Una desigualdad entre normas BMO en espacios casi métricos

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Introducción
Definiciones
Resultados previos
Resultados
Una desigualdad entre normas BMO en espacios
casi métricos
Marı́a Emilia Castillo
Facultad de Ciencias Económicas
Universidad Nacional de Tucumán
21 de Septiembre de 2016
Trabajo en conjunto con Marilina Carena y Estefanı́a Dalmasso
Carena-Castillo-Dalmasso
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Objetivo
kf ∗ kBMO ≤ C kf kBMO
f ∗ es la reordenada decreciente de f
f : X → R con X un espacio de tipo homogéneo.
BMO es el espacio de las funciones de oscilación media
acotada
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Casi-distancia
Sea X un conjunto
Una casi-distancia en X es una función simétrica
d : X × X → [0, ∞] tal que d(x, y ) = 0 sii x = y , y tal que
∃K ≥ 1 tal que
d(x, y ) ≤ K (d(x, z) + d(z, y ))
para x, y , z ∈ X .
B(x, r ) = {y ∈ X : d(x, y ) < r }, r > 0.
La familia de todas las d-bolas constituye una base para una
topologı́a en X .
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Resultados
Una medida de Borel µ se dice regular en X si
µ(E ) = ı́nf{µ(U) : E ⊆ U, U abierto}
= sup{µ(K ) : K ⊆ E , K compacto},
para todo subconjunto de Borel E de X .
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Espacio de tipo homogéneo
(X , d, µ) es un espacio de tipo homogéneo si:
(X , d) es un espacio casi-métrico tal que las d-bolas son
conjuntos abiertos
µ es una medida regular de Borel no negativa que satisface la
condición doblante si existe A ≥ 1 tal que
0 < µ(B(x, 2r )) ≤ Aµ(B(x, r )) < ∞
para todo x ∈ X y r > 0.
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BMO
Una función f ∈ L1loc es de oscilación media acotada si
existe M ≥ 0 tal que
Z
1
|f − fB | dµ ≤ M
µ(B) B
para toda bola B ⊆ X . (f ∈ BMO(X ))
kf kBMO
1
:= sup
B⊆X µ(B)
Z
|f − fB | dµ,
B
donde el supremo se toma sobre todas las bolas B ⊆ X .
Si sólo consideramos bolas contenidas en un conjunto medible
E de X , denotamos como f ∈ BMO(E ).
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Cubos diádicos de Christ
Dado un espacio de tipo homogéneo (X , d, µ) y j ∈ Z, existe un
conjunto de puntos {xkj : k ∈ Ij } y una familia de conjuntos
{Qkj : k ∈ Ij } en X que satisfacen las siguientes propiedades:
(d.1) para cada j ∈ Z, Qkj ∩ Qij 6= ∅ implica que k = i;
(d.2) si j ≥ `, luego Qkj ⊆ Qi` o Qkj ∩ Qi` = ∅, para cada k ∈ Ij ,
i ∈ I` ;
S
(d.3) para todo j ∈ Z, X = k∈Ij Qkj ;
(d.4) µ(∂Qkj ) = 0, para todo Qkj , donde ∂E denota la frontera de
E;
P
(d.5) µ(Qkj ) = i:Q ` ⊂Q j µ(Qi` ), para cada j ∈ Z, ` ≥ j + 1 y
i
k
k ∈ Ij .
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Cubos diádicos de Christ
(d.6) X es acotado sii existe j ∈ Z y k ∈ Ij tal que X = Qkj .
(d.7) B(xkj , aδ j ) ⊆ Qkj ⊆ B(xkj , cδ j ) para todo Qkj ;
(d.8) para todo Qkj y ` < j existe un único i ∈ Ij tal que Qkj ⊆ Qi` ;
(d.9) para todo Qkj , card{i ∈ Ij+1 : Qij+1 ⊆ Qkj } ≤ N;
Aquı́ a > 0, c > 0, 0 < δ < 1 y N ∈ N dependen solo de la
constante doblante A, y no j.
Dj := {Qkj : k ∈ Ij }
D :=
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S
j∈Z D
j
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BMOd
Una función f ∈ L1loc (X ) es de oscilación media diádica acotada
(f ∈ BMOd ) si
Z
1
kf kBMOd := sup
|f − fQ | dµ < ∞,
Q µ(Q) Q
con Q ∈ D.
Como antes, si el supremo se toma sólo sobre los cubos
diádicos en un subconjunto medible E de X , escribimos
f ∈ BMOd (E ).
BMO(X ) ⊂ BMOd (X ), la recı́proca no vale en general (ver,
por ejemplo, [GJ82])
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La reordenada decreciente
Sea f : X → R una función medible.
