10-31

Tercer Congreso Nacional – Segundo Congreso Iberoamericano
Hidrógeno y Fuentes Sustentables de Energía – HYFUSEN 2009
10-31
OPTIMIZACIÓN DEL RENDIMIENTO DE UNA TURBINA EÓLICA. ESTUDIO
COMPARATIVO DE CONTROLADORES POR MODOS DESLIZANTES DE
SEGUNDO ORDEN
Evangelista C.A.(1), Puleston P.F.(1) y Valenciaga F.(1)
(1) CONICET y LEICI, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de La Plata, C.C. 91, C.P. 1900,
La Plata, Argentina. [email protected]
RESUMEN
En este trabajo se analiza la aplicabilidad del control por modos deslizantes de segundo orden a un
sistema de conversión de energía eólica con el objeto de optimizar su rendimiento. Son estudiados
cuatro controladores, diseñados según los algoritmos “con ley de variación definida”, “sub-óptimo”,
“twisting” y “super-twisting”, que presentan características de robustez, convergencia en tiempo finito,
sencillez y reducción del chattering y de los esfuerzos mecánicos. Se muestran y analizan resultados
representativos de simulaciones realizadas sobre un modelo completo del sistema bajo condiciones
realistas de funcionamiento, donde puede observarse el desempeño del sistema controlado en cada uno
de los casos.
Palabras Clave: Energía Eólica, Optimización de Rendimiento Energético, Modos Deslizantes
1. INTRODUCCIÓN
Durante las últimas décadas, sobre todo luego de
la crisis del petróleo de los ’70, el interés
mundial por las energías renovables y limpias se
ha ido incrementando enormemente. La eólica en
particular, ha recibido un impulso considerable,
lográndose grandes avances tecnológicos en
cuanto a confiabilidad, relación costo-eficiencia,
e integración a la red de los sistemas de
conversión de energía eólica (SCEE). Éstos
pueden inyectar potencia directamente a la red o
ser empleados para alimentar pequeñas
comunidades o industrias aisladas, siendo con
frecuencia complementados con otras fuentes de
energía. La potencia generada a partir del viento
constituye actualmente el 1,5% del consumo
eléctrico mundial, con una capacidad instalada
de 121GW entre alrededor de 70 países a fines
de 2008. En nuestro país la capacidad instalada
suma 30MW, disponiéndose de amplios recursos
eólicos pero con un mercado todavía poco
desarrollado [1].
Uno de los principales temas en estudio respecto
a mejoras de los SCEE consiste en la
incorporación de nuevas estrategias de control,
que sean capaces de optimizar la eficiencia del
sistema y reducir los esfuerzos mecánicos en el
mismo, mediante algoritmos de operación simple
e implementación sencilla. En esta búsqueda
deben considerarse en detalle las exigentes
condiciones de control estos sistemas, entre ellos
la naturaleza estocástica del viento, las
incertidumbres en los parámetros de los modelos
aerodinámico y eléctrico, la existencia de
perturbaciones externas y el comportamiento no
lineal del sistema completo [2]. Dentro de las
técnicas conocidas para controlar sistemas no
lineales altamente perturbados, los algoritmos
por modos deslizantes (MD) se presentan como
una atractiva solución. En particular, en este
trabajo se contrastan estrategias de control por
modos deslizantes de segundo orden (2-MD),
que poseen las siguientes características[3][4][5]:
- robustez con respecto a incertidumbres y
perturbaciones externas acotadas, siendo eficaces
en la regulación y seguimiento de diversas
variables, con tiempos de convergencia finitos y
acciones de control continuas.
- reducción de los esfuerzos mecánicos y el
chattering (vibraciones de alta frecuencia en el
sistema controlado), en comparación con
estrategias de MD estándar o de primer orden.
- controladores generalmente sencillos y de
simple implementación, que pueden ser
diseñados en base a modelos no lineales.
