Teoría y problemas

Transcripción

Teoría y problemas

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Ingeniería de Caminos, CURSO 2005-2006
Ángeles Carmona y Andrés M. Encinas
Departamento de Matemática Aplicada III
E.T.S.E.C.C.P.B. Febrero de 2009
[email protected]
[email protected]
Índice general
1. Conceptos Básicos
7
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2. Un ejemplo de modelización: Sistemas de calor/frío . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3. Ecuaciones lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4.
Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.4.1. El caso en el que no existen soluciones de equilibrio . . . . . . . . . .
23
1.4.2. El caso en el que existe una única solución de equilibrio . . . . . . . .
26
1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2. Modelización con EDO de Primer Orden
35
2.1. Problemas geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.2. Problemas de Mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.3. Desintegración radiactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.3.1. Datación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.3.2. Desintegración en cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.4. Reacciones Químicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3
4
ÍNDICE GENERAL
2.5. Caída de Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.6. Propagación de rumores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.6.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.7. Modelos de Poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.7.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3. Sistemas Lineales
55
3.1. Sistemas de calor/frío con varios compartimentos . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.2. Derivación e integración de funciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.3. Teoría general de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.4. La función de Green de un sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.5. Dependencia de los datos y Estabilidad
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.6. El Sistema Adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
3.6.1. El Teorema Fundamental de Curvas Planas
. . . . . . . . . . . . . .
78
3.6.2. El Teorema Fundamental de Curvas Espaciales . . . . . . . . . . . . .
80
3.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
4. Métodos de Solución de Sistemas Lineales
85
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.2. La exponencial de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.2.1. Las Fórmulas de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4.3. Cálculo de la exponencial de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4. Estabilidad de los sistemas de coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . 111
4.5. Sistemas de coeficientes variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.5.1. Aplicación al Teorema Fundamental de Curvas Planas
. . . . . . . . 117
4.5.2. Aplicación al Teorema Fundamental de Curvas Espaciales . . . . . . . 119
4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Índice general
5. Ecuaciones Lineales de Orden superior
5
133
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2. Teoría general para ecuaciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3. La función de Green de una ecuación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.5. Estabilidad de las ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.5.1. Estabilidad de las ecuaciones con coeficientes constantes . . . . . . . 154
5.6. Ecuaciones lineales no explícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.6.1. Ecuaciones lineales no explícitas con coeficientes constantes . . . . . . 160
5.7. Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
TEMA
1.1.
1
CONCEPTOS
BÁSICOS
Introducción
En esta sección desarrollaremos una aproximación a la teoría de ecuaciones diferenciales
ordinarias, partiendo de ejemplos simples que están encuadrados en el contexto del Cálculo
Infinitesimal o si se prefiere del Análisis Matemático de funciones de una variable.
En términos sencillos, una ecuación diferencial ordinaria, EDO en lo sucesivo, es una
identidad en la que aparecen involucradas una función de una sola variable, que es la incógnita
a determinar, y sus derivadas sucesivas. Por tanto, la carta de naturaleza de una ecuación
diferencial ordinaria está determinada por la presencia de la derivada o las derivadas de
una función de una variable. Así pues, la situación más sencilla será aquella en la que en la
ecuación sólo aparezca la derivada de la función incógnita, es decir una expresión del tipo
¡
¢
F t, x(t), x0 (t) = 0.
(1.1)
Como en esta expresión sólo aparece involucrada una derivada de la función incógnita
convendremos en denominar a (1.1) Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden. El que x
sea la incógnita de la ecuación anterior significa que el problema que planteamos consiste en
encontrar las funciones derivables que en su intervalo de definición satisfacen la identidad (1.1).
La cuestión fundamental que se plantea al estudiar la ecuación (1.1) no es otra que la de
establecer la existencia de soluciones así como discutir su posible unicidad.
A pesar de lo afirmado, la expresión anterior aún no es la más simple posible puesto que
si bien una ecuación diferencial requiere la presencia de la o las derivadas de la incógnita, no
precisa que también aparezca dicha función. Por tanto, la ecuación diferencial más sencilla
7
8
Ecuaciones diferenciales ordinarias. Conceptos básicos
que puede plantearse tendrá la expresión
F (t, x0 (t)) = 0.
(1.2)
Naturalmente, la ecuación (1.2) puede resultar aun muy complicada dependiendo de la
forma de la función ¡F , como
por ejemplo en el caso F (t, x) = t2 + sen x + ex , que da lugar a
¢
0
la ecuación t2 + sen x0 (t) + ex (t) = 0.
Una pequeña reflexión sobre la ecuación (1.2), lleva a la conclusión de que sin duda la
forma más sencilla de ecuación diferencial ordinaria está dada por la identidad
x0 (t) = f (t),
(1.3)
problema clásico en los cursos básicos de análisis matemático y que no es otro que el del
cálculo de primitivas. Así pues
el cálculo de primitivas es un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria
(1.4)
Precisamente utilizaremos este problema, que es objeto de un tratamiento extensivo en
los cursos básicos, para presentar de manera informal algunos de los aspectos relativos a
la teoría de EDO. En todos los casos, y en aras a realizar una presentación lo más simple
posible, supondremos que todas las funciones involucradas tienen a R como su dominio de
definición y son, al menos, continuas en él.
Cuando f es una función continua, las cuestiones esenciales planteadas en el problema
(1.3), es decir la existencia y/o unicidad de soluciones, quedan contestadas por dos de los
resultados fundamentales del Análisis Matemático de una variable:
Por una parte, el Teorema
Z
t
f (s)ds es una solución del
Fundamental del Cálculo establece que la función x(t) =
0
problema. Por otra parte, como dos funciones son primitivas de la misma función si y sólo si
la derivada de su diferencia es nula, el Teorema del Valor Medio determina que dos funciones
que sean solución del problema deben diferir en una constante. Así pues, la solución general
de (1.3) está dada por la identidad
Z
t
x(t) = c +
f (s)ds,
c ∈ R.
(1.5)
0
El anterior resultado es característico de las ecuaciones diferenciales. Los problemas
planteados tienen infinitas soluciones y en el caso de (1.3), que es una EDO es de primer orden, el conjunto de sus soluciones depende de un parámetro. Para determinar unívocamente
c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009
°
Introducción
9
una de tales soluciones hemos de fijar su valoren un punto concreto. Así, nos preguntamos si
fijados t0 , x0 ∈ R existirá alguna solución de (1.3) tal que x(t0 ) = x0 . Para responder a esta
pregunta basta imponer a la solución general (1.5) que satisfaga dicha condición. Como
Z
t0
x0 = x(t0 ) = c +
f (s)ds,
0
Z
t0
resulta que c = x0 −
f (s)ds y por tanto
0
Z
t
x(t) = x0 +
f (s)ds,
(1.6)
t0
es la única solución de (1.3) que verifica que x(t0 ) = x0 .
Podemos plantearnos ahora el problema
x00 (t) = f (t),
(1.7)
que convendremos en denominar ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y que sin lugar a dudas, representa el ejemplo más sencillo de ecuaciones de este tipo.
Es posible resolver la ecuación anterior empleando las técnicas relativas a las ecuaciones
de primer orden. Para ello, consideraremos la función y(t) = x0 (t). Entonces x es solución de
(1.7) si y sólo si y es solución Zde (1.3), es decir si y sólo si y 0 (t) = f (t), y por tanto,
Z teniendo
t
t
en cuenta (1.5), y(t) = c1 +
f (s)ds, c1 ∈ R. Si consideramos ahora F (t) =
f (s)ds,
0
0
entonces x es solución de (1.7) sii es solución de la ecuación de primer orden x0 (t) = c1 +F (t),
lo que aplicando nuevamente (1.5), implica que
Z
x(t) = c0 +
Z
t
t
[c1 + F (s)]ds = c0 + c1 t +
0
F (s)ds,
c0 , c1 ∈ R.
0
Por otra parte, si aplicamos la técnica de Integración por Partes y teniendo en cuenta
que F 0 = f resulta que
Z
t
0
Z t
Z t
Z t
¯t Z t
¯
sf (s)ds = tF (t) −
sf (s)ds = t
f (s)ds −
sf (s)ds
F (s)ds = sF (s)¯ −
0
0
0
0
0
°
10
y en definitiva que
Z
t
x(t) = c0 + c1 t +
(t − s)f (s)ds,
(1.8)
c0 , c1 ∈ R.
0
Como vemos la solución de una ecuación de segundo orden depende de dos parámetros
que se determinarán de forma unívoca Zsi fijamos el valor de x y de x0 en un punto concreto
t
t0 . Específicamente, como x0 (t) = c1 +
f (s)ds, resulta que
0
Z
Z
t0
x0 = x(t0 ) = c0 + c1 t0 +
(t0 − s)f (s)ds
t0
0
y
x1 = x (t0 ) = c1 +
f (s)ds
0
0
lo que implica que
Z
t0
c 1 = x1 −
f (s)ds,
0
Z
Z
t0
c0 = x0 − x1 t0 − t0
f (s)ds −
0
Z
t0
t0
(t0 − s)f (s)ds = x0 − x1 t0 +
0
sf (s)ds
0
y por tanto que
Z
Z
t0
x(t) = x0 − x1 t0 +
Z
t0
sf (s)ds + x1 t − t
t
f (s)ds +
0
0
(t − s)f (s)ds.
0
En definitiva, la única solución de (1.7) que verifica que x(t0 ) = x0 y x0 (t0 ) = x1 está
dada por la identidad
Z
t
x(t) = x0 + x1 (t − t0 ) +
(t − s)f (s)ds.
(1.9)
t0
1.2.
Un ejemplo de modelización: Sistemas de calor/frío
Si bien el sencillo ejemplo que hemos tratado en la introducción podría ser suficiente
para motivar el estudio de ecuaciones diferenciales más generales, no cabe duda de que el
°
Sistemas de calor/frío. El caso de un compartimento
11
tratamiento que se ha efectuado no requiere más técnicas que las conocidas en los cursos
básicos de cálculo. Es por ello que, previamente a la introducción más sistemática de los
conceptos y problemas fundamentales de la teoría, estimamos conveniente plantear un problema de la vida cotidiana cuya modelación matemática conduce a una ecuación diferencial
ordinaria que no puede ser resuelta sin la introducción de nuevas técnicas.
Desde el punto de vista físico, el fenómeno subyacente al problema que planteamos es
el de la difusión de calor, que está regido por una ley experimental denominada ley de
Newton. Además el modelo utilizado permitirá plantear problemas con una sola incógnita y
problemas con múltiples incógnitas, cuyos valores aparecen interrelacionados. Analizaremos
de momento el caso que conduce a plantear problemas con una sola incógnita, que físicamente
corresponde a un único compartimento.
Consideremos un edificio con un solo compartimento, por ejemplo una nave industrial,
y sean respectivamente x(t) y T (t) las temperaturas interior y exterior del edificio en el
instante t. La Ley de Newton del Enfriamiento establece que la variación de la temperatura
interior debida a la temperatura exterior es proporcional a la diferencia entre ambas, con una
constante de proporcionalidad que depende sólo de las características físicas del edificio tales
como su aislamiento, el número de ventanas, etc. Además, es un hecho experimental que el
calor fluye de las zonas calientes a las frías, de forma que si la temperatura exterior es inferior
a la interior entonces ésta debe disminuir mientras que si ocurre lo contrario, la temperatura
interior debería incrementarse. En términos matemáticos, esta propiedad determina que si
T (t) ≥ x(t), entonces x0 (t) ≥ 0, mientras que si T (t) ≤ x(t), entonces x0 (t) ≤ 0. Por tanto,
la Ley de Newton debe expresarse como
¡
¢
x0 (t) = k T (t) − x(t) ,
k ≥ 0.
(1.10)
Naturalmente, el valor k = 0 hace referencia a que el interior del edificio está completamente aislado del exterior, de forma que la variación de temperatura es nula. En este caso,
es claro que la temperatura interior debe ser constante, lo que físicamente corresponde a un
estado de equilibrio.
Si cuando k > 0 nos planteamos la posibilidad de que existan temperaturas de equilibrio,
es decir temperaturas que permanezcan constantes en el tiempo, observamos que para que
esto ocurra debe satisfacerse que si x̂ es tal valor de la temperatura, necesariamente
¡
¢
0 = k T (t) − x̂ ,
para cada t ∈ R,
y como k > 0, necesariamente T (t) = x̂ para cada t ∈ R. Así pues, tenemos que sólo existen
temperaturas de equilibrio si la temperatura exterior es constante, y en este caso el valor de la
temperatura exterior es precisamente el de la temperatura de equilibrio, resultado por otra parte
intuitivo desde la interpretación física del problema.
°
12
En cada instante t, la variación de temperatura interior también está afectada por otros
factores como el calor producido por las máquinas que están funcionando en ese momento,
las personas presentes en el edificio en ese instante, etc, incremento que será denotado por
H(t). Por último, la variación de temperatura interior también se verá afectada por el calor o
frío que proporciona un sistema de aire acondicionado (caliente/frío) instalado en el edificio.
Este sistema puede estar activado por un termostato que haga funcionar la calefacción o la
refrigeración dependiendo de que la temperatura interior sea inferior o superior a una temperatura deseada x∗ . En este caso, la variación de temperatura interior estará determinada
por U (t, x(t)), donde U : R × R −→ R debe verificar que para cada t, U (t, x) > 0 si x < x∗ ,
U (t, x∗ ) = 0 y U (t, x) < 0 cuando x > x∗ . El sistema de aire acondicionado se denomina
lineal si U (t, x) = α(t)(x∗ − x) donde α es una función continua y α(t) > 0.
En definitiva, la ecuación diferencial que determina la variación de temperatura interior
con la presencia de un sistema lineal de aire acondicionado está dada por la igualdad
¡
¢
¡
¢
x0 (t) = k T (t) − x(t) + α(t) x∗ − x(t) + H(t), k ≥ 0, α(t) > 0, para cada t.
(1.11)
Observar que si no tenemos en cuenta la influencia de máquinas, personas, etc, es decir si
H = 0, y el edificio está aislado del exterior, es decir k = 0, entonces x∗ es precisamente una
temperatura de equilibrio, lo que de nuevo resulta intuitivo desde la interpretación física.
Tanto la identidad (1.10) como su generalización (1.11) son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que, a diferencia del problema del cálculo de primitivas, involucra
tanto a derivada de la función incógnita como a la propia función.
Por otra parte, la experiencia del ejemplo del cálculo de primitivas sugiere que nuevamente la solución del problema debe depender de una constante, que podrá determinarse
unívocamente si en un instante dado es conocida la temperatura del edificio. Así pues, el
problema que plantearemos es el de si el conocimiento de la temperatura en un instante
concreto, digamos que t0 , es suficiente para determinar la evolución de la temperatura a lo
largo del tiempo. En términos matemáticos, si el valor de la temperatura en t0 se sabe igual
a x0 grados, la cuestión que planteamos es si el problema
¡
¢
¡
¢
x0 (t) = k T (t) − x(t) + α(t) x∗ − x(t) + H(t),
x(t0 ) = x0
(1.12)
tiene una única solución.
1.3.
Ecuaciones lineales de primer orden
Los problemas que estudiaremos en este apartado presentan la particularidad de que
su propia estructura permite concluir que cada problema de valores iniciales tiene solución
°
13
global única, con lo que queda así completamente contestado el problema fundamental. Otra
ventaja adicional es que las propiedades cualitativas y cuantitativas de las ecuaciones y de
los sistemas lineales generales ya están presentes en este caso, que por supuesto es el más
sencillo que podemos plantear.
En lo sucesivo, con la expresión intervalo no trivial designaremos a un intervalo de R que
ni es vacío ni se reduce a un punto y que por tanto es o bien un subconjunto de la forma
(a, b), (a, b], [a, b), [a, b] donde a, b ∈ R con a < b, o bien de la forma (−∞, a), (−∞, a],
(a, +∞), [a, +∞) con a ∈ R o bien de la forma (−∞, +∞) = R.
Datos para una EDO lineal
• Intervalo no trivial: I ⊂ R.
• Término Fuerza: f : I −→ R continua.
• Coeficiente: a : I −→ R continua.
Fijados estos datos, una EDO lineal de primer orden consiste en encontrar todas funciones
x ∈ C 1 (I), es decir todas las funciones x : I −→ R derivables y con derivada continua que
para cada t ∈ I satisfacen la identidad:
x0 (t) = a(t)x(t) + f (t).
(1.13)
Cada función x ∈ C 1 (I) que satisfaga la anterior identidad se denomina solución de la EDO.
Observar que cuando la función coeficiente a es nula, el problema planteado coincide con
el del cálculo de las primitivas del término fuerza f . Por otra parte, la elección a(t) = k
y f (t) = kT (t) corresponde a la EDO (1.10) que describe variación de temperatura en un
edificio, mientras que la elección a(t) = k + α(t) y f (t) = kT (t) + H(t) + α(t)x∗ , corresponde
a la EDO (1.11) donde se tienen en cuenta la presencia de máquinas, personas y la actuación
de un aire acondicioneado lineal de característica α y programado a temparatura x∗ .
Supongamos ahora que x e y son dos soluciones de la EDO (1.13) y consideremos la
función z : I −→ R definida como z(t) = x(t) − y(t) para cada t ∈ I. Entonces, para cada
t ∈ I se tiene que
¡
¢
z 0 (t) = x0 (t) − y 0 (t) = a(t)x(t) + f (t) − a(t)y(t) − f (t) = a(t) x(t) − y(t) = a(t)z(t),
de manera que z es solución de la EDO lineal de primer orden
x0 (t) = a(t)x(t),
(1.14)
°
14
que en atención a que su término fuerza es nulo, se denomina homogénea. Recíprocamente,
es sencillo comprobar que si y, z : I −→ R son respectivamente soluciones de las EDO (1.13)
y (1.14), entonces la función x : I −→ R definida como x(t) = y(t) + z(t) para cada t ∈ I, es
nuevamente solución de la EDO (1.13). En definitiva,
si y es una solución concreta de la EDO lineal x0 (t) = a(t)x(t) + f (t), entonces
cualquier otra solución se expresa como x = z + y donde z es una solución de la
EDO homogénea z 0 (t) = a(t)z(t).
(1.15)
Este resultado es compatible
con la fórmula (1.5) que determina la expresión de las
Z t
primitivas de f : x(t) =
f (s) ds con t0 ∈ I es una solución concreta de la EDO, mientras
t0
que z es una solución de la EDO homogénea z 0 (t) = 0 sii z(t) = c, c ∈ R.
En el caso de la EDO homogénea z 0 (t) = a(t)z(t) es posible describir todas sus soluciones
empleando recursos básicos de cálculo diferencial e integral de una variable. Comenzaremos
observando que
Z si α : I −→ R es una primitiva de a en el intervalo I, por ejemplo podríamos
t
tomar α(t) =
a(s) ds para t0 ∈ I, entonces la EDO homogénea puede expresarse como
t0
z 0 (t) − α0 (t)z(t) = 0,
de manera que, multiplicando ambos términos de la anterior identidad por la función e−α(t) ,
resulta que
¡
¢0
e−α(t) z 0 (t) − α0 (t)e−α(t) z(t) = 0 =⇒ e−α(t) z(t) = 0 =⇒ e−α(t) z(t) = c,
c ∈ R.
En definitiva, las soluciones de (1.14) pueden caracterizarse de la manera siguiente:
Si α es una primitiva de la función coeficiente a, el conjunto de las soluciones de
la EDO homogénea z 0 (t) = a(t)z(t) se expresa mediante la igualdad
z(t) = c eα(t) ,
(1.16)
c ∈ R.
La búsqueda de una solución concreta de la EDO x0 (t) = a(t)x(t) + f (t), con la que
según (1.15) completaríamos de describir el conjunto de soluciones de la EDO en cuestión,
puede obtenerse a partir de una sencilla, aunque quizá artificiosa y poco intuitiva, técnica denominada método de variación de las constantes o método de Lagrange y que consiste en
buscar una función c ∈ C 1 (I) de manera que y(t) = c(t) eα(t) sea solución de (1.13). Para que
esto ocurra debe satisfacerse que
°
15
a(t) y(t) + f (t) = y 0 (t) = a(t) c(t) eα(t) +c0 (t) eα(t) =⇒ c0 (t) = e−α(t) f (t),
| {z }
y(t)
de manera que c : I −→ R debe ser una primitiva de la función e−α(t) f (t). Así pues, teniendo
en cuenta (1.15), las soluciones de (1.13) pueden caracterizarse de la manera siguiente:
Si α es una primitiva de la función coeficiente a, y c es una primitiva de la función
e−α(t) f (t), el conjunto de las soluciones de la EDO lineal x0 (t) = a(t)x(t) + f (t)
se expresa mediante la igualdad
£
¤
x(t) = eα(t) c + c(t) , c ∈ R.
(1.17)
Como vemos la solución general (1.17) de la EDO (1.13) posee un grado de libertad,
la aconstante c, que intentaremos quede unívocamente determinado fijando el valor de la
solución en un punto concreto. En otros términos lo que nos planteamos ahora es el análisis
de los denominados Problemas de Valor Inicial
x0 (t) = a(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 , donde t0 ∈ I y x0 ∈ R.
(1.18)
Como la valoración en t0 de la solución general de (1.13) determina que
£
¤
x0 = x(t0 ) = eα(t0 ) c + c(t0 ) =⇒ c = x0 e−α(t0 ) − c(t0 )
resulta que el valor de c queda unívocamente determinado por la condición inicial y además
£
¤
£
¤
x(t) = eα(t) x0 e−α(t0 ) + c(t) − c(t0 ) = x0 eα(t)−α(t0 ) + eα(t) c(t) − c(t0 ) .
(1.19)
Observar que la expresión anterior determina que cada problema de valores iniciales planteado para la EDO lineal (1.13) tiene solución única. Más aún, un análisis un poco más detallado de la fórmula (1.19) que determina tal solución, permite representarla explícitamente
en términos de los datos del problema, es decir los iniciales t0 y x0 y también la función
coeficiente, del término fuerza. Para ello no hemos más que observar que aunque α es una
primitiva cualquiera de a, α(t) − α(t0 ) representa la única primitiva de a que se anula en t0
y análogamente c(t) − c(t0 ) representa la única primitiva de e−α(t) f (t) que se anula en t0 y
por tanto,
Z t
Z t R
− s a(u) du
α(t) − α(t0 ) =
a(s) ds y c(t) − c(t0 ) =
e t0
f (s) ds.
(1.20)
t0
t0
En definitiva, tenemos el siguiente resultado:
°
16
Fórmula de Lagrange
Fijados I ⊂ R un intervalo no trivial y el coeficiente a ∈ C(I), entonces para cada
t0 ∈ I, cada x0 ∈ R y cada f ∈ C(I), el problema de valores iniciales
x0 (t) = a(t)x(t) + f (t),
x(t0 ) = x0 ,
tiene solución única que además está dada por la identidad
Z t
Z s


Z
a(u) du
a(u) du
t −


x(t) = e t0
e t0
f (s) ds .
 x0 +
t0
La Fórmula de Lagrange puede expresarse también como
Z
t
Z
a(u) du
x(t) = x0 e
Z
+
t0
t
a(u) du
t
e
s
(1.21)
f (s) ds,
t0
de manera que x(t) = z(t) + xp (t) donde
Z
t
Z
a(u) du
z(t) = x0 e
y
t0
Z
t
a(u) du
t
xp (t) =
e
s
f (s) ds.
t0
Es fácil comprobar que z es la única solución del problema de valor inicial z 0 (t) = a(t)z(t),
z(t0 ) = x0 , mientras que a su vez el segundo es la única solución del problema de valor inicial
u0 (t) = a(t)u(t) + f (t), u(t0 ) = 0. Esta descomposición de la única solución del problema de
valor inicial x0 (t) = a(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 como superposición (suma) de dos funciones
y la peculir expresión del segundo sumando, motiva la siguiente definición:
Función de Green
Si I ⊂ R es un intervalo no trivial y a ∈ C(I) denominaremos
Función de Green de la EDO x0 (t) = a(t)x(t) a
g : I × I −→ R
Z
(t, s)
−→ e
t
a(u) du
s
°
17
Observar que la función de Green de la EDO x0 (t) = a(t)x(t) depende únicamente del
coeficiente a y además
Z
t
g(t, s) f (s) ds, es la
para cada t0 ∈ I y cada f ∈ C(I), la función xp (t) =
0
t0
(1.22)
única solución del problema de valor inicial x (t) = a(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 ,
es decir, la Fórmula de Lagrange tiene la siguiente manera alternativa de expresarse:
Para cada t0 ∈ I, x0 ∈ R y cada f ∈ C(I), la única solución del problema de valor
inicial x0 (t) = a(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 está determinada por la identidad
Z t
x(t) = g(t, t0 ) x0 +
g(t, s) f (s) ds,
t0
Z
donde g(t, s) = e
(1.23)
t
a(u) du
s
es la Función de Green de la EDO homogénea.
Si definimos K : I ×µI −→
f (t) resulta
µ s) =
¶ R como K(t,
¶ g(t, s) f (s), entonces K(t, t)Z =
t
∂g
∂K
a(u) du. Por
que a(t)g(t, s) f (s) =
f (s) =
, puesto que g(t, s) =
∂t (t,s)
∂t (t,s)
s
tanto,
Z
x0p (t)
Z tµ
t
= a(t)xp (t) + f (t) = a(t)
g(t, s) f (s) ds + f (t) =
t0
t0
∂K
∂t
¶
ds + K(t, t).
(t,s)
Aunque en este caso el valor x0p ha sido hallado directamente por ser g conocida, en el
resto del curso será útil el siguiente resultado que generaliza la situación anterior.
Regla de Leibnitz de derivación bajo el signo
∂K
: I × I −→ R, entonces
∂t
Z ψ(t)
1
para cada φ, ψ ∈ C (I) la función x : I −→ R definida como x(t) =
K(t, s) ds
Si K : I × I −→ R es continua y existe y es continua
φ(t)
es de clase C 1 (I) y además
Z
0
ψ(t)
x (t) =
φ(t)
µ
∂K
∂t
¶
¡
¢
¡
¢
ds + K t, ψ(t) ψ 0 (t) − K t, φ(t) φ0 (t).
(t,s)
°
18
Para la demostración de la Regla de Leibnitz, puede consultarse, por ejemplo el Teorema
12.8 del texto Apostol, T., Análisis Matemático, Ed. Reverté.
Cuando el coeficiente de la EDO (1.13) es constante, es decir a(t) = a para cada t ∈ R,
entonces
Fórmula de Lagrange con coeficiente constante
g(t, s) = ea(t−s) es la Función de Green de la EDO x0 (t) = ax(t) y dados t0 ∈ I,
x0 ∈ R y f ∈ C(I), el problema de valores iniciales
x0 (t) = a x(t) + f (t),
x(t0 ) = x0 ,
tiene como única solución a la función
Z
x(t) = x0 e
a(t−t0 )
t
+
ea(t−s) f (s) ds.
t0
1.4.
Ecuaciones de variables separables
Las ecuaciones lineales de primer orden abordadas en la sección anterior proporcionan
un marco teórico suficientemente rico como para describir explícitamente la solución de
numerosos procesos físicos, cuyas propiedades pueden por tanto determinarse a partir de
las dichas soluciones. No obstante, en muchas ocasiones tales sistemas físicos muestran un
comportamiento no lineal, es decir no se satisface el principio de superposición, de manera que
las ecuaciones lineales no representan más que aproximaciones de las ecuaciones diferenciales
que determinan el estado del sistema.
El objetivo de esta sección es describir un método elemental de resolución de algunas EDO
de primer orden, concretamente las que denominaremos de variables separables, para poder
disponer así de más ejemplos concretos de EDO cuyas soluciones pueden ser obtenidas explícitamente. Como veremos, las EDO de variables separables representan una generalización
al caso no lineal de las EDO lineales homogéneas y su técnica de resolución se reduce en
esencia al cálculo de primitivas, si bien con un proceso algo más elaborado que el desarrollado
en la Introducción y que ya quedó esbozado en la resolución de las EDO lineales homogéneas.
La diversidad de situaciones que pueden presentarse en las EDO de variables separables,
configuran un panorama lo suficientemente rico como para poder mostrar la profundidad de
las cuestiones planteadas en el marco de lo que hemos denominado problema fundamental, sin
que por ello se necesiten para su análisis más que recursos básicos del Cálculo Infinitesimal.
Nos preocuparemos de determinar bajo qué condiciones los problemas de valor inicial tienen
°
19
solución única . Como veremos, para esta cuestión será decisiva la presencia o no de soluciones
de equilibrio y el comportamiento de la función que define la EDO en torno a dichos puntos.
Aunque el concepto de EDO en variables separables puede definirse en un contexto ligeramente más general, ver por ejemplo [?], el problema que analizaremos en esta sección es
el que corresponde a tomar los datos siguientes:
Datos para EDO de variables separables
• Los intervalos no triviales I, J ⊂ R.
• Las funciones continuas y no nulas g : I −→ R y f : J −→ R.
Fijados estos datos, una EDO de primer orden de variables separables consiste en encontrar
ˆ donde Iˆ ⊂ I es un subintervalo no trivial, que para cada t ∈ Iˆ
todas funciones x ∈ C 1 (I),
satisfacen la identidad:
¡
¢
x0 (t) = g(t) f x(t) .
(1.24)
ˆ Iˆ ⊂ I, que satisfaga la anterior identidad se deNuevamente, cada función x ∈ C 1 (I),
nomina solución de la EDO.
Observar que cuando f (x) = k para cada x ∈ R, k ∈ R, es decir si f es una función
constante, (1.24) no es más que el problema de cálculo de primitivas de la función k g(t),
mientras que si f (x) = x para cada x ∈ R, es decir si f es la función identidad, entonces
(1.24) no es más que la EDO lineal homogénea de primer orden con coeficiente g(t). En estos
casos sabemos que todas las soluciones de la EDO están definidas en el intervalo I, pero
esta propiedad no tiene porqué ser cierta en otras situaciones, lo que justifica la definición
de solución que hemos introducido. Ilustraremos esta particularidad con algunos ejemplos
en los cuales siempre tenemos I = J = R
Ejemplo 1: La ecuación x0 (t) = −x2 (t), donde g(t) = 1 y f (x) = −x2 , tiene como soluciones
x(t) = 0
y las funciones de la forma
xc (t) =
1
,
t−c
c ∈ R.
(1.25)
Es claro que el intervalo de definición de x es R. Respecto del resto de soluciones, hay
que señalar que si bien para cada c ∈ R la función xc está definida en el conjunto H =
R \ {−c} y satisface que x0 (t) = −x2 (t) para cada t ∈ H, no es solución de la EDO en H. El
motivo es que cada solución de una EDO debe tener como dominio de definición un intervalo y
°
20
obviamente H no lo es. De hecho, las funciones
x−
c :
x+
c :
(−∞, c) −→
t
R,
1
−→
t−c
(c, +∞) −→
t
R
1
−→
t−c
(1.26)
son soluciones de la EDO. En la Figura 1.1 se representan las soluciones de la EDO correspondientes a distintos valores de la constante c. En el semiplano superior aparecen las de la
−
forma x+
c , mientras que en el semiplano inferior se representan las de la forma xc .
c=-4
c=-3
c=-2
c=-1
x c=0
x(t)=0
c=-4
c=1
c=2
c=3
c=4
0
c=-3
c=-2
c=-1
c=0
t
c=1
c=2
c=3
c=4
Figura 1.1: Soluciones de la EDO x0 (t) = −x2 (t).
Con este ejemplo hemos comprobado que es preciso determinar el dominio de definición de
las funciones para que éstas sean consideradas como soluciones y que una ley de asignación
no tiene porqué describir una solución sino que, como ha ocurrido aquí, varias soluciones
pueden estar definidas por la misma ley.
Por otra parte, hemos comprobado también que dos soluciones diferentes tienen intervalos
de definición distintos.
Ejemplo 2: La ecuación x0 (t) = 2tx2 (t), donde g(t) = 2t y f (x) = x2 , tiene como soluciones
1
x(t) = 0 y las funciones de la forma xc (t) =
, c ∈ R.
(1.27)
c − t2
°
21
Es claro que el intervalo de definición de x es R y si c < 0, xc está asimismo definida en R.
1
−
+
Si c = 0, las funciones x−
0 : (−∞, 0) −→ R dada por x0 (t) = − 2 y x0 : (0, +∞) −→ R
t
1
dada por x+
0 (t) = − 2 son también soluciones de la EDO.
t
√
1
−
Finalmente, si c > 0, las funciones x−
,
c : (−∞, − c) −→ R dada por xc (t) =
c − t2
√ √
√
1
x0c : (− c, c) −→ R determinada por x0c (t) =
y x+
k : ( c, +∞) −→ R definida
2
c−t
1
como x+
son soluciones de la EDO. Obsérvese que en este caso, la misma ley
c (t) =
c − t2
determina tres soluciones diferentes. En la Figura 1.2 se representan las soluciones de la EDO
correspondientes a distintos valores de la constante c: En el semiplano superior aparecen las
−
de la forma x+
c , mientras que en el semiplano inferior se representan las de la forma xc .
x c=1 c=4 c=9 c=16
x(t)=0
t
0 c=-4
c=-1
c=16 c=9 c=4 c=1
c=0 c=1 c=4 c=9 c=16
Figura 1.2: Soluciones de la EDO x0 (t) = 2tx2 (t).
Ejemplo 3: La ecuación x0 (t) = 1 + x2 (t), donde F (t, x) = 1 + x2 , tiene como soluciones
xc (t) = tg (t − c),
c ∈ R.
(1.28)
¡
¢
Para cada c ∈ R, la función xc : c − π2 , c + π2 −→ R definida como xc (t) = tg (t − c) es
solución de la EDO. En la Figura 1.3 se representan las soluciones de la EDO correspondientes
a distintos valores de la constante c.
°
22
c=-4
c=-3
c=-2 x c=-1
c=0
c=1
c=2
0
c=3
c=4
t
Figura 1.3: Soluciones de la EDO x0 (t) = 1 + x2 (t).
A diferencia de los anteriores, este ejemplo muestra que una misma ley puede definir
infinitas soluciones.
Hemos comprobado mediante los ejemplos anteriores que, aunque el dominio de definición
de la función que determina una EDO tenga establecido un intervalo de referencia, el que
describe la banda, no podemos aspirar en general a que las soluciones estén definidas en tal
intervalo, puesto que el concepto de solución es intrínsecamente local. No obstante en muchos
casos, pensemos en aquéllos en los que como el analizado en la Sección ??, la EDO describe
el comportamiento de un determinado sistema, físico, químico, biológico, etc., es importante
poder comparar entre sí los valores de diferentes soluciones, para lo que debe asegurarse que
tales funciones comparten el mismo intervalo de definición. En otras ocasiones es importante
describir el comportamiento a largo plazo de los sistemas, es decir de las soluciones de las
EDO, para lo que es preciso que las soluciones están definidas en un intervalo de la forma
(a, +∞), lo que hemos comprobado no está asegurado por el mero hecho de que el intervalo
que determina la EDO sea de esa forma.
La estructura de las EDO de variables separables permite caracterizar fácilmente sus
soluciones de equilibrio, es decir sus soluciones constantes, caso de que existan:
¡
¢
x0 es una solución de equilibrio de la EDO x0 (t) = g(t) f x(t) si y sólo si f (x0 ) = 0.
(1.29)
En los ejemplos 1 y 2 anteriores x0 = 0 es el único equilibrio de la EDO, mientras que
en el ejemplo 3 no existen soluciones de equilibrio. Nuestro estudio de la EDO de variables
°
23
separables (1.24) se basará en la existencia o no de soluciones de equilibrio. En aras de la
simplicidad nos limitaremos exclusivamente a analizar el caso en el que la EDO o bien no
tiene soluciones de equilibrio o bien tiene una única solución de equilibrio. Los razonamientos
efectuados en esta última situación pueden extenderse sin demasiadas dificultades al caso en
el que la EDO tiene una cantidad finita de equilibrios, o incluso a cuando existe una cantidad
infinita numerable de equilibrios aislados.
1.4.1.
El caso en el que no existen soluciones de equilibrio
Tal y como hemos mostrado en (1.29) la EDO no presenta soluciones de equilibrio sii la
función f no se anula en J. Como f es una función continua, el Teorema de Bolzano implica
que f tiene signo constante y no existe pérdida de generalidad si se supone
que
¡
¢ f (x) > 0 para
0
cada x ∈ J pues en otro caso cambiaríamos en la EDO x (t) = g(t) f x(t) la función f por
−f y la función g por −g para dar lugar a la misma EDO con la hipótesis de positividad
para el segundo dato. Por tanto, a lo largo de este apartado
¡
¢ supondremos que f (x) > 0 para
0
cada x ∈ R. Con esta hipótesis, la EDO x (t) = g(t) f x(t) es equivalente a la identidad
x0 (t)
¡
¢ = g(t),
f x(t)
t ∈ I,
(1.30)
lo que como veremos a continuación reduce su resolución al cálculo de primitivas. Concreta1
mente, si consideremos G : I −→ R una primitiva de g y H : J −→ R una primitiva de ,
f
entonces la identidad (1.30) es equivalente a la igualdad
¡
¢
H 0 x(t) = G0 (t),
t ∈ I,
(1.31)
de manera que las soluciones de la EDO (1.24) quedan determinadas implícitamente por la
fórmula
¡
¢
H x(t) = G(t) + c, para todo t ∈ I, donde c ∈ R.
(1.32)
Nuestro próximo objetivo es despejar x(t) en la anterior identidad para así obtener una
expresión explícita de las soluciones de la EDO y más concretamente de cada problema de
valores iniciales
¡
¢
x0 (t) = g(t) f x(t) ,
x(t0 ) = x0 ,
t0 ∈ I, x0 ∈ J.
(1.33)
°
24
Como fijados t0 ∈ I y x0 ∈ J, si x es solución del problema de valores iniciales (1.33),
necesariamente debe verificar (1.32), obtenemos que c = H(x0 ) − g(t0 ), de forma que la
expresión implícita de la o las soluciones de (1.33) está dada por
¡
¢
H x(t) − H(x0 ) = g(t) − g(t0 ).
Teniendo en cuenta que Gt0 (t) = g(t) − g(t0 ) es la única primitiva de g que se anula en
1
t0 y que Hx0 (x) = H(x) − H(x0 ) es asimismo la única primitiva de
que se anula en x0 ,
f
Z t
Z x
dz
resulta que Gt0 (t) =
, para cada x ∈ J y por
g(s) ds, para cada t ∈ I, Hx0 (x) =
t0
x0 f (z)
tanto, la o las soluciones de (1.33) están determinadas implícitamente por la igualdad
Z
x(t)
x0
dz
=
f (z)
Z
t
(1.34)
g(s) ds.
t0
Consideremos ahora a = ı́nf{J} y b = sup{J}, de manera que o bien J = (a, b), o bien
J = (a, b], o bien J = [a, b) o bien J = [a, b] y no se excluye que a = −∞ o b = +∞. Como
1
Hx0 0 (z) =
> 0, tenemos que Hx0 es estrictamente creciente, lo que implica que tienen
f (z)
sentido los valores
Z
αx0 = −
x0
a
dz
= lı́m
f (z) x→a+
Z
x
x0
dz
f (z)
Z
y
βx0 =
b
x0
dz
= lı́m
f (z) x→b−
Z
x
x0
dz
f (z)
y que además se satisface
que ¢−∞ ≤ αx0 < 0 < βx0 ≤ +∞, Hx0 : (a, b) −→ (αx0 , βx0 ) es
¡
1
biyectiva y Hx−1
∈
C
(α
,
x0 βx0 ) .
0
Por otra parte, como Gt0 es continua y satisface que Gt0 (t0 ) = 0 ∈ (αx0 , βx0 ), existe un
ˆ Si It0 x0 ⊂ I es el
intervalo Iˆ ⊂ I tal que t0 ∈ Iˆ y además Gt0 (t) ∈ (αx0 , βx0 ) para cada t ∈ I.
mayor intervalo, en el sentido de la inclusión, con la propiedad anterior, entonces la función
definida como
µZ t
¶
−1
(1.35)
x(t) = Hx0
g(s) ds , t ∈ It0 x0
t0
es la única solución del problema de valores iniciales (1.33).
En general, It0 x0 , el intervalo de definición de la solución del problema anterior, no tiene
porqué coincidir con I. Por ejemplo, de manera que las soluciones maximales serán soluciones
locales. Esto es lo que ocurre en el Ejemplo 3 anterior: En este caso, I = R, g(t) = 1 y
°
25
f (x) = 1 + x2 , lo que implica que Gt0 (t) = t − t0 y Hx0 (x) = arctg(x) − arctg(x0 ), donde
¡ π π´
arctg(x) es la rama principal de esta función es decir, la definida en el intervalo − 2 , 2 .
Por tanto tenemos que
αx0 = −
π
− arctg(x0 ),
2
β x0 =
π
− arctg(x0 )
2
¡
¢
Hx−1
(x) = tg x + arctg(x0 ) .
0
y
¡
¢
¡
¢
Entonces, t−t0 ∈ − π2 −arctg(x0 ), π2 −arctg(x0 ) sii t ∈ t0 +arctg(x0 )− π2 , t0 +arctg(x0 )+ π2 ,
lo que implica que
¡
¢
¡
¢
x : t0 + arctg(x0 ) − π2 , t0 + arctg(x0 ) + π2 −→ R dada por x(t) = tg t − t0 + arctg(x0 )
es la única solución del problema de valores iniciales x0 (t) = 1 + x2 (t), x(t0 ) = x0 .
Por tanto, para poder garantizar que It0 x0 = I, debemos imponer condiciones adicionales
sobre las funciones g y f y más concretamente sobre sus primitivas Gt0 y Hx0 , respectivamente. Así, si se verifica que αx0 < ı́nf Gt0 (t) ≤ sup Gt0 (t) < βx0 , entonces Gt0 (t) ∈ (αx0 , βx0 )
t∈I
t∈I
para cada t ∈ I y por tanto Jt0 x0 = I. En particular, las anteriores desigualdades están garanZ b
Z c
dz
dz
=
= +∞, donce
tizadas para cada t0 ∈ I y cada x0 ∈ J si se satisface que
c f (z)
a f (z)
c ∈ J. En resumen, tenemos el siguiente resultado que describe la solución del problema de
valor inicial (1.33):
Si f (x) > 0 para cada x ∈ R, entonces
¡
¢para cada t0 ∈ I y cada x0 ∈ J el problema
de valores iniciales x0 (t) = g(t) f x(t) , x(t0 ) = x0 tiene una única solución que
Z x(t)
Z t
dz
está determinada implícitamente por la identidad
=
g(s) ds. La
f (z)
x0
t0
solución está definida en I si además se satisface que
Z t
Z b
Z x0
Z t
dz
dz
g(s) ds ≤
≤ ı́nf
g(s) ds ≤ sup
.
−
f (z) t∈I t0
t∈I t0
x0 f (z)
a
Z
c
En particular, esto ocurre si fijado c ∈ J,
a
Z
t
dz
=
f (z)
Z
b
c
(1.36)
dz
= +∞.
f (z)
Z
t
Observar que en el Ejemplo 3, ı́nf
g(s) ds = −∞ y sup
g(s) ds = +∞, mientras
t∈I t
t∈I t0
0
Z 0
Z +∞
π
dz
π
dz
= lı́m arc tg x = y
= − lı́m arc tg x = − , lo que hace que
que
x→+∞
x→+∞
f (z)
2
2
−∞ f (z)
0
no se satisfaga la hipótesis que asegura que las soluciones están definidas en I = R, que en
ese caso es el intervalo de referencia.
°
26
1.4.2.
El caso en el que existe una única solución de equilibrio
En este apartado abordaremos el¡ estudio
¢ de los problemas de valor inicial para la EDO
en variables separables x0 (t) = g(t) f x(t) con la hipótesis adicional de que existe una única
solución de equilibrio, o después de la caracterización de tales soluciones (1.29), bajo la
hipótesis de que la función f tiene un único cero en J que denotaremos como x∗ . Observar
que ésta es la situación de las EDO lineales y homogéneas de primer orden y también de
los dos primeros ejemplos anteriores en los que además x∗ = 0. Por tanto, en este apartado
supondremos que f (x∗ ) = 0 y que f (x) 6= 0 para cada x ∈ R con x 6= x∗ .
A diferencia del estudio efectuado en la sección precedente, en lugar de describir primero
todas las soluciones de la EDO y posteriormente la de cada problema de valor inicial, en este
caso describiremos directamente la o las soluciones de cada problema de valores iniciales.
Consideremos pues fijados t0 ∈ I, x0 ∈ R y el problema de valores iniciales
¡
¢
x0 (t) = g(t) f x(t) ,
Z
Consideremos también Gt0 (t) =
x(t0 ) = x0 .
(1.37)
t
g(s) ds, la única primitiva de g en el intervalo I que
Z x
dz
está definida en R \ {x∗ } y
se anula en t0 . Además, si x0 6= x∗ la función Hx0 (x) =
x0 f (z)
1
si x0 < x∗ su restricción a (−∞, x∗ ) es la única primitiva de en (−∞, x∗ ) que se anula en
f
1
x0 , mientras que si x0 > x∗ su restricción a (x∗ , +∞) es la única primitiva de en (x∗ , +∞)
f
que se anula en x0 . Siguiendo los razonamientos efectuados en el apartado anterior, resulta
que si x0 6= x∗ , la expresión
Z
t0
x(t)
x0
dz
=
f (z)
Z
t
g(s) ds
(1.38)
t0
define implícitamente una solución del problema de valores iniciales planteado y tal que
si Iˆ ⊂ I es su intervalo de definición, entonces x : Iˆ −→ (−∞, x∗ ) si x0 < x∗ mientras que
x : Iˆ −→ (x∗ , +∞) si x0 > x∗ . Al igual que en el caso en el que no existen equilibrios podemos
tomar It0 x0 ⊂ I el mayor intervalo, en el sentido de la inclusión tal que x(t) ∈ (−∞, x∗ )
cuando x0 < x∗ o tal que x(t) ∈ (x∗ , +∞) cuando x0 > x∗ .
Analizaremos la situación solamente cuando x0 < x∗ , pues un estudio análogo puede
hacerse para describir el comportamiento de la o las soluciones cuando x0 > x∗ y nuevamente
consideraremos los valores a = ı́nf{J} y b = sup{J}.
Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que f (z) > 0 para cada z ∈ (a, x∗ ) lo
que implica que Hx0 es estrictamente creciente en dicho intervalo, que existen los valores
°
Z
x0
Z
x∗
dz
y que además −∞ ≤ αx0 < 0 < βx0 ≤ +∞. Como
a
x0 f (z)
µZ t
¶
−1
Hx0 : (−∞, x∗ ) −→ (αx0 , βx0 ) es biyectiva, la función x(t) = Hx0
g(s) ds , t ∈ It0 x0 es
αx0 = −
dz
, βx0 =
f (z)
27
t0
solución del problema de valores iniciales (1.37). Tenemos ahora los siguientes resultados:
Z t
• Si para cada t ∈ I se satisface que
g(s) ds < βx0 , entonces la función x(t) definida
t0
anteriormente es la única solución de (1.37). En particular esto ocurre si βx0 = +∞.
Z t
• Si βx0 ∈ R y existe t ∈ I tal que
g(s) ds = βx0 , podemos tomar
t0
½
Z
t1 = ı́nf t ∈ I :
t0
Z
¾
t
g(s) ds = βx0 .
t1
Entonces t1 ∈ I y satisface que t0 < t1 e
g(s) ds = βx0 , es decir es el menor valor
µZ t
¶
−1
de I tal que tiene esta propiedad, t1 = sup It0 x0 y la función x(t) = Hx0
g(s) ds
t0
t0
satisface que x(t) 6= x∗ si t ∈ It0 x0 y además lı́m x(t) = x∗ . Si ahora consideramos el
t→t1
intervalo Iˆ = It0 x0 ∪ {t ∈ I : t ≥ t1 } y la función z : Iˆ −→ R definida como z(t) = x(t)
si t ∈ It0 x0 y como z(t) = x∗ si t ≥ t1 , entonces aplicando el resultado de prolongación
de soluciones resulta que z es una solución de (1.37)
a x. Esto implica
¡
¢que prolonga
0
∗
que el problema de valores iniciales x (t) = g(t) f x(t) , x(t1 ) = x tiene al menos dos
soluciones distintas.
Como consecuencia del primero de los dos resultados anteriores, resulta que si f ∈ C 1 (J),
entonces como f 0 ∈ C(J) y [x0 , x∗ ] ⊂ J para cada x0 < x∗ , existe M > 0 tal que
f (z) = |f (z)| = |f (z) − f (x∗ ) | ≤ M |z − x∗ | = M (z − x∗ ),
| {z }
para cada z ∈ [x0 , x∗ ],
0
Z x∗
Z x∗
1
dz
dz
lo que implica que +∞ =
≤
, de manera que βx0 = +∞. Haciendo
∗
M x0 z − x
x0 f (z)
el mismo razonamiento para x0 > x∗ , obtenemos que
Si f ∈ C 1 (J), entonces
¡ para
¢ cada t0 ∈ I y cada x0 ∈ J el problema de valores
iniciales x0 (t) = g(t) f x(t) , x(t0 ) = x0 tiene una única solución.
(1.39)
°
28
Comprobaremos con un ejemplo como si no se satisface la anterior hipótesis de regularidad
par ala función f , entonces pueden existir problemas de valor inicial con múltiples soluciones:
p
p
Ejemplo 4: La ecuación x0 (t) = 2 |x(t)|, donde I = J = R, g(t) = 1 y f (x) = 2 |x|,
tiene como soluciones

