.e. Ausubel et al.,1978).
Sólo a partir de estas premisas pensamos que es posible la aplicación de uno de los
ejes fundamentales de la Programación de Didáctica Matemáticas para el Primer y
Tercer Curso de la Educación Secundaria Obligatoria: la funcionalidad de los
aprendizajes. Por aprendizaje funcional entendemos que las competencias puedan ser
aplicadas y transferidas a situaciones y contextos diferentes para lograr diversos
objetivos, resolver diferentes tipos de problemas y llevar a cabo diferentes tipos de
tareas.
A esta funcionalidad cabe darle otra dimensión: que los alumnos y alumnas aprendan a
aprender. Un aprendiz competente es aquel que conoce y regula sus procesos de
construcción del conocimiento, tanto desde el punto de vista cognitivo como emocional, y
puede hacer un uso estratégico de sus conocimientos, ajustándolos a las circunstancias
específicas del problema al que se enfrenta (Bruer, 1993).
La eficacia de estos principios quedaría incompleta si no fuéramos capaces de presentar
los contenidos de las diferentes materias de forma articulada para facilitar el proceso de
aprendizaje y el desarrollo de las Competencias Clave a través de los Estándares de
aprendizaje fijados para cada materia.
Teniendo en cuenta que cada una de las materias contribuye al desarrollo de diferentes
competencias y, a su vez, cada una de las competencias se alcanzará como
consecuencia del trabajo en varias materias, la Programación Didáctica de Matemáticas
8
adopta una perspectiva globalizadora a la vez que pone la atención en aquellos
aprendizajes que se consideran imprescindibles desde un planteamiento integrador y
orientado a la aplicación de los saberes adquiridos.
Así, el aprendizaje de las competencias clave, aunque va ligado a las áreas de
conocimiento y a los estándares de aprendizaje fijados en ellas, es global y se adquirirá a
partir de su contextualización en situaciones reales y próximas al alumno para que pueda
integrar diferentes aprendizajes, tanto los formales, como los informales y no formales, y
utilizarlos de manera efectiva cuando le resulten necesarios en diferentes situaciones y
contextos.
En esta línea hemos querido incidir con especial énfasis en la relación de los contenidos
y materiales tratados a lo largo de nuestra Programación Didáctica de Matemáticas para
el Primer y Tercer Curso de la Educación Secundaria Obligatoria con las nuevas
realidades tecnológicas tan cercanas y atractivas para el alumnado.
La aplicación o desarrollo de los conocimientos tratados en la materia dentro ámbitos
como Internet, el uso de soportes informáticos o el análisis de la información transmitida
por medios audiovisuales... se constituyen como un elemento gratificante y motivador a
la vez que en un aprendizaje imprescindible para la adaptación del alumnado a futuras
incorporaciones a distintos ámbitos académicos o laborales.
Si a lo que antecede añadimos la presencia de unos contenidos que por especial
importancia en nuestra sociedad deben impregnar muchas de las actividades de
aprendizaje así como el interés por fomentar la capacidad del alumnado para regular su
propio proceso de aprendizaje y seguir aprendiendo a lo largo de la vida, tendremos los
pilares sobre los cuales hemos elaborado la presente Programación Didáctica de
Matemáticas para el Primer y Tercer Curso de la Educación Secundaria Obligatoria.
B) CONTEXTUALIZACIÓN
1.1 Objetivos y ámbitos de actuación de la LOMCE
La Ley Orgánica para la Mejora de la Calidad Educativa (LOMCE) surge como
respuesta a una serie de retos educativos a los que se pretende dar respuesta con la
consecución de los siguientes objetivos:
PRINCIPALES RETOS EDUCATIVOS
– Elevadas tasas de abandono
escolar temprano.
– Bajo nivel formativo en relación
con los estándares
internacionales (PISA, …).
– Reducido número de alumnos
que alcanza la excelencia.
– Inadecuación del sistema
educativo ante las nuevas
demandas de formación.
OBJETIVOS DE LA LOMCE
– Encauzar a los estudiantes hacia
trayectorias adecuadas a sus
potencialidades.
– Mejorar los resultados aumentando
el número de titulados de la ESO.
– Elevar los niveles de educación y
aumentar el número de alumnos
excelentes.
– Mejorar la empleabilidad y estimular
el espíritu emprendedor del
alumnado.
9
Para lograr estos objetivos la LOMCE centra su atención en la modificación de los
siguientes aspectos del Sistema Educativo:
– Racionalización de la oferta educativa. El currículo se simplificará con la
priorización de las materias troncales para adquirir las competencias educativas.
– Flexibilización de las trayectorias educativas. Establecimiento de diferentes
itinerarios educativos a partir de la ESO.
– Autonomía de los centros educativos. Permitirá tomar decisiones para mejorar
la oferta educativa y conllevará la rendición de cuentas de los resultados
obtenidos.
– Refuerzo de la capacidad de gestión de la dirección de los centros. Los
directores asumirán el liderazgo pedagógico y de gestión.
– Implantación de evaluaciones externas. Estas se llevarán a cabo al finalizar
cada etapa educativa: 6º Curso de Primaria, 4º curso de ESO y 2º curso de
Bachillerato.
Además, la LOMCE define tres nuevos ámbitos de actuación que incidirán
especialmente en la transformación de nuestro sistema educativo:
– La incorporación generalizada de las Tecnologías de la Información y
Comunicación (TIC). A través de las TIC se facilitará la personalización de la
educación.
– El fomento del plurilingüismo. Fijado por la Unión Europea, se logrará por la
incorporación en el currículo de una segunda lengua extranjera.
– La modernización de la Formación Profesional. Se adaptará a las nuevas
exigencias de los sectores productivos y se implicará a las empresas en la
formación.
Siguiendo las recomendaciones de las instituciones europeas la LOMCE incorpora
la educación cívica y constitucional como contenido transversal en todas las asignaturas
de la educación básica El objetivo es transmitir y poner en práctica valores como la
libertad individual la responsabilidad la ciudadanía democrática la solidaridad la
tolerancia o la igualdad.
1.2 PRINCIPIOS DEL SISTEMA EDUCATIVO
Para llevar a cabo todos los ámbitos de actuación detallados en el epígrafe anterior,
se concibe la LOMCE cómo una ley orgánica que sólo modifica parcialmente la previa
Ley Orgánica de Educación (LOE) del año 2006. En este sentido, y por lo que se refiere
a los principios que inspiran el Sistema Educativo Español, se han incorporado los
siguientes:
– La equidad y la igualdad de derechos y oportunidades que garanticen el pleno
desarrollo de la personalidad del alumnado a través de la educación.
– El reconocimiento de los progenitores y tutores como primeros responsables
de la educación de sus hijos.
– La educación para la prevención y resolución pacífica de conflictos, así
como el fomento de la no violencia y la prevención del acoso escolar.
– El desarrollo de valores que fomenten la igualdad efectiva entre hombres y
mujeres y que ayuden a prevenir la violencia de género.
– La libertad de enseñanza, que reconoce a las familias la elección del tipo de
educación y la selección del centro educativo.
10
Para garantizar el desarrollo de estos principios se define el Sistema Educativo
como el conjunto de Administraciones educativas, profesionales de la educación y otros
agentes, públicos y privados, que desarrollan funciones de regulación, de financiación
o de prestación de servicios para el ejercicio del derecho a la educación en España.
Además se establecen los órganos de participación de la comunidad educativa en
la programación y asesoramiento del gobierno.
1.3 ELEMENTOS DEL CURRÍCULO EN LA LOMCE
La LOMCE modifica los elementos que componen el currículo como regulador de
los procesos de enseñanza y aprendizaje para cada una de las etapas educativas.
Estos elementos pasan a ser los siguientes:
– Los objetivos de cada enseñanza y etapa educativa.
– Las competencias o capacidades para aplicar los contenidos de cada
enseñanza y etapa educativa.
– Los contenidos, o conjuntos de conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes
que contribuyen al logro de los objetivos y a la adquisición de competencias.
Los contenidos se ordenan en asignaturas, que se clasifican en materias,
ámbitos, áreas y módulos en función de las enseñanzas y las etapas
educativas.
─ Los estándares y resultados de aprendizaje evaluables, que permiten definir
los resultados de los aprendizajes en cada asignatura.
─ Los criterios de evaluación del grado de adquisición de las competencias y
del logro de los objetivos de cada enseñanza y etapa educativa.
─ La metodología didáctica, que comprende tanto la descripción de las prácticas
docentes como la organización del trabajo de los docentes.
2. OBJETIVOS
1. OBJETIVOS DE LA EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA
OBJETIVOS
COMPETENCIAS CLAVE
a)
Asumir
responsablemente
sus Competencias sociales y cívicas.
deberes, conocer y ejercer sus derechos
Sentido de iniciativa y espíritu
en el respeto a los demás, practicar la
emprendedor.
tolerancia, la cooperación y la solidaridad
entre las personas y grupos, ejercitarse
en el diálogo afianzando los derechos
humanos y la igualdad de trato y de
oportunidades entre mujeres y hombres,
como valores comunes de una sociedad
plural y prepararse para el ejercicio de la
ciudadanía democrática.
b) Desarrollar y consolidar hábitos de Competencias sociales y cívicas.
disciplina, estudio y trabajo individual y en
11
equipo como condición necesaria para
Sentido de iniciativa
una realización eficaz de las tareas del
emprendedor.
aprendizaje y como medio de desarrollo
personal.
Aprender a aprender.
y
espíritu
c) Valorar y respetar la diferencia de sexos Competencias sociales y cívicas.
y la igualdad de derechos y oportunidades
entre ellos. Rechazar la discriminación de
emprendedor.
las personas por razón de sexo o por
cualquier otra condición o circunstancia Aprender a aprender.
personal o social. Rechazar los
estereotipos que supongan discriminación
entre hombres y mujeres, así como
cualquier manifestación de violencia
contra la mujer.
d) Fortalecer sus capacidades afectivas Competencias sociales y cívicas.
en todos los ámbitos de la personalidad y
en sus relaciones con los demás, así
emprendedor.
como rechazar la violencia, los prejuicios
de cualquier tipo, los comportamientos Comunicación lingüística.
sexistas y resolver pacíficamente los
conflictos.
e) Desarrollar destrezas básicas en la Competencia digital.
utilización de las fuentes de información
Comunicación lingüística.
para, con sentido crítico, adquirir nuevos
conocimientos. Adquirir una preparación Aprender a aprender.
básica en el campo de las tecnologías,
especialmente las de la información y la
comunicación.
f) Concebir el conocimiento científico
como un saber integrado, que se
estructura en distintas disciplinas, así
como conocer y aplicar los métodos para
identificar los problemas en los diversos
campos del conocimiento y de la
experiencia.
Competencia
matemática
y
competencias básicas en ciencia y
tecnología.
Sentido de
emprendedor.
iniciativa
y
espíritu
g) Desarrollar el espíritu emprendedor y la
confianza en sí mismo, la participación, el
sentido crítico, la iniciativa personal y la
capacidad para aprender a aprender,
planificar, tomar decisiones y asumir
responsabilidades.
Sentido de
emprendedor.
iniciativa
y
espíritu
Competencias sociales y cívicas.
h) Comprender y expresar con corrección, Comunicación lingüística.
oralmente y por escrito, en la lengua
castellana, textos y mensajes complejos,
e iniciarse en el conocimiento, la lectura y Conciencia y expresiones culturales.
el estudio de la literatura.
i) Comprender y expresarse en una o más Comunicación lingüística
lenguas
extranjeras
de
manera
apropiada.
12
j) Conocer, valorar y respetar los aspectos Conciencia y expresiones culturales.
básicos de la cultura y la historia propias
y de los demás, así como el patrimonio
artístico y cultural.
k) Conocer y aceptar el funcionamiento
del propio cuerpo y el de los otros,
respetar las diferencias, afianzar los
hábitos de cuidado y salud corporales e
incorporar la educación física y la práctica
del deporte para favorecer el desarrollo
personal y social. Conocer y valorar la
dimensión humana de la sexualidad en
toda su diversidad. Valorar críticamente
los hábitos sociales relacionados con la
salud, el consumo, el cuidado de los seres
vivos y el medio ambiente, contribuyendo
a su conservación y mejora.
Sentido de
emprendedor.
iniciativa
y
espíritu
Competencia
matemática
y
tecnología.
l) Apreciar la creación artística y Conciencia y expresiones culturales.
comprender el lenguaje de las distintas
manifestaciones artísticas, utilizando
diversos medios de expresión y Aprender a aprender
representación.
13
2. OBJETIVOS GENERALES DEL ÁREA DE MATEMÁTICAS
OBJETIVOS
COMPETENCIAS CLAVE
1. Mejorar la capacidad de pensamiento
reflexivo e incorporar al lenguaje y modos
de argumentación las formas de
expresión y razonamiento matemático,
tanto en los procesos matemáticos o
científicos como en los distintos ámbitos
de la actividad humana, con el fin de
comunicarse de manera clara, concisa y
precisa.
Competencia
matemática
y
tecnología.
Sentido de
emprendedor.
iniciativa
y
espíritu
2. Aplicar con soltura y adecuadamente Competencia
matemática
y
las herramientas matemáticas adquiridas competencias básicas en ciencia y
a situaciones de la vida diaria.
tecnología.
Sentido de
emprendedor.
iniciativa
y
espíritu
3. Desarrollar la actividad mental y Competencia
matemática
y
favorecer así la imaginación, la intuición y competencias básicas en ciencia y
la invención creadora.
tecnología.
4. Reconocer y plantear situaciones
susceptibles de ser formuladas en
términos matemáticos, elaborar y utilizar
diferentes estrategias para abordarlas, y
analizar los resultados utilizando los
recursos más apropiados.
Competencia
matemática
y
tecnología.
5. Detectar los aspectos de la realidad
que sean cuantificables y que permitan
interpretarla mejor: utilizar técnicas de
recogida
de
la
información
y
procedimientos de medida y realizar el
análisis de los datos mediante el uso de
distintas clases de números y la selección
de los cálculos apropiados, todo ello de la
forma más adecuada según la situación
planteada.
Competencia
matemática
y
tecnología.
Sentido de
emprendedor.
iniciativa
y
espíritu
6. Adquirir hábitos racionales de trabajo, Competencia
matemática
y
tanto individual como en equipo, y elaborar competencias básicas en ciencia y
estrategias para analizar situaciones, tecnología.
14
recoger datos, organizarlos, tratarlos y
Sentido de
resolver problemas.
emprendedor.
iniciativa
y
espíritu
7. Identificar los elementos matemáticos
(datos
estadísticos,
geométricos,
gráficos, cálculos, etc.) presentes en los
medios de comunicación, Internet,
publicidad u otras fuentes de información,
analizar críticamente las funciones que
desempeñan
estos
elementos
matemáticos y valorar su aportación para
una mejor comprensión de los mensajes.
Competencia
matemática
y
tecnología.
8. Identificar las formas planas o
espaciales que se presentan en la vida
diaria y analizar las propiedades y
relaciones geométricas entre ellas,
adquiriendo una sensibilidad progresiva
ante la belleza que generan.
Competencia
matemática
y
tecnología.
9. Utilizar de forma adecuada los distintos
medios
tecnológicos
(calculadoras,
ordenadores, etc.) tanto para realizar
cálculos como para buscar, tratar y
representar informaciones de índole
diversa y también como ayuda en el
aprendizaje.
Competencia
matemática
y
tecnología.
10. Actuar ante los problemas que se
plantean en la vida cotidiana de acuerdo
con modos propios de la actividad
matemática, tales como la exploración
sistemática de alternativas, la precisión
en el lenguaje, la flexibilidad para
modificar el punto de vista o la
perseverancia en la búsqueda de
soluciones.
Competencia
matemática
y
tecnología.
11. Elaborar estrategias personales para
el análisis de situaciones concretas y la
identificación y resolución de problemas,
utilizando
distintos
recursos
e
instrumentos y valorando la conveniencia
de las estrategias utilizadas en función del
análisis de los resultados y de su carácter
exacto o aproximado.
Competencia
matemática
y
tecnología.
12. Manifestar una actitud positiva ante la
resolución de problemas, mostrar
confianza en la propia capacidad para
enfrentarse a ellos con éxito y adquirir un
nivel de autoestima adecuado, que le
permitan disfrutar de los aspectos
Competencia
matemática
y
tecnología.
15
Competencias digital.
Sentido de
emprendedor.
iniciativa
y
espíritu
Conciencia y expresiones culturales.
Sentido de
emprendedor.
iniciativa
y
espíritu
Competencias digital.
Sentido de
emprendedor.
iniciativa
y
espíritu
Sentido de
emprendedor.
iniciativa
y
espíritu
Sentido de
emprendedor.
iniciativa
y
espíritu
creativos, manipulativos, estéticos
utilitarios de las matemáticas.
y
13.
Integrar
los
conocimientos
matemáticos en el conjunto de saberes
que se van adquiriendo desde las
distintas áreas de modo que puedan
emplearse de forma creativa, analítica y
crítica.
Competencia
matemática
y
tecnología.
14. Valorar las Matemáticas como parte
integrante de nuestra cultura, tanto desde
un punto de vista histórico como desde la
perspectiva de su papel en la sociedad
actual y aplicar las competencias
matemáticas adquiridas para analizar y
valorar fenómenos sociales como la
diversidad cultural, el respeto al medio
ambiente, la salud, el consumo, la
igualdad entre los sexos o la convivencia
pacífica.
Competencia
matemática
y
tecnología.
16
Sentido de
emprendedor.
iniciativa
y
espíritu
Conciencia y expresiones culturales.
Aprender a aprender
3. COMPETENCIAS
LAS COMPETENCIAS CLAVE EN EL CURRÍCULO DE LA LOMCE
La adquisición de competencias es un largo proceso que abarca toda la vida de
cada ser humano. Se inicia en la etapa académica y prosigue en la vida adulta. Pero los
años de formación escolar son fundamentales para el posterior desarrollo personal,
social y profesional.
Precisamente para favorecer al máximo este desarrollo, se han identificado un
grupo de siete competencias, que, por su rol vertebrador, se han denominado como
Competencias Clave:
– Competencia lingüística
– Competencia matemática y competencia básicas en ciencia y tecnología
– Competencia digital
– Aprender a aprender
– Competencias sociales y cívicas
– Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor
– Conciencia y expresiones culturales
COMUNICACIÓN LINGÜÍSTICA
La competencia en comunicación lingüística es el resultado de la acción
comunicativa en un contexto social y cultural determinado.
Es una competencia compleja que incluye tanto aspectos propiamente lingüísticos
como sociales, culturales y prácticos.
Su desarrollo se articula en torno a cinco componentes relacionados con sus
ámbitos de aplicación o dimensiones:
– El componente lingüístico se centra, principalmente, en las dimensiones
léxica, gramatical, semántica, fonológica, ortográfica y ortoépica.
– El componente pragmático-discursivo contempla las dimensiones relacionadas
con la aplicación del lenguaje y los discursos en contextos comunicativos
concretos.
– El componente sociocultural incluye las dimensiones centradas en el
conocimiento del mundo y la dimensión intercultural.
– El componente estratégico se centra en el desarrollo de destrezas y estrategias
comunicativas para la lectura, la escritura, el habla, la escucha y la conversación.
– El componente personal potencia la actitud, la motivación y los rasgos de la
personalidad a través de la interacción comunicativa.
COMPETENCIA MATEMÁTICA Y COMPETENCIAS BÁSICAS EN CIENCIA Y TECNOLOGÍA
a) La competencia matemática.
La competencia matemática implica la capacidad de aplicar el razonamiento
matemático y sus herramientas para describir, interpretar y predecir distintos fenómenos
en su contexto. Esta competencia requiere de conocimientos sobre:
– Los números, las medidas y las estructuras.
– Las operaciones y las representaciones matemáticas.
17
– La comprensión de los términos y conceptos matemáticos.
La competencia matemática comporta, a su vez, el desarrollo de una serie de
destrezas que se centran en:
– La aplicación de las herramientas y conocimientos matemáticos a distintos
contextos personales, sociales, profesionales o científicos.
– La realización de juicios fundados y de cadenas argumentales en la realización
de cálculos.
– El análisis de gráficos y representaciones matemáticas y la manipulación de
expresiones algebraicas.
Estos conocimientos y destrezas se articulan en cuatro áreas interrelacionadas
entre sí y relativas a los números, el álgebra, la geometría y la estadística:
– La cantidad se centra en la cuantificación de los atributos de los objetos, las
relaciones, las situaciones y las entidades del mundo.
– El espacio y la forma incluyen fenómenos de nuestro entorno visual y físico
como propiedades y posiciones de objetos o descodificación de información
visual.
– El cambio y las relaciones se centra en las relaciones entre los objetos y las
circunstancias en las que dichos objetos se interrelacionan.
– La incertidumbre y los datos son un elemento central del análisis matemático
presente en distintos momentos del proceso de resolución de problemas.
b) Las competencias básicas en ciencia y tecnología
Las competencias básicas en ciencia y tecnología proporcionan un acercamiento al
mundo físico favoreciendo:
– La interacción responsable con el medio natural a través de acciones que
favorezcan la conservación del medio natural.
– El desarrollo del pensamiento científico con la aplicación de los métodos
propios de la racionalidad científica y las destrezas tecnológicas.
Los ámbitos que deben abordarse para la adquisición de las competencias en
ciencias y tecnología son:
– Sistemas físicos, que están asociados al comportamiento de las sustancias en
el ámbito fisicoquímico.
– Sistemas biológicos propios de los seres vivos dotados de una complejidad
orgánica que es preciso conocer para preservarlos y evitar su deterioro.
– Sistemas de la Tierra y del Espacio desde la perspectiva geológica y
cosmogónica, centrada en el origen del Universo y de la Tierra.
– Sistemas tecnológicos derivados, básicamente, de la aplicación de los saberes
científicos a los usos cotidianos de instrumentos, máquinas y herramientas.
COMPETENCIA DIGITAL
La competencia digital implica el uso creativo, crítico y seguro de las tecnologías de
la información y la comunicación para favorecer su uso en el entorno laboral, potenciar
el aprendizaje, gestionar el tiempo libre y contribuir a la participación en la sociedad.
Para alcanzar estos fines, el desarrollo de la competencia se articula en torno a los
siguientes ámbitos:
– La información, particularmente la gestión de la información, el conocimiento
de los soportes a través de los cuales se difunde y el uso de motores de
búsqueda.
18
– La comunicación, desarrollando el conocimiento de los medios de
comunicación digita y la utilización de paquetes de software de comunicación
– La creación de contenido, centrándose en el uso de diversos formatos (texto,
audio, vídeo, imágenes) y programas/aplicaciones para crear contenidos.
– La seguridad, que implica conocer los riesgos asociados al uso de las
tecnologías o de recursos online y las estrategias o actitudes adecuadas para
evitarlos
– La resolución de problemas, centrada en el uso de dispositivos digitales para
resolver problemas y la identificación de fuentes para buscar ayuda teórica o
práctica.
APRENDER A APRENDER
La competencia aprender a aprender se caracteriza por la habilidad para iniciar,
organizar y persistir en el aprendizaje.
Es una competencia fundamental para facilitar el aprendizaje a lo largo de la vida y
se articula en torno a:
– La capacidad para motivarse a aprender, que depende de la curiosidad y la
conciencia de la necesidad de aprender del alumnado.
– La organización y gestión del aprendizaje, que requiere conocer y controlar los
propios procesos de aprendizaje en la realización de las tareas de aprendizaje.
A su vez, la organización y gestión del aprendizaje se desarrolla a través de dos
aspectos clave de la competencia para aprender a aprender:
– La comprensión de procesos mentales implicados en el aprendizaje: qué se sabe
o desconoce y el conocimiento de disciplinas y estrategias para realizar una
tarea.
– La adquisición de destrezas de autorregulación y control fundamentados en el
desarrollo de estrategias de planificación, revisión y evaluación.
COMPETENCIAS SOCIALES Y CÍVICAS
a) La competencia social
La competencia social se relaciona con el bienestar personal y colectivo en relación
a la salud, tanto física como mental, y al estilo de vida saludable que la favorece.
Esta competencia está estrechamente ligada a los entornos sociales inmediatos del
alumnado y se articula a través de:
– Los conocimientos que permitan comprender y analizar de manera crítica los
códigos de conducta y los usos de distintas sociedades y entornos.
– La comprensión de conceptos básicos relativos al individuo, al grupo, a la
organización del trabajo, la igualdad y la nodiscriminación.
– El reconocimiento de las dimensiones intercultural y socioeconómica de las
sociedades europeas.
La competencia cívica
La competencia cívica se basa en el conocimiento de los conceptos de democracia,
justicia, igualdad, ciudadanía y derechos civiles. Este conocimiento comporta a su vez:
– La comprensión cómo se formulan dichos conceptos en la Constitución, la Carta
de los Derechos Fundamentales de la UE y otras declaraciones internacionales.
– La aplicación de dichos conceptos en diversas instituciones a escala local,
regional, nacional, europea e internacional.
19
– La identificación de los acontecimientos contemporáneos más destacados y la
comprensión de procesos sociales y culturales de la sociedad actual.
La competencia cívica comporta, a su vez, el desarrollo de una serie de destrezas
que se centran en:
– La habilidad para interactuar eficazmente en el ámbito público y para manifestar
solidaridad e interés por resolver los problemas que afecten a la comunidad.
– La reflexión crítica y creativa y la participación constructiva en las actividades
de la comunidad o del ámbito mediato e inmediato.
– La toma de decisiones en los contextos local, nacional o europeo y, en
particular, mediante el ejercicio del voto y de la actividad social y cívica.
SENTIDO DE INICIATIVA Y ESPÍRITU EMPRENDEDOR
La competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor implica la capacidad de
transformar las ideas en actos, para lo que se requiere:
– Adquirir conciencia de la situación a intervenir o resolver.
– Planificar y gestionar los conocimientos, destrezas o habilidades y actitudes
necesarios con criterio propio, con el fin de alcanzar el objetivo previsto.
Estos fines se alcanzan en la competencia sentido de iniciativa y espíritu
emprendedor a través de los siguientes ámbitos:
– La capacidad creadora y de innovación centrada en el desarrollo de la
creatividad, el autoconocimiento, la autonomía, el esfuerzo y la iniciativa.
– La capacidad proactiva para gestionar proyectos que implica destrezas como
la planificación, la gestión y toma de decisiones o la resolución de problemas.
– La capacidad para gestionar el riesgo y manejar la incertidumbre en diferentes
contextos y situaciones.
– Las cualidades de liderazgo y de trabajo, tanto individual como formando parte
o liderando un equipo.
– El sentido crítico y de la responsabilidad, en especial en lo que a la asunción
de las propias responsabilidades se refiere.
CONCIENCIA Y EXPRESIONES CULTURALES
La competencia en conciencia y expresiones culturales se articula en torno a los
siguientes aspectos:
– Conocer las manifestaciones culturales y artísticas valorándolas como una
fuente de enriquecimiento personal y como parte del patrimonio de los pueblos.
– Desarrollar la propia capacidad estética y creadora vinculada al dominio de las
capacidades relacionadas con distintos códigos artísticos y culturales.
Estos aspectos de la competencia s en conciencia y expresiones culturales e
desarrolla a su vez a través
– El conocimiento de géneros, estilos, técnicas y lenguajes artísticos,
– El desarrollo de la capacidad e interés por expresarse y comunicar ideas.
– La potenciación de la iniciativa, la creatividad y la imaginación.
– El interés por las obras artísticas y la participación en la vida cultural del
entorno.
– La capacidad de esfuerzo y la disciplina necesarias para la producción artística.
20
4. METODOLOGÍA
Trabajar de manera competencial en el aula supone un cambio metodológico
importante; el docente pasa a ser un gestor de conocimiento del alumnado y el alumno
adquiere un mayor grado de protagonismo.
La competencia matemática es una capacidad en la que intervienen múltiples factores:
conocimientos específicos de la materia, formas de pensamiento, hábitos, destrezas,
actitudes, etc. Todos ellos están íntimamente entreverados y enlazados de modo que,
lejos de ser independientes, la consecución de cada uno es concomitante con la de los
demás. La finalidad fundamental de la enseñanza de las matemáticas es el desarrollo
de la facultad de razonamiento y de abstracción.
Se propugna un aprendizaje constructivista: quien aprende lo hace construyendo sobre
lo que ya domina. Para ello, cada nuevo elemento de aprendizaje debe engranar, tanto
por su grado de dificultad como por su oportunidad, con el nivel de conocimientos del
que aprende. Se deben aunar niveles de partida sencillos, muy asequibles para la
práctica totalidad del alumnado, con una secuencia de dificultad que permite encaminar
a los alumnos y a las alumnas más destacadas en actividades que les supongan
verdaderos retos.
Es importante la vinculación a contextos reales de los trabajos propuestos, así como
generar posibilidades de aplicación de los contenidos adquiridos. Las tareas
competenciales facilitan este aspecto, que se podría complementar con proyectos de
aplicación de los contenidos.
Por otro lado, cada estudiante parte de unas potencialidades que definen sus
inteligencias predominantes; enriquecer las tareas con actividades que se desarrollen
desde la teoría de las inteligencias múltiples facilita que todos los estudiantes puedan
llegar a comprender los contenidos que se pretende que adquieran.
En cuanto a la metodología didáctica, será el profesor quien decida la más adecuada en
cada momento para poder adaptarse a cada grupo de estudiantes y así rentabilizar al
máximo los recursos disponibles.
21
La adquisición de los conceptos se hará de forma intuitiva, adquiriendo rigor matemático
a medida que el alumnado avanza. Al mismo tiempo, se deberán trabajar destrezas
numéricas básicas y el desarrollo de competencias geométricas, así como estrategias
personales que les permitan enfrentarse a diversas situaciones problemáticas de la vida
cotidiana.
Debemos conseguir también que los alumnos sepan expresarse oral, escrita y
gráficamente con un vocabulario específico de términos y notaciones matemáticas.
Por otra parte, la resolución de problemas debe contemplarse como una práctica
habitual y diaria integrada en el día a día del aprendizaje de las matemáticas.
Así mismo, es importante la propuesta de trabajos en grupo colaborativo ante problemas
que estimulen la curiosidad y la reflexión del alumnado, ya que, además del
entrenamiento de habilidades sociales básicas y enriquecimiento personal desde la
diversidad, permiten desarrollar estrategias de defensa de sus argumentos frente a los
de sus compañeros y compañeras y seleccionar la respuesta más adecuada para la
situación problemática planteada.
Cada alumno deberá tener un "CUADERNO DE MATEMÁTICAS" donde se recojan
todas las actividades del curso y el profesor lo podrá exigir en cualquier momento. El
cuaderno deberá ser ordenado, claro y limpio. Se tendrá en cuenta el orden, la claridad
y la limpieza en 1º de E.S.O. donde se calificará (hasta 1 punto) para la nota de cada
evaluación.
Se realiza una prueba inicial en 1º y 3º de ESO, para que el profesor evalúe las
competencias de los nuevos alumnos del Instituto, la semana del 21 al 25 de septiembre.
En páginas web disponemos de diferentes presentaciones, simulaciones y actividades
interactivas que constituyen un apoyo eficaz para el estudio, en muchos casos, para la
ampliación de contenidos.
Destacamos la presencia de actividades interactivas de Geogebra, y el uso de
programas informáticos como: Geogebra, Wiris, hojas de cálculo y Derive
22
PROGRAMACIÓN
Matemáticas
1º ESO
Libro de texto:
MATEMÁTICAS 1 ESO (Serie Resuelve)
Proyecto: SABER HACER
EDITORIAL SANTILLANA
23
El área de Matemáticas (1º ESO)
Las Matemáticas constituyen una forma de mirar e interpretar el mundo que nos rodea,
reflejan la capacidad creativa, expresan con precisión conceptos y argumentos,
favorecen la capacidad para aprender a aprender y contienen elementos de gran
belleza. Sin olvidar además el carácter instrumental que las Matemáticas tienen como
base fundamental para la adquisición de nuevos conocimientos en otras disciplinas,
especialmente en el proceso científico y tecnológico y como fuerza conductora en el
desarrollo de la cultura y las civilizaciones.
En la actualidad los ciudadanos se enfrentan a multitud de tareas que
entrañan conceptos de carácter cuantitativo, espacial, probabilístico, etc. La
información recogida en los medios de comunicación se expresa
habitualmente en forma de tablas, fórmulas, diagramas o gráficos que
requieren de conocimientos matemáticos para su correcta comprensión. Los
contextos en los que aparecen son múltiples: los propiamente matemáticos,
economía, tecnología, ciencias naturales y sociales, medicina, comunicaciones,
deportes, etc., por lo que es necesario adquirir un hábito de pensamiento
matemático que permita establecer hipótesis y contrastarlas, elaborar
estrategias de resolución de problemas y ayudar en la toma de decisiones
adecuadas, tanto en la vida personal como en su futura vida profesional. Las
Matemáticas contribuyen de manera especial al desarrollo del pensamiento y
razonamiento, en particular, el pensamiento lógico-deductivo y algorítmico, al
entrenar la habilidad de observación e interpretación de los fenómenos,
además de favorecer la creatividad o el pensamiento geométrico-espacial.
La asignatura de Matemáticas contribuye especialmente al desarrollo de la
competencia matemática, reconocida como clave por la Unión Europea. Esta
se entiende como habilidad para desarrollar y aplicar el razonamiento
matemático con el fin de resolver diversos problemas en situaciones
cotidianas. Concretamente engloba los siguientes aspectos y facetas: pensar
matemáticamente, plantear y resolver problemas, modelar matemáticamente,
razonar matemáticamente, representar entidades matemáticas, utilizar los
símbolos matemáticos, comunicarse con las Matemáticas y sobre las
Matemáticas, y utilizar ayudas y herramientas tecnológicas. Además, el
pensamiento matemático ayuda a la adquisición del resto de competencias.
Por tanto, las Matemáticas dentro del currículo favorecen el progreso en la
adquisición de la competencia matemática a partir del conocimiento de los
contenidos y su amplio conjunto de procedimientos de cálculo, análisis,
medida y estimación de los fenómenos de la realidad y de sus relaciones, como
instrumento imprescindible en el desarrollo del pensamiento de los individuos
y componente esencial de comprensión, modelización y transformación de los
fenómenos de la realidad.
Por otra parte, las Matemáticas contribuyen a la formación intelectual del
alumnado, lo que les permitirá desenvolverse mejor tanto en el ámbito
personal como social.
24
La resolución de problemas y los proyectos de investigación constituyen ejes
fundamentales en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas.
La habilidad de formular, plantear, interpretar y resolver problemas es una de
las capacidades esenciales de la actividad matemática ya que permite a las
personas emplear los procesos cognitivos para abordar y resolver situaciones
interdisciplinares reales, lo que resulta de máximo interés para el desarrollo
de la creatividad y el pensamiento lógico. En este proceso de resolución e
investigación están involucradas muchas otras competencias, además de la
matemática. Entre otras, la comunicación lingüística, al leer de forma
comprensiva los enunciados y comunicar los resultados obtenidos; el sentido
de iniciativa y emprendimiento al establecer un plan de trabajo en revisión y
modificación continua en la medida que se va resolviendo el problema; la
competencia digital, al tratar de forma adecuada la información y, en su caso,
servir de apoyo a la resolución del problema y comprobación de la solución o
la competencia social y cívica, al implicar una actitud abierta ante diferentes
soluciones.
Partiendo de los hechos concretos hasta lograr alcanzar otros más abstractos,
la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas permite al alumnado
adquirir los conocimientos matemáticos, familiarizarse con el contexto de
aplicación de los mismos y desarrollar procedimientos para la resolución de
problemas.
Los nuevos conocimientos que deben adquirirse tienen que apoyarse en los ya
conseguidos. Los contextos deben ser elegidos para que el alumnado se
aproxime al conocimiento de forma intuitiva mediante situaciones cercanas al
mismo e ir adquiriendo cada vez mayor complejidad, ampliando
progresivamente su aplicación a problemas relacionados con fenómenos
naturales y sociales y a otros contextos menos cercanos a su realidad
inmediata.
A lo largo de las distintas etapas educativas, el alumnado debe progresar en la
adquisición de las habilidades de pensamiento matemático; concretamente en
la capacidad de analizar e investigar, interpretar y comunicar
matemáticamente diversos fenómenos y problemas en distintos contextos, así
como de proporcionar soluciones prácticas a los mismos. También debe
desarrollar actitudes positivas hacia el conocimiento matemático tanto para el
enriquecimiento personal como para la valoración de su papel en el progreso
de la humanidad.
El currículo básico de Matemáticas no debe verse como un conjunto de
bloques independientes. Es necesario que se desarrolle de forma global
pensando en las conexiones internas de la asignatura tanto a nivel de curso
como entre las distintas etapas.
En el desarrollo del currículo básico de la asignatura de Matemáticas se
pretende que los conocimientos, las competencias y los valores estén
integrados; de esta manera, los estándares de aprendizaje evaluables se han
formulado teniendo en cuenta la imprescindible relación entre dichos
elementos.
El bloque de “Procesos, métodos y actitudes en Matemáticas” es un bloque
común a la etapa y transversal que debe desarrollarse simultáneamente al
resto de bloques de contenido y que es el eje fundamental de la asignatura. Se
articula sobre procesos básicos e imprescindibles en el quehacer matemático:
25
la resolución de problemas, proyectos de investigación matemática, la
matematización y modelización, las actitudes adecuadas para desarrollar el
trabajo científico y la utilización de medios tecnológicos.
Los bloques de contenidos que se abordan en Matemáticas son los siguientes:
 Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas.
 Bloque 2. Números y Álgebra.
 Bloque 3. Geometría.
 Bloque 4. Funciones.
 Bloque 5. Estadística y probabilidad.
Los contenidos, los criterios de evaluación y los estándares de aprendizaje aparecen
organizados en bloques.
OBJETIVOS POR TEMAS: PRIMER CURSO DE ESO
TEMA 1
– Comparar diferentes sistemas de numeración.
– Reconocer las características de los sistemas de numeración decimal y romano.
– Aplicar el orden de los números naturales en situaciones cotidianas.
– Representar números naturales en una semirrecta.
– Realizar operaciones básicas con números naturales.
– Leer y escribir potencias.
– Calcular raíces cuadradas.
– Calcular expresiones con operaciones combinadas.
– Aplicar métodos de resolución de problemas.
TEMA 2
– Reconocer y obtener múltiplos y divisores de un número.
– Aplicar los criterios de divisibilidad.
– Reconocer números primos y compuestos.
– Descomponer un número en factores primos.
– Obtener los divisores de un número.
– Calcular los divisores o los múltiplos comunes de dos o más números.
26
TEMA 3
– Reconocer el conjunto de los números enteros.
– Representar números enteros en la recta numérica.
– Hallar el valor absoluto de un número.
– Ordenar números enteros.
– Realizar operaciones básicas con números enteros.
– Aplicar las propiedades de las operaciones.
– Calcular potencias y raíces cuadradas de números enteros.
– Calcular expresiones con operaciones combinadas.
– Resolver problemas en los que intervienen números enteros.
TEMA 4
– Reconocer los diferentes significados de una fracción.
– Diferenciar fracciones propias, fracciones impropias y números mixtos.
– Identificar y obtener fracciones equivalentes.
– Representar fracciones en la recta numérica.
– Reducir fracciones a común denominador.
– Realizar operaciones básicas con fracciones.
– Calcular potencias y raíces cuadradas con fracciones.
– Realizar operaciones combinadas en expresiones con fracciones.
– Resolver problemas en los que intervienen fracciones.
TEMA 5
– Reconocer las unidades decimales y las partes de un número decimal.
– Identificar las clases de números decimales.
– Representar números decimales en la recta numérica.
– Ordenar números decimales.
– Aproximar números decimales por truncamiento y por redondeo.
– Calcular el error cometido en una aproximación.
– Realizar operaciones básicas con números decimales.
– Calcular potencias y raíces cuadradas con números decimales.
– Realizar operaciones combinadas en expresiones con números decimales.
– Resolver problemas en los que intervienen números decimales.
TEMA 6
– Utilizar números y letras para expresar relaciones.
– Calcular el valor de una expresión algebraica.
– Reconocer las partes de un monomio.
– Realizar operaciones con monomios.
27
– Distinguir entre ecuaciones e identidades.
– Resolver una ecuación aplicando un algoritmo general.
– Resolver ecuaciones con paréntesis.
– Resolver ecuaciones con denominadores.
– Resolver problemas utilizando ecuaciones.
TEMA 7
– Reconocer magnitudes y unidades.
– Realizar cambios de unidades del SMD
TEMA 8
– Distinguir los elementos característicos de una razón y de una proporción.
– Aplicar las propiedades de las proporciones.
– Reconocer magnitudes directamente proporcionales.
– Realizar cálculos con magnitudes directamente proporcionales.
– Resolver problemas de proporcionalidad directa.
– Calcular porcentajes.
– Resolver problemas de descuentos y aumentos porcentuales.
– Aplicar escalas de reducción y de ampliación.
– Reconocer magnitudes inversamente proporcionales.
– Resolver problemas de proporcionalidad inversa.
TEMA 9
– Distinguir y relacionar puntos, rectas y planos.
– Reconocer semirrectas, segmentos y semiplanos.
– Identificar los elementos de un ángulo.
– Clasificar ángulos según su amplitud.
– Realizar sumas y restas de ángulos.
– Reconocer y nombrar parejas de ángulos según su relación.
– Dibujar la mediatriz de un segmento.
– Trazar la bisectriz de un ángulo.
– Medir ángulos utilizando el sistema sexagesimal.
– Operar con medidas de ángulos.
– Resolver problemas con unidades sexagesimales.
TEMA 10
– Reconocer y nombrar los elementos de un polígono.
– Clasificar polígonos aplicando diversos criterios.
– Calcular el número de diagonales de un polígono cóncavo.
28
– Determinar la suma de los ángulos interiores de un polígono.
– Clasificar triángulos según sus lados y según sus ángulos.
– Aplicar los criterios de igualdad de triángulos.
– Construir triángulos conocidos determinados elementos.
– Identificar rectas y puntos notables de un triángulo.
– Aplicar el teorema de Pitágoras.
– Clasificar y nombrar cuadriláteros.
– Construir cuadriláteros.
– Resolver problemas de geometría por el método de descomposición.
TEMA 11
– Identificar los elementos geométricos propios de la circunferencia.
– Reconocer las posiciones relativas de un punto y una circunferencia, de una recta
y una circunferencia y de dos circunferencias.
– Identificar y representar diferentes tipos de ángulos en una circunferencia.
– Reconocer circunferencias inscritas y circunscritas a un polígono.
– Realizar construcciones geométricas utilizando la circunferencia.
– Representar e identificar las figuras circulares.
– Reconocer figuras geométricas identificando ejes de simetría o puntos de simetría.
– Analizar la simetría de los polígonos regulares.
– Resolver problemas de geometría aplicando las propiedades de los polígonos y la
circunferencia.
TEMA 12
– Determinar el área de una figura plana utilizando medidas directas e indirectas.
– Calcular el área del rectángulo y el cuadrado aplicando las fórmulas
correspondientes.
– Deducir la fórmula del área del romboide a partir de la del rectángulo.
– Obtener el área del triángulo y del rombo considerando la fórmula del área del
romboide.
– Deducir las fórmulas del área del trapecio y del trapezoide.
– Obtener y aplicar la fórmula del área de un polígono regular.
– Utilizar la triangulación para calcular el área de un polígono irregular.
– Calcular la longitud de la circunferencia.
– Deducir la fórmula del área del círculo.
– Calcular el área de las figuras circulares.
– Determinar el área de figuras planas complejas.
– Determinar y aplicar la razón de semejanza entre polígonos.
– Resolver problemas de geometría relacionados con el cálculo de áreas de figuras
planas.
29
TEMA 13
– Representar puntos en el plano utilizando coordenadas cartesianas.
– Expresar una función utilizando una tabla de valores, una fórmula o una gráfica.
– Representar la gráfica de una función dada por una tabla o por una fórmula.
– Identificar los puntos de corte con los ejes de una función.
– Analizar la continuidad o discontinuidad de una función.
– Indicar el crecimiento o decrecimiento de una función.
– Identificar los máximos y mínimos relativos de una función.
– Reconocer la fórmula, la gráfica y la pendiente de una función lineal.
– Reconocer la fórmula, la gráfica y la pendiente de una función afín.
TEMA 14
– Reconocer la población, la muestra y la variable de un estudio estadístico.
– Clasificar una variable estadística según sea cualitativa, cuantitativa, discreta o
continua.
– Utilizar tablas para indicar las frecuencias absoluta y relativa de una variable
estadística.
– Calcular la media aritmética, la mediana y la moda de una muestra estadística.
– Interpretar y dibujar diagramas de barras y diagramas de sectores.
– Diferenciar entre experimentos deterministas y aleatorios.
– Aplicar la regla de Laplace para determinar la probabilidad de un suceso.
– Resolver problemas utilizando esquemas.
30
1ª EVALUACIÓN
UNIDAD 1. Números Naturales
OBJETIVOS CURRICULARES
a) Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto a
los demás, practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad entre las personas y
grupos, ejercitarse en el diálogo afianzando los derechos humanos como valores
comunes de una sociedad plural y prepararse para el ejercicio de la ciudadanía
democrática.
b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo
como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y
como medio de desarrollo personal.
d) Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y en sus
relaciones con los demás, así como rechazar la violencia, los prejuicios de cualquier
tipo, los comportamientos sexistas y resolver pacíficamente los conflictos.
e) Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con sentido
crítico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una preparación básica en el campo de las
tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación.
PUNTO DE PARTIDA DE LA UNIDAD

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer el sistema de numeración decimal y
la numeración romana, estableciendo equivalencias entre ambos sistemas. Deben
resolver operaciones de aproximación de números naturales. Los alumnos resolverán,
según las reglas, operaciones combinadas con números naturales, con potencias y con
raíces, así como con paréntesis; aplicarán los cálculos a la resolución de problemas.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen los números naturales y sus
operaciones básicas, así como el cálculo elemental de potencias. Identifican algunos
números romanos y saben expresar sus equivalencias con los números naturales.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para aplicar el
orden correcto de las operaciones con paréntesis, sumas, restas, multiplicaciones y
divisiones. Prevenir para que no confundan el orden correcto de resolución,
especialmente, cuando hay paréntesis.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 1. PROCESOS,
MÉTODOS Y
ACTITUDES EN
MATEMÁTICAS

Planificación del
proceso de resolución
de problemas.
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD


Propiedades de las
operaciones con números
naturales; propiedades de
la suma y la multiplicación;
propiedades de la resta y la
división.
Potencias de números
naturales. Operaciones con
31
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar procesos de
razonamiento y estrategias de
resolución de problemas,
realizando los cálculos
necesarios y comprobando las
soluciones obtenidas.
B1-6. Desarrollar procesos de
matematización en contextos de

Práctica de los procesos
de matematización y
modelización, en
contextos de la realidad
y en contextos
matemáticos.
BLOQUE 2. NÚMEROS
Y ÁLGEBRA






Números enteros.
Representación,
ordenación en la recta
numérica y operaciones.
Operaciones con
calculadora.
enteros y fraccionarios
con exponente natural.
Operaciones.
Potencias de base 10.
Utilización de la
notación científica para
representar números
grandes.
Cuadrados perfectos.
Raíces cuadradas.
Estimación y obtención
de raíces aproximadas.
Jerarquía de las
operaciones.
Elaboración y utilización
de estrategias para el
cálculo mental, para el
cálculo aproximado y
para el cálculo con
calculadora u otros
medios tecnológicos.






potencias. Potencias de
base 10; descomposición
polinómica de un número.
Producto y cociente de
potencias de la misma
base; potencias de
exponente 1 y 0; potencia
de una potencia; potencia
de un producto y de un
cociente. Expresar
productos y cocientes de
potencias como una sola
potencia.
la realidad cotidiana (numéricos,
geométricos, funcionales,
estadísticos o probabilísticos) a
partir de la identificación de
problemas en situaciones
problemáticas de la realidad.
Sistema de numeración;
sistema de numeración
decimal; sistema de
numeración romano.
Aproximación de números.
Aproximación de números
naturales; aproximación por
truncamiento; aproximación
por redondeo.
Propiedades de las
naturales; propiedades de
la suma y la multiplicación;
propiedades de la resta y la
división.
naturales. Operaciones con
potencias. Potencias de
base 10; descomposición
polinómica de un número.
Producto y cociente de
base; potencias de
exponente 1 y 0; potencia
de una potencia; potencia
de un producto y de un
cociente. Expresar
productos y cocientes de
potencias como una sola
potencia.
Raíz cuadrada; raíz
cuadrada exacta; raíz
cuadrada entera.
Operaciones combinadas
con potencias y raíces.
B2-1. Utilizar números naturales,
enteros, fraccionarios, decimales
y porcentajes sencillos, sus
operaciones y propiedades para
recoger, transformar e
intercambiar información y
resolver problemas relacionados
con la vida diaria.
32
B2-2. Conocer y utilizar
propiedades y nuevos
significados de los números en
contextos de paridad, divisibilidad
y operaciones elementales,
mejorando así la comprensión
del concepto y de los tipos de
números.
B2-3. Desarrollar, en casos
sencillos, la competencia en el
uso de operaciones combinadas
como síntesis de la secuencia de
operaciones aritméticas,
aplicando correctamente la
jerarquía de las operaciones o
estrategias de cálculo mental.
BLOQUE 1. PROCESOS, MÉTODOS Y ACTITUDES EN MATEMÁTICAS
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
cálculos necesarios
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
problemáticas de la
realidad.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B1-2.1. Analiza y
comprende el
enunciado de los
problemas (datos,
relaciones entre los
datos, contexto del
problema).

B1-6.1. Identifica
situaciones
realidad,
susceptibles de
contener problemas
de interés.

B1-6.2. Establece
conexiones entre
un problema del
mundo real y el
mundo matemático:
identificando el
problema o
problemas
matemáticos que
subyacen en él y
los conocimientos
matemáticos
necesarios.

Comprende la
situación planteada
en el enunciado de
problemas con
números naturales;
y responde a las
preguntas que se le
formulan,
empleando números
y datos relacionados
entre sí.
Comprende la
en el enunciado de
problemas con
números potencias y
raíces de números
naturales; y
responde a las
preguntas que se le
formulan,
empleando números
y datos relacionados
entre sí.
Comprende la
en un problema,
investiga; y
responde a las
preguntas que se le
formulan,
empleando
números, datos y
tomando decisiones
relacionadas con la
vida cotidiana.
33
COMPETEN
CIAS
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
BLOQUE 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-1. Utilizar
números naturales,
enteros,
fraccionarios,
decimales y
porcentajes
sencillos, sus
operaciones y
propiedades para
recoger,
transformar e
intercambiar
información y
resolver problemas
relacionados con la
vida diaria.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B2-1.1. Identifica
los distintos tipos
de números
(naturales, enteros,
fraccionarios y
decimales) y los
utiliza para
representar,
ordenar e
interpretar
adecuadamente la
información
cuantitativa.

Lee, escribe,
compone y
descompone números
naturales, según sus
órdenes de unidades.

Lee y escribe
números romanos y
sus equivalentes en el
sistema de
numeración decimal.
B2-1.2. Calcula el
valor de
expresiones
numéricas de
distintos tipos de
números mediante
las operaciones
elementales y las
potencias de
exponente natural
aplicando
correctamente la
jerarquía de las
operaciones.

Realiza operaciones
con números
naturales y aproxima
números naturales
por truncamiento y
por redondeo.

Resuelve
operaciones,
aplicando la jerarquía,
en las que aplica las
propiedades de la
suma, la
multiplicación, la resta
y la división de
números naturales.
Calcula el valor de
potencias de números
naturales y utiliza las
potencias de base 10
para realizar la
descomposición
polinómica de un
número.


Utiliza correctamente
la calculadora para
resolver potencias
sencillas.
34
COMPETE
NCIAS
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
CD
AA
BLOQUE 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA (CONTINUACIÓN)
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-2. Conocer y
utilizar propiedades
y nuevos
significados de los
números en
contextos de
paridad,
divisibilidad y
operaciones
elementales,
mejorando así la
comprensión del
concepto y de los
tipos de números.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B2-2.4. Realiza
cálculos en los que
intervienen
potencias de
exponente natural y
aplica las reglas
básicas de las
operaciones con
potencias.



B2-3. Desarrollar,
en casos sencillos,
la competencia en
el uso de
operaciones
combinadas como
síntesis de la
secuencia de
operaciones
aritméticas,
aplicando
correctamente la
jerarquía de las
operaciones o
estrategias de
cálculo mental.
B2-3.1. Realiza
operaciones
combinadas entre
números enteros,
decimales y
fraccionarios, con
eficacia, bien
mediante el cálculo
mental, algoritmos
de lápiz y papel,
calculadora o
medios
tecnológicos
utilizando la
notación más
adecuada y
respetando la
jerarquía de las
operaciones.


Realiza correctamente
operaciones con
producto y cociente de
base; potencias de
exponente 1 y 0;
potencia de una
potencia; potencia de
un producto y de un
cociente, aplicando las
reglas básicas y
expresando el resultado
como una sola
potencia.
Calcula correctamente
la raíz cuadrada exacta
y la raíz cuadrada
entera, expresando el
resultado del resto con
precisión.
Utiliza correctamente la
calculadora para
resolver raíces
cuadradas sencillas.
Resuelve
correctamente
operaciones
combinadas con
sumas, restas,
multiplicaciones y
divisiones de números
naturales, y con
paréntesis.
Realiza correctamente
operaciones
combinadas con
potencias, raíces
sumas, restas,
multiplicaciones y
divisiones de números
naturales, y con
paréntesis.
35
COMPET
ENCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CL
CMCT
AA
CSC
Comprensión lectora. Texto inicio de la unidad: El teléfono (págs. 6
y 7).
Expresión oral y escrita. Reflexión y aplicación del uso del teléfono
en la vida cotidiana, en función de las cifras posibles de un número
incompleto (pág. 26).
Comunicación audiovisual. El teléfono (págs. 6, 7, 26 y 27);
Imágenes de niños explicando diversos conceptos matemáticos
(págs. 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16 y 18); Cuadros explicativos de
conceptos matemáticos con ejemplos (págs. 11, 12, 13, 14, 16 y 18).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
El tratamiento de las tecnologías de la Información y de la
Comunicación. Manejo del teléfono (págs. 7 y 26) y utilizar la
calculadora (págs. 11, 17 y 26).
Emprendimiento. Expresar productos y cocientes de potencias con
una sola potencia (pág. 15); Calcular la raíz cuadrada de un número
(pág. 17); Realizar operaciones combinadas con potencias y raíces
(pág. 19); Calcular el divisor de una división en la que conocemos el
dividendo, el cociente y el resto (pág. 21); Calcular el radicando de
una raíz conociendo su raíz entera y su resto (pág. 23); Resolver
problemas en que los datos están relacionados (pág. 24) y Proyecto
final: Comprar un teléfono y contratar una tarifa acorde con tus
necesidades (pág. 27).
Educación cívica y constitucional. Saber algunos números de
teléfono importantes: emergencias, policía, etc. (pág. 26).
Valores personales. El cuidado de los objetos de uso personal: la
agenda de teléfono (pág. 26).
UNIDAD 2. Divisibilidad
b)
Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como
condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de
desarrollo personal.
f) Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se estructura en distintas
disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar los problemas en los diversos
campos del conocimiento y de la experiencia.
g) Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación, el sentido crítico,
la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar, tomar decisiones y asumir
responsabilidades.
36

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben comprender el concepto de divisibilidad; sabrán
calcular los múltiplos y los divisores de un número; diferenciarán y definirán correctamente los
números primos y los números compuestos. Sabrán descomponer un número en producto de
factores primos y calcularán el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Aplicarán todos
los conocimientos numéricos y del cálculo a la resolución de problemas.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen los números naturales y sus operaciones
básicas. Realizan operaciones combinadas y saben calcular y expresar expresiones equivalentes
a una expresión dada.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para comprender
las ventajas de expresar un número compuesto en forma de producto de números primos.
Prevenir mediante la resolución de actividades y su aplicación práctica, apoyadas en
pautas y ejemplos.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
CONTENIDOS DE LA UNIDAD
BLOQUE 1. PROCESOS,
MÉTODOS Y
ACTITUDES
MATEMÁTICAS

Divisibilidad.

Múltiplos de un número.

Divisores de un número.


Números primos y compuestos.

Descomposición de un número
factores.

Máximo común divisor.

Mínimo común múltiplo.

Estrategias y
procedimientos puestos
en práctica: uso del
lenguaje apropiado
(gráfico, numérico,
algebraico, etc.),
reformulación del
problema, resolver
subproblemas, recuento
exhaustivo, empezar por
casos particulares
sencillos, buscar
regularidades y leyes,
etc.
Reflexión sobre los
resultados: revisión de
las operaciones
utilizadas, asignación de
unidades a los
resultados,
comprobación e
interpretación de las
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
razonamiento y
estrategias de resolución
de problemas, realizando
los cálculos necesarios y
comprobando las
B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
cotidiana (numéricos,
estadísticos o
probabilísticos) a partir
de la identificación de
realidad.
B1-8. Desarrollar y
cultivar las actitudes
personales inherentes al
quehacer matemático.
37

soluciones en el
contexto de la situación,
búsqueda de otras
formas de resolución,
etc.
modelización, en
y en contextos
matemáticos.
BLOQUE 2. NÚMEROS
Y ÁLGEBRA



Divisibilidad de los
números naturales.
Criterios de divisibilidad.
Números primos y
compuestos.
Descomposición de un
número en factores
primos.
Múltiplos y divisores
comunes a varios
números. Máximo
común divisor y mínimo
común múltiplo de dos o
más números naturales.

Divisibilidad.

Múltiplos de un número.

Divisores de un número.

Números primos y compuestos.

Descomposición de un número
factores.

Máximo común divisor.

Mínimo común múltiplo.
significados de los
números en contextos de
paridad, divisibilidad y
operaciones elementales,
mejorando así la
comprensión del
concepto y de los tipos
de números.
B2-4. Elegir la forma de
cálculo apropiada
(mental, escrita o con
calculadora), usando
diferentes estrategias
que permitan simplificar
las operaciones con
números enteros,
fracciones, decimales y
porcentajes y estimando
la coherencia y precisión
de los resultados
obtenidos.
38
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B1-2.1. Analiza y
comprende el
enunciado de los
problemas (datos,
datos, contexto del
problema).

B1-2.2. Valora la
información de un
enunciado y la
relaciona con el
número de
soluciones del
problema.

B1-6.4. Interpreta la
solución
matemática del
problema en el
contexto de la
realidad.

Razona y
comprende el
enunciado de
los problemas,
estableciendo
relaciones entre
los datos y el
contexto del
problema.
Interpreta la
información de
un enunciado y
establece
relaciones con
el número de
soluciones del
problema.
Desarrolla
procesos en el
contexto de la
realidad para
resolver
problemas e
interpreta la
solución
matemática de
los mismos.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
39
(CONTINUACIÓN)
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-8. Desarrollar y
cultivar las
actitudes
personales
inherentes al
quehacer
matemático.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B1-8.3. Distingue
entre problemas y
ejercicios y adopta
la actitud adecuada
para cada caso.

Conoce la diferencia
entre problemas y
ejercicios; los resuelve
en función de sus
características.
COMPET
ENCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-2. Conocer y
y nuevos
significados de los
números en
contextos de
paridad,
divisibilidad y
operaciones
elementales,
mejorando así la
comprensión del
concepto y de los
tipos de números.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B2-2.1. Reconoce
nuevos significados y
propiedades de los
números en contextos
de resolución de
problemas sobre
operaciones
elementales.

B2-2.2. Aplica los
criterios de divisibilidad
por 2, 3, 5, 9 y 11 para
descomponer en
factores primos
números naturales y
los emplea en
ejercicios, actividades
y problemas
contextualizados.

B2-2.3. Identifica y
calcula el máximo
común divisor y el
mínimo común múltiplo
de dos o más números
naturales mediante el
algoritmo adecuado y
lo aplica problemas
contextualizados.

Reconoce nuevos
significados y
propiedades de los
números en
contextos de
resolución de
problemas sobre
paridad, divisibilidad
y operaciones
elementales.
Descompone
números en factores
primos, aplicando
los criterios de
divisibilidad; los
aplica en la práctica.
COMPET
ENCIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
AA
40
Realiza cálculos
relativos al máximo
común divisor y al
mínimo común
múltiplo,
aplicándolos a la
resolución de
problemas.
CL
CMCT
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-4. Elegir la
forma de cálculo
apropiada (mental,
escrita o con
calculadora),
usando diferentes
estrategias que
permitan simplificar
las operaciones con
números enteros,
fracciones,
decimales y
porcentajes y
estimando la
coherencia y
precisión de los
resultados
obtenidos.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-4.2. Realiza
cálculos con
números naturales,
enteros,
fraccionarios y
decimales
decidiendo la forma
más adecuada
(mental, escrita o
con calculadora),
coherente y
precisa.

COMPETENCIAS
Resuelve
cálculos de la
forma más
adecuada, en
función del caso
y de las
necesidades, y
expresa los
resultados de
forma coherente
y precisa.
CL
CMCT
Comprensión lectora. Inventos y descubrimientos tecnológicos. La
grapadora (página 29).
Expresión oral y escrita. Textos de la unidad.
Comunicación audiovisual. Interpretación de imágenes, tablas y
gráficos (páginas 42, 43, 44 y 45).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
El tratamiento de las tecnologías de la información y de la
comunicación. Los materiales tecnológicos para organizar un
debate (página 49).
Emprendimiento. Valorar la compra de una fotocopiadora (página
48).
Educación cívica y constitucional. El debate (página 49).
Valores personales. Pruebas deportivas (página 49).
41
UNIDAD 3. Números enteros
b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer los números enteros, sabrán ordenarlos y
compararlos; realizarán con ellos las operaciones de suma, resta, multiplicación y división.
Conocerán las reglas fundamentales del cálculo con enteros del mismo y de diferente signo.
Realizarán cálculos con operaciones combinadas. Aplicarán estos conocimientos a la
interpretación y resolución de ejercicios y problemas.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen la estructura y las propiedades de los
números naturales, saben realizar operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir, incluyendo la
composición y descomposición de números y hallando el término que falta en una operación.

la prioridad de operaciones al realizar operaciones combinadas sin paréntesis, cuando
hay enteros de diferente signo. Prevenir, mediante la aplicación práctica, y la resolución
de ejemplos o modelos.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 1. PROCESOS,
MÉTODOS Y
ACTITUDES
MATEMÁTICAS


Planificación del
de problemas.
Estrategias y
lenguaje apropiado
algebraico, etc.),
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD

Números enteros.

Comparación de números
enteros.

Suma y resta de dos
números enteros.

Suma y resta de varios
números enteros.

Multiplicación y división de
números enteros.

Operaciones combinadas.
42
CURRICULARES
B1-1. Expresar verbalmente, de
forma razonada el proceso
seguido en la resolución de un
problema.
B1-3. Describir y analizar
situaciones de cambio, para
encontrar patrones,

reformulación del
problema, resolver
casos particulares
sencillos, buscar
etc.
modelización, en
y en contextos
matemáticos.
regularidades y leyes
matemáticas, en contextos
numéricos, geométricos,
funcionales, estadísticos y
probabilísticos, valorando su
utilidad para hacer predicciones.
B1-8. Desarrollar y cultivar las
actitudes personales inherentes
al quehacer matemático.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 2. NÚMEROS
Y ÁLGEBRA




Números negativos.
Significado y utilización
en contextos reales.
Números enteros.
Representación,
Jerarquía de las
operaciones. Cálculos
con porcentajes (mental,
manual, calculadora).
Aumentos y
disminuciones
porcentuales.
calculadora u otros
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD

Números enteros.

Comparación de números
enteros.

Suma y resta de dos
números enteros.

Suma y resta de varios
números enteros.

números enteros.

Operaciones combinadas.
CURRICULARES
con la vida diaria.
números.
B2-4. Elegir la forma de cálculo
apropiada (mental, escrita o con
calculadora), usando diferentes
estrategias que permitan
simplificar las operaciones con
números enteros, fracciones,
decimales y porcentajes y
estimando la coherencia y
precisión de los resultados
obtenidos.
43
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE LOGRO

COMPETE
NCIAS
Comprende la situación planteada
B1-1. Expresar
B1-1.1. Expresa
verbalmente, de forma
en el enunciado de problemas y
razonada el proceso
razonada, el proceso
responde a las preguntas que se le
seguido en la
seguido en la
formulan, empleando números y
resolución de un
resolución de un
datos relacionados entre sí.
problema.
problema, con el rigor y
CL
CMCT
AA
CSC
la precisión adecuada.

B1-2. Utilizar procesos
B1-2.2. Valora la
de razonamiento y
información de un
Interpreta la información de un
enunciado y establece relaciones
estrategias de
enunciado y la
con el número de soluciones del
resolución de
relaciona con el
problema.
problemas, realizando
número de soluciones
los cálculos necesarios
del problema.
CL
CMCT
AA
CSC
y comprobando las

B1-3. Describir y
B1-3.1. Identifica
analizar situaciones de
patrones, regularidades
Analiza situaciones, en contextos
matemáticos, identifica patrones y
cambio, para encontrar
y leyes matemáticas en
leyes matemáticas, valora su
patrones, regularidades
situaciones de cambio,
utilidad y se apoya en ellos para
y leyes matemáticas,
en contextos
resolver problemas y ejercicios.
en contextos
numéricos,
numéricos,
geométricos,
CMCT
geométricos,
funcionales,
AA
funcionales,
estadísticos y
estadísticos y
probabilísticos.
CL
CSC
probabilísticos,
valorando su utilidad
para hacer
predicciones.

B1-6. Desarrollar
B1-6.1. Identifica
procesos de
situaciones
realidad, relacionadas con
matematización en
problemas de interés, las analiza y
realidad, susceptibles
las resuelve.
de contener problemas
geométricos,
de interés.
funcionales,
estadísticos o
problemas en
situaciones
realidad.
B1-6.2. Establece
Reconoce situaciones de la
CL
CMCT
AA
CSC

Relaciona un problema del mundo
conexiones entre un
real con el mundo matemático,
problema del mundo
estableciendo una relación entre
real y el mundo
ellos y resolviendo la situación real
matemático:
mediante el planteamiento y
identificando el
solución de problemas matemáticos.
problema o problemas
CL
CMCT
AA
matemáticos que
CSC
subyacen en él y los
conocimientos
matemáticos
necesarios.
44
(CONTINUACIÓN)
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
B1-8. Desarrollar y
cultivar las
actitudes
personales
inherentes al
quehacer
matemático.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
solución
matemática del
problema en el
contexto de la
realidad.

B1-8.3. Distingue
entre problemas y
ejercicios y adopta
la actitud adecuada
para cada caso.

Realiza una
interpretación de
la solución del
problema en
relación con el
contexto;
analiza las
relaciones entre
los datos, el
contexto del
problema, el
planteamiento y
la solución.
Plantea y
resuelve
problemas, de
forma razonada
y teniendo en
cuenta el
contexto; los
distingue de los
ejercicios como
trabajos
prácticos que le
sirven de
complemento,
comprobación y
refuerzo del
aprendizaje
teórico.
45
COMPETENCIAS
CL
CMCT
AA
CSC
CL
CMCT
AA
CSC
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-1. Utilizar
números naturales,
enteros,
fraccionarios,
decimales y
porcentajes
sencillos, sus
operaciones y
propiedades para
recoger,
transformar e
intercambiar
información y
resolver problemas
relacionados con la
vida diaria.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-1.1. Identifica
los distintos tipos
de números
fraccionarios y
decimales) y los
utiliza para
representar,
ordenar e
interpretar
adecuadamente la
información
cuantitativa.

B2-1.2. Calcula el
valor de
expresiones
numéricas de
distintos tipos de
números mediante
las operaciones
elementales y las
potencias de
exponente natural
aplicando
correctamente la
jerarquía de las
operaciones.

B2-1.3. Emplea
adecuadamente los
distintos tipos de
números y sus
operaciones, para
resolver problemas
cotidianos
contextualizados,
representando e
interpretando
mediante medios
tecnológicos,
cuando sea
necesario, los
resultados
obtenidos.

Identifica y
utiliza los
números para
representar la
información de
forma correcta.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
Identifica las
cifras de los
números con su
valor en la
realidad; las
escribe
correctamente;
realiza los
cálculos
planteados y
refleja el
resultado con
precisión.
Resuelve
problemas
relacionados
con la vida
cotidiana,
empleando de
forma adecuada
los números y
sus
operaciones.
46
CL
CMCT
CL
CMCT
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-2. Conocer y
y nuevos
significados de los
números en
contextos de
paridad,
divisibilidad y
operaciones
elementales,
mejorando así la
comprensión del
concepto y de los
tipos de números.
B2-4. Elegir la forma de
cálculo apropiada
que permitan simplificar
las operaciones con
números enteros,
fracciones, decimales y
porcentajes y
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B2-2.1. Reconoce
nuevos significados y
propiedades de los
de resolución de
problemas sobre
operaciones
elementales.

B2-2.5. Calcula e
interpreta
adecuadamente el
opuesto y el valor
absoluto de un número
entero comprendiendo
su significado y
contextualizándolo en
problemas de la vida
real.

B2-4.2. Realiza
cálculos con números
naturales, enteros,
fraccionarios y
decimales decidiendo
la forma más
adecuada (mental,
escrita o con
calculadora),
coherente y precisa.

Identifica propiedades
de los números en
contextos de
operaciones
elementales y
resuelve las
actividades
relacionadas con su
aplicación.
Identifica el valor de
un número, el de su
opuesto y el valor
absoluto,
comprendiendo su
significado y
aplicándolo
correctamente en la
resolución de
operaciones y
problemas.
Resuelve cálculos de
la forma más
adecuada, en función
del caso y de las
necesidades, y
expresa los resultados
de forma coherente y
precisa.
COMPE
TENCIA
S
CL
CMCT
CL
CMCT
CL
CMCT
estimando la
coherencia y precisión
de los resultados
obtenidos.
Comprensión lectora. El frigorífico (página 51).
Expresión oral y escrita. Textos y actividades de la unidad.
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
Emprendimiento. Resolución de problemas de la vida cotidiana
(página 68); Elaborar un programa de propuestas para la mejora del
instituto (página 71).
Educación cívica y constitucional. En la vida cotidiana (página
70).
Valores personales. Ahorro energético (páginas 70 y 71).
47
UNIDAD 4. Fracciones
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben saber expresar una fracción impropia como la suma
de un número natural más una fracción propia; deben reducir fracciones a común denominador y
calcular la fracción irreducible. Los alumnos resolver operaciones combinadas con fracciones y
aplicarán los cálculos a la resolución de ejercicios y problemas.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen los números enteros y sus operaciones
básicas, así como el cálculo elemental de potencias. Identifican algunos números fraccionarios y
saben expresar sus equivalencias con los números naturales.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para realizar
cálculos con operaciones combinadas cuando intervienen sumas, restas,
multiplicaciones y divisiones de fracciones. Prevenir mediante el uso de paréntesis, la
resolución por partes y la aplicación de la prioridad de operaciones en el cálculo.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 1. PROCESOS,
MÉTODOS Y
ACTITUDES
MATEMÁTICAS


Planificación del
de problemas.
Estrategias y
lenguaje apropiado
algebraico, etc.),
reformulación del
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD

Fracciones.

Fracciones equivalentes.

Comparación de
fracciones.

Suma y resta de
fracciones.

fracciones.
48
CURRICULARES

problema, resolver
casos particulares
sencillos, buscar
etc.
modelización, en
y en contextos
matemáticos.
BLOQUE 2. NÚMEROS
Y ÁLGEBRA





números naturales.
Múltiplos y divisores
comunes a varios
números. Máximo
común divisor y mínimo
común múltiplo de dos o
más números naturales.
Operaciones con
calculadora.
Fracciones en entornos
cotidianos. Fracciones
equivalentes.
Comparación de
fracciones.
Representación,
ordenación y
operaciones.
calculadora u otros
B1-10. Reflexionar sobre las
decisiones tomadas, aprendiendo
de ello para situaciones similares
futuras.

Fracciones.


Comparación de
fracciones.

Suma y resta de
fracciones.

fracciones.
con la vida diaria.
números.
estrategias que permitan
simplificar las operaciones con
números enteros, fracciones,
decimales y porcentajes y
estimando la coherencia y
precisión de los resultados
obtenidos.
49
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B1-2.1. Analiza y
comprende el
enunciado de los
problemas (datos,
datos, contexto del
problema).

B1-2.2. Valora la
información de un
enunciado y la
relaciona con el
número de
soluciones del
problema.

B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
B1-6.2. Establece
conexiones entre
un problema del
mundo real y el
mundo matemático:
identificando el
problema o
problemas
matemáticos que
subyacen en él y
los conocimientos
matemáticos
necesarios.

B1-10. Reflexionar
sobre las
decisiones
tomadas,
aprendiendo de ello
para situaciones
similares futuras.
B1-10.1. Reflexiona
sobre los
problemas
resueltos y los
procesos
desarrollados,
valorando la
potencia y sencillez
de las ideas claves,
aprendiendo para
situaciones futuras
similares.

Razona y
comprende el
enunciado de
los problemas,
estableciendo
relaciones entre
los datos y el
contexto del
problema.
Interpreta la
información de
un enunciado y
establece
relaciones con
el número de
soluciones del
problema.
Relaciona un
problema del
mundo real con
el mundo
matemático,
estableciendo
una relación
entre ellos y
resolviendo la
situación real
mediante el
planteamiento y
solución de
problemas
matemáticos.
Analiza
problemas
resueltos y
procesos
desarrollados,
valora las ideas
clave, reflexiona
sobre ellos y los
utiliza en
situaciones
similares como
pautas o guías
del aprendizaje.
50
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
CL
CMCT
CSC
CL
CMCT
AA
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-1. Utilizar
números naturales,
enteros,
fraccionarios,
decimales y
porcentajes
sencillos, sus
operaciones y
propiedades para
recoger,
transformar e
intercambiar
información y
resolver problemas
relacionados con la
vida diaria.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-1.1. Identifica
los distintos tipos
de números
fraccionarios y
decimales) y los
utiliza para
representar,
ordenar e
interpretar
adecuadamente la
información
cuantitativa.

B2-1.2. Calcula el
valor de
expresiones
numéricas de
distintos tipos de
números mediante
las operaciones
elementales y las
potencias de
exponente natural
aplicando
correctamente la
jerarquía de las
operaciones.

B2-1.3. Emplea
adecuadamente los
distintos tipos de
números y sus
operaciones, para
resolver problemas
cotidianos
contextualizados,
representando e
interpretando
mediante medios
tecnológicos,
cuando sea
necesario, los
resultados
obtenidos.

Identifica y
utiliza los
números para
representar la
información de
forma correcta.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
Identifica las
cifras de los
números con su
valor en la
realidad; las
escribe
correctamente;
realiza los
cálculos
planteados y
refleja el
resultado con
precisión.
Resuelve
problemas
relacionados
con la vida
cotidiana,
empleando de
forma adecuada
los números y
sus
operaciones.
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
51
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-2. Conocer y
y nuevos
significados de los
números en
contextos de
paridad,
divisibilidad y
operaciones
elementales,
mejorando así la
comprensión del
concepto y de los
tipos de números.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-2.1. Reconoce
nuevos significados
y propiedades de
los números en
contextos de
resolución de
problemas sobre
paridad,
divisibilidad y
operaciones
elementales.

calcula el máximo
común divisor y el
mínimo común
múltiplo de dos o
más números
naturales mediante
el algoritmo
adecuado y lo
aplica problemas
contextualizados.

B2-2.4. Realiza
cálculos en los que
intervienen
potencias de
exponente natural y
aplica las reglas
básicas de las
operaciones con
potencias.

B2-2.7. Realiza
operaciones de
conversión entre
números decimales
y fraccionarios,
halla fracciones
equivalentes y
simplifica
fracciones, para
aplicarlo en la
resolución de
problemas.

Identifica
propiedades de
los números en
contextos de
operaciones
elementales y
resuelve las
actividades
relacionadas con
su aplicación.
Calcula el
máximo común
divisor y el
mínimo común
múltiplo de dos o
más números
naturales y lo
aplica a la
resolución de
problemas y
ejercicios de
cálculo.
Aplica las reglas
básicas de las
operaciones con
potencias para
resolver
ejercicios de
cálculo con
potencias de
exponente
natural.
Calcula
fracciones
equivalentes y
las simplifica,
aplicando a la
resolución de
problemas los
cálculos
correspondientes
y la equivalencia
entre números
decimales y
fraccionarios.
52
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
CSC
CL
CMCT
CL
CMCT
AA
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-4. Elegir la forma
de cálculo apropiada
que permitan
simplificar las
operaciones con
números enteros,
fracciones, decimales
y porcentajes y
estimando la
coherencia y
precisión de los
resultados obtenidos.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-4.2. Realiza
cálculos con
números naturales,
enteros,
fraccionarios y
decimales
decidiendo la forma
más adecuada
(mental, escrita o
con calculadora),
coherente y
precisa.

Resuelve
cálculos y
ejercicios de la
forma más
adecuada, en
función del caso
y de las
necesidades, y
expresa los
resultados de
forma
coherente y
precisa.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
Comprensión lectora. La fotografía (página 73).
Comunicación audiovisual. Interpretación de imágenes (página
90).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. Recursos digitales para escribir un artículo (página
91).
Emprendimiento. Escribir un artículo para la revista del instituto
(página 91).
Educación cívica y constitucional. El nivel de agua en un embalse
(página 91).
UNIDAD 5. Decimales
responsabilidades.
53

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben saber ordenar números decimales, realizarán
operaciones combinadas de suma, resta y multiplicación y división con números decimales;
ordenarán cifras decimales en un cociente. Los alumnos sabrán convertir la expresión de una
fracción en un número decimal e identificarán los distintos tipos de números decimales. Aplicarán
los cálculos a la resolución de ejercicios y problemas. Números decimales.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen los conceptos básicos de números
decimales y su equivalencia con números fraccionarios; resuelven problemas en casos sencillos.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para que los
alumnos comprendan la diferencia del valor relativo de una cifra decimal. Prevenir
mediante el dibujo y la construcción de puzles para componer y descomponer figuras
dibujadas sobre regletas o fracciones decimales.
CONTENIDOS
CONTENIDOS CURRICULARES
DE LA ETAPA
BLOQUE 1. PROCESOS,
MÉTODOS Y ACTITUDES
MATEMÁTICAS



Planificación del proceso de
resolución de problemas.
Estrategias y procedimientos
puestos en práctica: uso del
lenguaje apropiado (gráfico,
numérico, algebraico, etc.),
reformulación del problema,
resolver subproblemas,
recuento exhaustivo, empezar
por casos particulares
sencillos, buscar regularidades
y leyes, etc.
Práctica de los procesos de
matematización y
modelización, en contextos de
la realidad y en contextos
matemáticos.
BLOQUE 2. NÚMEROS Y
ÁLGEBRA




Operaciones con calculadora.
Números decimales.
Representación, ordenación y
operaciones.
Relación entre fracciones y
decimales. Conversión y
operaciones.
Elaboración y utilización de
estrategias para el cálculo
mental, para el cálculo
aproximado y para el cálculo
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD

Números decimales.

Aproximación de
números decimales.

Multiplicación y
división por la unidad
seguida de ceros.

Suma, resta y
multiplicación de
números decimales.

División de números
decimales.

Expresión de una
fracción como un
número decimal.

Tipos de números
decimales.

Números decimales.

Aproximación de
números decimales.

Multiplicación y
división por la unidad
seguida de ceros.

Suma, resta y
multiplicación de
números decimales.

División de números
decimales.
54
CURRICULARES
con la vida diaria.
con calculadora u otros

Expresión de una
fracción como un
número decimal.

Tipos de números
decimales.
números.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B1-2.1. Analiza y
comprende el
enunciado de los
problemas (datos,
datos, contexto del
problema).

B1-6.2. Establece
conexiones entre
un problema del
mundo real y el
mundo matemático:
identificando el
problema o
problemas
matemáticos que
subyacen en él y
los conocimientos
matemáticos
necesarios.

Razona y
comprende el
enunciado de
los problemas,
estableciendo
relaciones entre
los datos y el
contexto del
problema.
Relaciona un
problema del
mundo real con
el mundo
matemático,
estableciendo
una relación
entre ellos y
resolviendo la
situación real
mediante el
planteamiento y
solución de
problemas
matemáticos.
55
COMPETENCIAS
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-1. Utilizar
números naturales,
enteros,
fraccionarios,
decimales y
porcentajes
sencillos, sus
operaciones y
propiedades para
recoger,
transformar e
intercambiar
información y
resolver problemas
relacionados con la
vida diaria.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-1.1. Identifica
los distintos tipos
de números
fraccionarios y
decimales) y los
utiliza para
representar,
ordenar e
interpretar
adecuadamente la
información
cuantitativa.

B2-1.2. Calcula el
valor de
expresiones
numéricas de
distintos tipos de
números mediante
las operaciones
elementales y las
potencias de
exponente natural
aplicando
correctamente la
jerarquía de las
operaciones.

Identifica y
utiliza los
números para
representar la
información de
forma correcta.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
Identifica las
cifras de los
números con su
valor en la
realidad; las
escribe
correctamente;
realiza los
cálculos
planteados y
refleja el
resultado con
precisión.
56
CL
CMCT
LOQUE 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA (CONTINUACIÓN)
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-1. Utilizar
números naturales,
enteros,
fraccionarios,
decimales y
porcentajes
sencillos, sus
operaciones y
propiedades para
recoger,
transformar e
intercambiar
información y
resolver problemas
relacionados con la
vida diaria.
B2-2. Conocer y
y nuevos
significados de los
números en
contextos de
paridad,
divisibilidad y
operaciones
elementales,
mejorando así la
comprensión del
concepto y de los
tipos de números.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B2-1.3. Emplea
adecuadamente los
distintos tipos de
números y sus
operaciones, para
resolver problemas
cotidianos
contextualizados,
representando e
interpretando
mediante medios
tecnológicos,
cuando sea
necesario, los
resultados
obtenidos.

B2-2.1. Reconoce
nuevos significados
y propiedades de
los números en
contextos de
resolución de
problemas sobre
paridad,
divisibilidad y
operaciones
elementales.

B2-2.6. Realiza
operaciones de
redondeo y
truncamiento de
números decimales
conociendo el
grado de
aproximación y lo
aplica a casos
concretos.

B2-2.7. Realiza

Resuelve problemas
relacionados con la
vida cotidiana,
empleando de forma
adecuada los
números y sus
operaciones.
COMPETE
NCIAS
CL
CMCT
CSC
Identifica propiedades
de los números en
contextos de
operaciones
elementales y
resuelve las
actividades
relacionadas con su
aplicación.
Efectúa el redondeo y
el truncamiento de
números decimales
en función del grado
de aproximación
correspondiente y
aplica los resultados.
CL
CMCT
CL
CMCT
Establece la equivalencia
operaciones de
entre números decimales
conversión entre
y fraccionarios; calcula
números decimales y
fracciones equivalentes y
fraccionarios, halla
las simplifica, aplicando
CMCT
fracciones equivalentes
los resultados de forma
AA
y simplifica fracciones,
precisa.
CL
CSC
para aplicarlo en la
resolución de
problemas.
57
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-3. Desarrollar,
en casos sencillos,
la competencia en
el uso de
operaciones
combinadas como
síntesis de la
secuencia de
operaciones
aritméticas,
aplicando
correctamente la
jerarquía de las
operaciones o
estrategias de
cálculo mental.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-3.1. Realiza
operaciones
combinadas entre
números enteros,
decimales y
fraccionarios, con
eficacia, bien
mental, algoritmos
de lápiz y papel,
calculadora o
medios
tecnológicos
utilizando la
notación más
adecuada y
respetando la
jerarquía de las
operaciones.

Resuelve
operaciones
combinadas,
utilizando la
notación más
adecuada y
respetando la
jerarquía de las
operaciones.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
Comprensión lectora. El cronómetro (página 93).
Comunicación audiovisual. Evolución del cronómetro (página 93).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. El teléfono (página 111).
Emprendimiento. Comprar un teléfono y contratar una tarifa
acorde con las necesidades (página 111).
Educación cívica y constitucional. Las tarifas telefónicas (página
111).
Valores personales. El uso controlado del teléfono (página 111).
58
2ª EVALUACIÓN
UNIDAD 6. Álgebra
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben saber calcular el valor numérico de una expresión
algebraica; calcularán sumas y restas con monomios; resolverán ecuaciones con paréntesis y con
fracciones, teniendo en cuenta las normas de las operaciones; sabrán resolver problemas
mediante ecuaciones.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos tienen unos conocimientos iniciales y básicos
sobre las ecuaciones. Saben calcular operaciones combinadas con números enteros y con
números fraccionarios y aplicarlas a la resolución de problemas.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para resolver
ecuaciones con operaciones combinadas y fracciones. Prevenir con realización de los
cálculos por partes.
59
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD
BLOQUE 1. PROCESOS,
MÉTODOS Y
ACTITUDES
MATEMÁTICAS

Expresiones algebraicas.

Monomios.

Ecuaciones.


Elementos de una
ecuación.

Ecuaciones equivalentes.

Resolución de ecuaciones
de primer grado.

Resolución de problemas
con ecuaciones.




Planificación del
de problemas.
las operaciones
unidades a los
resultados,
comprobación e
soluciones en el
búsqueda de otras
etc.
Planteamiento de
investigaciones
matemáticas escolares
en contextos numéricos,
geométricos,
funcionales, estadísticos
y probabilísticos.
modelización, en
y en contextos
matemáticos.
Confianza en las
propias capacidades
para desarrollar
actitudes adecuadas y
afrontar las dificultades
propias del trabajo
científico.
CURRICULARES
B1-5. Elaborar y presentar
informes sobre el proceso,
resultados y conclusiones
obtenidas en los procesos de
investigación.
60
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD
CURRICULARES
BLOQUE 2. NÚM. Á LGEBRA

Expresiones algebraicas.


Monomios.

Jerarquía de las operaciones.

Ecuaciones.
propiedades para recoger, transformar e
(mental, manual, calculadora).

Elementos de una ecuación.
intercambiar información y resolver
Aumentos y disminuciones


Resolución de ecuaciones de
enteros, fraccionarios, decimales y
porcentajes sencillos, sus operaciones y
Cálculos con porcentajes
porcentuales.


problemas relacionados con la vida
primer grado.

B2-2. Conocer y utilizar propiedades y
nuevos significados de los números en
contextos de paridad, divisibilidad y
ecuaciones.
operaciones elementales, mejorando así
con calculadora u otros medios
la comprensión del concepto y de los
tecnológicos.
tipos de números.
Iniciación al lenguaje
Traducción de expresiones del
lenguaje cotidiano, que
estrategias que permitan simplificar las
representen situaciones reales,
operaciones con números enteros,
al algebraico y viceversa.

diaria.
Resolución de problemas con
algebraico.

fracciones, decimales y porcentajes y
El lenguaje algebraico para
estimando la coherencia y precisión de
generalizar propiedades y
los resultados obtenidos.
simbolizar relaciones.


Obtención de fórmulas y
B2-6. Analizar procesos numéricos
términos generales basada en
cambiantes, identificando los patrones y
la observación de pautas y
leyes generales que los rigen, utilizando
regularidades. Valor numérico
el lenguaje algebraico para expresarlos,
de una expresión algebraica.
comunicarlos, y realizar predicciones
Operaciones con expresiones
sobre su comportamiento al modificar
algebraicas sencillas.
las variables, y operar con expresiones
Transformación y
algebraicas.
equivalencias. Identidades.
B2-7. Utilizar el lenguaje algebraico para
Operaciones con polinomios
simbolizar y resolver problemas
en casos sencillos.
mediante el planteamiento de
Ecuaciones de primer grado
ecuaciones de primer, segundo grado y
con una incógnita (métodos
sistemas de ecuaciones, aplicando para
algebraico y gráfico) y de
su resolución métodos algebraicos o
segundo grado con una
gráficos y contrastando los resultados
incógnita (método algebraico).
obtenidos.
Resolución. Interpretación de
las soluciones. Ecuaciones sin
solución. Resolución de
problemas.
61
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B1-2.2. Valora la
información de un
enunciado y la
relaciona con el
número de soluciones
del problema.

B1-5. Elaborar y
presentar informes
sobre el proceso,
resultados y
conclusiones
obtenidas en los
procesos de
investigación.
B1-5.1. Expone y
defiende el proceso
seguido además de las
conclusiones
obtenidas, utilizando
distintos lenguajes:
algebraico, gráfico,
geométrico y
estadísticoprobabilístico.

B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
B1-6.3. Usa, elabora o
construye modelos
matemáticos sencillos
que permitan la
resolución de un
dentro del campo de
las matemáticas.

solución matemática
del problema en el
contexto de la realidad.

B1-8. Desarrollar y
cultivar las
actitudes
personales
inherentes al
quehacer
matemático.
B1-8.3. Distingue entre
problemas y ejercicios
y adopta la actitud
adecuada para cada
caso.
Interpreta la
información de un
enunciado y
establece
relaciones con las
soluciones del
ejercicio y del
problema.
Utiliza el lenguaje
algebraico,
resuelve ejercicios,
aplicándolo, y
expone los
resultados de
forma correcta y
simplificada.
Utiliza modelos
matemáticos
sencillos para
resolver problemas
y plantearlos.
COMPETE
NCIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
CL
CM,CT
AA CSC

62
Desarrolla
procesos en el
contexto de la
realidad para
resolver problemas
e interpreta la
solución
matemática de los
mismos.
Conoce la
diferencia entre
problemas y
ejercicios; los
resuelve en
función de sus
características.
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
CD,AA
CSC
IEC,EC
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B2-1. Utilizar
números naturales,
enteros,
fraccionarios,
decimales y
porcentajes
sencillos, sus
operaciones y
propiedades para
recoger, transformar
e intercambiar
información y
resolver problemas
relacionados con la
vida diaria.
B2-1.2. Calcula el valor
de expresiones
numéricas de distintos
tipos de números
mediante las
operaciones
elementales y las
potencias de
exponente natural
aplicando
correctamente la
jerarquía de las
operaciones.

B2-2. Conocer y
y nuevos
significados de los
números en
contextos de
paridad, divisibilidad
y operaciones
elementales,
mejorando así la
comprensión del
concepto y de los
tipos de números.
calcula el máximo
común divisor y el
mínimo común múltiplo
de dos o más números
naturales mediante el
algoritmo adecuado y
lo aplica problemas
contextualizados.

