Predicción de variables de alta frecuencia, una aplicación a la serie

Transcripción

diaria hábil del Circulante en poder del público en Uruguay
Elena Ganón Garayalde
Banco Central del Uruguay
[email protected]
Segunda Versión – Abril 2012
MONTEVIDEO, URUGUAY
diaria hábil del Circulante en poder del público en Uruguay
Elena Ganón Garayalde1
Banco Central del Uruguay2
SUMARIO
Este trabajo se enmarca en un proyecto de análisis y modelización de variables económicas y financieras,
de media y alta frecuencia que se viene ejecutando en el Banco Central del Uruguay (BCU) desde hace
años utilizando herramientas de análisis de series temporales.
En el marco del seguimiento de la política monetaria, y en particular con frecuencia diaria, disponer de
predicciones del Circulante en poder del público diario hábil para el mes corriente es un insumo
importante. Es en este contexto que se han desarrollado estudios de análisis de datos exploratorio y
funcional y posteriormente elaborado modelos de series temporales para predecir esta variable
monetaria, procediéndose luego a la evaluación de la capacidad predictiva de estos modelos en relación a
modelos ad hoc. Los resultados recomiendan el uso de estas predicciones por parte de los analista
encargados del seguimiento diario de la política monetaria.
Palabras llaves: modelos de series de tiempo, evaluación de predicciones, variables monetarias, datos de alta
frecuencia
JEL: E41, E47
Time series models for high-frequency monetary variables: A case study
Currency in circulation in Uruguay
Elena Ganon-Garayalde3
Banco Central del Uruguay (BCU)
ABSTRACT
The monitoring of high-frequency data is a very important issue in the daily review of monetary policy at the
Central Bank in Uruguay. In this paper exploratory and functional data analysis followed by the build-up of
univariate time series models (ARIMA) are used to capture the special characteristics of Currency in circulation –
coins and currency money held by the public - business daily variable, and forecast the current month daily data.
The Currency in circulation (CC) business daily data analyzed corresponds to the period between the years of 2005
to 2011.The forecast performance of the CC time series models is evaluated considering ad hoc models achieving
satisfactory results.
Key words: time series models, forecasting evaluation; monetary variables; high-frequency data
JEL: E41, E47
1
Correo electrónico:. [email protected]
Las opiniones vertidas en este trabajo son de responsabilidad de la autora y no comprometen al Banco Central del Uruguay.
Se agradece el apoyo de los colegas del Departamento de Análisis Monetario por viabilizar la disponibilidad de los datos.
Segunda Versión Abril de 2012. Primera versión. Diciembre de 2011.
3
Mail: [email protected]
2
2
1-
In
ntroduccción
oyecto de anáálisis y mode
elización de variables
v
ecoonómicas y fiinancieras,
Este trabaajo se enmarrca en un pro
de media y alta frecueencia que se
e viene ejecu
utando en el Banco Central del Urugguay (BCU) desde
d
hace
amientas de análisis de series temporales. Con anterioridadd, en Ganón
n (2008) se
años utilizando herra
ón para variaables moneta
arias mensua
ales y en partticular para la emisión
propusierron modelos de predicció
diaria háb
bil.
a política moonetaria, y en particular con frecuen cia diaria, disponer de
En el marrco del seguimiento de la
prediccion
nes del Circu
ulante en Pod
der del Públi co (billetes y monedas) diario
d
hábil ppara el mes co
orriente es
un insumo importantee. En Urugua
ay el uso de efectivo por parte del pa
articulares esstá muy extendido, y el
c
y de d
e el 10%; y lo
os cheques esstán restring
gidos en la
sistema de pagos vía tarjetas de crédito
débito cubre
de los casos a las empresa
as (a diferenccia de lo que
e sucede por ejemplo en Brasil). Su va
ariabilidad
mayoría d
a lo largo del mes está pautad
da por el paago de salarios y presttaciones de la previden
ncia social
pago de presttaciones y po
or efectos esttacionales en
n los meses
(jubilaciones y pensiones) y su rettiro para el p
de los aguinaldos en junio y diciembrre, gastos de compras en fin de año y vacaciones)..
(el pago d
ue se han de
esarrollado esstudios de análisis exploratorio de daatos, análisiss funcional
Es en estee contexto qu
estadístico
o y elaborado modelos univariados
u
d
de series tem
mporales para
a predecir essta variable monetaria,
m
procedién
ndose luego a la evalua
ación de la capacidad predictiva de
d estos moodelos. Los resultados
recomiend
dan el uso de estas prediicciones por parte de los analista enc
cargados del seguimiento
o diario de
la políticaa monetaria.
RIMA para la
a predicción del circulantte ya sea con
n frecuencia mensual para el corto
El uso de modelos AR
on frecuencia
a diaria ha siido analizadoo por varios autores en aplicaciones eefectuadas en el marco
plazo o co
de varios Bancos Cen
ntrales. (Balli F. & Elsam
madisy (2011), Cassino V. & all (19977), Güler H.,, Talaslı A.
por tipo de billete
b
usando
o otros modeelos en Fase (1981)
(2010)) y p
mienza en la
a sección 2 coon un análissis exploratorrio de la variiable y se pro
opone una
En este trrabajo, se com
estimación diaria del mes corrien
nte basado een una estim
mación ad ho
oc de la meddiana de los valores de
para cada año y de la dife
erencia de laas medianas, luego se pre
esentan en laa sección 3 lo
os modelos
cada día p
ARIMA y SARIMA y se estiman do
os modelos p
para el circulante diario hábil, en la ssección 4 se evalúan la
aciones de ppredicciones (media y
calidad de las prediccciones elaboradas con los modeloss y combina
de las proyeccciones), fina
almente en laa sección 5 figuran las conclusiones.
mediana d
2-
A
Análisis Explorato
E
orio
a
expl oratorio de la serie del Circulante en Poder de
el Público4
En esta ssección se prresenta un análisis
definida com
mo la Emisión menos la C
Caja de los bancos)
b
de frrecuencia diaaria hábil, en
n base a la
(estando d
visualizacción de los datos,
d
al cálcculo de estaadísticas básicas y al análisis explora
ratorio multivariado El
período cconsiderado va de enero
o de 2005 a octubre de 2011. En la gráfica 1 see aprecia la evolución
temporal de la serie dee tiempo del Circulante d
diario hábil.
2
Gráfica 1 – Circulante diario hábil – Enero 20055 - Octubre 2011
4
Para facilitar, ahora en adelante, den
nominaremoss al Circulante
e en Poder del Público simpplemente Circulante.