En este trabajo se explora la aplicabilidad del
control por 2-MD a los SCEE. Específicamente,
se diseñan y analizan cuatro controladores
basados en distintos algoritmos para optimizar el
rendimiento de un SCEE de velocidad variable
conectado a red. Los algoritmos seleccionados
son: “con ley de variación definida”, “subóptimo”, “twisting” y “super-twisting”.
2. DESARROLLO DEL TRABAJO
2.1 Objetivo de control
Se estudia un SCEE de velocidad variable
conectado a red. El mismo está basado en un
generador de inducción de doble salida (GIDS),
y utiliza una topología del tipo Kramer drive
estático (ver Figura 1).
Figura 2. Zonas de operación de una turbina.
parcial, el objetivo de control es maximizar el
rendimiento de conversión de energía. En la zona
de plena carga, el controlador debe limitar la
potencia extraída a su valor nominal. Cuando ȣ•
ȣcut-out la turbina debería desconectarse para
prevenir daños, no generando así en esta zona.
La potencia que pueden extraer las palas de la
turbina, Pt, es solo una fracción de la potencia
del viento y puede escribirse como [8]:
Pt
Figura 1. SCEE-GIDS.
En esta configuración, la potencia del estator se
inyecta directamente a la red, en tanto que parte
de la potencia del rotor es recuperada mediante el
convertidor electrónico. Éste está formado por un
puente rectificador no controlado, un inductor de
suavización del ripple y un rectificador
controlado trabajando como inversor. El torque
del generador y, a través de él, la velocidad de
operación del sistema, pueden ser controlados a
través del ángulo de disparo del rectificador del
convertidor, Į.
Entre las características de interés de la topología
empleada puede mencionarse que[6][7]: opera a
velocidad variable, generando a la frecuencia
constante fijada por la red; es capaz de
suministrar potencia por encima de su valor
nominal, ya que provee potencia desde ambos
circuitos, de estator y de rotor; usa un
convertidor electrónico fraccional, procesando
solo la potencia recuperada, por lo que resulta de
menor tamaño; permite regular electrónicamente
el torque del GIDS, pudiendo así controlarse los
puntos de operación.
En cuanto a la operación de la turbina pueden
diferenciarse cuatro zonas, según la velocidad
del viento ȣ, requiriéndose en cada una de ellas
objetivos de control distintos (ver Figura 2)[2].
Cuando ȣ< ȣcut-in, el viento no es suficientemente
fuerte para mover las palas. En la zona de carga
1
SUR 2 C P (O )X 3
2
(1)
donde ȡ es la densidad del aire, R la longitud de
las palas y Cp(Ȝ) el coeficiente de conversión de
potencia de la turbina. Éste es una función no
lineal del parámetro Ȝ = Rȍ / ȣ, que depende de
la forma y dimensiones geométricas de la hélice,
y, para una máquina con ángulo fijo de palas (o
pitch fijo), presenta un único máximo en Ȝopt,
como se ve en la Figura 3.
Figura 3. Cp – Ȝ (línea llena) y Ct – Ȝ (trazos).
Los controladores 2-MD que se analizan en este
trabajo se diseñaron para optimizar el
rendimiento de conversión de energía en la zona
de carga parcial, considerando pitch fijo.
