Examen Algebra II. 16-V-02 Dado el polinomio p(x) = x 4 − 6x 2 + 3

Examen Algebra II. 16-V-02 Dado el polinomio p(x) = x 4 − 6x 2 + 3

Examen Algebra II. 16-V-02
Dado el polinomio p(x) = x4 − 6x2 + 3.
(i) (2 pts.) Obtener el cuerpo de descomposición de p(x) sobre Q, llamémosle
E.
Sea y = x2 . Entonces la ecuación p(x) = 0 se puede reescribir como
y 2 − 6y + 3 = 0. Resolviendo esta ecuación de grado dos obtenemos dos
raı́ces:
√
√
y1 = 3 + 6, y2 = 3 − 6.
p
p
√
√
Pongamos α =
3+ 6 y β =
3 − 6. Como el polinomio p(x)
tiene grado 4, tenemos que {α, −α, β, −β} son todas las raı́ces de p(x)
en C. Entonces el cuerpo de descompocición de p(x)
√ sobre Q en C
es Q(α, −α, β, −β) = Q(α,
β).
Notemos
que
αβ
=
3. Por lo tanto,
√
E = CDQ (p(x)) = Q(α, 3).
(ii) (3 pts.) Decidir justificadamente el grado de la extensión de cuerpos E/Q.
√
√
2
Como 2 = α√−3
, tenemos que 2 ∈ E. Entonces tenemos la siguiente
3
torre de subcuerpos:
√
√ √
√ √
Q ⊆ Q( 3) ⊆ Q(( 3)( 2) ⊆ Q(( 3, 2)(α) = E.
√
√
Irr( 3, Q).
El grado
Q( 3)/Q es igual al grado del polinomio
√ de la extención
√
Irr( 3, Q) = x2 − 3, porque este polinomio anula a √3 y es irreducible
por el criterio de Eisenstein para p = 3. Entonces |Q( 3) : Q| = 2.
√ √
√
El grado
3) es igual al grado del polinomio
√ de√la extención
√ Q( √3)( 2)/Q(
2
Irr(
2,
Q(
3)).
Irr(
2,
Q(
3))
=
x
−
2,
porque este polinomio√anula√a
√
2 y es irreducible,
ya
que
es
un
polinomio
de
grado
√
√ √
√ 2 y sus raı́ces 2, − 2
no están en Q( 3). Entonces |Q( 3, 2) : Q( 3)| = 2.
√ √
√ √
3,√ 2) es igual al grado del
El grado de la extención
√ √ Q( 3, 2)(α)/Q(
2
3,
2)).
Como
α
=
3
+
6, el polinomio x2 − 3 −
polinomio
Irr(α,
Q(
√
√ √
6 ∈ Q( 2, 3)[x] anula a α. Veamos que este polinomio
√ √ es irreducible.
Para esto hay que comprobar que α no está en Q( 2, 3).
√ √
√
Supongamos
√ lo√contrario, es√decir α ∈ Q( 2, 3).√Como {1, 3} es una
base de Q( 2, 3) sobre Q( 2), existen a, b ∈ Q( 2) tales que
√
α = a + b 3.
Elevando al cuadrado, tenemos
√ √
√
3 + 2 3 = a2 + 3b2 + (2ab) 3.
1
Luego
3 = a2 + 3b2 ,
√
2 = 2ab.
√
Entonces a = 2b2 . Sustituyendo a en la primera ecuación obtenemos 6b2 =
√
1 + 6b4 . Resolviendo esta ecuación vemos que b2 = −3±6 3 . Obtenemos
√
√
√
una contradicción ya que b2 ∈ Q( 2) y 3 6∈ Q( 2).
√ √
√ √
√ √
Por lo tanto, α no está en Q( 2, 3) y por eso |Q( 3, 2)(α) : Q( 3, 2)| =
2.
Concluimos que
√
√ √
√
√ √
√ √
|E : Q| = |Q( 3) : Q||Q( 3, 2) : Q( 3)||Q( 3, 2)(α) : Q( 3, 2)| = 8.