La Reserva Federal de St Louis
L
usa la denominación Cu
urrency in Circu
ulation para la emisión cuanddo la mayoría de
d los bancos
centrales se refiere al Circu
ulante considerando a los billeetes y monedas en poder del público
p
sin conssiderar la caja de
d los bancos
(vault cash)
3
Para facilitar el análisis exploratorio de los datos, la serie de tiempo se puede presentar como una matriz
tridimensional de mes, día hábil y año, yuxtaponiendo las matrices anuales de mes por día hábil, (ver
figura 1 del apéndice 1) o como una matriz tridimensional de día hábil, mes y año, yuxtaponiendo las
matrices anuales de día hábil por mes. (Ver figura 2 del apéndice 1)
Se considera una matriz de datos de mes * día hábil *año, X I J K donde K es la cantidad de años (6 o 7)
(el año va de 2005 a 2010 completo y en algunos casos se incluye el 2011 parcialmente5), I es la cantidad
de meses (12) y J (k i) es la cantidad de días hábiles, un valor variable que depende del año k y del mes i
considerado.
En el caso de la frecuencia diaria hábil (o días de negocios o días trabajados como se le denomina en
inglés) se eliminan los sábados, domingos y feriados. Los feriados pueden ser fijos, variables (dentro del
mes o entre meses, ejemplo carnaval que puede caer en febrero o en marzo, semana de turismo que
puede caer en abril o marzo) e intermitentes (ejemplo el primero de marzo en el año cuando asume un
nuevo presidente de la República, como sucedió en 2005 y 2009). A su vez estos feriados pueden caer en
sábado o domingo por lo cual no son considerados. Esto provoca que la cantidad de días hábiles no sea
fija y constante para el mismo mes cada año o entre los meses e un año. El menor número de días hábiles
es 18 (generalmente corresponde a febrero) y el máximo es 23 (este caso se presenta cuando el mes tiene
31 días, no hay feriados y el número de sábados y domingos es 8).
Consideremos el año 2005 (k=1 en la notación anterior de X), la matriz X . . 2005 de meses * días hábiles
(12*22) que se muestra en la tabla 1. En enero los feriados fijos son el 1 y el 6, el primero cayó en enero
de 2005 un sábado y hubieron 5 fines de semana en el mes, con lo cual la cantidad de días hábiles fue 20.
El mes con menos días hábiles fue febrero con 18, luego con 20 días hábiles figuran enero, abril, julio y
octubre, con 21 días hábiles marzo, mayo y noviembre y con 22 días hábiles junio, agosto, setiembre y
diciembre.
Para ciertos estudios en que se necesita un número fijo de observaciones (ejemplo análisis de
componentes principales para cada mes) se consideró la matriz de L * 18 (febrero) o L*19, o L*20 donde L
es la cantidad de años y se toman 18 o 19 o 20 días hábiles según el caso.
Tabla 1 – Circulante diario hábil - Matriz de datos para el año 2005, X . . 2005 .
DIA HABIL
DIA 1 DIA 2 DIA 3 DIA 4 DIA 5 DIA 6 DIA 7 DIA 8 DIA 9 DIA 10 DIA 11 DIA 12 DIA 13 DIA 14 DIA 15 DIA 16 DIA 17 DIA 18 DIA 19 DIA 20 DIA 21 DIA 22
AÑO_MES
2005.01
2005.02
2005.03
2005.04
2005.05
2005.06
2005.07
2005.08
2005.09
2005.10
2005.11
2005.12
10661
9872
9976
10182
9883
9773
10960
10415
10321
10494
10620
11186
10874
10057
10243
10355
10226
10127
11028
10690
10920
10836
11087
11820
11311
10752
10748
10732
10731
10732
11460
11133
11246
11391
11818
12154
11433
11317
11326
11094
11106
11019
11872
11554
11614
11826
12124
12350
11561
11366
11420
11646
11933
11525
12460
12391
12203
12712
12482
13159
11681
11461
11615
11899
11710
11571
12689
12199
12337
12275
12616
13378
11572
11488
11781
11554
11604
11580
12270
12050
12513
12107
12659
13585
11494
10993
11934
11357
11499
11686
12008
11996
12051
11936
12677
13095
11440
10704
11447
11102
11387
11195
11783
11877
11749
11919
12156
12883
10818
10243
11113
10959
11364
10925
11668
11875
11521
11252
11862
12749
10518
10329
10922
10957
10601
10744
11640
11294
11373
11082
11678
12745
10378
10274
10845
10188
10321
10700
11019
10994
11371
10854
11565
13089
10305
9567
10927
9975
10078
10781
10706
10783
10974
10790
11558
12765
10249
9595
10493
9857
10193
10573
10530
10651
10751
10801
11112
12995
9613
9520
10246
9861
9687
10477
10488
10681
10483
10300
10892
13231
9451
9396
10224
9424
9465
10411
10050
10267
10391
10101
10676
13409
9251 9301 9496 9392
9572 9604
10224 9484 9374 9408 9572
9257 9183 9205 9574
9261 9265 9331 9117 9341
10343 10294 10202 10361 9953 10220
9875 9782 9882 10223
10084 9983 9915 9654 9690 9962
10322 9902 9746 9682 9773 10274
9936 9926 10133 10105
10601 10626 10291 10261 10570
13632 12909 12723 12713 13003 13347
En la Figura 1 se puede visualizar la evolución de cada mes de 2005 a lo largo de los días hábiles. En la
primera gráfica, se destaca el mes de diciembre en cuanto a su forma y valores, por lo cual se eliminó en
la segunda gráfica. En la segunda gráfica se observa un crecimiento del Circulante en los primeros 5 días
hábiles del mes, se mantiene 2 o 3 días y comienza a disminuir hasta cerca del final de mes que comienza
a crecer nuevamente. El pago de salarios y pasividades está por detrás de este crecimiento y luego con el
correr del mes y el pago de obligaciones y los depósitos disminuye el circulante.
Si se observa, no hay un crecimiento pronunciado a lo largo del año mes a mes, pero si analizamos los
primeros 11 meses, el valor de julio en el primer día hábil supera al de los otros meses. Si analizamos
junio vemos un incremento del circulante a partir de mitad de mes. El pago del medio aguinaldo a partir
del 15 del mes eleva el circulante y este permanece hasta julio en valores superiores al de los otros meses.
Luego se observa que noviembre presenta valores elevados y diciembre permanece en un nivel superior
al de los otros meses con el pago del medio aguinaldo y comisiones en la segunda quincena del mes y el
movimiento de fin de año relacionado a las fiestas.