−(t − c)2 , si t < c,


0,
si t = c,
x(t) = 0 y las funciones xc (t) =


(t − c)2 , si t > c,
donde c ∈ R.
(1.40)
Las soluciones descritas en (1.40) no determinan todas las soluciones posibles de la EDO.
Por ejemplo, la función

−(t − c)2 , si t < c,


0,
si c ≤ t ≤ ĉ,
xĉc (t) =


2
(t − ĉ) , si t > ĉ,
donde c ≤ ĉ
(1.41)
es también solución de la EDO. Así, si tomamos t0 , x0 ∈ R, y consideramos el problema de
valores iniciales
p
x0 (t) = 2 |x(t)|, x(t0 ) = x0 ,
(1.42)
entonces si x0 > 0, para cada c ≤ t0 −




xc (t) =
√
x0 , las funciones
−(t − c)2 ,
si t < c,
√
si c ≤ t ≤ t0 − x0 ,


 ¡t − t + √x ¢2 , si t > t − √x ,
0
0
0
0
0,
(1.43)
son todas las √
soluciones del problema de valor inicial (1.42), mientras que si x0 < 0, para
cada c ≥ t0 + −x0 , las funciones
 ¡
¢2
√
√


 − t − t0 − −x0 , si t < t0 + −x0 ,
√
xc (t) =
0,
si t0 + −x0 ≤ t ≤ c,

¡


t − c)2 ,
si t > c,
(1.44)
son todas las soluciones del problema de valor inicial (1.42) y finalmente si x0 = 0, entonces
x(t) = 0 y las funciones xĉc definidas en (1.41) y donde donde ĉ ≤ t0 ≤ c, son todas las
°
Ejercicios
29
soluciones del problema de valor inicial (1.42). En la Figura 1.4 se representan las soluciones
de la EDO correspondientes a distintos valores de la constante c y también tres soluciones
diferentes para el mismo problema de valor inicial.
c=-4 x c=-3c=-2 c=-1 c=0 c=1
c=2
.
(t0,x0)
c=3
c=4
t
0
x(t)=0
p
Figura 1.4: Tres soluciones del PVI x0 (t) = 2 |x(t)|, x(t0 ) = x0 .
1.5.
Ejercicios
Problema 1. (S) Sean I ⊂ R un intervalo, n ∈ N∗ y f : I −→ R una función continua. Si
t0 ∈ I y x0 , . . . , xn ∈ R, demostrar que la única solución del problema de valores iniciales
xn+1) (t) = f (t),
x(t0 ) = x0 , . . . , xn) (t0 ) = xn
está determinada por la identidad
1
xn
(t − t0 )n +
x(t) = x0 + x1 (t − t0 ) + · · · +
n!
n!
Z
t
(t − s)n f (s) ds.
t0
°
30
Problema 2. Sean I ⊂ R un intervalo, a, f : I −→ R funciones continuas y consideremos
la EDO lineal x0 (t) = a(t) x(t) + f (t). Demostrar que si x1 , x2 , x3 son soluciones de la EDO,
x1 − x2
una función constante.
distintas entre sí, entonces su razón simple, es decir
x1 − x2
Problema 3. Sean I ⊂ R un intervalo, t0 ∈ I, x0 ∈ R, a, f, g : I −→ R funciones continuas
y consideremos x y z las únicas soluciones de los problemas de valores iniciales lineales
x0 (t) = a(t) x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 y z 0 (t) = a(t) z(t) + g(t), z(t0 ) = x0 .
Si f (t) ≥ g(t) para cada t ∈ I, demostrar que x(t) ≥ z(t) para cada t ≥ t0 y que
x(t) ≤ z(t) para cada t ≤ t0 .
Problema 4. Supongamos que a, f : R → R son continuas y periódicas de periodo T > 0.
Demostrar que si x es una solución solución de la EDO lineal x0 (t) = a(t)x(t) + f (t),
entonces la función y definica como y(t) = x(t + T ) para cada t ∈ R es también solución de
la EDO. Concluir que x es periódica de período T si y sólo si x(0) = X(T ).
Problema 5. Supongamos
que a : R → R es continua y periódica de periodo T > 0 y
Z
1 T
consideremos k =
a(s)ds, el valor medio de a.
T 0
Demostrar que si x es una solución solución de la EDO lineal x0 (t) = a(t)x(t), entonces
x(t + T ) = x(t)eT k para cada t ∈ R.
Demostrar también que existe una función p ∈ C 1 (R), periódica de periodo T y tal que
x(t) = p(t)ekt para cada t ∈ R. Concluir que si k = 0 toda solución de x0 (t) = a(t)x(t) es
periódica y por tanto acotada, si k > 0, lı́m |x(t)| = +∞ y si k < 0, lı́m x(t) = 0.
t→+∞
t→+∞
Problema 6. Supongamos que a, f : R → R son continuas y periódicas
de periodo T > 0 y
Z s
Z
Z T −
a(u) du
1 T
consideremos k =
a(s)ds, el valor medio de a y α =
e 0
f (s) ds.
T 0
0
Demostrar que si k 6= 0, entonces la EDO lineal x0 (t) = a(t)x(t) + f (t) tiene una única
solución de período T .
Demostrar que si k = 0 y además α = 0, entonces toda solución de la EDO lineal
x0 (t) = a(t)x(t) + f (t) es periódica de período T .
Demostrar que si k = 0 y además α 6= 0, entonces ninguna solución de la EDO lineal
x0 (t) = a(t)x(t) + f (t) es periódica de período T .
°
Ejercicios
31
Problema 7. Sean el intervalo I ⊂ R y las funciones a, f : I −→ R tales que a es continua
y f es continua excepto en los puntos t1 , . . . , tk , con discontinuidad de primera especie. Se
denomina solución generalizada de la EDO x0 (t) = a(t)x(t) + f (t) a toda función x : I −→ R
continua en I, derivable en I \ {t1 , . . . , tk } y tal que satisfaga la identidad
x0 (t) = a(t)x(t) + f (t),
t ∈ I \ {t1 , . . . , tk }.
Demostrar para cada t0 ∈ I y cada x0 ∈ R la función
Z t
Z s


Z t −
a(s) ds
a(u) du


x(t) = e t0
e t0
f (s) ds , t ∈ I
 x0 +
t0
es solución generalizada de la EDO que además la única que satisface que x(t0 ) = x0 .
Concluir que el problema de valores iniciales para una EDO lineal tiene una única solución
generalizada que además es una función seccionalmente derivable.
Problema 8. (S) Si k ≥ 0, resolver el problema de valor inicial
¡
¢
x0 (t) = k T (t) − x(t) ,
x(0) = x0
y demostrar que si T1 y T2 son los valores extremos de la temperatura exterior, es decir
T1 ≤ T (t) ≤ T2 para cada t ≥ 0, entonces T1 + (x0 − T1 )e−kt ≤ x(t) ≤ T2 + (x0 − T2 )e−kt . Si
además se verifica que T1 ≤ x0 ≤ T2 , concluir que T1 ≤ x(t) ≤ T2 , para cada t ≥ 0.
En particular, si la temperatura exterior permanece constante e igual al valor T , comprobar que lı́m x(t) = T .
t→+∞
Problema 9. (S) Analizar las cuestiones planteadas en el problema anterior cuando además
se tiene en cuenta la influencia que sobre la temperatura interior ejercen la presencia de
personas o el funcionamiento de las máquinas, es decir cuando la ecuación que determina la
variación de la temperatura interior está dada por
³
´
x0 (t) = k T (t) − x(t) + H(t).
k > 0.
¿Qué relación deben satisfacer T y H para que la temperatura interior sea constante?
°
32
Problema 10. (S) Supongamos que en (1.11) el sistema de aire acondicionado está regulado
por un termostato lineal independiente del tiempo, es decir U (x) = α(x∗ − x) donde α > 0
es una constante característica del termostato. Si consideramos f (t) = k T (t) + H(t) + αx∗ ,
concluir que (1.11) es la siguiente ecuación lineal
x0 (t) = −(k + α) x(t) + f (t).
Demostrar que si tanto T como H son funciones constantes, entonces es posible mantener constante la temperatura interior y determinar el valor x̂ de tal temperatura. Discutir
también si para mantener la temperatura interior al valor x̂ el aire acondicionado debe estar
permanente activo o siempre inactivo y hallar cuando ocurre cada una de las posibilidades.
Cuando el aire acondicionado esté activo determinar si actúa enfriando o calentando el compartimento.
Problema 11. (S) Hallar todas las soluciones de las EDO x0 (t) = e−x(t) y x0 (t) = e−|x(t)| .
Comprobar que cada problema de valores iniciales tiene unicidad de soluciones.
Problema 12. (S) Hallar todas las soluciones de la EDO x0 (t) = 1 − x(t)2 y comprobar que
cada problema de valores iniciales tiene unicidad de soluciones.
Problema 13.(S) Si α ≥ 1 hallar todas las soluciones de la EDO x0 (t) = |x(t)|α y comprobar
que cada problema de valores iniciales tiene unicidad de soluciones.
(
xα , si x ≥ 0,
Problema 14. (S) Si α ≥ 1 y fα (x) =
hallar todas las soluciones de las
x, si x ≤ 0,
¡
¢
¡
¢
¡
¢
EDO x0 (t) = fα x(t) , x0 (t) = 2t fα x(t) y x0 (t) = −2t fα x(t) . Comprobar que, en los
tres casos, cada problema de valores iniciales tiene unicidad de soluciones.
Problema 15. (S) Si 0 < α < 1, hallar todas las soluciones de la EDO x0 (t) = |x(t)|α .
Comprobar que si x0 6= 0, para cada t0 ∈ R el problema de valores iniciales x0 (t) = |x(t)|α ,
x(t0 ) = x0 tiene infinitas soluciones.
°
Ejercicios
33
p
Problema 16. Hallar todas las soluciones de
la EDO x0 (t) = 4t |x(t)| y para cada x0 ∈ R
p
las del problema de valor inicial x0 (t) = 4t |x(t)|, x(0) = x0 . Determinar qué problemas
tienen unicidad de soluciones.
(
xα , si x ≥ 0,
Problema 17. Si 0 < α < 1 y f (x) =
hallar todas las soluciones de las
x, si x ≤ 0,
¡
¢
¡
¢
¡
¢
EDO x0 (t) = fα x(t) , x0 (t) = −2t f x(t) y x0 (t) = 2t f x(t) y para cada t0 , x0 ∈ R las
de los problemas de valor inicial x(t0 ) = x0 . Determinar qué problemas tienen unicidad de
soluciones. En particular, concluir que el problema de valores iniciales x(0) = 0 tiene solución
única en el segundo caso e infinitas soluciones en el primero y tercero.
°
34
°
TEMA
2.1.
2
MODELACIÓN CON EDO
DE PRIMER ORDEN
Problemas geométricos
En esta sección determinaremos las funciones que están caracterizadas por alguna propiedad que involucra o bien a la recta tangente en cada punto de la gráfica de la función,
o bien al área de la región limitada por la gráfica de la función y el eje de abscisas, o bien
la longitud de la gráfica entre los puntos t0 y t1 , o bien el volumen de los sólidos generados
por revolución de la gráficas respecto del eje de abscisas o respecto del eje de ordenadas.
1
Recordemos que si z : I −→ R es una función
¡ de ¢clase C (I), entonces para cada t ∈ I, la
recta tangente a la gráfica de la función, { s, z(s) : s ∈ I}, en el punto (t, x(t) está dada
por
y = z(t) + z 0 (t) (x − t),
x ∈ R.
(2.1)
Por otra parte, el área del recinto limitado por la gráfica de la función y eje de abscisas entre
los puntos t0 y t1 es
Z t1
f (s) ds,
(2.2)
t0
la longitud de la gráfica de la función entre los puntos t0 y t1 es
Z
t1
q
¡
¢2
1 + f 0 (s) ds,
(2.3)
t0
mientras que el volumen de los sólidos generados por revolución, respecto del eje de abscisas y
del de ordenadas, del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica comprendida entre
35
36
Ecuaciones diferenciales ordinarias. Modelación
los puntos t0 y t1 , están dados respectivamente por
Z
t1
π
f (s) ds
t0
2.1.1.
Z
2
y
t1
2π
s f (s) ds.
(2.4)
t0
Ejercicios
Problema 1.(S) Determinar las funciones tales que la pendiente de cada punto de su gráfica
es igual a la suma de las coordenadas de dicho punto.
Problema 2. (S) Determinar todas las funciones x tales que para cada t la recta tangente
en t corta al eje de abscisas en el punto t − 1.
Problema 3.(S) Determinar las funciones tales que en todo punto de su gráfica la pendiente
de su tangente es doble que la de la recta que une dicho punto con el origen de coordenadas.
Problema 4. Determinar las funciones tales que en todo punto de su gráfica el segmento
formado con el punto de corte de la tangente con el eje de ordenadas es cortado por el eje
de abscisas en su punto medio.
Problema 5. (S) Determinar las funciones tales que en todo punto de su gráfica la tangente
y la recta que pasa por dicho punto y el origen de coordenadas forman con el eje de abscisas
un triángulo isósceles.
Problema 6. Determinar las funciones tales que en todo punto de su gráfica el triángulo
formado por la tangente, el eje de abscisas y la perpendicular al eje de abscisas desde el
punto de tangencia tiene área constantemente igual a A > 0.
Problema 7. Determinar las funciones tales que fijado t0 , para cualquier t el área del recinto
limitado por la gráfica y el eje de abscisas entre t0 y t es proporcional a la diferencia entre
las ordenadas de dichos puntos con constante de proporcionalidad igual a k > 0.
°
Problemas de Mezclas
37
Problema 8. Determinar las funciones tales que fijado t0 , para cualquier t el cociente entre
el área del recinto limitado por la gráfica y el eje de abscisas entre t0 y t y la longitud de la
gráfica entre t0 y t es constantemente igual a k > 0.
Problema 9. (S) Determinar las funciones cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas y
tales que para cualquier t el volumen del sólido generado por revolución, respecto del eje de
abscisas, de la gráfica comprendida entre los puntos t0 y t1 coincide con el volumen del sólido
generado por revolución, respecto del eje de ordenadas, del recinto limitado por el propio eje
de ordenadas y la gráfica comprendida entre los puntos t0 y t1 .
2.2.
Problemas de Mezclas
En una disolución cuyo contenido se renueva y donde se supone que en cada instante la
distribución del soluto en la mezcla es uniforme, la concentración de la mezcla está controlada
por los flujos de entrada y salida. Si en cada instante t, x(t) denota la cantidad de soluto
presente la disolución, su variación, x0 (t), está determinada por la diferencia entre la cantidad
de soluto que entra en el recipiente, xe (t), y la que sale del mismo, xs (t), es decir
x0 (t) = xe (t) − xs (t).
(2.5)
En cada instante t son conocidos el volumen de la disolución, V (t), la concentración del
soluto en la disolución entrante, ce (t), la cantidad de disolución que entra en el recipiente, fe (t),
y también la cantidad de disolución que sale del recipiente, fs (t).
La cantidad de soluto entrante en el recipiente es el producto de su concentración en
la disolución entrante con la cantidad de disolución de entrada, es decir xe (t) = ce (t)fe (t).
Análogamente, la cantidad de soluto que sale del recipiente se obtiene multiplicando la
concentración de soluto en la disolución por la cantidad de disolución que sale del recipiente.
Como la concentración de soluto es la cantidad del mismo por unidad de volumen, es decir
x(t)
, resulta que la cantidad de soluto que sale de la disolución está dada por la expresión
V (t)
x(t)
vs (t) =
fs (t). En definitiva, la cantidad de soluto en la disolución está determinada por
V (t)
la ecuación diferencial
x0 (t) = ce (t)fe (t) −
fs (t)
x(t).
V (t)
(2.6)
°
38
Obsérvese que los datos fe , fs y V no son independientes entre sí ya que la variación de
volumen es justamente la diferencia entre las cantidades de entrada y salida de la disolución,
es decir V 0 (t) = fe (t) − fs (t).
2.2.1.
Ejercicios
Problema 1. Si consideramos las funciones a, f : R −→ R y F : R × R −→ R dadas por
fs
a = − , f = ce fe y F (t, x) = a(t)x + f (t), demostrar que la EDO (2.6) se expresa como
V
x0 (t) = F (t, x(t)) y es por tanto una ecuación lineal de primer orden.
Determinar la condición necesaria y suficiente para que la ecuación sea autónoma e
interpretarla en términos de los datos del problema, es decir de V , fs , fe y ce .
Demostrar que el sistema tiene a lo sumo un equilibrio y hallarlo explícitamente cuando
exista.
Problema 2. Si en un instante dado t0 se conoce el volumen de la disolución, demostrar
que el volumen en cada instante t ≥ t0 está determinado por la expresión
Z th
V (t) = V (t0 ) +
i
fe (z) − fs (z) dz.
t0
Concluir que el volumen de la disolución es constante sii la cantidades de entrada y salida
de la disolución coinciden en cada instante.
Problema 3. En un tanque que contiene 1000` de agua, comienza a introducirse una solución de salmuera a una velocidad constante de 6`/min. Dentro del tanque la solución se
mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del mismo a una velocidad de 6`/min.
(i) Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 1kg/`, determinar
cuando la concentración de sal en el tanque será de 0, 5kg/`.
(ii) Determinar la concentración de sal en el tanque si ahora suponemos que la salmuera
sale de él a una velocidad constante de 5`/min.
Problema 4. Una alberca cuyo volumen es de 45m3 contiene agua con cloro en una proporción de 0, 01 %. Se bombea dentro de la alberca, agua que contiene el 0, 001 % de cloro a
razón de 22`/min y el agua de la alberca fluye hacia el exterior a la misma velocidad. ¿Cuál
es el porcentaje de cloro en la alberca al cabo de una hora? ¿Cuándo tendrá el agua de la
alberca un 0, 002 % de cloro?
°
Desintegración radiactiva
39
Problema 5. La corriente sanguínea lleva un medicamento hacia el interior de un órgano a
razón de 3cm3 /seg y sale de él a la misma velocidad. El órgano en cuestión tiene un volumen
de líquido de 125cm3 . Si la concentración del medicamento en la sangre que entra en el
órgano es de 0, 2g/cm3 , ¿cuál es la concentración del medicamento en el órgano en el instante
t si inicialmente no había vestigio alguno del medicamento? ¿Cuándo la concentración del
medicamento en el órgano será del 0, 1g/cm3 ?
Problema 6. La proliferación de granjas dedicadas a la explotación porcina generó una
contaminación por purinas en la cuenca del río Ter, cuya concentración, medida en las
aguas del pantano de Sau, alcanzó niveles alarmantes. Esta situación generó una actividad
legislativa que produjo normativas reguladoras del tamaño de las explotaciones y estableció
la obligatoriedad del tratamiento de las purinas. Como consecuencia de la aplicación de las
disposiciones establecidas, las aguas que entran en el pantano dejaron de estar contaminadas
a partir de cierto momento, que denotaremos por t0 .
Supondremos para simplificar que tanto el volumen de agua en el pantano como su flujo
de entrada son constantes y mediremos el volumen en metros cúbicos y la concentración de
purinas en gramos por metro cúbico.
Encontrar la ecuación diferencial que satisface la concentración de purinas a partir del
instante t0 . Determinar el tiempo que ha de transcurrir para que el nivel de contaminación
se reduzca un 5 %. ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que se reduzca a la mitad? ¿Quedará
limpio el pantano en un tiempo finito?
2.3.
La ley que gobierna la desintegración radiactiva establece que el número de átomos de
una sustancia radiactiva que se desintegra por unidad de tiempo, la tasa de desintegración,
depende exclusivamente del número de átomos existentes en ese momento, y que además
la cantidad de átomos decrece con el tiempo. Por tanto, si x(t) es la masa de la sustancia,
que es directamente proporcional al número de átomos y T (x) es la tasa de desintegración,
entonces la variación de la masa debe satisfacer la ecuación diferencial
x0 (t) = −T (x(t)).
(2.7)
Es razonable suponer que la tasa de desintegración es una función continua T : R −→ R
que además satisface que T (0) = 0 y que T (x) > 0, si x 6= 0. Observar que el modelo sólo
tiene sentido cuando x(t) ≥ 0, aunque desde el punto de vista matemático la ecuación (2.7)
es válida para cualquier valor de x(t). Diremos que la sustancia se desintegra en tiempo finito
°
40
si existe t0 > 0 tal que x(t0 ) = 0, mientras que diremos que la sustancia se desintegra en
tiempo infinito si lı́m x(t) = 0.
t→∞
Es claro que los diferentes modelos de desintegración estarán determinados por la correspondiente tasa de desintegración. El más usual es el denominado lineal, en el que la
tasa de desintegración es proporcional al número de átomos existentes, es decir T (x) = k x,
donde k > 0. La constante k recibe el nombre de constante de desintegración radiactiva y
es un parámetro propio de cada sustancia. Así pues en el modelo de desintegración lineal, la
ecuación diferencial que determina la variación de la masa de una sustancia radiactiva está
dada por
x0 (t) = −k x(t),
k > 0.
(2.8)
Un parámetro importante asociado a cada elemento radiactivo lineal es su semivida, τ ,
que es el tiempo necesario para que la masa de la sustancia se reduzca a la mitad. La relación
entre la semivida y la constante de desintegración k está dada por la identidad
kτ = ln 2,
(2.9)
permite calcular uno de los dos parámetros conocido el otro. Normalmente, la semivida de
una sustancia se determina en un laboratorio mediante medidas experimentales.
En muchas ocasiones el modelo lineal no es capaz de describir adecuadamente el proceso
de descomposición de una sustancia, por lo que debe recurrirse a modelos asociados a tasas de
desintegración diferentes de la lineal y que se denominan genéricamente modelos no lineales.
El tipo más utilizado es el que corresponde a tasas de crecimiento de la forma
Tα (x) = k |x|α ,
donde
k, α > 0.
(2.10)
Observar que cuando α = 1 el modelo corresponde básicamente al caso lineal.
2.3.1.
Datación
El hecho de que la constante de desintegración de una sustancia radiactiva no varíe a lo
largo del tiempo, permite elaborar métodos para determinar fechas de sucesos que ocurrieron
hace miles o incluso millones de años. Así, si para una sustancia radiactiva que se desintegra
según el modelo lineal (2.8) se sabe que en los instantes t1 y t2 la masa de la sustancia, o el
número de átomos de la misma, es x1 > 0 y x2 > 0, respectivamente, o bien son conocidas
las tasas de desintegración de la sustancia, por ejemplo T1 y T2 , respectivamente, entonces
la semivida está determinada por la expresión
τ=
(t2 − t1 ) ln 2
(t2 − t1 ) ln 2
=
.
ln x1 − ln x2
ln T1 − ln T2
(2.11)
°
41
Observar que la importancia de las igualdades anteriores se encuentra en el hecho que
conociendo τ , x1 y x2 , o bien T1 y T2 , podemos determinar t2 − t1 , es decir conociendo la
semivida de una substancia y la cantidad presente en dos momentos concretos, o las tasas de
desinteración en dos momentos concretos, entonces se puede determinar el lapso de tiempo
transcurrido entre ambos. A este proceso se le denomina datación.
Alrededor de 1950, el químico estadounidense Willard F. Libby (1908-1980) inventó un
método que emplea el carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de los
fósiles y que le valió el Premio Nobel de Química en 1960. La teoría de la datación con
radiocarbono se basa en que el isótopo Carbono 14, cuya semivida es de aproximadamente
5570 años, se produce en la atmósfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno.
Dicho isótopo es muy inestable y se desintegra rápidamente, incorporándose al dióxido de
carbono, con lo que se desplaza por la atmósfera para ser absorbido por los vegetales, de donde
pasan a los animales cuando éstos los ingieren. En los tejidos vivientes, la tasa de ingestión
de C 14 está en equilibrio con la tasa de desintegración. Cuando el organismo muere, cesa la
incorporación de C 14 , de manera que la concentración del mismo empieza a decrecer.
La suposición fundamental de este método es que la tasa de bombardeo de la atmósfera
por rayos cósmicos es constante en el tiempo, lo que implica que la tasa actual de desintegración de C 14 en los organismos vivos es idéntica a la que se produjo en cualquier instante
anterior. Así por ejemplo, si un fragmento antiguo de madera tiene la mitad de C 14 que un
árbol vivo, procede un árbol talado hace 5570 años, mientras que si tiene la cuarta parte de
C 14 el árbol del que fue extraída vivió hace 11140 años. Este método de datación fue usado,
por ejemplo, para fechar los muebles de madera en las tumbas egipcias y las envolturas de
lino en los rollos del Mar Muerto. Pese a algunas dificultades técnicas,1 el método se considera actualmente capaz de dar una precisión razonable en períodos de tiempo superiores a
200 años e inferiores a los 40 millones años.
2.3.2.
Desintegración en cadena
Es habitual que un elemento radiactivo origine al desintegrarse una nueva sustancia
radiactiva y que está a su vez se desintegre en otra, formando lo que se denomina una
desintegración en cadena, que concluye cuando se llega a una sustancia estable no radiactiva.
Por tanto, para conocer la cantidad de una sustancia radiactiva presente en una muestra,
ha de tenerse en cuenta no sólo la cantidad que se desintegra sino también la que aporta
cualquiera de los elementos que aparecen por encima de él en la cadena radiactiva. Así pues,
si una sustancia S1 origina al desintegrarse una sustancia S2 que se desintegra a su vez y
denominamos x1 (t) y x2 (t) a las cantidades de sustancias S1 y S2 , respectivamente, entonces
1
Por ejemplo, la hipótesis fundamental debe ser refinada, debido a que los numeros ensayos con armas
nucleares realizados a partir de los años 50, han incrementado notablemente la cantidad de C 14 en la atmósfera.
°
42
la variación de ambas sustancias esta determinada por las identidades
x01 (t) = −T1 (x1 (t)) y x02 (t) = −T2 (x2 (t)) + T1 (x1 (t)).
(2.12)
Más generalmente, si tenemos una cadena de n sustancias radiactivas S1 , . . . , Sn de manera que para cada j = 1, . . . , n−1, Sj se desintegra en Sj+1 y cuyas tasas de desintegración están descritas respectivamente por las funciones T1 , . . . , Tn , entonces si para cada j = 1, . . . , n,
xj (t) es la cantidad de sustancia Sj , su variación está determinada por la identidad
x01 (t) = −T1 (x1 (t)) y x0j (t) = −Tj (x2 (t)) + Tj−1 (xj−1 (t)), j = 2, . . . , n,
(2.13)
que describe por tanto un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
En particular, si para cada j = 1, . . . , n la sustancia Sj se desintegra según el modelo lineal
con constante de desintegración kj , entonces la variación de cada sustancia está determinada
por el sistema lineal de primer orden
x01 (t) = −k1 x1 (t)
x02 (t) = −k2 x2 (t) + k1 x1 (t)
..
.
(2.14)
x0n (t) = −kn xn (t) + kn−1 xn−1 (t).
En [?, pg. 14] puede encontrarse la cadena del Uranio 238 que tiene 14 eslabones y que
concluye en el Plomo 206 que es una sustancia no radiactiva.
2.3.3.
Ejercicios
Problema 1. Demostrar que la ecuación (2.7) posee un único estado de equilibrio, concretamente x∗ = 0. Demostrar también que cualquier solución de la EDO (2.7) es decreciente.
Concluir que si una sustancia no se desintegra en tiempo finito, entonces la función, x, que
determina su masa es estrictamente decreciente y por tanto existe lı́m x(t) ≥ 0. ¿Qué valor
t→∞
tiene este límite?
Problema 2. Justificar en el modelo de desintegración lineal la relación (2.9) entre la constante de desintegración y la semivida y las fórmulas (2.11) para la semivida.
Problema 3. Una sustancia radiactiva que se desintegra según el modelo lineal, por ejemplo
el Torio 234, tiene una semivida de 24 días. ¿Cuánto tardará en desintegrarse el 95 % de
dicha sustancia ?
°
43
Problema 4. Calcular la semivida de una sustancia radiactiva que se desintegra según el
modelo lineal y que en 25 años ha descompuesto el 1, 1 % de su masa inicial.
Problema 5. La fisión nuclear produce neutrones en una pila atómica a un ritmo proporcional al número de neutrones presentes en cada instante. Si inicialmente existen n0 neutrones
y en los instantes t1 y t2 existen n1 y n2 neutrones respectivamente, demuéstrese la identidad
µ
n1
n0
¶t2
µ
=
n2
n0
¶t1
.
Problema 6. El C 14 se desintegra en la madera viva a un ritmo de 15, 3 desintegraciones
por minuto (dpm) y gramo de carbono. Hacer una estimación sobre la edad de cada uno
de los objetos cuyos resultados en el análisis radiactivo, efectuado en el año 2005, son los
siguientes:
i) Un fragmento de una talla de madera en la tumba de Tutankhamon, 10, 09 dpm.
ii) Un trozo de viga de la techumbre de una casa de Babilonia construída durante el
reinado de Hammurabi, 9, 57 dpm.
iii) Una flecha de madera encontrada en el yacimiento de Atapuerca, 6, 34 dpm.
Problema 7. Con motivo de unas obras de mejora de los accesos a la parte externa de la
muralla de Girona, realizadas a mediados del año 2005, se ha descubierto una fosa común con
huesos de aproximadamente 500 esqueletos humanos. Los cadáveres se encontraron sin ropas
que permitieran identificar su procedencia, pues aparecieron cubiertos por algún tipo de tosco
sudario, prácticamente desecho por la acción del tiempo. La disposición de los cadáveres y
el haberse encontrado relativamente cerca del yacimiento algunos restos de lo que parece
un campamento que albergó una milicia, hace pensar en un enterramiento apresurado de
soldados, víctimas de algún tipo de epidemia.
Un análisis del C 14 de los huesos encontrados determina una tasa de desintegración de
6, 108 dpm. Sabiendo que la tasa de desintegración del C 14 en los huesos de un organismo vivo
es de 6, 68 dpm, ¿que grado de verosimilitud tiene afirmar que los soldados eran franceses?
°
44
Problema 8. (Modelos no lineales de desintegración). Sea x(t) la masa de una sustancia
radiactiva que se desintegra según la ley
x0 (t) = −k |x(t)|α , donde
k, α > 0
(2.15)
y suponer que en el instante t = 0 la masa de la sustancia es x0 > 0.
(i) Si α > 1, demostrar que podemos determinar unívocamente la masa de la sustancia
para cada t ∈ [0, +∞). Concluir que en este caso la sustancia se desintegra en tiempo infinito.
(ii) Si 0 < α < 1, demostrar que la sustancia se desintegra en tiempo finito t0 > 0 y determinar t0 . Comprobar también que la masa de la sustancia está unívocamente determinada
en el intervalo [0, t0 ].
(iii) Si τα es el tiempo necesario para que la masa de sustancia se reduzca a la mitad, es
x0
decir a , demostrar que
2
kτα =
³ x ´1−α · 2α−1 − 1 ¸
0
2
α−1
.
Calcular también lı́m kτα e interpretar el resultado obtenido.
α→1
(iv) Supóngase que se conoce además que en los instantes t1 y t2 la masa de la sustancia,
o el número de átomos de la misma, es x1 > 0 y x2 > 0, respectivamente. Demostrar que
³ x ´1−α (t − t ) (1 − 2α−1 )
0
2
1
τα =
,
1−α
2
x1 − x1−α
2
calcular el límite de la expresión anterior e interpretar el resultado obtenido.
Problema 9. Considérese el sistema lineal
x01 (t) = −k1 x1 (t)
x02 (t) = −k2 x2 (t) + k1 x1 (t)
..
.
x0n (t) = −kn xn (t) + kn−1 xn−1 (t)
°
Reacciones Químicas
45
determinado por la descomposición en cadena, según el modelo lineal, de n sustancias radiactivas. Hallar la masa de cada una de las sustancias en cada instante de tiempo sabiendo que
la correspondiente en el instante inicial es xj (0) = xj > 0, j = 1, . . . , n. ¿Qué interpretación
puede darse a las condiciones xj (0) = 0, j = 2, . . . , n?
2.4.
Una reacción química es un proceso en el que una o más sustancias denominadas reactivos
se combinan o separan para formar otras sustancias denominadas productos. En las reacciones
que consideraremos aquí supondremos que la masa se conserva y que se absorbe o disipa
energía. La reacción se denomina irreversible si el producto no se separa en sus constituyentes
una vez formado. Este tipo de procesos serán los que trataremos a continuación. Para un
análisis de las reacciones reversibles puede consultarse por ejemplo [?].
Una reacción química en la que m ≥ 2 reactivos R1 , . . . , Rm se combinan para dar lugar a
un producto P , de manera que para formar γ moléculas de P son precisas αj ≥ 0 moléculas
de la sustancia Rj , j = 1, . . . , m, se denomina reacción de orden m y suele representarse
mediante la notación2
α1 R1 + · · · + αm Rm −→ γP,
(2.16)
donde la conservación de la masa implica que
m
X
αj = γ.
j=1
El tipo más elemental de reacción química es la reacción de primer orden en la cual las
moléculas de un reactivo se transforman en moléculas de un producto a un ritmo que no es
afectado por la presencia de otras sustancias. Por tanto, es natural esperar que el número
de moléculas que se descomponen por unidad de tiempo sea proporcional a la cantidad de
reactivo presente.
Cuando el producto se forma a partir de una reacción de orden m, es decir a partir de m
reactivos, el proceso se produce por colisión e interacción entre las sustancias, lo que implica
que que cuanto mayor sea la cantidad de cada una de ellas mayor será el número de colisiones
y por tanto habrá mayor número de combinaciones por unidad de tiempo. La rapidez con
la que se transforman los reactivos en productos está descrita por la denominada Ley de
Masas que establece que dicha velocidad es proporcional al producto de las cantidades de
los reactivos presentes, ya que este producto es un indicador de la posibilidad de encuentros
2
La unidad habitual en química es el mol. Cada mol equivale N moléculas o átomos de sustancia, donde
N = 6, 024 × 1024 es el número de Avogrado. Si se utilizan moles en lugar de moléculas como unidad de
medida, la reacción de orden m puede expresarse diciendo que αj moles de la sustancia Rj , j = 1, . . . , m,
reaccionan para formar γ moles de P .
°
46
entre las moléculas. En particular, la Ley de Masas establece que la reacción antes descrita
puede formularse de manera equivalente como
α1
αm
R1 + · · · +
Rm −→ P,
γ
γ
donde en este caso
final.
(2.17)
αj
representa la proporción, concentración, de sustancia Rj en el producto
γ
En el caso de una reacción de primer orden se tiene que R −→ P , de manera que si para
cada t, y(t) denota la cantidad de reactivo en el instante t, el proceso queda descrito por la
ecuación diferencial
y 0 (t) = −k y(t), k > 0.
(2.18)
Observar que como en este caso todo el reactivo se transforma en producto, si R es la
concentración inicial de reactivo, entonces x(t) = R − y(t) es la cantidad de producto
en el instante t. Esto significa que si en lugar de tomar como incógnita la cantidad de
reactivo, consideramos la cantidad de producto en cada instante, entonces se satisface que
³
´
0
x (t) = k R − x(t) ,
(2.19)
donde k es la misma constante que en (2.18).
En el caso de reacciones de orden m, la Ley de Masas establece que si para cada t
denotamos por x(t) a la cantidad de producto P en el instante t, entonces
x0 (t) = k
m
Y
Cj (t), donde k > 0.
(2.20)
j=1
donde para cada j = 1 . . . , m, Cj (t) es la cantidad del reactivo j-ésimo que queda en el
instante t. Si para cada j = 1, . . . , m, Rj denota la cantidad inicial de reactivo j-ésimo,
αj
resulta que Cj (t) = Rj −
x(t). Por tanto, resulta que x satisface la ecuación diferencial
γ
x0 (t) = k
m ³
Y
j=1
Rj −
´
αj
x(t) , donde k > 0,
γ
(2.21)
o, de manera equivalente,
m ³
m
´
Y
k Y
Rj
∗
x (t) = k̂
xj − x(t) , donde k̂ = m
αj y x∗j = γ , j = 1, . . . , m,
γ j=1
αj
j=1
0
(2.22)
°
47
que cuando m = 1 se reduce a (2.19), ya que en este caso α1 = γ.
En la identidad (2.22), el valor x∗j representa para cada j = 1, . . . , m, la cantidad de
compuesto necesaria para agotar todo el reactivo j-ésimo. No existe pérdida de generalidad
si en lo sucesivo suponemos que x∗1 ≤ x∗2 ≤ · · · ≤ x∗m , lo que no excluye que x∗j = x∗j+1 para
algún j = 1, . . . , m. Por tanto si x0 es la cantidad inicial de producto, la hipótesis de que P
está compuesto solamente de los reactivos implica que 0 ≤ x0 ≤ x∗m , aunque desde el punto
de vista matemático x0 podría tomar cualquier valor.
Por otra parte, si x0 ≥
x∗i
que
Ã
x0 ≥
m
i
1X
1X
para algún i = 1, . . . , m, como 1 =
αj ≥
αj , resulta
γ j=1
γ j=1
i
1X
αj
γ j=1
!
i
i
i
X
1X
1X
∗
x0 ≥
αj x0 ≥
αj xj ≥
Rj ,
γ j=1
γ j=1
j=1
es decir el producto P contiene total la cantidad posible de los primeros i reactivos.
En definitiva, en lo sucesivo consideraremos fijada la siguiente ecuación diferencial que
determina la velocidad de una reacción irreversible de orden m ≥ 1
x0 (t) = k
m ³
Y
´
x∗j − x(t) , donde k > 0 y 0 < x∗1 ≤ · · · ≤ x∗m .
(2.23)
j=1
2.4.1.
Ejercicios
Problema 1. Demostrar que la ecuación (2.23) posee m estados de equilibrio, concretamente x∗1 , . . . , x∗m . Concluir también que cada problema de valores iniciales tiene unicidad de
soluciones.
Problema 2. Consideremos x : J −→ R la única solución del problema de valores iniciales
´
m ³
Q
x0 (t) = k
x∗j − x(t) , x(0) = x0 , donde k > 0 y 0 < x∗1 ≤ · · · ≤ x∗m .
j=1
Demostrar que si x0 < x∗1 , entonces x es estrictamente creciente y x0 < x(t) < x∗1 para
cada t ∈ J. Concluir que [0, +∞) ⊂ J y que además lı́m x(t) = x∗1 .
t→+∞
°
48
Demostrar que si x∗j < x0 < x∗j+1 , entonces x es estrictamente creciente o decreciente
dependiendo de si m − j es par o impar y además x∗j < x(t) < x∗j+1 para cada t ∈ J. Concluir
que lı́m x(t) = x∗j+1 si m − j es par mientras que lı́m x(t) = x∗j si m − j es impar.
t→+∞
t→+∞
Demostrar que si x0 > x∗m , entonces x es estrictamente creciente o decreciente dependiendo de si m es par o impar y además x∗m < x(t) para cada t ∈ J. Concluir que si m es
impar, entonces [0, +∞) ⊂ J y además lı́m x(t) = x∗m .
t→+∞
Problema 3. Si x es la solución del problema (2.23) y por tanto determina la cantidad
αi
de producto, entonces para cada i = 1, . . . , m, la función Ci (t) = Ri −
x(t) describe la
γ
cantidad del reactivo i-ésimo. Despejar x(t) en la anterior igualdad y utilizar la ecuación
(2.20) para determinar la siguiente ley dinámica para Ci :
Ci0 (t)
= −k̂ Ci (t)
m ³
Y
x∗j
−
j=1
j6=i
xi∗
m
´
γ
k Y
+ Ci (t) , donde k̂ = m
αj .
αi
γ j=1
Problema 4. Resolver los problemas de valor inicial correspondientes a las reacciones químicas irreversibles de segundo orden, es decir, resolver el problema de valores iniciales
³
´³
´
x0 (t) = k x∗1 − x(t) x∗2 − x(t) , x(0) = x0 ,
x∗1
donde 0 < x∗1 ≤ x∗2 .
Concluir que si x∗1 < x∗2 sólo el primer reactivo se agota en la reacción, mientras que si
= x∗2 los dos reactivos se consumen completamente.
Una vez conocida la función x, para cada instante t determinar la cantidad de cada
reactivo en cada instante. Hallar directamente cada uno de estos valores a partir de su
ecuación dinámica.
2.5.
Caída de Cuerpos
Supongamos que un cuerpo de masa m > 0 cae verticalmente hacia la Tierra. Si para
cada t, v(t) denota la velocidad del cuerpo, las Leyes del Movimiento de Newton establecen
que el producto de la masa por la aceleración es igual a la fuerza externa F ejercida sobre
°
Caída de Cuerpos
49
el cuerpo. Esta fuerza incluye el efecto de la gravedad sobre el cuerpo, peso del cuerpo, y
el de la resistencia ofrecida por el aire. Si suponemos que la altura a la que cae el cuerpo
es pequeña en comparación con el radio de la Tierra, entonces el efecto de la gravedad está
dado por m g, donde g es la aceleración debida a la gravedad. Por otra parte, es razonable
suponer que el amortiguamiento R depende exclusivamente de la velocidad y está descrito
por una función continua R : R −→ [0, +∞) tal que R(0) = 0 y creciente en el intervalo
[0, +∞), de manera que la ecuación que determina la velocidad de caída de un cuerpo está
dada por
m v 0 (t) = m g − R(v(t)).
(2.24)
Naturalmente sólo serán de interés físico las soluciones no negativas de la anterior EDO.
El amortiguamiento R se denomina viscoso cuando es una función lineal y newtoniano
cuando es cuadrática. En el primer caso R(v) = kv y en el segundo R(v) = kv 2 , donde
k ≥ 0 se denomina coeficiente de amortiguamiento. En particular, si el coeficiente de amortiguamiento es nulo, entonces no existe rozamiento y el movimiento se denomina de caída
libre.
2.5.1.
Ejercicios
Problema 1. Demostrar que las soluciones de equilibrio no negativas de la ecuación (2.24)
corresponden a velocidades de caída constantes y por tanto a movimientos uniformes.
Problema 2. Supongamos que en la ecuación (2.24), el amortiguamiento R es estrictamente
creciente en [0, +∞) y satisface que lı́m R(v) = +∞. Demostrar que existe un único
v→+∞
movimiento uniforme posible, cuyo valor se denotará por v ∗ . Determinar la expresión de v ∗ ,
tanto para el caso viscoso como para el newtoniano.
Problema 3. Determinar el tiempo que tarda en llegar al suelo un objeto en caída libre,
situado a una altura h0 > 0 y que tiene una velocidad inicial igual a v0 ≥ 0.
Problema 4. Un paracaidista de masa m se lanza de un avión y abre el paracaídas a una
altura h0 del suelo cuando ha adquirido en caída libre una velocidad v0 . Si al lanzarse, el
paracaidista tenía velocidad nula, ¿a qué altura estaba el avión en el momento del lanzamiento?
Determinar la expresión de la velocidad adquirida por el paracaidista si se supone que el
amortiguamiento es viscoso, y también si se supone que el amortiguamiento es newtoniano.
En este caso la constante de amortiguamiento depende de la forma y tamaño del paracaídas.
°
50
Demostrar que en ambos casos lı́m v(t) = v ∗ , donde v ∗ es la velocidad de equilibrio, y
t→+∞
determinar también la expresión del espacio recorrido por el paracaidista.
Problema 5. Supongamos que en la ecuación (2.24) que determina la velocidad de caída
de un cuerpo, el amortiguamiento satisface que R ∈ C 1 (R).
i) Demostrar que cada problema de valores iniciales tiene una única solución.
ii) Si además R0 (v) > 0 para v ≥ 0 y R no es acotada, demostrar que existe un único
movimiento uniforme posible, cuya velocidad es v ∗ > 0. Demostrar que si 0 ≤ v0
la solución del problema de valores iniciales m v 0 (t) = m g − R(v(t)), v(0) = v0 es
estrictamente creciente si 0 ≤ v0 < v ∗ y estrictamente decreciente si v0 > v ∗ . Concluir
que la solución del anterior problema de valores iniciales está definida en [0, +∞) y
que además lı́m v(t) = v ∗ .
v→+∞
2.6.
Propagación de rumores
Suponemos que en una pequeña comunidad en la que todos los individuos se conocen,
una noticia se transmite de boca a oreja. Se supone además que la noticia no se olvida y que
el número de personas que se enteran de ella por primera vez en un instante dado depende
primero de la posibilidad de encuentro entre los individuos que la conocen y los que no la
conocen y también de la intención de transmitir el rumor por parte del individuo informado
así como del interés por oírlo por parte del no informado.
Si T es el tamaño de la población y denotamos por x(t) a la cantidad de individuos
informados en el instante t, la probabilidad de encontrar un individuo informado y la de
x(t) T − x(t)
encontrar uno desinformado son
y
, respectivamente y por tanto la probabilidad
T
T
³
´
1
de encuentro de tal tipo de individuos está dada por 2 x(t) T − x(t) . Agruparemos la
T
constante T −2 en un parámetro que recoja también el resto de consideraciones planteadas
para la difusión del rumor. Así pues la ecuación que determina el número de individuos
informados está dada por
³
´
x0 (t) = k x(t) T − x(t) ,
k > 0.
(2.25)
En este caso si planteamos resolver un problema de valores iniciales con x(0) = x0 , aunque
matemáticamente tiene sentido tomar cualquier valor de x0 , para que el problema no pierda
significado debe satisfacerse que 0 ≤ x0 ≤ T .
°
Modelos de Poblaciones
51
La ecuación diferencial (2.25) recibe el nombre de Ecuación Logística y como veremos ella
o cualquiera de sus múltiples variantes aparecen en muchos procesos que tratan poblaciones.
2.6.1.
Ejercicios
Problema 1. Determinar las soluciones de equilibrio de la ecuación (2.25) y hallar sus
soluciones. Comprobar que si 0 < x0 < T , entonces 0 < x(t) < T para cada t ∈ R y justificar
que con el tiempo suficiente, cualquier rumor se difunde entre toda la población.
Problema 2. Justificar que un rumor se propaga cada vez más deprisa hasta que ha sido informada la mitad de la población y a partir de ese momento se propaga con menor
velocidad.
Problema 3. El 2 % de los alumnos de la asignatura Ampliación de Matemáticas difunden
a las 12h de un lunes el rumor de que el martes a las 11h tendrá lugar un examen sorpresa
de ecuaciones diferenciales ordinarias. Sabiendo que el lunes a las 14h la noticia es conocida
por el 5 % de los alumnos, ¿cuál es el porcentaje de alumnos que a la hora de comienzo de
la clase del martes conocen la noticia?
2.7.
Se supone que una población está aislada, es decir no son relevantes fenómenos de emigración o inmigración. Si x denota la cantidad de individuos en la unidad de tiempo, que
generalmente se toma como un año, se define la Tasa de Crecimiento T como la diferencia
entre las Tasa de Natalidad Tn y la Tasa de Mortalidad Tm , que por supuesto, dependen del
número de individuos de la población. Así pues, xTn y xTm representan el número total de
nacimientos y muertes en la unidad de tiempo y la tasa de crecimiento es la variación neta de
la población por unidad de tiempo, dividida por la población total al comienzo del periodo.
Si el tamaño de la población es suficientemente grande, es razonable suponer que la cantidad de individuos varía de forma continua e incluso diferenciable con el tiempo. Entonces,
la tasa de crecimiento dependerá continuamente de la población y la tasa de crecimiento
x0 (t)
. En definitiva, el tamaño de
instantánea estará determinada por la relación T (x(t)) =
x(t)
una población está regido por la ecuación diferencial
x0 (t) = T (x(t)) x(t).
(2.26)
°
52
Es claro que los diferentes modelos de crecimiento estarán determinados por la elección
de la tasa de crecimiento instantánea.
En este tipo de modelos no está contemplada la condición, contrastada por la experiencia,
de que para una población pueda sobrevivir es necesario que su tamaño supere un valor, que
denominaremos umbral de subsistencia y que denotaremos por x∗ . La incorporación de este
umbral al modelo anterior conduce a la ecuación diferencial
¡
¢
x0 (t) = T x(t) (x(t) − x∗ ), x∗ ≥ 0.
(2.27)
En particular, si la población umbral se toma como cero recuperamos el modelo inicial
(2.26). Observar que si la tasa de crecimiento es no negativa, entonces él tamaño de la
población disminuye para valores inferiores a la población umbral.
El modelo más simple de evolución de una población es el determinado por la denominada
Ley de Malthus, que supone que la tasa de crecimiento es constante, positiva o negativa, es
decir no depende del tamaño de la población y por tanto da lugar a la ecuación diferencial
x0 (t) = k (x(t) − x∗ ),
k ∈ R, x∗ ≥ 0.
(2.28)
En un modelo más elaborado, es razonable tener en cuenta que en tamaños suficientemente grandes de poblaciones aparecen problemas de conflictividad social tales como superpoblación, escasez alimentos y por tanto competencia por los mismos, etc, que deben
conducir por tanto a una modificación de la Ley de Malthus.
Diremos que f : R −→ [0, +∞) es una función de conflictividad social si es continua,
estrictamente creciente en [0, +∞) y satisface además que f (0) = 0 y lı́m f (x) = +∞.
x→+∞
Observar que las propiedades de esta función responden al hecho en ausencia de población
no existe conflictividad, y también a que la conflictividad aumenta con el tamaño de la
población.
En la corrección del modelo malthusiano conocido como Ley de Verhults, la tasa de
crecimiento de la población tiene en cuenta los fenómenos de conflictividad social y está
determinada por la expresión T (x) = k−f (x), donde k > 0 y f es una función de conflitividad
que satisface que f (x∗ ) < k, lo que significa que la conflictividad es moderada en el entorno
de la población umbral. Así pues el tamaño de una población que evoluciona según la Ley
de Verhults es solución de la ecuación diferencial
³
´
¡
¢´ ³
0
x (t) = k − f x(t)
x(t) − x∗ , k > 0, x∗ ≥ 0, con f (x∗ ) < k,
(2.29)
donde f es una función de conflictividad. Observar que desde este punto de vista el modelo
malthusiano correspondería a considerar constante la conflictividad social, aunque naturalmente la función nula no satisface los requerimientos impuestos a una función de conflictividad.
°
53
Uno de los modelos más utilizados corresponde al caso en el se supone que la conflictividad
es directamente proporcional al tamaño de la población, es decir f (x) = εx, donde ε > 0
recibe el nombre de coeficiente de conflictividad, que debe satisfacer que εx∗ < k. En este
caso particular el modelo de Verhults recibe el nombre de Modelo Logístico, y se expresa
mediante la ecuación diferencial
´³
´
x (t) = k − εx(t) x(t) − x∗
0
³
k > 0, ε > 0, x∗ ≥ 0 con εx∗ < k.
(2.30)
que cuando x∗ = 0 resulta ser un tipo de Ecuación Logística, similar a la que ya apareció al
modelar la propagación de rumores.
2.7.1.
Ejercicios
Problema 1. Determinar las soluciones de equilibrio de la ecuación (2.27). Si además la
tasa de crecimiento satisface que T ∈ C 1 (R), concluir que cada problema de valores iniciales
tiene solución única.
Problema 2. Supongamos que la tasa de crecimiento de una población está determinada
por la función T y que x∗ es el umbral de subsistencia. Consideremos también la función
T̂ (y) = T (y + x∗ ). Demostrar que x es solución de la ecuación (2.27) si y sólo si la función
y(t) = x(t) − x∗ satisface que y 0 (t) = T̂ (y(t)) y(t). Concluir que desde el punto de vista
cualitativo, el efecto del umbral de subsistencia es poco relevante.
Problema 3. Demostrar que si una población se ajusta a la Ley de Malthus entonces tiene
una única población de equilibrio y determinarla.
Determinar la evolución de una población cuya tasa de crecimiento corresponde a la
ley de Malthus. Concluir que si la tasa de crecimiento es negativa o la población inicial no
supera el umbral, entonces la población se extingue en tiempo finito y hallar el instante de
la extinción. Concluir también que si la tasa de crecimiento es positiva y la población inicial
supera el umbral de subsistencia entonces crece ilimitadamente. Puede aceptarse como válido
el modelo de Malthus para grande tamaños de población?
Problema 4. Consideremos el modelo de Verhults
³
´
¡
¢´ ³
x0 (t) = k − f x(t)
x(t) − x∗ ,
k > 0, x∗ ≥ 0, con f (x∗ ) < k,
°
54
donde f ∈ C(R) es continua, estrictamente creciente y no acotada en [0, +∞) y verifica
además que f (0) = 0.
i) Demostrar que además de la población umbral, existe otra población de equilibrio x∗
de tamaño x∗ superior al umbral.
ii) Demostrar que si en un instante la población es inferior a x∗ o superior a x∗ entonces
debe decrecer, mientras que si se sitúa entre estos dos valores entonces crece. Concluir que si en un instante el tamaño de la población es inferior al umbral, entonces
desaparece en tiempo finito.
iii) Si además f ∈ C 1 (R), demostrar que cada problema de valores iniciales tiene solución
única. Concluir
que si
x > x∗ la solución maximal del problema de valores iniciales
³
¡
¢´ ¡ 0
¢
0
x (t) = k − f x(t)
x(t) − x∗ , x(0) = x0 está definida en [0, +∞) y satisface que
lı́m x(t) = x∗ .
t→+∞
Problema 5. Demostrar que las dos únicas poblaciones de equilibrio para el modelo logístico
(2.30) son x∗ y x∗ = ε−1 k. Demostrar que el modelo logístico la tasa de crecimiento es
proporcional a la diferencia entre la población y la población de equilibrio x∗ .
Problema 6. Determinar el tamaño de una población que en el instante inicial tiene x0 ≥ 0
individuos y cuya evolución se ajusta al modelo logístico (2.30).
Si x0 < x∗ , concluir que la población desaparece en tiempo finito y determinar el momento
en el que se produce su extinción.
Si x∗ = ε−1 k y x∗ < x0 < x∗ , concluir que el tamaño de la población se mantiene siempre
por debajo del valor x∗ pero su tamaño crece hasta tener x∗ individuos en tiempo infinito,
mientras que si x0 > x∗ , entonces la población se mantiene siempre por encima del valor x∗
y su tamaño decrece hasta tener x∗ individuos en tiempo infinito.
°
TEMA
3.1.
3
SISTEMAS
LINEALES
Sistemas de calor/frío con varios compartimentos
En la sección 1.2 tratamos el problema de determinar la temperatura en un edificio que
consta de un solo compartimiento, como podría ser un nave industrial. Nos preocuparemos
ahora de modelizar una generalización de este problema partiendo de los mismos principioc
físicos. Supongamos que el edificio consta de varios compartimentos C1 , ..., Cm comunicados o
no entre sí. Para cada j = 1, ..., m denotaremos por xj (t) la temperatura en el compartimento
Cj y consideremos Hj (t) el efecto en el cambio de xj (t) debido a las personas, a las máquinas
que están funcionando y por Uj (t, xj ) el efecto en el cambio de xj (t) debido a un sistema
de aire acondicionado de tipo lineal con cararterística constante αj ≥ 0 instalado en Cj .
En este caso, supondremos que para cada j = 1, . . . , m existen un valor positivo x∗j ∈ R
Uj (t, xj ) = αj (x∗j − xj ), para cada cada t.
Si kj > 0 y kji ≥ 0 son las constantes de proporcionalidad que, según la ley de Newton
regulan, el cambio de xj debido a la temperatura exterior y a la del compartimento Ci , i 6= j,
respectivamente, entonces para cada j = 1, ..., m, xj (t) satisface la ecuación diferencial:
x0j (t)
¡
¢
= kj T (t) − xj (t) +
m
X
¢
¡
¡
¢
kji xi (t) − xj (t) + αj x∗j − xj (t) + Hj (t).
(3.1)
i=1
i6=j
Observar que en este caso, el concepto de solución del problema planteado debe involucrar
los valores de las funciones incógnitas x1 , . . . , xm , que en vista de la experiencia es razonable
suponer que cada una de ellas depende de una constante. También parece razonable que
tales constantes queden unívocamente determinadas si en un instante dado es conocida la
55
56
Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas Lineales
temperatura de cada uno de los compartimentos o salas del edificio. En términos matemáticos, esto significa que si en el instante t0 el valor de la temperatura en cada sala es conocido,
por ejemplo igual a Tj grados, j = 1, . . . , m, la cuestión que planteamos es si el problema
x0j (t)
m
¢ X
¢
¢
¡
¡
= kj T (t) − xj (t) +
kji xi (t) − xj (t) + αj x∗j − xj (t) + Hj (t),
¡
i=1
i6=j
(3.2)
xj (t0 ) = Tj , j = 1, . . . , m
tiene una única solución.
Si para cada j = 1, . . . , n definimos la función fj (t) = Hj (t)+kj Tj (t)+αj x∗j y la constante
m
P
kjj = −kj − αj −
kji , entonces las igualdades (3.1) se expresan como
i=1
i6=j

