modelos intra-matemáticos y modelos mentales en cursos de

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MODELOS INTRA-MATEMÁTICOS Y MODELOS MENTALES EN CURSOS DE
MATEMÁTICA PARA LA INGENIERÍA
Autores: María Inés Cavallaro – Marta Anaya
Institución: Facultad de Ingeniería. Universidad de Buenos Aires
Tema: Didáctica de la Matemática para Ingeniería. Modalidades de la enseñanza.
Algunos de los ejemplos y experiencias de aula mencionados en este trabajo han sido presentados en Inglés
en la 10MA REUNIÓN DEL ICTMA (International Conference on The Teaching of Mathematical Modelling
and Applications). Beijing, Julio 2001 en la conferencia: "MODELS AND MATHEMATICAL CONCEPTS:
THE CASE OF DELTA DISTRIBUTION" de las mismas autoras.
INTRODUCCIÓN
El crecimiento acelerado de la información y el desarrollo de la ciencia requieren la enseñanza cada
vez más temprana de algunos temas de matemática para la ingeniería. Como consecuencia, se hacen
necesarios estudios sistemáticos sobre las dificultades cognitivas específicas que se presentan al trabajar con
conceptos matemáticos avanzados .
Muchas de ellas pueden relacionarse con los modelos mentales intuitivos y esquemas previos que los
estudiantes tienen en el momento de acceder a un nuevo concepto.
La resolución de problemas de ingeniería en particular o asociados a fenómenos de la realidad en
general, está vinculada con la modelización matemática de cada situación, pero además, existe una
modelización intra-matemática que permite la comprensión y el manejo de nociones que son difíciles de
entender (como por ejemplo, la interpretación sobre un modelo geométrico de nociones vinculadas con el
álgebra lineal).
Sin embargo, cuando se introduce un nuevo concepto matemático, suele ocurrir que los alumnos
tienen imágenes, esquemas e intuiciones previas que se relacionan con el modelo presentado y que pueden
interferir con el proceso de aprendizaje, conduciéndolo a una percepción distorsionada de la teoría matemática
a la cual pertenece el concepto original.
En este trabajo presentaremos algunas experiencias realizadas en cursos de Análisis matemático en las
cuales se han estudiado dificultades que presentaron los estudiantes de ingeniería al trabajar con ciertos
conceptos matemáticos y su relación con los modelos mentales intuitivos. En particular, se presentará y
discutirá el caso del impulso unitario Delta y su modelo matemático asociado dentro de la teoría de
distribuciones.
CONSIDERACIONES TEÓRICAS
La modelización es una actividad inherente al ser humano que comienza con cualquier exploración
del mundo real y que permite aprehenderlo creando representaciones internas del mismo (Mellar , H. & Bliss,
J., 1994). Esta actividad emplea modelos mentales y representaciones en dos formas diferentes pero
igualmente importantes: como recursos esenciales para interpretar y manipular la realidad y como medios
para representar nociones teóricas complicadas.
La estrategia usualmente empleada al abordar un problema es resolverlo en el contexto del modelo y
luego interpretar el resultado en términos del sistema original.
Según Fischbein (1987), cada vez q ue una persona debe enfrentar una noción que resulta
intuitivamente inaceptable produce, deliberadamente o inconscietemente, substitutos intuitivamente más
1
aceptables: los modelos intuitivos que pueden ser entendidos, representados y manipulados como otras
realidades concretas.
La matemática es uno de las principales fuentes de modelos para trabajar con fenómenos reales. Los
conceptos matemáticos complejos, a su vez, se comprenden y manipulan mejor con la ayuda de modelos
intra-matemáticos que los tornan más accesibles.
Si bien se tiene la ventaja de trabajar con una versión simplificada de la realidad al resolver un
problema, o en el momento de comprender un nuevo concepto, este proceso puede también presentar
inconvenientes, ya que las conclusiones que se pueden extraer del modelo para el original podrían ser
derivadas a partir de propiedades que son exclusivas del modelo y no de la situación original.
Es usual que muchas propiedades del modelo usado en un proceso de razonamiento pasen
inadvertidas, apareciendo en forma incontrolada.