5
(hasta los primeros 4 días de octubre de 2011)
4
Figura 1 - Circulante diario hábill – Año 20055 – Evolución de los messes a lo largoo de los días hábiles
14000
enero
febrero
13000
marzo
12000
abril
mayo
11000
junio
10000
julio
agosto
9000
septiembre
octubre
8000
DIA DIA
A DIA DIA DIA DIA DIA DIA DIA DIA DIA
D DIA DIA DIA DI A DIA DIA DIA DIA
A DIA DIA DIA
1
3
4
5
6
7
8
9 10 11
2
1
12 13 14 15
5 16 17 18 19 20 21 22
13000
noviembre
enero
12500
febrero
12000
marzo
11500
abril
11000
mayo
10500
junio
10000
julio
9500
9000
agosto
8500
septiembre
octubre
8000
A DIA DIA DIA DIA DIA
D DIA DIA DIA DIA DIA DIA DIA DIA
A DIA DIA DIA
DIA DIA DIA DIA DIA DIA
2
6
1
16 17 18 19
9 20 21 22
3
4
5
7
8
9 10 11 12 13 14 15
1
noviembre
d las tablas con las estad
dísticas básic
cas calculadaas para cada día hábil y
En la Tabla 2 se muesttran alguna de
05 y 2006). S
Se calcula el mínimo, primer cuarti l, promedio,, mediana,
para cadaa año (en el ejemplo 200
tercer cuaartil y máxim
mo. En el Anexxo 2 figuran los cálculos para todos lo
os años estuddiados.
as básicas p
para cada día
a hábil – año
os 2005 y 20006
Tabla 2 – Circulante – Estadística
s derivaran la diferenci a entre añoss de las medias y de las medianas y se pueden
De estas eestadísticas se
utilizar paara una estiimación ad hoc del mess corriente. Aquí solo se
e presenta u
una aplicació
ón con las
medianas que son las que dan mejjor resultado
o en la estima
ación del mess corriente.
bla 3 se presenta para cada año las medianas calculada
as para cad a día hábil t, t=1,22,
En la tab
considerando los 12 meses
m
del año
o k, k =2005 a 2011.
5
Tabla 3 – Circulante –Para
–
cada año, evolucción de las medianas
m
callculadas parra cada día hábil
h
e las median as del año k respecto al año k - 1, doonde k = 2006
6 a 2011.
En la tablaa 4 figura la diferencia de
dif k t = median
na k t – mediana k
-1 t
La median
na del año 20
011 está calculada en el eejemplo con los valores de enero a octtubre (prime
eros cuatro
días hábiles disponiblees en octubre
e corriente) p
para cada día
a hábil.
Tabla 4 – Circulante - Diferencia
a de las med
dianas – Parra cada día hábil
h
e mes corrieente, en este caso octubre
e, es usar el vvalor de la mediana
m
en
Una fórmula ad hoc para estimar el
e por la diferrencia de las medianas. El
E coeficientee empleado es
e  =1.22.
el año antterior más un coeficiente
La median
na del año co
orriente es re
ecalculada coon cada nuevvo mes disponible, lo cuall modifica la diferencia
corriente.
Proj k t = meediana k -1 t +  * diff k t
En la tablaa 5 anexa comparamos la
a proyección de octubre así
a obtenida y el valor obbservado del Circulante
de octubree, calculándo
ose el error de
d la proyecc ión y el errorr absoluto po
orcentual (veer fórmulas 7 y 9).
Tabla 5 – Circulante – Valor obse
ervado vs prroyección de
el modelo ad hoc
ora empleam
mos estadístticas básicass para resum
mir informac
ción, otra foorma de alca
anzar este
Hasta aho
objetivo ees por la definición de nuevas variaables agrega
ando en el tiempo (pasaando de diarria hábil a
frecuenciaa mensual como verem
mos más ad
delante), o por la aplicación de ttécnicas exp
ploratorias
multivariaadas como Análisis de
d Compon
nentes Princcipales, Análisis Func ional o An
nálisis de
conglomeerados u otra técnica simiilar.
o del Análisis de Componentes Princcipales (ACP
P), partiendo de un conju
unto de p va
ariables, se
En el caso
maximizaa su variancia
a total, este problema see resuelve calculando los valores proppios y vectorres propios
c
nsideración. Para resumir los datos
de la matriz de covariancia (o de correlación)
de las p variiables en con
6
originaless, o sea la infformación co
ontenida en las p variablles se puede utilizar las pprimeras com
mponentes
principalees que expliquen un alto porcentaje d e la variancia total (por ejemplo
e
más del 80%).
o es una exteensión del ca
aso en que la
as p variabless tienen observaciones
El uso de ACP en series de tiempo
o por ejemplo bajo el anáálisis multivariado clásic
co) y sin conssiderar hipóttesis sobre
independientes (como
ución conjun
nta de las va
ariables en eestudio. En el
e contexto de
d series de tiempo, cad
da variable
la distribu
considerada en el aná
álisis (ya sea los días háb iles o los me
eses como en
n el caso partticular de este trabajo)
da. El empleo
o de ACP en este marco se
s da como una
u técnica dde análisis exxploratorio
está autoccorrelacionad
para describir el fenóm
meno u obte
ener una rep
presentación resumida de
e la informacción original. En Jollife
e el contextto de series d
de tiempo, diferentes tipos de ACP taanto en el do
ominio del
(2002) se presentan, en
omo en el dom
minio de la frecuencia.
f
tiempo co
do ACP para resumir la in
nformación d
de los meses como variab
bles, se introoduce a continuación el
Empleand
análisis eefectuado sobre los meses de Marzoo como variiables y los días hábiless como obse
ervaciones,
partiéndo
ose de una matriz original X N p de N oobservacione
es y p variablles, con N=222 y p=7.
n función de los días hábbiles para los años 2005
En la gráffica 2 se apreecia la evolucción del mes de marzo en
a 2011. See destaca el aumento
a
de los últimos ccuatro valore
es de los añoss 2007 y 20100, equiparando el valor
de los año
os siguientes (2008 y 2011
1 respectivam
mente).
e turismo cay
yó en marzo,, mientras qu
ue en 2011
El año 20008 solo tienee 19 días hábiles porque l a semana de
carnaval ccayó en la seg
gunda seman
na de marzo (en la mayoría de los año
os carnaval aacontece en febrero).
f
Gráfica 2–– Circulantee – Evolución comparad
da del Mes dee Marzo para los años 20005 a 2011
s muestra ell mes de marrzo de 2009 y la primera componente
c
d ACP de
En la gráffica 3 anexa se
resultante del
los marzo
os de los año de 2005 a 20
011 para los primeros 19
9 días hábiless (ya que expplica más dell 80% de la
variancia total). O sea
a la matriz de
d análisis X es de 19*7
7, cuya evolu
ución año a año se visua
alizó en la
gráfica 1.
