Olimpiada Mexicana de Matemáticas Curso de entrenadores 2014

Transcripción

Olimpiada Mexicana de Matemáticas
Curso de entrenadores 2014
Edición: Leonardo I. Martı́nez Sandoval
9 de diciembre de 2014
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Índice general
1. Introducción
1.1. Curso de entrenadores 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Participantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Organización estatal
2.1. La Olimpiada en Nuevo León . . . . . . . . . .
2.2. Cómo ser un (buen) entrenador (de Olimpiada)
2.3. Álgebra en Cuernavaca . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Descripción . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Filosofı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. El entrenamiento . . . . . . . . . . . . .
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3. Álgebra y teorı́a de números
3.1. Temario álgebra y teorı́a de números . . . . . . . . . . . . .
3.2. Problemas álgebra y teorı́a de números . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Propiedades de los números (operaciones: suma, producto. Existencia de los inversos) . . . . . . . . . . .
3.2.3. Sucesiones y patrones numéricos . . . . . . . . . . . .
3.2.4. Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5. Múltiplos y divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.6. Maximo común divisor y mı́nimo común múltiplo . .
3.2.7. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.8. Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.9. Sumas de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.10. Operaciones básicas con lenguaje algebraico . . . . .
3.2.11. Leyes de los signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ÍNDICE GENERAL
3.2.12.
3.2.13.
3.2.14.
3.2.15.
3.2.16.
3.2.17.
3.2.18.
Simplificación de fracciones algebraicas
Exponentes . . . . . . . . . . . . . . .
Productos notables . . . . . . . . . . .
Factorización . . . . . . . . . . . . . .
Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . .
Desigualdades e inecuaciones . . . . . .
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4. Combinatoria
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4.1. Temario introductorio para combinatoria . . . . . . . . . . . . 41
4.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5. Geometrı́a
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Capı́tulo 1
Introducción
1.1.
Curso de entrenadores 2014
Cada año la Olimpiada Mexicana de Matemáticas organiza un curso de
entrenadores para preparar a estudiantes y profesores que quieran dar entrenamientos en los niveles estatales. En 2014 este curso se llevó a cabo del 10
al 13 de abril en CIMAT, Guanajuato, Guanajuato.
Este es un documento que recopila el trabajo realizado en el curso. Por
una parte, se compartieron experiencias exitosas acerca de la organización
de algunas olimpiadas estatales. El objetivo de esto fue compartir la filosofı́a
y la logı́stica que se tiene en distintos estados del paı́s. La participación en
este sentido fue rica y se compartieron varios puntos de vista.
También hubo una parte matemática importante. Se habló de los temas
básicos en cada una de las áreas de la Olimpiada: álgebra, combinatoria,
geometrı́a y teorı́a de números. Una gran parte del trabajo fue realizado
por los asistentes. Ellos compartieron sus ideas y colaboraron para armar
temarios de estas áreas. Además, participaron en la creación de más de 160
problemas que se compilan en las siguientes secciones. Esta enorme colección
es un excelente punto de partida para la creación de exámenes de primeras
etapas y para la elaboración de listas de trabajo en las primras sesiones de
entrenamiento.
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
1.2.
Participantes
A continuación se enlistan los asistentes al curso de entrenadores. Se agradece su participación, sin la cual este documento no serı́a posible: Alejandro
Contreras Balbuena, Alfredo Saracho Durán, Alicia Ramón Barrios, Antonio
Rosales Rivera, Ashley Antonio Olmedo Ortiz, Beatriz Adriana Alvarado
Castro, Benito Fernando Martı́nez Salgado, Blanca Yazmı́n Radillo Murguı́a, Carlos Alberto Sánchez Torres, Carlos López González, Carmen Jazmı́n
Isaı́as Castellanos, Cecilia Edith Hernández Fregoso, Claudia Lucı́a Guerrero
González, Delfo Urbina Hernández, Demian Espinosa Ruiz, Diego Terán Rı́os,
Edward Melchisedech Navarrete Pineda, Efraı́n Casillas Carrillo, Eugenio Daniel Flores Alatorre, Francisco Flores Macı́as, Francisco Gómez Hernández,
Gabriel Gutiérrez Garcı́a, Hernán Rafael Dı́az Martı́n, Jair Remigio Juárez,
Jesús Arturo Lucio Coronado, Jesús Eduardo Rı́os Rochin, Jesús Eduardo
Rı́os Torres, Jorge Fernández Hidalgo, José Félix Garcı́a Goitia, José Luis del
Ángel Medellı́n, Juan Camacho Cordero, Juan Gabriel Geraldo Hernández,
Julio Rodrı́guez Hernández, Marcelino Ramı́rez Ibáñez, Marı́a Araceli Juárez
Ramı́rez, Marı́a del Rosario Soler Zapata, Marı́a del Rosario Velázquez Camacho, Marı́a Guadalupe Russell Noriega, Martı́n Velasco Hernández, Melida
Carranza Trejo, Miguel Santoyo Mondragón, Nancy Janeth Calvillo Guevara, Norberto Ordoñez Ramı́rez, Owen Yael Mireles Briones, Paulina Linares
Arroyo, Rafael Salgado Velázquez, Ramón Jardiel Llanos Portales, Rogelio
Reyes Palma, Roger Ramos Ramos, Rosario Santillán Baltazar, Rosaura del
Carmen Garcı́a de la Rocha, Salvador Segovia Gastelum, Saúl Dı́az Alvarado, Silvia Evelyn Ward Bringas, Ulises Juan Carlo González Reina, Vı́ctor
Antonio Aguilar Arteaga, Viviana Rivera Monjaras y Zeus Caballero Pérez.
Ası́ mismo, el curso se llevó con agilidad y hacia el camino correcto gracias
a cada uno de los encargados de las distintas secciones
Héctor Raymundo Flores Cantu
Luis Miguel Garcı́a Velázquez
Hugo Villanueva Méndez
César Octavio Pérez Carrizales
Rogelio Valdéz Delgado
Leonardo Ignacio Martı́nez Sandoval
Capı́tulo 2
Organización estatal
En la parte de organización estatal se compartieron varias experiencias
de cómo organizar entrenamientos o temas. Los participantes fueron los siguientes:
Héctor R. Flores Cantú
Eugenio D. Flores Alatorre
Rogelio Valdéz Delgado
2.1.
La Olimpiada en Nuevo León
Por Héctor Flores Cantú
2.2.
Cómo ser un (buen) entrenador (de Olimpiada)
Por Eugenio Daniel Flores Alatorre - [email protected]
Cuando me propuse empezar a escribir este pequeño texto, quise hacer
memoria de cómo fueron mis primeros pasos como entrenador de Olimpiada
en San Luis. La verdad no recuerdo mucho pero fue algo bastante improvisado: nadie me dijo cómo, sólo me dieron una lista de problemas casi idéntica
a la que habı́a tenido en mis manos un año atrás como participante. Cuando
quise recordar cómo han sido los primeros pasos de los nuevos entrenadores,
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CAPÍTULO 2. ORGANIZACIÓN ESTATAL
la verdad es que lo único que ha cambiado es que ahora ni siquiera les doy
una hoja de problemas. Supongo que la mayorı́a de nosotros nos aventuramos en esto tratando de imitar lo bueno que recibimos y evitar lo que no nos
gustó tanto.
Aunque me he encontrado gente genuinamente talentosa en cada distinta
actividad, estoy convencido de que la mayorı́a de nosotros podemos suplir
nuestras deficiencias con trabajo, esfuerzo y dedicación hasta llegar a fingir
talento que termina por ser indistinguible. Escribo esto pensando no sólo
en ex-olı́mpicos que desean estar ahora del otro lado, también en profesores
y hasta padres que quieren ayudar a preparar grupos de olimpiquitos de
cualquier nivel. En principio, me parece que lo que uno necesita para ser un
buen entrenador de Olimpiada no es distinto de lo que uno necesita para ser
un buen profesor, que resumirı́a en un proceso cı́clico de tres tiempos.