 

 

x01 (t)
k11 · · · k1m
x1 (t)
f1 (t)
 ..   ..
..   ..  +  .. 
..
 . = .
.
.  .   . 
0
xm (t)
km1 · · · kmm
xm (t)
fm (t)
y es por tanto un sistema de m ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Obsérvese que a diferencia de los sistemas (2.13) y (2.14) que describen procesos, no lineal y
lineal respectivamente, de desintegración en cadena, el anterior es un acoplado, esto es las
incógnitas x1 , . . . , xm no pueden ser determinadas sino conjuntamente. Si ahora consideramos el vector x0 = (T1 , . . . , Tm )T , las funciones x, f : I −→ Rm cuyas componentes son
las funciones incógnitas x1 , . . . , xm y los datos f1 , . . . , fm y la matriz K = (kij ), entonces
las identidades (3.1) y más concretamente (3.2) pueden representarse de manera equivalente
como el problema de valor inicial
x0 (t) = Kx(t) + f (t), x(t0 ) = x0
análoga a (1.12) que corresponde al caso de un único compartimento, pero que ahora involucra funciones vectoriales.
Por tanto, de los problemas relativos a sistemas de calor/frío tratados hasta ahora, (1.3)
y (1.11) son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, mientras que (3.1) es un
sistema de m ecuaciones del mismo tipo. Además todas las situaciones pueden expresarse de
manera unificada mediante la notación x0 (t) = Kx(t) + f (t), donde el carácter vectorial de
las funciones involucradas determina que tratamos con un sistema de ecuaciones.
°
Motivación
57
Un ejemplo importante del caso de varios compartimentos lo constituye el siguiente problema: Se considera una barra homogénea de longitud ` cuyos extremos están en contacto con
medios cuyas temperaturas están reguladas por sistemas térmicos que las mantiene controladas según las funciones T0 y T` , respectivamente.
Se supone que la barra está dividida en m partes iguales, donde m ≥ 2 y denotaremos
por xj , j = 1, . . . , m, a la temperatura del segmento j-ésimo de la barra. La aplicación de
(3.1) determina las siguientes identidades
´
= k10 T0 (t) − x1 (t) + k12 x2 (t) − x1 (t) ,
k10 , k12 ≥ 0,
³
´
³
´
x0j (t) = kjj−1 xj−1 (t) − xj (t) + kjj+1 xj+1 (t) − xj (t) , kjj−1 , kjj+1 ≥ 0, 2 ≤ j ≤ m − 1,
³
´
³
´
0
xm (t) = kmm−1 xm−1 (t) − xm (t) + kmm+1 T` (t) − xm (t) , kmm−1 , kmm+1 ≥ 0.
x01 (t)
³
´
³
Como el material de la barra es homogéneo y todos los segmentos tienen la misma longitud, se
satisface que existe c ≥ 0 tal que kjj−1 = kjj+1 = c para cada j = 1, . . . , m. Además, se sabe
que la constante c es inversamente proporcional al cuadrado de la longitud de cada segmento
k
y por tanto c = 2 , donde k es una constante característica del material, básicamente se
h
`
trata de su conductividad térmica, y h = . Finalmente, si suponemos que en el segmento
m
j-ésimo existe una fuente de calor que aporta una cantidad de calor igual a Fj , resulta que
las variaciones de temperaturas en cada segmento están descritas por las igualdades
k
h2
k
x0j (t) = 2
h
k
x0m (t) = 2
h
x01 (t) =
³
´
´
k ³
T0 (t) − x1 (t) + 2 x2 (t) − x1 (t) + F1 (t),
h
³
´
´
k ³
xj−1 (t) − xj (t) + 2 xj+1 (t) − xj (t) + Fj (t), 2 ≤ j ≤ m − 1,
h
³
´
´
k ³
xm−1 (t) − xm (t) + 2 T` (t) − xm (t) + Fm (t).
h
(3.3)
Para que el problema anterior esté correctamente formulado, es preciso también considerar la temperatura inicial de cada segmento de la barra, es decir suponer que están dados
los valores xj (0) = uj , donde uj ∈ N∗ , j = 1, . . . , m.
El proceso descrito responde a una discretización de un problema de difusión de calor
en una barra homogénea en cuyas ecuaciones de equilibrio se expresan mediante el siguiente
problema:
°
58
Encontrar u : [0, +∞) × [0, `] −→ R que satisfaga las identidades
µ ¶
µ 2 ¶
∂u
∂ u
−k
= F (t, x)
∂t (t,x)
∂x2 (t,x)
u(t, 0) = T0 (t), u(t, `) = T` (t)
u(0, x) = u0 (x)
En esta situación, para cada (t, x), el valor u(t, x) representa la temperatura del punto
x ∈ [0, `] de la barra en el instante t ≥ 0 y en particular, u0 es la temperatura inicial de
la barra, mientras que F (t, x) representa la densidad de una fuente de calor aplicada a la
barra. Naturalmente, la continuidad de la función u exige que se satisfagan las condiciones
de compatibilidad u0 (0) = T0 (0) y u0 (`) = T` (0).
Si para cada j = 1, . . . , m consideramos rj = j h, entonces u0 (rj ) = uj , j = 1, . . . , m.
Observar que la condición de compatibilidad requiere en este caso que u1 = T0 (0) y que
Z `
um = T` (0). Por otra parte, Q(t) =
F (t, x) dx es el calor total aportado por la fuente en
0
Z rj
el instante t ≥ 0, mientras que para cada j = 1, . . . , m, Fj (t) =
F (t, x) dx representa la
aportación neta de calor en el segmento j-ésimo.
3.2.
rj−1
Derivación e integración de funciones matriciales
En la sección anterior hemos modelizado problemas que requieren el uso del lenguaje
vectorial y en particular de matrices que ese caso actuan de coefientes. Procederemos a
continuación a presentar la definición de función matricial.
Dados n, m ∈ N∗ y para cada i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m la función aij : I −→ R, la
función matricial de coeficientes aij , es la aplicación
A¢: I −→ Mn×m (R) determi¡
nada para cada t ∈ I por la asignación A(t) = aij (t) . Además, para cada r ∈ N,
diremos que A es de clase C r (I) si y sólo si todas las funciones coeficientes son de
clase C r (I). Si A es de clase C r (I) con r ≥ 1, denominaremos derivada de orden k,
0 ≤ k ≤ r, de A a la aplicación matricial Ak) cuyas funciones componentes son las
derivadas de orden k de las funciones componentes
¡ k)de A,
¢ es decir a la aplicación
k)
matricial determinada por la asignación A (t) = aij (t) , para cada t ∈ I.
(3.4)
Supongamos que las aplicaciones matriciales A : I −→ Mn×m (R) y B : I −→ Mm×k (R)
tienen como coeficientes a las funciones aij y bj,l , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, l = 1, . . . , k,
°
Derivación e integración de funciones matriciales
59
respectivamente. Si C : I −→ Mn×k (R) es la aplicación matricial determinada por la asignación C(t) = A(t)B(t), para cada t ∈ I, entonces las funciones coeficientes de C están
m
P
determinadas por la igualdad cil (t) =
aij (t)bjl (t), i = 1, . . . , n, l = 1, . . . , k.
j=1
Por tanto, si A y B son ambas de clase C 1 (I), entonces cil ∈ C 1 (I) para i = 1, . . . , n y
m
m
P
P
a0ij (t)bjl (t) + aij (t)b0jl (t). En definitiva tenemos que
cada l = 1, . . . , k y además c0il (t) =
j=1
j=1
Si A : I −→ Mn×m (R) y B : I −→ Mm×k (R) son funciones matriciales de
clase C 1 (I), entonces su producto es una función matricial de clase C 1 (I) y
además (AB)0 = A0 B + AB 0 .
(3.5)
Así pues, la regla de derivación de un producto de aplicaciones matriciales es idéntica a
la de derivación de funciones escalares. Sin embargo, en general no podemos concluir que se
satisfagan otras propiedades que sí verifica la derivación de funciones escalares. Por ejemplo,
si A : I −→ Mm (R) es declase C 1 (I), entonces (A2 )0 = A0 A + AA0 y en general esta suma es
0
diferente de 2AA0 y de 2A0 A, puesto que las matrices
A
¸ y A no tienen por qué conmutar.
· Para
¸
·
1 t
1 t
2
, lo que implica que A (t) =
,
convencerse de ello basta considerar A(t) =
0
0
0
0
·
¸
0 1
0
que A (t) =
y también que
0 0
·
0
2A(t)A (t) =
0 2
0 0
¸
·
¸ ·
¸
0 1
0 0
6
=
6=
= 2A0 (t)A(t).
0 0
0 0
| {z }
¡
¢0
A2 (t)
Supongamos que A : I −→ Mm (R) es una aplicación matricial cuyas funciones componentes son aij , i, j = 1, . . . , m. Como para cada t ∈ I la matriz A(t) es cuadrada, tiene
sentido considerar su determinante. Podemos pues definir la aplicación det A : I −→ R, que
para cada t ∈ I está dada por la identidad
det A(t) =
X
(−1)i(σ) a1σ(1) (t) · · · amσ(m) (t),
σ∈Sm
donde Sm es el grupo de las permutaciones de {1, . . . , m} e i(σ) es el índice de la permutación
σ. De la expresión anterior se deduce inmediatamente que si A es clase C r (I) con r ≥ 0,
entonces det A también es de clase C r (I). En particular, si A es de clase C 1 (I), utilizando la
°
60
Regla de derivación de un producto
0
Si f1 , . . . , fn ∈ C(I), entonces (f1 · · · fn ) =
n
X
f1 · · · fj0 · · · fn
(3.6)
j=1
obtenemos que
¡
X
¡
¢0
¢0
(−1)i(σ) a1σ(1) (t) · · · amσ(m) (t)
det A(t) =
σ∈Sm
=
=
X
i(σ)
(−1)
σ∈Sm
m X
X
m
X
a1σ(1) (t) · · · a0jσ(j) (t) · · · amσ(m) (t)
j=1
(3.7)
(−1)i(σ) a1σ(1) (t) · · · a0jσ(j) (t) · · · amσ(m) (t).
j=1 σ∈Sm
En definitiva tenemos que
si A : I −→ Mm (R) es una función matricial de clase C 1 (I), entonces su determinante es una función escalar de clase C 1 (I). Además, si para cada j = 1, . . . , m
consideramos Aj : I −→ Mm (R) la aplicación matricial cuyas funciones componentes son las mismas que las de A, excepto las correspondientes a la fila j-ésima
m
¡
¢0 P
det Aj .
que se han sustituido por sus derivadas, entonces det A =
(3.8)
j=1
De manera análoga a como hemos introducido el concepto de derivada de una aplicación
matricial podemos definir el de integral de una aplicación matricial. Concretamente,
Dados n, m ∈ N∗ , para cada i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m la función aij ∈ C(I)
y A = (aij ) la aplicación matricial continua de coeficientes aij . Fijado t0 ∈ I,
Z t
Z t
definimos
A(s) ds como la aplicación matricial de componentes
aij (s) ds.
t0
(3.9)
t0
Z
t
Con estas notaciones, si B(t) =
A(s) ds es claro que se satisfacen el Teorema Fundat0
mental del Cálculo, es decir B ∈ C 1 (I) y además B 0 (t) = A(t) para
Z t cada t ∈ I, así como la
A0 (s) ds, para cada t ∈ I.
Regla de Barrow, es decir, si A ∈ C 1 (I), entonces A(t) − A(t0 ) =
t0
°
Teoría general de sistemas lineales
3.3.
61
El objetivo de esta sección es el estudio de los problemas de valor inicial cuando la EDO,
o más exactamente el sistema de EDO, es lineal y de primer orden.
Datos para un sistema lineal de EDO
• El número natural no nulo m ∈ N∗ y el intervalo no trivial I ⊂ R.
• Término Fuerza: f : I −→ Rm continua de componentes f1 , . . . , fm .
• Coeficientes: aij : I −→ R continuas, i, j = 1, . . . , m.
¡
¢
• Matriz de Coeficientes: A : I −→ Mm (R), A(t) = aij (t) .
Fijados estos datos, un sistema de m ecuaciones diferenciales ordinarias lineales o sistema
lineal de EDO consiste en encontrar funciones x1 , . . . , xm : I −→ R de clase C 1 (I) que para
cada t ∈ I satisfagan la siguientes identidades
x01 (t) = a11 (t) x1 (t) + · · · + a1m (t) xm (t) + f1 (t)
x02 (t) = a12 (t) x1 (t) + · · · + a2m (t) xm (t) + f2 (t)
..
.
(3.10)
x0m (t) = am1 (t) x1 (t) + · · · + amm (t) xm (t) + fm (t)
Las conjunto de funciones x1 , . . . , xm que satisfagan las propiedades anteriores se denominarán soluciones del sistema. En general cabe esperar que el conjunto de soluciones del
sistema anterior posea m grados de libertad, de maner que hemos de imponer condiciones
adicioneales para determinarlos. Así, fijados t0 ∈ y z1 , . . . , zm ∈ R podemos plantear el
siguiente
Problema de valores inciales
x01 (t) = a11 (t) x1 (t) + · · · + a1m (t) xm (t) + f1 (t),
x1 (t0 ) = z1 ,
x02 (t) = a12 (t) x1 (t) + · · · + a2m (t) xm (t) + f2 (t),
..
.
x1 (t0 ) = z2 ,
x0m (t) = am1 (t) x1 (t) + · · · + amm (t) xm (t) + fm (t), xm (t0 ) = zm ,
que plantea la búsqueda de aquélla o aquéllas soluciones del sistema que satisfacen además
las condiciones fijadas.
°
62
De forma equivalente, si x : I −→ Rm es una función de clase C 1 (I) el anterior sistema
puede expresarse como la EDO
x0 (t) = A(t)x(t) + f (t),
(3.11)
y en este caso x : I −→ Rm se denomina solución de la EDO. Análogamente, si consideramos
x0 = (z1 , . . . , zm )T ∈ Rm el anterior problema de valores iniciales se expresa como
x0 (t) = A(t)x(t) + f (t),
x(t0 ) = x0 .
(3.12)
Observar que al mismo problema lo estamos denominando sistema si lo expresamos con
la notación de (3.10) o ecuación si lo expresamos como (3.11). Esta ambigüedad en la terminología que denomina sistema o ecuación al mismo problema, dependiendo solamente de su
presentación, no debe en la práctica inducir a error ninguno. Cuando m = 1, la identidad
anterior es una genuina EDO de primer orden, mientras que si m > 1, es decir si tanto f
como x son funciones vectoriales de una variable real y A una aplicación matricial, la identidad representa un sistema a pesar de que se denomine ecuación. Es por tanto el contexto
de cada problema el que determinará si tratamos una sola ecuación o un sistema de ellas.
Observar también que si expresamos el problema como (3.11), entonces x es solución si y
sólo si sus componentes son solución del problema expresado como (3.10).
Es claro que cuando m = 1, el sistema (3.11) se reduce simplemente a la EDO lineal
escalar estudiada en el Tema 1, que en cierta forma nos servirá de guía para reproducir en
el caso general los resultados allí obtenidos. Para ello, necesitamos asumir como cierto un
resultado relativo a la existencia y unicidad de solución de cada problema de valor inicial.
Existencia y unicidad
Cada problema de valores iniciales para el sistema lineal
x0 (t) = A(t)x(t) + f (t)
Cuando analizamos las propiedades de la ecuación lineal escalar la que entonces denominamos ecuación homogénea asociada jugó un importante papel. Generalizaremos ahora este
concepto al caso que nos ocupa.
Denominamos sistema homogéneo asociado al sistema x0 (t) = A(t)x(t) + f (t),
al sistema lineal x0 (t) = A(t)x(t).
(3.13)
°
63
Como vimos en el caso escalar, las soluciones de la ecuación homogénea y las de ecuación
completa están relacionadas entre sí. Concretamente si x e y son soluciones de la EDO (3.11),
entonces z(t) = x(t)−y(t) es una solución de la ecuación homogénea (3.13) y recíprocamente
si a una solución concreta de (3.11) le sumamos una solución de la ecuación homogéa (3.13)
el resultado es una nueva solución de (3.11). en definitiva, tenemos que
si y es una solución concreta del sistema lineal x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), entonces
cualquier otra solución se expresa como x = z + y donde z es una solución del
sistema homogéneo z 0 (t) = A(t)z(t).
(3.14)
Por otra parte, la unicidad de solución de cada problema de valores iniciales permite expresar la propiedad anterior con más precisión, innecesaria en el caso de ecuaciones escalares:
Principio de superposición
Fijado m ∈ N∗ , para cada aplicación matricial continua A : I −→ Mm (R), el conjunto de
soluciones del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t) es un espacio vectorial real de dimensión m y para cada función continua f : I −→ Rm , el conjunto de soluciones del sistema
x0 (t) = A(t)x(t) + f (t) tiene estructura de espacio afín cuya variedad lineal subyacente es
el espacio vectorial de soluciones de la ecuación homogénea. Además, {x1 , . . . , xm } es base
de soluciones del sistema homogéneo si y sólo si existe t0 ∈ I tal que {x(t0 ), . . . , xm (t0 )}
es base de Rm y cuando esto ocurre, {x1 (t), . . . , xm (t)} es base de Rm para todo t ∈ R.
La estructura de espacio vectorial para el conjunto de las soluciones del sistema homogéneo y la espacio afín para el de las soluciones del sistema completo no son más que una
lectura geométrica de la propiedad (3.14), por lo que sólo resta demostrar que la dimensión
de tales espacios es precisamente m.
La clave de todo el razonamiento estriba en el sencillo hecho siguiente: Como la función
nula es solución del sistema homogéneo y cada problema de valores iniciales tiene una única
solución,
si x : I −→ Rm es una solución de x0 (t) = A(t)x(t) y x(t0 ) = 0
para algún t0 ∈ I, entonces x(t) = 0 para cada t ∈ I.
(3.15)
Consideremos ahora x1 , . . . , xk , k soluciones del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t) y
fijemos t0 ∈ I y también los vectores vj = xj (t0 ) ∈ Rm , j = 1, . . . , k.
Si v1 , . . . , vk son linealmente independientes, entonces las funciones x1 , . . . , xk son linealmente independientes, ya que si existen α1 , . . . , αk ∈ R tales que α1 x1 (t) + · · · + αk xk (t) = 0,
°
64
para cada t ∈ I, es decir tales que la función x(t) = α1 x1 (t) + · · · + αk xk (t) es idénticamente
nula, como x(t0 ) = α1 v1 + · · · + αm vm = 0, la independencia lineal de v1 , . . . , vk implica que
α1 = · · · = αk = 0.
Recíprocamente, si las funciones x1 , . . . , xk son linealmente independientes y existen
α1 , . . . , αk ∈ R tales que α1 v1 + · · · + αk vk = 0, entonces x(t) = α1 x1 (t) + · · · + αk xk (t)
es solución del sistema homogéneo y como x(t0 ) = α1 v1 + · · · + αk vk = 0, (3.15) implica que
x es la función nula. La independencia lineal de x1 , . . . , xk determina que α1 = · · · = αk = 0
y, en definitiva, que los vectores v1 , . . . , vk son linealmente independientes.
El razonamiento anterior muestra que
si x1 , . . . , xk son soluciones del sistema homogéneo, entonces son linealmente
independientes si y sólo si existe t0 ∈ I tal que los vectores x1 (t0 ), . . . , xk (t0 )
son linealmente independientes y que esto ocurre si y sólo si los vetores
x1 (t), . . . , xk (t) son linealmente independientes para cada t ∈ I.
(3.16)
Como en Rm no puede haber sistemas de vectores linealmente independientes con más de
m vectores, este resultado implica que que la dimensión del espacio de soluciones del sistema
homogéneo ha de ser menor o igual a m. Por otra parte, de la conclusión anterior también
se deduce que
si {v1 , . . . , vm } es una base de Rm y consideramos t0 ∈ I y para cada j = 1, . . . , m la única solución del problema de valores iniciales
x0 (t) = A(t)x(t), x(t0 ) = vj , entonces {x1 , . . . , xm } son linealmente
independientes y por tanto base del espacio de soluciones del sistema
homogéneo, ya que son m elementos linealmente independientes en un
espacio vectorial cuya dimensión es m a lo sumo.
(3.17)
El resultado anterior concluye la demostración del principio de superposición y determina además un método para construir bases de soluciones del sistema homogéneo: basta
seleccionar una base de Rm , un punto t0 ∈ I y resolver los m problemas de valor inicial a
los que estos datos dan lugar. Naturalmente la importancia de las bases de soluciones del
sistema homogéneo radica en que cada una de ellas es suficiente para determinar todas las
soluciones de del sistema homogéneo. Concretamente,
si {x1 , . . . , xm } es una base del espacio de soluciones del sistema homogéneo,
entonces el espacio vectorial de las soluciones del sistema homogéneo está
determinado por la identidad
©
ª
x(t) = c1 x1 (t) + · · · + cm xm (t) : c1 , . . . , cm ∈ R .
(3.18)
°
65
Como comentábamos al comienzo de esta sección, nuestra intención es reproducir en la
medida de lo posible los resultados obtenidos para el caso escalar. Para ello, será cómodo
introducir la siguiente notación matricial que recupera, al menos formalmente la situación
unidimensional:
Consideremos x1 , . . . , xk : I −→ Rm funciones de clase C 1 (I) y definamos la aplicación
matricial Φ : I −→ Mm×k (R) dada por

x11 (t) · · · x1k (t)


..
..
...
Φ(t) = 
,
.
.
xm1 (t) · · · xmk (t)

para cada
t ∈ I.
Entonces, es sencillo comprobar que si las funciones x1 , . . . , xk son simultáneamente soluciones del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t) entonces la aplicación matricial Φ satisface
la identidad Φ0 (t) = A(t)Φ(t). Recíprocamente, si Φ : I −→ Mm×k (R) es una aplicación
matricial de clase C 1 (I) que satisface la identidad Φ0 (t) = A(t)Φ(t) para cada t ∈ I, entonces
sus k columnas de son soluciones del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t).
Una aplicación matricial Φ : I −→ Mm (R) de clase C 1 (I) se denomina matriz
fundamental del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t) si y sólo si sus columnas
son base de soluciones del espacio de soluciones de tal sistema.
(3.19)
Los resultados anteriores y el principio de superposición establecen las condiciones para
que una aplicación matricial de clase C 1 (I) sea fundamental:
La aplicación matricial de clase C 1 (I), Φ : I −→ Mm (R), es fundamental
para el sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t) si y sólo si satisface la
identidad Φ0 (t) = A(t)Φ(t) para cada t ∈ I y además existe t0 ∈ I tal
que detΦ(t0 ) 6= 0, o equivalentemente si y sólo si detΦ(t) 6= 0, para
cada t ∈ I.
(3.20)
Del principio de superposición se desprende que si Φ : I −→ Mm (R) una aplicación
matricial de clase C 1 (I) que satisface que Φ0 (t) = A(t)Φ(t) para cada t ∈ I, entonces o
bien detΦ(t) = 0 para cada t ∈ I o bien detΦ(t) 6= 0 para cada t ∈ I, dependiendo de
que Φ sea fundamental o no. De hecho, como detΦ(t) ∈ C(I), si se verifica la segunda
propiedad, entonces o bien detΦ(t) > 0 para cada t ∈ I o bien detΦ(t) < 0 para cada
t ∈ I, lo que significa geométricamente que para cada t ∈ I, las columnas de Φ(t) son una
base con la misma orientación que la base canónica de Rm o con orientación opuesta a ésta,
respectivamente.
°
66
Como comprobaremos a continuación, es posible determinar exactamente la expresión del
determinante de una aplicación matricial cuyas columnas son solución del sistema homogéneo
x0 (t) = A(t)x(t). Consideremos Φ : I −→ Mm (R) una aplicación matricial de clase C 1 (I)
que satisface que Φ0 (t) = A(t)Φ(t) para cada t ∈ I y definamos la función w(t) = det Φ(t).
Entonces, aplicando (3.8), obtenemos que

x11 (t) · · ·
..

.

m
P

w0 (t) =
det Φ0j (t), Φ0j (t) =  x0j1 (t) · · ·

j=1
..

.
xm1 (t) · · ·

x1k (t)
..

.


x0jm (t)  , j = 1, . . . , m, t ∈ I.

..

.
xmk (t)
Como las columnas de Φ son solución del sistema homogéneo, para cada j, i = 1, . . . , m
m
P
y cada t ∈ I, se satisface que x0ji (t) =
ajs (t)xsi (t) y por tanto sustituyendo estos valores
s=1
en la expresión anterior y utilizando las propiedades básicas del cálculo de determinantes,
obtenemos que

x11 (t) · · ·
..

m
.

X

0
det Φj (t) =
ajs (t)det  xs1 (t) · · ·

..
s=1

.
xm1 (t) · · ·
En definitiva, w0 (t) =
m
¡P

x1k (t)
..

.


xsm (t)  = ajj (t)w(t).

..