e 2009 y prim
mera compo
onente del ACP
A
de los m
meses de ma
arzo
Gráfica 3 - Circulante - Marzo de
C
Circulante
diaria hábil
h
- MARZO y Prrimera componentte
24000
2
1.55
23000
1
22000
0.55
21000
0
‐0..5
20000
2009
ACP_p1
‐1
19000
18000
‐1..5
DIA 1
D 2
DIA
DIA 3
DIA 4
DIAA 5
DIA 6
DIA 7
DIA 8
DIA 9
DIA 10 DIA 11 DIA 12 DIA 13 DIA 14 DIA 15 DIA 16 DIA 17 DIA
D 18 DIA 19 DIA 20 DIAA 21 DIA 22 DIA 23
‐2
o del análisiss del mes de diciembre l a explicación
n de la primera componeente es inferrior al 80%
En el caso
por lo qu
ue se eligierron las dos primeras coomponentes ponderadass por la prooporción de variancia
explicada.. En la gráficca 4 se muestra la evolu
ución diaria del mes de diciembre d e 2009 con la primera
componen
nte y con la combinación
c
n lineal de lass dos primera
as componen
ntes
7
D
de 2009 vs CP1 y combinac
ción lineal prrimeras 2 com
mponentes
Gráfica 4 – Circulantee – Mes de Diciembre
ora se sintettizó la evolución para caada día hábil, veamos cuando lo haacemos para cada mes
Hasta aho
resumiend
do la inform
mación de lo
os días háb
biles. Esto se
e puede ver analizandoo las series mensuales
generadass a partir de la serie diarria hábil: mín
nimo, fin de,, promedio y máximo o bbien por un ACP
A
de los
días hábiles.
ma que la primera compponente prin
ncipal que
En particular, la seriee del promedio tiene la misma form
d años 6 (ddel 2005 al 20
010) por el
resulta deel ACP de la matriz Y N* p donde N =6*12 (es la cantidad de
número de meses 12) y p = 18 es la cantidad d
de días hábile
es. Este resultado se expllica por el de
enominado
o media, ya que
q en la maayoría de loss casos la primer compoonente es un promedio
en la literratura efecto
ponderado de la mayyoría de las variables y si los pesos son similares se acercaa a la media
a (resultado
presentado
o para la emisiión diaria hábil en Ganón ((2008)).
as series mensuales de C
Circulante ge
eneradas a
Interesa aanalizar conjjuntamente el comporta miento de la
partir de la serie diaria para los meses
m
de 20005. Como se puede visualizar en la g ráfica 4, la serie fin de
n un comporrtamiento sim
milar, crecen
n en junio, ppero se diferrencian en
mes y la serie del míínimo tienen
s
fin de mes se acerrca a la serie
e del máximo. Ya las serries del prom
medio y el
diciembree en que la serie
máximo ttienen una fo
orma similarr, creciendo en julio a un nuevo nivel y nuevam
mente en dicciembre se
produce o
otro salto de nivel.
Gráfica 5 – Circulante - Evolución comparad
da de las series mensuale
es (mínimo, fin de, prom
medio y
o 2005
máximo)) para el año
14 000.00
13 000.00
12 000.00
11 000.00
10 000.00
9 000.00
CIRCULANTE FIN DE MES
CIRCU
ULANTE MINIMO EN EL
L MES
CIRCULA
ANTE PROMEDIO EN EL
E MES
2005.12
2005.11
2005.10
2005.09
2005.08
2005.07
2005.06
2005.05
2005.04
2005.03
2005 02
2005.02
2005.01
8 000.00
CIRCUL
LANTE MAXIMO EN EL MES
nta que se plantea
p
es si este comporrtamiento se
e repite todo
os los años. U
Una forma de
d verlo es
La pregun
graficando
o para cada año
a como se ha hecho paara 2005.
o 2007 y 20100 presentan un comporta
amiento simiilar para la se
erie fin de,
En la figura 2 se verifica que el año
u valor cerccano o igual a la serie del máximo (en vez de acerccársele a la
que presenta en el mees de marzo un
mínimo como ocurre en los otros meeses, salvo diciembre). Essto se debe a que en amb
bos años la
serie del m
semana de turismo ca
ayó en la primera seman
na de abril, adelantándos
a
se el pago deel mes de ma
arzo de los
narios públiccos y pasivid ades que no
ormalmente se
s efectúa al inicio de ab
bril, suceso
salarios de los funcion
petirá en marzo de 2012.
que se rep
8
C
s de las Variables mensu
uales para loos años 2005 a 2010
Figura 2 – Circulantee - Gráficas Comparadas
CP es en la dirección
d
deel llamado Análisis de Co
omponentes Principales Funcional
Otra extensión del AC
FPCA en su sigla
s
en inglé
és “Function al Principal Componentss Analysis”), en el que las variables
(ACPF) (F
en estudio
o en vez de ser
s variables con observaaciones independientes o bien series de tiempo son
s curvas.
Si la funciión x (t) se obtiene medid
da en tiempoo discreto (en
n vez de conttinuo) puedee ser considerada como
la forma d
discreta de una
u variable
e continua, y se estiman primero lass curvas a seer considerad
das y se le
aplica el F
FACP. La refeerencia biblio
ográfica de eeste tipo de análisis
a
es Ra
amsay & Silvverman (2010
0) y en una
versión m
más aplicada y computacional Ramsaay, Hooker & Graves (2009). El interéés de usar ACPF
A
parte
por un lad
do de que se obtienen componentes d
de mejor calidad, en partticular en el caso en que el número
de observvaciones es bastante menor al númeroo de variable
es considerad
das, y que peermite trabajjar cuando
o de observa
aciones no es
e la misma (ejemplo cantidad de díías hábiles een el mes). Ejemplo
E
de
el número
aplicacion
nes de ACPF se dan más en el área m
médica (análissis de imágenes de reson
nancia magnética fMRI
en Vivianii, Gron & Sp
pitzer(2005)), a datos provvenientes de la química o de fuente m
metereológicca (Ramsay
& Silverm
man (2010)). En (Shang & Hyndman
n (2009) se usa
u para seriie de tiempoo univariada estacional
mensual u
una aplicació
ón de PFDA seguido
s
de un
n modelos dee predicción adaptativo.
c
de los meses
m
de ma rzo de 2005 a 2011, se muestra la grááfica de las funcionales
En la figura 3 para el caso
a año (réplica
as) obtenidass por suavizaamiento usan
ndo la funció
ón smooth.baasis del paqu
uete R FDA
para cada
a de la funciión de media
a calculada
con funciiones básicass de Fourier,, mostrando a continuación la gráfica
en base a las 7 curvas anteriores (rreplicas).