Entre los modelos matemáticos intuitivos distinguimos:
• Las analogías:
a) intra-matemáticas en las cuales se establece un isomorfismo entre el original y el modelo a
pesar de pertenecer a diferentes campos conceptuales. Pueden ser ambos de tipo numérico
simbólico, o geométrico-simbólico.
b) analogías extra matemáticas como la representación pictórica de los números o de conceptos
geométricos
• Los modelos paradigmáticos, en los cuales el original pertenece a una clase de objetos, pero el
modelo es un ejemplo o subclase de la categoría considerada (Fischbein, 1987).
Por un lado, la modelización y esquematización de situaciones (matemáticas o no) se realiza en
forma intuitiva y casi siempre no controlada, pero por el otro, en el proceso enseñanza aprendizaje los
modelos intra o extra matemáticos son presentados a los alumnos por razones didácticas.
De la interacción entre esquemas intuitivos previos y los modelos que se utilizan en el contexto
educativo para facilitar la comprensión de un concepto surge la representación mental que los alumnos
tendrán de determinados conceptos o teorías matemáticas.
Es importante, entonces, estudiar este proceso de interacción para poder accionar favorablemente
sobre la adquisición de nociones intuitivamente difíciles de aceptar.
ESTUDIO REALIZADO SOBRE LA DELTA DE DIRAC
Uno de los conceptos que se ha mostrado sistemáticamente difícil para entender y aplicar es el
concepto de distribución, más específicamente el de la distribución Delta que se presenta en nuestras
universidades en un tercer curso de Análisis Matemático.
Estos conceptos han presentado dificultades en su definición matemática rigurosa desde el origen de
su gestación. La teoría de distribuciones se remonta a las décadas de 1930 y 1940 y fue creada para dar
sentido matemático de diferenciación a funciones no diferenciables, proceso que los físicos habían venido
usando sin rigor desde hacía tiempo atrás, derivando la función de Heavisde (1893) para obtener la función
impulso introducida por Dirac en 1926. Los ingenieros utilizaban estos métodos sistemáticamente, cada uno
con su concepción personal con “la conciencia más o menos tranquila” , ya que aunque no rigurosos, daban
buenos resultados
En 1950 Schwartz señaló que el éxito de éstos métodos, que se basan en definiciones
matemáticamente contradictorias se sustenta en la existencia de una nueva teoría matemática que justifica,
bajo una forma modificada, el lenguaje de los físicos y es así como desarrolló rigurosamente la teoría de
distribuciones definiendo a la Delta no como una función numérica sino como una funcional definida sobre
funciones de prueba.
El tratamiento adecuado de este concepto cobra relevancia en las aplicaciones que serán estudiadas en
cursos posteriores. El análisis de circuitos eléctricos o el muestreo de señales de tiempo continuo con el que
toman contacto los estudiantes de ingeniería electrónica después del tercer año de su carrera, requiere conocer
no sólo el impulso unitario Delta de Dirac, sino, series de delta´s shifts, sus productos y convoluciones con
señales así como su transformada de Fourier.
Tanto en las evaluaciones escritas como en las orales, así como en la aplicación a la modelización de
situacions concretas se han venido observando dificultades en la formalización del concepto de función
generalizada.
2
Por los motivos expuestos, se ha trabajado sobre este tema que viene a ilustrar las consideraciones
realizadas sobre la incidencia de modelos intuitivos previos y la interacción con la presentación de conceptos
matemáticos de cierta complejidad.
Presentamos, entonces, esta experiencia que se realizó con un grupo de 30 estudiantes de ingeniería
electrónica en la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires (21 a 23 años) en el contexto de un
curso de Análisis Matemático que incluyó: variable compleja, series de Fourier, transformada de Fourier,
transformada Z, transformada de Laplace y teoría de distribuciones.
En este caso, la actividad incluyó la modelización de la velocidad a través de la función de
Heaviside dentro del marco de la teoría de distribuciones.
Metodología
Este estudio sobre las dificultades de los alumnos con referencia a la distribución Delta de Dirac incluyó:
• Una inspección bibliográfica sobre la definición de Delta expuestas en libros de sistemas y señales
que los alumnos suelen utilizar, con el objeto de observar cuáles son los elementos externos a la
clase de matemática que pueden interferir con la formación del concepto.