(iii) (3 pts.) Describir el grupo de Galois de la extensión E/Q y decir a que
grupo es isomorfo.
Sea G = Gal(E/Q). Por el apartado anterior G tiene 8 elementos. Notemos que G actúa sobre las raı́ces de p(x) y además, como E = Q(α, β),
las imágenes de las raı́ces determinan completamente a los elementos de
G. Entonces los elementos de G presentamos como permutaciones del
conjunto de las raı́ces (α, −α, β, −β). Notemos que no cualquiera permutación corresponde a un automorfismo de Galois, ya que si φ ∈ G,
tiene que cumplirse
φ(−α) = −φ(α), φ(−β) = −β.
Encontramos las 8 permutaciones con esta propiedad:
φ1
φ2
φ3
φ4
φ5
φ6
φ7
φ8
= Id
= (12)
= (34)
= (13)(24)
= (12)(34)
= (14)(23)
= (1324)
= (1423)
:
:
:
:
:
:
:
:
(α, −α, β, −β)
(α, −α, β, −β)
(α, −α, β, −β)
(α, −α, β, −β)
(α, −α, β, −β)
(α, −α, β, −β)
(α, −α, β, −β)
(α, −α, β, −β)
→
→
→
→
→
→
→
→
(α, −α, β, −β)
(−α, α, β, −β)
(α, −α, −β, β)
(β, −β, α, −α)
(−α, α, −β, β)
(−β, β, −α, α)
(β, −β, −α, α)
(−β, β, α, −α)
Veamos que este grupo es isomorfo al grupo diédrico D8 . El orden de φ2
es 2 y el orden de φ7 es cuatro. Estos dos elementos generan todo el grupo
G y φ−1
2 φ7 φ2 corresponde a la permutación (1423) y por lo tanto
−1
φ−1
2 φ7 φ2 = φ8 = φ7 .
Estas propiedades definen el grupo diédrico D8 ya que
D8 =< x, y | x4 = y 2 = 1, y −1 xy = x−1 > .
2
(iv) (2 pts.) Encontrar todas las subextensiones intermedias de grado 4 sobre
Q.
Las subextenciones de grado 4 de E corresponden por la correspondencia
de Galois a subgrupos de orden 2 de G ( ya que el grado |E : Q| es igual
a 8 y si L es una subextención de grado 4, entonces |E : L| = 2). En G
hay 5 elementos de orden 2:
φ2 , φ3 , φ4 , φ5 , φ6 .
(a) F(φ2 ) = Q(β), ya que β ∈ F(φ2 ) y |Q(β) : Q| = 4.
(b) F(φ3 ) = Q(α), ya que α ∈ F(φ3 ) y |Q(α) : Q| = 4.
(c) F(φ4 ) = Q(α + β), ya que α + β ∈ F(φ4 ) y |Q(α + β) : Q| = 4.
(Para determinar |Q(α + β) : Q| consideramos |E : Q(α + β)|. Es
claro que E = Q(α + β)(α − β). Entonces tenemos que determinar
Irr(α − β, Q(α + β)). Como (α − β)2 = 12 − (α + β)2 , el polinomio
q(x) = x2 − 12 + (α + β)2 ∈ Q(α + β)[x] anula a α − β. Como E 6=
Q(α+β), α−β 6∈ Q(α+β) y por lo tanto q(x) = Irr(α−β, Q(α+β)).
Luego |E : Q(α + β)| = 2 y por eso |Q(α + β) : Q| = 4. )
√ √
√ √
(d) F(φ5 ) = Q(αβ, α2 ) = Q( 3, 6) ya que αβ, α2 ∈ F(φ5 ) y |Q( 3, 6) :
Q| = 4.
(e) F(φ6 ) = Q(α − β) ya que α − β ∈ F(φ6 ) y |Q(α − β) : Q| = 4 (se
demuestra como en el caso |Q(α + β) : Q| = 4).
Los cinco subextenciones de grado 4 son:
√ √
Q(α), Q(β), Q(α + β), Q(α − β), Q( 2, 3).
3