9
d FDA sobre
e las series dee marzo de 2005
2
a 2011, funcionales
f
y función de media
Figura 3 – Resultado de
Funcio
onales de maarzo – réplica
as para 2005 a 2011
Fu
unción de me
edia
ploratorio prroviene del llamado Anáálisis de Com
mponentes
Otra extensión en el sentido del análisis exp
Independientes (ACI)) (en ingléss ICA “Indeependentent Component Analysis”)) cuyo objetivo es la
c
s desconociddas bajo el su
upuesto de
identificacción a partirr de los datoss de fuentes de señal o componentes
que estas componentees son independientes en
n el espacio (sICA)
(
o en el
e tiempo (tIC
CA). En Bord
dier, Dojat
m
unaa aplicación a datos de im
mágenes de resonancia magnética
& Lafaye de Micheaux (2010) se muestra
ucción al tem
ma.
(fMRI) y sse puede usar la referencia de Stone ((2004) como una introdu
d análisis d e datos franccesa aplicado
o a casos en que la fuentte de datos
Existe otro
o enfoque dee la escuela de
es tridim
mensional, po
or ejemplo si se analizzan matrice
es tridimensionales de variables co
ontinúas (
individuos, variables y tiempo) qu
ue extiende eel ACP al STA
ATIS y sus posteriores m
modificacione
es. (Lebart,
u & Piron, 1997) Adem
más existen extensione
es para manejar tablass de frecuencias que
Morineau
evolucionan en el tiem
mpo donde no
n se exige q
que los indivviduos sean los mismos een cada año como si lo
nes (Zarraga & Goytisolo (2009), Ganó
ón (2011)).
hacen otraas aplicacion
nes en eco
onomía o finanzas d
de estas té
écnicas exploratorias hhan estado dirigidas
Aplicacion
fundamen
ntalmente a la determin
nación de coomponentes no observa
adas (por ejeemplo en esstudios de
10
inflación subyacente o del PIB potencial) en base al análisis de un gran número de series de tiempo de
variables económicas, monetarias y financieras con el fin de identificar una señal que permita proyectar
valores futuros de la inflación o del PIB sin la influencia de efectos transitorios. En general, se realiza un
análisis de las variables ajustadas por estacionalidad en el dominio del tiempo (ACP) o un análisis
principal dinámico (en el dominio de la frecuencia) y a partir de un modelo de espacios de estados sobre
las componentes estimadas se proyecta la variable a estudio (inflación, PIB). O se, se procede primero a
un análisis exploratorio para resumir la información contenida en un gran conjunto de variables y luego
se aplica un modelo. Para ello se podría usar también análisis funcional (FPCA) en la primera parte y
modelos en la segunda).
En este trabajo estas técnicas (ACP, FDA) se han empleado más como estudio exploratorio para describir
los datos que con propósito de predicción, se podría predecir la primera componente como método en
dos etapas. En este caso hacer el cálculo de la componente en función de los días hábiles para predecir los
valores no se justifica, ya que se hace directamente sobre las series mensuales derivadas por medio de
modelos SARIMA. Podría si interesar cuando las variables son los meses y la dimensión tiempo está dada
por los días hábiles, en la línea del trabajo de Shang & Hyndman (2009).
En cuanto a predecir la serie de tiempo diaria hábil para el mes corriente, se ha hecho con el modelo ah
hoc en función de las medianas y con modelos ARIMA que pasaremos a describir.
3-
Modelos de series de tiempo y predicción
Un proceso estocástico puede ser visto como una familia de variables aleatorias o un conjunto de
realizaciones. Un proceso estocástico indexado en el tiempo se lo denomina serie de tiempo, una
realización particular se la llama serie de tiempo observada. (Koopman, 1995) La medición del tiempo
puede ser continua o discreta. En este trabajo nos restringiremos a este último caso.
La información disponible la constituyen series de tiempo observadas, medidas en intervalos equiespaciados de tiempo, por ejemplo una vez al año, cada trimestre, una vez por mes, todos los días. En
estos casos decimos que son de frecuencia anual, trimestral, mensual y diaria. El período es la inversa de
la frecuencia, en el caso trimestral e1 s=4, en el caso mensual s =12. En el caso particular del Circulante se
trabaja con datos de frecuencia mensual y diaria (corrida y hábil)
La serie de tiempo se puede descomponer en una componente determinística y una componente
puramente aleatoria. Según sea la estructura de estas componentes tendremos expresiones o modelos
que tentarán explicar el comportamiento de los valores observados y predecir valores futuros.
Sea y t una serie de tiempo, f t la parte puramente determinística y et la parte puramente aleatoria.
y t = f t + et
(1)
La componente determinística puede ser una función lineal, cuadrática, cúbica, en el tiempo, o sea una
función polinómica en t que modela la componente a largo plazo denominada tendencia
f t = b0 + b1 t + b2 t2 + b3 t3 + ….+b p t p
(2)
que puede ser ajustada a todas las observaciones o localmente (medias o medianas móviles).
La parte puramente aleatoria puede ser un ruido blanco o un proceso más complejo como los procesos
ARMA (Autoregresivo de Medias Móviles), que son procesos de segundo orden estacionarios e invertibles
(si las raíces de los operadores y(B) están fuera del círculo unitario) . Sean el operador
autoregresivo de orden p, con B el operador desfasaje B y t = y t – 1 y(B) el operador de medias
móviles de orden q, sea a t un proceso incorrelacionado de media cero y variancia constante
pp
 qq
(3)
y t sigue un proceso ARMA (p , q) si
y t =
 a t
(4)
11
Si la serie de tiempo tiene componente de tendencia y/o estacional, estas se las puede eliminar por medio
de diferencias regulares y estacionales respectivamente, donde s es el período de la serie, d y D el orden
de diferenciación regular y estacional respectivamente.
d  1  B 

  1 B
D
s
s
d

(5)
D
La extensión del modelo ARMA a series no estacionarias lleva a la especificación de modelos
Autoregresivo Integrado de Medias Móviles ARIMA (p, d, q) y la extensión a series con componente
estacional variable a la especificación de modelos Autoregresivo Integrado de Medias Móviles estacional
SARIMA (p, d, q) (P, D, Q) s.
Sean


s) = 1 - sPP s el operador auto-regresivo estacional de orden P
 s) = 1 -  s QQ sel operador de medias móviles estacional de orden Q,
Sean (1-B) d el operador diferencia regular de orden d, (1- Bs) D el operador diferencia de orden D y
período s,
y t sigue un proceso SARIMA (p , d, q) (P,D,Q)s si
 s) (1 – B) d (1 – Bs) D y t =
  s) a t
(6)
Los procesos estocásticos que dan origen a la mayoría de las series económicas pueden ser considerados
dentro de la clase de los procesos ARIMA (Autoregresivo Integrados de Medias Móviles) o su extensión
estacional SARIMA. En base a la especificación de estos procesos se estiman modelos por medio de un
procedimiento iterativo de identificación, estimación y validación (Box & Jenkins, 1970) que sirven para
predecir los valores futuros de la serie de tiempo en consideración. La etapa de identificación implica
determinar el orden de diferenciación d y D y la periodicidad s, bien como definir el número de
parámetros autoregresivos (p y P) y de parámetros de medias móviles (q y Q) en base al análisis de las
funciones de autoccorrelación y de autocorrelación parcial de la serie original y sus diferencias. La
estimación se puede hacer por máxima verosimilitud o por métodos no lineales, mientras que en la
validación se analizan los residuos resultantes del ajuste del modelo.