• Una actividad introductoria a la teoría de distribuciones relacionada con la siguiente situación: “ Se
golpea una pelota con una maza sobre una superficie horizontal plana, de forma que se mueve en
línea recta y sin fricción”. Al modelar esta situación con la teoría de funciones de variable real, se
obtienen resutados erróneos desde el punto de vista físico y matemático produciendo, de esta forma,
el conflicto cognitivo motivador para desarrollar la teoría matemática correspondiente.
• Herramientas matemáticas necesarias: se desarrolló una introducción a la teoría de distribuciones (16
hs) a través de dos abordajes equivalentes: 1) Presentación de distribuciones como secuencias
regulars. 2) Presentación de distribuciones como funcionales lineales continuos sobre un espacio de
funciones de prueba.
• Modelización de la situación mencionada y presentación del informe individual escrito.
Al finalizar el curso:
• Se pidió a los estudiantes las respuestas escritas a las siguientes preguntas:
1) Qué es la Delta de Dirac?
2) Pruebe que es una distribución temperada.
3) Tres meses después de la finalización del curso:
• Se entrevistó a 4 de los 30 estudiantes. Se les pidió que explicaran sus respuestas a las preguntas y
que informaran sobre la resolución del problema oralmente.
Además e introducir el conficto cognitivo, la tarea de modelización tuvo como objetivo observar cómo
los alumnos establecen el isomorfismo entre la teoría matemática y el modelo físico. Se observó también si se
habían realizado actividades exploratorias sobre el modelo.
Las entrevistas permitieron explorar más profundamente las creencias de los estudiantes, haciendo
evidentes su forma de razonamiento, los modelos intuitivos involucrados y los conceptos relacionados que
son activados en el momento de la resolución.
DISCUSIÓN
Resultados del Cuestionario.
Primera pregunta: 80% de los alumnos, respondieron correctamente los puntos correspondientes a la teoría de
distribuciones.
20% de los estudiantes establecieron que la Delta es una función. La mayoría de ellos la caracterizó
como la fución que toma alguno de estos valores:
I)
II)
0
δ (t ) = 
∞
0
δ (t ) = 
1
t≠0
t = 0
si
si
y tal que
+∞
∫δ
( t ) dt = 1
o
−∞
si
si
t ≠ 0
t = 0
y
+∞
∫ φ ( t )δ ( t ) dt = φ ( 0 )
para toda función continua φ..
−∞
3
Es oportuno obsevar que estos dos enunciados, que contradicen los conceptos enseñados previamente de
función e integral, suelen presentarse usualmente como definición en los textos que se utilizan comunmente
en Electrónica.
El resto de los estudiantes definió la Distribución Delta utilizando ambos enfoques, incluyendo en
muchos casos gráficos de aproximaciones a la Delta particulares (gaussianas).
Segunda pregunta: a pesar del buen desempeño de la mayor parte de los alumnos en la primera pregunta, las
ideas anteriores acerca de la delta se manifestaron de algún modo u otro en todos lo estudiantes al tener que
responder la segunda pregunta.
Un prototipo de estas características es el de Ariel:
+∞
Prof: ¿Qué quisiste poner con “
∫ δ (t )φ (t ) dt =φ (0) ” ?
−∞
Ariel : Es una definición, δ (t) = 0 salvo en t = 0.
Prof: ¿ Entonces porqué el resultado es φ (0)?
Ariel: Vos me estás cuestionando que no de 0.
Prof: ¿No debería?
Ariel: Sí, pero no.
.......................................
Después de pensar un rato exclama:
Ariel:¡ Es Delta es especial!
Más aún, él había escrito previamente que la Delta no podía obtenerse a partir de una función
localmente integrable, y como esta última expresión no la entendió, la resignificó con:
“No se puede integrar localmente, a la δ sola no se la puede integrar, tiene que estar acompañada
(por una φ).”
De este modo su interpretación personal es consistente con la “definición” alternativa de Delta que le
resulta intuitivamente más aceptable, y que le permite volver a un modelo más familiar: el de función
numérica de variable numérica.
Esto muestra que este estudiante no pudo aprehender el modelo distribucional, y que el modelo de
función de variable real “ f : t Æ f(t) ” está fuertemente arraigado en su mente.
Esto es consistente con las investigaciones de Fischbein, en las que señala que cuando una persona
tiene que tratar con una noción que le resulta intuitivamente inaceptable, la reemplaza por una que le resulta
más “aceptable”. (Fischbein, 1987).