A partir de (1) y ya que Cp(Ȝ) es máximo
únicamente en Ȝopt, el objetivo de control deseado
puede conseguirse realizando un seguimiento de
la velocidad óptima de referencia, variable con la
velocidad del viento:
: ref
Oopt
R
X
(2)
2.2 Modelo para el diseño
Para diseñar los controladores de seguimiento de
velocidad, se empleó un modelo simplificado del
sistema electromecánico. Dicha simplificación se
basa en considerar únicamente la dinámica
mecánica, dominante, y despreciar la eléctrica,
considerablemente más rápida. Así, la ecuación
no lineal que define la dinámica dominante del
sistema puede obtenerse directamente empleando
la segunda ley de Newton. Despreciando roces y
términos de mayor orden puede escribirse como:
:
1
(Tt Te )
J
(3)
donde Tt y Te son los torques de la turbina y del
generador (Te < 0) respectivamente, y J es la
inercia de las partes rotantes. El torque de la
turbina puede hallarse a partir del cociente Pt/ȍ:
1
SUR 3C t (O )X 2
2
Tt
(4)
donde Ct(Ȝ) = Cp(Ȝ) / Ȝ es el coeficiente de torque
de la turbina (ver Figura 3). La expresión del
torque del generador está dada por [9]:
Te
>
: s sRs' Req
donde
R
s Z L @
2
2
>
s 2 n122 u 2
b
sR s'
2
(5)
s
s sRb n122 u 2 Rs' n12 u *
Req
*
3Vs'2 sReq
@,
(6)
Z s2 L2 s 2 n122 u 2 ,
u = |cos(Į)|, Rb = Rr + 0,55.Rf, L = Ls’ + Lr. Rs,
Rr y Rf son las resistencias de estator, rotor y dclink respectivamente, Ls y Lr son las inductancias
de dispersión de los arrollamientos de estator y
rotor, ȍs y Ȧs las velocidades sincrónicas
mecánica y eléctrica, s (: s :) / : s el
resbalamiento del generador, Vs la tensión de
estator y n12 n1 / n2 , con n1 y n2 las relaciones
de vueltas del generador y del transformador
respectivamente. Como notación, una comilla
aplicada a una variable de estator indica su
referencia al rotor a través de n1. En este marco
de diseño u = |cos(Į)| es considerada como
acción de control, por razones de simplicidad.
Figura 4. -Te–ȍ (línea llena); Tt–ȍ (línea punteada).
2.3 Diseño de los controladores por 2-MD
El modo deslizante estándar (MD), de primer
orden o 1-deslizante consiste en anular una
función de los estados del sistema de grado
relativo (GR) 1, V ( x , t ) . La condición V 0
determina la variedad de deslizamiento, también
llamada superficie de deslizamiento, en el
espacio de estados. El alcance y mantenimiento
de esta condición de operación, son efectuados
por el algoritmo 1-deslizante a través de una
acción de control discontinua que, conmutando a
frecuencia idealmente infinita, se opone a
cualquier apartamiento de la misma. Sin
embargo, aunque tal solución es robusta presenta
ciertas características negativas en algunas
aplicaciones prácticas, tales como el ya
mencionado efecto de chattering (originado entre
otras razones en la imposibilidad de disponer de
frecuencias de conmutación infinitas) y esfuerzos
mecánicos no deseables (causados por las
discontinuidades de la acción de control) [5].
Los modos deslizantes de orden superior
generalizan la idea del MD estándar, buscando
anular no solo la variable de deslizamiento sino
también algunas de sus derivadas temporales.
Entre ellos, los modos deslizantes de segundo
orden (2-MD), en particular, buscan hacer cero la
variable de deslizamiento y su primera derivada
temporal en tiempo finito, es decir V V 0 ,
mediante una acción de control discontinua que
actúa sobre la segunda derivada, pudiendo ser
V ( x , t ) de GR 2 ó 1 [10][4]. Los algoritmos 2deslizantes sintetizan un control discontinuo
u (t ) que lleva V y V a cero, con u(t) continuo.
Esto permite evitar el chattering y reducir los
esfuerzos mecánicos, conservando las ventajas
del MD estándar [5].
Dado que el objetivo de control en el caso bajo
estudio, la optimización del rendimiento de
conversión, se consigue mediante el seguimiento
de la variable de velocidad óptima de referencia,
se eligió la variable de deslizamiento como:
(7)
V : : ref
La función elegida resulta ser de GR 1 respecto
del sistema descripto por (3)-(5). Esto permitiría
resolver el problema de control a través de un
control 1-deslizante, pero por las razones ya
mencionadas, se emplearán técnicas de 2-MD.