La evaluación de las predicciones elaboradas es una parte importante del procedimiento predictivo que
implica el análisis exploratorio de los datos, la identificación de un modelo, su estimación y validación
(analizando los residuos) y la performance predictiva. La selección entre usar uno u otro modelo está
hecha no en base a la predicción dentro de la muestra sino fuera de la muestra, ya que el objetivo es
obtener buenas predicciones. Un modelo puede ajustar mejor dentro de la muestra y tener una pobre
performance predictiva y viceversa.
Sea y t + h el valor observado en el instante t+ h, y t (h) la predicción h pasos en adelante con origen en el
instante t basada en los valores observados y 1 , ... , y t ,
Se denomina error de predicción e t (h)
e t (h)
= y t + h - y t (h)
(7)
= ABS (e t (h))
(8)
= 100 * AE h / y t + h
(9)
Error de predicción absoluto
AE h
Error absoluto porcentual
APE h
Si se considera el error acumulado calculado para uno a h pasos en adelante, se puede definir varias
medidas, una es el error absoluto medio MAE h, y en el caso porcentual: el error medio MAPE h o la
mediana MdAPE h
h
MAE
h
= (1/h)
 | (e
T
(j) |
(10)
j=1
12
h
MAPE h =
 100 * |e
(1/h)
T
(j) |/ y T+ j
j=1
MdAPE h =
mediana (APE 1 , … . APE h)
Si se considera el error de predicción h pasos en adelante para diferentes orígenes de tiempo t=T,.., T+k-1,
se pueden definir varias medidas relativas como el promedio MAPE (h), la mediana MdAPE (h), el
mínimo MinAPE (h), el máximo MaxAPE (h). El más usado es un paso en adelante h=1.
k-1
MAPE (h) =
(1/k)
 100 * ABS (e
T+ j
(h) / y T+ j +h
j=0
MdAPE (h) = mediana (APET (h), …. , APET+ k -1(h))
(11)
MinAPE (h) = mínimo (APET (h), …. , APET+ k -1(h))
MaxAPE (h) = máximo (APET (h), …. , APET+ k -1(h))
4-
Evaluación de predicciones
Los modelos identificados, estimados y validados fueron
Modelo 1
(1-  6 * B ** 6 -  11 * B** 11 - 21 * B ** 21) (1- B) circ t = (1 - a
Y a partir de abril de 2011 el
Modelo 2
(1-  7 * B ** 7 -- 8 * B ** 8 -  11 * B** 11 - 21 * B ** 21) (1- B) circt = (1 - a
Cada mes, se estima el modelo con datos diarios hábiles del circulante desde enero de 2008 hasta el mes
anterior, y con base en el segundo día hábil del mes corriente se calcula la predicción del mes corriente
hasta el segundo día hábil del mes siguiente, Por ejemplo, con base en 03/05/2011 se calcula la predicción
de mayo hasta el 02/06/2011 con datos desde 2008 a hasta abril de 2011.
En el cuadro 1 que figura en el anexo 1 se muestran los valores del mes de abril y la predicción de mayo
de 2011 calculada con el Modelo 2.
Cuando se dispone de los datos verdaderos del mes corriente, se grafica el valor observado y la predicción
(ver gráfica 5) y se calcula el error (E), el error absoluto (AE), el error absoluto porcentual (APE) para uno
hasta h períodos en adelante (ver cuadro 2) y se gráfica la evolución del APE (gráfica 6).
Observado
2011.06.02
2011.06.01
2011.05.31
2011.05.30
2011.05.27
2011.05.26
2011.05.25
2011.05.24
2011.05.23
2011.05.20
2011.05.19
2011.05.17
2011.05.16
2011.05.13
2011.05.12
2011.05.11
2011.05.10
2011.05.09
2011.05.06
2011.05.05
2011.05.04
2011.05.03
35000
30000
25000
20000
2011.05.02
Gráfica 5 – Circulante - Predicción mes de mayo 2011 versus valor observado – Modelo 2
Predicción
13
Cuadro 2 – Circulantte - Calculo de
d errores dee predicción
n – Modelo 2 – Mayo 201
011
h pasos
E
AE
error
errror abs
APE
erro
or relativo
errror abs porc
1
189
189
0.0063
0.6
2
152
152
0.0050
0.5
3
440
440
0.0139
1.4
4
235
235
0.0075
0.8
5
-101
101
0.0032
0.3
6
-515
515
0.0169
1.7
7
-352
352
0.0116
1.2
8
6
6
0.0002
0.0
9
-506
506
0.0172
1.7
10
-407
407
0.0141
1.4
11
-695
695
0.0246
2.5
12
-704
704
0.0252
2.5
13
-1104
1104
0.0406
4.1
14
-1471
1471
0.0553
5.5
15
-1458
1458
0.0550
5.5
16
-1584
1584
0.0600
6.0
17
-1984
1984
0.0761
7.6
18
-2447
2447
0.0947
9.5
19
-2342
2342
0.0892
8.9
20
-1741
1741
0.0639
6.4
21
-776
776
0.0270
2.7
j
h pasos en adelantee
Gráfica 6 – Circulante - Evolución del error aabsoluto porrcentual de j=1,
dose luego co
on los datos del
d cuadro 2 para los h pa
asos en adela
ante, el errorr acumulado absoluto
Calculánd
(MAE h) y el porcentua
al: la media (MAPE
(
)
y
la
a
mediana
(M
MdAPE
)
h
h
mes base
h
mes prediccción
MAE
Eh
MAPE
Eh
MdAP
PE h
a
abril
21
mayo
914.7
7
3.4
2.55
14
En la tab
bla 6 anexa se comparan los resultaados de las prediccione
es de mayo a noviembrre de 2011
elaboradaas con base en
e los meses de abril a occtubre de 201
11 respectiva
amente, obteenidas con el modelo 2,
detectánd
dose la preseencia de errrores porcen tuales altos (diferencia entre el val or del MAP
PE h y del
MdAPE h) en el caso de
d los mesess base de abrril y agosto. Los resultados son muy buenos si co
omparados
con otras aplicacioness en que los errores acum
mulados son
n mayores (p
por ejemplo een modelos mensuales
de comerccio exterior o modelos triimestrales deel PIB. (Ganóón (2011, 2012))).
