Reaseguro Proporcional con Límites

Transcripción

Por:
Act. Pedro Aguilar Beltrán
[email protected]
Comisión Nacional de Seguros y Fianzas
México
Fundamentos
1
Reaseguro proporcional con límites
Fundamentos
Los contratos de reaseguro proporcional, en su forma tradicional de
operar, han cumplido con el principio de participación proporcional
absoluta en el riesgo. Esto significa que en una cartera de riesgos
reasegurada con un contrato proporcional:
S R = f R ( s) = α ∗ S
S ∈ (0, ∞)
Siniestralidad Retenida
∞
∞
0
0
= E (α ∗ S ) = ∫ αSf (s)ds =α ∫ Sf (s)ds =αE (S ) ∀s
S : Variable aleatoria de la siniestralida de la cartera.
α : Porción retenida en contrato proporcional.
0 <α <1
Lo anterior implica que la reserva del riesgo retenido es:
RRC= α E(S)
Fundamentos
Por lo anterior, los reguladores han establecido esquemas de constitución
de reserva y de margen de solvencia dando por hecho que en los
contratos de reaseguro “proporcionales” la exposición al riesgo se
comparte de manera proporcional, sin que haya límites.
20%
20%
Riesgo Retenido
Riesgo Cedido
Reserva Cedida
80%
80%
Riesgo
Reservas
Reserva de
Retención
Fundamentos
En los últimos años, han aparecido contratos de reaseguro
“proporcional”, que mediante cláusulas, condicionan la participación
proporcional del reasegurador, a que la siniestralidad se mantenga por
debajo de cierto valor, haciendo a la cedente, responsable de enfrentar
la siniestralidad por encima de dicho valor.
Ejemplo: “El reasegurador participará en el 80% de los siniestros,
siempre y cuando la siniestralidad no sea superior al 90% de la prima.”
Fundamentos
Este tipo de contratos no cumplen con el principio de participación
proporcional absoluta en el riesgo, implicando un aumento en la
exposición al riesgo de la compañía cedente.
¿cuál es el aumento en el riesgo retenido?
¿ Riesgo Retenido?
20%
80%
Contrato Reaseguro
Reservas
Fundamentos
La implicación que tiene establecer un límite en los contratos de
reaseguro proporcional, es que el riesgo retenido de la institución
cedente queda definido en los siguientes términos:
S ∈ (0, l)
⎧⎪α ∗ S ,
S R = f R ( s) = ⎨
⎪⎩αl + β (S − l1), S ∈ (l, ∞)
l
∞
0
l
E (S R ) = ∫ αSf (s)ds + ∫ (αl + β (S − l)) f (s)ds
Lo anterior implica que la reserva del riesgo retenido es:
RRC= (α+ε) E(S)
Fundamentos
Por ello resulta necesario establecer esquemas regulatorios que
permitan determinar en qué medida la compañía cedente aumenta
su riesgo retenido debido a la utilización de este tipo de contratos de
reaseguro, y en esa misma medida, deben incrementarse las
reservas técnicas y el margen de solvencia.
El Efecto
2
El Efecto
Suponga que una compañía hace un contrato de reaseguro 80%-20%,
en el cual se establece una cláusula que indica que la participación
proporcional del reasegurador será del 80% mientras la siniestralidad se
mantenga debajo del 90% de la prima. Suponga además que la prima de
la cartera es de 10 millones. Si ocurriera una siniestralidad de 10
millones, el efecto sería el siguiente:
Límite de reaseguro
Siniestros excedentes
Total
Porcentaje retenido:
Porcentjae cedido:
Monto
Monto Cedido Monto Retenido
9,000,000
7,200,000
1,800,000
1,000,000
0
1,000,000
10,000,000
7,200,000
2,800,000
28.0%
72.0%
Puede observarse que debido al monto de siniestros, no se cumple la
cesión proporcional. La cedente tiene que retener una proporción del
28%. Cantidad que es 40% superior al valor que retendría en caso de
que el contrato hubiese sido proporcional puro.