1. Antes
La primera parte del trabajo empieza en la preparación, que es en dos
sentidos: tu preparación personal que te permite dominar los temas
o estrategias que quieres trabajar en la sesión y la preparación de la
sesión misma, ya sea elaborar una buena lista de problemas, algún material manipulable, analogı́as, videos, ejemplos. Este antes se resume en
dos preguntas: qué y cómo. Entiendo que en nuestro contexto tengamos
una visión muy satanizada de la planeación; en la Olimpiada, ésta no es
tanto una traba burocrática con formatos rı́gidos sino una guı́a para ti,
un resumen de tu estrategia de combate que a lo mejor ni siquiera tienes
que escribir: con qué problemas voy a motivar los temas, qué ejemplos
ayudan a empezar la generalización, cuáles contraejemplos pueden ser
útiles, de qué manera se puede ser más claro, qué problemas son retadores pero posibles y cuánto tiempo dedicar a cada actividad. La
ventaja de tener todo escrito es que puede ser reutilizado, mejorado,
compartido.
2. Durante
Este paso del proceso tiene que ver con la ejecución de tu estrategia y tu
desempeño general frente al grupo de olimpiquitos. Una de las primeras
cosas que hay que hacer es ayudar a generar y mantener un ambiente
de mucha confianza y respeto: cuando los olimpiquitos no tienen miedo
de preguntar, de comentar sus intentos de solución, ni de equivocarse
frente a sus compañeros se puede trabajar mucho mejor.
2.2. CÓMO SER UN (BUEN) ENTRENADOR (DE OLIMPIADA)
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Muchos de los aspectos que tienen que ver con la comunicación los irás
perfeccionando con la experiencia: a cuidar tus palabras y expresiones,
tus gestos, atender con la mirada a todo el grupo, reconocer cuándo
alguien tiene dudas, ayudarte de los alumnos más avanzados, etcétera;
es por eso que es tan importante el ambiente de respeto: todos pueden
equivocarse, tú incluı́do, y no tiene nada de malo.
Por supuesto, aquı́ entra en juego tu capacidad para hacer un diagnóstico rápido sobre si tu estrategia está o no funcionando y cambiar el
rumbo, a veces improvisar. También, es algo que irás ganando con experiencia: proponer rápidamente un contraejemplo, señalar el error en
un razonamiento, guiar las respuestas con preguntas, inventar ejercicios,
contar chistes y anécdotas, buscar una explicación desde otro ángulo,
anticipar dudas y errores comunes.
3. Después
Cuando termina la sesión es hora de la reflexión: qué hice bien, qué pude haber hecho mejor. La reflexión es también doble, sobre el qué y
sobre el cómo: ¿me entendieron? ¿me salté algún tema necesario? ¿les
di suficiente tiempo para pensar los problemas? ¿terminé resolviendo
todos los problemas yo? ¿los problemas fueron muy difı́ciles o muy sencillos, demasiados o muy pocos? ¿mis explicaciones fueron suficientes,
mis ejemplos buenos? Las respuestas que tú mismo encuentres a estas
preguntas, o las que puedan darte tus olimpiquitos, deben ayudarte a
preparar tu próxima sesión y ası́ volvemos a empezar.
Aunque el tı́tulo de este texto pudiera ası́ sugerirlo, la verdad es que no
hay recetas; lo que funciona es trabajar mucho y trabajar bien. Si trabajas
muy bien, a lo mejor no hace falta trabajar demasiado; pero si trabajas bien,
probablemente tuviste que trabajar mucho antes. No es cosa de que necesites
todo esto antes de empezar, al principio te alcanza con tus ganas de ayudar,
lo que sabes y algo de sentido común.
Además de estos pasos, hay algunas cosas que permean todo el proceso
y es importante que tengas en cuenta, más como consejos que no se me
ocurrió juntar de otra manera:
Contagia entusiasmo
Si has estado cerca de la Olimpiada, seguro sabes que la mayorı́a del
trabajo se hace en el tiempo libre de todos, el tuyo, el de los alumnos, y
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que, además, es escasamente recompensado, sobre todo económicamente. El punto aquı́ es: si ya todo mundo le está dedicando sus vacaciones
a trabajar en la Olimpiada, ayuda a que sea una experiencia agradable
para todos. Muéstrales que hay belleza en las ideas, en los teoremas y
las soluciones, emociónate genuinamente de sus avances, interésate por
sus dudas y sus metas, disfruten el tiempo de descanso juntos, platı́cales
tus anécdotas de participante, si es el caso.
No tengas miedo a experimentar
Lo más sencillo y normal para todos es tratar de repetir la manera
en que nos enseñaron a nosotros, sobre todo si funcionó bien. Probablemente los que son profesores de escuela ya tienen una dinámica de
trabajo, algunos ejemplos, métodos y orden: tu grupo de Olimpiada es
un buen lugar para jugar con los lı́mites, ver qué tanto puedes empujar
tus métodos y teorı́as didácticas, poner a prueba otros órdenes en los
contenidos, otras explicaciones.
Tus alumnos te van a superar
Al menos eso esperamos todos y es una buena señal de que hacemos un
buen trabajo. Esto sigue presentando un reto importante y una oportunidad para seguir mejorando. Sobre todo, intenta ser de ayuda: propón
problemas retadores aunque no los sepas resolver, mucho mejor si al
menos tienes una idea de cómo empezar, y sigue muy de cerca sus razonamientos para poder encontrarles un error y ofrecer contraejemplos,
ideas, sugerencias.
Comparte experiencias y pide ayuda
Según he podido observar, el tema favorito de muchos de los que trabajan cerca de la Olimpiada es la propia Olimpiada. No tengas miedo
de acercarte a los entrenadores que admiras o reconoces para pedirles
consejo pues en general no te lo negarán, aunque seguramente no tienen
mucho tiempo libre ası́ que muestra paciencia. En particular, es importante que tengas esta buena comunicación con la gente que entrena en
tu mismo estado para que sepan coordinarse y mejorar. Conforme vayas
ganando experiencia, te toca compartirla con los demás: haz públicas
las estrategias que te han servido, los problemas que crees más útiles,
los ejercicios que te parecen más ilustrativos, las soluciones que más te
gustan, etcétera.
2.3. ÁLGEBRA EN CUERNAVACA
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Está bien tomar un descanso
Este, como casi todos, es más fácil decirlo que hacerlo. Si te das cuenta
que tu práctica ha ido decayendo, ya no tienes ganas de preparar tus
entrenamientos, te cansas más rápido, nunca andas de humor, sientes
que pierdes el tiempo, a lo mejor es momento de descansar un rato,
tomar un año sabático por ejemplo. La Olimpiada no deberı́a ser un
obstáculo para tu desarrollo personal o profesional, no es una excusa
para no terminar tu tesis, por ejemplo. Deberı́a ser una motivación y
un lugar feliz de trabajo.
Al final, lo que me parece que marca tu manera de entrenar se resume
en qué tanto dominas lo que quieres enseñar y en todo eso que llamamos
“vocación”: las ganas que tienes de hacer todo lo posible porque tus alumnos
aprendan eso que tú sabes.
2.3.
Álgebra en Cuernavaca
Por Rogelio Valdéz Delgado
2.3.1.
Introducción
Álgebra se ha convertido en un área fundamental en las olimpiadas. Son
frecuentes los problemas de ese tema que aparecen en los concursos, y son
también frecuentes los problemas de otras áreas que hacen uso del álgebra
para su solución. Es importante entonces señalar las principales herramientas
de álgebra que un alumno deberá asimilar paso a paso en su preparación para
los concursos y olimpiadas de matemáticas.
Durante esta discusión mostraremos el desarrollo del entrenamiento de
álgebra, en el estado de Morelos, que se lleva a cabo de mayo a noviembre
de cada año, como preparación de los alumnos participantes en la olimpiada
del estado.
2.3.2.
