Un tema central en el estudio del Cálculo es el concepto de límite. A

Un tema central en el estudio del Cálculo es el concepto de límite. A

Dr. Juan R. Mejías Ortiz
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Un tema central en el estudio del Cálculo es el concepto de límite. A medida que avance
el curso se notará que éste concepto aparece en la definición de los conceptos más importantes
del cálculo. Para ir en búsqueda de una definición del límite,
exploremos la siguiente situación. En la gráfica a la derecha se
observa que los valores que toma una función f(x) en un intervalo
(c, L)
abierto (c – δ, c + δ) se va aproximando a un punto denominado c por
ambos lados (izquierda y derecha). Así el límite de f(x) es L cuando x
tiende a c.
Definición de Límite
Sea f(x) una función definida en un intervalo abierto que contiene a c, y L
es un número real ( ).
Entonces:
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳
𝒙→𝒄
Esto quiere decir que para todo ε > 0 existe un δ > 0, de manera que
|
|
| ( ) |
entonces
( )=
Lo más importante para recordar en esta definición es que al emplear la notación
→
se está afirmando que existe un límite de la función cuando x se acerca arbitrariamente a c y
que ese límite es L.
Tenemos a nuestra disposición tres métodos que nos permiten encontrar los límites de
una función en un intervalo abierto. Esto son el método numérico, el método gráfico y el método
algebraico. Te invito a explorar cada uno de estos tres métodos. En cada sección se discuten
ejercicios que promueven una mejor comprensión del concepto límite.
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1. MÉTODO NUMÉRICO
Este método permite estimar el límite de una función al evaluar el comportamiento de la
misma en varios puntos cercanos a x = c, en dos conjuntos de valores de x, uno que se acerque
por su izquierda y otro que se acerque por su derecha para estimar el límite. Veamos los
siguientes ejemplos.
EJEMPLO 1: Evalúa la función ( ) =
resultados para estimar el límite.
en varios puntos cercanos a x = 2 y utilizar los
Construye una tabla de valores cercanos a x = c, en este caso x = 2. Recuerda asignar
valores que se acercan tanto a la izquierda y derecha de c.
x
f(x)
1.9
4.61
1.99
4.9601
1.999
4.996001
2
¿?
2.001
2.01
5.004001 5.0401
2.1
5.41
En la tabla de valores se observa que tanto por la izquierda y por la derecha cuando x = 2
es 5. Entonces se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a 2 es 5. En la notación,
( )=
→
EJEMPLO 2: Evalúa la función ( ) =
en varios puntos cercanos a x = 5 y utilizar
los resultados para estimar el límite.
Sustituye cada uno de los valores asignados a x en ( ) =
x
f(x)
4.9
2.9
4.99
2.99
4.999
2.999
5
¿?
5.001
3.001
.
5.01
3.01
5.1
3.1
En la tabla de valores se observa que cuando x = 5, se acerca a 3 tanto por la izquierda y
por la derecha. Entonces se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a 5 es 3. En la
( )=
notación,
→
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EJEMPLO 3: Evalúa la función
√
→
√
.
√
Sustituye cada uno de los valores asignados a x en ( ) =
x
f(x)
-0.1
0.2911
-0.01
0.2889
-0.001
0.2887
0
¿?
0.001
0.2887
√
0.01
0.2884
Al evaluar el límite por la izquierda y derecha de 0 nos da que
EJEMPLO 4: Evalúa la función ( ) =
.
→
0.1
0.28630
√
√
=
en varios puntos cercanos a x = 0 y utilizar los
resultados para estimar el límite.
x
f(x)
-0.1
500
-0.01
50000
-0.001
500000
0
¿?
0.001
5000000
0.01
50000
0.1
500
En la tabla de valores se observa que en la medida que se asigna valores que se acercan a
0 tanto por la izquierda como por la derecha el valor obtenido crece sin límite alguno.
Esto es si decimos que
| |
| |
entonces
entonces
( )=
( )=
. De otra manera
. Como la función no se acerca a
ningún número real cuando x tiende a 0, no tiene límite. O sea
→
no tiene límite.
Para una mayor comprensión de este caso emplearemos el segundo método.
2. MÉTODO GRÁFICO
Este método consiste en analizar la función por medio de su comportamiento gráfico. Los
primero que se debe realizar es la construcción de la gráfica de la función. Puedes asignar
valores a x para obtener y para dibujar los pares ordenados, utilizar una calculadora gráfica o una
calculadora gráfica en línea. (https://www.desmos.com/calculator). Volvamos al ejemplo
anterior.
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EJEMPLO 5: Evalúa la función ( ) =
en varios puntos cercanos a x = 0.