B2-4. Elegir la forma
de cálculo apropiada
(mental, escrita o
con calculadora),
usando diferentes
estrategias que
las operaciones con
números enteros,
fracciones,
decimales y
porcentajes y
estimando la
coherencia y
precisión de los
resultados
obtenidos.
B2-4.2. Realiza
cálculos con números
naturales, enteros,
fraccionarios y
decimales decidiendo
la forma más adecuada
calculadora), coherente
y precisa.

Identifica las cifras
de los números con
su valor en la
realidad; las escribe
correctamente;
realiza los cálculos
planteados y refleja
el resultado con
precisión.
Identifica y calcula el
máximo común
divisor y el mínimo
común múltiplo de
dos o más números
naturales mediante
el algoritmo
adecuado y lo aplica
a ejercicios y
problemas
contextualizados.
Resuelve cálculos
de la forma más
adecuada, en
función del caso y
de las necesidades,
y expresa los
resultados de forma
coherente y precisa.
COMPET
ENCIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
CL
CMCT
63
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-6. Analizar
procesos numéricos
cambiantes,
identificando los
patrones y leyes
generales que los
rigen, utilizando el
lenguaje algebraico
para expresarlos,
comunicarlos, y
realizar predicciones
sobre su
comportamiento al
modificar las
variables, y operar
con expresiones
algebraicas.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-6.1. Describe
situaciones o
enunciados que
dependen de
cantidades variables
o desconocidas y
secuencias lógicas o
regularidades,
mediante
expresiones
algebraicas, y opera
con ellas.

B2-6.2. Identifica
propiedades y leyes
generales a partir del
estudio de procesos
numéricos
recurrentes o
cambiantes, las
expresa mediante el
lenguaje algebraico y
las utiliza para hacer
predicciones.

B2-6.3. Utiliza las
identidades
algebraicas notables
y las propiedades de
las operaciones para
transformar
expresiones
algebraicas.

Interpreta
enunciados y
resuelve los
cálculos
correspondientes
a operaciones
con expresiones
algebraicas,
operando con
ellas.
Aplica las
propiedades y
leyes generales a
la resolución de
operaciones con
expresiones
algebraicas.
Transforma
expresiones
algebraicas,
aplicando las
propiedades de
las operaciones y
de las
identidades
algebraicas
notables.
64
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
CL
CMCT
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-7. Utilizar el
lenguaje algebraico
para simbolizar y
resolver problemas
mediante el
planteamiento de
ecuaciones de
primer, segundo
grado y sistemas
de ecuaciones,
aplicando para su
resolución métodos
algebraicos o
gráficos y
contrastando los
resultados
obtenidos.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-7.1.
Comprueba, dada
una ecuación (o un
sistema), si un
número (o
números) es (son)
solución de la
misma.

B2-7.2. Formula
algebraicamente
una situación de la
vida real mediante
ecuaciones de
primer y segundo
grado, y sistemas
de ecuaciones
lineales con dos
incógnitas, las
resuelve e
interpreta el
resultado obtenido.

Comprueba la
solución de una
ecuación o
sistema,
mediante el
cálculo del valor
numérico.
Traduce una
situación de la
vida real al
lenguaje
algebraico y
viceversa, las
resuelve e
interpreta el
resultado
obtenido.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
CSC
Comprensión lectora. La criptografía (página 133).
Comunicación audiovisual. Elaboración y exposición de un trabajo
(página 133).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. Recursos tecnológicos para presentar un trabajo
(página 133).
Emprendimiento. (página 28).
Educación cívica y constitucional. La agricultura (página 133).
Valores personales. El mejor presupuesto (página 133).
65
UNIDAD 7. Sistema métrico decimal
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben saber transformar medidas de longitud, de superficie
y de volumen de forma compleja a incompleja y viceversa y operarán con ellas. Relacionarán
medidas de volumen, capacidad y masa. Aplicarán estos conocimientos a la resolución de
ejercicios y problemas.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen las unidades fundamentales del Sistema
Métrico Decimal, sus múltiplos y sus divisores. Saben las normas básicas del cálculo con estas
medidas. Conocen estrategias de cálculo y resolución de problemas, relacionadas con las Sistema
Métrico.

problemas relacionados con el área y con el volumen de los cuerpos geométricos en sus
aplicaciones a la vida real. Prevenir, mediante el uso de dibujos croquis, planos y
maquetas, para que no confundan caras laterales con bases, especialmente, en
estructuras en las que la base es el suelo.
66
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 1. PROCESOS,
MÉTODOS Y
ACTITUDES
MATEMÁTICAS
CONTENIDOS DE
LA UNIDAD

Magnitudes y
unidades.
CURRICULARES
B1-2. Utilizar procesos de razonamiento y
estrategias de resolución de problemas,
realizando los cálculos necesarios y

Unidades de
longitud.

Unidades de
capacidad.

Unidades de
masa.
estadísticos o probabilísticos) a partir de la
Unidades de
superficie.

Unidades de
volumen.
personales inherentes al quehacer matemático.

Relación entre las
unidades de
volumen,
capacidad y masa.
BLOQUE 2. NÚMEROS
Y ÁLGEBRA

Magnitudes y
unidades.


Unidades de
longitud.

Unidades de
capacidad.






Planificación del
de problemas.
modelización, en
y en contextos
matemáticos.
Confianza en las
propias capacidades
para desarrollar
propias del trabajo
científico.
Números enteros.
Representación,
Operaciones con
calculadora.
Jerarquía de las
Aumentos y
disminuciones
porcentuales.
calculadora u otros


Unidades de
masa.

Unidades de
superficie.
comprobando las soluciones obtenidas.
B1-6. Desarrollar procesos de matematización
en contextos de la realidad cotidiana
(numéricos, geométricos, funcionales,
identificación de problemas en situaciones
B1-8. Desarrollar y cultivar las actitudes
B2-1. Utilizar números naturales, enteros,
fraccionarios, decimales y porcentajes
sencillos, sus operaciones y propiedades para
recoger, transformar e intercambiar información
y resolver problemas relacionados con la vida
diaria.
B2-2. Conocer y utilizar propiedades y nuevos
significados de los números en contextos de
paridad, divisibilidad y operaciones
elementales, mejorando así la comprensión del
concepto y de los tipos de números.

Unidades de
volumen.

Relación entre las
unidades de
volumen,
capacidad y masa.
67
B2-4. Elegir la forma de cálculo apropiada
(mental, escrita o con calculadora), usando
diferentes estrategias que permitan simplificar
las operaciones con números enteros,
fracciones, decimales y porcentajes y
estimando la coherencia y precisión de los
B2-5. Utilizar diferentes estrategias (empleo de
tablas, obtención y uso de la constante de
proporcionalidad, reducción a la unidad, etc.)
para obtener elementos desconocidos en un
problema a partir de otros conocidos en
situaciones de la vida real en las que existan
variaciones porcentuales y magnitudes directa
o inversamente proporcionales.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B1-2.1. Analiza y
comprende el
enunciado de los
problemas (datos,
datos, contexto del
problema).

B1-2.2. Valora la
información de un
enunciado y la
relaciona con el
número de
soluciones del
problema.

solución
matemática del
problema en el
contexto de la
realidad.

Razona y
comprende el
enunciado de
los problemas,
estableciendo
relaciones entre
los datos y el
contexto del
problema.
Interpreta la
información de
un enunciado y
establece
relaciones con
el número de
soluciones del
problema.
Desarrolla
procesos en el
contexto de la
realidad para
resolver
problemas e
interpreta la
solución
matemática de
los mismos.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CSC
CL
CMCT
CL
CMCT
AA
CSC
(CONTINUACIÓN)
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-8. Desarrollar y
cultivar las
actitudes
personales
inherentes al
quehacer
matemático.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B1-8.3. Distingue
entre problemas y
ejercicios y adopta
la actitud adecuada
para cada caso.

Conoce la
diferencia entre
problemas y
ejercicios; los
resuelve en
función de sus
características.
68
COMPETENCIAS
CL
CMCT
AA
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-1. Utilizar
números naturales,
enteros,
fraccionarios,
decimales y
porcentajes
sencillos, sus
operaciones y
propiedades para
recoger,
transformar e
intercambiar
información y
resolver problemas
relacionados con la
vida diaria.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-1.1. Identifica
los distintos tipos
de números
fraccionarios y
decimales) y los
utiliza para
representar,
ordenar e
interpretar
adecuadamente la
información
cuantitativa.

B2-1.2. Calcula el
valor de
expresiones
numéricas de
distintos tipos de
números mediante
las operaciones
elementales y las
potencias de
exponente natural
aplicando
correctamente la
jerarquía de las
operaciones.

B2-1.3. Emplea
adecuadamente los
distintos tipos de
números y sus
operaciones, para
resolver problemas
cotidianos
contextualizados,
representando e
interpretando
mediante medios
tecnológicos,
cuando sea
necesario, los
resultados
obtenidos.

Identifica y
utiliza los
números para
representar la
información de
forma correcta,
aplicándola a
distintas
unidades de
medidas.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
Identifica las
cifras de los
números con su
valor en la
realidad; las
escribe
correctamente;
realiza los
cálculos
planteados con
unidades de
medida y refleja
el resultado con
precisión.
CMCT
Resuelve
problemas
relacionados
con el uso del
sistema métrico
en la vida
cotidiana,
empleando de
forma adecuada
los números y
sus
operaciones.
CL
69
CL
CSC
CMCT
AA
CSC
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-2. Desarrollar,
en casos sencillos,
la competencia en
el uso de
operaciones
combinadas como
síntesis de la
secuencia de
operaciones
aritméticas,
aplicando
correctamente la
jerarquía de las
operaciones o
estrategias de
cálculo mental.
B2-4. Elegir la
forma de cálculo
apropiada (mental,
escrita o con
calculadora),
usando diferentes
estrategias que
las operaciones con
números enteros,
fracciones,
decimales y
porcentajes y
estimando la
coherencia y
precisión de los
resultados
obtenidos.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-3.1. Realiza
operaciones
combinadas entre
números enteros,
decimales y
fraccionarios, con
eficacia, bien
mediante cálculo
mental, algoritmos
de lápiz y papel,
calculadora o
medios
tecnológicos
utilizando la
notación más
adecuada y
respetando la
jerarquía de las
operaciones.

B2-4.1. Desarrolla
estrategias de
cálculo mental para
realizar cálculos
exactos o
aproximados
valorando la
precisión exigida en
la operación o en el
problema.

B2-4.2. Realiza
cálculos con
números naturales,
enteros,
fraccionarios y
decimales
decidiendo la forma
más adecuada
(mental, escrita o
con calculadora),
coherente y
precisa.

Resuelve
operaciones
combinadas con
datos
relacionados
con el sistema
métrico,
utilizando la
notación más
adecuada y
respetando la
jerarquía de las
operaciones.
Aplica técnicas
algebraicas para
resolver
operaciones con
datos
relacionados
con las distintas
unidades del
sistema métrico.
Resuelve
cálculos sobre
medidas de la
forma más
adecuada, en
función del caso
y de las
necesidades, y
expresa los
resultados en
las unidades
adecuadas de
forma coherente
y precisa.
70
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
CL
CMCT
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-5. Utilizar
diferentes
estrategias (empleo
de tablas,
obtención y uso de
la constante de
proporcionalidad,
reducción a la
unidad, etc.) para
obtener elementos
desconocidos en un
problema a partir
de otros conocidos
en situaciones de la
vida real en las que
existan variaciones
porcentuales y
magnitudes directa
o inversamente
proporcionales.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-5.2. Analiza
situaciones
sencillas y
reconoce que
intervienen
magnitudes que no
son directa ni
inversamente
proporcionales.

Resuelve
cálculos y
problemas,
utilizando
diferentes
unidades de
medida y
magnitudes
equivalentes o
proporcionales,
convirtiendo,
previamente,
unas en otras
para operar con
las mismas
unidades.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
Comprensión lectora. La balanza (página 135).
(página 153).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. Evolución de la balanza (página 135).
Emprendimiento. Planificar una excursión (página 153).
Educación cívica y constitucional. Las excursiones (página 153).
Valores personales. El uso de la bicicleta (página 153).
71
UNIDAD 8. Proporcionalidad y porcentajes
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben diferenciar entre razón y proporción; sabrán calcular
un término desconocido en una proporción; averiguarán si dos magnitudes son directamente
proporcionales y lo relacionarán con los porcentajes y con la regla de tres. Sabrán resolver
problemas de proporcionalidad directa y de porcentajes mediante una regla de tres.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen el significado de parte proporcional
asociado a las fracciones y a los números decimales. Identifican las partes de una unidad. Conocen
estrategias de cálculo y resolución de problemas, relacionadas con doble mitad, etc.

problemas relacionados con el cálculo de porcentajes. Prevenir, mediante el uso de la
regla de tres y la ilustración en relación con experiencias de la vida cotidiana.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD
BLOQUE 1. PROCESOS,

Razón y proporción.

Magnitudes
directamente
proporcionales.
MATEMÁTICAS



matematización y modelización,
en contextos de la realidad y en

Problemas de
proporcionalidad
directa.
CURRICULARES
B1-2. Utilizar procesos de razonamiento y
estrategias de resolución de problemas,
realizando los cálculos necesarios y
comprobando las soluciones obtenidas.
matematización en contextos de la realidad
cotidiana (numéricos, geométricos,
funcionales, estadísticos o probabilísticos) a
contextos matemáticos.

Porcentajes.
partir de la identificación de problemas en
Confianza en las propias

Problemas con
porcentajes.
situaciones problemáticas de la realidad.
capacidades para desarrollar
actitudes adecuadas y afrontar
personales inherentes al quehacer
las dificultades propias del
matemático.
trabajo científico.
72
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD

ÁLGEBRA

Magnitudes directamente
proporcionales.

Problemas de
proporcionalidad directa.
Representación,

Porcentajes.

Problemas con
porcentajes.

números naturales.

Números enteros.

Operaciones con
calculadora.

equivalentes. Comparación
de fracciones.
Representación,
ordenación y operaciones.

Jerarquía de las
operaciones. Cálculos con
porcentajes (mental,
Magnitudes directa e
inversamente
proporcionales. Constante
de proporcionalidad.

en los que intervenga la
proporcionalidad directa o
inversa o variaciones
porcentuales. Repartos
directa e inversamente
proporcionales.

números.
B2-5. Utilizar diferentes
estrategias (empleo de tablas,
obtención y uso de la constante
de proporcionalidad, reducción a
la unidad, etc.) para obtener
elementos desconocidos en un
problema a partir de otros
conocidos en situaciones de la
vida real en las que existan
variaciones porcentuales y
magnitudes directa o
inversamente proporcionales.
porcentuales.

con la vida diaria.
Números decimales.
Representación,

CURRICULARES
aproximado y para el
cálculo con calculadora u
otros medios tecnológicos.
73
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B1-2.1. Analiza y
comprende el
enunciado de los
problemas (datos,
datos, contexto del
problema).

B1-2.2. Valora la
información de un
enunciado y la
relaciona con el
número de
soluciones del
problema.

solución
matemática del
problema en el
contexto de la
realidad.

Razona y
comprende el
enunciado de
los problemas,
estableciendo
relaciones entre
los datos
proporcionales y
el contexto del
problema.
Interpreta la
información de
un enunciado y
establece
relaciones con
las soluciones
del problema.
Desarrolla
procesos en el
contexto de la
realidad para
resolver
problemas e
interpreta la
solución
matemática de
los mismos.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
CL
CMCT
AA
CSC
(CONTINUACIÓN)
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-8. Desarrollar y
cultivar las
actitudes
personales
inherentes al
quehacer
matemático.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B1-8.3. Distingue
entre problemas y
ejercicios y adopta
la actitud adecuada
para cada caso.

Conoce la
diferencia entre
problemas y
ejercicios; los
resuelve en
función de sus
características.
74
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-1. Utilizar números
B2-1.1. Identifica los
naturales, enteros,
distintos tipos de
fraccionarios,
números (naturales,
decimales y
enteros, fraccionarios y
porcentajes sencillos,
decimales) y los utiliza
sus operaciones y
para representar,
propiedades para
ordenar e interpretar
adecuadamente la
intercambiar
información
información y resolver
cuantitativa.
problemas
relacionados con la
vida diaria.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE


de expresiones
numéricas de distintos
tipos de números
mediante las
operaciones
elementales y las
Identifica y utiliza los
números para
representar la
información sobre
razones y proporciones
de forma correcta.
Identifica las cifras de los
números con su valor en
la realidad; las escribe
correctamente; realiza
los cálculos planteados y
refleja el resultado con
precisión.
COMPET
ENCIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
potencias de exponente
natural aplicando
correctamente la
jerarquía de las
operaciones.
B2-1.3. Emplea

adecuadamente los
distintos tipos de
números y sus
operaciones, para
resolver problemas
Resuelve problemas
relacionados con la vida
cotidiana, empleando de
forma adecuada los
números y sus
operaciones.
CL
CMCT
cotidianos
contextualizados,
AA
representando e
CSC
interpretando mediante
medios tecnológicos,
cuando sea necesario,
los resultados
obtenidos.
B2-2.7. Realiza
operaciones de
significados de los
conversión entre
de paridad, divisibilidad
fraccionarios, halla
y operaciones
fracciones equivalentes
elementales,
y simplifica fracciones,
mejorando así la
para aplicarlo en la
comprensión del
resolución de
problemas.
de números.

Calcula razones y
proporciones, utilizando
las propiedades de las
fracciones equivalentes;
las simplifica, aplicando a
la resolución de
problemas los cálculos
correspondientes y la
equivalencia entre
fraccionarios.
75
CL
CMCT
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-3. Desarrollar, en
casos sencillos, la
competencia en el uso de
operaciones combinadas
como síntesis de la
secuencia de
aplicando correctamente
la jerarquía de las
operaciones o estrategias
de cálculo mental.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE

B2-3.1. Realiza
operaciones
combinadas entre
números enteros,
decimales y
fraccionarios, con
eficacia, bien
mental, algoritmos de
lápiz y papel,
calculadora o medios
Resuelve
operaciones
combinadas,
aplicando la
proporcionalidad,
utilizando la
notación más
adecuada y
respetando la
jerarquía de las
operaciones.
COMPE
TENCIA
S
CL
CMCT
tecnológicos utilizando
la notación más
adecuada y
respetando la
jerarquía de las
operaciones.
B2-5. Utilizar diferentes
estrategias (empleo de
tablas, obtención y uso
de la constante de
proporcionalidad,
reducción a la unidad,
etc.) para obtener
elementos desconocidos
en un problema a partir
de otros conocidos en
situaciones de la vida real
en las que existan
variaciones porcentuales
y magnitudes directa o
inversamente
proporcionales.
discrimina
relaciones de
proporcionalidad
numérica (como el
factor de
conversón o
cálculo de
porcentajes) y las
emplea para
resolver problemas
en situaciones
cotidianas.

Identifica y discrimina y
utiliza relaciones de
proporcionalidad,
desarrollando
estrategias para
representar e interpretar
CL
CMCT
los datos; las emplea
para resolver problemas
CD
en situaciones
AA
cotidianas y expresa los
resultados de forma
CSC
clara y coherente.
IE
Comprensión lectora. Los altos hornos (página 155).
Comunicación audiovisual. Elaboración y exposición de un menú semanal
(página 173).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. Exposición «La materia del tiempo» (página 172).
Emprendimiento. Planificar un menú para un comedor escolar (página
173).
Educación cívica y constitucional. El cambio climático (página 173).
Valores personales. Los hábitos alimenticios (página 173).
76
UNIDAD 9. Rectas y ángulos
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer, describir y saber trazar rectas paralelas y
perpendiculares, la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ángulo. Transformarán unidades
de medidas de ángulos; sabrán sumar y restar cantidades en el sistema sexagesimal. Aplicarán
los cálculos a la resolución de problemas geométricos.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen los elementos del plano, los polígonos
regulares e irregulares y sus elementos; saben calcular el perímetro y el área de figuras planas
sencillas.

problemas relacionados con el sistema sexagesimal y la medida de ángulos. Prevenir,
mediante el uso del reloj analógico y dibujos del mismo.
77
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD
BLOQUE 1. PROCESOS,
MÉTODOS Y
ACTITUDES
MATEMÁTICAS

Rectas.

Semirrectas y segmentos.

Ángulos.


Posiciones relativas de
ángulos.

Sistema sexagesimal.



Planificación del
de problemas.
las operaciones
unidades a los
resultados,
comprobación e
soluciones en el
búsqueda de otras
etc.
modelización, en
y en contextos
matemáticos.
Confianza en las
propias capacidades
para desarrollar
propias del trabajo
científico.
CURRICULARES
78
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD

Rectas.

Números enteros.
Representación,
Operaciones con
calculadora.
equivalentes.
Comparación de
fracciones.
Representación,
ordenación y
operaciones.
Números decimales.
Representación,
ordenación y
operaciones.
Jerarquía de las
Aumentos y
disminuciones
porcentuales.
calculadora u otros

Ángulos.

ángulos.

BLOQUE 3. GEOMETRÍA

Rectas.



Ángulos.

ángulos.

ÁLGEBRA







Elementos básicos de la
geometría del plano.
Relaciones y propiedades
de figuras en el plano:
Paralelismo y
perpendicularidad.
Ángulos y sus relaciones.
79
CURRICULARES
enteros, fraccionarios, decimales y
porcentajes sencillos, sus
recoger, transformar e intercambiar
información y resolver problemas
relacionados con la vida diaria.
B3-1. Reconocer y describir figuras
planas, sus elementos y
propiedades características para
clasificarlas, identificar situaciones,
describir el contexto físico, y
abordar problemas de la vida
cotidiana.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B1-2.1. Analiza y
comprende el
enunciado de los
problemas (datos,
datos, contexto del
problema).

B1-2.2. Valora la
información de un
enunciado y la
relaciona con el
número de
soluciones del
problema.

B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
solución
matemática del
problema en el
contexto de la
realidad.

B1-8. Desarrollar y
cultivar las
actitudes
personales
inherentes al
quehacer
matemático.
B1-8.3. Distingue
entre problemas y
ejercicios y adopta
la actitud adecuada
para cada caso.

Razona y
comprende el
enunciado de
los problemas,
estableciendo
relaciones entre
los datos y el
contexto del
problema.
Interpreta la
información de
un enunciado y
establece
relaciones con
las soluciones
del problema.
Desarrolla
procesos en el
contexto de la
realidad para
resolver
problemas e
interpreta la
solución
matemática de
los mismos.
Conoce la
diferencia entre
problemas y
ejercicios; los
resuelve en
función de sus
características.
80
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
CL
CMCT
AA
CSC
CL
CMCT
AA
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-1. Utilizar
números naturales,
enteros,
fraccionarios,
decimales y
porcentajes
sencillos, sus
operaciones y
propiedades para
recoger,
transformar e
intercambiar
información y
resolver problemas
relacionados con la
vida diaria.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-1.1. Identifica
los distintos tipos
de números
fraccionarios y
decimales) y los
utiliza para
representar,
ordenar e
interpretar
adecuadamente la
información
cuantitativa.

B2-1.2. Calcula el
valor de
expresiones
numéricas de
distintos tipos de
números mediante
las operaciones
elementales y las
potencias de
exponente natural
aplicando
correctamente la
jerarquía de las
operaciones.

B2-1.3. Emplea
adecuadamente los
distintos tipos de
números y sus
operaciones, para
resolver problemas
cotidianos
contextualizados,
representando e
interpretando
mediante medios
tecnológicos,
cuando sea
necesario, los
resultados
obtenidos.

Identifica y
utiliza los
números para
representar la
información de
forma correcta.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
Identifica las
cifras de los
números con su
valor en la
realidad; las
escribe
correctamente;
realiza los
cálculos
planteados y
refleja el
resultado con
precisión.
Resuelve
problemas
relacionados
con la vida
cotidiana,
empleando de
forma adecuada
los números y
sus
operaciones.
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
81
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B3-1. Reconocer y
describir figuras
planas, sus
elementos y
propiedades
características para
clasificarlas,
identificar
situaciones,
describir el contexto
físico, y abordar
problemas de la
vida cotidiana.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B3-1.1. Reconoce y
describe las
propiedades
características de
los polígonos
regulares: ángulos
interiores, ángulos
centrales,
diagonales,
apotema, simetrías,
etc.

Identifica y
describe los
elementos de
los polígonos,
partiendo de la
identificación y
las propiedades
generales de las
rectas,
semirrectas,
segmentos y
sus mediatrices,
y ángulos y sus
bisectrices; tiene
en cuenta las
propiedades de
los puntos de la
mediatriz de un
segmento y de
la bisectriz de
un ángulo;
realiza los
cálculos en el
sistema
sexagesimal.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
AA
Comprensión lectora. Los puentes (página 175).
(página 195).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. Los minikarts (página 195).
Emprendimiento. Recogida de datos (página 195).
Educación cívica y constitucional. Las personas con discapacidad
(página 195).
Valores personales. La excursión (página 195).
82
3ª EVALUACIÓN
UNIDAD 10. Polígonos. Triángulos
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer los elementos fundamentales de los
polígonos, diferenciando los triángulos; sabrán Dibujar un triángulo conocida la medida de sus
lados. Comprenderán y sabrán aplicar el Teorema de Pitágoras; y determinarán un lado
desconocido en un triángulo rectángulo. Aplicarán estos conocimientos a la resolución de
problemas.

regulares e irregulares y sus elementos; saben calcular el perímetro y el área de figuras planas.
Identifican los tipos de triángulos según sus lados y según sus ángulos y saben representarlos.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para calcular los
lados de figuras planas, apoyándose en la descomposición de triángulos. Prevenir,
mediante el uso de dibujos croquis, planos y puzles fabricados por los propios alumnos.
83
CONTENIDOS
CONTENIDOS CURRICULARES DE
LA ETAPA
BLOQUE 1. PROCESOS,
MATEMÁTICAS



matematización y modelización,
en contextos de la realidad y en
actitudes adecuadas y afrontar las
dificultades propias del trabajo
científico.
ÁLGEBRA






Números enteros.
Representación, ordenación en la
recta numérica y operaciones.
equivalentes. Comparación de
fracciones. Representación,
Números decimales.
operaciones.
Cálculos con porcentajes (mental,
manual, calculadora). Aumentos y
disminuciones porcentuales.
estrategias para el cálculo mental,
para el cálculo aproximado y para
el cálculo con calculadora u otros

Polígonos.

Triángulos.

Relaciones entre los
elementos de un triángulo.

Ángulos en los polígonos.

Rectas y puntos notables en
el triángulo.

Teorema de Pitágoras.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
los cálculos
necesarios y
comprobando las
B1-8. Desarrollar y
personales inherentes
al quehacer
matemático.

Polígonos.

Triángulos.

Relaciones entre los
elementos de un triángulo.


Rectas y puntos notables en
el triángulo.

84
naturales, enteros,
fraccionarios,
decimales y
porcentajes sencillos,
sus operaciones y
propiedades para
intercambiar
problemas
relacionados con la
vida diaria.
CONTENIDOS
DE LA ETAPA
CONTENIDOS
DE LA
UNIDAD

Polígonos.



Triángulos.

Relaciones
entre los
elementos
de un
triángulo.




Ángulos y sus relaciones.
Construcciones geométricas
sencillas: mediatriz, bisectriz.
Propiedades.
Figuras planas elementales:
triángulo, cuadrado, figuras
poligonales.
Clasificación de triángulos y
cuadriláteros. Propiedades y
relaciones.
Triángulos rectángulos. El
teorema de Pitágoras.
Justificación geométrica y
aplicaciones.
Uso de herramientas
informáticas para estudiar
formas, configuraciones y
relaciones geométricas.

Ángulos en
los
polígonos.

Rectas y
puntos
notables en
el triángulo.

Teorema de
Pitágoras.
CURRICULARES
B3-1. Reconocer y describir figuras
planas, sus elementos y propiedades
características para clasificarlas,
identificar situaciones, describir el
contexto físico, y abordar problemas de la
vida cotidiana.
B3-2. Utilizar estrategias, herramientas
tecnológicas y técnicas simples de la
geometría analítica plana para la
resolución de problemas de perímetros,
áreas y ángulos de figuras planas,
utilizando el lenguaje matemático
adecuado expresar el procedimiento
seguido en la resolución.
B3-3. Reconocer el significado aritmético
del Teorema de Pitágoras (cuadrados de
números, ternas pitagóricas) y el
significado geométrico (áreas de
cuadrados construidos sobre los lados) y
emplearlo para resolver problemas
geométricos.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B1-2.1. Analiza y
comprende el
enunciado de los
problemas (datos,
datos, contexto del
problema).

B1-2.2. Valora la
información de un
enunciado y la
relaciona con el
número de
soluciones del
problema.

B1-8. Desarrollar y

problemas y ejercicios; los
y adopta la actitud
resuelve en función de sus
al quehacer
adecuada para cada
características.
matemático.
caso.
Razona y comprende el
enunciado de los
problemas,
estableciendo
datos y el contexto del
problema.
Interpreta la
información de un
enunciado y establece
relaciones con las
soluciones del
problema.
COMPET
ENCIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
Conoce la diferencia entre
85
CL
CMCT
AA
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B3-1. Reconocer y
describir figuras
planas, sus
elementos y
propiedades
clasificarlas,
identificar
situaciones,
físico, y abordar
problemas de la
vida cotidiana.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B3-1.1. Reconoce y
describe las
propiedades
características de
los polígonos
regulares: ángulos
interiores, ángulos
centrales,
diagonales,
apotema, simetrías,
etc.

B3-1.2. Define los
elementos
característicos de
los triángulos,
trazando los
mismos y
conociendo la
propiedad común a
cada uno de ellos, y
los clasifica
atendiendo tanto a
sus lados como a
sus ángulos.

B3-1.3. Clasifica los
cuadriláteros y
paralelogramos
atendiendo al
paralelismo entre
sus lados opuestos
y conociendo sus
propiedades
referentes a
ángulos, lados y
diagonales.

Identifica, representa
y describe los
elementos
fundamentales de los
polígonos regulares,
teniendo en cuenta
sus características y
aplicando sus
propiedades.
y describe los
elementos
triángulos y aplica sus
propiedades, teniendo
en cuenta sus
características y
conociendo la
propiedad común a
cada uno de ellos; los
clasifica atendiendo
tanto a sus lados
como a sus ángulos.
y describe los
elementos
cuadriláteros y aplica
sus propiedades,
teniendo en cuenta
sus características y
clasificando los
cuadriláteros en
paralelogramos y no
paralelogramos.
86
COMPETE
NCIAS
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
CL
CMCT
AA
BLOQUE 3. GEOMETRÍA (CONTINUACIÓN)
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B3-1. Reconocer y
describir figuras
planas, sus
elementos y
propiedades
clasificarlas,
identificar
situaciones,
físico, y abordar
problemas de la
vida cotidiana.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B3-1.4. Identifica
las propiedades
geométricas que
caracterizan los
puntos de la
circunferencia y el
círculo.

B3-2. Utilizar
estrategias,
herramientas
tecnológicas y
técnicas simples de
la geometría
analítica plana para
la resolución de
problemas de
perímetros, áreas y
ángulos de figuras
planas, utilizando el
lenguaje
matemático
adecuado expresar
el procedimiento
seguido en la
resolución.
B3-2.1. Resuelve
problemas
relacionados con
distancias,
perímetros,
superficies y
ángulos de figuras
planas, en
contextos de la vida
real, utilizando las
herramientas
tecnológicas y las
técnicas
geométricas más
apropiadas.

B3-3. Reconocer el
significado
aritmético del
Teorema de
Pitágoras
(cuadrados de
números, ternas
pitagóricas) y el
significado
geométrico (áreas
de cuadrados
construidos sobre
los lados) y
emplearlo para
resolver problemas
geométricos.
B3-3.1. Comprende
los significados
aritmético y
geométrico del
Teorema de
Pitágoras y los
utiliza para la
búsqueda de ternas
pitagóricas o la
comprobación del
teorema
construyendo otros
polígonos sobre los
lados del triángulo
rectángulo.

y describe los
elementos
fundamentales de la
circunferencia y el
círculo, teniendo en
cuenta sus
características y
aplicando las
propiedades
geométricas de los
puntos de la
circunferencia y el
círculo.
Comprende los
significados aritmético
y geométrico de
problemas
relacionados con
distancias,
perímetros,
superficies y ángulos
de figuras planas, en
real; los plantea y los
resuelve de la forma
más adecuada.
Identifica y
comprende los
significados aritmético
y geométrico del
Teorema de
Pitágoras; resuelve
ejercicios y problemas
relacionados con él y
expresa los
resultados de forma
coherente.
87
COMPETE
NCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
AA
CSC
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B3-3. Reconocer el
significado
aritmético del
Teorema de
Pitágoras
(cuadrados de
números, ternas
pitagóricas) y el
significado
geométrico (áreas
de cuadrados
construidos sobre
los lados) y
emplearlo para
resolver problemas
geométricos.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B3-3.2. Aplica el
teorema de
Pitágoras para
calcular longitudes
desconocidas en la
resolución de
triángulos y áreas
de polígonos
regulares, en
contextos
geométricos o en
contextos reales.

Interpreta los
datos conocidos
e identifica los
desconocidos
en contextos
geométricos o
en contextos
reales; calcula
las longitudes
desconocidas
en la resolución
de triángulos y
en áreas de
polígonos
regulares,
aplicando el
teorema de
Pitágoras.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
Comprensión lectora. El teodolito (página 197).
197).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. Evolución de las herramientas para medir ángulos
(página 197).
Emprendimiento. Plan para instalar taquillas (página 28).
Educación cívica y constitucional. Las medidas de una
habitación (página 215).
Valores personales. Los cierres de seguridad (página 215).
88
UNIDAD 11. Cuadriláteros y
circunferencia
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos sabrán construir paralelogramos; calcularán los elementos
de un paralelogramo y la apotema de un polígono regular, utilizando el teorema de Pitágoras.
Construirá polígonos regulares y aplicarán sus conocimientos a la resolución de problemas
geométricos.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen los paralelogramos y los polígonos
regulares; saben interpretar y aplicar el Teorema de Pitágoras.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para construir un
polígono regular. Prevenir, con el uso de gráficos y herramientas digitales.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 1. PROCESOS,
MATEMÁTICAS

Estrategias y
lenguaje apropiado
algebraico, etc.),
reformulación del
problema, resolver
casos particulares
sencillos, buscar
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD

Cuadriláteros.

Propiedades de los
paralelogramos.

Polígonos regulares.

Circunferencia.

Posiciones relativas de la
circunferencia.

Círculo.
CURRICULARES
realizando los cálculos necesarios
y comprobando las soluciones
obtenidas.
encontrar patrones, regularidades y
leyes matemáticas, en contextos
matematización en contextos de la
89


etc.
modelización, en
contextos de la realidad y
en contextos
matemáticos.
capacidades para
desarrollar actitudes
adecuadas y afrontar las
dificultades propias del
realidad cotidiana (numéricos,
actitudes personales inherentes al
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA

Cuadriláteros.
ÁLGEBRA

Propiedades de los
paralelogramos.


Números enteros.
Representación, ordenación en
la recta numérica y operaciones.


Circunferencia.


circunferencia.

Círculo.

Números decimales.
operaciones.

porcentuales.

con calculadora u otros medios
tecnológicos.
90
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
naturales, enteros,
fraccionarios, decimales y
operaciones y
propiedades para
intercambiar información
y resolver problemas
diaria.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 3.
GEOMETRÍA









Ángulos y sus
relaciones.
Construcciones
geométricas sencillas:
mediatriz, bisectriz.
Propiedades.
Figuras planas
elementales: triángulo,
cuadrado, figuras
poligonales.
Clasificación de
triángulos y
cuadriláteros.
Propiedades y
relaciones.
Medida y cálculo de
ángulos de figuras
planas. Cálculo de
áreas y perímetros de
figuras planas.
Cálculo de áreas por
descomposición en
figuras simples.
Circunferencia, círculo,
arcos y sectores
circulares.
Triángulos rectángulos.
El teorema de
Pitágoras. Justificación
geométrica y
aplicaciones.
Uso de herramientas
informáticas para
estudiar formas,
configuraciones y
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD

Cuadriláteros.

Propiedades de los
paralelogramos.


Circunferencia.

circunferencia.

Círculo.
CURRICULARES
B3-1. Reconocer y describir
figuras planas, sus elementos y
clasificarlas, identificar
situaciones, describir el contexto
físico, y abordar problemas de la
vida cotidiana.
B3-2. Utilizar estrategias,
herramientas tecnológicas y
técnicas simples de la geometría
analítica plana para la resolución
de problemas de perímetros,
áreas y ángulos de figuras
planas, utilizando el lenguaje
matemático adecuado expresar
el procedimiento seguido en la
resolución.
B3-3. Reconocer el significado
aritmético del Teorema de
Pitágoras (cuadrados de
cuadrados construidos sobre los
lados) y emplearlo para resolver
problemas geométricos.
91
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
los cálculos
necesarios y
comprobando las
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B1-2.2. Valora la
información de un
enunciado y la
relaciona con el
número de
soluciones del
problema.

B1-3. Describir y
analizar situaciones
de cambio, para
encontrar patrones,
matemáticas, en
contextos numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos y
probabilísticos,
para hacer
predicciones.
B1-3.1. Identifica
patrones,
regularidades y
leyes matemáticas
en situaciones de
cambio, en
contextos
numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos y
probabilísticos.

B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
del problema en el
contexto de la
realidad.

B1-8. Desarrollar y
al quehacer
matemático.
B1-8.3. Distingue
entre problemas y
ejercicios y adopta
la actitud adecuada
para cada caso.
Interpreta la
información de un
relaciones con las
soluciones del
problema.
Analiza situaciones,
en contextos
matemáticos,
identifica patrones y
leyes matemáticas,
valora su utilidad y se
apoya en ellos para
resolver problemas y
ejercicios.
COMPE
TENCIA
S
CL
CMCT
CL
CMCT
Desarrolla procesos
en el contexto de la
realidad para resolver
problemas e interpreta
la solución
matemática de los
mismos.
CL
CMCT

92
entre problemas y
ejercicios; los
resuelve en función
de sus características.
CL
CMCT
AA
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B3-1. Reconocer y
describir figuras
planas, sus
elementos y
propiedades
clasificarlas,
identificar
situaciones,
físico, y abordar
problemas de la
vida cotidiana.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B3-1.3. Clasifica los
cuadriláteros y
paralelogramos
atendiendo al
paralelismo entre
sus lados opuestos
y conociendo sus
propiedades
referentes a
ángulos, lados y
diagonales.

B3-1.4. Identifica
las propiedades
geométricas que
caracterizan los
puntos de la
circunferencia y el
círculo.

Identifica,
representa y
describe los
elementos
fundamentales
de los
cuadriláteros y
aplica sus
propiedades,
teniendo en
cuenta sus
características y
clasificando los
cuadriláteros en
paralelogramos
y no
paralelogramos.
Identifica,
representa y
describe los
elementos
fundamentales
de la
circunferencia y
el círculo,
teniendo en
cuenta sus
características y
aplicando las
propiedades
geométricas de
los puntos de la
circunferencia y
el círculo.
93
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B3-2. Utilizar
estrategias,
herramientas
tecnológicas y
la geometría
la resolución de
problemas de
ángulos de figuras
lenguaje matemático
adecuado expresar
el procedimiento
seguido en la
resolución.
B3-3. Reconocer el
significado aritmético
del Teorema de
Pitágoras
(cuadrados de
números, ternas
pitagóricas) y el
significado
geométrico (áreas
de cuadrados
construidos sobre
los lados) y
emplearlo para
resolver problemas
geométricos.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B3-2.1. Resuelve
problemas
relacionados con
distancias,
perímetros,
superficies y ángulos
de figuras planas, en
herramientas
tecnológicas y las
técnicas geométricas
más apropiadas.

B3-2.2. Calcula la
longitud de la
circunferencia, el
área del círculo, la
longitud de un arco y
el área de un sector
circular, y las aplica
para resolver
problemas
geométricos.

B3-3.2. Aplica el
teorema de
Pitágoras para
calcular longitudes
desconocidas en la
resolución de
triángulos y áreas de
polígonos regulares,
en contextos
geométricos o en
contextos reales.
Comprende los
significados aritmético y
geométrico de problemas
relacionados con
distancias, perímetros,
superficies y ángulos de
figuras planas, en
contextos de la vida real;
los plantea y los resuelve
de la forma más adecuada.
COMPE
TENCIA
S
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC

Comprende los
geométrico de
representaciones gráficas,
relacionados con la
longitud de la
circunferencia, el área del
círculo, la longitud de un
arco y el área de un sector
circular; los aplica y realiza
los cálculos
correspondientes para
resolver ejercicios y
Interpreta los datos
conocidos e identifica los
desconocidos en contextos
geométricos o en
contextos reales; calcula
las longitudes
desconocidas en la
resolución de triángulos y
en áreas de polígonos
regulares, aplicando el
94
CL
CMCT
AA
CSC
IE
CL
CMCT
CSC
Comprensión lectora. La bicicleta (página 217).
217).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. Recursos tecnológicos para presentar un trabajo
(página 133).
Emprendimiento. Diseño de una bicicleta actual (página 232).
Educación cívica y constitucional. La urbanización (página 233).
UNIDAD 12. Perímetros y áreas
responsabilidades

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer y saber calcular el perímetro de un polígono
y la longitud de la circunferencia. Calcularán el área de un el área de un triángulo isósceles o
equilátero y hallarán el área de un paralelogramo utilizando el teorema de Pitágoras. Los alumnos
sabrán hallar el área de un trapecio, de un polígono regular y del círculo, aplicando los cálculos a
la resolución de ejercicios y problemas geométricos.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen las figuras planas fundamentales, y
saben calcular los elementos fundamentales de los polígonos regulares, de los cuadriláteros y del
triángulo.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para descomponer
figuras planas en otras más sencillas de forma adecuada. Prevenir mediante el uso de
puzles y dibujos.
95
CONTENIDOS
DE LA ETAPA
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
BLOQUE 1. PROCESOS,

Perímetro de un polígono.

Longitud de la circunferencia.

Área de los paralelogramos.

Área de un triángulo.

Área de un trapecio.

Área de un polígono regular.

Área del círculo.
MATEMÁTICAS


matematización y

obtenidas.
matemáticos.

ÁLGEBRA

Longitud de la circunferencia.


Área de los paralelogramos.
en la recta numérica y

operaciones.


Área de un polígono regular.

Área del círculo.
Números enteros.
Representación, ordenación



Números decimales.
operaciones.

porcentuales.

con calculadora u otros
96
naturales, enteros,
fraccionarios, decimales y
operaciones y propiedades
para recoger, transformar e
resolver problemas
diaria.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 3.
GEOMETRÍA






Figuras planas
elementales: triángulo,
cuadrado, figuras
poligonales.
Medida y cálculo de
ángulos de figuras
planas. Cálculo de
áreas y perímetros de
figuras planas.
Cálculo de áreas por
descomposición en
figuras simples.
Circunferencia, círculo,
arcos y sectores
circulares.
Triángulos rectángulos.
El teorema de
Pitágoras. Justificación
geométrica y
aplicaciones.
Uso de herramientas
informáticas para
estudiar formas,
configuraciones y
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD


Longitud de la
circunferencia.

Área de los
paralelogramos.



Área de un polígono
regular.

Área del círculo.
CURRICULARES
B3-1. Reconocer y describir
figuras planas, sus elementos y
clasificarlas, identificar
situaciones, describir el contexto
físico, y abordar problemas de la
vida cotidiana.
B3-2. Utilizar estrategias,
herramientas tecnológicas y
técnicas simples de la geometría
analítica plana para la resolución
de problemas de perímetros,
áreas y ángulos de figuras
planas, utilizando el lenguaje
matemático adecuado expresar
el procedimiento seguido en la
resolución.
B3-3. Reconocer el significado
aritmético del Teorema de
Pitágoras (cuadrados de
cuadrados construidos sobre los
lados) y emplearlo para resolver
97
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B1-2.1. Analiza y
comprende el
enunciado de los
problemas (datos,
datos, contexto del
problema).

B1-2.2. Valora la
información de un
enunciado y la
relaciona con el
número de
soluciones del
problema.

B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
solución
matemática del
problema en el
contexto de la
realidad.

B1-8. Desarrollar y
cultivar las
actitudes
personales
inherentes al
quehacer
matemático.
B1-8.3. Distingue
entre problemas y
ejercicios y adopta
la actitud adecuada
para cada caso.

Razona y
comprende el
enunciado de
los problemas,
estableciendo
relaciones entre
los datos y el
contexto del
problema.
Interpreta la
información de
un enunciado y
establece
relaciones con
las soluciones
del problema.
Desarrolla
procesos en el
contexto de la
realidad para
resolver
problemas e
interpreta la
solución
matemática de
los mismos.
Conoce la
diferencia entre
problemas y
ejercicios; los
resuelve en
función de sus
características.
98
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
CSC
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
AA
CSC
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-1. Utilizar
números naturales,
enteros,
fraccionarios,
decimales y
porcentajes
sencillos, sus
operaciones y
propiedades para
recoger,
transformar e
intercambiar
información y
resolver problemas
relacionados con la
vida diaria.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-1.3. Emplea
adecuadamente los
distintos tipos de
números y sus
operaciones, para
resolver problemas
cotidianos
contextualizados,
representando e
interpretando
mediante medios
tecnológicos,
cuando sea
necesario, los
resultados
obtenidos.

Resuelve
problemas
relacionados
con la vida
cotidiana,
empleando de
forma adecuada
los números y
sus
operaciones.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B3-2. Utilizar
estrategias,
herramientas
tecnológicas y
la geometría
la resolución de
problemas de
ángulos de figuras
lenguaje
matemático
adecuado expresar
el procedimiento
seguido en la
resolución.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B3-2.1. Resuelve
problemas
relacionados con
distancias,
perímetros,
superficies y
ángulos de figuras
planas, en
herramientas
tecnológicas y las
técnicas
geométricas más
apropiadas.

Comprende los
significados
aritmético y
geométrico de
problemas
relacionados
con distancias,
perímetros,
superficies y
ángulos de
figuras planas,
en contextos de
la vida real; los
plantea y los
resuelve de la
forma más
adecuada.
99
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B3-2. Utilizar
estrategias,
herramientas
tecnológicas y
la geometría
la resolución de
problemas de
ángulos de figuras
lenguaje
matemático
adecuado expresar
el procedimiento
seguido en la
resolución.
B3-3. Reconocer el
significado
aritmético del
Teorema de
Pitágoras
(cuadrados de
números, ternas
pitagóricas) y el
significado
geométrico (áreas
de cuadrados
construidos sobre
los lados) y
emplearlo para
resolver problemas
geométricos.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B3-2.2. Calcula la
longitud de la
circunferencia, el
área del círculo, la
longitud de un arco
y el área de un
sector circular, y las
aplica para resolver
problemas
geométricos.

B3-3.1. Comprende
los significados
aritmético y
geométrico del
Teorema de
Pitágoras y los
utiliza para la
búsqueda de ternas
pitagóricas o la
comprobación del
teorema
construyendo otros
polígonos sobre los
lados del triángulo
rectángulo.

B3-3.2. Aplica el
teorema de
Pitágoras para
calcular longitudes
desconocidas en la
resolución de
triángulos y áreas
de polígonos
regulares, en
contextos
geométricos o en
contextos reales.

Comprende los
geométrico de problemas
relacionados con la
longitud de la
circunferencia, el área del
círculo, la longitud de un
arco y el área de un
sector circular, en
contextos de la vida real;
los plantea y los resuelve
de la forma más
adecuada.
Identifica y comprende
los significados aritmético
y geométrico del
Teorema de Pitágoras;
resuelve ejercicios y
problemas relacionados
con él y expresa los
resultados de forma
coherente.
conocidos e identifica los
desconocidos en
contextos geométricos o
en contextos reales;
calcula las longitudes
desconocidas en la
resolución de triángulos y
en áreas de polígonos
regulares, aplicando el
100
COMPE
TENCIA
S
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
CL
CMCT
AA
CSC
IE
Comprensión lectora. El láser (página 235).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. El láser como recurso de la medicina, la industria y
las comunicaciones (página 235).
Emprendimiento. Reformas y presupuesto (página 254).
Educación cívica y constitucional. La carpintería (página 133).
Valores personales. El presupuesto (página 254).
UNIDAD 13. Funciones y gráficas
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben identificar, representar y calcular las coordenadas de
un punto; determinarán si un punto pertenece a una función y sabrán representarla gráficamente.
Representarán gráficamente un enunciado; y aplicarán sus conocimientos a la resolución de
problemas.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen cómo se representa un punto y saben
identificarlo mediante la expresión correspondiente.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para aplicar los
conocimientos sobre funciones a la representación gráfica de enunciados. Prevenir
mediante pautas y modelos sencillos.
101
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 1. PROCESOS,
MÉTODOS Y
ACTITUDES
MATEMÁTICAS



Planificación del
de problemas.
Estrategias y
lenguaje apropiado
algebraico, etc.),
reformulación del
problema, resolver
casos particulares
sencillos, buscar
etc.
Confianza en las
propias capacidades
para desarrollar
propias del trabajo
científico.
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD

Coordenadas cartesianas.

Concepto de función.

Expresión de una función
mediante una tabla.

mediante una ecuación.

mediante una gráfica.

Interpretación de gráficas.
CURRICULARES
B1-4. Profundizar en problemas
resueltos planteando pequeñas
variaciones en los datos, otras
preguntas, otros contextos, etc.
102
CONTENIDOS
CONTENIDOS CURRICULARES DE LA
ETAPA







Divisibilidad de los números
naturales. Criterios de divisibilidad.
Números enteros. Representación,
ordenación en la recta numérica y
operaciones.
Fracciones en entornos cotidianos.
Comparación de fracciones.
operaciones.
Números decimales. Representación,
Cálculos con porcentajes (mental,
manual, calculadora). Aumentos y
disminuciones porcentuales.
estrategias para el cálculo mental,
para el cálculo aproximado y para el
cálculo con calculadora u otros
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD

Coordenadas
cartesianas.


Expresión de una
función mediante una
tabla.

Expresión de una
ecuación.

Expresión de una
gráfica.

Interpretación de
gráficas.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
naturales, enteros,
fraccionarios, decimales
y porcentajes sencillos,
sus operaciones y
propiedades para
intercambiar
problemas relacionados
con la vida diaria.
significados de los
de paridad, divisibilidad
y operaciones
elementales, mejorando
así la comprensión del
de números.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 4. FUNCIONES


Coordenadas cartesianas:

representación e

Expresión de una función mediante
una tabla.

una ecuación.

una gráfica.

Interpretación de gráficas.
identificación de puntos en
un sistema de ejes
coordenados.

El concepto de función:
Variable dependiente e
independiente. Formas de
presentación (lenguaje
habitual, tabla, gráfica,
fórmula). Crecimiento y
decrecimiento. Continuidad y
discontinuidad. Cortes con
los ejes. Máximos y mínimos
B4-1. Conocer, manejar
e interpretar el sistema
de coordenadas
cartesianas.
B4-2. Manejar las
distintas formas de
presentar una función:
lenguaje habitual, tabla
numérica, gráfica y
ecuación, pasando de
unas formas a otras y
eligiendo la mejor de
ellas en función del
contexto.
B4-3. Comprender el
concepto de función.
Reconocer, interpretar y
relativos. Análisis y
comparación de gráficas.

CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
Funciones lineales. Cálculo,
interpretación e identificación
103
analizar las gráficas
funcionales.
de la pendiente de la recta.
Representaciones de la recta
a partir de la ecuación y
B4-4. Reconocer,
representar y analizar
las funciones lineales,
utilizándolas para
resolver problemas.
obtención de la ecuación a
partir de una recta.

Utilización de calculadoras
gráficas y programas de
ordenador para la
construcción e interpretación
de gráficas.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B1-2.2. Valora la
información de un
enunciado y la
relaciona con el
número de
soluciones del
problema.

B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
solución
matemática del
problema en el
contexto de la
realidad.

B1-8. Desarrollar y
cultivar las
actitudes
personales
inherentes al
quehacer
matemático.
B1-8.3. Distingue
entre problemas y
ejercicios y adopta
la actitud adecuada
para cada caso.

Interpreta la
información de
un enunciado y
establece
relaciones con
las soluciones
del problema.
Desarrolla
procesos en el
contexto de la
realidad para
resolver
problemas e
interpreta la
solución
matemática de
los mismos.
Conoce la
diferencia entre
problemas y
ejercicios; los
resuelve en
función de sus
características.
104
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
naturales, enteros,
fraccionarios, decimales
y porcentajes sencillos,
sus operaciones y
propiedades para
intercambiar información
y resolver problemas
diaria.
distintos tipos de
números (naturales,
enteros, fraccionarios
y decimales) y los
utiliza para
representar, ordenar
e interpretar
adecuadamente la
información
cuantitativa.

significados de los
números en contextos de
operaciones
elementales, mejorando
así la comprensión del
de números.
B2-2.5. Calcula e
interpreta
adecuadamente el
opuesto y el valor
absoluto de un
número entero
comprendiendo su
significado y
contextualizándolo en
real.

INDICADORES DE
LOGRO
números para
representar la
información de forma
correcta.
COMP
ETEN
CIAS
CL
CMCT
AA
CSC
Identifica el valor de un
número, el de su
opuesto y el valor
absoluto,
comprendiendo su
significado y
aplicándolo
correctamente en la
resolución de
operaciones y
problemas.
CL
CMCT
BLOQUE 4. FUNCIONES
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B4-1. Conocer, manejar e
B4-1.1. Localiza puntos
interpretar el sistema de
en el plano a partir de
coordenadas cartesianas.
sus coordenadas y

nombra puntos del plano
Identifica, representa y
nombra distintos puntos
en el plano a partir de
sus coordenadas.
COMP
ETEN
CIAS
CL
CMCT
CD
escribiendo sus
coordenadas.

B4-2. Manejar las distintas
B4-2.1. Pasa de unas
formas de presentar una
formas de
función: lenguaje habitual,
representación de una
tabla numérica, gráfica y
función a otras y elige la
ecuación, pasando de unas
más adecuada en
formas a otras y eligiendo la
función del contexto.
mejor de ellas en función del
contexto.
B4-3. Comprender el
B4-3.2. Interpreta una
concepto de función.
gráfica y la analiza,
Reconocer, interpretar y
reconociendo sus
analizar las gráficas
propiedades más
funcionales.
características.

Representa funciones
de la forma más
adecuada, en función
del contexto y del
ejercicio o el problema
planteados; pasando
de una forma de
representación a otra
cuando es conveniente.
Reconoce e interpreta
una gráfica y la analiza.
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
105
BLOQUE 4. FUNCIONES (CONTINUACIÓN)
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B4-4. Reconocer,
representar y
analizar las
funciones lineales,
utilizándolas para
resolver problemas.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B4-4.1. Reconoce y
representa una
función lineal a
partir de la
ecuación o de una
tabla de valores, y
obtiene la
pendiente de la
recta
correspondiente.

B4-4.4. Estudia
situaciones reales
sencillas y,
apoyándose en
recursos
tecnológicos,
identifica el modelo
matemático
funcional (lineal o
afín) más adecuado
para explicarlas y
realiza predicciones
y simulaciones
sobre su
comportamiento.

Interpreta y
representa una
función lineal a
partir de la
ecuación o de
una tabla de
valores,
explicando
cuáles son las
características
de la gráfica.
Realiza
representaciones
gráficas de
situaciones
reales sencillas,
mediante el
modelo gráfico
más adecuado;
las analiza y las
explica de forma
lógica y
coherente.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
Comprensión lectora. El termómetro (página 257).
Comunicación audiovisual. Interpretación de imágenes y vídeos
por Internet (página 275).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. El número de visitantes a un blog de Internet
(página 273); Las escalas de temperatura y los aparatos de medida
(página 257).
Educación cívica y constitucional. La fiebre y la temperatura
(página 274).
Valores personales. El comportamiento en las atracciones de feria
(página 275).
106
UNIDAD 14. Estadística y probabilidad
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben saber interpretar y construir tablas de frecuencias,
diagramas de barras y de sectores. Sabrán calcular probabilidades utilizando la regla de Laplace;
y aplicarán sus conocimientos al cálculo y a la resolución de problemas.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen los conceptos básicos sobre frecuencias;
están familiarizados con los datos de recuento sobre muestras estadísticas y con las
representaciones gráficas básicas.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para realizar el
cálculo de probabilidades cuando el número de casos posibles o totales no vienen dados
directamente. Prevenir para que realicen una lectura comprensiva del problema y
representándolo gráficamente con datos pequeños.
107
CONTENIDOS
DE LA ETAPA
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD
BLOQUE 1. PROCES, MÉT Y

Población y muestra.
ACTITUDES MATEMÁTICAS

Variables estadísticas.

Frecuencias. Tablas de
frecuencias.

Gráficos estadísticos.

Medidas estadísticas.

Experimentos aleatorios.

Probabilidad. Regla de
Laplace.


reformulación del problema, resolver
subproblemas, recuento exhaustivo,
empezar por casos particulares
sencillos, buscar regularidades y
leyes, etc.

Utilización de medios tecnológicos
en el proceso de aprendizaje para:
a) la recogida ordenada y la
CURRICULARES
obtenidas.
encontrar patrones, regularidades
y leyes matemáticas, en
estadísticos y probabilísticos,
valorando su utilidad para hacer
predicciones.
B1-11. Emplear las herramientas
tecnológicas adecuadas, de forma
autónoma, realizando cálculos
numéricos, algebraicos o
estadísticos, haciendo
representaciones gráficas,
recreando situaciones
matemáticas mediante
simulaciones o analizando con
sentido crítico situaciones
diversas que ayuden a la
comprensión de conceptos
matemáticos o a la resolución de
problemas.
organización de datos;
b) la elaboración y creación de
representaciones gráficas de
datos numéricos, funcionales o
estadísticos;
c) facilitar la comprensión de
propiedades geométricas o
funcionales y la realización de
cálculos de tipo numérico,
algebraico o estadístico;
d) el diseño de simulaciones y la
elaboración de predicciones
sobre situaciones matemáticas
diversas;
e) la elaboración de informes y
documentos sobre los procesos
llevados a cabo y los resultados
y conclusiones obtenidos;
f) comunicar y compartir, en
entornos apropiados, la
información y las ideas
matemáticas.
108
CONTENIDOS
CONTENIDOS CURRICULARES DE LA ETAPA






Números enteros. Representación, ordenación en
la recta numérica y operaciones.
Fracciones en entornos cotidianos. Fracciones
equivalentes. Comparación de fracciones.
Representación, ordenación y operaciones.
Números decimales. Representación, ordenación y
operaciones.
Jerarquía de las operaciones. Cálculos con
porcentajes (mental, manual, calculadora).
Aumentos y disminuciones porcentuales.
Elaboración y utilización de estrategias para el
cálculo mental, para el cálculo aproximado y para
el cálculo con calculadora u otros medios
tecnológicos.
CONTENIDOS DE
LA UNIDAD

Población y
muestra.

Variables
estadísticas.

Frecuencias.
Tablas de
frecuencias.

Gráficos
estadísticos.

Medidas
estadísticas.

Experimentos
aleatorios.

Probabilidad.
Regla de
Laplace.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-1. Utilizar
números
naturales, enteros,
fraccionarios,
decimales y
porcentajes
sencillos, sus
operaciones y
propiedades para
recoger,
transformar e
intercambiar
información y
resolver problemas
relacionados con
la vida diaria.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 5.
ESTADÍSTICA Y
PROBABILIDAD







Población e individuo.
Muestra. Variables
estadísticas.
Variables cualitativas y
cuantitativas.
Frecuencias absolutas y
relativas.
Organización en tablas
de datos recogidos en
una experiencia.
Diagramas de barras, y
de sectores. Polígonos
de frecuencias.
Medidas de tendencia
central.
Medidas de dispersión.
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD



Frecuencias. Tablas de
frecuencias.


Medidas estadísticas.

Experimentos
aleatorios.

Probabilidad. Regla de
Laplace.
CURRICULARES
B5-1. Formular preguntas adecuadas
para conocer las características de
interés de una población y recoger,
organizar y presentar datos
relevantes para responderlas,
utilizando los métodos estadísticos
apropiados y las herramientas
adecuadas, organizando los datos en
tablas y construyendo gráficas,
calculando los parámetros relevantes
y obteniendo conclusiones
razonables a partir de los resultados
obtenidos.
B5-2. Utilizar herramientas
tecnológicas para organizar datos,
generar gráficas estadísticas,
calcular parámetros relevantes y
comunicar los resultados obtenidos
que respondan a las preguntas
109




Fenómenos
deterministas y
aleatorios.
Formulación de
conjeturas sobre el
comportamiento de
fenómenos aleatorios
sencillos y diseño de
experiencias para su
comprobación.
Frecuencia relativa de
un suceso y su
aproximación a la
probabilidad mediante la
simulación o
experimentación.
Espacio muestral en
experimentos sencillos.
Tablas y diagramas de
árbol sencillos.
formuladas previamente sobre la
situación estudiada.
B5-3. Diferenciar los fenómenos
deterministas de los aleatorios,
valorando la posibilidad que ofrecen
las matemáticas para analizar y
hacer predicciones razonables
acerca del comportamiento de los
aleatorios a partir de las
regularidades obtenidas al repetir un
número significativo de veces la
experiencia aleatoria, o el cálculo de
su probabilidad.
B5-4. Inducir la noción de
probabilidad a partir del concepto de
frecuencia relativa y como medida de
incertidumbre asociada a los
fenómenos aleatorios, sea o no
posible la experimentación.
BLOQUE 5. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B5-1. Formular
preguntas adecuadas
para conocer las
características de
interés de una
población y recoger,
organizar y presentar
datos relevantes para
responderlas,
utilizando los métodos
estadísticos
apropiados y las
herramientas
adecuadas,
organizando los datos
en tablas y
construyendo
gráficas, calculando
los parámetros
relevantes y
obteniendo
conclusiones
razonables a partir de
los resultados
obtenidos.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B5-1.1. Define
población, muestra e
individuo desde el
punto de vista de la
estadística, y los
aplica a casos
concretos.

B5-1.2. Reconoce y
propone ejemplos de
distintos tipos de
variables estadísticas,
tanto cualitativas
como cuantitativas.

B5-1.3. Organiza
datos, obtenidos de
una población, de
variables cualitativas
o cuantitativas en
tablas, calcula sus
frecuencias absolutas
y relativas, y los
representa
gráficamente.

Identifica y define
individuo desde el
estadística, y los
aplica a casos
concretos.
Identifica y pone
ejemplos y de
distintos tipos de
variables estadísticas.
COMP
ETEN
CIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
CSC
110
Identifica, analiza y
organiza en tablas, de
variables cualitativas o
cuantitativas, los
datos obtenidos de
una población; calcula
sus frecuencias
absolutas y relativas,
y los representa
gráficamente.
CL
CMCT
AA
CSC
BLOQUE 5. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD (CONTINUACIÓN)
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B5-1. Formular preguntas
adecuadas para conocer
las características de
interés de una población y
recoger, organizar y
presentar datos relevantes
para responderlas,
utilizando los métodos
estadísticos apropiados y
las herramientas
adecuadas, organizando
los datos en tablas y
construyendo gráficas,
calculando los parámetros
relevantes y obteniendo
conclusiones razonables a
partir de los resultados
obtenidos.
B5-1.4. Calcula la
media aritmética,
la mediana
(intervalo
mediano), la moda
(intervalo modal), y
el rango, y los
emplea para
resolver
problemas.

B5-1.5. Interpreta
gráficos
estadísticos
sencillos recogidos
en medios de
comunicación.

B5-2. Utilizar herramientas
tecnológicas para
organizar datos, generar
gráficas estadísticas,
calcular parámetros
relevantes y comunicar los
resultados obtenidos que
respondan a las preguntas
formuladas previamente
sobre la situación
estudiada.
B5-2.1. Emplea la
calculadora y
herramientas
tecnológicas para
organizar datos,
generar gráficos
estadísticos y
calcular las
medidas de
tendencia central y
el rango de
variables
estadísticas
cuantitativas.
Resuelve ejercicios y
problemas
estadísticos,
calculando la media
aritmética, la
mediana, la moda, y
el rango.
COM
PET
ENCI
AS
CL
CMC
T
AA
CSC

Analiza distintos tipos
de gráficos
estadísticos sencillos
recogidos en medios
de comunicación y
expone su significado,
argumentándolo.
Utiliza herramientas
tecnológicas, busca
en Internet e
interpreta datos
estadísticos, realiza
los cálculos
adecuados,
ayudándose de la
calculadora y
representándolos
correctamente.
CL
CMC
T
CD
AA
CSC
CL
CMC
T
CD
AA
CSC
IE
Comprensión lectora. El televisor (página 277).
Comunicación audiovisual. Evolución de la televisión (página 277).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. Interpretación de tablas y gráficos de la unidad.
Emprendimiento. Exportaciones (página 295).
Educación cívica y constitucional. Los caramelos (página 295).
Valores personales. La televisión como entretenimiento, evolución
(página 294).
111
ESTÁNADRES DE APRENDIZAJE EVALUABLES
BÁSICOS DE 1º ESO
(Contenidos Mínimos)
Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas. Contenidos comunes.
• Utilización de estrategias y técnicas simples en la resolución de problemas, tales
como el análisis del enunciado o la resolución de un problema más simple, y
comprobación de la solución obtenida.
• Expresión verbal del procedimiento que se ha seguido en la resolución de problemas.
• Interpretación de mensajes que contengan informaciones sobre cantidades y medidas
o sobre elementos o relaciones espaciales.
• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las
relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas.
• Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas.
• Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo numérico,
algebraico o estadístico, las representaciones y la comprensión de propiedades
geométricas.
Bloque 2. Números y Álgebra.
• Divisibilidad. Múltiplos y divisores. Números primos y números compuestos. Criterios
de divisibilidad. Aplicaciones de la divisibilidad a la resolución de problemas.
• Números fraccionarios y decimales. Relaciones entre fracciones y decimales.
Comparación y orden en los números fraccionarios y decimales. Operaciones
elementales. Aproximaciones y redondeos.
• Necesidad de los números negativos para expresar estados y cambios.
Reconocimiento y conceptualización en contextos reales.
• Números enteros. Relación de orden. Representación gráfica. Operaciones
elementales. Jerarquía de las operaciones y uso del paréntesis.
• Potencias de base entera y exponente natural. Cuadrados perfectos. Raíces
cuadradas exactas.
• Las magnitudes y su medida. El sistema métrico decimal. Unidades de longitud, masa,
capacidad, superficie y volumen. Transformación de unidades de una misma magnitud.
Relación entre capacidad y volumen.
• Razón y proporción. Magnitudes directamente proporcionales. Regla de tres: doble,
triple. Aplicación a la resolución de problemas en los que intervenga la
proporcionalidad directa. Porcentajes. Cálculo mental y escrito con porcentajes
habituales.
• Traducción de expresiones del lenguaje cotidiano al algebraico y viceversa.
• Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
• Utilización de las ecuaciones como herramienta para resolver problemas de la vida
cotidiana
112
Bloque 3. Geometría.
• Descripción, construcción, clasificación y propiedades características de las figuras
planas elementales: triángulos, cuadriláteros, polígonos regalares y circunferencias.
• Triángulos: altura, mediatrices, bisectrices y medianas; circunferencia e incentro.
Criterios de igualdad.
• Medida y cálculo de ángulos en figuras planas.
• Cálculo de longitudes y perímetros. Unidades de longitud en el sistema métrico
decimal. El número pi.
• Cálculo de áreas de las figuras planas elementales. Unidades de área en el sistema
métrico decimal. Cálculo de áreas por descomposición en figuras simples.
• Circunferencias, círculos, arcos y sectores circulares.
Bloque 4. Funciones y gráficas.
• El plano cartesiano. Ejes de coordenadas. Representación de puntos en un sistema
de ejes coordenados. Identificación de puntos a partir de sus coordenadas.
• Reconocimiento, identificación e interpretación de funciones lineales sencillas y sus
relaciones de proporcionalidad directa a partir del análisis de su tabla de valores o su
gráfica.
• Interpretación y lectura de tablas de valores y gráficas relacionadas con los
fenómenos naturales, la vida cotidiana y el mundo de la información.
Bloque 5. Estadística y probabilidad.
• Diferentes formas de recogida de información. Organización en tablas de datos
recogidos en una experiencia. Frecuencias absolutas y relativas.
• Diagramas de barras, de líneas y de sectores. Análisis de los aspectos más destacables
de los gráficos estadísticos.
113
PROGRAMACIÓN:
Refuerzo de
Matemáticas (CLYM) 1º
ESO
1ª EVALUACIÓN

Los números naturales
Operar con números naturales

Divisibilidad
Saber encontrar múltiplos y divisores de un número natural.
Números primos y compuestos

Los números enteros
Operaciones con números enteros. Operaciones con paréntesis.

Fracciones
Fracciones equivalentes. Operar con números fraccionarios

Los números decimales. Sistema métrico decimal
Operaciones con números decimales
2ª EVALUACIÓN

Sistema métrico decimal
Reconocer la necesidad de medir. Cambio de unidades

Iniciación al álgebra
Buscar ejemplos de expresiones algebraicas.
Igualdades y ecuaciones. Resolución de ecuaciones

Proporcionalidad
Buscar ejemplos de proporcionalidad directa e inversa. Porcentajes

Tablas y gráficas
114
Buscar en el periódico distintos tipos de tablas. Interpretar
Buscar en el periódico distintos tipos de gráficas. Interpretar
3ª EVALUACIÓN

Rectas y ángulos
Dominar los elementos básicos de la geometría

Figuras planas
Concepto y reconocimiento de algunas figuras planas y sus elementos

Áreas de figuras planas
Cálculo de áreas de las figuras planas elementales…triangulo, cuadrado,
rombo.

Estadística y probabilidad
Construcción de tablas de frecuencia
Los alumnos que cursan esta asignatura presentan dificultades para asimilar los
contenidos del área de Matemáticas. Las clases de esta asignatura se dedicarán a apoyo
y complemento de las clases de Matemáticas del nivel correspondiente y estos
contenidos servirán solo de referencia para las clases de “REFUERZO” (CLyM) ya que
además el alumnado puede ser muy dispar (repetidores, minorías, inmigrantes que
conocen el idioma y que no, ACNEES, ANCES, etc.) y en muchos casos nos limitamos a
reforzar las tareas del profesor de apoyo o del grupo correspondiente. Por lo tanto en
esta asignatura no hablaremos de “Contenidos Mínimos”.
Los profesores que impartan el área de Matemáticas en el grupo, estarán en
contacto directo con el que imparte el Refuerzo de Matemáticas, para trasmitir la
correspondiente información y propiciar así el refuerzo de los contenidos más difíciles
y procurar solventar, en la medida de lo posible, las dificultades de aprendizaje que
presenten los alumnos del Refuerzo.
115
PROGRAMACIÓN
DIDÁCTICA
Matemáticas
3º ESO
ENSEÑANZAS ACADÉMICAS
Libro de texto:
MATEMÁTICAS 3 ESO (Serie Resuelve)
116
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas de 3º de ESO
La competencia matemática, reconocida como clave por la Unión Europea, se
desarrolla especialmente gracias a la contribución de la asignatura de
Matemáticas. Esta competencia se entiende como habilidad para desarrollar y
aplicar el razonamiento matemático con el fin de resolver problemas diversos
en situaciones cotidianas; en concreto, engloba los siguientes aspectos y
facetas: pensar, modelar y razonar de forma matemática, plantear y resolver
problemas, representar entidades matemáticas, utilizar los símbolos
matemáticos, comunicarse con las Matemáticas y sobre las Matemáticas, y
utilizar ayudas y herramientas tecnológicas. Por otro lado, el pensamiento
matemático ayuda a la adquisición del resto de competencias y contribuye a la
formación intelectual del alumnado, lo que permitirá que se desenvuelva mejor
tanto en el ámbito personal como social. La resolución de problemas y los
proyectos de investigación constituyen los ejes fundamentales en el proceso de
enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas. Una de las capacidades
esenciales que se desarrollan con la actividad matemática es la habilidad de
formular, plantear, interpretar y resolver problemas, ya que permite a las
personas emplear los procesos cognitivos para abordar y resolver situaciones
interdisciplinares en contextos reales, lo que resulta de máximo interés para el
desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico. En este proceso de
resolución e investigación están involucradas muchas otras competencias,
además de la matemática, entre otras la comunicación lingüística, al leer de
forma comprensiva los enunciados y comunicar los resultados obtenidos; el
sentido de iniciativa y emprendimiento al establecer un plan de trabajo en
revisión y modificación continua en la medida que se va resolviendo el
problema; la competencia digital, al tratar de forma adecuada la información
y, en su caso, servir de apoyo a la resolución del problema y comprobación de
la solución; o la competencia social y cívica, al implicar una actitud abierta
ante diferentes soluciones.
El alumnado que curse esta asignatura profundizará en el desarrollo de las
habilidades de pensamiento matemático; concretamente en la capacidad de
analizar e investigar, interpretar y comunicar matemáticamente diversos
fenómenos y problemas en distintos contextos, así como de proporcionar
soluciones prácticas a los mismos; también debe valorar las posibilidades de
aplicación práctica del conocimiento matemático tanto para el enriquecimiento
personal como para la valoración de su papel en el progreso de la humanidad.
Es importante que en el desarrollo del currículo de esta asignatura los
conocimientos, las competencias y los valores estén integrados, por lo que los
estándares de aprendizaje evaluables se han formulado teniendo en cuenta la
imprescindible relación entre dichos elementos. Todo ello justifica que se haya
organizado en torno a los siguientes bloques para los cursos de 3º y 4º de
ESO, fortaleciendo tanto los aspectos teóricos como las aplicaciones prácticas
en contextos reales de los mismos: Procesos, métodos y actitudes en
Matemáticas, Números y Álgebra, Geometría, Funciones, y Estadística y
Probabilidad. El bloque de “Procesos, métodos y actitudes en Matemáticas” es
común a los dos cursos y debe desarrollarse de modo transversal y
simultáneamente al resto de bloques, constituyendo el hilo conductor de la
asignatura; se articula sobre procesos básicos e imprescindibles en el
quehacer matemático: la resolución de problemas, proyectos de investigación
matemática, la matematización y modelización, las actitudes adecuadas para
desarrollar el trabajo científico y la utilización de medios tecnológicos.
117
OBJETIVOS POR TEMAS: TERCER CURSO ESO
TEMA 1 NÚMEROS RACIONALES
– Distinguir números naturales, enteros y racionales.
– Reconocer y obtener fracciones equivalentes.
– Clasificar números decimales.
– Obtener la fracción generatriz de un número decimal.
– Realizar operaciones básicas con fracciones.
– Calcular potencias y raíces de fracciones.
– Calcular expresiones con operaciones combinadas con fracciones.
– Reconocer números racionales y números irracionales.
– Aplicar un método general de resolución de problemas.
TEMA 2 POTENCIAS Y RAICES
– Relacionar los diferentes conjuntos números, incluyendo los números reales.
– Obtener aproximaciones de un número indicando el error absoluto cometido.
– Calcular el error relativo de una aproximación.
– Realizar operaciones básicas con números reales.
– Aplicar las propiedades de potencias y raíces
– Calcular potencias y raíces de números reales.
– Expresar un número en notación científica.
– Realizar operaciones en notación científica.
– Resolver problemas buscando contraejemplos.
TEMA 3 PROPORCINALIDAD NUMÉRICA
– Resolver problemas de regla de tres directa e inversa
– Realizar repartos proporcionales
– Resolver problemas mediante regla de tres compuesta
– Porcentajes: aumentos y descensos porcentuales
118
TEMA 4 POLINIMIOS
– Reconocer expresiones algebraicas y calcular su valor numérico.
– Realizar operaciones con monomios. Determinar el grado de un polinomio.
– Calcular el valor numérico de un polinomio.
– Realizar operaciones con polinomios.
– Aplicar el método de Ruffini.
– Reconocer y aplicar los productos notables.
– Factorizar polinomios y simplificar fracciones algebraicas.
– Resolver problemas por método de inducción completa.
TEMA 5 ECUACIONES
– Diferenciar entre ecuaciones e identidades.
– Transformar una ecuación en otra equivalente.
– Resolver ecuaciones de primer grado.
– Resolver ecuaciones incompletas de segundo grado.
– Resolver ecuaciones completas de segundo grado.
– Determinar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado.
– Calcular la suma y el producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado.
– Resolver ecuaciones factorizadas. Resolver ecuaciones bicuadradas.
– Aplicar las ecuaciones a la resolución de problemas.
– Resolver problemas por el método de ensayo y error.
TEMA 6 SISTEMAS
– Reconocer una ecuación lineal con dos incógnitas.
– Identificar sistemas de ecuaciones lineales.
– Comprobar que dos sistemas son equivalentes.
– Clasificar un sistema de ecuaciones lineales.
– Resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones.
– Resolver gráficamente un sistema de ecuaciones.
– Aplicar los sistemas de ecuaciones a la resolución de problemas.
– Resolver problemas por el método del razonamiento inverso.
TEMA 7 PROGRESIONES
– Reconocer y construir sucesiones de números reales.
– Obtener el término general de una sucesión.
– Identificar progresiones aritméticas y calcular su término general.
– Calcular la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.
– Interpolar medios aritméticos entre dos valores.
– Identificar progresiones geométricas y obtener su término general.
119
– Aplicar la propiedad de los términos de una progresión aritmética o geométrica.
– Calcular el producto de los n primeros términos de una progresión geométrica.
– Obtener la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica.
– Calcular la suma de todos los términos de una progresión geométrica.
– Interpolar medios geométricos entre dos valores.
– Realizar cálculos relacionados con el interés simple.
– Realizar cálculos relacionados con el interés compuesto.
– Resolver problemas basados en la búsqueda de regularidades.
TEMA 8 LUGARES GEOMÉTRICOS ÁREAS YPERÍMETROS
– Reconocer y representar puntos, rectas, planos, semirrectas, segmentos y semiplanos.
– Identificar las posiciones relativas de diferentes elementos geométricos en el plano y en el espacio.
– Reconocer lugares geométricos del plano.
– Demostrar y aplicar el teorema de Pitágoras.
– Calcular el área y el perímetro de figuras planas utilizando fórmulas.
TEMA 9 MOVIMIENTOS Y SEMEJANZA
– Reconocer transformaciones geométricas, figuras homólogas y elementos invariantes.
– Clasificación de los movimientos en el plano.
– Reconocer los elementos de un vector fijo.
– Identificar vectores equipolentes.
– Sumar vectores libres.
– Trazar la traslación de una figura.
– Enumerar las características de las traslaciones, las simetrías centrales y los giros.
– Aplicar un giro a una figura dada.
– Reconocer las simetrías axiales y sus características.
– Realizar una composición de movimientos.
– Enunciar el teorema de Tales y el recíproco del teorema de Tales.
– Aplicar el teorema de Tales en diferentes situaciones problemáticas.
– Identificar polígonos semejantes.
– Reconocer la razón de los perímetros y de las áreas de figuras semejantes.
– Aplicar los criterios de semejanza de triángulos.
– Clasificar las escalas.
– Representar mosaicos regulares y semirregulares.
– Resolver problemas experimentando con la posible solución.
TEMA 10 CUERPOS GEOMÉTRICOS
– Reconocer los elementos de los poliedros.
– Diferenciar entre poliedros cóncavos y convexos y aplicar la fórmula de Euler.
120
– Reconocer los planos y ejes de simetría de un poliedro.
– Aplicar el principio de Cavalieri en el plano y en el espacio.
– Calcular áreas y volúmenes de prismas aplicando las fórmulas correspondientes.
– Obtener el área y el volumen de una pirámide y de un tronco de pirámide utilizando las fórmulas
correspondientes.
– Reconocer las propiedades de los cuerpos de revolución.
– Calcular el área y el volumen de un cilindro o de un cono aplicando las fórmulas correspondientes.
– Reconocer los elementos de la esfera.. Calcular el área y el volumen de una esfera.
– Indicar las coordenadas geográficas de un punto de la superficie de la esfera terrestre.
– Resolver problemas de geometría.
TEMA 11 FUNCIONES
– Reconocer las variables independiente y dependiente relacionadas en una función.
– Expresar una función de diferentes formas.
– Indicar el recorrido y el dominio de una función.
– Reconocer la posible periodicidad de una función.
– Determinar los puntos de corte de una función con los ejes.
– Analizar la simetría de una función distinguiendo entre funciones pares e impares.
– Reconocer la continuidad de una función a partir de su representación gráfica.
– Analizar el crecimiento o decrecimiento de una función.
– Identificar los máximos y mínimos absolutos y relativos de una función.
– Estudiar el comportamiento de una función a partir de su gráfica.
– Resolver problemas gráficamente.
TEMA 12 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
– Reconocer funciones afines a partir de su gráfica y de su expresión analítica.
– Definir y reconocer funciones lineales a partir de su gráfica y de su expresión analítica.
– Identificar los elementos característicos de la ecuación de una recta.
– Determinar e interpretar la pendiente de una recta.
– Reconocer las diferentes formas de la ecuación de una recta.
– Identificar la posición relativa de dos rectas.
– Determinar el punto de corte de dos rectas secantes.
– Reconocer los elementos característicos de las funciones cuadráticas.
– Representar una función cuadrática a partir de su expresión analítica.
– Resolver problemas por el método de particularización del problema.
TEMA 13 ESTADÍSTICA
– Reconocer la población, la muestra y el individuo en un estudio estadístico.
– Distinguir entre el muestreo no aleatorio, probabilístico y estratificado proporcional.
121
– Clasificar una variable estadística según sea cualitativa, cuantitativa, discreta o continua.
– Reconocer las etapas de una investigación estadística.
– Completar e interpretar tablas de frecuencias absolutas y relativas.
– Calcular frecuencias absolutas y relativas acumuladas.
– Obtener frecuencias de datos agrupados en clases.
– Interpretar y construir diagramas de barras, diagramas de sectores y pictogramas.
– Analizar histogramas y polígonos de frecuencias.
– Interpretar cartogramas.
– Resolver problemas realizando un esquema o un gráfico.
– Diferenciar entre parámetros de posición y parámetros de dispersión.
– Calcular la media aritmética simple con datos no agrupados, con datos agrupados en una tabla de
frecuencias y con datos agrupados en intervalos.
– Calcular la media aritmética ponderada.
– Obtener la mediana con datos no agrupados, con datos agrupados en una tabla de frecuencias y con
datos agrupados en intervalos.
– Determinar la moda con datos no agrupados o agrupados.
– Calcular los cuartiles de una distribución estadística.
– Calcular el rango o recorrido de una distribución estadística.
– Calcular la varianza y la desviación típica de una distribución.
– Representar un diagrama de caja y bigotes.
– Interpretar el coeficiente de variación de una distribución.
– Resolver problemas organizando la información disponible.
TEMA 14 PROBABILIDAD
– Reconocer experimentos aleatorios y su espacio muestral correspondiente.
– Diferenciar los distintos tipos de sucesos de un experimento aleatorio.
– Operar con sucesos expresando el resultado como conjunto o gráficamente.
– Distinguir entre sucesos compatibles e incompatibles.
– Expresar la probabilidad de un suceso.
– Reconocer y aplicar las propiedades de la probabilidad.
– Calcular probabilidades aplicando la regla de Laplace.
– Resolver problemas utilizando tablas de contingencia.
– Relacionar la frecuencia relativa de un suceso con su probabilidad.
– Resolver problemas por el método de reducción al absurdo.
122
1ª EVALUACIÓN
UNIDAD 1. Números racionales
responsabilidades

Enfoque de la unidad. Los alumnos sabrán identificar y calcular fracciones equivalentes y hallar
el término desconocido de una fracción equivalente a otra; sabrán amplificar, simplificar y reducir
fracciones, calcular un término desconocido en fracciones equivalentes, reducir a común
denominador y comparar fracciones. Sabrán realizar operaciones con fracciones y con números
decimales, expresando la equivalencia entre ellos. Realizarán operaciones combinadas con
números racionales.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos los números naturales y sus operaciones
básicas, así como el cálculo elemental de potencias. Identifican y saben operar con
números enteros; distinguen entre enteros y naturales, saben expresar la equivalencia
entre enteros positivos y números naturales.

operaciones con paréntesis, cuando las fracciones tengan distinto denominador y se trate
de efectuar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones combinadas. Prevenir para que
no confundan el orden correcto de resolución, tanto por la jerarquía de operaciones como
por el uso de paréntesis, y la reducción a común denominado
123
CONTENIDOS
CONTENIDOS CURRICULARES DE
LA ETAPA
BLOQUE 1. PROCESOS,
MÉTODOS Y ACTITUDES EN
MATEMÁTICAS




resolver subproblemas, recuento
exhaustivo, empezar por casos
particulares sencillos, buscar
regularidades y leyes, etc.
Reflexión sobre los resultados:
revisión de las operaciones
utilizadas, asignación de unidades
a los resultados, comprobación e
interpretación de las soluciones en
el contexto de la situación,
búsqueda de otras formas de
resolución, etc.
matematización y modelización, en
contextos de la realidad y en
ÁLGEBRA




Jerarquía de operaciones.
Números decimales y racionales.
Transformación de fracciones en
decimales y viceversa. Números
decimales exactos y periódicos.
Fracción generatriz.
Operaciones con fracciones y
decimales. Cálculo aproximado y
redondeo. Cifras significativas. Error
absoluto y relativo.
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD







CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
Fracciones; fracciones
equivalentes; hallar el
término desconocido de
una fracción equivalente a
otra.
Fracción irreducible;
amplificación y
simplificación de
fracciones; calcular la
fracción irreducible.
Reducción a común
denominador; comparación
de fracciones.
Operaciones con
fracciones: suma, resta,
multiplicación y división.
Realizar operaciones
combinadas con
fracciones.
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
los cálculos
necesarios y
comprobando las
Números decimales; tipos
de números decimales;
expresar una fracción
mediante un número
decimal; expresar un
número decimal exacto o
periódico mediante una
fracción.
Números racionales.
B2-1. Utilizar las
propiedades de los
números racionales
para operarlos,
utilizando la forma de
cálculo y notación
adecuada, para
resolver problemas de
la vida cotidiana, y
presentando los
resultados con la
precisión requerida.
124
B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B1-2.1. Analiza y
comprende el
enunciado de los
problemas (datos,
datos, contexto del
problema).

B1-6.1. Identifica
situaciones
realidad,
susceptibles de
contener problemas
de interés.

Comprende la
situación
planteada en el
enunciado de
problemas con
números
racionales; y
responde a las
preguntas que
se le formulan,
empleando
números y datos
relacionados
entre sí.
Identifica y
comprende la
situación
planteada en el
enunciado de
problemas,
desarrollando
procesos
matemáticos en
contextos de la
vida cotidiana.
125
COMPETENCIAS
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
AA
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-1. Utilizar las
propiedades de los
números racionales
para operarlos,
utilizando la forma
de cálculo y
notación adecuada,
para resolver
problemas de la
vida cotidiana, y
presentando los
resultados con la
INDICADORES
DE LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B2-1.1. Reconoce los
distintos tipos de números
racionales), indica el criterio
utilizado para su distinción y
los utiliza para representar e
interpretar adecuadamente
información cuantitativa.

B2-1.2. Distingue, al hallar
el decimal equivalente a una
fracción, entre decimales
finitos y decimales infinitos
periódicos, indicando en
este caso el grupo de
decimales que se repiten o
forman período.

B2-1.3. Halla la fracción
generatriz correspondiente a
un decimal exacto o
periódico.

B2-1.9. Calcula el valor de
expresiones numéricas de
números enteros, decimales
y fraccionarios mediante las
operaciones elementales y
las potencias de exponente
entero, aplicando
correctamente la jerarquía
de las operaciones.
126

COMPET
ENCIAS
Identifica los
números
fraccionarios y
los utiliza
adecuadament
e,
estableciendo
su equivalencia
con números
decimales.
CMCT
Calcula el
decimal
equivalente a
una fracción y
discrimina entre
decimales
finitos e
infinitos.
CMCT
Realiza las
operaciones
correspondient
es para calcular
la fracción
generatriz de
un decimal
exacto y de un
decimal
periódico.
CMCT
Realiza
operaciones
con números
racionales,
utilizando las
potencias de
exponente
entero y
aplicando la
jerarquía de las
operaciones.
CMCT
AA
Comprensión lectora. Texto inicial de la unidad Del papiro a la fabricación del
papel en la actualidad (página 7); Pasos a seguir (páginas 29, 11, 15, 17, 18).
Expresión oral y escrita. Lee, comprende y razona (página 7); Escribir
problemas a partir de unos textos y unos datos dados (página 15).
Comunicación audiovisual. Cuadros informativos: Qué son fracciones positivas
y fracciones negativas (página 9); La fracción irreducible (página 2.11);
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
Operaciones combinadas con fracciones. La regla de los signos (pág.15); Expresar
una fracción mediante un número decimal (páginas 2, 17); La fracción generatriz
(página 18); Los números racionales (página 19).
El tratamiento de las tecnologías de la información y de la comunicación
Fabricación de carteles en una empresa de publicidad (página 27).
Emprendimiento. Saber hacer (página. 9,11, 15, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 26);
Actividades finales (página 26); Investiga (página 26); El tiempo de reacción en
una carrera de velocidad (página 27).
UNIDAD 2. Potencias y raíces
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer y realizar cálculos con potencias de números
racionales, con potencias de exponente entero positivo, con potencias de exponente entero
negativo y con potencias de exponente 1, -1 y 0. Utilizarán la notación científica en el contexto
adecuado y efectuarán sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en notación científica. Sabrán
calcular la raíz cuadrada de un número racional y realizarán operaciones con raíces. Conocerán
los números reales, los irracionales y los reales. Realizarán aproximaciones por redondeo y por
truncamiento; distinguirán y calcularán el error absoluto y el error relativo, y conocerán los
diferentes tipos de intervalos. Aplican los conocimientos a la resolución de problemas.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen los números naturales, enteros y
racionales y saben realizar con ellos las operaciones fundamentales. Conocen las reglas
principales del cálculo con potencias y saben aplicarlas.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para extraer factores de
una raíz. Prevenir mediante la práctica de descomposición en producto de potencias
127
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD
BLOQUE 2. NÚMEROS
Y ÁLGEBRA

racionales.


Operaciones con
potencias.

Notación científica.

Operaciones en notación
científica.

Raíces.

Números reales.

Aproximaciones y errores.