Escribiendo la ecuación dinámica de la turbina
en la forma general:
f (:, t , u )
(8)
:
1
2
con f y V funciones C y C respectivamente,
pueden hallarse las siguientes expresiones para la
primera y segunda derivadas temporales de la
variable de deslizamiento:
wV wV
f
wt w:
wV wV
wV
V(t , :, u , u )
f u
wt w:
wu
at , :, u bt , :, u .u
V (t , :, u )
(9)
(10)
Para el caso en estudio se obtuvo:
R 4 US wCt (O ) 2TQ O
a
:Q :Q t opt Q 2J
wO
JQ
R
2
'
'
ª '
º
:)
sxs Rs Rb
n12 u sgn(* ) »
« Rb 2 Req J :s ¬
|*|
¼
b
ª
§ ' Req
« 2n12u ¨ Rs s
J s n u ¬
©
)
2
+
2
12
2
Zs2 ( L's Lr ) 2
|*|
·
¸ |*|
¹
º
n122 u 2 sgn(*) »
»¼
, T y R se detallaron en (3)-(6), con
donde :
t
eq
xs2
)
Rs' 2 Zs2 L2 , Ct (O )
c3 O 3 c2 O 2 c1O c0 , y
3Vs'2 s 2 s 2 xs2 Req2 2
: s s 2 xs2 2sRs' Req Req2 s 2 n122 u 2 .
Para el diseño de los controladores por modos 2deslizantes, con V de GR 1, deben cumplirse las
siguientes condiciones [5]:
i. U {u :| u |d U M } , U M  ƒ constante. La
solución de (7) está bien definida para todo t, si
u(t) es continuo y pertenece a U t .
ii. Existe un valor u 1  ( 0, U M ) , tal que para
cualquier función u(t) continua, con | u (t ) |! u1 ,
hay un t1 tal que V (t )u (t ) ! 0 , para t> t1.
iii. Existen constantes positivas s0, u0< U M ,
*m , *M y C tal que u  U , si | V (t ) | s 0 :
at , :, u d C
0 *m d bt , :, u d *M
t , y si |u|> u0 se verifica que V .u ! 0 .
(11)
En general, los algoritmos 2-deslizantes se
definen respecto de las cotas dadas en iii, de tal
manera que al alcanzar la región donde éstas se
satisfacen, las trayectorias de V y V no salen
de ella, y convergen a V V 0 .
Es importante destacar que si en el cálculo de las
cotas de las funciones a t , : , u y b t , : , u son
consideradas ciertas perturbaciones acotadas, el
diseño a partir de dichas cotas resulta en un
controlador robusto a dichas perturbaciones.
Para el SCEE bajo estudio, el cálculo de las cotas
se realizó tras un cuidadoso análisis de la
estructura del sistema en conjunto con extensas
simulaciones en la zona de operación deseada
mediante un control a lazo abierto, considerando
perfiles de viento variados, incertezas en los
parámetros y perturbaciones externas que
incluyen: variaciones en las resistencias
eléctricas de hasta 20% de sus valores nominales,
en la tensión de red de hasta el 15% de la tensión
nominal, y hasta del 10% en la característica
aerodinámica; perturbaciones aditivas de torque
representadas como la suma de dos
componentes, una debida a roce no modelado
(considerada dependiente en forma cuadrática de
la velocidad de operación) y una aleatoria más
pequeña. Se determinaron los siguientes valores:
C 10; * m 650; * M 750;
(12)
Cada uno de los algoritmos empleados en este
trabajo depende únicamente de unos pocos
parámetros que son calculados off-line durante la
sintonización, de modo que resulta muy simple la
operación on-line. En los cuatro casos se hicieron
pruebas variando los parámetros, siempre dentro
de las condiciones requeridas, priorizando la
reducción del chattering en la elección definitiva.
Los tres primeros algoritmos consideran una
variable de deslizamiento de GR 2, por lo que
debe expandirse el sistema y considerar u (t )
como acción de control para el diseño.