.
xmk (t)
¢
¡
¢
ajj (t) w(t), es decir w0 (t) = tr A(t) w(t), para cada t ∈ I,
j=1
donde tr A denota la traza de la matriz A. Esta ecuación es escalar y homogénea y puede
por tanto integrarse explícitamente, según los resultados obtenidos en el Tema 1.
Lema de Abel-Liouville
Fijados m ∈ N∗ , I un intervalo no trivial, t0 ∈ I y la aplicación matricial continua
A : I −→ Mm (R), para cada aplicación matricial Φ : I −→ Mm (R) de clase C 1 (I)
tal que Φ0 (t) = A(t)Φ(t), para cada t ∈ I se satisface que
Z t
trA(s) ds
det Φ(t) = det Φ(t0 ) e t0
°
67
El hecho de que las columnas de una matriz fundamental constituyan una base del espacio
de soluciones del sistema homogéneo permite obtener una expresión equivalente a (3.18) en
los siguientes términos:
Si Φ : I −→ Mm (R) es una matriz fundamental del sistema homogéneo
x0 (t) = A(t)x(t), entonces el espacio vectorial de las soluciones de tal sistema
está determinado por la identidad
(3.21)
{x(t) = Φ(t) c : c ∈ Rm }.
La expresión anterior para el espacio de soluciones del sistema homogéneo, permite ahora
determinar fácilmente la única solución de cada problema de valores iniciales:
Si dados t0 ∈ I y x0 ∈ Rm planteamos el problema de valor inicial x0 (t) = A(t)x(t),
x(t0 ) = x0 , entonces x(t) = Φ(t)c para algún c ∈ Rm . Como además x0 = x(t0 ) = Φ(t0 )c, teniendo en cuenta que Φ(t0 ) es una matriz invertible, resulta que c = Φ−1 (t0 )x0 . En definitiva,
hemos demostrado que
si Φ : I −→ Mm (R) es una matriz fundamental del sistema homogéneo
x0 (t) = A(t)x(t), entonces para cada t0 ∈ I y cada x0 ∈ Rm la única
solución del problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t), x(t0 ) = x0 , está
dada por la identidad
x(t) = Φ(t)Φ−1 (t0 ) x0 .
(3.22)
Supongamos que ahora consideramos f : I −→ Rm continua y que nos planteamos las
soluciones del sistema x0 (t) = A(t)x(t) + f (t).
Supuesta conocida Φ, una aplicación fundamental del sistema homogéneo, según el principio de superposición, para describir todas las soluciones del problema anterior es suficiente
encontrar una solución particular del mismo. Siguiendo nuevamente los pasos del caso escalar planteamos ahora la técnica de variación de las constantes que reformulada al caso no
escalar consiste en buscar una función c : I −→ Rm de clase C 1 (I) tal que xp (t) = Φ(t)c(t)
sea solución del sistema x0 (t) = A(t)x(t) + f (t). Para que esto ocurra debe satisfacerse que
£
¤0
A(t) Φ(t)c(t) + f (t) = φ(t)c(t) = Φ0 (t) c(t) + Φ(t)c0 (t) =⇒ c0 (t) = Φ(t)−1 f (t),
| {z }
A(t)Φ(t)
°
68
de manera que c : I −→ Rm debe ser una primitiva de la función Φ(t)−1 f (t). Así pues,
las soluciones del sistema x0 (t) = A(t)x(t) + f (t) están determinadas por la expresión
£
¤
x(t) = Φ(t) c + α(t) , c ∈ Rm
(3.23)
0
donde Φ es matriz fundamental del sistema homogéneo x (t) = A(t)x(t) y la
función α : I −→ Rm satisface que α0 (t) = Φ−1 (t)f (t).
Si ahora fijamos t0 ∈ I y x0 ∈ Rm , para identificar en la expresión (3.23) a la única
solución del sistema que satisface estas condiciones iniciales procederemos
£
¤ como en el caso
escalar, valorando en el punto t0 : Como x0 = x(t0 ) = Φ(t0 ) c + α(t0 ) , necesariamente
c = Φ−1 (t0 )x0 − α(t0 ), lo que implica que
h
¤
£
¤
x(t) = Φ(t) Φ−1 (t0 )x0 − α(t0 ) + α(t) = Φ(t)Φ−1 (t0 )x0 + Φ(t) α(t) − α(t0 ) .
Como α(t) − α(t0 ) es la única primitiva de Φ−1 (t)f (t) que se anula en t0 , resulta que
Z
t
α(t) − α(t0 ) =
Φ−1 (s)f (s) ds.
t0
En definitiva hemos demostrado el resultado fundamental de este Tema:
Fórmula de Lagrange
Fijados m ∈ N∗ , I un intervalo no trivial y A : I −→ Mm (R) una aplicación matricial
continua, si Φ : I −→ Mm (R) es una matriz fundamental del sistema homogéneo
x0 (t) = A(t)x(t), entonces para cada t0 ∈ I, cada x0 ∈ Rm y cada f : I −→ Rm
continua, la función
Z t
−1
x(t) = Φ(t)Φ (t0 )x0 + Φ(t)
Φ−1 (s)f (s) ds,
t0
es la única solución global del problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t) + f (t),
x(t0 ) = x0 .
Observemos que la Fórmula de Lagrange expresa la única solución del problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t)+f (t), x(t0 ) = x0 como superposición de Φ(t)Φ−1Z(t0 )x0 , la única
t
solución del problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t), x(t0 ) = x0 con Φ(t)
Φ−1 (s)f (s) ds,
t0
la única solución del problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = 0.
°
La función de Green de un sistema lineal
3.4.
69
La función de Green de un sistema lineal
Tanto en la identidad (3.22) como en el caso más general de la Identidad de Lagrange las
expresiones que determinan la única solución de cada problema de valores iniciales para los
sistemas lineales, homogéneos en el primer caso y generales en el segundo, están ligadas a la
elección previa de una matriz fundamental del sistema homogéneo, o lo que es equivalente a
la elección de una base del espacio de soluciones de tal sistema. Naturalmente, la unicidad
de soluciones implica que el resultado final no puede depender de la base inicialmente fijada.
Esta cuestión motiva que nos preocupemos de analizar la relación entre diferentes bases de
soluciones del sistema homogéneo o, lo que es equivalente, entre dos matrices fundamentales.
Supongamos que A : I −→ Rm es una aplicación matricial continua y que Φ : I −→ Rm
es una matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t).
Consideremos también Ψ : I −→ Mm (R) una aplicación matricial de clase C 1 (I) y tal
que Ψ0 (t) = A(t)Ψ(t), para cada t ∈ I. Si y1 , . . . , ym : I −→ Rm son las columnas de Ψ,
entonces son soluciones del sistema lineal x0 (t) = A(t)x(t) y por tanto, teniendo en cuenta
(3.21), para cada j = 1, . . . , m debe existir pj ∈ Rm tal que yj (t) = Φ(t)pj , para todo
t ∈ I. Si consideramos P ∈ Mm (R) la matriz cuyas columnas son p1 , . . . , pm , resulta que
Ψ(t) = Φ(t)P , para cada t ∈ I.
Recíprocamente, dada P ∈ Mm (R) la aplicación matricial Ψ : I −→ Mm (R) definida
para cada t ∈ I como Ψ(t) = Φ(t)P satisface que es de clase C 1 (I) y además que
Ψ0 (t) = Φ0 (t)P = A(t)Φ(t)P = A(t)Ψ(t),
para cada t ∈ I.
Por otra parte, teniendo en cuenta que det Ψ(t) = det Φ(t) det P , resulta que
si A : I −→ Rm es una aplicación matricial continua y Φ : I −→ Rm es una
matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t), entonces una aplicación matricial
Ψ : I −→ Mm (R) de clase C 1 (I) satisface que Ψ0 (t) = A(t)Ψ(t) si y sólo si
existe P ∈ Mm (R) tal que Ψ(t) = Φ(t)P , para cada t ∈ I. En particular, Ψ es
fundamental del sistema si y sólo si P es no singular, es decir si y sólo si det P 6= 0.
(3.24)
En definitiva el resultado anterior muestra que dos matrices fundamentales, del mismo
sistema difieren en una matriz no singular. Esto significa que si Φ y Ψ son fundamentales y
para cada t ∈ I consideramos las bases de Rm determinadas por las columnas de Φ(t) y de
Ψ(t), entonces la matriz de cambio de una base a otra es independiente de t. En particular,
como Ψ(t) = Φ(t)P para cada t ∈ I, si existe s ∈ I tal que Ψ(s) = Φ(s), entonces como
°
70
Ψ(s) = Φ(s)P y Φ(s) es invertible, necesariamente P = I y por tanto Ψ = Φ. Así pues,
si Φ y Ψ son matrices fundamentales del sistema x0 (t) = A(t)x(t) y Φ(s) = Ψ(s)
para algún s ∈ I, entonces Φ(t) = Ψ(t) para todo t ∈ I. En particular, para cada
s ∈ I existe una única matriz fundamental Φ : I −→ Mm (R) tal que Φ(s) = I.
(3.25)
Después de las propiedades anteriores, resulta que si Φ : I −→ Mm (R) es una matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t), entonces fijado s ∈ I, como Φ(s) es no singular tiene
sentido Φ−1 (s) y la aplicación matricial Ψ : I −→ Mm (R) definida como Ψ(t) = Φ(t)Φ−1 (s),
para cada t ∈ I es también fundamental y como Ψ(s) = I, es la única matriz fundamental
con esta propiedad. Así pues,
si Φ y Ψ son dos matrices fundamentales del mismo sistema, entonces para
cada s ∈ I se satisface que Φ(t)Φ−1 (s) = Ψ(t)Ψ−1 (s), para cada t ∈ I,
(3.26)
propiedad que permite introducir el concepto fundamental de esta sección:
Función de Green
Si I ⊂ R es un intervalo no trivial, m ∈ N∗ y A : I −→ Rm es una aplicación matricial
continua, denominaremos Función de Green del sistema x0 (t) = A(t)x(t) a la aplicación
matricial
G : I × I −→ Mm (R)
(t, s)
−→ Φ(t)Φ−1 (s),
donde Φ : I −→ Rm es cualquier matriz fundamental del sistema.
Así pues la función de Green se construye tomando en cada s ∈ I el valor de la única
matriz fundamental que en s coincide con la identidad. En particular, esto significa que
fijado s ∈ I, para cada j = 1, . . . , n la columna j-ésima de G(t, s) es la única solución del
problema d evalores iniciales x0 (t) = A(t)x(t), x(s) = ej , donde ej es el j-ésimo vector de la
base canónica de Rm .
Como las componentes de Φ−1 (s) están determinadas por cocientes de determinantes de
matrices con componentes de clase C 1 (I), continuas, resulta que Φ−1 (s) es de clase C 1 (I) y
por tanto, la función de Green es de clase C 1 (I × I) y en particular continua en I × I. Por
otra parte, es inmediato comprobar que la función de Green satisface también las siguientes
propiedades:
G(s, s) = I,
para cada s ∈ I,
G(s, t) = G−1 (t, s), para cada t, s ∈ I,
G(t, s)G(s, τ ) = G(t, τ ),
(3.27)
para cada t, s, τ ∈ I.
°
Dependencia de los datos y Estabilidad de un Sistema Lineal
71
Es patente que la función de Green del sistema x0 (t) = A(t)x(t) depende exclusivamente
de la matriz de coeficientes A(t). Además la fórmula de Lagrange puede reescribirse en
términos de la función de Green como sigue:
Fórmula de Lagrange-Green
Fijados m ∈ N∗ , I un intervalo no trivial y A : I −→ Mm (R) una aplicación matricial
continua, si G : I × I −→ Mm (R) es la función de Green del sistema homogéneo
x0 (t) = A(t)x(t), entonces para cada t0 ∈ I, cada x0 ∈ Rm y cada f : I −→ Rm
continua, la función
Z t
x(t) = G(t, t0 )x0 +
G(t, s)f (s) ds,
t0
x(t0 ) = x0 .
Si nuevamente apelamos a la interpretación de la solución de cada problema de valores
iniciales x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 en términos de la respuesta a la perturbación
externa f de un sistema físico, mecánico, químico, biológico, etc., y cuyas características
están recogidas en la matriz de coeficientes y cuyo estado en el instante t0 es conocido,
x0 , resulta que la función de Green aparece como una propiedad intrínseca del sistema
físico, mecánico, químico o biológico, que depende exclusivamente de sus características, una
especie de caja negra del sistema, capaz de proporcionar la información sobre el estado del
mismo a partir de las perturbaciones introducidas en él. De hecho, el primer sumando en
la fórmula de Lagrange-Green representa la evolución del estado del sistema, no sometido a
acciones externas, a partir del conocimiento del estado en un instante dado, mientras que
el segundo sumando representa la evolución del estado del sistema que en el instante t0 se
hallaba en reposo y que está sometido a la acción externa f . Es importante observar que en
la determinación del estado del sistema en un instante t sólo intervienen los valores de las
acciones externas comprendidas entre t0 y t cuando t > t0 o entre t y t0 cuando t < t0 .
Por otra parte, la relación sistema-función de Green es aún más estrecha: no sólo las
características del sistema determinan la función de Green, si no que ésta determina a su
vez aquéllas, es decir conocida la función de Green de un sistema, es posible determinar
explícitamente dicho sistema. Para comprobar esta propiedad basta observar que fijado s0 ∈ I
y considerada G(t, s0 ) como función de t, resulta que G0 (t, s0 ) = A(t)G(t, s0 ) y por tanto,
G0 (t, s0 )G(s0 , t) = A(t),
para cada t ∈ I,
(3.28)
donde se ha tenido en cuenta que G−1 (t, s) = G(s, t).
°
72
3.5.
Dependencia de los datos y Estabilidad
Fijados los datos de un sistema lineal, la Fórmula de Lagrange determina la única solución
de cada problema de valor inicial propuesto y deja clara la influencia de esos datos iniciales
en dicha solución. Nos planteamos en esta sección determinar cómo varía la solución respecto
de la modificación de los datos iniciales. Comenzaremos con la siguiente definición
si I ⊂ R es un intervalo no trivial, A : I −→ Mm (R) es continua y f : I −→ Rm
es continua denominamos Flujo del sistema x0 (t) = A(t)x(t) + f (t) a la aplicación
ϕ:
I × I × Rm −→ Rm
(t, s, x)
−→ valor en t de la única solución de problema de
valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), x(s) = x
(3.29)
La Fórmula de Lagrange establece una expresión explícita para el fujo de un sistema lineal,
concretamente,
si Φ es una matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t), entonces para cada
f : I −→ Rm continua el flujo del sistema x0 (t) = A(t)x(t) + f (t) está dado por
la identidad
Z t
−1
ϕ(t, s, x) = Φ(t)Φ (s)x +
Φ(t)Φ−1 (u)f (u) du.
(3.30)
s
Nuestro propósito es por tanto estudiar la regularidad de la función anterior respecto de
sus argumentos. Para ello observemos primero que como detΦ es una función de clase C 1 (I)
y no nula, la aplicación matricial Φ−1 es también de clase C 1 (I). Además, de la identidad
Id = Φ(t)Φ−1 (t) para cada t ∈ I, resulta que
£
¤0
0 = Id0 (t) = Φ(t)Φ−1 (t) = Φ0 (t)Φ−1 (t) + Φ(t)(Φ−1 )0 (t),
lo que implica que
(Φ−1 )0 (t) = −Φ−1 (t)Φ0 (t)Φ−1 (t) = −Φ−1 (t)A(t)Φ(t)Φ−1 (t) = −Φ−1 (t)A(t).
De los razonamientos anteriores, deducimos ahora que ϕ ∈ C 1 (I × I × Rm ). En particular,
esto implica que la solución de cada problema de valor inicial para un sistema lineal varía no sólo
°
73
continuamente sino diferencialmente respecto de los datos iniciales. Nuestro siguiente propósito
es determinar las derivadas parciales del flujo, lo que podremos hacer fácilmente a partir de
µ
¶T
∂ϕ
∂ϕ1
∂ϕm
su expresión. Para comenzar, si
=
,...,
, resulta que
∂t
∂t
∂t
∂ϕ
= Φ0 (t)Φ−1 (s)x + Φ0 (t)
∂t
Z
t
Φ−1 (u)f (u) du + Φ(t)Φ−1 (t)f (t)
s
Z t
−1
= A(t)Φ(t)Φ (s)x + A(t)Φ(t)
Φ−1 (u)f (u) du + f (t) = A(t)ϕ(t, s, x) + f (t),
s
lo que era previsible ya que para s y x fijos ϕ es solución del sistema x0 (t) = A(t)x(t) + f (t).
µ
¶T
∂ϕ
∂ϕm
∂ϕ1
Por otra parte, si
,
=
,...,
∂s
∂s
∂s
¡
¢0
∂ϕ
= Φ(t) Φ−1 (s) x − Φ(t)Φ−1 (s)f (s) = −Φ(t)Φ−1 (s)A(s)x − Φ(t)Φ−1 (s)f (s)
∂s
£
¤
= −Φ(t)Φ−1 (s) A(s)x + f (s) .
∂ϕ
Finalmente, si
=
∂x
µ
¶
∂ϕj
, i, j = 1, . . . , m, resulta que
∂xi
∂ϕ
= Φ(t)Φ−1 (s).
∂x
µ
En definitiva, si consideramos
¶
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
,
,
, hemos demostrado que
∂t ∂s ∂x
si ϕ es el flujo del sistema lineal x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), entonces ϕ es de clase
C 1 (I × I × Rm ) y además
µ
¶ ³
´ (3.31)
£
¤
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
−1
−1
,
,
= A(t)ϕ(t, s, x)+f (t), −Φ(t)Φ (s) A(s)x+f (s) , Φ(t)Φ (s) .
∂t ∂s ∂x
Supongamos ahora fijados t0 ∈ I y x0 ∈ Rm y consideremos x la única solución del
problema de valor inicial x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 . Con las notaciones anteriores,
x(t) = ϕ(t, t0 , x0 ) y la continuidad del flujo en el punto (t0 , t0 , x0 ) establece que
°
74
fijado ε > 0 existe δ > 0 tal que si |t − t0 | ≤ δ y ||x0 − y|| ≤ δ, entonces
||ϕ(t, t0 , x0 ) − ϕ(t, t0 , y)|| ≤ ε
Las desigualdades anteriores, que son consecuencia de la continuidad del flujo, implican
que si en instante t0 consideramos dos condiciones iniciales “próximas”, las correspondientes
soluciones permanecen “próximas” en un intervalo de tiempo. En muchos problemas prácticos interesa que esa “proximidad” entre las soluciones se mantenga a lo largo del tiempo.
Naturalmente para que ello sea posible es imprescindible que el intervalo de definición de
las soluciones permita considerar tiempos arbitrariamente largos, o en otras palabras que no
sea acotado por la derecha, lo que implica que o bien I = R o bien debe ser de la forma
I = (a, +∞) o I = [a, +∞) con a ∈ R. La búsqueda de la propiedad descrita conduce a la
siguiente noción:
Estabilidad de una solución
Supongamos que el intervalo I no está acotado a la derecha y consideremos t0 ∈ I
y x0 ∈ Rm .
• Diremos que ϕ(t, t0 , x0 ) es estable si dado ε > 0 existe δ > 0 tal que para
cada x ∈ Rm con ||x − x0 || ≤ δ, entonces ||ϕ(t, t0 , x) − ϕ(t, t0 , x0 )|| ≤ ε
para todo t ≥ t0 .
• Diremos que ϕ(t, t0 , x0 ) es asintóticamente estable si es estable y existe δ > 0 tal que para cada x ∈ Rm con ||x − x0 || ≤ δ, entonces
lı́m ||ϕ(t, t0 , x) − ϕ(t, t0 , x0 )|| = 0
t→∞
• Diremos que ϕ(t, t0 , x0 ) es inestable si no es estable
Así pues, si x es la única solución del problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t)+f (t),
x(t0 ) = x0 , para determinar si x es estable, fijado ε > 0, debemos encontrar, si ello es posible,
δ > 0 tal que si ||y0 − x0 || ≤ δ, e y es la única solución del problema de valores iniciales
y 0 (t) = A(t)y(t) + f (t), y(t0 ) = y0 entonces ||y(t) − x(t)|| ≤ ε para cada t ≥ t0 .
Si consideramos ahora la función z 0 (t) = y(t) − x(t), entonces si z0 = z(t0 ) = y0 − x0 , la
cuestión de la estabilidad de x puede plantearse de manera equivalente como dado ε > 0,
encontrar, si es posible, δ > 0 tal que si ||z0 || ≤ δ, entonces ||z(t)|| ≤ ε para cada t ≥ t0 .
Por otra parte, como el sistema considerado es lineal, el principio de superposición establece que z es la única solución del problema de valores iniciales z 0 (t) = A(t)z(t), z(t0 ) = z0 .
Ahora bien, si tomamos w(t) = 0, la función nula es claro que w es la única solución del
problema de valores iniciales w0 (t) = A(t)w(t), w(t0 ) = w0 = 0 y además la estabilidad de x
puede establecerse de manera equivalente como dado ε > 0, encontrar, si es posible, δ > 0
°
75
tal que si ||z0 || = ||z0 − w0 || ≤ δ, entonces ||z(t)|| = ||z(t) − w(t)|| ≤ ε para cada t ≥ t0 . en
otras palabras x es estable si y sólo si w es estable. Naturalmente, podemos realizar el mismo
razonamiento para establecer que la estabilidad asintótica de x es equivalente a la estabilidad
asintótica de w como solución del sistema homogéneo.
Así pues las cuestiones de estabilidad, estabilidad asintótica o inestabilidad, de una solución concreta del sistema x0 (t) = A(t)x(t) + f (t) son equivalentes a las mismas cuestiones
planteadas para la solución nula del sistema homogéneo, así que son independientes del
término fuerza. Además como las cuestiones de estabilidad, estabilidad asintótica o inestabilidad son equivalentes a la verificación de dichas propiedades para la solución nula del
sistema homogéneo, resulta que todas las soluciones de una EDO lineal tienen el mismo
comportamiento. En resumen, hemos demostrado el siguiente resultado:
Una solución del sistema lineal x0 (t) = A(t)x(t) + f (t) es estable, asintóticamente
estable o inestable si y sólo si todas las soluciones son estables, asintóticamente
estables o inestables, respectivamente y además la condición necesaria y suficiente
para que esto ocurra es que la solución nula del sistema homogéneo asociado
x0 (t) = A(t)x(t) sea estable, asintóticamente estable o inestable, respectivamente.
(3.32)
Después del resultado obtenido tienen sentido las siguientes denominaciones:
Diremos que la aplicación matricial continua A : I −→ Rm es estable, asintóticamente estable o inestable si la solución nula del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t)
es estable, asintóticamente estable o inestable, respectivamente.
(3.33)
Fijado el sistema lineal x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), la próxima cuestión que nos debemos
plantear es la caracterizar la estabilidad de la aplicación matricial A(t).
Supongamos que la aplicación matricial A(t) es estable y fijemos t0 . Dado ε = 1, debe
existir δ > 0 tal que cuando ||x0 || ≤ δ, si z es la única solución del problema de valores
iniciales x0 (t) = A(t)x(t), entonces ||x(t)|| ≤ 1, para cada t ≥ t0 .
Consideremos z una solución arbitraria del sistema z 0 (t) = A(t)z(t). Si ||z(t0 )|| ≤ δ,
entonces ||z(t)|| ≤ 1, para cada t ≥ t0 . Si ||z(t0 )|| > δ, entonces x0 = ||z(tδ0 )|| z0 ∈ Rm satisface
que ||x0 || = δ. Como x(t) = ||z(tδ0 )|| z(t) es la única solución del problema de valores iniciales
x0 (t) = A(t)x(t), x(t0 ) = x0 , resulta que ||x(t)|| ≤ 1, para cada t ≥ t0 , lo que implica que
||z(t)|| ≤ ||z(tδ0 )|| , para cada t ≥ t0 .
En definitiva, hemos demostrado que si A(t) es estable, fijado t0 ∈ I, cada solución del
sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t) debe estar acotada a la derecha de t0 .
Recíprocamente, si toda solución del sistema x0 (t) = A(t)x(t) está acotada, consideremos
x1 , . . . , xm la base de soluciones del sistema x0 (t) = A(t)x(t) tal que xj (t0 ) = ej , j = 1, . . . , m,
°
76
donde {e1 , . . . , em } es la base canónica de Rm . Como las funciones anteriores están acotadas,
podemos tomar M1 , . . . , Mm > 0 tales que ||xj (t)|| ≤ Mj , para cada t ≥ t0 , j = 1, . . . , m y
considerar M = máx {Mj }.
j=1,...,m
Dado x0 = (x01 , . . . , x0m )T ∈ Rm , entonces la única solución del problema de valores
iniciales x0 (t) = A(t)x(t), x(t0 ) = x0 está dada por x(t) = x01 x1 (t) + · · · + x0m xm (t) y por
m
P
√
tanto ||x(t)|| ≤ M
|x0j | ≤ M n ||x0 ||, para cada t ≥ t0 . Por tanto, dado ε > 0, basta
tomar δ =
ε√
M n
j=1
para concluir que si ||x0 || ≤ δ, entonces ||x(t)|| ≤ ε, para cada t ≥ t0 .
Las mismas técnicas demuestran un resultado análogo para el caso de la estabilidad
asintótica. En resumen, hemos demostrado el siguiente resultado:
La aplicación matricial A : I −→ Mm (R) es estable o asintóticamente estable si
y sólo si para cada t0 ∈ I toda solución del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t)
está acotada para t ≥ t0 o satisface que lı́m ||x(t)|| = 0, respectivamente.
t→+∞
En particular, si Φ : I −→ Mm (R) es una matriz fundamental, entonces A es
estable
o asintóticamente estable si y sólo si fijado t0 ∈ I existe M > 0 tal que
s
m
P
Φ2ij (t) ≤ M , para cada t ≥ t0 ó lı́m Φ(t) = 0, respectivamente, donde 0
(3.34)
t→+∞
i,j=1
denota la matriz nula y el límite se efectúa componente a componente.
3.6.
El Sistema Adjunto
Consideremos A : I −→ Mm (R) una aplicación matricial continua y Φ : I −→ Mm (R)
una aplicación fundamental del sistema lineal x0 (t) = A(t)x(t). Entonces es claro que
ΦT ∈ C(I) y que (ΦT )0 = (Φ0 )T .
Por otra parte, en la sección anterior hemos demostrado que la aplicación matricial Φ−1
es también de clase C 1 (I) y que además
(Φ−1 )0 (t) = −Φ−1 (t)A(t),
lo que finalmente implica que
(Φ−T )0 (t) = −A(t)Φ−T (t).
(3.35)
°
El Sistema Adjunto
77
Las identidades anteriores motivan la siguiente definición:
Se denomina Sistema Adjunto de x0 (t) = A(t)x(t) a y 0 (t) = −AT (t)y(t)
(3.36)
Como es claro que el adjunto del sistema y 0 (t) = −AT (t)y(t) es x0 (t) = A(t)x(t), resulta
que un sistema coincide con su adjunto si y sólo si su matriz de coeficientes satisface que
A(t) = −AT (t), para cada t ∈ I, es decir si y sólo si la matriz de coeficientes es antisimétrica.
Un sistema con esta propiedad se denomina autoadjunto.
£
¤−1
Si tenemos en cuenta que cuando Φ(t) es no singular, det Φ−T (t) = det Φ−1 (t) = det Φ(t) ,
la identidad (3.35) implica que
Φ es matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t) si y sólo si
Φ−T es matriz fundamental de y 0 (t) = −AT (t)y(t)
(3.37)
Consideremos Φ matriz fundamental de x0 (t) = A(t)x(t) y Ψ : I −→ Mm (R) una aplicación matricial cde clase C 1 (I). Entonces, teniendo en cuenta que Φ−T es fundamental para
el problema adjunto y aplicando (3.24) resulta que Ψ0 (t) = −AT (t)Ψ(t) para cada t ∈ I si y
sólo si existe P ∈ Mm (R) tal que
Ψ(t) = Φ−T (t)P lo que implica que ΨT (t)Φ(t) = P T , cada t ∈ I.
Además Ψ es fundamental para el sistema adjunto si y sólo si P es no singular. Por tanto,
Si Φ es matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t), entonces Ψ es matriz
fundamental del sistema adjunto si y sólo si existe M ∈ Mm (R) no singular tal
que para cada t ∈ I se satisface ΨT (t)Φ(t) = M .
(3.38)
Supongamos que x, y : I −→ Rm son soluciones del sistema x0 (t) = A(t)x(t) y de su
adjunto y 0 (t) = −AT (t)y(t). Como Φ es matriz fundamental del primer sistema y Ψ lo es de
su adjunto, entonces existen x0 , y0 ∈ Rm tales que x(t) = Φ(t)x0 e y(t) = Ψ(t)x0 . Si para
cada t ∈ I, consideramos los vectores x(t) e y(t), entonces el resultado anterior tiene una
interpretación geométrica inmediata: y(t)T x(t) = y0T ΨT (t)Φ(t)x0 = y0T M x0 , para cada t ∈ I
y por tanto, el producto escalar entre los vectores x(t) e y(t) permanece constante.
Si ahora particularizamos estos resultados al caso de sistemas autoadjuntos, obtenemos
°
78
que
si A = −AT y Φ es matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t), entonces
existe M ∈ Mm (R) simétrica y definida positiva tal que para cada t ∈ I se satisface ΦT (t)Φ(t) = M . En particular, si Φ(s) es ortogonal para algún s ∈ I,
entonces Φ(t) es ortogonal para todo t ∈ I.
(3.39)
Como consecuencia, si x e y son soluciones del sistema autoadjunto anterior, entonces los
vectores x(t) e y(t) tienen longitud constante y el ángulo entre ellos también es constante.
3.6.1.
El Teorema Fundamental de Curvas Planas
Sean I ⊂ R un intervalo no trivial y c : I −→ R2 una curva regular, es decir tal que
c0 (s) 6= 0 para cada s ∈ I, y parametrizada por la longitud de arco, es decir, tal que ||c0 (s)|| = 1
para cada s ∈ I. El vector tangente a c es t : I −→ R2 , definido como t(s) = c0 (s), para cada
s ∈ I. En estas condiciones sabemos que
Existe n : I −→ R2 de clase C 1 (I), denominada vector normal a c tal que para cada
s ∈ I, {t(s), n(s)} es base ortonormal de R2 , positivamente orientada, es decir tal
que det [t(s), n(s)] = 1. Además, existe k ∈ C(I), denominada curvatura de c tal
que t0 (s) = k(s)n(s) y n0 (s) = −k(s)t(s), para cada s ∈ I.
Si t1 , t2 son las componentes del vector tangente y n1 , n2 las del vector normal, las identidades anteriores implican que
·
t01 (s) n01 (s)
t02 (s) n02 (s)
¸
·
=
t1 (s) n1 (s)
t2 (s) n2 (s)
¸·
0 −k(s)
k(s)
0
¸
o expresado de manera equivalente,
·
t01 (s) t02 (s)
n01 (s) n02 (s)
¸
·
=
0
k(s)
−k(s) 0
¸·
t1 (s) t2 (s)
n1 (s) n2 (s)
¸
Por tanto, si consideramos la aplicación matricial Φ : I −→ M2 (R) definida para cada
s ∈ I como Φ(s) = [t(s), n(s)]T , entonces se satisfacen las
°
El Sistema Adjunto
79
Ecuaciones de Frenet
·
0
Φ (s) =
0
k(s)
−k(s) 0
¸
Φ(s),
para cada s ∈ I
·
0
es decir Φ es una matriz fundamental de x (t) = A(t)x(t), donde A(t) =
0
k(s)
−k(s) 0
¸
se
denomina matriz de Frenet.
Recíprocamente, sean k ∈ C(I)
· y la matriz¸ de Frenet determinada por ella es decir,
0
k(s)
la aplicación matricial A(s) =
. Si fijamos s0 ∈ I y consideramos Φ la
−k(s) 0
única matriz fundamental del sistema x0 (s) = A(s)x(s) tal que Φ(s0 ) = Id, entonces como
A(s)
= −AT (s)¸el resultado (3.39) asegura que ΦT (s)Φ(s) = Id, para cada s ∈ I. Si Φ(s) =
·
¡
¢T
¡
¢T
t1 (s) t2 (s)
y consideramos t(s) = t1 (s), t2 (s) y n(s) = n1 (s), n2 (s) , entonces
n1 (s) n2 (s)
Z
s
la función c(s) =
t(u) du, s ∈ I, es una curva parametrizada por arco cuya tangente y
s0
normal son t y n, respectivamente y cuya curvatura es k.
Supongamos ahora que bc : I −→ R2 es otra curva parametrizada por arco
· cuya curvatura
¸
b
b
t
(s)
t
(s)
1
2
es k. Si btb
n son los vectores tangente y norma a bc y consideramos Ψ(s) =
,
n
b1 (s) n
b2 (s)
entonces Ψ es matriz fundamental del sistema x0 (s) = A(s)x(s) y además ΨT (s)Ψ(s) = Id y
detΨ(s) = 1, para cada s ∈ I. Como Φ y Ψ son matrices fundamentales del mismo sistema
autoadjunto, (3.38) implica que existe una matriz M tal que ΨT (s)Φ(s) = M , para cada
s ∈ I. Además, la matriz M satisface que
M T M = ΦT (s) Ψ(s)ΨT (s) Φ(s) = ΦT (s)Φ(s) = Id y detM = detΨT (s)detΦ(s) = 1.
| {z }
Id
Por otra parte, como ΨT (s)Φ(s) = M y Φ es ortogonal, necesariamente ΨT (s) = M ΦT (s),
lo que implica que bt(s) = M t(s), para cada s ∈ I, es decir bc 0 (s) = M c0 (s), para cada s ∈ I.
Por tanto, fijado s0 ∈ I, si consideramos el vector v = bc(s0 ) − M c(s0 ), entonces tal que
Z
s
bc(s) = bc(s0 ) +
Z
0
s
bc (u) du = bc(s0 ) + M
s0
c0 (u) du = M c(s) + v, para cada s ∈ I.
s0
Los resultados anteriores constituyen el contenido del
°
80
Teorema Fundamental de Curvas Planas
Si k : I −→ R es continua, existe una curva regular parametrizada por arco que
tiene a k como curvatura, única salvo movimiento propio de sólido rígido, es decir, si
c1 , c2 : I −→ R2 son dos curvas regulares parametrizadas por arco que tienen a k como
curvatura, entonces existen M ∈ M2 (R) tal que M T M = Id y det M = 1 y v ∈ R2
de manera que c2 (s) = M c1 (s) + v, para cada s ∈ I.
3.6.2.
El Teorema Fundamental de Curvas Espaciales
Sean I ⊂ R un intervalo no trivial y c : I −→ R3 una curva regular, es decir tal que
c0 (s), c00 (s) 6= 0 para cada s ∈ I, y parametrizada por la longitud de arco, es decir, tal que
||c0 (s)|| = 1 para cada s ∈ I. El vector tangente a c es t : I −→ R3 , definido como t(s) = c0 (s),
para cada s ∈ I. En estas condiciones sabemos que
Existen n, b : I −→ R2 de clase C 1 (I), denominadas vectores normal y binormal a c tales
que para cada s ∈ I, b(s) = t(s) × n(s) y por tanto, {t(s), n(s), b(s)} es base ortonormal
de R3 , positivamente orientada, es decir tal que det [t(s), n(s), b(s)] = 1. Además, existen
k, τ ∈ C(I), denominadas curvatura y torsión de c tales que k(s) > 0 y t0 (s) = k(s)n(s),
n0 (s) = −k(s)t(s) − τ (s)b(s) y b0 (s) = τ (s)n(s), para cada s ∈ I.
Si t1 , t2 , t3 son las componentes del vector tangente, n1 , n2 , n3 las del vector normal y
b1 , b2 , b3 las del vector binormal, las identidades anteriores implican que

 


t01 (s) t02 (s) t03 (s)
0
k(s)
0
t1 (s) t2 (s) t3 (s)
 n01 (s) n02 (s) n03 (s)  =  −k(s) 0 −τ (s)   n1 (s) n2 (s) n3 (s) 
b01 (s) b02 (s) b03 (s)
0
τ (s)
0
b1 (s) b2 (s) b3 (s)
Por tanto, si consideramos la aplicación matricial Φ : I −→ M2 (R) definida para cada
s ∈ I como Φ(s) = [t(s), n(s), b(s)]T , entonces se satisfacen las
Ecuaciones de Frenet


0
k(s)
0
Φ0 (s) =  −k(s) 0 −τ (s)  Φ(s),
0
τ (s)
0
para cada s ∈ I,
°
Ejercicios
81


0
k(s)
0
es decir Φ es matriz fundamental de x0 (t) = A(t)x(t), donde A(t) =  −k(s) 0 −τ (s) 
0
τ (s)
0
se denomina matriz de Frenet. El mismo razonamiento del caso plano, adaptado ahora al caso
espacial permite concluir con el
Teorema Fundamental de Curvas Espaciales
Dadas las funciones k, τ ∈ C(I) con k > 0, existe una curva regular
parametrizada por arco que tiene a k como curvatura y a τ como torsión,
única salvo movimiento propio de sólido rígido, es decir, si c1 , c2 : I −→ R3 son dos
curvas regulares parametrizadas por arco que tienen a k como curvatura y a τ como
torsión, entonces existen M ∈ M3 (R) tal que M T M = Id y det M = 1 y v ∈ R3 de
manera que c2 (s) = M c1 (s) + v, para cada s ∈ I.
3.7.
Ejercicios
Problema 1. Supongamos que en los problemas de mezclas abordados en la Sección 2.2, en
lugar de un único recipiente, tenemos un sistema S formado por m recipientes R1 , ..., Rm ,
intercomunicados entre sí y con el exterior de S. Para cada j = 1, ..., m y en cada instante
t, son conocidos Vj (t), el volumen de la disolución en Rj , fej (t) la cantidad de disolución que
entra en Rj desde el exterior de S, fsjj (t) la cantidad de disolución que sale desde Rj hacia
al exterior de S, y para cada i 6= j, fsij (t) la cantidad de disolución que sale de Rj hacia el
recipiente Ri . Por supuesto, si fej es nulo, esto significa que en Rj no entra disolución desde
el exterior de S y se pueden hacer interpretaciones análogas a la posible anulación de fsj y
fsij .
Si para cada j = 1, . . . , n, denotamos por xj (t) a la cantidad de soluto presente en Rj en
el instante t, demostrar que x1 , . . . , xm deben satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden:
x0j (t) = cje (t)fej (t) +
m
X
f ji (t)
k=1
i6=j
1
s
xi (t) −
Vi (t)
Vj (t)
Ã m
X
!
fsij (t)
xj (t),
j = 1, . . . , m.
i=1
Concluir que si para cada i, j = 1, . . . , m definimos las funciones aji (t) =
n
fsji (t)
si i 6= j,
Vi (t)
1 X ij
f (t) y fj (t) = cje (t)fej (t), entonces la ecuación anterior se expresa como
Vj (t) i=1 s
el sistema lineal
ajj (t) = −
°
82
 


 
f1 (t)
x01 (t)
a11 (t) · · · a1m (t)
x1
 ..  
  ..   .. 
..
..
..
 . =
  .  +  . .
.
.
.
0
xm (t)
am1 (t) · · · amm (t)
xm
fm (t)

Determinar las condiciones para que el sistema tenga equilibrios y en ese caso hallarlos todos.
Problema 2. El plomo es un componente presente en muchos objetos de la vida cotidiana
como tuberías de agua, pinturas, utensilios de vidrio, etc. Sin embargo es tóxico y las concentraciones altas en sangre y tejidos da lugar a un serio deterioro de las capacidades mentales
y motrices de los individuos.
El plomo entra en el cuerpo humano por medio de alimentos, aire y agua, con una tasa de
entrada que podemos suponer que es una función continua f , y se acumula en la sangre desde
donde se transfiere a los tejidos y huesos con tasas k21 , k31 ≥ 0, respectivamente. Por otra
parte, el plomo acumulado en tejidos y huesos se transfiere a la sangre con tasas k12 , k13 ≥ 0,
respectivamente, y no existe ninguna transferencia entre huesos y tejidos. Finalmente, el
plomo acumulado en la sangre es expulsado por medio de la orina con una tasa k01 ≥ 0, el
acumulado en los tejidos se expulsa por medio del cabello, las uñas y el sudor con una tasa
k02 ≥ 0, mientras que el plomo acumulado en los huesos no se expulsa directamente sino a
través de su transferencia a la sangre.
Si denominamos x(t), y(t) y z(t) a la cantidad de plomo en la sangre, los tejidos y huesos,
respectivamente, demostrar que dichas funciones son solución del sistema lineal
x0 (t) = −(k01 + k21 + k31 ) x(t) + k12 y(t) + k13 z(t) + f (t),
y 0 (t) = k21 x(t) − (k02 + k12 ) y(t),
z 0 (t) = k31 x(t) − k13 z(t).
Si f es constante y todas las constantes de transferencia son estrictamente positivas,
demostrar que que el sistema anterior tiene una única solución de equilibrio y hallarla.
Concluir que si la entrada f se reduce, también lo hace en el mismo porcentaje la solución
de equilibrio.
Supongamos que reducimos la ingesta de plomo a αf donde 0 < α < 1, y que mediante
medicamentos aumentamos la expulsión de plomo por orina y sudor, es decir sustituimos k01
y k02 por βk01 y γk02 donde β, γ > 1. ¿Cuál es el efecto en la solución de equilibrio?
°
Ejercicios
83
Problema 3. Considérese A : I −→ Mm (R) una aplicación matricial de clase C 1 (I) tal que
A y A0 conmutan. Demostrar que (Ak )0 = kAk−1 A0 = kA0 Ak−1 para cada k ∈ N∗ .
Problema 4. Sean I ⊂ R un intervalo, A : I −→ Mm (R) continua y Φ una matriz fundamental para la EDO x0 (t) = A(t)x(t). ¿Puede existir B : I −→ Mm (R) continua tal que
Φ0 (t) = B(t)φ(t) y B 6= A?
Problema 5. Sean I ⊂ R un intervalo no trivial y A : I −→ Mn (R) tal que A ∈ C 1 (I).
Determinar la condición necesaria y suficiente para que siendo x(t) solución del sistema
x0 (t) = A(t)x(t), x0 (t) también lo sea. Demostrar que en este caso x ∈ C ∞ (I) y que además
para cada k ∈ N, la función xk) (t) es también solución del sistema.
Problema 6. Consideremos la aplicación matricial Φ : R −→ M2 (R) definida por
· 2 3 ¸
t t
Φ(t) =
t t2
¿Existe alguna aplicación matricial continua A : R −→ Mn (R) tal que Φ0 (t) = A(t)φ(t) para
cada t ∈ R ?
Problema 7. Sean I ⊂ R un intervalo no trivial y A : I −→ Mm (R) una aplicación matricial
continua cuyos coeficientes satisfacen que aii = amm y ai,i+1 6= 0, para cada i = 1, . . . , m − 1,
mientras que aij = 0, para cada i, j = 1, . . . , m tales que j 6= i, i + 1.
Hallar una matriz fundamental del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t).
Problema 8. Sea A : R −→ Mm (R) una aplicación matricial continua y periódica de período τ . Demostrar que si x es solución del sistema x0 (t) = A(t)x(t), entonces y(t) = x(t+τ ) también es solución. Concluir que si Φ es fundamental entonces Φ(t) = Φ(t + τ ) es también fundamental y por tanto existe P ∈ Mm (R) una matriz no singular y tal que Φ(t + τ ) = Φ(t)P ,
para cada t ∈ R.
Problema 9. Se consideran m ∈ N∗ , I ⊂ R un intervalo no trivial A : I −→ Mm (R)
una aplicación matricial continua y x1 , . . . , xm : I −→ Rm soluciones del sistema homogéneo
x0 (t) = A(t)x(t). Para cada t ∈ I, consideremos P (t) el paralelepípedo que tiene al origen de
coordenadas como uno de sus vértices y a los vectores x1 (t), . . . , xm (t) como lados (aquí se
permiten las situaciones degeneradas en las que por ejemplo algún lado se sitúa sobre otro
lado o incluso tiene longitud nula).
Para cada t ∈ I, determinar vol P (t), el volumen de P (t), y concluir que el volumen es
constante si y sólo si tr A(t) = 0, para cada t ∈ I.
°
84
Problema 10. Si consideremos la aplicación matricial continua A : I −→ Mm (R) y G la
∂G ∂G
función de Green del sistema x0 (t) = A(t)x(t), determinar
y
.
∂t
∂s
Problema 11. Sea A : I −→ Mn×m (R) una aplicación matricial continua y G(t, s) la función de Green del sistema x0 (t) = A(t)x(t). Demostrar que GT (s, t) es la función de Green
del sistema adjunto.
Problema 12. Demostrar que todas las soluciones de la EDO x0 (t) = 0 son estables pero
no asintóticamente estables.
Problema 13. Demostrar que todas las soluciones de la EDO x0 (t) = −x(t) son asintóticamente estables.
Problema 14. Se considera el sistema lineal x0 (t) = A(t)x(t) + f (t) definido en un intervalo
I no acotado a la derecha. Demostrar que si para cada t0 ∈ I todas sus soluciones están
acotadas para t ≥ t0 , entonces el sistema es estable. Recíprocamente, si el sistema es estable y
una solución es acotada para t ≥ t0 , demostrar que entonces todas las soluciones del sistema
están acotadas para t ≥ t0 .
Problema 15. Determinar un ejemplo de ecuación lineal no homogénea estable y otro asintóticamente estable y cuyas soluciones no estén acotadas.
Problema 16. Consideremos I un intervalo o bien de la forma (a, +∞) o [a, +∞) o bien
I = R y la aplicación matricial continua A : I −→ Mn (R). Utilizar la continuidad del
determinante y la Fórmula de Abel-Liouville para demostrar las siguientes afirmaciones:
Z
t
i) Si A es estable, entonces para cada t0 ∈ I la función
trA(s) ds está acotada supet0
riorente en [t0 , +∞). Concluir que si existen t0 ∈ I y a > 0 tales que trA(t) ≥ a para
cada t ≥ t0 , entonces A es inestable.
Z t
trA(s) ds = −∞.
ii) Si A es asintóticamente estable, entonces para cada t0 ∈ I, lı́m
t→+∞
t0
Concluir que si existe t0 ∈ I tal que trA(t) ≥ 0 para cada t ≥ t0 , entonces A no es
asintóticamente estable.
°
TEMA
4
4.1.
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
DE SISTEMAS LINEALES
Introducción
En el tema anterior hemos demostrado que para conocer todas las soluciones de un
sistema lineal de primer orden es suficiente disponer de una matriz fundamental del sistema
homogéneo. En este tema nos preocuparemos precisamente de describir condiciones bajo las
cuales es posible calcular explícitamente una matriz fundamental del sistema homogéneo
x0 (t) = A(t)x(t). De hecho, mostraremos que esto es siempre posible cuando la matriz de
coeficientes es constante y posteriormente nos preocuparemos de generalizar las técnicas de
este caso a situaciones en las que la matriz de coeficientes tiene como componentes funciones
no constantes.
Consideremos por tanto A ∈ Mm (R) una matriz de orden m y el correspondiente sistema
homogéneo de coeficientes constantes x0 (t) = Ax(t). Nuestra intención es obtener métodos
de cálculo de una matriz fundamental de dicho sistema y para ello serán de utilidad las
herramientas provenientes del Álgebra Lineal.
Supongamos primero que la matriz A es diagonalizable, es decir que existen dos matrices
P, D ∈ Mm (R) con P no singular y D diagonal tales que A = P DP −1 . Entonces x es solución
del sistema x0 (t) = Ax(t) si y sólo si satisface que x0 (t) = P DP −1 x(t), es decir si y sólo si
P −1 x0 (t) = DP −1 x(t). Si ahora consideramos y : R −→ Rm definida como y(t) = P −1 x(t)
para cada t ∈ R, es claro que y ∈ C 1 (R) y que x es solución del sistema x0 (t) = Ax(t) si
y sólo si y 0 (t) = Dy(t), que es un sistema totalmente desacoplado de m ecuaciones lineales


λ1


...
escalares de primer orden cuya solución es inmediata: Si D = 
 , entonces
λm
¡ tλ
¢T
tλ
y(t) = c1 e 1 , . . . , cm e m , lo que implica que
85
86
Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales


x(t) = P y(t) = P 
etλ1

c1
  .. 
 . ,
cm

..
.
e
tλm
c1 , . . . , cm ∈ R.
Así pues,
si la matriz A es diagonalizable y P, D ∈ Mm (R) con P no singular y D
diagonal son tales que A = P DP −1 , entonces una matriz fundamental del
sistema lineal x0 (t) = Ax(t) está dada por




etλ1
λ1




..
..
Φ(t) = P 
.
 , donde D = 
.
.
tλ1
e
λm
(4.1)
De los resultados básicos del Álgebra Lineal, conocemos que no toda matriz de orden
m es diagonalizable, pues la condición necesaria y suficiente para que esto ocurra es que
todas las raíces del polinomio característico de A sean reales y además
¶
µ sus multiplicidades
1 0
, que tiene a
algebraica y geométrica coincidan. Por ejemplo esto no ocurre si A =
1 1
λ = 1 como raíz doble de su polinomio característico con multiplicidad geométrica igual a 1,
de hecho el espacio de autovectores asociado es el generado por el segundo vector de la base
canónica de R2 .
No obstante, el cálculo explícito de una matriz fundamental puede aún realizarse por
métodos elementales, que involucran sólo resolver ecuaciones lineales escalares de primer
orden, cuando la matriz de coeficientes triangula, es decir, existen P, T ∈ Mm (R) con P
no singular y T triangular tales que A = P T P −1 . Nuevamente, x es solución del sistema
x0 (t) = Ax(t) si y sólo si y : R −→ Rm definida como y(t) = P −1 x(t) para cada t ∈ R,
satisface que y 0 (t) = T y(t) y este sistema puede ser resuelto fácilmente de forma progresiva
si T es triangular inferior
¡ ¢ o regresiva si T es triangular superior. De hecho, siempre podemos
suponer que T = tij es triangular inferior, es decir tij = 0 cuando 1 ≤ i < j ≤ m, pues el
paso de una triangular inferior a una superior supone simplemente una permutación de las
columnas de P . En este caso, si para cada j = 1, . . . , m, λj = tjj , tenemos que
y10 (t) = λ1 y1 (t) y yj0 (t) = λj yj (t) + tjj−1 yj−1 (t) + · · · + tj1 y1 (t), j = 2, . . . , m.
Es claro que y1 (t) = etλj c1 , c1 ∈ R y supuestas conocidas las funciones y1 , . . . , yj−1 la
función yj se obtiene resolviendo la EDO lineal de primer orden no homogénea,
°
Introducción
87
yj0 (t) = λj yj (t) + fj (t), donde fj (t) = tjj−1 yj−1 (t) + · · · + tj1 y1 (t), t ∈ R.
Así pues, teniendo en cuenta el método de variación de las constantes, resulta que
si la matriz A es triangulable y P, T ∈ Mm (R) con P no singular y T triangular inferior son tales que A = P T P −1 , entonces una matriz fundamental
del sistema lineal x0 (t) = Ax(t) está dada por


etλ1

 h21 (t)
etλ2


Φ(t) = P 
,
..
.
.