Descripción
La olimpiada de matemáticas en el estado de Morelos, los exámenes y
entrenamientos, está dividida en varias etapas con un número decreciente
de alumnos al pasar de una etapa a la otra. La primera etapa empieza con
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un examen estatal de opción múltiple, este examen consiste de 20 preguntas, dentro de las cuales siempre aparece al menos un tercio de problemas
algebraicos o de otra área que necesitan conocimientos básicos de álgebra.
Hay que tomar en cuenta que temas de combinatoria y teorı́a de números se
estudian muy poco a nivel secundaria o preparatoria.
A los alumnos seleccionados con este primer examen, se les imparte un
entrenamiento de 4 sábados consecutivos, el primero de estos 4 entrenamientos está dedicado al álgebra. En este primer entrenamiento de álgebra se les
imparte una clase de 2 horas en temas muy básicos de álgebra como son:
Productos Notables
Factorización
Valor absoluto
Desigualdad básica (todo número elevado al cuadrado es mayor o igual
que cero)
Sumas simples (suma de los primeros n naturales, suma de los cuadrados de los primeros n naturales)
Una vez que se concluye esta clase, los alumnos se dividen en grupos
pequeños de 20 alumnos y se les imparte un taller de 3 horas en resolución
de problemas de álgebra, donde los problemas se resuelven usando las ideas
vistas en la clase. La manera en como se ha trabajado en años anteriores,
es el hecho de darle al alumno una serie de problemas tipo olimpiada, para
los cuales, el estudiante debe tener un tiempo razonable para resolverlos.
El profesor eventualmente deberá resolver los problemas, ya sea pidiendo a
algún estudiante que pase al pizarrón o el mismo, pero siempre asegurándose
de que la mayor parte de los alumnos entienda la solución.
Al resolver un problema, se puede intercalar la solución con alguna explicación extra de la teorı́a que se crea pertinente, y siempre contestando todas
las dudas de los estudiantes. Siempre hay que motivar y propiciar la participación de los estudiantes, en la manera que sea crea conveniente, teniendo un
dialogo con el alumno lo más personal que se pueda. La idea es hacer sentir
al alumno, que las matemáticas en la olimpiada son diferentes y mejores que
las que se les enseña en sus escuelas.
Después de estos cuatro entrenamientos se les aplica un segundo examen, ya tipo olimpiada el cual nos permite seleccionar el grupo con el cual se
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trabajará durante los siguientes meses. A partir de este momento, los entrenamientos son dos dı́as a la semana, 8 horas cada dı́a, durante aproximadamente
5 meses.
2.3.3.
Filosofı́a
Existen cuatro áreas de las matemáticas en la olimpiada de matemáticas:
álgebra, geometrı́a, combinatoria y teorı́a de números. Cada una de estas
áreas requiere técnicas diferentes para su enseñanza y cada una tiene sus
problemas especı́ficos de aprendizaje. Además, para dominar cada una de
ellas se requiere la resolución de gran cantidad de problemas.
Durante nuestro proceso de entrenamiento, se le da más importancia al
álgebra que a las otras áreas, en el sentido de que alrededor de una tercera
parte del entrenamiento se dedica exclusivamente al álgebra. La razón de
esto es que nosotros consideramos que el álgebra es formativa para los alumnos, además de que gran cantidad de problemas de las otras áreas requieren
conocimientos de álgebra. Los temas que se enseñan en álgebra, no están
pensados en el sentido de esperar algún problema que se resuelva con ese
tema en especı́fico, sino con la idea de que ese conocimiento particular del
tema pueda ayudar al estudiante a resolver varios problemas, que requieran
ese tema como una parte de la solución global del problema.
Como un ejemplo importante a lo anterior, se podrı́a mencionar el principio de inducción el cual, si se entiende y domina, es una herramienta poderosa
en la resolución de problemas, no sólo en cualquier área de la olimpiada, sino
en las matemáticas en general.
2.3.4.
El entrenamiento
Primera parte
Aquı́ se presentan los temas que consideramos preliminares del álgebra,
es decir, los cuales se podrı́an considerar básicos. Usualmente estos temas los
cubrimos en tres sesiones de entrenamiento de 8 horas cada una, haciendo
énfasis en la teorı́a, con problemas como ejemplos, y no tanto en la resolución
de problemas tipo olimpiada. Esto se les presenta a los alumnos entre mayo
y junio.
1. Números. Definir los diferentes tipos de números con los cuales se trabaja, es decir, naturales, enteros, racionales, reales, etc. Su localización
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en la recta real, propiedades de las operaciones básicas de suma y multiplicación, ası́ como la noción de orden. Sistemas numéricos. Ejemplo
tı́pico de problema: mostrar que la raı́z cuadrada de un primo no es un
número racional.
2. Valor absoluto. Es importante que el alumno tenga claro este concepto
pues nos lleva directamente a la desigualdad de triángulo. Además de
la definición, es conveniente ver las propiedades y resolución de ecuaciones con valor absoluto. En el concurso nacional del 2004 apareció un
problema con valor absoluto.
3. Productos notables. Entre más productos notables se conozcan, más
herramientas y rapidez tiene el alumno para resolver cierto tipo de
problemas. Una buena referencia es el libro de Baldor. Es muy importante conocer, por ejemplo, como elevar al cuadrado un binomio,
trinomio, o alguna expresión con más de 3 términos. Ejemplo, examen
estatal segunda etapa 2014.
4. Factorización. En general, la factorización es el proceso inverso de los
productos notables, por lo cual puede ser un poco más difı́cil de dominar. Es importante para el alumno conocer los diferentes tipos de
factorización de sumas y diferencias de potencias n-ésimas, ası́ como la
identidad de Sophie Germain. En problemas del tipo de mostrar que
ciertas expresiones son compuestas, el conocimiento adecuado de factorización puede ser una herramienta muy útil. Un manejo adecuado
de la factorización y productos notables, permite atacar problemas de
sistemas de ecuaciones.
5. Desigualdades. Aquı́ consideramos sólo la desigualdad básica de que todo número elevado al cuadrado es mayor o igual que cero, ası́ como las
desigualdades entre las medias. Es esencial el manejo de la desigualdad
entre la media aritmética y geométrica. Una combinación de desigualdades y factorización nos lleva a la desigualdad útil.
6. Parte entera y parte fraccionaria. Este tema es de los últimos que hemos incorporado ya que en muchos paı́ses es frecuente ver este tipo de
problemas. Los problemas tı́picos son ecuaciones con parte entera.
Segunda parte
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Consideramos ahora sumas y sucesiones muy particulares de números.
Esta parte es cubierta en dos sesiones de 8 horas cada una, durante el mes
de julio.
1. Progresiones aritméticas. Se empieza con la pregunta tı́pica de calcular
la suma de los primeros n naturales, los primeros n pares o los primeros
n impares. Se generaliza un poco, esto introduciendo el concepto de
progresión aritmética. Ejemplo el problema de los triángulos.
2. Progresiones geométricas. Estas se introducen con el ejemplo tı́pico de
calcular la suma de las primeras n potencias de un número fijo. Ejemplo
el problema de la pelota que rebota, además nos da pie para empezar
a hablar del infinito.
3. Otras sumas. Ver casos de sumas de números que no forman parte de
progresiones geométricas o aritméticas, como la suma de los cuadrados
o cubos de los primeros n naturales.
4. Sumas telescópicas. Es una herramienta útil el hecho de conocer que
ciertas sumas pueden ser calculadas de manera muy rápida, si los sumandos se comportan de cierta forma. También se puede introducir el
concepto de producto telescópico.
Tercera parte
Para formalizar algunas cosas que han sido estudiadas en las primeras
dos partes, es necesario el Principio de Inducción matemática. En esta parte
damos un estudio detallado del principio, teorice y practico. Esta parte es
cubierta en tres sesiones de 8 horas cada una, durante el mes de agosto.
1. El principio de inducción matemática. Se presenta la primera versión
del principio y se les muestran a los estudiantes varios ejemplos que
les permitan ver como se usa y el poder que tiene en matemáticas.