El Efecto
Suponga en el mismo caso anterior que la siniestralidad fuera de 11
millones, entonces la proporción retenida del riesgo sería de:
Límite de Reaseguro
Siniestros excedentes
Total
Porcentaje retenido
Porcentaje cedido
Monto
9,000,000
2,000,000
11,000,000
Monto Cedido
7,200,000
7,200,000
Monto Retenido
1,800,000
2,000,000
3,800,000
34.5%
65.5%
En este caso la cedente tiene que retener una proporción del 35.5%.
Lo que muestra que el efecto del límite depende del monto que alcance
la siniestralidad de la compañía.
Medición del Efecto en Reservas
3
El Efecto en Reserva
La reserva de riesgos en curso de una cartera de pólizas es el valor
esperado de la siniestralidad futura de dichas pólizas.
Si uno conoce la ley de comportamiento de los siniestros (ley
matemática), es posible calcular la reserva de riesgo en curso con un
grado de precisión razonable.
El conocimiento de esa ley permite también calcular el valor esperado de
la siniestralidad retenida o cedida en cualquier clase de contrato de
reaseguro.
La ley de comportamiento de los siniestros, es conocida en el ámbito
actuarial como función de probabilidad de siniestros. Esta función nos
dice con qué probabilidad la siniestralidad futura de una cartera puede
alcanzar cierto valor.
La construcción de funciones de probabilidad es posible, si se tiene la
estadística suficiente de carteras de riesgos expuestas y las primas
correspondientes a dichas carteras.
Medir la siniestralidad en términos relativos a la prima, tiene grandes
ventajas ya que en esa forma no depende del monto absoluto de
siniestros de la cartera de pólizas.
Los datos que deben utilizarse son los del mercado, tomando la cartera
de siniestros y primas de cada compañía, como un punto de la muestra.
S
P
Sˆ = X ∗ P
X=
La siniestralidad medida como porcentaje de la prima para una estadística de tres
años, de carteras de autos, fue la siguiente:
200%
180%
160%
140%
120%
100%
80%
60%
40%
20%
0%
Mediante técnicas estadísticas la función de probabildad puede ser construida:
Funciones de Densidad
2,50
Histograma
2,00
Gamma
Exponencial
1,50
Weibull
Lognormal
Gumbel
1,00
,50
2,38
2,14
1,90
1,66
1,43
1,19
0,95
0,71
0,48
0,24
0,00
,00
FX ( x p0 ,α , β ) = P [ X = 0] + P [ X > 0] FX + ( x )
β α yα −1e− y β
dy
= p0 + (1 − p0 ) ∫
Γ
α
(
)
0
x
⎧ p0 , x = 0
⎪
f X ( x p0 ,α , β ) = ⎨ [1 − p0 ] β α xα −1e − xβ
, x>0
⎪
Γ
α
(
)
⎩
La ley de comportamiento de las reclamaciones de carteras de seguros de
automóviles, en México, es la que se presenta a continuación.
0,180000
0,160000
Probabilidad
0,140000
0,120000
0,100000
0,080000
0,060000
0,040000
0,020000
0,000000
Indice de Siniestros/Primas
Con la función de probabilidad se puede medir el porcentaje de riesgo
retenido por la compañía que tiene un contrato de reaseguro, proporcional
con límites. La fórmula con que se mide el porcentaje de riesgo retenido
consiste en dividir el valor esperado de la siniestralidad retenida entre el
valor esperado de la siniestralidad bruta:
FR =
E (S R )
E (S B )
E ( S R ) : Valor esperado de la Siniestralidad Retenida
E ( S B ) : Valor esperado de la Siniestralidad Bruta
Con ese porcentaje se puede calcular la reserva que debe constituir la
compañía de seguros cedente:
RRC R = FR ∗ RRC B
Suponga que tiene la siguiente función de probabilidad, de la
siniestralidad de seguros de gastos médicos mayores, que fue
previamente construida mediante métodos estadísticos:
0
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
110%
120%
130%
140%
150%
160%
170%
180%
190%
-
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
110%
120%
130%
140%
150%
160%
170%
180%
190%
200%
0.0000
0.0010
0.0050
0.0100
0.0800
0.1500
0.4400
0.2000
0.0500
0.0300
0.0100
0.0060
0.0050
0.0040
0.0030
0.0020
0.0014
0.0010
0.0009
0.0007
P ro b a b ilid a d
Valores del índice de
Probabilidad
siniestralidad/prima
0.5000
0.4500
0.4000
0.3500
0.3000
0.2500
0.2000
0.1500
0.1000
0.0500
0.0000
Indice de Siniestros/Primas
Suponga, que una institución de seguro hace un contrato de reaseguro
cuota parte donde retendrá el 20% y el reasegurador el 80%. Suponga que
el reasegurador establece que su responsabilidad estará limitada al pago
proporcional siempre que la siniestralidad no sea superior al 75% de la
prima emitida.