Intervalos.







racionales con
exponente entero.
Significado y uso.
Aplicación para la
expresión de números
muy pequeños.
Operaciones con
números expresados en
notación científica.
Raíces cuadradas.
Raíces no exactas.
Expresión decimal.
Expresiones radicales:
transformación y
operaciones.
Jerarquía de
operaciones.
Números decimales y
racionales.
Transformación de
fracciones en decimales
y viceversa. Números
decimales exactos y
periódicos. Fracción
generatriz.
Operaciones con
fracciones y decimales.
Cálculo aproximado y
redondeo. Cifras
significativas. Error
Investigación de
regularidades,
relaciones y
propiedades que
aparecen en conjuntos
de números. Expresión
usando lenguaje
algebraico.
128
CURRICULARES
B2-1. Utilizar las propiedades de
los números racionales para
operarlos, utilizando la forma de
cálculo y notación adecuada,
para resolver problemas de la
vida cotidiana, y presentando los
resultados con la precisión
requerida.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 3.
GEOMETRÍA

racionales.


Operaciones con
potencias.


Operaciones en notación
científica.

Raíces.

Números reales.

Aproximaciones y errores.

Intervalos.
Aplicación de los
números racionales a la
resolución de
problemas.
CURRICULARES
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD
B3-2. Utilizar el teorema de Tales
y las fórmulas usuales para
realizar medidas indirectas de
elementos inaccesibles y para
obtener las medidas de
longitudes, áreas y volúmenes de
los cuerpos elementales, de
ejemplos tomados de la vida real,
representaciones artísticas como
pintura o arquitectura, o de la
resolución de problemas
geométricos.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-1. Utilizar las
propiedades de los
números racionales
para operarlos,
utilizando la forma
de cálculo y
notación adecuada,
para resolver
problemas de la
vida cotidiana, y
presentando los
resultados con la
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B2-1.1. Reconoce los
distintos tipos de números
racionales), indica el
criterio utilizado para su
distinción y los utiliza para
adecuadamente
información cuantitativa.

B2-1.2. Distingue, al hallar
el decimal equivalente a
una fracción, entre
decimales finitos y
decimales infinitos
periódicos, indicando en
este caso, el grupo de
decimales que se repiten o
forman período.

B2-1.4. Expresa números
muy grandes y muy
pequeños en notación
científica, y opera con ellos,
con y sin calculadora, y los
utiliza en problemas
contextualizados.

números para
representar la
información de
forma correcta.
CL
CMCT
Identifica decimales
finitos y decimales
infinitos periódicos, y
pone ejemplos de
cada tipo de ellos.
CL
CMCT
Utiliza la notación
científica para expresar
CL
números muy grandes y
muy pequeños,
realizando operaciones
con ellos, y utilizándolos
en la resolución de
problemas.
129
COMPETENCIAS
CMCT
AA
CSC
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-1. Utilizar las
propiedades de los
números racionales
para operarlos,
utilizando la forma
de cálculo y
notación adecuada,
para resolver
problemas de la
vida cotidiana, y
presentando los
resultados con la
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-1.7. Aplica
adecuadamente
técnicas de
truncamiento y
redondeo en
problemas
contextualizados,
reconociendo los
errores de
aproximación en
cada caso para
determinar el
procedimiento más
adecuado.

B2-1.8. Expresa el
resultado de un
problema, utilizando
la unidad de
medida adecuada,
en forma de
número decimal,
redondeándolo si
es necesario con el
margen de error o
precisión
requeridos, de
acuerdo con la
naturaleza de los
datos.

B2-1.9. Calcula el
valor de
expresiones
numéricas de
números enteros,
decimales y
fraccionarios
mediante las
operaciones
elementales y las
potencias de
exponente entero
aplicando
correctamente la
jerarquía de las
operaciones.

Realiza
truncamientos y
redondeos,
reconociendo
los errores de
aproximación en
cada caso y
comparándolos.
Resuelve
problemas,
relacionados
con la vida
cotidiana y con
sus propios
intereses,
expresando el
resultado de
forma ajustada a
la precisión
requerida y en
función de la
naturaleza de
los datos.
Identifica y
diferencia los
distintos tipos de
números; y
realiza
operaciones con
ellos, aplicando
correctamente la
jerarquía de las
operaciones.
130
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
AA
CSC
CL
CMCT
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B3-2. Utilizar el
teorema de Tales y
las fórmulas
usuales para
realizar medidas
indirectas de
elementos
inaccesibles y para
obtener las
medidas de
longitudes, áreas y
volúmenes de los
cuerpos
elementales, de
ejemplos tomados
de la vida real,
representaciones
artísticas como
pintura o
arquitectura, o de la
resolución de
problemas
geométricos.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE

B3-2.1. Calcula el
perímetro y el área de
polígonos y de figuras
circulares en problemas
contextualizados
aplicando fórmulas y
técnicas adecuadas.
Identifica los
datos en
problemas
geométricos,
teniendo en
cuenta las
unidades de
medida; aplica
fórmulas y
técnicas
adecuadas y
calcula el
perímetro y el
área de
polígonos y de
figuras
circulares,
expresando los
resultados, en
función de los
datos requeridos
y del contexto.
COMPET
ENCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
Comprensión lectora. Texto inicial de la unidad Del papiro a la
fabricación del papel en la actualidad (página 7); Pasos a seguir
(páginas 29, 11, 15, 17, 18).
Expresión oral y escrita. Lee, comprende y razona (página 7);
Escribir problemas a partir de unos textos y unos datos dados
(página 15).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
Comunicación audiovisual. Cuadros informativos: Qué son
fracciones positivas y fracciones negativas (página 9); La fracción
irreducible (página 2.11); Operaciones combinadas con fracciones.
La regla de los signos (pág.15); Expresar una fracción mediante un
número decimal (páginas 2, 17); La fracción generatriz (página 18);
Los números racionales (página 19).
comunicación Fabricación de carteles en una empresa de
publicidad (página 27).
Emprendimiento. Saber hacer (página. 9,11, 15, 17, 18, 20, 21,
22, 23, 24, 26); Actividades finales (página 26); Investiga (página
26); El tiempo de reacción en una carrera de velocidad (página 27).
131
UNIDAD 3. Proporcionalidad numérica
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer y utilizar los conceptos fundamentales sobre
proporcionalidad directa e inversa, regla de tres simple directa e inversa y regla de tres compuesta.
Sabrán realizar repartos directamente proporcionales e inversamente proporcionales y efectuarán
correctamente las operaciones de proporcionalidad compuesta. Los alumnos comprenderán y
resolverán ejercicios y problemas relacionados con el cálculo de porcentajes, con aumentos y
disminuciones porcentuales, con porcentajes encadenados y con el interés simple. Aplicarán sus
conocimientos a la resolución de problemas.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen el significado de parte proporcional
asociado a las fracciones y a los números decimales. Identifican las partes de una cantidad y saben
diferenciar entre proporcionalidad directa e inversa. Conocen estrategias de cálculo y resolución
de problemas, relacionadas con doble mitad, etc.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para aplicar los
cálculos porcentuales a problemas concretos. Prevenir con ejemplos prácticos y
cantidades pequeñas, mediante el uso de la regla de tres.
132
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 1. PROCESOS,
MÉTODOS Y
ACTITUDES
MATEMÁTICAS



Planificación del
de problemas.
modelización, en
y en contextos
matemáticos.
Confianza en las
propias capacidades
para desarrollar
propias del trabajo
científico.
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD

Proporcionalidad directa;
regla de tres simple directa.

Proporcionalidad inversa;
regla de tres simple
inversa.

Repartos proporcionales;
repartos directamente
proporcionales; repartos
inversamente
proporcionales.

Proporcionalidad
compuesta.

Porcentajes; cálculo de
porcentajes, aumentos y
disminuciones
porcentuales; porcentajes
encadenados; interés
simple.
BLOQUE 2. NÚMEROS
Y ÁLGEBRA

Proporcionalidad directa;
regla de tres simple directa.


Proporcionalidad inversa;
regla de tres simple
inversa.

Repartos proporcionales;
repartos directamente
proporcionales; repartos
inversamente
proporcionales.

Proporcionalidad
compuesta.

Porcentajes; cálculo de
porcentajes, aumentos y
disminuciones
porcentuales; porcentajes
encadenados; interés
simple.



Jerarquía de
operaciones.
racionales.
Operaciones con
redondeo. Cifras
significativas. Error
Investigación de
regularidades,
relaciones y
propiedades que
usando lenguaje
algebraico.
133
CURRICULARES
los números racionales para
operarlos, utilizando la forma de
cálculo y notación adecuada,
para resolver problemas de la
vida cotidiana, y presentando los
requerida.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B1-2.1. Analiza y
comprende el
enunciado de los
problemas (datos,
datos, contexto del
problema).

B1-2.2. Valora la
información de un
enunciado y la
relaciona con el
número de
soluciones del
problema.

B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
B1-6.4. Interpreta
la solución
matemática del
problema en el
contexto de la
realidad.

B1-8. Desarrollar y
cultivar las
actitudes
personales
inherentes al
quehacer
matemático.
B1-8.3. Distingue
entre problemas y
ejercicios y adopta
la actitud adecuada
para cada caso.

COMPET
ENCIAS
enunciado de los
problemas,
estableciendo
datos y el contexto;
resuelve problemas
mediante una regla de
tres simple directa o
inversa; realiza repartos
directa o inversamente
proporcionales y
resuelve problemas
mediante una regla de
tres compuesta, según
el contexto del
problema.
CMCT
Interpreta la información
de un enunciado y
establece relaciones
con las soluciones del
problema.
CL
Identifica, discrimina y
utiliza relaciones de
proporcionalidad,
desarrollando
estrategias para
los datos; las emplea
para resolver problemas
en situaciones
cotidianas y expresa los
resultados de forma
clara y coherente.
entre problemas y
en función de sus
características.
134
CL
AA
CMCT
CL
CMCT
AA
CSC
CL
CMCT
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-1. Utilizar las
propiedades de los
números racionales
para operarlos,
utilizando la forma
de cálculo y
notación adecuada,
para resolver
problemas de la
vida cotidiana, y
presentando los
resultados con la
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-1.1. Reconoce
los distintos tipos
de números
racionales), indica
el criterio utilizado
para su distinción y
los utiliza para
representar e
interpretar
adecuadamente
información
cuantitativa.

Identifica y utiliza
los números
para representar
la información
sobre razones y
proporciones de
forma correcta,
diferenciando
entre
proporcionalidad
directa e inversa,
calculando los
porcentajes
correspondientes
y aplicando las
reglas de
repartos
proporcionales y
de
proporcionalidad
compuesta.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
Comprensión lectora. Las tarjetas bancarias (página 73).
Expresión oral y escrita. Textos y actividades de la unidad; Las
tarjetas bancarias (página 73).
gráficos de la unidad.
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. Evolución de las tarjetas bancarias (página 73).
Emprendimiento. Crear una asociación en el instituto (página 91).
90).
Valores personales. El uso responsable del dinero y las tarjetas de
crédito (página 90).
135
UNIDAD 4. Polinomios
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben identificar y realizar las operaciones fundamentales
con monomios y con polinomios; sabrán sacar factor común, conocerán las igualdades notables y
sabrán resolver operaciones en las que intervengan. Los alumnos sabrán aplicar la regla de Ruffini;
serán capaces de expresar un polinomio mediante una igualdad notable y realizarán la
factorización de un polinomio. Aplicarán los cálculos a la resolución de problemas.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen expresiones algebraicas y saben realizar
operaciones con ellas. Identifican los factores comunes y no comunes de una expresión algebraica
y saben reducir términos semejantes, utilizando estrategias matemáticas adecuadas.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para aplicar la
regla de Ruffini. Prevenir mediante el uso de pautas, esquemas gráficos y ejemplos
resueltos.
136
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 1. PROCESOS,
MÉTODOS Y
ACTITUDES
MATEMÁTICAS

Monomios. Operaciones con
monomios; suma y resta de
monomios; multiplicación y
división de monomios.


Polinomios; valor numérico de un
polinomio; raíces de un
polinomio.

Operaciones con polinomios;
suma y resta de polinomios;
multiplicación y división de
polinomios.

Factor común. Igualdades
notables; cuadrado de una suma;
cuadrado de una diferencia;
suma por diferencia.

Factorización de un polinomio;
divisores de un polinomio;
factorización de polinomios.


Planificación del
de problemas.
modelización, en
y en contextos
matemáticos.
Confianza en las
propias capacidades
para desarrollar
propias del trabajo
científico.
BLOQUE 2. NÚMEROS
Y ÁLGEBRA




Jerarquía de
operaciones.
Investigación de
regularidades,
relaciones y
propiedades que
usando lenguaje
algebraico.
Transformación de
expresiones
algebraicas. Igualdades
notables.
Operaciones
elementales con
polinomios.

Monomios. Operaciones con
monomios; suma y resta de
monomios; multiplicación y
división de monomios.

Polinomios; valor numérico de un
polinomio; raíces de un
polinomio.

Operaciones con polinomios;
suma y resta de polinomios;
multiplicación y división de
polinomios.

Factor común. Igualdades
notables; cuadrado de una suma;
cuadrado de una diferencia;
suma por diferencia.

Factorización de un polinomio;
divisores de un polinomio;
factorización de polinomios.
137
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
razonamiento y estrategias
de resolución de
problemas, realizando los
cálculos necesarios y
comprobando las
B1-6. Desarrollar procesos
de matematización en
estadísticos o
probabilísticos) a partir de
la identificación de
realidad.
B1-8. Desarrollar y cultivar
las actitudes personales
inherentes al quehacer
matemático.
B2-3. Utilizar el lenguaje
algebraico para expresar
una propiedad o relación
dada mediante un
enunciado, extrayendo la
información relevante y
transformándola.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
B1-8. Desarrollar y
cultivar las
actitudes
personales
inherentes al
quehacer
matemático.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B1-2.1. Analiza y
comprende el
enunciado de los
problemas (datos,
datos, contexto del
problema).

B1-6.2. Establece
conexiones entre
un problema del
mundo real y el
mundo matemático,
identificando el
problema o
problemas
matemáticos que
subyacen en él y
los conocimientos
matemáticos
necesarios.

solución
matemática del
problema en el
contexto de la
realidad.

B1-8.3. Distingue
entre problemas y
ejercicios y adopta
la actitud adecuada
para cada caso.

Razona y
comprende el
enunciado de
los problemas,
estableciendo
relaciones entre
los datos y el
contexto del
problema.
Relaciona un
problema del
mundo real con
el mundo
matemático,
estableciendo
una relación
entre ellos y
resolviendo la
situación real
mediante el
planteamiento y
solución de
problemas
matemáticos.
Desarrolla
procesos en el
contexto de la
realidad para
resolver
problemas e
interpreta la
solución
matemática de
los mismos.
Conoce la
diferencia entre
problemas y
ejercicios; los
resuelve en
función de sus
características.
138
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CSC
CL
CMCT
CSC
CL
CMCT
CSC
CL
CMCT
CSC
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-3. Utilizar el
lenguaje algebraico
para expresar una
propiedad o
relación dada
mediante un
enunciado,
extrayendo la
información
relevante y
transformándola.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B2-3.1. Realiza
operaciones con
polinomios y los
utiliza en ejemplos de
la vida cotidiana.

COMPETENCIAS
Efectúa operaciones con
polinomios y relaciona
ejemplos prácticos del
cálculo algebraico con el
enunciado de situaciones
concretas.
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
B2-3.2. Conoce y
utiliza las identidades
notables
correspondientes al
cuadrado de un
binomio y una suma
por diferencia, y las
aplica en un contexto
adecuado.

Identifica el contexto de
un enunciado con la
aplicación de las
identidades notables,
aplicando el cuadrado de
un binomio y una suma
por diferencia a la
resolución de ejercicios y
problemas.
CL
CMCT
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-3. Utilizar el
lenguaje algebraico
para expresar una
propiedad o relación
dada mediante un
enunciado,
extrayendo la
información relevante
y transformándola.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B2-3.3. Factoriza

polinomios de grado 4
con raíces enteras
mediante el uso
combinado de la regla
de Ruffini, identidades
COMPETENCIAS
Conoce y utiliza de forma
combinada la regla de
Ruffini y las identidades
notables para sacar
factor común y para
factorizar polinomios.
CL
CMCT
notables y extracción
del factor común.
Comprensión lectora. La imprenta (página 93).
Expresión oral y escrita. Textos y actividades de la unidad; La imprenta (página
93).
Comunicación audiovisual. Interpretación de imágenes, tablas y gráficos de la
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
unidad.
El tratamiento de las tecnologías de la información y de la comunicación.
Evolución de la imprenta (página 93); La calculadora (página 31).
Emprendimiento. Crear un blog de la clase (página 111).
Educación cívica y constitucional. En la vida cotidiana (página 110).
Valores personales. El calentamiento global y los líquenes (página 111).
139
UNIDAD 5. Ecuaciones de primer y
segundo grado
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben identificar y saber el significado de una ecuación y sus
términos; sabrán hallar las soluciones de una ecuación y calcular ecuaciones equivalentes a una
ecuación dada, realizando los cambios más adecuados, como la transposición de términos.
Conocerán y sabrán encontrar las soluciones de ecuaciones de segundo grado completas e
incompletas. Resolverán problemas mediante ecuaciones.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen las operaciones fundamentales con
monomios, con polinomios y con ecuaciones sencillas; saben sacar factor común, conocen las
igualdades notables y saben resolver operaciones en las que intervienen expresiones algebraicas
en general.

ecuaciones de segundo o decidir que no tiene solución, especialmente en el caso de
obtener un radicando negativo. Prevenir mediante el uso y transformación de potencias,
haciendo hincapié en el exponente y en bases negativas.
140
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 1. PROCESOS,

Ecuaciones; soluciones de una
ecuación; ecuaciones
equivalentes.

Ecuaciones de primer grado;
transposición de términos.

Ecuaciones de segundo grado;
ecuaciones de segundo grado
completas, ecuaciones de
segundo grado incompletas.
MATEMÁTICAS


resolver subproblemas,
recuento exhaustivo,

empezar por casos
particulares sencillos, buscar
regularidades y leyes, etc.

resultados: revisión de las
operaciones utilizadas,
los resultados,
comprobación e
soluciones en el contexto de
para encontrar patrones,
probabilísticos, valorando
su utilidad para hacer
predicciones.
B1-10. Reflexionar sobre
las decisiones tomadas,
aprendiendo de ello para
situaciones similares
futuras.
la situación, búsqueda de
otras formas de resolución,
etc.
matematización y
modelización, en contextos
de la realidad y en contextos
matemáticos.

de resolución de
comprobando las
obtenidas en los procesos
de investigación.
asignación de unidades a

CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
capacidades para
desarrollar actitudes
adecuadas y afrontar las
dificultades propias del
141
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
ÁLGEBRA




Investigación de
regularidades, relaciones y
propiedades que aparecen
en conjuntos de números.
Expresión usando lenguaje
algebraico.
Ecuaciones de segundo
grado con una incógnita.
Resolución (método
algebraico y gráfico).
mediante la utilización de
ecuaciones y sistemas de
ecuaciones.

Ecuaciones; soluciones de una
ecuación; ecuaciones
equivalentes.

Ecuaciones de primer grado;
transposición de términos.

Ecuaciones de segundo grado;
ecuaciones de segundo grado
completas, ecuaciones de

CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-4. Resolver
cotidiana en los que se
precise el planteamiento
y resolución de
ecuaciones de primer y
segundo grado,
ecuaciones sencillas de
grado mayor que dos y
sistemas de dos
ecuaciones lineales con
dos incógnitas, aplicando
técnicas de manipulación
algebraicas, gráficas o
recursos tecnológicos,
valorando y contrastando
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
razonamiento y
comprobando las
para encontrar patrones,
matemáticas, en
estadísticos y
probabilísticos, valorando
su utilidad para hacer
predicciones.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B1-2.1. Analiza y
comprende el
enunciado de los
problemas (datos,
datos, contexto del
problema).
B1-3.1. Identifica
patrones,
matemáticas en
situaciones de
cambio, en contextos
numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos y
probabilísticos.
142


Realiza una lectura
comprensiva de los
problemas,
diferenciando entre
datos necesarios e
innecesarios, y
analizando sus
relaciones entre ellos,
con el contexto del
problema, con el
planteamiento y con la
solución.
Analiza situaciones, en
contextos matemáticos,
identifica patrones y
leyes matemáticas,
valora su utilidad y se
apoya en ellos para
resolver problemas y
ejercicios.
COMPETEN
CIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CL
CMCT
AA
CSC
(CONTINUACIÓN)
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-5. Elaborar y
presentar informes
sobre el proceso,
resultados y
conclusiones
obtenidas en los
procesos de
investigación.
B1-10. Reflexionar
sobre las
decisiones
tomadas,
aprendiendo de ello
para situaciones
similares futuras.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B1-5.1. Expone y
defiende el proceso
seguido además de
las conclusiones
obtenidas utilizando
geométrico,

B1-10.1. Reflexiona
sobre los
problemas
resueltos y los
procesos
desarrollados,
valorando la
potencia y sencillez
de las ideas claves,
aprendiendo para
situaciones futuras
similares.

Utiliza el lenguaje
algebraico, resuelve
ejercicios, aplicándolo, y
expone los resultados de
forma correcta y
simplificada.
COMP
ETEN
CIAS
CL
CMCT
CSC
Analiza problemas
resueltos y procesos
desarrollados, valora las
ideas clave, reflexiona
sobre ellos y los utiliza en
situaciones similares como
pautas o guías del
aprendizaje.
CL
CMCT
AA
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-4. Resolver problemas
de la vida cotidiana en los
que se precise el
planteamiento y resolución
de ecuaciones de primer y
segundo grado,
ecuaciones sencillas de
grado mayor que dos y
sistemas de dos
ecuaciones lineales con
dos incógnitas, aplicando
recursos tecnológicos,
INDICADORES
DE LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B2-4.1. Formula
algebraicamente una
situación de la vida
cotidiana mediante
ecuaciones y sistemas
de ecuaciones, las
resuelve e interpreta
críticamente el
resultado obtenido.
143

Interpreta,
plantea y
resuelve
problemas
relacionados
con sus
intereses y con
la vida
cotidiana
mediante
ecuaciones y
sistemas de
ecuaciones.
COMP
ETEN
CIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
Comprensión lectora. El motor de explosión (página 113).
Expresión oral y escrita. Textos y actividades de la unidad; El motor de
explosión (página 113).
unidad.
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
Búsqueda de información para organizar un viaje (página 130).
Emprendimiento. Las fases del motor de explosión (página 113); Planificación
del uso de las instalaciones deportivas fuera del horario escolar (página 131).
Valores personales. El intercambio de viviendas durante las vacaciones (página
130).
2ª EVALUACIÓN
UNIDAD 6. Sistemas de ecuaciones
responsabilidades

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer los aspectos fundamentales y los
componentes de las ecuaciones lineales; sabrán hallar la solución de una ecuación lineal;
resolverán sistemas de ecuaciones lineales y conocerán la manera de saber el número de
soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Representarán gráficamente ecuaciones
lineales. Los alumnos aplicarán a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales los métodos de
sustitución, de igualación o de reducción, en función del contexto. Resolverán problemas mediante
ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen el significado de una ecuación y de sus
términos; saben hallar las soluciones de una ecuación y calcular ecuaciones equivalentes a una
ecuación dada, realizando los cambios más adecuados, como la transposición de términos.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades en la resolución de
ecuaciones por el método de igualación. Prevenir mediante ejemplos con expresiones e igualdades
numéricas sencillas.
144
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 1. PROCESOS,
MÉTODOS Y
ACTITUDES
MATEMÁTICAS



Planificación del
de problemas.
modelización, en
y en contextos
matemáticos.
Confianza en las
propias capacidades
para desarrollar
propias del trabajo
científico.
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD

Ecuaciones lineales;
solución de una ecuación
lineal.

Sistemas de ecuaciones
lineales; número de
soluciones de un sistema
de ecuaciones lineales.

Métodos de resolución de
sistemas de ecuaciones;
método de sustitución;
método de igualación;
método de reducción.

mediante sistemas.
CURRICULARES
encontrar patrones,
obtenidas en los procesos de
investigación.
B1-10. Reflexionar sobre las
decisiones tomadas, aprendiendo
de ello para situaciones similares
futuras.
BLOQUE 2. NÚMEROS
Y ÁLGEBRA


Jerarquía de
operaciones.
Resolución de
problemas mediante la
utilización de
de ecuaciones.

Ecuaciones lineales;
solución de una ecuación
lineal.

Sistemas de ecuaciones
lineales; número de
soluciones de un sistema
de ecuaciones lineales.

Métodos de resolución de
sistemas de ecuaciones;
método de sustitución;
método de igualación;
método de reducción.

mediante sistemas.
145
B2-4. Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolución de ecuaciones de
primer y segundo grado,
ecuaciones sencillas de grado
mayor que dos y sistemas de dos
ecuaciones lineales con dos
incógnitas, aplicando técnicas de
manipulación algebraicas,
gráficas o recursos tecnológicos,
valorando y contrastando los
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
B1-3. Describir y
analizar situaciones
de cambio, para
encontrar patrones,
regularidades y
leyes matemáticas,
en contextos
numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos y
probabilísticos,
para hacer
predicciones.
B1-5. Elaborar y
presentar informes
sobre el proceso,
resultados y
conclusiones
obtenidas en los
procesos de
investigación.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B1-2.1. Analiza y
comprende el
enunciado de los
problemas (datos,
datos, contexto del
problema).

B1-3.1. Identifica
patrones,
regularidades y
leyes matemáticas
en situaciones de
cambio, en
contextos
numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos y
probabilísticos.

B1-5.1. Expone y
defiende el proceso
seguido además de
las conclusiones
obtenidas utilizando
geométrico,

Realiza una
lectura
comprensiva de
los problemas,
diferenciando
entre datos
necesarios e
innecesarios, y
analizando sus
relaciones entre
ellos, con el
contexto del
problema, con el
planteamiento y
con la solución.
Analiza
situaciones, en
contextos
matemáticos,
identifica
patrones y leyes
matemáticas,
valora su
utilidad y se
apoya en ellos
para resolver
problemas y
ejercicios.
Utiliza el
lenguaje
algebraico,
resuelve
ejercicios,
aplicándolo, y
expone los
resultados de
forma correcta y
simplificada.
146
COMPETENCIAS
CL
CMCT
AA
CSC
CL
CMCT
CSC
CL
CMCT
(CONTINUACIÓN)
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-10. Reflexionar
sobre las
decisiones
tomadas,
aprendiendo de ello
para situaciones
similares futuras.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B1-10.1. Reflexiona
sobre los problemas
resueltos y los procesos
desarrollados, valorando
la potencia y sencillez de
las ideas claves,
aprendiendo para
situaciones futuras
similares.

Analiza problemas
resueltos y procesos
desarrollados, valora
las ideas clave,
reflexiona sobre ellos y
los utiliza en situaciones
similares como pautas o
guías del aprendizaje.
COM
PET
ENCI
AS
CL
CMC
T
CD
AA
CSC
CURRICULARES
B2-4. Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
ecuaciones sencillas de grado
mayor que dos y sistemas de
dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas, aplicando técnicas
de manipulación algebraicas,
gráficas o recursos
tecnológicos, valorando y
contrastando los resultados
obtenidos.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B2-4.1. Formula
algebraicamente una
cotidiana mediante
de ecuaciones, las
resuelve e interpreta
críticamente el
resultado obtenido.
INDICADORES
DE LOGRO

Interpreta,
plantea y
resuelve
problemas
relacionado
s con sus
intereses y
con la vida
cotidiana
mediante
ecuaciones
y sistemas
de
ecuaciones.
COM
PET
ENCI
AS
CL
CMC
T
CD
AA
CSC
Comprensión lectora. El tren (página 133).
Expresión oral y escrita. El cruce de trenes (página 133).
unidad.
CONTENIDOS
TRANSVERSALE
S
Evolución del tren (página 133); Búsqueda de información sobre las aficiones o
necesidades de un compañero (página 151).
Emprendimiento. La elección de un regalo para el cumpleaños de un
compañero (página 151).
Educación cívica y constitucional. Los libros (página 149); En la vida cotidiana
(página 150).
Valores personales. Los regalos de cumpleaños y los compañeros (página 151).
147
UNIDAD 7. Progresiones
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer los aspectos fundamentales y los términos
generales de las sucesiones y de los tipos de sucesiones; sabrán calcular la suma de los n
primeros términos de una progresión aritmética y de una progresión geométrica. Los alumnos
conocerán el significado de interés compuesto y aplicarán los cálculos a la resolución de
problemas.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen el concepto de sucesión y de su término
general. Saben el significado de interés y lo relacionan con el capital, con el tiempo y con la
existencia de condiciones particulares que se pueden dar en cada contexto.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para calcular el
interés compuesto. Prevenir mediante la realización de actividades de simulación
relacionadas con la vida cotidiana.
148
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD
BLOQUE 1. PROCESOS,
MÉTODOS Y
ACTITUDES
MATEMÁTICAS

Sucesiones.

Progresión aritmética.

Progresión geométrica.


Interés compuesto.


Planificación del
de problemas.
modelización, en
y en contextos
matemáticos.
Confianza en las
propias capacidades
para desarrollar
propias del trabajo
científico.
BLOQUE 2. NÚMEROS
Y ÁLGEBRA


Investigación de
regularidades,
relaciones y
propiedades que
usando lenguaje
algebraico.
Sucesiones numéricas.
Sucesiones recurrentes
Progresiones
aritméticas y
geométricas.
CURRICULARES

Sucesiones.

Progresión aritmética.

Progresión geométrica.

Interés compuesto.
149
B2-2. Obtener y manipular
expresiones simbólicas que
describan sucesiones numéricas,
observando regularidades en
casos sencillos que incluyan
patrones recursivos.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
B1-8. Desarrollar y
cultivar las
actitudes
personales
inherentes al
quehacer
matemático.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B1-2.1. Analiza y
comprende el
enunciado de los
problemas (datos,
datos, contexto del
problema).

B1-2.2. Valora la
información de un
enunciado y la
relaciona con el
número de
soluciones del
problema.

B1-6.2. Establece
conexiones entre
un problema del
mundo real y el
mundo matemático,
identificando el
problema o
problemas
matemáticos que
subyacen en él y
los conocimientos
matemáticos
necesarios.

solución
matemática del
problema en el
contexto de la
realidad.

B1-8.3. Distingue
entre problemas y
ejercicios y adopta
la actitud adecuada
para cada caso.

enunciado de los
problemas,
estableciendo
datos y el contexto del
problema.
Interpreta la
información de un
relaciones con las
soluciones del
problema.
Relaciona un problema
del mundo real con el
mundo matemático,
estableciendo una
relación entre ellos y
resolviendo la situación
real mediante el
planteamiento y
solución de problemas
matemáticos.
Desarrolla procesos en
el contexto de la
realidad para resolver
problemas e interpreta
la solución matemática
de los mismos.
entre problemas y
en función de sus
características.
150
COMPET
ENCIAS
CL
CMCT
AA
CSC
CL
CMCT
CL
CMCT
AA
CSC
CL
CMCT
CD
AA
CSC
CL
CMCT
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-2. Obtener y
manipular
expresiones
simbólicas que
describan
sucesiones
numéricas,
observando
regularidades en
casos sencillos que
incluyan patrones
recursivos.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B2-2.1. Calcula
términos de una
sucesión numérica
recurrente usando la
ley de formación a
partir de términos
anteriores.

Calcula términos de una
sucesión numérica
recurrente usando la ley
de formación a partir de
términos anteriores.
COMPE
TENCIA
S
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
B2-2.2. Obtiene una
ley de formación o
fórmula para el
término general de
una sucesión sencilla
de números enteros
o fraccionarios.

B2-2.3. Identifica
progresiones
aritméticas y
geométricas, expresa
su término general,
calcula la suma de
los “n” primeros
términos, y las
emplea para resolver
problemas.

Identifica y determina el
término general de una
sucesión sencilla.
CL
CMCT
Obtiene el término
general de progresiones
aritméticas y
geométricas, identifica
su término general y
calcula un término
cualquiera; realiza
operaciones con las
progresiones y con sus
términos generales,
utilizándolas para
resolver ejercicios y
problemas.
CL
CMCT
AA
CSC
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-2. Obtener y
manipular expresiones
simbólicas que describan
sucesiones numéricas,
observando
regularidades en casos
sencillos que incluyan
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B2-2.4. Valora e
identifica la presencia
recurrente de las
sucesiones en la
naturaleza y resuelve
problemas asociados
a las mismas.
151
INDICADORES DE
LOGRO

Identifica la
presencia
recurrente de las
sucesiones y
resuelve
ejercicios y
problemas
asociados a las
mismas.
COMPE
TENCIA
S
CL
CMCT
AA
CSC
Comprensión lectora. SMS (página 51).
Expresión oral y escrita. Textos y actividades de la unidad; SMS (página 51).
unidad.
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
Evolución del SMS (página 51).
Emprendimiento. El recorrido en bicicleta (página 68); Un plan de evacuación
para el instituto (página 71).
Valores personales. Actitud ante los virus informáticos (página 70).
UNIDAD 8. Lugares geométricos. Áreas
y perímetros
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer el significado de lugar geométrico; sabrán
identificar, describir u trazar la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo. Trazarán la
circunferencia que pasa por tres puntos no alineados; sabrán calcular el área de un cuadrilátero y
de un polígono regular utilizando el teorema de Pitágoras. Calcularán el área de una figura plana.
Aplicarán sus conocimientos a la resolución de problemas geométricos.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen los elementos del plano y las principales
figuras planas. Saben utilizar el teorema de Pitágoras para resolver ejercicios y problemas
sencillos, conocen las medidas de superficie y sus equivalencias.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para hallar el área
de una figura plana irregular. Prevenir mediante el dibujo y construcción de puzles,
descomponiéndolos en figuras cuya área sí saben calcular.
152
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 1. PROCESOS,
MÉTODOS Y
ACTITUDES
MATEMÁTICAS



Planificación del
de problemas.
modelización, en
y en contextos
matemáticos.
Confianza en las
propias capacidades
para desarrollar
propias del trabajo
científico.
BLOQUE 3.
GEOMETRÍA


CONTENIDOS DE LA
UNIDAD

Lugares geométricos.

Mediatriz y bisectriz;
mediatriz de un segmento;
bisectriz de un ángulo.


Circunferencia; recta
tangente a una
circunferencia.
CURRICULARES
resolución de problemas, realizando los
cálculos necesarios y comprobando las
Ángulos; ángulos al
cortarse dos rectas;
ángulos al cortar una recta
a otras dos rectas
paralelas; ángulos de un
polígono.
geométricos, funcionales, estadísticos o

personales inherentes al quehacer

Áreas y perímetros; áreas y
perímetros del triángulo y
los cuadriláteros: área y
perímetro de un polígono
regular; área y perímetro
de figuras circulares.
matemático.

B3-1. Reconocer y describir los

Mediatriz y bisectriz;
mediatriz de un segmento;
Geometría del plano.
Lugar geométrico.


probabilísticos) a partir de la
identificación de problemas en
situaciones problemáticas de la
realidad.
elementos y propiedades
características de las figuras planas, los
cuerpos geométricos elementales y sus
configuraciones geométricas.
Circunferencia; recta
tangente a una
circunferencia.
B3-2. Utilizar el teorema de Tales y las
fórmulas usuales para realizar medidas
indirectas de elementos inaccesibles y
Ángulos; ángulos al
cortarse dos rectas;
ángulos al cortar una recta
a otras dos rectas
paralelas; ángulos de un
polígono.
para obtener las medidas de

resolución de problemas geométricos.

Áreas y perímetros; áreas y
perímetros del triángulo y
los cuadriláteros: área y
perímetro de un polígono
regular; área y perímetro
B3-4. Reconocer las transformaciones
longitudes, áreas y volúmenes de los
cuerpos elementales, de ejemplos
tomados de la vida real,
representaciones artísticas como
pintura o arquitectura, o de la
que llevan de una figura a otra
mediante movimiento en el plano,
aplicar dichos movimientos y analizar
diseños cotidianos, obras de arte y
configuraciones presentes en la
naturaleza.
153
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B1-2.2. Valora la
información de un
enunciado y la
relaciona con el
número de
soluciones del
problema.

Interpreta la
información de
un enunciado y
establece
relaciones con
las soluciones
del problema.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
solución
matemática del
problema en el
contexto de la
realidad.
B1-8. Desarrollar y
cultivar las
actitudes
personales
inherentes al
quehacer
matemático.
B1-8.3. Distingue
entre problemas y
ejercicios y adopta
la actitud adecuada
para cada caso.

Desarrolla
procesos en el
contexto de la
realidad para
resolver
problemas e
interpreta la
solución
matemática de
los mismos.
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC

Conoce la
diferencia entre
problemas y
ejercicios; los
resuelve en
función de sus
características.
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
154
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B3-1. Reconocer y
describir los
elementos y
propiedades
características de
las figuras planas,
los cuerpos
geométricos
elementales y sus
configuraciones
geométricas.
B3-2. Utilizar el
teorema de Tales y
las fórmulas
usuales para
realizar medidas
indirectas de
elementos
inaccesibles y para
obtener las
medidas de
volúmenes de los
cuerpos
elementales, de
ejemplos tomados
de la vida real,
representaciones
artísticas como
pintura o
arquitectura, o de la
resolución de
problemas
geométricos.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B3-1.1. Conoce las
propiedades de los
puntos de la
mediatriz de un
segmento y de la
bisectriz de un
ángulo,
utilizándolas para
resolver problemas
geométricos
sencillos.

B3-1.2. Maneja las
relaciones entre
ángulos definidos
por rectas que se
cortan o por
paralelas cortadas
por una secante y
resuelve problemas
geométricos
sencillos.

B3-2.1. Calcula el
perímetro y el área
de polígonos y de
figuras circulares en
problemas
contextualizados
aplicando fórmulas
y técnicas
adecuadas.

COMPET
ENCIAS
Identifica, determina y
representa la mediatriz
de un segmento y la
bisectriz de un ángulo,
teniendo en cuenta las
propiedades de sus
puntos; las utiliza para
resolver problemas
geométricos.
CMCT
Interpreta y resuelve
geométricos, aplicando
las relaciones entre
ángulos definidos por
rectas que se cortan o
por paralelas cortadas
por una secante.
CL
CL
AA
CSC
CMCT
problemas geométricos,
relacionados con el
cálculo del perímetro y
del área de polígonos y
CL
CMCT
155
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B3-4. Reconocer
las
transformaciones
que llevan de una
figura a otra
mediante
movimiento en el
plano, aplicar
dichos movimientos
y analizar diseños
cotidianos, obras
de arte y
configuraciones
presentes en la
naturaleza.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B3-4.2. Genera
creaciones propias
mediante la
composición de
movimientos,
empleando
herramientas
tecnológicas
cuando sea
necesario.

Observa figuras
planas,
discriminando si
algunas son
originadas
mediante
movimientos, y
genera
creaciones
propias, en
función de las
instrucciones y
del contexto.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
Comprensión lectora. La bombilla (página 153).
Expresión oral y escrita. Textos y actividades de la unidad; La
bombilla (página 153).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
Emprendimiento. Proyección de un huerto escolar (página 173).
Educación cívica y constitucional. Los tipos de bombillas y el
ahorro energético (página 153); En la vida cotidiana (página 172).
Valores personales. Los puntos de luz y su intensidad, hábitos
recomendables (página 153).
156
UNIDAD 9. Movimientos y semejanza
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer qué son los sectores, cuáles son sus
componentes y las coordenadas de un vector. Interpretarán los principales movimientos en el
plano, describiendo y realizando traslaciones, giros y simetrías respecto a un punto o respecto a
una recta. Describirán y dibujarán frisos y mosaicos. Sabrán interpretar homotecias y semejanzas.
Conocerán y aplicarán el teorema de Tales, en función del contexto y dividirán segmentos en
partes iguales. Los alumnos interpretarán escalas y mapas, aplicándolos a la realidad. Utilizarán
sus conocimientos para la resolución de problemas geométricos y con escalas.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos saben identificar las coordenadas de un punto y
saben situar un punto en un plano, dadas sus coordenadas. Tienen nociones básicas sobre los
movimientos en el plano.

problemas con escalas muy grandes o muy pequeñas. Prevenir mediante ejemplos
sencillos y el uso de la regla de tres.
157
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 1. PROCESOS,
MÉTODOS Y
ACTITUDES
MATEMÁTICAS



Planificación del
de problemas.
modelización, en
y en contextos
matemáticos.
Confianza en las
propias capacidades
para desarrollar
propias del trabajo
científico.
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD

Vectores; coordenadas
de un vector.

Movimientos en el
plano.

Traslaciones y giros.

Simetrías; simetría
respecto a un punto
(simetría central);
simetría respecto a una
recta (simetría axial).

Frisos y mosaicos.

Homotecias y
semejanza. Teorema
de Tales; triángulos
semejante.
CURRICULARES
resolución de problemas, realizando
comprobando las soluciones
obtenidas.
estadísticos o probabilísticos) a partir
de la identificación de problemas en
situaciones problemáticas de la
realidad.

Escalas y mapas.
BLOQUE 3.
GEOMETRÍA

Vectores; coordenadas
de un vector.



Movimientos en el
plano.

Traslaciones y giros.
ejemplos tomados de la vida real,

Simetrías; simetría
respecto a un punto
(simetría central);
simetría respecto a una
recta (simetría axial).
representaciones artísticas como pintura o

Frisos y mosaicos.
mapas o planos, conociendo la escala.

Homotecias y
semejanza. Teorema
de Tales; triángulos
semejantes.
B3-4. Reconocer las transformaciones que



Geometría del plano.
Teorema de Tales.
División de un segmento
en partes
proporcionales.
Aplicación a la
resolución de
problemas.
Traslaciones, giros y
simetrías en el plano.
Geometría del espacio.
Planos de simetría en
los poliedros.

Escalas y mapas.
indirectas de elementos inaccesibles y para
obtener las medidas de longitudes, áreas y
volúmenes de los cuerpos elementales, de
arquitectura, o de la resolución de
B3-3. Calcular (ampliación o reducción) las
dimensiones reales de figuras dadas en
llevan de una figura a otra mediante
movimiento en el plano, aplicar dichos
movimientos y analizar diseños cotidianos,
obras de arte y configuraciones presentes
en la naturaleza.
B3-5. Identificar centros, ejes y planos de
simetría de figuras planas y poliedros.
158
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B1-2.2. Valora la
información de un
enunciado y la
relaciona con el
número de
soluciones del
problema.

B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
solución
matemática del
problema en el
contexto de la
realidad.

B1-8. Desarrollar y
cultivar las
actitudes
personales
inherentes al
quehacer
matemático.
B1-8.3. Distingue
entre problemas y
ejercicios y adopta
la actitud adecuada
para cada caso.

Interpreta la
información de
un enunciado y
establece
relaciones con
las soluciones
del problema.
Desarrolla
procesos en el
contexto de la
realidad para
resolver
problemas e
interpreta la
solución
matemática de
los mismos.
Conoce la
diferencia entre
problemas y
ejercicios; los
resuelve en
función de sus
características.
159
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B3-2. Utilizar el
teorema de Tales y
las fórmulas
usuales para
realizar medidas
indirectas de
elementos
inaccesibles y para
obtener las
medidas de
volúmenes de los
cuerpos
elementales, de
ejemplos tomados
de la vida real,
representaciones
artísticas como
pintura o
arquitectura, o de
la resolución de
problemas
geométricos.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B3-2.2. Divide un
segmento en partes
proporcionales a
otros dados y
establece
relaciones de
proporcionalidad
entre los elementos
homólogos de dos
polígonos
semejantes.

B3-2.3. Reconoce
triángulos
semejantes y, en
situaciones de
semejanza, utiliza
el teorema de Tales
para el cálculo
indirecto de
longitudes en
contextos diversos.

B3-3. Calcular
(ampliación o
reducción) las
dimensiones reales
de figuras dadas en
mapas o planos,
conociendo la
escala.
B3-3.1. Calcula
dimensiones reales
de medidas de
longitudes y de
superficies en
situaciones de
semejanza: planos,
mapas, fotos
aéreas, etc.

B3-4. Reconocer
las
transformaciones
que llevan de una
figura a otra
mediante
movimiento en el
plano, aplicar
dichos movimientos
y analizar diseños
cotidianos, obras
de arte y
configuraciones
presentes en la
naturaleza.
B3-4.1. Identifica
los elementos más
característicos de
los movimientos en
el plano presentes
en la naturaleza, en
diseños cotidianos
u obras de arte.

Utiliza el teorema de Tales
para dividir segmentos en
partes proporcionales a
otros dados, estableciendo
entre ellos relaciones de
proporcionalidad.
COMP
ETEN
CIAS
CL
CMCT
Utiliza el teorema de Tales
para identificar y
representar triángulos
semejantes y para calcular
la longitud de segmentos
relacionados con ellos.
CL
CMCT
Interpreta y describe
representaciones de
superficies en planos,
mapas, fotos aéreas, etc.;
calcula dimensiones reales
de medidas de longitudes y
de superficies en
situaciones de semejanza.
Identifica y describe los
elementos más
característicos de los
movimientos en el plano,
observando obras de arte y
construyendo diseños
cotidianos.
CL
CMCT
AA
CSC
CL
CMCT
AA
CSC
160
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B3-4. Reconocer
las
transformaciones
que llevan de una
figura a otra
mediante
movimiento en el
plano, aplicar
dichos movimientos
y analizar diseños
cotidianos, obras
de arte y
configuraciones
presentes en la
naturaleza.
B3-5. Identificar
centros, ejes y
planos de simetría
de figuras planas y
poliedros.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B3-4.2. Genera
creaciones propias
mediante la
composición de
movimientos,
empleando
herramientas
tecnológicas
cuando sea
necesario.

Construye
figuras y realiza
una
composición de
movimientos a
partir de ellas.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
B3-5.3. Identifica
centros, ejes y
planos de simetría
en figuras planas,
poliedros y en la
naturaleza, en el
arte y
construcciones
humanas.

Identifica,
determina y
aplica
movimientos
sobre centros,
ejes y planos de
simetría en
figuras variadas.
CL
CMCT
CSC
Comprensión lectora. La brújula (página 175).
gráficos de la unidad. Los sistemas GPS (página 194).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. Evolución de la brújula (página 175); Los sistemas
GPS (página 194).
Emprendimiento. Organización de un viaje de fin de curso (página
195).
194).
Valores personales. El deporte: baloncesto (página 194).
161
UNIDAD 10. Cuerpos geométricos
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben identificar y conocer los principales elementos de los
poliedros regulares. Describirán y sabrán calcular el área y el volumen de un prisma, de una
pirámide, de un cilindro, de un cono y de una esfera. Identificarán en la esfera terrestre las
coordenadas geográficas y las relacionarán con la situación de diferentes lugares y con los
cambios horarios. Resolverán problemas relacionados con las diferencias horarias y con los demás
contenidos de la unidad.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos saben identificar los principales cuerpos
geométricos, conocen y saben realizar el desarrollo de poliedros regulares.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para identificar puntos
geográficos con sus coordenadas. Prevenir mediante la comparación de representación gráfica de
puntos en el plano.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD
BLOQUE 1. PROCESOS,
MÉTODOS Y
ACTITUDES
MATEMÁTICAS

Poliedros; poliedros regulares.

Prismas.

Área de un prisma.


Pirámide.

Área de una pirámide.

Simetrías en los poliedros;


Planificación del
de problemas.
modelización, en
y en contextos
matemáticos.
Confianza en las
propias capacidades
para desarrollar
planos de simetría; ejes de
simetría.

Cuerpos de revolución.

Área; cilindro; cono; esfera;
figuras esféricas.

Volumen de los cuerpos
geométricos, volumen de
162
CURRICULARES
propias del trabajo
científico.
prismas y cilindros; volumen de
pirámides y conos; volumen de
la esfera.

La esfera terrestre, coordenadas
geográficas.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
ÁLGEBRA

CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES


Prismas.

Área de un prisma.
para operarlos,

Pirámide.
utilizando la forma de


Simetrías en los poliedros; planos de simetría;
resolver problemas de
ejes de simetría.
la vida cotidiana, y
B2-1. Utilizar las
propiedades de los
números racionales
racionales.
cálculo y notación


Área; cilindro; cono; esfera; figuras esféricas.

Volumen de los cuerpos geométricos, volumen de
adecuada, para
presentando los
resultados con la
prismas y cilindros; volumen de pirámides y
conos; volumen de la esfera.

La esfera terrestre, coordenadas geográficas.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES


Aplicación a la resolución de

Prismas.
problemas.

Área de un prisma.
planas y poliedros.

Pirámide.
B3-6. Interpretar el
Geometría del espacio.

sentido de las

Simetrías en los poliedros; planos de simetría;


poliedros.

centros, ejes y planos
de simetría de figuras
Planos de simetría en los
coordenadas
ejes de simetría.
El globo terráqueo.
Coordenadas geográficas y

husos horarios. Longitud y

Área; cilindro; cono; esfera; figuras esféricas.

Volumen de los cuerpos geométricos, volumen de
latitud de un punto.
B3-5. Identificar
prismas y cilindros; volumen de pirámides y
conos; volumen de la esfera.

La esfera terrestre, coordenadas geográficas.
163
geográficas y su
aplicación en la
localización de puntos.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
B1-2.1. Analiza y
comprende el
enunciado de los
problemas (datos,
datos, contexto del
problema).

B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
B1-6.2. Establece
conexiones entre un
problema del mundo
real y el mundo
matemático,
identificando el
problema o
problemas
matemáticos que
conocimientos
matemáticos
necesarios.


Razona y
comprende el
enunciado de los
problemas,
estableciendo
relaciones entre
los datos y el
contexto del
problema.
Relaciona un
problema del
mundo real con
el mundo
matemático,
estableciendo
una relación
entre ellos y
resolviendo la
situación real
mediante el
planteamiento y
solución de
problemas
matemáticos.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
AA
CSC
CL
CMCT
AA
CSC
Desarrolla
procesos en el
del problema en el
contexto de la
realidad para
CL
resolver problemas
e interpreta la
CMCT
solución
matemática de los
mismos.
B1-8. Desarrollar y
personales
inherentes al
quehacer
matemático.
B1-8.3. Distingue
entre problemas y
ejercicios y adopta la
actitud adecuada
para cada caso.

Conoce la
diferencia entre
problemas y
ejercicios; los
resuelve en
función de sus
características.
164
CL
CMCT
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-1. Utilizar las
propiedades de los
números racionales
para operarlos,
utilizando la forma
de cálculo y notación
adecuada, para
resolver problemas
de la vida cotidiana,
y presentando los
resultados con la
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-1.8. Expresa el
resultado de un
la unidad de medida
adecuada, en forma
de número decimal,
redondeándolo si es
necesario con el
margen de error o
precisión requeridos,
de acuerdo con la
naturaleza de los
datos.

Resuelve
problemas,
relacionados con
la vida cotidiana
y con sus propios
intereses,
expresando el
resultado de
forma ajustada a
la precisión
requerida y en
función de la
naturaleza de los
datos.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B3-5. Identificar
centros, ejes y
planos de simetría
de figuras planas y
poliedros.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
principales poliedros
y cuerpos de
revolución, utilizando
el lenguaje con
propiedad para
referirse a los
elementos
principales.

B3-5.2. Calcula
áreas y volúmenes
de poliedros,
cilindros, conos y
esferas, y los aplica
para resolver
problemas
contextualizados.

Reconoce los
principales
poliedros y
describe sus
características
según las reglas
y las propiedades
correspondientes
a cada uno de
ellos.
Realiza ejercicios
y resuelve
problemas
relacionados con
el cálculo de
áreas y
volúmenes de
poliedros,
cilindros, conos y
esferas.
165
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
AA
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B3-5. Identificar
centros, ejes y planos
de simetría de figuras
planas y poliedros.
B3-6. Interpretar el
sentido de las
coordenadas
geográficas y su
aplicación en la
localización de puntos.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B3-5.3. Identifica
centros, ejes y
planos de simetría
en figuras planas,
poliedros y en la
naturaleza, en el
arte y
construcciones
humanas.

B3-6.1. Sitúa sobre
el globo terráqueo
ecuador, polos,
meridianos y
paralelos, y es
capaz de ubicar un
punto sobre el globo
terráqueo
conociendo su
longitud y latitud.

Dibuja planos y
ejes de simetría
en distintas
figuras;
identifica,
determina y
aplica
movimientos
sobre centros,
ejes y planos de
simetría.
Busca en
Internet o en
otros medios la
latitud y la
longitud de
diferentes
lugares del
mundo; los sitúa
sobre el globo
terráqueo y los
relaciona con el
ecuador, los
polos, los
meridianos y los
paralelos.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
CD
AA
CSC
Comprensión lectora. La pila (página 197).
Expresión oral y escrita. Textos y actividades de la unidad; La pila,
cuerpo geom. (p. 197).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. Fotógrafos, cámaras, flashes y pilas especiales (página
218).
Emprendimiento. Elección de una impresora para el aula (página 219).
Valores personales. Precaución y almacenaje de baterías (página 218).
166
3ª EVALUACIÓN
UNIDAD 11. Funciones
responsabilidades

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben saber localizar y representar puntos, confeccionando
tablas y gráficas que representen funciones; Representarán gráficamente una función, calcularán
su dominio y los puntos de corte. Sabrán interpretar el crecimiento y decrecimiento de una función,
realizando un estudio de la misma. Aplicarán las funciones y su representación gráfica a la

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos saben identificar, representar y calcular las
coordenadas de un punto, determinando si un punto pertenece a una función, y sabrán
representarla gráficamente. Representarán gráficamente un enunciado; y aplicarán sus
conocimientos a la resolución de problemas.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para realizar el
estudio completo de una función. Prevenir mediante esquemas y pautas con ejemplos
resueltos.
167
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 1. PROCESOS,
MÉTODOS Y
ACTITUDES
MATEMÁTICAS



Planificación del
de problemas.
modelización, en
y en contextos
matemáticos.
Confianza en las
propias capacidades
para desarrollar
propias del trabajo
científico.
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD


Formas de expresar una
función; función definida
por un enunciado; función
definida por una ecuación;
función definida por una
tabla de valores; expresión
de una función mediante
una gráfica.

Características de una
función, dominio y
recorrido; continuidad;
puntos de cortes;
crecimiento y
decrecimiento; máximos y
mínimos; periodicidad;
simetría.
BLOQUE 4. FUNCIONES



Formas de expresar una
función; función definida
por un enunciado; función
definida por una ecuación;
función definida por una
tabla de valores; expresión
de una función mediante
una gráfica.

Características de una
función, dominio y
recorrido; continuidad;
puntos de cortes;
crecimiento y
decrecimiento; máximos y
mínimos; periodicidad;
simetría.


Análisis y descripción
cualitativa de gráficas
que representan
fenómenos del entorno
cotidiano y de otras
materias.
Análisis de una
situación a partir del
estudio de las
características locales y
globales de la gráfica
correspondiente.
Utilización de modelos
lineales para estudiar
situaciones
provenientes de los
diferentes ámbitos de
conocimiento y de la
vida cotidiana, mediante
la confección de la
tabla, la representación
gráfica y la obtención de
la expresión algebraica.
168
CURRICULARES
B4-1. Conocer los elementos que
intervienen en el estudio de las
funciones y su representación
gráfica.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
B1-8. Desarrollar y
cultivar las
actitudes
personales
inherentes al
quehacer
matemático.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B1-2.1. Analiza y
comprende el
enunciado de los
problemas (datos,
datos, contexto del
problema).

B1-2.2. Valora la
información de un
enunciado y la
relaciona con el
número de
soluciones del
problema.

B1-6.1. Identifica
situaciones
realidad,
susceptibles de
contener problemas
de interés.

solución
matemática del
problema en el
contexto de la
realidad.

B1-8.3. Distingue
entre problemas y
ejercicios y adopta
la actitud adecuada
para cada caso.

Razona y
comprende el
enunciado de
los problemas,
estableciendo
relaciones entre
los datos
proporcionales y
el contexto del
problema.
Interpreta la
información de
un enunciado y
establece
relaciones con
las soluciones
del problema.
Identifica e
interpreta
problemas de la
vida cotidiana y
de su interés,
resolviéndolos
de forma
adecuada al
entorno del
planteamiento.
Desarrolla
procesos en el
contexto de la
realidad para
resolver
problemas e
interpreta la
solución
matemática de
los mismos.
Conoce la
diferencia entre
problemas y
ejercicios; los
resuelve en
función de sus
características.
169
COMPETENCIAS
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
AA
CSC
CL
CMCT
CSC
CEC
CL
CMCT
CSC
CL
CMCT
BLOQUE 4. FUNCIONES
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B4-1. Conocer los
elementos que
intervienen en el
estudio de las
funciones y su
representación
gráfica.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B4-1.1. Interpreta el
comportamiento de
una función dada
gráficamente y
asocia enunciados
de problemas
contextualizados a
gráficas.

B4-1.2. Identifica
las características
más relevantes de
una gráfica
interpretándolas
dentro de su
contexto.

Interpreta
gráficas de
funciones,
asociándolas al
contexto.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CSC
Interpreta
gráficas de
funciones,
identificando sus
características
fundamentales.
CL
CMCT
AA
CSC
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B4-1. Conocer los
elementos que
intervienen en el
estudio de las
funciones y su
representación
gráfica.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B4-1.3. Construye
una gráfica a partir
de un enunciado
contextualizado
describiendo el
fenómeno
expuesto.

B4-1.3. Construye
de un enunciado
contextualizado
describiendo el
fenómeno
expuesto.

Realiza la
representación
gráfica de
funciones,
describiendo el
fenómeno que
representan
dentro de su
contexto.
Realiza la
representación
gráfica de
funciones,
describiendo el
fenómeno que
representan
dentro de su
contexto.
170
COMPETENCIAS
CL
CMCT
AA
CSC
CL
CMCT
AA
CSC
Comprensión lectora. El avión (página 221).
Expresión oral y escrita. Textos y actividades de la unidad; El avión y la
distancia de vuelo (página 221).
Comunicación audiovisual. Interpretar imágenes, tablas y gráficos.
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
Evolución del avión (página 221).
Emprendimiento. Diseño de una campaña de reciclaje para el instituto (página
239).
Educación cívica y constitucional. Visitantes de un museo (página 237); En la
vida cotidiana (página 238).
Valores personales. El reciclaje (página 239).
UNIDAD 12. Funciones lineales y
cuadráticas
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer los aspectos fundamentales de las funciones
de proporcionalidad directa y las funciones constantes. Interpretarán y sabrán calcular y
representar la ecuación punto-pendiente, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos y la
ecuación general de una recta. Sabrán interpretar y estudiar las funciones cuadráticas. Conocerán
las aplicaciones de las funciones lineales y de las funciones cuadráticas, utilizándolas
correctamente, según el contexto.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos deben saben localizar y representar puntos,
confeccionando tablas y gráficas que representen funciones; Representan gráficamente una
función, calculan su dominio y los puntos de corte. Saben interpretar el crecimiento y decrecimiento
de una función.

las aplicaciones prácticas de las funciones cuadráticas. Prevenir mediante la búsqueda
de aplicaciones en Internet y el uso de programas digitales.
171
CONTENIDOS
DE LA ETAPA
BLOQUE 1. PROCESOS,
MATEMÁTICAS



matematización y
matemáticos.
BLOQUE 4. FUNCIONES




cualitativa de gráficas que
representan fenómenos del
entorno cotidiano y de otras
materias.
Análisis de una situación a
partir del estudio de las
correspondiente.
Utilización de modelos lineales
para estudiar situaciones
provenientes de los diferentes
ámbitos de conocimiento y de
la vida cotidiana, mediante la
confección de la tabla, la
representación gráfica y la
obtención de la expresión
algebraica.
Expresiones de la ecuación de
la recta. Funciones
cuadráticas. Representación
gráfica. Utilización para
representar situaciones de la
vida cotidiana.

Funciones lineales;
funciones de
proporcionalidad directa;
funciones constantes.

Ecuación punto-pendiente;
ecuación de la recta que
pasa por dos puntos.

Ecuación general de una
recta.

Funciones cuadráticas;
estudio de funciones
cuadráticas.

Aplicaciones; aplicaciones
de las funciones lineales,
aplicaciones de las funciones
cuadráticas.

Funciones lineales;
funciones de
proporcionalidad directa;
funciones constantes.

Ecuación punto-pendiente;
ecuación de la recta que
pasa por dos puntos.

Ecuación general de una
recta.

Funciones cuadráticas;
estudio de funciones
cuadráticas.

Aplicaciones; aplicaciones
de las funciones lineales,
aplicaciones de las funciones
cuadráticas.
172
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
estadísticos o
realidad.
B1-8. Desarrollar y
B4-1. Conocer los
elementos que
intervienen en el estudio
de las funciones y su
representación gráfica.
B4-2. Identificar
relaciones de la vida
cotidiana y de otras
materias que pueden
modelizarse mediante
una función lineal
valorando la utilidad de la
descripción de este
modelo y de sus
parámetros para describir
el fenómeno analizado.
B4-3. Reconocer
situaciones de relación
funcional que necesitan
ser descritas mediante
funciones cuadráticas,
calculando sus
parámetros y
características.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
B1-8. Desarrollar y
cultivar las
actitudes
personales
inherentes al
quehacer
matemático.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B1-6.1. Identifica
situaciones
realidad, susceptibles de
contener problemas de
interés.

Identifica e
interpreta problemas
de la vida cotidiana
y de su interés,
resolviéndolos de
forma adecuada al
entorno del
planteamiento.
COMPE
TENCIA
S
CL
CMCT
CSC
problemas y ejercicios y
adopta la actitud
adecuada para cada
caso.

entre problemas y
ejercicios; los
resuelve en función
de sus
características.
CL
CMCT
AA
BLOQUE 4. FUNCIONES
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B4-1. Conocer los
elementos que
intervienen en el
estudio de las
funciones y su
representación
gráfica.
B4-2. Identificar
relaciones de la vida
cotidiana y de otras
materias que pueden
modelizarse mediante
una función lineal
valorando la utilidad de
la descripción de este
modelo y de sus
parámetros para
describir el fenómeno
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE

B4-1.3. Construye una
gráfica a partir de un
enunciado
contextualizado
describiendo el
fenómeno expuesto.
B4-2.1. Determina las
diferentes formas de
expresión de la ecuación
de la recta a partir de
una dada (Ecuación
punto pendiente,
general, explícita y por
dos puntos), identifica
puntos de corte y
pendiente, y la
representa gráficamente.

analizado.
173
Realiza la
representación
gráfica de funciones,
describiendo el
fenómeno que
representan dentro
de su contexto.
Identifica las
funciones lineales,
calcula los puntos
de corte y la
pendiente de la
recta, la representa
gráficamente y
determina las
expresión de la
ecuación punto
pendiente.
COMPE
TENCIA
S
CL
CMCT
CD
AA
CSC
CL
CMCT
AA
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B4-3. Reconocer
situaciones de
relación funcional
que necesitan ser
descritas mediante
funciones
cuadráticas,
calculando sus
parámetros y
características.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B4-3.1. Calcula los
elementos
característicos de
una función
polinómica de
grado dos y la
representa
gráficamente.

describe
situaciones de la
vida cotidiana que
puedan ser
modelizadas
mediante funciones
cuadráticas, las
estudia y las
representa
utilizando medios
tecnológicos
cuando sea
necesario.

COMPETENCIAS
Calcula y
representa
gráficamente los
elementos
característicos
de una función
de segundo
grado.
Interpreta
situaciones de la
vida cotidiana,
relacionadas
con las
funciones de
segundo grado,
las describe, las
estudia y las
representa
como solución a
ejercicios y
problemas
planteados.
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
CD
AA
CSC
Comprensión lectora. El móvil (página 241).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. Evolución del teléfono móvil (página 241); Selección
de una tarifa de Internet (página 261).
Emprendimiento. Selección de una tarifa de Internet (página 261).
260).
Valores personales. Las tarifas telefónicas y el uso del teléfono
móvil (página 260).
174
UNIDAD 13. Estadística
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben utilizar con precisión las variables estadísticas.
Realizarán recuento de datos y calcularán frecuencias, interpretando y elaborando tablas, gráficos
estadísticos, diagramas de barras, polígonos de frecuencias, diagramas de sectores e
histogramas. Interpretarán y calcularán las medidas de centralización, de posición y de dispersión.
Aplicarán sus conocimientos a la resolución de problemas estadísticos.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos poseen conocimientos elementales de estadística,
sabiendo diferenciar entre datos, muestra, frecuencia, mediana y moda. Saben interpretar
representaciones gráficas básicas sobre datos estadísticos.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para realizar
estudios estadísticos para datos agrupados. Prevenir para que diferencien entre intervalos
abiertos y cerrados y los apliquen a la toma de datos.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 5. ESTADÍSTICA Y
PROBABILIDAD



Recuento de datos; recuento de
Fases y tareas de un estudio
estadístico. Población, muestra.
datos agrupados.
estadísticas para describir un
conjunto de datos mediante
tablas y gráficas adecuadas a
Frecuencias.
la situación analizada,
cualitativas, discretas y continuas.

Tablas de frecuencias.
justificando si las conclusiones
Frecuencias absolutas, relativas y

Gráficos estadísticos; diagrama de
acumuladas. Agrupación de datos
en intervalos.

Gráficas estadísticas.

Parámetros de posición. Cálculo,
interpretación y propiedades.

B5-1. Elaborar informaciones

Variables estadísticas:

CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
Parámetros de dispersión.
son representativas para la
población estudiada.
barras.

B5-2. Calcular e interpretar los
Polígono de frecuencias; diagrama
de sectores; histogramas.

parámetros de posición y de
dispersión de una variable
Medidas estadísticas; medidas de
estadística para resumir los
centralización; medidas de posición;
datos y comparar
medidas de dispersión.
distribuciones estadísticas.
175
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B5-1. Elaborar
informaciones
estadísticas para
describir un
conjunto de datos
mediante tablas y
gráficas adecuadas
a la situación
analizada,
justificando si las
conclusiones son
representativas
para la población
estudiada.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B5-1.1. Distingue
población y muestra
justificando las
diferencias en
problemas
contextualizados.

B5-1.2. Valora la
representatividad
de una muestra a
través del
procedimiento de
selección, en casos
sencillos.

B5-1.3. Distingue
entre variable
cualitativa,
cuantitativa discreta
y cuantitativa
continua y pone
ejemplos.

B5-1.4. Elabora
tablas de
frecuencias,
relaciona los
distintos tipos de
frecuencias y
obtiene información
de la tabla
elaborada.

Identifica y define
individuo desde el
estadística,
justificando las
diferencias, y los
aplica a casos
concretos.
Elige muestras
representativas de
una población, para
hacer un estudio
estadístico sobre
asuntos relacionados
con su entorno.
Identifica y discrimina
variables cualitativas,
cuantitativas discretas
y cuantitativa
continuas en casos
propuestos y pone
ejemplos relacionados
con la vida cotidiana y
con sus intereses.
Identifica, analiza y
organiza los datos
obtenidos de una
población en tablas
de variables
cualitativas o
cuantitativas; calcula
sus frecuencias
absolutas y relativas,
y los representa
gráficamente.
176
COMPETE
NCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CL
CMCT
CD
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
CD
AA
CSC
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B5-1. Elaborar
informaciones
estadísticas para
describir un
conjunto de datos
mediante tablas y
gráficas adecuadas
a la situación
analizada,
justificando si las
conclusiones son
representativas
para la población
estudiada.
B5-2. Calcular e
interpretar los
parámetros de
posición y de
dispersión de una
variable estadística
para resumir los
datos y comparar
distribuciones
estadísticas.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B5-1.5. Construye,
con la ayuda de
herramientas
tecnológicas si
fuese necesario,
gráficos
estadísticos
adecuados a
distintas situaciones
relacionadas con
variables asociadas
a problemas
sociales,
económicos y de la
vida cotidiana.

B5-2.1. Calcula e
interpreta las
medidas de
posición (media,
moda, mediana y
cuartiles) de una
para proporcionar
un resumen de los
datos.

Utiliza herramientas
tecnológicas, busca en
Internet e interpreta
datos estadísticos, en
función de situaciones
relacionadas con
problemas sociales,
económicos y de la vida
cotidiana; realiza los
cálculos y los
representa en gráficos
estadísticos adecuados.
problemas estadísticos,
calculando la media
aritmética, la mediana,
la moda, y los cuartiles.
COMPET
ENCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CL
CMCT
CSC
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B5-2. Calcular e
interpretar los
parámetros de
posición y de
dispersión de una
para resumir los
datos y comparar
distribuciones
estadísticas.
INDICADORES DE
LOGRO
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B5-2.2. Calcula los
parámetros de
dispersión (rango,
recorrido
intercuartílico y
desviación típica.
Cálculo e
interpretación) de
una variable
estadística (con
calculadora y con
hoja de cálculo)
para comparar la
representatividad
de la media y
describir los datos.

problemas estadísticos,
calculando los
parámetros de
dispersión; representa
gráficamente los datos
y los describe.
COMPET
ENCIAS
CL
CMCT
AA
CSC
177
Comprensión lectora. La lavadora (página 263).
Expresión oral y escrita. Textos y actividades de la unidad; La
lavadora, su evolución (página 263).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. La calculadora (página 274); Número de mensajes
que han enviado, durante una semana, los alumnos 3.º de ESO de un
centro escolar (página 277).
Emprendimiento. Elaboración de un código de normas para el uso
de las zonas comunes del instituto (página 283).
282).
Valores personales. El reparto de tareas domésticas (página 282).
UNIDAD 14. Probabilidad
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben identificar e interpretar experimentos aleatorios y
sucesos. Sabrán calcular la unión, la intersección de sucesos y el suceso complementario.
Resolverán y plantearán el cálculo de la probabilidad de un suceso, usando correctamente la regla
de Laplace. Diferenciarán entre frecuencia y probabilidad. Conocerán las propiedades de los
sucesos compatibles e incompatibles, y aplicarán los cálculos a la resolución de problemas.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen de forma superficial el concepto de
aleatorio y saben la diferencia entre un suceso posible, probable y seguro.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para calcular
probabilidades cuando el número de datos es muy grande y pertenecen a sucesos a los
que no están habituados. Prevenir con la práctica para sucesos de su entorno próximo y
con pocos datos.
178
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DE LA
ETAPA
BLOQUE 5.
ESTADÍSTICA Y
PROBABILIDAD




Frecuencias absolutas,
relativas y acumuladas.
Agrupación de datos en
intervalos.
Interpretación conjunta
de la media y la
Cálculo de
probabilidades mediante
la regla de Laplace.
Diagramas de árbol
sencillos.
Permutaciones, factorial
de un número.
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD

Experimentos aleatorios.

Sucesos.

Operaciones con sucesos;
unión e intersección de
sucesos; suceso
complementario.

Probabilidad de un suceso.

Regla de Laplace.

Frecuencia y probabilidad.

Propiedades de la
probabilidad; sucesos
compatibles e
incompatibles;
propiedades.
179
CURRICULARES
conjunto de datos mediante
tablas y gráficas adecuadas a la
situación analizada, justificando
si las conclusiones son
representativas para la población
estudiada.
B5-4. Estimar la posibilidad de
que ocurra un suceso asociado a
un experimento aleatorio sencillo,
calculando su probabilidad a
partir de su frecuencia relativa, la
regla de Laplace o los diagramas
de árbol, identificando los
elementos asociados al
experimento.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B5-1. Elaborar
informaciones
estadísticas para
describir un
conjunto de datos
mediante tablas y
gráficas adecuadas
a la situación
analizada,
justificando si las
conclusiones son
representativas
para la población
estudiada.
B5-4. Estimar la
posibilidad de que
ocurra un suceso
asociado a un
experimento
aleatorio sencillo,
calculando su
probabilidad a partir
de su frecuencia
relativa, la regla de
Laplace o los
diagramas de árbol,
identificando los
elementos
asociados al
experimento.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B5-1.5. Construye,
con la ayuda de
herramientas
tecnológicas si
fuese necesario,
gráficos
estadísticos
adecuados a
distintas situaciones
relacionadas con
variables asociadas
a problemas
sociales,
económicos y de la
vida cotidiana.

B5-4.1. Identifica
los experimentos
aleatorios y los
distingue de los
deterministas.

B5-4.3. Asigna
probabilidades a
sucesos en
experimentos
aleatorios sencillos
cuyos resultados
son equiprobables,
mediante la regla
de Laplace,
enumerando los
sucesos
elementales, tablas
o árboles u otras
estrategias
personales.

Utiliza
herramientas
tecnológicas,
busca en
Internet e
interpreta datos
estadísticos, en
función de
situaciones
relacionadas
con problemas
sociales,
económicos y
de la vida
cotidiana;
realiza los
cálculos y los
representa en
gráficos
estadísticos
adecuados.
Identifica y
define los
experimentos
aleatorios y los
distingue de los
deterministas,
justificando las
diferencias, y
aplicándolas a
casos
concretos.
Analiza sucesos
en experimentos
aleatorios
sencillos y
calcula las
probabilidades,
aplicando la
regla de
Laplace.
180
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CL
CMCT
CL
CMCT
AA
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B5-4. Estimar la
posibilidad de que
ocurra un suceso
asociado a un
experimento
aleatorio sencillo,
calculando su
probabilidad a partir
de su frecuencia
relativa, la regla de
Laplace o los
diagramas de árbol,
identificando los
elementos
asociados al
experimento.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B5-4.4. Toma la
decisión correcta
teniendo en cuenta
las probabilidades
de las distintas
opciones en
situaciones de
incertidumbre.

Valora las
distintas
opciones para el
cálculo de
probabilidades y
argumenta las
decisiones que
toma
apoyándose en
sus
conocimientos.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
Comprensión lectora. Reproductores mp3 (página 285).
Expresión oral y escrita. Textos y actividades de la unidad;
Reproductores mp3 y música favorita (página 285).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. Evolución tecnológica hasta llegar a los
reproductores mp3 (página 285).
Emprendimiento. Organización de una liguilla deportiva en el
instituto (página 303).
302).
Valores personales. Organización de canciones en un mp3 (página
302).
181
BÁSICOS DE
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS DE 3º ESO
• Planificación y utilización de estrategias en la resolución de problemas, tales como
el recuento exhaustivo, la inducción o la búsqueda de problemas afines, y
comprobación del ajuste de la solución a la situación planteada.
• Descripción verbal de relaciones cuantitativas y espaciales y de procedimientos de
resolución utilizando la terminología precisa.
• Interpretación de mensajes que contengan informaciones de carácter cuantitativo o
simbólico sobre elementos o relaciones espaciales.
• Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas y en la
mejora de las encontradas.
algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de
propiedades geométricas.
Bloque 2. Números y Álgebra
• Números racionales. Comparación, ordenación y representación sobre la recta.
• Decimales y fracciones. Transformación de fracciones en decimales y viceversa.
Decimales exactos y decimales periódicos. Fracción generatriz.
• Operaciones con fracciones y decimales. Jerarquía de las operaciones y uso del
paréntesis.
• Potencias de base racional y exponente entero. Significado y propiedades. Su
aplicación para la expresión de números muy grandes y muy pequeños. Operaciones
con números expresados en notación científica.
• Resolución de problemas en los que interviene la proporcionalidad directa o inversa.
Repartos proporcionales.
• Sucesiones de números enteros y fraccionarios. Progresiones aritméticas y
geométricas.
• Traducción de situaciones del lenguaje verbal al algebraico.
• Polinomios. Valor numérico. Operaciones elementales con polinomios. Identidades
notables. Ceros de un polinomio.
• Resolución algebraica de ecuaciones de primer grado y de sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas.
• Resolución algebraica de ecuaciones de segundo grado.
• Resolución de problemas mediante la utilización de ecuaciones y sistemas.
Interpretación crítica de las soluciones.
182
• Revisión de la geometría del plano.
• Teorema de Tales. División de un segmento en partes proporcionales.
• Aplicación de los teoremas de Tales y Pitágoras a la resolución de problemas
geométricos y del medio físico.
• El cilindro, el cono y la esfera. Cálculo de áreas y volúmenes.
• Relaciones funcionales. Distintas formas de expresar una función.
• Construcción de tablas de valores a partir de enunciados, expresiones algebraicas o
gráficas sencillas.
• Elaboración de gráficas continuas o discontinuas a partir de un enunciado, una tabla
de valores o de una expresión algebraica sencilla.
• Estudio gráfico de una función: crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos,
simetrías, continuidad y periodicidad. Análisis y descripción de gráficas que
representan fenómenos del entorno cotidiano.
• Estudio gráfico y algebraico de las funciones constantes, lineales y afines. Distintas
formas de representar la ecuación de una recta.
• Estadística descriptiva unidimensional. Necesidad, conveniencia y representatividad
de una muestra. Métodos de selección aleatoria y aplicaciones en situaciones reales.
Variables discretas y continuas.
• Interpretación de tablas de frecuencias y gráficos estadísticos.
• Agrupación de datos en intervalos. Histogramas y polígonos de frecuencias.
• Descripción de datos cuantitativos. Parámetros de centralización: media, moda,
cuartiles y mediana. Significado, cálculo y aplicaciones.
• Descripción de datos cuantitativos. Parámetros de dispersión: rango y desviación
típica. Utilización conjunta de la media y la desviación típica.
• Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones
y valoraciones. Análisis y crítica de la información de índole estadístico y de su
presentación.
• Experimentos aleatorios. Sucesos y operaciones.
• Diagramas de árbol. Regla de Laplace. Cálculo de Probabilidades
183
PROGRAMACIÓN
DIDÁCTICA
Matemáticas
3º ESO
ENSEÑANZAS APLICADAS
Libro de texto:
MATEMÁTICAS 3 ESO (Serie Soluciona)
184
Matemáticas orientadas a las enseñanzas aplicadas (3º de ESO)
La asignatura de Matemáticas contribuye especialmente al desarrollo de la competencia
matemática, reconocida como clave por la Unión Europea: esta se entiende como habilidad para
desarrollar y aplicar el razonamiento matemático con el fin de resolver diversos problemas en
situaciones cotidianas; en concreto, engloba los siguientes aspectos y facetas: pensar, modelar
y razonar de forma matemática, plantear y resolver problemas, representar entidades
matemáticas, utilizar los símbolos matemáticos, comunicarse con las Matemáticas y sobre las
Matemáticas, y utilizar ayudas y herramientas tecnológicas. Además, el pensamiento matemático
ayuda a la adquisición del resto de competencias y contribuye a la formación intelectual del
alumnado, lo que le permitirá desenvolverse mejor tanto en el ámbito personal como social.
La resolución de problemas y los proyectos de investigación deben ser ejes fundamentales en el
proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas. La habilidad de formular, plantear,
interpretar y resolver problemas es una de las capacidades esenciales de la actividad
matemática, ya que permite a las personas emplear los procesos cognitivos para abordar y
resolver situaciones interdisciplinares reales, lo que resulta de máximo interés para el desarrollo
de la creatividad y el pensamiento lógico. En este proceso de resolución e investigación están
involucradas muchas otras competencias, además de la matemática, entre otras, la
comunicación lingüística, al leer de forma comprensiva los enunciados y comunicar los resultados
obtenidos; el sentido de iniciativa y emprendimiento al establecer un plan de trabajo en revisión
y modificación continua en la medida que se va resolviendo el problema; la competencia digital,
al tratar de forma adecuada la información y, en su caso, servir de apoyo a la resolución del
problema y comprobación de la solución; o la competencia social y cívica, al implicar una actitud
abierta ante diferentes soluciones.
El alumnado que curse esta asignatura progresará en la adquisición de algunas habilidades de
pensamiento matemático, en concreto en la capacidad de analizar, interpretar y comunicar con
técnicas matemáticas diversos fenómenos y problemas en distintos contextos, así como de
proporcionar soluciones prácticas a los mismos; también debe desarrollar actitudes positivas
hacia la aplicación práctica del conocimiento matemático, tanto para el enriquecimiento personal
como para la valoración de su papel en el progreso de la humanidad. Es importante que en el
desarrollo del currículo de esta asignatura de Matemáticas los conocimientos, las competencias
y los valores estén integrados, por lo que los estándares de aprendizaje evaluables se han
formulado teniendo en cuenta la imprescindible relación entre dichos elementos. Todo ello
justifica que se haya organizado en torno a los siguientes bloques para los cursos de 3º y 4º de
ESO, poniendo el foco en la aplicación práctica de éstos en contextos reales frente a la
profundización en los aspectos teóricos: Procesos, métodos y actitudes en Matemáticas,
Números y Álgebra, Geometría, Funciones, y Estadística y Probabilidad.
El bloque de “Procesos, métodos y actitudes en Matemáticas” es común a los dos cursos y debe
desarrollarse de modo transversal y simultáneamente al resto de bloques, constituyendo el hilo
conductor de la asignatura; se articula sobre procesos básicos e imprescindibles en el quehacer
matemático: la resolución de problemas, proyectos de investigación matemática, la
matematización y modelización, las actitudes adecuadas para desarrollar el trabajo científico y
la utilización de medios tecnológicos.
185
OBJETIVOS POR TEMAS: TERCER CURSO ESO
TEMA 1 NÚMEROS RACIONALES
– Distinguir números naturales, enteros y racionales.
– Reconocer y obtener fracciones equivalentes.
– Operaciones con fracciones
Tema 2 NÚMEROS DECIMALES
– Clasificar números decimales.
– Obtener la fracción generatriz de un número decimal.
– Realizar operaciones con decimales.
– Calcular potencias y raíces de fracciones.
– Calcular expresiones con operaciones combinadas con fracciones.
– Reconocer números racionales y números irracionales.
– Aplicar un método general de resolución de problemas.
– Expresar un número en notación científica.
– Resolver problemas buscando contraejemplos.
TEMA 3 POLINIMIOS. SUCESIONES
– Reconocer expresiones algebraicas y calcular su valor numérico.
– Realizar operaciones con monomios.
– Determinar el grado de un polinomio.
– Calcular el valor numérico de un polinomio.
– Realizar operaciones con polinomios.
– Aplicar el método de Ruffini.
– Reconocer y aplicar los productos notables.
– Reconocer y construir sucesiones de números reales.
– Identificar progresiones aritméticas y calcular su término general.
– Calcular la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.
– Identificar progresiones geométricas y obtener su término general.
– Aplicar la propiedad de los términos de una progresión aritmética o geométrica.
– Calcular el producto de los n primeros términos de una progresión geométrica.
– Obtener la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica.
186
TEMA 4 ECUACIONES Y SISTEMAS
– Resolver ecuaciones de primer grado.
– Resolver ecuaciones incompletas de segundo grado.
– Resolver ecuaciones completas de segundo grado.
– Determinar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado.
– Aplicar las ecuaciones a la resolución de problemas.
– Clasificar un sistema de ecuaciones lineales.
– Resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones.
– Resolver gráficamente un sistema de ecuaciones.
– Aplicar los sistemas de ecuaciones a la resolución de problemas.
TEMA 5 POLÍGONOS. PERÍMETROS Y ÁREAS
– Reconocer y representar puntos, rectas, planos, semirrectas, segmentos y semiplanos.
– Reconocer lugares geométricos del plano.
– Demostrar y aplicar el teorema de Pitágoras.
– Calcular el área y el perímetro de figuras planas utilizando fórmulas.
TEMA 6 MOVIMIENTOS Y SEMEJANZA
– Clasificación de los movimientos en el plano.
– Reconocer los elementos de un vector fijo.
– Trazar la traslación de una figura.
– Aplicar un giro a una figura dada.
– Enunciar el teorema de Tales.
– Aplicar el teorema de Tales en diferentes situaciones problemáticas.
– Aplicar los criterios de semejanza de triángulos.
– Clasificar las escalas.
TEMA 7 CUERPOS GEOMÉTRICOS
– Reconocer los elementos de los poliedros.
– Reconocer los planos y ejes de simetría de un poliedro.
– Calcular áreas y volúmenes de prismas aplicando las fórmulas correspondientes.
– Obtener el área y el volumen de una pirámide y de un tronco de pirámide utilizando las fórmulas
correspondientes.
– Reconocer las propiedades de los cuerpos de revolución.
– Calcular el área y el volumen de un cilindro o de un cono aplicando las fórmulas correspondientes.
– Reconocer los elementos de la esfera.
– Calcular el área y el volumen de una esfera.
– Indicar las coordenadas geográficas de un punto de la superficie de la esfera terrestre.
– Resolver problemas de geometría.
187
TEMA 8 FUNCIONES
– Reconocer las variables independiente y dependiente relacionadas en una función.
– Expresar una función de diferentes formas.
– Reconocer la posible periodicidad de una función.
– Reconocer la continuidad de una función a partir de su representación gráfica.
– Analizar el crecimiento o decrecimiento de una función.
– Identificar los máximos y mínimos absolutos y relativos de una función.
– Estudiar el comportamiento de una función a partir de su gráfica.
– Resolver problemas gráficamente.
– Definir y reconocer funciones lineales a partir de su gráfica y de su expresión analítica.
– Identificar los elementos característicos de la ecuación de una recta.
– Determinar e interpretar la pendiente de una recta.
– Reconocer los elementos característicos de las funciones cuadráticas.
– Representar una función cuadrática a partir de su expresión analítica.
TEMA 9 ESTADÍSTICA
– Reconocer la población, la muestra y el individuo en un estudio estadístico.
– Distinguir entre el muestreo no aleatorio, probabilístico y estratificado proporcional.
– Clasificar una variable estadística según sea cualitativa, cuantitativa, discreta o continua.
– Reconocer las etapas de una investigación estadística.
– Completar e interpretar tablas de frecuencias absolutas y relativas.
– Calcular frecuencias absolutas y relativas acumuladas.
– Obtener frecuencias de datos agrupados en clases.
– Interpretar y construir diagramas de barras, diagramas de sectores y pictogramas.
– Analizar histogramas y polígonos de frecuencias.
– Interpretar cartogramas.
– Resolver problemas realizando un esquema o un gráfico.
– Diferenciar entre parámetros de posición y parámetros de dispersión.
– Calcular medidas de centralización, de dispersión y de posición
– Calcular la varianza y la desviación típica de una distribución.
Representar un diagrama de caja y bigotes.
188
1ª EVALUACIÓN
UNIDAD 1. Números enteros y
fracciones
Objetivos curriculares
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos sabrán identificar los números enteros, conocerán las reglas
de los signos y realizarán operaciones con números enteros. Sabrán identificar y calcular
fracciones equivalentes y hallar el término desconocido de una fracción equivalente a otra; sabrán
amplificar, simplificar y reducir fracciones, reducir a común denominador y comparar fracciones.
Sabrán realizar operaciones con fracciones y con números enteros, expresando la equivalencia
entre ellos. Realizarán operaciones combinadas con fracciones y números enteros.

Lo que los alumnos ya conocen. Los números naturales y sus operaciones básicas, así como
el cálculo elemental de potencias. Identifican y saben operar con números naturales; tienen
nociones básicas sobre los números enteros y sobre las fracciones; conocen que existe una
relación entre enteros y naturales, y saben que existe una equivalencia entre enteros positivos y
números naturales.
 Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para resolver operaciones
con paréntesis, cuando las fracciones tengan distinto denominador y se trate de efectuar sumas,
restas, multiplicaciones y divisiones combinadas. Prevenir para que no confundan el orden
correcto de resolución, tanto por la jerarquía de operaciones como por el uso de paréntesis, y la
reducción a común denominador.
189
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DEL
ÁREA
BLOQUE 1. PROCESOS,
MÉTODOS Y
ACTITUDES
MATEMÁTICAS




Planificación del
de problemas.
Estrategias y
lenguaje apropiado
algebraico, etc.),
reformulación del
problema, resolver
casos particulares
sencillos, buscar
etc.
las operaciones
unidades a los
resultados,
comprobación e
soluciones en el
búsqueda de otras
etc.
modelización, en
y en contextos
matemáticos.
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD

Números enteros.

Suma y resta de números
enteros; multiplicación y
división de números
enteros; operaciones
combinadas con números
enteros.

Fracciones; definición de
fracción; significado de una
fracción; simplificar
fracciones; reducción a
común denominador;
comparación de fracciones.

Suma y resta de
fracciones; multiplicación y
división de fracciones.

con fracciones y números
enteros.
190
CURRICULARES
B1-1. Expresar verbalmente, de
forma razonada, el proceso
seguido en la resolución de un
problema.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DEL
ÁREA
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD
BLOQUE 2. NÚMEROS
Y ÁLGEBRA



Jerarquía de
operaciones.
racionales.
Operaciones con
redondeo. Error
cometido.

Números enteros.

enteros; multiplicación y
división de números
enteros; operaciones
combinadas con números
enteros.

Fracciones; definición de
fracción; significado de una
fracción; simplificar
fracciones; reducción a
común denominador;
comparación de fracciones.

Suma y resta de
fracciones; multiplicación y
división de fracciones.

con fracciones y números
enteros.
CURRICULARES
los números racionales y
decimales para operarlos
utilizando la forma de cálculo y
notación adecuada, para resolver
problemas, y presentando los
requerida.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-1. Expresar
seguido en la
resolución de un
problema.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B1-1.1. Expresa
seguido en la
resolución de un
problema, con el rigor y
la precisión
adecuados.
191
INDICADORES DE
LOGRO

Comprende la
en el enunciado de
problemas y
responde a las
preguntas que se le
formulan,
empleando
números y datos
relacionados entre
sí.
COMPET
ENCIAS
CL
CMCT
AA
CSC
(CONTINUACIÓN)
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
problemas en
situaciones
realidad.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B1-6.1. Identifica
situaciones
realidad, susceptibles
de contener problemas
de interés.
B1-6.2. Establece
conexiones entre un
problema del mundo
real y el mundo
matemático,
identificando el
matemáticos que
conocimientos
matemáticos
necesarios.
INDICADORES DE
LOGRO


Identifica y
comprende la
en el enunciado de
problemas,
desarrollando
procesos
matemáticos en
cotidiana.
Desarrolla procesos
matemáticos,
asociados a
cotidiana, a partir
de la identificación
de problemas en
situaciones
realidad.
COMPET
ENCIAS
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
AA
CSC
IE
CEC
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-1. Utilizar las
propiedades de los
números racionales y
decimales para
operarlos utilizando la
forma de cálculo y
notación adecuada,
para resolver
problemas, y
presentando los
resultados con la
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
de expresiones
numéricas de números
enteros, decimales y
fraccionarios mediante
las operaciones
elementales y las
potencias de números
naturales y exponente
entero aplicando
correctamente la
jerarquía de las
operaciones.
192
INDICADORES DE
LOGRO

Realiza
operaciones con
números enteros y
fraccionarios,
aplicando la
jerarquía de las
operaciones.
COMPET
ENCIAS
CMCT
AA
Comprensión lectora. El origen de los calendarios (página 7).
Expresión oral y escrita. Reflexión y aplicación sobre el uso del calendario (página 7).
Comunicación audiovisual. Cuadros informativos: Suma y resta de números enteros
CONTENID
OS
TRANSVER
SALES
(página 9), Definición de fracción (página 12), Simplificar fracciones (página 14), Suma y
resta de fracciones (página 17).
El tratamiento de las tecnologías de la información y de la comunicación. Los
datos de una cuenta corriente (página 9).
Emprendimiento. Interpretación de la ficha técnica de un vehículo (página 24).
Educación cívica y constitucional. Accidentes deportivos (página 18).
Valores personales. El reparto de bienes: la herencia (página 16).
UNIDAD 2. Números decimales.
Notación científica
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer la estructura de los números decimales; sabrán
realizar operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir decimales. Conocerán y aplicarán las
reglas del redondeo. Sabrán calcular el error absoluto y el valor relativo. Convertirán fracciones en
números decimales y viceversa, diferenciando las partes de los decimales periódicos o no;
aplicarán sus conocimientos sobre decimales y potencias a expresar los números y sus
operaciones básicas mediante notación científica, comprendiendo las ventajas de esta forma de
expresión. Aplicarán todos los conocimientos numéricos y del cálculo a la resolución de problemas.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen los números enteros y sus operaciones
básicas. Saben identificar y calcular fracciones equivalentes y hallar el término desconocido de
una fracción equivalente a otra; así como amplificar, simplificar y reducir fracciones a común
denominador y comparar fracciones. Realizan operaciones combinadas con fracciones y con
números enteros, expresando la equivalencia entre ellos.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para comprender las ventajas
de expresar un número con muchas cifras mediante su notación científica. Prevenir mediante la
resolución de actividades y su aplicación práctica.
193
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DEL ÁREA
BLOQUE 1. PROCESOS,
MATEMÁTICAS

Estructura de los números
decimales.

decimales.

resolución de problemas:

Multiplicación de decimales.

resultados: revisión de las
operaciones utilizadas,
asignación de unidades a los
resultados, comprobación e
soluciones en el contexto de
la situación, búsqueda de
otras formas de resolución,
etc.

