EJERCICIO 1 DE SELECTIVIDAD Jun`11 B1

I.E.S. Los Pedroches. 2º de Bachillerato - Matemáticas II de las CC.SS. Curso 2011-12.
EJERCICIO 1 DE SELECTIVIDAD Jun’11 B1
a) (1.5 puntos) Dadas las matrices
y
, razone cuáles de las siguientes
operaciones tienen sentido y efectúe las que puedan realizarse:
b) (1.0 puntos) Un industrial cafetero produce dos tipos de café, natural y descafeinado, en tres modalidades
cada uno, A, B y C. Se han anotado en la matriz P los pesos, en kg, del café que el industrial
produce de cada una de las modalidades de cada tipo, y en la matriz Q los precios a los que
vende el kg de cada producto final:
Efectúe el producto
y explique el significado económico de cada uno de los elementos
de la diagonal principal de la matriz resultante.
0 3 &1
a) M % N t '
2 3 &1
%
'
2 6 &2
1 0 &2
&1 1 0
0 1 &2
Operación posible por ser matrices de igual dimensión.
M t" N '
0
1
2 &1
3
0 "
3
1
&1 &2
&1 0
Operación imposible por ser distinto el nº de columnas de la 1ª matriz y el nº de filas de la 2ª matriz.
M" N '
0 3 &1
"
3
1 '
10
3
4 &1
&1 0
Operación posible por coincidir el nº de columnas de la 1ª matriz y el nº de filas de la 2ª matriz.
b)
1 0 &2
2 &1
natural
A
B
C
550 400 240
descafeinado 260 200 100
nat des
A 2.20 3.20
" B 2.75 3.90 '
natural
nat des
2910 4184
descafeinado 1372 1972
C 2.50 3.60
P = Tipos de café por Modalidades de café (peso en kilogramos)
Q t = Modalidades de café por tipos de café (precio en euros/kilogramo)
La suma de la diagonal principal de la matriz P " Q t es el beneficio obtenido por la venta de todo el café:
2910 euros se obtienen de la venta del café natural y
1972 euros se obtienen de la venta del café descafeinado.
I.E.S. Los Pedroches. 2º de Bachillerato - Matemáticas II de las CC.SS. Curso 2011-12.
EJERCICIO 1 DE SELECTIVIDAD Jun’11 B2
Sea el recinto determinado por las siguientes inecuaciones:
a) (0.50 puntos) Razone si el punto de coordenadas (4.1, 11.7) pertenece al recinto.
b) (1.25 puntos) Represente dicho recinto y calcule sus vértices.
c) (0.75 puntos) ¿Dónde alcanzará la función
sus valores extremos y cuáles serán éstos?
a) x % y ' 20 : 4,1 % 11,7 # 20 Y 15,8 # 20 V
3x % 5y # 70 : 3 " 4,1 % 5 " 11,7 # 70 Y 70,8 # 70 F
Luego, el punto (4,1; 11,7) no pertenece al recinto.
b) Región factible.
Rectas:
x 0 20
y 20 0
r1 / x % y ' 20 Y y ' 20 & x
r2 / 3x % 5y ' 70 Y y '
70 & 3x
5
x 0 5
y 14 11
r3 / x ' 0 (eje OY)
r4 / y ' 0 (eje OX)
Semiplanos:
< P1 (0 , 0)
Y 0 % 0 # 20 (V) Y P1 0 S1 (semiplano por debajo de r1 , incluida r1)
x % y # 20 /00
< P2 (0 , 0)
Y 0 % 0 # 70 (V) Y P2 0 S2 (semiplano por debajo de r2 , incluida r2)
3x % 5y # 70 /00
< x $ 0 e y $0 Y primer cuadrante incluidos los ejes
Luego, la zona factible es el recinto plano cuadrangular OABC, incluidos los lados.
Vértices. Directamente de la gráfica se obtienen los vértices: O(0, 0); A(20, 0); B(15, 5); C(0, 14)
Nota: si no se ven claro las coordenadas del punto B, se calculan resolviendo el sistema:
70 & 3x
r1 / y ' 20 & x
Y 20 & x '
Y 100 & 5x ' 70 & 3x Y 2x ' 30 Y x ' 15
5
B ' r1 _ r2 Y
70 & 3x
70 & 3 " 15 25
r2 / y '
Y y'
'
' 5 Y B (15 , 5)
5
5
5
c) Optimización. El vector director de la recta d / 0,6x % y ' 0 (obtenida de F(x, y)) es vP ' (&1 ; 0,6) ' (&5 ; 3) .
Los puntos en los que se alcanzan los valores óptimos se obtienen desplazando d paralelamente a sí misma
dentro de la región factible:
- el óptimo máximo se alcanza en B y en C, puntos de dicha región más alejados hacia la derecha (ya que la
recta 2 es paralela a la recta d). Por ejemplo, para B (0 , 14) Y zmáx ' 0,6 " 0 % 14 ' 14 .
70 & 3x
' 14 & 0,6x Y mr ' y ) ' &0,6
2
5
Justificación: r2 2 d , ya que
d / 0,6x % y ' 0 Y y ' &0,6x Y md ' y ) ' &0,6
r2 / y '
- el óptimo mínimo se alcanza en el punto O, punto de dicha región más alejado hacia la izquierda.
O (0 , 0) Y zmín ' 0,6 " 0 % 0 ' 0 .