Tabla 6 - Evaluación predicciones elaboradass con el Mod
delo 2 – Med
didas acumu
uladas
m
mes base
h
mes preedicción
M AE h
MAP
PE h
MdAPE
Eh
abril
21
2
maayo
91
14.7
3.4
4
2.5
mayo
22
2
jun
nio
10
043.5
3.5
5
3.2
junio
20
2
ju
ulio
92
25.9
3.1
3.1
julio
21
2
agoosto
98
80.1
3.3
3
3.1
agosto
22
2
setieembre
67
70.4
2.3
3
1.4
s etiembre
20
2
octu
ubre
69
93.4
2.2
2
2.2
octubre
21
2
novieembre
45
57.6
1.5
5
0.7
Para no so
obrecargar la
a exposición,, en vez de loos cuadros co
on los erroress (como el cu
uadro 2 para cada mes)
se resumee en la preseentación de la figura 2 loos errores po
orcentuales para cada m
mes. Se puede observar
que los m
meses de mayyo y junio tienen comport
rtamiento sim
milar y que lo
os meses de julio y agostto también
PE inferioress al 4%, lueg
go un mínim
mo y en la ssegunda partte del mes
(en este ccaso valores de error AP
valores dee APE que du
uplican los va
alores de prin
ncipio de me
es).
E
de los errores porcentuales
p
para
p
cada mees. Mayo a ag
gosto 2011
Figura 2a – Circulante – Modelo 2 - Evolución
15
Figura 2b
b - Circulantee – Modelo 2 - Evolución d e los errores porcentualess para cada m
mes.
mbre a noviem
mbre 2011
Setiem
En la figu
ura 3 se muestran la evolución para ccada mes, de
el valor observado y de laa predicción elaborada
con el mo
odelo 2 para los meses de mayo a noviiembre de 20
011.
Figura 3a – Circulante – Predicción Circulante co
on Modelo 2 vs valor obse
ervado – mayo
yo a agosto 20
011
16
Figura 3b – Circulante – Predicción Circulante co
ervado – setie mbre a noviem
mbre 2011
ndice se pressentan para el
e modelo 1 l as figuras sim
milares a las figuras 2 y 3 mostradas
En el apén
anteriorm
mente para el modelo 2.
En medidas resumen acumuladas,
a
delo 1 es infe
erior a la del modelo 2 en
n la
la performaance del mod
n de mayo y noviembre, superior en la de agosto y en los otro
os meses no hhay diferenciias
predicción
significatiivas, como po
odemos ver al
a comparar las tablas 7 y 6.
delo 1 _ Med
didas acumu
uladas
Tabla 7 - Evaluación predicciones elaboradass con el Mod
mes ba
ase
h
mes prredicción
MAEh
MAPEh
M
MdAPEh
abril 20
011
21
mayyo 2011
1242
4.5
4.0
mayo 20
011
22
juniio 2011
1647
3.4
3.0
junio 20
011
20
o 2011
julio
945
3.2
2.9
julio 20
011
22
agossto 2011
718
2.5
2.1
agosto 2011
2
22
setiem
mbre 2011
602
2.0
1.4
setiembre 2011
20
octub
bre 2011
709
2.3
2.1
octubre 2
2011
21
noviem
mbre 2011
567
1.9
1.6
ntro del mes las predicciiones calcula
adas a partirr del segundoo día hábil del
d mes, el
Pero si see analiza den
comportamiento es diiferente día a día osciland
do de uno a otro modelo o siendo meejor en algun
nos días la
estimación ad hoc.
dro siguientee se muestra
a para el mess de octubre
e de 2011 el valor
v
observaado y la pred
dicción del
En el cuad
tercer al 220 día hábil obtenidas
o
po
or el procedim
miento ad ho
oc del modelo en base a la mediana, por el por
los modellos ARIMA modelo
m
2 y modelo
m
1yp
por combinacción de pred
dicciones de las tres ante
eriores: un
promedio
o aritmético de
d prediccion
nes y la med iana de las tres
t
prediccio
ones. Los ressultados muestran que
al inicio ees mejor la ad
d hoc, luego el modelo 1, y al final el promedio de
e las predicciiones, pero el
e modelo 2
es el que está en prim
mer o segund
do lugar o coon valores de
e APE no exc
cepcionales. Si se debiera
a elegir un
or el modelo 2, aunque ccualquiera de
e las opciones presenta errores acep
ptables. En
método see optaría po
cuanto a la media o la
a mediana de las proyeccciones en cad
da día salvo al final del m
mes donde la
a media es
das.
mejor, suss performancces son bastantes parecid
17
Tabla 8 – Estudio com
mparativo para
p
el mes d
de octubre de
d 2011 de opciones
o
de p
proyección
ualiza el valo
or observadoo y las proyecciones para
a los cinco m
métodos usad
dos para la
En la gráffica 7 se visu
predicción
n del mes dee octubre de 2011. Se perrcibe claramente la peor performancee del método
o ad hoc y
la mejor del promediio de las pro
oyecciones aal final del mes
m y como todos en loss primeros 8 días subestiman eel circulante.
Gráfica 7 – Circulante – mes de octubree de 2011 - Comparac
ción del vaalor observa
ado y las
proyeccio
ones de 1 a 20 pasos en
n adelante
En la grááfica 8 se vissualiza el errror absolutoo porcentual para los cinco métodoos (tres modelos y dos
n del mes de octubre de 22011.
combinacciones de preedicciones) uttilizados en lla predicción
18
e – mes de octubre
o
de 20011 - Compa
aración del APE
A de 1 a 220 pasos en adelante
a
Grafica 8 - Circulante
5 - Concclusiones
En el anállisis de la serrie del Circulante diaria h
hábil se ha presentado
p
un
u análisis exxploratorio de
d los datos
del cual ssurge un méétodo ad hocc de predicciión y se elab
boraron dos modelos un
nivariados dee series de
tiempo paara los datos diarios hábilles, los cualess se aplican con
c base en el segundo día
ía hábil para predecir el
mes corrieente. Si se tieene en cuenta
a que el núm
mero de pasoss de en los qu
ue se calcula lla predicción
n va de uno
hasta un número quee oscila alred
dedor de 20 pasos en ad
delante (depe
endiendo deel mes consid
derado), la
calidad dee las prediccio
ones obtenid
das son muy b
buenas en la primera parte del mes y no tan efectiivas a veces
en la segu
unda parte, co
on errores ab
bsolutos porccentuales ind
dividuales infferiores al 1%
% y nunca su
uperiores al
10% y con
n errores acu
umulados MA
APEh en un intervalo deel 1.9 al 4.5%
%. Si comparaados con ressultados de
aplicar sim
milares modeelos univariad
dos en series mensuales y trimestrales los resultadoos son muy buenos.
b
o a posibles desarrollos
d
fu
uturos, se con
nsidera usar un
u modelo de suavizamieento exponen
ncial en las
En cuanto
medianas,, o métodos no paraméttricos funcion
nales con acttualización dinámica
d
de prediccioness. Por otra
parte, se rrecomienda el
e uso de técn
nicas de análiisis de datos funcionales
f
(descriptivas, de ACPF y modelos
m
de
regresión)) para el anállisis de variab
bles económiicas.