Suponga que la prima emitida de la cartera es de 10 millones.
Si el contrato fuera proporcional puro, la reserva de riesgos en curso que la
compañía habría de constituir por cada póliza sería la parte no devengada
de la prima retenida, calculando la prima retenida como el 20% de la
prima emitida.
Sin embargo debido al límite impuesto por el reasegurador, el riesgo
retenido por la cedente no corresponde al 20% sino a un porcentaje
mayor.
Por lo anterior resulta necesario proceder a calcular el porcentaje de riesgo
retenido.
FR =
E (S R )
E (S B )
El valor esperado de la siniestralidad bruta de la cartera, se calcula como:
Rango de siniestros
0
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
110%
120%
130%
140%
150%
160%
170%
180%
190%
-
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
110%
120%
130%
140%
150%
160%
170%
180%
190%
200%
Suma -Total
Probabilidad
0.0000
0.0010
0.0050
0.0100
0.0800
0.1500
0.4400
0.2000
0.0500
0.0300
0.0100
0.0060
0.0050
0.0040
0.0030
0.0020
0.0014
0.0010
0.0009
0.0007
Valor esperado
siniestros brutos
0.0000
0.0015
0.0125
0.0350
0.3600
0.8250
2.8600
1.5000
0.4250
0.2850
0.1050
0.0690
0.0625
0.0540
0.0435
0.0310
0.0231
0.0175
0.0167
0.0137
6.7399
E ( S i ) = S i ∗10 * Pr( S i )
⎛ S i + S i +1 ⎞
Si = ⎜
⎟
2
⎝
⎠
E(SB ) = ∑E(Si )
i
El valor esperado de la siniestralidad cedida es:
Rango de siniestros
0
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
110%
120%
130%
140%
150%
160%
170%
180%
190%
-
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
110%
120%
130%
140%
150%
160%
170%
180%
190%
200%
Suma -Total
Probabilidad
0.0000
0.0010
0.0050
0.0100
0.0800
0.1500
0.4400
0.2000
0.0500
0.0300
0.0100
0.0060
0.0050
0.0040
0.0030
0.0020
0.0014
0.0010
0.0009
0.0007
Valor esperado
siniestros brutos
Valor esperado
siniestralidad
cedida
0.0000
0.0015
0.0125
0.0350
0.3600
0.8250
2.8600
1.5000
0.4250
0.2850
0.1050
0.0690
0.0625
0.0540
0.0435
0.0310
0.0231
0.0175
0.0167
0.0137
6.7399
0.0000
0.0012
0.0100
0.0280
0.2880
0.6600
2.2880
1.2000
0.3000
0.1800
0.0600
0.0360
0.0300
0.0240
0.0180
0.0120
0.0084
0.0060
0.0054
0.0042
5.1592
E(SC,i ) = min(Si ,0.75) ∗ 0.8*10* Pr(Si )
E ( S C ) = ∑ E ( S C ,i )
i
El porcentaje de riesgo retenido es del 23.45%.
FR =
E (S c )
E (S R ) E (S B ) − E (S c )
5.1592
=
= 1−
= 1−
= 0.234528
E (S B )
E (S B )
E (S B )
6.7399
El efecto del límite es un aumento en el valor esperado de la
siniestralidad retenida, de 3.4 puntos porcentuales.
El 23.45% respecto del 20% es superior en un 17.26%.
El regulador puede tomar la decisión de ordenar a la compañía constituir
su reserva de riesgos en curso con base en el 23.45% de las primas, o
bien constituir las reservas con base en el 20% de las primas retenidas,
pero recargarlas en un 17.26%.