2.3.1 Con ley de variación definida (PLV)
En esta clase de algoritmos, la acción de control
depende de una función g(ı) determinada en el
proceso de diseño, y las propiedades de
convergencia están directamente ligadas a ella.
Debe ser continua y suave excepto en V =0, y
se elige de manera que las soluciones de
V =g( V ) se anulen en tiempo finito, y que g’.g
esté acotada. La expresión de la ley de control,
con la función elegida en este trabajo, es [5]:
u (t )
g (V )
VM signV g (V ) J | V |
1
2
(12)
sign(V )
con Ȗ>0. La convergencia en tiempo finito se
garantiza si se verifica:
C sup g ' (V ) g (V ) VM !
*m
C 0,5.J 2
*m
(13)
Debe notarse que se requiere conocer no solo V ,
sino también su derivada y g( V ) en cada punto.
De acuerdo con (12), se seleccionaron los
siguientes valores para los parámetros:
J 2; VM 0, 02;
(14)
2.3.2 Sub-óptimo (SO)
Las trayectorias en el plano V V están
formadas por tramos limitados por arcos
parabólicos, pudiendo converger realizando giros
alrededor del origen, “rebotes” dentro de un
mismo cuadrante o una combinación de ambos.
La ley de control puede escribirse como [5]:
u (t )
J (t )VM sgn V 0,5V M J (t )
^
1 , V 0,5V M V M t 0
J * , V 0,5V M V M 0
(15)
donde ıM es variable y corresponde al último
valor extremo de la variable de deslizamiento V .
Para asegurar la convergencia se requiere que:
§ 4C * M VM ·
C
VM !
; J *  [1, f ) ˆ ¨
, f ¸ (16)
*m
© 3* mVM
¹
Se requiere poder detectar cada extremo local
V M , valores de V cada vez que V se hace cero.
Los valores elegidos para los parámetros fueron:
J * 1,5; VM 0,02;
(17)
E!
C
; J !
1
2( E* M C )
*m
*m
El controlador diseñado se eligió con:
E
0, 02; J
0, 02;
(18)
(20)
3. RESULTADOS DE SIMULACIÓN
Se realizaron numerosas simulaciones con el
objeto de analizar el desempeño de los
controladores diseñados. Éstos se probaron sobre
un modelo completo más realista del sistema, en
condiciones y bajo perturbaciones semejantes a
las consideradas en la etapa de diseño. El modelo
completo, detallado en el apéndice A, está
formado por un estado que describe la dinámica
mecánica y cuatro que describen la eléctrica.
Se presentan resultados representativos de las
simulaciones correspondientes al perfil de viento
y a las perturbaciones de torque de la Figura 5.
2.3.3 Twisting (T)
Este algoritmo se caracteriza por la forma en que
sus trayectorias en el plano deslizante V V
convergen en tiempo finito al origen rodeándolo
infinitas veces. Requiere conocer los signos de
V y V . La acción de control está dada por [5]:
u (t ) r1 .sign(V ) r2 .sign(V ) (18)
Escribiendo r1 r2 ' , con r1 ! r2 ! 0 , la
convergencia en tiempo finito queda garantizada
con las siguientes condiciones suficientes:
'!
'(*M *m ) 2C
C
; r2 !
*m
2*m
(19)
Figura 5. Perfil viento; perturbación torque.
A continuación, en la Figura 6 se muestra la
evolución temporal de V . En ella puede verse
que tras un corto período de alcance, la variable
deslizante es anulada, en los cuatro casos.
Los parámetros del controlador resultaron:
' 0, 02; r1
0, 04; r2
0, 02;
(20)
2.3.4 Super-twisting (ST)
Este algoritmo fue desarrollado con el objetivo
de reducir el chattering en sistemas de GR 1,
empleando un estado integral en el control, y con
la ventaja de no requerir información de V .
Las trayectorias convergen en tiempo finito
realizando infinitos rodeos alrededor del origen.