División de decimales

Redondeo y truncamiento.

Error absoluto y relativo.

Expresión decimal de una
fracción.

Expresión de un decimal
como fracción.

Potencias.
matematización y
modelización, en contextos
de la realidad y en contextos
matemáticos.



Sumas y restas con números
expresados en notación
científica.

CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
de resolución de
comprobando las
estadísticos o
realidad.
matemático.
CONTENIDOS
DEL ÁREA

Estructura de los números
decimales.

decimales.

Multiplicación de decimales.
expresados en notación científica.

División de decimales



Números decimales y racionales.

Error absoluto y relativo.

Transformación de fracciones en

Expresión decimal de una fracción.
decimales y viceversa. Números

Expresión de un decimal como
fracción.

Potencias.



Sumas y restas con números
expresados en notación científica.

Potencias de números naturales con
exponente entero. Significado y uso.
Potencias de base 10. Aplicación para
la expresión de números muy
pequeños. Operaciones con números
decimales exactos y periódicos.

Operaciones con fracciones y
decimales. Cálculo aproximado y
redondeo. Error cometido.
194
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARE
S
B2-1. Utilizar las
propiedades de
los números
racionales y
decimales para
operarlos
utilizando la
forma de cálculo
y notación
adecuada, para
resolver
problemas, y
presentando los
resultados con la
precisión
requerida.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO

COMPETENCIAS
Realiza una lectura
B1-2. Utilizar
B1-2.1. Analiza y
procesos de
comprende el
comprensiva de los
razonamiento y
enunciado de los
problemas,
estrategias de
problemas (datos,
diferenciando entre
resolución de
datos necesarios e
datos, contexto del
innecesarios, y
los cálculos
problema).
analizando sus
necesarios y
relaciones entre ellos,
comprobando las
con el contexto del
problema, con el
CL
CMCT
AA
planteamiento y con
la solución.

Realiza una
B1-6. Desarrollar
procesos de
interpretación de la
matematización en
del problema en el
solución del problema
contextos de la
contexto de la
en relación con el
realidad cotidiana
realidad.
contexto; analiza las
(numéricos,
geométricos,
datos, el contexto del
funcionales,
problema, el
estadísticos o
planteamiento y la
probabilísticos) a
solución.
CL
CMCT
AA
CSC
IE
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.

Plantea y resuelve
B1-8. Desarrollar y
B1-8.3. Distingue
entre problemas y
problemas, de forma
ejercicios y adopta la
razonada y teniendo
al quehacer
actitud adecuada para
en cuenta el contexto;
matemático.
cada caso.
los distingue de los
ejercicios como
trabajos prácticos que
le sirven de
complemento,
comprobación y
refuerzo del
aprendizaje teórico.
195
CL
CMCT
AA
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-1. Utilizar las
propiedades de los
números racionales
y decimales para
operarlos utilizando
la forma de cálculo
y notación
adecuada, para
resolver problemas,
y presentando los
resultados con la
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-1.1. Aplica las
propiedades de las
potencias para
simplificar
fracciones cuyos
numeradores y
denominadores son
productos de
potencias.

Simplifica
fracciones con
términos en
forma de
potencia y
convierte
potencias con
exponente
negativo en
fracciones.
CMCT
B2-1.2. Distingue,
al hallar el decimal
equivalente a una
fracción, entre
decimales finitos y
decimales infinitos
periódicos,
indicando en ese
caso, el grupo de
decimales que se
repiten o forman
período.

Identifica las
cifras de los
decimales, las
lee y las
escribe
correctamente.
CL

Calcula el
decimal
equivalente a
una fracción, y
viceversa,
distinguiendo
entre decimales
finitos e
infinitos
periódicos
puros y mixtos;
identifica e
indica el
periodo en los
decimales
periódicos.
B2-1.3. Expresa
ciertos números
muy grandes y muy
pequeños en
notación científica,
y opera con ellos,
con y sin
calculadora, y los
utiliza en problemas
contextualizados.

Escribe la
notación
científica de
números muy
grandes o muy
pequeños;
opera con ellos,
de forma
manual y con la
calculadora.
196
COMPETENCIAS
CMCT
AA
CL
CMCT
CD
AA
IE
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-1. Utilizar las
propiedades de los
números racionales
y decimales para
y notación
adecuada, para
resolver problemas,
y presentando los
resultados con la
B2-1.4. Distingue y
emplea técnicas
adecuadas para
realizar
aproximaciones por
defecto y por
exceso de un
número en
problemas
contextualizados y
justifica sus
procedimientos.

B2-1.5. Aplica
adecuadamente
técnicas de
truncamiento y
redondeo en
problemas
contextualizados,
reconociendo los
errores de
aproximación en
cada caso para
determinar el
procedimiento más
adecuado.

B2-1.6. Expresa el
resultado de un
la unidad de
medida adecuada,
en forma de
número decimal,
redondeándolo si
es necesario con el
margen de error o
precisión
requeridos, de
acuerdo con la
naturaleza de los
datos.

COMPETENCIAS
Identifica y
aplica técnicas
de
aproximación
por exceso y
por defecto; las
emplea y las
justifica en la
resolución de
problemas.
CMCT
Identifica y
aplica técnicas
de
truncamiento y
redondeo; las
justifica y las
emplea
mediante el
procedimiento
más adecuado
en la resolución
de problemas.
CL
Expresa con
precisión el
resultado de un
problema,
teniendo en
cuenta la
naturaleza de
los datos, las
unidades de
medidas, el
margen de
error y las
normas de
redondeo.
197
AA
CSC
IE
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-1. Utilizar las
propiedades de los
números racionales
y decimales para
y notación
adecuada, para
resolver problemas,
y presentando los
resultados con la
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-1.7. Calcula el
valor de
expresiones
numéricas de
números enteros,
decimales y
fraccionarios
mediante las
operaciones
elementales y las
potencias de
números naturales
y exponente entero
aplicando
correctamente la
jerarquía de las
operaciones.

B2-1.8. Emplea
números racionales
y decimales para
resolver problemas
y analiza la
coherencia de la
solución.


Realiza
operaciones con
números
enteros,
decimales y
fraccionarios,
aplicando la
jerarquía de las
operaciones.
Realiza
operaciones con
potencias de
exponente
entero positivo y
negativo.
Aplica las
operaciones
con números
decimales y
con fracciones
a la resolución
de problemas.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
Comprensión lectora. Punto de partida (página 25).
Expresión oral y escrita. Reflexión y explicación sobre un
presupuesto (página 42).
Comunicación audiovisual. El radar (página 25).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. Utilizar la calculadora (páginas 34 y 36).
Emprendimiento. El albañil como trabajador autónomo. (página
28).
Educación cívica y constitucional. Agencias de viajes: opciones y
ahorro (página 27).
Valores personales. El cuidado de los objetos de uso personal: la
puesta a punto de los vehículos (página 42).
198
UNIDAD 3. Polinomios. Sucesiones
numéricas
como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como
medio de desarrollo personal.
e) Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con
sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una preparación básica en el
campo de las tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación.
f) Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se estructura en
distintas disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar los problemas
en los diversos campos del conocimiento y de la experiencia.
g) Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación, el
sentido crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar,
tomar decisiones y asumir responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer el lenguaje algebraico, diferenciando entre
igualdad, identidad y ecuación, así como entre monomios y polinomios, etc. Deben resolver
operaciones con polinomios; desarrollarán las igualdades notables y aplicarán reglas generales.
Conocerán y aplicarán los conceptos fundamentales sobre sucesiones recurrentes, progresiones
aritméticas y progresiones geométricas. Aplicarán estos conocimientos a la interpretación y

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen la estructura y las propiedades de los
números naturales, enteros, fraccionarios y decimales; saben realizar operaciones de sumar,
restar, multiplicar y dividir, incluyendo la composición y descomposición de números y hallando el
término que falta en una operación.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para interpretar facturas,
relacionando los datos que se van acumulando con el contrato correspondiente. Prevenir,
mediante la aplicación práctica, leyendo e interpretando diferentes facturas y modelos.
199
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DEL
ÁREA
BLOQUE 1.
PROCESOS, MÉTODOS
Y ACTITUDES
MATEMÁTICAS



Planificación del
de problemas:
Estrategias y
lenguaje apropiado
algebraico, etc.),
reformulación del
problema, resolver
casos particulares
sencillos, buscar
etc.
las operaciones
unidades a los
resultados,
comprobación e
soluciones en el
búsqueda de otras
etc.
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD








Lenguaje algebraico.
Igualdad, identidad y
ecuación.
Monomios. Operaciones.
Polinomios.
Operaciones con
polinomios.
Igualdades notables.
Sucesiones.
Sucesiones recurrentes.
200
CURRICULARES
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DEL
ÁREA
BLOQUE 2. NÚMEROS
Y ÁLGEBRA



Investigación de
regularidades,
relaciones y
propiedades que
usando lenguaje
algebraico.
Sucesiones numéricas.
Progresiones
aritméticas y
geométricas.
Transformación de
expresiones algebraicas
con una indeterminada.
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD










Lenguaje algebraico.
Igualdad, identidad y
ecuación.
Monomios. Operaciones.
Polinomios.
Operaciones con
polinomios.
Sucesiones.
Progresiones aritméticas.
Progresiones
geométricas.
CURRICULARES
B2-2. Obtener y manipular
expresiones simbólicas que
describan sucesiones numéricas
observando regularidades en
casos sencillos que incluyan
B2-3. Utilizar el lenguaje algebraico
para expresar una propiedad o
relación dada mediante un
enunciado extrayendo la
información relevante y
transformándola.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE

COMPETENCIAS
Realiza una interpretación de
B1-6. Desarrollar
procesos de
la solución del problema en
matematización en
del problema en el
relación con el contexto;
analiza las relaciones entre los
geométricos,
problema, el planteamiento y la
funcionales,
solución.
estadísticos o
CMCT
problemas en
situaciones
realidad.

Plantea y resuelve problemas,
B1-8. Desarrollar y
de forma razonada y teniendo
y adopta la actitud
en cuenta el contexto; los
al quehacer
adecuada para cada
distingue de los ejercicios
matemático.
caso.
como trabajos prácticos que le
sirven de complemento,
comprobación y refuerzo del
201
CL
CMCT
AA
CSC
IE
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-2. Obtener y
manipular
expresiones
simbólicas que
describan
sucesiones
numéricas
observando
regularidades en
casos sencillos que
incluyan patrones
recursivos.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-2.1. Calcula
términos de una
sucesión numérica
recurrente usando
la ley de formación
a partir de términos
anteriores.

B2-2.2. Obtiene
una ley de
formación o fórmula
para el término
general de una
sucesión sencilla de
números enteros o
fraccionarios.

B2-2.3. Valora e
identifica la
presencia
recurrente de las
sucesiones en la
naturaleza y
resuelve problemas
asociados a las
mismas.

Obtiene
términos de
una sucesión
recurrente y
resuelve las
actividades
relacionadas
con la
aplicación de la
ley de
formación de
términos de
una sucesión a
partir de
términos
anteriores.
Calcula el
término general
de una
sucesión
sencilla y
resuelve las
actividades
relacionadas
con la fórmula
del término
general.
Resuelve
problemas de
la vida
cotidiana,
asociados a las
sucesiones.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
AA
CSC
IE
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
202
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-3. Utilizar el
lenguaje algebraico
para expresar una
propiedad o
relación dada
mediante un
enunciado
extrayendo la
información
relevante y
transformándola.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B2-3.1. Suma, resta
y multiplica
polinomios,
expresando el
resultado en forma
de polinomio
ordenado y
aplicándolos a
ejemplos de la vida
cotidiana.
B2-3.2. Conoce y
utiliza las
identidades
notables
correspondientes al
cuadrado de un
binomio y una suma
por diferencia y las
aplica en un
contexto adecuado.
INDICADORES DE
LOGRO

COMPETEN
CIAS
Realiza operaciones
CL
de sumar, restar y
multiplicar
polinomios, quitando
paréntesis cuando
los hay, reduciendo
términos semejantes
y expresando el
resultado de forma
ordenada.
CMCT

Calcula el valor
numérico de un
polinomio.

Resuelve el
cuadrado de una
suma o de una
diferencia y halla el
resultado de una
suma por una
diferencia, operando
de forma combinada
y simplificando los
resultados.
AA
CL
CMCT
AA
Comprensión lectora. Punto de partida. Las grandes superficies (página 43).
Expresión oral y escrita. Textos de la unidad y Las grandes superficies (página
43).
Comunicación audiovisual. Interpretación de imágenes. La báscula y el peso
(página 63).
CONTENIDOS
TRANSVERSALE
S
Las tarifas telefónicas y de conexión a Internet (página 58).
Emprendimiento. Recopilación de datos y toma de decisiones sobre el contrato
de una tarifa telefónica. (página 58).
Educación cívica y constitucional. Variedad de árbol de crecimiento rápido,
utilizada para reforestar zonas incendiadas (página 53).
Valores personales. La factura del teléfono, la tarifa y el ahorro (página 58).
203
2ª EVALUACIÓN
UNIDAD 4. Ecuaciones y sistemas
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos conocerán y sabrán resolver ecuaciones de primer grado,
teniendo en cuenta el concepto de ecuaciones equivalentes; resolverán problemas con ecuaciones
de primer grado. Deben resolver ecuaciones de segundo grado completas e incompletas y
aplicarlas a la resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado. Los alumnos
conocerán los métodos para resolver sistemas de ecuaciones y los aplicarán a la resolución de
problemas con sistemas.

Lo que los alumnos ya conocen. Los conocen el lenguaje algebraico, diferenciando entre
igualdad, identidad y ecuación, así como entre monomios y polinomios, etc. Conocen y aplican los
conceptos fundamentales sobre el uso del lenguaje algebraico en la interpretación y resolución de
problemas.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para resolver ecuaciones
de segundo grado incompletas y para aplicarlas al planteamiento y resolución de problemas.
Prevenir, con el uso de coeficiente cero en el término que falta hasta que interioricen su significado.
204
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DEL
ÁREA
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD
BLOQUE 1.
PROCESOS, MÉTODOS
Y ACTITUDES
MATEMÁTICAS

Resolución de
problemas con
ecuaciones de primer
grado.

Planificación del
de problemas:

Resolución de
ecuaciones de segundo
grado incompletas.
Estrategias y
lenguaje apropiado
algebraico, etc.),
reformulación del
problema, resolver
subproblemas,
recuento exhaustivo,
empezar por casos
particulares sencillos,
buscar regularidades y
leyes, etc.

Resolver problemas
mediante ecuaciones de
segundo grado.

Resolución de
problemas con sistemas.


las operaciones
utilizadas, asignación
de unidades a los
resultados,
comprobación e
soluciones en el
contexto de la
situación, búsqueda de
otras formas de
resolución, etc.
205
CURRICULARES
obtenidas.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DEL
ÁREA
BLOQUE 2. NÚMEROS
Y ÁLGEBRA

Jerarquía de
operaciones.

Investigación de
regularidades,
relaciones y
propiedades que
usando lenguaje
algebraico.



Transformación de
expresiones
algebraicas con una
indeterminada.
Ecuaciones de
segundo grado con una
incógnita. Resolución
(método algebraico y
gráfico).
Resolución de
utilización de
ecuaciones y sistemas.

Ecuaciones de primer grado.


Método general de
primer grado.

con ecuaciones de primer
grado.

grado.


segundo grado completas.

Resolver problemas
mediante ecuaciones de
segundo grado.

Sistemas de ecuaciones.

Resolución de sistemas de
ecuaciones.

Métodos para resolver
sistemas de ecuaciones.

con sistemas.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-4. Resolver problemas de
la vida cotidiana en los que se
sistemas lineales de dos
ecuaciones con dos
tecnológicos y valorando y
obtenidos.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DEL
ÁREA
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD
BLOQUE 3.
GEOMETRÍA

grado.


Resolución de
ecuaciones de segundo
grado incompletas.
Mediatriz, bisectriz,
ángulos y sus
relaciones, perímetro y
área. Propiedades.
206
CURRICULARES
características de las figuras
planas, los cuerpos geométricos
elementales y sus configuraciones
geométricas.
BLOQUE 1. PROCESOS, MÉTODOS Y ACTITUDES EN
MATEMÁTICAS
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
de resolución de
comprobando las
B1-2.4. Utiliza
estrategias
heurísticas y
procesos de
razonamiento en la
resolución de
problemas
reflexionando
sobre el proceso
de resolución de
problemas.

estadísticos o
realidad.
B1-6.4. Interpreta
la solución
matemática del
problema en el
contexto de la
realidad.

COMPETEN
CIAS
Busca la solución de
un problema
mediante tanteo y
razonamiento,
reflexionando sobre
el proceso de
resolución adecuado
y resolviéndolo.
Realiza una
solución del
problema en relación
con el contexto;
analiza las relaciones
entre los datos, el
contexto del
problema, el
planteamiento y la
solución.
CL
CMCT
AA
CSC
IE
CL
CMCT
AA
CSC
IE
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B2-4. Resolver problemas de
la vida cotidiana en los que se
ecuaciones con dos
tecnológicos y valorando y
obtenidos.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-4.1. Resuelve
ecuaciones de
segundo grado
completas e
incompletas mediante
procedimientos
algebraicos y gráficos.

B2-4.2. Resuelve
sistemas de dos
ecuaciones lineales
con dos incógnitas
mediante
procedimientos
algebraicos o gráficos.

207
Aplica técnicas
algebraicas para
resolver ecuaciones
de segundo grado
completas e
incompletas.
Aplica
procedimientos
algebraicos para
resolver sistemas
de dos ecuaciones
lineales con dos
incógnitas.
COMPET
ENCIAS
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
AA
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B2-4.3. Formula
algebraicamente una
cotidiana mediante
segundo grado y
ecuaciones con dos
incógnitas, las resuelve
e interpreta críticamente
el resultado obtenido.

Plantea y
resuelve problemas
mediante ecuaciones
de primer grado, de
segundo grado y
sistemas de
ecuaciones;
interpreta los
resultados y los
relaciona con el
planteamiento inicial
y con la vida
cotidiana.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
AA
CSC
IE
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B3-1. Reconocer y
describir los
elementos y
propiedades
características de las
figuras planas, los
cuerpos geométricos
elementales y sus
configuraciones
geométricas.
B3-1.4. Calcula el
perímetro de
polígonos, la longitud
de circunferencias, el
área de polígonos y
de figuras circulares,
en problemas
contextualizados
INDICADORES DE
LOGRO

Aplica las
ecuaciones de
segundo grado a la
resolución de
cotidiana,
relacionados con el
cálculo del área de
figuras planas.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
AA
Comprensión lectora. Punto de partida Las elecciones (página 59).
Expresión oral y escrita. Análisis y comprensión lectora del
enunciado de problemas; explicación de los resultados (página 63);
Entender una nómina (página 76).
Comunicación audiovisual. Colección de películas (página 74).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. La nómina (página 76).
Emprendimiento. El trabajo por turnos (página 75).
Educación cívica y constitucional.
El trabajo por turnos (página 75).
Valores personales.
Los juegos: el dominó (página 67).
208
UNIDAD 5. Polígonos. Perímetros y área

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben identificar y diferenciar la recta, la semirrecta y el
segmento; describiendo la posición relativa de dos rectas. Conocerán los ángulos, sus clases y
sus posiciones relativas. Identificarán los distintos tipos de polígonos, clasificándolos según sus
lados y sus ángulos; calcularán su perímetro y su área. Sabrán calcular la longitud de una
circunferencia y el área de figuras compuestas. Aplicarán los cálculos a la resolución de problemas.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen los conceptos básicos e identifican la
recta, la semirrecta y el segmento; conocen los ángulos y sus clases; identifican los distintos tipos
de polígonos y sus clases; saben calcular perímetros, áreas y la longitud de una circunferencia en
casos sencillos.
 Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para hallar el área de
figuras compuestas. Prevenir mediante el dibujo y la construcción de puzles para componer y
descomponer figuras planas compuestas.
209
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DEL
ÁREA
BLOQUE 1.
PROCESOS, MÉTODOS
Y ACTITUDES
MATEMÁTICAS



Planificación del
de problemas:
las operaciones
unidades a los
resultados,
comprobación e
soluciones en el
búsqueda de otras
etc.
Planteamiento de
investigaciones
matemáticas escolares
en contextos numéricos,
geométricos,
funcionales, estadísticos
y probabilísticos.












de resolución de
comprobando las
Recta, semirrecta y segmentos.
Posición relativa de dos rectas.
Ángulos. Clasificación de ángulos.
Posiciones relativas de ángulos.
Polígonos. Tipos de polígonos.
Clasificación de polígonos según sus
lados y ángulos.
La circunferencia y el círculo.
Perímetro de un polígono. Longitud
de una circunferencia.
Perímetros de figuras compuestas.
Área de un polígono.
Área de figuras planas.
Áreas de figuras compuestas.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DEL
ÁREA
BLOQUE 3.
GEOMETRÍA

Recta, semirrecta y segmentos.

Posición relativa de dos rectas.


Ángulos. Clasificación de ángulos.

Posiciones relativas de ángulos.

Polígonos. Tipos de polígonos.

Clasificación de polígonos según sus lados
ángulos y sus
área. Propiedades.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
y ángulos.

La circunferencia y el círculo.

Perímetro de un polígono. Longitud de una
circunferencia.

Perímetros de figuras compuestas.


Área de figuras planas.

Áreas de figuras compuestas.
210
estadísticos o
realidad.
matemático.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B3-1. Reconocer y
describir los elementos y
propiedades características
de las figuras planas, los
elementales y sus
configuraciones
geométricas.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
B1-2.1. Analiza y
comprende el
enunciado de los
problemas (datos,
datos, contexto del
problema).

B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
solución
matemática del
problema en el
contexto de la
realidad.

B1-8. Desarrollar y
cultivar las
actitudes
personales
inherentes al
quehacer
matemático.
B1-8.3. Distingue
entre problemas y
ejercicios y adopta
la actitud adecuada
para cada caso.

Realiza una lectura
comprensiva de los
problemas,
diferenciando entre
datos necesarios e
innecesarios, y
analizando sus
relaciones entre
ellos, con el contexto
del problema, con el
planteamiento y con
la solución.
Realiza una
solución del
problema en relación
con el contexto;
analiza las
problema, el
planteamiento y la
solución.
Plantea y resuelve
problemas, de forma
razonada y teniendo
en cuenta el
contexto; los
distingue de los
ejercicios como
trabajos prácticos
que le sirven de
complemento,
comprobación y
refuerzo del
211
COMPETE
NCIAS
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
AA
CSC
IE
CL
CMCT
AA
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B3-1. Reconocer y
describir los elementos y
propiedades
características de las
figuras planas, los
elementales y sus
configuraciones
geométricas.
INDICADORES DE
LOGRO
B3-1.1. Conoce las
propiedades de los
puntos de la
mediatriz de un
segmento y de la
bisectriz de un
ángulo.

B3-1.2. Utiliza las
propiedades de la
mediatriz y la
bisectriz para
resolver problemas
geométricos
sencillos.

B3-1.3. Maneja las
relaciones entre
ángulos definidos
por rectas que se
cortan o por
paralelas cortadas
por una secante y
resuelve
problemas
geométricos
sencillos en los
que intervienen
ángulos.

Identifica y traza
rectas, semirrectas,
segmentos y sus
mediatrices, y ángulos
y sus bisectrices,
conociendo las
propiedades de los
puntos de la mediatriz
de un segmento y de la
problemas geométricos
sencillos, relacionados
con las propiedades de
la mediatriz y la
bisectriz.
Identifica y analiza la
posición relativa de las
rectas; establece las
ángulos definidos por
rectas que se cortan o
por paralelas cortadas
por secantes y
resuelve problemas
geométricos sencillos
relacionados con la
vida cotidiana.
COMPETENCI
AS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
AA
CSC
Comprensión lectora. Punto de partida. Las personas, sus países y
sus banderas (página 77).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
Comunicación audiovisual. Interpretación de imágenes (páginas
78, 79, 80, 82, 84).
comunicación. El tren eléctrico y los semáforos (página 86).
Emprendimiento. Calcular costes de fabricación (página 94).
Educación cívica y constitucional. Carrera ciclista (página 85).
Valores personales. El socorrista (página 85).
212
UNIDAD 6. Movimientos. Semejanza
responsabilidades.

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer y explicar los movimientos sencillos en el plano:
traslación, giro y simetría respecto de un punto. Identificarán y describirán figuras simétricas.
Explicarán y aplicarán el teorema de Tales, las propiedades de la semejanza de triángulos y las de
otros polígonos semejantes. Interpretarán planos, teniendo en cuenta sus escalas. Aplicarán los
conocimientos teóricos y los cálculos a la resolución de problemas.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen de forma intuitiva las simetrías, las
traslaciones y los giros. Conocen las clases de polígonos, según sus lados y sus ángulos. Saben
calcular y comparar el perímetro y el área de diferentes polígonos y aplicar los cálculos sobre
figuras planas a la resolución de problemas.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para identificar figuras
simétricas y diferenciarlas de las que no lo son por pequeñas variaciones. Prevenir con realización
práctica de simetrías en hojas de papel plegadas por el eje de simetría y separadas posteriormente
mediante el pegado de cada parte en otro papel más grande en el que el nuevo eje de simetría
separe a las partes simétricas a la misma distancia del eje en cada uno de los puntos simétricos.
213
CONTENIDOS
CONTENIDOS CURRICULARES DEL
ÁREA

BLOQUE 1. PROCESOS,
MATEMÁTICAS


CONTENIDOS DE LA
UNIDAD

Utilización de medios tecnológicos
c). facilitar la comprensión de
propiedades geométricas o funcionales
y la realización de cálculos de tipo
numérico, algebraico o estadístico.
f). comunicar y compartir, en entornos
apropiados, la información y las ideas
matemáticas.








Definición de
movimiento. Traslación.
Giro y simetría respecto
de un punto.
Simetría. Figuras
simétricas.
Frisos y mosaicos.
Teorema de Tales.
Aplicaciones del
teorema de Tales.
Triángulos semejantes.
Aplicaciones de la
semejanza de
triángulos.
Polígonos semejantes.
Planos y escalas.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
de resolución de
comprobando las
estadísticos o
realidad.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DEL
ÁREA



ángulos y sus relaciones,
perímetro y área.
Propiedades.
Teorema de Tales.
División de un segmento
en partes proporcionales.
Aplicación a la resolución
de problemas.
Geometría del espacio:
áreas y volúmenes.
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD










Definición de
movimiento. Traslación.
Giro y simetría respecto
de un punto.
Simetría. Figuras
simétricas.
Frisos y mosaicos.
Teorema de Tales.
Aplicaciones del
teorema de Tales.
Triángulos semejantes.
Aplicaciones de la
semejanza de
triángulos.
Planos y escalas.
CURRICULARES
indirectas de elementos inaccesibles y para
obtener medidas de longitudes, de ejemplos
tomados de la vida real, representaciones
artísticas como pintura o arquitectura, o de
la resolución de problemas geométricos.
B3-3. Calcular (ampliación o reducción) las
dimensiones reales de figuras dadas en
mapas o planos, conociendo la escala.
B3-4. Reconocer las transformaciones que
llevan de una figura a otra mediante
movimiento en el plano, aplicar dichos
movimientos y analizar diseños cotidianos,
obras de arte y configuraciones presentes
en la naturaleza.
B3-5. Interpretar el sentido de las
coordenadas geográficas y su aplicación en
la localización de puntos.
214
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
ESTÁNDARES
DE
APRENDIZAJE
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
cálculos
necesarios y
comprobando las
soluciones
obtenidas.
B1-2.4. Utiliza
estrategias
heurísticas y
procesos de
razonamiento en
la resolución de
problemas
reflexionando
sobre el proceso
de resolución de
problemas.
B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
problemáticas de
la realidad.
B1-6.4. Interpreta
la solución
matemática del
problema en el
contexto de la
realidad.
INDICADORES DE
LOGRO


Halla la
solución de
un problema
mediante
razonamiento,
reflexionando
sobre el
proceso de
resolución
adecuado y
resolviéndolo.
Realiza una
interpretación de
la solución del
problema en
relación con el
contexto; analiza
las relaciones
entre los datos, el
contexto del
problema, el
planteamiento y la
solución.
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
215
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
ESTÁNDARES
DE
APRENDIZAJE
B3-2. Utilizar el
teorema de Tales
y las fórmulas
usuales para
realizar medidas
indirectas de
elementos
inaccesibles y
para obtener
medidas de
longitudes, de
ejemplos
tomados de la
vida real,
representaciones
artísticas como
pintura o
arquitectura, o de
la resolución de
problemas
geométricos.
B3-2.1. Divide un
segmento en
partes
proporcionales a
otros dados.
Establece
relaciones de
proporcionalidad
entre los
elementos
homólogos de
dos polígonos
semejantes.

B3-2.2.
Reconoce
triángulos
semejantes, y en
situaciones de
semejanza utiliza
el teorema de
Tales para el
cálculo indirecto
de longitudes.

B3-3. Calcular
(ampliación o
reducción) las
dimensiones
reales de figuras
dadas en mapas
o planos,
conociendo la
escala.
B3-3.1. Calcula
dimensiones
reales de
medidas de
longitudes en
situaciones de
semejanza:
planos, mapas,
fotos aéreas, etc.

INDICADORES DE
LOGRO
Calcula la razón
de semejanza y
establece
relaciones de
proporcionalidad
entre las partes
de un
segmento, entre
los elementos
homólogos de
dos polígonos
semejantes y
entre sus
perímetros.
Conoce y aplica
el teorema de
Tales para
calcular
longitudes y lo
utiliza para
hallar la medida
de los lados de
triángulos
semejantes.
Interpreta datos
relacionados
con situaciones
reales y calcula
dimensiones en
situaciones de
semejanza:
planos, mapas,
fotos aéreas,
etc.,
interpretando
escalas.
216
COMPETENCIAS
CMCT
AA
CMCT
AA
CL
CMCT
CD
AA
CSC
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B3-4. Reconocer
las
transformaciones
que llevan de una
figura a otra
mediante
movimiento en el
plano, aplicar
dichos movimientos
y analizar diseños
cotidianos, obras de
arte y
configuraciones
presentes en la
naturaleza.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B3-4.1. Identifica
los elementos más
característicos de
los movimientos en
el plano presentes
en la naturaleza, en
diseños cotidianos
u obras de arte.

B3-4.2. Genera
creaciones propias
mediante la
composición de
movimientos,
empleando
herramientas
tecnológicas
cuando sea
necesario.

COMPETENCIAS
Reconoce y
describe los
elementos
básicos que son
característicos
de los
movimientos en
el plano y están
presentes en
obras de arte y
en el entorno
natural.
Conoce las
características
de los
movimientos
básicos en el
plano y los
aplica para
realizar
creaciones
propias
mediante giros,
simetrías y
traslaciones.
CL
CMCT
AA
CSC
CEC
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
Comprensión lectora. Punto de partida. Transformaciones en los
mosaicos de la Alhambra de Granada (página 95).
Expresión oral y escrita. Reflexión, comprensión y explicación
sobre los textos de la unidad.
Comunicación audiovisual. Interpretación de imágenes: escalas y
planos (página 105).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. Nuevas tecnologías, satélites artificiales y
fotografías (página 105).
Emprendimiento. Distribuir espacios sobre un plano (página 110).
Educación cívica y constitucional.
La escala: el Guernica, de Picasso (página 109).
Valores personales.
El conocimiento sobre los virus (página 104).
217
3ª EVALUACIÓN
UNIDAD 7. Cuerpos geométricos

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer y describir los principales cuerpos
geométricos, diferenciando entre poliedros regulares e irregulares, entre prismas y pirámides, y
entre cilindros, conos y esferas. Sabrán calcular el área y el volumen de los cuerpos geométricos
y hallarán el área de cuerpos compuestos. Identificarán la forma de la Tierra con la de una esfera,
conocerán sus principales elementos y utilizarán las coordenadas geográficas para localizar o
identificar puntos en la superficie terrestre. Aplicarán estos conocimientos a la resolución de
problemas.

regulares e irregulares y sus elementos; saben calcular el perímetro y el área de figuras planas.
Identifican los principales cuerpos geométricos. Interpretan planos, teniendo en cuenta sus
escalas. Conocen estrategias de cálculo y resolución de problemas, relacionadas con las figuras
en el plano.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para resolver problemas
relacionados con el área de los cuerpos geométricos en sus aplicaciones a la vida real. Prevenir,
mediante el uso de dibujos croquis, planos y maquetas, para que no confundan caras laterales con
bases, especialmente, en estructuras en las que la base es el suelo.
218
CONTENIDOS
CONTENIDOS CURRICULARES DEL
ÁREA
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD

BLOQUE 1. PROCESOS,
MATEMÁTICAS

resolución de problemas:
 Planteamiento de investigaciones
matemáticas escolares en
contextos numéricos, geométricos,
probabilísticos.
 Práctica de los procesos de
 Utilización de medios tecnológicos
a). la recogida ordenada y la
organización de datos.
c). facilitar la comprensión de
propiedades geométricas o
funcionales y la realización de
cálculos de tipo numérico,
algebraico o estadístico.









Poliedros.
Poliedros
regulares.
Prismas y
pirámides.
Cilindros, conos y
esferas.
Áreas de prismas
y pirámides.
Áreas de cilindros
y conos.
Áreas de cuerpos
compuestos.
Volumen de
prismas y
pirámides.
Volumen de
cilindros, conos y
esferas.
La esfera terrestre.
Coordenadas
geográficas.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
razonamiento y
comprobando las
B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
estadísticos o
realidad.
B1-8. Desarrollar y
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DEL
ÁREA
BLOQUE 3.
GEOMETRÍA



ángulos y sus
área. Propiedades.
Geometría del espacio:
El globo terráqueo.
Coordenadas
geográficas. Longitud y
latitud de un punto.
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD










Poliedros. Poliedros
regulares.
Prismas y pirámides.
Cilindros, conos y
esferas.
Áreas de prismas y
pirámides.
Áreas de cilindros y
conos.
Áreas de cuerpos
compuestos.
Volumen de prismas y
pirámides.
Volumen de cilindros,
conos y esferas.
La esfera terrestre.
Coordenadas
geográficas.
219
CURRICULARES
características de las figuras planas,
los cuerpos geométricos elementales
y sus configuraciones geométricas.
B3-4. Reconocer las
transformaciones que llevan de una
figura a otra mediante movimiento en
el plano, aplicar dichos movimientos
y analizar diseños cotidianos, obras
de arte y configuraciones presentes
en la naturaleza.
B3-5. Interpretar el sentido de las
coordenadas geográficas y su
aplicación en la localización de
puntos.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B1-2. Utilizar
procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas,
realizando los
y comprobando las
soluciones
obtenidas.
B1-2.1. Analiza y
comprende el
enunciado de los
problemas (datos,
datos, contexto del
problema).

B1-6. Desarrollar
procesos de
matematización en
contextos de la
realidad cotidiana
(numéricos,
geométricos,
funcionales,
estadísticos o
probabilísticos) a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones
realidad.
solución
matemática del
problema en el
contexto de la
realidad.

B1-8. Desarrollar y
cultivar las
actitudes
personales
inherentes al
quehacer
matemático.
B1-8.3. Distingue
entre problemas y
ejercicios y adopta
la actitud adecuada
para cada caso.

Realiza una
lectura
comprensiva de
los problemas,
analizando los
datos y sus
relaciones
entre ellos, el
contexto del
problema, el
planteamiento y
la solución.
Realiza una
interpretación
de la solución
del problema
en relación con
el contexto;
analiza las
relaciones
entre los datos,
el contexto del
problema, el
planteamiento y
la solución.
Plantea y
resuelve
problemas, de
forma razonada
y teniendo en
cuenta el
contexto; los
distingue de los
ejercicios como
trabajos
prácticos que le
sirven de
complemento,
comprobación y
refuerzo del
aprendizaje
teórico.
220
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CL
CMCT
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B3-1. Reconocer y
describir los
elementos y
propiedades
características de
las figuras planas,
los cuerpos
geométricos
elementales y sus
configuraciones
geométricas.
B3-1.4. Calcula el
perímetro de
polígonos, la longitud
de circunferencias, el
área de polígonos y
de figuras circulares,
en problemas
contextualizados
B3-4. Reconocer
las
transformaciones
que llevan de una
figura a otra
mediante
movimiento en el
plano, aplicar
dichos
movimientos y
analizar diseños
cotidianos, obras
de arte y
configuraciones
presentes en la
naturaleza.
elementos más
característicos de los
movimientos en el
plano presentes en
la naturaleza, en
diseños cotidianos u
obras de arte.
B3-5. Interpretar
el sentido de las
coordenadas
geográficas y su
aplicación en la
localización de
puntos.
B3-5.1. Sitúa sobre
el globo terráqueo
ecuador, polos,
meridianos y
paralelos, y es capaz
de ubicar un punto
sobre el globo
terráqueo
conociendo su
longitud y latitud.

Comprende y
conoce fórmulas y técnicas
adecuadas para resolver
ejercicios y problemas en los
que se trata de calcular las
aristas de cuerpos
geométricos y el área de sus
caras, relacionándolos con
sus aplicaciones prácticas.



221
Reconoce y
describe los cuerpos
geométricos que se
generan al girar
determinadas
figuras sobre un eje
dado, teniendo en
cuenta las
características de
los movimientos en
el plano y en el
espacio.
Localiza en un mapa
y sobre el globo
terráqueo las líneas
terrestres, los husos
horarios y los
países.
Busca y sitúa un
punto en el globo
terráqueo;
determina las
coordenadas
geográficas de un
punto situado en el
globo terráqueo, con
referencias al
ecuador y al
meridiano cero.
COMPE
TENCIA
S
CL
CMCT
AA
CL
CMCT
CD
AA
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
Comprensión lectora. Punto de partida: Los satélites artificiales (página
111).
Expresión oral y escrita. Textos de la unidad. Lectura, interpretación y
confección de facturas (página 126).
Comunicación audiovisual. Interpreta la imagen (página 126).
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
comunicación. Búsqueda en Internet para conocer las coordenadas
geográficas de su localidad (página 121).
Emprendimiento. La capacidad de un silo de almacenamiento de azúcar
(página 119).
Educación cívica y constitucional. mLos husos horarios (página 120).
Valores personales. Las conservas alimenticias (página 125).
UNIDAD 8. Funciones y gráficas

Enfoque de la unidad. Los alumnos sabrán localizar y representar puntos, confeccionando tablas
y gráficas que representen funciones; identificarán y describirán las características de las funciones
lineales y de las funciones cuadráticas. Aplicarán las funciones y su representación gráfica a la

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen y saben resolver ecuaciones de primer
grado y de segundo grado, teniendo en cuenta el concepto de ecuaciones equivalentes y la
transformación de unas ecuaciones en otras; saben resolver sistemas de ecuaciones y resuelven
problemas con ecuaciones de primer grado y de segundo grado.
 Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para diferenciar entre
variable dependiente y variable independiente. Prevenir con ejemplos prácticos de la vida cotidiana
y su traducción al lenguaje algebraico.
222
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DEL
ÁREA
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD
BLOQUE 2. NÚMEROS
Y ÁLGEBRA


Expresión algebraica.
CURRICULARES
B2-4. Resolver problemas de la vida
cotidiana en los que se precise el
planteamiento y resolución de ecuaciones
Resolución de
utilización de
de primer y segundo grado, sistemas
lineales de dos ecuaciones con dos
incógnitas, aplicando técnicas de
manipulación algebraicas, gráficas o
recursos tecnológicos y valorando y
contrastando los resultados obtenidos.
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DEL
ÁREA
BLOQUE 4. FUNCIONES

cualitativa de gráficas que
representan fenómenos del
entorno cotidiano y de otras
materias.

Análisis de una situación a
partir del estudio de las
correspondiente.

Análisis y comparación de
situaciones de dependencia











Localizar y representar puntos.
Tablas y gráficas.
Representación de una función.
Características de las funciones.
Funciones lineales.
Gráfica de una función lineal.
Ecuación de la recta que pasa
por dos puntos.
Ecuaciones de la recta.
Funciones cuadráticas.
Gráfica de una función
cuadrática.
funcional dadas mediante
tablas y enunciados.

situaciones provenientes de
los diferentes ámbitos de
conocimiento y de la vida
cotidiana, mediante la
confección de la tabla, la
representación gráfica y la
obtención de la expresión
algebraica.
Expresiones de la ecuación
de la recta

B4-1. Conocer los
elementos que intervienen
en el estudio de las
funciones y su
B4-2. Identificar relaciones
de la vida cotidiana y de
otras materias que pueden
modelizarse mediante una
función lineal valorando la
utilidad de la descripción
de este modelo y de sus
parámetros para describir
el fenómeno analizado.
B4-3. Reconocer
situaciones de relación
funcional que necesitan ser
descritas mediante
calculando sus parámetros
y características.
Utilización de modelos
lineales para estudiar

CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
Funciones cuadráticas.
Representación gráfica.
Utilización para representar
situaciones de la vida
cotidiana.
223
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
ESTÁNDARES
DE
APRENDIZAJE
B2-4. Resolver
cotidiana en los que se
precise el planteamiento
y resolución de
segundo grado, sistemas
lineales de dos
ecuaciones con dos
incógnitas, aplicando
recursos tecnológicos y
B2-4.3. Formula
algebraicamente
una situación de
la vida cotidiana
mediante
ecuaciones de
primer y segundo
grado y sistemas
lineales de dos
ecuaciones con
dos incógnitas,
las resuelve e
interpreta
críticamente el
resultado
obtenido.
INDICADORES DE
LOGRO

Escribe la
expresión
algebraica
correspondiente a
una situación de la
vida cotidiana
mediante
ecuaciones de
primer y segundo
grado y sistemas
lineales de dos
ecuaciones con
dos incógnitas;
resuelve las
ecuaciones e
interpreta los
resultados.
COMPETE
NCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
BLOQUE 4. FUNCIONES
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARE
S
B4-1. Conocer
los elementos
que intervienen
en el estudio de
las funciones y
su
representación
gráfica.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B4-1.1. Interpreta el
comportamiento de
una función dada
gráficamente y
asocia enunciados
de problemas
contextualizados a
gráficas.

B4-1.2. Identifica las
características más
relevantes de una
gráfica,
interpretándolos
dentro de su
contexto.

B4-1.3. Construye
de un enunciado
contextualizado
describiendo el
fenómeno expuesto.

COMPE
TENCIA
S
Interpreta gráficas y las
asocia con el enunciado o
la solución de un problema.
CL
CMCT
reflejados en una gráfica,
relacionándolos con el
contexto y con la leyenda
de la gráfica.
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
Realiza representaciones
gráficas, correspondientes
a un enunciado, dentro de
un contexto, diferenciando
entre funciones continuas y
discontinuas, y señalando
el dominio y el recorrido de
la función.
224
CL
CMCT
CD
AA
CSC IE
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B4-1. Conocer los
elementos que
intervienen en el
estudio de las
funciones y su
representación
gráfica.
B4-1.4. Asocia
razonadamente
expresiones analíticas
sencillas a funciones
dadas gráficamente.

B4-2. Identificar
relaciones de la
vida cotidiana y de
otras materias que
pueden
modelizarse
mediante una
función lineal
valorando la utilidad
de la descripción de
este modelo y de
sus parámetros
para describir el
fenómeno
analizado.
B4-2.1. Determina las
expresión de la ecuación
de la recta a partir de
una dada (ecuación
punto-pendiente,
general, explícita y por
dos puntos) e identifica
puntos de corte y
pendiente, y las
representa
gráficamente.

B4-2.2. Obtiene la
expresión analítica de la
función lineal asociada a
un enunciado y la
representa.

B4-3. Reconocer
situaciones de
relación funcional
que necesitan ser
descritas mediante
funciones
cuadráticas,
calculando sus
parámetros y
características.
Interpreta y relaciona
las gráficas de
funciones sencillas
con sus expresiones
analíticas.
Representa y expresa
de diferentes formas
la ecuación de la
recta; identifica la
pendiente y los puntos
de corte.
COMP
ETENC
IAS
CL
CMCT
CL
CMCT
B4-3.1. Representa
gráficamente una
función polinómica de
grado dos y describe
sus características.

describe situaciones de
la vida cotidiana que
puedan ser modelizadas
mediante funciones
cuadráticas, las estudia
y las representa
utilizando medios
tecnológicos cuando sea
necesario.

225
Expresa de forma
analítica la función
lineal correspondiente
a un enunciado,
construye una tabla
de valores y la
representa
gráficamente.
Expresa de forma
gráfica una función
cuadrática; describe y
analiza sus
características.
Identifica y representa
cotidiana mediante
funciones cuadráticas.
CL
CMCT
CD
AA
CL
CMCT
CD
AA
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
Comprensión lectora. Punto de partida. Los Juegos Olímpicos (página 127).
Expresión oral y escrita. Cómo crear una empresa (página 144).
Comunicación audiovisual. Interpretación de tablas y. gráficos de la unidad.
El tratamiento de las tecnologías de la información y de la comunicación. Utilizar
CONTENIDOS
TRANSVERSALES
la calculadora (páginas 11, 17 y 26).
Emprendimiento. Bicicletas de alquiler (página 129). Crear una empresa (página 144).
Educación cívica y constitucional. El cine: butacas y filas (página 134). El trabajo, el
paro y el número de parados (143)
Valores personales. Pérdida de gasolina por avería (página 134).
UNIDAD 9. Estadística
a) Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto a los demás,
practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad entre las personas y grupos, ejercitarse en el
diálogo afianzando los derechos humanos y la igualdad de trato y de oportunidades entre mujeres y
hombres, como valores comunes de una sociedad plural y prepararse para el ejercicio de la
ciudadanía democrática.
tomar decisiones y asumir responsabilidades

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer, interpretar y utilizar los conceptos básicos
sobre estadística; sabrán explicar en su contexto cuáles son la población, la muestra, la variable
estadística y los datos. Interpretarán y confeccionarán tablas de recuentos de datos y de
frecuencias, gráficos de sectores y de barras, etc. Conocerán y utilizarán las medidas de
centralización y de dispersión, aplicando sus conocimientos a la lectura de información en medios
de comunicación y de la vida cotidiana.

Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos saben interpretar y confeccionar tablas de registro
de datos y gráficas sencillas. Saben lo que es una variable dependiente y lo que es una variable
independiente. Aplican estos conocimientos a la resolución de problemas sencillos.

Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para comprender las
medidas de dispersión. Prevenir mediante observación y registro de datos, tomados de su entorno,
de medios de comunicación y de sitios fiables de Internet.
226
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CURRICULARES DEL
ÁREA
BLOQUE 5.
ESTADÍSTICA Y
PROBABILIDAD








Fases y tareas de un
estudio estadístico.
Población, muestra.
Variables estadísticas:
cualitativas, discretas y
continuas.
Métodos de selección
de una muestra
estadística.
Representatividad de
una muestra.
Frecuencias absolutas,
relativas y acumuladas.
Agrupación de datos en
intervalos.
Parámetros de posición:
media, moda, mediana y
cuartiles. Cálculo,
interpretación y
propiedades.
Parámetros de
dispersión: rango,
recorrido intercuartílico y
Cálculo e interpretación.
Diagrama de caja y
bigotes.
Interpretación conjunta
de la media y la
CONTENIDOS DE LA
UNIDAD










Variable estadística.
Tipos de variables
estadísticas.
Recuento de datos.
Gráfico de barras y de
sectores.
Histogramas.
Medidas de
centralización.
Medidas de posición.
Diagrama de caja y
bigotes.
Medidas de dispersión.
227
CURRICULARES
conjunto de datos mediante tablas
y gráficas adecuadas a la situación
analizada, justificando si las
conclusiones son representativas
para la población estudiada.
B5-2. Calcular e interpretar los
parámetros de posición y de
dispersión de una variable
estadística para resumir los datos y
comparar distribuciones
estadísticas.
B5-3. Analizar e interpretar la
información estadística que
aparece en los medios de
comunicación, valorando su
representatividad y fiabilidad.
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B5-1. Elaborar
informaciones
estadísticas para
describir un
conjunto de datos
mediante tablas y
gráficas adecuadas
a la situación
analizada,
justificando si las
conclusiones son
representativas
para la población
estudiada.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
B5-1.1. Distingue
población y muestra
justificando las
diferencias en
problemas
contextualizados.
Identifica y distingue
población y muestra,
aplicándolas correctamente
en problemas y en contextos
B5-1.2. Valora la
representatividad de
una muestra a través
del procedimiento de
selección, en casos
sencillos.
Toma decisiones sobre la
selección de la muestra para
que sea representativa de la
población a estudiar.
variable cualitativa,
cuantitativa discreta y
cuantitativa continua y
pone ejemplos.
Identifica y clasifica las
variables en cualitativas o
cuantitativas; y, en este
último caso, en discretas o
continuas; poniendo
ejemplos de cada una de
ellas.
COMPETENCI
AS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
CL
CMCT
CSC
IE
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B5-1. Elaborar
informaciones
estadísticas para
describir un
conjunto de datos
mediante tablas y
gráficas adecuadas
a la situación
analizada,
justificando si las
conclusiones son
representativas
para la población
estudiada.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B5-1.4. Elabora tablas
de frecuencias,
relaciona los distintos
tipos de frecuencias y
obtiene información de
la tabla elaborada.
Interpreta los datos y
construye tablas de
frecuencias, distinguiendo
los distintos tipos de
frecuencias y explicando la
información que se
desprende de una tabla.
B5-1.5. Construye, con
la ayuda de
herramientas
tecnológicas si fuese
necesario, gráficos
estadísticos adecuados
a distintas situaciones
relacionadas con
variables asociadas a
problemas sociales,
económicos y de la vida
cotidiana.
Observa y representa
gráficos estadístico,
adecuados a las variables
y a las distintas situaciones
sociales, económicas y de
la vida cotidiana; los
interpreta y extrae
conclusiones.
228
COMPETENCI
AS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B5-2. Calcular e
interpretar los
parámetros de
posición y de
dispersión de una
para resumir los
datos y comparar
distribuciones
estadísticas.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B5-2.1. Calcula e
interpreta las
medidas de
posición de una
para proporcionar
un resumen de los
datos.
Calcula e interpreta
las medidas de
posición de una
para proporcionar
un resumen de los
datos.
B5-2.2. Calcula los
parámetros de
dispersión de una
(con calculadora y
con hoja de cálculo)
para comparar la
representatividad
de la media y
Calcula los
parámetros de
dispersión de una
(con calculadora y
con hoja de cálculo)
para comparar la
representatividad
de la media y
COMPETENCIAS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
229
CL
CMCT
CD
AA
CSC
IE
CEC
BLOQUE 5. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD (CONTINUACIÓN
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
CURRICULARES
B5-3. Analizar e
interpretar la información
estadística que aparece
en los medios de
comunicación, valorando
su representatividad y
fiabilidad.
ESTÁNDARES DE
APRENDIZAJE
INDICADORES DE
LOGRO
B5-3.1. Utiliza un
vocabulario adecuado
para describir,
analizar e interpretar
información
estadística en los
medios de
comunicación.
Identifica, describe,
analiza e interpreta
información estadística
relacionada con
información que suele
aparecer en los medios
de comunicación, como
los resultados
electorales, el número
de horas de conexión a
Internet o de uso del
ordenador, utilizando el
vocabulario adecuado.
B5-3.2. Emplea la
calculadora y medios
tecnológicos para
organizar los datos,
generar gráficos
estadísticos y calcular
parámetros de
tendencia central y
dispersión.
Organizar los datos,
generar gráficos
estadísticos y calcular
parámetros de
tendencia central y
dispersión,
interpretando los
resultados.
COMPETENCI
AS
CL
CMCT
CD
AA
CSC
CL
CMCT
CD AA
CSC IE
Comprensión lectora. Punto de partida. El tabaco y la mortalidad
(página 145).
Expresión oral y escrita. La edad media, por sexo, de inicio al
consumo de tabaco (página 145); Comprensión e interpretación de
datos para elaborar un informe (página 160).
CONTENIDOS
TRANSVERSALE
S
Comunicación audiovisual. Interpretación de tablas y gráficos de
la unidad. Interpretación de órdenes emitidas en carteles (página
145).
comunicación. Las horas diarias de conexión a Internet de los
habitantes de un país (página 146).
Emprendimiento. Recopilación de datos y cálculos sobre la
recaudación en una tienda de discos. (página 155).
Educación cívica y constitucional. Los exámenes y las notas
(página 153).
Valores personales. El riesgo de mortalidad y el consumo de tabaco
(página 145).
230
BÁSICOS DE MATEMÁTICAS APLICADAS DE 3º ESO
• Planificación y utilización de estrategias en la resolución de problemas, tales como
el recuento exhaustivo, la inducción o la búsqueda de problemas afines, y
comprobación del ajuste de la solución a la situación planteada.
• Descripción verbal de relaciones cuantitativas y espaciales y de procedimientos de
resolución utilizando la terminología precisa.
simbólico sobre elementos o relaciones espaciales.
Bloque 2. Números y Álgebra
• Números enteros y racionales. Comparación, ordenación y representación sobre la
recta.
• Decimales y fracciones. Transformación de fracciones en decimales y viceversa.
Decimales exactos y decimales periódicos. Fracción generatriz.
• Operaciones con fracciones y decimales. Jerarquía de las operaciones y uso del
paréntesis.
• Potencias de base racional y exponente entero. Significado y propiedades. Su
aplicación para la expresión de números muy grandes y muy pequeños. Operaciones
con números expresados en notación científica.
• Sucesiones de números enteros y fraccionarios. Progresiones aritméticas y
geométricas.
• Traducción de situaciones del lenguaje verbal al algebraico.
• Polinomios. Valor numérico. Operaciones elementales con polinomios. Identidades
notables. Ceros de un polinomio.
• Resolución algebraica de ecuaciones de primer grado y de sistemas de dos ecuaciones
• Resolución algebraica de ecuaciones de segundo grado.
• Resolución de problemas mediante la utilización de ecuaciones y sistemas.
Interpretación crítica de las soluciones.
231
• Revisión de la geometría del plano.
• Teorema de Tales. División de un segmento en partes proporcionales.
• Aplicación de los teoremas de Tales y Pitágoras a la resolución de problemas
geométricos y del medio físico.
• El cilindro, el cono y la esfera. Cálculo de áreas y volúmenes.
• Relaciones funcionales. Distintas formas de expresar una función.
• Construcción de tablas de valores a partir de enunciados, expresiones algebraicas o
gráficas sencillas.
• Elaboración de gráficas continuas o discontinuas a partir de un enunciado, una tabla
de valores o de una expresión algebraica sencilla.
• Estudio gráfico de una función: crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos,
simetrías, continuidad y periodicidad. Análisis y descripción de gráficas que
representan fenómenos del entorno cotidiano.
• Estudio gráfico y algebraico de las funciones constantes, lineales y afines. Distintas
formas de representar la ecuación de una recta.
• Estadística descriptiva unidimensional. Necesidad, conveniencia y representatividad
de una muestra. Métodos de selección aleatoria y aplicaciones en situaciones reales.
Variables discretas y continuas.
• Interpretación de tablas de frecuencias y gráficos estadísticos.
• Agrupación de datos en intervalos. Histogramas y polígonos de frecuencias.
• Descripción de datos cuantitativos. Parámetros de centralización: media, moda,
cuartiles y mediana. Significado, cálculo y aplicaciones.
• Descripción de datos cuantitativos. Parámetros de dispersión: rango y desviación
típica. Utilización conjunta de la media y la desviación típica.
• Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones
y valoraciones. Análisis y crítica de la información de índole estadístico y de su
presentación.
232
PROGRAMACIÓN
DE
E.S.O.
LOE
2º y 4º ESO
La Junta de Castilla y León en el D. 52/2007 (BOCYL, 23-5-2007) establece el
currículo de la ESO en nuestra comunidad.
Objetivos generales de la Enseñanza Secundaria Obligatoria





Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo e incorporar al lenguaje y
modos de argumentación las formas de expresión y razonamiento
matemático, tanto en los procesos matemáticos o científicos como en los
distintos ámbitos de la actividad humana, con el fin de comunicarse de
manera clara, concisa y precisa.
Aplicar con soltura y adecuadamente las herramientas matemáticas
adquiridas a situaciones de la vida diaria.
Desarrollar la actividad mental y favorecer así la imaginación, la intuición y la
invención creadora.
Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos
matemáticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas, y
analizar los resultados utilizando los recursos más apropiados.
Detectar los aspectos de la realidad que sean cuantificables y que permitan
interpretarla mejor: utilizar técnicas de recogida de la información y
233









procedimientos de medida y realizar el análisis de los datos mediante el uso
de distintas clases de números y la selección de los cálculos apropiados, todo
ello de la forma más adecuada según la situación planteada.
Adquirir hábitos racionales de trabajo, tanto individual como en equipo, y
elaborar estrategias para analizar situaciones, recoger datos, organizarlos,
tratarlos y resolver problemas.
Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos,
gráficos, cálculos, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet,
publicidad u otras fuentes de información, analizar críticamente las funciones
que desempeñan estos elementos matemáticos y valorar su aportación para
una mejor comprensión de los mensajes.
Identificar las formas planas o espaciales que se presentan en la vida diaria
y analizar las propiedades y relaciones geométricas entre ellas, adquiriendo
una sensibilidad progresiva ante la belleza que generan.
Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras,
ordenadores, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y
representar informaciones de índole diversa y también como ayuda en el
aprendizaje.
Actuar ante los problemas que se plantean en la vida cotidiana de acuerdo
con modos propios de la actividad matemática, tales como la exploración
sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para
modificar el punto de vista o la perseverancia en la búsqueda de soluciones.
Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la
identificación y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e
instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en
función del análisis de los resultados y de su carácter exacto o aproximado.
Manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas, mostrar
confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxito y adquirir
un nivel de autoestima adecuado, que le permitan disfrutar de los aspectos
creativos, manipulativos, estéticos y utilitarios de las matemáticas.
Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se
van adquiriendo desde las distintas áreas de modo que puedan emplearse
de forma creativa, analítica y crítica.
Valorar las Matemáticas como parte integrante de nuestra cultura, tanto
desde un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en
la sociedad actual y aplicar las competencias matemáticas adquiridas para
analizar y valorar fenómenos sociales como la diversidad cultural, el respeto
al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad entre los sexos o la
convivencia pacífica.
234
Metodología
Dependerá en gran medida del tipo de alumnos de cada grupo. En cualquier caso
incluirá: introducción intuitiva de los distintos temas, justificación teórica de los
mismos, con más o menos intensidad, según los casos, pero en cualquier caso con
rigor.
Metodológicamente se propone empezar por razonamientos sencillos e intuitivos y
potenciar la utilización de los sentidos. El aprendizaje inductivo y la utilización de
esquemas y estrategias personales llevarán en etapas posteriores a poder realizar
razonamientos generales y abstractos.
Las Matemáticas en esta etapa de formación no deben ser discriminatorias, sino que
deben facilitar la crítica y el trabajo en equipo, y se deben presentar con gran
variedad de situaciones, de manera que sean un estímulo para el esfuerzo personal.
Se insistirá en la realización de ejercicios y problemas relacionados con los temas
tratados, con un orden de dificultad adaptado a cada curso. Se debe limitar el uso
de la calculadora para la comprobación y la realización de cálculos pesados e insistir
en trabajar la fluidez y la precisión en el cálculo mental y manual. En 2º de la ESO
no la utilizaremos, salvo alguna excepción (cálculo de áreas y volúmenes) y a criterio
del profesor correspondiente. Se fomentará el uso de las nuevas tecnologías en el
desarrollo de las clases (pizarras digitales, aulas de informática), en la obtención de
información (páginas web con contenidos matemáticos), en la realización de tareas
(uso de programas informáticos como Wiris, Excel, Derive o Geogebra) y en la
comunicación entre profesores y alumnos (aula virtual).
Se fomentará la lectura pausada y razonada de los problemas, así como la redacción
de respuestas apropiadas a las preguntas que se plantean en dichos problemas, y
la elaboración de razonamientos claros y ordenados.
En este tipo de actividades basaremos la aportación de nuestro departamento al
Plan de Fomento de la Lectura en el que participa nuestro centro. Para dar
cumplimiento al Real Decreto 1146/2011, de 29 de julio, en cuarto curso,
trabajaremos la comprensión lectora, la expresión oral y escrita, la comunicación
audiovisual, las tecnologías de la información y la comunicación y la educación en
valores.
todas las actividades del curso y el profesor lo podrá exigir en cualquier momento.
El cuaderno deberá ser ordenado, claro y limpio. Se tendrá en cuenta el orden, la
claridad y la limpieza en 2º de E.S.O. donde se calificará (hasta 1 punto) para la
nota de cada evaluación.
Se realiza una prueba inicial en 2º y 4º de ESO, para que el profesor evalúe las
competencias de los nuevos alumnos, la semana del 21 al 25 de septiembre.
235
PROGRAMACIÓN
Matemáticas
2º ESO
Libro de texto:
MATEMÁTICAS 2 ESO
Proyecto
236
1ª EVALUACIÓN
Unidad 1: Números enteros
OBJETIVOS
1. Reconocer la presencia de los números enteros n distintos contextos.
2. Calcular el valor absoluto de un número entero.
3. Ordenar números enteros.
4. Realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros.
5. Calcular y operar con potencias de base entera.
6. Hallar la raíz entera de un número natural.
7. Realizar operaciones combinadas de números enteros con y sin paréntesis,
respetando la jerarquía de las operaciones.
8. Hallar todos los divisores de un número entero.
9. Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números
enteros.
CONTENIDOS
Conceptos

Números enteros. Ordenación.

Sumas y restas de números enteros. Operaciones combinadas.

Multiplicación de números enteros. División exacta de números enteros.

Potencias de exponente natural. Operaciones con potencias.

Raíz cuadrada exacta de un número entero. Raíz cuadrada entera por defecto y por
exceso de un número entero. Restos.


Divisibilidad en los números enteros.
Procedimientos, destrezas y habilidades

Representación y ordenación de números enteros.

Calculo del valor absoluto y del opuesto de un número entero.

Suma y resta de números enteros.

Multiplicación y división de números enteros, aplicando la regla de los signos.

Utilización de las reglas de las operaciones con potencias.

Calculo de la raíz cuadrada entera y el resto de un número natural.

Conocimiento y utilización de la jerarquía de las operaciones, los paréntesis y
signos en el cálculo de operaciones combinadas con números enteros.

Determinación de todos los divisores de un número entero.

Calculo del m.c.d. y del m.c.m. de dos números enteros mediante su
descomposición en factores primos
237
Actitudes

Valoración de la precisión y la utilidad del lenguaje numérico para representar,
comunicar y resolver situaciones cotidianas.

Respeto y valoración de las soluciones aportadas por otros compañeros.

Utilización crítica y cuidadosa de la calculadora.
COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN

Interpretar críticamente información proveniente de diversos contextos que
contiene distintos tipos de números; relacionarlos y utilizarlos, eligiendo la
representación adecuada en cada caso.

Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números,
decidiendo si es necesaria una respuesta exacta o aproximada, y aplicando el modo
de cálculo más pertinente (mental, algoritmos de lápiz y papel o calculadora).

Conocer, valorar y utilizar sistemáticamente conductas asociadas a la actividad
matemática, tales como el orden, contraste, precisión y revisión sistemática, y
crítica de los resultados.
1. Comparar números enteros y representarlos en la recta numérica.
2. Obtener el valor absoluto y el opuesto de un número entero.
3. Sumar y restar números enteros.
4. Aplicar la regla de los signos en las multiplicaciones y divisiones de números
enteros.
5. Realizar operaciones combinadas, respetando la jerarquía de las operaciones.
6. Efectuar divisiones exactas de números enteros.
7. Calcular potencias de exponente natural.
8. Utilizar, de manera adecuada, las reglas de las operaciones con potencias,
9. Calcular la raíz cuadrada exacta y entera de un número entero.
10. Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de un conjunto de números enteros, mediante
descomposición en producto de factores primos.
Unidad 2: Números decimales
OBJETIVOS
1. Clasificar números decimales.
2. Obtener la expresión decimal de una fracción.
3. Comparar números decimales.
238
4. Reconocer el tipo de decimal que corresponde a una fracción según sea el
denominador de su fracción irreducible.
5. Sumar, restar, multiplicar y dividir números decimales.
6. Utilizar el algoritmo de la raíz cuadrada para calcular la raíz de un número.
7. Redondear y truncar números decimales hasta un nivel de aproximación
determinado.
8. Expresar en notación científica números muy grandes.
CONTENIDOS
Conceptos

Parte entera y parte decimal de un número decimal.

Números decimales exactos y periódicos.

Operaciones con números decimales.

Aproximación de un numero decimal por redondeo y/o truncamiento.

Notación científica de números muy grandes.

Interpretación y utilización de los números decimales, así como de sus operaciones,
en distintos contextos reales.

Calculo de la expresión decimal de una fracción cualquiera.

Comparación de números decimales.

Calculo de la raíz cuadrada de un número.

Redondeo y truncamiento de números decimales.
Actitudes

Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje numérico para
representar, comunicar o resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana.

Curiosidad e interés por resolver problemas numéricos, realizando cálculos y
estimaciones de manera razonada.

Adopción de una actitud crítica ante el uso de la calculadora para hallar el
resultado de operaciones con números decimales.

contiene distintos tipos de números; relacionarlos y utilizarlos, eligiendo la
representación más adecuada.

Calcular el resultado de las operaciones básicas con números (naturales, enteros,
fraccionarios y decimales), aplicando el modo de cálculo pertinente (mental,
algoritmos de lápiz y papel o calculadora).

Aplicar el razonamiento deductivo e inductivo en contextos numéricos.
239
1. Obtener la expresión decimal exacta o periódica de una fracción.
2. Reconocer el tipo de decimal que corresponde a una fracción, según sea el
denominador de su fracción irreducible.
3. Comparar y ordenar números decimales.
4. Operar correctamente con números decimales.
5. Calcular la raíz cuadrada de un número.
6. Redondear y truncar números decimales hasta un nivel de aproximación
determinado.
7. Expresar en notación científica números muy grandes.
Unidad 3: Fracciones
OBJETIVOS
1. Reconocer y utilizar las distintas interpretaciones de una fracción.
2. Hallar la fracción de un número.
3. Distinguir si dos fracciones son equivalentes y calcular fracciones equivalentes a
una dada.
4. Amplificar fracciones.
5. Simplificar una fracción hasta obtener su fracción irreducible.
6. Reducir fracciones a común denominador.
7. Comparar fracciones.
8. Sumar y restar fracciones.
9. Multiplicar fracciones, aplicar la propiedad distributiva y sacar factor común.
10. Comprobar si dos fracciones son inversas y obtener la fracción inversa de una dada.
11. Dividir dos fracciones.
12. Calcular la potencia y la raíz cuadrada de una fracción.
13. Resolver problemas de la vida cotidiana donde aparezcan fracciones.
CONTENIDOS
Conceptos

Fracción como parte de la unidad, como cociente y como operador.

Fracciones equivalentes. Amplificación y simplificación.

Suma y resta de fracciones.

Multiplicación y división de fracciones.

Potencia y raíz cuadrada de una fracción.

240

Interpretación y utilización de las fracciones en diferentes contextos.

Obtención de fracciones equivalentes y de la fracción irreducible de una fracción.

Reducción de fracciones a común denominador.

Ordenación de fracciones.

Utilización de los algoritmos de suma, resta, multiplicación y división de fracciones

en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

Calculo de potencias y raíces cuadradas exactas de fracciones.
Actitudes

Valoración de la precisión y la utilidad del lenguaje numérico para representar,
comunicar y resolver situaciones cotidianas

contenga distintos tipos de números; relacionarlos y utilizarlos, eligiendo la
representación adecuada en cada caso.

Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números
naturales, enteros y fracciones, aplicando el modo de cálculo más pertinente
(mental, algoritmos de lápiz y papel o calculadora).

Utilizar, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar situacionesproblema y problemas-tipo, planificando el proceso de resolución, desarrollándolo
de manera clara y ordenada y mostrando confianza en las propias capacidades.

Utilizar, de manera adecuada, las distintas interpretaciones de una fracción.

Determinar si dos fracciones son o no equivalentes.

Amplificar y simplificar fracciones.

Obtener la fracción irreducible de una dada.

Reducir fracciones a común denominador.

Ordenar un conjunto de fracciones.

Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones.

Calcular la potencia y la raíz cuadrada de una fracción.

Obtener la fracción inversa de una fracción dada.

Aplicar correctamente la propiedad distributiva y sacar factor común.

Realizar operaciones combinadas con fracciones, respetando la jerarquía de las
operaciones.

Resolver problemas reales donde aparezcan fracciones.
241
Unidad 4: Sistema sexagesimal
OBJETIVOS
1. Utilizar el sistema sexagesimal para medir amplitudes de ángulos y periodos de
tiempo menores que el día.
2. Distinguir entre expresiones complejas e incomplejas para medir ángulos y
tiempos, y pasar de unas a otras.
3. Efectuar sumas y restas de medidas de ángulos y de tiempos.
4. Multiplicar una medida de un ángulo o de tiempo por un número entero.
5. Dividir una medida de un ángulo o de tiempo entre un número entero.
6. Aplicar el sistema sexagesimal a cuestiones relacionadas con la vida cotidiana.
CONTENIDOS
Conceptos

Medidas de tiempos y ángulos. Sistema sexagesimal.

Formas complejas e incomplejas para medir tiempos y ángulos.

Suma y resta en el sistema sexagesimal.

Multiplicación y división en el sistema sexagesimal.

Expresión de un ángulo en grados, minutos y segundos.

Expresión de un periodo de tiempo en horas, minutos y segundos.

Transformación de una medida angular o de tiempo de forma compleja a
incompleja, y viceversa.

Suma y resta de medidas angulares o de tiempo en el sistema sexagesimal.

Multiplicación y división de medidas angulares o de tiempo.

Operaciones combinadas de medidas de ángulos.
Actitudes

Habito de expresar los resultados numéricos de las mediciones, manifestando

las unidades de medida utilizadas.

Adopción de una actitud crítica ante el uso de la calculadora científica para
resolver problemas.

Resolver situaciones-problema, tanto individualmente como en grupo, que
requieran el uso de magnitudes de medida de tiempo o ángulos, utilizando las
unidades adecuadas.
242

Utilizar instrumentos, técnicas y formulas, individual y grupalmente, para medir
tiempos y ángulos.

Valorar e integrarse en el trabajo en grupo para la realización de actividades de
diversos tipos, como base del aprendizaje matemático, de la formación de la
autoestima y de valores sociales.
1. Trabajar con las distintas unidades de medida de ángulos y tiempos.
2. Expresar medidas de ángulos en grados, minutos y segundos.
3. Expresar medidas de tiempo en horas, minutos y segundos.
4. Convertir la medida de un ángulo expresada en forma compleja a forma
incompleja, y viceversa.
5. Determinar la forma compleja de una medida de tiempo dada en forma incompleja,
y viceversa.
6. Sumar y restar dos medidas de ángulos o de tiempo en el sistema sexagesimal.
7. Multiplicar y dividir una medida angular o de tiempo por un número.
8. Resolver problemas reales donde aparezcan medidas de tiempo o angulares.
Unidad 5: Proporcionalidad numérica
OBJETIVOS
1. Determinar si dos razones forman proporción.
2. Distinguir si dos magnitudes son directamente proporcionales.
3. Resolver problemas reales que impliquen el uso de una regla de tres simple directa
o de la reducción a la unidad.
4. Determinar si dos magnitudes son inversamente proporcionales.
5. Resolver problemas reales que impliquen el uso de una regla de tres simple inversa
o de la reducción a la unidad.
6. Hallar el tanto por ciento de una cantidad.
7. Resolver problemas con porcentajes.
8. Calcular aumentos y disminuciones porcentuales.
CONTENIDOS
Conceptos


Magnitudes directamente proporcionales.
243

Regla de tres simple directa y reducción a la unidad.

Magnitudes inversamente proporcionales.

Regla de tres simples inversas y reducción a la unidad.

Tanto por ciento de una cantidad.

Aumentos y disminuciones porcentuales.

Distinción entre magnitudes directa o inversamente proporcionales.

Construcción de tablas de proporcionalidad directa e inversa.

Resolución de problemas mediante reglas de tres simples (directas e inversas) y por
reducción a la unidad.

Resolución de problemas de cálculos de porcentajes.
Actitudes

Incorporación al
proporcionalidad

numérica, directa e inversa.

Orden en la resolución y la presentación de los cálculos y soluciones en problemas

de proporcionalidad.
lenguaje
cotidiano
de
términos
relacionados
con
la

Identificar relaciones de proporcionalidad numérica (directa e inversa), y resolver
problemas en los que se usan estas relaciones, haciendo hincapié en los problemastipo asociados a estas relaciones.

Aplicar el razonamiento deductivo e inductivo en contextos numéricos y
alfanuméricos.

1. Distinguir si dos razones forman proporción.
2. Aplicar la propiedad fundamental de las proporciones en la resolución de diferentes
3. problemas.
4. Completar tablas de proporcionalidad y series de razones iguales.
5. Distinguir si dos magnitudes son directa o inversamente proporcionales.
6. Aplicar la regla de tres simple, tanto directa como inversa, en la resolución de
problemas, estableciendo cual debe aplicarse en cada caso.
7. Utilizar los porcentajes para resolver distintos problemas.
244
2ª EVALUACIÓN
Unidad 6: Expresiones algebraicas
OBJETIVOS
1. Operar con monomios.
2. Reconocer los polinomios como suma de monomios.
3. Determinar el grado de un polinomio.
4. Obtener el valor numérico de un polinomio.
5. Sumar, restar y multiplicar polinomios.
6. Dividir un polinomio entre un monomio.
7. Desarrollar las igualdades notables: cuadrado de una suma, cuadrado de una
diferencia y suma por diferencia.
CONTENIDOS
Conceptos

Monomios: grado.

Polinomios: grado y valor numérico.

Operaciones con monomios y polinomios.


Obtención del valor numérico de un polinomio.

Suma, resta y multiplicación de polinomios.

División de un polinomio entre un monomio.

Desarrollo de las igualdades notables.

Utilización de las igualdades notables para simplificar distintas expresiones.
Actitudes

Valoración del lenguaje algebraico como un lenguaje conciso y útil para expresar
situaciones cotidianas.

Respeto por las soluciones y planteamientos de otros compañeros.

Realización de los cálculos y operaciones con polinomios de forma precisa y
cuidadosa.

Representar relaciones y patrones numéricos, proponiendo, utilizando y
manipulando con destreza expresiones algebraicas sencillas.

Utilizar, de manera comprensiva, el lenguaje algebraico para expresar situaciones,
y relacionar esta forma de expresión con otras: tabular, grafica, descriptiva...
245

1. Distinguir entre coeficiente, parte literal y grado de un monomio.
2. Identificar el grado, el término independiente y los coeficientes de un polinomio.
3. Sumar y restar polinomios.
4. Multiplicar polinomios.
5. Calcular el grado del polinomio producto de dos polinomios sin necesidad de
operar.
6. Dividir polinomios entre monomios.
7. Identificar y desarrollar las igualdades notables.
8. Simplificar expresiones utilizando las igualdades notables.
Unidad 7: Ecuaciones de primer y segundo grado
OBJETIVOS

Distinguir entre identidades y ecuaciones.

Comprobar si un numero es o no solución de una ecuación.

Obtener ecuaciones equivalentes a una dada.

Resolver ecuaciones de primer grado.

Identificar y resolver ecuaciones de segundo grado.

Resolver problemas mediante ecuaciones de primer y segundo grado.
CONTENIDOS
Conceptos

Igualdad, identidad y ecuación.



Métodos de resolución de ecuaciones de primer grado.

Ecuaciones de segundo grado.

Resolución de ecuaciones de primer grado.

Resolución de ecuaciones de segundo grado.

Identificación y resolución de problemas de la vida cotidiana, planteando y
resolviendo ecuaciones de primer y segundo grado, y comprobando la validez de
las soluciones obtenidas.
246
Actitudes

Confianza en las propias capacidades para afrontar y resolver problemas
algebraicos.

Perseverancia y flexibilidad a la hora de resolver problemas, valorando las
opiniones aportadas por los demás.

Gusto por la presentación ordenada de las soluciones de las ecuaciones.

Representar relaciones y patrones numéricos, proponiendo y utilizando expresiones
algebraicas.

Utilizar, de manera razonada, el método analítico de resolución de problemas
mediante ecuaciones,

y aplicar los algoritmos de resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.

matemática, tales como

el orden, contraste, precisión y revisión sistemática, y crítica de los resultados.
1. Diferenciar entre identidades y ecuaciones.
2. Obtener la solución de una ecuación de primer grado con una incógnita.
3. Resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores.
4. Resolver ecuaciones de segundo grado.
5. Hallar la solución de problemas reales mediante ecuaciones de primer y segundo
grado.
Unidad 8: Sistemas de ecuaciones
OBJETIVOS
1. Reconocer sistemas de ecuaciones lineales con dos ecuaciones y dos incógnitas.
2. Resolver sistemas de ecuaciones lineales con ayuda de tablas.
3. Resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, aplicando los
métodos de reducción, sustitución e igualación.
4. Plantear y resolver problemas reales utilizando sistemas de ecuaciones.
CONTENIDOS
Conceptos

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
247

Resolución de sistemas con ayuda de tablas.

Métodos de sustitución, igualación y reducción.

Reconocimiento de si dos sistemas de ecuaciones son o no equivalentes.

Resolución de un sistema de ecuaciones mediante el uso de tablas.

Resolución de sistemas de ecuaciones, utilizando los métodos de reducción,
sustitución e igualación.

Planteamiento y resolución de problemas mediante la aplicación de expresiones
algebraicas y sistemas de ecuaciones, comprobando la validez de la solución.
Actitudes

Confianza en las propias capacidades para afrontar y resolver problemas que
requieran planteamientos algebraicos.

Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad de los sistemas de ecuaciones
para resolver situaciones de la vida cotidiana.

Utilizar razonadamente el método analítico de resolución de problemas mediante
sistemas de ecuaciones, y aplicar con destreza los algoritmos de resolución.

Emplear, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar situacionesproblema y problemas tipo, planificando adecuadamente el proceso de resolución,
desarrollándolo ordenadamente y mostrando seguridad y confianza en las propias
capacidades.

1. Determinar si un par de números es o no solución de un sistema de ecuaciones.
2. Comprobar si dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas son equivalentes o no.
3. Obtener sistemas equivalentes a uno dado por distintos procedimientos.
4. Resolver un sistema de ecuaciones mediante tablas.
5. Resolver un sistema de ecuaciones utilizando los métodos de sustitución, igualación
y reducción.
6. Determinar el método más adecuado para resolver un sistema de ecuaciones.
7. Resolver problemas reales mediante sistemas de ecuaciones.
248
Unidad 9: Funciones
OBJETIVOS
1. Localizar puntos en el plano y representarlos utilizando coordenadas cartesianas.
2. Trabajar con la expresión algebraica, la tabla y la grafica de una función, y pasar
de unas a otras.
3. Determinar las características de las graficas: dominio, puntos de corte con los
ejes, continuidad, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos...
4. Representar y reconocer funciones de proporcionalidad directa e inversa.
5. Interpretar relaciones funcionales sencillas, distinguiendo las variables que
intervienen en ellas.
6. Reconocer y valorar la utilidad de los lenguajes gráficos para representar y resolver
problemas de la vida cotidiana y del ámbito científico.
CONTENIDOS
Conceptos



Representación de una función mediante una tabla de valores y mediante su
expresión algebraica.

Estudio de funciones.

Funciones de proporcionalidad directa e inversa.

Representación en un sistema de coordenadas cartesianas.

Construcción e interpretación de graficas a partir de tablas, expresiones
algebraicas y enunciados de un problema.

Análisis de las características de una gráfica, señalando su dominio, puntos de corte
con los ejes, crecimiento y decrecimiento y sus puntos máximos y mínimos.

Representación, reconocimiento y utilización de funciones de proporcionalidad
directa e inversa.
Actitudes

Reconocimiento y valoración de las relaciones entre el lenguaje gráfico, algebraico

y numérico.

Confianza en las propias capacidades para resolver problemas y realizar cálculos.

Incorporación al lenguaje cotidiano de términos relacionados con las gráficas.
249

Identificar e interpretar relaciones funcionales expresadas verbal, tabular, gráfica
y algebraicamente.

Emplear, de manera comprensiva, el lenguaje algebraico para expresar situaciones
problemáticas, y relacionar esta forma de expresión con otras: tabular, grafica,
descriptiva...

matemática, tales como

El orden, contraste, precisión y revisión sistemática, y crítica de los resultados.
1. Utilizar las coordenadas cartesianas.
2. Expresar una función mediante enunciados, tablas, expresiones algebraicas y
gráficas.
3. Analizar la información de una gráfica, e interpretar relaciones entre magnitudes.
4. Reconocer las variables dependientes e independientes en una relación funcional.
5. Distinguir en una gráfica los puntos de corte con los ejes, intervalos de crecimiento
y decrecimiento, y máximos y mínimos.
6. Representar y reconocer funciones de proporcionalidad directa e inversa.
7. Resolver problemas reales que impliquen la utilización y representación de
funciones.
Unidad 10: Estadística
OBJETIVOS
1. Obtener el recuento de una serie de datos para formar una tabla y estudiar sus
propiedades.
2. Distinguir entre frecuencia absoluta y relativa de un dato, y calcular ambas
frecuencias.
3. Representar gráficamente un conjunto de datos.
4. Interpretar gráficos estadísticos.
5. Determinar la media aritmética de un conjunto de datos.
6. Calcular la mediana y la moda de un conjunto de datos.
CONTENIDOS
Conceptos

Recuento de datos y construcción de tablas.

Frecuencias absolutas y frecuencias relativas.

Frecuencias acumuladas.
250


Media, mediana y moda.

Realización del recuento de una serie de datos para formar una tabla.

Calculo de las frecuencias absolutas y relativas de un conjunto de datos.

Representación grafica de un conjunto de datos.

Calculo de la media aritmética, la mediana y la moda.
Actitudes

Reconocimiento y valoración de la utilidad de los lenguajes grafico y estadístico
para representar y resolver problemas de la vida cotidiana.

Gusto por la precisión, el orden y la claridad en el tratamiento y representación de
datos.

Interpretar y presentar la información estadística a partir de tablas, gráficos y
medidas estadísticos, y calcular las medidas estadísticas básicas, utilizando los
medios más adecuados en cada caso (lápiz y papel, calculadora u ordenador).

decidiendo si es necesario dar una respuesta exacta o aproximada, y aplicando el
modo de cálculo más pertinente (mental, algoritmos de lápiz y papel o
calculadora).

1. Obtener el recuento de una serie de datos.
2. Elaborar tablas para resumir la información sobre los datos obtenidos.
3. Distinguir entre frecuencia absoluta y frecuencia relativa, y calcular ambas
frecuencias.
4. Determinar las frecuencias acumuladas.
5. Representar gráficamente un conjunto de datos.
6. Comparar los diferentes gráficos, pasar de uno a otro y observar en cuál de ellos
aparece más clara la información.
7. Determinar la media aritmética, la mediana y la moda de un conjunto de datos.
251
3ª EVALUACIÓN
Unidad 11: Proporcionalidad geométrica
OBJETIVOS
1. Calcular la razón de dos segmentos y distinguir si son proporcionales o no.
2. Reconocer segmentos iguales comprendidos entre líneas paralelas, y aplicar
3. el teorema de Tales en distintos contextos.
4. Dividir un segmento en partes iguales, obtener el segmento cuarto proporcional
5. y dividir un segmento en partes proporcionales a otros segmentos dados.
6. Reconocer triángulos en posición de Tales, como paso previo a la semejanza de
triángulos.
7. Distinguir y aplicar los criterios de semejanza de triángulos.
8. Construir polígonos y figuras semejantes.
9. Aplicar las semejanzas en mapas y planos, trabajando con escalas.
CONTENIDOS
Conceptos

Razón de dos segmentos.

Segmentos proporcionales.

Teorema de Tales. Aplicaciones.

Triángulos en posición de Tales.

Criterios de semejanza de triángulos.


Figuras semejantes.

Escalas.

Obtención de la relación de proporcionalidad entre segmentos.

Aplicación del teorema de Tales en la resolución de distintos problemas
geométricos y de la vida cotidiana.

Calculo del segmento cuarto proporcional a otros segmentos dados.

División de un segmento en partes iguales y en partes proporcionales a otros dados.

Utilización de los criterios de semejanza de triángulos en distintos contextos para
resolver problemas.

Determinación de la semejanza entre dos polígonos y obtención de su razón de
semejanza.

Construcción de una figura semejante a una figura dada.

Interpretación de mapas hechos a escala, calculando longitudes reales a partir de
longitudes en el plano, y viceversa.
252

Obtención de la escala grafica correspondiente a una escala numérica dada, y
viceversa.
Actitudes

Cuidado y precisión en el uso de los instrumentos de dibujo para realizar
construcciones Geométricas.

Sentido crítico ante las representaciones a escala para transmitir distintos
mensajes.

Identificar, analizar, describir y construir, con precisión y destreza, la semejanza
de figuras planas presentes tanto en el medio social como natural, y utilizar las
propiedades geométricas asociadas a las mismas.

Distinguir relaciones de proporcionalidad geométrica, y resolver problemas en los
que se usan estas relaciones, haciendo hincapié en los problemas-tipo asociados a
dichas relaciones.

Aplicar el razonamiento deductivo e inductivo en contextos geométricos.
1. Calcular la razón de semejanza entre dos segmentos.
2. Aplicar el teorema de Tales en la resolución de distintos problemas geométricos y
de la vida cotidiana.
3. Dividir un segmento en partes proporcionales a otros dados.
4. Distinguir si dos triángulos están en posición de Tales o no.
5. Utilizar los criterios de semejanza de triángulos en distintos contextos para resolver
problemas.
6. Determinar si dos polígonos son o no semejantes, y obtener su razón de semejanza.
7. Construir una figura semejante a otra dada.
8. Utilizar las escalas de manera adecuada en el cálculo de longitudes sobre planos o
mapas a partir de longitudes reales, y viceversa.
Unidad 12: Figuras planas. Áreas
OBJETIVOS
1. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas geométricos y de la
vida real.
2. Calcular el área de cualquier polígono.
3. Obtener el área de figuras circulares.
4. Hallar la suma de los ángulos interiores de un polígono, y si el polígono es regular,
la medida de cada ángulo y la de su ángulo central.
5. Definir las clases de ángulos en la circunferencia.
253
CONTENIDOS
Conceptos

Teorema de Pitágoras. Aplicaciones.


Área de figuras circulares.


Ángulos en la circunferencia.

Aplicación del teorema de Pitágoras en el cálculo de longitudes desconocidas en
distintos contextos.

Calculo de áreas de polígonos.

Obtención del área de figuras circulares.

Aplicación de las formulas para calcular la suma de los ángulos interiores de un
polígono y, en el caso de polígonos regulares, la medida de un ángulo interior y de
su ángulo central.

Descripción de diferentes tipos de ángulos en una circunferencia.
Actitudes

Valoración del razonamiento deductivo en las demostraciones geométricas.

Habito de expresar los resultados numéricos de las mediciones y operaciones,
manifestando las unidades de medida utilizadas.

Valoración de la importancia del cálculo de perímetros y áreas para resolver
problemas de la vida cotidiana.

Identificar, analizar, describir y construir, con precisión y destreza, figuras planas
presentes tanto en el medio social como natural, y utilizar las propiedades
geométricas asociadas a las mismas.

longitudes, ángulos y áreas de figuras planas.

1. Aplicar el teorema de Pitágoras para calcular longitudes desconocidas en distintos
contextos.
2. Hallar el área de un polígono cualquiera.
3. Obtener el área de figuras circulares.
4. Calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono.
5. Determinar la medida de un ángulo interior de un polígono regular y de su ángulo
central.
6. Identificar los distintos tipos de ángulos de una circunferencia.
254
Unidad 13: Cuerpos geométricos
OBJETIVOS
1. Determinar posiciones de rectas y planos en el espacio.
2. Distinguir los poliedros regulares, prismas y pirámides y sus elementos.
3. Calcular el área de prismas y pirámides, y aplicar las formulas en la resolución de
problemas geométricos y de la vida cotidiana.
4. Reconocer los tipos de cuerpos de revolución más sencillos.
5. Distinguir los elementos de los cuerpos de revolución.
6. Calcular el área de cilindros, conos y esferas, y aplicar las formulas en la resolución
de problemas geométricos y de la vida cotidiana.
7. Identificar figuras esféricas y calcular sus áreas.
CONTENIDOS
Conceptos

Posiciones de rectas y planos en el espacio.

Elementos de los poliedros.

Poliedros regulares.

Prismas y pirámides. Áreas.

Cuerpos de revolución. Áreas.

Utilización de la terminología adecuada para describir cuerpos geométricos, sus

Calculo del área de prismas y pirámides, aplicando las formulas en la resolución de
problemas geométricos de la vida cotidiana.