La función de distribución de f es la función
µf : [0, ∞) → [0, ∞] definida por
µf (s) := µ({x ∈ X : |f (x)| > s}).
La reordenada decreciente de f es la función
f ∗ : (0, ∞) → [0, ∞] definida por
f ∗ (t) := ı́nf{s : µf (s) ≤ t},
donde usamos la convención ı́nf ∅ = ∞.
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El espacio Weak-L∞
Definimos la función maximal f ∗∗ de f por
Z
1 t ∗
∗∗
f (t) :=
f (s) ds,
t 0
para t > 0.
El espacio Weak-L∞ sobre espacios métricos de medida,
definido en [Aal12] (e introducido en [BDS81] en el enfoque
euclı́deo) es la familia de todas las f ∈ L1loc (X ) tal que f ∗ es
finita en casi todas partes y
||f ||W := sup(f ∗∗ (t) − f ∗ (t)) < ∞.
t>0
Suponemos que f ∗ (t) es finito para t > 0.
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Resultados previos: caso euclı́deo
kf ∗ kBMO ≤ C kf kBMO , f : Rn → R
n = 1 Garsia and Rodemich en [GR74]
n ≥ 1 Bennett, DeVore and Sharpley en [BDS81] f está en
Weak-L∞ (Q) sii es equimedible a alguna función de BMO(Q)
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Caso espacios métricos
BMO ⊂ Weak-L∞ ([Aal12])
La prueba no involucra reordenada y no permite obtener la
acotación del operador reordenada.
¿kf ∗ kBMO ≤ C kf kBMO ?
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Teorema
Si (X , d, µ) tiene una partición diádica que es no acotada en
medida y f ∈ BMO(X ), luego
f ∗∗ (t) − f ∗ (t) ≤ C kf kBMO ,
0 < t < ∞,
donde C es una constante que depende sólo de las constantes
geométricas A y K .
kf kW ≤ C kf kBMO ,
para toda f ∈ BMO(X ).
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Corolario
Si (X , d, µ) tiene una partición diádica que es no acotada en
medida y f ∈ BMO(X ), luego f ∗ ∈ BMO([0, ∞)) y
kf ∗ kBMO ≤ 2C kf kBMO ,
donde C es la constante del teorema anterior.
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Definición
S
Decimos que una partición diádica D = j∈Z Dj de (X , d, µ) es no
acotada en medida si, ∀M > 0, ∃j0 ∈ Z tal que µ(Q) ≥ M para
todo Q ∈ Dj0 .
Ejemplo: Si (X , d, µ) es un espacio de Ahlfors (es decir,
µ(B(x, r )) ≈ r α ) con µ(X ) = ∞, luego la partición diádica
construida por M. Christ es no acotada en medida, debido a la
propiedad (d.7) y la condición de Ahlfors.
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Herramienta fundamental: lema de cubrimiento
Lema
(X , d, µ) tiene una partición diádica que es no acotada en medida,
y sea G un subconjunto abierto de X con µ(G ) < ∞. Existe una
familia, a lo más numerable, de cubos diádicos Qj que cubren a G ,
que son disjuntos y satisfacen
1
µ(G ∩ Qj ) ≤ µ(Qj ) ≤ µ(Qj \G );
2
X
µ(Qj ) ≤ 2Am0 µ(G ),
j
donde m0 ∈ N 2m0 −1 ≥ Kcδ −1 a−1 , K es la constante de la
desigualdad triangular para d, y a, c y δ son los dados en (d.7).
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Aplicación: desigualdades de tipo Gagliardo-Nirenberg
q/p
1−q/p
kf kLp (X ) ≤ Cp kf kLq (X ) kf kBMO(X )
Observación
Una versión local de nuestro resultado implica que la desigualdad
anterior vale en espacios de tipo homogéneo acotados (por ejemplo
en fractales), siempre que fX = 0.
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Daniel Aalto, Weak L∞ and BMO in metric spaces, Boll.
Unione Mat. Ital. (9) 5 (2012), no. 2, 369–385. MR 2977254
Colin Bennett, Ronald A. DeVore, and Robert Sharpley,
Weak-L∞ and BMO, Ann. of Math. (2) 113 (1981), no. 3,
601–611. MR 621018 (82h:46047)
John B. Garnett and Peter W. Jones, BMO from dyadic BMO,
Pacific J. Math. 99 (1982), no. 2, 351–371. MR 658065
(85d:42021)
A. M. Garsia and E. Rodemich, Monotonicity of certain
functionals under rearrangement, Ann. Inst. Fourier (Grenoble)
24 (1974), no. 2, vi, 67–116, Colloque International sur les
Processus Gaussiens et les Distributions Aléatoires (Colloque
Internat. du CNRS, No. 222, Strasbourg, 1973). MR 0414802
(54 #2894)
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Gracias!
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