4. MODELOS DE SÍNTESIS Podemos distinguir dos principales

Transcripción

4. MODELOS DE SÍNTESIS
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Podemos distinguir dos principales categorías de algoritmos de
síntesis: modelos de señal y modelos físicos. Los modelos de señal aspiran
a reconstruir el efecto sonoro perceptual sin analizar la fuente específica
que provoca el sonido, mientras que los modelos físicos buscan simular el
comportamiento de la fuente sonora.
El siguiente esquema muestra una posible clasificación de los
distintos tipos de modelos de síntesis
Modelos no lineales
Modelos de señal
Modelos lineales
Liberación de muestras
Modelos de síntesis
Diferencias finitas
Modelos físicos
Síntesis modal
Guiaonda digital
SÍNTESIS DIGITAL DE INSTRUMENTOS MUSICALES
SÍNTESIS DIGITAL DE PIANOS ELECTRÓNICOS
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4.1. Modelos de señal
Los modelos de señal usan una descripción matemática del sonido.
Sus ventajas son la simplicidad y la fácil implementación. El problema de
estos modelos radica en el control del proceso de síntesis, sobre todo en lo
que se refiere a parámetros que intervienen en el discurso musical. De
modo que la mayoría de algoritmos se derivan heurísticamente y no
guardan relación alguna con el proceso real de generación del sonido, con
las consiguientes consecuencias negativas para la interpretación musical.
Esta es la razón por la cual es más difícil sintetizar sonidos
preexistentes como los de piano, que producir sonidos abstractos con los
modelos de señal, es decir, sonidos que nuestra percepción no puede
relacionar con un mecanismo de producción, o imaginar una fuente para
ellos. Es por ello que los modelos de señal se utilizan profusamente para la
generación de nuevos sonidos en música electrónica
Podemos distinguir básicamente tres tipos de modelos de señal:
métodos de síntesis global o no-lineales, métodos lineales o sinusoidales y
métodos de muestreo de forma de onda.
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4.1.1. Métodos de síntesis global
Los métodos de síntesis global persiguen el objetivo de generar el
sonido modelando una señal simple (una sinusoide, por ejemplo) usando
una función. Estos métodos son no-lineales ya que las operaciones
realizadas sobre la portadora no son simples adiciones o amplificaciones.
Este tipo de síntesis usa algoritmos relativamente simples con un pequeño
número de parámetros, pero el proceso de análisis es complicado. Es
generalmente difícil controlar la forma del sonido mediante estos métodos
dado que el timbre está relacionado con los parámetros de control de una
forma no-lineal.
Síntesis FM simple
Síntesis AFM
Modelos de síntesis global
Síntesis DFM
Síntesis PD
Otros modelos no-lineales
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Síntesis FM
El ejemplo más conocido de síntesis global, es la modulación en
frecuencia o síntesis FM, expuesta originalmente por John Chowning en
1973. Este método de síntesis ha sido adaptado de la teoría de FM para
radiofrecuencia a la síntesis de audio.
A comienzo de los 80, la conocida marca de instrumentos musicales
Yamaha, presenta un método digital de síntesis de sonido denominado
Síntesis FM. El método de Yamaha estaba basado en los estudios de John
Chowning sobre esta materia y concretamente en su ensayo Síntesis de
espectros complejos de audio mediante Modulación en Frecuencia
publicado en 1973
En realidad, no era un enfoque totalmente nuevo, pues los métodos
de modulación en frecuencia, habían sido utilizados desde antaño por los
ingenieros de telecomunicación en la transmisión de señal, sobre todo en
aplicaciones de radio. El trabajo de Chowning era, sin embargo, la primera
aplicación práctica de estos conceptos en el ámbito del modelado digital de
audio.
La síntesis FM está basada, como su propio nombre indica, en la
modulación en frecuencia. La frecuencia de una onda determinada se
modula por otra onda de distinta frecuencia. El resultado contiene
elementos de ambas frecuencias junto con nuevos armónicos relacionados
matemáticamente con las frecuencias originales. Se puede demostrar
teóricamente que cualquier sonido, por complejo que sea, puede ser
modelado mediante una serie de modulaciones en frecuencia de ondas
senoidales.
Análisis FM
La ecuación general de la modulación FM es:
t
y (t ) = Ac cos(2πf c t + 2πk f ∫ m(τ )dτ )
(4.1)
o
Por tanto la frecuencia instantánea es:
f i (t ) = f c + k f m(t )
(4.2)
Lo que significa que la frecuencia instantánea de la señal modulada
oscila en torno a la frecuencia de portadora con una desviación máxima de
∆f = k f max m(t ) . Este parámetro recibe el nombre de desviación en
frecuencia.
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En la síntesis FM, la señal moduladora es siempre una señal senoidal
así que:
m(t ) = Am cos(2πf m t )
(4.3)
Introduciendo la moduladora dada por Ec. 4.3. en la ecuación de
análisis dada por la Ec. 4.2. tenemos que la ecuación de la síntesis FM es
t
y (t ) = Ac cos(2πf c t + 2πk f ∫ cos(2πf mτ )dτ = Ac cos(2πf c t + k f
o
Am
sin( 2πf mτ ))
fm
(4.4)
= Ac cos(2πf c t + β sin( 2πf mτ ))
Donde β , índice de modulación, se define como:
β=
∆f
fm
(4.5)
Ya que en este caso, la desviación de pico es ∆f = k f max m(t ) = k f Am
En la síntesis FM, la salida de un oscilador se aplica al control de
frecuencia de otro oscilador. El oscilador que controla la frecuencia es
denominado modulador, mientras que el oscilador que proporciona la señal
a controlar es denominado portador.
Figura 4.1. Diagrama de un sistema de síntesis FM
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Si el modulador se sintoniza por debajo del nivel de frecuencia
audible (20 Hz aprox,), se tiene modulación FM sub-audio también
conocida como vibrato. La profundidad del vibrato se determina mediante
la amplitud de la onda moduladora.
Si por el contrario, el modulador se sintoniza por encima de 20 Hz,
frecuencias adicionales denominadas bandas laterales aparecen
simétricamente alrededor de la frecuencia de portadora.
Tanto las frecuencias exactas como la amplitud relativa de las bandas
laterales pueden determinarse usando tecnología digital controlando todos
los parámetros con precisión. La Síntesis FM clásica, también conocida
como Chowning FM, utiliza sólo ondas senoidales, resultando por tanto
una modulación lineal. Puede describirse analíticamente mediante la
ecuación:
y (t ) = A(t ) cos(2πf c t + β (t ) cos(2πf m t + φ m ) + φ c )
(4.6)
Donde A(t) es la envolvente en amplitud, f c es la frecuencia de
portadora, f m es la frecuencia moduladora y φm , φ c son constantes
arbitrarias de fase. La función β (t ) , denominada envolvente del índice de
modulación, determina el contenido armónico del sonido. Podemos
determinar la frecuencia instantánea del sonido sin más que derivar la fase:
1 d
1 d
(2πf c t + β (t ) cos(2πf m t + φ m ) + φ c )
θ (t ) =
2π dt
2π dt
1 dβ (t )
= f c − β (t ) f m sin(2πf m t + φ m ) +
cos(2πf m t + φ m )
2π dt
f i (t ) =
(4.7)
Determinar la relación precisa del índice de modulación β (t ) en el
contenido armónico requeriría de un análisis más preciso, sin embargo, es
posible obtener alguna información por simple inspección de la ecuación
anterior. La cantidad β (t ) f m multiplica una variación sinusoidal de la
frecuencia. Si β (t ) es constante, su derivada es cero, y por tanto desaparece
el último término, de modo que β (t ) proporciona la máxima desviación en
frecuencia con respecto a la frecuencia nominal de la portadora f c . Por
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tanto si β (t ) es pequeño, se producen bajas frecuencias, por el contrario si
es grande pueden producirse armónicos de nivel alto. Dado que β (t ) es una
función del tiempo, el contenido armónico de la señal también puede
cambiar con el tiempo.
Normalmente tanto A(t) como β (t ) suelen ser constantes sobre un
gran intervalo temporal y dejan de serlo normalmente hacia el comienzo o
final del sonido para tener en cuenta efectos transitorios como
consecuencia del ataque de tecla.
Las bandas laterales poseerán armónicos parciales a las frecuencias
f c ± nf m .
Figura 4.2. Espectro de la señal Y(f)
En el caso de armónicos a frecuencias negativas, tendremos bandas
reflejadas, a la misma frecuencia en valor absoluto pero con un desfase de
180º. Cuando al reflejarse coinciden con otros armónicos parciales, la
cancelación parcial o total tiene un gran impacto en el timbre
Si f c y f m son ambos racionales, en una relación 1:N, el espectro
resultante será armónico pero sin incluir los parciales que sean múltiplos de
N. Por ejemplo para una relación 1:2, las frecuencias resultantes son f c ,
3 f c , 5 f c … Esta propiedad es muy útil para sintetizar instrumentos de
embocadura cilíndrica como el clarinete, los cuales se caracterizan por
incluir en el espectro sólo los armónicos impares del tono fundamental.
Si f c o f m son irracionales, entonces el espectro resultante será
inarmónico. El resultado para el oyente, que no será capaz de fundir los
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sonidos en una resultante armónica se traduce una amplia paleta de timbres
brillantes y vibrantes, incluyendo tañidos de campana y similares. Estos
espectros inarmónicos, tienen al menos el doble de los componentes en
frecuencia de un espectro armónico, y en caso de bandas reflejadas pueden
obtenerse efectos de trémolos y de chorus
Figura 4.3. Ejemplo de espectro inarmónico creado por reflexión de
bandas laterales.
Para espectros armónicos, habrá usualmente implicada una
frecuencia fundamental, aunque no necesariamente ha de ser la frecuencia
de portadora. Para que sea así, f m debe ser mayor o igual que 2 f c , ya que
de este modo, todas las frecuencias negativas reflejadas serán superiores a
f c y ésta será considerada como el tono fundamental.
No obstante, el timbre percibido por el oyente no está determinado
solamente por las frecuencias presentes, sino también por sus amplitudes
relativas. Las bandas superior e inferior tienen amplitudes simétricas. La
amplitud de cada parcial se calcula en base al índice de modulación β (t )
que puede suponerse constante sobre el intervalo de tiempo sobre el que se
calcule el espectro β (t ) = β .
La amplitud de cada parcial f c ± nf m es J n ( β ) donde J n es la función
de Bessel de orden n, de modo que el espectro puede describirse
analíticamente por:
Y ( f ) = Ac
∞
∑J
n = −∞
n
( β )δ ( f c + nf m )
(4.8)
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Lo que significa que en el dominio del tiempo, la ecuación de
síntesis puede escribirse como:
y (t ) = Ac
∞
∑J
n = −∞
n
( β ) sin((ω c + nω m )t )
(4.9)
Figura. 4.4. Funciones de Bessel de distinto orden
Para β =0, es decir sin modulación, la portadora tiene toda la energía
y no hay parciales. Conforme I aumenta, la portadora pierde fuerza y
aumenta la energía de los parciales. Una estimación de cuantos parciales
serán audibles para un valor dado de β es β +1, donde β se redondea al
entero más cercano. Los valores de la amplitud pueden ser negativos.