La ley de control está compuesta por dos
términos, uno discontinuo definido por su
derivada, y el otro función continua de V , está
presente solo en la etapa de alcance [5]:
u (t ) u1 (t ) J | V |1/ 2 sgn(V )
(17)
u1 (t ) E sgn(V )
y se garantiza convergencia en tiempo finito y
operación en modo deslizante si se cumple que:
Figura 6. Variable de deslizamiento.
Un detalle del origen del plano deslizante se
muestra en la Figura 7, donde puede verificarse
que el error en V se mantiene menor a 0,1rad/s,
con el sistema operando a velocidades en un
rango aproximado de 160 a 340rad/s, a pesar de
las perturbaciones y de el empleo del modelo
incluyendo la dinámica eléctrica. Esto permite
verificar la robustez de los controladores
diseñados, aunque debe notarse que los basados
en el “sub-óptimo” y en el “twisting” presentan
peor desempeño que los otros dos.
inductancias de rotor, dc-link y magnetización
respectivamente. Las comillas en Vs indican que
fue referida a los terminales del inversor a través
de n2. La expresión del torque es ahora:
Te
p p M isq ird' isd irq' donde p p es el número de pares de polos.
Figura 7. Plano deslizante.
En la Figura 8 se observa el logro del objetivo
primario de control en la evolución temporal de
la potencia generada, que una vez pasado el
período de alcance, se mantiene en todos los
casos coincidente con la máxima.
B. Valores nominales y otros parámetros
Zs
2S 50rad / s Vs
n1 n2 1, 2
pp
Rs 119m:
Rr
Ls Lr 1, 4mH L f
c0 1,142.10 2 c1
c3 1,191.10 9 R
460 / 3
2
238m:
10,1mH
2, 214.10 4
6, 75m
Pr 60kW
J 7, 0623Kg.m 2
R f 25, 9m:
M 35,1mH
c2 1, 03.10 6
U 1, 2242Kg / m 3
Agradecimiento
Figura 8. Potencias generadas y máxima.
Este trabajo fue financiado por la UNLP,
CONICET y SECyT, Argentina.
4. CONCLUSIONES
4. REFERENCIAS
El estudio, diseño y análisis de 4 controladores
basados en algoritmos 2-MD han permitido
apreciar la viabilidad de su aplicación al control
de un SCEE de velocidad variable, conectado a
red, operando en la zona de carga parcial. Las
cuatro propuestas resultaron ser capaces de
realizar en forma robusta el seguimiento de una
variable de gran aleatoriedad, como es la
velocidad del viento, aún tratándose de un
sistema no lineal, en presencia de perturbaciones
externas y con incertidumbre en los modelos.
El algoritmo “super-twisting” se admite para el
caso en estudio como la mejor opción, teniendo
en cuenta la performance del sistema controlado
y la simplicidad de operación e implementación,
dado que requiere de dos parámetros de diseño, y
el conocimiento en cada instante de la variable
de deslizamiento únicamente y no de su
derivada, como los demás algoritmos estudiados.
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[2] I. Munteanu, “Contributions to the optimal
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efficiency
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torsional
dynamics
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15(2):728–734, 2000.
[10] A.Levant, “Principles of 2-sliding mode
design”. Automatica, 43(4):576–586, 2007.
A. Modelo de Park
Las ecuaciones diferenciales no lineales que
describen al generador, en un marco sincrónico
rotante directo en cuadratura (d-q) son:
Mp
Zs M º ªisd º
ª Rs Ls p Zs Ls
Zs
Rs Ls p Zs M
Mp » « isq »
«
'
'
V
sZs M Rb Lb p sZs L'r » «ird' »
« Mp
Mp
sZs L'r Rb' L'b p »¼ «¬ irq' »¼
«¬ sZs M
donde V
T
>0 Vs
t
Vs'' ' u sin(T ) Vs'' ' u cos(T ) @ ,
tan 1 (ird / irq ) , p es el operador derivada
temporal, Lb Lr 0, 55 L f , con Lr , Lr y M