Lìmite de Siniestralidad / Prima
1.05
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
90.00%
80.00%
70.00%
60.00%
50.00%
40.00%
30.00%
20.00%
10.00%
0.00%
-
Porcentaje de Retención
En la siguiente gráfica se puede ver el efecto de diferentes límites, sobre
el factor de retención, el contrato de reaseguro cuota parte 20%-80%.
Medición del Efecto en Margen de Solvencia
4
Medición del Efecto sobre el Margen de Solvencia
El margen de solvencia es un recurso destinado a cubrir desviaciones
extraordinarias de la siniestralidad, o pérdidas máximas probables.
De manera que funciona ante casos de alta siniestralidad de la
compañía.
La pregunta que surge es ¿qué efecto produce la existencia de límites,
en casos de siniestralidad extraordinaria?
El efecto se puede medir también con la función de probabilidad.
Suponga que el margen de solvencia consiste en cubrir un valor de la
siniestralidad del 200% de la prima, el efecto se puede ver en el
siguiente gráfico
0.8000
0.7000
0.6000
0.5000
0.4000
0.3000
0.2000
0.1000
0.0000
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
110%
120%
130%
140%
150%
160%
170%
180%
190%
200%
210%
220%
230%
240%
250%
260%
270%
En la medida en que la siniestralidad alcance niveles extraordinarios, la
responsabilidad de la cedente aumenta.
Indice de Siniestralidad
0.8000
0.7000
0.6000
0.5000
0.4000
0.3000
0.2000
0.1000
0.0000
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
110%
120%
130%
140%
150%
160%
170%
180%
190%
200%
210%
220%
230%
240%
250%
260%
270%
En México, actualmente en el seguro de terremoto, así como en otros
riesgos catastróficos, la regulación señala que si existen límites,
entonces el cálculo del margen de solvencia debe hacerse considerando
una retención del 100% de las obligaciones.
Indice de Siniestralidad
La Normativa
5
Normativa
Se dio a conocer criterio de valuación mediante oficio circular S-10/06
de fecha 27 de enero de 2006.
“la la reserva de riesgos en curso correspondiente a pólizas de seguro
cubiertas mediante contratos de reaseguro donde se establezcan
límites de responsabilidad del reasegurador, o variaciones en su
participación en función de los niveles de siniestralidad enfrentados
por la cedente, no deben ser valuadas con base en la proporcionalidad
establecida en el contrato de reaseguro, ya que dicha
proporcionalidad no se cumple íntegramente. En estos casos, las
reservas técnicas deben ser calculadas con base en una valoración
técnica específica que determine con precisión el nivel de riesgo
retenido en este tipo de contratos.
Normativa
“ Primero.- En el caso de contratos de reaseguro que estableciendo la
participación proporcional de las partes en el riesgo asegurado,
establezcan límites de responsabilidad para el reasegurador, el riesgo
retenido que deberá considerarse para efectos de constitución e
incremento de las reservas técnicas de seguros, será el que se
determine mediante los presentes criterios.
Segundo.- El valor esperado del riesgo retenido por la institución se
determinará como el valor esperado de la siniestralidad de retención
calculada mediante procedimientos estadísticos tomando como base la
función de probabilidad de la siniestralidad del ramo o tipo de seguro
de que se trate, incorporando los parámetros correspondientes a los
límites de responsabilidad del contrato de reaseguro de que se trate,
como se indica a continuación
Normativa
“a).- Para efectos de la valoración del riesgo retenido, se deberá contar
con estadística del índice de siniestralidad del seguro de que se trate,
calculando dicho índice como el que resulte de dividir la siniestralidad
anual observada respecto de la prima emitida anual.
Si
Xi =
Pi
∀
Pi > 0
b) Se determinará la función de densidad
de dicho índice como
aquélla que mejor se ajuste a la información estadística con que se
cuente, tomando como criterio la realización de pruebas de bondad de
ajuste.
