4 - IMERL

Primer Parcial de Cálculo 2.
9 de octubre de 2007.
Apellido y nombre
Cédula de Identidad
Nmro. parcial
El parcial consta de 10 preguntas de múltiple opción. Cada respuesta correcta vale 4 puntos, incorrecta −1
punto, y sin responder o de respuesta dudosa 0 punto.
La duración del parcial es de 3 horas. Durante el mismo no se puede utilizar material ni calculadora.
Las únicas respuestas válidas son las que marque en la hoja de escáner. Para autocontrol por favor llevarse
anotadas las respuestas que marque y la versión de parcial (el primer renglón del enunciado del primer
ejercicio). Toda la información sobre el parcial será publicada en la Web del curso.
1. Sea f (x, y) = (x6 + x8 + y 4 )/(2y 3 ) si y 6= 0,
f (x, 0) = 0.
Cuando (x, y) → (0, 0) calcular, si existen, el lı́mite direccional Lu de f según la dirección
u = (cos φ, sen φ), el lı́mite Lα de f a lo largo de la curva α : y = x2 , y el lı́mite L de f (x, y).
A) Lu = cos φ , Lα = 1/2,
L no existe.
C) Lu = 0 ∀ u, Lα = 1/2,
L no existe.
E) Lu = 0 ∀ u, Lα = 1/2,
L = 0.
B) Lu = cos φ , Lα = 0,
D) Lu = 0 ∀ u, Lα = 0,
L no existe.
L = 0.
2. Sean f (x, y) = (ex+y , x2 + 2y) y g : R2 7→ R con matriz Jacobiana Jg(1, 3) = [3 1]. Hallar
el vector gradiente de (g ◦ f ) en el punto (−1, 1).
A) (1, 5)
B) (−4, 4)
C)(4, −4)
D)(5, 1)
E) (−5, 7)
3. Calcular el diferencial df(0,1,2) (∆x, ∆y, ∆z) siendo f (x, y, z) = z + y 3 (1 + x) + z 3 (x + y) + 2.
A)9∆x + 11∆y + 13∆z
C) 33 (∆x + ∆y + ∆z)
B) 15 (∆x + ∆y + ∆z)
D) 33 (∆x, ∆y, ∆z)
E) (9∆x, 11∆y, 13∆z)
4. Sean las sucesiones en R2 :
(−1)n (n + 1)
2
an =
, n +1 ,
n
bn =
(−1)n
n2
, 2
n
n + 2n + 1
A) an → (1, 1) y bn → (0, 1).
B) an → ∞ y bn → (0, 1)
C) an → (−1, 1) y bn no tiene lı́mite finito ni infinito.
D) an no tiene lı́mite finito ni infinito y bn → (0, 1).
E) an → ∞ y bn no tiene lı́mite finito ni infinito.
5. Resolver y 00 − 4y 0 + 4y = 6e2x ,
y 0 (0) = 5 y calcular y(2).
y(0) = 2,
A) y(2) = 6e4
B) y(2) = 12e4
D)y(2) = 16e4
E) y(2) = 12
1
C)y(2) = 4e4
6. Sea f (x, y) = (x2 + y 2 )3/2 . Sea B la bola abierta de centro en el origen y radio 1.
A) f es uniformemente continua en B y también en R2 .
B) f no es uniformemente continua en B pero sı́ lo es en R2 .
C) f no es uniformemente continua en B ni en R2 .
D) f es uniformemente continua en B pero no lo es en R2 .
7. Sea f real definida en el abierto V ⊂ Rn . Se consideran las tres afirmaciones siguientes:
(X) Si f es de clase C 1 en V entonces f es necesariamente diferenciable ∀ a ∈ V .
(Y) Si f es diferenciable ∀ a ∈ V entonces f es necesariamente de clase C 1 en V .
(Z) Si f es diferenciable ∀ a ∈ V entonces f es necesariamente continua en V .
A) (X) y (Z) son verdaderas e (Y) es falsa.
B) (X), (Y) y (Z) son verdaderas.
C) (X) e (Y) son verdaderas y (Z) es falsa.
D) (X) e (Y) son falsas y (Z) es verdadera.
E) (X) es verdadera e (Y) y (Z) son falsas.
8. Sea f (x, y) = 0 si y ≤ x2 ó si 2x2 ≤ y, y f (x, y) = |xy| si x2 < y < 2x2 . En el origen f
es:
A) no continua ni diferenciable, pero sus derivadas direccionales existen y valen 0.
B) continua y no diferenciable, pero sus derivadas direccionales existen y valen 0.
C) no continua ni diferenciable, y no existe alguna de sus derivadas direccionales.
D) continua y no diferenciable, y no existe alguna de sus derivadas direccionales.
E) continua, diferenciable y sus derivadas direccionales existen y valen 0.
9. Encontrar la ecuación del plano tangente en el punto (0, 2, 1) a la superficie gráfica de la
función z = f (x, y) = e2x (x2 + 3y) − 5.
A) z = 6y − 11
D) z = 3y − 5
B)z = 3y
C) z = 12x + 3y
E) z = 12x + 3y − 5
10. Sea C = A ∪ B, donde A y B son las conjuntos siguientes (|| · || indica la norma usual en
R2 ):
1
n 1
+
2
+ (−1) , 2 + 2 , n ∈ N
A= p∈R :p=
,
B = p ∈ R2 : ||p − (0, 0)|| ≤ 1 .
n
n
Hallar la frontera ∂C y el conjunto C 0 de los puntos de acumulación de C.
A) ∂C = A ∪ {p ∈ R2 : ||p − (0, 0)|| = 1},
C 0 = ∂C ∪ {(−1, 2), (1, 2)}.
B) ∂C = A ∪ {(−1, 2), (1, 2)} ∪ {p ∈ R2 : ||p − (0, 0)|| = 1},
C 0 = B ∪ {(−1, 2), (1, 2)}.
C) ∂C = {(−1, 2), (1, 2)} ∪ {p ∈ R2 : ||p − (0, 0)|| = 1},
C 0 = ∂C ∪ B.
D) ∂C = {(−1, 2), (1, 2)} ∪ {p ∈ R2 : ||p − (0, 0)|| = 1},
C 0 = A ∪ B.
E) ∂C = A ∪ {(−1, 2), (1, 2)} ∪ {p ∈ R2 : ||p − (0, 0)|| = 1},
2
C 0 = A ∪ B ∪ {(−1, 2), (1, 2)}.
RESPUESTAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
A
A
B
D
D
A
E
E
B
3