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Figura. 4.5. Ejemplo de bandas laterales para β =1
Figura 4.6. Ejemplo de bandas laterales para β =4
En general, conforme β aumenta, podemos inferir que mayor
cantidad de frecuencias serán audibles. Esto puede ser un verdadero
problema para síntesis digital, donde las bandas superiores podrían alcanzar
la frecuencia de Nyquist y producir aliasing. Dado que la señal FM no está
limitada en banda, la mayoría de sintetizadores digitales tienen un límite en
el máximo valor de β .
Uno de los inconvenientes de la síntesis FM es que la simetría lineal
en las amplitudes de las bandas superior e inferior. El oído humano
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requiere más energía en las frecuencias inferiores para ser consideradas de
un determinado volumen que para frecuencias superiores. Por consiguiente,
la síntesis FM clásica parece estar sobrecargada en los agudos, y los bajos
suenan débiles. Esto puede subsanarse empleando técnicas más complejas
como la modulación previa de la moduladora o del propio índice de
modulación.
Mediante la técnica de síntesis FM pueden crearse espectros más
complejos sin más que aumentar el número de portadoras o de
moduladoras.
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Síntesis AFM
Como se dijo anteriormente, la simetría entre las bandas inferior y
superior de la síntesis FM clásica supone una limitación al grado de control
de la forma de la amplitud espectral deseada para la forma sintetizada.
Mediante una sencilla modificación en la ecuación de la síntesis FM clásica
podemos introducir cierta asimetría. Tomando de la ecuación Ec. 4.9.
y (t ) = Ac sin(ω c t + β sin(ω m t )) = Ac
∞
∑ Jn(β ) sin(ω t + nω
n = −∞
c
m
t)
Introducimos el un factor multiplicativo r n , sobre la amplitud de los
armónicos del espectro.
∞
∑r
n = −∞
n
J n ( β ) sin(ω c t + nω m t )
(4.10)
En la siguiente figura pueden verse las diferentes formas del espectro
para valores de r de 0.4 a 4.
Figura 4.7. Envolventes del espectro AFM para distintos valores de r
Puede verse, que conforme r aumenta, la envolvente del espectro se
desplaza hacia la derecha, lo que explica la ventaja de la síntesis AFM
sobre la FM convencional. El pico de la envolvente coincide con la
frecuencia de portadora cuando r alcanza el valor 1, ya que en este caso
AFM coincide con FM.
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Dos Portadoras
Además del espectro general, otra característica muy importante del
sonido es la presencia de formantes. Los formantes describen ciertas
regiones del espectro donde tienen lugar resonancias fuertes y pueden
localizarse como picos en la envolvente del espectro.
En la síntesis FM, los picos en la envolvente espectral pueden
controlarse usando un oscilador de portadora adicional. En el caso de un
único oscilador, el espectro generado estará centrado en torno a una
frecuencia formante. Cuando se añaden dos señales, sus espectros pueden
combinarse. Si el mismo oscilador se usa para modular ambas portadoras
(aunque usando distinto índice de modulación), y las frecuencia del
segundo oscilador es múltiplo entero de la del primero, el espectro de
ambas señales puede combinarse de modo que solapen las componentes
creándose un pico formante en la frecuencia del segundo oscilador.
En la figura, ambas portadoras son moduladas por el mismo
oscilador con frecuencia f m . El índice de modulación para la primera y
segunda portadora es β 1 β 2 . El valor β 2 es normalmente menor que β 1 , de
modo que el cociente β 2 / β 1 es pequeño y el espectro no se extiende más
allá de la región del formante
La frecuencia de la segunda portadora f c 2 se elige de manera que sea
un armónico, es decir, múltiplo entero de la frecuencia fundamental f o (que
normalmente coincidirá con la frecuencia de la primer portadora f c1 ) y que
además esté lo más cercana posible a la deseada frecuencia formante f f .
f c 2 = nf o = int(
ff
fo
+ 0.5) f o
(4.11)
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De esta manera aseguramos que la frecuencia de la segunda
portadora está armónicamente relacionada con la de la primera. Si f o varía,
la frecuencia de la segunda portadora permanecerá lo más cercana posible a
la deseada frecuencia formante f f y a la vez seguirá siendo un múltiplo
entero de f o .
Figura 4.8. Síntesis FM con dos portadoras para la obtención de
formantes.
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Dos Moduladoras
Así como puede aumentarse el número de portadoras, también puede
hacerlo el de moduladoras. Para conseguir una mayor variedad espectral, la
forma de onda moduladora puede consistir en la suma de varias sinusoides
Si la frecuencia de portadora es f c y las frecuencias moduladoras son
f m1 y f m 2 , el espectro resultante contendrá componentes de frecuencia en
los valores f c ± if m1 ± kf m 2 , con i,k enteros. Además existen múltiples
combinaciones de las parejas i,k que proporcionan la misma frecuencia, de
modo que la amplitud final será la resultante de todas las contribuciones a
esa frecuencia.
Los índices de modulación serán en general distintos para cada
componente, β 2 β 1 . La amplitud de la banda lateral Ai ,k viene dada por el
producto de las funciones Bessel:
Ai , k = J i ( β 1 ) J k ( β 2 )
(4.12)
Análogamente al caso de una moduladora simple, las frecuencias
negativas se reflejan con un cambio de signo en la amplitud que puede
contribuir a la cancelación total o parcial de ciertas componentes.
La DFM (Double Frequency Modulation) proporciona un método
alternativo de síntesis digital, en el que las frecuencias armónicas pueden
ser generadas a partir de dos frecuencias dadas y ofrece otra alternativa
para generar espectros asimétricos con menor coste computacional que
AFM.
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Síntesis FM para sonidos de piano.
Para sintetizar un sonido de piano, es necesario crear una señal con
armónicos que no sean múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. El
índice de inarmonicidad del n-ésimo parcial del sonido de una nota del
piano f n , puede expresarse como, a partir de la ecuación Ec. 2.3. como
In =
fn
= 1 + Bn 2
nf 0
(4.13)
Donde B suele ser del orden de una centésima de semitono.
Usando una serie de términos moduladores, cada uno con un índice
de modulación relativamente pequeño, de manera que cada uno solo genere
una frecuencia en cada banda lateral pero en una frecuencia de modulación
que no esté armónicamente relacionada con la fundamental, podemos
sintetizar un sonido de piano.
Síntesis PD
Este modelo de síntesis fue usado ampliamente en los teclados Casio
que aparecieron a mediados de los 80 y superaba algunas limitaciones de
los sintetizadores Yamaha que usaban su modelo patentado de síntesis FM
La síntesis PD es en muchos aspectos similar a la síntesis FM, pero
las operaciones fundamentales realizadas en la forma de onda no son las
mismas. En concreto, la síntesis PD provoca una distorsión en la fase de la
onda portadora de forma periódica. En la síntesis FM, la frecuencia de la
onda portadora está modulada por otro oscilador. En el caso de PD, la
forma de onda no está modulada por otro oscilador, sino distorsionada por
algún tipo de algoritmo de forma de onda arbitraria como pueden ser ondas
cuadradas, triangulares, ruido blanco, etc.
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Otros métodos no lineales
Otro método basado en la distorsión no lineal de una señal de entrada
es el método Le Brun. Este consiste básicamente en implementar un
mapeado de la señal sinusoidal x(n) con una función arbitraria de distorsión
w. La función w es almacenada una tabla y es indexada con x(n) para
producir y(n) en el mismo rango [-1,1].
Los armónicos producidos pueden ser controlados usando
polinomios de Chebyshev como funciones de distorsión. De hecho,
utilizando polinomios de Chebyshev de orden n, se obtienen sinusoides
puras de frecuencia n. Por consiguiente, usando una combinación lineal de
polinomios de Chebyshev como funciones de distorsión, pueden controlarse
exactamente las amplitudes de los distintos armónicos. Además la señal
puede limitarse en banda evitando así el aliasing.
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4.1.2. Métodos lineales
Los modelos lineales como la síntesis aditiva o sustractiva tienen
como objetivo construir la señal usando representación en frecuencia,
buscando emular el proceso de la percepción humana que analiza las
señales de audio de acuerdo a sus contenidos espectrales. Una amplia gama
de sonidos pueden producirse usando estas técnicas, pero generalmente, un
gran número de parámetros es necesario para la descripción del sonido.
La linealidad de dichos modelos les confiere una gran versatilidad
aunque puede suponer un inconveniente para modelar sonidos de
naturaleza fuertemente no-lineal.
Síntesis aditiva
Síntesis granular
Modelos lineales
Síntesis SMS
Síntesis sustractiva
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Síntesis aditiva
La síntesis aditiva es una de las más simples e intuitivas de estas
técnicas espectrales. Se basa en el Teorema de Fourier según el cual
cualquier forma de onda periódica puede ser modelada como suma de
sinusoides con distintas amplitudes y frecuencias. La síntesis aditiva fue de
las primeras técnicas de síntesis utilizadas en la elaboración de música
sintética. Uno de los primeros trabajos sobre el tema fue publicado por el
profesor James A. Moorer en la revista Computer Music Journal.
Este método persigue la construcción un tono complejo mediante la
suma de sonidos elementales, generalmente sinusoides moduladas en
amplitud y en frecuencia. Puede interpretarse como un método para
modelar el espectro variante en el tiempo de un tono mediante un conjunto
de líneas discretas en el dominio de la frecuencia. Se necesitan tres
funciones de control para cada oscilador sinusoidal: amplitud, frecuencia y
fase de cada componente. En muchos casos, la fase puede dejarse a un lado
y la señal de salida puede representarse como:
y ( n) =
M −1
∑ A (n) sin[2πF (n)]
k =0
k
k
(4.14)
Donde y es la señal de salida, M es el número de osciladores
sinusoidales, Ak (n) y Fk (n) son la amplitud variante en el tiempo del késimo parcial y su frecuencia respectivamente. Para sonidos periódicos o
cuasi-periódicos, estos componentes tienen frecuencias que son múltiplos
de una frecuencia fundamental. Mediante métodos de análisis de Fourier,
se puede descomponer el sonido a modelar en una suma de señales
sinusoidales. Las amplitudes y frecuencias necesarias pueden determinarse
usando la STFT de la señal original (Transformada de Fourier de corto
plazo)
Una ventaja de este método es la flexibilidad y el potencial para
modificaciones dinámicas del sonido. Pero su inconveniente es el alto
número de parámetros de control. Con objeto de evitar eso, se ha
desarrollado una técnica de síntesis aditiva de grupos. En esta técnica, los
parciales son agrupados en torno a una frecuencia común y a una
envolvente de amplitud. Estos parciales agrupados se combinan para
formar tablas de onda.
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Síntesis granular
Otra técnica de síntesis lineal es la síntesis granular. Se basa en
sintetizar sonidos a partir de pequeños elementos de señal en el dominio del
tiempo llamados sonidos atómicos o granos. Estos granos pueden tener una
duración comprendida entre un milisegundo y más de cien. Los métodos de
síntesis granular pueden ser clasificados en función de cómo los granos son
obtenidos.