Los ejemplos son para resolver problemas de distintas áreas de las matemáticas. Es de especial interés mostrarles ejemplos donde al parecer
la inducción no funciona, sin embargo al hacer ciertas modificaciones al
problema, es posible mostrar un resultado más fuerte con la ayuda de
inducción. También se estudian las distintas versiones del principio con
sus respectivos ejemplos. Aquı́ la filosofı́a es aprender por repetición,
ası́ que hay que resolver varios problemas.
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2. Coeficientes binomiales. Con la idea de estudiar el teorema del binomio
de Newton, es necesario hacer un estudio detallado de los coeficientes
binomiales desde el punto de vista algebraico. Además de que es otro
lugar donde es muy común usar inducción. Ejemplo cualquier identidad
con coeficientes binomiales.
3. Descenso infinito. Esta técnica es un poco más avanzada, pero la incluimos como complemento a lo ya visto de inducción, y aplicada a
problemas sencillos ya vistos, como mostrar que la raı́z cuadrada de 2
no es un numero racional.
4. Pruebas erróneas por inducción. Es común durante el proceso de inducción, cometer algunos errores en los pasos, por lo cual mostramos
varios ejemplos de situaciones donde hay errores y no son tan claros de
identificar. Ejemplo todas las potencias de 2 son iguales a 1.
Cuarta parte
Aquı́ introducimos la teorı́a de polinomios en los casos de grados pequeños
como 2 y 3. En particular se estudian las relaciones de Vieta y el discriminante
de un polinomio cuadrático. Este material es cubierto en dos sesiones de 8
horas cada una, en el mes de septiembre.
1. Definición y propiedades de polinomios cuadráticos y cúbicos. Presentamos las definiciones básicas de polinomios de estos grados que se
pueden extender a un polinomio de grado arbitrario. También se introducen las relaciones de Vieta entre las raı́ces de un polinomio y sus
coeficientes. Ejemplo Alemania 1970.
2. Raı́ces. Para conocer un polinomio es necesario conocer sus raı́ces. En
el caso de polinomios cuadráticos, es posible analizar las raı́ces haciendo un estudio detallado del discriminante. Aquı́ presentamos este
estudio con un tinte geométrico, que nos puede llevar a entender los
puntos extremos de esta clase de polinomios. Ejemplo factorización de
la identidad cubica o una demostración sencilla de la desigualdad de
Cauchy-Schwarz.
Parte final
En las últimas semanas del entrenamiento, ya con un número reducido de
estudiantes (alrededor de 10), las sesiones de algebra consisten en listas de
problemas de algebra de diferente dificultad con las cuales se trabaja durante
una o varias sesiones.
Capı́tulo 3
Álgebra y teorı́a de números
En las áreas de álgebra y teorı́a de números se estableció un temario básico
y se trabajó en la creación de problemas introductorios. Los problemas fueron
clasificados por tema. Los encargados de dirigir la sección fueron César Pérez
Carrizales y Leonardo I. Martı́nez Sandoval.
3.1.
Temario álgebra y teorı́a de números
Clasificación de los números
Propiedades de los números (operaciones, inversos)
Operaciones básicas (simplificación y factorización)
Números primos, múltiplos y divisores
Criterios de divisibilidad
Descomposición factorial
Máximo común divisor y mı́nimo común múltiplo
Algoritmo de la división
Teorema del residuo
Paridad
Sumas notables (incluye Gauss)
17
18
CAPÍTULO 3. ÁLGEBRA Y TEORÍA DE NÚMEROS
Sucesiones y patrones
Razones, proporciones, porcentajes y regla de tres
Fracciones (comparaciones y operaciones)
Jerarquı́a de operaciones
Leyes de los exponentes
Factorización y productos notables en aĺgebra
Ecuaciones (lineales, cuadráticas, sistemas)
Lenguaje algebraico
Desigualdades
Fracciones algebraicas
Ley de los signos
3.2.
3.2.1.
Problemas álgebra y teorı́a de números
Números naturales
Problema 1 Paridad
¿Cuál de los siguientes números es par?
a) 2013
0.5cm
b) 201 × 3
c) 201 − 3
d) 201/3
Problema 2 Paridad
Encontrar las parejas de primos p y q tales que p + q = pq.
Problema 3 Paridad
¿Cuál de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero n?
a) 2003n
b)n2 + 2003
c) n2
d) 2n2 + 2003
3.2. PROBLEMAS ÁLGEBRA Y TEORÍA DE NÚMEROS
19
Problema 4 Paridad
Hay 2001 puntos en el plano. Dos jugadores A y B juegan a trazar lı́neas
entre los puntos por turnos. Empieza A. Gana el primero que complete un
ciclo. ¿Cuál de los jugadores tiene estrategia ganadora?
Problema 5 Paridad
Si sabemos que el último dı́gito del número 9n + 99n + 999n es igual a 3,
muestra que n es par.
Problema 6 Paridad
En el pizarrón están escritos once números 1. Una posible operación es tomar
dos números y sumarle a ambos 1, restarle a ambos 1 o sumarle 1 a uno de
los números y restarle 1 a otro. ¿Es posible mediante estas operaciones tener
escritos en el pizarrón once números 10?
Problema 7 Paridad
En un cuarto hay dos focos y dos apagadores. Al principio, los dos están
apagados. Totoro juega con los apagadores en total 15 veces. Cuando termina
de jugar, ¿cuántos focos siguen apagados?
3.2.2.
Propiedades de los números (operaciones: suma,
producto. Existencia de los inversos)
Problema 8 Propiedades de los números
Cuatro tarjetas tienen un número escrito de un lado y una frace del otro. Las
cuatro fraces son “múltiplo de 7”, “primo”, “impar” y “mayor que 100”. Los
cuatro números son: 2,5,7 y 12.
En cada tarjeta el número escrito de un lado no corresponde con la frace
escrita del otro. ¿Cuál es el número que está escrito en la tarjeta que dice
“mayor que 100”?.
a) 2
b) 5
c) 7
d) 12
e) imposible de determinar
Problema 9 Operaciones básicas
Si efectuamos el producto de todos los impares comprendidos entre el 1 y el
2014, ¿Cuál es la cifra de las unidades del número ası́ obtenido?
Utilizando los dı́gitos 1, 9, 9 y 8 en ese orden, y los sı́mbolos +, −, × y /,
expresa los números 7 y 10.
20
En una tarea Alberto saco 80 de calificación y ası́ elevo su promedio de 68 a
69 ¿Cuántas tareas habı́a antes de la última?
Una de las siguientes expresiones no es igual a −1. ¿Cuál es?
a)
−
− √13
169
20
19
×
1
2
×
18
3
×
b) −100+99−98+...+2−1
25
1
. . . × 20
c)
63
√
36
3
8
−6
d)
El producto de tres enteros positivos es 1500 y su suma es 45, ¿Cuál es el
mayor de esos tres números?
Problema 14 Sumas
Calcula el valor de la siguiente suma 99 − 97 + 95 − 93 + · · · + 3 − 1.
Problema 15 Sumas
¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?
1 − 2 − 3 + 4 + 5 − 6 − 7 + . . . − 1998 − 1999 − 2000
Problema 16 Sumas
Si S = 1 + 2 + 3 + . . . + 100, ¿Cuántos signos + hay que cambiar por signos
− para obtener 19991 en lugar de S?
Problema 17 Sumas
¿Para que entero positivo n se satisface la ecuación siguiente?
2006
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1)
=
2 + 4 + 6 + . . . + 2n
2007
Problema 18 Sumas
Si m y n son enteros y m < n, definamos m ⊕ n como la suma de todos los
enteros entre m y n, incluyendo a m y n. Por ejemplo, 3 ⊕ 6 = 3 + 4 + 5 + 6 =
18. ¿A qué es igual (1 ⊕ 18) − (2 ⊕ 17) + (3 ⊕ 16) − · · · + (9 ⊕ 10)?