.
.
tλm
hm1 (t)
···
e
(4.2)
donde las funciones hij deben calcularse de forma progresiva.
La identidad anterior tiene como limitación el que no es posible disponer a priori de una
expresión general para las funciones hij involucradas, que sólo pueden ser obtenidas una vez
calculadas hrj con r < i, aunque en cada caso concreto el método determina una matriz
fundamental. Una limitación más importante la constituye el hecho de que como sabemos de
la teoría básica del Álgebra Lineal, no toda matriz cuadrada es triangulable, pues la condición
necesaria y suficiente para que esto seaµposible es
¶ que las raíces del polinomio característico
1 1
, entonces A no es triangulable puesto que
de A sean reales. Por ejemplo, si A =
−1 1
las raíces de su polinomio característico son 1 ± i.
Acabamos de comprobar que existe una estrecha relación entre propiedades algebraicas de
la matriz de coeficientes A y las soluciones del sistema lineal x0 (t) = Ax(t). Profundizaremos
un poco más en este tipo de propiedades. Supongamos que λ ∈ R es un autovalor de A y
que v ∈ Rm es un autovector correspondiente a λ. Si consideramos la función x(t) = et λ v,
resulta que
x0 (t) = λ et λ v = et λ λ v = et λ Av = Ax(t),
es decir, x(t) es solución del sistema. Más generalmente, tenemos que
Si λ1 , . . . , λk ∈ R son autovalores de A y v1 , . . . , vk ∈ Rm son autovectores correspondientes a ellos y linealmente independientes, entonces las funciones
x1 (t) = etλ1 v1 , . . . , xk (t) = etλk vk son soluciones linealmente independientes de
ª
©
ª ©
x0 (t) = Ax(t) ya que x1 (0), . . . , xk (0) = v1 , . . . , vk .
°
88
En el resultado anterior no importa que algunos autovalores sean iguales. En particular podría
ocurrir que λ1 = · · · = λk ya que lo importante es la independencia lineal de los autovectores.
Si tenemos en cuenta que una matriz de orden m diagonaliza si y sólo si existe una base
de Rm formada por autovectores, el resultado (4.1) no es más que aplicar el razonamiento
anterior, ya que las columnas de P son precisamente las componentes de los autovectores
correspondientes a λ1 , . . . , λn .
Supongamos ahora que λ = a + i b con a, b ∈ R y b 6= 0 es un autovalor complejo de A y
consideremos u = v + i w con v, w ∈ Rm un autovector complejo correspondiente. Entonces
v y w son linealmente independientes y además se satisface que
½
Au = λu, es decir A(v + iw) = (a + ib)(v + iw), lo que implica que
Av = av − bw,
Aw = bv + aw.
Si siguiéramos los pasos efectuados cuando λ ∈ R, la función z(t) = et λ u debería ser
solución compleja del sistema x0 (t) = Ax(t). Vamos a comprobar que en esencia esto es así.
Para ello tendremos en cuenta la definición de exponencial para números complejos
si z = a + ib con a, b ∈ R, entonces ez = ea+ib = ea (cosb + i sen b),
(4.3)
lo que implica que
¡
¢
¡
¢
z(t) = et λ u = eta+itb (v +iw) = eat cos(bt) v − sen(bt) w +i eat cos(bt) w +sen(bt) v .
La anterior expresión motiva que consideremos las funciones x, y : I −→ Rm definidas como
"
#
x(t)
" ¡
"
#
¢#
eat cos(bt) v − sen(bt) w
cos(bt)
sen(bt)
= at ¡
¢ = eaj t [v, w]
y(t)
− sen(bt) cos(bt)
e cos(bt) w + sen(bt) v
donde [v, w] ∈ Mm,2 (R) es la matriz cuyas columnas son las componentes de los vectores v
y w. Resulta entonces que
¡
¢
x0 (t) = eat acos(bt) v − a sen(bt) w − b sen(bt) v − bcos(bt) w
³
´
³
´
= eat cos(bt) [av − bw] − sen(bt) [bv + aw] = eat cos(bt) Av − sen(bt) Aw = Ax(t)
¡
¢
y 0 (t) = eat acos(bt) w + a sen(bt) v − b sen(bt) w + bcos(bt) v
³
´
³
´
= eat cos(bt) [aw + bv] + sen(bt) [av − bw] = eat cos(bt) Aw + sen(bt) Av = Ay(t)
°
Introducción
89
es decir x e y son soluciones del sistema y además linealmente independientes puesto que
x(0) = v e y(0) = w. Más generalmente tenemos el siguiente resultado:
Sean λ1 , . . . , λr ∈ R autovalores de A ∈ Mm (R) y u1 , . . . , ur ∈ Rm autovectores
correspondientes y linealmente independientes. Sean también a1 + ib1 , . . . , as + ibs con
b1 , . . . , bs 6= 0 autovalores de A y v1 + iw1 , . . . , vs + iws autovectores correspondientes
y linealmente independientes. Entonces las funciones
zk (t) = etλk uk ,
k = 1, . . . , r
·
¸
·
¸
xj (t)
cos(bj t) sen(bj t)
= eaj t [vj , wj ]
, j = 1, . . . , s
yj (t)
− sen(bj t) cos(bj t)
(4.4)
son soluciones linealmente independientes de x0 (t) = Ax(t)
En particular,
Si A ∈ Mm (R) diagonaliza en C y λ1 , . . . , λm ∈ R y a1 ± ib1 , . . . , as ± ibs ∈ C, con
b1 , . . . , bs 6= 0, son los autovalores y u1 , . . . , ur ∈ Rm y v1 ± iw1 , . . . , vs ± iws ∈ Cm
los autovectores correspondientes, entonces el sistema {u1 , . . . , ur , v1 , w1 , . . . , vs , ws } es
base de Rm . Si consideramos P = [u1 , . . . , ur , v1 , w1 , . . . , vs , ws ] ∈ Mm (R), entonces
una matriz fundamental del sistema x0 (t) = Ax(t) es





Φ(t) = P 



eλ1 t

..




,



.
λm t
e
ea1 t E1 (t)
...
(4.5)
eas t Es (t)
·
donde Ej (t) =
cos(bj t) sen(bj t)
− sen(bj t) cos(bj t)
¸
En definitiva, si la matriz A diagonaliza, tanto si tiene todos sus autovalores reales como
si los tiene complejos, entonces la fórmula (4.5) determina una matriz fundamental que se
expresa en términos de la parte real y de la parte imaginaria de los autovalores y asimismo de
la parte real e imaginaria de los autovectores. Si la matriz no diagonaliza, pero tiene todos sus
autovalores reales, es decir si triangula como mariz de coeficientes reales, entonces (4.2) describe un método para encontrar una matriz fundamental. Es importante remarcar que (4.2)
no determina explícitamente la expresión de tal matriz fundamental sino que sólo describe
un procedimiento para determinarla. De hecho, debemos encontrar una base donde la matriz
°
90
triangula y depués resolver progresiva o regresivamente ecuaciones escalares de primer orden. En la práctica, incluso para matrices de tamaño relativamente pequeño ambos procesos
involucran un esfuerzo de cálculo considerable. Por otra parte, si la matriz tiene autovalores
complejos para los cuales no diagonaliza, cano recemos de métodos para determinar matrices fundamentales. En definitiva, salvo cuando la matriz A diagonalice, no tenemos métodos
elementales para determinar fácilmente matrices fundamentales del sistema x0 (t) = Ax(t) y
por tanto, deberemos recurrir a resultados más profundos. Concretamente, utilizaremos una
combinación de técnicas analíticas con otras provenientes del Álgebra Lineal, referentes al
tratamiento de matrices de coeficientes reales.
4.2.
La exponencial de una matriz
La estrategia que seguiremos para resolver los sistemas con matriz de coeficientes constante, será similar a la que hicimos valer en el tratamiento de la teoría general y que no es
otra que reproducir, en la medida de lo posible, las técnicas y resultados del caso escalar, es
decir del caso m = 1. Como en esta situación las matrices se identifican con escalares, las
técnicas referidas no deben involucrar, de momento, ningún recurso del Álgebra Lineal. En
esta situación, A ∈ R y además sabemos que todas las soluciones de la EDO están dadas
por la expresión x(t) = eAt c con c ∈ R, o de forma equivalente la función Φ(t) = eAt es una
matriz fundamental y de hecho la única tal que Φ(0) = 1. Más aún la función de Green de
la EDO es G(t, s) = eA(t−s) .
Utilizando ahora la definición de la función exponencial, o si se prefiere, su desarrollo en
serie de potencias en torno al origen, resulta que
e
tA
k
∞
X
tn n X tn n
t2 2
tn n
= 1 + tA + A + · · · + A + · · · = lı́m
A =
A
k→∞
2
n!
n!
n!
n=0
n=0
y por tanto, la anterior matriz fundamental para la EDO se expresa como
Φ(t) =
∞
X
tn
n=0
n!
An ,
(4.6)
Las propiedades de derivación de las series de potencias determinan que la derivada de
una función que se expresa de este modo es la serie de potencias obtenida derivando la serie
original término. Por tanto,
°
0
Φ (t) =
∞ µ n
X
t
n=0
91
¶0
n
n!
A
=
∞
X
n=1
∞
X
tn−1
tn n
n
A =A
A = AΦ(t), t ∈ R.
(n − 1)!
n!
n=0
Así pues, la justificación de que Φ(t) = eAt sea una matriz fundamental de la EDO
x0 (t) = Ax(t) cuando A ∈ R descansa en el hecho de que la derivada de etA es igual a AetA ,
propiedad que es consecuencia de la definición de la función etA como suma de la serie de
∞
k
X
X
tn n
tn n
potencias
A , es decir como límite de la sucesión de sumas parciales lı́m
A .
k→∞
n!
n!
n=0
n=0
A la vista de las expresiones anteriores parece natural preguntarse si dichos desarrollos
tendrán vigencia en el caso general m > 1 o, en otras palabras, si podemos sustituir en las
anteriores identidades el escalar A por una matriz de orden m. La respuesta es afirmativa,
pero antes de formularla de manera rigurosa, es conveniente hacer algunas precisiones y
definiciones:
Si
i, j = 1, . . . , m consideramos la sucesión
reales
© para ªcada
¡ de números
¢
∞
aij (n) n=0 y para cada n ∈ N la matriz An = aij (n) , la notación
¡ ¢
lı́m An = A donde A = aij ∈ Mm (R) expresa el hecho de que para cada
n→∞
i, j = 1, . . . , m, la sucesión aij (n) converge hacia aij , o de forma equivalente
que para cada j = 1, . . . , n la sucesión formada por las columnas j-ésimas
converge hacia la columna j-ésima de A.
(4.7)
Observar que en las condiciones anteriores lı́m An = A si y sólo si para cada v ∈ Rm la
n→∞
sucesión de vectores An v converje hacia el vector Av. Más generalmente, se satisface que
si {An }∞
n=1 es una sucesión de matrices de orden m tal que An → A, entonces,
para cada k ∈ N∗ , cada B ∈ Mk×m (R) y cada C ∈ Mm×k (R) se satisface
que BAn → BA y que An C → AC.
Supongamos que A = (aij ) ∈ Mm (R) y consideremos v = (v1 , . . . , vm )T ∈ Rm , w = Av y
m
P
w = (w1 , . . . , wm )T . Entonces, para cada i = 1, . . . , m tenemos que wi =
aij vj y aplicando
j=1
la Desigualdad de Schwarz, resulta que
v
v
v
u m
uX
uX
u m 2
u m 2 uX
2
t
t
aij
vj = ||v|| t
aij ,
|wi | ≤
j=1
j=1
j=1
°
92
donde || · || es la norma euclídea en Rm . De la desigualdad anterior concluimos que
2
||w|| =
m
X
wi2
≤ ||v||
i=1
2
m
X
a2ij ,
i,j=1
de manera que si definimos
v
uX
u m 2
||A|| = t
aij
(4.8)
i,j=1
entonces
||Av|| ≤ ||A|| ||v||, para cada v ∈ Rm ,
(4.9)
que implica que ||A2 v|| ≤ ||A|| ||Av|| ≤ ||A||2 ||v|| y más generalmente que ||Ak v|| ≤ ||A||k ||v||,
para cada k ∈ N∗ .
Si A ∈ Mm (R), A0 se define como la matriz identidad I. Además, si k ∈ N∗ la expresión
k
1 2
1 k X 1 n
Sk = I +A+ A +· · ·+ A =
A determina una matriz de orden m. Si consideramos
2
k!
n!
n=0
ahora v ∈ Rm , resulta que si j ≤ k, aplicando la desigualdad triangular de la norma euclídea,
es decir que ||v1 + · · · + vk || ≤ ||v1 || + · · · ||vk ||, para cada v1 , . . . , vk ∈ Rm ,
¯¯Ã
! ¯¯
Ã k
!
k
k
k
¯¯ X
X
X 1
1
1 n ¯¯¯¯ X 1
¯¯
A v¯¯ ≤
||An v|| ≤
||A||n ||v|| =
||A||n ||v||
¯¯
¯¯
¯¯
n!
n!
n!
n!
n=j
n=j
n=j
Como la serie de números positivos
∞
X
||A||n
j=0
n!
n=j
es convergente, de hecho su suma es igual
a e||A|| , su sucesión de sumas parciales es de Cauchy, lo que teniendo
Ã k en cuanta
! la última deX 1
An v es de Cauchy
sigualdad, implica que para cada v ∈ Rm la sucesión de vectores
n!
n=0
k
X
1 n
A converge a
en R y por tanto convergente, lo que prueba que la sucesión de matrices
n!
n=0
∞
X
1 n
una matriz de orden m que denotaremos por
A . Los razonamientos anteriores motivan
n!
n=0
la siguiente definición:
m
°
93
Exponencial de una matriz
∞
X
1 n
A .
n!
n=0
Si A ∈ Mm (R), se denomina exponencial de A a la matriz eA =
En particular, si A = 0, entonces eA = I. Por otra parte, para cada t ∈ R, tiene sentido la
∞
X
tn n
tA
matriz e =
A . Como cada componente de etA es una serie de potencias, es derivable
n!
n=0
y la derivada se obtiene derivando la serie término a término. Esta propiedad implica que
¡
∞ ³ n
∞
∞
X
X
¢
t n ´0 X tn−1
tn−1
tA 0
n
e
=
A
=
A =A
An−1 =
n!
(n − 1)!
(n − 1)!
n=0
n=1
n=1
Ã∞
X
n−1
!
t
An−1 A
(n − 1)!
n=1
¡ ¢0
y por tanto que etA = AetA = etA A. Los razonamientos anteriores muestran que
Si A ∈ Mm (R), entonces la aplicación matricial Φ : R −→ Mm (R) definida
como Φ(t) = etA para cada t ∈ R, es una matriz fundamental del sistema
x0 (t) = Ax(t) y de hecho la única matriz fundamental tal que Φ(0) = I. En
particular, aplicando la fórmula de Abel-Liouville, det etA = et trA , para cada
t ∈ R.
Observar que (4.10) significa que la aplicación matricial Φ(t) =
∞
X
tn
(4.10)
An satisface que
n!
Φ (t) = AΦ(t) para cada t ∈ R y que además Φ(0) = I, con lo que recuperamos la situación
(4.6) del caso escalar, donde m = 1 y A ∈ R, de manera que la definición de exponencial de
una matriz aparece como una generalización de la de exponencial de un número real y tiene
las mismas propiedades en cuanto a su derivación. No obstante, no todas las propiedades de
la exponencial de números reales tienen su análogo en la caso matricial. La diferencia básica
entre la exponencial de una matriz y la exponencial de un número real consiste en que si
bien ea+b = ea eb = eb ea para cada a, b ∈ R, en general no se verifica que si A, B ∈ Mm (R)
entonces eA+B = eA eB , como muestra el siguiente ejemplo:
µ
¶
µ
¶
0 0
0 a
Sea a 6= 0 y consideramos las matrices A =
yB=
.
a 0
0 0
n=0
0
Entonces An = B n = 0 para n ≥ 2, lo que implica que
µ
A
e =I +A=
1 0
a 1
¶
µ
y
B
e =I +B =
1 a
0 1
¶
.
°
94
µ
Por otra parte, A + B =
µ
2n
(A + B)
2n
=a
0 a
a 0
1 0
0 1
¶
µ
=a
0 1
1 0
¶
, lo que implica que para cada n ∈ N∗ ,
µ
¶
y
(A + B)
2n−1
=a
2n−1
0 1
1 0
¶
y por tanto que

e
A+B
∞

X
1

=
(A + B)n = 
n!

n=0
∞
X
a2n
(2n)!
n=0
∞
X
a2n−1
n=1
(2n − 1)!
∞
X
a2n−1
(2n − 1)!
n=1
∞
X
a2n
n=0

¶
 µ
ch a sh a

.
=
sh a ch a

(2n)!
Ahora es claro que como a 6= 0, tenemos que ch a > 1 y por tanto
µ
eA+B =
ch a sh a
sh a ch a
¶
µ
6= eA eB =
1
a
a 1 + a2
¶
µ
6= eB eA =
1 + a2 a
a
1
¶
.
La razón de que la exponencial de una suma de números reales coincida con el producto
de las correspondientes exponenciales y que esta propiedad no sea válida para matrices de
orden superior a 1 radica en el hecho de que dos números reales siempre conmutan mientras
que esta propiedad no es cierta para dos matrices de orden mayor que 1.
Supongamos ahora que A, B ∈ Mm (R), satisfacen que AB = BA. Entonces, para cada
k ∈ N∗ tenemos que
# " k
# " k
# " k
#
" k
X 1
X 1
X 1
X 1
Ak =
BAk =
Ak B =
Ak B,
B
n!
n!
n!
n!
n=0
n=0
n=0
n=0
y tomando límites cuando k → ∞, resulta que BeA = eA B. Por tanto, si consideremos ahora
la aplicación matricial Φ(t) = etA etB , entonces
¡
¡ ¢0
Φ0 (t) = etA etB + etA etB )0 = AetA etB + etA BetB = (A + B)etA etB = (A + B)Φ(t)
°
95
es decir Φ es fundamental para el sistema x0 (t) = (A + B)x(t). Como además Φ(0) = I,
resulta que Φ es la única matriz fundamental del sistema x0 (t) = (A + B)x(t) cuyo valor en
t = 0 es la matriz identidad, lo que implica que Φ(t) = et(A+B) .
Recíprocamente, si et(A+B) = etA etB , para cada t ∈ R, entonces, derivando a ambos lados
de la identidad obtenemos que
(A + B)et(A+B) = AetA etB + etA BetB , para cada t ∈ R,
y derivando nuevamente a ambos lados de la igualdad,
(A + B)2 et(A+B) = A2 etA etB + 2AetA BetB + etA B 2 etB , para cada t ∈ R.
Si ahora tomamos t = 0 en la identidad anterior, obtenemos que (A+B)2 = A2 +2AB+B 2
y como (A + B)2 = A2 + AB + BA + B 2 , resulta finalmente que AB = BA.
Finalmente, aplicando la fórmula de Abel-Liouville a t = 1, obtenemos que para cada
A ∈ Mm (R), det eA = etr A , lo que en particular implica que eA es una matriz invertible.
Más aún, como
conmutan y e0 = I, tenemos que I = e0 = eA−A = eA e−A y por
¡ A ¢−1A y −A
tanto que e
= e−A . En definitiva, la exponencial de una matriz verifica las siguientes
propiedades, que son la generalización de las correspondientes a la exponencial de números
reales:
i) Si A ∈ Mm (R), entonces Φ(t) = etA satisface que Φ0 (t) = AΦ(t), para
cada t ∈ R y además que Φ(0) = e0 = I.
ii) Si A, B ∈ Mm (R) son tales que AB = BA, entonces BeA = eA B y además
eA+B = eA eB = eB eA .
iii) Si A, B ∈ Mm (R), entonces AB = BA si y sólo si et(A+B) = etA etB , para
cada t ∈ R.
(4.11)
iv) Si A ∈ Mm (R), entonces AeA = eA A y det eA = etr A .
¡ ¢−1
= e−A .
v) Si A ∈ Mm (R), entonces eA
Teniendo en cuenta que la propiedad (i) anterior establece que para cada A ∈ Mm (R)
la aplicación matricial Φ(t) = etA es fundamental para el sistema x0 (t) = Ax(t), obtenemos
la siguiente reformulación de la Fórmula de Langrange-Green para el caso de sistemas con
coeficientes constantes:
°
96
Fórmula de Lagrange-Green para coeficientes constantes
Fijados m ∈ N∗ y A ∈ Mm (R) entonces la aplicación matricial G : R × R −→ Mm (R)
definida como G(t, s) = e(t−s)A es la función de Green del sistema x0 (t) = A(t)x(t).
Por tanto, para cada intervalo no trivial I ⊂ R, cada función continua f : I −→ Rm ,
cada t0 ∈ I y cada x0 ∈ Rm la función
Z t
(t−t0 )A
x(t) = e
x0 +
e(t−s)A f (s) ds, t ∈ I,
t0
x(t0 ) = x0 .
Como vemos, anterior Fórmula de Langrange-Green permite concluir que la función de
Green de sistemas lineales con coeficientes constantes depende exclusivamente de la diferencia
entre sus argumentos. Como veremos a continuación esta propiedad caracteriza a los sistemas
lineales con coeficientes constantes.
Para comenzar, es fácil comprobar que si x ∈ C 1 (R) es una solución del sistema con
coeficientes constantes x0 (t) = Ax(t), entonces para cada s ∈ R la función y : R −→ Rm
definida como y(t) = x(t − s) satisface que y 0 (t) = x0 (t − s) = Ax(t − s) = Ay(t) de manera
que es también solución del sistema. Por tanto, si A ∈ Mm (R) y Φ : R −→ Mm (R) es
matriz fundamental del sistema x0 (t) = Ax(t), entonces para cada s ∈ R, Ψ : R −→ Mm (R)
definida como Ψ(t) = Φ(t − s) es también fundamental. En particular, si Φ es la única matriz
fundamental tal que Φ(0) = I, entonces Φ(t − s) es la única matriz fundamental cuyo valor
en s coincide con I, es decir G(t, s) = Φ(t − s).
Recíprocamente, sea A : R −→ Mm (R) continua y supongamos que la función de Green
del sistema lineal de primer orden x0 (t) = A(t)x(t) satisface que G(t, s) = Φ(t − s) para cada
t, s ∈ R. Entonces, tomando s = 0, obtenemos que Φ(t) = G(t, 0) y por tanto, Φ es la única
matriz fundamental del sistema anterior tal que Φ(0) = G(0, 0) = I, lo que en particular
implica que Φ0 (t) = A(t)Φ(t) para cada t ∈ R. En consecuencia, para cada s ∈ R fijado,
Φ0 (t − s) = A(t − s)Φ(t − s), para cada t ∈ R.
Por otra parte, como fijado s ∈ R la aplicación matricial Ψ(t) = G(t, s) es la única
matriz fundamental tal que Ψ(s) = I, tenemos que Ψ0 (t) = A(t)Ψ(t) y como la hipótesis
inicial establece que Ψ(t) = Φ(t − s), obtenemos que Φ0 (t − s) = A(t)Φ(t − s). En conclusión
para cada s ∈ R fijado tenemos que A(t)Φ(t − s) = A(t − s)Φ(t − s), es decir A(t) = A(t − s)
ya que Φ(t − s) es invertible. Por tanto, dado t ∈ R, si tomamos s = t, la identidad anterior
implica que A(t) = A(0) de forma que la aplicación matricial A es constante. Naturalmente
en esta situación se satisface que G(t, s) = e(t−s)A .
En definitiva, en esta sección hemos caracterizado los sistemas lineales de primer orden
con matriz de coeficientes constante y además hemos expresado la solución de cada problema
°
97
de valores iniciales, o equivalentemente la función de Green del sistema, en términos de la
aplicación exponencial, obteniendo así una expresión análoga a la conseguida en el primer
tema para el caso escalar. No obstante, el problema de determinar explícitamente la solución
de cada problema de valores iniciales, o si se prefiere la función de Green del sistema, aún
no ha sido resuelto ya que determinar explícitamente la solución de un problema de valores
iniciales significa expresar cada una de sus componentes, que son funciones reales de variable
real, en términos de funciones elementales de variable real.
El problema de determinar la expresión de las soluciones de un sistema lineal con coeficientes constantes queda reducido al cálculo de exponenciales de matrices, concretamente
si A es la matriz de coeficientes a las exponenciales de las matrices tA con t ∈ R. Ahora
bien, el cálculo de este tipo de matrices requiere la evaluación de las potencias sucesivas de
la matriz A y posteriormente la suma de todas ellas multiplicadas en cada caso por un factor
tk
de la forma .
k!
Para tener una idea de la complicación que puedeµsuponer¶el realizar todas estas opera1 0
ciones, es suficiente intentar calcular etA donde A =
. Primeramente, observamos
µ
¶
µ
¶3 2
1
0
1
0
que A2 =
, A3 =
, de manera que podemos proponer
3(1 + 2) 22
3(1 + 2 + 22 ) 23
que


1
0
P n k .
Ak =  k−1
(4.12)
2 2
3
n=0
Claramente la anterior expresión es cierta para k = 1, y también para k = 2. Supuesta
cierta para k, calculemos Ak+1 :

Ak+1 = 
3
1
k−1
P
0
2n 2k

µ

1 0
3 2
¶

=
1
32k + 3
n=0

0
k−1
P
2n 2k+1

=
n=0
En definitiva, la fórmula (4.12) es correcta. Además, como
3
1
k
P

0
2n 2k+1
.
n=0
k
P
2n = 2k+1 − 1, para cada
n=0
k ∈ N, resulta que
µ
k
A =
1
0
k
3(2 − 1) 2k
¶
, para cada k ∈ N.
(4.13)
°
98
Por tanto,

tA
e
=
∞
P
∞
n
X
n=0

tn
n!
t n 
n=0
A = P
∞ n
∞
P
n!
t
n
3
(2
−
1)
n!
n=0
n=0
0
tn
n!
2n

=
µ
¶
et
0
2t
t
3(e − e ) e2t
.
(4.14)
Observar que en este caso A es triangular y por tanto, el sistema x0 (t) = Ax(t) puede
resolverse directamente sin apelar a la construcción de etA . Si denotamos por x1 y x2 a las
componentes de la solución, obtenemos que
x01 (t) = x(t) y que x02 (t) = 3x1 (t) + 2x2 (t)
y por tanto que x1 (t) = et c1 y x02 (t) = 2x2 (t) + 3et c1 , con c1 ∈ R. Utilizando la fórmula de
variación de las constantes, resulta que
Z
2t
t
2t
x2 (t) = e c2 + 3c1 e
e−2s es ds = e2t c2 − 3et c1 , donde c1 , c2 ∈ R,
0
que, expresado en términos matriciales, se reescribe como
µ
x1 (t)
x2 (t)
¶
µ
=
et
0
t
−3e e2t
¶µ
c1
c2
¶
, donde c1 , c2 ∈ R.
(4.15)
µ
¶
et
0
La anterior identidad implica que Φ(t) =
es matriz fundamental del sist
2t
µ
¶ −3e e µ
¶
1 0
1 0
0
−1
tema x (t) = Ax(t). Como Φ(0) =
, Φ (0) =
, lo que implica que
−3 1
3 1
µ
−1
Φ(t)Φ (0) =
et
0
t
−3e e2t
¶µ
1 0
3 1
¶
µ
=
et
0
2t
t
3(e − e ) e2t
¶
,
(4.16)
es la única matriz fundamental cuyo valor en t = 0 coincide con I, es decir etA .
En el ejemplo analizado queda patente que es más complicado determinar directamente
la aplicación etA que indirectamente a partir de la obtención de todas las soluciones del
sistema x0 (t) = Ax(t). Por tanto, aparentemente es más competitivo el uso de métodos ad
hoc para resolver un sistema lineal de primer orden con matriz de coeficientes constante que
el cálculo de la exponencial de dicha matriz, que sabemos proporciona siempre la función de
°
99
Green del sistema. Si la lectora o el lector aún no estuviera convencida/o de la veracidad de
la anterior afirmación, seráµentonces
¶ instructivo que se plantee la solución del sistema lineal
a
b
x0 (t) = Ax(t), donde A =
, con a, b, c ∈ R. Observar que en este caso la matriz A
b c
diagonaliza, puesto que es simétrica, de manera podemos encontrar fácilmente una matriz
fundamental en la forma (4.1), mientras que la obtención de etA resulta extremadamente
intrincada, excepto en el caso particular a = c en el que probablemente el cálculo de la
exponencial sea más sencillo que diagonalizar la matriz. ¿Por qué?
4.2.1.
Las Fórmulas de Rodrigues
La primera dificultad en el cálculo explícito de la exponencial de una matriz aparece en
la dificultad de obtener una expresión de las potencias sucesivas de la matriz. No obstante,
para solventar esta dificultad aún podríamos apoyarnos en resultados concoidos del álgebra
lineal. Concretamente, si A ∈ Mm (R) y p(x) = xm + am−1 xm−1 + · · · + a0 es su polinomio
característico, el Teorema de Cayley-Hamilton establece la identidad matricial p(A) = 0, es
decir que
Am = −am−1 Am−1 − · · · − a0 I,
lo que implica que todas las potencias An con n ≥ m pueden obtenerse de manera recurrente
a partir del conocimiento de las potencias An con n ≤ m − 1. En la práctica este resultado
sigue siendo ineficaz excepto en ejemplos muy concretos que incluyen los casos m = 2, 3
cuando A = −AT , que serán los que analizaremos a continuación.
¸
·
0 a
con a ∈ R, cuyo polinomio característico es
Supongamos pues que A =
−a 0
p(x) = x2 + a2 , lo que según el Teorema de Cayley-Hamilton implica que A2 = −a2 I. Esta
igualdad implica a su vez que A3 = −a2 A y finalmente que A4 = −a2 A2 = a4 I. Procediendo
por inducción, obtenemos fácilmente que para cada n ∈ N se verifica que
·
2n
A
n
= (−1) I y que
A
2n+1
n 2n
n 2n+1
= (−1) a A = (−1) a
K, donde K =
¸
0 1
.
−1 0
Por tanto, la exponencial de A se calcula fácilmente a partir de las igualdades
°
100
∞
∞
∞
X
1 n X 1 2n X
1
A =
A +
A2n+1
e =
n!
2n!
(2n + 1)!
n=0
n=0
n=0
A
∞
X
2n
na
∞
X
a2n+1
=I
(−1)
+K
(−1)
= (cosa)I + (sen a)K =
2n!
(2n + 1)!
n=0
n=0
·
n
cosa sen a
− sen a cosa
¸
.
Aplicando este resultado a las matrices tA cuando t ∈ R, obtenemos
Fórmula de Rodrigues
·
Dados a ∈ R y A =
¸
·
¸
0 a
cos(at) sen(at)
tA
, entonces e =
, para cada t ∈ R.
−a 0
− sen(at) cos(at)


0
a b
0 c  con a, b, c ∈ R, cuyo polinomio característico
Supongamos ahora que A =  −a
−b −c 0
√
3
2
es p(x) = −x − θ x, donde θ = a2 + b2 + c2 . El Teorema de Cayley-Hamilton implica que
A3 = −θ2 A, igualdad que implica a su vez que A4 = −θ2 A2 . Procediendo por inducción,
obtenemos fácilmente que para cada n ∈ N se verifica que
A2n = (−1)n−1 θ2(n−1) A2 , si n ≥ 1 y A2n+1 = (−1)n θ2n A si n ≥ 0.
Podemos suponer que θ > 0, pues si θ = 0, entonces a = b = c = 0 y por tanto A = 0,
lo que implica que eA = I. Así pues, si θ > 0, la exponencial de A se calcula fácilmente a
partir de las igualdades
∞
∞
∞
X
1 n X 1 2n X
1
e =I+
A =
A +
A2n+1
n!
2n!
(2n
+
1)!
n=1
n=0
n=0
A
∞
∞
2n
1 X
sen θ
(1 − cosθ) 2
1 2X
θ2n+1
nθ
+ A
(−1)n
=I+
A+
A.
=I− 2A
(−1)
θ
2n! θ n=0
(2n + 1)!
θ
θ2
n=1
Aplicando este resultado a las matrices tA cuando t ∈ R, obtenemos la versión más
conocida del resultado que perseguimos en esta sección:
°
Cálculo de la exponencial de una matriz
101
Fórmula de Rodrigues


0
a b
0 c , entonces
Dados a, b, c ∈ R, θ = a2 + b2 + c2 y A =  −a
−b −c 0
¡
¢
1 − cos(θt) 2
sen(θt)
tA
e =I+
A para cada t ∈ R.
A+
θ
θ2
√
4.3.
En los ejemplos considerados en la sección anterior, la dificultad para obtener directamente la exponencial de una matriz reside fundamentalmente en la falta de una expresión
sencilla para las potencias sucesivas de tal matriz, aunque naturalmente esto depende de
cada matriz considerada. Es obvio que cuantas más componentes nulas tenga una matriz
tanto más sencillo será el cálculo de sus potencias sucesivas. El caso más extremo es el
de una
casi inmediata. De hecho, si
 cálculo de manera
 matriz diagonal,
 que permite este

n
λ1
λ1




.
..
n
..
A=
, entonces A = 
, para cada n ∈ N y por tanto,
.
n
λm
λm
etA
 P
∞
(tλ1 )n
 n=0 n!

=



...
∞
P
n=0
(tλm )n
n!



etλ1
 

...
=
.


tλ1
e
Observar que en este caso, el cálculo de la exponencial es inmediato, pero que también
era inmediato resolver el sistema directamente, tal y como se efectuó en la Introducción de
este tema. Allí comprobamos también cuando la matriz de coeficientes del sistema no es
diagonal pero es diagonalizable, el sistema es equivalente a otro con matriz de coeficientes
diagonal y por tanto resolubre de manera inmediata. Comprobaremos a continuación que en
este caso el cálculo de la exponencial es también inmediato. Para ello nos basaremos en la
siguiente propiedad de comprobación inmediata:
Si P ∈ Mm (R)
£ es no¤nsingular, entonces para cada A ∈ Mm (R)
se tiene que P AP −1 = P An P −1 , para cada n ∈ N,
°
102
Por tanto, para cada k ∈ N y cada t ∈ R
k
X
tn
n=0
definitiva
etP M P
−1
n!
(P M P
k
£X
tn n ¤ −1
) = P
M P
y en
n!
n=0
−1 n
= P etM P −1 , para cada t ∈ R.
(4.17)
Si suponemos ahora
que la matriz
 A diagonaliza, es decir existen P, D ∈ Mm (R) con P

λ1


..
no singular, D = 
 y tales que A = P DP −1 , la identidad (4.17) anterior
.
λm
permite concluir que
Si A ∈ Mm (R) diagonaliza y P, D ∈ Mm (R) son tales que P es invertible, D
diagonal y A = P DP −1 , entonces para cada t ∈ R se tiene que




etλ1
λ1
−1

 −1


..
..
etA = etP DP = P 
 P , donde D = 
,
.
.
tλm
e
λm
(4.18)
resultado que coincide básicamente con la identidad (4.1), teniendo en cuenta que como
Φ(0) = P , etA = Φ(t)Φ−1 (0).
¶
µ
1 0
es la matriz considerada en el ejemplo de la sección
En particular si A =
3 2
anterior, A tiene a λ1 = 1 y λ2 = 2 como autovalores,
de¶manera que A diagonaliza
en
µ
¶ una
µ
1
0
1 0
, entonces P −1 =
y si
base de autovectores. Concretamente, si P =
3 1
−3
1
µ
¶
1 0
definimos D =
, resulta que A = P DP −1 . Teniendo en cuenta la identidad (4.18),
0 2
resulta que
µ
tA
e
tD
= Pe P
−1
=
1 0
−3 1
¶µ
et 0
0 e2t
¶µ
1 0
3 1
¶
µ
=
et
0
2t
t
3(e − e ) e2t
¶
.
Naturalmente, el resultado (4.18) no puede aplicarse a una matriz arbitraria A ∈ Mm (R)
con m > 1, pues es bien conocido que no toda matriz es diagonalizable. Sin embargo si admite
una generalización en el siguiente sentido:
°
103
Si A ∈ Mm (R) diagonaliza por bloques, es decir existen P ∈ Mm (R) y matrices
Aj ∈ Mmj (R), 1 ≤ m
. , r con m = m1 + · · · + mr , tales que P
j ≤ m, j = 1, . .
A1

 −1
..
es invertible y A = P 
 P , entonces para cada t ∈ R se tiene
.
(4.19)
Ar
que


etA = P 
etA1

..
 −1
P .
.
etAm
Observar que si la matriz ∈ Mm (R) diagonaliza, entonces podemos escoger r = m y
Aj = λj , para cada j = 1, . . . , m, de manera que efectivamente (4.19) s una generalización
de (4.18). Por otra parte, el resultado anterior tiene una utilidad de índole práctica, ya que
permite en muchos casos reducir el cálculo de la exponencial de una matriz de gran tamaño
al de las exponenciales de matrices de menor orden, aunque su aplicabilidad se basará en
que una matriz arbitraria pueda ser diagonalizada por bloques. No obstante, a la vista de
los ejemplos de la sección anterior esta reducción puede aún ser ineficaz si las submatrices
A1 , . . . , Ar no tienen la estructura suficientemente sencilla como para que el cálculo de su
exponencial sea viable. En definitiva, para cada matriz A ∈ Mm (R), el cálculo de etA podrá
llevarse a cabo si tenemos garantía de que A es equivalente a una matriz para la cual
la obtención de su exponencial sea viable, que según nuestra experiencia significa que la
expresión de la matriz equivalente tenga la mayor cantidad de ceros posible, o expresado de
otra forma que el sistema lineal equivalente al sistema algebraico Az = b o al sistema de EDO
x0 (t) = Ax(t) sea lo más descoplado posible. Desde el punto de vista del Álgebra Lineal, esto
significa que si consideramos la aplicación lineal asociada a A ∈ Mm (R), es decir aquella que
transforma el j-ésimo vector de la base canónica de Rm en el vector cuyas componetes en
dicha base son los elementos de la j-ésima columna de A, entonces nos planteamos encontrar
una nueva base tal que la imagen por la aplicación lineal de cada uno de sus vectores tenga
el mayor número de componentes nulas en dicha base. Puede quizá resultar sorprendente
que un resultado como el pretendido, la búsqueda para cada matriz A ∈ Mm (R) de una matriz
equivalente cuya expresión sea lo más desacoplada posible, tenga contestación afirmativa, lo
que constituye uno de los teoremas más profundos del Álgebra Lineal, que naturalmente
tiene multitud de aplicaciones.
Recordemos que si A ∈ Mm (R) y p(x) es su polinomio característico, entonces la expresión de p en factores irreducibles es
p(x) =
r
Q
(x − λi )mi
i=1
s
Q
(x2 − 2aj x + a2j + b2j )nj ,
j=1
°
104
donde λ1 , . . . , λr ∈ R y b1 , . . . , bs 6= 0. Cuando p sólo tenga raíces complejas, en cuyo caso
necesariamente m ha de ser par, tomaremos r = 0 en la expresión anterior, mientras que
si todas las raíces de p son reales, entonces tomaremos s = 0. En el ámbito del Álgebra
lineal, el conjunto σ(A) = {λ1 , . . . , λr , a1 ± ib1 , . . . , as ± ibs } se denomina espectro de A y
sus elementos son los autovalores de A considerada como matriz de coeficientes complejos.
Además mi y nj se denominan las multiplidades algebraicas de los autovalores λi y aj ± ibj
respectivamente, mientras que sus multiplidades geométricas están definidas como los números
di = dim ker [A − λi I] y dˆj = dim ker [A − (aj ± ibj )I], respectivamente. Observar que siempre
r
s
X
X
se satisface que m =
mi +2
nj . Por otra parte, de los cursos de Álbebra lineal sabemos
i=1
j=1
que 1 ≤ di ≤ mi , 1 ≤ dˆj ≤ nj y que la matriz no diagonaliza respecto del autovalor λi ,
respectivamente respecto de aj + ibj si y sólo si di < mi , respectivamente dˆj < nj , es decir si
A diagonaliza respecto a un autovalor, real o complejo, si y sólo si la multiplidad geométrica
y la algebraica de ese autovalor coinciden.
Forma Canónica de Jordan
Sean A ∈ Mm (R) y σ(A) = {λ1 , . . . , λr , a1 ± ib1 , . . . , as ± ibs }, donde λi ∈ R,
i = 1, . . . , r y bj 6= 0, j = 1, . . . , s todas las raíces, reales y complejas, del polinomio
característico de A, con multiplicidades m1 , . . . , mr y n1 , . . . , ns , respectivamente. Si
di = dim ker [A − λi I], i = 1, . . . , r y dˆj = dim ker [A − (aj ± ibj )I], j = 1, . . . , s, entonces existen P ∈ Mm (R) no singular, Ji ∈ Mmi (R), i = 1, . . . , r y Lj ∈ M2nj (R),
j = 1, . . . , s, tales que A = P JP −1 , donde J es la matriz diagonal por bloques que
está constituida por los r + s bloques J1 , . . . , Jr , L1 , . . . , Ls .
Además, para cada i = 1, . . . , r, Ji es diagonal
 por bloques,
λi
 1 λi

ques y cada uno de ellos es de la forma Jil = 
.. ..

.
.
consta
de di blo


, l = 1, . . . , di ,

1 λi
mientras que para cada, j = 1, . . . , s, Lj es diagonal por bloques, consta de dˆj bloques


Cj
..


.

