Raiz Cuadrada

Simplificación de radicales
Raiz Cuadrada
El opuesto de cuadrar es tomar la raiz
cuadrada de un número.
Un número b es una raiz cuadrada de otro
número a, si b2 = a.
9  3 porque 32  9
64  8 porque 8  64
2
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2
Raiz Cuadrada Principal
La raiz cuadrada principal (positiva) se
denota
a
La raiz cuadrada negativa se denota
 a
 9  3 es la raiz cuadrada negativa de 9
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3
Raiz Cuadrada Principal
NOTA:
9
NO es un número real porque no existe
ningún número tal que al cuadrarlo de
-9. Por eso decimos en general que
a
existe en los reales si a > 0.
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4
Ejemplos
49  7
25
5

16
4
 4  2
 0.25   0.5
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5
Cuadrados perfectos
La raiz cuadrada de un radicando que es un
cuadrado perfecto se simplifica a un número
racional (números que se pueden escribir
como el cociente de dos enteros.).
Los primeros 11 cuadrados perfectos son :
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81
y sus raíces cuadradas son :
0  0, 1  1, 4  2, 9  3 16  4,
36  6,
49  7, 64  8,
25  5,
81  9
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6
Cuadrados perfectos
Raíces cuadradas de radicandos que NO son
cuadrados perfectos ( 2 , 7 , 10 , etc ) son
números irracionales.
Podemos conseguir una aproximación decimal
a éstos radicales, si el ejercicio lo pide. Su
valor exacta solo se puede representar en
forma de radical.
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Raíces cúbicas
La raiz cúbica de un número real a es
3
a  b si y solo si b  a
3
Nota: Para las raíces cúbicas, NO se
restringe el valor del radicando a valores
3
positivos.
porque 33 = 27
27  3
3
 64  4
porque (-4)3 = -64
3
 125  5
porque (-5)3 = -125
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Raiz enésima
En general,podemos determinar otras raíces.
La raiz enésima se define como:
n
a  b, si y solo si b  a
n
Si el índice, n, es par, la raiz NO es un
número real cuando a es negativa.
Si el índice, n, es impar, la raiz es
SIEMPRE un número real no importa el
signo de a.
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9
Raiz enésima - ejemplos
 32  2
porque (-2)5 = -32
4
256  4
porque (4)4 = 256
6
729  3
porque (3)6 = 729
5
5
32
2

243 3
2 5
porque ( )
3
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=
32
243
10
Ejercicios:
Simplificar las siguientes expresiones:
4
81 
3
 1000 
.01 
3
1

8
4

9
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Propiedad #1:
Si
n
a  Ry
n
b  R entonces,
n
n
a
a
n
b
b
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Ejemplos:
a)
b)
25
3
3
2
16
d) 4 81
16
3


3
4
5

3
8

1000
3
c)
16
16

25
8
1000

2

16
4
81
4
16

3
2
1

10
5
1
1

8
2
3
2
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Simplificación de radicales
Al simplificar radicales pueden surgir varias
situaciones:
Raíces racionales Ráices
irracionales
3
Raíces de
números
compuestos que
tienen algún
factor con una
raiz perfecta
121 = 11
2
8=2 2
−0.125 = −0.5
10
27 = 3 3
4
90 = 2 10
5
32 = 2
3
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Propiedad #2:
Si
n
a R
n
y n
b R
entonces,
a b  a  b
n
n
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Cuadrados perfectos
Cubos perfectos
12 = 1
112 =
121
13
=
1
22 = 4
122 =
144
23
=
8
32 = 9
132 =
169
33
=
27
42 = 16
142 =
196
43
=
64
52 = 25
152 =
225
53
=
125
62 = 36
162 =
256
63
=
216
72 = 49
172 =
289
73
343
82 = 64
182 =
324
83
512
92 = 81
192 =
361
93
729
102 = 100
202 =
400
103
1000
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Simplificación de radicales
Si un número compuesto NO es un cuadrado
perfecto pero tiene un factor que es cuadrado
perfecto, entonces su raiz cuadrada se puede
simplificar usando la propiedad anterior.
Ejemplo: Simplificar 27
Solución:
Como 27 = 9 ∙ 3 podemos decir que
27 = 9 ∙ 3 y por la propiedad anterior
27 = 9 ∙ 3 = 9 3 = 3 3
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Simplificación de radicales
Ejemplo: Simplificar 90
Solución:
Como 90 = 9 ∙ 10 podemos decir que
90 = 9 ∙ 10 y por la propiedad anterior
= 9 ∙ 10 = 9 10 = 3 10
Ejemplo: Simplificar 200
Solución:
Como 200 = 100 ∙ 2 podemos decir que
200 = 100 ∙ 2 y por la propiedad anterior
200 = 100 ∙ 2 = 100 2 = 10 2
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Simplificación de radicales
Esto lo podemos extender para la raíz enésima. Si
un número compuesto tiene un factor
exponencial, con potencia igual al índice del
radical entonces su raiz enésima se puede
simplificar usando la propiedad #1 anterior.
3
Ejemplo: Simplificar 250
Solución:
Como 250 = 125 ∙ 2 y 125 = 53 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
3
3
3
250 = 125 ∙ 2 = 53 ∙ 2
3 3 3
3
= 5 2=5 2
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Simplificación de radicales
3
Ejemplo: Simplificar 32
Solución:
Como 32 = 8 ∙ 4 y 8 = 23 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
3
3
3
32 = 8 ∙ 4 = 23 ∙ 4
3 3 3
3
= 2 4=2 4
3
Ejemplo: Simplificar 375
Solución:
Como 375 = 125 ∙ 3 y 125 = 53 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
3
3
3
375 = 125 ∙ 3 = 53 ∙ 3
3 3 3
3
= 5 3=5 3
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Práctica
(a )
40 
b 
5

16
(c)
(d )
15
3
(e)
4  10  2 10
No tiene un factor cuadrado perfecto, por
lo tanto no simplifica más-.
16 
3
5
5

4
16
3
3

64
8 2 
3
3
3
8 3 2  2 3 2
3
3
3

4
64
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Práctica
Expresar cada radical en su forma más simple.
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