B A C` C B` A`

AFINIDAD
DI
RE
CC
IÓ
N
A'
DEFINICIÓN Y GENERALIDADES.
La afinidad es un caso particular de homología, cuando el centro de
B'
esta es un punto impropio (se encuentra situado en el infinito). En
C'
A
B
este caso los rayos proyectantes (que une puntos homólogos) serán
paralelos, pudiendo ser oblicuos, perpendiculares o paralelos al eje.
C
(Ilustración nº 1)
•
Las rectas afines deben cortarse en un punto del eje.
•
Se llama dirección de afinidad al ángulo formado por los rayos
ILUSTRACIÓN Nº 1
A'M / AM = - K
proyectantes con el eje.
DI
RE
CC
IÓ
N
A
•
C
razón de afinidad y se representa con la letra K. Esta razón es
constante para cualquier par de puntos afines, pudiendo ser positi-
B
va o negativa.
M
EJE
B'
lado del eje. (Ilustración nº 3).
A'M / AM = + K
DI
RE
CC
IÓ
N
Si K es negativa las dos figuras afines están a distinto lado.
(Ilustración nº 2). Si + K: las dos figuras afines están a un mismo
ILUSTRACIÓN Nº 2
A
Toda recta paralela a la dirección de afinidad es una recta doble.
•
El eje de afinidad es una recta doble de puntos dobles, pues en él
•
Si una recta y su homóloga son paralelas, ambas lo son respecto
del eje de afinidad (no son afines).
A'
B
•
se cortan todos los pares de rectas afines.
C
C'
Definida la afinidad por la dirección y la razón, sólo hay que trazar
B'
paralelas por los vértices de la figura a la dirección de afinidad, transportando sobre la misma a partir del eje como origen, distancias obte-
M
nidas de la razón de afinidad. (Ilustración nº 2).
ILUSTRACIÓN Nº 3
En la ilustración nº 3 se ha obtenido el transformado de un triángulo
A
DIRECCIÓN
•
C'
A'
EJE
La relación de afinidad A’M / AM = B’N / BN se denomina
dado mediante afinidad. Para ello se ha llevado a partir de M la disC
tancia MA’, según la razón de afinidad (+ K), sobre la recta trazada
desde A paralela a la dirección dada; los demás puntos se obtiene
B
M
prolongando los lados del triángulo sobre el eje y uniendo los puntos
EJE
B'
A'
dobles con el afín de A.
C'
* Dirección de afinidad perpendicular al eje: Los rayos proyectantes son perpendiculares al eje (K = A’M / AM = -1. Si los puntos afi-
A
A'
C
B
C'
B'
DIRECCIÓN
ILUSTRACIÓN Nº 4
nes equidistan del eje se convierte en simetría axial, con el eje de
afinidad como eje de simetría. (Ilustración nº 4)
* Dirección de afinidad paralela al eje: Los rayos proyectantes son
EJE
paralelos al eje. En este caso la afinidad se convierte en traslación de
dirección igual a la de afinidad. (Ilustración nº 4)
DETERMINACIÓN DE UNA AFINIDAD.
A
Para determinar gráficamente una afinidad es preciso conocer, además de
una de las figuras, los siguientes elementos:
C
Dos puntos homólogos (B y B’) nos definen la dirección de afinidad así
como la razón de afinidad (ilustración nº 4). Queda definida la afinidad,
sólo hay que aplicar el método explicado en la ilustración nº 2).
B'
Dos pares de puntos homólogos (AA’, BB’) y un punto (M) del eje.
Como se vio anteriormente dos pares de puntos de homólogos (AA’ y
BB’) definen la dirección y la razón de afinidad, pero si prolongamos los
lados homólogos (AB y A´B´) se cortarán en un punto (N) que pertenece
al eje de simetría, uniendo el punto anterior (N) con el dado (M) mediante
una recta quedará definido el eje, y con él la afinidad.
A
B
EJE
C
M
N
C'
Tres puntos (ABC) no alineados y sus homólogos (A’B’C’).
B'
Caso parecido al anterior. Si prolongamos los lados homólogos (AB y
A’B’, BC y B’C’) cada par se cortará en un punto (M y N), puntos pertenecientes al eje de simetría; luego al trazar una recta que pase por ambos
quedará definido el eje, y con él la afinidad.
A'
ILUSTRACIÓN Nº 4
TRANSFORMACIÓN AFÍN DE UN POLÍGONO.
C
Dado el sistema de afinidad definido por un punto homólogo (B’) del
pentágono regular dado (ABCDE), el eje y la dirección de afinidad , para
trazar el pentágono transformado del dado se procede según el método
explicado en la ilustración nº 5.
D
B
A
E
M
EJE
Como un lado del pentágono es paralelo al eje su homólogo también lo
será, no obstante esta indeterminación se resuelve como ya se hizo en
homología trazando la diagonal al pentágono por uno de los vértices del
lado paralelo, hasta que corte al eje en un punto (M).
E'
A'
D'
B'
C'
DIREC
AFINID CIÓN DE
AD
El eje y un par de puntos homólogos (AA’).
B
EJE
TRANSFORMACIÓN AFÍN DE UNA CIRCUNFERENCIA.
DATOS:
(Ilustración nº 6).
Dada la circunferencia de centro O, su homólogo O’ y el eje de afinidad.
Al unir O con O’ mediante una recta queda definida la dirección de afinidad. (Ilustración nº 6)
1º) Se unen los puntos homólogos mediante un segmento y trazándole a
éste la mediatriz el punto de intersección (P) entre ésta y el eje será el
centro de una circunferencia que pase por O y O’.
* B y B'
* EJE DE AFINIDAD
* DIRECCIÓN DE AFINIDAD
ILUSTRACIÓN Nº 5
T4
T1
O
T3
T2
2º) La circunferencia anterior cortará al eje en dos puntos (R y S), uniendo éstos con el centro de la circunferencia (O) mediante rectas determinarán las direcciones de dos diámetros perpendiculares de la circunferencia (O se encuentra en el arco capaz de 90º de R y S).
3º) Al unir los puntos anteriores (R y S) con O’ quedan determinados los
ejes de la elipse resultado de la transformación.
4º) Uniendo R y S con O nos determinan los puntos T1, T2, T3 y T4 que
al unirlos nos determinan T’1, T’2, T’3 y T’4.
R
3
1
P
EJE
S
2
T'2
T'3
O'
T'1
5º) K= T’3P / T3P = T’4P / T4/P = T’1P / T1P = T’2 P/ T2P.
T'4
ILUSTRACIÓN Nº 6