En la síntesis granular asíncrona (AGS), los granos son dispersados
sobre una región en el dominio de la frecuencia denominada nube. Los
granos pueden tener formas de onda similares o diferentes. La forma de
onda puede ser una sinusoide enventanada, una señal muestreada o bien
obtenida mediante un modelo físico.
En la síntesis granular síncrona de Pitch (PSGS), los granos se
obtienen de la STFT de la señal original. La longitud de la ventana
rectangular usada en la STFT es el periodo del sonido sintetizado, y cada
grano corresponde por tanto a un periodo de la señal.
Esta técnica de síntesis se usa para conseguir efectos interesantes y
sonidos derivados pero no para sintetizar los propios sonidos de piano.
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Síntesis por modelado de espectro
La síntesis por modelado de espectro o SMS, es un método que
busca sintetizar el sonido añadiendo separadamente los componentes
deterministas y estocásticos. El componente determinista del sonido se
obtiene calculando en primer lugar la STFT de cada porción enventanada
de señal. A partir del espectro complejo obtenido por la STFT, los picos
prominentes y sus trayectorias se extraen mediante algoritmos complejos.
El componente estocástico se calcula restando la parte determinista a la
señal original en el dominio de la frecuencia.
Cualquier modelo de síntesis sonora da por supuestas ciertas
características de la forma sonora a sintetizar o del mecanismo de
generación del sonido. El sonido producido por instrumentos musicales
puede ser modelado por la suma de un conjunto de sinusoides a las que se
añade un ruido residual. La componente sinusoidal o determinística,
corresponde normalmente a los principales modos de vibración del sistema.
La componente de ruido representa la energía producida por el mecanismo
de excitación que no se transforma en vibraciones estacionarias o bien otro
tipo de componentes que no son de naturaleza sinusoidal y se modelan
como aleatorias por comodidad. En el caso de sonidos de piano, la
componente sinusoidal es el resultado de los principales modos de
vibración de la cuerda mientras que el ruido caracterizaría la percusión
violenta del martillo contra la cuerda, así como otros comportamientos nolineales del sistema resonante.
La componente determinista queda descrita por una suma de
componentes cuasi-sinusoidales (es decir, sinusoides cuya amplitud y
frecuencia varían de forma suave con respecto a su frecuencia nominal).
Cada sinusoide modela un componente de banda estrecha del sonido
original y queda descrito por una función de la amplitud y de la frecuencia.
La componente estocástica, es decir, el ruido, queda descrito
completamente por su densidad espectral de potencia que proporciona la
potencia de señal frente a la frecuencia. Para las señales estocásticas, no es
necesario tener en cuentas detalles de fase instantánea o valores exactos de
la magnitud.
50
Por consiguiente el modelo completo del sistema puede expresarse
de forma analítica como:
N
s (t ) = ∑ An (t ) cos[θ n (t )] + e(t )
(4.15)
n =1
Donde An (t ) y θ n (t ) son la amplitud instantánea y la fase de la nésima sinuoside respectivamente, y e(t ) es la componente de ruido. El
modelo asume que las sinusoides son armónicos parciales estables del
sonido y que cada uno tiene un cambio suave de amplitud y frecuencia. La
fase instantánea puede derivarse a partir de la frecuencia instantánea como
t
θ n (t ) = ∫ ω n (τ )dτ
(4.16)
0
Donde ωn (τ ) es la frecuencia instantánea de la n-ésima sinusoide.
Para la señal e(t ) , ésta puede ser descrita como un ruido blanco filtrado.
t
e(t ) = ∫ h(t , τ )u (τ )dτ
(4.17)
0
Donde u (τ ) es el ruido blanco y h(t ,τ ) es la respuesta de un filtro
variante en tiempo. La integral representa la convolución de un ruido
blanco con un filtro con una frecuencia de corte determinada.
Este modelo tiene problemas con sonidos que incluyen parciales
ruidosos, como los producidos por el vibrato, donde la frecuencia nominal
no puede determinarse con exactitud. Debido a estos problemas, la
separación entre componente determinista y estocástica es normalmente
complicada, y la implementación de estos procesos debe ser lo
suficientemente flexible para incluir sonidos con estos problemas
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El proceso de generación es parecido al de los codificadores híbridos
de voz que involucran predicción lineal. En la siguiente figura se muestra la
figura de un posible diagrama de implementación
Figura 4.9. Diagrama de implementación del proceso de análisis.
En primer lugar preparamos la próxima sección del sonido a analizar
multiplicando la forma de onda con una ventana de análisis apropiada. El
espectro se obtiene mediante la aplicación de la FFT y los picos
prominentes del espectro son detectados y utilizados en un algoritmo de
decisión que detecta la magnitud, frecuencia y fase de cada uno de los
parciales presentes en el sonido original. Cuando el sonido no es
completamente armónico, como en el caso de sonidos de piano, un paso
previo de detección de pitch puede mejorar el análisis usando la
información de la frecuencia fundamental para elegir el tamaño de la
ventana de análisis.
La componente estocástica de la trama analizada se calcula
generando en primer lugar la señal determinista mediante síntesis aditiva de
los distintos parciales, y luego sustrayéndola de la forma de onda original
en el dominio del tiempo. Esto es posible siempre y cuando haya
concordancia de fase en ambas formas de onda. La representación
estocástica se obtiene mediante un ajuste espectral del cual se obtienen los
parámetros más relevantes.
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Figura 4.10. Diagrama del proceso de síntesis.
En el diagrama superior, la señal determinista, es decir, las
componentes sinusoidales, se construyen a partir de la información de
magnitud y frecuencia para cada parcial mediante síntesis aditiva. Esto
puede ser implementado en el dominio del tiempo con el tradicional banco
de osciladores o bien en el dominio frecuencial utilizando en enfoque
basado en la FFT.
La señal estocástica sintetizada es el resultado de generar una señal
de ruido con las características espectrales obtenidas del módulo anterior.
Dicha señal puede generarse mediante síntesis substractiva que puede
implementarse en el dominio del tiempo mediante una convolución o en el
dominio de la frecuencia partiendo de un ruido blanco y coloreándolo
adecuadamente.
El bloque que recibe el nombre de transformaciones musicales
permite una representación de elementos musicales basados en el análisis.
Teóricamente, su objetivo es controlar todos los parámetros musicales
relevantes del sonido como forma espectral, vibrato, amplitud total y
evolución en frecuencia. Estos parámetros pueden ser extraídos,
modificados y reintroducidos en el sistema antes de que se complete la
síntesis sin perjuicio alguno del sonido resultante. Este proceso puede
implementarse de forma sencilla cuando la entrada es una nota aislada, en
este caso la parametrización musical puede ser bastante completa.
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Síntesis sustractiva
En la síntesis sustractiva, el proceso es el opuesto al utilizado en la
síntesis aditiva. El sonido se construye, eliminando componentes
indeseados a partir de un sonido inicial complejo como puede ser un ruido.
Este método esta íntimamente relacionado con la teoría de filtrado digital.
En su forma más básica, la síntesis sustractiva es un proceso muy
simple en el que intervienen tres elementos: generador, filtro y
amplificador. La fuente o generador puede ser cualquier tipo de sonido
pero suele usarse un ruido de banda ancha. El filtro colorea el ruido
adecuadamente y el amplificador controla el volumen del sonido. El
proceso completo puede emular la característica espectral de un
instrumento.
La síntesis fuente-resonador es un ejemplo de este tipo de síntesis.
Una excitación de banda ancha es filtrada usando filtros resonantes. Esta
aproximación corresponde a lo que sucede en muchos sistemas físicos,
asumiendo que no existe realimentación del resonador a la fuente. Para
modelar sonidos percusivos como el del piano, se suelen hacer dos
aproximaciones: primero, el cuerpo vibrante genera un sonido compuesto
de sinusoides con decaimiento exponencial, segundo, independencia entre
la fuente y los valores de frecuencia. Desde un punto de vista físico, las dos
partes del modelo pueden interpretarse de la siguiente manera: Las cuerdas,
que corresponden a la estructura vibrante son representadas por el filtro
resonante, y el martillo que es el excitador físico, es representado por una
señal de corta duración.
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4.1.3. Métodos de liberación de muestras
Los métodos de liberación de muestras son de los más utilizados en
pianos digitales comerciales. Consiste en reproducir un sonido que ha sido
previamente grabado. Estos métodos son muy precisos a la hora de
reproducir un sonido específico pero no es capaz de reproducir cambios en
las condiciones de ejecución pianística. Los pianos que implementan este
tipo de síntesis, almacenan tonos separados del instrumento en memoria y
los reproducen cuando la tecla es presionada. Varias muestras de una
misma nota son necesarias para simular la modificación del timbre con la
dinámica. Dado que este método requiere una gran cantidad de datos, solo
unos pocos segundos son grabados. Tras el ataque, la forma de onda se
reconstruye mediante repetición de la sección estacionaria del tono. Por
consiguiente la amplitud y la evolución del timbre deben simularse
mediante un generador de envolvente y un filtro variante con el tiempo.
Con objeto de minimizar el espacio en memoria, solo se almacenan notas
cada 3 ó 4 semitonos. El resto de tonos se obtienen mediante
desplazamiento del pitch o pitch shifting.
El inconveniente de estos métodos es que el sonido inmediato al
ataque de la tecla suena bastante artificial. Además las técnicas de
compresión utilizadas para almacenar tal cantidad de datos tienden a
degradar la calidad del sonido percibido. No obstante, muchos pianos de
gama alta utilizan esta técnica. El concepto es sencillo y la implementación
del algoritmo relativamente simple. El problema es que mediante esta
técnica se sintetizan las notas separadamente, lo que significa que
fenómenos físicos como la transferencia de energía entre cuerdas, o la
acción del doble escape a la hora de ejecutar notas repetidas no son tenidos
en cuenta. Este método ha sido implementado con éxito durante mucho
tiempo, ya que el pianista no puede actuar sobre el sonido una vez que la
tecla es golpeada, lo cual favorece bastante a esta filosofía de síntesis. Sin
embargo, dada su naturaleza estática, es incapaz de recrear esa interacción
tan profunda entre pianista e instrumento que crea su propio tono personal,
más allá de la simple recreación de un sonido invariable y carente de vida.
55
Síntesis PCM o Wavetable
En la síntesis PCM o Wavetable (tabla de onda), los sonidos
muestreados se almacenan directamente tras un cuantificador PCM sin
ningún tipo de codificación, por lo que su tamaño en memoria es elevado.
De hecho, los sistemas que implementan síntesis PCM tienen como
parámetro más crítico el espacio en memoria y por tanto, todos los
esfuerzos de desarrollo en esta síntesis han tenido como objeto último
optimizar dicho espacio. No obstante, con el abaratamiento de los
dispositivos de memoria y las nuevas tecnologías, cada vez más reducidas,
de almacenamiento de memoria, éste suele ser un problema cada vez
menos importante, por lo que la síntesis PCM se ha impuesto sobre las
demás en la mayoría de modelos comerciales.