Calculo del área de cilindros, conos y esferas, aplicando las formulas en la
resolución de problemas geométricos de la vida cotidiana.

Resolución de problemas de cálculo de áreas de cuerpos geométricos, formados a
partir de otros cuerpos más sencillos.
Actitudes

Confianza en las propias capacidades para percibir el espacio, y afrontar y resolver

Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones y relaciones
geométricas.

Gusto por la presentación cuidadosa de los trabajos geométricos.
255

y cuerpos geométricos presentes tanto en el medio social como natural.

Visualizar y representar objetos geométricos tridimensionales sencillos, actuando
con destreza y creatividad.

1. Distinguir los tipos de poliedros y sus elementos.
2. Identificar prismas y pirámides, así como sus elementos.
3. Obtener el desarrollo de prismas y pirámides.
4. Reconocer los cuerpos de revolución y sus elementos.
5. Dibujar el desarrollo plano de cuerpos de revolución.
6. Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas de prismas, pirámides y
cuerpos de revolución.
Unidad 14: Volumen de cuerpos geométricos
OBJETIVOS
1. Medir el volumen de un cuerpo utilizando distintas unidades de medida.
2. Pasar de unas unidades de volumen a otras.
3. Expresar el volumen en la unidad adecuada al contexto en el que se trabaja.
4. Relacionar las unidades de volumen, capacidad y masa para el agua destilada.
5. Definir el concepto de densidad.
6. Resolver problemas donde aparezcan unidades de volumen y de masa de sustancias
con distintas densidades.
7. Calcular el volumen de los poliedros.
8. Hallar el volumen de los cuerpos de revolución.
9. Plantear y resolver problemas reales mediante el cálculo de volúmenes.
CONTENIDOS
Conceptos

Volumen de un cuerpo. Unidades de volumen.

Relación entre las unidades de volumen, capacidad y masa.

Relación entre volumen y densidad.

Volumen del ortoedro, cubo, prisma, pirámide, cilindro, cono y esfera.
256

Utilización de distintas unidades de medida para medir el volumen de un cuerpo.

Paso de unas unidades de volumen a otras.

Relación de las unidades de volumen, masa y capacidad para el agua destilada.

Calculo de las densidades de diferentes sustancias.

Obtención del volumen de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas,
aplicándolo en la resolución de problemas reales.

Obtención del volumen de cuerpos complejos, mediante la suma o diferencia de
los volúmenes de cuerpos geométricos más sencillos.
Actitudes

Disposición favorable para realizar mediciones, mediante formulas, del volumen de
cuerpos geométricos.

Confianza en las propias capacidades para percibir el espacio y resolver problemas
geométricos.

y cuerpos geométricos presentes tanto en el medio social como natural.

Visualizar y representar objetos geométricos tridimensionales, obteniendo
distintas representaciones planas.

longitudes, ángulos, áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos.
1. Utilizar diferentes unidades de medida para medir el volumen de un cuerpo.
2. Reconocer la relación entre las medidas de volumen y capacidad, y las de volumen
y masa para el agua destilada.
3. Expresar el volumen en la unidad adecuada al contexto en el que se trabaja.
4. Resolver correctamente problemas donde aparezcan unidades de volumen y de
masa de sustancias con distintas densidades.
5. Calcular el volumen del ortoedro, cubo, prisma, Pirámide, cilindro, cono y esfera.
6. Resolver problemas que impliquen el cálculo de volúmenes de cuerpos
geométricos.
257
CONTENIDOS MÍNIMOS DE MATEMÁTICAS 2º ESO
Bloque 1. Contenidos comunes.
• Utilización de estrategias y técnicas en la R.P., tales como el análisis del enunciado,
el ensayo y error o la división del problema en partes, y comprobación de la solución
obtenida.
• Descripción verbal de procedimientos de R.P. utilizando términos adecuados.
sobre elementos y relaciones espaciales.
Bloque 2. Números.
• Fracciones equivalentes. Simplificación de fracciones. Obtención de fracciones
irreducibles equivalentes a otras dadas. Reducción a común denominador.
• Operaciones elementales con fracciones, decimales y números enteros. Jerarquía de
las operaciones y uso del paréntesis.
• Potencias de exponente natural. Operaciones con potencias. Utilización de la
notación científica para representar números grandes.
• Medida del tiempo. Medida de ángulos. Expresiones sexagesimales complejas y
expresiones decimales. Conversión de una expresión a otra. Operaciones.
• Porcentajes. Relaciones entre fracciones, decimales y porcentajes. Uso de estas
relaciones para elaborar estrategias de cálculo práctico con porcentajes.
• Proporcionalidad directa e inversa: análisis de tablas. Razón de proporcionalidad.
Magnitudes directamente proporcionales. Regla de tres simple.
• Magnitudes inversamente proporcionales. Resolución de problemas relacionados con
la vida cotidiana en los que intervenga la proporcionalidad directa o inversa.
Bloque 3. Álgebra
• Binomios de primer grado: suma, resta y producto por un número. Productos notables
sencillos.
• Transformación de ecuaciones en otras equivalentes. Resolución de ecuaciones de
primer grado. Resolución de ecuaciones de segundo grado.
• Resolución de sistemas lineales de dos ecuaciones y con dos incógnitas.
• Utilización de las ecuaciones y sistemas para la resolución de problemas.
Interpretación de las soluciones.
258
• Triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras. Justificación geométrica y
aplicaciones.
• Idea de semejanza: figuras semejantes. Ampliación y reducción de figuras: razón de
semejanza y escalas. Teorema de Tales. Razón entre las superficies de figuras
semejantes.
• Elementos básicos de la geometría del espacio: puntos, rectas y planos. Ángulos
diedros. Incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos.
• Descripción y propiedades características de los cuerpos geométricos elementales:
cubo, prisma, pirámide, paralelepípedos, poliedros, cono, cilindro y esfera.
• Resolución de problemas que impliquen la estimación y el cálculo de longitudes,
superficies y volúmenes. Unidades de volumen y capacidad en el S.M.D.
• Coordenadas cartesianas. Tablas de valores y gráficas cartesianas. Elaboración de
una gráfica a partir de una tabla de valores o de una expresión algebraica sencilla que
relacione dos variables.
• Identificación de magnitudes directamente o inversamente proporcionales a partir
del análisis de su tabla de valores o de su gráfica. Interpretación de la constante de
proporcionalidad. Aplicación a situaciones reales.
• Construcción de tablas y gráficas a partir de la observación y experimentación en
casos prácticos.
• Interpretación y lectura de gráficas relacionadas con los fenómenos naturales, la vida
cotidiana y el mundo de la información.
• Estadística unidimensional. Población y muestra. Distribuciones discretas. Recuento
de datos. Organización de datos.
• Frecuencias absolutas y relativas, ordinarias y acumuladas.
• Cálculo e interpretación de la media aritmética, la mediana y la moda de una
distribución discreta con pocos datos.
• Utilización conjunta de la media, la mediana y la moda para realizar comparaciones
y valoraciones.
259
PROGRAMACIÓN
Refuerzo de
Matemáticas (CLYM)
2.º ESO
1ª EVALUACIÓN

Los números enteros y decimales. Operaciones
Operar con números enteros y decimales con paréntesis en casos sencillos

Divisibilidad. M.C.D. y m.c.m.
Obtener el M.C.D. y m.c.m. con pares de números sencillos

Las fracciones. Operaciones
Operaciones sencillas con fracciones

Sistema métrico decimal
Uso del sistema decimal en casos prácticos
2ª EVALUACIÓN

Proporcionalidad. Ejemplos
Buscar ejemplos de proporcionalidad y trabajar con ellos

Iniciación al álgebra. Polinomios
Pasar del lenguaje literal al lenguaje algebraico

Ecuaciones. Problemas
Resolver ecuaciones por el método más asequible

Tablas y gráficas
Buscar tablas y graficas en la prensa y trabajar con ellas
260
3ª EVALUACIÓN

Rectas y ángulos
Dibujar todo tipo de posiciones de rectas en el plano
Aplicar las definiciones más elementales a las posiciones de rectas

Cuerpos geométricos
Clasificar y definir todos los elementos de los cuerpos geométricos más
elementales

Áreas y volúmenes
Utilizar las formulas en los casos más sencillos
Los alumnos que cursan esta asignatura presentan dificultades para asimilar los
contenidos del área de Matemáticas. Las clases de esta asignatura se dedicarán a apoyo
y complemento de las clases de Matemáticas del nivel correspondiente y estos
contenidos servirán solo de referencia para las clases de “REFUERZO” (CLyM) ya que
además el alumnado puede ser muy dispar (repetidores, minorías, inmigrantes que
conocen el idioma y que no, ACNEES, ANCES, etc.) y en muchos casos nos limitamos a
reforzar las tareas del profesor de apoyo o del curso correspondiente. Por lo tanto en
esta asignatura no hablaremos de “Contenidos Mínimos”.
Los profesores que impartan el área de Matemáticas en el grupo, estarán en
contacto directo con el que imparte el Refuerzo de Matemáticas, para trasmitir la
correspondiente información y propiciar así el refuerzo de los contenidos más difíciles
y procurar solventar, en la medida de lo posible, las dificultades de aprendizaje que
presenten los alumnos del Refuerzo.
261
PROGRAMACIÓN
Matemáticas
4º ESO
OPCIÓN A
Libro de texto:
MATEMÁTICAS 4 ESO Opción A
Proyecto
262
1ª EVALUACIÓN
Unidad 1: Números enteros
OBJETIVOS
1. Reconocer la presencia de los números enteros en distintos contextos.
2. Calcular el valor absoluto de un número entero.
3. Ordenar un conjunto de números enteros.
4. Realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros.
5. Calcular y operar con potencias de exponente natural.
6. Realizar operaciones combinadas de números enteros con y sin paréntesis,
7. Calcular todos los divisores de un número entero.
8. Expresar cualquier número entero como producto de sus factores primos.
9. Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de un conjunto de
números enteros.
10. Utilizar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo en la resolución de
problemas con números enteros.
CONTENIDOS
Conceptos

Números enteros. Ordenación.
•
Sumas y restas de números enteros. Operaciones combinadas.
•
Multiplicación de números enteros. Regla de los signos.
•
División de números enteros. Relación entre dividendo, divisor, cociente y resto.
•
Potencias de números enteros. Operaciones con potencias.
•
•
Divisibilidad en los números enteros. Criterios de divisibilidad.
•
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

Representación y ordenación de un conjunto de números enteros.

Cálculo del valor absoluto y del opuesto de un número entero.

Operaciones con números enteros.

Conocimiento y utilización de la jerarquía de las operaciones, los paréntesis y los
signos en el cálculo de operaciones combinadas con números enteros.

Determinación de todos los divisores de un número entero.

Factorización de números enteros.
263

Cálculo del m.c.d. y del m.c.m. de dos números enteros mediante su
descomposición en factores primos.
Actitudes

Valoración de la precisión y utilidad del lenguaje numérico para representar,
comunicar y resolver situaciones cotidianas.
•
Respeto y valoración de las soluciones aportadas por los demás.
•
Utilización crítica y cuidadosa de la calculadora.

contenga distintos tipos de números.
•
decidiendo si es necesario dar una respuesta exacta o aproximada y aplicando un
modo de cálculo adecuado (mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora).
•
Utilizar, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar situacionesproblema y problemas-tipo, planificando la resolución, desarrollándola
ordenadamente y mostrando confianza en las propias capacidades.
1. Comparar números enteros y representarlos en la recta numérica.
2. Obtener el valor absoluto y el opuesto de un número entero.
3. Operar con números enteros.
4. Realizar operaciones combinadas de números enteros, respetando la jerarquía de
las operaciones y los paréntesis.
5. Calcular potencias de base entera y exponente natural.
6. Utilizar las reglas de las operaciones con potencias, respetando la jerarquía de las
operaciones.
7. Calcular el m.c.d. y el m.c.m. de un conjunto de números enteros, mediante
descomposición en producto de factores primos.
Unidad 2: Números racionales
OBJETIVOS
1. Expresar una fracción cualquiera en forma decimal.
2. Distinguir los distintos tipos de números decimales: exactos, periódicos puros y
periódicos mixtos, que pueden ser considerados como números racionales en forma
decimal.
3. Obtener la fracción generatriz de un número decimal exacto, periódico puro o
periódico mixto.
4. Entender y utilizar el concepto de fracción equivalente a una fracción dada.
264
5. Calcular la fracción irreducible de cualquier número racional.
6. Representar gráficamente los números racionales en la recta numérica.
7. Operar con números racionales: suma, resta, multiplicación y división.
8. Calcular potencias de números racionales con exponente entero.
9. Realizar cálculos con números escritos en notación científica.
10. Utilizar la calculadora para realizar operaciones con notación científica.
CONTENIDOS
Conceptos

Fracción y número decimal.

Decimales exactos, periódicos puros y periódicos mixtos.

Fracción equivalente y fracción irreducible.

Número racional. Representante canónico de un número racional.

Potencia de un número racional con exponente entero.

Notación científica. Operaciones.
Procedimientos,destrezasy habilidades

Determinación de los conjuntos a los que pertenece un número dado.

Cálculo de la expresión decimal de un número racional, señalando de qué tipo es.

Obtención de la fracción generatriz de un número decimal periódico.

Ordenación y representación en la recta de cualquier número racional.

Cálculo de la suma, resta, multiplicación y división de números racionales.

Potenciación de números racionales con exponente entero.

Expresión de un número en notación científica.

Utilización de la calculadora para realizar operaciones con números escritos en
Actitudes

Valoración de la presencia y utilidad de los números racionales en distintos
contextos de la realidad.

Confianza en la propia capacidad de resolución de problemas numéricos.

contenga distintos tipos de números (naturales, enteros, fraccionarios, decimales,
etc.), y relacionarlos eligiendo la representación más conveniente en cada caso.

(naturales, enteros y racionales), decidiendo si es necesario dar una respuesta
265
exacta o aproximada y aplicando un modo de cálculo adecuado (mental, algoritmos
de lápiz y papel, calculadora).

ordenadamente y mostrando confianza en las propias capacidades.
1. Encontrar la expresión decimal de una fracción.
2. Distinguir los distintos tipos de números decimales que sean expresión de un
número racional.
3. Obtener la fracción generatriz de un número decimal exacto, periódico puro o
periódico mixto.
4. Entender y utilizar el concepto de fracción equivalente a una fracción dada.
5. Calcular la fracción irreducible de cualquier número racional.
6. Representar gráficamente los números racionales en la recta numérica.
7. Sumar, restar, multiplicar y dividir números racionales.
8. Calcular potencias de base un número racional y exponente entero, ya sea positivo
o negativo.
9. Realizar cálculos con números escritos en notación científica e interpretar los
resultados.
Unidad 3: Números reales
OBJETIVOS
1. Reconocer los números irracionales como números decimales ilimitados no
periódicos.
2. Representar en la recta real números reales e intervalos.
3. Expresar intervalos de números reales de varias formas.
4. Aproximar números reales mediante redondeo y truncamiento hasta un orden dado.
5. Reconocer las partes de un radical y su significado.
6. Calcular e interpretar el valor numérico de un radical.
7. Obtener radicales equivalentes a uno dado.
8. Expresar un radical como potencia de exponente fraccionario, y viceversa.
9. Operar con radicales
266
CONTENIDOS
Conceptos

Números irracionales.

Números reales. Orden en ℝ.


Errores de aproximación

Radicales. Radicales equivalentes
Procedimientos,destrezasy habilidades

Reconocimiento y construcción de números irracionales.

Ordenación y representación en la recta de números reales.

Representación de intervalos de números reales y expresión en varias formas.

Redondeo y truncamiento de cualquier número real, dando cuenta del error
absoluto y relativo que se comete, así como de la cota de error.

Reconocimiento de las partes de un radical y obtención de radicales equivalentes
a uno dado.

Cálculo e interpretación del valor numérico de un radical.

Expresión de un radical como potencia de exponente fraccionario, y viceversa.

Realización de operaciones con radicales
Actitudes

Valoración de la utilidad de los números reales en distintos contextos.

Confianza en la propia capacidad de resolución de problemas numéricos

reales, etc.), y relacionarlos eligiendo la representación más conveniente en cada
caso.

(naturales, enteros, racionales y reales), decidiendo si es necesario dar una
respuesta exacta o aproximada y aplicando un modo de cálculo adecuado (mental,
algoritmos de lápiz y papel, calculadora).

Aplicar el razonamiento deductivo e inductivo en contextos numéricos
1. Reconocer y construir números irracionales.
2. Ordenar y representar en la recta cualquier conjunto de números reales.
3. Representar intervalos de números reales y expresarlos de varias formas.
267
4. Redondear y truncar cualquier número real.
5. Obtener aproximaciones racionales de un número irracional.
6. Utilizar la calculadora para obtener aproximaciones.
7. Reconocer las partes de un radical y obtener radicales equivalentes a uno dado.
8. Calcular el valor numérico de un radical.
10. Operar con radicales
Unidad 4: Problemas aritméticos
OBJETIVOS
1. Reconocer si dos magnitudes son directamente proporcionales.
2. Construir tablas de proporcionalidad directa.
3. Resolver problemas de repartos directamente proporcionales.
4. Utilizar la regla de tres simple directa para resolver problemas.
5. Reconocer si dos magnitudes son inversamente proporcionales.
6. Construir tablas de proporcionalidad inversa.
7. Resolver problemas de repartos inversamente proporcionales.
8. Utilizar la regla de tres inversa para resolver problemas.
9. Aplicar la proporcionalidad compuesta en distintos contextos.
10. Expresar cantidades en tantos por ciento.
11. Reconocer y resolver problemas con porcentajes, así como aumentos y
disminuciones porcentuales encadenados.
12. Aplicar los conocimientos adquiridos a los problemas de interés simple e interés
compuesto
CONTENIDOS
Conceptos

Magnitudes directa e inversamente proporcionales.

Regla de tres simple directa. Repartos directamente proporcionales.

Regla de tres simple inversa. Repartos inversamente proporcionales.

Regla de tres compuesta.

Proporcionalidad compuesta.

Porcentajes.

Interés simple y compuesto
268

Determinación de la relación de proporcionalidad, directa o inversa, existente
entre dos magnitudes.

Utilización de los repartos proporcionales en la resolución de problemas.

Uso de la regla de tres simple, directa e inversa, en la resolución de problemas.

Aplicación de la proporcionalidad compuesta.

Resolución de problemas que impliquen aumentos y disminuciones porcentuales.

Resolución de problemas donde aparezcan el interés simple y el interés compuesto
Actitudes

Sensibilidad ante la presencia e importancia de la proporcionalidad en distintas
situaciones de la vida cotidiana.

Gusto por la resolución razonada, ordenada y cuidadosa de problemas de
proporcionalidad
•
Identificar relaciones de proporcionalidad numérica y resolver problemas en los
que se usan estas relaciones, haciendo hincapié en los problemas-tipo asociados a
dichas relaciones.

ordenadamente y mostrando seguridad y confianza en las propias capacidades.

Valorar e integrarse en el trabajo en grupo para la realización de actividades, como
base del aprendizaje matemático, de la formación de la autoestima y de valores
sociales asumidos por nuestra sociedad
1. Reconocer si dos magnitudes son directamente o inversamente proporcionales.
2. Trabajar con tablas de proporcionalidad.
3. Resolver problemas de regla de tres simple directa y de repartos proporcionales
directos.
4. Resolver problemas de regla de tres simple inversa y de repartos proporcionales
inversos.
5. Resolver problemas de proporcionalidad compuesta, determinando la relación
entre la magnitud que es la incógnita y las demás magnitudes, y reduciendo
después a la unidad.
6. Resolver problemas de aumentos y disminuciones porcentuales.
7. Distinguir el interés simple y el interés compuesto, y utilizarlos en la resolución de
problemas reales
269
2ª EVALUACIÓN
Unidad 5:.Polinomios
OBJETIVOS
1. Realizar sumas y restas de polinomios.
2. Efectuar multiplicaciones y divisiones de polinomios.
3. Aplicar la regla de Ruffini para realizar la división de un polinomio entre el binomio
(x− a).
4. Comprender el concepto de raíz de un polinomio.
5. Utilizar el teorema del resto en distintos contextos: hallar el valor numérico de un
polinomio y encontrar sus raíces enteras.
6. Obtener las raíces enteras de un polinomio a partir de los divisores del término
independiente.
7. Calcular potencias de polinomios.
8. Hallar la potencia de un binomio, utilizando el triángulo de Tartaglia.
9. Factorizar un polinomio.
CONTENIDOS
Conceptos

Operaciones con polinomios.

Regla de Ruffini. Teorema del resto.

Raíz de un polinomio.

Factorización de polinomios.

Realización de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de polinomios.

Aplicación de la regla de Ruffini para dividir un polinomio entre el binomio
(x− a).

Utilización del teorema del resto para resolver problemas.

Obtención de las raíces enteras de un polinomio a partir de los divisores del término
independiente.

Interpretación del concepto de raíz de un polinomio.

Cálculo de las raíces enteras de un polinomio.

Factorización de un polinomio.
Actitudes

Valoración del lenguaje algebraico como un método eficaz para resolver problemas

Perseverancia y flexibilidad al enfrentarse a problemas, valorando las opiniones
aportadas por los demás.

Operar con fracciones algebraicas.
270

Representar relaciones y patrones numéricos mediante expresiones algebraicas
sencillas.

y relacionar este lenguaje con otros: tabular, gráfico, descriptivo...

matemática, tales como el orden, contraste, precisión y revisión sistemática y
1. Realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de polinomios.
(x− a).
3. Utilizar el teorema del resto para averiguar si un polinomio es divisible por el
binomio (x− a).
4. Aplicar el teorema del resto para encontrar el valor numérico y las raíces de un
polinomio.
independiente.
Unidad 6: Ecuaciones, inecuaciones ysistemas
OBJETIVOS
1. Resolver ecuaciones de primer grado.
2. Reconocer las ecuaciones de segundo grado y clasificarlas.
3. Resolver ecuaciones de segundo grado, completando cuadrados y aplicando la
fórmula general.
4. Resolver problemas mediante ecuaciones de primer y segundo grado.
5. Reconocer las inecuaciones de primer grado con una incógnita y sus elementos,
resolverlas y representar su conjunto solución.
6. Calcular las soluciones de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
mediante los métodos de sustitución, igualación y reducción.
7. Determinar gráficamente las soluciones de un sistema de ecuaciones.
8. Clasificar un sistema de ecuaciones lineales según su número de soluciones.
9. Resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones.
CONTENIDOS
Conceptos


Ecuaciones de segundo grado y bicuadradas.
271

Inecuaciones de primer grado con una incógnita.

Sistemas de ecuaciones. Clasificación. Métodos de resolución.

Resolución de ecuaciones de primer grado.

Reconocimiento y clasificación de las ecuaciones de segundo grado.

Resolución de ecuaciones bicuadradas.

Resolución de inecuaciones de primer grado y representación del conjunto
solución.

Resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante los métodos
de sustitución, igualación y reducción.

Determinación gráfica de las soluciones de un sistema.

Resolución de problemas reales con ecuaciones de primer y segundo grado,
inecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Actitudes

Valoración de los sistemas de ecuaciones como un instrumento útil para
representar, comunicar y resolver problemas.

Interés y cuidado a la hora de realizar los cálculos para resolver las ecuaciones e
inecuaciones.

Usar el método de resolución de problemas mediante ecuaciones e inecuaciones, y
aplicar los algoritmos de resolución de ecuaciones de primer y segundo grado y de
inecuaciones.

Utilizar, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar problemas,
planificando la resolución, desarrollándola ordenadamente y mostrando seguridad
y confianza en las propias capacidades.

alfanuméricos.
2. Reconocer ecuaciones de segundo grado y clasificarlas.
3. Resolver ecuaciones bicuadradas.
4. Resolver inecuaciones de primer grado y representar el conjunto solución.
5. Resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.
6. Resolver problemas mediante ecuaciones de primer y segundo grado e inecuaciones
de primer grado.
7. Plantear y resolver problemas reales con ecuaciones de segundo grado,
inecuaciones y sistemas de ecuaciones.
272
Unidad 7: Semejanza
OBJETIVOS
1. Reconocer cuándo dos figuras son semejantes.
2. Encontrar la figura transformada de una figura dada mediante una semejanza.
3. Construir figuras semejantes.
4. Formular y aplicar el teorema de Tales.
5. Reconocer y dibujar triángulos semejantes.
6. Conocer los criterios de semejanza de triángulos.
7. Aplicar criterios para determinar la semejanza en triángulos rectángulos.
8. Resolver problemas de semejanza de figuras planas.
9. Aplicar las técnicas de semejanza en los problemas de cálculo de distancias entre
puntos inaccesibles.
10. Estudiar el comportamiento de la razón de semejanza entre las superficies o los
volúmenes de figuras semejantes.
CONTENIDOS
Conceptos

Semejanza y razón de semejanza.

Teorema de Tales.


Escalas.

Cálculo de la razón de semejanza de dos figuras, y obtención de figuras semejantes
a una figura dada.

Aplicación del teorema de Tales en distintos contextos.

Resolución de problemas de semejanza de triángulos aplicando los criterios de
semejanza.

Aplicación de la razón de los perímetros y las áreas de dos figuras semejantes en
la resolución de problemas.

Utilización de escalas.

Cálculo de áreas y volúmenes de figuras semejantes mediante la razón de
semejanza.
Actitudes

Valoración de las herramientas que proporciona el estudio de figuras semejantes
para la resolución de numerosos problemas de la vida real.

Reconocimiento de la utilidad de las relaciones métricas y las cualidades estéticas
de los movimientos en la realidad.
273

Identificar, analizar, describir y construir, con precisión y destreza,
transformaciones geométricas de figuras planas presentes en el medio social y
natural, y utilizar las propiedades geométricas asociadas a las mismas en las
situaciones requeridas.

Identificar relaciones de proporcionalidad geométrica, y resolver problemas
mediante estas relaciones.

1. Reconocer figuras semejantes y calcular su razón de semejanza.
2. Obtener figuras semejantes a una figura dada.
3. Aplicar el teorema de Tales en distintos contextos.
4. Resolver problemas de semejanza de triángulos aplicando los criterios de
semejanza.
5. Conocer las relaciones que se obtienen de los criterios de semejanza en triángulos
rectángulos.
6. Utilizar los conocimientos de semejanza en el cálculo de distancias entre puntos
inaccesibles.
7. Manejar el concepto de escala entre figuras semejantes.
8. Calcular la razón de semejanza de dos figuras.
9. Relacionar la razón de semejanza de figuras semejantes con la razón de sus
perímetros, áreas o volúmenes.
Unidad 8: Trigonometría
OBJETIVOS
1. Reconocer y determinar las razones trigonométricas de un ángulo agudo.
2. Calcular las razones de los ángulos de 30°, 45° y 60°.
3. Determinar el signo de las razones trigonométricas de un ángulo en función del
cuadrante en el que se encuentre.
4. Utilizar las relaciones fundamentales de la trigonometría.
5. Hallar las razones trigonométricas de un ángulo dado a partir de una de ellas.
6. Reconocer y utilizar las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos
complementarios, suplementarios y opuestos.
7. Resolver un triángulo rectángulo conociendo dos lados o un lado y un ángulo agudo.
8. Utilizar la calculadora para resolver problemas trigonométricos.
9. Aplicar la trigonometría en la resolución de problemas reales.
274
CONTENIDOS
Conceptos

Razones trigonométricas de un ángulo.

Relaciones fundamentales de la trigonometría.

Resolución de triángulos rectángulos.

Distinción de las razones trigonométricas de un ángulo agudo: seno, coseno y
tangente, y cálculo de las razones a partir de los datos en distintos contextos.

Utilización de la calculadora para hallar el seno, el coseno o la tangente de un
ángulo.

Reconocimiento de la utilidad de la circunferencia goniométrica, y determinación
del signo de las razones trigonométricas de un ángulo en función del cuadrante en
el que se encuentre.

Conocimiento de las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos

Resolución de triángulos rectángulos, conocidos dos de sus lados, o un lado y un
ángulo agudo.

Cálculo del área de un triángulo, conocidos dos de sus lados y la amplitud del ángulo
comprendido entre ellos.

Utilización de la trigonometría para la resolución de problemas geométricos reales
Actitudes

Reconocimiento de la utilidad de la trigonometría para resolver problemas reales.

trigonometría.

Utilizar instrumentos, técnicas y fórmulas para calcular las razones trigonométricas
de cualquier ángulo.

Resolver problemas, individualmente y en grupo, que requieran el uso de las
razones trigonométricas.

1. Reconocer y determinar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
2. Obtener razones trigonométricas con calculadora.
3. Determinar el signo de las razones de un ángulo en función del cuadrante en el que
se halle.
4. Utilizar la relación fundamental de la trigonometría.
275
5. Hallar todas las razones trigonométricas de un ángulo a partir de una de ellas.
6. Reconocer y utilizar las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos
7. Resolver un triángulo rectángulo, conociendo dos lados o un lado y un ángulo agudo.
8. Aplicar la trigonometría en la resolución de problemas geométricos en la vida
cotidiana.
Unidad 9: Vectores y rectas
OBJETIVOS
1. Obtener las coordenadas de un vector a partir de las coordenadas de los puntos
origen y extremo.
2. Hallar el módulo de un vector, dadas sus coordenadas.
3. Calcular, gráfica y analíticamente, sumas y restas de vectores, y el producto de un
vector por un número.
4. Obtener la distancia entre dos puntos del plano, y calcular el punto medio de un
segmento.
5. Reconocer y calcular la ecuación vectorial de una recta.
6. Conocer y determinar las ecuaciones paramétricas de una recta.
7. Identificar y calcular la ecuación continua de una recta.
8. Distinguir y calcular la ecuación general de una recta.
9. Determinar la posición de dos rectas en el plano.
CONTENIDOS
Conceptos

Vector: dirección, módulo, sentido y coordenadas.

Vectores equivalentes.

Operaciones con vectores.

Ecuación vectorial de una recta.

Ecuaciones paramétricas de una recta.

Ecuación continua. Rectas paralelas a los ejes de coordenadas.

Ecuación explícita. Ecuación punto-pendiente.

Ecuación general.

Posiciones de dos rectas en el plano.
276

Determinación de las características de un vector en el plano: módulo, dirección y
sentido, así como de sus componentes, y representación gráfica del mismo.

Cálculo, de manera gráfica y analítica, de sumas y restas de vectores, del producto
de un vector por un número y de la traslación de un punto por un vector.

Obtención de la ecuación vectorial de una recta, dados dos puntos.

Cálculo de las ecuaciones paramétricas de una recta, dados dos puntos.

Determinación de la ecuación continua de una recta.

Cálculo de la ecuación explícita y de la ecuación punto-pendiente de una recta.

Determinación de las posiciones de dos rectas en el plano.
Actitudes

Reconocimiento de la utilidad de la Geometría analítica para resolver problemas
reales.

Geometría analítica.

Representar relaciones geométricas y vectoriales, proponiendo, utilizando y

Utilizar instrumentos, técnicas y fórmulas, individual y grupalmente, para
determinar posiciones relativas de rectas y circunferencias.

origen y extremo.
2. Calcular el módulo de un vector, dadas sus coordenadas.
3. Hallar, gráfica y analíticamente, sumas y restas de vectores, y el producto de un
5. Obtener las ecuaciones paramétricas de una recta, a partir de la ecuación
vectorial.
6. Calcular las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por dos puntos.
7. Determinar la ecuación continua de una recta, a partir de la ecuación vectorial.
8. Calcular la ecuación explícita de una recta, a partir de la ecuación continua.
9. Obtener la ecuación punto-pendiente de una recta, a partir de la ecuación
explícita.
10. Calcular la ecuación general de una recta.
11. Distinguir si un punto pertenece o no a una recta.
277
3ª EVALUACIÓN
Unidad 10: Funciones
OBJETIVOS
1. Comprender el concepto de función.
2. Expresar una función de diferentes formas: tablas, gráficas…
3. Obtener una tabla a partir de la gráfica de una función, y viceversa.
4. Hallar el dominio y el recorrido de una función, dada su gráfica o su expresión
algebraica.
5. Representar y trabajar con funciones definidas a trozos.
6. Identificar si una función es continua o no, y reconocer los puntos de
discontinuidad.
7. Determinar el crecimiento o el decrecimiento de una función.
8. Obtener los máximos y mínimos de una función.
9. Distinguir las simetrías de una función.
10. Reconocer si una función es periódica, e identificar el período.
CONTENIDOS
Conceptos

Función: variable dependiente e independiente, dominio y recorrido.

Continuidad de una función.

Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.

Puntos de corte con los ejes. Simetrías. Periodicidad.

Funciones definidas a trozos.

Obtención del dominio y el recorrido de una función.

Cálculo de imágenes en una función.

Determinación de los puntos de corte de una función con los ejes.

Estudio de la continuidad de una función en un punto.

Análisis del crecimiento de una función, y obtención de sus máximos y mínimos.

Determinación de las simetrías de una función respecto del eje Yy respecto del
origen, y reconocimiento de si una función es par o impar.

Análisis de la periodicidad de una función.

Representación y análisis de funciones definidas a trozos.
Actitudes

Interés y cuidado a la hora de representar funciones.

Reconocimiento de la utilidad de las funciones para representar y expresar
278

Identificar e interpretar relaciones funcionales expresadas en distintas formas
(verbal, tabular, gráfica y algebraica), realizando transformaciones entre estas
formas de representación.

Utilizar el lenguaje algebraico para expresar situaciones problemáticas, y
relacionar esta forma expresiva con otras: tabular, gráfica, descriptiva...

diversos tipos,como base del aprendizaje matemático y de la formación de la
autoestima.
algebraica.
2. Obtener imágenes en una función.
3. Calcular los puntos de corte de una función con los ejes de coordenadas.
4. Determinar si una función es continua o discontinua en un punto.
5. Determinar el crecimiento y el decrecimiento de una función, y obtener sus
máximos y mínimos.
6. Distinguir las simetrías de una función respecto del eje Yy del origen, e identificar
si una función es par o impar.
7. Reconocer si una función es periódica.
8. Representar funciones definidas a trozos.
Unidad 11: Funciones polinómicas, racionales yexponenciales
OBJETIVOS
1. Distinguir las funciones polinómicas por su grado: de primer grado, rectas, y de
segundo grado, parábolas.
2. Obtener gráficas de funciones de segundo grado mediante traslaciones de la gráfica
de la función y = ax2.
3. Representar gráficamente y analizar cualquier tipo de parábola a partir del estudio
4. Obtener la gráfica de una función de proporcionalidad inversa a partir de una tabla
o de su expresión algebraica.
5. Reconocer y representar hipérbolas derivadas de funciones de proporcionalidad
inversa.
6. Interpretar y representar la función exponencial del tipo y= ax, con a>0 y a≠ 1.
7. Interpretar y representar la función exponencial del tipo y= ak·x, con k ≠ 0.
8. Aplicar la fórmula del interés compuesto en la resolución de problemas.
279
CONTENIDOS
Conceptos

Funciones polinómicas de primer grado: rectas.

Funciones polinómicas de segundo grado: parábolas.

Funciones de proporcionalidad inversa: hipérbolas.

Funciones exponenciales del tipo y= ax.

Representación gráfica de una función polinómica de segundo grado,
y = ax2 + bx + c, a partir del estudio de sus características, o mediante traslaciones

Reconocimiento de las funciones de proporcionalidad inversa, así como de sus
propiedades.

Resolución de problemas donde aparezcan funciones de proporcionalidad inversa.

Representación gráfica de una función racional a partir de transformaciones de la
𝑘
gráfica de la función 𝑦 = 𝑥 con k ≠ 0.

Interpretación y representación de la función exponencial.

Aplicación de la fórmula del interés compuesto en la resolución de problemas de
la vida cotidiana.
Actitudes

Gusto por la presentación cuidadosa a la hora de representar funciones.

Valoración de la utilidad de los distintos tipos de funciones para representar y
expresar situaciones de la vida cotidiana.

Representar y analizar relaciones funcionales sencillas (función lineal, parábola,
función racional y función exponencial) utilizando las técnicas de lápiz y papel, o
la calculadora u ordenador.


crítica de los resultados
1. Representar gráficamente una función de segundo grado, y = ax2 + bx + c, a partir
del estudio de sus características, o mediante traslaciones de la función y = ax2.
2. Estudiar y representar gráficamente funciones de proporcionalidad inversa.
3. Resolver problemas donde aparezcan funciones de proporcionalidad inversa.
4. Reconocer las funciones racionales y determinar su dominio.
5. Representar una función racional a partir de traslaciones y dilataciones de la
gráfica de la función
280
6. 𝑦 =
𝑘
𝑥
con k ≠ 0.
7. Determinar, analítica y gráficamente, la función exponencial.
8. Identificar e interpretar las gráficas de las funciones exponenciales.
9. Aplicar las propiedades de las funciones exponenciales en la resolución de
problemas.
10. Aplicar la fórmula del interés compuesto.
Unidad 12: Estadística
OBJETIVOS
1. Distinguir entre variables estadísticas cualitativas y cuantitativas.
2. Identificar variables estadísticas discretas y continuas.
3. Construir una tabla de frecuencias.
4. Diferenciar y representar gráficos estadísticos.
5. Calcular las medidas de centralización: media, mediana y moda.
6. Hallar las medidas de posición: cuartiles y percentiles.
7. Obtener las medidas de dispersión: rango, desviación media, varianza, desviación
típica y coeficiente de variación.
8. Analizar conjuntamente las medidas estadísticas.
9. Utilizar la calculadora científica para obtener medidas de centralización y
dispersión.
CONTENIDOS
Conceptos




Medidas de centralización: media, mediana y moda.

Medidas de posición: cuartiles y percentiles.

Medidas de dispersión: rango, desviación media, varianza, desviación típica y
coeficiente de variación.

Clasificación de variables estadísticas.

Cálculo de frecuencias absolutas y relativas, simples y acumuladas.

Interpretación de gráficos estadísticos: diagrama de barras, histograma, polígono
de frecuencias y diagrama de sectores.
281

Cálculo de las medidas de centralización: media, mediana y moda.

Determinación de las medidas de posición: cuartiles y percentiles.

Obtención de las medidas de dispersión: rango, varianza, desviación típica y
coeficiente de variación.
Actitudes

Valoración de la utilidad de la Estadística para el estudio de distintas variables
relacionadas con actividades cotidianas.

Sentido crítico al interpretar gráficos estadísticos.

Interés y cuidado a la hora de realizar cálculos estadísticos.

Interpretar y presentar la información estadística mediante tablas, gráficos y
medidas estadísticas, así como calcular las medidas estadísticas básicas, utilizando
los medios más adecuados.

Reconocer y calcular el resultado de las operaciones numéricas básicas, decidiendo
si es necesario dar una respuesta exacta o aproximada, y aplicando el modo de
cálculo pertinente.

1. Diferenciar entre variables estadísticas continuas y discretas.
2. Interpretar y construir una tabla de frecuencias.
3. Representar datos mediante gráficos.
4. Calcular las medidas de centralización de un conjunto de datos.
5. Obtener las medidas de posición de un conjunto de datos.
6. Calcular las medidas de dispersión de un conjunto de datos.
7. Utilizar la calculadora científica para obtener medidas estadísticas.
Unidad 13: Combinatoria
OBJETIVOS
1. Utilizar el método del producto y el diagrama de árbol como métodos de conteo.
2. Conocer y aplicar las propiedades de los números combinatorios.
3. Utilizar las propiedades de los números combinatorios para obtener la potencia de
un binomio (binomio de Newton).
4. Distinguir entre variaciones sin repetición y con repetición.
5. Reconocer las permutaciones como caso particular de las variaciones, y calcular su
valor.
282
6. Comprender el concepto de combinaciones y distinguirlas de las variaciones y las
permutaciones.
7. Calcular el número de grupos que se forman mediante variaciones, permutaciones
y combinaciones.
8. Aplicar la combinatoria en la resolución de problemas de la vida cotidiana.
CONTENIDOS
Conceptos

Métodos de conteo: método del producto y diagramas de árbol.

Números combinatorios. Propiedades.

Binomio de Newton.

Variaciones sin y con repetición.

Permutaciones.

Combinaciones.

Utilización del método del producto y del diagrama de árbol en la resolución de
problemas de la vida real.

Distinción entre variaciones sin y con repetición.

Obtención del número de grupos que se forman en el caso de variaciones sin y con
repetición.

Reconocimiento de las permutaciones como un caso particular de las variaciones,
y cálculo de su valor.

Utilización de las combinaciones en diferentes contextos, y determinación de los
distintos grupos que se forman.

Uso de los números combinatorios para obtener la potencia de un binomio.

Aplicación de la combinatoria en la resolución de problemas de la vida cotidiana.
Actitudes

Valoración de la utilidad de la combinatoria para resolver problemas reales.

Atención y cuidado al calcular los distintos grupos que se forman mediante
combinatoria.


manipulando con destreza los distintos métodos de conteo.

283
1. Utilizar el método del producto y el diagrama de árbol en situaciones de la vida
cotidiana.
2. Distinguir entre variaciones sin repetición y variaciones con repetición.
3. Calcular el número de grupos que se forman en el caso de variaciones sin y con
repetición.
valor.
5. Comprender el concepto de combinaciones y distinguirlas de las variaciones y
permutaciones.
6. Aplicar las propiedades de los números combinatorios para obtener la potencia de
un binomio.
7. Utilizar la combinatoria en la resolución de problemas de la vida cotidiana.
Unidad 14: Probabilidad
OBJETIVOS
1. Distinguir entre experimentos aleatorios y deterministas.
2. Reconocer los sucesos de un experimento aleatorio, y realizar operaciones con
ellos.
3. Distinguir cuándo dos sucesos son compatibles o incompatibles.
4. Utilizar la relación entre frecuencia relativa y probabilidad.
5. Calcular la probabilidad de sucesos equiprobables mediante la regla de Laplace.
6. Hallar probabilidades de sucesos compatibles e incompatibles.
7. Obtener probabilidades en contextos de no equiprobabilidad.
8. Distinguir entre experimento aleatorio simple y compuesto.
9. Resolver problemas de probabilidad condicionada.
10. Aplicar la regla del producto.
11. Utilizar la probabilidad en situaciones de la vida cotidiana.
CONTENIDOS
Conceptos

Experimentos aleatorios. Sucesos. Operaciones con sucesos.

Frecuencia y probabilidad. Regla de Laplace.

Probabilidad de sucesos compatibles e incompatibles.

Experimentos compuestos.

Probabilidad condicionada.

Regla del producto.

Probabilidad de sucesos dependientes e independientes.
284

Análisis de la aleatoriedad o el determinismo de un experimento.

Realización de operaciones con los sucesos de un experimento aleatorio.

Diferenciación entre sucesos compatibles e incompatibles.

Utilización de la relación entre frecuencia relativa y probabilidad.

Cálculo de la probabilidad de sucesos equiprobables mediante la regla de Laplace.

Obtención de probabilidades de sucesos compatibles e incompatibles.

Cálculo de probabilidades en contextos de no equiprobabilidad.

Distinción entre experimentos aleatorios simples y compuestos.

Resolución de problemas de probabilidad condicionada.

Cálculo de probabilidades de sucesos independientes y dependientes.

Aplicación de la regla del producto en problemas de probabilidad.
Actitudes

Análisis crítico de las informaciones referidas a contextos de azar.

Interés y cuidado al calcular probabilidades.

Identificar situaciones y fenómenos asociados a la probabilidad y el azar,
resolviendo problemas asociados a estos conceptos.

Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas, decidiendo si es
necesario dar una respuesta exacta o aproximada, y aplicando el modo de cálculo
más adecuado.

diversos tipos, como base del aprendizaje matemático y de la formación de la
autoestima.
1. Distinguir entre experimentos aleatorios y experimentos deterministas.
2. Reconocer los sucesos de un experimento aleatorio, y realizar operaciones entre
ellos.
5. Distinguir cuándo dos sucesos son compatibles o incompatibles, y hallar sus
probabilidades.
7. Distinguir entre experimentos aleatorios simples y compuestos.
8. Resolver problemas en contextos de probabilidad condicionada.
9. Calcular probabilidades de sucesos independientes y dependientes.
10. Aplicar la regla del producto en problemas de probabilidad.
285
CONTENIDOS MÍNIMOS MATEMÁTICAS 4º ESO
(OPCIÓN A)
• Planificación y utilización de procesos de razonamientos y estrategias de R.P, tales
como la emisión y justificación de hipótesis o la generalización.
• Expresión verbal de argumentaciones, relaciones cuantitativas y espaciales y
procedimientos de resolución con la precisión y rigor adecuados a la situación.
• Interpretación de mensajes que contengan argumentaciones o informaciones de
carácter cuantitativo sobre elementos o relaciones espaciales.
Bloque 2. Números.
• Operaciones con números enteros, fracciones y decimales.
• Decimales infinitos no periódicos: números irracionales.
• Expresión decimal de los números irracionales.
• Iniciación al número real. Ordenación y representación de los números reales. La
recta real. Operaciones con números reales.
• Intervalos. Significado y diferentes formas de expresar un intervalo.
• Potencias de exponente fraccionario. Operaciones con radicales numéricos sencillos.
• Proporcionalidad directa e inversa: resolución de problemas.
• Los porcentajes. Aumentos y disminuciones porcentuales. Porcentajes encadenados.
Interés simple y compuesto.
Bloque 3. Álgebra.
• Valor numérico de polinomios y otras expresiones algebraicas.
• Suma, resta y producto de polinomios.
• Identidades notables: estudio particular de las expresiones (a + b)2,(a − b)2y(aba)
(a−b).Factorización de polinomios.
• Resolución algebraica y gráfica de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
• Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
• Resolución de problemas cotidianos y de otros campos de conocimiento mediante
286
• Figuras semejantes. Razón de semejanza. Teorema de Tales. Aplicación de la
semejanza para la obtención indirecta de medidas.
• Utilización de otros conocimientos geométricos en la resolución de problemas del
mundo físico: medida y cálculo de longitudes, áreas, volúmenes, etc.
• Iniciación a la geometría analítica del plano: coordenadas de un punto; distancia
entre puntos. La ecuación de la recta. Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones
lineales.
• Funciones. Estudio gráfico de una función.
• Características de las gráficas: crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos,
continuidad, simetría y periodicidad.
• Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o
expresión algebraica. Análisis de resultados utilizando el lenguaje matemático
adecuado.
• Estudio de funciones polinómicas de primer y segundo grado y de la función
exponencial y de proporcionalidad inversa sencillas.
• La tasa de variación como medida de la variación de una función en un intervalo.
• Estadística descriptiva unidimensional. Identificación de las fases y tareas de un
estudio estadístico a partir de situaciones concretas cercanas al alumno.
• Variable discreta: elaboración e interpretación de tablas de frecuencias y de gráficos
estadísticos (gráficos de barras, de sectores, diagramas de caja y polígonos de
frecuencias).
• Variable continua: intervalos y marcas de clase. Elaboración e interpretación de
histogramas.
• Cálculo e interpretación de los parámetros de centralización y dispersión para
realizar comparaciones y valoraciones. El caso de datos agrupados.
• Azar y probabilidad. Idea de experimento aleatorio y suceso. Frecuencia y
probabilidad de un suceso.
• Cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace y otras técnicas de recuento.
• Probabilidad simple y compuesta. Sucesos dependientes e independientes.
• Utilización de tablas de contingencia y diagramas de árbol para la asignación de
probabilidades.
287
PROGRAMACIÓN
Matemáticas
4º ESO
OPCIÓN B
Libro de texto:
MATEMÁTICAS 4 ESO Opción B
Proyecto
288
1ª EVALUACIÓN
Unidad 1: Números reales
OBJETIVOS
1. Expresar una fracción en forma decimal.
2. Obtener la fracción generatriz de un número decimal.
3. Utilizar la relación entre los números racionales y los números decimales
periódicos.
4. Representar números racionales en la recta numérica.
5. Reconocer los números irracionales como números decimales ilimitados no
periódicos.
6. Representar números reales e intervalos en la recta real.
7. Expresar intervalos de números reales.
8. Obtener aproximaciones decimales por defecto y por exceso de un número
irracional.
9. Aproximar números decimales mediante redondeo y truncamiento hasta un orden
dado.
10. Hallar el error absoluto y el error relativo de una aproximación.
11. Calcular la cota de error de una aproximación.
12. Obtener aproximaciones utilizando la calculadora.
13. Expresar números en notación científica y operar con ellos.
CONTENIDOS
Conceptos

Números racionales. Números irracionales.

Números reales. Orden en ℝ.

Redondeo y truncamiento. Error absoluto y relativo.

Determinación de los conjuntos numéricos a los que pertenece un número.

Cálculo de la expresión decimal de una fracción.

Obtención de la fracción generatriz de un número decimal.

Reconocimiento y construcción de números irracionales.

Ordenación y representación de números reales en la recta real.

Representación y expresión de intervalos de números reales.

Redondeo y truncamiento de números reales, determinando el error absoluto y
relativo que se comete, así como la cota de error.

Obtención de aproximaciones de un número irracional.

Utilización de la calculadora para obtener aproximaciones.
289
Actitudes

Valoración de la utilidad de los números reales en distintos contextos.

Confianza en la propia capacidad de resolución de problemas numéricos.

caso.


planificando la resolución, desarrollándola ordenadamente y mostrando confianza
en las propias capacidades.
1. Distinguir los conjuntos numéricos, y determinar los conjuntos a los que pertenece
un número.
2. Calcular la expresión decimal de un número racional, señalando de qué tipo es.
3. Obtener la fracción generatriz de un número decimal.
4. Reconocer y construir números irracionales.
5. Ordenar y representar en la recta cualquier conjunto de números reales.
6. Representar y expresar intervalos de números reales.
7. Redondear y truncar cualquier número real, determinando el error absoluto y
relativo que se comete, así como la cota de error.
8. Obtener aproximaciones de un número irracional.
9. Utilizar la calculadora para obtener aproximaciones.
Unidad 2: Potencias y radicales
OBJETIVOS
1. Operar con potencias de base real y exponente natural.
2. Determinar el signo de una potencia a partir de su base y su exponente.
3. Calcular potencias de exponente entero.
4. Operar con potencias de base real y exponente entero.
5. Expresar cantidades en notación científica.
6. Operar con números expresados en notación científica.
290
7. Reconocer las partes de un radical y su significado.
8. Obtener radicales equivalentes a uno dado.
10. Operar con radicales.
11. Racionalizar expresiones con raíces en el denominador.
12. Calcular e interpretar el valor numérico de un radical.
CONTENIDOS
Conceptos

Potencias de base real y exponente entero.

Radicales. Radicales equivalentes.

Racionalización.

Realización de cálculos con potencias de base real y exponente natural.

Determinación del signo de una potencia a partir de su base y su exponente.

Obtención del valor de una potencia de exponente entero.

Realización de cálculos con potencias de base real y exponente entero.

Expresión de números en notación científica

Realización de operaciones con números en notación científica.

Reconocimiento de las partes de un radical, y obtención de radicales equivalentes
a uno dado.

Expresión de un radical como potencia de exponente fraccionario, y viceversa.

Realización de operaciones con radicales.

Racionalización de expresiones con raíces en el denominador.

Cálculo e interpretación del valor numérico de un radical.
Actitudes

Aprecio de la utilidad de las potencias y los radicales.

Valoración de la importancia de los números racionales en las operaciones con
radicales.

caso.
291


Aplicar el razonamiento deductivo e inductivo en contextos numéricos.
1. Operar con potencias de base real y exponente natural.
2. Determinar el signo de una potencia a partir de su base y su exponente.
3. Desarrollar las igualdades notables.
4. Calcular potencias de exponente entero.
5. Operar con potencias de base real y exponente entero.
6. Escribir y operar con números en notación científica.
7. Reconocer las partes de un radical y obtener radicales equivalentes a uno dado.
9. Operar con radicales.
10. Racionalizar expresiones con raíces en el denominador.
11. Calcular el valor numérico de un radical.
Unidad 3: Polinomios y fraccionesalgebraicas
OBJETIVOS
1. Realizar sumas y restas de polinomios.
2. Efectuar multiplicaciones y divisiones de polinomios.
(x− a).
4. Comprender el concepto de raíz de un polinomio.
5. Utilizar el teorema del resto en distintos contextos: hallar el valor numérico de un
polinomio y encontrar sus raíces enteras.
independiente.
7. Calcular potencias de polinomios.
8. Hallar la potencia de un binomio, utilizando el triángulo de Tartaglia.
10. Identificar y simplificar fracciones algebraicas.
11. Realizar operaciones con fracciones algebraicas.
292
CONTENIDOS
Conceptos

Operaciones con polinomios.

Regla de Ruffini.

Teorema del resto.

Raíz de un polinomio.


Fracción algebraica.

Realización de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de polinomios.

Aplicación de la regla de Ruffini para dividir un polinomio entre el binomio
(x− a).

Utilización del teorema del resto para resolver problemas.

Obtención de las raíces enteras de un polinomio a partir de los divisores del término
independiente.

Interpretación del concepto de raíz de un polinomio.

Cálculo de las raíces enteras de un polinomio.

Factorización de un polinomio.

Simplificación de fracciones algebraicas.
Actitudes

Valoración del lenguaje algebraico como un método eficaz para resolver problemas

Perseverancia y flexibilidad al enfrentarse a problemas, valorando las opiniones
aportadas por los demás.

Operar con fracciones algebraicas.

Representar relaciones y patrones numéricos mediante expresiones algebraicas
sencillas.

y relacionar este lenguaje con otros: tabular, gráfico, descriptivo...

1. Realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de polinomios.
(x− a).
293
3. Utilizar el teorema del resto para averiguar si un polinomio es divisible por el
binomio (x− a).
4. Aplicar el teorema del resto para encontrar el valor numérico y las raíces de un
polinomio.
independiente.
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones
OBJETIVOS
2. Reconocer las ecuaciones de segundo grado y clasificarlas.
3. Resolver ecuaciones de segundo grado completando cuadrados y aplicando la
fórmula general.
4. Resolver ecuaciones bicuadradas, con fracciones algebraicas, con radicales y
ecuaciones factorizadas.
5. Reconocer las inecuaciones de primer grado con una incógnita, y sus elementos,
resolverlas y representar su conjunto solución.
6. Identificar las inecuaciones de primer grado con dos incógnitas, y obtener su
conjunto solución.
7. Aplicar las ecuaciones e inecuaciones en la resolución de problemas.
CONTENIDOS
Conceptos


Ecuaciones con radicales, factorizadas y con fracciones algebraicas.

Inecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas.

Reconocimiento y clasificación de las ecuaciones de segundo grado.

Resolución de ecuaciones bicuadradas, con radicales, factorizadas y con fracciones
algebraicas.

Resolución de inecuaciones de primer grado, y representación del conjunto
solución.

Identificación de las inecuaciones de primer grado con dos incógnitas, y obtención
de su solución.

Resolución de problemas reales con ecuaciones e inecuaciones.
294
Actitudes

Valoración de los sistemas de ecuaciones como un instrumento útil para
representar, comunicar y resolver problemas.

Interés y cuidado al realizar cálculos para resolver las ecuaciones de segundo grado
e inecuaciones.

Usar el método de resolución de problemas mediante ecuaciones e inecuaciones, y
aplicar los algoritmos de resolución de ecuaciones de primer y segundo grado y de
inecuaciones.


alfanuméricos.
1. Reconocer las ecuaciones de primer y segundo grado y clasificarlas.
2. Determinar el número de soluciones de las ecuaciones de segundo grado por su
discriminante.
3. Resolver ecuaciones bicuadradas.
4. Resolver ecuaciones con radicales, factorizadas y con fracciones algebraicas.
5. Resolver inecuaciones de primer grado, y representar el conjunto solución.
6. Resolver problemas mediante ecuaciones de segundo grado e inecuaciones de
primer grado.
7. Reconocer inecuaciones de primer grado con dos incógnitas, y obtener soluciones
particulares de ellas y su conjunto solución.
8. Plantear y resolver problemas reales con ecuaciones e inecuaciones.
Unidad 5: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
OBJETIVOS
1. Determinar las soluciones de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
gráficamente y mediante los métodos de sustitución, igualación y reducción.
2. Clasificar un sistema de ecuaciones lineales según su número de soluciones.
3. Resolver sistemas de ecuaciones no lineales.
4. Resolver sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita, y representar
el conjunto solución.
5. Aplicar los sistemas de ecuaciones e inecuaciones en la resolución de problemas.
295
CONTENIDOS
Conceptos

Sistemas de ecuaciones. Clasificación. Métodos de resolución.

Sistemas de ecuaciones no lineales.

Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

Resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante los métodos
de sustitución, igualación y reducción.

Determinación gráfica de las soluciones de un sistema.

Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales.

Resolución de sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita, y
representación del conjunto solución.

Resolución de problemas reales con sistemas de ecuaciones e inecuaciones.
Actitudes

Valoración de la importancia de los sistemas de ecuaciones para representar,
comunicar y resolver problemas.

Interés y cuidado al realizar los cálculos para resolver las ecuaciones de segundo
grado y las inecuaciones.

Usar el método analítico de resolución de problemas mediante sistemas de
ecuaciones e inecuaciones, y aplicar con destreza los algoritmos de resolución.


1. Resolver sistemas de ecuaciones lineales.
2. Clasificar, según su número de soluciones, sistemas de ecuaciones lineales.
3. Resolver sistemas de ecuaciones no lineales.
4. Resolver sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita, y representar
el conjunto solución.
5. Plantear y resolver problemas reales con sistemas de ecuaciones e inecuaciones.
296
2ª EVALUACIÓN
Unidad 6: Semejanza
OBJETIVOS
1. Reconocer cuándo dos figuras son semejantes.
2. Encontrar la figura transformada de una figura dada mediante una semejanza.
3. Construir figuras semejantes.
4. Formular y aplicar el teorema de Tales.
5. Reconocer y dibujar triángulos semejantes.
6. Conocer los criterios de semejanza de triángulos.
7. Aplicar criterios para determinar la semejanza en triángulos rectángulos.
8. Resolver problemas de semejanza de figuras planas.
9. Aplicar las técnicas de semejanza en los problemas de cálculo de distancias entre
puntos inaccesibles.
10. Estudiar el comportamiento de la razón de semejanza entre las superficies o los
volúmenes de figuras semejantes.
CONTENIDOS
Conceptos

Semejanza y razón de semejanza.

Teorema de Tales.


Escalas.

Cálculo de la razón de semejanza de dos figuras, y obtención de figuras semejantes
a una figura dada.

Aplicación del teorema de Tales en distintos contextos.

Resolución de problemas de semejanza de triángulos aplicando los criterios de
semejanza.

Aplicación de la razón de los perímetros y las áreas de dos figuras semejantes en
la resolución de problemas.

Utilización de escalas.

Cálculo de áreas y volúmenes de figuras semejantes mediante la razón de
semejanza.
Actitudes

Valoración de las herramientas que proporciona el estudio de figuras semejantes
para la resolución de numerosos problemas de la vida real.

Reconocimiento de la utilidad de las relaciones métricas y las cualidades estéticas
de los movimientos en la realidad.
297

Identificar, analizar, describir y construir, con precisión y destreza,
transformaciones geométricas de figuras planas presentes en el medio social y
natural, y utilizar las propiedades geométricas asociadas a las mismas en las
situaciones requeridas.

Identificar relaciones de proporcionalidad geométrica, y resolver problemas
mediante estas relaciones.

1. Reconocer figuras semejantes y calcular su razón de semejanza.
2. Obtener figuras semejantes a una figura dada.
3. Aplicar el teorema de Tales en distintos contextos.
4. Resolver problemas de semejanza de triángulos aplicando los criterios de
semejanza.
5. Conocer las relaciones que se obtienen de los criterios de semejanza en triángulos
rectángulos.
6. Utilizar los conocimientos de semejanza en el cálculo de distancias entre puntos
inaccesibles.
7. Manejar el concepto de escala entre figuras semejantes.
8. Calcular la razón de semejanza de dos figuras.
9. Relacionar la razón de semejanza de figuras semejantes con la razón de sus
perímetros, áreas o volúmenes.
Unidad 7: Trigonometría
OBJETIVOS

Reconocer y determinar las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Calcular las razones de los ángulos de 30°, 45° y 60°.

Determinar el signo de las razones trigonométricas de un ángulo en función del
cuadrante en el que se encuentre.

Utilizar las relaciones fundamentales de la trigonometría.

Hallar las razones trigonométricas de un ángulo dado a partir de una de ellas.

Reconocer y utilizar las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos

Resolver un triángulo rectángulo conociendo dos lados o un lado y un ángulo agudo.

Utilizar la calculadora para resolver problemas trigonométricos.

Aplicar la trigonometría en la resolución de problemas reales.
298
CONTENIDOS
Conceptos

Razones trigonométricas de un ángulo.

Relaciones fundamentales de la trigonometría.


Distinción de las razones trigonométricas de un ángulo agudo: seno, coseno y
tangente, y cálculo de las razones a partir de los datos en distintos contextos.

Utilización de la calculadora para hallar el seno, el coseno o la tangente de un
ángulo.

Reconocimiento de la utilidad de la circunferencia goniométrica, y determinación
del signo de las razones trigonométricas de un ángulo en función del cuadrante en
el que se encuentre.

Conocimiento de las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos

Resolución de triángulos rectángulos, conocidos dos de sus lados, o un lado y un
ángulo agudo.

Cálculo del área de un triángulo, conocidos dos de sus lados y la amplitud del ángulo
comprendido entre ellos.

Utilización de la trigonometría para la resolución de problemas geométricos reales.
Actitudes

Reconocimiento de la utilidad de la trigonometría para resolver problemas reales.

trigonometría.

Utilizar instrumentos, técnicas y fórmulas para calcular las razones trigonométricas
de cualquier ángulo.

Resolver problemas, individualmente y en grupo, que requieran el uso de las


Reconocer y determinar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

Obtener razones trigonométricas con calculadora.

Determinar el signo de las razones de un ángulo en función del cuadrante en el que
se halle.
299

Utilizar la relación fundamental de la trigonometría.

Hallar todas las razones trigonométricas de un ángulo a partir de una de ellas.

Reconocer y utilizar las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos

Resolver un triángulo rectángulo, conociendo dos lados o un lado y un ángulo agudo.

Aplicar la trigonometría en la resolución de problemas geométricos en la vida
cotidiana.
Unidad 8: Vectores y rectas
OBJETIVOS
origen y extremo.
2. Hallar el módulo de un vector, dadas sus coordenadas.
3. Calcular, gráfica y analíticamente, sumas y restas de vectores, y el producto de un
4. Obtener la distancia entre dos puntos del plano, y calcular el punto medio de un
segmento.
6. Conocer y determinar las ecuaciones paramétricas de una recta.
7. Identificar y calcular la ecuación continua de una recta.
8. Distinguir y calcular la ecuación general de una recta.
CONTENIDOS
Conceptos

Vector: dirección, módulo, sentido y coordenadas.

Vectores equivalentes.

Operaciones con vectores.

Ecuación vectorial de una recta.

Ecuaciones paramétricas de una recta.

Ecuación continua. Rectas paralelas a los ejes de coordenadas.

Ecuación explícita. Ecuación punto-pendiente.

Ecuación general.

Posiciones de dos rectas en el plano.

Determinación de las características de un vector en el plano: módulo, dirección y
sentido, así como de sus componentes, y representación gráfica del mismo.
300

Cálculo, de manera gráfica y analítica, de sumas y restas de vectores, del producto
de un vector por un número y de la traslación de un punto por un vector.

Obtención de la ecuación vectorial de una recta, dados dos puntos.

Cálculo de las ecuaciones paramétricas de una recta, dados dos puntos.

Determinación de la ecuación continua de una recta.

Cálculo de la ecuación explícita y de la ecuación punto-pendiente de una recta.

Determinación de las posiciones de dos rectas en el plano.
Actitudes

Reconocimiento de la utilidad de la Geometría analítica para resolver problemas
reales.

Geometría analítica.

Representar relaciones geométricas y vectoriales, proponiendo, utilizando y

Utilizar instrumentos, técnicas y fórmulas, individual y grupalmente, para
determinar posiciones relativas de rectas y circunferencias.

origen y extremo.
2. Calcular el módulo de un vector, dadas sus coordenadas.
3. Hallar, gráfica y analíticamente, sumas y restas de vectores, y el producto de un
5. Obtener las ecuaciones paramétricas de una recta, a partir de la ecuación
vectorial.
6. Calcular las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por dos puntos.
7. Determinar la ecuación continua de una recta, a partir de la ecuación vectorial.
8. Calcular la ecuación explícita de una recta, a partir de la ecuación continua.
9. Obtener la ecuación punto-pendiente de una recta, a partir de la ecuación
explícita.
10. Calcular la ecuación general de una recta.
11. Distinguir si un punto pertenece o no a una recta.
301
Unidad 9: Funciones
OBJETIVOS

Comprender el concepto de función.

Expresar una función de diferentes formas: tablas, gráficas…

Obtener una tabla a partir de la gráfica de una función, y viceversa.

Hallar el dominio y el recorrido de una función, dada su gráfica o su expresión
algebraica.

Representar y trabajar con funciones definidas a trozos.

Identificar si una función es continua o no, y reconocer los puntos de
discontinuidad.

Determinar el crecimiento o el decrecimiento de una función.

Obtener los máximos y mínimos de una función.

Distinguir las simetrías de una función.

Reconocer si una función es periódica, e identificar el período.
CONTENIDOS
Conceptos

Función: variable dependiente e independiente, dominio y recorrido.

Continuidad de una función.


Puntos de corte con los ejes. Simetrías. Periodicidad.

Funciones definidas a trozos.

Obtención del dominio y el recorrido de una función.

Cálculo de imágenes en una función.

Determinación de los puntos de corte de una función con los ejes.

Estudio de la continuidad de una función en un punto.

Análisis del crecimiento de una función, y obtención de sus máximos y mínimos.

Determinación de las simetrías de una función respecto del eje Yy respecto del
origen, y reconocimiento de si una función es par o impar.

Análisis de la periodicidad de una función.

Representación y análisis de funciones definidas a trozos.
Actitudes

Interés y cuidado a la hora de representar funciones.

Reconocimiento de la utilidad de las funciones para representar y expresar
302

Identificar e interpretar relaciones funcionales expresadas en distintas formas
(verbal, tabular, gráfica y algebraica), realizando transformaciones entre estas
formas de representación.


autoestima.
algebraica.
2. Obtener imágenes en una función.
3. Calcular los puntos de corte de una función con los ejes de coordenadas.
4. Determinar si una función es continua o discontinua en un punto.
5. Determinar el crecimiento y el decrecimiento de una función, y obtener sus
máximos y mínimos.
6. Distinguir las simetrías de una función respecto del eje Yy del origen, e identificar
si una función es par o impar.
7. Reconocer si una función es periódica.
8. Representar funciones definidas a trozos.
3ª EVALUACIÓN
Unidad 10: Funciones polinómicas y racionales
OBJETIVOS

Distinguir las funciones polinómicas por su grado: de primer grado, cuyas gráficas
son rectas, y de segundo grado, cuyas gráficas son parábolas.

Hallar el dominio y el recorrido de una función de segundo grado.

Identificar los elementos principales de una parábola: vértice y eje de simetría.

Calcular los puntos de corte de una función de segundo grado con los ejes de
coordenadas.

Determinar el crecimiento y el decrecimiento de una función de segundo grado.

Obtener gráficas de funciones de segundo grado mediante traslaciones de la gráfica
de la función

y= ax2.
303

Representar gráficamente y analizar cualquier tipo de parábola a partir del estudio

Obtener la gráfica de una función de proporcionalidad inversa a partir de una tabla
o de su expresión algebraica.

Reconocer funciones de proporcionalidad inversa y trazar sus gráficas, que son
hipérbolas.
CONTENIDOS
Conceptos

Funciones polinómicas de primer grado: rectas.

Funciones polinómicas de segundo grado: parábolas.

Funciones de proporcionalidad inversa: hipérbolas.

Funciones racionales.

Obtención del dominio y el recorrido de una función de segundo grado.

Análisis del crecimiento y el decrecimiento de una función de segundo grado.

Representación gráfica de una función polinómica de segundo grado,
y= ax2+ bx+ c, a partir del estudio de sus características, o mediante traslaciones

Reconocimiento de las funciones de proporcionalidad inversa, así como de sus
propiedades.

Resolución de problemas donde aparezcan funciones de proporcionalidad inversa.

Representación gráfica de una función racional a partir de transformaciones de la
𝑘
gráfica de la función 𝑦 = 𝑥 .
Actitudes

Gusto por la presentación cuidadosa al representar funciones.

expresar situaciones de la realidad.

Representar y analizar relaciones funcionales sencillas (función lineal, parábola y
función racional), utilizando las técnicas de lápiz y papel, o la calculadora u
ordenador.


304
1. Obtener el dominio y el recorrido de una función de segundo grado.
2. Calcular los puntos de corte de una función cuadrática con los ejes.
3. Analizar el crecimiento y el decrecimiento de una función de segundo grado.
4. Representar gráficamente una función de segundo grado, y= ax2+ bx+ c, a partir
del estudio de sus características, o mediante traslaciones de y= ax2.
5. Estudiar y representar gráficamente funciones de proporcionalidad inversa.
6. Resolver problemas donde aparezcan funciones de proporcionalidad inversa.
7. Reconocer las funciones racionales y determinar su dominio.
8. Representar una función racional a partir de traslaciones de la gráfica de la función
𝑘
𝑦= .
𝑥
Unidad 11: Funciones exponenciales y logarítmicas
OBJETIVOS
1. Interpretar y representar una función exponencial del tipo y= ax, con a> 0 y a≠ 1.
2. Interpretar y representar una función exponencial del tipo y= ak·x, con k≠ 0.
3. Interpretar y representar una función exponencial y = ax + b como una traslación
vertical de y = ax.
4. Interpretar y representar una función exponencial y = ax+b como una traslación
horizontal de y = ax.
5. Interpretar y representar una función logarítmica.
6. Aplicar las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas en la
7. Aplicar la fórmula del interés compuesto en la resolución de problemas.
CONTENIDOS
Conceptos

Funciones exponenciales del tipo: y = ax, y = ax + b e y = ax+b.

Interés compuesto.

Logaritmos: propiedades.

Función logarítmica.
305

Interpretación y representación de una función exponencial.

Aplicación de la fórmula del interés compuesto en la resolución de problemas de
la vida cotidiana.

Cálculo del logaritmo de un número, y realización de operaciones con logaritmos
en distintas bases.

Interpretación y representación de una función logarítmica.

Utilización de las propiedades de los logaritmos para resolver problemas.

Realización de operaciones con funciones exponenciales y con logaritmos.

Identificación de la función logarítmica como función inversa de la función
exponencial.
Actitudes

Gusto por la presentación cuidadosa al representar funciones.

expresar situaciones de la realidad.

Representar y analizar relaciones funcionales sencillas (función exponencial y
logarítmica), utilizando las técnicas de lápiz y papel, o la calculadora u ordenador.

Utilizar el lenguaje algebraico para expresar situaciones problemáticas y relacionar
esta forma expresiva con otras: tabular, gráfica, descriptiva...

1. Determinar, analítica y gráficamente, la función exponencial.
2. Identificar e interpretar las gráficas de las funciones exponenciales.
3. Aplicar las propiedades de las funciones exponenciales en la resolución de
problemas.
4. Utilizar la fórmula del interés compuesto.
5. Calcular el logaritmo de un número y operar con logaritmos.
6. Interpretar y representar las gráficas de las funciones logarítmicas.
7. Aplicar las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas en la
306
Unidad 12: Combinatoria
OBJETIVOS
1. Utilizar el método del producto y el diagrama de árbol como métodos de conteo.
2. Conocer y aplicar las propiedades de los números combinatorios.
3. Utilizar las propiedades de los números combinatorios para obtener la potencia de
un binomio (binomio de Newton).
4. Distinguir entre variaciones sin repetición y con repetición.
valor.
6. Comprender el concepto de combinaciones y distinguirlas de las variaciones y las
permutaciones.
7. Calcular el número de grupos que se forman mediante variaciones, permutaciones
y combinaciones.
8. Aplicar la combinatoria en la resolución de problemas de la vida cotidiana.
CONTENIDOS
Conceptos

Métodos de conteo: método del producto y diagramas de árbol.

Números combinatorios. Propiedades.

Binomio de Newton.

Variaciones sin y con repetición.

Permutaciones.

Combinaciones.

Utilización del método del producto y del diagrama de árbol en la resolución de
problemas de la vida real.

Distinción entre variaciones sin y con repetición.

Obtención del número de grupos que se forman en el caso de variaciones sin y con
repetición.

Reconocimiento de las permutaciones como un caso particular de las variaciones,
y cálculo de su valor.

Utilización de las combinaciones en diferentes contextos, y determinación de los
distintos grupos que se forman.

Uso de los números combinatorios para obtener la potencia de un binomio.

Aplicación de la combinatoria en la resolución de problemas de la vida cotidiana.
307
Actitudes

Valoración de la utilidad de la combinatoria para resolver problemas reales.

Atención y cuidado al calcular los distintos grupos que se forman mediante
combinatoria.


manipulando con destreza los distintos métodos de conteo.

1. Utilizar el método del producto y el diagrama de árbol en situaciones de la vida
cotidiana.
2. Distinguir entre variaciones sin repetición y variaciones con repetición.
3. Calcular el número de grupos que se forman en el caso de variaciones sin y con
repetición.
valor.
5. Comprender el concepto de combinaciones y distinguirlas de las variaciones y
permutaciones.
6. Aplicar las propiedades de los números combinatorios para obtener la potencia de
un binomio.
7. Utilizar la combinatoria en la resolución de problemas de la vida cotidiana.
Unidad 13: Probabilidad
OBJETIVOS
1. Distinguir entre experimentos aleatorios y deterministas.
2. Reconocer los sucesos de un experimento aleatorio, y realizar operaciones con
ellos.
3. Distinguir cuándo dos sucesos son compatibles o incompatibles.
308
6. Hallar probabilidades de sucesos compatibles e incompatibles.
8. Distinguir entre experimento aleatorio simple y compuesto.
9. Resolver problemas de probabilidad condicionada.
10. Aplicar la regla del producto.
11. Utilizar la probabilidad en situaciones de la vida cotidiana.
CONTENIDOS
Conceptos

Experimentos aleatorios. Sucesos. Operaciones con sucesos.

Frecuencia y probabilidad. Regla de Laplace.

Probabilidad de sucesos compatibles e incompatibles.

Experimentos compuestos.

Probabilidad condicionada.

Regla del producto.

Probabilidad de sucesos dependientes e independientes.

Análisis de la aleatoriedad o el determinismo de un experimento.

Realización de operaciones con los sucesos de un experimento aleatorio.

Diferenciación entre sucesos compatibles e incompatibles.

Utilización de la relación entre frecuencia relativa y probabilidad.

Cálculo de la probabilidad de sucesos equiprobables mediante la regla de Laplace.

Obtención de probabilidades de sucesos compatibles e incompatibles.

Cálculo de probabilidades en contextos de no equiprobabilidad.

Distinción entre experimentos aleatorios simples y compuestos.

Resolución de problemas de probabilidad condicionada.

Cálculo de probabilidades de sucesos independientes y dependientes.

Aplicación de la regla del producto en problemas de probabilidad.
Actitudes

Análisis crítico de las informaciones referidas a contextos de azar.

Interés y cuidado al calcular probabilidades.
309

Identificar situaciones y fenómenos asociados a la probabilidad y el azar,
resolviendo problemas asociados a estos conceptos.

Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas, decidiendo si es
necesario dar una respuesta exacta o aproximada, y aplicando el modo de cálculo
más adecuado.

autoestima.
1. Distinguir entre experimentos aleatorios y experimentos deterministas.
2. Reconocer los sucesos de un experimento aleatorio, y realizar operaciones entre
ellos.
5. Distinguir cuándo dos sucesos son compatibles o incompatibles, y hallar sus
probabilidades.
7. Distinguir entre experimentos aleatorios simples y compuestos.
8. Resolver problemas en contextos de probabilidad condicionada.
9. Calcular probabilidades de sucesos independientes y dependientes.
10. Aplicar la regla del producto en problemas de probabilidad.
310
CONTENIDOS MÍNIMOS MATEMÁTICAS 4º ESO
(OPCIÓN B)
• Planificación y utilización de procesos de razonamiento y estrategias en la resolución
de problemas, tales como la emisión y justificación de hipótesis o la generalización.
• Expresión verbal de argumentaciones, relaciones cuantitativas y espaciales y
procedimientos de resolución con la precisión y rigor adecuados a la situación.
• Interpretación de mensajes que contengan argumentaciones o informaciones de
carácter cuantitativo sobre elementos o relaciones espaciales.
algebraico estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de
Bloque 2. Números.
• Reconocimiento de números que no pueden expresarse en forma de fracción:
números irracionales.
• Iniciación al número real: representación sobre la recta real. Intervalos: tipos y
significado. Operaciones con números reales.
• Potencias de exponentes fraccionarios y radicales. Radicales equivalentes.
Operaciones con radicales. Simplificación de expresiones radicales sencillas.
• Utilización de la jerarquía y propiedades de las operaciones para realizar cálculos
con potencias de exponente entero y fraccionario y radicales sencillos.
• Cálculo con porcentajes. Interés compuesto.
Bloque 3. Álgebra.
• Polinomios. Operaciones con polinomios. Raíces de un polinomio. Factorización de
polinomios. Utilización de las identidades notables y de la regla de Ruffini en la
descomposición factorial de un polinomio.
• Resolución algebraica de ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita.
Ecuaciones reducibles a cuadráticas.
• Resolución algebraica y gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas.
• Uso de la descomposición factorial para la resolución de ecuaciones de grado superior
a dos y simplificación de fracciones.
• Resolución de problemas cotidianos y de otros campos de conocimiento mediante
• Inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita.
Interpretación gráfica.
311
• Figuras y cuerpos semejantes: razón entre longitudes, áreas y volúmenes de figuras
semejantes.
• Teorema de Tales. Aplicación al cálculo de medidas indirectas.
• Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Relaciones entre ellas.
• Relaciones métricas en los triángulos. Resolución de triángulos.
• Aplicación de los conocimientos geométricos a la resolución de problemas métricos
en el mundo físico: medida de longitudes, áreas y volúmenes.
• Iniciación a la geometría analítica plana: puntos y coordenadas; distancia entre dos
puntos; rectas y ecuaciones. Estudio general de la recta. Paralelismo y
perpendicularidad. Representación de las soluciones de una ecuación de primer grado
con dos incógnitas.
• Funciones: expresión algebraica, variables, dominio y estudio gráfico.
• Características de las gráficas: crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos,
continuidad, simetrías y periodicidad.
• Estudio y representación gráfica de las funciones polinómicas de primer o segundo
grado, de proporcionalidad inversa y de las funciones exponenciales y logarítmicas
sencillas. Aplicaciones a contextos y situaciones reales.
• Funciones definidas a trozos. Búsqueda e interpretación de situaciones reales.
• La tasa de variación media como medida de la variación de una función en un
intervalo.
• Experimentos aleatorios. Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.
Sucesos.
• Cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace y otras técnicas de recuento.
Introducción a la combinatoria: combinaciones, variaciones y permutaciones.
• Probabilidad simple y compuesta. Sucesos dependientes e independientes.
Utilización de tablas de contingencia y diagramas de árbol para la asignación de
probabilidades.
• Probabilidad condicionada.
312
MEDIDAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD E
INCLUSIÓN EN ESO
A la hora de plantear las medidas de atención a la diversidad e inclusión hemos de
recabar, en primer lugar, diversa información sobre cada grupo de alumnos; como
mínimo debe conocerse la relativa a:
• El número de alumnos y alumnas.
• El funcionamiento del grupo (clima del aula, nivel de disciplina, atención...).
• Las fortalezas que se identifican en el grupo en cuanto al desarrollo de contenidos
curriculares.
• Las necesidades que se hayan podido identificar; conviene pensar en esta fase en
cómo se pueden abordar (planificación de estrategias metodológicas, gestión del
aula, estrategias de seguimiento de la eficacia de medidas, etc.).
• Las fortalezas que se identifican en el grupo en cuanto a los aspectos
competenciales.
• Los desempeños competenciales prioritarios que hay que practicar en el grupo en
esta materia.
• Los aspectos que se deben tener en cuenta al agrupar a los alumnos y a las alumnas
para los trabajos cooperativos.
• Los tipos de recursos que se necesitan adaptar a nivel general para obtener un logro
óptimo del grupo.
Necesidades individuales
La evaluación inicial nos facilita no solo conocimiento acerca del grupo como conjunto,
sino que también nos proporciona información acerca de diversos aspectos individuales
de nuestros estudiantes; a partir de ella podremos:
• Identificar a los alumnos que necesitan un mayor seguimiento o personalización de
estrategias en su proceso de aprendizaje. (Se debe tener en cuenta a aquel alumnado
con necesidades educativas, con altas capacidades y con necesidades no
diagnosticadas, pero que requieran atención específica por estar en riesgo, por su
historia familiar, etc.).
• Saber las medidas organizativas a adoptar. (Planificación de refuerzos, ubicación de
espacios, gestión de tiempos grupales para favorecer la intervención individual).
• Establecer conclusiones sobre las medidas curriculares que se vayan a adoptar, así
como sobre los recursos que se van a emplear.
• Analizar el modelo de seguimiento que se va a utilizar con cada uno de ellos.
• Acotar el intervalo de tiempo y el modo en que se van a evaluar los progresos de
estos estudiantes.
• Fijar el modo en que se va a compartir la información sobre cada alumno con el resto
de docentes que intervienen en su itinerario de aprendizaje; especialmente, con el
tutor.
313
Por lo tanto entendemos por atención a la diversidad como un tratamiento
flexible del currículo que atienda a las características diversas de los diferentes
contextos de los alumnos.
Como primera medida, los profesores propondrán, dentro de lo posible,
actividades de refuerzo y actividades de ampliación a aquellos alumnos que, por sus
especiales circunstancias o características, así lo precisen.
En el primer ciclo de ESO para tratar a los alumnos con mayores deficiencias
disponemos de:

La asignatura Refuerzo de Matemáticas

Atención, por parte del Departamento de Orientación de los alumnos ACNEES y
ANCES
En los casos más graves se procederá a la elaboración de adaptaciones
curriculares.
En cuanto a los alumnos cuyo rendimiento es notablemente bueno, se reforzará
su atención fomentando su participación en actividades como el Canguro Matemático
Europeo, la Olimpiada Matemática y el proyecto ESTALMAC (Estímulo del Talento
Matemático).
314
CRITERIOS DE CALIFICACIÓN EN ESO
MATEMÁTICAS DE 1º Y 2º DE ESO
Evaluación inicial: Se realiza la semana del 21 al 25 de septiembre.
Se realizarán al menos tres exámenes en la 1ª y 2ª evaluación y dos en la 3ª, que se
calificarán sobre ocho puntos. Los dos puntos restantes (sobre 10) se obtendrán por el
trabajo bien realizado tanto en clase como en casa, el cuaderno (hasta 1 punto), la
actitud, el esfuerzo y el buen comportamiento.
Se considera aprobada una evaluación, si la nota media de los exámenes más la nota
obtenida por los otros conceptos es igual o superior a cinco puntos.
El profesor podrá realizar recuperaciones de las evaluaciones si la marcha del curso o
los resultados lo aconsejan.
A partir del 1 de junio (fecha de finalización de la 3ª evaluación) se realizará un repaso
de los contenidos más importantes de la asignatura y todos los alumnos realizaran un
examen final, solo de los contenidos repasados, que se puntuará sobre 10 puntos.
Para aprobar la asignatura, deberán aprobarse las tres evaluaciones (o recuperaciones
si las hubiera) o el examen final correspondiente del mes de junio (que se puntuará
sobre 10). La calificación final de junio se obtiene haciendo la media ponderada de “la
nota media de las tres evaluaciones” (75%) con “la nota del examen final”(25%).
Los alumnos que no aprueben la asignatura al finalizar el curso, en junio, tendrán la
posibilidad de recuperarla presentándose al examen extraordinario de septiembre de
todos los contenidos de la asignatura.
REFUERZO DE MATEMÁTICAS DE 1º Y 2º DE ESO (CLYM)
La calificación de la asignatura se basará fundamentalmente en la actitud positiva, el
esfuerzo y el buen comportamiento, así como en los conocimientos adquiridos, y será
suficiente para aprobar las evaluaciones. El profesor podrá realizar uno o más
exámenes, por evaluación, para obtener la nota de la evaluación.
Un alumno tendrá aprobada la asignatura en junio, si la nota media de las tres
evaluaciones es igual o superior a cinco. En caso contrario deberá realizar la prueba
final de junio de todos los contenidos trabajados a lo largo del curso.
Si un alumno suspende en junio en septiembre realizará un examen de todos los
contenidos trabajados a lo largo del curso.
315
MATEMÁTICAS DE 3º Y 4º DE ESO
Evaluación inicial: Se realiza la semana del 21 al 25 de septiembre.
Se realizarán dos exámenes (como mínimo) en cada evaluación, que se calificarán
sobre10.
Si la nota de alguno de los dos exámenes es menor que tres puntos, no se aprueba la
evaluación y ha de recuperar. La calificación de la evaluación se obtiene con la media
de los exámenes realizados a lo largo de la evaluación.
Si un alumno suspende la 1ª o la 2ª evaluación deberá realizar un examen de
recuperación de toda la evaluación (en un plazo de veinte días lectivos después de
cada evaluación). La nota de la recuperación será de “cinco”.
En la 3ª evaluación la evaluación queda mas abierta, dependiendo de la evolución del
curso, y a criterio del profesor:


El segundo examen de la tercera evaluación podrá servir de recuperación de
esta. Dicho examen se calificara sobre 10 puntos y un 5 significa que has
aprobado la 3ª evaluación. Un posible diseño de este examen sería dividirlo en
dos partes con ejercicios de la parte correspondiente. Realizarán las dos partes
aquellos alumnos que han obtenido menos de 3 puntos en el primer examen.
O se puede realizar una recuperación de la tercera evaluación, con las mismas
condiciones que en las otras evaluaciones.
Subir nota: No obstante si un alumno obtiene una calificación más alta en la
recuperación, se realizará la media con los exámenes de la evaluación y si la nota es
superior a “cinco” se considerará esta la calificación de la evaluación con vistas a la
mejora de la nota media del curso.
Un alumno tendrá aprobada la asignatura en junio, si tiene aprobadas las tres
evaluaciones (o las recuperaciones correspondientes). La nota final del curso es la
media de las tres evaluaciones (o recuperaciones correspondientes, con la corrección
indicada anteriormente).
Si no ocurre lo anterior y el alumno tiene una, dos o tres evaluaciones pendientes de
recuperar, se realizar un examen final en junio dividido en tres partes,
correspondientes a cada evaluación, en el que cada alumno se examinará de las
evaluaciones pendientes.
También podrán presentarse a un examen los alumnos para subir nota.
316
NOTA: EL APROBADO ES UNA NOTA IGUAL O SUPERIOR A “CINCO”.
ALUMNOS CON LA ASIGNATURA PENDIENTE
DE CURSOS ANTERIORES
El profesor del curso entregará periódicamente a cada alumno, unas hojas de ejercicios
específicos de la materia que debe recuperar del curso anterior (de 1º ESO, de 2º ESO
o de 3º ESO).

PENDIENTES DE 1º ESO
Realizarán una hoja de ejercicios, que se entregará al principio de cada
trimestre, atendiendo al siguiente calendario:
Hoja1: semana del 19 al 23 de octubre.
Hoja2: semana del 18 al 22 de enero.
Hoja3: semana del 4 al 8 de abril.