 I
y cada uno de ellos es de la forma Ljl = 
, l = 1, . . . , dˆj , con
.
. . Cj


I Cj
¶
µ
¶
µ
1 0
a j bj
eI=
.
Cj =
−bj aj
0 1
Para una demostración del resultado anterior, pueden consultarse [?] y especialmente [?].
°
105
Con las notaciones utilizadas en el resultado anterior,
la matriz J se denomina forma canónica de Jordan de A, mientras que la base de
Rm formada los vectores cuyas coordenadas en la base canónica están dadas por
las columnas de P se denomina base de Jordan de Rm determinada por A.
(4.20)
En el resultado anterior no se excluye que o bien s = 0 o bien r = 0. En el primer caso
sólo tendrán sentido los bloques de la forma Ji , mientras que en el segundo sólo lo tendrán
los bloques del tipo Lj . Recordar que cuando r = 0, entonces todas las raíces del polinomio
característico de A son complejas lo que implica que el orden de la matriz, es decir m, debe
ser par.
Caracterización de la Base de Jordan
Sean A ∈ Mm (R), F : Rm −→ Rm la aplicación lineal descrita por A, es decir F (x) = Ax
para cada x ∈ Rm y B la base de Jordan determinada por A, es decir
©
ª
n1
mr
ns
1
B = {u1n }m
n=1 , . . . , {urn }n=1 , {v1n , w1n }n=1 , . . . , {vsn , wsn }n=1 .
Si para cada i = 1, . . . , r consideremos ki0 = 0 y para cada l = 1, . . . , di , kil el orden del
bloque Jil correspondiente a λi , entonces ki1 + · · · + kidi = m1 y además
F (uin ) = λi uin + uin+1 , si
l−1
P
kil < n <
z=0
F (uin ) = λi uin ,
si n =
l
P
l
P
kil , l = 1, . . . , di ,
z=0
kil ,
l = 1, . . . , di .
z=0
Si para cada j = 1, . . . , s consideremos k̂j0 = 0 y para cada l = 1, . . . , dî , 2kjl el orden del
bloque Ljl correspondiente a aj ± i bj λi , entonces k̂j1 + · · · + k̂j dˆj = 2nj y además
F (vjn ) = aj vjn − bj wjn + vjn+1 ,
si
F (wjn ) = bj vjn + aj wjn + wjn+1 , si
l−1
P
z=0
l−1
P
k̂jl < n <
k̂jl < n <
z=0
F (vjn ) = aj vjn − bj wjn ,
F (wjn ) = bj vjn + aj wjn ,
si n =
si n =
l
P
z=0
l
P
z=0
l
P
z=0
l
P
k̂jl , l = 1, . . . , dî ,
k̂jl , l = 1, . . . , dî ,
z=0
k̂il ,
l = 1, . . . , dî ,
k̂il ,
l = 1, . . . , dî .
Observar que para cada i = 1, . . . , r y cada l = 1, . . . , di de entre los vectores de la base
°
106
il
de Jordan que corresponden al bloque de Jordan Jil , es decir {uin }βn=α
donde αil =
il +1
y βil =
l
P
z=0
l−1
P
kil
z=0
kil , uβil es el único autovector correspondiente al autovalor λi .
Análogamente, para cada j = 1, . . . , s y cada l = 1, . . . , dî de entre los vectores l de la
βjl
base de Jordan que corresponden al bloque de Jordan Ljl , es decir {vjn , wjn }n=α
donde
jl +1
l−1
l
P
P
αjl =
k̂il y βjl =
k̂il , vβjl + iwβjl es el único autovector complejo correspondiente al
z=0
z=0
autovalor a+ i bj , mientras que vβjl − iwβjl es el único autovector complejo correspondiente al
autovalor aj − i bj .
En general, la forma canónica de Jordan de una matriz representa la matriz equivalente a
ella más desacoplada posible, o en otras palabras la forma más desacoplada de expresar la
aplicación lineal determinada por tal matriz. En particular, si A es diagonalizable, entonces
su forma canónica de Jordan, J, es una matriz diagonal. Por otra parte, si A es triangulable,
entonces todas las raíces del polinomio característico de A son reales, lo que implica que s = 0,
de manera que la forma canónica de Jordan de A es su forma triangular más desacoplada
posible.
Ahora, la posibilidad de calcular etA queda reducida a la posibilidad de calcular etJil ,
i = 1, . . . , r y etLjl , j = 1, . . . , s.


λ
 1 λ



Consideremos pues la matriz J ∈ Mk (R) dada por J = 
. Claramente
.
.
.
.


.
.
1 λ


0
 1 0



J = λ I + N , donde I es la matriz identidad de order k y N = 
. Como
.
.
.
.


.
.
1 0
λ I y N conmutan, la propiedad (iii) de (4.11) implica que
etJ = etλ I etN = etλ etN , t ∈ R,


ya que como tλ I es diagonal, entonces etλ I = 
etλ

..

 = etλ I. Por otra parte, es
.
etλ
fácil verificar que
°




N2 = 


107


0
0
1
..
.
0
0
..
.
0
..
.
..
0
···
1
0





k−1
=
, . . . , N



.
0
0
0 0
.. . .
.
.
1 ···





...
0
y
N k = 0,
0
lo que implica que

etN =
1
t


2
k−1
t
t

n
2
k−1
N = I + tN + N + · · · +
N
=

n!
2
(k − 1)!

∞
X
tn
n=0
t2
2
..
.
tk−1
(k−1)!

1
t
..
.
···
1
..
.
t2
2
..
t



.


.
1
En definitiva, hemos demostrado que

λ
 1 λ

Si J = 
.. ..

.
.
1 λ

etJ = etλ









 ∈ Mk (R), entonces

1
t
t2
2
..
.
tk−1
(k−1)!

1
t
..
.
1
..
···
t2
2
.
..
t



,


.
(4.21)
t ∈ R.
1


C
 I C



Consideremos ahora la matriz L ∈ M2k (R) dada por L = 
, donde
.
.
.
.


.
.
I C
µ
¶
µ
¶
a b
1 0
C =
eI =
. Es claro que L = D + N donde D, N ∈ M2k (R) están
−b a
0 1




0
C
 I 0





.
.
definidas como D = 
 y = es la matriz nula de
yN =
.
.
.
.
.


.
.
C
I 0
orden 2. Como D y N conmutan, la propiedad (iii) de (4.11) implica nuevamente que
°
108


etL = etD etN = 

etC
..
 tN
 e , t ∈ R.
.
etC
Nuevamente, es sencillo verificar que




N =


2


0
0
I
..
.
0
0
..
.
0
..
.
0
···
I





, . . . , N k−1 = 



..
.
0
0
0
0 0
.. . .
.
.
I ···

..
0




.
y
N k = 0,
0
lo que implica que

etN


t2 2
tk−1

= I + tN + N + · · · +
N k−1 = 

2
(k − 1)!


I
tI
t2
I
2
..
.
I
tI
...
tk−1
(k−1)!
I ···
I
...
...
t2
2
tI
I






I
y por tanto,

etL = etD etN



=



etC
tetC
t2 tC
e
2
..
.
tk−1
(k−1)!
etC
tetC
..
.
etC
···
etC
..
..
.
.
t2 tC
e
tetC etC
2



.


(4.22)
En conclusión, para concluir el cálculo de etL es necesario determinar etC .
µ
¶
a b
Como C =
, resulta inmediato comprobar que C = aI + bK, donde I es la
−b a
µ
¶
0 1
identidad de orden 2 y K =
, y es claro que ambas matrices conmutan, por lo
−1 0
que
·
e
tC
taI tbK
=e
e
ta tbK
=e e
=e
ta
cos(bt) sen(bt)
− sen(bt) cos(bt)
¸
, t ∈ R,
°
109
donde hemos tenido en cuenta que etaI = eta I y la Fórmula de Rodrigues para matrices
antisimétricas de orden 2. Teniendo en cuenta la identidad (4.22), hemos demostrado que

C
 I
Si L = 



C
..
.
..


 ∈ M2k (R) con C =

.
I
µ
a b
−b a
¶
µ
eI=
1 0
0 1
¶
,
C
entonces para cada t ∈ R se satisface que

e
tL

E(t)
tE(t)
t2
2 E(t)
..
.



= eta 



tk−1
(k−1)!
B(t)
tE(t)
..
.
E(t)
E(t)
..
.
t2
2
···
..
(4.23)


µ
¶

sen(tb) cos(tb)
 , E(t) =
.

− sen(tb) cos(tb)


.
E(t) tE(t) E(t)
En conclusión, el resultado buscado es el siguiente:
Expresión de la exponencial de una matriz
Sean A ∈ Mm (R) y σ(A) = {λ1 , . . . , λr , a1 ± ib1 , . . . , as ± ibs } todas las raíces, reales y
complejas, del polinomio característico de A, con multiplicidades algebraicas m1 , . . . , mr
y n1 , . . . , ns , y multiplicidades geométricas d1 , . . . , dr y dˆ1 , . . . , dˆs , respectivamente.
Consideremos J la forma canónica de Jordan de A, J1 , . . . , Jr , L1 , . . . , Ls los bloques de
Jordan y P ∈ Mm (R) no singular no singular tal que A = P JP −1 .

Entonces, etA

etJil = etλi











= P




1
t
t2
2
..
.
k−1
t
(k−1)!

etLjl



taj 
=e 


t
(k−1)!
..



 −1
P
donde para cada i = 1, . . . , r,




.
etJr
etL1
..
.
etLs

1
t
..
.
···
Ej (t)
tEj (t)
t2
2 Ej (t)
..
.
k−1

etJ1
Ej (t)
1
..
.
..
2
t
2



 , mientras que para cada j = 1, . . . , s,



.
t
1

Ej (t)
tEj (t)
..
.
···
Ej (t)
..
.
2
t
2
Ej (t)
..
.


µ
¶

sen(tbj ) cos(tbj )
 , E(t) =
.

− sen(tbj ) cos(tbj )


tEj (t) Ej (t)
°
110
El resultado anterior, muestra que conocida J, la forma canónica de Jordan de A, la
determinación de etJ es directa y no requiere efectuar ningún cálculo adicional. Para completar el cálculo de la exponencial de la matriz original, es preciso determinar la base de
Jordan correspondiente, es decir la matriz P y también la inversa de P . Por lo que respecta
al cálculo de P , éste se realiza simultáneamente al de la forma canónica, mientras que en
la práctica la evaluación de P −1 es la etapa del proceso que involucra un mayor número de
operaciones.
Como veremos, podemos evitar esta última etapa del proceso, es decir el cálculo de P −1 ,
si renunciamos a determinar la única matriz fundamental que en t = 0 toma como valor la
identidad, es decir etA y nos contentamos con determinar una matriz fundamental, es decir
una base de soluciones, sin la propiedad anterior. Para ello, observemos que con las notaciones
anteriores, como etA es una matriz fundamental del sistema lineal x0 (t) = Ax(t) y P es no
singular, entonces la aplicación matricial Φ(t) = etA P = P etJ es también fundamental y esta
aplicación puede determinarse directamente a partir del conocimiento de J y de P .
Base de soluciones del sistema x0 (t) = Ax(t)
©
ª
n1
mr
ns
1
Sean A ∈ Mm (R) y B = {u1n }m
la
n=1 , . . . , {urn }n=1 , {v1n , w1n }n=1 , . . . , {vsn , wsn }n=1
base de Jordan determinada por A.
Para cada i = 1, . . . , r, consideremos ki0 = 0 y para cada l = 1, . . . , di , kil el orl
l−1
P
P
kil , mientras que para cada
kil y βil =
den del bloque Jil correspondiente a λi , αil =
z=0
z=0
j = 1, . . . , s, consideremos k̂j0 = 0 y para cada l = 1, . . . , dî , 2kjl el orden del bloque Ljl
l
l−1
P
P
kil .
kil y β̂il =
correspondiente a aj ± i bj , α̂il =
z=0
z=0
Entonces, las funciones definidas como
·
tλi
xin (t) = e
uin + tuin+1 + · · · +
¸
tβil −n
uiβ ,
(βil − n)! il
si i = 1, . . . , r, l = 1, . . . , di y αil < n ≤ βil y como
¸
·
¢
tβjl −n ¡
taj
cos(tbj )vjβjl − sen(tbj )wjβjl ,
yjn (t) = e
cos(tbj )vjn − sen(tbj )wjn + · · · +
(βjl − n)!
·
¸
¢
tβjl −n ¡
taj
zjn (t) = e
sen(tbj )vjn + cos(tbj )wjn + · · · +
sen(tbj )vjβjl + cos(tbj )wjβjl ,
(βjl − n)!
si j = 1, . . . , s, l = 1, . . . , dî y α̂il < n ≤ β̂il es una base de soluciones de x0 (t) = Ax(t).
Observar que para cada i = 1, . . . , r y cada l = 1, . . . , di y para cada j = 1, . . . , s y cada
°
Estabilidad de los sistemas de coeficientes constantes
111
l = 1, . . . , dˆj las expresiones anteriores determinan las funciones
xiβil (t) = etλi uiβil ,
£
¤
yjn (t) = etaj cos(tbj )vjβjl − sen(tbj )wjβjl ,
£
¤
zjn (t) = etaj sen(tbj )vjβjl + cos(tbj )wjβjl .
que ya fueron obtenidas en la identidad (4.4) de la primera sección de este Tema.
4.4.
Estabilidad de los sistemas de coeficientes constantes
Teniendo en cuenta que etA es una matriz fundamental del sistema x0 (t) = Ax(t), de
acuerdo con las nociones y los resultados de la Sección 3.5 y más concretamente de acuerdo
con (3.34), la determinación de estabilidad, estabilidad asintótica o inestabilidad de las soluciones de los sistemas x0 (t) = Ax(t) + f (t), o equivalentemente, la estabilidad, estabilidad
asintótica o inestabilidad de la matriz A, se reduce a comprobar cuándo fijado t0 , todas las
componentes de etA son funciones acotadas para t ≥ t0 , tienden a 0 cuando t → +∞, o
alguna de las componentes es una función no acotada, respectivamente.
Supongamos pues que A ∈ Mm (R) y que P y J son respectivamente una base de Jordan y
su forma canónica Jordan. Entonces para cada t ∈ I, se tiene que etA = P etJ P −1 , de manera
que las componentes de etA están acotadas para t ≥ t0 o tienden a 0 cuando t → +∞ si y
sólo si las componentes de etJ tienen el mismo comportamiento. En definitiva, concluimos
que
una matriz cuadrada es estable, asintóticamente estable o inestable si y sólo si
su forma canónica de Jordan es estable, asintóticamente estable o inestable,
respectivamente.
(4.24)
Recordemos que si A ∈ Mm (R) y σ(A) = {λ1 , . . . , λr , a1 ±ib1 , . . . , as ±ibs }, donde λi ∈ R,
i = 1, . . . , r y bj 6= 0, j = 1, . . . , s tienen multiplicidades algebraicas m1 , . . . , mr y n1 , . . . , ns
y multiplicidades geométricas d1 , . . . , dr y dˆ1 , . . . , dˆs , respectivamente, entonces

etJ




=



etJ1

..




,



.
etJr
etL1
..
.
etLs
°
112
donde


etJj = 
etJj1

..


 ∈ Mmj (R),
.

etLk = 

etLj1
..

 ∈ M2nk (R)
.
tLkdˆ
etJjdj
e
k
para j = 1, . . . , r y k = 1, . . . , s.
A la vista de las identidades anteriores, resulta que J es estable o asintóticamente estable
dˆj
dj
, j = 1, . . . , r y {Ljk }k=1
, j = 1, . . . , s son estables o
si y sólo si todas las matrices {Jjk }k=1
asintóticamente estables, respectivamente. Por otra parte, si alguna de las matrices anteriores
es inestable, entonces J también lo será. Además, fijado t0 ∈ R, la estabilidad o estabilidad
asintótica de cualquiera de las matrices anteriores es equivalente a que todas sus componentes
están acotadas para t ≥ t0 o tiendan a 0 cuando t → +∞, respectivamente, mientras que la
inestabilidad es equivalente a que alguna de sus componentes no sea acotada para t ≥ t0 .
Fijemos t0 ∈ R y consideremos j = 1, . . . , r y k = 1 . . . , mj . Entonces,

etJjk

1
t



= etλj 


t2
2
..
.
tk−1
(k−1)!
1
t
..
.
1
..
···
t2
2
.
..
t



,


.
1
de manera que si λj > 0, entonces las componentes diagonales de etJjk son no acotadas. Por
otra parte, si λj < 0, entonces es claro que lı́m etJjk = 0. Finalmente si λj = 0, entonces la
t→+∞
única posibilidad para que etJjk tenga componentes acotadas para t ≥ t0 es que se reduzca
a la diagonal, y por tanto Jjk debe ser una matriz de orden 1.
Si ahora, fijado t0 consideramos j = 1, . . . , s y k = 1 . . . , nj , entonces,

etLjk


taj 
=e 


Ej (t)
tEj (t)
t2
Ej (t)
2
..
.
tk−1
(k−1)!
Ej (t)

Ej (t)
tEj (t)
..
.
···
Ej (t)
..
..
.
.
2
t
Ej (t) tEj (t) Ej (t)
2



,


°
µ
donde E(t) =
cos(tbj ) sen(tbj )
− sen(tbj ) cos(tbj )
113
¶
.
Nuevamente, si aj > 0, entonces las componentes diagonales de etLjk son no acotadas. Por
otra parte, si aj < 0, entonces es claro que lı́m etLjk = 0 y finalmente si aj = 0, entonces la
t→+∞
única posibilidad para que etLjk tenga componentes acotadas para t ≥ t0 es que se reduzca
al bloque diagonal, y por tanto Ljk debe ser una matriz de orden 2.
Recapitulando los resultados obtenidos, tenemos las siguientes conclusiones:
• La matriz A ∈ Mm (R) es asintóticamente estable si y sólo si la parte real de
todas las raíces de su polinomio característico son estrictamente negativas.
• La matriz A ∈ Mm (R) es estable si y sólo si la parte real de todas las raíces
de su polinomio característico son negativas y la multiplicidad geométrica de
cada raíz con parte real nula coincide con su multiplicidad algebraica.
(4.25)
• La matriz A ∈ Mm (R) es inestable si y sólo si su polinomio característico
tiene o bien una raíz con parte real estrictamente positiva o bien una raíz con
parte real nula cuya multiplicidad geométrica es estrictamente menor que la
algebraica.
Como acabamos de comprobar el signo de la parte real de las raíces del polinomio característico proporciona una información que en muchos casos puede ser suficiente para determinar
la inestabilidad, la estabilidad asintótica e incluso la estabilidad. Sin embargo, la aplicación
del criterio anterior pasa precisamente por calcular las raíces de dicho polinomio, tarea que
puede resultar de enorme dificultad si el orden de la matriz es suficientemente alto. No
obstante el simple análisis del polinomio característico permite obtener un criterio negativo
tanto de estabilidad como de estabilidad asintótica que puede resultar de gran utilidad en
las aplicaciones. Supongamos que p(x) = det (xI − A) = xm + c1 xm−1 + · · · + cm . Como
p(x) =
r
Y
j=1
(x − λj )
mj
s
Y
(x2 − 2aj x + a2j + b2j )nj , bj 6= 0, j = 1, . . . , s
j=1
resulta que si A es estable, entonces −λj ≥ 0, j = 1, . . . , r y −aj ≥ 0, j = 1, . . . , s,
de manera que necesariamente c1 , . . . , cm ≥ 0, mientras que cuando A es asintóticamente
estable, el mismo razonamiento muestra que c1 , . . . , cm > 0. En definitiva hemos demostrado
el siguiente criterio:
Consideremos A ∈ Mm (R) y p(x) = det (xI − A) = xm + a1 xm−1 + · · · + am . Si
existe j = 1, . . . , m tal que aj < 0, entonces A es inestable y si existe j = 1, . . . , m
tal que aj = 0, entonces A no puede ser asintóticamente estable.
(4.26)
°
114
4.5.
Sistemas de coeficientes variables
Después de analizada la solución efectiva de los sistemas lineales con coeficientes constantes, surge de forma natural la pregunta de si los desarrollos anteriores son válidos para
el caso de sistemas lineales generales. Concretamente, nos
Z preguntamos si dada la aplicación
t
A(s) ds
matricial continua A : I −→ Mm (R), entonces Φ(t) = e
es una matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t). Naturalmente cuando esto ocurra, entonces Φ es la única
matriz fundamental tal que Φ(t0 ) = Id. Por ejemplo, esto es cierto en el caso escalar, es
decir cuando m = 1. Más generalmente, si existen una función continua h : I −→ R y una
matriz A ∈ Mm (R) tales que A(t) = h(t)A, para cada t ∈ R, entonces laµmisma
técnica
¶
Z
t0
t
h(s) ds A
que la utilizada en el caso de coeficientes constantes muestra que Φ(t) = e t0
es matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t). De hecho, el caso de coeficientes constantes analizado en la sección anterior corresponde
a¶ tomar h = 1. Observar que en esta
µZ
t
h(s) ds A
situación la determinación explícita de e
depende fundamentalmente de la
forma canónica de Jordan de A, y de hecho basta sustituir
de etA la función
µZ ten la expresión
¶
Z t
h(s) ds A
t por
h(s) ds. En particular, resulta que si Φ(t) = e t0
, entonces Φ ∈ C 1 (I)
t0
µZ t
¶
h(s) ds A
y además Φ0 (t) = h(t)Ae t0
, para cada t ∈ I.
t0
A la vista del resultado Zanterior parece plausible concluir que si A : I −→
Z t Mm (R) es
t
A(s) ds
A(s) ds
0
t
t
0
0
continua, entonces Φ(t) = e
es derivable y además Φ (t) = A(t)e
. El
siguiente ejemplo muestra que, en general, el resultado anterior es falso:
·
¸
1 0
, para cada t ∈ R. Entonces,
Consideremos A : R −→ M2 (R) dada por A(t) =
2t 0
¸
µZ t
¶n
·
·
¸
Z t
t − t0 0
1
0
n
y por tanto
A(s) ds = (t − t0 )
A(s) ds =
, para cada
t2 − t20 0
t + t0 0
t0
t0
n ∈ N∗ y en definitiva,
Z
t
"
A(s) ds
Φ(t) = e
t0
=
et−t0
0
(t + t0 )(et−t0 − 1) 1
#
,
mientras que
°
"
Φ0 (t) =
115
et−t0
e
t−t0
0
#
"
6= A(t)Φ(t) =
(t + t0 + 1) − 1 0
Z
et−t0
2te
t−t0
0
0
#
.
t
A(s) ds
La razón de que Φ(t) = e
no defina en general una matriz fundamental del
sistema x0 (t) = A(tx(t) reside nuevamente
en la no conmutatividad del producto de matrices.
Z
t0
t
De hecho, si definimos B(t) =
A(s) ds y suponemos que A(t)B(t) = B(t)A(t) para cada
t0
¡
¢0
¡
¢n−1
t ∈ I, entonces B(t)n = nA(t) B(t)
, lo que implica que
¡
¢
B(t) 0
e
=
¶0
∞ µ
X
B(t)n
n=0
n!
=
∞
X
A(t)
n=1
B(t)n−1
= A(t)eB(t) .
(n − 1)!
y en definitiva
si existe t0 ∈ Iµtal
continua A : I −→ Mm (R) satis¶ µZ matricial
¶
Z tque la aplicación
t
face que A(t)
A(s) ds =
A(s) ds A(t) para cada t ∈ I, entonces,
t
t
0
0
Z t
A(s) ds
Φ(t) = e t0
es matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t)
(4.27)
En el ejemplo analizado anteriormente la condición de que A conmute con su primitiva
que se anula en t0 , no se satisface para ningún t0 ∈ I ya que
µZ
¶ ·
A(s) ds =
t
A(t)
t0
t − t0
0
2t(t − t0 ) 0
¸
·
6=
t − t0 0
t2 − t20 0
µZ
t
Una condición sencilla que asegura que A(t)
¸
µZ
t
=
¶
A(s) ds A(t).
t0
¶
µZ t
¶
A(s) ds =
A(s) ds A(t) para
t0
t0
cada t0 ∈ I y cada t ∈ I, es que se verifique que A(s)A(t) = A(t)A(s) para cada t, s ∈ I, ya
que si esta condición se satisface, entonces fijado t ∈ I, resulta que
µZ
t
A(t)
t0
¶ Z t
µZ t
¶
Z t
A(s) ds =
A(t)A(s) ds =
A(s)A(t) ds =
A(s) ds A(t)
t0
t0
t0
°
116
Además, si se satisface la propiedad de conmutación entre las matrices coeficientes, entonces también se verifica que
µZ
¶ µZ
t
A(u) du
A(τ ) dτ
t0
¶
s
Z tZ
s
=
A(τ )A(u) dτ du
t0
t0
t0
Z sZ
µZ
t
=
A(u)A(τ ) du dτ
t0
t0
¶ µZ
s
A(u) du
t0
¶
t
A(τ ) dτ
.
t0
En definitiva, teniendo presentes las propiedades (4.11) de la exponencial de una matriz
y también la fórmula de Lagrange-Green obtenemos que
si A : I −→ Mm (R) satisface que A(t)A(s) = A(s)A(t), t, s ∈ I entonces, la
función de Green del sistema x0 (t) = A(t)x(t) está determinada por la identidad
Z t
A(τ ) dτ
, t, s ∈ I.
G(t, s) = e s
Por tanto, para cada función continua f : I −→ Rm , cada t0 ∈ I y cada x0 ∈ Rm ,
la única solución del problema de valores iniciales x0 (t) = Ax(t) + f (t), x(t0 ) = x0
está dada por la expresión
Z t
Z s


Z
A(τ ) dτ
A(τ ) dτ
t −


x(t) = e t0
e t0
f (s) ds .
 x0 +
(4.28)
t0
A pesar de que el resultado anterior describe las soluciones de un sistema lineal de EDO
con matriz de coeficientes no necesariamente constantes, sino verificando una propiedad de
conmutación, el cálculo efectivo de tales soluciones aún no está asegurado puesto que para
determinar una matriz fundamental es preciso hallar la exponencial de una cantidad infinita
de matrices. No obstante, comprobaremos que la propiedad de conmutación de la matriz de
coeficientes, es decir que se satisfaga que A(t)A(s) = A(s)A(t), para cada t, s ∈ I, permite
reducir la situación al cálculo de una cantidad finita de exponenciales. Para ello recurriremos
una vez más a técnicas propias del Álgebra Lineal:
Fijaremos previamente un producto interno en el espacio vectorial Mm (R), por ejemplo
hB, Ci = tr C T B y consideremos V = sg{A(t) : t ∈ I}, es decir el subespacio de Mm (R) generado por las matrices coeficientes. Es claro que si A : I −→ Mm (R) no es la aplicación nula,
entonces V no se reduce a la matriz nula y por tanto 1 ≤ k = dim V ≤ m2 = dimMm (R), lo
que implica que existen A1 , . . . , Ak ∈ V tales que {A1 , . . . , Ak } es base ortonormal de V.
°
117
Para cada t ∈ I, como A(t) ∈ V, resulta que A(t) = h1 (t)A1 + · · · + hk (t)Ak , donde
hj (t) = hA(t), Aj i para cada j = 1, . . . , k. Como A : I −→ Mm (R) es continua, las funciones
hj : I −→ R, j = 1, . . . , k son también continuas. Por tanto, si para cada t0 ∈ I y cada
Z t
j = 1, . . . , k consideramos la función Hj (t) =
hj (s) ds, entonces satisface que
t0
Z
t
A(s) ds = H1 (t)A1 + · · · + Hk (t)Ak ,
para cada t ∈ I.
t0
Finalmente, como cualquier matriz del subespacio V es combinación lineal de matrices
que conmutan entre sí, si B, C ∈ V entonces BC = CB, lo que implica que las matrices
A1 , . . . , Ak conmutan entre sí y por tanto,
Z
µZ
t
t
A(s) ds
e
t0
=e
¶
h1 (s) ds A1
t0
Z
µZ
··· e
¶
t
hn (s) ds Ak
t0
,
para cada t ∈ I,
(4.29)
t
A(s) ds
de manera que el cálculo de e t0
se reduce a cálculo de las k exponenciales eHj (t)Aj ,
j = 1, . . . , k, cada una de las cuales depende de la forma canónica de Jordan de la matriz
Aj correspondiente.
4.5.1.
Aplicación al Teorema Fundamental de Curvas Planas
Recordemos que, según el desarrollo efectuado en la Sección 3.4.1, el Teorema Fundamental
de Curvas Planas establece que
·
¸
0
k(s)
Si k : I −→ R es continua, definimos A(s) =
, fijamos s0 ∈ I
−k(s) 0
y consideramos Φ la única matriz fundamental del sistema x0 (s) = A(s)x(s)
que
Z
s
satisface Φ(s0 ) = Id y t la primera fila de Φ, entonces la función c(s) =
t(u) du,
s0
s ∈ I, es una curva parametrizada por arco cuya curvatura es k. Además, cualquier
otra curva regular con estas propiedades tiene la expresión bc(s) = M c(s) + v, para
cada s ∈ I, donde M ∈ M2 (R) es tal que M T M = Id y det M = 1 y v ∈ R2 .
Es fácil comprobar
que A(t)A(s)
= A(s)A(t)
paraZcada s, t ∈ I y por tanto si considera·
¸
Z s
s
0 1
k(u) du y H =
A(u) du = K(s)H y Φ(s) = eH(s)H
mos K(s) =
, entonces
−1
0
s0
s0
°
118
es matriz fundamental del sistema x0 (s) = A(s)x(s). Como además K(s)H es una matriz
antisimétrica de segundo orden, podemos aplicar la Fórmula de Rodrigues correspondiente
a este caso para concluir que
"
Φ(s) =
¡
¢
¡
¢ #
cos K(s) sen K(s)
¡
¢
¡
¢
− sen K(s) cos K(s)
y por tanto
µZ
s
c(s) =
¡
¢
cos K(u) du,
s0
Z
s
¡
¢
sen K(u) du
¶T
.
s0
·
¸
m11 m12
Por otra parte, M =
satisface la identidad M T M = Id si y sólo si se verifica
m21 m22
que m211 +m221 = m212 +m222 = 1 y m11 m12 +m21 m22 = 0. La última identidad implica que existe λ ∈ R tal que m12 = λm21 y m22· = −λm11 y como
1 = m212 +· m222 = λ2 (m221¸+ m211 ) = λ2 ,
¸
m11
m21
m11 −m21
resulta que λ = ±1 y o bien M =
o bien M =
, pero sólo la
m21 −m11
m21
m11
T
segundamatriz tiene determinante
· igual a 1. Así
¸ pues M ∈ M2 (R) satisface que M M = Id
m11 −m21
y detM = 1 si y sólo si M =
, donde m211 + m222 = 1. Si esto ocurre, existe
m21
m11
un único ϕ ∈ [0, 2π) tal que m11 = cosϕ y m21 = sen ϕ, es decir,
T
M ∈ M·2 (R) satisface que
¸ M M = Id y detM = 1 si y sólo
cosϕ − sen ϕ
si M =
, donde ϕ ∈ [0, 2π), es decir M es la
sen ϕ
cosϕ
matriz de un giro de ϕ radianes efectuado en sentido antihorario.
Resulta entonces que
 Z

¢¤
·
¸
 s cosϕcos K(u) − sen sen K(u) du 
cosϕ − sen ϕ
0


c(s) =  Z s

sen ϕ
cosϕ
£
¡
¢
¡
¢¤


sen ϕcos K(u) + cosϕ sen K(u) du
s
£
¡
¢
¡
s0
 Z

¡
¢
 s cos K(u) + ϕ du 
0


= Z s
,
£
¡
¢


sen K(u) + ϕ du
s
s0
°
119
y tenemos la versión definitiva del Teorema Fundamental de curvas planas:
Sean I ⊂ R un intervalo no trivial
Z uy k : I −→ R una función continua. Entonces, fijado s0 ∈ I, si K(u) =
k(τ ) dτ , todas las curvas planas regulares
s0
parametrizadas por arco que tienen a k como curvatura están determinadas por la
identidad
µ
¶
Z s
Z s
¡
¢
¡
¢
c(s) = v1 +
cos ϕ + K(u) du, v2 +
sen ϕ + K(u) du , s ∈ I,
s0
(4.30)
s0
donde ϕ ∈ [0, 2π) y v1 , v2 ∈ R.
4.5.2.
Aplicación al Teorema Fundamental de Curvas Espaciales
Recordemos que, según el desarrollo efectuado en la Sección 3.4.1, el Teorema Fundamental
de Curvas Planas establece que
Si k, τ : I −→ R son continuas y además k(s) > 0 para cada s ∈ I, definimos
0
k(s)
0

A(s) = −k(s) 0 −τ (s) , fijamos s0 ∈ I y consideramos Φ la única matriz
0
τ (s)
0
fundamental del sistema x0 (s) = A(s)x(s)
que satisface Φ(s0 ) = Id y t la primera
Z
s
fila de Φ, entonces la función c(s) =
t(u) du, s ∈ I, es una curva parametrizada
s0
por arco cuyas curvatura y torsión son k y τ , respectivamente. Además, cualquier
otra curva regular con estas propiedades tiene la expresión bc(s) = M c(s) + v, para
cada s ∈ I, donde M ∈ M3 (R) es tal que M T M = Id y det M = 1 y v ∈ R3 .
Para poder determinar explícitamente curvas regulares con curvatura y torsión dadas, es
preciso encontrar una matriz fundamental del sistema x0 (s) = A(s)x(s), pero para ello sabemos que es preciso exigir propiedades adicionales a la matriz de coeficientes, concretamente
que se satisfaga la propiedad de conmutación A(t)A(s) = A(s)A(t) para cada t, s ∈ I. Como


k(t)k(s)
0
k(t)τ (s)
,
0
k(t)τ (s) + k(s)τ (t)
0
A(t)A(s) = − 
τ (t)k(s)
0
τ (t)τ (s)
resulta que A(t)A(s) = A(s)A(t) para cada t, s ∈ I si y sólo si k(t)τ (s) = k(s)τ (t) para
cada t, s ∈ I. En particular, si se satisface la anterior propiedad y fijamos s0 ∈ I, entonces
°
120
k(t)τ (s0 ) = k(s0 )τ (t) para cada t ∈ I y como k(s0 ) > 0, la anterior identidad es equivalente
τ (s0 )
a que τ (t) = a k(t) para cada t ∈ I, donde a =
. Recíprocamente si τ (t) = a k(t) para
k(s0 )
cada t ∈ I, entonces k(t)τ (s) = k(s)τ (t) para cada t, s ∈ I. En definitiva, hemos demostrado
que
Si A(s) es la matriz de Frenet de una curva regular parametrizada por arco
c, entonces A(t)A(s) = A(s)A(t) para cada t, s ∈ I si y sólo si existe a ∈ R
tal que τ (t) = ak(t) para cada t ∈ I, es decir la torsión es un múltiplo de la
curvatura. Las curvas que satisfacen esta propiedad se denominan hélices.
Sean ahora a ∈ R, k : I −→ R continuay tal que k(s) > 0 para cada s ∈ I y consi0 1
0
deremos la aplicación matricial A(s) = k(s)  −1 0 −a . Si fijamos s0 ∈ I y tomamos
0 a
0
Z s
√
θ = 1 + a2 y K(s) =
k(u) du, entonces aplicando la Fórmula de Rodrigues para matrices
s0
antisimétricas de orden 3, la aplicación fundamental del sistema x0 (s) = A(s)x(s) cuyo valor
en s0 es la matriz identidad es


 £
¡
¢ 0 1
¡
¢¤  1 0 a 
1 0 0
0
sen θ K(s)
1 − cos θ K(s)
 −1 0 −a  −
 0 θ 0 
Φ(t) =  0 1 0  +
θ
θ2
0 0 1
0 a
0
a 0 a2
y por tanto una hélice cuya curvatura es k y cuya torsión es τ = ak está dada por
c(s) =
1
θ2
µ
Z
a2 (s − s0 ) +
s
¡
¢
cos θK(u) du, θ
s0
Z
s
¡
¢
sen θK(u) du, a
s0
Z
s
¡
¢
cos θK(u) du − a(s − s0 )
¶T
.
s0


1 0
a
1
0 , entonces M T M = Id, detM = 1
Si consideramos ahora la matriz M =  0 θ
θ
a 0 −1
y además
1
M c(s) =
θ
µZ
s
s0
¡
¢
cos θK(u) du,
Z
s
¶T
¢
sen θK(u) du, a(s − s0 ) .
¡
(4.31)
s0
que es la expresión habitual para una hélice de curvatura k y torsión τ = ak.
°
Ejercicios
4.6.
121
Ejercicios
Problema 1. Determinar todas las funciones x, y : R −→ R de clase C 1 (R) que, en cada
caso, satisfacen las identidades que se indican.
i) x0 (t) = x(t), y 0 (t) = y(t).
ii) x0 (t) = −x(t), y 0 (t) = 2y(t).
iii) x0 (t) = 6x(t) + 3y(t), y 0 (t) = 3x(t) + 4y(t).
iv) x0 (t) = y(t), y 0 (t) = 2x(t) + y(t).
v) x0 (t) = x(t) + y(t), y 0 (t) = −2x(t) + y(t).
vi) x0 (t) = x(t) + y(t), y 0 (t) = −4x(t) − y(t).
Problema 2. Determinar todas las funciones x, y, z : R −→ R de clase C 1 (R) que satisfacen
las identidades x0 (t) = −x(t) + e−t , y 0 (t) = 2x(t) − y(t), z 0 (t) = −x(t) − 3y(t) − z(t).
Problema 3. Determinar todas las funciones x, y : R −→ R de clase C 1 (R) que satisfacen
las identidades x01 = 2x1 + 4x2 + 3x02 + 3et cos(t) − 2et sin(t), x002 + x1 + 2x2 + 2x02 = et sin(t).
Problema 4. Demostrar que el sistema lineal homogéneo es autónomo si y sólo si la matriz
de coeficientes es constante.
Problema 5. Determinar todas las soluciones del sistema x0 (t) = Ax(t), con A ∈ Mm (R),
que se expresan de la forma x(t) = h(t)v donde h ∈ C 1 (R) y v ∈ Rm .


a 1 0 0
 0 −a 0 1 

Problema 6. Sean a ∈ R, Aa la matriz definida como Aa = 
 1 1 a 0  y el
0 1 0 −a
0
sistema lineal x (t) = Ax(t). Determinar los valores de a para los cuales existen soluciones
de equilibrio no triviales, es decir no nulas y determinar el número de ellas linealmente
independientes. Hallar también una base de soluciones del sistema.
°
122
Problema 7. Sean A ∈ Mm (R) y el sistema lineal homogéneo x0 (t) = Ax(t). Caracterizar
las soluciones de equilibrio del sistema y determinar el número de soluciones de equilibrio
linealmente independientes que existen.
Problema 8. Resolver los sistemas lineales homogéneos x0 (t) = A1 x(t) y x0 (t) = A2 x(t)
donde
µ
A1 =
2 1
−1 4
¶
µ
y A2 =
3 5
−5 3
¶
.
Problema 9. Resolver los sistemas lineales homogéneos x0 (t) = A1 x(t) y x0 (t) = A2 x(t)
donde




3 −1 1
0 2 −3
A1 =  2 0 1  y A2 =  0 −2 4  .
1 −1 2
0 1
2
Problema 10. Resolver los sistemas lineales homogéneos x0 (t) = A1 x(t), x0 (t) = A2 x(t) y
x0 (t) = A3 x(t) donde

1
 0
A1 = 
 0
0
1
1
0
6
0
1
1
0


0
1 1
 2 2
0 
 , A2 = 
 3 3
0 
1
4 4
1
2
3
4


1
0 0
 1 0
2 
 y A3 = 
 1 0
3 
4
0 −1
0
0
0
1

0
1 
.
1 
0
Problema 11. Resolver los problemas de valor inicial
µ
µ
x0 (t)
y 0 (t)
x0 (t)
y 0 (t)
¶
µ
=
¶
µ
=
1 1
4 1
¶µ
1 −3
−2
2
x(t)
y(t)
¶µ
¶
µ
,
x(t)
y(t)
¶
µ
,
x(0)
y(0)
x(0)
y(0)
¶
µ
=
¶
µ
=
2
3
0
5
¶
,
¶
.
°
Ejercicios
123
Problema 12. Hallar las funciones x, y, z ∈ C 1 (R) que verifican las identidades
x0 (t) = 3x(t) − y(t) + 2e−2t ,
x(0) = 0,
y 0 (t) = − x(t) + 3 y(t),
y(0) = 0,
z 0 (t) = 2 x(t) + 2 y(t) + 2 z(t) − 2,
z(0) = 1.

 
x0 (t)
 y 0 (t)  = 
z 0 (t)
 0
 
x (t)
 y 0 (t)  = 
z 0 (t)
 0
 
x (t)
 y 0 (t)  = 
z 0 (t)
 0
 
x (t)
 y 0 (t)  = 
z 0 (t)


3 1 −1
x(t)
1 3 −1   y(t)  ,
3 3 −1
z(t)


1 −1 0
x(t)
1
2 1   y(t)  ,
1 10 2
z(t)


−3
0 2
x(t)
1 −1 0   y(t)  ,
−2 −1 0
z(t)


−21
19 −20
x(t)
19 −21 −20   y(t)  ,
40 −40 −40
z(t)

 
x(0)
 y(0)  = 
z(0)

 
x(0)
 y(0)  = 
z(0)

 
x(0)
 y(0)  = 
z(0)

 
x(0)
 y(0)  = 
z(0)

−2
0 ,
3

−1
−4  ,
13

0
−1  ,
−2

0
1 .
−1

 
x0 (t)
 y 0 (t)  = 
z 0 (t)
 0
 
x (t)
 y 0 (t)  = 
z 0 (t)
 0
 
x (t)
 y 0 (t)  = 
z 0 (t)

3 −1 1
2
0 1 
1 −1 2

2
0 1
1
0 1 
1 −2 0

3
0 0
0
1 5 
0 −5 1
 
x(t)
y(t)  + 
z(t)
 
x(t)
y(t)  + 
z(t)
 
x(t)
y(t)  + 
z(t)

t
0 ,
0

t2
0 ,
1

0
,
1
sen(5t)

 
x(0)
 y(0)  = 
z(0)

 
x(0)
 y(0)  = 
z(0)

 
x(0)
 y(0)  = 
z(0)

0
0 ,
1

−1
−4  ,
13

0
0 .
0
°
124
Problema 15. Hallar la solución del problema de valores iniciales

 

  −t 
x0 (t)
0 −1
8
x(t)
e
 y 0 (t)  =  1 −2 −2   y(t)  +  e−t  ,
z 0 (t)
0
0
4
z(t)
0

  
x(0)
1
 y(0)  =  1  .
z(0)
0
Problema 16. Resolver el problema de valor inicial
 
x0 (t)
0 2 0
0
 y 0 (t)   −2 0 0
0
 
 0
 z (t)  =  0 0 0 −3
w0 (t)
0 0 3
0



x(t)
  y(t) 


  z(t)  ,
w(0)

 
x(0)
1
 y(0)   1

 
 z(0)  =  1
w(0)
0




Problema 17. Fijado a ∈ R con a 6= 0, hallar todas las funciones x, y, z, u ∈ C 1 (R) que
satisfacen las identidades
x0 (t) = ax(t) + y(t), y 0 (t) = z(t) +
1
y(t), z 0 (t) = az(t) + y(t), u0 (t) = y(t) + au(t).
a
Problema 18. Dados los escalares a, b, c, d, e ∈ R, resolver el sistema lineal
x0 (t) = ax(t) + bz(t)
y 0 (t) = cy(t)
z 0 (t) = dy(t) + ez(t)
Problema 19. Dados a, b, c ∈ R, determinar todas las soluciones del sistema lineal

 

  
x0 (t)
a b 0
x(t)
a
 y 0 (t)  =  c a b   y(t)  +  b 
z 0 (t)
0 c a
z(t)
c
°
Ejercicios
125
Problema
20. 
Consideremos los escalares a, b, c ∈ R con b 6= 0, θ =

a b c
A =  b a 0  y la aplicación f : (0, +∞) −→ R3 definida como
c 0 a
√
b2 + c2 , la matriz
√
√
£
¤
f (t) = eta 2tθsh(tθ), − 2cln (t) + 2btch(tθ), 2bln (t) + 2ctch(tθ) .
Resolver el sistema lineal x0 (t) = Ax(t) + f (t), t > 0.
Problema 21. Fijado t0 ∈ R, hallar las únicas funciones x, y, z, u ∈ C 1 (R) que satisfacen
las identidades
x0 (t) = 4 x(t),
x(t0 ) = 1,
y 0 (t) = x(t) + 4 y(t),
y(t0 ) = 1,
0
z(t0 ) = 1,
0
u(t0 ) = 1.
z (t) = −y(t) + 4 z(t) + u(t),
u (t) = x(t) + 4 u(t),
Problema 22. Fijado t0 ∈ R, hallar las únicas funciones x, y, z, u ∈ C 1 (R) que satisfacen
las identidades
x0 (t) = −2 x(t),
x(t0 ) = 2,
y 0 (t) = x(t) − y(t) − u(t) + e−2t ,
y(t0 ) = 0,
z 0 (t) = x(t) − y(t) − 2 z(t) + u(t),
z(t0 ) = 1,
u0 (t) = y(t) − 3 u(t) + e−2t ,
u(t0 ) = 0.
Problema 23. Si a, b ∈ R, hallar las únicas funciones x, y ∈ C 1 (R) que satisfacen las
identidades
x0 (t) = a x(t) + b y(t) + teat ,
0
2 at
y (t) = x(t) + a y(t) + t e ,
x(0) = a,
y(0) = a.
°
126
Problema 24. Dados a, b ∈ R, resolver el problema de valores iniciales
x0 (t) = a x(t) − b z(t) + (1 + b2 ) eat ,
x(0) = 0,
y 0 (t) = a y(t) + z(t) + b (1 + b2 ) eat ,
y(0) = 0,
z 0 (t) = b x(t) − y(t) + a z(t),
z(0) = 1 + b2 .
Problema 25. Dados a, b, t0 ∈ R, hallar las únicas funciones x, y, z ∈ C 1 (R) que satisfacen
las identidades
x0 (t) = a x(t) + b y(t),
y 0 (t) = b x(t) + a y(t) + b z(t),
x(t0 ) = a,
√
y(t0 ) = b 2,
z 0 (t) = b y(t) + a z(t),
z(t0 ) = −a,
Problema 26. Para cada a ∈ R, resolver el problema de valores iniciales
x0 (t) = (a + 1) x(t) − y(t) + 1,
x(0) = −1
y 0 (t) = x(t) + (a − 1) y(t) + 1,
y(0) = −1
1
z(0) = −
9
z 0 (t) = 3z(t) + t,
Problema 27. Hallar la única solución del problema de valores iniciales

 




x0 (t)
5 0
2
x(t)
−1
 y 0 (t)  =  −2 3 −2   y(t)  + 2 t e3 t  1  ;
z 0 (t)
0 2
1
z(t)
1

 

x(0)
1
 y(0)  =  −1 
z(0)
1
Problema 28. Hallar las únicas funciones x1 , x2 , x3 : R −→ R de clase C 1 (R) que satisfacen
las identidades
x01 (t) = x1 (t) + x2 (t) + 3x3 (t)
x02 (t) = 2x1 (t) + 2x2 (t) − 3x3 (t)
x03 (t) = −2x1 (t) + x2 (t) + 6x3 (t) + e3t
°
Ejercicios
127
y también que x1 (0) = 0, x2 (0) = 1 y x3 (0) = 0.
Problema 29. Dados los escalares a, b, x0 , y0 , z0 , u0 ∈ R determinar las únicas funciones de
clase C 1 (R), x, y, z, u : R −→ R, que satisfacen las identidades
x0 (t) = a x(t) + y(t) + b eat ,
x(0) = x0 ,
y 0 (t) = a y(t) − b u(t) − b2 eat sen(bt),
y(0) = y0 ,
h
i
z 0 (t) = x(t) + y(t) + a z(t) + eat sen(bt) + bcos(bt) , z(0) = z0 ,
u0 (t) = b y(t) + a u(t) + b2 eat cos(bt),
u(0) = u0 .
Problema 30. Hallar las funciones xj ∈ C 1 (R), j = 1, . . . , 6, que satisfacen las identidades
x01 (t) = 2x1 (t) − x2 (t) + t,
x02 (t) = 2x2 (t) − 1,
x03 (t) = x3 (t) + x4 (t) + cos(t),
x04 (t) = −x3 (t) + x4 (t) − sen(t),
x05 (t) = −x3 (t) + x5 (t) + x6 (t) − cos(t),
x06 (t) = −x4 (t) − x5 (t) + x6 (t) + sen(t).
De entre todas ellas determinar las que verifican que xj (1) = 0, j = 1, . . . , 6 y también
las que verifican que x1 (1) − x4 (1) = x2 (1) − x6 (1) = x3 (1) = x5 (1) = 0.