Repetición en Bucle y Generación de Envolvente
Una de las técnicas usadas en sintetizadores basados en tabla de onda
para ahorrar espacio en memoria, es el looping o repetición mediante bucle
de pequeños fragmentos muestreados del sonido de un piano.
Para el piano, el sonido puede ser modelado, como ya se discutió en
el análisis del mecanismo del piano, mediante dos secciones principales.
Un régimen transitorio inmediatamente posterior al ataque de la tecla y un
régimen permanente con un tono sostenido de menor volumen. En la
sección transitoria o parte inicial del sonido, la amplitud y las
características espectrales del sonido pueden cambiar muy rápidamente. En
la sección permanente, por el contrario, las características del sonido
poseen menos cambios de forma dinámica.
La figura muestra una forma de onda del sonido de un piano con las
secciones transitoria y permanente indicadas. En este ejemplo las
características espectrales de la forma de onda permanecen constantes a lo
largo de la sección permanente, mientras que la amplitud decrece a una tasa
aproximadamente constante. Este ejemplo no es realista, pues en pianos
auténticos, tanto las características espectrales como la amplitud continúan
cambiando durante toda la emisión del sonido.
56
Figura 4.11. Secciones Permanente y Transitoria de un sonido de piano.
El looping o repetición en bucle se realiza a partir de un pequeño
segmento, típicamente dos periodos de la sección permanente con el fin de
ahorrar espacio en memoria, que suele ser el factor más limitante en los
instrumentos que implementan este tipo de síntesis.
Figura 4.12. Repetición en bucle de una muestra
57
Para simular el decaimiento de la amplitud de la señal, se utiliza un
filtro de ganancia variable con el tiempo. La envolvente de amplitud de un
sonido de piano, puede modelarse como un filtro de ganancia lineal a
trozos. El más usado es el modelo ADSR (Attack-Decay-Sustain-Release)
consistente en 4 trozos lineales correspondientes a la fase de Ataque,
Decaimiento, Sostenido, y Liberación.
Figura 4.13. Típica envolvente de amplitud ADSR.
La sección Attack o de ataque simula el efecto provocado por la
colisión del martillo con la cuerda. En esta sección tiene lugar un aumento
rápido de la amplitud a partir del nivel mínimo como consecuencia de la
generación del sonido. Las secciones Decay y Sustain, son ambas secciones
de decaimiento progresivo del tono de piano como consecuencia de las
pérdidas de energía producidas por la vibración del instrumento. La
diferencia entre ambas tiene como objeto separar la sección transitoria de la
permanente, ya que, como se vio en el capítulo 2, ambos sonidos son de
naturaleza muy diferente. En este sentido merece la pena comparar la
envolvente ADSR con la curva de presión sonora de la figura 2.6. en la
cual se muestra la diferencia de comportamientos en relación a los distintos
modos y al acoplamiento entre cuerdas.
58
Figura 2.6. Presión sonora frente al tiempo para un tono de piano.
La sección Release, o de liberación, implementa el efecto de retirar
el dedo de la tecla o bien de bajar los apagadores, en caso de que el pedal
derecho estuviera accionado.
Figura 4.14. Envolvente ADSR aplicada a la forma de onda resultante.
Un sistema típico de síntesis por tabla de onda almacena datos
muestreados de la sección de ataque y de la sección permanente del sonido
de piano. El sonido inicial es reproducido solamente una vez, mientras que
el sonido permanente se repite mediante un bucle hasta que termina la nota.
La longitud de las secciones de Ataque y Decaimiento de la envolvente
59
generalmente son fijas para un instrumento concreto, mientras que las otras
suelen ser configurables por el usuario
Longitud de Bucle
La longitud del bucle, medida en número de muestras debe ser igual
a un número entero de periodos del tono fundamental del sonido
reproducido. En caso contrario se obtiene un indeseable desplazamiento del
pitch. En la práctica la longitud del segmento de bucle para un piano suele
ser de varios periodos con respecto a la frecuencia fundamental del tono
generado.
Edición de Muestras y Procesamiento
Existe un cierto número de procesos de edición y procesamiento de
las muestras para preparar los sonidos muestreados previo a su utilización
en un sistema de síntesis por tabla de onda.
En primer lugar, es necesario alinear los extremos del segmento de
muestra a repetir en bucle para que sean compatibles. Si la amplitud y la
pendiente de la forma de onda al comienzo del segmento no se corresponde
con la del final, aparecerá un ruido indeseable o glitch durante la
reproducción del bucle.
En segundo lugar, es necesario un procesamiento adicional para
comprimir el rango dinámico del sonido con el fin de mejorar la relación
señal/ruido. Esta relación está determinada por el tamaño de palabra
(número de bits por muestra) y por la amplitud de la señal digitalizada. Los
sonidos de piano alcanzan su amplitud de pico muy rápidamente y de
forma inmediata comienza a decaer lentamente. Como es sabido, la
sensibilidad del oído se ajusta dinámicamente al nivel de señal, así que
incluso para un tamaño de palabra pequeño, el nivel de ruido se enmascara
cuando el nivel de señal está cercano a la máxima amplitud. Sin embargo,
conforme el nivel de señal decae, el oído se vuelve más sensible y el nivel
de ruido parecerá incrementarse. Usar un gran tamaño de palabra de
memoria, reduce el ruido de cuantización pero aumenta también el espacio
a utilizar en memoria.
Por tanto, se utilizan técnicas de compresión para mejorar la relación
señal/ruido de cuantización que consisten en reducir el rango dinámico de
las muestras de sonido almacenadas en memoria. Los datos muestreados
son descomprimidos durante la reproducción para restaurar el rango
60
dinámico de la señal. Esto permite el uso de muestras con una longitud
menor de palabra de memoria. Existen diferentes técnicas de compresión
que pueden ser usadas para comprimir el rango dinámico de una señal.
Además existe un cierto efecto de compresión inherente en la técnica
del looping descrita anteriormente, ya que si el procesador y el convertidor
A/D usados en la reproducción tienen un rango dinámico mayor que el
disponible en memoria, la aplicación de una envolvente de decaimiento
tendrá un efecto similar a la descompresión mencionada en el párrafo
previo.
Desplazamiento del Pitch (Pitch Shifting)
Con el fin de optimizar el espacio en memoria disponible, los
sistemas de síntesis por tabla de onda utilizan técnicas de desplazamiento o
transposición del pitch, o frecuencia fundamental del tono, para generar
diferentes notas a partir de un único sonido muestreado. Por ejemplo, si una
célula de memoria contiene el sonido muestreado del Do central de un
piano, esta misma muestra puede usarse para generar Do# o Re, es decir
sonidos situados uno o dos semitonos sobre la nota muestreada.
El desplazamiento de pitch se consigue accediendo a la muestra
almacenada a diferentes tasas. Por ejemplo, si se reproducen las muestras
de una en una, secuencialmente obtendremos el pitch original, mientras que
si se reproducen de dos en dos, el pitch resultante tendrá una frecuencia
doble que la original y por tanto el sonido percibido será una octava
superior.
En el ejemplo anterior, el puntero que accede a memoria se
incrementa solo un número entero de muestras (de una en una, o de dos en
dos). Esto permite solamente un número limitado de desplazamientos en
memoria. En un caso más general, el puntero a memoria podría constar de
una parte entera y una parte fraccional y el incremento podría ser un
número fraccionario de muestras. El puntero a memoria se denomina a
menudo acumulador de fase, y el valor del incremento, incremento de fase.
Por ejemplo, si el valor del incremento de fase fuera de 0.5, el tono
decrementaría una octava. Para un incremento de fase de 12 2 (1.05946), la
frecuencia del tono se incrementaría en un semitono.
61
Evidentemente, cuando el valor del incremento no es entero, el valor
deseado se encuentra entre dos muestras disponibles. En la figura se
representa un esquema simplificado de direccionamiento en el cual, tanto la
dirección como el valor del incremento tienen una parte entera y
fraccionaria de 4 bits. En el ejemplo, el valor del incremento es 1.5
muestras. Los sistemas más simples simplemente ignoran la parte
fraccional de la dirección cuando determinan el valor a enviar al
convertidor analógico digital. Un diagrama de un sistema simple puede
verse en la siguiente figura
Figura 4.15.
interpolación.
Esquemas
de
direccionamiento
para
sistemas
sin
Supongamos que la nota almacenada es Do. Para averiguar el tono
resultante de multiplicar la frecuencia por 1.5, calculamos en cuántos
semitonos hemos de aumentar la frecuencia original para lograr una
frecuencia 1.5 mayor.
(12 2 ) n = 1.5
62
Donde, tomando logaritmos y redondeando al entero más próximo,
se obtiene:
n=
log 1.5
log 12 2
= 7.01955 ≈ 7
Un aumento de 7 semitonos significa que la nota generada a partir
del Do inicial es Sol. En este caso se podría haber deducido directamente a
partir del incremento
3
que corresponde uno de los intervalos básicos, en
2
concreto al intervalo de quinta justa.
Sin embargo, los sistemas más sofisticados, pueden realizar algún
tipo de interpolación matemática entre los datos disponibles para obtener
un valor más adecuado a reproducir. La precisión en frecuencia será la
misma en ambos casos, pero la salida estará severamente distorsionada en
los sistemas que no usen interpolación
Figura. 4.16. Esquema de direccionamiento con interpolación
Existen diferentes algoritmos para interpolar entre dos valores de
muestras. El más simple es interpolación lineal, consistente en la media
ponderada de las dos muestras más cercanas, con la parte fraccional de la
dirección usada como constante de ponderación. Por ejemplo si el puntero
63
de dirección indica una dirección de (n + K ) , donde n es la parte entera y K
la fraccional, entonces el valor interpolado puede ser calculado como:
s (n + k ) = (1 − K ) s (n) + ( K ) s (n + 1)
(4.18)
Donde s(n) es la muestra n-ésima de la señal. Aunque pueden
utilizarse técnicas más sofisticadas de interpolación para reducir la
distorsión, éstas suelen ser costosas computacionalmente y no suelen
utilizarse más que en instrumentos de alta precisión.
Otra técnica utilizada para suavizar el desplazamiento del pitch es el
sobremuestreo (Oversampling). De esta forma, los datos interpolados
durante la reproducción estarán más cercanos al valor real, debido al
incremento en el número de puntos para representar la forma de onda.
Evidentemente, esto tiene un alto coste en términos de requerimientos en
memoria.
En muchos casos, la mejor aproximación consiste en utilizar
interpolación lineal combinada con varios grados de sobremuestreo en los
casos que sean necesarios. La interpolación lineal proporciona una
precisión razonable en la mayoría de los casos, mientras que para los tonos
que necesiten mayor precisión, como por ejemplo en los agudos, se emplea
sobremuestreo. El efecto combinado de ambos puede producir excelentes
resultados
Divisiones (Splits)
Cuando el pitch de un sonido muestreado se modifica mediante
desplazamiento, el timbre del sonido también se ve afectado. El efecto pasa
desapercibido para pequeños cambios en el pitch, del orden de unos pocos
semitonos. Pero para un gran desplazamiento del pitch, la distorsión es
considerable. Así que para obtener un sonido natural de piano, y cubrir el
rango completo del instrumento, es necesario tomar un número diferente de
muestras, de forma que cada una cubra un rango de notas. La
implementación resultante se conoce a menudo como instrumento
multimuestreado. Esta técnica puede concebirse como un teclado dividido
en distintos campos, con una nota representativa para cada campo. Cada
uno de estos campos se conoce como división o split
El término división en velocidad o Velocity Splits hace referencia al
uso de diferentes muestras para diferentes velocidades de nota (p, mf, f), de
forma que una muestra se utiliza para una nota particular cuando es tocada
64
suavemente (p), mientras que una muestra diferente se utiliza para la
misma nota si es tocada a gran dinámica (f). Esta técnica no suele utilizarse
en pianos de gama baja debido al coste en memoria, aunque se incluye en
casi todos los de la gama media y alta.