PENDIENTES DE 2º ESO Y DE 3º ESO
Realizarán cinco hojas de ejercicios (dos en el primer trimestre, dos en el
segundo trimestre y una al empezar el tercer trimestre) que se entregarán
según el siguiente calendario:
Hoja1: semana del 12 al 16 de octubre.
Hoja2: semana del 23 al 27 de noviembre.
Hoja3: semana del 18 al 22 de enero.
Hoja4: semana del 14 al 18 de marzo.
Hoja5: semana del 18 al 22 de abril.
La valoración positiva de este trabajo y la buena marcha del alumno en el curso actual
(deberá aprobar las evaluaciones del curso en que está a fecha del mes de mayo)
supondrá la recuperación de la asignatura pendiente. En caso contrario (si no entrega
las hojas en las fechas fijadas o la marcha del curso actual es negativa) deberá hacer
un examen de contenidos mínimos del curso pendiente en la primera quincena de
mayo.
317

PENDIENTES REFUERZO DE MATEMÁTICAS DE 1º ESO (CLYM DE 1º)
Para los alumnos con esta materia pendientes la buena marcha en Refuerzo de
Matemáticas de 2º (CLYM de 2º) supone aprobar la pendiente de 1º.
Si la marcha del curso Refuerzo de Matemáticas de 2º (CLYM de 2º) es mala y el alumno
suspende las evaluaciones deberá realizar un examen final de Refuerzo de Matemáticas
de1º ESO (CLYM DE 1º) en la primera quincena del mes de mayo.
Nota: queda a criterio del profesor el realizar más exámenes si lo considera oportuno.
Si a un alumno copia en un examen se le calificara dicho examen con un cero.
Si un alumno ha faltado más de 30 días en el curso (en asignatura de 4 horas
semanales), podrá perder la evaluación continua, a criterio del profesor.
318
PROGRAMACIÓN
DE
BACHILLERATO
LOMCE
1º Bachillerato
1. INTRODUCCIÓN
A) JUSTIFICACIÓN DE LA PROGRAMACIÓN
La Programación Didáctica de Matemáticas para el Primer Curso de Bachillerato está
fundamentada en lo establecido en el Real Decreto 1105/2014 del Ministerio de
Educación, Cultura y Deporte, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo
básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato, y en la Orden
EDU/363/2015 de la Consejería de Educación de Castilla y León por el que se establece
el Currículo del Bachillerato para esta Comunidad.
Nuestro Proyecto educativo concibe el Bachillerato como una etapa fundamental en la
vida del alumnado con una doble finalidad. Por una parte, pretende proporcionar al
alumnado formación, madurez intelectual y humana, conocimientos y habilidades que
les permitan desarrollar funciones sociales e incorporarse a la vida activa con
responsabilidad. Por otra parte, y de forma complementaria, aspira a capacitar al
alumnado para acceder a la educación superior, a los diferentes estudios superiores en
función de las propias aspiraciones y competencias del alumnado.
319
Para alcanzar estos fines proponemos un modelo de enseñanza-aprendizaje
comprensivo que se enmarca dentro del paradigma de la educación universal (global o
integral) que entronca con los modelos y propuestas educativas que se han desarrollado
en las diferentes etapas de la Educación Obligatoria.
Nuestro modelo pretende proseguir y desarrollar la tarea que iniciamos en anteriores
etapas educativas. Aspiramos a que todos los ciudadanos adquieran las diferentes
competencias necesarias para tener éxito en la vida, a través de la adquisición y el
desarrollo de las Competencias Clave. Este modelo sigue las directrices de los distintos
estudios promovidos por instancias nacionales e internacionales, entre los cuales
destaca el proyecto DeSeCo de la OCDE, el informe Eurydice, el programa PISA y, de
manera particular, el PIAAC o Programa para la Evaluación Internacional de las
Competencias de los Adultos.
Entendemos que la función de la enseñanza es facilitar el aprendizaje de los alumnos y
las alumnas, ayudándoles a construir, adquirir y desarrollar las Competencias Clave que
les permitan integrarse en la sociedad del conocimiento y afrontar los continuos cambios
que imponen en todos los órdenes de nuestra vida los rápidos avances científicos y la
nueva economía global. Por competencias se entiende, en un sentido amplio, la
concatenación de saberes que articulan una concepción del ser, del saber, saber hacer
y saber convivir, tal y como se indica en el informe de la Unesco de la Comisión
Internacional sobre la educación para el siglo XXI (Delors, 1996).
La inclusión de las competencias clave en el currículo tiene como finalidad que las
alumnas y los alumnos a) puedan hacer posible el pleno ejercicio de la ciudadanía en
el marco de la sociedad de referencia; b) construyan un proyecto de vida satisfactorio;
c) alcancen un desarrollo personal emocional y afectivo equilibrado; y d) accedan a
otros procesos educativos y formativos posteriores con garantías de éxito.
En una sociedad en constante cambio las demandas que tiene un individuo varían de
una situación a otra y de un momento a otro. Por este motivo defendemos un modelo
de competencia holístico, dinámico y funcional que surge de la combinación de
habilidades prácticas, conocimientos (incluyendo el conocimiento tácito), motivación,
valores éticos, actitudes, emociones y otros componentes sociales y de comportamiento
que se movilizan conjuntamente para lograr una acción eficaz.
Ser competente, desde este enfoque, significa ser capaz de activar y utilizar ante un
problema el conocimiento que el alumno o la alumna tiene. Esta concepción está
alineada con los principios del aprendizaje significativo y funcional de las teorías
constructivistas (p.e. Ausubel et al.,1978).
Sólo a partir de estas premisas pensamos que es posible la aplicación de uno de los
ejes fundamentales de la Programación Didáctica de Matemáticas para el Primer Curso
de Bachillerato: la funcionalidad de los aprendizajes. Por aprendizaje funcional
entendemos que las competencias puedan ser aplicadas y transferidas a situaciones y
contextos diferentes para lograr diversos objetivos, resolver diferentes tipos de
problemas y llevar a cabo diferentes tipos de tareas.
Esta funcionalidad de los aprendizajes aspira, a su vez, a preparar al alumnado para un
mundo académico y laboral exigente y en constante cambio y transformación. Se trata no
sólo de transmitir conocimientos, sino sobre todo, de permitir que el alumnado adquiera
competencias para desarrollar conocimientos, capacidades y habilidades que le permitan
acceder a las diferentes titulaciones de estudios superiores y le capaciten para
320
desarrollarse como persona y profesional en diferentes contextos sociales y laborales a
lo largo de su vida adulta.
La eficacia de estos principios quedaría incompleta si no fuéramos capaces de presentar
los contenidos de las diferentes materias de forma articulada para facilitar el proceso de
aprendizaje y el desarrollo de las Competencias Clave a través de los Estándares de
aprendizaje fijados para cada materia.
Teniendo en cuenta que cada una de las materias contribuye al desarrollo de diferentes
competencias y, a su vez, cada una de las competencias se alcanzará como
consecuencia del trabajo en varias materias, la Programación Didáctica de Matemáticas
adopta una perspectiva globalizadora a la vez que pone la atención en aquellos
aprendizajes que se consideran imprescindibles desde un planteamiento integrador y
orientado a la aplicación de los saberes adquiridos.
Así, el aprendizaje de las competencias clave, aunque va ligado a las áreas de
conocimiento y a los estándares de aprendizaje fijados en ellas, es global y se adquirirá a
partir de su contextualización en situaciones reales y próximas al alumno para que pueda
integrar diferentes aprendizajes, tanto los formales, como los informales y no formales, y
utilizarlos de manera efectiva cuando le resulten necesarios en diferentes situaciones y
contextos.
En esta línea hemos querido incidir con especial énfasis en la relación de los contenidos
y materiales tratados a lo largo de nuestra Programación Didáctica de Matemáticas para
el Primer Curso de Bachillerato con las nuevas realidades tecnológicas tan cercanas y
atractivas para el alumnado.
La aplicación o desarrollo de los conocimientos tratados en la materia dentro ámbitos
como Internet, el uso de soportes informáticos o el análisis de la información transmitida
por medios audiovisuales... se constituyen como un elemento gratificante y motivador a
la vez que en un aprendizaje imprescindible para la adaptación del alumnado a futuras
incorporaciones a distintos ámbitos académicos o laborales.
Si a lo que antecede añadimos la presencia de unos contenidos que por especial
importancia en nuestra sociedad deben impregnar muchas de las actividades de
aprendizaje así como el interés por fomentar la capacidad del alumnado para regular su
propio proceso de aprendizaje y seguir aprendiendo a lo largo de la vida, tendremos los
pilares sobre los cuales hemos elaborado la presente Programación Didáctica de
Matemáticas para el Primer Curso de Bachillerato.
2. OBJETIVOS GENERALES DEL BACHILLERATO
El Bachillerato tiene como finalidad proporcionar al alumnado formación, madurez
intelectual y humana, conocimientos y habilidades que les permitan desarrollar
funciones sociales e incorporarse a la vida activa con responsabilidad y competencia.
Asimismo, capacitará al alumnado para acceder a la educación superior.
El Bachillerato contribuirá a desarrollar en los alumnos y las alumnas las capacidades
que les permitan:
a) Ejercer la ciudadanía democrática, desde una perspectiva global, y adquirir una
conciencia cívica responsable, inspirada por los valores de la Constitución española
321
así como por los derechos humanos, que fomente la corresponsabilidad en la
construcción de una sociedad justa y equitativa.
b) Consolidar una madurez personal y social que les permita actuar de forma
responsable y autónoma y desarrollar su espíritu crítico. Prever y resolver
pacíficamente los conflictos personales, familiares y sociales.
c) Fomentar la igualdad efectiva de derechos y oportunidades entre hombres y mujeres,
analizar y valorar críticamente las desigualdades y discriminaciones existentes, y en
particular la violencia contra la mujer e impulsar la igualdad real y la no discriminación
de las personas por cualquier condición o circunstancia personal o social, con
atención especial a las personas con discapacidad.
d) Afianzar los hábitos de lectura, estudio y disciplina, como condiciones necesarias
para el eficaz aprovechamiento del aprendizaje, y como medio de desarrollo
personal.
e) Dominar, tanto en su expresión oral como escrita, la lengua castellana y, en su caso,
la lengua cooficial de su Comunidad Autónoma.
f) Expresarse con fluidez y corrección en una o más lenguas extranjeras.
g) Utilizar con solvencia y responsabilidad las tecnologías de la información y la
comunicación.
h) Conocer y valorar críticamente las realidades del mundo contemporáneo, sus
antecedentes históricos y los principales factores de su evolución. Participar de forma
solidaria en el desarrollo y mejora de su entorno social.
i) Acceder a los conocimientos científicos y tecnológicos fundamentales y dominar las
habilidades básicas propias de la modalidad elegida.
j) Comprender los elementos y procedimientos fundamentales de la investigación y de
los métodos científicos. Conocer y valorar de forma crítica la contribución de la
ciencia y la tecnología en el cambio de las condiciones de vida, así como afianzar la
sensibilidad y el respeto hacia el medio ambiente.
k) Afianzar el espíritu emprendedor con actitudes de creatividad, flexibilidad, iniciativa,
trabajo en equipo, confianza en uno mismo y sentido crítico.
l) Desarrollar la sensibilidad artística y literaria, así como el criterio estético, como
fuentes de formación y enriquecimiento cultural.
m) Utilizar la educación física y el deporte para favorecer el desarrollo personal y social.
n) Afianzar actitudes de respeto y prevención en el ámbito de la seguridad vial.
3. COMPETENCIAS :CÓMO CONTRIBUYE LA MATERIA A SU CONSECUCIÓN
Tal y como se describe en la LOMCE, todas las áreas o materias del currículo deben
participar en el desarrollo de las distintas competencias del alumnado. Estas, de acuerdo
con las especificaciones de la ley, son:
1.º Comunicación lingüística.
2.º Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología.
3.º Competencia digital.
4.º Aprender a aprender.
5.º Competencias sociales y cívicas.
6.º Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor.
7.º Conciencia y expresiones culturales.
322
En el proyecto de Matemáticas I, tal y como sugiere la ley, se ha potenciado el desarrollo
de las competencias de comunicación lingüística, competencia matemática y
competencias básicas en ciencia y tecnología; además, para alcanzar una adquisición
eficaz de las competencias y su integración efectiva en el currículo, se han incluido
actividades de aprendizaje integradas que permitirán al alumnado avanzar hacia los
resultados de aprendizaje de más de una competencia al mismo tiempo. Para valorarlos,
se utilizarán los estándares de aprendizaje evaluables, como elementos de mayor
concreción, observables y medibles, se pondrán en relación con las competencias clave,
permitiendo graduar el rendimiento o el desempeño alcanzado en cada una de ellas.
La materia de Matemáticas I utiliza una terminología formal que permitirá al alumnado
incorporar este lenguaje a su vocabulario, y utilizarlo en los momentos adecuados con
la suficiente propiedad. Asimismo, la comunicación de los resultados de las actividades
y/o problemas y otros trabajos que realicen favorece el desarrollo de la competencia
en comunicación lingüística.
La competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología son
las competencias fundamentales de la materia. Para desarrollar esta competencia, el
alumnado aplicará estrategias para definir problemas, resolverlos, diseñar pequeñas
investigaciones, elaborar soluciones, analizar resultados, etc. Estas competencias son,
por tanto, las más trabajadas en la materia.
La competencia digital fomenta la capacidad de buscar, seleccionar y utilizar
información en medios digitales, además de permitir que el alumnado se familiarice con
los diferentes códigos, formatos y lenguajes en los que se presenta la información
científica (datos estadísticos, representaciones gráficas, modelos geométricos...). La
utilización de las tecnologías de la información y la comunicación en el aprendizaje de
las ciencias para comunicarse, recabar información, retroalimentarla, simular y
visualizar situaciones, para la obtención y el tratamiento de datos, etc., es un recurso
útil en el campo de las matemáticas que contribuye a mostrar una visión actualizada de
la actividad científica.
La adquisición de la competencia de aprender a aprender se fundamenta en esta
asignatura en el carácter instrumental de muchos de los conocimientos científicos. Al
mismo tiempo, operar con modelos teóricos fomenta la imaginación, el análisis, las dotes
de observación, la iniciativa, la creatividad y el espíritu crítico, lo que favorece el
aprendizaje autónomo. Además, al ser una asignatura progresiva, el alumnado adquiere
la capacidad de relacionar los contenidos aprendidos durante anteriores etapas con lo
que va a ver en el presente curso y en el próximo.
Esta asignatura favorece el trabajo en grupo, donde se fomenta el desarrollo de
actitudes como la cooperación, la solidaridad y el respeto hacia las opiniones de los
demás, lo que contribuye a la adquisición de las competencias sociales y cívicas. Así
mismo, el conocimiento científico es una parte fundamental de la cultura ciudadana que
sensibiliza de los posibles riesgos de la ciencia y la tecnología y permite formarse una
opinión fundamentada en hechos y datos reales sobre el avance científico y tecnológico.
El sentido de iniciativa y espíritu emprendedor es básico a la hora de llevar a cabo
el método científico de forma rigurosa y eficaz, siguiendo la consecución de pasos desde
la formulación de una hipótesis hasta la obtención de conclusiones. Es necesaria la
elección de recursos, la planificación de la metodología, la resolución de problemas y la
revisión permanente de resultados. Esto fomenta la iniciativa personal y la motivación
por un trabajo organizado y con iniciativas propias.
323
La aportación matemática se hace presente en multitud de producciones artísticas, así
como sus estrategias y procesos mentales fomentan la conciencia y expresión
cultural de las sociedades. Igualmente el alumno, mediante el trabajo matemático podrá
comprender diversas manifestaciones artísticas siendo capaz de utilizar sus
conocimientos matemáticos en la creación de sus propias obras
4. METODOLOGÍA
Los libros de texto de Matemáticas del curso 1.º de Bachillerato de Ciencias y
Tecnología y Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I del curso 1.º de
Bachillerato están realizados a partir de la experiencia de los autores en clases con
alumnos de esas edades y desde el conocimiento del nuevo currículo oficial de
Matemáticas.
La extensión del programa de este curso obliga a prestar una atención muy cuidadosa
al equilibrio entre sus distintas partes:
- breves introducciones que centran y dan sentido y respaldo intuitivo a lo que se
hace,
- desarrollos escuetos,
- procedimientos muy claros,
- una gran cantidad de ejercicios bien elegidos, secuenciados y clasificados.
Las dificultades se encadenan cuidadosamente, procurando arrancar “de lo que el
alumno ya sabe”. La redacción es clara y sencilla, y se incluyen unos “problemas
complementarios” que le permitirán enfrentarse por sí mismo a las dificultades.
Factores que inspiran esta programación
Toda programación didáctica trata de tener en cuenta diversos factores para responder
a determinadas concepciones de la enseñanza y el aprendizaje.
Destacamos, a continuación, los factores que inspiran nuestra programación:
a) El nivel de conocimientos de los alumnos y las alumnas al terminar el
segundo ciclo de la Enseñanza Secundaria Obligatoria
En la actualidad, está unánimemente extendida entre la comunidad de educadores
la premisa de que toda enseñanza que pretenda ser significativa debe partir de los
conocimientos previos de los alumnos y las alumnas. De ese modo, partiendo de lo
que ya saben, podremos construir nuevos aprendizajes que conectarán con los
que ya tienen de cursos anteriores o de lo que aprenden fuera del aula,
ampliándolos en cantidad y, sobre todo, en calidad.
b) Ritmo de aprendizaje de cada alumno o alumna
Cada persona aprende a un ritmo diferente. Los contenidos deben estar explicados
de tal manera que permitan extensiones y gradación para su adaptabilidad.
c) Preparación básica para un alumnado de Ciencias o Ingeniería
Los alumnos y las alumnas de estos bachilleratos requieren una formación
conceptual y procedimental básica para un estudiante de Ciencias: un buen bagaje
de procedimientos y técnicas matemáticas, una sólida estructura conceptual y una
razonable tendencia a buscar cierto rigor en lo que se sabe, en cómo se aprende y
en cómo se expresa.
d) Preparación básica para un alumnado de humanidades
Los alumnos y las alumnas de estos bachilleratos requieren una formación
conceptual y procedimental básica: un buen bagaje de procedimientos y técnicas
matemáticas, una sólida estructura conceptual y una razonable tendencia a buscar
cierto rigor en lo que se sabe, en cómo se aprende y en cómo se expresa.
324
e) Atención a las necesidades de otras asignaturas
El papel instrumental de las Matemáticas obliga a tener en cuenta el uso que de
ellas se puede necesitar en otras asignaturas. Concretamente, las necesidades de
la Física imponen que los temas de derivadas e integrales se traten con algo más
de profundidad de lo que se haría de no darse ese requerimiento.
Una concepción constructivista del aprendizaje
Desde la perspectiva constructivista del aprendizaje en que se basa nuestro currículo
oficial y, consecuentemente, este proyecto, la realidad solo adquiere significado en la
medida en que la construimos. La construcción del significado implica un proceso
activo de formulación interna de hipótesis y la realización de numerosas experiencias
para contrastarlas con las hipótesis. Si hay acuerdo entre estas y los resultados de las
experiencias, “comprendemos”; si no lo hay, formulamos nuevas hipótesis o
abandonamos. Las bases sobre las que se asienta esta concepción de los
aprendizajes están demostrando que:
1. Los conceptos no están aislados, sino que forman parte de redes conceptuales con
cierta coherencia interna.
2. Los alumnos y las alumnas no saben manifestar, la mayoría de las veces, sus
ideas.
3. Las ideas previas y los errores conceptuales se han dado y se siguen dando,
frecuentemente, en alumnos de la misma edad en otros lugares.
4. Los esquemas conceptuales que traen los estudiantes son persistentes, y no es
fácil modificarlos.
Todo ello tiene como consecuencias, que se han de tomar en consideración por el
profesorado, al menos, las siguientes:
- Que el alumnado sea consciente de cuál es su posición de partida.
- Que se le haga sentir la necesidad de cambiar algunas de sus ideas de partida.
- Que se propicie un proceso de reflexión sobre lo que se va aprendiendo y una
autoevaluación para que sea consciente de los progresos que va realizando.
Así pues, nuestro modelo de aprendizaje, que se basa en el constructivismo, tiene en
cuenta los conocimientos previos de los estudiantes, el campo de experiencias en el
que se mueven y las estrategias interactivas entre ellos y con el profesorado.
Contenidos del proyecto y aspectos metodológicos
Dice Polya que no hay más que un método de enseñanza que sea infalible: si el profesor
se aburre con su asignatura, toda la clase se aburrirá irremediablemente con la
asignatura. Expresa, como elementos de una metodología que compartimos, algunos
detalles como los siguientes: “Deja que los estudiantes hagan conjeturas antes de darles
tú apresuradamente la solución; déjales averiguar por sí mismos tanto como sea posible;
deja a los estudiantes que hagan preguntas; déjales que den respuestas. A toda costa,
evita responder a preguntas que nadie haya formulado, ni siquiera tú mismo.”
El estilo que cada profesor dé a sus clases determina el tipo de conocimientos que el
alumno construye. En este sentido, hay un modo de “hacer en las clases” que genera
aprendizajes superficiales y memorísticos, mientras que en otros casos se producirán
aprendizajes con mayor grado de comprensión y profundidad.
De acuerdo con el famoso párrafo 243 del informe Cockcroft, que tantas repercusiones
está teniendo en los últimos tiempos, deberíamos “equilibrar” las oportunidades para
que en una clase de Matemáticas haya:
- Explicaciones a cargo del profesor.
- Discusiones entre profesor y alumnos y entre los propios alumnos.
- Trabajo práctico apropiado.
325
- Consolidación y práctica de técnicas y rutinas fundamentales.
- Resolución de problemas, incluida la aplicación de las Matemáticas a situaciones de
la vida diaria.
- Trabajos de investigación.
Utilizaremos en cada caso el más adecuado de los procedimientos anteriores para lograr
el mejor aprendizaje de los alumnos sobre hechos, algoritmos y técnicas, estructuras
conceptuales y estrategias generales. Cualquier planificación de la enseñanza o
cualquier metodología que incluya de forma equilibrada los cuatro aspectos, podrá
valorarse como un importante avance respecto a la situación actual. Hasta este
momento, se ha venido insistiendo mucho en el dominio casi exclusivo de algoritmos y
técnicas, lo que, efectivamente, produce resultados de un cierto tipo a corto plazo, pero
anula muchos aspectos de comprensión, no favorece, u obstaculiza, el desarrollo de
estructuras conceptuales y, en definitiva, no hace nada por favorecer el desarrollo de
estrategias generales.
Por otra parte, hay capacidades en Matemáticas que no se desarrollan dominando con
soltura algoritmos y técnicas. Se trata de capacidades más necesarias en el momento
actual y, con toda seguridad, en el futuro. Nos referimos a resolución de problemas,
elaboración y comprobación de conjeturas, abstracción, generalización... Por otra parte,
además de ser capacidades más necesarias, la realidad de las clases demuestra que
los alumnos “lo pasan mejor” cuando se les proponen actividades para desarrollarlas en
las aulas; es decir, cuando actúan como lo hacen los matemáticos.
No se pone en duda el hecho de que se requieren ciertos algoritmos y rutinas en
Matemáticas. Solo se pretende poner énfasis en que no son lo más importante, y, desde
luego, no son lo único que debemos hacer en las clases.
En la actualidad, numerosos documentos, actas de congresos y libros de reciente
publicación abogan por una enseñanza de las Matemáticas donde haya mucho de
descubrimiento de conceptos, regularidades y leyes por parte del alumno y menos de
retransmisión a cargo del profesor. Más de conflicto durante el aprendizaje y menos de
acumulación de técnicas, algoritmos y conceptos “cocinados” previamente por el
profesor.
Sería bueno que, ante el planteamiento de cuestiones por el profesor, los alumnos
pudieran dar respuestas rápidas que facilitasen conocer la situación de partida, y
permitirles luego contrastarla con el resultado final, para que puedan apreciar sus
“progresos”. Es esta una manera de ir generando confianza. Una vez elaboradas las
primeras hipótesis de trabajo, la discusión con el profesor pondrá de manifiesto lo
acertado del pensamiento y la reformulación de las conclusiones, si procede.
Recordaremos la concepción de las Matemáticas expresada por Jeremy Kilpatrick
(ICMI-5, 1985, Adelaida): “Las Matemáticas son una cuestión de ideas que un estudiante
construye en su mente (y esto es algo que solo el estudiante puede hacer por sí mismo).
Estas ideas vienen de experiencias... y no están previamente codificadas en lenguaje
natural. Nuevas ideas son construidas sobre las ideas que el estudiante ya tiene en la
mente, combinándolas, revisándolas, etc., a menudo de una manera metafórica. El
aprendizaje efectivo requiere no meramente hacer algo, sino también reflexión sobre lo
que se ha hecho después de que lo has hecho...”
Esta concepción traerá como consecuencias, entre otras, que:
a) El aprendizaje deberá empezar con experiencias de las que surgirán ideas.
b) No deberíamos empezar con lo que los alumnos tienen que hacer, con lo que
tienen que aprender..., sino proponiendo alguna cuestión, planteando alguna
326
situación o tarea para ser realizada.
todas las actividades del curso y el profesor lo podrá exigir en cualquier momento.
5. DESCRIPTORES
COMPETENCIAS
CLAVE
INDICADORES
DESCRIPTORES
- Interactuar con el entorno
natural de manera
respetuosa.
Cuidado del entorno
medioambiental y de
los seres vivos
- Comprometerse con el uso
responsable de los recursos
naturales para promover un
desarrollo sostenible.
- Respetar y preservar la vida
de los seres vivos de su
entorno.
- Tomar conciencia de los
cambios producidos por el
ser humano en el entorno
natural y las repercusiones
para la vida futura.
Competencia
matemática y
competencias básicas
en ciencia y tecnología
- Desarrollar y promover
hábitos de vida saludable
en cuanto a la alimentación
y al ejercicio físico.
Vida saludable
327
- Generar criterios personales
sobre la visión social de la
estética del cuerpo humano
frente a su cuidado
saludable.
- Reconocer la importancia
de la ciencia en nuestra
vida cotidiana.
La ciencia en el día a
día
- Aplicar métodos científicos
rigurosos para mejorar la
comprensión de la realidad
circundante en distintos
ámbitos (biológico,
geológico, físico, químico,
tecnológico, geográfico...).
- Manejar los conocimientos
sobre ciencia y tecnología
para solucionar problemas,
comprender lo que ocurre a
nuestro alrededor y
responder preguntas.
Manejo de elementos
matemáticos
- Conocer y utilizar los
elementos matemáticos
básicos: operaciones,
magnitudes, porcentajes,
proporciones, formas
geométricas, criterios de
medición y codificación
numérica, etc.
- Comprender e interpretar la
información presentada en
formato gráfico.
- Expresarse con propiedad
en el lenguaje matemático.
- Organizar la información
utilizando procedimientos
matemáticos.
Razonamiento lógico y
resolución de
problemas
- Resolver problemas
seleccionando los datos y
las estrategias apropiadas.
- Aplicar estrategias de
resolución de problemas a
cotidiana.
328
Comprensión: oral y
escrita
- Comprender el sentido de
los textos escritos y orales.
- Mantener una actitud
favorable hacia la lectura.
- Expresarse oralmente con
corrección, adecuación y
coherencia.
Expresión: oral y escrita
- Utilizar el vocabulario
adecuado, las estructuras
lingüísticas y las normas
ortográficas y gramaticales
para elaborar textos
escritos y orales.
- Componer distintos tipos de
textos creativamente con
sentido literario.
Comunicación
lingüística
Normas de
comunicación
- Respetar las normas de
comunicación en cualquier
contexto: turno de palabra,
escucha atenta al
interlocutor…
- Manejar elementos de
comunicación no verbal, o
en diferentes registros, en
las diversas situaciones
comunicativas.
- Entender el contexto
sociocultural de la lengua,
así como su historia para un
mejor uso de la misma.
Comunicación en otras
lenguas
- Mantener conversaciones
en otras lenguas sobre
temas cotidianos en
distintos contextos.
- Utilizar los conocimientos
sobre la lengua para buscar
información y leer textos en
cualquier situación.
- Producir textos escritos de
diversa complejidad para su
329
uso en situaciones
cotidianas o en asignaturas
diversas.
- Emplear distintas fuentes
para la búsqueda de
información.
Tecnologías de la
información
- Seleccionar el uso de las
distintas fuentes según su
fiabilidad.
- Elaborar y publicitar
información propia derivada
de información obtenida a
través de medios
tecnológicos.
Competencia digital
Comunicación
audiovisual
- Utilizar los distintos canales
de comunicación
audiovisual para transmitir
informaciones diversas.
- Comprender los mensajes
que vienen de los medios
de comunicación.
- Manejar herramientas
digitales para la
construcción de
conocimiento.
Utilización de
herramientas digitales
- Actualizar el uso de las
nuevas tecnologías para
mejorar el trabajo y facilitar
la vida diaria.
- Aplicar criterios éticos en el
uso de las tecnologías.
Conciencia y
expresiones culturales
Respeto por las
manifestaciones
culturales propias y
ajenas
330
- Mostrar respeto hacia el
patrimonio cultural mundial
en sus distintas vertientes
(artístico-literaria,
etnográfica, científicotécnica…), y hacia las
personas que han
contribuido a su desarrollo.
- Valorar la interculturalidad
como una fuente de riqueza
personal y cultural.
- Apreciar los valores
culturales del patrimonio
natural y de la evolución del
pensamiento científico.
- Expresar sentimientos y
emociones mediante
códigos artísticos.
Expresión cultural y
artística
- Apreciar la belleza de las
expresiones artísticas y las
manifestaciones de
creatividad y gusto por la
estética en el ámbito
cotidiano.
- Elaborar trabajos y
presentaciones con sentido
estético.
Educación cívica y
constitucional
- Conocer las actividades
humanas, adquirir una idea
de la realidad histórica a
partir de distintas fuentes, e
identificar las implicaciones
que tiene vivir en un Estado
social y democrático de
derecho refrendado por una
constitución.
- Aplicar derechos y deberes
de la convivencia ciudadana
en el contexto de la
escuela.
Competencias sociales
y cívicas
Relación con los demás
- Desarrollar capacidad de
diálogo con los demás en
situaciones de convivencia
y trabajo y para la
resolución de conflictos.
- Mostrar disponibilidad para
la participación activa en
331
ámbitos de participación
establecidos.
- Reconocer riqueza en la
diversidad de opiniones e
ideas.
- Aprender a comportarse
desde el conocimiento de
los distintos valores.
- Concebir una escala de
valores propia y actuar
conforme a ella.
Compromiso social
- Evidenciar preocupación
por los más desfavorecidos
y respeto a los distintos
ritmos y potencialidades.
- Involucrarse o promover
acciones con un fin social.
- Optimizar recursos
personales apoyándose en
las fortalezas propias.
Autonomía personal
- Asumir las
responsabilidades
encomendadas y dar
cuenta de ellas.
- Ser constante en el trabajo,
superando las dificultades.
Sentido de iniciativa y
espíritu emprendedor
- Dirimir la necesidad de
ayuda en función de la
dificultad de la tarea.
- Gestionar el trabajo del
grupo coordinando tareas y
tiempos.
Liderazgo
- Contagiar entusiasmo por la
tarea y tener confianza en
las posibilidades de
alcanzar objetivos.
332
- Priorizar la consecución de
objetivos grupales sobre los
intereses personales.
- Generar nuevas y
divergentes posibilidades
desde conocimientos
previos de un tema.
- Configurar una visión de
futuro realista y ambiciosa.
Creatividad
- Encontrar posibilidades en
el entorno que otros no
aprecian.
- Optimizar el uso de
recursos materiales y
personales para la
consecución de objetivos.
Emprendimiento
- Mostrar iniciativa personal
para iniciar o promover
acciones nuevas.
- Asumir riesgos en el
desarrollo de las tareas o
los proyectos.
- Actuar con responsabilidad
social y sentido ético en el
trabajo.
- Identificar potencialidades
personales como aprendiz:
estilos de aprendizaje,
inteligencias múltiples,
funciones ejecutivas…
Aprender a aprender
Perfil de aprendiz
- Gestionar los recursos y las
motivaciones personales en
favor del aprendizaje.
- Generar estrategias para
aprender en distintos
contextos de aprendizaje.
333
Herramientas para
estimular el
pensamiento
- Aplicar estrategias para la
mejora del pensamiento
creativo, crítico, emocional,
interdependiente…
- Desarrollar estrategias que
favorezcan la comprensión
rigurosa de los contenidos.
- Planificar los recursos
necesarios y los pasos que
se han de realizar en el
proceso de aprendizaje.
Planificación y
evaluación del
aprendizaje
- Seguir los pasos
establecidos y tomar
decisiones sobre los pasos
siguientes en función de los
resultados intermedios.
- Evaluar la consecución de
objetivos de aprendizaje.
- Tomar conciencia de los
procesos de aprendizaje.
334
PROGRAMACIÓN
DIDÁCTICA
Matemáticas I
1º BACHILLERATO
Libro de texto: Editorial Anaya
335
1. OBJETIVOS GENERALES PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS I
Las matemáticas constituyen un conjunto amplio de conocimientos basados en el estudio de
patrones y relaciones inherentes a estructuras abstractas. Aunque se desarrollen con
independencia de la realidad física, tienen su origen en ella y son de suma utilidad para
representarla. Nacen de la necesidad de resolver problemas prácticos y se sustentan por su
capacidad para tratar, explicar, predecir y modelar situaciones reales y dar rigor a los
conocimientos científicos. Su estructura se halla en continua evolución, tanto por la
incorporación de nuevos conocimientos como por su constante interrelación con otras áreas,
especialmente en el ámbito de la ciencia y la técnica.
Participar en la adquisición del conocimiento matemático consiste en el dominio de su “forma
de hacer”. Este “saber hacer matemáticas” es un proceso laborioso que comienza por una
intensa actividad sobre elementos concretos, con objeto de crear intuiciones previas necesarias
para la formalización. A menudo, los aspectos conceptuales no son más que medios para la
práctica de estrategias, para incitar a la exploración, la formulación de conjeturas, el intercambio
de ideas y la renovación de los conceptos ya adquiridos.
Los contenidos de Matemáticas, como materia de modalidad en el Bachillerato de Ciencias y
Tecnología, giran sobre dos ejes fundamentales: la geometría y el análisis. Estos cuentan con el
necesario apoyo instrumental de la aritmética, el álgebra y las estrategias propias de la
resolución de problemas. En Matemáticas I, los contenidos relacionados con las propiedades
generales de los números y su relación con las operaciones, más que en un momento
predeterminado, deben ser trabajados en función de las necesidades que surjan en cada
momento concreto. A su vez, estos contenidos se complementan con nuevas herramientas para
el estudio de la estadística y la probabilidad, culminando así todos los campos introducidos en
la Educación Secundaria Obligatoria. La introducción de matrices e integrales en Matemáticas II
aportará nuevas y potentes herramientas para la resolución de problemas geométricos y
funcionales.
Estos contenidos proporcionan técnicas básicas, tanto para estudios posteriores como para la
actividad profesional. No se trata de que los estudiantes posean muchas herramientas
matemáticas, sino de que tengan las estrictamente necesarias y que las manejen con destreza y
oportunidad, facilitándoles las nuevas fórmulas e identidades para su elección y uso. Nada hay
más alejado del “pensar matemáticamente” que una memorización de igualdades cuyo
significado se desconoce, incluso aunque se apliquen adecuadamente en ejercicios de cálculo.
En esta etapa aparecen nuevas funciones de una variable. Se pretende que los alumnos sean
capaces de distinguir las características de las familias de funciones a partir de su representación
gráfica, así como las variaciones que sufre la gráfica de una función al componerla con otra o al
modificar de forma continua algún coeficiente en su expresión algebraica. Con la introducción
de la noción intuitiva de límite y geométrica de derivada, se establecen las bases del cálculo
infinitesimal en Matemáticas I, que dotará de precisión el análisis del comportamiento de la
función en las Matemáticas II. Asimismo, se pretende que los estudiantes apliquen estos
conocimientos a la interpretación del fenómeno.
Las matemáticas contribuyen a la adquisición de aptitudes y conexiones mentales cuyo alcance
transciende el ámbito de esta materia; forman en la resolución de problemas genuinos —
aquellos donde la dificultad está en encuadrarlos y encontrar una estrategia de resolución—,
generan hábitos de investigación y proporcionan técnicas útiles para enfrentarse a situaciones
nuevas. Estas destrezas, ya iniciadas en los niveles previos, deberán ampliarse ahora que
aparecen nuevas herramientas, enriqueciendo el abanico de problemas abordables y la
336
profundización en los conceptos implicados.
Las herramientas tecnológicas, en particular el uso de calculadoras y aplicaciones informáticas
como sistemas de álgebra computacional o de geometría dinámica, pueden servir de ayuda
tanto para la mejor comprensión de conceptos y la resolución de problemas complejos como
para el procesamiento de cálculos pesados, sin dejar de trabajar la fluidez y la precisión en el
cálculo manual simple, donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les pueden
llevar a falsos resultados o inducir a confusión en sus conclusiones.
La resolución de problemas tiene carácter transversal y será objeto de estudio relacionado e
integrado en el resto de los contenidos. Las estrategias que se desarrollan constituyen una parte
esencial de la educación matemática y activan las competencias necesarias para aplicar los
conocimientos y habilidades adquiridas en contextos reales. La resolución de problemas debe
servir para que el alumnado desarrolle una visión amplia y científica de la realidad, para
estimular la creatividad y la valoración de las ideas ajenas, la habilidad para expresar las ideas
propias con argumentos adecuados y el reconocimiento de los posibles errores cometidos.
Las definiciones formales, las demostraciones (reducción al absurdo, contraejemplos) y los
encadenamientos lógicos (implicación, equivalencia) dan validez a las intuiciones y confieren
solidez a las técnicas aplicadas. Sin embargo, este es el primer momento en que el alumno se
enfrenta con cierta seriedad al lenguaje formal, por lo que el aprendizaje debe ser equilibrado y
gradual. El simbolismo no debe desfigurar la esencia de las ideas fundamentales, el proceso de
investigación necesario para alcanzarlas, o el rigor de los razonamientos que las sustentan.
Deberá valorarse la capacidad para comunicar con eficacia esas ideas aunque sea de manera no
formal.
Lo importante es que el estudiante encuentre en algunos ejemplos la necesidad de la existencia
de este lenguaje para dotar a las definiciones y demostraciones matemáticas de universalidad,
independizándolas del lenguaje natural.
Por último, es importante presentar la matemática como una ciencia viva y no como una
colección de reglas fijas e inmutables. Detrás de los contenidos que se estudian hay un largo
camino conceptual, un constructo intelectual de enorme magnitud, que ha ido evolucionando a
través de la historia hasta llegar a las formulaciones que ahora manejamos.
El desarrollo de esta materia contribuirá a que las alumnas y los alumnos adquieran las
siguientes capacidades:
- Comprender y aplicar los conceptos y procedimientos matemáticos a situaciones diversas
que permitan avanzar en el estudio de las propias matemáticas y de otras ciencias, así como
en la resolución razonada de problemas procedentes de actividades cotidianas y diferentes
ámbitos del saber.
- Considerar las argumentaciones razonadas y la existencia de demostraciones rigurosas sobre
las que se basa el avance de la ciencia y la tecnología, mostrando una actitud flexible,
abierta y crítica ante otros juicios y razonamientos.
- Utilizar las estrategias características de la investigación científica y las destrezas propias de
las matemáticas (planteamiento de problemas, planificación y ensayo, experimentación,
aplicación de la inducción y deducción, formulación y aceptación o rechazo de las
conjeturas, comprobación de los resultados obtenidos) para realizar investigaciones y en
general explorar situaciones y fenómenos nuevos.
- Apreciar el desarrollo de las matemáticas como un proceso cambiante y dinámico, con
abundantes conexiones internas e íntimamente relacionado con el de otras áreas del saber.
- Emplear los recursos aportados por las tecnologías actuales para obtener y procesar
información, facilitar la comprensión de fenómenos dinámicos, ahorrar tiempo en los
cálculos y servir como herramienta en la resolución de problemas.
337
- Utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar
procedimientos, encadenar coherentemente los argumentos, comunicarse con eficacia y
precisión, detectar incorrecciones lógicas y cuestionar aseveraciones carentes de rigor
científico.
- Mostrar actitudes asociadas al trabajo científico y a la investigación matemática, tales como
la visión crítica, la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el interés por el
trabajo cooperativo y los distintos tipos de razonamiento, el cuestionamiento de las
apreciaciones intuitivas y la apertura a nuevas ideas.
- Expresarse verbalmente y por escrito en situaciones susceptibles de ser tratadas
matemáticamente, comprendiendo y manejando representaciones matemáticas.
2. SECUENCIACIÓN DE CONTENIDOS
La Matemática es una disciplina que requiere para su desarrollo una gran lógica interna. Esa
misma lógica es aplicable a la secuenciación de contenidos para su aprendizaje. No por
casualidad el primero de los bloques en los que dividimos la materia en el primer curso es el
correspondiente a la Aritmética y al Álgebra: en él ponemos las bases al lenguaje matemático y
a lo que podemos, o no, hacer con los números.
Al ir encaminada esta modalidad de Bachillerato, Ciencias y Tecnología, a futuros estudios
científico-técnicos, empezamos a sentar las bases de todos los campos de las matemáticas. Así,
se comienza a estudiar, de forma más rigurosa que en ocasiones precedentes, el campo de los
números reales, de gran importancia posterior, se ahonda en la trigonometría y en el estudio
de funciones, se formaliza la geometría y se capacita al alumno, ofreciéndole una base
científica, para la crítica de informaciones estadísticas.
Como complemento al estudio de los contenidos que permiten al estudiante alcanzar las
capacidades propuestas como objetivos, hemos desarrollado un tema inicial dedicado a la
resolución de problemas. No hay mejor forma de iniciar un libro de matemáticas que haciendo
matemáticas: consejos útiles, estrategias que se deben o pueden seguir, líneas de
razonamiento, crítica ante las soluciones... son elementos que los alumnos y las alumnas
aprenderán y utilizarán durante todo el curso.
CONTENIDOS DE 1.º DE BACHILLERATO
- Algunos consejos para resolver problemas.
- Etapas en la resolución de problemas.
- Análisis de algunas estrategias para resolver problemas.
I. ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
Números reales
-
Lenguaje matemático: conjuntos y símbolos.
Los números racionales.
Los números irracionales.
Los números reales. La recta real.
338
-
Valor absoluto de un número real.
Intervalos y semirrectas.
Radicales. Propiedades.
Logaritmos. Propiedades.
Expresión decimal de los números reales.
Aproximación. Cotas de error.
Factoriales y números combinatorios.
Binomio de Newton.
Sucesiones
-
Concepto de sucesión.
Algunas sucesiones importantes.
Límite de una sucesión.
Algunos límites importantes.
Álgebra
-
Fracciones algebraicas.
Ecuaciones con fracciones algebraicas.
Ecuaciones con radicales.
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Sistemas de ecuaciones.
Método de Gauss para sistemas lineales.
Inecuaciones y sistemas de inecuaciones con una incógnita, lineales y cuadráticas.
Inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.
II. TRIGONOMETRÍA Y NÚMEROS COMPLEJOS
Resolución de triángulos
-
Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera.
Ángulos fuera del intervalo 0° a 360°.
Trigonometría con calculadora.
Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos.
Estrategia de la altura para resolver triángulos oblicuángulos.
Resolución de triángulos cualesquiera. Teorema de los senos y teorema del coseno.
Funciones y fórmulas trigonométricas
- Fórmulas trigonométricas.
- Ecuaciones trigonométricas.
- Una nueva unidad para medir ángulos: el radián.
339
- Funciones trigonométricas o circulares.
Números complejos
-
En qué consisten los números complejos. Representación gráfica.
Operaciones con números complejos en forma binómica.
Propiedades de las operaciones con números complejos.
Números complejos en forma polar.
Paso de forma polar a binómica, y viceversa.
Operaciones con números complejos en forma polar.
Fórmula de Moivre.
Radicación de números complejos.
Descripciones gráficas con números complejos.
III. GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Vectores
-
Los vectores y sus operaciones.
Coordenadas de un vector.
Operaciones con coordenadas.
Producto escalar de vectores. Propiedades.
Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales.
Módulo de un vector en una base ortonormal.
Geometría analítica
-
Puntos y vectores en el plano.
Vector que une dos puntos. Puntos alineados.
Punto medio de un segmento. Simétrico de un punto respecto a otro.
Ecuaciones de una recta: vectorial, paramétricas, continua, explícita, implícita.
Haz de rectas.
Paralelismo y perpendicularidad.
Posiciones relativas de dos rectas.
Ángulo de dos rectas.
Cálculo de distancias: entre dos puntos, de un punto a una recta.
Lugares geométricos. Cónicas
-
Estudio de la circunferencia.
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia.
Potencia de un punto a una circunferencia.
Eje radical de dos circunferencias.
Las cónicas como lugares geométricos.
Estudio de la elipse (elementos, excentricidad, ecuación reducida).
Estudio de la hipérbola (elementos, excentricidad, ecuación reducida).
Estudio de la parábola (elementos, ecuación reducida).
Tangentes a las cónicas.
340
IV. ANÁLISIS
Funciones elementales
- Las funciones describen fenómenos reales.
- Concepto de función, dominio y recorrido.
- Familias de funciones elementales: lineales, cuadráticas, raíz, proporcionalidad
inversa, exponenciales, logarítmicas.
- Funciones definidas “a trozos”.
- Funciones interesantes: “parte entera”, “parte decimal”, “valor absoluto”.
- Transformaciones elementales de funciones: traslaciones, simetrías, estiramientos y
contracciones.
- Composición de funciones.
- Función inversa o recíproca de otra.
- Funciones arco.
Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
-
Continuidad. Tipos de discontinuidades.
Límite de una función en un punto. Continuidad.
Cálculo del límite de una función en un punto.
Comportamiento de una función cuando x  .
Cálculo del límite de una función cuando x  .
Comportamiento de una función cuando x  –.
Ramas infinitas. Asíntotas.
Ramas infinitas en las funciones racionales.
Ramas infinitas en las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
Derivadas
-
Crecimiento de una función en un intervalo.
Crecimiento de una función en un punto.
Derivada.
Obtención de la derivada a partir de la expresión analítica.
Función derivada de otra.
Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones sencillas (constante,
identidad, potencia).
Reglas para obtener las derivadas de funciones trigonométricas y sus recíprocas,
exponenciales y logarítmicas.
Reglas para obtener las derivadas de resultados operativos (constante por función,
suma, producto, cociente).
Regla de la cadena.
Utilidad de la función derivada (puntos singulares, optimización, la derivada aplicada
al cálculo de límites).
Representación de funciones polinómicas.
Representación de funciones racionales.
341
V. ESTADÍSTICA
Distribuciones bidimensionales
-
Nubes de puntos.
Correlación. Regresión.
Correlación lineal.
Parámetros asociados a una distribución bidimensional: centro de gravedad,
covarianza, coeficiente de correlación.
- Recta de regresión. Método de los mínimos cuadrados.
- Hay dos rectas de regresión.
- Tablas de contingencia.
3. COMPETENCIAS :CÓMO CONTRIBUYE LA MATERIA A SU
CONSECUCIÓN
Tal y como se describe en la LOMCE, todas las áreas o materias del currículo deben participar en
el desarrollo de las distintas competencias del alumnado. Estas, de acuerdo con las
especificaciones de la ley, son:
En el proyecto de Matemáticas I, tal y como sugiere la ley, se ha potenciado el desarrollo de las
competencias de comunicación lingüística, competencia matemática y competencias básicas en
ciencia y tecnología; además, para alcanzar una adquisición eficaz de las competencias y su
integración efectiva en el currículo, se han incluido actividades de aprendizaje integradas que
permitirán al alumnado avanzar hacia los resultados de aprendizaje de más de una competencia
al mismo tiempo. Para valorarlos, se utilizarán los estándares de aprendizaje evaluables, como
elementos de mayor concreción, observables y medibles, se pondrán en relación con las
competencias clave, permitiendo graduar el rendimiento o el desempeño alcanzado en cada una
de ellas.
La materia de Matemáticas I utiliza una terminología formal que permitirá al alumnado
incorporar este lenguaje a su vocabulario, y utilizarlo en los momentos adecuados con la
suficiente propiedad. Asimismo, la comunicación de los resultados de las actividades y/o
problemas y otros trabajos que realicen favorece el desarrollo de la competencia en
comunicación lingüística.
La competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología son las
competencias fundamentales de la materia. Para desarrollar esta competencia, el alumnado
aplicará estrategias para definir problemas, resolverlos, diseñar pequeñas investigaciones,
elaborar soluciones, analizar resultados, etc. Estas competencias son, por tanto, las más
trabajadas en la materia.
342
La competencia digital fomenta la capacidad de buscar, seleccionar y utilizar información en
medios digitales, además de permitir que el alumnado se familiarice con los diferentes códigos,
formatos y lenguajes en los que se presenta la información científica (datos estadísticos,
representaciones gráficas, modelos geométricos...). La utilización de las tecnologías de la
información y la comunicación en el aprendizaje de las ciencias para comunicarse, recabar
información, retroalimentarla, simular y visualizar situaciones, para la obtención y el
tratamiento de datos, etc., es un recurso útil en el campo de las matemáticas que contribuye a
mostrar una visión actualizada de la actividad científica.
La adquisición de la competencia de aprender a aprender se fundamenta en esta asignatura en
el carácter instrumental de muchos de los conocimientos científicos. Al mismo tiempo, operar
con modelos teóricos fomenta la imaginación, el análisis, las dotes de observación, la iniciativa,
la creatividad y el espíritu crítico, lo que favorece el aprendizaje autónomo. Además, al ser una
asignatura progresiva, el alumnado adquiere la capacidad de relacionar los contenidos
aprendidos durante anteriores etapas con lo que va a ver en el presente curso y en el próximo.
Esta asignatura favorece el trabajo en grupo, donde se fomenta el desarrollo de actitudes como
la cooperación, la solidaridad y el respeto hacia las opiniones de los demás, lo que contribuye a
la adquisición de las competencias sociales y cívicas. Así mismo, el conocimiento científico es
una parte fundamental de la cultura ciudadana que sensibiliza de los posibles riesgos de la
ciencia y la tecnología y permite formarse una opinión fundamentada en hechos y datos reales
sobre el avance científico y tecnológico.
El sentido de iniciativa y espíritu emprendedor es básico a la hora de llevar a cabo el método
científico de forma rigurosa y eficaz, siguiendo la consecución de pasos desde la formulación de
una hipótesis hasta la obtención de conclusiones. Es necesaria la elección de recursos, la
planificación de la metodología, la resolución de problemas y la revisión permanente de
resultados. Esto fomenta la iniciativa personal y la motivación por un trabajo organizado y con
iniciativas propias.
La aportación matemática se hace presente en multitud de producciones artísticas, así como sus
estrategias y procesos mentales fomentan la conciencia y expresión cultural de las sociedades.
Igualmente el alumno, mediante el trabajo matemático podrá comprender diversas
manifestaciones artísticas siendo capaz de utilizar sus conocimientos matemáticos en la
creación de sus propias obras
4. RECURSOS
Los siguientes materiales de apoyo servirán para reforzar y ampliar el estudio de los
contenidos de la unidad:
- Cuaderno del alumnado, en el que este realizará las actividades que se proponen en los
distintos epígrafes; los ejercicios y problemas resueltos ayudarán al alumnado a entender
cómo se resuelven problemas tipo; los ejercicios y problemas guiados darán algunas
pautas que le ayudarán a la hora de enfrentarse a cierto tipo de problemas; y los
ejercicios y problemas propuestos harán que consolide los procedimientos y los
conceptos estudiados en la unidad.
- Calculadora
343
- Fuentes de consulta: libros, enciclopedias, páginas webs, etc. que servirán al alumno para
ampliar conocimientos y le ayudarán a realizar las cuestiones de ampliación.
- Autoevaluación que se propone al final de cada unidad.
Recursos digitales
En la web de Anaya, disponemos de diferentes presentaciones, simulaciones y actividades
interactivas que constituyen un apoyo eficaz para el estudio de la unidad y, en muchos
casos, para la ampliación de contenidos.
Destacamos la presencia de actividades interactivas de Geogebra, y el uso de programas
informáticos como: Geogebra, Wiris, hojas de cálculo y Derive
Las actividades propuestas son de dos tipos, unas están diseñadas para apoyar las
explicaciones del profesorado y facilitar la comprensión de conceptos a través de la
movilidad de las figuras, y otras están dirigidas a la resolución de problemas y su discusión.
Hay además multitud de complementos destinados al refuerzo y a la ampliación en los
distintos apartados de la unidad.
344
PRIMERA EVALUACIÓN
Unidad 1: NUMEROS REALES
1. PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
Título: Números reales. Descripción de la unidad
Los contenidos de esta unidad son conocidos, prácticamente en su totalidad, al comenzar
este curso. Aquí se revisan y se profundiza en ellos, poniendo el énfasis,
fundamentalmente, en los aspectos procedimentales básicos para la formación matemática
del alumnado.
En esta unidad predominan los contenidos procedimentales frente a los conceptuales.
Estos últimos se limitan, casi exclusivamente, a los distintos tipos de números y a su
proceso de aparición. En consecuencia, la gran cantidad de procedimientos que se trabajan
en la unidad (representación de números en la recta real, manejo de la notación científica,
uso de los radicales...) precisan que el alumnado asuma un papel eminentemente activo en
el proceso de aprendizaje.
Se ha optado por evitar las dificultades excesivas, prefiriendo un aprendizaje efectivo de
contenidos razonablemente sencillos, pero importantes y básicos.
Posiblemente, sea este el momento oportuno para comenzar a hacer un uso casi
sistemático de la calculadora, aunque siempre de forma racional. Se debe hacer hincapié,
tanto en indicaciones para el manejo de la calculadora como en las situaciones en las que
conviene usarla y para qué (como elemento comprobador, para buscar aproximaciones a
ciertos resultados, para evitar cálculos tediosos...).
La principal razón de ser de esta unidad de repaso es la cantidad de dudas y dificultades
que arrastra gran parte del alumnado cuando alcanza este nivel. Siendo así, la unidad
puede servir como revisión y repaso de toda una serie de conocimientos que serán
sumamente importantes a lo largo del aprendizaje matemático posterior.
El manejo diestro de los intervalos en R, de los radicales, de los logaritmos, de los
factoriales y de los números combinatorios es básico para estos estudiantes de Ciencias.
Consideramos que la presentación de algunos irracionales importantes y, en particular, del
número áureo, es especialmente interesante. Permite una introducción de los números
reales que, por razones históricas y estéticas, nos parece motivadora y adecuada para este
nivel. Se termina el tratamiento de la aritmética haciendo una revisión de los factoriales y
los números combinatorios y su aplicación al binomio de Newton.
2.
OBJETIVOS DIDÁCTICOS
Conocer los conceptos básicos del campo numérico (recta real, potencias, raíces,
logaritmos, factoriales y números combinatorios) y aplicar sus propiedades al cálculo y a la
345
3.
CONTENIDOS DE LA UNIDAD / CRITERIOS DE EVALUACIÓN /
ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES/ COMPETENCIAS CLAVE
Competencias clave (CC): comunicación lingüística (CCL), competencia matemática y competencias
básicas en ciencia y tecnología (CMCT), competencia digital (CD), aprender a aprender (CAA),
competencias sociales y cívicas (CSYC), sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (SIEP) y
conciencia y expresiones culturales (CEC).
Contenidos
Distintos tipos de números
- Los números
enteros, racionales e
irracionales.
- El papel de los
números irracionales
en el proceso de
ampliación de la
recta numérica.
Recta real
- Correspondencia de
cada número real
con un punto de la
recta, y viceversa.
- Representación
sobre la recta de
números racionales,
de algunos radicales
y, aproximadamente,
de cualquier número
dado por su
expresión decimal.
- Intervalos y
semirrectas.
Representación.
Radicales
Criterios
de evaluación
Estándares de aprendizaje
evaluables
1. Conocer los conceptos
básicos del campo
numérico (recta real,
potencias, raíces,
logaritmos, factoriales y
números
combinatorios).
1.1. Dados varios números, los
clasifica en los distintos
campos numéricos.
1.2. Interpreta raíces y las
relaciona con su notación
exponencial.
1.3. Conoce la definición de
logaritmo y la interpreta
en casos concretos.
factoriales y números
combinatorios y la utiliza
para cálculos concretos.
2. Dominar las técnicas
básicas del cálculo en el
campo de los números
reales.
2.1. Expresa con un intervalo
un conjunto numérico en
el que interviene una
desigualdad con valor
absoluto.
2.2. Opera correctamente con
radicales.
2.3. Opera con números “muy
grandes” o “muy
pequeños” valiéndose de
la notación científica y
acotando el error
cometido.
- Forma exponencial
de un radical.
- Propiedades de los
radicales.
Logaritmos
2.4. Aplica las propiedades de
los logaritmos en
contextos variados.
- Definición y
propiedades.
- Utilización de las
propiedades de los
logaritmos para
realizar cálculos y
para simplificar
2.5. Opera con expresiones
que incluyen factoriales y
346
CC
CCL,
CMCT,
CAA,
SIEP,
CEC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
números combinatorios y
utiliza sus propiedades.
expresiones.
2.6. Resuelve ejercicios en los
que aparece el binomio
de Newton.
- Manejo diestro de la
Factoriales y números
combinatorios
2.7. Utiliza la calculadora para
obtener potencias, raíces,
factoriales, números
combinatorios,
resultados de
en notación científica y
logaritmos.
- Definición y
propiedades.
propiedades de los
números
combinatorios para
realizar recuentos.
- Binomio de Newton.
Calculadora
- Utilización de la
calculadora para
diversos tipos de
tareas aritméticas,
aunando la destreza
de su manejo con la
comprensión de las
propiedades que se
utilizan.
4. COMPETENCIAS / DESCRIPTORES / DESEMPEÑOS
Competencia
Competencia en
comunicación lingüística
Descriptor
Desempeño
Utilizar el vocabulario
adecuado, las
estructuras lingüísticas y
las normas ortográficas y
gramaticales para
elaborar textos escritos
y orales.
Define y emplea correctamente
conceptos relacionados con el
campo de los números reales,
así como con los números
radicales, logaritmos,
expresados en notación
científica, factoriales, etc.
Comprender el sentido
de los textos escritos y
orales.
Redacta informes breves acerca
de las propiedades de la unión e
intersección de intervalos,
operaciones con radicales,
logaritmos, números expresados
en notación científica,
factoriales y combinatorios, etc.
347
Competencia
matemática y
competencias básicas en
ciencia y tecnología
Conocer y utilizar los
magnitudes,
porcentajes,
numérica.
Reconoce la necesidad de
trabajar con diferentes tipos de
números y con sus abreviaturas
y utiliza expresiones que los
contienen.
Expresarse con
propiedad en el lenguaje
matemático.
Entiende la conveniencia de un
lenguaje universal matemático
así como la necesidad operar de
manera unificada con cada tipo
de números, sabiendo aplicar
las diferentes propiedades de
manera efectiva.
Manejar los
conocimientos sobre
ciencia y tecnología para
solucionar problemas,
comprender lo que
ocurre a nuestro
alrededor y responder
preguntas.
Aplica los conocimientos
adquiridos para resolver
problemas de la vida cotidiana
en la que se hace necesaria la
ampliación del campo numérico
con los tipos de números
tratados en esta unidad.
Manejar herramientas
digitales para la
construcción de
conocimiento.
Utiliza los recursos incluidos en
www.anayadigital.com o en la
web, para obtener información
sobre la representación de los
números reales en la recta
numérica y para poder ver la
relación entre el binomio de
Newton y el triángulo de
Tartaglia.
Actualizar el uso de las
mejorar el trabajo y
facilitar la vida diaria.
Utiliza la calculadora de forma
adecuada conociendo cómo
sacarle el máximo partido a la
misma mientras opera con los
números trabajados en la
unidad.
Competencia digital
348
Competencia para
aprender a aprender
Competencias sociales y
cívicas
Conciencia y expresiones
culturales
Planificar los recursos
necesarios y los pasos a
realizar en el proceso de
aprendizaje.
Organiza la información en un
resumen / cuadro para
organizar las propiedades
trabajadas de los diferentes
tipos de números.
Evaluar la consecución
de objetivos de
aprendizaje.
Resume las ideas principales de
la unidad y realiza las
actividades finales de la unidad
para autoevaluar los
conocimientos adquiridos.
Aprender a comportarse
desde el conocimiento
de los distintos valores.
Valora la importancia del
desarrollo de la ciencia a lo
largo del tiempo.
Reconocer riqueza en la
diversidad de opiniones
e ideas.
Respeta las opiniones
expresadas por los compañeros
en las actividades cooperativas.
Actuar con
responsabilidad social y
sentido ético en el
trabajo.
Planifica su trabajo, muestra
iniciativa e interés por conocer y
trabajar la rigurosidad
matemática.
Optimizar recursos
personales apoyándose
en las fortalezas propias.
Utiliza sus conocimientos
previos en la materia y sus
fortalezas a la hora de
enfrentarse a cualquier tarea
dificultosa.
Apreciar los valores
culturales del
patrimonio natural y de
la evolución del
Reconoce la importancia de las
distintas manifestaciones en las
que se han mostrado los
contenidos matemáticos a lo
largo de la historia.
349
Unidad 2: SUCESIONES
Título
Sucesiones
Descripción de la unidad
Esta unidad sirve de puente entre la somera idea de las sucesiones que puedan traer los
estudiantes, adquirida en 3.º de ESO al estudiar las progresiones, y el tratamiento algo más
formal que tendrán en 2.º de Bachillerato, en donde se prestará especial atención al
estudio de los límites (concepto y cálculo).
Las sucesiones se tratan con poca profundidad, dándoles un carácter más cultural que
técnico. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci con alguna de sus muchas versiones (número
de parejas de conejos en una curiosa escalada de fertilidad, rectángulos cuyas dimensiones
se parecen cada vez más a la del rectángulo áureo, tratado en la unidad anterior).
Tras un escueto repaso de las progresiones aritméticas y geométricas se estudian
brevemente las sucesiones de potencias, especialmente las de los cuadrados y la de los
cubos, con las fórmulas para sumar sus primeros términos.
Es claro que, a este nivel, la introducción del concepto del límite debe apoyarse sobre la
idea intuitiva de acercamiento de los valores de la sucesión a un cierto número. (Para los
matemáticos de varios siglos, incluidos entre ellos genios eminentes, esta fue idea más que
suficiente para su quehacer bien riguroso y efectivo). La representación gráfica de algunas
sucesiones sirve para asentar y mejorar esta idea intuitiva de límite absolutamente
suficiente para estos alumnos y alumnas.
La calculadora se introduce en el contexto de las sucesiones de modo muy natural. Es una
práctica muy aconsejable enfrentarse al cálculo del límite de una sucesión, haciendo una
conjetura sobre si la sucesión lo tendrá o no y, en caso de que lo tenga, cuál será.
Experimentar con la calculadora nos puede proporcionar de modo rápido y fácil la
elaboración, así como la confirmación, de conjeturas.
2.
1. Averiguar y describir el criterio por el que ha sido formada una cierta sucesión.
2. Calcular la suma de los términos de algunos tipos de sucesiones.
3. Estudiar el comportamiento de una sucesión para términos avanzados y decidir su límite.
350
3.
Contenidos
Sucesión
- Término general.
- Sucesión recurrente.
- Algunas sucesiones
interesantes.
Progresión aritmética
- Diferencia de una
progresión aritmética.
- Obtención del término
general de una
progresión aritmética
dada mediante algunos
de sus elementos.
- Cálculo de la suma de n
términos.
Progresión geométrica
Criterios
de evaluación
1. Averiguar y describir
el criterio por el que
ha sido formada una
cierta sucesión.
evaluables
1.1. Obtiene términos
generales de
progresiones.
1.2. Obtiene términos
generales de otros tipos
de sucesiones.
1.3. Da el criterio de
formación de una
sucesión recurrente.
CC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
2. Calcular la suma de los
términos de algunos
tipos de sucesiones.
- Razón.
- Obtención del término
general de una
progresión geométrica
dada mediante algunos
de sus elementos.
- Cálculo de la suma de n
términos.
- Cálculo de la suma de los
infinitos términos en los
2.1. Calcula el valor de la
suma de términos de
progresiones.
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
351
casos en los que |r| < 1.
Sucesiones de potencias
- Cálculo de la suma de los
cuadrados o de los
cubos de n números
naturales consecutivos.
Límite de una sucesión
3. Estudiar el
comportamiento de
una sucesión para
términos avanzados y
decidir su límite.
3.1. Averigua el límite de una
sucesión o justifica que
carece de él.
CCL,
- Sucesiones que tienden
a l,  , –  o que
oscilan.
- Obtención del límite de
una sucesión mediante el
estudio de su
comportamiento para
términos avanzados:
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
- Con ayuda de la
calculadora.
- Reflexionando sobre las
peculiaridades de la
expresión aritmética de
su término general.
- Algunos límites
interesantes:
(1  1/n)ⁿ
- Cociente de dos términos
consecutivos de la
sucesión de Fibonacci.
SIEP,
CEC
Competencia
Comunicación lingüística
Descriptor
Desempeño
Comprender el sentido de los
textos escritos y orales.
Comprende los textos que se
presentan en la unidad y extrae la
información adecuada para
trabajar con ellos y responder a
las cuestiones que se plantean.
Expresarse oralmente con
coherencia.
Se expresa de forma adecuada
cuando se refiere a contenidos de
la unidad, presentando
coherencia en su diálogo.
(Sucesión, término, progresión
aritmética, progresión
geométrica, límite, etc.).
352
Competencia matemática y
Respetar las normas de
escucha atenta al interlocutor…
Mantiene una escucha activa en
las explicaciones del aula por
parte del profesor y en las
intervenciones realizadas por los
compañeros.
Conocer y utilizar los elementos
matemáticos básicos:
operaciones, magnitudes,
porcentajes, proporciones,
formas geométricas, criterios de
medición y codificación numérica,
etc.
trabajar con una codificación
numérica universal adecuada que
permita trabajar de una forma
más sencilla con sucesiones.
Comprender e interpretar la
formato gráfico.
Comprende la idea de límite que
se refleja en la representación
gráfica de algunas sucesiones que
se presentan.
Expresarse con propiedad en el
lenguaje matemático.
Utiliza la notación adecuada
cuando realiza las actividades y
los procedimientos utilizados son
claros y eficaces.
Emplear distintas fuentes para la
búsqueda de información.
Utiliza diferentes recursos para
obtener información sobre la
sucesión de Fibonacci, en
especial, en los casos del número
de parejas de conejos en una
escalada de fertilidad y sobre los
rectángulos cuyas dimensiones se
parecen cada vez más a la del
rectángulo áureo, nombrando la
información extraída de cada una
de ellos.
Actualizar el uso de las nuevas
tecnologías para mejorar el
trabajo y facilitar la vida diaria.
Maneja su calculadora de forma
adecuada y ágil para comprobar
conjeturas sobre la exitencia o no
del límite de una sucesión.
Seguir los pasos establecidos y
tomar decisiones sobre los
Conoce las fórmulas para calcular
la suma de los términos de
algunos tipos de sucesiones y las
aplica de forma efectiva de
manera que, si el resultado final
Competencia digital
Aprender a aprender
353
no es el correcto, revisa los pasos
intermedios para localizar, por él
mismo, el error.
Evaluar la consecución de
Resume las ideas principales de la
unidad y realiza las actividades
finales de la misma para
autoevaluar los conocimientos
adquiridos.
diversidad de opiniones e ideas.
Respeta la forma de resolución
de las actividades expresadas por
los compañeros siempre y
cuando sea correcta
matemáticamente.
Evidenciar preocupación por los
más desfavorecidos y respeto a
los distintos ritmos y
potencialidades.
Ayuda de forma espontánea a los
compañeros que presentan
alguna dificultad para aplicar las
destrezas desarrolladas en la
unidad.
emprendedor
Optimizar recursos personales
apoyándose en las fortalezas
propias.
Utiliza sus conocimientos previos
en sucesiones y sus fortalezas a
la hora de enfrentarse a cualquier
tarea dificultosa.
culturales
Mostrar respeto hacia el
patrimonio cultural mundial en
sus distintas vertientes (artísticoliteraria, etnográfica, científicotécnica…), y hacia las personas
que han contribuido a su
desarrollo.
Reconoce la importancia que han
tenido matemáticos de dviersos
siglos en el desarrollo de la
matemática actual.
cívicas
354
Unidad 3: ÁLGEBRA
Título
Álgebra
Es cierto que casi todos los contenidos de la unidad son conocidos por los estudiantes, pero
a la mayoría de estos les viene muy bien hacer un repaso sistemático de estos
procedimientos. Además, encuentran grandes dificultades cuando son ellos quienes deben
plantear las ecuaciones de un problema. Por esta razón, y por el carácter instrumental de la
materia, básico para todo estudio matemático superior, queda justificado que se le vuelva a
prestar atención hasta llegar a un verdadero dominio de estos contenidos.
En estos niveles, más que explicaciones teóricas de conceptos, que ya conocen, lo que
precisan los alumnos y las alumnas es ejercitarse en el uso de estas técnicas. Por ello,
deben asumir el protagonismo de su aprendizaje y realizar los ejercicios que se plantean a
lo largo de la unidad. En este proceso les serán de gran ayuda, para aclarar sus dudas, los
«ejercicios resueltos» que se les ofrecen.
La amplísima oferta de ejercicios y problemas que figura al final de la unidad permitirá a los
profesores seleccionar propuestas acordes con las necesidades de cada estudiante. Las
dificultades, que con tanta frecuencia tienen para traducir al lenguaje algebraico, son
debidas, en parte, a la falta de entrenamiento en la resolución de los correspondientes
problemas aritméticos.
El tratamiento del método de Gauss, presente en los nuevos programas oficiales, puede
consistir en una aproximación al mismo, que se abordará con gran detalle en el curso
próximo. Por ello, solo se tratan sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. En ellas se
practica la esencia del método y se prepara a los alumnos y las alumnas para el curso
próximo.
2.
1. Dominar el manejo de las fracciones algebraicas y de sus operaciones.
2. Resolver con destreza ecuaciones y sistemas de ecuaciones de distintos tipos y
aplicarlos a la resolución de problemas, e interpretar y resolver inecuaciones y
sistemas de inecuaciones.
355
3.
Contenidos
Factorización de polinomios
- Factorización de un
polinomio a partir de la
identificación de sus
raíces enteras.
Fracciones algebraicas
- Operaciones con
fracciones algebraicas.
Simplificación.
- Manejo diestro de las
técnicas algebraicas
básicas.
Ecuaciones
- Ecuaciones de segundo
grado.
- Ecuaciones
bicuadradas.
- Ecuaciones con
- Ecuaciones con
radicales.
- Ecuaciones
exponenciales.
- Ecuaciones
logarítmicas.
Sistema de ecuaciones
- Resolución de sistemas
de ecuaciones de
cualquier tipo que
puedan desembocar en
ecuaciones de las
nombradas.
- Método de Gauss para
resolver sistemas
lineales 3  3.
Criterios de evaluación
1. Dominar el manejo de
las fracciones
algebraicas y de sus
operaciones.
evaluables
1.1. Simplifica fracciones
algebraicas.
1.2. Opera con fracciones
algebraicas.
CC
CCL,
CMCT,
CAA,
SIEP
2. Resolver con destreza
ecuaciones de
distintos tipos y
aplicarlas a la
resolución de
problemas.
2.1. Calcula el valor de la suma
de términos de
progresiones.
2.2. Resuelve ecuaciones con
radicales y con la
incógnita en el
denominador.
2.3. Se vale de la factorización
como recurso para
resolver ecuaciones.
2.4. Resuelve ecuaciones
exponenciales y
logarítmicas.
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP
2.5. Plantea y resuelve
problemas mediante
ecuaciones.
3. Resolver con destreza
sistemas de
ecuaciones y
aplicarlos a la
resolución de
problemas.
3.1. Resuelve sistemas con
segundo grados y los
interpreta gráficamente.
3.2. Resuelve sistemas de
ecuaciones con radicales
y fracciones algebraicas
(sencillos).
356
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
ecuaciones con
expresiones
exponenciales y
logarítmicas.
Inecuaciones
- Resolución de
inecuaciones y sistemas
de inecuaciones con
una incógnita.
de inecuaciones lineales
- Traducción al lenguaje
algebraico de
problemas dados
mediante enunciado.
- Planteamiento y
resolución de problemas
mediante ecuaciones y
sistemas de
ecuaciones.
SIEP
3.4. Resuelve sistemas lineales
de tres ecuaciones con
tres incógnitas mediante
el método de Gauss.
3.5. Plantea y resuelve
problemas mediante
sistemas de ecuaciones.
4. Interpretar y resolver
inecuaciones y
sistemas de
inecuaciones.
4.1. Resuelve e interpreta
gráficamente
inecuaciones y sistemas
de inecuaciones con una
incógnita.
inecuaciones lineales con
dos incógnitas.
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
357
.
COMPETENCIAS / DESCRIPTORES / DESEMPEÑOS
Competencia
Descriptor
Manejar elementos de
de diferentes registros, en
comunicativas.
Traduce de manera
adecuada del lenguaje verbal
al algebraico y valora de
forma positiva este registro
como elemento de
comunicación universal.
Producir textos escritos de
diversas complejidades
para su uso en situaciones
cotidianas o en asignaturas
diversas.
Inventa problemas referidos
a la vida cotidiana que
necesitan la resolución de
una ecuación o un sistema
de ecuaciones para su
resultado definitivo.
Comprender e interpretar
la información presentada
en formato gráfico.
Asocia el número de
soluciones obtenidas al
resolver un sistema de
ecuaciones con su
respectiva representación
gráfica.
Expresarse con propiedad
Entiende la conveniencia de
un lenguaje universal
matemático, así como la
necesidad de la prioridad de
operaciones universal,
sabiendo aplicarla de
manera efectiva.
Aplicar estrategias de
cotidiana.
Aplica de forma adecuada
los conocimientos adquiridos
en la unidad para resolver
problemas,
transformándolos
previamente al lenguaje
algebraico de forma
rigurosa, hecho que le
permite comprender mejor
la realidad que le rodea.
Maneja su calculadora y/o
programas de cáclulo de
Competencia
matemática y
Competencia digital
Desempeño
358
Aprender a aprender
cívicas
forma adecuada conociendo
las órdenes precisas que le
ayudan y facilitan su trabajo.
Desarrollar estrategias que
Organiza la información en
un mapa mental que refleja
los conceptos tratados en la
unidad de forma rigurosa.
Resume las ideas principales
de la unidad y realiza las
actividades finales de esta
para autoevaluar los
largo del tiempo.
Ser constante en el trabajo
Supera con dedicación y
esfuerzo los resultados
adversos que pueda obtener
y vuelve a trabajar sobre el
problema en cuestión hasta
que lo resuelve.
Unidad 4: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
Título
Esta unidad constituye una extensión natural del bloque de trigonometría correspondiente
a 4.º de ESO. Por eso conviene comenzar con un recordatorio de las razones
trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, su utilidad para relacionar
lados y ángulos, las relaciones fundamentales entre ellas y su aplicación para resolver
triángulos rectángulos. Todo este proceso se completará con el estudio de las razones
trigonométricas para ángulos cualesquiera y las relaciones entre algunos de ellos.
Creemos que el estudiante debería memorizar (es decir, aplicar automáticamente después
de entenderlos con claridad) los siguientes resultados:
359
- Proyección de un segmento: A'B' = AB cos .
- Altura de un triángulo: h = a sen .
- El área de un triángulo: A = (1/2) a b sen .
La destreza en la resolución de triángulos rectángulos y lo que ello implica nos lleva a la
resolución de triángulos oblicuángulos. Este paso se realiza de forma natural si, antes de
entrar en los teoremas de los senos y del coseno, se aprende a aplicar la estrategia de la
altura: utilizando únicamente las herramientas anteriores, se pueden resolver triángulos
oblicuángulos sin más que trazar una de las alturas.
Creemos que sería muy interesante que los alumnos supieran resolver triángulos
cualesquiera siguiendo este método antes de aprender a manejar los teoremas que se
aprenden en los apartados siguientes, los cuales, en definitiva, se obtienen aplicando la
estrategia de la altura de un triángulo cualquiera.
Las fórmulas –o grupos de fórmulas– que forman los teoremas de los senos y del coseno,
sirven para la resolución de triángulos cualesquiera de manera automática. Es importante
que el alumno, antes de aplicarlos, sea muy consciente de cuáles son los cuatro elementos
que relacionan cada una de las igualdades para, así, acudir a la que necesita para resolver
cada problema concreto. Por ejemplo:
Conocemos los dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, es decir, a, b, Â , y queremos
conocer el ángulo formado por a y b, es decir, Ĉ .
Para ello, empezamos por hallar el ángulo B̂ (el teorema de los senos relaciona a, b, Â y
B̂ ). Una vez conocido B̂ , hallaremos Ĉ , así:
Ĉ = 180° – ( Â + B̂ )
La representación gráfica de cada modelo de triángulo que se resuelve teórica o
prácticamente, además de ser imprescindible para razonar geométricamente, ayuda a
entender por qué en algunas situaciones hay dos soluciones o no hay solución.
El buen manejo de la calculadora es también crucial en todo este proceso.
2.
1. Conocer el significado de las razones trigonométricas de ángulos agudos, el teorema
de los senos y el teorema del coseno y aplicarlos a la resolución de triángulos
directamente o como consecuencia del planteamiento de problemas geométricos,
técnicos o de situaciones cotidianas.
360
3.
Contenidos
Razones trigonométricas de
un ángulo agudo
- Definición de seno,
coseno y tangente de
un ángulo agudo en un
triángulo rectángulo.
- Relación entre las
razones trigonométicas.
- Cálculo de una razón a
partir de otra dada.
- Obtención con la
calculadora de las
razones trigonométicas
de un ángulo y del que
corresponde a una
razón trigonométrica.
Razones trigonométricas de
ángulos cualesquiera
- Circunferencia
goniométrica.
- Representación de un
ángulo, visualización y
cálculo de sus razones
trigonométricas en la
circunferencia
goniométrica.
- Relaciones de las
razones trigonométricas
de un ángulo cualquiera
con uno del primer
cuadrante.
- Representación de
ángulos conociendo
una razón
trigonométrica.
1. Conocer el significado
de las razones
trigonométricas de
ángulos agudos,
aplicarlas a la
resolución de
triángulos rectángulos
y relacionarlas con las
razones
trigonométricas de
ángulos cualesquiera.
2. Conocer el teorema de
los senos y el del
coseno y aplicarlos a la
resolución de
triángulos
cualesquiera.
evaluables
1.1. Resuelve triángulos
rectángulos.
1.2. Calcula una razón
trigonométrica a partir
de otra.
1.3. Se vale de dos triángulos
rectángulos para
resolver uno
oblicuángulo (estrategia
de la altura).
1.4. Obtiene las razones
trigonométricas de un
ángulo cualquiera
relacionándolo con uno
del primer cuadrante.
2.1. Resuelve un triángulo
oblicuángulo del que se
conocen elementos que
lo definen (dos lados y
un ángulo, dos ángulos y
un lado, tres lados...).
2.2. Resuelve un triángulo
oblicuángulo definido
mediante un dibujo.
2.3. A partir de un enunciado,
dibuja el triángulo que
describe la situación y lo
resuelve.
2.4. Al resolver un triángulo,
reconoce si no existe
solución, si la solución es
única, o si puede haber
calculadora con
ángulos cualesquiera.
361
CC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
dos soluciones.
- Resolución de
triángulos rectángulos.
- Aplicación de la
estrategia de la altura
para resolver triángulos
no rectángulos.
- Teoremas de los senos
y del coseno.
- Aplicación de los
teoremas de los senos
y del coseno a la
resolución de
triángulos.
Competencia
Competencia en
Competencia
matemática y
Descriptor
Desempeño
Comprender el sentido de
Comprende los textos que se
presentan en la unidad y
extrae la información
pertinente de los mismos.
escucha atenta al
interlocutor.
Mantiene una escucha activa
en las explicaciones del aula
por parte del profesor y en las
intervenciones realizadas por
los compañeros y
compañeras.
comunicativas.
Realiza dibujos que
representan los enunciados
de los problemas propuestos
para expresar los datos que
tiene, los que le piden y los
intermedios que necesitaría
conocer.
Manejar los conocimientos
Maneja con soltura los
conocimientos previos sobre
362
comprender lo que ocurre
a nuestro alrededor y
responder a preguntas.
la materia, así como los
adquiridos en la unidad y en
otras áreas que le permiten
contestar a las preguntas que
se le sugieren.
Advierte de la información
representada mediante un
gráfico y la interpreta
correctamente para la
posterior solución de un
problema o cuestión
planteada.
Resolver problemas
Soluciona de manera efectiva
los problemas que se le
presentan, seleccionando
previamente los datos
necesarios y la estrategia más
adecuada en cada caso.
Utiliza la calculadora y/o la
hoja de cálculo para realizar
cálculos y/o comprobar
operaciones conociendo las
teclas adecuadas que le
permiten operar en las
unidades de medidas
adecuadas.
digitales para la
construcción de
conocimiento.
Utiliza los recursos incluidos
en www.anayadigital.com y
en la web para reforzar y/o
ampliar los conocimientos
adquiridos en la unidad.
Aplicar estrategias para la
creativo, crítico, emocional
e interdependiente.
adquiridos sobre
trigonometría para inventar
problemas intermedios que le
permiten resolver los
problemas propuestos.
Es conocedor de cómo
mejorar su aprendizaje y para
ello organiza los recursos que
Competencia digital
Competencia para
aprender a aprender
363
cívicas
aprendizaje.
necesita para enfrentarse a
un nuevo contenido y cuáles
son los pasos en el proceso
del mismo.
Desarrollar capacidad de
y trabajo y para la
Dialoga con los compañeros y
compañeras cuando se
presenta una situación de
conflicto en el aula.
Aplicar derechos y deberes
de la convivencia
ciudadana en el contexto
de la escuela.
Conoce cuáles son sus
deberes en el aula y los aplica,
favoreciendo la convivencia.
Encontrar posibilidades en
aprecian.
Relaciona con facilidad su
propio entorno con ejemplos
prácticos sobre los problemas
que se le proponen,
facilitando la comprensión de
los enunciados a resolver.
Gestionar el trabajo del
tiempos.
Coordina adecuadamente el
tiempo y las tareas de cada
componente cuando realizan,
de forma conjunta,
actividades grupales.
Elaborar trabajos y
estético.
Resuelve triángulos de
diferentes tipos y problemas
trigonométricos cualesquiera
realizando su representación
gráfica, en la que cuida todos
los detalles.
natural y de la evolución
del pensamiento científico.
Reconoce la importancia de
los estudios sobre triángulos a
lo largo de la historia y cómo
estos han favorecido en la
evolución del pensamiento
científico.
culturales
364
Unidad 5: FUNCIONES Y FÓRMULAS
TRIGONOMÉTRICAS
Título: Funciones y fórmulas trigonométricas. Descripción de la unidad
En la primera parte de esta unidad se pretende desarrollar habilidades en el manejo y la
aplicación de las fórmulas trigonométricas. No se trata de que los estudiantes memoricen una
serie de igualdades, sino que deduzcan unas a partir de otras y las utilicen en la simplificación
de expresiones trigonométricas, demostración de identidades y resolución de ecuaciones.
Todo ello de forma gradual y sin olvidar la dificultad que tiene el tratamiento algebraico de las
fórmulas trigonométricas en este nivel. La obtención de las fórmulas trigonométricas resulta
fácil partiendo de la siguiente fórmula: sen ( + ) = sen  cos  + cos  sen .
La demostración de la fórmula anterior, tal como viene en el libro, es clásica y difícil. Pero
puede ser sustituida por esta otra, que es como un puzle (después de copiar y recortar, se
pueden recomponer con las piezas una u otra de las figuras).
Para el estudio de las funciones trigonométricas, que es el propósito fundamental de la unidad,
tenemos que definir el radián. A diferencia de otros manuales de estos niveles, en donde
grados y radianes se utilizan simultáneamente desde los primeros momentos, aquí solo se
introduce el radián para que sirva de base a las funciones trigonométricas. El motivo es claro:
para todo tipo de aplicaciones (astronomía, topografía, etc.), los ángulos se miden en grados,
minutos y segundos sexagesimales. El radián solo tiene razón de ser como medio para describir
las funciones trigonométricas.
Aunque esto todavía no pueden saberlo, los alumnos y las alumnas, sí deben conocer que el
radián solo es útil para generar las funciones circulares. Con este fin, resulta muy útil la
construcción gráfica de la función seno, con la que se aprecia claramente el significado del
radián. Consideramos fundamental que el alumnado se vaya familiarizando con las medidas en
radianes de los ángulos de 0°, 30°, 45°, 60° y 90° y los ángulos asociados a ellos, así como sus
La extensión periódica de las funciones trigonométricas es fácil conceptualmente (el seno de
un ángulo que se obtiene partiendo de  y dando varias vueltas completas es, obviamente,
igual al seno de ). La resolución de ecuaciones trigonométricas sencillas es un buen ejercicio
365
para repasar y dar sentido a las propiedades de las funciones trigonométricas y al significado
de ecuación.
2.
1. Conocer y aplicar las fórmulas trigonométricas fundamentales.
2. Dominar el concepto de radián y las características y gráficas de la funciones
trigonométricas.
3.
Contenidos
Fórmulas trigonométricas
- Razones
trigonométricas del
ángulo suma, de la
diferencia de dos
ángulos, del ángulo
doble y del ángulo
mitad.
- Sumas y diferencias
de senos y cosenos.
- Simplificación de
expresiones
trigonométricas
mediante
transformaciones en
productos.
Criterios
de evaluación
evaluables
1. Conocer las fórmulas
trigonométricas
fundamentales (suma y
resta de ángulos, ángulo
doble, ángulo mitad y
suma y diferencia de
senos y cosenos) y
aplicarlas a cálculos
diversos.
1.1. Utiliza las fórmulas
trigonométricas (suma,
resta, angulo doble...)
para obtener las razones
trigonométricas de
algunos ángulos a partir
de otros.
1.2. Simplifica expresiones
con fórmulas
trigonométricas.
1.3. Demuestra identidades
trigonométricas.
trigonométricas.
366
CC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CEC
Ecuaciones trigonométricas
- Resolución de
ecuaciones
trigonométricas.
El radián
2. Conocer la definición de
radián y utilizarlo para
describir las funciones
trigonométricas.
- Relación entre grados
y radianes.
calculadora en modo
RAD.
- Paso de grados a
radianes, y viceversa.
Las funciones
trigonométricas
2.1. Transforma en radianes
un ángulo dado en
grados, y viceversa.
2.2. Reconoce las funciones
trigonométricas dadas
mediante sus gráficas.
2.3. Representa cualquiera de
las funciones
trigonométricas (seno,
coseno o tangente) sobre
unos ejes coordenados,
en cuyo eje de abscisas
se han señalado las
medidas, en radianes, de
los ángulos más
relevantes.
- Identificación de las
funciones
trigonométricas seno,
coseno y tangente.
- Representación de las
funciones seno,
coseno y tangente.
Competencia
Descriptor
Desempeño
coherencia.
Se expresa de forma correcta
cuando interviene en el aula
utilizando expresiones
coherentes y adecuadas para
cada ocasión.
diversas complejidades
para su uso en situaciones
cotidianas o de asignaturas
diversas.
Demuestra fórmulas
trigonométricas utilizando las
propiedades matemáticas
trabajadas en la unidad que
luego aplica en diversas
situaciones.
contexto: turno de
en las explicaciones y las
correcciones de clase,
preguntado dudas pertinentes
367
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
Competencia
matemática y
palabra, escucha atenta al
interlocutor…
de forma clara y respetando
el turno de palabra.
numérica, etc.
Utiliza los conceptos tratados
en la unidad de forma
adecuada y las relaciones
entre ellos.
Identifica y representa
fácilmente las gráficas de las
funciones elementales: seno,
coseno y tangente.
Organizar la información
matemáticos.
Se plantea, previamente a
enfrentarse a una
demostración: qué tiene, qué
quiere demostrar, qué
necesita para ello…
digitales para la
construcción de
conocimiento.
en www.anayadigital.com o
en la web para complementar
los contenidos de la unidad y
ampliar su conocimiento.
Maneja su calculadora de
forma adecuada conociendo
las teclas para introducir
medidas en grados y radianes
y pasar de una a otra.
Seguir los pasos
decisiones sobre los
siguientes en función de
los resultados intermedios.
Conoce las propiedades de los
ángulos y las aplica de forma
efectiva para realizar
demostraciones, de manera
que, si el resultado final no es
el correcto, revisa los pasos
intermedios para localizar,
por él mismo, el error y lo
modifica.
Competencia digital
Aprender a aprender
368
Realiza las actividades finales
de la unidad y las utiliza para
autoevaluar los
cívicas
Evidenciar preocupación
Ayuda a los compañeros y
compañeras que presentan
alguna dificultad en la
consecución de los objetivos
del tema de forma
espontánea.
Generar nuevas y
desde conocimientos
previos del tema.
Resuelve relaciones
trigonométricas que él mismo
propone para comprobar su
veracidad teniendo en cuenta
sus conocimientos previos y
los adquiridos en la unidad.
culturales
Apreciar la belleza de las
expresiones artísticas y de
las manifestaciones de
cotidiano.
Representa funciones
trigonométricas de forma
adecuada, sin dejarse detalles
que puedan llevar a
confusión, así como
modificaciones de ellas
mismas para comprobar qué
es lo que sucede (–sen α, 2
cos α, etc.).
369
SEGUNDA EVALUACIÓN
Unidad 6: NÚMEROS COMPLEJOS
Título: Números complejos. Descripción de la unidad
La historia sobre el origen de los números complejos y su desarrollo es un elemento muy
motivador para la presentación de esta unidad. La necesidad de los números complejos
surge, ya desde los siglos XV y XVI, del deseo de resolver cierto tipo de ecuaciones
cuadráticas. Grandes matemáticos como Leibnitz, Euler y Gauss están ligados al desarrollo
de estos números.
Este argumento (deseo de resolver cierto tipo de ecuaciones) motiva el paso de los
números reales a «algo que va más allá». Siguiendo con esta línea, conviene hacer
propuestas sencillas al alumnado, como la siguiente, para que así se familiaricen con los
números complejos: «Llama i a 1 , considera las expresiones a + bi como números que
pueden operarse como los reales y, cuando lo necesites, ten en cuenta que i2  –1».
De este modo, podrán efectuar sumas, restas y multiplicaciones de forma natural, llegando
siempre a un resultado de la forma a + bi. Para la división se requiere un pequeño empujón
adicional: «Expresa el denominador de la forma a + bi y multiplica numerador y
denominador por a – bi». De este modo, los estudiantes pueden abordar, por sí solos, las
operaciones aritméticas entre complejos puestos en forma binómica.
A partir de aquí, se continúa con la representación gráfica, la expresión de los números en
forma polar, el paso de forma binómica a polar, y viceversa, y sorprende la sencillez de las
operaciones producto, cociente y potenciación cuando los números que intervienen están
puestos en forma polar. La radicación presenta mayores dificultades, pero enriquece
notablemente el panorama de operaciones en el campo complejo. La representación
gráfica de las raíces resulta hermosa y simplificadora.
Para resolver ecuaciones o sistemas en el campo complejo es útil, nuevamente, la
recomendación de que los estudiantes actúen como si estuviesen en el campo de los
números reales y, cuando lo necesiten, tengan en cuenta que i2  1. Por lo demás, se
aplican aquí todos los consejos válidos para resolver ecuaciones y sistemas en R:
az 2  bz  c  0  z 
b  b 2  4ac
2a
Como sabemos, si b2  4ac  0, hay dos raíces cuadradas de b2  4ac y, por tanto, hay dos
soluciones de la ecuación.
Hay otro tipo de ecuaciones: las que proceden de problemas en los que se requiere calcular
los valores que han de tomar ciertos parámetros para que el resultado de unas operaciones
sea un complejo con ciertas características. Para resolver este tipo de problemas, solo se
requiere saber operar y recordar que dos complejos puestos en forma binómica son iguales
si coinciden sus partes reales y también sus partes imaginarias.
370
A lo largo de la unidad, un buen número de cuestiones del tipo ¿verdadero o falso?,
ayudarán a fijar las nuevas definiciones y los nuevos conceptos que se van estudiando en
ella.
2.
1. Conocer los números complejos, sus representaciones gráficas, sus elementos y sus
operaciones.
3.
Contenidos
Números complejos
- Unidad imaginaria. Números
complejos en forma binómica.
- Representación gráfica de
números complejos.
- Operaciones con números
complejos en forma binómica.
- Propiedades de las operaciones
con números complejos.
Números complejos en forma polar
Criterios
de evaluación
1. Conocer los
números
complejos, sus
representacione
s gráficas, sus
elementos y sus
operaciones.
Estándares de aprendizaje evaluables
1.1. Realiza operaciones combinadas de
números complejos puestos en forma
binómica y representa gráficamente la
solución.
1.2. Pasa un número complejo de forma
binómico a polar, o viceversa, lo
representa y obtiene su opuesto y su
conjugado.
1.3. Resuelve problemas en los que deba
realizar operaciones aritméticas con
complejos y para lo cual deba dilucidar
si se expresan en forma binómica o
polar. Se vale de la representación
gráfica en alguno de los pasos.
- Módulo y argumento.
- Paso de forma binómica a forma
polar y viceversa.
- Producto y cociente de complejos
en forma polar.
- Potencia de un complejo.
- Fórmula de Moivre.
- Aplicación de la fórmula de
Moivre en trigonometría.
Radicación de números complejos
- Obtención de las raíces n-ésimas
de un número complejo.
Ecuaciones en el campo de los complejos
Aplicación de los números complejos a la
resolución de problemas geométricos
371
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
1.4. Calcula raíces de números complejos y las
SIEP,
1.5. Resuelve ecuaciones en el campo de los
números complejos.
CEC
1.6. Interpreta y representa gráficamente
igualdades y desigualdades ente
números complejos.
- Resolución de ecuaciones en C.
CC
Competencia
Descriptor
Desempeño
Entiende el sentido de los
textos que se presentan en la
unidad.
Mantener una actitud
Efectúa la lectura
comprensiva de la inicial y
extrae las ideas principales.
coherencia.
cuando interviene en el aula a
cerca de los contenidos de la
unidad manteniendo la
coherencia en su discurso.
numérica, etc.
Reconoce y asocia el valor de
i, considerando la expresión
a + bi y sus operaciones, así
como su forma polar.
Comprende la representación
de los números imaginarios y
la interpreta adecuadamente
en un eje de coordenadas.
Aplicar métodos de
análisis rigurosos para
mejorar la comprensión de
la realidad circundante en
distintos ámbitos
(biológico, geológico,
físico, químico,
adquiridos en la unidad,
respecto a los números
completos, para ampliar el
campo de los números reales
y poder resolver ecuaciones
de segundo grado que en el
campo de los reales no tenían
solución.
Seleccionar el uso de las
fiabilidad.
Evalúa las fuentes consultadas
según su fiabilidad y
reflexiona sobre la
conveniencia de utilizar la
Competencia
matemática y
Competencia digital
372
información extraída de las
mismas.
digitales para la
construcción de
conocimiento.
en la web para complementar
la información de la unidad y
ampliar su conocimiento.
Generar estrategias para
aprender en distintos
contextos de aprendizaje.
mapa conceptual para reflejar
los contenidos tratados en la
unidad de forma rigurosa y
favorecer su aprendizaje.
Realiza las actividades finales
de la unidad para autoevaluar
los conocimientos adquiridos.
Aplicar derechos y deberes
de la convivencia
de la escuela.
Conoce cuáles son sus
deberes en el aula y los aplica,
favoreciendo la convivencia.
y trabajo y para la
Dialoga con los compañeros y
compàñeras cuando se
Trabaja de forma adecuada y
constante durante toda la
unidad y no merman sus
esfuerzos pese a encontrarse
con errores o dificultades.
Elaborar trabajos y
presentaciones con
sentido estético.
Realiza las representaciones
gráficas de las raíces cuidando
todos los detalles de forma
que, resulta hermosa y
simplificadora.
Aprender a aprender
cívicas
culturales
373
Unidad 7: VECTORES
Título: Vectores.
En esta unidad nos dedicaremos, en exclusiva, a los vectores, dejando para la siguiente su
utilización en la geometría analítica del plano.
Para el aprendizaje de las operaciones con vectores y su significado, es muy formativo su
manejo gráfico en tramas cuadriculadas y de otros tipos (triangulares, hexagonales...). El
trabajo con las operaciones con vectores (suma, producto por un número) da lugar a la
búsqueda de una combinación lineal de dos o más vectores cuyo resultado sea otro vector
dado. Es importante que el alumnado vea, de forma práctica, la multiplicidad de
posibilidades que hay cuando los vectores componentes son más de dos, y la unicidad de
resultados cuando los vectores de partida son solo dos.
Hemos procurado que la versión que aquí se ofrece de base sea de lo más sencilla: dos
vectores con los cuales se puede poner cualquier otro como combinación lineal de ellos (es
decir, dos vectores con distintas direcciones).
El alumnado debe familiarizarse con el producto escalar de vectores y con algunas de sus
propiedades, especialmente la que permite caracterizar la perpendicularidad y la obtención
del módulo de un vector y el coseno de un ángulo. Además, es conveniente que reflexione
sobre el hecho de que con esta operación se controlan, por primera vez, las relaciones
métricas entre vectores (perpendicularidad, ángulo, módulo).
2.
1. Conocer los vectores y sus operaciones y utilizarlos para la resolución de problemas
geométricos.
3.
374
Contenidos
Vectores. Operaciones
- Definición de vector:
módulo, dirección y
sentido.
Representación.
- Producto de un vector
por un número.
- Suma y resta de
vectores.
- Obtención gráfica del
producto de un número
por un vector, del vector
suma y del vector
diferencia.
Combinación lineal de
vectores
1. Conocer los vectores y
sus operaciones y
utilizarlos para la
resolución de
problemas
geométricos.
evaluables
1.1. Efectúa combinaciones
lineales de vectores
gráficamente y
mediante sus
coordenadas.
1.2. Expresa un vector como
combinación lineal de
otros dos, gráficamente
y mediante sus
coordenadas.
1.3. Conoce y aplica el
significado del producto
escalar de dos vectores,
sus propiedades y su
expresión analítica en
una base ortonormal.
- Expresión de un vector
como combinación lineal
de otros.
1.4. Calcula módulos y
ángulos de vectores
dadas sus coordenadas
en una base ortonormal
y lo aplica en situaciones
diversas.
Concepto de base
- Coordenadas de un
vector respecto de una
base.
- Representación de un
vector dado por sus
coordenadas en una
cierta base.
- Reconocimiento de las
coordenadas de un
vector representado en
una cierta base.
- Operaciones con
vectores dados
gráficamente o por sus
coordenadas.
1.5. Aplica el producto escalar
para identificar vectores
perpendiculares, dadas
sus coordenadas en una
base ortonormal.
375
CC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
Producto escalar de dos
vectores
- Propiedades.
- Expresión analítica del
producto escalar en una
base ortonormal.
- Aplicaciones: módulo de
un vector, ángulo de dos
vectores, ortogonalidad.
- Cálculo de la proyección
de un vector sobre otro.
- Obtención de vectores
unitarios con la dirección
de un vector dado.
- Cálculo del ángulo que
forman dos vectores.
- Obtención de vectores
ortogonales a un vector
dado.
- Obtención de un vector
conociendo su módulo y
el ángulo que forma con
otro.
Competencia
Descriptor
Desempeño
escritos y orales.
Define y emplea
correctamente conceptos
relacionados con los
conocimientos adquiridos en
la unidad: módulo, dirección,
sentido, producto de un
vector por un escalar…
cuidando las normas
ortográficas y gramaticales.
escucha atenta al
interlocutor…
en las explicaciones del aula
por parte del profesor y en
las intervenciones realizadas
376
por las compañeras y los
compañeros.
Competencia
matemática y
Competencia digital
Aprender a aprender
diversas complejidades para
su uso en situaciones
diversas.
Inventa problemas referidos
a la vida cotidiana que
necesitan del cálculo de
módulos y ángulos de
vectores dadas sus
coordenadas.
formato gráfico.
Comprende y sabe
interpretar gráficamente el
producto de un número por
un vector, del vector suma y
del vector diferencia, así
como un vector dado por sus
coordenadas en una cierta
base.
cuando realiza las
actividades y sus
procedimientos son claros y
eficaces.
matemáticos.
Extrae la información
importante y la organiza
para utilizar el
procedimiento más
adecuado en cada caso.
la vida diaria.
Investiga en la web sobre
programas para dibujar
vectores que le facilitan, de
forma visual, la comprensión
de ciertos conceptos: base
ortogonal, vectores
perpendiculares…
Identificar potencialidades
funciones ejecutivas.
Es consciente sobre cómo
aprende y utiliza su
autoconocimiento para
mejorar en su práctica
académica.
377
cívicas
culturales
interdependiente…
Aplica destrezas de
pensamiento para mejorar
su creatividad y su espíritu
crítico frente a los
contenidos de la unidad.
situaciones de convivencia y
trabajo y para la resolución
de conflictos.
Dialoga con las compañeras
y los compañeros cuando se
tiempos.
Organiza de forma adecuada
el trabajo que realiza en
grupo.
Optimizar recursos
previos en la materia y sus
fortalezas la hora de
enfrentarse a cualquier tarea
dificultosa.
Elaborar trabajos y
estético.
Resuelve operaciones y
problemas con vectores
realizando su representación
gráfica, en la que cuida
todos los detalles.
378
Unidad 8: GEOMETRÍA ANALÍTICA
Título
Geometría analítica
Los vectores son una magnífica herramienta para el manejo de la geometría analítica:
- Resultan muy útiles para la obtención de puntos que cumplan ciertas propiedades: punto
medio de un segmento, punto simétrico de otro respecto de un tercero, cuarto punto de
un paralelogramo del que se conocen tres... Profundizando en esa línea, se puede
obtener, por ejemplo, el baricentro de un triángulo.
- La ecuación vectorial de una recta es una forma sencilla y clara de describirla. A partir de
ella se obtienen las ecuaciones paramétricas, que, en definitiva, consisten en la
descripción vectorial mediante coordenadas. Y de estas se pasa a la ecuación implícita,
que ya es habitual para estos estudiantes.
No obstante, es necesario que el alumnado afiance sus destrezas en el manejo de las
distintas expresiones de la recta sin ligarlas a los vectores, pues la introducción de estos
nuevos elementos puede entrar en conflicto con las expresiones que ya se conocían de
años atrás (pendiente, ordenada en el origen, punto-pendiente...). En definitiva, conviene
tener cautela para evitar que la introducción de los vectores, en lugar de mejorar las
destrezas en el manejo de rectas, entorpezcan las que ya se poseían.
2.
1. Conocer y dominar las técnicas de la geometría analítica plana.
3.
Contenidos
Sistema de referencia en el
plano
Criterios
de evaluación
1. Conocer y
dominar las
379
Estándares de aprendizaje evaluables
CC
1.1. Halla el punto medio de un
segmento y el simétrico de un
CCL,
- Coordenadas de un
punto.
Aplicaciones de los vectores a
problemas geométricos
técnicas de la
geometría
analítica plana.
- Coordenadas de un
vector que une dos
puntos, punto medio de
un segmento…
Ecuaciones de la recta
- Vectorial, paramétricas y
general.
- Paso de un tipo de
ecuación a otro.
Aplicaciones de los vectores a
problemas métricos
punto respecto de otro.
1.2. Utiliza los vectores y sus
relaciones para obtener un
punto a partir de otros
(baricentro de un triángulo,
cuarto vértice de un
paralelogramo, punto que
divide a un segmento en una
proporción dada...).
1.3. Obtiene distintos tipos de
ecuaciones de una recta a
partir de algunos de sus
elementos (dos puntos, punto
y pendiente, punto y vector
dirección…) o de otras
ecuaciones.
- Vector normal.
- Obtención del ángulo de
dos rectas a partir de
sus pendientes.
- Obtención de la
distancia entre dos
puntos o entre un punto
y una recta.
- Reconocimiento de la
perpendicularidad.
Posiciones relativas de rectas
1.4. Estudia la posición relativa de
dos rectas y, en su caso, halla
su punto de corte (dadas con
diferentes tipos de
ecuaciones).
1.5. Dadas dos rectas (expresadas
con diferentes tipos de
ecuaciones) establece
relaciones de paralelismo o
perpendicularidad y calcula el
ángulo que forman.
- Obtención del punto de
corte de dos rectas.
- Ecuación explícita de la
recta. Pendiente.
- Forma punto-pendiente
de una recta.
- Obtención de la
pendiente de una recta.
Recta que pasa por dos
puntos.
1.6. Calcula el ángulo entre dos
rectas (dadas con diferentes
tipos de ecuaciones).
1.7. Calcula la distancia entre dos
puntos o de un punto a una
recta.
pendientes de rectas
paralelas o
perpendiculares.
- Obtención de una recta
paralela (o
perpendicular) a otra
que pasa por un punto.
- Haz de rectas.
1.8. Resuelve ejercicios relacionados
con un haz de rectas.
1.9. Resuelve problemas
geométricos utilizando
herramientas analíticas.
380
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
Competencia
Comunicación
lingüística
Competencia
matemática y
competencias
básicas en ciencia y
tecnología
Descriptor
Desempeño
Comprender el sentido de Comprende de forma autónoma
los textos escritos y
los textos que se le presentan en la
orales.
unidad, así como los ejemplos
resueltos del libro o los propuestos
por el profesor.
comunicación no verbal,
o en diferentes registros,
en las diversas
situaciones
comunicativas.
Utiliza de forma ágil
representaciones gráficas para
expresar lo que quiere decir.
numérica, etc.
Conoce y sabe calcular de forma
adecuada diferentes elemento
trabajados en la unidad: punto
medio de un segmento, punto
simétrico, baricentro…
Reconocer la importancia
vida cotidiana.
Reconoce la importancia que tiene
la aplicación de los vectores a
problemas métricos para los
geométricos que, de otro modo, no
se podrían realizar.
en el lenguaje
matemático.
cuando realiza las actividades y sus
eficaces.
Emplear distintas fuentes
información.
Busca información para reforzar
y/o ampliar contenidos de la
unidad en diferentes fuentes,
nombrándolas en todo momento.
Utilizar los distintos
canales de comunicación
audiovisual para
Utiliza diferente medios
audiovisuales para transmitir
información sobre los contenidos
de la unidad (gráficos en tramas
Competencia digital
381
transmitir informaciones
diversas.
diversas, programas
informáticos…).
Desarrollar estrategias
que favorezcan la
comprensión rigurosa de
los contenidos.
Realiza un mapa mental sobre sus
conocimientos previos de rectas
(pendiente, ordenada en el origen,
punto-pendiente...) para que no
entren en contradicción con los
contenidos que va a trabajar esta
unidad respecto a vectores.
Seguir los pasos
decisiones sobre los
siguientes en función de
los resultados
intermedios.
Conoce cómo se pasa de una forma
de la recta a otra y aplica el
procedimiento siguiendo los pasos
adecuados, aunque, si el resultado
final no es el correcto, revisa los
mismo, el error.
Aplicar derechos y
deberes de la convivencia
de la escuela.
Conoce cuáles son sus deberes en
el aula y los aplica, favoreciendo la
convivencia.
Sentido de iniciativa
y espíritu
emprendedor
Generar nuevas y
desde conocimientos
previos del tema.
Resuelve problemas en los que
intervienen diferentes rectas
inventadas por él y realiza un
estudio exahustivo sobre su
posiciones relativas (punto de
corte, ángulo que forman…).
Conciencia y
expresiones
culturales
Valorar la
interculturalidad como
una fuente de riqueza
Reconoce la importancia de la
interacción con otros para
favorecer los diferentes puntos de
vista y enriquecer la visión de la
unidad.
Aprender a aprender
Competencias
sociales y cívicas
382
Unidad 9: CÓNICAS
Título
Lugares geométricos. Cónicas
El aprendizaje de las cónicas puede tener mucho de cultural y de lúdico. En ese sentido,
hemos repartido algunas pinceladas en los márgenes y en distintos apartados.
En el aspecto puramente geométrico (es decir, geometría no analítica) puede sacársele
partido a la idea inicial: las cónicas como resultado de intersecar un plano con una
superficie cónica. Además de las cuatro familias de cónicas nos encontraremos -al situar el
plano a todas sus posibles posiciones- con puntos, rectas, pares de rectas... Como el
profesor ya sabe, en este contexto se les acostumbra a llamar cónicas degeneradas.
Creemos especialmente interesante enfatizar en problemas de lugares geométricos,
especialmente aquellos que, de antemano, se desconoce la figura que van a formar.
Por ejemplo:
- Puntos cuya suma de cuadrados de distancias a dos puntos fijos es constante (se trata de
una circunferencia).
- Puntos cuya diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos es constante (se
trata de una recta perpendicular al segmento que une los puntos).
El siguiente razonamiento permite generar problemas de lugares geométricos relacionados
con las cónicas. Sabemos que una parábola es el lugar geométrico de los puntos, P, cuya
distancia a uno fijo, foco, F, coincide con su distancia a una recta fija, directriz d. Es decir:
dist (P, F)  dist (P, d)
Esta expresión se puede poner así:
dist  P, F 
dist  P,d 
1
Cabe preguntarse ¿cuál es el lugar geométrico de los puntos, P, del plano que cumplen la
condición?
dist  P, F 
dist  P,d 
K
siendo K > 0 y K  1
La respuesta es muy interesante:
- Si 0 < K < 1, el lugar geométrico es una elipse.
- Si K > 1, es una hipérbola.
383
En ambos casos, K es su excentricidad. La propiedad puede expresarse en forma general
así: el lugar geométrico de los puntos P que cumplen la condición:
dist  P, F 
dist  P,d 
2.
 K  0 es ua cónica de excentricidad igual a K.
1. Obtener analíticamente lugares geométricos.
2. Resolver problemas para los que se requiera dominar a fondo la ecuación de la
circunferencia.
3. Conocer los elementos característicos de cada una de las otras tres cónicas (elipse,
hipérbola, parábola): ejes, focos, excentricidad…, y relacionarlos con su
correspondiente ecuación reducida.
3.
Contenidos
Estudio analítico de los
lugares geométricos
- Resolución de
problemas de lugares
geométricos,
identificando la figura
resultante.
Ecuación de la circunferencia
- Características de una
ecuación cuadrática en
x e y para que sea una
circunferencia.
- Obtención de la
ecuación de una
circunferencia a partir
de su centro y su radio.
- Obtención del centro y
del radio de una
circunferencia a partir
de su ecuación.
- Estudio de la posición
relativa de una recta y
Criterios
de evaluación
1. Obtener
analíticamente
lugares
geométricos.
evaluables
1.1. Obtiene la expresión analítica
de un lugar geométrico
plano definido por alguna
propiedad, e identifica la
figura de que se trata.
CC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CEC
2. Resolver problemas
para los que se
requiera dominar a
fondo la ecuación
de la
circunferencia.
2.1. Escribe la ecuación de una
circunferencia determinada
por algunos de sus
elementos u obtiene los
elementos (centro y radio)
de una circunferencia dada
por su ecuación.
2.2. Halla la posición relativa de
una recta y una
circunferencia.
2.3. Resuelve ejercicios en los
384
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
que tenga que utilizar el
concepto de potencia de un
punto respecto a una
circunferencia o de eje
radical.
una circunferencia.
- Potencia de un punto a
una circunferencia.
Estudio analítico de las
cónicas como lugares
geométricos
- Elementos
característicos (ejes,
focos, excentricidad).
- Ecuaciones reducidas.
Obtención de la ecuación
reducida de una cónica
- Identificación del tipo de
cónica y de sus
elementos a partir de su
ecuación reducida.
3. Conocer los
elementos
característicos de
cada una de las
otras tres cónicas
(elipse, hipérbola,
parábola): ejes,
focos,
excentricidad…, y
relacionarlos con
su
correspondiente
ecuación reducida.
3.1. Representa una cónica a
partir de su ecuación
reducida (ejes paralelos a los
ejes coordenados) y obtiene
nuevos elementos de ella.
3.2. Describe una cónica a partir
de su ecuación no reducida
y la representa.
cónica dada mediante su
representación gráfica y
obtiene algunos de sus
elementos característicos.
cónica dados algunos de sus
elementos.
Competencia
Descriptor
Desempeño
contexto: turno de
palabra, escucha atenta al
interlocutor…
Mantiene una escucha activa,
tanto en las explicaciones del
aula por parte del profesor
como en las realizadas por los
compañeros y compañeras y
cuando interviene, lo hace
respetando el turno de
palabra.
coherencia.
manteniendo coherencia en su
discurso.
Comunicación
lingüística
385
CEC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
Competencia
matemática y
Competencia digital
Efectúa la lectura comprensiva
de los textos que se presentan
en los márgenes y en distintos
aparatados y extrae las ideas
principales.
Reconocer la importancia
vida cotidiana.
Entiende cómo ha ido
evolucionando la ciencia
gracias a los diversos
planteamientos que se ha
hecho el hombre a lo largo de
la historia y cómo se han
generado multitud de
problemas al pensar en el lugar
geométrico.
numérica, etc.
Conoce los elementos
característicos de
circunferencia, elipse,
hipérbola y parábola, y cuál es
su ecuación reducida.
Conoce e identifica qué cónica
o elementos se forma como
resultado de intersecar un
plano con una superficie
cónica.
digitales para la
construcción de
conocimientos.
www.anayadigital.com o en la
web para reforzar y/o ampliar
sus conocimientos sobre las
cónicas.
Elaborar y publicitar
información propia
derivada de la obtenida a
través de medios
tecnológicos.
Elabora un tríptico sobre cómo
se forman las diferentes
cónicas trabajadas en la unidad
y cuáles son las ecuaciones que
las caracterizan mediante un
programa informático.
386
Organiza los contenidos en un
esquema-resumen de manera
que le permite observar, de un
simple golpe de vista, todos los
contenidos trabajados en la
unidad.
Se autoevalúa después de
realizar las actividades de
autoevaluación y reflexiona
sobre los resultados obtenidos.
y cívicas
y trabajo y para la
Dialoga con las compañeras y
los compañeros cuando trabaja
en grupo favoreciendo la
convivencia en el mismo.
Contagiar entusiasmo por
la tarea y confianza en las
posibilidades de alcanzar
objetivos.
Anima a los compañeros
cuando se les presentan
dificultades.
Conciencia y
cotidiano.
Representa diferentes lugares
geométricos y busca elementos
de la vida cotidiana que se
correspondan con ellos.
Aprender a aprender
387
Unidad 10: FUNCIONES ELEMENTALES
Título
Para iniciarnos en el Análisis es imprescindible hacer una puesta al día de lo que sobre
funciones se aprendió en la ESO.
Se empieza recordando los conceptos básicos: función, dominio, recorrido, las diversas
formas de definir una función y las razones que restringen el dominio de definición.
A continuación se repasan una serie de familias de funciones (lineales, cuadráticas, de
proporcionalidad inversa, radicales, exponenciales, logarítmicas) y las definidas mediante
«trozos» de las anteriores.
Se obtienen otras funciones relacionadas con las elementales mediante pequeñas
modificaciones de sus expresiones analíticas, que se manifiestan visiblemente en sus
gráficas mediante traslaciones, estiramientos, simetrías o contracciones: f(x) + k, –f(x), f(–
x), f(x + a), |f(x)|. Con todo ello, se pretende aportar y consolidar un bagaje de
conocimientos básicos que implican una notable familiaridad con las funciones de más uso,
lo cual es interesante por sí mismo y, además, resultará indispensable para poder construir
los conceptos básicos del análisis que se verán a continuación: límites y derivadas.
Merece una atención especial:
- La parábola, su identificación partiendo de la expresión analítica y la representación a
partir de su vértice y del signo del coeficiente de x2.
- Las funciones de proporcionalidad inversa y las radicales aportan peculiaridades en sus
dominios de definición y en sus ramas infinitas.
- El dominio de las técnicas por las que se transforma la gráfica de una función al efectuar
pequeñas modificaciones en su expresión analítica amplía la gama de funciones
reconocibles a simple vista y ayuda a destacar las características esenciales de la gráfica.
- La destreza en la representación e interpretación de funciones definidas «a trozos»
permitirá la expresión de nuevas funciones, como «parte entera», «parte decimal» y
«valor absolluto», que encontramos en algunas situaciones ligadas al mundo real y
aportará, más adelante, un soporte para la comprensión de las ideas de límite y
continuidad.
- El estudio de la composición de funciones y la función inversa o recíproca de una función
son una herramienta nueva para obtener otras funciones y para profundizar en el
estudio de algunas de las ya conocidas como la exponencial y la logarítmica .
388
- La definición de las funciones arco, como funciones inversas de las trigonométricas, debe
ser motivo para que estas (que fueron estudiadas en trigonometría) se repasen dentro
del ámbito de las funciones. Si los estudiantes comprenden que la función arc sen podría
ser definida tomando un tramo decreciente, en vez del tramo creciente por el que se ha
optado, entenderá, en su momento, por qué en su derivada aparece un doble signo
D  arc sen x   1/ 1  x 2  y por qué optamos por el signo +. Algo similar cabría decir