0
a
b
√
Problema 31. Sean a, b, c ∈ R, θ = a2 + b2 + c2 y la matriz A =  −a 0 c .
−b −c 0
Demostrar que θ es el módulo de los autovalores complejos de A y que v = (c, −b, a)T es
un autovector correspondiente al autovalor 0. Si I ⊂ R es un intervalo no trivial y h ∈ C(I)
concluir que para cada t0 ∈ I
µ Z t
¶
·
µ Z t
¶¸
1
1
h(s) ds A + 2 (1 − cos θ
h(s) ds
A2
Φ(t) = Id + sin θ
θ
θ
t0
t0
°
128
es una matriz fundamental del sistema x0 (t) = h(t)Ax(t) y también que
µ Z t
¶
·
µ Z t
¶¸
1
1
G(t, s) = Id + sin θ
h(u) du A + 2 (1 − cos θ
h(u) du
A2
θ
θ
s
s
es la función de Green de dicho sistema.

0 1 0
Problema 32. Si τ ∈ R y A =  −1 0 −τ , hallar Φ, la única matriz fundamental del
0 τ 0
sistema x0 (t) = 3t2 Ax(t) que satisface Φ(0) = Id.

Problema 33. Dados a, b ∈ R, determinar todas las funciones x, y, z ∈ C 1 (R) que verifican
las identidades
x0 (t) = a y(t) + b z(t) + b,
x(0) = 0,
y 0 (t) = −a x(t),
y(0) = a,
z 0 (t) = −b x(t),
z(0) = b.
Problema 34. Dados a, b, t0 , ∈ R y θ =
que satisfacen las identidades
√
1 + b2 , hallar las únicas funciones x, y, z ∈ C 1 (R)
x0 (t) = a x(t) + b y(t) + b cos(θt),
y 0 (t) = −b x(t) + a y(t) − z(t) + θ sen(θt),
z 0 (t) = y(t) + a z(t) + cos(θt),
x(t0 ) = 1,
y(t0 ) = θ,
z(t0 ) = −b.
Problema 35. Obtener todas las curvas planas cuya curvatura es constante e igual a k ∈ R.
Problema 36. Sean I ⊂ R un intervalo no trivial, f, g : I −→ R funciones continuas con f
no nula, B, C ∈ Mm (R) y consideremos la aplicación matricial A : I −→ Mm (R) definida
como A(t) = f (t)B + g(t)C. Demostrar que A(t)A(s) = A(s)A(t), para cada t, s ∈ I si y
sólo si
°
Ejercicios
129
¡
¢¡
¢
f (t)g(s) − f (s)g(t) BC − CB = 0,
para cada t, s ∈ I,
y por tanto si y sólo si o bien B y C conmutan o bien existe α ∈ R tal que g(t) = αf (t) para
cada t ∈ I.
·
¸
f 0
Problema 37. Sean I ⊂ R un intervalo no trivial, f, g ∈ C(I) y A =
. Fijado
f g
t0 ∈ I, hallar Φ la única matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t) tal que Φ(t0 ) = I.
·
¸
1 0
. Dado t0 ∈ I, se
f 0
Problema 38. Sean I ⊂ R un intervalo no trivial, f ∈ C(I) y A =
Z t
A(s)ds
define Φ(t) = e t0
¿Qué explicación tiene que Φ0 (t) 6= A(t)Φ(t)? Resolver el sistema
0
x (t) = A(t)x(t).
Problema 39. Encontrar una matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t) donde
·
A(t) =
e2t + e−t e2t − e−t
e2t − e−t e2t + e−t
¸
.
Problema 40. Fijados I ⊂ R un intervalo no trivial, las funciones f, g ∈ C(I) y la aplicación


f + 9g
f − 3g
−2f − 3g


f + 9g
−2f − 3g , resolver el
matricial A : I −→ M3 (R) dada por A =  f − 3g
−2f − 3g −2f − 3g
4f + 9g
sistema x0 (t) = A(t)x(t).
Problema 41. Fijados I ⊂ R un intervalo no trivial,
" las #funciones a, b, c, d ∈ C(I) y la
a b
aplicación matricial A : I −→ M2 (R) dada por A =
, hallar la condición necesaria
c d
y suficiente para que A(t)A(s) = A(s)A(t) para cada t, s ∈ I y en ese caso resolver el sistema
x0 (t) = A(t)x(t).
°
130
Problema 42. Fijados I ⊂ R un intervalo no trivial, las funciones α, β, γ ∈ C(I) y la


α β γ


aplicación matricial A : I −→ M3 (R) dada por A =  β α 0 , hallar la condición
γ 0 α
necesaria y suficiente para que A(t)A(s) = A(s)A(t) para cada t, s ∈ I y en ese caso resolver
el sistema x0 (t) = A(t)x(t).
Problema 43. Fijados I ⊂ R un intervalo no trivial, las funciones a, b, c, d ∈ C(I) y la apli

a
b c


a d , determinar la condición
cación matricial A : I −→ M3 (R) dada por A =  −b
−c −d a
necesaria y suficiente para que A(t)A(s) = A(s)A(t) para cada t, s ∈ I y en ese caso resolver
el sistema x0 (t) = A(t)x(t). Cuando la anterior propiedad se satisfaga, dados t0 ∈ I, x0 ∈ R3
y la función f : I −→ R definida como
Z t
Z t
³
¡
¢
¡
¢´
f (t) = b(t)e (t) 1, cos β(t) , sen β(t) , donde α(t) =
a(s) ds, β(t) =
b(s) ds,
α
t0
t0
resolver el problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 .
¡ ¢T
T
Problema 44. Demostrar que si A ∈ Mm (R) entonces eA = eA . Concluir que si A
es normal, es decir si AAT = AT A, entonces eA es normal y más concretamente si A es
simétrica, entonces eA también lo es. Demostrar también que si A es antisimétrica, entonces
eA es una matriz de rotación, es decir ortogonal con determinante igual a 1.
Problema 45. Si A ∈ Mm (R), utilizar la forma canónica de Jordan de A para determinar
cuándo eA = I. Concluir que si todos los autovalores de A son reales, entonces eA = I si
y sólo si A = 0, pero que esto no es cierto si A tiene autovalores complejos. Utilizar estos
resultados para caracterizar aquéllas matrices B que conmutan con A y satisfacen además
que eA = eB .
Problema 46. Si R ∈ Mm (R) es una matriz de rotación, demostrar que existe A ∈ Mm (R)
antisimétrica y tal que eA = R. ¿Es única la matriz A?
°
Ejercicios
131
Problema 47. Si A ∈ Mn (R), demostrar las siguientes afirmaciones:
i) Si A es estable, entonces trA ≤ 0. Concluir que si trA > 0, entonces A es inestable.
ii) Si A es asintóticamente estable, entonces trA < 0. Concluir que si trA = 0, entonces
A no es asintóticamente estable.
·
Problema 48. Determinar los valores de a, b, c ∈ R para los cuales la matriz A =
a b
0 c
¸
es estable o asintóticamente estable.
Problema 49. Estudiar la estabilidad y estabilidad asintótica de las matrices






3
0 0
−1
0
0
0 0 0
1 5  , A2 =  0 −3
1  y A3 =  0 4 4  .
A1 =  0
0 −5 1
0
0 −3
0 1 1
Problema 50. Estudiar los valores de a ∈ R para los cuales el sistema
x0 (t) = y(t),
y 0 (t) = (a − 1)x(t) + ay(t)
Problema 51. Consideremos
·
¸la aplicación matricial A : R −→ M2 (R) determinada por la
−1 e2t
asignación A(t) =
, para cada t ∈ R. Demostrar que para cada t ∈ R la matriz
0 −1
A(t) es asintóticamente estable pero que sin embargo la aplicación matrical A no es estable.
Problema 52. Si r ≥ 0, determinar los valores de θ ∈ R para los cuales la matriz
·
Aθ =
r cos θ r sen θ
−r sen θ r cos θ
¸
°
132
Problema 53. Considerar A ∈ Mn (R) y suponer que A es antisimétrica. Demostrar que A
es estable pero no asintóticamente estable.
Problema 54. Considerar A ∈ Mn (R) y suponer que A es simétrica. Demostrar que A es
estable sii es semidefinida negativa y asintóticamente estable sii es estrictamente definida
negativa.
Problema 55. Considerar A ∈ Mn (R) y suponer que A es normal, es decir AAT = AT A.
Demostrar que A es estable o asintóticamente estable sii su parte simétrica, es decir la matriz
1
(A + AT ), es estable o asintóticamente estable, respectivamente.
2
°
TEMA
5.1.
5
ECUACIONES LINEALES
DE ORDEN SUPERIOR
Introducción
Nuestro propósito en este capítulo es abordar el estudio de las ecuaciones lineales de
orden superior, es decir de orden mayor que 1. El único ejemplo de esta situación que hemos
analizado hasta ahora corresponde a la generalización del problema del cálculo de primitivas.
Concretamente en la Introducción del primer tema planteamos la EDO de segundo orden
x00 (t) = f (t)
y para resolverla planteamos la siguiente estrategia que la reducía a dos ecuaciones de primer
orden: Si consideramos la función auxiliar y(t) = x0 (t), entonces y 0 (t) = f (t). Aunque en
aquel momento no precisamos más, realmente lo que hicimos fue convertir la EDO en el
siguiente sistema
x0 (t) = y(t)
y 0 (t) = f (t)
que resolvimos de manera regresiva. De forma equivalente, podemos expresar el sistema
anterior como
"
x0 (t)
y 0 (t)
#
"
=
0 1
#"
0 0
x(t)
y(t)
133
#
"
+
0
f (t)
#
.
134
Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones lineales de orden superior
De manera más general si, como propusimos en el primer problema del Tema 1, pretendemos resolver la EDO de orden n + 1
xn+1) (t) = f (t)
podemos hacerlo planteando el sistema de primer orden con n + 1 ecuaciones e incógnitas
 
x01 (t)
 

..
 

.
 

=

 x0 (t)  
 
 n
0
xn+1 (t)


x1 (t)
1 ··· 0


..
.. . . ..  
. . 
.
.


0 0 ··· 1 
  xn (t)
xn+1 (t)
0 0 ··· 0
0
..
.


0
..
.
 
 
 
+
 
 
0




, donde x1 (t) = x(t).


f (t)
y resolverlo de manera regresiva. Los mismos argumentos concluyen también que el problema
de valores iniciales
xn+1) (t) = f (t),
x(t0 ) = z0 , . . . , xn) (t0 ) = zn
es equivalente al siguiente problema de valores iniciales

 
x01 (t)

 
..

 
.

 

=
 x0 (t)  
 n
 
0
xn+1 (t)

1 ··· 0
x1 (t)


.. . . ..  
..
. . 
.
.


0 0 ··· 1 
  xn (t)
0 0 ··· 0
xn+1 (t)
0
..
.


 
 
 
+
 
 
0
..
.
0
f (t)




,



 
x1 (t0 )
z0



..

  ..
.

  .

=
 x (t )   z
n
0

  n−1
xn+1 (t0 )
zn




,


situación en la que nuevamente la incógnita inicial x es igual a la función x1 .
Como veremos a continuación esta estrategia de reformular la EDO xn+1 (t) = f (t) como
un sistema de primer orden no es exclusiva del cálculo de primitivas y puede generalizarse a
todas las situaciones que nos plantearemos.
5.2.
Teoría general para ecuaciones de orden superior
El objetivo de esta sección es el estudio de los problemas de valores iniciales asociados
a las ecuaciones lineales escalares, es decir a las ecuaciones lineales de orden n ≥ 1. El caso
°
135
particular n = 1 fue completamente descrito y resuelto en el primer tema, de hecho sirvió
de guía para el desarrollo del Tema 4, de manera que nuestro interés se centrará en analizar
el caso n > 1, lo que justifica la denominación de orden superior que hemos adoptado para
describir el contenido del presente capítulo. De acuerdo con las notaciones establecidas en el
primer tema tenemos la siguiente nomenclatura:
Datos de una EDO lineal de orden superior
• El número natural no nulo n y el intervalo no trivial I ⊂ R.
• Término fuerza: f : I −→ R continua.
• Coeficientes: aj : I −→ R continuas, j = 1, . . . , n,
Los datos anteriores determinan la EDO
xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t),
(5.1)
que cuando n = 1 es equivalente a la EDO lineal x0 (t) = a(t)x(t)+f (t), donde a(t) = −a1 (t),
que fue analizada y resuelta en el primer tema. La identidad (5.1) plantea el problema de
buscar las funciones x ∈ C n (I) tales que para cada t ∈ I satisfagan la identidad descrita.
cada una de tales funciones será denominada solución de la EDO.
Es razonable esperar que el conjunto de soluciones de la EDO (5.1) dependa de n constantes y que éstas puedan ser determinadas imponiendo que la solución verifique condiciones
adicionales. Así, denominaremos Problema de valores iniciales al consistente en fijados t0 ∈ I
y x0 , . . . , xn−1 ∈ R, determinar la/s solución/es de la EDO (5.1) que además satisfacen que
x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x1 , . . . , xn−1 (t0 ) = xn−1 . Representaremos tal problema en la forma
siguiente:
Problema de valores iniciales
xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t)
x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x1 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1
Por las mismas razones que ya fueron descritas en el estudio de los sistemas de lineales de
EDO, que abordamos en los temas anteriores, para describir el conjunto de soluciones de la
EDO (5.1) será de gran importancia el análisis de la EDO que tiene los mismos coeficientes
y donde el término fuerza es nulo.
Denominamos ecuación homogénea asociada a (5.1) a la EDO lineal de orden n
xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0.
(5.2)
°
136
Como comentamos en la introducción de este tema, es posible reducir el análisis de
una EDO lineal de orden n al de un sistema lineal, que denominaremos sistema equivalente.
Concretamente, demostraremos que
si A : I −→ Mn (R) y f ∗ : I −→ Rn están definidas como



0
1
···
0
0


..
..
..
...
 ..


.
.
.



A(t) = 
 , f ∗ (t) =  .


 0
0
0
···
1


f (t)
−an (t) −an−1 (t) · · · −a1 (t)



,

(5.3)
entonces dados t0 ∈ I y x0 , . . . , xn−1 ∈ R, x : I −→ R es una solución del
problema de valores iniciales xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t),
x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1 (t0 ) = xn−1 , si y sólo si z : I −→ Rm definida co¡
¢T
mo z(t) = x(t), . . . , xn−1) (t) , es solución del problema de valores iniciales
¡
¢T
z 0 (t) = A(t)z(t) + f ∗ (t), z(t0 ) = x0 , . . . , xn−1
∈ Rn . En particular, x es
solución de la ecuación homogénea xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0 si
y sólo si z es solución del sistema homogéneo z 0 (t) = A(t)z(t).
¡
¢T
Supongamos que z = z1 (t), . . . , zn (t) es de clase C 1 (I). Entonces, tenemos que




A(t)z(t) + f ∗ (t) = 


0
..
.
1
..
.
···
..
.
0
..
.

z1 (t)
..
.




 z
0
0
···
1
  n−1) (t)
−an (t) −an−1 (t) · · · −a1 (t)
zn (t)(t)



 
 
 
+
 
 
z2 (t)
..
.



=


zn (t)
0
..
.
0







f (t)







f (t) − an (t)z1 (t) − · · · − a2 (t)zn−1 (t) − a1 (t)zn (t)(t)
de manera que z 0 (t) = A(t)z(t) + f ∗ (t) si y sólo si
zj0 (t) = zj+1 (t), para cada j = 1, . . . , n − 1
zn0 + a1 (t)zn (t)(t) + a2 (t)zn−1 (t) + · · · + an (t)z1 (t) = f (t).
°
137
Como z1 (t) = z2 (t) y z20 (t) = z3 (t), resulta que z100 (t) = z3 (t). Si suponemos que para cada
k)
k < n − 1 se satisface que z1 (t) = zk+1 (t), entonces
k+1)
z1
¡ k) ¢0
0
(t) = z1 (t) = zk+1
(t) = zk+2 (t).
lo que implica que
k)
z1 (t) = zk+1 (t), para cada k = 1, . . . , n − 1.
¡
¢T
Por tanto, hemos demostrado que si z(t) = z1 (t), . . . , zn (t) es una solución del sistema
z 0 (t) = A(t)z(t) + f ∗ (t) necesariamente zj (t) = z j−1) (t) para cada j = 2, . . . , n. Teniendo
estas identidades en cuenta, resulta que
f (t) = zn0 (t) + a1 (t)zn (t) + a2 (t)zn−1 (t) + · · · + an (t)z1 (t)
¡ n−1) ¢0
n−1)
n−2)
= z1
(t) + a1 (t)z1 (t) + a2 (t)z1 (t) + · · · + an (t)z1 (t)
n)
n−1)
= z1 (t) + a1 (t)z1
n−2)
(t) + a2 (t)z1
(t) + · · · + an (t)z1 (t)
es decir z1 es una solución de (5.1). Recíprocamente si x es una solución de (5.1), siguiendo
¡
¢T
los pasos anteriores, es inmediato comprobar que z(t) = x(t), . . . , xn−1) (t) es una solución
del sistema z 0 (t) = A(t)z(t) + f ∗ (t). El resto de afirmaciones de (5.3) son ahora inmediatas
de verificar.
Después de este resultado, resulta que las propiedades fundamentales de las soluciones de
las EDO lineales de orden superior aparecen como consecuencia inmediata de las propiedades
de las soluciones de los sistemas lineales, que fueron desarrolladas en los temas precedentes.
En particular, del Teorema de existencia y unicidad de solución de cada problema de valor inicial
para sistemas lineales se deduce inmediatamente que
cada problema de valor incial para la la EDO lineal
xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t)
(5.4)
De manera análoga a la situación que se presenta para sistemas lineales, el hecho de
que todas las soluciones de la ecuación lineal sean globales, permite superponer soluciones.
Tenemos así la siguiente transcripción del principio de superposición:
°
138
Principio de superposición para ecuaciones lineales
Dados n ∈ N∗ y a1 , . . . , an ∈ C(I), el conjunto de soluciones de la EDO lineal homogénea
xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0 es un espacio vectorial real de dimensión
n y para cada función continua f ∈ C(I), el conjunto de soluciones de la EDO lineal
xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t) tiene estructura de espacio afín cuya
variedad lineal subyacente es el espacio vectorial de soluciones de la ecuación homogénea.
Además, {x1 , . . . , xn } es base de soluciones del sistema homogéneo si y sólo si existe
t0 ∈ I tal que




x
(t
)
x
(t
)


n
0
1
0


..
..




,
.
.
.
,




.
.




n−1)
n−1)
x1 (t0 )
xn (t0 )
es base de Rn y esto ocurre si y sólo si




x1 (t)
xn (t)




..
..






,...,
.
.




n−1)
n−1)
x1 (t)
xn (t)
es base de Rn para todo t ∈ I.
La primera parte del anterior principio de superposición corresponde a la siguiente lectura
de (3.14) aplicada a EDO lineales de orden superior:
Si xp es una solución de xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t), entonces
cualquier otra solución se expresa como x = xp + z donde z es una solución de la
ecuación homogénea z n) (t) + a1 (t)z n−1) (t) + · · · + an (t)z(t) = 0.
(5.5)
Como el principio de superposición establece que la dimensión del espacio de soluciones
de la EDO (5.2) es n, resulta que
si {x1 , . . . , xn } es una base del espacio de soluciones de la EDO homogénea
(5.2), entonces el espacio vectorial de las soluciones de (5.2) está determinado por la identidad
n
o
x(t) = c1 x1 (t) + · · · + cn xn (t) : c1 , . . . , cn ∈ R .
(5.6)
Otra consecuencia importante del principio de superposición es que para encontrar una
base del espacio de soluciones de la EDO lineal homogénea (5.2), es suficiente escoger t0 ∈ I
y {u1 , . . . , un } una base de Rn y resolver los n problemas de valor inicial cuyos datos están
determinados por las componentes de cada uno de los vectores de la base.
°
139
Por otra parte, es conveniente disponer de algún argumento que permita dilucidar si n
soluciones de la EDO homogénea son base de soluciones de la misma. Para ello, será útil la
siguiente noción:
Dadas las funciones g1 , . . . , gn ∈ C n−1 (I), se denomina wronskiano de
g1 , . . . , gn a la función w[g1 , . . . , gn ] : I −→ R definida como


g1 (t) · · ·
gn (t)
..
..


...
w[g1 , . . . , gn ](t) = det 
 , para cada t ∈ I.
.
.
n−1)
g1
(t) · · ·
n−1)
gn
(5.7)
(t)
Teniendo presente la relación existente entre las soluciones de la EDO homogénea de
orden superior (5.2) y las del sistema homogéneo equivalente a ella z 0 (t) = A(t)z(t), resulta
que dadas x1 , . . . , xn ∈ C n (I) y la aplicación matricial Φ : I −→ Mn (R) definida como


···
xn (t)


..
..
Φ(t) = 
.
,
.
n−1)
n−1)
x1 (t) · · · xn (t)
x1 (t)
..
.
para cada
t ∈ I,
(5.8)
entonces las funciones x1 , . . . , xn son simultáneamente soluciones de la EDO homogénea
xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0 si y sólo si la aplicación matricial Φ satisface la
identidad Φ0 (t) = A(t)Φ(t). Además, es claro que, después de la definición de wronskiano,
det Φ(t) = w[x1 , . . . , xn ](t), para cada t ∈ I, de manera que, si tenemos en cuenta que la
traza de la matriz de coeficientes del sistema lineal equivalente a la EDO (5.2) es −a1 resulta
la siguiente consecuencia del correspondiente resultado para sistemas homogéneos:
Lema de Abel-Liouville para ecuaciones lineales
Fijados n ∈ N∗ , I un intervalo no trivial y las funciones a1 , . . . , an ∈ C(I), entonces si
x1 , . . . , xn son soluciones de la EDO xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, para
cada t0 ∈ I se satisface que
Z t
−
a1 (s) ds
t0
w[x1 , . . . , xn ](t) = w[x1 , . . . , xn ](t0 ) e
Además, {x1 , . . . , xn } son base del espacio de soluciones de la EDO homogénea si y
sólo si existe t0 ∈ I tal que w[x1 , . . . , xn ](t0 ) 6= 0 o, de forma equivalente, si y sólo si
w[x1 , . . . , xn ](t0 ) 6= 0, para cada t ∈ I.
°
140
Teniendo ahora en cuenta la relación expresada en (5.3) entre las soluciones de la EDO
(5.2) y el sistema de primer orden asociado, la identidad 5.6) puede expresarse de manera
equivalente como
si {x1 , . . . , xn } es una base del espacio de soluciones de la EDO homogénea
(5.2) y Φ : I −→ Mn (R) es la aplicación matricial definida como


x1 (t) · · ·
xn (t)


..
..
..
Φ(t) = 
.
 , para cada t ∈ I,
.
.
n−1)
x1
(t) · · ·
n−1)
xn
(t)
(5.9)
entonces x es solución de (5.2) si y sólo si existe c ∈ Rn tal que
x(t) = [Φ(t)c]1 = primera componente de Φ(t)c.
La expresión anterior para el espacio de soluciones del sistema homogéneo, permite ahora
determinar fácilmente la única solución de cada problema de valores iniciales:
Si dados t0 ∈ I y x0 ∈ Rm planteamos el problema de valores iniciales
xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0,
x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1 ,
entonces x(t) = [Φ(t)c]1 para algún c ∈ Rn . Como además, aplicando (5.3), para cada
k = 1, . . . , n − 1 tenemos que xk) (t) = [Φ(t)c]k = k-ésima componente de Φ(t)c, resulta que
si definimos el vector z0 = (x0 , . . . , xn−1 )T ∈ Rn , entonces z0 = Φ(t0 )c y en definitiva, hemos
demostrado que
si {x1 , . . . , xn } es una base del espacio de soluciones de la EDO homogénea (5.2)
y Φ : I −→ Mn (R) es la aplicación matricial definida como


x1 (t) · · ·
xn (t)
..
..


...
Φ(t) = 
 , para cada t ∈ I,
.
.
n−1)
x1
(t) · · ·
n−1)
xn
(t)
entonces para cada t0 ∈ I y cada z0 = (x0 , . . . , xn−1 ) ∈ Rn la única solución del
problema de valores iniciales
xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0,
(5.10)
x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1 ,
está dada por la identidad
¤
£
x(t) = Φ(t)Φ−1 (t0 ) z0 1 = primera componente de Φ(t)Φ−1 (t0 ) z0 .
°
141
Una vez resuelto completamente el problema de valores iniciales para la (5.2), podemos
considerar f : I −→ R continua plantearnos resolver los problemas de valores iniciales asociados a la EDO no homogénea (5.1). Como las soluciones de la EDo homogénea (5.2) sonn
conocidas, después de (5.5), para conocer todas las soluciones de la EDO (5.1) es suficiente
determinar una solución particular xp . Por otra parte, teniendo nuevamente en cuenta la
equivalencia entre la EDO (5.1) y el sistema asociado, basta considerar la primera componente de una solución particular para este último, que como sabemos puede determinarse a
partir del Método de variación de las constantes.
Supongamos pues que {x1 , . . . , xn } es una base del espacio de soluciones de la EDO
homogénea (5.2) y consideremos la aplicación matricial determinada por ella, es decir,


x1 (t) · · ·
xn (t)


..
..
...
Φ(t) = 
 , para cada t ∈ I.
.
.
n−1)
x1
(t) · · ·
n−1)
xn
(t)
£
¤
Entonces, si α : I −→ Rn es una primitiva de Φ−1 (t)f ∗ (t), resulta que xp (t) = Φ(t)α(t) 1 es
una solución particular de la EDO (5.1). En definitiva, tenemos la siguiente reformulación
de (3.23):
Si {x1 , . . . , xn } es una base de soluciones de la ecuación lineal homogénea
xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, entonces para cada f ∈ C(I),todas
las soluciones de la ecuación lineal xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t),
están determinadas por la expresión
x(t) = [c1 + α1 (t)]x1 (t) + · · · + [cn + αn (t)]xn (t),
¡
¢
donde c1 , . . . , cn ∈ R y la función α : I −→ Rn dada por α(t) = α1 (t), . . . , αn (t)
satisface que α0 (t) = Φ−1 (t)f ∗ (t), o de forma equivalente,
£
¤
£
¤
£
¤
x(t) = Φ(t)c + Φ(t)α(t) 1 = Φ(t)c 1 + Φ(t)α(t) 1 , c ∈ Rn .
(5.11)
Si ahora fijamos t0 ∈ I y x0 , . . . , xn−1 ∈ R, para identificar en la expresión (5.13) a la
única solución de la EDO xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t), que satisface estas
condiciones iniciales podemos proceder directamente valorando la función obtenida en (5.13)
y sus derivadas hasta el orden n − 1, en el punto t0 , o también indirectamente aprovechando
que la equivalencia (5.3) entre la EDO y el sistema asociado se mantiene para los problemas
de valor inicial. Así, si z0 = (x0 , . . . , xn−1 )T , entonces
£
¤
£
¤
£
¤
x(t) = Φ(t)c + Φ(t)α(t) 1 = Φ(t)c 1 + Φ(t)α(t) 1 ,
°
142
donde Φ(t0 )c + Φ(t0 )α(t0 ) = z0 . Aplicando la Fórmula de Lagrange para sistemas lineales,
obtenemos
·
Z
−1
t
¸
−1
∗
Φ (s)f (s) ds
x(t) = Φ(t)Φ (t0 )z0 + Φ(t)
t
0
1
Z t
£
¤
¤
£
−1
−1
∗
= Φ(t)Φ (t0 )z0 1 +
Φ(t)Φ (s)f (s) 1 ds.
t0
Por otra parte, para cada t, s ∈ I, la primera componente del vector Φ(t)Φ−1 (s)f ∗ (s) resulta
de multiplicar la primera fila de la matriz Φ(t)Φ−1 (s) con el vector£ f ∗ (s). Como
¤ este último
−1
tiene sus primeras n − 1 componentes nulas, si denotamos por Φ(t)Φ (s) 1,n al primer
elemento de la columna n-ésima de la matriz Φ(t)Φ−1 (s), resulta que
£
¤
£
¤
Φ(t)Φ−1 (s)f ∗ (s) 1 = Φ(t)Φ−1 (s) 1,n f (s).
En definitiva, tenemos la siguiente adaptación de la Fórmula de Lagrange para el caso
de EDO lineales de orden superior:
Fórmula de Lagrange para ecuaciones lineales
Fijados n ∈ N∗ , I un intervalo no trivial y a1 , . . . , an ∈ C(I), si {x1 , . . . , xn } es una
base del espacio de soluciones de la EDO xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0,
entonces para , cada t0 ∈ I, cada x0 , . . . , xn−1 ∈ R y cada f ∈ C(I), la función
Z t
£
¤
£
¤
−1
x(t) = Φ(t)Φ (t0 )z0 1 +
Φ(t)Φ−1 (s) 1,n f (s) ds,
t0



x1 (t) · · ·
xn (t)
x0
..
..




...
donde z0 =  ...  y Φ(t) = 
, es la única solución
.
.
n−1)
n−1)
xn−1
x1 (t) · · · xn (t)
del problema de valores iniciales

x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1 .
Observemos que al igual que en el caso de sistemas lineales, la Fórmula de Lagrange para
ecuaciones lineales expresa la única solución del problema de valores iniciales
x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1
°
La función de Green de una ecuación lineal
£
−1
como superposición de Φ(t)Φ (t0 )z0
143
Z
¤
1
t
con
t0
£
¤
Φ(t)Φ−1 (s) 1,n f (s) ds las únicas soluciones,
respectivamente, de los problemas de valores iniciales
xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0,
x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1 ,
xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t), x(t0 ) = 0, . . . , xn−1) (t0 ) = 0.
5.3.
(5.12)
La función de Green de una ecuación lineal
Las expresiones obtenidas en la sección anterior tanto para la única solución de un problema de valores iniciales para la EDO homogénea (5.2) como para la ecuación completa
(5.1) depende de la base del espacio de soluciones de la EDO homogénea, fijada a priori.
Sin embargo, como ocurría para el caso de los sistemas lineales, dicha dependencia es de
hecho inexistente pues tal y como muestra la Fórmula de Lagrange para ecuaciones lineales,
la expresión de la solución se determina en términos de G(t, s) = Φ(t)Φ−1 (s), la función
de Green del sistema equivalente a la EDO, que como sabemos caracteriza el sistema y es
independiente de la elección de la base de partida. Además, la Fórmula de Lagrange para
EDO lineales de orden superior sugiere como introducir el concepto análogo al de función de
green para sistemas lineales
Función de Green de una ecuación
Si I ⊂ R es un intervalo no trivial, n ∈ N∗ y a1 , . . . , an ∈ C(I), denominaremos Función
de Green de la EDO lineal xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0 a la
g : I × I −→ R
£
¤
(t, s) −→ G(t, s) 1,n ,
donde G es la función de Green del sistema lineal equivalente a ecuación anterior.
Como la función de Green del sistema equivalente a la EDO depende exclusivamente de
los coeficientes de la matriz A definida en (5.3), es decir de los coeficientes de la EDO (5.2),
resulta que la función de Green de la EDO de orden n depende sólo de los coeficientes de la
EDO. Nuevamente, la fórmula de Lagrange puede reescribirse en términos de la Función de
Green como sigue:
°
144
Fórmula de Lagrange-Green para ecuaciones lineales
Fijados n ∈ N∗ , I un intervalo no trivial y a1 , . . . , an ∈ C(I), si g : I × I −→ R es la
función de Green de la EDO xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, entonces para
cada t0 ∈ I, cada x0 , . . . , xn−1 ∈ R y cada f : I −→ R continua, la función
Z t
x(t) = G(t, t0 )z0 +
g(t, s)f (s) ds,
t0
donde G es la función de Green del sistema equivalente a la EDO y z0 = (x0 , . . . , xn−1 )T ,
es la única solución del problema de valores iniciales
xk) (t0 ) = xk , k = 0, . . . , n − 1.
Observar que la Fórmula de Green-Lagrange permite en particular concluir que
Z
t
si f ∈ C(I) y consideramos la función xp (t) =
n
tonces xp ∈ C (I) y además,
k)
xp (t0 )
g(t, s) f (s) ds, ent0
(5.13)
= 0, para cada k = 0, . . . , n − 1.
Por otra parte, de la definición de la función G, se deducen las siguientes propiedades
para la función de Green de una EDO de orden n:
Se verifica que g ∈ C 1 (I × I) y además, para cada s ∈ I fijado, la función
xs : I −→ R definida como xs (t) = g(t, s) satisface que xs ∈ C n (I) y está
caracterizada como la única solución del problema de valores iniciales
n)
xs (t)
+
n−1)
a1 (t)xs (t)
(5.14)
+ · · · + an (t)xs (t) = 0, para cada t ∈ I,
n−2)
xs (s) = x0s (s) = · · · = xs
n−1)
(s) = 0, xs
(s) = 1.
Naturalmente, este resultado podría haber obtenido haciemdo uso de la Fórmula de Leibniz
de derivación bajo el signo y de las propiedades de la función de Green expresadas en (5.14).
Si nuevamente apelamos a la interpretación de la solución de cada problema de valores
iniciales para la EDO xn) (t)+a1 (t)xn−1) (t)+· · ·+an (t)x(t) = f (t) en términos de la respuesta
a la perturbación externa f de un sistema físico, mecánico, químico, biológico, etc., y cuyas
características están recogidas en la matriz de coeficientes y cuyo estado en el instante t0 es
conocido, resulta que la función de Green aparece como una propiedad intrínseca del sistema
físico, mecánico, químico o biológico, que depende exclusivamente de sus características y
capaz de proporcionar la información sobre el estado del mismo a partir de las perturbaciones
introducidas en él. De hecho, el primer sumando en la fórmula de Lagrange-Green representa
°
Ecuaciones lineales con coeficientes constantes
145
la evolución del estado del sistema, no sometido a acciones externas, a partir del conocimiento
del estado en un instante dado, mientras que el segundo sumando representa la evolución del
estado del sistema que en el instante t0 se hallaba en reposo y que está sometido a la acción
externa f .
5.4.
Al igual que hicimos para el caso de sistemas lineales, nos planteamos ahora la resolución
explícita de las EDO lineales de orden superior, cuando esto sea posible. De la teoría general
sabemos que la determinación explícita de las soluciones de la EDO (5.1) depende de que
seamos capaces de determinar explícitamente las soluciones de (5.2). Supongamos pues que
I ⊂ R es un intervalo no trivial y consideremos
las funciones a1 , . . . , an ∈ C(I)

y la aplicación
0
1
···
0


..
..
..
.
.


.
.
.
.
matricial determinada por ellas, A(t) = 
, t ∈ I.


0
0
···
1
−an (t) −an−1 (t) · · · −a1 (t)
Como resolver la EDO lineal xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, es equivalente
a resolver el sistema z 0 (t) = A(t)z(t), debemos plantearnos cuándo será posible describir
explícitamente las soluciones de este sistema. De acuerdo con la teoría general desarrollada
en el tema anterior, una condición suficiente para determinar explícitamente una matriz
fundamental del sistema es que se satisfaga la propiedad A(t)A(s) = A(s)A(t), para cada
t, s ∈ I, pues en este caso, tal matriz fundamental se describe en términos de la exponencial
de una primitiva de la matriz A.
En nuestro caso, tenemos que para cada t, s ∈ I se verifica que

0
..
.
0
..
.
1
..
.
···
...
0
..
.



0
0
0
···
1
A(t)A(s) = 

 −an (s) −an−1 (s) −an−2 (s) · · · −a1 (s)
bn (t, s) bn−1 (t, s) bn−2 (t, s) · · ·




, donde


b1 (t, s)
bn (t, s) = a1 (t)an (s) y bk (t, s) = a1 (t)ak (s) − ak+1 (t), k = 1, . . . , n − 1.
de manera que para que se satisfaga que A(t)A(s) = A(s)A(t), para cada t, s ∈ I debe
ocurrir que ak (s) = ak (t), para cada t, s ∈ I y cada k = 1, . . . , n, es decir que las funciones
coeficientes sean constantes. Además, si esta condición se satisface es obvio que A(t) es
°
146
constante y por tanto A(t)A(s) = A2 = A(s)A(t), para cada t, s ∈ I. En definitiva,
Fijados n ∈ N∗ , I un intervalo no trivial y ak ∈ C(I), k = 1, . . . , n la
condición necesaria y suficiente para que la matriz de coeficientes del sistema
equivalente a la EDO lineal xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0
verifique la propiedad de conmutación es que las funciones coeficientes ak ,
k = 1, . . . , n sean constantes.
(5.15)
Después de este resultado, debemos suponer que los coeficientes de la EDO (5.1) son
constantes, lo que en particular implica que el intervalo de definición de las soluciones de la
correspondiente EDO homogénea es R. Consideremos pues a1 , . . . , an ∈ R, la EDO
xn) (t) + a1 xn−1) (t) + · · · + an x(t) = 0



y el sistema equivalente z (t) = Az(t) donde A = 

0
..
.
0
1
..
.
(5.16)
···
...
0
..
.
0
0
···
1
−an −an−1 · · · −a1



 ∈ Mn (R).

De acuerdo con la teoría de sistemas lineales, la aplicación Φ(t) = etA es matriz fundamental y G(t, s) = e(t−s)A la función de Green del sistema. Por tanto, las funciones componentes
de la primera fila de la matriz etA es base de soluciones de la EDO (5.16) y la primera
componente de la última columna de e(t−s)A su función de Green. Observar también que si
P ∈ Mn (R) es no singular, entonces la primera fila de la matriz etA P determina una base
de soluciones de (5.16) y recíprocamente toda base de soluciones de (5.16) se obtiene de esta
forma.
Según la teoría desarrollada en el tema anterior, para calcular etA es conveniente determinar la Forma Canónica de Jordan de A, lo que requiere previamente el cálculo de los
autovalores de A así como la determinación de sus multiplicidades algebraica y geométrica.
También es preciso conocer una base de Jordan determinada por A.
Los autovalores, reales o complejos, de A son las raíces de su polinomio característico, es
decir de

x
0
..
.
−1
x
..
.



pA (x) = det [xI − A] = det 

 0
0
an an−1
0 ···
0
−1 · · ·
0
..
..
..
.
.
.
··· x
−1
· · · a2 x + a1




.


°
147


0 ···
0


−1 · · ·
0




.
.
.
.
.
.
Si para cada k = 1, . . . , n, definimos pk (x) = det 
, en.
.
.


 0
0
··· x
−1 
ak ak−1 · · · a2 x + a1
tonces pn (x) = pA (x), p1 (x) = x+a1 y además desarrollando por la primera columna, resulta
que para cada k = 2, . . . , n se tiene que



pk (x) = xpk−1 (x)+(−1)k+1 ak det 

x
0
..
.
−1 0 · · · 0
x −1 · · · 0
.. . .
.
..
.
. ..
.
0 · · · x −1
−1
x
..
.



 = xpk−1 (x)+ak .

(5.17)
Como p2 (x) = x(x+a1 )+a2 = x2 +a1 x+a2 , si suponemos que pk (x) = xk +a1 xk−1 +· · ·+ak ,
de (5.17) deducimos que
pk+1 (x) = xpk (x)+ak+1 = xk+1 +a1 xk +· · ·+ak x+ak+1 , para cada
k = 1, . . . , n − 1 y, en particular, pA (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an .
(5.18)
Como puede observarse, el polinomio característico de la matriz sistema de primer orden
equivalente a la ecuación depende sólo de los coeficientes de la ecuación.
Dados a1 , . . . , an ∈ R, denominamos polinomio característico de la EDO xn) (t) +
a1 xn−1) (t) + · · · + an x(t) = 0 a p(x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an .
(5.19)
Una vez determinado el polinomio característico de la matriz del sistema equivalente a la
EDO (5.16) el siguiente paso para describir las soluciones de la EDO es calcular los vectores
propios y la multiplicidad geométrica de cada autovalor.
Supongamos pues que λ ∈ C es un cero del polinomio característico de la EDO (5.16), es
decir satisface que λn + a1 λn−1 + · · · + an = 0. Los autovectores correspondientes a λ son los
vectores pertenecientes al subespacio ker[A−λI], es decir los vectores v = (u1 , . . . , un )T ∈ Cn
tales que


λ −1
0 ···
0

  
 u1
 0
0
λ
−1 · · ·
0


  ..   .. 
 ..
..
..
.
.
.
.
(5.20)
 .  =  . ,
 .
.
.
.
.