Ruido de Aliasing
Las técnicas de interpolación para desplazamiento del pitch descritas
anteriormente también pueden resultar en la introducción de ruido de
aliasing en el sonido del piano. La generación de ruido de aliasing, y no
solo la distorsión del timbre, puede también limitar la cantidad de
desplazamiento de pitch que puede aplicarse a un sonido muestreado. Los
sonidos ricos en contenido armónico a alta frecuencia (como los sonidos en
forte) tendrán generalmente más problemas con ruido de aliasing. Un
filtrado paso-bajo aplicado tras la interpolación puede ayudar a eliminar el
indeseado efecto del ruido de aliasing así como las técnicas de
sobremuestreo.
Multicapa (Layering )
El término Layering hace referencia a una técnica en la cual se
utilizan múltiples sonidos para cada nota. Se utiliza en pianos de gama alta
para generar sonidos de gran riqueza.
Filtrado digital
Como se mencionó previamente, el filtrado paso-bajo puede ser
utilizado para eliminar ruido generado durante el proceso de
desplazamiento de pitch. Existen también otras aplicaciones del filtrado
digital en la generación del timbre para mejorar el sonido resultante. En
estas aplicaciones, la implementación del filtro es polifónica, es decir, que
un filtro distinto es implementado para cada voz y que debe ser ajustable
dinámicamente en parámetros como su frecuencia de corte o su factor de
calidad
Como ya sabemos, para el sonido del piano, el carácter del tono
cambia drásticamente en función del nivel de amplitud, siendo muy
brillante en los tonos fuertes y más suave en los débiles. Esto puede
solucionarse con la técnica de división en velocidad comentada
anteriormente, pero también pueden usarse filtrado digital implementando
un filtro paso de baja con una frecuencia de corte que varíe en función de la
velocidad de la nota. Este filtro digital ajusta dinámicamente el espectro en
65
frecuencia de la señal resultante en función de la velocidad de la nota,
permitiendo una recreación muy eficaz de este efecto pianístico tan
importante.
Otra importante aplicación del filtrado digital es el suavizado de las
transiciones entre muestras. Como se comentó, las muestras almacenadas
llevan incorporado este suavizado haciendo corresponder las muestras
inicial y final de cada segmento. Sin embargo al realizar desplazamiento
del pitch, puede perderse esta correspondencia. Por ello suele utilizarse
algún tipo de filtrado para suavizar este efecto.
También en la técnica de división del teclado, en la frontera entre
divisiones, existen notas provenientes de diferentes muestras. Una de estas
muestras ha sido generada aumentando el pitch mientras que la otra puede
provenir de una disminución del pitch, y por tanto el timbre de cada nota
puede ser significativamente diferente. Este problema puede aliviarse,
empleando un filtro digital que use el número de nota para controlar las
características del filtro. Dichas características se diseñan para compensar
el desplazamiento del pitch asociado con la división del teclado en splits.
66
4.2. Modelos físicos
Al contrario que los modelos de señal, que buscan modelar la señal
resultante, la principal característica de los modelos físicos es que
describen los sistemas de generación del sonido con respecto a su
comportamiento físico. Dichos sistemas pueden reconstruirse bien a partir
del conocimiento de las leyes físicas que gobiernan las partes vibrantes del
sistema y expresándolas como ecuaciones diferenciales, o bien
directamente a partir del comportamiento de la solución de la solución de
dichas ecuaciones.
Existen dos razones fundamentales para utilizar modelos físicos de
señal. Una es la comprensión del fenómeno físico involucrado en la
producción del sonido y otra es la síntesis misma del sonido. Pero si el
propósito es modelar un piano real y reproducir su tono lo más fielmente
posible, estas dos motivaciones están inexorablemente relacionadas y la
precisión del sonido sintetizado validará el diseño del modelo físico.
Los modelos físicos dan una respuesta realista a la interacción del
pianista, dado que los parámetros del modelo están directamente
relacionados con las características físicas del instrumento y por
consiguiente con la gesticulación del pianista. Estos modelos son
generalmente complicados y requieren un elevado coste computacional.
Un problema añadido del modelado físico es que, para cada
instrumento, se necesita un modelo completamente nuevo para producir un
sonido realista. Si los fabricantes quieren ofrecer una amplia variedad de
instrumentos, necesitan sistemas hardware más flexibles, como puede ser
un dispositivo de propósito general, es decir un ordenador, con los
consiguientes problemas de síntesis en tiempo real, debido a la gran
cantidad de parámetros a procesar.
Los músicos experimentados querrán tener control total sobre el
instrumento, para conseguir interpretaciones realmente expresivas, pero los
amateurs prefieren crear sonidos convincentes sin necesidad de años de
práctica. Este problema limita por ahora el modelado físico a sintetizadores
especialitos más que a módulos de propósito general, panorama que puede
cambiar con la creciente velocidad de crecimiento de la potencia de los
procesadores.
67
4.2.1. Método de diferencias finitas
El primer método usado en modelado físico estaba basado en
ecuaciones de diferencias finitas. El principio básico era obtener la
ecuación matemática que describe el movimiento vibratorio y resolverla en
un conjunto finito de puntos. La ecuación en diferencias finitas así obtenida
simula la propagación de las ondas en el sistema. Hiller y Ruiz son los
primeros en proponer el primer método de diferencias finitas para
propósitos de síntesis de sonido. Chaigne y Askenfelt, proponen uno de los
modelos más realistas de cuerda de piano percutida, combinando el trabajo
de Hiller y Ruiz con un modelo no-lineal de martillo. Un modelo más
completo de piano, tomando en consideración la tabla de armonía fue
presentado por Hikichi y Osaka.
Descripción del fenómeno sonoro
El piano es un ejemplo de cuerda golpeada de forma no lineal. La
descripción física es simple en el sentido de que sólo la velocidad del
martillo constituye una variable de control cuando la cuerda es golpeada,
puesto que el dedo que presiona la tecla no tiene conexión mecánica
significativa con el martillo una vez que éste es lanzado hacia la cuerda.
Este hecho es el responsable de que el sistema MIDI proporcione una
representación suficiente para describir la ejecución pianística, ya que la
dimensionalidad del control (dejando a un lado los pedales), se confina a un
grado de libertad por tecla, el parámetro velocidad.
Las cuerdas del piano, son uniformes, bastante tensas y con un
terminación casi rígida. Por tanto, se comportan de modo altamente lineal
bajo condiciones normales de ejecución. El modelo de guiaonda digital
para modelado de cuerdas resulta por tanto muy conveniente para una
cuerda de piano individual. Sin embargo, otros factores nada despreciables
como la rigidez de las cuerdas o el acoplamiento entre las mismas
incrementan el coste de la implementación. Menos importante es la
existencia de los dos modos de vibración longitudinal y transversal, así
como el acoplamiento entre todas las cuerdas cuando el pedal derecho está
activado.
Con el fin de simplificar el sistema, tomaremos inicialmente en
consideración solamente las vibraciones en el plano vertical para una sola
cuerda por tecla. Por supuesto, en un sistema de alta calidad, debe
68
implementarse el número apropiado de cuerdas dado que proporcionan
efectos sonoros importantes en el sonido pianístico.
La tabla de armonía y la caja de madera pueden considerarse
ampliamente lineales e invariantes en el tiempo. Sin embargo, al ser
grandes objetos vibrantes, poseen más modos resonantes en el rango de
audición que los objetos pequeños. Por tanto la propagación en la tabla de
armonía así como en el recubrimiento no puede confinarse a una sola
dimensión como en la cuerda.
A pesar de que sólo la velocidad es necesaria para especificar el
estado del martillo antes de golpear la cuerda, la colisión es altamente nolineal, debido a la rigidez no-lineal de los martillos, que ya se discutió en la
primera sección.
Ecuación de la cuerda vibrante
En la figura se muestra un esquema de la cuerda vibrante de un piano
Figura 4.17. Cuerda vibrante ideal
La ecuación de ondas para la cuerda vibrante ideal (sin pérdidas,
lineal y flexible) es:
Ky ′′ = ε&y&
(4.19)
Donde K es la tensión de la cuerda, ε es la densidad lineal de masa,
y es el desplazamiento de la cuerda desde su nivel de equilibrio y las
derivadas representan:
y = y (t , x)
y& =
∂
y (t , x)
∂t
y′ =
∂
y (t , x)
∂x
69
La ecuación de ondas Ec. (4.19), puede interpretarse a la luz de la
segunda ley de Newton F = ma , en una escala microscópica. Dado que
estamos interesados en las vibraciones transversales de la cuerda, la fuerza
recuperadora relevante (por unidad de longitud) viene dada por la fuerza
restauradora de los materiales elásticos, es decir, F = Ky ′′ . Es proporcional
a la tensión de la cuerda K y depende del desplazamiento con respecto al
nivel de equilibrio. Esta fuerza recuperadora es equilibrada en todos los
puntos por la fuerza inercial por unidad de longitud de la cuerda que viene
dada por la ley F = ε&y& , donde &y& no es más que la aceleración transversal y
ε la densidad de masa.
Para crear un modelo computacional a partir de una ecuación
diferencial, aplicamos la aproximación de diferencias finitas, mediante el
cual, la diferenciación se sustituye por una diferencia finita.
y& (t , x) ≈
y (t , x) − y (t − T , x)
T
(4.20) y ′(t , x) ≈
y (t , x) − y (t − T , x)
X
(4.21)
Donde T es el intervalo de muestreo temporal usado en la simulación
y X es el intervalo de muestreo espacial. Estas aproximaciones pueden
derivarse directamente de la definición de derivada parcial. Las
aproximaciones se vuelven exactas tomando límite cuando los intervalos de
muestreos tienden a cero. Para las derivadas de segundo orden, las
aproximaciones de diferencias finitas se definen como:
y (t + T , x) − 2 y (t , x) + y (t − T , x)
T2
y (t , x + X ) − 2 y (t , x) + y (t , x − X )
y ′′(t , x) ≈
X2
&y&(t , x) ≈
(4.22)
(4.23)
Sustituyendo la aproximación de diferencias finitas o FDA en la
ecuación de ondas se obtiene:
K
y (t + T , x) − 2 y (t , x) + y (t − T , x)
y (t , x + X ) − 2 y (t , x) + y (t , x − X )
=ε
2
X
T2
(4.24)
70
Que puede resolverse obteniendo una fórmula recursiva para el
desplazamiento de la cuerda y:
KT 2
y (t + T , x) =
[ y(t , x + X ) − 2 y(t , x) + y(t , x − X )] + 2 y(t , x) − y(t − T , x)
εX 2
En una implementación práctica, es común tomar T = 1 , X =
(4.25)
K
ε
T, y
evaluar la recursión en los enteros t = nT y x = mX para obtener la ecuación
en diferencias:
y (n + 1, m) = y (n, m + 1) + y (n, m − 1) − y (n − 1, m)
(4.26)
Por consiguiente, para actualizar los valores del desplazamiento de la
cuerda y (n + 1) , necesitamos los valores anteriores en los instantes n y
n − 1 , para cualquier punto m de la cuerda.