Resultados de la actividad de modelización:
Los informes escritos de los alumnos tuvieron las siguientes características comunes:
1.
2.
3.
4.
El 80% de los estudiantes encontraron diferencias entre el modelo físico y el modelo matemático interno.
Todos eligieron la función de Heaviside como modelo para la velocidad y derivaron como distribución
para obtener la aceleración o la fuerza que actuaba sobre la pelota, y también obtuvieron como resultado
un múltiplo de la Delta
Todos dijeron “Esta no es una función”.
Todos en algún momento asociaron intuitivamente la delta a un ‘pulso intenso y breve’ o a una función
nula en todo t diferente de 0 infinita o tendiendo a infinito en 0.
En la resolución del problema concreto, se detectó en los estudiantes la intervención de tres modelos:
• El modelo matemático distribucional enseñado, y que corresponde a interpretar una función como
distribución, observado en los ítems 2 y 3.
• El modelo físico-matemático elaborado para esta situación concreta que la describe en térmiminos de
fuerza, velocidad, y aceleración, observado en el ítem 1.
• El modelo intuitivo correspondiente a los conceptos utilizados para explicar e interpretar los resultados
obtenidos, observado en el ítem 4.
4
El modelo matemático distribucional, fue implementado correctamente en ambos niveles, el simbólico
y el operacional, de acuerdo a lo observado en los informes escritos de los estudiantes al considerar éstos la
función de Heaviside como una distribución de crecimiento lento y hallar su derivada como distribución. Esto
resultó coherente con sus respuestas a la primera pregunta del cuestionario.
El modelo físico, es el que señala las restriccones del modelo matemático utilizado por los estudiantes,
y se pone en evidencia en expresiones del tipo:
“Físicamente la aceleración no puede ser infinita en un instante porque entonces la energía sería infinita”.
(Leo)
“No ocurre en la realidad que de un instante a otro la pelota pase de una velocidad =0 a una velocidad v ya
que no existe un impulso que dure sólo un instante, sino es un intervalo (muy pequeño) donde se da una
variación muy grande de velocidad”. (Pablo)
Estas observaciones revelan que el modelo intuitivo con que los estudiantes interpretan el fenómeno
físico, no concuerda con su resolución formal del problema. Los modelos intuitivos de estos estudiantes
parecerían tener los siguientes rasgos comunes:
1. El modelo para la delta evidenciado es el de una función infinita en cero y nula en los otros puntos.
2. Cuando los estudiantes encuentran la aceleración infinita en el instante cero es poque no están derivando
la velociada como distribución, sino que intentan derivar una unción -discontinua- de variable real.
La mayoría de los estudiantes no llegan a darse cuenta de que el modelo distribucional de función y la teoría
de distribuciones formalizada por Schwartz (1950), evitan estas contradicciones que son las mismas que
aparecieron históricamente.
Estamos en presencia de modelos intramatemáticos: el modelo distribucional y el modelo de función
numérica de variable real, en un sentido el primero extiende al segundo. Sin embargo, los estudiantes toman
el segundo como modelo paradigmático (Fischbein, 1987), estableciendo para una clase general de objetos,
las propiedades de una clase particular.
El modelo distribucional queda a un lado tanto del modelo físico como del modelo intuitivo, y los
estudiantes no hacen ningún intento por integrarlos.
El caso de Luis fue diferente. Si bien comienza con una descripción similar a las anteriores, haciendo notar
que la fuerza F(t) que actúa sobre la pelota es nula en todo instante t diferente de cero, y añade que :
“ → ∞ si t = 0, asumiendo como tiempo cero el momento del impacto”. Y añade que “ Bajo ningún punto
de vista podemos trabajar de esta forma ya que F(t) ni siquiera es una función definida para todo t. Lo que
podemos hacer es asociar a F(t) con una distribución F definida como
∞
〈 F, φ 〉 = lim
n →∞
∫ F (t ).φ (t ) dt , siendo F
n
n
una sucesión que tiende a F(t)”.
−∞
( muestra una sucesión de funciones gaussianas).
Deduce luego que F = k. δ, y a continuación calcula operando como distribución el cambio en el
momento lineal, trabajo realizado por la fuerza y obtiene que: “ Como era de esperarse todo el cambio en la
energía cinética se debe al trabajo de nuestra fuerza” .