21
Problema 19 Sumas
Observa que:
13
23
33
43
=
=
=
=
1
3+5
7 + 9 + 11
13 + 15 + 17 + 19
Entonces 503 es igual a:
1.
a) 2061 + 2063 + · · · + 2157 + 2159
b) 2161 + 2163 + · · · + 2257 + 2259
c) 2257 + 2259 + · · · + 2353 + 2355
d) 2353 + 2355 + · · · + 2499 + 2451
e) 2451 + 2453 + · · · + 2547 + 2549
Si Y es un número tal que 2006 = 2005 + 2007 − Y . Entonces Y vale
a) 2005
b) 2006
c) 2007
d) 2008
Si se sabe que
1 1
1
1+ + +
+ ... = A
4 9 16
¿cuál es el valor de
1+
a) 34 A
b) 34 A
1
1
1
+
+
+ . . .?
9 25 49
c) 54 A
d) 54 A
Un número de tres cifras es equilibrado si una de sus cifras es el promedio
de las otras dos, por ejemplo, 258 es equilibrado pues 5 = 2+8
. ¿Cuántos
2
números equilibrados de tres cifras hay?
22
Muestra que la siguiente igualdad no es posible para enteros positivos x, y y
z:
nxo ny o nz o
+
+
= 2.
2
3
5
Aquı́ {a} denota la parte fraccionaria de a.
En la expresión AAB × B = CB5B, cada una de las letras A, B y C denota
un dı́gito diferente. ¿Cuáles son los valores de A, B y C?
3.2.3.
Sucesiones y patrones numéricos
Problema 25 Sucesiones
Considera la sucesión 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, . . .. El número colocado en el
lugar 100 es...
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
Problema 26 Patrones
Empiezas con el número 1. Una “operación” consiste en multiplicar el número
por 3 y sumarle 5. ¿Cuál es la cifra de las unidades despueés de aplicar la
operación 1999 veces?
a) 1
b) 2
c) 8
d) 9
Analiza los dibujos que se muestran a continuación
1.
a) Dibuja dos V que contiene la sucesión dada.
b) ¿Es posible que una V tenga 100 puntos?, ¿Por qué?
c) ¿Cuántos puntos tendrá el sexto términos de la sucesión?
d) ¿A qué sucesión de números corresponderá esta sucesión V? ¿Cuál
serı́a la expresión general que describe a la sucesión?
23
Analiza la siguiente sucesión de números 85, 83, 81, 79, 77, 75, . . .
1.
a) ¿Cuál es el patrón utilizado para formarla?
b) ¿Qué propiedad poseen los números de la sucesión?
c) ¿Puedes anticipar que tipo de números no estarán en ella?
d ) Escribe una fórmula para está sucesión.
Empiezas con el número 1. Una operación consiste en multiplicar el número
por 3 y sumarle 5. ¿Cuál es la cifra de las unidades después de aplicar la
operación 1999 veces?
Problema 30 Progresión aritmética
Se tiene una progresión aritmética continua donde la suma de sus cuatro
términos es 200 y la diferencia de sus extremos es 28, encuentra al extremo
mayor.
Problema 31 Progresión geométrica
En una progresión geométrica se sabe que el producto de extremos es 600.
Si los términos medios son consecutivos ¿Cuál es la suma de los términos
medios?
Problema 32 Sumas
Se tienen n números enteros tales que su suma es 1230, al primero se le suma
1, al segundo se le suma 3, y ası́ sucesivamente hasta el n-ésimo al cual se
le suma 2n − 1.Después de esto el resultado de la suma es 2014. ¿Cuántos
números habı́a originalmente?.
3.2.4.
Porcentajes
Problema 33 Porcentajes
A un empleado le han aumentado un 20 % a su sueldo anterior y ahora gana
6000 pesos. ¿Cuánto ganaba antes?
Un contenedor de 5 litros se llena con jugo de naranja. Se le quitan 2 litros
de jugo y se llena nuevamente con agua. Se mezcla muy bien y nuevamente
se quitan 2 litros de mezcla y se vuelve a llenar con agua. ¿Qué porcentaje
de jugo hay en la mezcla final?
24
a) 24 %
b) 36 %
c) 30 %
d) 27 %
Si Juan ganaba $15000 mensuales y este mes le pagaron $17250. ¿En qué porcentaje aumentó su sueldo?
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
A una fiesta el 25 % de los asistentes son mujeres. Si hay 90 hombres,
¿cuántas mujeres fueron a la fiesta? a) 30
b) 25
c)
15
d) 45
En una tienda, una blusa costaba $1200, pero por ser fin de temporada rebajaron su costo en 50 %. Como seguı́a sin venderse, hicieron un descuento del
25 % sobre el nuevo precio. ¿Cuánto cuesta ahora la blusa?
a) 150
b) 300
c) 450
d) 500
David compró un panqué. Repartió la mitad con sus compañeros. De lo que
quedó, repartió la mitad con sus amigos y del último pedazo repartió la mitad
con su familia. ¿Qué porcentaje del panqué le quedó?
a) 25
b) 12,5
c) 50
d) 75
Dos lados paralelos de un cuadrado se aumentan un 10 % y los otros dos lados
se disminuyen en un 10 %. ¿Cómo cambia el área del cuadrado original?
a) Aumenta 10 %
d) Disminuye 1 %
b) Aumenta 1 %
c) Disminuye 10 %
Si M es el 30 % de Q, Q es el 20 % de P y N es el 50 % de P . ¿Cuánto vale
M
?
N
3.2.5.
25
Múltiplos y divisores
Problema 41 Criterios de divisibilidad
Considera los números de cinco dı́gitos x = 2014b y y = 4102a (es decir, a
y b son dı́gitos, no están multiplicados). Sabemos que 4 divide a y, que 2 no
divide a x y que 3 divide a y −x. ¿Cuáles son los posibles valores para |a−b|?
Problema 42 Criterios de divisibilidad
Si N = 20142014a2014b en donde a y b son dı́gitos y sabemos que 132 divide
a N , ¿cuánto vale a + b?
Problema 43 Criterios de divisivilidad
¿Cuál es la suma de todos los enteros positivos n que dejan 15 como residuo
al dividir 141 entre n?
¿Cuántos múltiplos de 33 menores a 102014 hay que todos sus dı́gitos sean
unos?
El número d456d es divisible entre 18. Si d es un dı́gito, ¿cuál es su valor?
Encuentra el menor entero positivo que sea igual a 5 veces el producto de sus
dı́gitos.
Problema 47 Divisores
Se ordenan de menor a mayor los enteros positivos ai que tienen exactamente
3 divisores: a1 < a2 < a3 < . . .. ¿Qué número es a6 ?
a) 9
b) 49
c) 121
d) 169
Problema 48 Divisores
Se ordenan de menor a mayor los enteros positivos ai que tienen exactamente
7 divisores: a1 < a2 < a3 < . . .. ¿Qué número es a3 ?
a) 64
b) 729
c) 15625
d) 3125
Problema 49 Descomposición de factores
Sea n un entero mayor que cero tal que los números n × 1998 y n × 2695 son
cuadrados perfectos. Encuentra el menor valor que cumple el enunciado.
26
Problema 50 Ecuaciones en enteros
Verónica y su amigo Julio entraron a una librerı́a de Bahı́a Blanca y compraron por valores enteros diferentes, superiores a $10. Cada uno quiso pagar
con un billete de $20, pero el dueño no tenı́a cambio para cobrarle a ninguno
de los dos. Entonces Julio ofreció pagarle con un billete de $50 y ası́ pudo
darle el vuelto. Al ver esto, Verónica sacó un billete de $50 y el librero pudo
cobrarle a ella también.
¿Cuál es el número mı́nimo de billetes que podı́a tener el librero cuando llegaron los amigos?.
NOTA: Los billetes en circulación son de $100, $50, $20, $10, $5, $2, $1.
En sus primeros cinco exámenes, que el profesor califica con notas enteras
entre 0 y 10 inclusive, Ramiro obtuvo: 3, 4, 7, 10 y 9. Después de rendir el
siguiente examen, el promedio de sus seis notas resultó un número entero.