La adición a la ecuación de onda de términos correspondientes a
fenómenos de pérdidas y dispersión proporciona más términos de la forma
y (n − l , m − k ) . Estos términos pueden agruparse bajo una forma más general
∞
∞
∑∑α
k =0 l =0
k ,l
∂ k ∂ l y (t , x) ∞ ∞
∂ m ∂ n y (t , x)
= ∑∑ β m,n
∂t k ∂x l
∂t m ∂x n
m =0 n =0
(4.27)
Descomposición de onda viajera
La ecuación de ondas unidimensional Ky ′′ = ε&y& admite como solución
general:
x
x
y (t , x) = y r (t − ) + yl (t + )
c
c
(4.28)
que se conoce como solución de D’Alembert
x
c
Donde c = K ε es la velocidad de onda. yr (t − ) representa la onda
x
c
viajera desplazándose hacia la derecha mientras que yl (t + ) representa la
onda viajera desplazándose hacia la izquierda. Ambas funciones deben ser
doblemente diferenciables.
71
Esta solución tiene la ventaja de que una función de dos variables
y (t , x) ha sido reemplazada por dos funciones de una sola variable en
unidades temporales, lo que reduce notablemente el cálculo computacional.
Además cada onda viajera satisface la ecuación de ondas ideal:
y r′ =
x
∂
x
−1 ∂
−1
y r (t − ) =
y r (t − ) =
y& r
c
c ∂t
∂x
c
c
∂
x 1∂
x 1
yl′ =
yl (t + ) =
yl (t − ) = y& l
∂x
c
c ∂t
c
c
2
1
⎛ 1⎞
y r′′ = ⎜ − ⎟ &y&r = 2 &y&r
c
⎝ c⎠
(4.29)
2
1
⎛1⎞
yl′′ = ⎜ ⎟ &y&l = 2 &y&l
c
⎝c⎠
(4.30)
Por lo que &y& = c 2 y ′′ para ambas ondas viajeras
Una solución para la ecuación de ondas de la cuerda vibrante puede
hallarse mediante una exponencial de la forma:
y (t , x) = e st +vx
(4.31)
Sustituyendo en la ecuación de onda Ec. 4.19. se obtiene:
Ky ′′ = Kv 2 y = ε&y& = εs 2 y
De donde
K
ε
=
s2
= c2
v2
(4.32)
Así que la solución puede escribirse como:
y (t , x) = e s (t ± x c )
(4.33)
Por superposición, una solución más completa es:
y (t , x) = ∑ A ( si )e si ( t − x / c ) + A − ( si )e si ( t + x / c )
+
(4.34)
i
Donde A+ ( si ) y A− ( si ) son funciones arbitrarias de variable compleja.
Tomando s = jw y extendiendo la suma a una integral, tenemos de nuevo la
solución D’Alembert.
x
x
y (t , x) = y r (t − ) + yl (t + )
c
c
(4.28)
72
4.2.2. Síntesis modal
La síntesis modal está basada en la premisa de que cualquier objeto
productor de sonido, puede ser representado como un conjunto de
subestructuras vibrantes, que quedan definidas por su caracterización
modal. Las subestructuras están acopladas entre sí y pueden responder a
excitaciones externas.
Este método es general dado que puede ser aplicado a estructuras de
complejidad arbitraria. Sin embargo, el coste computacional necesario, se
incrementa con rapidez al aumentar la complejidad del sistema lo que
impone serias aplicaciones prácticas a su implementación, sobre todo a la
hora de desarrollar instrumentos musicales en tiempo real.
La caracterización modal para una subestructura dada, consiste en las
frecuencias y los coeficientes de amortiguamiento de los modos resonantes
de la estructura así como la forma de cada uno de esos modos. Un modo
resonante se define esencialmente como un movimiento particular del
sistema en el que cada punto de la estructura vibra con la misma
frecuencia. Cualquier movimiento arbitrario de esa estructura puede ser
expresado como la suma de las contribuciones de cada uno de esos modos.
Los modos son excitados por una fuerza externa aplicada a un punto
dado de la estructura. La energía de excitación se distribuye entre los
modos según la forma de la excitación. Se asume normalmente que no
existe intercambio de energía alguno entre los modos. En la práctica, el
patrón de vibración resultante no puede ser completamente descrito por un
modo único, sino por la suma de infinitas contribuciones. No obstante, para
poder implementar la respuesta numéricamente, la estructura continua debe
ser dividida en un conjunto finito de puntos.
La caracterización modal puede ser obtenida analíticamente para
estructuras vibratorias simples, a partir de las ecuaciones diferenciales que
gobiernan su movimiento. Para estructuras complejas, el cálculo directo de
los datos no es posible y puede utilizarse un análisis basado en medidas
experimentales. Para una estructura mecánica dividida en N puntos, la
velocidad instantánea de cada punto puede calcularse en función de la
contribución de cada modo y de la fuerza externa ejercida. Conocidos
estos, puede calcularse la velocidad de cada punto del sistema lo que
proporciona la respuesta sonora buscada.
73
4.2.3. Guiado digital de Onda
A partir del algoritmo Karplus-Strong (KS) se desarrolla el concepto
de Síntesis por Guiaonda Digital. Este algoritmo es una extensión de la
técnica de síntesis por tabla de onda, donde el contenido de dicha tabla
evoluciona con el tiempo. La tabla de onda cambia cada vez que una
muestra es leída. Un filtro paso de baja implementa el decaimiento del
tono.
Figura 4.18. Implementación del algoritmo KS
La función de transferencia del filtro es
H ( z) =
1
2(1 + z −1 )
(4.35)
Julius O. Smith ha extendido este algoritmo para desarrollar el
concepto de Síntesis de Guiaonda Digital. El enfoque mediante guiaonda
digital, proporciona eficientes modelos computacionales para síntesis de
sonidos de piano. Este método está relacionado con el de las diferencias
finitas pues ambos están basados en la discretización de la ecuación de
onda. La eficiencia de esta técnica reside en el hecho de concentrar todas
las pérdidas y dispersión de la estructura en un único punto (asumiendo que
el sistema es LTI). Las guiaondas digitales han sido desarrolladas
específicamente para síntesis de piano.
74
Guiaonda digital
Una guiaonda digital se define como una línea de retardo
bidireccional de una cierta impedancia de onda R
Figura 4.19. Guiaonda digital. Una simulación muestreada de onda viajera
para ondas propagándose en cuerdas ideales.
Cada línea de retraso contiene una onda viajera acústica muestreada,
una viajando hacia la izquierda y otra hacia la derecha, ya que la vibración
de una cuerda ideal puede describirse como la suma de dos ondas viajeras
en diferentes direcciones. Esta línea de retraso bidireccional o guiaonda
digital puede modelar cualquier sistema acústico unidimensional, como
puede ser la cuerda de un piano. Por supuesto en cuerdas reales, el modelo
unidimensional debe incluir pérdidas y dispersión, lo que puede tomarse en
consideración mediante la inserción de filtrado.
Las variables físicas como presión, fuerza, velocidad…. , se obtienen
sumando componentes de onda viajera como se muestra en la figura:
Figura 4.20. Obtención de una señal física de una guiaonda digital usando
puntos de extracción.
75
La magnitud física buscada se obtiene sumando las dos ondas
viajeras. Una onda viajera en sí misma no tiene significado físico al menos
que la señal en sentido opuesto sea nula. Las ondas viajeras son eficientes
para la simulación, pero no pueden medirse directamente en la realidad
física.
Modelado por guiaonda digital
Para transportar la solución de onda viajera al dominio digital es
necesario muestrear la amplitud de las ondas viajeras a una tasa de
f s = 1 / T muestras por segundo donde T es el periodo de muestreo. La
elección natural para el intervalo de muestreo espacial X es la distancia que
recorre el sonido en un periodo de muestreo T, X = cT . El muestreo se lleva
a cabo formalmente mediante el cambio de variables:
xm = mX
(4.36)
t n = nT
Sustituyendo en la solución de D’Alembert (4.28) tenemos:
y (t n , x m ) = y r (nT − mX / c) + y l (nT + mX / c) =
y r [(n − m)T ] + y l [(n + m)T ] = y + (n − m) + y − (n + m)
(4.37)
Donde hemos llamado y + (k ) = y r (kT ) , y − (k ) = yl (kT )
El término y + (n − m) puede interpretarse como el resultado de un
retraso de m muestras a la señal cuyo valor es y + (n) , mientras que el
término y − (n + m) puede verse como la señal de entrada a una línea de
retraso cuya salida es y − (n) . Esto lleva al siguiente esquema:
Figura 4.21. Simulación digital de una guiaonda sin pérdidas.
76
Dado que y + (n) es la componente que viaja hacia la derecha, le
asignamos el rail superior. Análogamente ocurre para y − (n) . Nótese que la
posición a lo largo de la cuerda xm = mX = mCT está colocada de izquierda a
derecha en el diagrama, dando así una interpretación física a su
horizontalidad.
Finalmente, las ondas viajeras en ambos sentidos pueden sumarse
para generar una salida con significado físico de acuerdo a la fórmula:
y (t n , x m ) = y + (n − m) + y − (n + m)
(4.37)
Por tanto, podemos calcular el desplazamiento físico de la cuerda en
cualquier intervalo de muestreo xm mediante la simple suma de los raíles
superior e inferior, como puede verse en la figura en las posiciones x = 0 y
x = 3 X . El diagrama es similar a las estructuras de filtrado en escalera o
lattice, excepto por los retrasos en el raíl superior, la ausencia de uniones
de scattering, y la interpretación física directa. Para obtener un filtro en
escalera bastaría simplemente con introducir una terminación rígida en el
límite derecho y conmutar los retrasos del raíl superior al raíl inferior.
Cualquier guiaonda ideal unidimensional puede simularse de esta
forma. Es importante advertir que la simulación es exacta en los instantes
de muestreos, dentro de la precisión numérica de las muestras. Para evitar
el aliasing asociado al muestreo, se requiere que todas las formas de onda
que viajan sobre la cuerda sean inicialmente limitadas en banda a la mitad
de la frecuencia de muestreo. En otras palabras, el espectro de las
señales y r (t ) yl (t ) no debe exceder la frecuencia temporal de muestreo
f s = 1 T , así como las frecuencias espaciales no pueden exceder la mitad de
la frecuencia espacial de muestreo.