Parecería que Luis, necesitó chequear que el modelo distribucional se ajustaba a la física que el estaba
acostumbrado a manejar, mostrando una actitud exploratoria activa hacia el modelo, tratando de integrar el
nuevo concepto a los previos mediante la relectura de éstos a la luz del nuevo conocimiento.
CONCLUSIONES
Los casos anteriores muestran que aún cuando los estudiantes muestren la capacidad de reproducir e
incluso aplicar teorías y definiciones al modelizar una situación o resolver un problema, esto no significa que
los conceptos correspondientes hayan sido internalizados.
El modelo distribucional resultó ser intuitivamente inaceptable para la mayoría de los estudiantes
considerados en este estudio. La concepción de la Delta como una función de variable numérica –nula entodo
5
punto excepto en el origen en donde es infinita y con integral diferente de cero- resultó der intuitivamente más
aceptable. Las contradicciones son pasadas por alto confiriéndole a Delta un status de “diferente” o
“especial”. Esta concepción es reforzada por algunos textos de uso extendido en electrónica, a los efectos de
una mayor simplificación. Sin embargo, algunos de estos textos a menudo incluyen en un apéndice una
presentación más rigurosa de las distribuciones, que no es tomada en cuenta por los estudiantes.
El modelo familiar de función numérica, asumido como paradigmático, no permitió la aceptación de
conceptos más generales como espacios de funciones y funciones definidas en estos espacios, aún cuando
previamente se había establecido un isomorfismo con las señales de acuerdo con los modelos analógicos
estudiados por Fischbein (1987).
Considerando que el concepto de dualidad no forma parte del plan de estudios de matemáticas para
estudiantes de ingeniería, parecería que la idea de una función como un objeto perteneciente a una clase más
general, formaría parte de un pensamiento matemático más avanzado.
Por otro lado, sentar las bases intuitivas, científicamente adecuadas para estos conceptos, requiere un
tiempo no acorde con el tiempo disponible en estos programas universitarios.
Si se pretende diseñar una intervención didáctica para tratar conceptos matemáticos de cierta
complejidad, parecería recomendable que los profesores conocieran los modelos mentales intuitivos de sus
estudiantes.
Las actividades de modelización de situaciones reales, podrían resultar instancias adecuadas para
obtener esta información y para que los estudiantes accedieran asus propios modelos intuitivos,
permitiéndoles así desarrollar actitudes metacognitivas.
Didactical strategies should include exploratory activities in modelling situations allowing the
construction of the isomorphisms between the mathematical model and the situation to be modelled.
Las estrategias didácticas deberían incluir actividades exploratorias de modelos de situaciones
permitiendo la construcción de isomorfismos entre el modelo matemático y la situación a ser modelada.
En este estudio se ha observado que en la comprensión del concepto de distribución parecerían influir
algunos factores, por lo que se requeriría una investigación adicional acerca de:
• El concepto de función en la comprensión de la Distribución Delta.
• La razón por la cual la simplificación de un concepto que lleva a contradicciones, es considerada
un recurso didáctico adecuado en los textos para estudiantes de ingeniería.
• La aceptación acrítica de las definiciones de los textos por parte de los estudiantes.
REFERENCIAS
E. FISCHBEIN, (1987), “Intuition in science and mathematics: an educational approach”, D.Reidel
Publishing Company, Dordrecht, Holland.
R. GABEL, R. ROBERTS, (1994), “Señales y Sistemas Lineales”, Editorial Limusa, México.
I. KLEINER, ( 1989), “Evolution of the Function Concept: A Brief Survey”, College Mathematics Journal,
20(4), 282-300.
H.KWAKERNAAK, R.SIVAN, (1991), “Modern Signals and Systems”, Prentice Hall, Englewood Cliffs,
N.J.
M.J. LIGHTHILL, (1958), “Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions”, Cambridge
University Press, Cambridge.
H. J. MELLAR, J. BLISS, et al (1994), “Learning with Artificial Worlds. Computer-based Modelling in the
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A.V. OPPENHEIM, A.S. WILLSKY, with I.T. YOUNG.(1983), “Signals and Systems”, Prentice Hall,
Englewood Cliffs, N.J.
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L. SCHWARTZ, (1950), “Theorie des Distributions”, Hermann, Paris.
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