problemas de estabilidad de sistemas de control

problemas de estabilidad de sistemas de control

PROBLEMAS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL
1. Determina según el criterio de Routh, si el sistema dado por la siguiente ecuación
característica es estable o inestable:
S4 +4s3 +s2 + 2s + 7 = 0
Solución:
Todos los términos son positivos y no falta ninguno.
S4
S3
S2
S1
S0
a0
a1
b1
c1
d1
1
4
1/2
-54
a2
a3
b2
c2
d2
1
2
7
0
a4
a5
b3
c3
d3
b1 =
a1 .a 2 − a 0 .a 3
4.1 − 1.2 1
; b1 =
=
a1
4
2
b2 =
a1 .a 4 − a 0 .a 5
4.7 − 1.0
; b2 =
=7
4
a1
7
0
0
a6
a7
b4
c4
d4
b3=0
c1 =
b1.a3 − b2 .a1
1/ 2.2 − 7.4
; c1 =
= −54
b1
1/ 2
c2 =
b1.a5 − a1.b3
; c2 = 0
b1
d1 =
c1.b2 − b1.c 2
( −54.7) − 0.1/ 2
; d1 =
=7
c1
− 54
Hay dos cambios de signo, significa que hay dos raíces con la parte real positiva y el
sistema por tanto es Inestable.
DEP. TECNOLOGIA (IES DIONISIO AGUADO /FUENLABRADA) TECNOLOGIA INDUSTRIAL II
1
2. Aplica el método de Routh para ver si los siguientes polinomios son estables:
a) s3+4s2+s+4=0
b) s3-3s+2=0
c) s5+2s2-s+1=0
d) s5+2s4+5s3+10s2+2s+4=0
Solución a):
S3
S2
S1
S0
a0
a1
b1
c1
1
4
0~ε
4
a2
a3
b2
c2
1
4
0
0
b1 =
a1 .a 2 − a 0 .a 3
4.1 − 4.1
; b1 =
=0
a1
4
c1 =
ε .4 − 0.4
b1.a3 − b2 .a1
; c1 =
=4
b1
ε
Los signos por encima y debajo del cero (ε) son iguales por tanto el sistema es
Estable.
Solución b):
S3
S2
S1
S0
b1 =
a0
a1
b1
c1
1
0~ε
-3ε-2/ε
2
a2
a3
b2
c2
-3
2
0
0
a1 .a 2 − a 0 .a 3
ε . − 3 − 1.2 − 3ε − 2
; b1 =
=
a1
ε
ε
b .a − b .a
c1 = 1 3 2 1 ; c 1 =
b1
− 3ε − 2
ε
.2 − 0.ε
− 3ε − 2
=2
ε
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2
Hay dos cambios de signo, por tanto el sistema es Inestable. No habría sido necesario
hacer Routh ya que hay un coeficiente nulo , además de uno negativo y otro positivo.
Solución c):
El sistema no es estable, ya que hay coeficientes nulos y/o negativos.
Solución d):
S5
S4
S3
S2
S1
S0
a0
a1
b1
c1
d1
1
2
0
a2
a3
b2
c2
d2
5
10
0
b1 =
a1 .a 2 − a 0 .a 3
2.5 − 1.10
; b1 =
=0
a1
2
b2 =
a1 .a 4 − a 0 .a 5
2.2 − 1.4
; b2 =
=0
a1
2
a4
a5
b3
c3
d3
2
4
0
Polinomio auxiliar
Fila ceros
Como hay una fila de ceros con la fila anterior a la misma construyo el polinomio
auxiliar:
P(s) = 2s4+10s2 +4
Derivo respecto de s: 8s3 +20s =0
Coloco los coeficientes sustituyendo los ceros:
S5
S4
S3
S2
S1
S0
a0
a1
b1
c1
d1
e1
1
2
8
5
13,6
4
a2
a3
b2
c2
d2
5
10
20
4
0
a4
a5
b3
c3
d3
c1 =
8.10 − 2.20
b1.a3 − b2 .a1
; c1 =
=5
b1
8
c2 =
b1 .a 5 − b3 .a1
8.4 − 0.2
; c2 =
=4
b1
8
2
4
0
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3
d1 =
5.20 − 8.4
c1.b2 − b1.c 2
; d1 =
= 13,6
c1
5
d2= 0
e1 =
d 1 .c 2 − c 1 .d 2
13,6.4 − 0.5
; e1 =
=4
d1
13,6
Como no existe cambio de signo en la primera columna el sistema es Estable.
3. Determina aplicando Routh si el siguiente sistema, dado por la ecuación
característica: s4+2s3+3s2+4s+5=0 es estable.
4. Determina aplicando Routh si el siguiente sistema, dado por la ecuación
característica: s5+2s4+24s3+48s2-25s-50=0 es estable.
5. Halla el rango de K para que un sistema definido por el siguiente polinomio sea
estable:
s3+2s2+s+K=0
6. Un sistema de control esta determinado por la función de transferencia indicada.
Se pide determinar si el sistema es estable o inestable.
G( s ) =
5s − 3
s + 3s + 1
2
7. Determinar si la función de transferencia representa un sistema estable o inestable.
s 2 + 3s − 1
G (s ) = 3
s − s 2 − 14s + 24
8. Determinar si la función de transferencia representa un sistema estable o inestable.
G (s ) =
s−3
s 2 + 3s + 1
9. Determinar si la función de transferencia representa un sistema estable o inestable.
Si es inestable halla el número de raíces en la región real positiva del plano s.
G (s ) =
(s + 1).(s − 5)
s + 2s 2 − s − 2
3
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4
10. Determina el valor de K para que el sistema de la figura sea estable.
R
+
s 2 + 3s − K
s 3 + 2s 2 + 10 s + 5
S
-
11. Un sistema posee la siguiente función de transferencia G(s ) =
s 2 + 3s + C
s 3 + 5s 2 + Ks + 3
Calcula C y K para que el sistema sea estable.
12. Estudia la estabilidad de :
a) G(s ) =
50(s + 3)
s + 5s 2 + 6s + 100
b) G(s ) =
50(s + 3)
s + 5s 2 + 56s + 250
3
3
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