Un diagrama de simulación más compacto que permite representar
simulaciones de guiaondas tanto muestreadas como continuas se muestra
en la figura. La figura enfatiza que la guiaonda ideal sin pérdida es
simulada por una línea de retraso bidireccional, y que la interpolación
espacial limitada en banda puede usarse para obtener un resultado para una
posición x que no sea múltiplo de cT. La interpolación limitada en banda
sirve además para evaluar la forma de onda en un tiempo arbitrario que no
sea necesariamente un múltiplo de T
77
Figura 4.22. Diseño simplificado de la simulación de una guiaonda ideal
Idealmente, la interpolación limitada en banda se implementa
mediante la convolución de una función sampling sinc(x)= sin(πx) / πx con las
muestras de señal. Específicamente, para evaluar la señal en un tiempo
arbitrario t o , basta convolucionar la señal muestreada x(t n ) con la función
sinc [(t n − t o ) / T ] . Esta función es la respuesta impulsiva del filtro ideal cuya
frecuencia de corte es la mitad de la tasa de muestreo.
En la práctica, la función sinc de interpolación debe ser enventanada
a una duración finita. Lo que significa que el filtro paso bajo asociado
deberá exhibir una banda de transición en la que la respuesta frecuencial
pueda caer a cero a la mitad de la tasa de muestreo. La calidad de la
interpolación en la banda de paso puede ajustarse a la resolución del oído
humano eligiendo un producto ventana por ancho de banda de transición
suficientemente largo.
78
Relación con la recursión en diferencias finitas
Puede demostrarse que la técnica de simulación por guiaonda digital
es equivalente a la recursión producida por el esquema de aproximación
por diferencias finitas aplicado a la ecuación de ondas que proporcionaba:
y (n + 1, m) = y (n, m + 1) + y (n, m − 1) − y (n − 1, m)
(4.26)
Para comparar esta ecuación con la descripción por guiaonda
sustituimos la descomposición en onda viajera
y (n + 1, m) = y + ((n + 1) − m) + y − ((n + 1) + m) =
= y (n, m + 1) + y (n, m − 1) − y (n − 1, m)
[
]
= y + (n − (m + 1)) + y − (n + (m + 1)) + y + (n − (m − 1)) + y − (n + (m − 1)) − y + (n − 1 − m) + y − (n − 1 + m) =
+
−
+
−
+
−
= y (n − m − 1) + y (n + m + 1) + y (n − m + 1) + y (n + m − 1) − y (n − m − 1) + y (n + m − 1) =
= y + (n − m + 1) + y − (n + m + 1)
= y (n + 1, m)
Luego observamos que efectivamente el resultado de la recursión
FDA es exacto en el caso sin pérdidas, pues es equivalente al método de
simulación por guiaonda digital, que es exacto en los instantes de muestreo.
La última identidad puede rescribirse como:
y (n + 1, m) = y + (n − m + 1) + y − (n + m + 1) =
= y + ((n + 1) − m) + y − ((n + 1) + m)
(4.27)
= y + (n − (m − 1)) + y − ((n + (m + 1))
Lo que significa que el desplazamiento de la cuerda en el tiempo
n + 1 , posición m , es la superposición de las ondas viajeras derecha e
izquierda en las posiciones m − 1 y m + 1 respectivamente en el tiempo n .
En otras palabras, la variable física puede calcularse para el siguiente
instante como la suma de las componentes de onda viajera a izquierda y
derecha.
79
Ecuación de la cuerda vibrante con pérdidas
En cualquier cuerda vibrante real, hay pérdidas de energía debidas a
las terminaciones flexibles, rozamiento con el aire y fricción interna en la
cuerda. Aunque las pérdidas en los sólidos varían generalmente de un
modo complicado con la frecuencia, pueden aproximarse normalmente con
un pequeño número de términos aditivos en la ecuación de ondas. En el
caso más simple, la fuerza de rozamiento es directamente proporcional a la
velocidad transversal de la cuerda.
Ky ′′ = ε&y& + µy&
(4.28)
En este caso, las pérdidas son independientes de la frecuencia. Un
modelo más realista de aproximación de las pérdidas incluiría más
derivadas temporales de orden impar, proporcionando pérdidas
dependientes con la frecuencia.
Tomando y (t , x) = e st +vx en la ecuación de ondas, tenemos:
Ky ′′ = Kv 2 y = ε&y& + µy& = εs 2 y + µsy
v2 =
εs 2 + µs
v=±
K
=
ε
K
s 2 (1 +
Kv 2 = εs 2 + µs
(4.29)
µ
µ
s2
) = 2 (1 + )
εs c
εs
s
µ
(1 + )
c
εs
(4.30)
Donde c es la velocidad de onda en el caso sin pérdidas. Para altas
frecuencias (gran s ), o cuando el coeficiente de fricción µ es pequeño en
comparación con la densidad de masa ε , podemos aproximar
µ
1µ
(1 + ) 2 = 1 +
εs
2 εs
1
(4.31)
De modo, que para bajas pérdidas, obtenemos la siguiente relación
entre frecuencia temporal y espacial
1
µ
v ≈ ± (s + )
c
2ε
(4.32)
80
La solución de la ecuación de ondas es por tanto:
y (t , x) = e
st + vx
=e
st ± ( s +
µ x
)
2ε c
=e
x
µ x
s (t ± ) ±
c
2ε c
(4.33)
e
Las componentes de onda viajera a la derecha y a la izquierda son
−
µ x
2ε c
x
s (t − )
c
y e
respectivamente: e e
en la dirección de propagación.
µ x
2ε c
e
x
s (t + )
c
. Ambas decaen exponencialmente
Tomando s = jw , y usando superposición para construir formas
arbitrarias de onda, se obtiene la solución general en el dominio del tiempo:
y (t , x) = e
−
µ x
2ε c
µ x
x
x
y r (t − ) + e 2ε c yl (t + )
c
c
(4.34)
Muestreando ambas componentes en intervalos temporales de
separación T y espaciales de separación X=cT obtenemos:
y (t n , x m ) = e
=e
−
µmT
2ε
−
µ mX
2ε c
µ mX
y r (nT − mX / c) + e 2ε
y r [(n − m)T ] + e
µmT
2ε
c
y l (nT + mX / c) =
y l [(n + m)T ] =
(4.35)
= g m y + ( n − m) + g − m y − ( n + m)
−
µT
2ε
Donde g = e es el factor de pérdidas. El diagrama de simulación
para la guiaonda digital con pérdidas se obtiene directamente:
Figura 4.23. Simulación discreta de la guiaonda ideal con pérdidas.
Como en el caso sin pérdidas, la simulación en tiempo discreto de la
solución de onda viajera es una implementación exacta de la solución en
tiempo continuo en los instantes de muestreo. Es importante observar que
las pérdidas, que están distribuidas en la solución continua son
81
consolidadas o aglomeradas en posiciones discretas en la simulación. El
factor de pérdidas g, que resuma la pérdida distribuida actúa en un intervalo
de muestreo.
La aglomeración de las pérdidas distribuidas no introduce error de
aproximación alguno en los puntos de muestreo. Además, la interpolación
limitada en banda puede ofrecer reconstrucción precisa entre muestras, con
la única restricción de que todas las excitaciones iniciales estén limitadas
en banda a la mitad de la tasa de muestreo. Esta consolidación de las
pérdidas puede realizarse a mayor escala, de cara a reducir el coste
computacional, conmutando las pérdidas de las secciones internas y sin
observación de la guía de onda y consolidándolas en un número mínimo de
puntos. Dado que la simulación digital es lineal e invariante en el tiempo, el
diagrama de la figura 4.24. es exactamente equivalente al diagrama previo
de la figura 4.23.
Figura 4.24. Aglomeración de las pérdidas en los instantes de observación
82
Modelado del sistema completo
La tabla de armonía y el cuerpo del piano pueden modelarse
fácilmente en el sentido de que son componentes altamente lineales, e
invariantes en tiempo. Los problemas de implementación se derivan de su
gran tamaño, ya que los objetos vibrantes de grandes dimensiones tienen
generalmente mayor cantidad de modos resonantes en el rango de audición
humana que los objetos pequeños. Además la propagación de guiaonda en
el cuerpo del piano no está confinada a una dimensión como en la cuerda.
Esto significa que serían necesarias tres estructuras de guiaonda para
modelar la tabla de resonancia y el cuerpo del piano, lo que daría lugar a
modelos complejos y computacionalmente muy costosos. Esta dificultad
puede superarse incluyendo la respuesta compleja del elemento vibrante en
la propia excitación (modificada adecuadamente, claro está, por la colisión
martillo-cuerda). La misma técnica puede aplicarse igualmente a la
particularmente compleja aportación del número de cuerdas que vibran por
simpatía al presionar el pedal derecho o sostenuto. La conmutatividad de
estos elementos solo es posible debido a que poseen propiedades altamente
lineales.
El modelado del martillo resulta algo más complejo. A pesar de que
solo la velocidad es necesaria para especificar el estado inicial previo a la
colisión, sabemos ya que ésta es altamente no-lineal. Esta no-linealidad
proviene del fieltro que recubre el martillo, que al comprimirse actúa como
un muelle de constante elástica variable. Además, deben tenerse en cuenta
casos complejos como la posibilidad de que el martillo golpee la cuerda
una segunda vez antes de que la primera excitación haya desaparecido
completamente. Exceptuando al martillo, el resto del instrumento exhibe
características que pueden ser aproximadas satisfactoriamente usando un
modelo lineal.
La observación clave a la hora de modelar el instrumento es notar
que la interacción entre martillo y cuerda consiste esencialmente en unos
pocos eventos discretos para cada golpe de martillo siempre y cuando la
cuerda se encuentre inicialmente en reposo. Por tanto, la interacción
martillo-cuerda puede aproximarse mediante uno o pocos impulsos
discretos filtrados convenientemente para incluir la no-linealidad del
martillo.
Cuando el martillo golpea por primera vez la cuerda en reposo
encuentra una impedancia equivalente a una cuerda de longitud infinita.
83
Por tanto, el pulso resultante de la colisión puede ser modelado como un
impulso unitario filtrado convenientemente. La perturbación se propaga en
ambas direcciones pero dado que el martillo golpea cerca del clavijero, la
onda reflejada en la clavija regresará al punto de colisión antes de que
tenga lugar cualquier otra interacción. Puesto que la onda reflejada es una
versión ligeramente filtrada del pulso original puede representarse también
por un impulso unitario filtrado. Este pulso secundario discurre sobre el
martillo. Si el martillo ya no está en contacto con la tecla no hay más
interacción y el pulso original es la excitación completa. Sin embargo, esto
no es lo usual debido a la cercanía del clavijero al punto de colisión, lo que
significa que se emitirá un nuevo pulso que viajará alejándose del punto de
colisión de una forma similar a la excitación original. En pianos reales, hay
generalmente dos o tres interacciones antes de que el martillo se separe de
la tecla, excepto para tonos muy agudos.
En gran medida, el número de impulsos generados viene
determinado por la cuerda que es golpeada. Por tanto, dado el número de la
cuerda y la velocidad del martillo, junto con la actual velocidad de cuerda,
se puede predecir de forma aceptable la amplitud y cronología de todos los
impulsos. Existe sin embargo una relativa imprecisión que ignoraremos en
relación con el hecho de que cuando el martillo golpea una cuerda que ya
está vibrando, el historial completo de la vibración de la cuerda interviene
en los detalles de la interacción martillo-cuerda. Afortunadamente, este es
un efecto de segundo orden que puede no ser deseable en la simulación.
