repartos proporcionales

REPARTOS PROPORCIONALES
REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Un padre desea repartir 270 € entre sus tres hijos en partes
directamente proporcionales a sus edades: 3, 5 y 7 años.
Un padre desea repartir 852 € entre sus tres hijos en partes
inversamente proporcionales a sus edades: 3, 5 y 7 años.
Método 1
Método 1
Inverso
Directo
Cantidad
(€)
Edad
(años)
x
y
3
5
1)
2)
3)
z
7
270
15
Reducción a la unidad (cantidad correspondiente por cada año)
Cantidad
(€)
Edad
(años)
1)
x
3
2)
y
5
3)
z
7
270
= 18 € / año
15
Directo
Directo
1
3
1
5
1
⋅ 105
3
1
⋅ 105
5
1
7
1
⋅ 105
7
Directo
852
Edad
3 años
x = 18 ⋅ 3 = 54 €
Solución
Cantidad
54 €
y = 18 ⋅ 5 = 90 €
5 años
90 €
z = 18 ⋅ 7 = 126 €
7 años
126 €
270€
Al hijo de menos edad le corresponde menos dinero y al de más edad, más
dinero.
Proporcionalidad directa
54 90 126
=
=
= 18 (Constante de proporcionalidad directa)
3
5
7
35
21
15
71
Repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a 3, 5 y 7, es
equivalente a repartirla en partes directamente proporcionales a los inversos
de estos números: 1/3, 1/5 y 1/7.
Un reparto proporcional directo no varía si las cantidades con respecto a las
cuales se va a realizar dicho reparto se multiplican por un mismo número.
Calculamos el mcm de los denominadores de las fracciones.
mcm (3, 5, 7) = 105
Multiplicamos las tres fracciones por el mcm.
Hacemos el reparto proporcional directo respecto a las cantidades obtenidas.
Reducción a la unidad (cantidad correspondiente por cada unidad)
852
= 12
71
€ / unidad
Edad
3 años
x = 12 ⋅ 35 = 420 €
Solución
Cantidad
420 €
y = 12 ⋅ 21 = 252 €
5 años
252 €
z = 12 ⋅ 15 = 180 €
7 años
180 €
852 €
Al hijo de menos edad le corresponde más dinero y al de más edad, menos
dinero.
Proporcionalidad inversa
3 ⋅ 420 = 5 ⋅ 252 = 7 ⋅ 180 = 1260 (Constante de proporcionalidad inversa)
Método 2
Método 2
Inverso
Directo
Cantidad
(€)
Edad
(años)
x
y
3
5
1)
2)
3)
x
=k
3
z
7
270
15
⇒
y
=k
5
⇒
z
=k
7
⇒
x = 3k
Reparto proporcional directo
x y z
= = =k
3 5 7
k constante de
proporcionalidad directa
x + y + z = 270
3k + 5k + 7k = 270
15k = 270
y = 5k
270
k=
15
z = 7k
k = 18
x = 3 ⋅18 = 54 €
Solución
Edad
Cantidad
3 años
54 €
y = 5 ⋅ 18 = 90 €
5 años
90 €
z = 7 ⋅ 18 = 126 €
7 años
126 €
270€
Cantidad
(€)
Edad
(años)
x
y
3
5
z
7
1)
2)
3)
Reparto proporcional inverso
3x = 5 y = 7 z = k
k constante de
proporcionalidad inversa
852
3x = k
x + y + z = 852
k
3
⇒
x=
5y = k
⇒
k
y=
5
7z = k
⇒
z=
k
7
k k k
+ + = 852
3 5 7
mcm (3, 5, 7) = 105
105 ⋅
k
k
k
+ 105 ⋅ + 105 ⋅ = 105 ⋅ 852
3
5
7
35k + 21k + 15k = 89460
71k = 89460
89460
71
k = 1260
k=
1260
= 420 €
3
1260
y=
= 252 €
5
1260
z=
= 180 €
7
x=
Edad
3 años
5 años
7 años
I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) –Departamento de Matemáticas – GBG
Solución
Cantidad
420 €
252 €
180 €
852€
REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Un padre desea repartir 270 € entre sus tres hijos en partes
directamente proporcionales a sus edades: 3, 5 y 7 años.
Un padre desea repartir 852 € entre sus tres hijos en partes
inversamente proporcionales a sus edades: 3, 5 y 7 años.
Método 3
Método 3
Directo
1)
2)
3)
Cantidad
(€)
Edad
(años)
x
y
3
5
z
7
270
15
Inverso
x + y + z = 270
Cantidad
(€)
Edad
(años)
1)
x
3
2)
y
5
3)
z
7
1
3
1
5
1
7
852
x y z
= =
3 5 7
x + y + z = 852
Para realizar el reparto proporcional se tiene en cuenta la siguiente
propiedad:
“En una serie de razones iguales, la razón entre la suma de los
antecedentes y la suma de los consecuentes es igual a cualquiera
de las razones de la serie”
3x = 5 y = 7 z
Repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a 3, 5 y 7, es
equivalente a repartirla en partes directamente proporcionales a los inversos
de estos números: 1/3, 1/5 y 1/7.
x
y
z
x+ y+z
=
=
=
1
1
1 1 1 1
+ +
3
5
7 3 5 7
x y z x+ y+z
= = =
3 5 7 3+5+ 7
x y z 270
= = =
3 5 7 15
mcm (3, 5, 7) = 105
1 1 1 35
21 15
71
+ + =
+
+
=
3 5 7 105 105 105 105
x y z
= = = 18
3 5 7
x
= 18
3
⇒
x = 3 ⋅18
⇒
x = 54
y
= 18
5
⇒
y = 5 ⋅18
⇒
y = 90
⇒
z = 7 ⋅18
⇒
z = 126
z
= 18
7
Directo
x
y
z 852
=
=
=
1
1
1
71
3
5
7 105
3x = 5 y = 7 z =
852 ⋅105
71
3 x = 5 y = 7 z = 1260
Edad
3 años
5 años
7 años
Solución
Cantidad
54 €
90 €
126 €
270€
3 x = 1260
⇒
x=
1260
3
⇒
x = 420
5 y = 1260
⇒
y=
1260
5
⇒
y = 252
7 z = 1260
⇒
z=
1260
7
⇒
z = 180
Edad
3 años
5 años
7 años
Solución
Cantidad
420 €
252 €
180 €
852 €
I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) –Departamento de Matemáticas – GBG