Al rendir el séptimo examen, el promedio de sus siete notas fue nuevamente
un número entero. Calcular las notas que pudo sacarse Ramiro en el sexto y
séptimo examen. Dar todas las posibilidades.
Un número se multiplica por 2, después se le suma 1, luego el resultado se
multiplica por 3 y finalmente se le suma 2. ¿Cuál de los siguientes números
no puede ser el resultado?
a) 59
3.2.6.
b) 71
c) 77
d) 85
Maximo común divisor y mı́nimo común múltiplo
Problema 53 MCD
Se tienen tres varillas de 60cm, 80cm y 100cm de longitud respectivamente.
Se quieren dividir en pedazos de la misma longitud sin que sobre, ni falta
nada. Encuentra tres longitudes posibles para cada pedazo.
Problema 54 MCD
Se tienen 3 cajas que contienen 1600 kg, 200 kg y 3392 kg de jabón respectivamente. El jabón de cada caja está divido en bloques del mismo peso
en todas las cajas y es del mayor peso posible. ¿Cuánto pesa cada bloque y
cuánts bloques hay en cada caja?
27
Problema 55 MCD
Juan tiene un terrreno de forma rectagular de 40 metros de ancho y 96 metros
de largo. Si se divide su terreno en parcelas cuadradas iguales y planta en el
interior de cada parcela tres árboles, ¿Cuál es el mı́nimo número de árboles
que podrı́a sembrar en todo su terrreno?
Problema 56 MCD
En una fiesta se tienen canastas con fruta. En la de manzanas hay 24, en la
de los plátanos hay 16, en la de las peras hay 80, en la de los mangos 32 y
en la de los kiwis 40. Si a cada persona en la fiesta le toco la misma cantidad
de fruta de cada clase, ¿cuál es el máximo número de personas que habı́a?
a) 10
b) 6
c) 8
d) 5
Problema 57 MCM
Andrea, Bárbara y Carlos van a una dulcerı́a, Andrea compra cajas con 5
chocolates, Bárbara compra cajas con 10 paletas y Carlos compra cajas con 9
chicles. Si quieren tener la misma cantidad de dulces, ¿cuántas cajas mı́nimo
comprarán entre los 3?
Problema 58 MCM
Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero
cada minuto. A las 6 : 30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces
que volverán a coincidir en los 5 minutos siguientes.
Problema 59 MCM
¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48,
en cada caso, da de residuo 9?
Problema 60 MCM
Blanca, Rogelio y Marı́a tienen cuadernos, los quieren llevar a las escuelas
y están empacados en cajas de 15 cuadernos chicos, 28 cuadernos medianos
y 17 cuadernos grandes. Si quieren dejar el mismo número de cuadernos de
cada tamaño, ¿cuántas cajas deben dejar como mı́nimo en cada escuela?
Problema 61 MCM
Ana, Antonio, Rodrigo y Marı́a corren en una pista circular. Ana tarda 12
minutos en completar una vuelta, Antonio tarda 15, Rodrigo 20 y Marı́a 16.
Si a las 10:28 empiezan juntos en la meta, ¿a qué hora se vuelven a encontrar
ahı́ mismo?
28
Problema 62 MCM
Juan y Antonio tienen la misma cantidad de dinero; se sabe que si la cantidad
de dinero que tiene Juan se divide entre 11 le sobran 6 y que si la de Antonio
se divide entre 13 a el le quedarı́an 2, ¿Cuál es la cantidad de dinero que
tienen?
Problema 63 MCM
Un sol de cierta galaxia emite 3 diferentes rayos de la siguiente manera: el
rayo alfa cada 16 segundos, el rayo beta cada 45 segundos y el rayo gama
cada 140 segundos. Si en este momento se emiten al mismo tiempo los 3
rayos, ¿dentro de cuantos segundos se volverán a emitir los 3 rayos al mismo
tiempo?
3.2.7.
Fracciones
Problema 64 Fracciones
Una bandera está formada por tres tiras del mismo tamaño como indica la
figura. Cada una de las tiras se ha dividido en dos, tres y cuatro partes
respectivamente. ¿Qué fracción del área de la bandera está coloreada?
a)
5
9
b)
4
7
c)
3
5
d)
2
3
Una pastilla pesa 4/7 de onza, Juan toma 3/4 partes de ella, ¿Qué fracción
del total consumió Juan?
Un pastel se corta quitando cada vez la tercera parte del pastel que hay en
el momento de cortar. ¿Qué fracción del pastel quedó después de cortar 3
veces?
La maestra dejó leer un libro. Mariana ha leı́do 34 partes, Juan lleva 13 y
Daniela 58 . Del libro. ¿En cuál de las opciones se indica el orden del que ha
leı́do más al que ha leı́do menos?
29
1. Mariana, Daniela, Juan
2. Mariana, Juan, Daniela
3. Juan, Daniela, Mariana
4. Daniela, Mariana, Juan
¿De cuántas formas se puede escribir
1
14
en la forma a7 + 2b con a y b enteros?
Considerando el orden de las fracciones 69 , 67 , 97 , ¿dónde debe ir 87 ?
1. Antes de
2. Entre
6
9
y
3. Entre
7
6
y
6
9
7
6
4. Después de
9
7
9
7
Si x > 5, ¿cuál de las siguientes fracciones es la menos?Mariana, Daniela,
Juan
1.
5
x
2.
5
x+1
3.
5
x−1
4.
x
5
5.
x+1
5
Si ab = b+c
, ¿cuál es el valor de cb ? x5
a
1.
a2 +b2
b2
2.
a2 −b2
b2
30
3.
a3 −b
b2
4.
a3 −b3
a+b
5.
a2
b2
¿A qué es igual el producto:
1 11 11 1 1
−3
−5
−7
−
2
4
6
· · · 48
1
1
1
1
1
1
1
−4
−6
−8
−
3
5
7
49
3.2.8.
1 49
?
1
50
Orden
Problema 73 Orden
¿Qué número es menor, (−1)5 o (−1)4 ?
Problema 74 Orden
Ordena los siguientes números de menor a mayor: 15,
20 18
, 5,
3
6y
72
.
7
Problema 75 Orden
Ordena de menor a mayor los números (−2)(19)(53), (−2)(19)(−53) y (2)(−19)(52).
Problema 76 Orden
Ordena los siguientes números de mayor a menor: 0,5,
3 4 1
, ,
2 7 5
y 34 .
Problema 77 Orden
Una sala de cine tiene 26 filas con 24 asientos cada una. El total de los
asientos se enumera de izquierda a derecha, comenzando por la primera fila
y hacia atrás ¿en qué número de fila está el asiento 375?
Problema 78 Orden
De la lista 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, · · · ¿Qué número está en la posición 2016?
a) 65
b) 45
c) 56
d) 63
Problema 79 Orden
Se tienen 6 tarjetas con los siguientes números 309, 41, 2, 5, 68, 7 . ¿Cuál
es el mayor número que se puede formar usando sumas, multiplicaciones y
paréntesis.
3.2.9.
31
Sumas de Gauss
Problema 80 Sumas de Gauss
Ubicar los números 1-2-3-4-5-6-7-8-9 en los casilleros de esta cuadrı́cula de
modo que: el 9 ocupe el centro, los números de la primera fila sean todos
impares y la suma de los números de cada fila y de cada columna sea la
misma.
¿Cuál es el dı́gito de las unidades de (1 + 12 ) + (2 + 22 ) + . . . + (2000 + 20002 )?
Para hacer una torre de naipes de 1 piso se usan 2 naipes, para hacerla de
2 pisos se usan 7 naipes, para hacerla de 3 pisos se usan 15 naipes, como se
muestra en la figura.
¿Cuántos naipes hay que usar para hacer una torre de 100 pisos?
¿Cuántas perlas en total (blancas y negras) tiene este collar?
Observa cómo está construida la pared; de ella sólo se muestran los últimos
cuatro niveles. La base de esta pared tiene 17 bloques. ¿Cuántos bloques se
utilizaron en total para, construir esta pared?