de la función arc cos x.
2.
1. Conocer las características de funciones elementales, asociar sus expresiones analíticas
a sus gráficas y reconocer las transformaciones que se producen en estas como
consecuencia de algunas modificaciones en su expresión analítica.
2. Conocer la composición de funciones y la función inversa de una dada.
3.
389
Contenidos
Funciones elementales.
Composición y función
inversa
- Dominio de definición
de una función.
- Obtención del dominio
de definición de una
función dada por su
expresión analítica.
funciones definidas «a
trozos».
- Funciones
cuadráticas.
Características.
y obtención de su
- Funciones de
proporcionalidad
inversa.
Características.
funciones de
proporcionalidad
inversa, y obtención
de su expresión
analítica.
- Funciones radicales.
Características.
funciones radicales, y
obtención de su
- Funciones
exponenciales.
Características.
Criterios
de evaluación
evaluables
1. Conocer el concepto de
dominio de definición
de una función y
obtenerlo a partir de su
1.1. Obtiene el dominio de
definición de una función
dada por su expresión
analítica.
1.2. Reconoce y expresa con
corrección el dominio de
una función dada
gráficamente.
1.3. Determina el dominio de
una función teniendo en
cuenta el contexto real del
enunciado.
2. Conocer las familias de
funciones elementales y
asociar sus expresiones
analíticas con las formas
de sus gráficas.
2.1. Asocia la gráfica de una
función lineal o cuadrática
a su expresión analítica.
función radical o de
proporcionalidad inversa a
su expresión analítica.
función exponencial o
logarítmica a su expresión
analítica.
CC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC.
CEC
función elemental a su
3. Dominar el manejo de
funciones elementales,
así como de las
trozos».
3.1. Obtiene la expresión de una
función lineal a partir de su
gráfica o de algunos
elementos.
3.2. A partir de una función
cuadrática dada, reconoce
su forma y su posición y la
representa.
3.3. Representa una función
exponencial y una función
logarítmica dadas por su
funciones
exponenciales, y
390
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
CEC
reconocimiento como
exponencial de alguna
función dada por la
gráfica.
- Funciones
logarítmicas.
Características.
funciones
logarítmicas, y
reconocimiento como
logarítmica de alguna
gráfica.
- Funciones arco.
Características.
funciones arco y las
trigonométricas.
- Composición de
funciones.
- Obtención de la
función compuesta de
otras dos dadas.
Descomposición de
una función en sus
componentes.
- Función inversa o
recíproca de otra.
- Trazado de la gráfica
de una función
conocida la de su
inversa.
- Obtención de la
expresión analítica de
f –1(x), conocida f(x).
Transformaciones de
funciones
- Conociendo la
representación gráfica
de y  f(x), obtención
de las de
y  f(x)  k,
y  k f(x), y  f(x  a),
y  f(–x), y  |f(x)|.
3.4. Obtiene la expresión
analítica de una función
cuadrática o exponencial a
partir de su gráfica o de
algunos de sus elementos.
3.5. Representa funciones
definidas «a trozos» (solo
lineales y cuadráticas).
dada por un enunciado
(lineales, cuadráticas y
exponenciales).
4. Reconocer las
transformaciones que
se producen en las
gráficas como
consecuencia de
algunas modificaciones
en sus expresiones
analíticas.
4.1. Representa
y  f(x) ± k,
y  f(x ± a) e
y  – f(x) a partir de la
gráfica de
y  f(x).
4.2. Representa y  |f(x)| a
partir de la gráfica de
y  f(x).
4.3. Obtiene la expresión de y 
|ax  b| identificando las
ecuaciones de las rectas
que la forman.
5. Conocer la composición
de funciones y las
relaciones analíticas y
gráficas que existen
entre una función y su
inversa o recíproca.
5.1. Compone dos o más
funciones.
5.2. Reconoce una función
como compuesta de otras
dos, en casos sencillos.
5.3. Dada la gráfica de una
función, representa la de
su inversa y obtiene
valores de una a partir de
los de la otra.
analítica de la inversa de
una función en casos
sencillos.
391
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
CEC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
Competencia
Competencia en
Competencia
matemática y
Competencia digital
Descriptor
Desempeño
Expresarse oralmente
con corrección,
adecuación y
coherencia.
Se expresa con coherencia y
correción cuando explica cómo
ha desarrollado una actividad
de la unidad.
comunicación no verbal,
o en diferentes registros,
en las diversas
situaciones
comunicativas.
gráficas para hacerse entender
cuando se comunica en el aula
con el profesor o con los
compañeros.
Utilizar los
conocimientos sobre la
lengua para buscar
información y leer textos
en cualquier situación.
previos de la lengua para leer
textos, expresiones o gráficos
en los que intervienen
funciones elementales y/o sus
expresiones analíticas.
Comprender e
interpretar la
información presentada
Asocia a las diferentes
funciones trabajadas en la
unidad sus representaciones
gráficas y viceversa.
Expresarse con
propiedad en el lenguaje
matemático.
cuando realiza las actividades,
siendo los procedimientos
claros y eficaces.
Manejar los
conocimientos sobre
comprender lo que
ocurre a nuestro
alrededor y responder a
preguntas.
Utiliza sus conocimiento previos
sobre matemáticas para
comprender alguna funciones
nuevas (parte entera, parte
decimal, valor absoluto…) que
se encuentran ligadas a
situaciones del mundo real.
Utiliza la calculadora y otros
programas informáticos para
facilitarse los cálculos y
392
representaciones y rentabilizar
su trabajo.
Utilizar los distintos
canales de comunicación
audiovisual para
transmitir informaciones
diversas.
Representa funciones en
diferentes canales de
comunicación audiovisual (lápiz
y papel, imágenes fijas, vídeos,
Geogebra…).
Aplicar estrategias para
la mejora del
pensamiento creativo,
crítico, emocional,
interdependiente…
Aplica destrezas de
pensamiento creativo para
construir funciones
transformadas o compuestas.
aprendizaje.
Es consciente de cómo es su
proceso de aprendizaje y de qué
es lo que necesita para
aprender, planificando con
anterioridad qué recursos
necesita para que dicho proceso
sea efectivo.
diálogo con los demás
en situaciones de
convivencia y trabajo y
para la resolución de
conflictos.
Se comunica con los
compañeros y compañeras de
forma activa cuando se
desarrollan situaciones de
trabajo común en el aula.
Encontrar posibilidades
en el entorno que otros
no aprecian.
Encuentra en su entorno más
cercano situaciones que se
pueden reflejar mediante las
unidad.
culturales
Elaborar trabajos y
presentaciones con
sentido estético.
Representa diferentes
funciones de forma adecuada y
prestando especial atención a
los detalles.
Competencia para
aprender a aprender
cívicas
393
Unidad 11: LÍMITES DE FUNCIONES.
CONTINUIDAD
Título
La idea gráfica, tanto de continuidad y discontinuidad como de los distintos tipos de límites
y ramas infinitas, es sencilla y clara. El paso a la obtención de métodos analíticos por los
que se reconozcan estas características de las funciones a partir de sus expresiones
analíticas es el contenido fundamental de esta unidad. El estudiante debe ser consciente
del proceso seguido:
- Si la función se nos da gráficamente, apreciamos en ella una serie de características:
continuidad, discontinuidades y sus tipos, límites en un punto y su relación con la
continuidad, límites en el infinito y ramas infinitas.
- Estas evidencias gráficas dan lugar a métodos analíticos con los que se puede obtener
información sobre dichas características a partir de la expresión analítica de la función.
¿Con qué fin seguimos ese proceso? Pues, si es fácil apreciar tales características sobre la
gráfica, ¿para qué ir a buscarlas en las expresiones analíticas, donde resulta difícil y
laborioso hallarlas? Aunque la respuesta es obvia, debemos subrayarla: habitualmente, las
funciones se nos dan analítica y no gráficamente.
Destacamos como especialmente importantes estas consideraciones didácticas:
- El resultado que afirma «Todas las funciones definidas por sus expresiones analíticas
elementales (es decir, todas las que conocemos hasta ahora) son continuas en todos los
puntos en los que están definidas» nos permite obtener como obvios infinidad de límites
en los que no existe indeterminación.
- El interés de recurrir a la calculadora para dilucidar el signo en los siguientes casos:
algunos límites infinitos cuando x → a por la derecha o por la izquierda, o el signo de la
diferencia entre una función y su asíntota para situar respecto a esta la rama infinita.
- «El protagonismo de una función polinómica, cuando x  +∞ o x  –∞, lo desempeña
su término de mayor grado». Esta sencilla afirmación resulta sumamente fecunda para el
cálculo de límites en el infinito en los que intervengan expresiones polinómicas. Es
deseable que los estudiantes lo entiendan a la perfección, y automaticen su uso. Y, en lo
posible, lo hagan extensivo a otro tipo de funciones.
394
- Los límites de funciones racionales cuando x  +∞ o x  –∞, que el alumnado debe
calcular automaticamente teniendo en cuenta el grado del numerador y del denominador
y el valor de los coeficientes de mayor grado en ambos.
- Puesto que en este nivel solo veremos asíntotas oblicuas en funciones racionales, hemos
considerado que basta con aprender la obtención de estas mediante el cálculo algebraico
del cociente P(x) : Q(x). No obstante se añade la definición con límites para aquellos
estudiantes que quieran saber un poco más.
No es en los procesos matemáticos donde suelen hallarse las mayores dificultades de los
estudiantes, sino en la correcta interpretación de los mismos y el papel que desempeñan en
la representación gráfica de funciones. Una forma de ir suavizando esta dificultad es,
creemos, interpretar gráficamente todo resultado analítico que se obtenga.
2.
1. Conocer los distintos tipos de límites, identificarlos sobre la gráfica de una función,
calcularlos analiticamente e interpretar su significado.
2. Identificar la continuidad o la discontinuidad de una función en un punto.
3. Aplicar el cálculo de límites al estudio de las ramas infinitas de funciones polinómicas y
racionales, y a su representación.
3.
Contenidos
Continuidad.
Discontinuidades
- Dominio de definición
de una función.
- Reconocimiento sobre
la gráfica de la causa
de la discontinuidad
de una función en un
punto.
- Decisión sobre la
continuidad o
discontinuidad de una
Criterios
de evaluación
evaluables
analítico y gráfico de
los distintos tipos de
límites e identificarlos
sobre una gráfica.
1.1. Dada la gráfica de una función
reconoce el valor de los
límites cuando
x  , x  –,
x  a–, x  a+ ,
x  a.
1.2. Interpreta gráficamente
expresiones del tipo
límf (x)   ( y 
x 
son , – o un número), así
395
CC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CEC
como los límites laterales.
función.
Límite de una función en un
punto
- Representación
gráfica de las distintas
posibilidades de
límites en un punto.
- Cálculo de límites en
un punto:
De funciones
continuas en el punto.
De funciones
definidas a trozos.
De cociente de
polinomios.
Límite de una función en
 o en –
- Representación
gráfica de las distintas
posibilidades de
límites cuando
x   y cuando
x  –.
- Cálculo de límites:
De funciones
polinómicas.
De funciones inversas
de polinómicas.
De funciones
racionales.
Ramas infinitas asíntotas
- Obtención de las
ramas infinitas de una
función polinómica
cuando x  .
- Obtención de las
función racional
cuando x  c–,
x  c+, x   y
x  –.
2. Adquirir un cierto
dominio del cálculo de
límites sabiendo
interpretar el
significado gráfico de
los resultados
obtenidos.
2.1. Calcula el límite en un punto
de una función continua.
de una función racional en la
que se anula el denominador
y no el numerador y distingue
el comportamiento por la
izquierda y por la derecha.
de una función racional en la
que se anulan numerador y
denominador.
2.4. Calcula los límites cuando x 
 o x  – de funciones
polinómicas.
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CEC
2.5. Calcula los límites cuando x 
 o x  – de funciones
racionales.
2.6. Calcula el límite de funciones
definidas «a trozos», en un
punto cualquiera o cuando
x   o x  –.
función continua e
identificar la
continuidad o la
función en un punto.
3.1. Dada la gráfica de una función
reconoce si en un cierto
punto es continua o
discontinua y en este último
caso identifica la causa de la
discontinuidad.
3.2. Estudia la continuidad de una
función dada «a trozos».
3.3. Estudia la continuidad de
funciones racionales dadas
396
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CEC
por su expresión analítica.
4. Conocer los distintos
tipos de ramas
infinitas (ramas
parabólicas y ramas
que se ciñen a
asíntotas verticales
horizontales y
oblicuas) y dominar su
obtención en
funciones polinómicas
y racionales.
4.1. Halla las asíntotas verticales de
una función racional y
representa la posición de la
curva respecto a ellas.
4.2. Estudia y representa las ramas
infinitas de una función
polinómica.
4.3. Estudia y representa el
comportamiento de una
función racional cuando
x   y x  –. (Resultado:
ramas parabólicas).
x   y x  – .
(Resultado: asíntota
horizontal).
x   y x  –. (Resultado:
asíntota oblicua).
4.6. Halla las ramas infinitas de
una función racional y
representa la posición de la
curva respecto a ellas.
4.7. Estudia y representa las ramas
infinitas en funciones
trigonométricas,
exponenciales y logarítmicas
sencillas.
397
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
Competencia
Comunicación
lingüística
Competencia
matemática y
competencias
básicas en
ciencia y
tecnología
Descriptor
Desempeño
escucha atenta al
interlocutor…
Mantiene una escucha activa en las
explicaciones y las correcciones de
clase, preguntado dudas pertinentes
de forma clara y respetando el turno
de palabra.
Comprende, basándose en sus
conocimientos previos, a qué tiende el
límite de una función cuando tiende a
+∞ o a -∞ cuando la ve representada.
escritos y orales.
conceptos relacionados con los
conocimientos adquiridos en la unidad
utilizándolos de manera adecuada
para expresarse, tanto de forma oral
como escrita.
numérica, etc.
Conoce y utiliza de forma correcta los
elementos matemáticos básicos
necesarios para la unidad: dominio,
continuidad, discontinuidad, límite,
ramas, asíntotas…
Utiliza la notación adecuada cuando
realiza las actividades y los
procedimientos son claros y eficaces.
Resolver problemas
Utiliza adecuadamente las técnicas
aprendidas para calcular los
elementos que se le piden en cada
problema propuesto.
Comprende e interpreta, en funciones
polinómicas y racionales
representadas, por qué son de una
determinada sus ramas infinitas y no
de otra.
398
fiabilidad.
Evalúa las fuentes consultadas según
su fiabilidad y reflexiona sobre la
conveniencia de utilizar la información
extraída de las mismas.
digitales para la
construcción de
conocimiento.
www.anayadigital.com y en la web
para complementar y/o ampliar
información sobre la unidad.
Realiza un mapa mental previo a la
unidad con los contenidos que posee a
cerca de las funciones para, de este
modo, saber con certeza cuál es el
conocimiento con el que parte y qué
necesita reforzar para enfrentarse a
esta unidad.
unidad y realiza las actividades finales
de la unidad para autoevaluar los
compañeras que presentan alguna
dificultad en la consecución de los
objetivos del tema de forma
espontánea.
Sentido de
iniciativa y
espíritu
emprendedor
Mostrar iniciativa personal
para comenzar o promover
acciones nuevas.
Inventa, de forma espontánea,
pequeñas modificaciones en las
funciones con las que trabaja para
estudiar cómo cambia el
comportamiento de sus asíntotas.
Conciencia y
expresiones
culturales
Elaborar trabajos y
estético.
Representa funciones polinómicas y
racionales y sus asíntotas cuando
todos los detalles para que no haya
lugar a ninguna confusión.
Competencia
digital
Aprender a
aprender
Competencias
sociales y
cívicas
399
TERCERA EVALUACIÓN
Unidad 12: INICIACIÓN AL CÁLCULO DE
DERIVADAS. APLICACIONES
Título
Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
La introducción histórica presentada en las páginas iniciales, tiene una especial relevancia
para el estudio de la unidad, porque los problemas resueltos por Newton y Leibnitz en el
siglo XVII son básicamente los mismos que vamos a utilizar para introducir el concepto de
derivada.
En la entrada de la unidad el problema Movimiento de una partícula es muy adecuado para
aproximarnos a la idea de cambio y variación en un intervalo y en un instante, antes de
definir formalmente la T.V.M. y la T.V.I.
Además de esta actividad puede ser muy útil comenzar con la siguiente:
Sobre un papel cuadriculado y en unos ejes coordenados se dibuja una gráfica. En uno de
sus puntos de abscisa a se traza la recta tangente. Se halla su pendiente, m, tomando como
referencia la cuadrícula. Pondremos: f'(a) = m. Es decir, antes de dar ninguna definición de
derivada, se identifica, de forma práctica, la derivada de una función en un punto con la
pendiente de la recta tangente a su gráfica en ese punto.
La realización de varios ejercicios como este sirve para que el alumno sepa adónde se dirige
cuando da los pasos para hallar la derivada mediante el límite del cociente incremental y
para destacar que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto
representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la
recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las
proximidades del punto.
El desarrollo de esta unidad desde el apartado 1 al 5 es, por completo, tradicional: se
exponen los elementos teóricos y prácticos necesarios para que el alumnado domine los
conceptos de derivada de una función en un punto y de función derivada, para que aprenda
las reglas de derivación, etc.
En las aplicaciones de la función derivada, nos centraremos en los aspectos siguientes:
- Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto.
- Obtención de los puntos singulares.
400
- Crecimiento y decrecimiento en un punto y en un intervalo.
La unidad termina con el apartado 6 dedicado al estudio y la representación de funciones.
Para ello debemos aprovechar los conocimientos adquiridos sobre límites (continuidad,
ramas infinitas) y derivadas para afrontar el fin principal: la construcción de gráficas. Se dan
los pasos necesarios para representar sistemáticamente dos grandes familias de funciones,
polinómicas y racionales. Su aprendizaje será fundamental para completarlo, sin
problemas, el próximo curso con la representación de otras funciones.
Se presentan también algunos problemas sobre la optimización de funciones y la regla de
L´Hôpital para el cálculo de límites en casos sencillos, que el curso próximo trataremos con
profundidad.
En los ejercicios y problemas resueltos se incluyen problemas sobre la derivada de una
función definida «a trozos», el estudio de su derivabilidad y la existencia de «puntos
angulosos», y el cálculo de parámetros para que una función sea continua y derivable.
2.
1. Conocer y aplicar la definición de derivada de una función en un punto e interpretarla
gráficamente.
2. Utilizar la derivación para hallar la ecuación de la recta tangente a una curva en un
punto, obtener los puntos singulares y los intervalos de crecimiento.
3. Integrar todas las herramientas básicas del análisis en la representación de funciones y
dominar la representación de funciones polinómicas y racionales.
401
3.
STÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES/ COMPETENCIAS CLAVE
Contenidos
Tasa de variación media
- Cálculo de la T.V.M.
de una función para
distintos intervalos.
- Cálculo de la T.V.M.
de una función para
intervalos muy
pequeños y
asimilación del
resultado a la
variación en ese
punto.
Derivada de una función en
un punto
- Obtención de la
variación en un punto
mediante el cálculo de
la T.V.M. de la función
para un intervalo
variable h y obtención
del límite de la
expresión
correspondiente
cuando h  0.
Función derivada de otras.
Reglas de derivación
- Aplicación de las
reglas de derivación
para hallar la derivada
de funciones.
Criterios
de evaluación
evaluables
1. Conocer la definición de
derivada de una función
en un punto,
interpretarla
gráficamente y aplicarla
para el cálculo de casos
concretos.
1.1. Halla la tasa de variación
media de una función
en un intervalo y la
interpreta.
1.2. Calcula la derivada de
una función en un
punto a partir de la
definición.
1.3. Aplicando la definición
de derivada halla la
función derivada de
otra.
2. Conocer las reglas de
derivación y utilizarlas
para hallar la función
derivada de otra.
2.1. Halla la derivada de una
función sencilla.
función en la que
intervienen potencias
no enteras, productos y
cocientes.
CC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CEC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA
función compuesta.
3. Utiliza la derivación para
hallar la recta tangente a
una curva en un punto,
los máximos y los
mínimos de una función,
los intervalos de
crecimiento…
Aplicaciones de las
derivadas
3.1. Halla la ecuación de la
recta tangente a una
curva.
3.2. Localiza los puntos
singulares de una
función polinómica o
racional y los
representa.
3.3. Determina los tramos
donde una función
402
CCL,
CMCT,
CD,
CAA
- Halla el valor de una
función en un punto
concreto.
- Obtención de la recta
tangente a una curva
en un punto.
- Cálculo de los puntos
de tangente horizontal
de una función.
- Estudio C y D de
funciones.
- Cálculo de M y m.
- Problemas de
optimización.
Representación de
funciones
funciones polinómicas
de grado superior a
dos.
funciones racionales.
crece o decrece.
4. Conocer el papel que
desempeñan las
herramientas básicas del
análisis (límites,
derivadas...) en la
representación de
funciones y dominar la
representación
sistemática de funciones
polinómicas y racionales.
de la que se conocen los
datos más relevantes
(ramas infinitas y
puntos singulares).
4.2. Describe con corrección
todos los datos
relevantes de una
función dada
gráficamente.
polinómica de grado
superior a dos.
racional con
denominador de primer
grado y una rama
asintótica.
racional con
grado y una rama
parabólica.
racional con
denominador de
segundo grado y una
asíntota horizontal.
racional con
denominador de
segundo grado y una
asíntota oblicua.
racional con
denominador de
segundo grado y una
rama parabólica.
403
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
4.
COMPETENCIAS / DESCRIPTORES / DESEMPEÑOS
Competencia
Comunicación
lingüística
Competencia
matemática y
competencias
básicas en
ciencia y
tecnología
Competencia
digital
Descriptor
Desempeño
escucha atenta al
interlocutor…
explicaciones y correcciones de
de palabra.
diversas complejidades para
su uso en situaciones
diversas.
Realiza un esquema-resumen donde
explica, con sus palabras, cómo
representar funciones de forma
sistemática.
Realiza la lectura comprensiva de los
textos científicos expuestos en la
unidad y muestra interés por leer
textos complementarios
recomendados por el profesor.
sobre ciencia y tecnología para
nuestro alrededor y responder
a preguntas.
Utiliza la introducción histórica
presentada en la unidad para una
mejor comprensión de la relevancia
que tiene el estudio de las derivadas
en la actualidad.
Resolver problemas
seleccionando los datos y las
estrategias apropiadas.
Selecciona la estrategia más
adecuada para enfrentarse a un
problema dependiendo del tipo de
función que sea.
Expresarse con propiedad en
el lenguaje matemático.
Se expresa con el vocabulario
adecuado y de forma correcta
utilizando los conceptos de la
unidad.
Emplear distintas fuentes para
la búsqueda de información.
para reforzar y/o ampliar los
conocimientos adquiridos en la
unidad.
404
Utiliza la calculadora para el
aprendizaje del uso de algunas
funciones desconocidas que es
esencial en este curso destacando
positivamente las actividades
interativas de Geogebra incluidas en
la web de la editorial que permite la
visualización dinámica y la
manipulación de las gráficas.
aprendizaje.
resumen/cuadro para organizar las
propiedades trabajadas de los
números naturales.
Tomar conciencia de los
Reflexiona sobre cómo ha aprendido
los contenidos correspondientes a
las magnitudes de longitud,
capacidad y peso para seguir, de la
misma forma, su aprendizaje
respecto a las medidas de superficie.
Competencias
sociales y
cívicas
Aplicar derechos y deberes de
la convivencia ciudadana en el
contexto de la escuela.
Conoce cuáles son sus deberes en el
aula y los aplica, favoreciendo la
convivencia en ella.
Sentido de
iniciativa y
espíritu
emprendedor
Trabaja de forma constante y no se
rinde ante cualquier dificultad que
pueda surgir.
(artístico-literaria, etnográfica,
científico-técnica…), y hacia
las personas que han
contribuido a su desarrollo.
Reconoce la importancia de Newton
y Leibnitz en el desarrollo de la
matemática actual.
Aprender a
aprender
Conciencia y
expresiones
culturales
405
Unidad 13: DISTRIBUCIONES
BIDIMENSIONALES
Título
Antes de comenzar la unidad se hace un repaso de la Estadística Unidimensional




Variable unidimensional, tablas y gráficos
Medidas de centralización
Medidas de dispersión
Medidas de posición
La visión intuitiva es básica para un buen aprendizaje de las distribuciones bidimensionales:
- A cada individuo de una población estadística se le asocian dos valores correspondientes
a dos variables, x e y. Consideradas como coordenadas, dan lugar a un punto (x, y) en un
diagrama de ejes cartesianos. El conjunto de todos los puntos correspondientes a la
totalidad de los individuos (nube de puntos) permite visualizar la relación entre las dos
variables: correlación.
- La forma de la nube de puntos informa sobre el tipo de correlación: más o menos fuerte,
positiva o negativa.
- La recta que se amolda a la nube de puntos, recta de regresión, marca la tendencia en la
variación de una variable respecto a la otra.
Con los problemas que se proponen para empezar se pretende hacer ver en qué consiste la
correlación, que puede ser positiva o negativa, y que a partir de la nube de puntos se
visualizan muchos matices de esa relación. El primer apartado insiste en esa línea por la
que, a partir de la percepción gráfica de la correlación, se llega a las ideas clave y a la
nomenclatura básica. En adelante, se matematiza el proceso: se obtienen fórmulas para
medir la correlación y para obtener la recta de regresión.
Para el cálculo de los parámetros, es fundamental el buen manejo de la calculadora en el
modo LR (o el modo que tu calculadora use para distribuciones bidimensionales). Debe
intentarse que el alumnado lo consiga sin que deje de tener claro lo que obtiene en cada
momento. Sugerimos la siguiente forma de proceder en la presentación, tanto de ejercicios
propuestos para casa como en los exámenes:
406
- A partir de la tabla de valores para las dos variables, el estudiante rellenará, haciendo los
cálculos correspondientes, las primeras filas (una, dos, tres a lo sumo). Es la forma de
demostrar que lo sabe hacer.
𝑥𝑖
𝑦𝑖
𝑥𝑖2
𝑦𝑖2
𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑥1
𝑦1
...
...
...
𝑥2
𝑦2
...
...
...
...
...
...
...
...
- Después, preguntando a la calculadora, pondrá la suma de las distintas columnas para el
cálculo de los parámetros, se pone la fórmula correspondiente y se sustituyen las
expresiones por los valores situados en la tabla.
𝑥𝑖
𝑦𝑖
𝑥𝑖2
𝑦𝑖2
𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑥1
𝑦1
...
...
...
𝑥2
𝑦2
...
...
...
...
...
...
...
...
y
x
x
2
y
2
 xy
En definitiva, aunque el valor de cada parámetro lo aporta la calculadora, el alumnado debe
mostrar que lo sabe obtener y que expone los pasos necesarios para ello.
Las tablas de doble entrada se muestran como curiosidad y se acompañan con la forma de
representar gráficamente la distribución en estos casos, así como su tratamiento con la
calculadora. No obstante, este contenido queda fuera de lo que se pretende en este curso.
2.
1. Conocer las distribuciones bidimensionales representarlas (a partir de datos dados en
tablas o mediante tablas de doble entrada), analizarlas por su coeficiente de
correlación y obtener las ecuaciones de las rectas de regresión de una distribución
bidimensional para realizar estimaciones. Saber valerse de la calculadora para
almecenar datos y calcular estos parámetros.
407
3.
Contenidos
Dependencia estadística y
dependencia funcional
- Estudio de ejemplos.
- Representación de una
distribución
bidimensional mediante
una nube de puntos.
Visualización del grado
de relación que hay
entre las dos variables.
Correlación. Recta de regresión
- Significado de las dos
rectas de regresión.
- Cálculo del coeficiente
de correlación y
obtención de la recta de
regresión de una
distribución
bidimensional.
calculadora en modo LR
para el tratamiento de
distribuciones
bidimensionales.
distribuciones
bidimensionales para el
estudio e interpretación
de problemas
sociológicos científicos o
Tablas de doble entrada
- Interpretación.
- Tratamiento con la
calculadora.
Criterios
de evaluación
evaluables
1. Conocer las
distribuciones
bidimensionales
representarlas y
analizarlas mediante
su coeficiente de
correlación. Saber
valerse de la
calculadora para
almecenar datos y
calcular estos
parámetros.
1.1. Representa mediante una nube
de puntos una distribución
bidimensional y evalúa el
grado y el signo de la
correlación que hay entre las
variables. Interpreta nubes
de puntos.
2. Conocer y obtener las
ecuaciones (con y sin
calculadora) de las
rectas de regresión de
una distribución
bidimensional y
utilizarlas para realizar
estimaciones.
2.1. Obtiene (con o sin calculadora)
la ecuación, la recta de
regresión de Y sobre X y se
vale de ella para realizar
estimaciones, teniendo en
cuenta la fiabilidad de los
resultados.
3. Resolver problemas en
los que los datos vienen
dados en tab. doble
entrada.
408
1.2. Conoce (con o sin calculadora),
calcula e interpreta la
covarianza y el coeficiente de
correlación de una
distribución bidimensional.
2.2. Conoce la existencia de dos
rectas de regresión, las
obtiene y representa, y
relaciona el ángulo entre
ambas con el valor de la
correlación.
3.1. Resuelve problemas en los que los
datos vienen dados en tablas de
doble entrada.
CC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
CCL,
CMCT,
CD, CAA,
CSYC,SIEP
Competencia
Descriptor
coherencia.
Se expresa de forma
adecuada cuando se refiere a
contenidos de la unidad,
presentando coherencia en su
diálogo. (Correlación,
covarianza, coeficiente de
regresión…).
Componer distintos tipos de
textos creativamente con
sentido literario.
Compone un texto explicando
los resultados de su estudio
bidimensional una vez
calculadas la recta de
regresión de Y sobre X y la de
X sobre Y.
Aplicar métodos de análisis
Es metódico cuando se
enfrenta al estudio
bidimensional de un
problema de la vida cotidiana.
formato gráfico.
Interpreta correctamente una
nube de puntos y asocia a
esta el valor del coeficiente
de correlación aproximado.
cotidiana.
Aplica las estrategias
estudiadas en la unidad a la
hora de resolver problemas.
información propia derivada
de la obtenida a través de
Elabora un díptico con los
contenidos de la unidad
mediante un programa
informático y lo presenta a
sus compañeros y
compañeras.
Aprende a utilizar la
calculadora en modo LR para
Comunicación
lingüística
Competencia
matemática y
Competencia digital
Desempeño
409
Aprender a aprender
y cívicas
la vida diaria.
el tratamiento de
distribuciones
bidimensionales.
Piensa sobre cómo, a lo largo
del curso, han sido sus estilos
de aprendizaje y realiza una
reflexión sobre ello, para ser
consciente de cómo aprende
mejor y qué necesita reforzar
para próximos cursos.
de conflictos.
Se comunica con sus
compañeros de forma activa
cuando se desarrollan
situaciones de trabajo común
en el aula.
Asumir las responsabilidades
encomendadas y dar cuenta
de ellas.
Asume cuáles son sus
responsabilidades cuando
realiza un trabajo en grupo y
plasma en él cuáles han sido
estas, así como el grado de
consecución de las mismas.
tiempos.
componente cuando realiza
evolución de la estadística
unidimensional a
bidimensional ya que esta
última favorece el estudio e
interpretación de problemas
sociológicos científicos o de la
vida cotidiana.
Conciencia y
410
ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES BÁSICOS
(CONTENIDOS MÍNIMOS)
Aritmética y álgebra
Números reales. Relación de orden. La recta real. Intervalos, semirrectas, distancias y valor absoluto.
Sucesiones numéricas. Progresiones aritméticas y geométricas. El número e. Logaritmos decimales y
neperianos.
Resolución e interpretación gráfica de ecuaciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas sencillas.
Resolución algebraica e interpretación gráfica de ecuaciones e inecuaciones de primero y segundo grado
sencillas con una incógnita. Ecuaciones bicuadradas.
Resolución de sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas, interpretación y aplicación a la resolución de
problemas sencillos.
Geometría
Ampliación del concepto de ángulo. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Relaciones
fundamentales. Resolución de triángulos rectángulos y no rectángulos.
Números complejos: formas binómica, polar y trigonométrica. Operaciones.
Producto escalar de vectores. Ecuaciones de la recta. Incidencia, paralelismo y perpendicularidad. Cálculo
de distancias entre puntos y rectas.
Lugares geométricos del plano. Cónicas
Funciones y gráficas
Funciones reales de variable real. Clasificación y características básicas de las funciones elementales:
polinómicas, racionales sencillas, valor absoluto, parte entera, trigonométricas, exponenciales y
logarítmicas.
Dominio, recorrido y extremos de una función. Operaciones y composición de funciones. Concepto
intuitivo de límite y continuidad. Cálculo de límites. Estudio de discontinuidades.
Derivada de una función. Aplicaciones geométricas y físicas de la derivada. Cálculo de derivadas. Recta
tangente.
Representación de gráficas de las funciones a partir del análisis de sus características globales.
Optimización
Estadística y probabilidad
Estadística descriptiva bidimensional. Relaciones entre dos variables estadísticas. Regresión lineal.
Cálculo de probabilidades de sucesos simples y compuestos. Distribuciones de probabilidad binomial y
normal.
411
PROGRAMACIÓN
DIDÁCTICA
Matemáticas Aplicadas a
las Ciencias Sociales I
1º BACHILLERATO
Libro de texto: Editorial Anaya
412
1. OBJETIVOS GENERALES PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS
APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
A medida que las matemáticas han ido ensanchando y diversificando su objeto y su perspectiva,
ha crecido su valoración como un instrumento indispensable para interpretar la realidad, así
como una forma de expresión de distintos fenómenos sociales, científicos y técnicos. Se
convierten así en un imprescindible vehículo de expresión y adquieren un carácter
interdisciplinar que debe impregnar su proceso de enseñanza-aprendizaje.
Mirar la realidad social en sus diversas manifestaciones económicas, artísticas, humanísticas,
políticas, etc., desde una perspectiva matemática y acometer desde ella los problemas que
plantea, implica desarrollar la capacidad de simplificar y abstraer para facilitar la comprensión;
la habilidad para analizar datos, entresacar los elementos fundamentales del discurso y obtener
conclusiones razonables; rigor en las argumentaciones pero, sobre todo, autonomía para
establecer hipótesis y contrastarlas, y para diseñar diferentes estrategias de resolución o
extrapolar los resultados obtenidos a situaciones análogas.
Para lograrlo, resulta tan importante la creatividad como mantener una disposición abierta y
positiva hacia las matemáticas que permita percibirlas como una herramienta útil a la hora de
interpretar con objetividad el mundo que nos rodea. Una perspectiva que adquiere su verdadero
significado dentro de una dinámica de resolución de problemas que debe caracterizar de
principio a fin el proceso de enseñanza-aprendizaje de esta materia.
En este contexto, la fuerte abstracción simbólica, el rigor sintáctico y la exigencia probatoria que
definen el saber matemático, deben tener en esta materia una relativa presencia. Por su parte,
las herramientas tecnológicas ofrecen la posibilidad de evitar tediosos cálculos que poco o nada
aportan al tratamiento de la información, permitiendo abordar con rapidez y fiabilidad los
cambiantes procesos sociales mediante la modificación de determinados parámetros y
condiciones iniciales. No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisión en el cálculo
manual simple, donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les pueden llevar
a falsos resultados o inducirles a confusión en las conclusiones.
Tanto desde un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad
actual, pocas materias se prestan como ésta a tomar conciencia de que las matemáticas son
parte integrante de nuestra cultura. Por eso, las actividades que se planteen deben favorecer la
posibilidad de aplicar las herramientas matemáticas al análisis de fenómenos de especial
relevancia social, tales como la diversidad cultural, la salud, el consumo, la coeducación, la
convivencia pacífica o el respeto al medio ambiente.
Convertir la sociedad de la información en sociedad del conocimiento requiere capacidad de
búsqueda selectiva e inteligente de la información y extraer de ella sus aspectos más relevantes,
pero supone además saber dar sentido a esa búsqueda. Por eso, sin menoscabo de su
importancia instrumental, hay que resaltar también el valor formativo de las matemáticas en
aspectos tan importantes como la búsqueda de la belleza y la armonía, el estímulo de la
creatividad o el desarrollo de aquellas capacidades personales y sociales que contribuyan a
formar ciudadanos autónomos, seguros de sí mismos, decididos, curiosos y emprendedores,
capaces de afrontar los retos con imaginación y abordar los problemas con garantías de éxito.
El amplio espectro de estudios a los que da acceso el bachillerato de Humanidades y Ciencias
Sociales obliga a formular un currículo de la materia que no se circunscriba exclusivamente al
campo de la economía o la sociología, dando continuidad a los contenidos de la enseñanza
obligatoria. Por ello, y con un criterio exclusivamente propedéutico, la materia, dividida en dos
cursos, se estructura en torno a tres ejes: Aritmética y álgebra, Análisis y Probabilidad y
413
Estadística. Los contenidos del primer curso adquieren la doble función de fundamentar los
principales conceptos del análisis funcional y ofrecer una base sólida a la economía y a la
interpretación de fenómenos sociales en los que intervienen dos variables. En el segundo curso
se establece de forma definitiva las aportaciones de la materia a este bachillerato sobre la base
de lo que será su posterior desarrollo en la Universidad o en los ciclos formativos de la Formación
Profesional. La estadística inferencial o la culminación en el cálculo infinitesimal de las
aportaciones del análisis funcional son un buen ejemplo de ello.
La resolución de problemas tiene carácter transversal y será objeto de estudio relacionado e
integrado en el resto de los contenidos. Las estrategias que se desarrollan constituyen una parte
esencial de la educación matemática y activan las competencias necesarias para aplicar los
conocimientos y habilidades adquiridas en contextos reales. La resolución de problemas debe
servir para que el alumnado desarrolle una visión amplia y científica de la realidad, para
estimular la creatividad y la valoración de las ideas ajenas, la habilidad para expresar las ideas
propias con argumentos adecuados y el reconocimiento de los posibles errores cometidos.
Por último, es importante presentar la matemática como una ciencia viva y no como una
colección de reglas fijas e inmutables. Detrás de los contenidos que se estudian hay un largo
camino conceptual, un constructo intelectual de enorme magnitud, que ha ido evolucionando a
través de la historia hasta llegar a las formulaciones que ahora manejamos.
La enseñanza de las Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales en el bachillerato tendrá como
finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades:
- Aplicar a situaciones diversas los contenidos matemáticos para analizar, interpretar y valorar
fenómenos sociales, con objeto de comprender los retos que plantea la sociedad actual.
- Adoptar actitudes propias de la actividad matemática como la visión analítica o la necesidad
de verificación. Asumir la precisión como un criterio subordinado al contexto, las
apreciaciones intuitivas como un argumento a contrastar y la apertura a nuevas ideas como
un reto.
- Elaborar juicios y formar criterios propios sobre fenómenos sociales y económicos, utilizando
tratamientos matemáticos. Expresar e interpretar datos y mensajes, argumentando con
precisión y rigor y aceptando discrepancias y puntos de vista diferentes como un factor de
enriquecimiento.
- Formular hipótesis, diseñar, utilizar y contrastar estrategias diversas para la resolución de
problemas que permitan enfrentarse a situaciones nuevas con autonomía, eficacia,
confianza en sí mismo y creatividad.
- Utilizar un discurso racional como método para abordar los problemas: justificar
procedimientos, encadenar una correcta línea argumental, aportar rigor a los razonamientos
y detectar inconsistencias lógicas.
- Hacer uso de variados recursos, incluidos los informáticos, en la búsqueda selectiva y el
tratamiento de la información gráfica, estadística y algebraica en sus categorías financiera,
humanística o de otra índole, interpretando con corrección y profundidad los resultados
obtenidos de ese tratamiento.
- Adquirir y manejar con fluidez un vocabulario específico de términos y notaciones
matemáticos. Incorporar con naturalidad el lenguaje técnico y gráfico a situaciones
susceptibles de ser tratadas matemáticamente.
- Utilizar el conocimiento matemático para interpretar y comprender la realidad,
estableciendo relaciones entre las matemáticas y el entorno social, cultural o económico y
apreciando su lugar, actual e histórico, como parte de nuestra cultura.
414
2. SECUENCIACIÓN DE CONTENIDOS
La Matemática es una disciplina que requiere para su desarrollo una gran lógica interna.
Esa misma lógica es aplicable a la secuenciación de contenidos para su aprendizaje.
No por casualidad el primero de los bloques en los que dividimos la materia en el primer
curso es el correspondiente a la Aritmética y al Álgebra: en él ponemos las bases al
lenguaje matemático y a lo que podemos, o no, hacer con los números.
Cabe destacar el gran protagonismo que se da en este proyecto a la Estadística (bloque
III), al ser esta la parte de las Matemáticas que más frecuentemente se utiliza en las
ciencias sociales. Además, se dota a los alumnos y a las alumnas de herramientas
básicas para el estudio de las funciones.
Como complemento al estudio de los contenidos que permiten al estudiante alcanzar
las capacidades propuestas como objetivos, hemos desarrollado un tema inicial
dedicado a la resolución de problemas. No hay mejor forma de iniciar un libro de
matemáticas que haciendo matemáticas: consejos útiles, estrategias que se deben o
pueden seguir, líneas de razonamiento, crítica ante las soluciones... son elementos que
los alumnos y las alumnas aprenderán y utilizarán durante todo el curso.
CONTENIDOS DE 1.º DE BACHILLERATO
- Algunos consejos para resolver problemas.
- Etapas en la resolución de problemas.
- Análisis de algunas estrategias para resolver problemas.
I. ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
Números reales
- Lenguaje matemático: conjuntos y símbolos.
- Los números racionales.
- Los números irracionales.
- Los números reales. La recta real.
- Valor absoluto de un número real.
- Intervalos y semirrectas.
- Radicales. Propiedades.
- Logaritmos. Propiedades.
- Expresión decimal de los números reales.
- Aproximación. Cotas de error.
- Notación científica.
Aritmética mercantil
- Aumentos y disminuciones porcentuales.
- Cálculo de la cantidad inicial conociendo la final.
- Tasas y números índices.
- Intereses bancarios.
- ¿Qué es la “tasa anual equivalente” (T.A.E.)?
415
-
Amortización de préstamos.
Progresiones geométricas.
Cálculo de anualidades o mensualidades para amortizar deudas.
Productos financieros.
Álgebra
- Las igualdades en álgebra.
- Factorización de polinomios.
- Dividir un polinomio entre x – a. Regla de Ruffini.
- Divisibilidad de polinomios.
- Fracciones algebraicas. Operaciones.
- Ecuaciones de segundo grado y bicuadradas.
- Ecuaciones con radicales.
- Ecuaciones racionales.
- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
- Sistemas de ecuaciones.
- Método de Gauss para la resolución de sistemas lineales.
- Inecuaciones y sistemas de inecuaciones con una incógnita.
- Inecuaciones y sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.
II. ANÁLISIS
- Concepto de función.
- Dominio de definición y recorrido de una función.
- Funciones lineales y  mx  n.
- Interpolación lineal.
- Funciones cuadráticas.
- Funciones de proporcionalidad inversa.
- Funciones raíz.
- Funciones definidas “a trozos”.
- Funciones interesantes: “parte entera”, “parte decimal”, “valor absoluto”.
- Transformaciones elementales de funciones: traslaciones, simetrías, estiramientos y
contracciones.
- Valor absoluto de una función.
Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas
- Composición de funciones.
- Función inversa o recíproca de otra.
- Las funciones exponenciales.
- Las funciones logarítmicas.
- Funciones trigonométricas.
- Continuidad. Tipos de discontinuidades.
- Límite de una función en un punto. Continuidad.
416
-
Cálculo del límite de una función en un punto.
Comportamiento de una función cuando x   .
Cálculo del límite de una función cuando x   .
Comportamiento de una función cuando x  – .
Ramas infinitas. Asíntotas.
Ramas infinitas en las funciones racionales.
Ramas infinitas en las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
- Crecimiento de una función en un intervalo.
- Crecimiento de una función en un punto.
- Derivada.
- Obtención de la derivada a partir de la expresión analítica.
- Función derivada de otra.
- Significado de la derivada.
- Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones sencillas (constante,
identidad, potencia).
- Reglas para obtener las derivadas de funciones trigonométricas, exponenciales y
logarítmicas.
- Reglas para obtener las derivadas de resultados operativos (constante por función,
suma, producto, cociente).
- Regla de la cadena.
- Utilidad de la función derivada (puntos singulares, optimización).
- Representación de funciones polinómicas.
- Representación de funciones racionales.
- Optimización.
III. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
- Repaso de Estadística Unidimensional.
- Estadística bidimensional. Tablas
- Nubes de puntos.
- Correlación. Regresión.
- Correlación lineal.
- Parámetros asociados a una distribución bidimensional: centro de gravedad,
covarianza, coeficiente de correlación.
- Recta de regresión. Método de los mínimos cuadrados.
- Hay dos rectas de regresión.
- Tablas de contingencia.
Distribuciones de probabilidad de variable discreta
- Sucesos. Operaciones con sucesos. Probabilidad.
- Cálculo de probabilidades (experiencias compuestas independientes, experiencias
compuestas dependientes).
417
-
Distribución estadística y distribución de probabilidad.
Distribuciones de probabilidad de variable discreta.
Parámetros en una distribución de probabilidad.
Distribución binomial. Descripción.
Cálculo de probabilidades en una distribución binomial.
Ajuste de un conjunto de datos a una distribución binomial.
Distribuciones de probabilidad de variable continua
- Distribuciones de probabilidad de variable continua. Parámetros.
- Cálculo de probabilidades a partir de la función de densidad.
- La distribución normal.
- Cálculo de probabilidades en distribuciones normales.
- La distribución binomial se aproxima a la normal.
- Ajuste de un conjunto de datos a una distribución normal.
3. COMPETENCIAS :CÓMO CONTRIBUYE LA MATERIA A SU
CONSECUCIÓN
Tal y como se describe en la LOMCE, todas las áreas o materias del currículo deben participar en
el desarrollo de las distintas competencias del alumnado. Estas, de acuerdo con las
especificaciones de la ley, son:
En el proyecto de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales para 1.º de Bachillerato, tal y
como sugiere la ley, se ha potenciado el desarrollo de las competencias de comunicación
lingüística, competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología; además,
para alcanzar una adquisición eficaz de las competencias y su integración efectiva en el currículo,
se han incluido actividades de aprendizaje integradas que permitirán al alumnado avanzar hacia
los resultados de aprendizaje de más de una competencia al mismo tiempo. Para valorarlos, se
utilizarán los estándares de aprendizaje evaluables, como elementos de mayor concreción,
observables y medibles, se pondrán en relación con las competencias clave, permitiendo
graduar el rendimiento o el desempeño alcanzado en cada una de ellas.
La materia de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I utiliza una terminología formal que
permitirá al alumnado incorporar este lenguaje a su vocabulario, y utilizarlo en los momentos
adecuados con la suficiente propiedad. Asimismo, la comunicación de los resultados de las
actividades y/o problemas y otros trabajos que realicen favorece el desarrollo de la competencia
en comunicación lingüística.
418
La competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología son las
competencias fundamentales de la materia. Para desarrollar esta competencia, el alumnado
aplicará estrategias para definir problemas, resolverlos, diseñar pequeñas investigaciones,
elaborar soluciones, analizar resultados, etc. Estas competencias son, por tanto, las más
trabajadas en la materia.
La competencia digital fomenta la capacidad de buscar, seleccionar y utilizar información en
medios digitales, además de permitir que el alumnado se familiarice con los diferentes códigos,
formatos y lenguajes en los que se presenta la información científica (datos estadísticos,
representaciones gráficas, modelos geométricos...). La utilización de las tecnologías de la
información y la comunicación en el aprendizaje de las ciencias para comunicarse, recabar
información, retroalimentarla, simular y visualizar situaciones, para la obtención y el
tratamiento de datos, etc., es un recurso útil en el campo de las matemáticas que contribuye a
mostrar una visión actualizada de la actividad científica.
La adquisición de la competencia de aprender a aprender se fundamenta en esta asignatura en
el carácter instrumental de muchos de los conocimientos científicos. Al mismo tiempo, operar
con modelos teóricos fomenta la imaginación, el análisis, las dotes de observación, la iniciativa,
la creatividad y el espíritu crítico, lo que favorece el aprendizaje autónomo. Además, al ser una
asignatura progresiva, el alumnado adquiere la capacidad de relacionar los contenidos
aprendidos durante anteriores etapas con lo que va a ver en el presente curso y en el próximo.
Esta asignatura favorece el trabajo en grupo, donde se fomenta el desarrollo de actitudes como
la cooperación, la solidaridad y el respeto hacia las opiniones de los demás, lo que contribuye a
la adquisición de las competencias sociales y cívicas. Así mismo, el conocimiento científico es
una parte fundamental de la cultura ciudadana que sensibiliza de los posibles riesgos de la
ciencia y la tecnología y permite formarse una opinión fundamentada en hechos y datos reales
sobre el avance científico y tecnológico.
El sentido de iniciativa y espíritu emprendedor es básico a la hora de llevar a cabo el método
científico de forma rigurosa y eficaz, siguiendo la consecución de pasos desde la formulación de
una hipótesis hasta la obtención de conclusiones. Es necesaria la elección de recursos, la
planificación de la metodología, la resolución de problemas y la revisión permanente de
resultados. Esto fomenta la iniciativa personal y la motivación por un trabajo organizado y con
iniciativas propias.
La aportación matemática se hace presente en multitud de producciones artísticas, así como sus
estrategias y procesos mentales fomentan la conciencia y expresión cultural de las sociedades.
Igualmente el alumno, mediante el trabajo matemático podrá comprender diversas
manifestaciones artísticas siendo capaz de utilizar sus conocimientos matemáticos en la
creación de sus propias obras
419
4. RECURSOS
Los siguientes materiales de apoyo servirán para reforzar y ampliar el estudio de los
contenidos de la unidad:
- Cuaderno del alumnado, en el que este realizará las actividades que se proponen en los
distintos epígrafes; los ejercicios y problemas resueltos ayudarán al alumnado a entender
cómo se resuelven problemas tipo; los ejercicios y problemas guiados darán algunas
pautas que le ayudarán a la hora de enfrentarse a cierto tipo de problemas; y los
ejercicios y problemas propuestos harán que consolide los procedimientos y los
conceptos estudiados en la unidad.
- Calculadora
- Fuentes de consulta: libros, enciclopedias, páginas webs, etc. que servirán al alumno para
ampliar conocimientos y le ayudarán a realizar las cuestiones de ampliación.
- Autoevaluación que se propone al final de cada unidad.
Recursos digitales
En la web de Anaya, disponemos de diferentes presentaciones, simulaciones y actividades
interactivas que constituyen un apoyo eficaz para el estudio de la unidad y, en muchos
casos, para la ampliación de contenidos.
Destacamos la presencia de actividades interactivas de Geogebra, y el uso de programas
informáticos como: Geogebra, Wiris, hojas de cálculo y Derive
Las actividades propuestas son de dos tipos, unas están diseñadas para apoyar las
explicaciones del profesorado y facilitar la comprensión de conceptos a través de la
movilidad de las figuras, y otras están dirigidas a la resolución de problemas y su discusión.
Hay además multitud de complementos destinados al refuerzo y a la ampliación en los
distintos apartados de la unidad.
420
PRIMERA EVALUACIÓN
Unidad 1: NÚMEROS REALES
Título: Números reales. Descripción de la unidad
Los contenidos de esta unidad son conocidos, prácticamente en su totalidad, al comenzar
este curso. Aquí se revisan y se profundiza en ellos, poniendo el énfasis,
fundamentalmente, en los aspectos procedimentales básicos para la formación matemática
del alumnado.
En esta unidad predominan los contenidos procedimentales frente a los conceptuales.
Estos últimos se limitan, casi exclusivamente, a los distintos tipos de números y a su
proceso de aparición. En consecuencia, la gran cantidad de procedimientos que se trabajan
en la unidad (representación de números en la recta real, manejo de la notación científica,
uso de los radicales...) precisan que el alumnado asuma un papel eminentemente activo en
el proceso de aprendizaje. Se ha optado por evitar las dificultades excesivas, prefiriendo un
aprendizaje efectivo de contenidos razonablemente sencillos, pero importantes y básicos.
Posiblemente, sea este el momento oportuno para comenzar a hacer un uso casi
sistemático de la calculadora, aunque siempre de forma racional. Se debe hacer hincapié,
tanto en indicaciones para el manejo de la calculadora como en las situaciones en las que
conviene usarla y para qué (como elemento comprobador, para buscar aproximaciones a
ciertos resultados, para evitar cálculos tediosos...).
La principal razón de ser de esta unidad de repaso es la cantidad de dudas y dificultades
que arrastra gran parte del alumnado cuando alcanza este nivel. Siendo así, la unidad
puede servir como revisión y repaso de toda una serie de conocimientos que serán
sumamente importantes a lo largo del aprendizaje matemático posterior. El manejo diestro
de los intervalos en R, de los radicales y de los logaritmos es básico para estos estudiantes.
Consideramos que la presentación de algunos irracionales importantes y, en particular, del
número áureo, es especialmente interesante. Permite una introducción de los números
reales que, por razones históricas y estéticas, nos parece motivadora y adecuada para este
nivel.
2.
Conocer los conceptos básicos del campo numérico (recta real, potencias, raíces,
logaritmos, factoriales y números combinatorios) y aplicar sus propiedades al cálculo y a la
421
3.
Contenidos
Distintos tipos de números
- Los números enteros, racionales
e irracionales.
- El papel de los números
irracionales en el proceso de
ampliación de la recta numérica.
Recta real
- Correspondencia de cada
número real con un punto de la
recta, y viceversa.
- Representación sobre la recta de
números racionales, de algunos
radicales y, aproximadamente,
de cualquier número dado por
su expresión decimal.
- Intervalos y semirrectas.
Representación.
Radicales
Criterios
de evaluación
evaluables
1. Conocer y
utilizar
símbolos y
operaciones
básicas de
teoría de
conjuntos.
1.1. Expresa e interpreta
diferentes enunciados
empleando la
terminología usada en
los conjuntos.
2. Conocer los
conceptos
básicos del
campo
numérico
(recta real,
potencias,
raíces,
logaritmos…).
2.1. Dados varios números,
los clasifica en los
distintos campos
numéricos.
- Forma exponencial de un
radical.
- Propiedades de los radicales.
422
CC
CCL,
CMCT,
CAA,
CSYC.
CCL,
2.2. Interpreta raíces y las
relaciona con su
notación exponencial.
CMCT,
logaritmo, la interpreta
en casos concretos y
utiliza sus propiedades.
CSYC.
CAA,
Logaritmos
- Definición y propiedades.
- Utilización de las propiedades de
los logaritmos para realizar
cálculos y para simplificar
expresiones.
3. Dominar las
técnicas
básicas del
cálculo en el
campo de los
números
reales.
3.1. Expresa con un intervalo
un conjunto numérico
en el que interviene una
desigualdad con valor
absoluto.
3.2. Opera correctamente
con radicales.
3.3. Opera con números
“muy grandes” o “muy
pequeños” valiéndose
de la notación científica
y acotando el error
cometido.
- Manejo diestro de la notación
científica.
Calculadora
- Utilización de la calculadora para
diversos tipos de tareas
aritméticas, aunando la destreza
de su manejo con la
comprensión de las propiedades
que se utilizan.
3.4. Utiliza la calculadora
para obtener potencias,
raíces, resultados de
operaciones con
números en notación
científica y logaritmos.
3.5. Resuelve problemas
aritméticos.
Competencia
Descriptor
Desempeño
Competencia en
escritos y orales.
Define y emplea
correctamente conceptos
relacionados con el campo de
los números reales, así como
con los números radicales,
logaritmos, expresados en
notación científica, etc.
Redacta informes breves
acerca de las propiedades de
la unión e intersección de
intervalos, operaciones con
radicales, logaritmos,
423
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC.
números expresados en
notación científica, etc.
Competencia
matemática y
Competencia digital
numérica.
trabajar con diferentes tipos
de números y con sus
abreviaturas y utiliza
expresiones que los
contienen.
en el lenguaje
matemático.
Entiende la conveniencia de
un lenguaje universal
matemático así como la
necesidad operar de manera
unificada con cada tipo de
números, sabiendo aplicar las
diferentes propiedades de
manera efectiva.
Manejar los
conocimientos sobre
responder preguntas.
adquiridos para resolver
problemas de la vida cotidiana
en la que se hace necesaria la
ampliación del campo
numérico con los tipos de
números tratados en esta
unidad.
digitales para la
construcción de
conocimiento.
en la web, para obtener
información sobre la
representación de los
números reales en la recta
numérica.
Utiliza la calculadora de forma
adecuada conociendo cómo
sacarle el máximo partido a la
misma mientras opera con los
números trabajados en la
unidad.
424
Competencia para
aprender a aprender
cívicas
culturales
aprendizaje.
resumen / cuadro para
organizar las propiedades
trabajadas de los diferentes
tipos de números.
Resume las ideas principales
de la unidad y realiza las
actividades finales de la
unidad para autoevaluar los
largo del tiempo.
ideas.
expresadas por los
compañeros en las actividades
cooperativas.
Actuar con responsabilidad
social y sentido ético en el
trabajo.
Planifica su trabajo, muestra
iniciativa e interés por conocer y
trabajar la rigurosidad
matemática.
Optimizar recursos
Utiliza sus conocimientos previos
en la materia y sus fortalezas a la
hora de enfrentarse a cualquier
tarea dificultosa.
Reconoce la importancia de las
distintas manifestaciones en las
que se han mostrado los
contenidos matemáticos a lo
largo de la historia.
425
Unidad 2: ARITMÉTICA MERCANTIL
Título
Aritmética mercantil
De esta unidad consideramos especialmente importante la adquisición de los
automatismos que permitan obtener aumentos y disminuciones porcentuales (apartado 1),
así como su aplicación al cálculo de intereses bancarios (apartado 3), tanto en años como
en meses o días. Estos apartados podemos considerarlos de repaso, pues se han visto
reiteradamente en cursos anteriores. Sin embargo, se justifica su presencia por su enorme
importancia y por la necesidad de que se adquiera destreza de cálculo que permita manejar
estos conceptos de manera automática.
El concepto de TAE (apartado 4), de gran actualidad, es sencillo y merece la pena trabajarlo.
Otro tanto ocurre con el significado de los pagos mensuales (o anuales, o trimestrales)
necesarios para amortizar un préstamo: cada mensualidad sirve para pagar los intereses
generados en el último mes por la cantidad adeudada y para amortizar parte de la deuda. El
valor de la mensualidad debe ser tal que la última salde por completo lo adeudado. El
apartado 5 explica este proceso y ofrece ejemplos en los que se ve mes a mes.
En el apartado 7 se deduce la fórmula de las anualidades (o mensualidades). No obstante,
pensamos que puede prescindirse de él, pues, además de presentar dificultades teóricas
notables y no figurar entre las prescripciones de los programas oficiales, rara vez
necesitamos calcular una mensualidad (sí necesitamos comprobar si la mensualidad que se
nos impone responde a la cantidad adecuada). Acaso podría enseñarse la fórmula y su
utilización en casos concretos.
Por último, con el apartado 8 se cierra la unidad explicando el tipo de productos que suelen
ofrecer los bancos, con una breve exposición sobre los más frecuentes.
2.
1. Dominar el cálculo con porcentajes para resolver problemas de aritmética mercantil.
426
3.
Contenidos
Cálculo de aumentos y
disminuciones porcentuales
Criterios
de evaluación
1. Dominar el cálculo
con porcentajes.
- Índice de variación.
- Cálculo de la cantidad
inicial conociendo la
cantidad final y la
variación porcentual.
Intereses bancarios
- Periodos de
capitalización.
- Tasa anual equivalente
(TAE). Cálculo de la
TAE en casos sencillos.
- Comprobación de la
validez de una
anualidad (o
mensualidad) para
amortizar una cierta
deuda.
Progresiones geométricas
evaluables
1.1. Relaciona la cantidad
inicial, el porcentaje
aplicado (aumento o
disminución) y la
cantidad final en la
resolución de
problemas.
1.2. Resuelve problemas en
los que haya que
encadenar variaciones
porcentuales sucesivas.
de aritmética
mercantil.
2.1. En problemas sobre la
variación de un capital a
lo largo del tiempo,
relaciona el capital
inicial, el rédito, el
tiempo y el capital final.
2.2. Averigua el capital
acumulado mediante
pagos periódicos
(iguales o no) sometidos
a un cierto interés.
- Definición y
características básicas.
- Expresión de la suma de
los n primeros términos.
Anualidades de amortización
- Fórmula para la
obtención de
anualidades y
mensualidades.
Aplicación.
2.3. Calcula la anualidad (o
mensualidad)
correspondiente a la
amortización de un
préstamo.
427
CC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
Competencia
Descriptor
Desempeño
Competencia en
comunicación
lingüística
Entiende los ejemplos propuesto en
el libro de texto donde se explica el
significado de los pagos necesarios
para amortizar un préstamo.
escucha atenta al
interlocutor…
explicaciones del aula por parte del
profesorado y en las intervenciones
realizadas por los compañeros y
compañeras.
uso en situaciones cotidianas
o de asignaturas diversas.
Competencia
matemática y
competencias
básicas en
ciencia y
tecnología
Competencia
digital
Propone problemas referidos a la
vida cotidiana sobre aritmética
mercantil.
numérica, etc.
Utiliza los conceptos tratados en la
unidad de forma adecuada y las
relaciones entre ellos.
nuestro alrededor y
Maneja con soltura los
conocimientos previos sobre la
materia, así como los adquiridos en
la unidad y en otras áreas, que le
permiten contestar a las preguntas
que se le sugieren.
Reconocer la importancia de
la ciencia en nuestra vida
cotidiana.
Reconoce la importancia que tiene la
aritmética mercantil en la vida
cotidiana y cómo su estudio facilita
la comprensión de conceptos hoy en
día muy comunes.
Utiliza la calculadora y/o hojas de
cálculo para facilitarle los cálculos y,
en consecuencia, su trabajo.
428
la vida diaria.
información.
Utiliza la web de Anaya, donde
dispone de diferentes
presentaciones, simulaciones y
actividades interactivas para buscar
y/o ampliar contenidos de la unidad.
Aprender a
aprender
Realiza un mapa mental de sus
conocimientos previos sobre
porcentajes,
aumentos/disminuciones
porcentuales y cálculo de intereses
bancarios para sentar las bases de
los conocimientos necesarios para
desarrollar los restantes ítem de la
unidad.
Competencias
sociales y
cívicas
de conflictos.
Dialoga con sus compañeros cuando
trabaja en grupo favoreciendo la
convivencia en el mismo.
Sentido de
iniciativa y
espíritu
emprendedor
Generar nuevas y
desde conocimientos previos
del tema.
Resuelve problemas de aritmética
mercantil que él mismo propone,
calcula la mensualidad que
corresponde, averigua el capital
acumulado mediante pagos
periódicos sometidos a un cierto
interés, etc.
Encontrar posibilidades en el
entorno que otros no
aprecian.
Encuentra, en su entorno más
cercano, situaciones que se pueden
resolver mediante los contenidos
trabajados en la unidad.
evolución de la aritmética que ha
favorecido el desarrollo, a su vez, de
otras disciplinas aplicadas.
Conciencia y
expresiones
culturales
429
Unidad 3: ÁLGEBRA
Título: Álgebra
Aunque es posible que conozcan la regla de Ruffini desde 4.º de ESO, es casi seguro que la
mayor parte del alumnado de este nivel necesita insistir en ella; sobre todo en sus
aplicaciones:
- Cálculo del valor numérico de un polinomio para x = a.
- Factorización de polinomios.
Además de tener claros los conceptos, es fundamental que los estudiantes adquieran
destreza en la descomposición factorial de polinomios, así como en las operaciones con
El paralelismo entre la divisibilidad en el campo de los polinomios y en el de los números
enteros, y entre las fracciones algebraicas y las numéricas, además de ser conceptualmente
importante, aporta un recurso didáctico muy válido, pues el conocimiento que el alumnado
tiene sobre estos aspectos numéricos sirve como organizador del aprendizaje de los
correspondientes conceptos y procedimientos algebraicos.
En estos niveles, más que explicaciones teóricas de conceptos relacionados con las
ecuaciones, que el alumnado ya conoce, lo que precisa es ejercitarse en el uso de estas
técnicas y en la oportunidad de su utilización. Por ello, debe tomar el protagonismo de su
aprendizaje y realizar los ejercicios que se plantean a lo largo de la unidad. En este proceso
le será de gran ayuda, para aclarar sus dudas, los «ejercicios resueltos» que se le ofrecen.
La amplísima oferta de ejercicios y problemas que se expone al final de la unidad permitirá
al profesorado seleccionar propuestas acordes con las necesidades de cada estudiante.
Las dificultades que con tanta frecuencia tiene el alumnado para traducir al lenguaje
algebraico son debidas, en parte, a la falta de entrenamiento en la resolución de los
correspondientes problemas aritméticos.
El tratamiento del método de Gauss puede consistir en una aproximación al mismo, que se
abordará con gran detalle en el curso próximo. Por ello, solo se tratan sistemas de tres
ecuaciones con tres incógnitas. En ellas se practica la esencia del método y se prepara a los
estudiantes para el curso próximo.
Se ha prestado una atención especial a la resolución gráfica de sistemas de inecuaciones
lineales con dos incógnitas como preparación básica para la programación lineal, que es
contenido fundamental en el 2.° curso. Sin embargo, tienen suficiente interés en sí mismos
como para que sean útiles y formativos para los que no cursen esta materia en 2.° de
Bachillerato.
430
2.
1. Dominar el manejo de polinomios y fracciones algebraicas y sus operaciones.
2. Resolver con destreza ecuaciones y sistemas de ecuaciones, y aplicarlos a la resolución de
problemas.
3. Interpretar y resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones.
4.
ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES / COMPETENCIAS CLAVE
Contenidos
Regla de Ruffini
- División de un polinomio
por x – a.
- Teorema del resto.
- Utilización de la regla de
Ruffini para dividir un
polinomio entre x – a y
para obtener el valor
numérico de un
polinomio para x  a.
Factorización de polinomios
- Descomposición de un
polinomio en factores.
Fracciones algebraicas
- Manejo de la operatoria
con fracciones
algebraicas.
Criterios
de evaluación
evaluables
CC
1. Dominar el
manejo de
polinomios y
sus
operaciones.
1.1. Aplica con soltura la mecánica
de las operaciones con
polinomios.
CCL,
1.2. Resuelve problemas utilizando
el teorema del resto.
1.3. Factoriza un polinomio con
varias raíces enteras.
2. Dominar el
manejo de las
fracciones
algebraicas y
sus
operaciones.
431
2.1. Simplifica fracciones
algebraicas.
2.2. Opera con fracciones
algebraicas.
CMCT,
CAA,
SIEP
CCL,
CMCT,
CAA,
SIEP.
Simplificación.
Resolución de ecuaciones
- Ecuaciones de segundo
grado y bicuadradas.
- Ecuaciones con
radicales.
- Ecuaciones polinómicas
de grado mayor que dos.
- Ecuaciones
exponenciales.
- Ecuaciones logarítmicas.
Sistema de ecuaciones
de ecuaciones de
cualquier tipo que
puedan desembocar en
ecuaciones de las
nombradas en los puntos
anteriores.
- Método de Gauss para
sistemas lineales.
Inecuaciones con una y dos
incógnitas
- Resolución algebraica y
gráfica de ecuaciones y
sistemas de
inecuaciones con una
incógnita.
- Resolución gráfica de
de inecuaciones lineales
Problemas algebraicos
3. Resolver con
destreza
ecuaciones de
distintos tipos
y aplicarlas a la
resolución de
problemas.
3.1. Resuelve ecuaciones de
segundo grado y bicuadradas.
3.2. Resuelve ecuaciones con
radicales y con la incógnita en
el denominador.
CCL,
CMCT,
3.4. Se vale de la factorización
como recurso para resolver
ecuaciones.
3.5. Plantea y resuelve problemas
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP
4. Resolver con
destreza
sistemas de
ecuaciones y
aplicarlos en la
resolución de
problemas.
- Traducción al lenguaje
algebraico de problemas
dados mediante enunciado
y su resolución.
segundo grados y los
ecuaciones con radicales y
fracciones algebraicas
«sencillos».
ecuaciones con expresiones
CMCT,
4.4. Resuelve sistemas lineales de
tres ecuaciones con tres
incógnitas mediante el
método de Gauss.
CAA,
4.5. Plantea y resuelve problemas
mediante sistemas de
ecuaciones.
432
CCL,
CD,
CSYC,
SIEP
5. Interpretar y
resolver
inecuaciones y
sistemas de
inecuaciones.
5.1. Resuelve e interpreta
gráficamente inecuaciones y
sistemas de inecuaciones con
una incógnita (sencillos).
5.2. Resuelve inecuaciones de
segundo grado.
5.3. Resuelve gráficamente
inecuaciones lineales y
sistemas de inecuaciones
Competencia
Descriptor
Desempeño
Competencia en
comunicación
lingüística
comunicativas.
Traduce de manera adecuada del
lenguaje verbal al algebraico y
valora de forma positiva este
registro como elemento de
Inventa problemas referidos a la
vida cotidiana que necesitan de la
resolución de una ecuación o un
sistema de ecuaciones para su
solución definitiva.
formato gráfico.
Asocia el número de soluciones
obtenidas al resolver un sistema de
ecuaciones con su respectiva
Entiende la conveniencia de un
lenguaje universal matemático, así
como la necesidad de la prioridad
de operaciones universal, sabiendo
aplicarla de manera efectiva.
cotidiana.
Aplica de forma adecuada los
unidad para resolver problemas
transformándolos previamente al
lenguaje algebraico de forma
rigurosa, hecho que le permite
Competencia
matemática y
competencias
básicas en ciencia
y tecnología
433
CCL,
CMCT,C
D, CAA,
CSYC,
SIEP,CEC
comprender mejor la realidad que
le rodea.
Competencia
digital
la vida diaria.
Maneja su calculadora y/o
programas de cáclulo de forma
adecuada conociendo las órdenes
precisas que le ayudan y le facilitan
su trabajo.
Aprender a
aprender
mapa mental que refleja los
conceptos tratados en la unidad de
forma rigurosa.
finales de la unidad para
adquiridos.
Competencias
sociales y cívicas
desde el conocimiento de los
distintos valores.
desarrollo de la ciencia a lo largo
del tiempo.
Sentido de
iniciativa y
espíritu
emprendedor
Supera con dedicación y esfuerzo
los resultados adversos que pueda
obtener, y vuelve a trabajar sobre
el problema en cuestión hasta que
lo resuelve.
Conciencia y
expresiones
culturales
cotidiano.
Inventa representaciones de
sistemas lineales de ecuaciones de
dos o tres incógnitas y/o
inecuaciones de una incógnita y, a
partir de ellas, encuentra las
ecuaciones o inecuaciones que las
originan.
434
SEGUNDA EVALUACIÓN
Unidad 4: FUNCIOMES ELEMENTALES
Título
Para iniciarnos en el Análisis es imprescindible hacer una puesta al día de lo que de
funciones se aprendió en la ESO.
Se empieza recordando los conceptos básicos: función, dominio, recorrido, las diversas
formas de definir una función y las razones que restringen el dominio de definición.
A continuación se repasan una serie de familias de funciones (lineales, cuadráticas, de
proporcionalidad inversa y radicales) y las funciones definidas mediante «trozos» de las
anteriores.
Un curso más se dedica una atención muy especial al manejo de la recta, al significado de la
pendiente y a la obtención de su expresión analítica. La importancia de estas destrezas
justifica la reiteración en su tratamiento. Aquí se completa con un pequeño estudio de la
interpolación lineal y cuadrática.
Merece una atención especial la parábola, su identificación a partir de la expresión analítica
y la representación a partir de su vértice y del signo del coeficiente de x2. Al igual que se
trató la interpolación lineal en la sección de funciones lineales, en esta sección se estudia la
interpolación parabólica. Se aprende a calcular la ecuación de la parábola que pasa por tres
puntos mediante un sistema de ecuaciones y por el método de Newton. Y, con ella, se
realiza la interpolación.
Es frecuente que los estudiantes encuentren dificultades en la obtención del dominio de
definición de una función debido a la carencia de destrezas algebraicas.
También suele presentar dificultades la percepción de las asíntotas de las funciones de
proporcionalidad inversa, pero este aprendizaje supone una buena base para el futuro
tratamiento de las ramas infinitas de funciones más complejas.
En las funciones definidas «a trozos» hay que prestar especial atención a las limitaciones
impuestas a cada una de las curvas que intervienen. La destreza en la representación e
interpretación de este tipo de funciones permitirá la definición de nuevas funciones, como
«parte entera» , «parte decimal» y «valor absoluto», que encontramos en algunas
situaciones ligadas al mundo real y aportará, más adelante, un soporte para la comprensión
de las ideas de límite y continuidad.
435
Se obtienen otras funciones relacionadas con las elementales mediante pequeñas
modificaciones de sus expresiones analíticas, f(x) + k, – f(x), f(–x), f(x + a), |f(x)|. El dominio
de las técnicas por las que se transforma la gráfica de una función al efectuar estas
modificaciones amplía considerablemante la gama de funciones reconocibles a simple vista
y ayuda a destacar las características esenciales de la gráfica.
La familiarización del alumnado con las distintas curvas que se van a estudiar, se
desencadena proponiéndole asociar gráficas a expresiones analíticas, haciendo uso tanto
del conocimiento previo que de ellas tengan como de la obtención de algunos de sus
puntos, con o sin ayuda de la calculadora.
Con todo ello, se pretende aportar y consolidar un bagaje de conocimientos básicos que
implican una notable familiaridad con las funciones de más uso, lo cual es interesante por sí
mismo y, además, resultará indispensable para poder construir los conceptos básicos del
análisis que se verán a continuación: límites y derivadas.
2.
1. Conocer las características de funciones elementales, asociar sus expresiones analíticas
a sus gráficas y reconocer las transformaciones que se producen en estas como
consecuencia de algunas modificaciones en su expresión analítica.
3.
Contenidos
- Conceptos asociados:
variable real, dominio de
definición, recorrido...
- Obtención del dominio de
definición de una función
dada por su expresión
analítica.
Las funciones lineales
Criterios
de evaluación
1. Conocer el concepto
de dominio de
definición de una
función y obtenerlo
a partir de su
funciones lineales.
evaluables
1.1. Obtiene el dominio de
definición de una
1.2. Reconoce y expresa con
corrección el dominio y
el recorrido de una
función dada
gráficamente.
1.3. Determina el dominio de
una función teniendo en
436
CC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA
cuenta el contexto real
del enunciado.
Interpolación y extrapolación
lineal
- Aplicación de la
interpolación lineal a la
obtención de valores en
puntos intermedios entre
otros dos.
Las funciones cuadráticas
funciones cuadráticas.
- Obtención de la expresión
analítica a partir de la
gráfica de funciones
cuadráticas.
Interpolación y extrapolación
parabólica
- Aplicación de la
interpolación parabólica a
la obtención de valores en
puntos intermedios entre
otros dos.
Las funciones de
proporcionalidad inversa
2. Conocer las familias
de funciones
elementales y
asociar sus
expresiones
analíticas con las
formas de sus
gráficas.
función lineal o
cuadrática a su
3. Dominar el manejo
de funciones
elementales, así
como de las
funciones definidas
«a trozos».
3.1. Obtiene la expresión de
una función lineal a
partir de su gráfica o de
algunos elementos.
funciones de
proporcionalidad inversa.
gráfica de funciones de
proporcionalidad inversa.
Las funciones radicales
función radical o de
proporcionalidad inversa
a su expresión analítica.
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC.
CEC
3.2. Realiza con soltura
interpolaciones y
extrapolaciones lineales
y parabólicas y las aplica
a la resolución de
problemas.
3.3. A partir de una función
cuadrática dada,
reconoce su forma y
posición y la representa.
CCL,
CMCT,
CD,
funciones radicales.
gráfica de algunas
funciones radicales
sencillas.
Funciones definidas a trozos
radical dada por su
de proporcionalidad
inversa dada por su
trozos».
- Funciones «parte entera»
y «parte decimal».
Transformaciones de funciones
3.6. Representa funciones
definidas «a trozos»
(solo lineales y
cuadráticas).
dada por un enunciado
(lineales y cuadráticas).
- Representación gráfica de
f (x)  k, –f (x), f (x  a),
f (–x) y |f (x)| a partir de la
437
CAA,
CSYC,
CEC
de y  f (x).
4. Reconocer las
transformaciones
que se producen en
las gráficas como
consecuencia de
algunas
modificaciones en
sus expresiones
analíticas.
438
4.1. Representa
y  f (x) ± k o
y  f (x ± a) o
y  –f (x) a partir de la
gráfica de y  f (x).
4.2. Representa y  | f (x)| a
partir de la gráfica de y 
f (x).
4.3. Obtiene la expresión de y
 |ax  b| identificando
las ecuaciones de las
rectas que la forman.
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
CEC
Competencia
Descriptor
Desempeño
Competencia en
coherencia.
Se expresa con coherencia y
corrección cuando explica
cómo ha desarrollado una
actividad de la unidad.
comunicación no verbal o
comunicativas.
gráficas para hacerse
entender cuando se
comunica en el aula con el
profesor o con los
compañeros y compañeras.
Utilizar los conocimientos
información y leer textos en
cualquier situación.
previos de la lengua para
leer textos, expresiones o
gráficos en los que
intervienen funciones
elementales y/o sus
expresiones analíticas.
formato gráfico.
Asocia a las diferentes
unidad sus representaciones
gráficas y viceversa.
cuando realiza las
actividades, siendo los
procedimientos claros y
eficaces.
su alrededor y responder a
preguntas.
Utiliza sus conocimiento
previos sobre matemáticas
para comprender algunas
funciones nuevas (parte
entera, parte decimal, valor
absoluto…) que se
encuentran ligadas a
situaciones del mundo real.
Competencia
matemática y
Competencia digital
439
la vida diaria.
facilitarle los cálculos y
representaciones y
rentabilizar su trabajo.
Utilizar los distintos canales
de comunicación
audiovisual para transmitir
informaciones diversas.
Representa funciones en
diferentes canales de
comunicación audiovisual
(lápiz y papel, imágenes
fijas, vídeos, GeoGebra…).
interdependiente…
Aplica destrezas de
pensamiento creativo para
construir funciones
transformadas.
aprendizaje.
Es consciente de cómo es su
proceso de aprendizaje y de
qué es lo que necesita para
aprender, planificando con
anterioridad qué recursos
necesita para que dicho
proceso sea efectivo.
cívicas
Desarrollar la capacidad de
de conflictos.
Se comunica con los
situaciones de trabajo
común en el aula.
aprecian.
Encuentra, en su entorno
más cercano, situaciones
que se pueden reflejar
mediante las funciones
trabajadas en la unidad.
culturales
Elaborar trabajos y
estético.
Representa diferentes
funciones de forma
adecuada y presta especial
atención a los detalles.
Aprender a aprender
440
Unidad 5: FUNCIONES EXP Y LOGARÍTM.
1. PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD. Título: Funciones exponenciales, logarítmicas
y trigonométricas
Esta unidad es, en cierto modo, prolongación de la anterior: se prosigue la descripción de
familias de funciones básicas.
Si bien es cierto que las funciones trigonométricas no aparecen explícitamente en el
programa, creemos que son el mejor modelo para, en este nivel, introducir y estudiar las
funciones periódicas. Además, posiblemente sea este el campo en el cual el concepto de
periodicidad encuentra su aplicación más habitual.
La función logarítmica se presenta a partir de la exponencial. Este planteamiento obliga al
estudio de la función inversa y, por tanto, al de función compuesta. Estos conceptos son
introducidos de manera gradual, prestándoles la debida atención, teniendo en cuenta lo
útiles que resultarán cuando se aprendan las reglas de derivación.
Tanto para las funciones trigonométricas como para las logarítmicas, creemos suficiente un
tratamiento superficial de las mismas: nos centramos en ser capaces de asociar, en cada
caso, la forma de una curva con la expresión analítica correspondiente, apoyándonos para
ello en la obtención de valores con la calculadora.
De la función exponencial se necesita, sin embargo, un conocimiento más profundo. Y ello
por una razón fundamental: la gran cantidad de situaciones en las que las Ciencias Sociales
hacen uso de esta idea para modelizar fenómenos reales (estudio del crecimiento de una
población, asignación de probabilidades a partir de distribuciones estadísticas, etc.).
La comprensión de las funciones trigonométricas puede hacerse difícil debido, sobre todo,
a los escasos o nulos conocimientos trigonométricos que atesora el alumnado cuando llega
a este curso. Por ello, el estudio debe hacerse con la suficiente parsimonia.
La operación de la composición de funciones presenta para la mayoría de estudiantes
grandes dificultades. Es habitual que el alumnado tenga la sensación de que se trata de un
concepto fácil, cuando en realidad no lo domina. Por ello, es necesario insistir sobre esta
idea, realizando multitud de ejemplos. El reconocimiento de una función como compuesta
de otras resulta fundamental para, posteriormente, aplicar la regla de la cadena en la
obtención de derivadas, posiblemente, una de las principales herramientas del cálculo
diferencial.
Hemos optado por introducir la unidad presentando el origen de estas funciones y
mostrando una serie de fenómenos reales y sencillos que describen con exactitud varias de
las funciones que se van a estudiar. Pensamos que, una vez más, las situaciones cotidianas
en las que de forma natural aparecen las matemáticas, son la mejor forma de motivar a los
estudiantes para un estudio serio y profundo.
441
2.
1. Conocer las funciones exponencial y logarítmica, como funciones
recíprocas y asociar sus gráficas con la expresión analítica que le
corresponde.
2. Conocer las funciones trigonométricas y asociar su gráfica a su expresión analítica.
3.
Contenidos
Composición de funciones
- Obtención de la función
compuesta de otras dos
dadas por sus expresiones
analíticas.
Función inversa o recíproca de
otra
Criterios
de evaluación
1. Conocer la
composición de
funciones y las
inversas, y
manejarlas.
evaluables
1.1. Dadas las
expresiones
analíticas de dos
funciones, halla la
función compuesta
de ambas.
1.2. Reconoce una
función dada como
composición de
otras dos conocidas.
- Trazado de la gráfica de
una función, conocida la de
su inversa.
analítica de
f 1(x), conocida f (x).
Las funciones exponenciales
1.3. Dada la
representación
gráfica de
y  f (x), da el valor
de f 1(a) para
valores concretos de
a. Representa
y  f 1(x).
funciones exponenciales.
Las funciones logarítmicas
funciones logarítmicas.
Las funciones trigonométricas
1.4. Halla la función
inversa de una dada.
442
CC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
funciones trigonométricas.
2. Conocer las funciones
exponenciales y
logarítmicas y asociar
sus expresiones
analíticas con las
formas de sus
gráficas.
2.1. Dada la gráfica de
una función
exponencial o
logarítmica, le
asigna su expresión
analítica y describe
algunas de sus
características.
2.2. Dada la expresión
analítica de una
función exponencial,
la representa.
analítica de una
función logarítmica,
la representa.
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
CEC
analítica de una
función
exponencial, dada
por un enunciado.
3. Conocer las funciones
trigonométricas y
asociar sus
expresiones analíticas
con las formas de sus
gráficas.
3.1. Dada la gráfica de
una función
trigonométrica, le
asigna su expresión
analítica y describe
alguna de sus
características.
analítica de una
función
trigonométrica, la
representa.
443
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
Competencia
Descriptor
Desempeño
Competencia en
comunicación
lingüística
coherencia.
utilizando expresiones coherentes
y adecuadas para cada ocasión.
Explica, por escrito, de forma
adecuada cómo ha asociado a
diferentes funciones exponenciales
y logarítmicas sus expresiones
analíticas con las formas de sus
gráficas.
escucha atenta al
interlocutor…
explicaciones y correcciones de
clase, preguntado dudas
pertinentes de forma clara y
respetando el turno de palabra.
numérica, etc.
Utiliza los conceptos tratados en la
unidad de forma adecuada y las
relaciones entre ellos.
formato gráfico.
Identifica y representa fácilmente
las gráficas de las funciones
trigonométricas elementales: seno,
coseno y tangente.
matemáticos.
Se plantea, previamente a
enfrentarse la representación
gráfica de una función: qué tipo de
función es, qué debe calcular para
su representación…
digitales para la construcción
de conocimiento.
www.anayadigital.com o en la web
para complementar los contenidos
Competencia
matemática y
competencias
básicas en
ciencia y
tecnología
Competencia
digital
444
de la unidad y ampliar su
conocimiento.
Maneja su calculadora utilizando
de forma adecuada algunas de sus
funciones, desconocidas hasta el
momento, pero esenciales en esta
unidad.
Seguir los pasos establecidos y
tomar decisiones sobre los
Conoce el significado de
composición de funciones y lo
aplica de forma efectiva para
obtener la función compuesta de
otras dos dadas por sus
expresiones analíticas, de manera
que, si el resultado final no es el
correcto, revisa los pasos
mismo, el error y lo modifica.
Realiza las actividades finales de la
unidad y las utiliza para
adquiridos.
Competencias
sociales y
cívicas
Evidenciar preocupación por
los más desfavorecidos y
respeto a los distintos ritmos y
potencialidades.
compañeras que presentan alguna
dificultad en la consecución de los
objetivos del tema de forma
espontánea.
Sentido de
iniciativa y
espíritu
emprendedor
Generar nuevas y divergentes
posibilidades desde
conocimientos previos del
tema.
Compone una función con su
inversa para comprobar que la
inversa que había calculado
previamente es correcta.
Conciencia y
expresiones
culturales
expresiones artísticas y de las
manifestaciones de
cotidiano.
Representa diferentes funciones
(exponenciales, logarítmicas,
trigonométricas…) de forma
adecuada cuidando todos los
detalles de las mismas.
Aprender a
aprender
445
Unidad 6: LÍMITES DE FUNCIONES.
CONTINUIDAD
Título:
Límites de funciones, continuidad y ramas infinitas
La idea gráfica, tanto de continuidad y discontinuidad como de los distintos tipos de límites
y ramas infinitas, es sencilla y clara. El paso de la idea gráfica a la obtención de métodos
analíticos por los que se reconozcan estas características de las funciones a partir de sus
expresiones analíticas es el contenido fundamental de esta unidad.
El estudiante debe ser consciente del proceso seguido:
- Si la función se nos da gráficamente, apreciamos en ella una serie de
características: continuidad, discontinuidades y sus tipos, límites en un
punto y su relación con la continuidad, límites en el infinito y ramas
infinitas.
- Estas evidencias gráficas dan lugar a métodos analíticos con los que se
puede obtener información sobre dichas características a partir de la
expresión analítica de la función.
¿Con qué fin seguimos ese proceso? Pues, si es fácil apreciar tales características sobre la
gráfica, ¿para qué ir a buscarlas en las expresiones analíticas, donde resulta difícil y
laborioso hallarlas? Aunque la respuesta es obvia, debemos subrayarla: habitualmente, las
funciones se nos dan analítica y no gráficamente.
Destacamos, como especialmente importantes, estas consideraciones didácticas:
446
- El resultado que afirma «Todas las funciones definidas por sus expresiones
analíticas elementales (es decir, todas las que conocemos hasta ahora) son
continuas en todos los puntos en los que están definidas», nos permite
obtener como obvios infinidad de límites en los que no existe
indeterminación.
- El interés de recurrir a la calculadora para dilucidar el signo en los
siguientes casos: algunos límites infinitos cuando x  a por la derecha o
por la izquierda, o el signo de la diferencia entre una función y su asíntota
para situar respecto a esta la rama infinita.
- «El protagonismo de una función polinómica, cuando x   o x  , lo
desempeña su término de mayor grado». Esta sencilla afirmación resulta
sumamente fecunda para el cálculo de límites en el infinito en los que
intervengan expresiones polinómicas. Es deseable que los estudiantes lo
entiendan a la perfección, y automaticen su uso. Y, en lo posible, lo hagan
extensivo a otro tipo de funciones.
- Puesto que en este nivel solo veremos asíntotas oblicuas en funciones
racionales, hemos considerado que basta con aprender la obtención de
estas mediante el cálculo algebraico del cociente P(x) : Q(x).
No es en los procesos matemáticos donde suelen hallarse las mayores dificultades de los
estudiantes, sino en la correcta interpretación de los mismos y el papel que desempeñan en
la representación gráfica de funciones. Una forma de ir suavizando esta dificultad es,
creemos, interpretar gráficamente todo resultado analítico que se obtenga.
2.
1. Conocer los distintos tipos de límites, identificarlos sobre la gráfica de
una función, calcularlos analiticamente e interpretar su significado.
2. Identificar la continuidad o la discontinuidad de una función en un punto.
3. Aplicar el cálculo de límites al estudio de las ramas infinitas de funciones
polinómicas y racionales, y a su representación.
447
4.
Contenidos
Continuidad.
Discontinuidades
- Reconocimiento sobre
la gráfica de la causa
de la discontinuidad de
una función en un
punto.
- Decisión sobre la
continuidad o
función.
Límite de una función en un
punto
- Representación gráfica
de las distintas
posibilidades de límites
en un punto.
- Cálculo de límites en un
punto:
- De funciones
continuas en el punto.
- De funciones
definidas a trozos.
- De cociente de
polinomios.
Límite de una función en  o
en 
Criterios
de evaluación
evaluables
analítico y gráfico de los
distintos tipos de límites
e identificarlos sobre una
gráfica.
función, reconoce el
valor de los límites
cuando
x  , x  ,
x  a ,x  a+,
x  a.
1.2. Interpreta
gráficamente
expresiones del tipo
lím f (x )  
x 
CC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CEC
( y  son ,  o
un número), así como
los límites laterales en
un punto.
2. Adquirir un cierto
dominio del cálculo de
límites sabiendo
interpretar el significado
gráfico de los resultados
obtenidos.
- Representación gráfica
de las distintas
posibilidades de límites
cuando x   y
cuando x  .
- Cálculo de límites en el
infinito:
- De funciones
polinómicas.
- De funciones inversas
de polinómicas.
- De funciones
2.1. Calcula el límite en un
punto de una función
continua.
racional en la que se
anula el denominador
y no el numerador y
distingue el
comportamiento por
la izquierda y por la
derecha.
racional en la que se
anulan numerador y
denominador.
2.4. Calcula los límites
448
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CEC
cuando x   o
x  , de funciones
polinómicas.
racionales.
2.5. Calcula los límites
cuando x   o
x  , de funciones
racionales.
2.6. Calcula el límite de
funciones «a trozos»
en un punto y cuando
x   o x  .
función continua e
identificar la
continuidad o
función en un punto.
función reconoce si en
un cierto punto es
continua o
discontinua y, en este
último caso identifica
la causa de la
discontinuidad.
3.2. Estudia la continuidad
de una función dada
«a trozos».
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CEC
3.3. Estudia la continuidad
de una función
racional dada su
4. Conocer los distintos tipos
de ramas infinitas (ramas
parabólicas y ramas que
se ciñen a asíntotas
verticales horizontales y
oblicuas).
4.1. Halla las asíntotas
verticales de una
función racional y
representa la posición
de la curva respecto a
ellas.
4.2. Estudia y representa
las ramas infinitas de
una función
polinómica.
comportamiento de
una función racional
cuando
x   y x  .
449
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
(Resultado: ramas
parabólicas).
comportamiento de
cuando
x   x  .
horizontal).
el comportamiento de
cuando
x   y x  .
oblicua).
4.6. Halla las asíntotas y las
función racional y
sitúa la curva con
respecto a ellas.
las ramas infinita en
funciones
exponenciales y
logarítmicas.
450
Competencia
Descriptor
Desempeño
Competencia en
comunicación
lingüística
escucha atenta al
interlocutor…
clase, preguntado dudas
pertinentes de forma clara y
respetando el turno de palabra.
Comprender el sentido de los
textos escritos y orales.
Comprende, basándose en sus
conocimientos previos, a qué
tiende el límite de un función
cuando tiende a +∞ o a -∞ si la ve
representada.
para elaborar textos escritos y
orales.
conceptos relacionados con los
unidad utilizándolos de manera
adecuada para expresarse, tanto
de forma oral como escrita.
numérica, etc.
Conoce y utiliza de forma correcta
los elementos matemáticos básicos
necesarios para la unidad:
continuidad, discontinuidad, límite,
ramas, asíntotas…
cuando realiza las actividades y los
eficaces.
Resolver problemas
seleccionando los datos y las
estrategias apropiadas.
Utiliza adecuadamente las técnicas
aprendidas para calcular los
elementos que se le piden en cada
problema propuesto.
formato gráfico.
Comprende e interpreta, en
funciones polinómicas y racionales
representadas, por qué son de una
Competencia
matemática y
competencias
básicas en
ciencia y
tecnología
451
determinada sus ramas infinitas y
no de otra.
Competencia
digital
fiabilidad.
Evalúa las fuentes consultadas
según su fiabilidad y reflexiona
sobre la conveniencia de utilizar la
mismas.
digitales para la construcción
de conocimientos.
para complementar y/o ampliar
información sobre la unidad.
Realiza un mapa mental previo a la
unidad con los contenidos que
posee a cerca de las funciones
para, de este modo, saber con
certeza cuál es el conocimiento con
el que parte y qué necesita reforzar
para enfrentarse a esta unidad.
finales de la unidad para
adquiridos.
Competencias
sociales y
cívicas
Evidenciar preocupación por
los más desfavorecidos y
respeto a los distintos ritmos y
potencialidades.
Ayuda a los compañeros que
presentan alguna dificultad en la
consecución de los objetivos del
tema de forma espontánea.
Sentido de
iniciativa y
espíritu
emprendedor
Mostrar iniciativa personal para
iniciar o promover acciones
nuevas.
Inventa, de forma espontánea,
pequeño cambios en las funciones con
las que trabaja para estudiar cómo
cambia el comportamiento de sus
asíntotas.
Conciencia y
expresiones
culturales
Elaborar trabajos y
estético.
Representa las ramas infinitas en
funciones exponenciales y logarítmicas
con todos los detalles para que no
haya lugar a ninguna confusión.
Aprender a
aprender
452
TERCERA EVALUACIÓN
Unidad 7: INICIACIÓN AL CÁLCULO DE
DERIVADAS. APLICACIONES
Título
La introducción histórica presentada en las páginas iniciales, tiene una especial relevancia
para el estudio de la unidad, porque los problemas resueltos por Newton y Leibnitz en el
siglo XVII son básicamente los mismos que vamos a utilizar para introducir el concepto de
derivada.
En la entrada de la unidad el problema Movimiento de una partícula es muy adecuado para
aproximarnos a la idea de cambio y variación en un intervalo y en un instante, antes de
definir formalmente la T.V.M. y la T.V.I.
Además de esta actividad puede ser muy útil comenzar con la siguiente:
Sobre un papel cuadriculado y en unos ejes coordenados se dibuja una gráfica. En uno de
sus puntos de abscisa a se traza la recta tangente. Se halla su pendiente, m, tomando como
referencia la cuadrícula. Pondremos: f '(a)  m. Es decir, antes de dar ninguna definición de
derivada, se identifica, de forma práctica, la derivada de una función en un punto con la
pendiente de la recta tangente a su gráfica en ese punto.
La realización de varios ejercicios como este sirve para que el alumnado sepa adónde se
dirige cuando da los pasos para hallar la derivada mediante el límite del cociente
incremental, y para destacar que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva
en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la
inclinación de la recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la
función en las proximidades del punto.
El desarrollo de esta unidad desde el apartado 1 al 5 es, por completo, tradicional: se
exponen los elementos teóricos y prácticos necesarios para que el alumnado domine los
conceptos de derivada de una función en un punto y de función derivada, para que aprenda
las reglas de derivación, etc..
453
En las aplicaciones de la función derivada nos centraremos en los aspectos siguientes:
- Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto.
- Obtención de los puntos singulares de una función.
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.
- M y m.
- Problemas de optimización.
La unidad termina con el estudio y la representación de funciones. Para ello debemos
aprovechar los conocimientos adquiridos sobre límites (continuidad, ramas infinitas) y
derivadas para afrontar el fin principal para el que se aprenden: la construcción de gráficas.
Se dan los pasos necesarios para representar sistemáticamente dos grandes familias de
funciones: polinómicas y racionales. Su aprendizaje será fundamental para completarlo, sin
problemas, el próximo curso con la representación de otras funciones.
Se presentan también algunos problemas sobre la optimización de funciones en casos
sencillos, que el curso próximo se estudiará con detenimiento.
2.
1. Conocer y aplicar la definición de derivada de una función en un punto e
interpretarla graficamente.
2. Utilizar la derivación para hallar la ecuación de la recta tangente a una
curva en un punto, obtener los puntos singulares y los intervalos de
crecimiento.
3. Integrar todas las herramientas básicas del análisis en la representación
de funciones y dominar la representación de funciones polinómicas y
racionales.
454
3.
Contenidos
Tasa de derivación media
- Cálculo de la T.V.M. de una
función para distintos
intervalos.
- Cálculo de la T.V.M. de una
función para intervalos muy
pequeños y asimilación del
resultado a la variación en
ese punto.
Derivada de una función en un
punto
- Obtención de la variación
en un punto mediante el
cálculo de la T.V.M. de la
función para un intervalo
variable h y obtención del
límite de la expresión
correspondiente cuando
h → 0.
Función derivada de otra
- Reglas de derivación.
- Aplicación de las reglas de
derivación para hallar la
derivada de funciones.
Aplicaciones de las derivadas
- Halla el valor de una
función en un punto
concreto.
- Obtención de la recta
tangente a una curva en un
punto.
- Cálculo de los puntos de
tangente horizontal de una
función.
Representación de funciones
1. Conocer la variación
de una función en
un intervalo
(T.V.M.) y la
variación en un
punto (derivada)
como pendiente de
la recta secante o
tangente,
respectivamente.
evaluables
1.1. Halla la tasa de variación
media de una función
en un intervalo y la
interpreta.
una función en un
punto hallando la
pendiente de la recta
tangente trazada en ese
punto.
una función en un
punto a partir de la
definición.
2. Conocer las reglas
de derivación y
utilizarlas para
hallar la función
derivada de otra.
función sencilla.
función en la que
intervienen potencias
no enteras, productos y
cocientes.
CC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CEC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA
función compuesta.
3. Utilizar la derivación
para hallar la recta
tangente a una
curva en un punto,
los máximos y
mínimos de una
función, los
intervalos de
crecimiento, etc.
3.1. Halla la ecuación de la
recta tangente a una
curva.
3.2. Localiza los puntos
singulares de una
función polinómica o
racional , decide si son
máximos o mínimos y
los representa.
3.3. Determina los tramos
455
CCL,
CMCT,
CD,
CAA
donde una función
crece o decrece.
funciones polinómicas de
grado superior a dos.
funciones racionales.
4. Conocer el papel
que desempeñan
las herramientas
básicas del análisis
(límites,
derivadas...) en la
representación de
funciones y dominar
la representación
sistemática de
funciones
polinómicas y
racionales.
de la que se le dan
todos los datos más
relevantes (ramas
infinitas y puntos
singulares).
4.2. Describe con corrección
todos los datos
relevantes de una
función dada
gráficamente.
polinómica de grado
superior a dos.
racional con
grado y ramas
asintóticas.
racional con
grado y una rama
parabólica.
racional con
denominador de
segundo grado y una
asíntota horizontal.
456
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
Competencia
Descriptor
Desempeño
Competencia en
comunicación
lingüística
comunicación en
cualquier contexto: turno
de palabra, escucha
atenta al interlocutor…
de palabra.
Producir textos escritos
de diversa complejidad
para su uso en
situaciones cotidianas o
de asignaturas diversas.
Realiza un esquema-resumen donde
explica, con sus palabras, cómo
representar funciones de forma
sistemática.
Realiza la lectura comprensiva de los
textos científicos expuestos en la
unidad y muestra interés por leer
textos complementarios
recomendados por el profesor.
Manejar los
conocimientos sobre
comprender lo que
ocurre a nuestro
alrededor y responder a
preguntas.
Utiliza la introducción histórica
presentada en la unidad para una
mejor comprensión de la relevancia
que tiene el estudio de las derivadas
en la actualidad.
Resolver problemas
las estrategias
apropiadas.
Selecciona la estrategia más adecuada
para enfrentarse a un problema
dependiendo del tipo de función que
sea.
en el lenguaje
matemático.
Se expresa con el vocabulario
adecuado y de forma correcta
utilizando los conceptos de la unidad.
información.
para reforzar y/o ampliar los
unidad.
Competencia
matemática y
competencias
básicas en ciencia
y tecnología
Competencia
digital
457
Utiliza la calculadora para el
aprendizaje del uso de algunas
funciones desconocidas, que es
esencial en este curso, destacando
positivamente las actividades
interactivas de Geogebra incluidas en
la web de la editorial que permite la
visualización dinámica y la
manipulación de las gráficas.
aprendizaje.
resumen/cuadro para hallar la recta
tangente a una curva en un punto, los
máximos y mínimos de una función,
los intervalos de crecimiento, etc.
Reflexiona sobre cómo ha aprendido
el papel que desempeñan las
herramientas básicas del análisis
(límites, derivadas...) en la
representación de funciones y esto le
hace dominar la representación
sistemática de funciones polinómicas
y racionales.
Competencias
sociales y cívicas
Aplicar derechos y
deberes de la convivencia
de la escuela
Conoce cuáles son sus deberes en el
aula y los aplica, favoreciendo la
convivencia en el aula.
Sentido de
iniciativa y
espíritu
emprendedor
Ser constante en el
trabajo superando las
dificultades.
Trabaja de forma constante y no se
rinde ante cualquier dificultad que
pueda surgir.
Conciencia y
expresiones
culturales
patrimonio cultural
mundial en sus distintas
vertientes (artísticoliteraria, etnográfica,
científico-técnica…), y
hacia las personas que
han contribuido a su
desarrollo.
Reconoce la importancia de Newton y
Leibniz en el desarrollo de la
matemática actual.
Aprender a
aprender
458
Unidad 8: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES
Título
Antes de comenzar la unidad se hace un repaso de la Estadística Unidimensional