19
Bibliografía
Balli F., Elsamadisy (2011) Modeling the Currency in Circulation for the State of Qatar.
Central Bank of Qatar. http://mpra.ub.uni-muenchen.de/20159/1/Qatarcirculation.pdf
Bordier C., Dojat M. Lafaye de Micheauz P. (2010) Temporal and Spatial Independent Component Analysis
for fMRI data sets embedded in a R Package
Box G.E.P., Jenkins G.M. (1970). Time Series Analysis Forecasting and Control. Holden Day, San Francisco.
Cassino V., Misich P., Barry J. (1997) Forecasting the demand for currency.
Reserve Bank New Zealand. Reserve Bank Bulletin, Vol 60 No1,1997.
http://www.rbnz.govt.nz/research/bulletin/1997_2001/1997mar60_1cassinomisichbarry.pdf
Fase M.M.G. (1981) Forecasting the needs for coins: A case study for the Nederland. Technological Forecasting
and Social Change. Volume 19, March 1981, Pages 147-159. Elsevier.
Ganón E. (2008) Time series univariate models of medium and high frequency monetary indicators: Its use
for the implementation and review of monetary policy. Presentado en el ISF2008 - International Symposium of
Forecasting. Niza, Francia. Junio 2008
Ganón E. (2011) Simultaneous Analysis of contingency tables drawn with telephone data registration from
the National Telephone Service to Support Women Suffering Violence in Uruguay. Working Paper. PLEMUU.
Uruguay . Presented at CARME 2011, Nice, France
Ganón E. (2012) Evaluación de la performance de modelos de predicción de las importaciones totales y
clasificadas por GCE para el año 2011. Informe Interno. AIE, BCU. Enero/ 2012.
Güler H., Talaslı A. (2010) Modelling the Daily Currency in Circulation in Turkey. Central Bank Review ISSN
1303-0701 print/ 1305-8800 online. Central Bank of the Republic of Turkey.
http://www.tcmb.gov.tr/research/cbreview/jan10-2.pdf
Hyndman R. J., A.B. Koehler (2006). Another look at measures of forecast accuracy. International Journal of
Forecasting, 22, 679-688.
Jollife I.T. (2002) Principal Component Analysis.
Springer- Verlag. New York. 2 nd edition.
Koopman L.H. (1995) The Spectral Analysis of Time Series
Academic Press INC. San Diego. 2nd edition
Lebart, L., Morineau, A., Piron, M. (1997) Statistique exploratoire multidimensionnelle. Dunod, Paris 2 Ed.
nd
Ramsay, J.O., Silverman, B.W. (2010) Functional Data Analysis
Springer Science+ Business Media Inc. New York. 2nd edition.
Ramsay, J.O., Hooler,H., Graves, S. (2009) Functional Data Analysis with R and MATLAB
Springer Science+Business Media Inc. New York
Shang H.L, Hyndman R. (2009) Nonparametric time series forecasting with dynamic updating
Monash University. Australia
Stone J.M. (2004) Independent Component Analysis. A tutorial Introduction
The MIT Press Cambridge, Massacchusetts
Viviani R., Gron g., Spitzer M. (2005) Functional Principal Component Analysis of fMRI Data
Human Brain Mapping 24:109-129.
Zárraga A., Goitisolo B. (2009) Simultaneous analysis and multiple factor analysis for contingency tables:
Two methods for the joint study of contingency tables. Computational Statistics and Data Analysis, 53 (2009) 31713182.
20
ANEXO 1
Cuadro 1 – Predicción del mes de Mayo con el modelo 2
Fecha
Dia habil
Observado Predicción
01/04/2011
1 2011.04.01
28602
04/04/2011
2 2011.04.04
30042
05/04/2011
3 2011.04.05
29703
06/04/2011
4 2011.04.06
30263
07/04/2011
5 2011.04.07
30968
08/04/2011
6 2011.04.08
31277
11/04/2011
7 2011.04.11
30644
12/04/2011
8 2011.04.12
30143
13/04/2011
9 2011.04.13
29733
14/04/2011
10 2011.04.14
29492
15/04/2011
11 2011.04.15
29599
19/04/2011
12 2011.04.19
28585
20/04/2011
13 2011.04.20
28259
25/04/2011
14 2011.04.25
27217
26/04/2011
15 2011.04.26
26731
27/04/2011
16 2011.04.27
26317
28/04/2011
17 2011.04.28
26363
29/04/2011
18 2011.04.29
26790
02/05/2011
1 2011.05.02
27431
03/05/2011
2 2011.05.03
28792
04/05/2011
3 2011.05.04
29669
05/05/2011
4 2011.05.05
30443
06/05/2011
5 2011.05.06
31122
09/05/2011
6 2011.05.09
31049
10/05/2011
7 2011.05.10
31175
11/05/2011
8 2011.05.11
31057
12/05/2011
9 2011.05.12
30833
13/05/2011
10 2011.05.13
30320
16/05/2011
11 2011.05.16
29832
17/05/2011
12 2011.05.17
29346
19/05/2011
13 2011.05.19
28890
20/05/2011
14 2011.05.20
28693
23/05/2011
15 2011.05.23
28265
24/05/2011
16 2011.05.24
28082
25/05/2011
17 2011.05.25
27971
26/05/2011
18 2011.05.26
27982
27/05/2011
19 2011.05.27
28065
30/05/2011
20 2011.05.30
28281
31/05/2011
21 2011.05.31
28606
01/06/2011
1 2011.06.01
28989
02/06/2011
2 2011.06.02
29532
21
Figura 1
Figura 2
22
ANEXO 2
Figura 1 – Circulante – Estadísticass básicas pa
ara cada día hábil – años
os 2005 a 2010
23
ANEXO 3 – Evaluación Modelo 1
Figura 2a – Circulante – Modelo 1 - Evolución
E
de los errores porcentuales
p
para
p
cada mees. Mayo a ag
gosto 2011
Figura 2b
b - Circulantee – Modelo 1 - Evolución d e los errores porcentualess para cada m
mes.
bre a noviembre 2011
Setiemb
24
Figura 3a – Circulante – Predicción Circulante co
ervado – mayo
yo a agosto 20
011
Figura 3b – Circulante – Predicción Circulante co
ervado – setie mbre a noviem
mbre 2011
25

Predicción de variables de alta frecuencia, una aplicación a la serie

Transcripción

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