Normativa
“En los casos en que no se pueda determinar una función de
distribución teórica, se utilizará para efectos de lo dispuesto en los
presentes criterios, la función de distribución empírica.
c) Una vez que se tenga la función de distribución, se procederá a
determinar el valor esperado del la siniestralidad bruta como:
∞
E ( X ∗ P) = P ∗ E ( X ) = P ∫ xf ( x)dx
0
Normativa
“c) Con base en la misma función, se procederá a determinar el valor
esperado del índice de siniestralidad de retención, como:
∞
E ( s R ) = ∫ s R f ( s )ds
0
⎧α ∗ S
⎪
S R = ⎨β ∗ S
⎪γ ∗ S
⎩
S ∈ [0, l1 )
S ∈ [l1 , l2 ]
S > l2
Normativa
d) Se determinará el porcentaje de riesgo retenido por la
institución, como:
E (S R )
FR =
E (S )
e) Para efectos de la constitución e incrementos de las reservas
técnicas, se deberá considerar como prima de riesgo retenida
(PRET ) la que resulte de multiplicar la prima de riesgo bruta
(PR ) por el factor de retención.
PRET = FR ∗ PR
Normativa
Tercero.- El factor de retención obtenido conforme a los presentes criterios
será el que se aplique a la prima de riesgo o a la siniestralidad bruta, según
sea el caso, para determinar la parte de riesgo retenido que se utilice para
efectos de la valuación, constitución e incremento de las reservas técnicas.
Cuarto.- Sobre la porción de prima de riesgo retenida obtenida conforme al
criterio anterior, se deberá aplicar, en su caso, el factor de suficiencia de la
reserva de riesgos en curso que conforme a la normatividad deba aplicar la
institución.
Quinto.- La reserva de riesgos en curso por reaseguro cedido deberá
calcularse para cada póliza como la diferencia entre la reserva bruta y la
reserva retenida calculada con los presentes criterios.
Sexto.- El presente criterio no será aplicable para la determinación de la
pérdida máxima probable en el caso de riesgos catastróficos. En tales
casos, en los contratos de reaseguro proporcional que establezcan límites
de responsabilidad en exceso a un determinado monto de la siniestralidad,
se considerará que la institución cedente retiene el riesgo al 100%, para
efectos del cálculo de la pérdida máxima probable.
Normativa
Séptimo.- La Comisión Nacional de Seguros y Fianzas establecerá en cada
caso las funciones de probabilidad que habrán de aplicarse y podrá, cuando
se requiera de acuerdo al caso de que se trate, generar dichas funciones
con base en índices de siniestralidad o montos, distintos a los expuestos en
los presentes criterios, cuando resulte necesario de acuerdo a las
necesidades de cada caso.”.
Las instituciones de seguros que cuenten con contratos de reaseguro que
tengan las características mencionadas, deberán solicitar a esta Comisión
los valores numéricos de las funciones de probabilidad con los cuales
procederán a realizar la valuación de las reservas técnicas. Dichas
funciones de probabilidad serán revisadas y actualizadas anualmente por
esta Comisión, mediante la información estadística del mercado
asegurador, con base en los criterios dados a conocer en el presente Oficio
Circular.
Valor del índice
Normativa
Mediante Oficios circulares OS-12_06 y OS13_06 y se dieron a conocer los valores
numéricos para seguros de terremoto y de
autos respectivamente.
0.180000
0.160000
0.140000
0.120000
0.100000
0.080000
0.060000
0.040000
0.020000
0.000000
Mayor que
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
55%
60%
65%
70%
75%
80%
85%
90%
95%
100%
105%
110%
115%
120%
125%
130%
135%
140%
145%
150%
155%
160%
165%
170%
175%
180%
185%
190%
195%
>200%
Hasta
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
55%
60%
65%
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115%
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135%
140%
145%
150%
155%
160%
165%
170%
175%
180%
185%
190%
195%
200%
Probabilidad de que
el índice tome un
valor en el rango
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000040
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0.013196
0.050719
0.106402
0.148810
0.159080
0.142570
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0.005020
0.003260
0.002110
0.001370
0.000880
0.000570
0.000370
0.000240
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0.000020
0.000010
0.000010
0.000010
0.000000
Por:
Act. Pedro Aguilar Beltrán
[email protected]
Comisión Nacional de Seguros y Fianzas
México

Reaseguro Proporcional con Límites

Transcripción

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