Variable unidimensional, tablas y gráficos
Medidas de centralización
Medidas de dispersión
Medidas de posición
La visión intuitiva es básica para un buen aprendizaje de las distribuciones bidimensionales:
- A cada individuo de una población estadística se le asocian dos valores
correspondientes a dos variables, x e y. Consideradas como coordenadas,
dan lugar a un punto (x, y) en un diagrama de ejes cartesianos. El conjunto
de todos los puntos correspondientes a la totalidad de los individuos (nube
de puntos) permite visualizar la relación entre las dos variables:
correlación.
- La forma de la nube de puntos informa sobre el tipo de correlación: más o
menos fuerte, positiva o negativa.
- La recta que se amolda a la nube de puntos, recta de regresión, marca la
tendencia en la variación de una variable respecto a la otra.
Con los problemas que se proponen para empezar, se pretende hacer ver en qué consiste la
correlación, que puede ser positiva o negativa, y que a partir de la nube de puntos se
visualizan muchos matices de esa relación. El primer apartado insiste en esa línea por la
que, a partir de la percepción gráfica de la correlación, se llega a las ideas clave y a la
nomenclatura básica. En adelante, se matematiza el proceso: se obtienen fórmulas para
medir la correlación y para obtener la recta de regresión.
Para el cálculo de los parámetros, es fundamental el buen manejo de la calculadora en el
modo LR (o el modo que su calculadora use para distribuciones bidimensionales). Debe
459
intentarse que el alumnado lo consiga sin que deje de tener claro lo que obtiene en cada
momento. Sugerimos la siguiente forma de proceder en la presentación, tanto de ejercicios
propuestos para casa como en los exámenes:
- A partir de la tabla de valores para las dos variables, el estudiante rellenará,
haciendo los cálculos correspondientes, las primeras filas (una, dos, tres a
lo sumo). Es la forma de demostrar que lo sabe hacer.
𝑥𝑖
𝑦𝑖
𝑥𝑖2
𝑦𝑖2
𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑥1
𝑦1
...
...
...
𝑥2
𝑦2
...
...
...
...
...
...
...
...
- Después, preguntando a la calculadora, pondrá la suma de las distintas
columnas para el cálculo de los parámetros, se pone la fórmula
correspondiente y se sustituyen las expresiones por los valores situados en
la tabla.
𝑥𝑖
𝑦𝑖
𝑥𝑖2
𝑦𝑖2
𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑥1
𝑦1
...
...
...
𝑥2
𝑦2
...
...
...
...
...
...
...
...
y
x
x
2
y
2
 xy
En definitiva, aunque el valor de cada parámetro lo aporta la calculadora, el alumnado debe
mostrar que lo sabe obtener y exponer los pasos necesarios para ello.
Las tablas de doble entrada se muestran como curiosidad y se acompañan con la forma de
representar gráficamente la distribución en estos casos, así como su tratamiento con la
calculadora.
2. OBJETIVOS DIDÁCTICOS
1. Conocer las distribuciones bidimensionales representarlas (a partir de
datos dados en tablas o mediante tablas de doble entrada), analizarlas
por su coeficiente de correlación y obtener las ecuaciones de las rectas
de regresión de una distribución bidimensional para realizar
estimaciones. Saber valerse de la calculadora para almacenar datos y
calcular estos parámetros.
460
3.
ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES/ COMPETENCIAS CLAVE:
Competencias clave (CC): comunicación lingüística (CCL), competencia matemática y
competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT), competencia digital (CD), aprender a
aprender (CAA), competencias sociales y cívicas (CSYC), sentido de iniciativa y espíritu
emprendedor (SIEP) y conciencia y expresiones culturales (CEC).
Contenidos
Dependencia estadística y
dependencia funcional
- Estudio de ejemplos.
Distribuciones
bidimensionales
- Representación de una
distribución
bidimensional mediante
una nube de puntos.
Visualización del grado
de relación que hay
entre las dos variables.
Correlación. Recta de
regresión
- Significado de las dos
rectas de regresión.
- Cálculo del coeficiente
de correlación y
obtención de la recta de
regresión de una
distribución
bidimensional.
calculadora en modo LR
para el tratamiento de
distribuciones
bidimensionales.
distribuciones
bidimensionales para el
estudio e interpretación
de problemas
sociológicos científicos o
Tablas de doble entrada
- Interpretación.
- Tratamiento con la
calculadora.
Criterios
de evaluación
evaluables
1. Conocer las
distribuciones
bidimensionales
representarlas y
analizarlas
mediante su
coeficiente de
correlación. Saber
valerse de la
calculadora para
almacenar datos y
calcular estos
parámetros.
1.1. Representa mediante una
nube de puntos una
distribución bidimensional
y evalúa el grado y el signo
de la correlación que hay
entre las variables.
Interpreta nubes de
puntos.
2. Conocer y obtener
las ecuaciones
(con y sin
calculadora) de las
rectas de regresión
de una distribución
bidimensional y
utilizarlas para
realizar
estimaciones.
2.1. Obtiene (con o sin
calculadora) la ecuación la
recta de regresión de y
sobre x y se vale de ella
para realizar estimaciones,
teniendo en cuenta la
fiabilidad de los
resultados.
en los que los
datos vienen
dados en tablas de
doble entrada.
461
1.2. Conoce (con o sin
calculadora), calcula e
interpreta la covarianza y
el coeficiente de
correlación de una
distribución bidimensional.
2.2. Conoce la existencia de dos
rectas de regresión, las
obtiene y representa y
relaciona el ángulo que
forman con el valor de la
correlación.
3.1. Resuelve problemas en los
que los datos vienen dados
en tablas de doble
entrada.
CC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
CCL,
CMCT, CD,
CAA,
CSYC, SIEP
Competencia
Descriptor
Desempeño
Competencia en
coherencia.
Se expresa de forma
adecuada cuando se refiere
a contenidos de la unidad,
presentando coherencia en
su diálogo. (Correlación,
covarianza, coeficiente de
regresión…).
Componer distintos tipos
de textos creativamente
con sentido literario.
Compone un texto
explicando los resultados de
su estudio bidimensional una
vez calculadas la recta de
regresión de y sobre x y la
de x sobre y.
Aplicar métodos de análisis
Es metódico cuando se
enfrenta al estudio
bidimensional de un
problema de la vida
cotidiana.
Interpreta correctamente
una nube de puntos y asocia
a esta el valor del coeficiente
de correlación aproximado.
cotidiana.
Aplica las estrategias
estudiadas en la unidad a la
hora de resolver problemas.
información propia
derivada de información
obtenida a través de
Elabora un díptico con los
contenidos de la unidad
mediante un programa
informático y lo presenta a
sus compañeros.
Aprende a utilizar la
calculadora en modo LR para
el tratamiento de
Competencia
matemática y
Competencia digital
462
la vida diaria.
distribuciones
bidimensionales.
Aprender a aprender
Piensa sobre cómo, a lo largo
del curso, han sido sus
estilos de aprendizaje y
realiza una reflexión de ello
para ser consciente de cómo
aprende mejor y qué
necesita reforzar para
próximos cursos.
cívicas
y trabajo y para la
Se comunica con sus
situaciones de trabajo
común en el aula.
Asumir las
responsabilidades
encomendadas y dar
cuenta de ellas.
Asume cuáles son sus
responsabilidades cuando
realiza un trabajo en grupo y
plasma en él cuáles han sido
estas y cuál ha sido el grado
de consecución de las
mismas.
tiempos.
componente cuando realiza
la evolución de la estadística
unidimensional a
bidimensional ya que esta
última favorece el estudio e
interpretación de problemas
sociológicos científicos o de
la vida cotidiana.
culturales
463
Unidad 9: DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD DE VARIABLE
DISCRETA
Título
Distribuciones de probabilidad de variable discreta
En el primer epígrafe de la unidad, Cálculo de probabilidades, se realiza un REPASO de toda
la probabilidad de los cursos anteriores: sucesos, tipos, operaciones, cálculo de
probabilidades en experiencias compuestas dependientes e independientes. Este apartado
es imprescindible para entender y calcular las probabilidades P [x = k] de los sucesos
puntuales en las distribuciones binomiales.
En los apartados 2 y 3 se presentan las distribuciones de probabilidad comparándolas con
las distribuciones estadísticas o distribuciones de frecuencias. Debe quedar claro que en las
distribuciones de frecuencia de variable discreta, la probabilidad asignada a cada valor se
representa por la altura de una barra, mientras que en las de variable continua, la
probabilidad en un intervalo se representa mediante el área del rectángulo
correspondiente.
También es importante entender las definiciones de los parámetros  y  en una
distribución de probabilidad de variable discreta como idealización de los correspondientes
parámetros en las distribuciones estadísticas, pasando de las frecuencias relativas fi/N a las
probabilidades, pi.
En las páginas introductorias se presenta el aparato de Galton como elemento motivador
de lo que, en páginas posteriores, será la distribución binomial. Resulta útil,
didácticamente, la referencia al aparato de Galton, y razonar sobre él tal como se hace en
el texto. El paralelismo con «el número de caras que se obtiene al lanzar n monedas» sirve
para hacer la transferencia a distribuciones bidimensionales con p  1/2, pues las monedas
podrían ser chinchetas o cualquier otro instrumento aleatorio.
La relación del aparato de Galton con el triángulo de Tartaglia (la similitud no es solo
conceptual, sino hasta geométrica: tienen la misma forma) permite comprender y obtener
de manera sencillísima los coeficientes de pk y qn – k para k = 0, 1..., n, en el cálculo de la
probabilidad P [x = k].
464
1. Calcular probabilidades en experiencias compuestas.
2. Conocer y manejar las distribuciones de probabilidad de variable discreta
y obtener sus parámetros.
3. Conocer la distribución binomial, utilizarla para calcular probabilidades y
obtener sus parámetros.
3.
Contenidos
Sucesos aleatorios y leyes de
la probabilidad
- Cálculo de
probabilidades en
experiencias
compuestas
dependientes e
independientes.
- Diagramas de árbol.
Distribuciones de la
probabilidad de variable
discreta
- Parámetros.
- Cálculo de los
parámetros μ y σ de
una distribución de
discreta, dada mediante
una tabla o por un
enunciado.
Distribución binomial
Criterios
de evaluación
1. Calcular
probabilidades en
experiencias
compuestas.
evaluables
CC
1.1. Calcula probabilidades en
experiencias
compuestas
independientes.
CCL,
experiencias
compuestas
dependientes,
utilizando, en algunos
casos, diagramas de
árbol.
2. Conocer y manejar las
distribuciones de
probabilidad de
variable discreta y
obtener sus
parámetros.
2.1. Construye e interpreta la
tabla de una distribución
de probabilidad de
variable discreta y
calcula sus parámetros.
CMCT,
CD,
CAA,
CEC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
- Experiencias
dicotómicas.
CEC
465
- Reconocimiento de
distribuciones
binomiales.
- Cálculo de
probabilidades en una
distribución binomial.
- Parámetros μ y σ de
una distribución
binomial.
- Ajuste de un conjunto de
datos a una distribución
binomial.
3. Conocer la
distribución binomial,
utilizarla para calcular
probabilidades y
obtener sus
parámetros.
3.1. Reconoce si una cierta
experiencia aleatoria
puede ser descrita, o no,
mediante una distribución
binomial, identificando en
ella n y p.
una distribución binomial y
halla sus parámetros.
3.3. Aplica el procedimiento para
decidir si los resultados de
una cierta experiencia se
ajustan, o no, a una
Competencia
Descriptor
Desempeño
Competencia en
comunicativas.
Representa mediante
diagramas de árbol
probabilidades de
experiencias compuestas
dependientes para ayudarse
a explicar mejor, y valora de
forma positiva este registro
como elemento de
Utilizar los conocimientos
información y leer textos
en cualquier situación.
previos sobre la lengua para
leer y extraer la información
relevante de los textos
científicos que se presentan
en la unidad.
Comprende las explicaciones
del profesor que realiza
sobre la unidad y retiene la
información pertinente para
trabajar con ellas y
466
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
responder a las cuestiones
que se plantean.
Competencia matemática
y competencias básicas
Competencia digital
numérica, etc.
Conoce y calcula de forma
adecuada los parámetros μ
y σ de una distribución de
discreta y de una
Comprende e interpreta la
tabla de una distribución de
discreta y la represenatación
de una distribución binomial.
Utiliza los conocimientos que
posee sobre el triángulo de
Tartaglia para ayudarse a
comprender el aparato de
Galton y así poder responder
de manera sencilla a
preguntas sobre
probabilidades.
Comprender los mensajes
que vienen de los medios
de comunicación.
Comprende ejemplos en
diferentes medios
audiovisuales que se le
presentan que se pueden
referenciar como
distribuciones
bidimensionales con p  1/2.
digitales para la
construcción de
conocimiento.
Maneja la calculadora de
forma ágil, haciendo uso de
algunas funciones
desconocidas hasta el
momento pero, que le
permiten una mejor
comprensión de su trabajo
así como la agilización del
mismo.
467
Aprender a aprender
Elabora un mapa conceptual
sobre sus conocimientos
previos sobre el cálculo de
probabilidades para tener
claro cuáles son los
conocimientos de los que
parte y cuáles debe reforzar
para enfrentarse a la unidad
de forma positiva.
cívicas
ideas.
expresadas por los
compañeros en las
actividades cooperativas.
aprecian.
Relaciona de forma espontánea
situaciones de la vida cotidiana
con distribuciones de la
discreta y distribuciones
binomiales y calcula sus
parámetros.
culturales
(artístico-literaria,
etnográfica, científicotécnica…), y hacia las
personas que han contribuido
a su desarrollo.
Reconoce la importancia que
han tenido matemáticos de
diversos siglos en el desarrollo
de la matemática actual.
468
Unidad 10: DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA
Título
Distribuciones de probabilidad de variable continua
Para la comprensión de las distribuciones de probabilidad de variable continua resultan
eficaces las actividades del Resuelve de la unidad: procurar que la distribución de
probabilidad encierre exactamente 100 cuadraditos propicia asimilar que lo que importa en
estas distribuciones es el área correspondiente al intervalo. Con ella se está en disposición
de entender el papel que desempeña la función de densidad en la descripción de una
probabilidad de variable continua. El cálculo de probabilidades a partir de la función de
densidad se realiza para funciones uniformes o de crecimiento constante en las que las
probabilidades son áreas de rectángulos o de trapecios.
La curva normal es muy importante, pues son multitud las distribuciones que se rigen por
ella, como se comenta en el texto del libro. El proceso que se sigue en este, sirve para
familiarizar al alumnado con ella antes de comenzar a utilizar las tablas. Se procede a una
detallada utilización del reparto de áreas en los intervalos (  , μ  ), ( – 2,   2) y
(  3,   3), a partir de la cual el significado de las tablas y su aplicación al cálculo de
probabilidades cualesquiera se ve como algo natural y sencillo.
Puede completarse con una actividad de aula, en la que participen los estudiantes: «Vamos
a estudiar las estaturas de todos los soldados de un regimiento. Sabemos que se
distribuyen según una curva normal. ¿Cuáles pueden ser su media y su desviación típica?».
Supongamos que, tras discutir algún tiempo, se acuerda que   165 cm y   5 cm. Esto
significaría que solo el 0,13 % medirían más de 165  3 · 5  180. Es decir, poco más del 1
por mil. No es razonable: hay que buscar otros parámetros... Cuando se haya llegado a unos
parámetros que parezcan razonables, por ejemplo,   170 cm y   6 cm, se podrá
responder a preguntas del tipo: ¿qué porcentaje de soldados miden menos de 164 cm? ¿Y
entre 176 cm y 182 cm? ¿Y más de 182 cm?, cuidando que las referencias que se utilicen
sean del tipo   K, para K  0, 1, 2, 3.
469
Obsérvese que, de esta forma, además de familiarizarse con las distribuciones normales, el
alumno está tipificando sin ni siquiera darse cuenta de que lo hace. (Es decir, está
explicando la variable x en «número de desviaciones típicas que se separa de la media»: (x
 )/). Así, cuando lo deba hacer para valores cualesquiera de la variable, lo verá como
algo muy razonable.


La posibilidad del paso de una binomial B (n, p) a una normal N np, npq se hace evidente
con las gráficas que hay en el libro. Para el cálculo de probabilidades en este caso es
imprescindible recordar que a valores puntuales en la binomial, x = k, le corresponden
intervalos en la normal, x  [k – 0,5; k + 0,5], tal como se recuerda y aplica en el libro de
texto.
Para finalizar la unidad, se estudia un procedimiento con el que se puede apreciar de forma
subjetiva si una serie de datos obtenidos experimentalmente se ajustan a una normal.
1. Conocer las distribuciones de probabilidad de variable continua y usarlas
para calcular probabilidades.
2. Conocer la distribución normal, interpretar sus parámetros y utilizarla
para calcular probabilidades.
3. Conocer y aplicar la posibilidad de utilizar la distribución normal para
calcular probabilidades de algunas distribuciones binomiales.
470
3.
Contenidos
Distribuciones de probabilidad
de variable continua
- Peculiaridades.
- Cálculo de probabilidades
a partir de la función de
densidad.
- Interpretación de los
parámetros μ y σ y en
distribuciones de
continua, a partir de su
función de densidad,
cuando esta viene dada
gráficamente.
Distribución normal
- Cálculo de probabilidades
utilizando las tablas de la
normal N (0, 1).
- Obtención de un intervalo
al que corresponde una
determinada probabilidad.
- Distribuciones normales
N (μ, σ). Cálculo de
probabilidades.
La distribución binomial se
aproxima a la normal
- Identificación de
distribuciones binomiales
que se puedan considerar
razonablemente próximas
a distribuciones normales,
y cálculo de probabilidades
en ellas por paso a la
normal correspondiente.
Ajuste
- Ajuste de un conjunto de
datos a una distribución
normal.
Criterios
de evaluación
evaluables
1. Conocer las
distribuciones de
probabilidad de
variable continua
y usarlas para
calcular
probabilidades.
1.1. Interpreta la función de
probabilidad (o función de
densidad) de una distribución
de variable continua y calcula
o estima probabilidades a
partir de ella.
CC
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
2. Conocer la
distribución
normal,
interpretar sus
parámetros y
utilizarla para
calcular
probabilidades.
3. Utilizar la
distribución
normal, cuando
corresponda, para
hallar
probabilidades de
algunas
distribuciones
binomiales.
471
2.1. Maneja con destreza la tabla de la
normal N(0, 1) y la utiliza para
calcular probabilidades.
2.2. Conoce la relación que existe
entre las distintas curvas
normales y utiliza la tipificación
de la variable para calcular
probabilidades en una
distribución N(μ, σ).
CCL,
CMCT,
CD,
CAA,
2.3. Obtiene un intervalo al que
corresponde una probabilidad
previamente determinada.
CSYC,
2.4. Aplica el procedimiento para
decidir si los resultados de una
cierta experiencia se ajustan, o
no, a una distribución normal.
CEC
SIEP,
3.1. Dada una distribución binomial,
reconoce la posibilidad de
aproximarla por una normal,
obtiene sus parámetros y calcula
probabilidades a partir de ella.
CCL,
CMCT,
CD,CAA,
CSYC,
SIEP,
CEC
Competencia
Descriptor
Desempeño
Competencia en
Efectúa la lectura
comprensiva de los textos y
ejemplos resueltos del libro y
extrae las ideas principales.
coherencia.
utilizando expresiones
coherentes y adecuadas para
cada ocasión.
nuestro alrededor y
Maneja sus conocimientos
previos sobre la distribución
binomial B(n, p) y los aplica
para solucionar problemas
relativos a una normal
cuando realiza las
actividades y sus
eficaces.
cotidiana.
Aplica y valora positivamente
el procedimiento con el que
se puede apreciar de forma
subjetiva si una serie de
datos obtenidos
experimentalmente se
ajustan a una normal.
la vida diaria.
facilitarse los cálculos y
representaciones y
rentabilizar su trabajo.
información.
Evalúa las fuentes
consultadas según su
fiabilidad y reflexiona sobre
Competencia
matemática y
Competencia digital
472


N np, npq .
la conveniencia de utilizar la
mismas.
Aprender a aprender
interdependiente…
Aplica diferentes estrategias
para, a partir de los ejemplos
sugeridos por el profesor,
tipificar.
Reflexiona sobre cómo ha
aprendido los contenidos
correspondientes a la unidad
para mejorar su aprendizaje
posterior.
cívicas
Ayuda de forma espontánea
a los compañeros que
presentan alguna dificultad
para aplicar las destrezas
desarrolladas en la unidad.
Asumir las
responsabilidades
encomendadas y dar cuenta
de ellas.
Se responsabiliza de las
tareas que se le asignan y
explica, posteriormente,
cuáles han sido y cómo se ha
enfrentado a ellas.
culturales
Valorar la interculturalidad
como una fuente de riqueza
la interacción con otros para
favorecer los diferentes
puntos de vista y enriquecer
la visión de la unidad.
473
ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES BÁSICOS
(CONTENIDOS MÍNIMOS)
Aritmética y álgebra:
Números racionales e irracionales. Los números "pi" y e. La recta real, ordenación,
operaciones. Intervalos. Valor absoluto. Radicales. Potencias de exponente racional.
Operaciones. Polinomios. Factorización. Operaciones con fracciones algebraicas
Resolución algebraica de ecuaciones de primer y segundo grado. Ecuaciones
exponenciales y logarítmicas. Inecuaciones.
Interpretación y resolución gráfica y algebraica de sistemas lineales de ecuaciones con
dos incógnitas. Resolución algebraica de sistemas de ecuaciones lineales con tres
incógnitas.. Progresiones. Matemática financiera. Interés compuesto. Capitalización.
Amortización. Tablas de amortización.
Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de los conceptos
y procedimientos propios de estos contenidos.
Funciones y gráficas:
Funciones reales de variable real. Utilización de tablas y gráficas funcionales para la
interpretación de fenómenos sociales. Obtención de valores desconocidos en funciones
dadas por su tabla: la interpolación lineal. Problemas de aplicación. Operaciones con
funciones.
Estudio gráfico y analítico de las funciones polinómicas de primer y segundo grado y
de las funciones de proporcionalidad inversa. Funciones definidas a trozos.
Identificación e interpretación de funciones exponenciales, logarítmicas y periódicas
sencillas.
Concepto intuitivo de límite y continuidad. Cálculo de límites. Estudio de
discontinuidades.
Dominio, recorrido y extremos de una función. Operaciones y composición de funciones
474
Derivada de una función. Aplicaciones geométricas y físicas de la derivada. Cálculo de
derivadas. Recta tangente.
Representación de gráficas de las funciones a partir del análisis de sus características
globales. Optimización
Estadística y probabilidad:
Estadística descriptiva unidimensional. Tipos de variables. Métodos estadísticos.
Tablas y gráficos. Parámetros estadísticos de localización, de dispersión y de posición.
Estadística bidimensional. Elaboración e interpretación de tablas de frecuencias de
doble entrada y nube de puntos. Cálculo e interpretación de los parámetros
estadísticos bidimensionales usuales.
Regresión lineal. Rectas de regresión. Predicciones estadísticas.
Asignación de probabilidades a sucesos. Operaciones con sucesos.
Cálculo de probabilidades de sucesos simples y compuestos.
Distribuciones de probabilidad binomial y normal. Tipificación de una variable normal.
Cálculo de probabilidades de sucesos simples y compuestos. Aproximación de la
binomial por la normal.
475
PROGRAMACIÓN
DE
BACHILLERATO
LOE
2º Bachillerato
La Junta de Castilla y León, en el D. 42/2008 (BOCYL, 11-6-2008), establece el
currículo de Bachillerato en nuestra comunidad.
Objetivos generales del Bachillerato
El D. 42/2008 (BOCYL, 11-6-2008) en su Art. 4, nos dice:
El bachillerato contribuirá a desarrollar en el alumnado las capacidades que
le permitan:



Ejercer la ciudadanía democrática, desde una perspectiva global, y adquirir
una conciencia cívica responsable, inspirada por los valores de la
Constitución española así como por los derechos humanos, que fomente la
corresponsabilidad en la construcción de una sociedad justa y equitativa y
favorezca la sostenibilidad.
Consolidar una madurez personal y social que les permita actuar de forma
responsable y autónoma y desarrollar su espíritu crítico. Prever y resolver
pacíficamente los conflictos personales, familiares y sociales.
Fomentar la igualdad efectiva de derechos y oportunidades entre hombres y
mujeres, analizar y valorar críticamente las desigualdades existentes e
476













impulsar la igualdad real y la no discriminación de las personas con
discapacidad.
Afianzar los hábitos de lectura, estudio y disciplina, como condiciones
necesarias para el eficaz aprovechamiento del aprendizaje, y como medio de
Dominar, tanto en su expresión oral como escrita, la lengua castellana, y
conocer las obras literarias más representativas.
Expresarse con fluidez y corrección en una o más lenguas extranjeras objeto
de estudio.
Utilizar con solvencia y responsabilidad las tecnologías de la información y la
comunicación.
Acceder a los conocimientos científicos y tecnológicos fundamentales y
dominar las habilidades básicas propias de la modalidad escogida.
Conocer y valorar críticamente las realidades del mundo contemporáneo, sus
antecedentes históricos, y los principales factores de su evolución.
Comprender los elementos y procedimientos fundamentales de la
investigación y de los métodos científicos. Conocer y valorar de forma crítica
la contribución de la ciencia y la tecnología en el cambio de las condiciones
de vida, así como afianzar la sensibilidad y el respeto hacia el medio
ambiente.
Afianzar el espíritu emprendedor con actitudes de creatividad, flexibilidad,
iniciativa, trabajo en equipo, confianza en uno mismo y sentido crítico.
Desarrollar la sensibilidad artística y literaria, así como el criterio estético,
como fuentes de formación y enriquecimiento cultural.
Utilizar la educación física y el deporte para favorecer el desarrollo personal
y social y mejorar la calidad de vida.
Afianzar actitudes de respeto y prevención en el ámbito de la seguridad vial.
Conocer, valorar y respetar la historia, la aportación cultural y el patrimonio
de España y de cada una de las Comunidades Autónomas.
Participar de forma activa y solidaria en el desarrollo y mejora del entorno
social y natural, orientando la sensibilidad hacia diversas formas de
voluntariado, especialmente el desarrollado por los jóvenes.
Metodología
El objetivo final es conseguir que los alumnos de Bachillerato manejen con
cierta soltura el lenguaje formal, comprendan los métodos propios de las
matemáticas y adquieran algunos conceptos matemáticos fundamentales. Para ello,
como en todo proceso educativo, hay que partir de lo conocido y volver a formularlo
si es preciso para dar más claridad y mayor alcance a lo que el alumno ya sabe;
graduar el orden de dificultad en los razonamientos, sencillos al principio y con
cuanta ayuda sea necesaria, y aumentar su complejidad paulatinamente; insistir en
las ideas básicas, enfocarlas desde puntos de vista y desde niveles diferentes;
practicar con ellas a través de ejercicios y problemas, que, a la vez que contribuyen
a asentarlas.
Creemos que las Matemáticas tienen un valor formativo que transciende su
propio ámbito: fomentan en el alumnado la creatividad, los hábitos de indagación, la
visión amplia de la realidad o la capacidad de enfrentarse a situaciones
desconocidas e imprevistas.
Las Matemáticas se caracterizan por dar consistencia y rigor a los
conocimientos científicos. Adquirir conocimientos matemáticos, supone no sólo
477
llegar a conseguir resultados finales y concretos, sino dominar todo el proceso
seguido hasta obtenerlos.
Para favorecer los aspectos anteriores, trabajamos con los alumnos lo
siguiente:
 Actividades y ejemplos diversos en los que las Matemáticas proporcionan la
solución a problemas o situaciones reales que se presentan en otros campos
del saber (Ciencias Naturales y Tecnología, Economía, Física, Ciencias
Sociales y Humanas, etc.) y que, además, suponen una motivación
importante al conectar a los alumnos/as con la realidad y el entorno que les
rodea.
 Problemas diversos en los que se aplican diferentes estrategias, otorgando
la importancia que merece al proceso de elaboración de dichas estrategias.
 Cuestiones que fomentan la capacidad de razonamiento, alejada de la
mecánica que a veces proporciona la resolución de actividades tipo.
La metodología dependerá en gran medida del tipo de alumnos de cada
grupo. Hay claras diferencias en el nivel de los alumnos del Bachillerato de Ciencia
y Tecnología con los de Ciencias Sociales y Humanidades. En cualquier caso
incluirá: introducción intuitiva de los distintos temas, justificación teórica de los
mismos, con más o menos intensidad, según los casos, pero en cualquier caso con
rigor, algunas demostraciones en el bachillerato de Ciencia y Tecnología y en el de
Ciencias Sociales y Humanidades sólo definiciones.
Cada alumno deberá tener un "CUADERNO DE MATEMÁTICAS" donde se
recojan todas las actividades del curso y el profesor lo podrá exigir en cualquier
momento.
Se fomentará el uso de las nuevas tecnologías en el desarrollo de las clases
(pizarras digitales, aulas de informática), en la obtención de información (páginas
web con contenidos matemáticos), en la realización de tareas (uso de programas
informáticos como Wiris, Excel, Derive o Geogebra) y en la comunicación entre
profesores y alumnos (aula virtual).
Se incluyen en la programación temas que no aparecen en los contenidos
del currículo de bachillerato en la Comunidad de Castilla y León y si en los
contenidos del segundo ciclo de la ESO, fundamentalmente temas de álgebra. En
especial, el tema de polinomios no se está incluido en Matemáticas Aplicadas a las
Ciencias Sociales I ni en Matemáticas I, y consideramos necesario dedicar un tiempo
suficiente en 1° de bachillerato para el posterior seguimiento adecuado de los temas
de análisis (estudio del dominio y signo de funciones polinómicas, racionales e
irracionales, resolución de indeterminaciones en límites, etc.) donde es necesario
dominar la factorización de polinomios y las operaciones de fracciones racionales
elementales.
478
PROGRAMACIÓN
Matemáticas II
2º BACHILLERATO
Libro de texto:
MATEMÁTICAS II
2 BACHILLERATO
Proyecto
479
CONTENIDOS
1ª EVALUACIÓN
Tema 1: Límites y continuidad









Sucesiones de números reales. Límite de una sucesión. El número "e".
Entornos en la recta. Distancia. Funciones reales. Límite de una función.
Límites laterales de una función.
Límites de operaciones con funciones.
Límites infinitos. Asíntotas verticales y horizontales.
Indeterminaciones.
Continuidad de una función en un punto y en un intervalo.
Tipos de discontinuidades.
Propiedades de las funciones continuas.
Tema 2: Derivada de una función









Derivada de una función en un punto.
Función derivada. Interpretación geométrica.
Derivadas laterales.
Continuidad y derivabilidad.
Regla de los cuatro pasos.
Derivada de la suma y de la diferencia de funciones.
Derivada del producto y cociente de funciones.
Regla de la cadena.
Derivada de funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométricas e
implícitas.
Tema 3: Aplicaciones de la derivada





Convexidad y concavidad. Puntos de inflexión.
Optimización. Problemas de optimización.
Teorema de Rolle, Lagrange y Cauchy. Aplicaciones.
Regla de L´Hôpital.
Tema 4:Representación de funciones



Estudio de las propiedades de las funciones.
Asíntotas oblicuas.
Representación gráfica de funciones.
Tema 5: Integral indefinida


Integral indefinida. Propiedades de la integral indefinida.
Integrales inmediatas.
480




Integración por sustitución.
Integración por partes.
Integración de funciones racionales.
Integrales de funciones circulares.
Tema 6: Integrales definidas








Área bajo una curva.
Integral definida. Propiedades.
Función integral.
Teorema del valor medio del cálculo integra.
Teorema fundamental del cálculo integral.
Regla de Barrow.
Cálculo de áreas por integración.
Área entre dos curvas.
2ª EVALUACIÓN
Tema 7: Matrices










Matriz. Estudio de las matrices como herramienta para manejar datos
estructurados en tablas y grafos. Tipos de matrices.
Suma de matrices. Propiedades.
Producto con matrices. Propiedades.
Potencia de matrices.
Matriz identidad. Matriz inversa.
Cálculo de la matriz inversa.
Rango de una matriz. Obtención del rango por el método de Gauss.
Expresión matricial de un sistema de ecuaciones. Resolución.
Aplicación de las operaciones y sus propiedades en la resolución de
problemas extraídos de contextos reales
Ecuaciones y sistemas matriciales.
Tema 8: Determinantes








Determinantes de orden 2.
Determinantes de orden 3. Regla de Sarrus.
Menor complemento y adjunto.
Propiedades de los determinantes.
Métodos para el cálculo de un determinante.
Matriz adjunta de una matriz dada.
Rango de una matriz.
Tema 9: Sistemas de ecuaciones lineales





Ecuaciones e inecuaciones lineales. Inecuaciones con valor absoluto.
Sistemas de ecuaciones equivalentes. Transformaciones de sistemas.
Métodos de reducción.
Sistemas de ecuaciones lineales escalonados.
Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas. Método de Gauss.
481








Sistemas lineales homogéneos.
Sistemas con distinto número de ecuaciones que de incógnitas.
Sistemas dependientes de un parámetro.
Métodos de resolución. Interpretación geométrica.
Regla de Cramer.
Teorema de Rouché-Fröbenius.
Sistemas lineales homogéneos.
Sistemas de ecuaciones dependientes de un parámetro. Resolución y
discusión.
3ª EVALUACIÓN
Tema 10: Geometría del espacio












Vectores en el espacio. Operaciones y propiedades.
Espacio vectorial de los vectores libres. Coordenadas de un vector. Base
canónica.
Ecuaciones de la recta. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Vector
director.
Incidencia entre punto y recta.
Ecuaciones del plano.
Ecuación general del plano que pasa por tres puntos. Ecuación
segmentaria.Posiciones relativas de dos planos en el espacio.
Incidencia entre punto y plano. Puntos coplanarios.
Ecuación del plano que pasa por una recta y un punto exterior.
Posiciones relativas de recta y plano en el espacio.
Posiciones relativas de dos rectas en el espacio.
Determinación de rectas y planos.
Posiciones relativas de tres planos en el espacio. Haz de planos.
Tema 11: Producto escalar





Producto escalar de dos vectores: definición, interpretación geométrica,
propiedades y expresión analítica. Ortogonalidad. Bases ortonomales.
Aplicaciones del producto escalar: módulo de un vector, vectores unitarios
y ángulos de dos vectores.
Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a un plano.
Ángulo que forman dos rectas y dos planos. Ángulo entre recta y un plano.
Punto simétrico respecto de una recta o de un plano.
Tema 12: Productos vectorial y mixto





Producto vectorial de dos vectores: definición, interpretación geométrica,
propiedades y expresión analítica.
Producto mixto de dos vectores: definición, interpretación geométrica,
propiedades y expresión analítica.
Distancia de un punto a una recta. Distancia entre planos y rectas paralelas.
Área del paralelogramo y del triángulo.
Volumen de un paralelepípedo y de un tetraedro.
482
1. Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss.
2. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices y determinantes como
instrumento para representar e interpretar datos y representar e interpretar datos y
relaciones y, en general, para resolver situaciones diversas.
3. Obtener el rango y la inversa de una matriz mediante el método de Gauss. Discutir
y resolver, en términos matriciales, sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres
incógnitas.
4. Manejar determinantes de órdenes dos y tres, y usarlos para resolver sistemas de
ecuaciones lineales y para calcular la inversa de una matriz.
5. Transcribir problemas reales a un lenguaje gráfico o algebraico, utilizar conceptos,
propiedades y técnicas matemáticas específicas en cada caso para resolverlos y dar
una interpretación de las soluciones obtenidas ajustada al contexto.
6. Utilizar los conceptos, propiedades y procedimientos adecuados para encontrar e
interpretar características destacadas de funciones expresadas algebraicamente en
forma explícita.
7. Utilizar el lenguaje vectorial y las técnicas apropiadas en cada caso, como
instrumento para la interpretación de fenómenos diversos derivados de la geometría,
la física y demás ciencias del ámbito científico-tecnológico, e interpretar las soluciones
de acuerdo a los enunciados.
8. Identificar, calcular e interpretar las distintas ecuaciones de la recta y el plano en
el espacio tridimensional para resolver problemas de incidencia paralelismo y
perpendicularidad entre rectas y planos y utilizarlas, junto con los distintos productos
entre vectores, expresados en basesortonormales, para calcular ángulos, distancias,
9. Calcular límites, derivadas e integrales.
10. Utilizar el cálculo de límites y derivadas para la resolución de problemas de
optimización extraídos de situaciones reales y para el estudio de fenómenos naturales
y tecnológicos.
11. Utilizar el cálculo de integrales para obtener las áreas de regiones limitadas por
rectas y curvas representables por los alumnos.
12. Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones,
seleccionar, comparar y valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con
eficacia, eligiendo las herramientas matemáticas adecuadas en cada caso.
483
CONTENIDOS MÍNIMOS DE MATEMÁTICAS II (2º BACH)
Análisis:
Concepto de límite de una función. Cálculo de límites. Limites en el infinito.Asíntotas
Continuidad de una función. Tipos de discontinuidad.
Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica y física. Función
derivada. Cálculo de derivadas.
Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Regla del l´Hopital.
Aplicación de las derivadas:
Estudio de funciones
Optimización
Primitiva de una función. Técnicas elementales para el cálculo de primitivas por
cambio de variable, partes y funciones racionales sencillas.
Introducción al concepto de integral definida a partir del cálculo de áreas encerradas
bajo una curva. Integral definida. Regla de Barrow. Teorema del valor medio para las
integrales. Aplicación al cálculo de áreas de regiones planas.
Álgebra lineal:
Sistemas de ecuaciones lineales. Operaciones elementales y reducción Gaussiana.
Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales por el método Gauss.
Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos
estructurados en tablas y grafos. Representación matricial de un sistema de
ecuaciones lineales.
Operaciones con matrices. Matrizinversible. Obtención por el método Gauss del rango
de una matriz y de la inversa. Aplicación de las operaciones y propiedades en la
Determinantes. Propiedades elementales
determinantes. Rango de una matriz.
de
los
determinantes.
Calculo
de
Utilización de los determinantes en la discusión y resolución de sistemas de ecuaciones
lineales.
Geometría:
Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar, vectorial o mixto. Significado
geométrico.
Ecuaciones de la recta y del plano en el espacio. Problemas de incidencia, paralelismo
y perpendicularidad. Resolución de problemas métricos.
484
PROGRAMACIÓN
Matemáticas Aplicadas a
las Ciencias Sociales II
2º BACHILLERATO
Libro de texto:
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
2 BACHILLERATO
Proyecto
485
CONTENIDOS
1ª EVALUACIÓN
Tema 1: Matrices









Matriz. Tipos de matrices.
Matrices como expresión de tablas y grafos
Suma y producto de matrices. Propiedades. Potencias de matrices.
Matriz identidad.
Matriz inversa. Método de Gauss.
Expresión matricial de un sistema de ecuaciones. Resolución.
Resolución de problemas extraídos de las Ciencias Sociales
Ecuaciones y sistemas matriciales sencillos.
Tema 2: Determinantes








Determinantes de orden 2.
Determinantes de orden 3 . Regla de Sarrus.
Menor complemento y adjunto.
Propiedades de los determinantes.
Métodos para el cálculo de un determinante.
Matriz adjunta de una matriz dada.
Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales








Ecuaciones e inecuaciones lineales.
Sistemas de ecuaciones equivalentes. Transformaciones de sistemas.
Métodos de reducción.
Sistemas de ecuaciones lineales escalonados.
Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas. Método de Gauss.
Inecuaciones lineales con una o dos incógnitas.
Sistemas de inecuaciones. Interpretación gráfica.
Resolución gráfica.
Tema 4: Programación lineal







Regiones del plano determinadas por funciones afines.
Introducción a la programación lineal.
Métodos de resolución.
Tipos de soluciones.
Problema de la producción.
Problema de la dieta.
Problema del transporte.
486
2ª EVALUACIÓN
Tema 5: Probabilidad





Espacio muestral.
Sucesos. Dependientes e independientes.
Operaciones y propiedades.
Probabilidad. Probabilidad condicionada.
Probabilidad compuesta. Probabilidad total. Teorema de Bayes.
Tema 6: Muestreo y distribuciones










Muestreo aleatorio simple y sistemático.
Parámetros de una población y estadísticos maestrales.
Muestreo aleatorio estratificado. Muestreo por conglomerados.
Distribución de las medias muestrales.
Distribución de las proporciones muestrales.
Factorial de un número. Números combinatorios. Propiedades.
Funciones de probabilidad y de distribución.
Distribución de probabilidad de la media muestral. Teorema central del límite.
Distribuciones binomial y normal.
Tema 7: Inferencia Estadística.






Estimación puntual y por intervalos de confianza.
Intervalo de confianza para la media y la proporción.
Nivel de confianza.
Tamaño de la muestra.
Contraste de hipótesis para la media y la proporción.
Nivel de significación.
3ª EVALUACIÓN
Tema 8: Límites y continuidad de una función







Límite de una función. Límites laterales.
Límites de operaciones con funciones.
Límites infinitos y en el infinito. Indeterminaciones.
Continuidad de una función en un punto y en un intervalo.
Continuidad lateral.
Tipos de discontinuidades.
Propiedades de las funciones continuas.
Tema 9: Derivada de funciones





Variación media e instantánea.
Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica.
Recta tangente en un punto
Derivadas laterales.
Derivabilidad y continuidad.
487


Derivada de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones.
Derivada de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
Tema 10: Aplicación de las derivadas y representación de funciones






Dominio, simetría, puntos de corte con los ejes, periodicidad y asíntotas.
Convexidad y concavidad. Puntos de inflexión.
Propiedades de las funciones derivables.
Regiones del plano. Representación gráfica de una función: polinómica o racional sencilla
a partir de sus propiedades globales.
Optimización. Resolución de problemas relacionados con las C.S. y la economía
1. Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss.
2. Operar correctamente con matrices y utilizar el lenguaje matricial como
instrumento para representar e interpretar datos, relaciones y ecuaciones.
3. Transcribir problemas expresados en lenguaje usual al lenguaje algebraico y
resolverlos utilizando técnicas algebraicas determinadas: matrices, ecuaciones y
programación lineal bidimensional, interpretando críticamente el significado de las
4. Analizar e interpretar fenómenos habituales en las ciencias sociales susceptibles de
ser descritos mediante una función, a partir del estudio cualitativo y cuantitativo de
sus propiedades más características
5. Identificar y representar gráficamente funciones polinómicas, racionales sencillas,
exponenciales y logarítmicas a partir de sus propiedades locales y globales.
6. Resolver problemas de optimización extraídos de situaciones reales de carácter
económico o social.
7. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios simples y compuestos, dependientes o
independientes, utilizando técnicas personales de recuento, diagramas de árbol o
tablas de contingencia.
8. Conocer el concepto de muestreo y planificar y realizar estudios estadísticos de
fenómenos sociales que permitan estimar parámetros con estadísticos una fiabilidad y
exactitud prefijadas, determinar el tipo de distribución e inferir conclusiones acerca
del comportamiento de la población estudiada.
9. Analizar de forma crítica informes estadísticos presentes en los medios de
comunicación y otros ámbitos, detectando posibles errores y manipulaciones tanto en
la presentación de los datos como de las conclusiones
10. Reconocer la presencia de las matemáticas en la vida real y aplicar los
conocimientos adquiridos a situaciones nuevas, diseñando, utilizando y contrastando
distintas estrategias y herramientas matemáticas para su estudio y tratamiento.
488
CONTENIDOS MÍNIMOS MATEMATICAS. A. CCSSII (2º BACH)
Álgebra
Sistemas de ecuaciones lineales. Estudio e interpretación gráfica.
Las matrices como expresión de tablas y grafos
Operaciones. Interpretación del significado de las operaciones con matrices en la
resolución de problemas extraídos de las ciencias sociales.
Matriz invertible. Obtención de matrices inversas por el método de Gauss.
Inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones,
interpretación y resolución gráfica.
Programación lineal bidimensional. Aplicación a la resolución de algún problema social,
económico o demográfico. Interpretar soluciones.
Probabilidad y Estadística
Probabilidad a priori y a posteriori. Probabilidad compuesta, condicionada y total.
Teorema de Bayes. Problemas.
Implicaciones prácticas del Teorema central del Límite, del Teorema de aproximación
de la distribución binomial a la normal y de la Ley de los Grandes Números.
Muestreo. Problemas relacionados con la elección de las muestras. Parámetros.
Distribución de probabilidad de las medias y proporciones muestrales.
Intervalos de confianza para el parámetro “p” de una distribución binomial y para la
media de una distribución normal de desviación típica conocida.
Contraste de hipótesis para la proporción de una distribución binomial y para la media
o diferencias de medias de distribuciones normales con desviación típica conocida.
Análisis
Aproximación al concepto de límite y continuidad. Conocimiento de las técnicas
elementales del cálculo de límites. Aplicación al estudio de asíntotas .Estudio de la
discontinuidad.
Derivada de una función en un punto .Recta tangente. Reglas de derivación.
Aplicación de las derivadas al estudio de una función.
Aplicación de las derivadas a los problemas de optimización relacionados con las
ciencias sociales y la economía.
489
MEDIDAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD E
INCLUSIÓN EN BACHILLERATO
Uno de los principios básicos que ha de tener en cuenta la intervención
educativa es el de la individualización, consistente en que el sistema educativo ofrezca
a cada alumno y alumna la ayuda pedagógica que este necesite en función de sus
motivaciones, intereses y capacidades de aprendizaje. Surge de ello la necesidad de
atender esta diversidad. En el Bachillerato, etapa en la que las diferencias personales
en capacidades específicas, motivación e intereses suelen estar bastante definidas, la
organización de la enseñanza permite que los propios estudiantes resuelvan esta
diversidad mediante la elección de modalidades y optativas. No obstante, es
conveniente dar respuesta, ya desde las mismas asignaturas, a un hecho constatable:
la diversidad de intereses, motivaciones, capacidades y estilos de aprendizaje que los
estudiantes manifiestan. Es preciso, entonces, tener en cuenta los estilos diferentes
de aprendizaje de los estudiantes y adoptar las medidas oportunas para afrontar esta
diversidad. Hay estudiantes reflexivos (se detienen en el análisis de un problema) y
estudiantes impulsivos (responden muy rápidamente); estudiantes analíticos (pasan
lentamente de las partes al todo) y estudiantes sintéticos (abordan el tema desde la
globalidad); unos trabajan durante períodos largos y otros necesitan descansos;
algunos necesitan ser reforzados continuamente y otros no; los hay que prefieren
trabajar solos y los hay que prefieren trabajar en pequeño o gran grupo.
Dar respuesta a esta diversidad no es tarea fácil, pero sí necesaria, pues la intención
última de todo proceso educativo es lograr que los estudiantes alcancen los objetivos
propuestos.
Como actividades de detección de conocimientos previos sugerimos:
- Debate y actividad pregunta-respuesta sobre el tema introducido por el profesor o
profesora, con el fin de facilitar una idea precisa sobre de dónde se parte.
- Repaso de las nociones ya vistas con anterioridad y consideradas necesarias para la
comprensión de la unidad, tomando nota de las lagunas o dificultades detectadas.
- Introducción de cada aspecto matemático, siempre que ello sea posible, mediante
ejemplos que el alumno pueda encontrar en su vida cotidiana.
Como actividades de consolidación sugerimos:
- Realización de ejercicios apropiados y todo lo abundantes y variados que sea
preciso, con el fin de afianzar los contenidos matemáticos, trabajados en la unidad.
Esta variedad de ejercicios cumple, asimismo, la finalidad que perseguimos. Con las
actividades de recuperación-ampliación, atendemos no solo a los alumnos que
presentan problemas en el proceso de aprendizaje, sino también a aquellos que han
alcanzado en el tiempo previsto los objetivos propuestos.
Las distintas formas de agrupamiento de los estudiantes y su distribución en el aula
influyen, sin duda, en todo el proceso. Entendiendo el proceso educativo como un
desarrollo comunicativo, es de gran importancia tener en cuenta el trabajo en grupo,
recurso que se aplicará en función de las actividades que se vayan a realizar –concretamente, por ejemplo, en los procesos de resolución en grupo de ejercicios
propuestos–, pues consideramos que la puesta en común de conceptos e ideas
individuales genera una dinámica creativa y de interés en los estudiantes.
490
Se concederá, sin embargo, gran importancia en otras actividades al trabajo personal
e individual.
Hemos de acometer, pues, el tratamiento de la diversidad en el Bachillerato desde dos
vías:
I. La atención a la diversidad en la programación de los contenidos, presentándolos
en dos fases: la información general y la información básica, que se tratará
mediante esquemas, resúmenes, paradigmas, etc.
II. La atención a la diversidad en la programación de las actividades. Las actividades
constituyen un excelente instrumento de atención a las diferencias individuales de
los estudiantes. La variedad y la abundancia de actividades con distinto nivel de
dificultad permiten la adaptación, como hemos dicho, a las diversas capacidades,
intereses y motivaciones.
En cuanto a los alumnos cuyo rendimiento es notablemente bueno, se reforzará
su atención fomentando su participación en actividades como el Canguro Matemático
Europeo y en la Olimpiada Matemática.
491
CRITERIOS DE CALIFICACIÓN EN BACHILLERATO
Se realizarán dos exámenes (como mínimo) en cada evaluación, que se calificarán
sobre10.
Si la nota de alguno de los dos exámenes es menor que tres puntos, no se aprueba la
evaluación y ha de recuperar. La calificación de la evaluación se obtiene con la media
de los exámenes realizados a lo largo de la evaluación.
Si un alumno suspende la 1ª o la 2ª evaluación deberá realizar un examen de
recuperación de toda la evaluación (en un plazo de veinte días lectivos después de
cada evaluación). La nota de la recuperación será de “cinco”.
En la 3ª evaluación la evaluación queda más abierta, dependiendo de la evolución del
curso, y a criterio del profesor:


El segundo examen de la tercera evaluación podrá servir de recuperación de
esta. Dicho examen se calificara sobre 10 puntos y un 5 significa que has
aprobado la 3ª evaluación. Un posible diseño de este examen sería dividirlo en
dos partes con ejercicios de la parte correspondiente. Realizarán las dos partes
aquellos alumnos que han obtenido menos de 3 puntos en el primer examen.
O se puede realizar una recuperación de la tercera evaluación, con las mismas
condiciones que en las otras evaluaciones.
Subir nota: No obstante si un alumno obtiene una calificación más alta en la
recuperación, se realizará la media con los exámenes de la evaluación y si la nota es
superior a “cinco” se considerará esta la calificación de la evaluación con vistas a la
mejora de la nota media del curso.
Un alumno tendrá aprobada la asignatura en junio, si tiene aprobadas las tres
evaluaciones (o las recuperaciones correspondientes). La nota final del curso es la
media de las tres evaluaciones (o recuperaciones correspondientes, con la corrección
indicada anteriormente).
Si no ocurre lo anterior y el alumno tiene una, dos o tres evaluaciones pendientes de
recuperar, se realizar un examen final en junio dividido en tres partes,
correspondientes a cada evaluación, en el que cada alumno se examinará de las
evaluaciones pendientes.
También podrán presentarse a un examen los alumnos para subir nota.
NOTA: EL APROBADO ES UNA NOTA IGUAL O SUPERIOR A “CINCO”.
492
ALUMNOS CON LA ASIGNATURA PENDIENTE DE 1º BACHILLERATO
Los alumnos de 2º de Bachillerato que tienen pendiente la asignatura de1º
(Matemáticas I o Matemáticas A CCSS I) deberán realizar dos pruebas para superarla.
La materia de cada una de ellas será fijada por el Departamento:
Primera prueba: del 18 al 22 de enero: el 19 de enero de 2016
Segunda prueba: del 11 al 15 de abril: el 12 de abril de 2016
Para aprobar la asignatura deberán tener en ambas pruebas una calificación igual o
superior a cuatro, siendo la nota media de las dos pruebas igual o superior a cinco.
En caso contrario, deberán realizar un examen final en la primera semana del mes de
mayo: el día 3 de mayo de 2016.
Las fechas y horas de los exámenes (fijadas con Jefatura de Estudios, en coordinación
con los otros Departamentos) y la materia que entra en cada prueba, se publicará en
el tablón de anuncios del Instituto.
CRITERIOS GENERALES PARA TODOS LOS CURSOS
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Queda a criterio del profesor el realizar más exámenes si lo considera
oportuno.
El Departamento de Matemáticas (a propuesta de algún profesor o por “cursos
o grupos de alumnos particulares”) puede plantear el examen final para todos
los alumnos, que servirá de recuperación para los que no hayan aprobado alguna
evaluación y de comprobación del dominio de la materia para el resto de los
alumnos. Se deberá superar este examen para aprobar la asignatura. Dicho
examen será elaborado por el Departamento.
EL APROBADO ES UNA NOTA IGUAL O SUPERIOR A “CINCO”.
Si un alumno copia en un examen se le calificara dicho examen con un cero.
Si un alumno utiliza su teléfono móvil en un examen se le calificara con un cero.
Si un alumno ha faltado más de 30 días en el curso (en asignatura de 4 horas
semanales), podrá perder la evaluación continua, a criterio del profesor.
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PLAN DE FOMENTO DE LA LECTURA
Se fomentará la lectura pausada, atenta, compresiva y razonada de los
problemas, así como la redacción de respuestas apropiadas a las preguntas que
se plantean en dichos problemas, y la elaboración de razonamientos claros y
ordenados.
PLAN DE FOMENTO DE LA CULTURA
EMPRENDEDORA
En 1º y 3º de ESO ya está recogido el “emprendimiento” en la
programación como contenido trasversal.
Para los demás cursos plantearemos simulación empresarial de algún
tema de interés, y ejercicios que fomenten el emprendimiento.
El Departamento ha diseñado una “mascota matemática” con cartelería
incluida: “TRINGULIN” que emprende un camino matemático y de todos los
aspectos de la vida que puedan surgir, incluido el empresarial. En los cursos en
los que aparecen contenidos de matemática financiera (interés, anualidades,
etc.) utilizaremos la mascota para simular la creación y gestión de pequeñas
empresas y negocios.
494
ACTIVIDADES EXTRAESCOLARES
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Visitar algún museo regional (como el Museo de la Ciencia de Valladolid),
el 2º trimestre, actividad dirigida a los alumnos de 2º y 3º de ESO.
También tiene previsto, como en cursos anteriores, participar cuando
aparezcan las correspondientes convocatorias en los concursos:
Olimpiada Matemática
Canguro Matemático
El Departamento de Matemáticas se coordinará con los demás
departamentos en la realización de actividades colectivas del Instituto.

Por último indicar que el departamento organiza una actividad
extraescolar dirigida a los profesores de matemáticas que han pasado por
este Instituto, y por octavo año consecutivo, nos reuniremos a mediados
del mes de noviembre para intercambiar experiencias y entrega de un
galardón, el premio “Rey Pastor”, al profesor que elija el departamento por
sus cualidades humanas y profesionales.
EVALUACIÓN DE LA PROGRAMACIÓN
En la última reunión del Departamento de cada trimestre se evaluará el desarrollo
de la Programación en todos sus aspectos:
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Temporalización y grado de cumplimiento
Contenidos
Modificaciones
Análisis de los resultados obtenidos en las evaluaciones
Nuevas propuestas
Plan de fomento de la lectura
Y se plantearán las medidas correctoras oportunas.
Palencia a 10 de noviembre de 2015
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departamento de matemáticas

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