32
De los siguientes números ¿cuál es más grande?
x = 1998(1 + 2 + 3 + . . . + 1999)
y = 1999(1 + 2 + 3 + . . . + 1998)
Dividir al conjunto de los enteros positivos desde 1 hasta 100 inclusive en dos
conjuntos A y B tales que A contenga 70 números, B contenga 30 números, y
la suma de todos los números de A sea igual a la suma de todos los números
de B.
Hallar la suma de todos los números que son permutaciones de los dı́gitos
1,2,3,4 y 5. Esto es 12345 + 12354 + . . . + 54321.
Calcule la suma de todas las fracciones positivas irreducibles (simplificadas)
menores que uno y cuyo denominador es 1991.
3.2.10.
Operaciones básicas con lenguaje algebraico
Problema 89 Expresiones algebraicas
El perı́metro de un triángulo está determinado por la expresión 26a + 4b − 9
y dos de sus lados por las expresiones 13a − b − 8 y 5a + 7b − 5. Determina
la expresión del lado faltante.
3.2.11.
Leyes de los signos
Problema 90 Ley de los signos
Paty escoge dos números de la lista −9, −7, −5, 2, 4, 6 y los multiplica. ¿Cuál
es el menor resultado que puede obtener?
a) −63
b) −54
c) −18
d) −10
33
¿Cuál es el valor de las siguiente operación: 3 + (2 − 4) × 3 (5 − 2) − (7 − 2)?
a) −20
b) 4
c) −27
d) 9
¿Cuál es el resultado de hacer la siguiente operación: 3 − (2 + 4 × 3 − 5) +
4 (6 − 8 + 13 − 7)?
a) 6
3.2.12.
b) 24
c) 10
d) 16
Simplificación de fracciones algebraicas
algebraicas
m−1 n+1
= 1, entonces m es igual a
Si n > 1 y m
n
a) n − 1
b) n + 1
c) 2n
d)
√
Problema 94 Fracciones algebraicas
De la fracción algebraica
2x3 − 3x2 − 5x + 6
2x3 + 3x2 − 8x − 12
obtenga otra equivalente y que sea reducida.
3.2.13.
Exponentes
Problema 95 Exponentes
¿Qué número es mayor?
√
a) 2
b) 31/3
c) 41/4
d) 51/5
¿Cuánto es la suma de las cifras del número N = 1092 − 92?
¿Cuál de los siguientes números es más grande?
a) 212
b) 415
c) 811
d) 128
e) 326
n2 + 1
34
¿Cuántas cifras tiene el número 21998 × 52002 ?
¿Qué número es mayor, 22013 52014 o 22015 52013 ?
Si 3x+y = 81 y 25y/2 = 5, ¿cuánto vale x?
¿Para qué entero positivo j es 22 + 25 + 2j un cuadrado perfecto?
Reduce la siguiente fracción a su mı́nima expresión:
22014 + 22012
.
22014 − 22012
Si 4x − 4x−1 = 24, ¿cuánto vale (2x)x ?
3.2.14.
Productos notables
Problema 104 Productos notables
¿Cuál es el resultado de la siguiente suma?
1
1
1
1
√ +√
√ +√
√ + ··· + √
√
1+ 2
2+ 3
3+ 4
49 + 50
√
√
b) 10
c) 50
d) 1
e) 50 − 1
√
a) 6
¿Cuál es el valor de 653355792 − (56335591)(56335567)?
¿Cuál es le valor de 9999999992 − 1?
Sea N = |999{z
· · · 9} ¿Cuánto vale la suma de los dı́gitos de N 3 ?
2014 veces
35
Sean a y b números que cumplen a + b = 1 y a2 + b2 = 2. Encuentra el valor
de a3 + b3 .
Sean x y y dos números tales que x + y = 3 y xy = 1. Encuentra el valor de
x3 + y 3 .
Encuentra dos números enteros a y b que cumplan
a + b + ab = 2013.
Si a y b son números
positivos distintos que cumplen a2 + b2 = 4ab, hallar el
2
a+b
.
valor de a−b
Si x2 + y 2 = 6xy con x 6= y, ¿a qué es igual
3.2.15.
x+y
?
x−y
Factorización
Problema 113 Factorización
Si a4 +4b4 = 20 con a y b enteros positivos, determina el valor de a2 −2ab+b2 .
Encuentra todos los números m y n tales que:
1
3n!
21
m2
+ =
+ .
8!
7!
4 · 7!
8!
El producto de las edades de Pedro, su hijo y su nieto es 2014. ¿A qué edad
tuvo el hijo de Pedro a su hijo?
36
El producto de las edades de Juan y sus dos nietos es 2013. ¿Cuántos años
tiene el nieto más joven?
Encuentra todos los enteros n tales que el número
(n2 − n + 1)(n2 + 3n + 1)
sea un número primo positivo.
3.2.16.
Ecuaciones
Problema 120 Ecuaciones
Escribe los números 21, 147, 2015 como suma de dos enteros consecutivos.
¿Es posible escribir al 21 como suma de 3 enteros consecutivos?
¿Es posible escribir a 21 como suma de 6 enteros consecutivos?
La suma de cuatro enteros consecutivos es 1994. ¿Cuál es el menor de los
cuatro números?
¿Cuánto vale x en la siguiente figura?
81cm2
a) 2cm
b) 7cm
c) 9cm
18cm2
x
x
d) 10cm
e) 11cm
37
Raúl, Vı́ctor y Teresa recogen pelotas en un campo de golf. Raúl junto el
doble de pelotas que Teresa y ésta 5 más que Vı́ctor. Si en total recogieron
35 pelotas, ¿cuántas recogió Teresa?
En una caja hay canicas rojas, verdes y azules. Las rojas son el triple de las
azules y las azules el triple de las verdes y en total hay 65 canicas. ¿Cuántas
canicas rojas hay?
En el diagrama se ven dos reglas; la de arriba, de 10 cm de longitud, dividida
en 10 partes de 1 cm, y la de abajo, de 9 cm de longitud, también dividida
en 10 partes iguales. Si el extremo derecho de la cuarta división de la regla
de abajo coincide con el extremo derecho de la séptima división de la regla de
arriba, calcular la distancia entre los puntos marcados A y B.
A
B
Problema 128 Ecuaciones cuadráticas
Hay sólo dos valores de a para los que la ecuación 4x2 + ax + 8x + 9 tiene
una única solución para x. ¿Cuánto vale la suma de esos dos valores?
3.2.17.
Sistemas de ecuaciones
Problema 129 Sistemas de ecuaciones
El rectángulo de la figura está formado por 6 cuadrados. La longitud de cada
uno de los lados del cuadrado es 1 cm. ¿Cuál es la longitud del lado del
cuadrado más grande?
1
1
38
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
En una feria la entrada para los adultos cuesta $90 y para los niños $55. Si
cierto dı́a el número de adultos que asistió es una tercera parte del número
de niños y en las entradas se recaudaron $25500, ¿cuántos niños fueron a la
feria?
a) 300
b) 100
c) 600
d) 200
Consideramos 48 canicas repartidas en tres montones A, B y C de manera
que si del montón A pasamos al B tantas canicas como hay en el B, luego
del B pasamos al C tantas canicas momo hay en C y del C pasamos al A
tanta como existen ahora en el A, tendremos el mismo número canicas en
cada montón. ¿Cuántas canicas habı́a en principio en el montón A?
El entrenador más experimentado del circo necesita 40 minutos para lavar un
elefeante. Su hijo lleva a cabo la misma tarea en 2 horas. ¿Cuántos minutos
tardarán el entrenador y su hijo en lavar tres elefantes trabajando juntos?
La yerba en un prado crece con densidad y rapidez homogéneas. Sabiendo
que 70 vacas consumen la yerba en 24 dı́as y 30 vacas la comen en 60 dı́as,
¿Cuántas vacas consumirán la yerba en 96 dı́as?