 0
0
0
··· λ
−1  un
an an−1 · · · a2 λ + a1
°
148
lo que implica que uk = λuk−1 , para cada k = 2, . . . , n y por tanto que uk = λk−1 u1 , para
cada k = 1, . . . , n. Observar que la última ecuación de (5.20) determina que
¡
¢
0 = (λ + a1 )un + a2 un−1 + · · · + an u1 = (λ + a1 )λn−1 + a2 λn−2 + · · · + an u1 = p(λ)u1 ,
y es por tanto una ecuación redundante puesto que por hipótesis p(λ) = 0. Así pues, u1 está
indeterminado y por tanto hemos obtenido que
©
ª
si p(λ) = 0, entonces ker[A − λI] = sg (1, λ, . . . , λn−1 )T y por tanto,
dim ker[A − λI] = 1.
(5.21)
Si recordamos la influencia que en la Forma Canónica de Jordan de A tiene el valor
dim ker[A − λI], resulta que si λ ∈ R, sólo existe un bloque de Jordan asociado a λ y cuyo
tamaño es mλ ≥ 1, la multiplicidad de λ como raíz de p(x), mientras que si λ ∈ C \ R,
entonces sólo existe un bloque de Jordan asociado a λ y λ̄, cuyo tamaño es 2mλ , donde mλ
es nuevamente la multiplicidad de λ como raíz de p(x).
Supongamos ahora que λ ∈ R satisface que p(λ) = 0 y tiene a m ≥ 1 como multiplicidad.
Consideremos también {u1 , . . . , um } los vectores de la base de Jordan determinados por λ.
En estas circunstancias, sabemos que
Auk = λuk + uk+1 , para cada k = 1, . . . , m − 1 y Aum = λum ,
lo que implica que las funciones
·
tλ
zk (t) = e
¸
tm−k
uk + t uk+1 + · · · +
um ,
(m − k)!
k = 1, . . . , m,
(5.22)
son un sistema de soluciones linealmente independientes del sistema z 0 (t) = Az(t). Aplicando
la equivalencia entre las soluciones de este sistema y las de la EDO (5.16), resulta que si
para cada k = 1, . . . , m, denotamos por uk,1 a la primera componente del vector uk y por
zk,1 a la primera componente de la función zk , entonces
·
zk,1 (t) = e
tλ
¸
tm−k
uk,1 + t uk+1,1 + · · · +
um,1 ,
(m − k)!
k = 1, . . . , m,
°
149
son un sistema de soluciones linealmente independientes de (5.16).
¡
¢T
Por otra parte, um = um,1 1, λ, . . . , λn−1 con um,1 6= 0, puesto que um es un autovector
no nulo asociado a λ. Resulta entonces que zm,1 (t) = um,1 etλ y como la EDO (5.16) es lineal
1
y um,1 6= 0, la función x1 (t) =
zk1 (t) = etλ es también solución de (5.16).
um,1
£
¤
Como zm−1,1 (t) = etλ um−1,1 + t um,1 , la linealidad de la EDO (5.16) implica ahora
¤
1 £
que x2 (t) =
zm−1,1 (t) − um−1,1 x1 (t) = t etλ es también solución de (5.16), y tiene la
um,1
propiedad de que {x1 , x2 } generan el mismo subespacio que {zm,1 , zm−1,1 }.
Si suponemos que las funciones xk (t) = tk−1 etλ , 1 ≤ k < m son soluciones de (5.16) tales
que sg{x1 , . . . , xk } = sg{zm,1 , . . . , zm−k−1,1 }, entonces como
·
zm−k,1 (t) = e
tλ
tk−1
tk
um−k,1 + t um−k+1,1 + · · · +
um−1,1 + um,1
(k − 1)!
k!
= um−k,1 x1 (t) + · · · +
¸
um−1,1
tm
xk (t) +
um,1 etλ ,
(k − 1)!
m!
resulta que la función
¸
·
k!
um−1,1
xk+1 (t) =
xk (t) = tk etλ ,
zm−k,1 (t) − um−k,1 x1 (t) − · · · −
um,1
(k − 1)!
es también solución de la EDO (5.16) y claramente sg{x1 , . . . , xk+1 } = sg{zm,1 , . . . , zm−k,1 }.
Además, como para cada k = 0, . . . , m − 1, las funciones zm,1 , . . . , zm−k,1 son linealmente
independientes resulta que x1 , . . . , xk+1 son asimismo linealmente independientes. En definitiva,
si λ ∈ R satisface que p(λ) = 0 y tiene a m ≥ 1 como multiplicidad, entonces
etλ , tetλ , . . . , tm−1 etλ ,
(5.23)
son soluciones linealmente independientes de la EDO (5.16).
Supongamos que a + ib con a, b ∈ R y b 6= 0 satisface que p(a + ib) = 0 y tiene a m ≥ 1
como multiplicidad. Consideremos también {v1 , w1 , . . . , vm , wm } los vectores de la base de
Jordan determinados por a + i b. En estas circunstancias, sabemos que
°
150
Avk = avk − bwk + vk+1 , Awk = bvk + awk + wk+1 ,
para cada k = 1, . . . , m − 1,
Avm = avm − bwm y Awm = bvm + awm , ya que A(vm + iwm ) = (a + i b)(vm + iwm )
lo que implica que las funciones
·
¸
¢
tm−k ¡
φk (t) = e cos(tb)vk − sen(tb)wk + · · · +
cos(tb)vk − sen(tb)wk ,
(m − k)!
·
¸
¢
tm−k ¡
ta
ψk (t) = e sen(tb)vk + cos(tb)wk + · · · +
sen(tb)vk + cos(tb)wk ,
(m − k)!
ta
(5.24)
donde k = 1, . . . , m, son un sistema de soluciones linealmente independientes del sistema
z 0 (t) = Az(t). Aplicando la equivalencia entre las soluciones de este sistema y las de la
EDO (5.16), resulta que si para cada k = 1, . . . , m, denotamos por vk,1 y wk,1 a la primera
componente de los vectores vk y wk , respectivamente y por φk,1 y ψk,1 a la primera componente
de las funciones φk y ψk,1 , entonces
·
¸
¢
tm−k ¡
φk,1 (t) = e cos(tb)vk,1 − sen(tb)wk,1 + · · · +
cos(tb)vk,1 − sen(tb)wk,1 ,
(m − k)!
·
¸
¢
tm−k ¡
ta
ψk,1 (t) = e sen(tb)vk,1 + cos(tb)wk,1 + · · · +
sen(tb)vk,1 + cos(tb)wk,1 ,
(m − k)!
ta
son un sistema de soluciones linealmente independientes de (5.16).
¡
¢T
Por otra parte, vm + iwm = (vm,1 + iwm,1 ) 1, a + i b, . . . , (a + i b)n−1 , lo que implica que
vm,1 , wk,1 6= 0, puesto que vm , wm 6= 0. Resulta entonces que
¢
¢
¡
¡
φm,1 (t) = eta cos(tb)vk,1 − sen(tb)wk,1 y ψm,1 (t) = eta sen(tb)vk,1 + cos(tb)wk,1
son soluciones linealmente independientes de la EDO (5.16). Como ésta es lineal, las funciones
vk,1
wk,1
φm,1 (t) + 2
ψm,1 (t) = eta cos(tb)
2
2
+ wm,1
vm,1 + wm,1
vk,1
wk,1
zm (t) = 2
ψm,1 (t) − 2
φm,1 (t) = eta sen(tb)
2
2
vm,1 + wm,1
vm,1 + wm,1
ym (t) =
2
vm,1
°
151
son soluciones linealmente independientes de la EDO puesto que sg{φm,1 , ψm,1 } = sg{ym , zm }.
Procediendo de manera análoga al caso de las raíces reales de p, resulta que
si a + i b ∈ C con a, b ∈ R y b 6= 0 satisface que p(a + i b) = 0 y tiene a m ≥ 1
como multiplicidad, entonces
eta sen(tb), eta cos(tb), teta sen(tb), teta cos(tb), . . . , tm−1 eta sen(tb), tm−1 eta cos(tb)
(5.25)
son soluciones linealmente independientes de la EDO (5.16).
En definitiva, los resultados (5.23) y (5.25) permite obtener una base de soluciones de las
ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes
Sean n ∈ N∗ , ak ∈ R, k = 1, . . . , n, la EDO lineal con coeficientes constantes
xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, p(x) = xn + an xn−1 + · · · + an su
polinomio característico y supongamos que
p(x) =
r
Y
mj
(x − λj )
·
j=1
s
Y
(x2 − 2ai x + a2i + b2i )ni ,
i=1
donde λj ∈ R, mj ≥ 1, j = 1, . . . , r, ai , bi ∈ R con bi 6= 0, ni ≥ 1, i = 1, . . . , s.
Entonces, las funciones
eλj t , t eλj t , . . . , tmj −1 eλj t ,
(5.26)
j = 1, . . . , r
eaj t cos(bj t), . . . , tnj −1 eaj t cos(bj t), j = 1, . . . , s
eaj t sen(bj t), . . . , tnj −1 eaj t sen(bj t), j = 1, . . . , s
son una base de soluciones de la EDO.
En el resultado anterior, debe entenderse que r puede ser nulo, en cuyo caso p no tiene
raíces reales y por tanto n ha de ser par, y también que s podría ser nulo, en cuyo caso p
sólo tendrá raíces reales. Es claro que si r = 0, entonces la base del espacio de soluciones
de la EDO homogénea (5.16) obtenida en (5.26) sólo está formado por funciones del tipo
tk eat sen(tb) ó tk eat cos(tb), mientras que si s = 0, dicha base contiene sólo funciones de la
forma tk etλ .
Si ahora, dados t0 ∈ R y x0 , . . . , xn−1 ∈ R queremos determinar la única solución del
problema de valores iniciales,
xn) (t) + a1 xn−1) (t) + · · · + an x(t) = 0,
x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1 ,
°
152
basta considerar una combinación lineal arbitraria de las funciones obtenidas en (5.26)
e imponer las n-condiciones iniciales descritas. Esto requiere evaluar las funciones tk etλ ,
tk eat sen(tb) y tk eta cos(tb) y de sus sucesivas derivadas hasta el orden n − 1 en el punto t0
y resolver el sistema lineal al que da lugar la verificación de las condiciones iniciales. Como
puede comprobarse la evaluación tanto de las funciones como de sus derivadas sucesivas en t0
es, en general, costoso. Sin embargo, en lugar de realizar todo este proceso, podemos utilizar
algunas propiedades adicionales que no han sido tenidas en cuenta.
Concretamente, como la EDO lineal y homogénea anterior tiene coeficientes constantes es
fácil comprobar que si x es una solución entonces para cada h ∈ R la función y(t) = x(t − h)
es también solución de la EDO, puesto que y k (t) = xk) (t−h) para cada t ∈ R. Aplicando esta
propiedad resulta que la única solución del anterior problema de valores iniciales se expresa
de la forma x(t) = y(t − t0 ), donde y es la única solución del problema de valores iniciales
y n) (t) + a1 y n−1) (t) + · · · + an y(t) = 0,
y(0) = x0 , . . . , y n−1) (0) = xn−1 .
Esta descripción tiene la ventaja de que la evaluación de las funciones tk etλ , tk eat sen(tb)
y t e cos(tb)y de sus sucesivas derivadas hasta el orden n − 1 en el punto 0 es mucho más
¡
¢j)
¡
¢j)
j!
sencillo. Por ejemplo, tk etλ (0) = 0 si j < k, mientras que tk etλ (0) =
λj−k si
(j − k)!
j ≥ k.
k ta
El mismo razonamiento lo podemos emplear para determinar la función de Green para
ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Recordemos que dicha función está caracterizada por (5.14) que establece que para cada s ∈ R fijado la función xs (t) = g(t, s) es la
única solución del problema de valores iniciales
xn) (t) + a1 xn−1) (t) + · · · + an x(t) = 0,
x(s) = · · · = xn−2) (s) = 0, xn−1) (s) = 1.
Aplicando nuevamente la propiedad anterior de las EDO con coeficientes constantes,
obtenemos que g(t, s) = α(t − s), donde α es la única solución del problema de valores
iniciales
xn) (t) + a1 xn−1) (t) + · · · + an x(t) = 0,
x(0) = · · · = xn−2) (0) = 0, xn−1) (0) = 1.
En definitiva, hemos probado los siguientes resultados, que además permiten una reesc Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009
°
Estabilidad de las ecuaciones lineales de orden superior
153
critura de la Fórmula de Green-Lagrange para las EDO con coeficientes constantes:
Fijados n ∈ N∗ y ak ∈ R, k = 1, . . . , n, la función de Green de la EDO lineal
con coeficientes constantes xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, está
determinada por la identidad g(t, s) = α(t − s), para cada t, s ∈ R, donde α es la
xn) (t)+a1 xn−1) (t)+· · ·+an x(t) = 0,
x(0) = · · · = xn−2) (0) = 0, xn−1) (0) = 1.
Además, fijados x0 , . . . , xn−1 ∈ R, si y es la única solución del problema de valores
iniciales
y n) (t) + a1 y n−1) (t) + · · · + an y(t) = 0,
y(0) = x0 , . . . , y n−1) (0) = xn−1 ,
entonces, para cada t0 ∈ R y cada f ∈ C(R), la función
Z t
x(t) = y(t − t0 ) +
α(t − s) f (s) ds,
(5.27)
t ∈ R,
t0
xn) (t) + a1 xn−1) (t) + · · · + an x(t) = f (t),
5.5.
x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1 .
Estabilidad de las ecuaciones lineales
En esta sección nos preocuparemos de las mismas cuestiones que en la sección del mismo
nombre referida a los sistemas lineales. Una solución de la ecuación lineal correpondiente
a los datos anteriores, es decir xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t), es estable,
´T
¡
asintóticamente estable o inestable si y sólo si la función z(t) = x(t), . . . , xn−1) (t) es solución estable, asintóticamente estable o inestable del sistema z 0 (t) = A(t)z(t) + f ∗ (t), donde




A(t) = 


0
..
.
1
..
.
···
..
.
0
..
.
0
0
···
1
−an (t) −an−1 (t) · · · −a1 (t)








y


f ∗ (t) = 

0
..
.
0
f (t)



.

Como el sistema homogéneo z 0 (t) = A(t)z(t) es equivalente a la ecuación homogénea
x (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, de los resultados de la Sección (3.5), obtenemos
n)
°
154
inmediatamente que
Una solución de la ecuación lineal xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t)
es estable, asintóticamente estable o inestable si y sólo si todas las soluciones
son estables, asintóticamente estables o inestables, respectivamente y además la
condición necesaria y suficiente para que esto ocurra es que la solución nula de
la ecuación homogénea asociada xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0 sea
estable, asintóticamente estable o inestable, respectivamente.
(5.28)
Nuevamente, y al igual que en el caso de sistemas lineales, el que todas las soluciones
de una EDO lineal presenten el mismo tipo de comportamiento en cuanto a la estabilidad,
justifica que
la ecuación xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t) se denomina estable,
asintóticamente estable o inestable si la solución nula de la ecuación homogénea
xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0 es estable, asintóticamente estable o
inestable, respectivamente.
(5.29)
Finalmente, la caracterización 3.34 de la estabilidad del sistema lineal equivalente a la
ecuación determina la siguiente caracterización de la estabilidad para las ecuaciones lineales:
La ecuación xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t) es estable o asintóticamente estable si y sólo si para cada t0 ∈ I si x es cualquier solución de la
ecuación homogénea xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, entonces para
cada j = 1, . . . , n − 1 la función xj) (t) está acotada para t ≥ t0 o satisfacen que
lı́m xj) (t) = 0, respectivamente.
(5.30)
t→+∞
En particular, para que cada solución tenga uno de los dos comportamientos es
necesario y suficiente que lo tenga cada función perteneciente a una base de soluciones de la ecuación homogénea.
5.5.1.
Estabilidad de las ecuaciones con coeficientes constantes
En el caso particular de las ecuaciones lineales de orden superior y con coeficientes constantes conocemos explícitamente una base de soluciones que está determinada por los ceros
del polinomio característico de la ecuación. Recordemos que (5.26) determina que
°
Estabilidad de las ecuaciones lineales de orden superior
155
Dados n ∈ N∗ , ak ∈ R, k = 1, . . . , n, la EDO lineal con coeficientes constantes
xn) (t)+a1 xn−1) (t)+· · ·+an x(t) = 0 y p(x) = xn +an xn−1 +· · ·+an su polinomio
característico, si se satisface que
p(x) =
r
Y
mj
(x − λj )
·
s
Y
(x2 − 2ai x + a2i + b2i )ni ,
i=1
j=1
donde λj ∈ R, mj ≥ 1, j = 1, . . . , r, ai , bi ∈ R con bi 6= 0, ni ≥ 1, i = 1, . . . , s,
entonces, las funciones
eλj t , t eλj t , . . . , tmj −1 eλj t ,
j = 1, . . . , r
son una base de soluciones de la EDO.
A la vista de la anterior base de soluciones de la EDO homogénea, resulta sumamente
sencillo aplicar utilizar las caracterizaciones (5.30) para establecer la estabilidad, estabilidad
asintótica o inestabilidad de la ecuación.
Si existe j = 1, . . . , r tal que λj > 0, entonces para ningún t0 ∈ R la función eλj t está
acotada para t ≥ t0 . Análogamente, si aj > 0 para algún j = 1, . . . , s, entonces para ningún
t0 ∈ R las funciones eaj t cos(bj t) y eaj t sen(bj t) están acotadas.
Por otra parte, si λj < 0 , j = 1, . . . , r, entonces todas las funciones
eλj t , t eλj t , . . . , tmj −1 eλj t
así como sus derivadas sucesivas tienden a 0 cuando t → +∞. Este comportamiento también
se satisface cuando aj < 0, j = 1, . . . , s, para las funciones
eaj t cos(bj t), eaj t sen(bj t), . . . , tnj −1 eaj t cos(bj t), tnj −1 eaj t sen(bj t)
y para sus sucesivas derivadas.
Por último si λj = 0, entonces 1, t, . . . , tmj −1 son soluciones de la ecuación y la única
posibilidad para que no aparecen funciones no acotadas es que mj = 0, lo que significa
que λj tiene multiplicidad algebraica igual a 1, es decir es una raíz simple del polinomio
característico.
°
156
Recapitulando los resultados obtenidos, tenemos las siguientes conclusiones:
Consideremos n ∈ N∗ , los escalares a1 , . . . , an ∈ R, y la EDO lineal homogénea
xn) (t) + a1 xn−1) + · · · + an x(t) = 0.
• La EDO es asintóticamente estable si y sólo si la parte real de todas las raíces
de su polinomio característico son estrictamente negativas.
• La EDO es estable si y sólo si la parte real de todas las raíces de su polinomio
característico son negativas y cada raíz con parte real nula es simple.
(5.31)
• La EDO es inestable si y sólo si si y sólo si su polinomio característico tiene
o bien una raíz con parte real estrictamente positiva o bien una raíz múltiple
con parte real nula.
Terminaremos la sección, y esta introducción al análisis de la estabilidad de las soluciones
de las ecuaciones diferenciales ordinarias, con un criterio negativo de estabilidad, análogo a
(4.26), establecido en el caso de sistemas.
Sean n ∈ N∗ y ak ∈ R, k = 1, . . . , n, la EDO xn) (t)+a1 xn−1) (t)+· · ·+an x(t) = 0
y p(x) = xm +a1 xm−1 +· · ·+am su polinomio característico. Si existe j = 1, . . . , m
tal que aj < 0, entonces A es inestable y si existe j = 1, . . . , m tal que aj = 0,
entonces A no puede ser asintóticamente estable.
5.6.
(5.32)
Ecuaciones lineales no explícitas
En ocasiones resulta necesario trabajar con ecuaciones lineales de orden n que no son
explícitas, es decir el término que define el orden de le EDO no aparece como expresado en
términos de las derivadas anteriores de la función incógnita, pero que son equivalentes a ecuaciones explícitas, como ocurre por ejemplo en la denominada ecuación del oscilador armónico
mx00 (t) + kx(t) = f (t), donde m, k > 0.
El objetivo de esta sección es el estudio de los problemas de valores iniciales asociados a
°
157
este tipo de ecuaciones. Las notaciones fundamentales son las siguientes:
• El número natural no nulo n y el intervalo no trivial I ⊂ R.
• Término fuerza: f ∈ C(I).
• Coeficiente principal: a0 ∈ C(I) tal que a0 (t) 6= 0, para cada t ∈ I.
(5.33)
• Coeficientes: a1 , . . . , an ∈ C(I).
Los datos anteriores determinan la EDO lineal no explícita
a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t).
(5.34)
Por las mismas razones que ya fueron descritas en el estudio de los sistemas de lineales de
EDO, que abordamos en los temas anteriores, para describir el conjunto de soluciones de la
EDO (5.34) será de gran importancia el análisis de la EDO que tiene los mismos coeficientes
y donde el término fuerza es nulo.
Denominamos ecuación homogénea asociada a (5.34) a la EDO lineal de orden
n
a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0.
(5.35)
Naturalmente estaremos interesados en resolver los problemas de valores iniciales asociados tanto a (5.34) como a su la ecuación homogénea. Recordemos que en este caso un
problema de valores iniciales para (5.1) o para la ecuación homogénea asociada a él, consiste
en dados t0 ∈ I y x0 , . . . , xn−1 ∈ R, determinar la o las soluciones de (5.34) o de (5.35) que
satisfacen xk) (t0 ) = xk , para cada k = 0, . . . , n − 1.
Aunque las ecuaciones anteriores (5.34) y (5.35) no verifican las condiciones de la teoría
general desarrollada en las secciones previas, y por tanto no podemos deducir directamente
la existencia y unicidad de las soluciones de cada problema de valores iniciales, podemos
obtener todas estas propiedades observando que ambas ecuaciones son equivalentes a otras
explícitas para las cuales son de aplicación directa los resultados generales. Concretamente,
°
158
se satisface el siguiente resultado, cuya verificación es inmediata:
Supongamos que n ∈ N∗ , I ⊂ R es un intervalo no trivial y consideremos
a0 , . . . , an ∈ C(I) con a0 (t) 6= 0, para cada t ∈ I. Entonces, para cada f ∈ C(I),
la función x ∈ C n (J) es solución de la EDO
a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t)
si y sólo si es solución de la EDO
xn) (t) +
(5.36)
a1 (t) n−1)
an (t)
f (t)
x
(t) + · · · +
x(t) =
.
a0 (t)
a0 (t)
a0 (t)
En particular, la EDO a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0 tiene las
a1 (t) n−1)
an (t)
mismas soluciones que la EDO xn) (t) +
x
(t) + · · · +
x(t) = 0.
a0 (t)
a0 (t)
a1
an f
,..., ,
son
a0
a0 a0
todas continuas, por lo que las EDO lineales equivalentes a las no explícitas satisfacen todas
las hipótesis que conducen a los resultados de existencia y unicidad de las soluciones. Por
tanto, de (5.36) se deduce inmediatamente que
Observar que como a0 (t) 6= 0, para cada t ∈ I, entonces las funciones
para cada f ∈ C(I), cada problema de valor inicial para la EDO
a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t)
(5.37)
son tiene solución única.
De la equivalencia anterior también se deduce un principio de superposición para este
tipo de ecuaciones
Principio de superposición para EDO lineales no explícitas
Dados n ∈ N∗ y a0 , a1 , . . . , an ∈ C(I), el conjunto de soluciones de la EDO lineal homogénea a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0 es un espacio vectorial real
de dimensión n y para cada función continua f ∈ C(I), el conjunto de soluciones de la
EDO lineal a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t) tiene estructura de espacio
afín cuya variedad lineal subyacente es el espacio vectorial de soluciones de la ecuación
homogénea.
Naturalmente, para obtener una base del espacio de soluciones de la EDO homogénea,
basta proceder como en el caso de EDO lineales explícitas y resolver, en el mismo instante t0 ,
°
159
n problemas de valor inicial cuyos datos están determinados por una base de Rn . De hecho
se satisface también la siguiente versión del Lema de Abel:
Lema de Abel-Liouville para EDO lineales no explícitas
Fijados n ∈ N∗ , I un intervalo no trivial y las funciones a0 , a1 , . . . , an ∈ C(I), entonces
si x1 , . . . , xn son soluciones de la EDO a0 (t)xn) (t)+a1 (t)xn−1) (t)+· · ·+an (t)x(t) = 0,
para cada t0 ∈ I se satisface que
Z t
a1 (s)
−
ds
t0 a0 (s)
w[x1 , . . . , xn ](t) = w[x1 , . . . , xn ](t0 ) e
Además, {x1 , . . . , xn } son base del espacio de soluciones de la EDO homogénea si y
sólo si existe t0 ∈ I tal que w[x1 , . . . , xn ](t0 ) 6= 0 o, de forma equivalente, si y sólo si
w[x1 , . . . , xn ](t0 ) 6= 0, para cada t ∈ I.
Consideremos ahora, t0 ∈ I, x0 , . . . , xn−1 ∈ R, f ∈ C(I) y el problema de valores iniciales
a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t),
x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1 .
De manera análoga al caso de EDO explícitas y teniendo en cuenta la equivalencia (5.36),
la Fórmula de Lagrange para EDO explícitas y más concretamente (5.38), la única solución
de este problema se expresa como superposición de la únicas soluciones de los problemas de
valores iniciales
a1 (t) n−1)
x
(t) + · · · +
a0 (t)
a1 (t) n−1)
xn) (t) +
x
(t) + · · · +
a0 (t)
xn) (t) +
an (t)
x(t) = 0,
xj) (t0 ) = xj , j = 0, . . . , n − 1,
a0 (t)
an (t)
f (t)
x(t) =
, x(t0 ) = 0, . . . , xn−1) (t0 ) = 0.
a0 (t)
a0 (t)
(5.38)
Como sabemos, la solución del primero de los problemas de valores que puede obtenerse
a partir de una base de soluciones de la EDO a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0.
Por otra parte, si consideramos g ∈ C 1 (I × I), la función de Green de la EDO lineal explícita
an (t)
a1 (t) n−1)
x
(t) + · · · +
x(t) = 0, resulta que la única solución del segundo de
xn) (t) +
a0 (t)
a0 (t)
Z t
f (s)
g(t, s)
ds, lo que motiva la
los problemas de valores iniciales anteriores es x(t) =
a0 (s)
t0
°
160
siguiente definición:
Si I ⊂ R es un intervalo no trivial y a0 , . . . , an ∈ C(I) con a0 (t) 6= 0 para
cada t ∈ I, denominamos Función de Green de la EDO
a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0,
a g ∈ C(I × I) definida como g(t, s) =
es la función de Green de la EDO
xn) (t) +
ĝ(t, s)
, para cada t, s ∈ I, donde ĝ
a0 (s)
(5.39)
an (t)
a1 (t) n−1)
x
(t) + · · · +
x(t) = 0.
a0 (t)
a0 (t)
De la definición anterior, resulta que si g es la función de Green de (5.35), entonces
Z
t
para cada f ∈ C(I) la función xp (t) =
n
xp ∈ C (I) y además,
k)
xp (t0 )
g(t, s) f (s) ds satisface que
t0
(5.40)
= 0, para cada k = 0, . . . , n − 1.
De manera análoga al caso de las EDO lineales explícitas, la Función de Green de las EDO
lineales no explícitas pueden caracterizarse en términos de los problemas de valor inicial.
Si I ⊂ R es un intervalo no trivial, a0 , . . . , an ∈ C(I) con a0 (t) 6= 0, para
cada t ∈ I y g ∈ C(I × I) es la función de Green de la EDO
entonces para cada s ∈ I fijado, la función xs : I −→ R definida como
xs (t) = g(t, s) satisface que xs ∈ C n (I) y está caracterizada como la única
solución del problema de valores iniciales
n)
(5.41)
n−1)
a0 (t)xs (t) + a1 (t)xs
5.6.1.
(t) + · · · + an (t)xs (t) = 0, para cada t ∈ I,
1
n−2)
.
xs (s) = x0s (s) = · · · = xs (s) = 0, xsn−1) (s) =
a0 (s)
Ecuaciones lineales no explícitas con coeficientes constantes
Supongamos que a0 , a1 , . . . , an ∈ R con a0 6= 0 y consideremos la EDO homogénea con
coeficientes constantes
°
161
a0 xn) (t) + a1 xn−1) (t) + · · · + an x(t) = 0,
que, aplicando (5.36) es equivalente a
xn) (t) +
a1 n−1)
an
x
(t) + · · · +
x(t) = 0.
a0
a0
Para determinar una base de soluciones de la última EDO, es preciso calcular las raíces
de su polinomio característico, que en este caso es
q(x) = xn +
¢
an
1¡
a1 n−1
x
+ ··· +
=
a0 + xn + a1 xn−1 + · · · + an ,
a0
a0
a0
identidad que motiva la siguiente definición:
Dados a0 , . . . , an ∈ R con a0 6= 0, denominamos polinomio característico de la
EDO a0 xn) (t) + a1 xn−1) (t) + · · · + an x(t) = 0 a p(x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an .
(5.42)
Teniendo en cuenta que p(x) = a0 q(x), resulta que las raíces del polinomio característico
de una EDO lineal no explícita con coeficientes constantes son las mismas, con las mismas multiplicidades, que las del polinomio característico de la EDO explícita equivalente.
Teniendo en cuenta que ambas ecuaciones tienen las mismas soluciones, resulta que
Si ak ∈ R, k = 0, . . . , n, con a0 6= 0 y suponemos que
p(x) = a0 xn + an xn−1 + · · · + an = a0
r
Y
(x − λj )mj ·
j=1
s
Y
(x2 − 2ai x + a2i + b2i )ni ,
i=1
donde λj ∈ R, mj ≥ 1, j = 1, . . . , r, ai , bi ∈ R con bi 6= 0, ni ≥ 1, i = 1, . . . , s,
entonces, las funciones
e
λj t
,te
λj t
,...,t
mj −1 λj t
e
,
(5.43)
j = 1, . . . , r
son una base de soluciones de la EDO a0 xn) (t)+a1 (t)xn−1) (t)+· · ·+an (t)x(t) = 0.
°
162
Finalmente, el que la ecuación propuesta tenga coeficientes constante implica que es
autónoma, de manera que nuevamente la Fórmula de Green-Lagrange puede expresarse de
manera sencilla:
Fijados n ∈ N∗ y ak ∈ R, k = 0, . . . , n, la función de Green de EDO lineal
con coeficientes constantes a0 xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, está
determinada por la identidad g(t, s) = α(t − s), para cada t, s ∈ R, donde α es la
a0 xn) (t)+a1 xn−1) (t)+· · ·+an x(t) = 0, x(0) = · · · = xn−2) (0) = 0, xn−1) (0) =
1
.
a0
Además, fijados x0 , . . . , xn−1 ∈ R si y es la única solución del problema de valores
iniciales a0 y n) (t) + a1 y n−1) (t) + · · · + an y(t) = 0, y(0) = x0 , . . . , y n−1) (0) = xn−1 ,
entonces, para cada t0 ∈ R y cada f ∈ C(R), la función
Z t
x(t) = y(t − t0 ) +
α(t − s) f (s) ds, t ∈ R,
(5.44)
t0
a0 xn) (t) + a1 xn−1) (t) + · · · + an x(t) = f (t), x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1 .
5.7.
Ecuaciones de Euler
Finalizaremos este tema describiendo la solución de una familia importante de ecuaciones
lineales, las denominadas Ecuaciones de Euler, que a pesar de no tener coeficientes constantes
pueden resolverse mediante las técnicas asociadas a este tipo de ecuaciones.
Una ecuación de Euler de orden n es una ecuación diferencial lineal de la forma
a0 (a t+b)n xn) (t)+a1 (a t+b)n−1 xn−1) (t)+· · ·+an−1 (a t+b) x(t)+an x(t) = f (t),
donde a0 , . . . , an , a, b ∈ R satisfacen que a0 , a 6= 0.
(5.45)
Observar que si permitiéramos que a = 0, entonces (5.45) sería una ecuación de coeficientes constantes no explícita, como las tratadas en la sección anterior.
En la situación de (5.45), el coeficiente principal de la ecuación, es decir a0 (a t + b)n se
anula para t∗ = − ab , y por tanto la ecuación es explícita en los intervalos I − = (−∞, − ab ) e
I + = (− ab , +∞). Así pues, aplicando los resultados generales ya conocidos, concluimos que
°
Ecuaciones de Euler
163
si f ∈ C(I − ), entonces (5.45) tiene soluciones definidas en I − , mientras que si f ∈ C(I + ),
entonces (5.45) tiene soluciones definidas en I + . Más aún, cada problema de valores iniciales
planteado en I − en el primer caso y en I + en el segundo, tiene una única solución. Sin
embargo, nada puede decirse sobre el comportamiento de las soluciones en el punto − ab , es
decir la construcción de las soluciones de (5.45) debe investigarse separadamente en cada
uno de los dos intervalos. 3
Como (5.45) puede expresarse de manera equivalente en la forma
â0 (â t + b̂)n xn) (t) + â1 (â t + b̂)n−1 xn−1) (t) + · · · + ân−1 (â t + b̂) x(t) + an x(t) = f (t),
donde âj = (−1)n−j aj , j = 0, . . . , n − 1, â = −a y b̂ = −b, podemos suponer, sin pérdida de
generalidad que a > 0. Bajo esta hipótesis, desarrollaremos aquí la metodología para hallar
las soluciones definidas en I + . Una pequeña modificación de las técnicas conducirá a hallar
las soluciones definidas en I − .
1
Consideremos la aplicación F : R −→ R dada por la expresión F (s) = (es − b). Es
a
claro que F es derivable y que además F 0 (s) = a1 es , de manera que F es estrictamente
creciente y en particular inyectiva. Como lı́m F (s) = − ab y lı́m F (s) = +∞, resulta que
s→−∞
s→+∞
F : R −→ I + es un cambio de variable. Obsérvese que si F (s) = t, entonces a t + b = es y
por tanto (a t + b)k = eks para cada k ∈ N.
Si consideramos t = F (s) y definimos y(s) = x(F (s)) = x(t), aplicando la regla de la
es
1
cadena resulta que y 0 (s) = x0 (F (s))F 0 (s) = x0 (F (s)) = (a t + b) x0 (t) y también que
a
a
2s
s
e
e
1
y 00 (s) = 2 x00 (t) + x0 (t), es decir y 00 (s) = 2 (a t + b)2 x00 (t) + y 0 (s). Iterando el proceso
a
a
a
obtenemos que para cada k ∈ N∗
1
(a t + b)k xk) (t) = y k) (s) + una combinación lineal de y 0 (s), . . . , y k−1) (s).
ak
En conclusión, x es solución de (5.45) en el intervalo I + sii y es solución de una ecuación
de la forma
an a0 y n) (s)+b1 y n−1) (s)+· · ·+bn−1 y(s)+bn y(s) = f (F (s)), donde b1 , . . . , bn ∈ R
(5.46)
Por tanto, y es solución de una EDO lineal de orden n cuyos coeficientes son constantes,
de manera que puede hallarse con los métodos descritos para este tipo de ecuaciones. Por
3
El punto t∗ = − ab suele denominarse punto singular de la EDO. En general se denominan puntos
singulares de una EDO lineal no explícita a los ceros de su coeficiente principal a0 . Las ecuaciones de Euler
son por tanto un ejemplo de EDO lineales con puntos singulares, concretamente con un único punto singular.
°
164
supuesto una vez hallada la solución general de (5.46), la solución general de (5.45) en el
intervalo I + , se obtiene mediante la sustitución
¡
¢
x(t) = y ln (a t + b) ,
5.8.
b
t>− .
a
(5.47)
Ejercicios
Problema 1. Hallar todas las soluciones de las siguientes ecuaciones lineales:
x000 (t) + x00 (t) − 2x0 (t) = 0
xiv (t) − 6x000 (t) + 12x00 (t) − 8x0 (t) = 0
xiv (t) − 4x000 (t) + 14x00 (t) − 20x0 (t) + 25x(t) = 0
Problema 2. Consideremos q ∈ C(R) tal que q(t) ≥ 0 para cada t ∈ R. Demostrar que
toda solución de la ecuación u00 (t) − q(t)u(t) = 0 verifica que u(t)u0 (t) es una función no
decreciente en R. Concluir que las soluciones no triviales de esta ecuación tienen a lo sumo
un cero.
Problema 3. Sean I ⊂ R un intervalo no trivial, a0 , a1 , a2 ∈ C(I) con a0 (t) 6= 0, para cada
t ∈ I y {x1 , x2 } una base de soluciones de la EDO a0 (t)x00 (t) + a1 (t)x0 (t) + a2 (t)x(t) = 0.
Demostrar que la función de Green de la EDO está determinada por la identidad
g(t, s) =
x1 (s)x2 (t) − x2 (s)x1 (t)
x1 (s)x2 (t) − x2 (s)x1 (t)
¡
¢ , para cada t, s ∈ I.
=
a0 (s)w[x1 , x2 ](s)
a0 (s) x1 (s)x02 (s) − x01 (s)x2 (s)
Problema 4. Sean n ∈ N∗ , ak ∈ R, k = 1, . . . , n, la EDO lineal con coeficientes constantes
xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, p(x) = xn + an xn−1 + · · · + an su polinomio
característico y supongamos que
p(x) =
r
Y
j=1
mj
(x − λj )
·
s
Y
(x2 − 2ai x + a2i + b2i )ni ,
i=1
donde λj ∈ R, mj ≥ 1, j = 1, . . . , r, ai , bi ∈ R con bi 6= 0, ni ≥ 1, i = 1, . . . , s.
Demostrar que para cada t0 ∈ R las funciones
°
Ecuaciones de Euler
165
eλj (t−t0 ) , (t − t0 ) eλj (t−t0 ) , . . . , (t − t0 )mj −1 eλj (t−t0 ) ,
j = 1, . . . , r
¡
¢
¡
¢
eaj (t−t0 ) cos bj (t − t0 ) , eaj (t−t0 ) sen bj (t − t0 ) ,
..
.
¡
¢
¡
¢
(t − t0 )nj −1 eaj (t−t0 ) cos bj (t − t0 ) , (t − t0 )nj −1 eaj (t−t0 ) sen bj (t − t0 ) , j = 1, . . . , s
son base de soluciones de la EDO.
a1
Problema 5. Consideremos a0 , a1 , a2 ∈ R con a0 6= 0 y definamos los escalares r =
y
a0
q
1
ν=
|a0 a2 − a21 |.
a0
Demostrar que una base de soluciones de la EDO lineal homogénea de segundo orden
con coeficientes constantes a0 x00 (t) + 2a1 x0 (t) + a2 x(t) = 0 está dada por
n
o
e−rt ch(νt), e−rt sh(νt) , si a21 > a0 a2 ,
n
o
e−rt , t e−rt ,
si a21 = a0 a2 ,
n
o
e−rt cos(νt), e−rt sen(νt) , si a21 < a0 a2 ,
mientras que la función de Green está dada por

¢
1 −r(t−s) ¡


e
sh
ν(t
−
s)
, si a21 > a0 a2 ,


a
ν

0


1 −r(t−s)
e
(t − s),
si a21 = a0 a2 ,
g(t, s) =

a0



¡
¢

1


e−rt sen ν(t − s) , si a21 < a0 a2 .
a0 ν
En todos los casos, para cada f ∈ C(R) y cada t0 , x0 , x1 ∈ R, determinar la única solución
del problema de valores iniciales
a0 x00 (t) + 2a1 x0 (t) + a2 x(t) = f (t),
x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x1 .
°
166
Problema 6. Se consideran los escalares r, k, ω ∈ R donde k > r2 y ω > 0. Fijados
t0 , x0 , x1 ∈ R, hallar la única solución del problema de valores iniciales
x00 (t) + 2rx0 (t) + kx(t) = e−rt sen(ωt),
Problema 7. Se consideran los escalares b ∈ R y
definida como

0, si






n2 t, si



fn (t) =

2n − n2 t, si








0, si
x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x1 .
para cada n ∈ N∗ la función fn ∈ C(R),
t ≤ 0,
1
,
n
1
2
<t≤ ,
n
n
2
< t.
n
Para cada x0 , x1 ∈ R hallar un , la única solución del problema de valores iniciales
x00 (t) + b2 x(t) = fn (t),
0<t≤
x(0) = x0 , x0 (0) = x1 .
Calcular también lı́m un (t), para cada t ∈ R.
n→∞
√ s
2 4 |a1 |
. Demostrar
Problema 8. Consideremos a0 , a1 ∈ R con a0 > 0 y el escalar ν =
2
a0
que una base de soluciones de la EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes
constantes a0 xiv) (t) + a1 x(t) = 0 está dada por
©
ª
sh(νt) sen(νt), ch(νt) sen(νt), sh(νt) cos(νt), ch(νt) cos(νt) , si a1 > 0,
©
ª
1, t, t2 , t3 ,
si a1 = 0,
©
ª
sen(νt), cos(νt), sh(νt), ch(νt) ,
si a1 < 0,

¢
¡
¢
¡
¢ ¡
¢i
νh ¡


ch
ν(t
−
s)
sen
ν(t
−
s)
−
sh
ν(t
−
s)
cos
ν(t
−
s)
, si a1 > 0,


a1



1
(t − s)3 ,
si a1 = 0,
g(t, s) =
6a

0



¡
¢
¡
¢i
2h



sen ν(t − s) − sh ν(t − s) ,
si a1 < 0.
a1
°
Ecuaciones de Euler
167
En todos los casos, para cada f ∈ C(R) y cada t0 , x0 , x1 , x2 , x3 ∈ R, determinar la única
a0 xiv) (t) + a1 x(t) = f (t),
x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x1 , x00 (t0 ) = x2 , x000 (t0 ) = x3 .
Especificar también el caso en el que f es constante.
s
|a1 |
. Demostrar
a0
que una base de soluciones de la EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes
constantes a0 xiv) (t) + a1 x00 (t) = 0 está dada por
Problema 9. Consideremos a0 , a1 ∈ R con a0 > 0 y el escalar ν =
©
ª
1, t, sh(νt), ch(νt) , si a1 < 0,
©
ª
1, t, t2 , t3 ,
si a1 = 0,
©
ª
1, t, sen(νt), cos(νt) , si a1 > 0,

¡
¢i
1 h


ν(t − s) − sh ν(t − s) , si a1 < 0,


νa1



1
(t − s)3 ,
si a1 = 0,
g(t, s) =

6a
0



¡
¢i

1 h


ν(t − s) − sen ν(t − s) , si a1 > 0.
νa1
En todos los casos, para cada f ∈ C(R) y cada t0 , x0 , x1 , x2 , x3 ∈ R, determinar la única
a0 xiv) (t) + a1 x00 (t) = f (t),
x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x1 , x00 (t0 ) = x2 , x000 (t0 ) = x3 .
Especificar también el caso en el que f es constante
Problema 10. Sean a, b ∈ R, I ⊂ R un intervalo y f : I −→ R continua. Resolver la
ecuación diferencial xiv) (t) + 2ax00 (t) + bx(t) = f (t).
Especificar también el caso en el que f es constante.
°
168
Problema 11. Dados m, r, k ∈ R con m > 0, determinar las estabilidad, estabilidad asintótica o inestabilidad de la EDO mx00 (t) + 2rx0 (t) + kx(t) = 0.
Problema 12. Estudiar para los diferentes valores de k ∈ R la estabilidad o estabilidad
asintótica de la EDO x00 (t) + kx0 (t) + (2k − 1)x(t) = 0.
Problema 13. Consideremos I un intervalo o bien de la forma (a, +∞) o [a, +∞) o bien
I = R, las aplicaciones continuas aj : I −→ R, j = 0, . . . , n donde a0 (t) > 0 para todo t ∈ I
y la EDO de orden n
Demostrar las siguientes afirmaciones:
Z
t
a1 (s)
ds está acot0 a0 (s)
tada inferiormente en [t0 , +∞). Concluir que si existen t0 ∈ I y a > 0 tales que
a1 (t) ≤ −a a0 (t) para cada t ≥ t0 , entonces la ecuación es inestable.
i) Si la ecuación es estable, entonces para cada t0 ∈ I la función
Z
t
a1 (s)
ds = +∞.
t→+∞ t a0 (s)
0
Concluir que si existe t0 ∈ I tal que a1 (t) ≤ 0 para cada t ≥ t0 , entonces la ecuación
no es asintóticamente estable.
ii) Si la ecuación es asintóticamente estable, para cada t0 ∈ I, lı́m
Problema 14. Dado k ∈ R consideremos la ecuación de Euler homogénea de segundo orden
en el intervalo (0, +∞),
t2 x00 (t) + tx0 (t) + kx(t) = 0,
t > 0.
Demostrar que todas las soluciones de la EDO son de la forma x(t) = y(ln t), donde
y ∈ C(R) satisface que y 00 (s) + ky(s) = 0, para cada s ∈ R.
p
Si ν = |k|, concluir que una base de soluciones de la EDO t2 x00 (t) + tx0 (t) + kx(t) = 0
en el intervalo (0, +∞), está dada por es
°
Ecuaciones de Euler
169
n
ª
1o n
t , ν ó sh(νln t), ch(νln t) , si k < 0,
t
{1, ln t}, si k = 0,
©
ª
sen(νln t), cos(νln t) , si k > 0,
ν
mientras que la función de Green en el intervalo (0, +∞) está dada por

·³ ´
·
³ s ´ν ¸
³ t ´¸
ν
1
t
1



−
=
sh νln
, si k < 0,


2sν
s
t
sν
s



1 ³t´
ln
,
si k = 0,
g(t, s) =
s
s


·

³ t ´¸


1


sen νln
,
si k > 0.

sν
s
¡
¢
En todos los casos, para cada f ∈ C (0, +∞) , cada t0 > 0 y cada x0 , x1 ∈ R, determinar
la única solución del problema de valores iniciales
t2 x00 (t) + tx0 (t) + kx(t) = f (t),
t > 0,
x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x1 .
Problema 15. Dados a, b, a0 , a1 , a2 ∈ R con a > 0 y a0 6= 0, estudiar la estabilidad y
estabilidad asintótica de la ecuación de Euler a0 (at + b)2 x00 (t) + a1 (at + b)x0 (t) + a2 x(t) = 0
en el intervalo (− ab , +∞).
°

Teoría y problemas

Transcripción

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