Todo pianista ha observado alguna vez una nota inesperadamente brillante,
correspondiente quizá a la colisión de una cuerda vibrante cuando ésta se
aproxima al martillo, y que supone una ruptura de la continuidad dinámica
en el caso de un pianissimo. De modo que quizá supone una mejora el
hecho de eliminar la incertidumbre en la interacción martillo-cuerda. En
caso contrario, puede añadirse un grado adecuado de impredecibilidad
introduciendo perturbaciones aleatorias en los niveles del impulso de
colisión en función de la amplitud de las vibraciones previas al golpe de
martillo. De forma más precisa, la velocidad de la cuerda en el momento
del impacto v s puede usarse para corregir apropiadamente la amplitud del
impulso de colisión.
La amplitud de cada impulso de colisión determina la configuración
del filtro que convierte el impulso unitario en la forma de onda adecuada a
las condiciones dadas. Para el golpe inicial, el pulso puede calcularse
usando un modelo de martillo de piano golpeando una cuerda con
velocidad de colisión vc = v h − v s , donde vh denota la velocidad del martillo
84
y v s la velocidad de la cuerda. Por el momento, ignoraremos el estado
vibratorio de la cuerda previo a la colisión de modo que tomaremos v s = 0
y v h = vc .
Si el martillo fuera una masa puntual y la cuerda fuera una cuerda
ideal sin pérdidas, el pulso tendría una envolvente de decaimiento
exponencial y su amplitud sería una función lineal de la velocidad de
colisión. El fieltro no-lineal que envuelve al martillo da lugar a un pulso
que asciende y decae de forma parecida a la convolución de dos
exponenciales. Cuanto más fuerte es el golpe, es decir, cuanto mayor es la
velocidad de colisión, más estrecho y abrupto es el pulso resultante. Este es
el principal efecto de la no-linealidad del martillo y no puede ser ignorado
en la síntesis de sonidos de piano de alta calidad
El segundo pulso de colisión, si existe, es un poco más complicado.
En este caso, el martillo permanece en contacto cuando el primer eco del
golpe original regresa. Por consiguiente, tenemos una colisión entre un
martillo estático y un pulso de onda viajera en la cuerda. Si el martillo fuera
un elemento lineal, podríamos simplemente calcular los pulsos reflejados y
transmitidos a partir de la impedancia del martillo. Sin embargo, dado que
es un elemento no lineal, no puede usarse una descripción de impedancia y
debe calcularse el pulso reflejado numéricamente usando un modelo no
lineal.
El supuesto de velocidad inicial cero en la cuerda nos proporciona un
importante resultado: todos los impulsos tanto el primario como los
secundarios si existen, están predeterminados por la velocidad inicial de
colisión. Un ejemplo de la forma de onda resultante de la superposición de
los distintos pulsos puede observarse en la figura.
Figura 4.25. Impulsos inicial y secundarios
85
Tales formas de onda pueden aproximarse mediante impulsos
localizados en los picos y convolucionados con un filtro paso-baja que
proporcione la envolvente apropiada y que exhiba un decaimiento más
abrupto a mayor nivel dinámico.
Figura 4.26. Conformación del pulso mediante un Filtro Paso Bajo.
La entrada al filtro es una muestra aislada no nula, es decir, un
impulso unitario y la salida es el pulso de colisión deseado. Cuando la
amplitud de la entrada aumenta, el pulso de salida aumenta en amplitud y
disminuye en anchura, lo que significa que el filtro es no-lineal. Sin
embargo, para cada impulso específico el filtro opera como un filtro LTI.
De esta forma, el instrumento completo es linealizado con respecto a cada
velocidad de martillo posible.
En la figura se muestra un método para crear la forma de onda
mediante la suma de múltiples pulsos con sus niveles dinámicos
correspondientes.
Figura. 4.27. Creación del pulso de colisión múltiple.
Los diversos impulsos proporcionan respectivas respuestas
impulsivas que alimentan el sumador. El pulso de colisión resultante del
solapamiento de las distintas respuestas impulsivas alimenta el módulo que
simula el comportamiento de la cuerda.
86
El diagrama del sistema completo de síntesis a priori se muestra en la
siguiente figura:
Figura 4.28. Diagrama de síntesis usando el orden natural de los
elementos.
Para un nivel dinámico específico, el modelo es totalmente LTI, lo
que significa que podemos conmutar sus elementos sin perjuicio del
resultado final. Por tanto, a fin de aliviar el coste computacional integramos
la respuesta de la tabla de armonía y el cuerpo del piano con el filtro que
modela la respuesta del martillo.
Figura 4.29. Diagrama de síntesis conmutado.
El resultado de la conmutación de los elementos sólo es válido para
una velocidad de colisión fija. Para diferentes velocidades de colisión,
simplemente hay que modificar convenientemente el filtro que engloba
tanto la respuesta del cuerpo del piano como del martillo. El modelo
funciona debido a que la no-linealidad fuerte del instrumento está
localizada únicamente en la colisión martillo-cuerda, y el resto de eventos
pueden ser modelados individualmente como elementos LTI en función de
la velocidad de colisión. Es importante notar, que si una cuerda es golpeada
antes de que el pulso de excitación finalice, la reproducción debe, o bien
terminar prematuramente, o bien calcular el solapamiento de las
excitaciones.
87
En el caso más simple de una única colisión aislada, la estructura
final de síntesis se muestra en la siguiente figura
Figura 4.30. Diagrama de síntesis en el caso de interacción martillocuerda simple.
Dado que la reproducción de la excitación contenida en la tabla de
excitación debe ser accionada de algún modo, suele usarse la convención
de que al cambiar el valor de la velocidad de colisión, se accione la
reproducción de la excitación. El valor numérico de dicha velocidad,
también es usado para configurar los coeficientes de los filtros paso bajo
que proporcionan la envolvente y amplitud adecuada de la respuesta
impulsiva. Es aconsejable también añadir un escalado de salida, ya que
para obtener la máxima relación señal-ruido en un rango dinámico finito es
más conveniente escalar en amplitud la salida final, que la previa a algún
filtro digital recursivo. Sin embargo, este escalado distorsionaría la
amplitud relativa de una nota con respecto a la anterior que aún esté
sonando en la cuerda. Por esta razón, puede usarse escalado antes y
después del módulo que implementa la cuerda
Para el caso más complejo de tener en cuenta las sucesivas
interacciones por las ondas reflejadas en el clavijero, la estructura
resultante es:
Figura 4.31. Diagrama de síntesis con triple interacción y filtro
compartido.
88
En este caso, se necesitan tres punteros diferentes para recorrer la
tabla de excitación, que implementan las 3 líneas de retardo de la figura
4.28. El disparo de la primera excitación ocurre cuando cambia el
parámetro v c , el segundo comienza tras un retardo fijo correspondiente al
tiempo de ida y vuelta desde el martillo al clavijero y el tercero comienza
tras el mismo retardo relativo al segundo. El filtro compartido paso bajo se
configura en función de la velocidad inicial de colisión. Compartir este
filtro corresponde a suponer que los sucesivos impulsos de interacción
secundarios son todos de la misma amplitud. Dado que esto no se
corresponde con la situación física real, un modelo más realista puede
obtenerse usando filtros separados.
Figura 4.32. Diagrama de síntesis con triple interacción y filtros
separados.
Con el fin de ahorrar coste computacional en el filtrado, y bajo la
hipótesis de cuerda inicialmente en reposo, podemos considerar que cada
pulso secundario es una versión suavizada del anterior y por tanto podemos
derivar la forma de onda final a partir de una única excitación y no de tres.
Figura 4.33. Diagrama de síntesis mejorado.
89
En este caso cada filtro secundario necesita solamente suministrar el
efecto del recorrido de ida y vuelta del martillo al clavijero así como la leve
atenuación asociada con la reflexión en el punto de colisión. En este caso
además puede integrarse con el módulo de excitación para producir la señal
deseada
Dado que para la mayoría de las teclas, sólo se observan unas pocas
interacciones por colisión, este modelo computacional de piano alcanza un
gran nivel de realismo. El filtrado correspondiente al cuerpo del piano y a
la tabla de armonía han sido reemplazados por una tabla de valores y el
martillo por uno o varios filtros de bajo orden que convierten el impulso de
interacción en un pulso adecuado
El módulo que simula la acción de la cuerda del piano es el más
importante y ya fue objeto de discusión en apartados previos. Sin embargo,
para una cuerda de piano realista hay que añadir las terminaciones rígidas
que suponen el clavijero y el puente. El diagrama correspondiente se
muestra en la siguiente figura:
Figura 4.34. Diagrama del módulo simulador de la cuerda.
El pulso resultante de la interacción martillo-cuerda y proveniente
del módulo anterior se introduce en los raíles inferior y superior que
corresponden al conjunto de ondas viajeras a la izquierda y a la derecha
respectivamente. Una de las direcciones tiene un signo opuesto a la otra
para tener en cuenta la inversión provocada por la terminación de cuerda.
90
Por la conmutatividad de los elementos LTI el diagrama anterior
puede simplificarse en la siguiente figura
Figura 4.35. Diagrama del módulo de cuerda simplificado.
En el nuevo diagrama, cada línea de retraso corresponde al tiempo de
recorrido en ambas direcciones en cada segmento de cuerda. La salida se
representa tomada a la mitad de la línea de retraso mayor, pero en realidad
puede tomarse en cualquier punto del bucle de realimentación. Sin más que
desplazar la primera línea de retardo a través del sumador a su izquierda
obtenemos el siguiente diagrama mucho más conveniente.
Figura 4.36. Diagrama alternativo
En este diagrama la entrada en el segundo sumador de f(t) está
factorizada en un filtrado en peine por separado. El retraso del filtro peine
contiene la diferencia de retardo entre las dos entradas en el diagrama
anterior y el retraso del bucle de realimentación es ahora suma de ambos
retardos. Esta factorización, facilita la posibilidad de implementar efectos
típicos que ofrecen los pianos comerciales como chorus o reverberación y
que no necesitan memoria extra dado que utilizan la que ya está disponible
para la simulación de la cuerda. Es también posible eliminar el filtrado
peine explícito sustituyendo la señal de entrada f(t) por su versión filtrada
g (t ) = f (t ) − f (t − τ ) , donde τ es el tiempo de ida y vuelta desde el punto de
colisión al clavijero. De este modo el módulo que sintetiza el efecto de la
cuerda consistiría simplemente en un bucle de retardo filtrado.
91
Por supuesto, para síntesis de calidad, habría que emplear múltiples
bucles de retardo por cada nota. Cada bucle correspondería a una cuerda
diferente golpeada por el mismo martillo. Por consiguiente, en un
sintetizador comercial deberían existir al menos dos bucles de retardo,
desajustados levemente y excitados por el mismo pulso de colisión.

4. MODELOS DE SÍNTESIS Podemos distinguir dos principales

Transcripción

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