Empleemos una calculadora gráfica para evaluar el
comportamiento gráfico de la función. En la gráfica se
observa que cuando x tiende a 0 la función sigue
creciendo al infinito. Por lo cual, la función no tiene
límite.
EJEMPLO 6: Evalúa la función ( ) =
cuando x tiende a 2.
En la gráfica se observa que f(x) se acerca a 5 tanto por la
izquierda como la derecha cuando x tiende a 2. Por lo cual,
→
EJEMPLO 7: Evalúa la función
( )={
( )=
=
→
( ).
=
Aunque cuando x = 2, existe un punto en (2, 4), al
evaluar f(x) tanto por la izquierda como por la derecha
tiende a 7. Por lo cual, el límite es 7. O sea,
→
( )=
•
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3. MÉTODO ALGEBRAICO
Hemos explorado el método numérico y el método gráfico para estimar el límite de una
función. En esta sección emplearemos los algoritmos algebraicos para calcular el límite de una
función dada. Antes de discutir los ejemplos, estudie las siguientes propiedades de los límites.
Propiedades de los Límites
Sean b, c números reales, n un número entero positivo,
f(x) y g(x) funciones con límites, de tal manera que
( )= y
( ) = entonces:
→
→
=
→
=
→
=
→
Múltiplo escalar
( )=
→
Suma y Resta
( )
→
Producto
( ) ( ) =
→
Cociente
→
( ) =
( )
=
( )
Potencia
→
( )
=
EJEMPLO 8: Determina el límite de la función ( ) =
→
=
→
=
= ( )
=
→
→
→
→
( )
cuando x = 2.
→
Propiedad de la suma y resta
Propiedad Múltiplo Escalar
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Veamos los siguientes teoremas de los límites para funciones que sean polinomiales,
racionales o que contengan radical.
Teoremas de los Límites de funciones polinomiales,
racionales y que contengan un radical
Si p(x) es una función polinomial y c es un número real,
entonces:
𝐥𝐢𝐦 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝒄)
𝒙→𝒄
Si ( ) =
( )
( )
es una función racional y c es un número
real de modo que q(x)≠0, entonces:
𝒑(𝒙) 𝒑(𝒄)
=
𝒒(𝒄)
𝒙→𝒄 𝒒(𝒙)
𝐥𝐢𝐦 𝒓(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
Sea n un entero positivo, valido cuando c > 0 (si n es par)
o para todo c si n es impar.
→
EJEMPLO 9: Encuentra
.
→
→
(
→
(
)
(
)
)
( )=
El límite de f(x) es -243.
EJEMPLO 10: Encuentra
→
( )
( )
→
( )
√ =√
= =
El límite de f(x) es 0.
.
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EJEMPLO 11: Encuentra
.
→
Si intentas evaluar la función en f(-5) el denominador daría 0, haciendo de la función una
indeterminada. Veamos.
→
(
)
=
Esto significa que se tiene que hacer uso de procesos algebraicos como la
factorización para calcular el límite de la función.
→
( )=
→
( )=
→
( )=
→
( )=
(
)(
)
Cancelar términos semejantes.
Así que el límite de f(x) es -10.
EJEMPLO 12: Encuentra
→
Como en el ejemplo anterior al evaluar f(3) nos queda cero en el denominador haciendo
de la función una indeterminada. Por lo cual, es necesario emplear la factorización.
→
( )=
(
)(
)
(
)(
)
→
( )=
(
)
(
)
→
( )=
(
)
(
)
→
( )=
→
( )=
Así que el límite de f(x) es -1/3.
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EJEMPLO 13: Encuentra
→
→
√
.
√
=
→
√ ( )
=
→
=
→
( )
√
=
Así que el límite de f(x) es 3.
EJEMPLO 14: Encuentra
→
√
Al sustituir x = 0 nos queda una expresión indeterminada. Es necesario racionalizar el
numerador.
→
→
→
√
√
√
(√
√
)
=
Así que el límite de f(x) es ½.
=
→
→
√
(√
)
=
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Teorema de los Límites de funciones trigonométricas
Si c es un número real en el dominio de la función
trigonométrica dada, entonces:
=
→
=
→
=
→
=
→
=
→
=
→
EJEMPLO 15: Encuentra
→
(
).
Para encontrar el límite es necesario aplicar las identidades trigonométricas.
→
=
(
)
→
=
=
=
→
→
→
( ) =
El límite de f(x) es 3.
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Límites Trigonométricos Especiales
=
→
=
→
( )=
( )=
EJEMPLO 16: Encuentra
.
→
Se multiplica por uno (5/5).
=
→
Se aplica el límite trigonométrico especial.
=
→
= ( )
El límite de f(x) es 5.
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EJEMPLO 17. Encuentra el límite de
→
=
=
=
→
→
→
=
=
→
→
( )=
El límite de f(x) es 1.