Encontrar el valor de xyz donde x, y y z son números positivos que satisfacen
el siguiente sistema de ecuaciones
1
+z =9
y
1
x2 + − z = 3
y
1
x2 − + z = 5.
y
x2 +
a)
1
15
b)
1
3
c)
1
2
d) 3
39
Encuentra las soluciones enteras positivas del sistema
w + x = yz
y + z = wx.
3.2.18.
Desigualdades e inecuaciones
Problema 136 Desigualdades
¿Cuántos enteros n hay tales que 22n ≥ n2 + 120?
Una fábrica de paletas vende cada paleta a $5 y hacer una paleta cuesta $3. Si
además la fábrica gasta $600 cada mes en el transporte de las paletas, ¿cuál
es el mı́nimo número de paletas que se deben vender para tener ganancias?
Beto tiene 16 años menos que Pedro y las edades de Beto y Pedro suman
menos de 70 años. ¿Cuál es la máxima edad que puede tener Pedro? a) 43
b) 42
c) 41
d) 44
Rosa y Petra hacen suéteres y 2 veces el número de suéteres que hace Rosa,
menos el número de suéteres que hace Petra es 24. Si el triple de suéteres
que hace Petra es mayor que 51, ¿cuál es el mı́nimo número de suéteres
que pueden hacer entre las dos? a) 22
b) 23
c) 24
d) 25
Dos enteros a > 1 y b > 1 satisfacen ab + ba = 57 encuentra la suma a + b.
Rosa y Petra hacen suéteres y 2 veces el número de suéteres que hace Rosa,
menos el número de suéteres que hace Petra es 24. Si el triple de suéteres
que hace Petra es mayor que 51, ¿cuál es el mı́nimo número de suéteres que
pueden hacer entre las dos?
a) 22
b) 23
c) 24
d) 25
40
Sean x, y, z enteros no negativos tales que x + y + z = 12. ¿Cuál es el valor
más grande de la suma xyz + xy + yz + zx?
a) 62
b) 72
c) 102
d) 112
√
√
√
√
Entre los números 7 + 10 y 3 + 19 escribir el sı́mbolo adecuado, <,
> o =.
Problema 144 Desigualdades geométricas
Demuestra que todos los recángulos de un perı́metro dado P , el cuadrado es
el que tiene mayor área.
Demuestra que de los rectángulos que tienen la misma área A, el de menor
perı́metro es el cuadrado.
Demuestra
que la suma de los catetos de un triángulo rectángulo nunca excede
√
2.
Demuestre que para cualquier ángulo agudo α se tiene que
tan(α) + cot(α) ≥ 2.
Problema 148 Desigualdad del triángulo
?Cuántos triángulos diferentes puedes hacer de modo que sus medidas sean
números del conjunto {1, 2, 4, 8, . . . , 1024}?
Problema 149 Desigualdad del triángulo
Totoro tiene 10 popotes de distintos tamaños y se dio cuenta de que no puede
construir ningún triángulo con ellos. Si el más pequeño mide 1, ¿qué longitudes puede tener el más grande?
Capı́tulo 4
Combinatoria
En combinatoria la dinámica fue propuesta y dirigida por Luis Miguel
Garcı́a Velázquez. Consistió en definir colaborativamente un temario y luego
trabajar en secuencias en función del temario propuesto.
Una secuencia es una lista de problemas que cumple un objetivo de enseãnza especı́fico. En este caso el objetivo fue cubrir los distintos temas básicos en el área de combinatoria para olimpiada.
4.1.
Temario introductorio para combinatoria
El temario que se definió fue el siguiente
Uso de conjuntos (operaciones básicas, subconjuntos)
Organizar la información (listas ordenadas, separar por casos)
Principio de adición y multiplicación
Diagramas de árbol
Patrones en recursividad
Principio de las casillas (elemental)
“Contar” con repeticiones
Patrones en problemas dinámicos: invarianza, estrategias ganadoras,
coloraciones
41
42
CAPÍTULO 4. COMBINATORIA
4.2.
Problemas
A partir del temario, se trabajó por equipos para crear secuencias que
tuvieran un problema de cada tema. A continuación se enlistan todos los
problemas propuestos. Para recuperar una secuencia para trabajo en el grupo,
basta elaborar una lista tomando un problema de cada tema.
Problema 150 Principio de adición y multiplicación
En placalandia hay dos tipos de placas, las placas tipo A (alfabeto de 27
letras) y las placas tipo B que tienen 2 números seguidos de 3 letras distintos.
¿Cuántas placas distintas puede haber en placalandia?
Problema 151 Principio de adición
¿Cuántos cuadrados existen que tengan sus lados en las aristas de la siguiente
rejilla?
Problema 152 Principio de multiplicación
En la siguiente figura se permite caminar en cualquier dirección, excepto
directamente hacia la izquierda. Si no se permite pasar dos veces por el mismo
sitio, ¿cuántos caminos existen del punto A al punto B?
Por ejemplo, un camino válido es el siguiente:
4.2. PROBLEMAS
43
Problema 153 Problemas dinámicos
Se tienen 3 montones con 3, 4 y 5 piedras respectivamente, un jugador A
comienza tomando una cantidad de piedras, tomando al menos una piedra y
a lo más todas las piedras que puede en un montón, un segundo jugador B
hace lo mismo en su turno. Aśi continúan alternadamente Gana el jugador
que toma la última piedra. ¿Quién puede tener la estrategia ganadora?
Problema 154 Problemas dinámicos
En una cuadrı́cula de 4×4 se tiene un foco en cada casilla, ordenados como se
presenta en la figura. Un movimiento permitido es elegir una fila (columna)
y se encienden todos los focos apagados en esa fila (columna) y se apagan
todos los focos encendidos en esa fila (columna). ¿Es posible mediante estos
movimientos llegar a tener todos los focos encendidos? Nota: Los puntos
negros son focos apagados, y los puntos blancos son focos encendidos.
Problema 155 Organizar información
¿De cuantas formas se pueden escoger 3 números entre el 1 y 9 tal que su
suma no sea múltiplo de 3?
Problema 156 Organizar la información
Se tienen 6 casillas, tres blancas y tres negras. ¿De cuántas formas se pueden
ordenar en una lı́nea recta?
44
CAPÍTULO 4. COMBINATORIA
Problema 157 Conteo
En un intercambio de regalos hay 7 personas. ¿De cuántas maneras es posible
hacer el arreglo si cada uno debe dar y recibir un regalo? (Nadie debe recibir
su propio regalo)
Problema 158 Conteo
¿Cuántas palabras diferentes pueden formarse utilizando todas las letras de
la palabra matemática? Las palabras pueden no tener sentido, por ejemplo,
timc.
Problema 159 Patrones y recursividad
Se tienen 2014 personas en un salón rectangular con 53 filas con 38 asientos
cada una. Cada persona saluda a las personas que se encuentran a su alrededor (a lo más cuatro: atrás, enfrente, izquierda y derecha) ¿Cuántos saludos
se dieron en total?
Problema 160 Patrones y recursividad
¿Cuántas diagonales tiene un polı́gono de n lados?
Problema 161 Conjuntos e inclusión-exclusión
¿Cuántos números menores que 1000 no son múltiplos de 3, ni de 5, ni de
7?
Problema 162 Conjuntos e inclusión-exclusión
¿Cuántos números del 1 al 100 no son múltiplos de 2, 3, y 5.
Problema 163 Principio de las casillas
En un cajón se tienen 5 tipos de calcetines: azules, rojos, verdes, blancos y
amarillos. ¿Cuántos calcetines tengo que sacar para asegurar que salgan 2
calcetines del mismo color?
Problema 164 Principio de las casillas
Considera los números 1, 4, 7, 10, ..., 100. A lo más, ¿cuántos números se pueden tomar de manera que la suma de cualesquiera dos de ellos no sea 104?
Problema 165 Coloración
A un tablero de ajedrez se le cortan dos esquinas (opuestas), ¿será posible
cubrir totalmente el tablero con fichas de dominó sin traslaparlas?
Capı́tulo 5
Geometrı́a
45

Olimpiada Mexicana de Matemáticas Curso de entrenadores 2014

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