Determinantes - FIE - 2015 A

Transcripción

DETERMINANTES
Determinantes
Concepto de determinante
A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de
A, denotado por |A| o por det (A).
A=
Determinante de orden uno
|a11| = a11
|5| = 5
Determinante de orden dos
= a 11 a 22 - a 12 a 21
Determinante de orden tres
Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como
sigue:
=
a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 - a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.
=
3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 - 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =
= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) =
= 44 + 4 + 15 = 63
Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la
matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con
signo negativo (cambian su signo).
Regla de Sarrus
Pierre Sarrus (1798, 1861) fue un matemático francés que estableció una regla para para
calcular determinantes de orden 3.
Regla de Sarrus
Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los
de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.
Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los
Ejemplo
Menor complementario y adjunto
Menor complementario de un elemento de un determinante
Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n-1
que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.
Adjunto de un elemento de un determinante
Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:
El signo es +
si i+j es par.
El signo es - si i+j es impar.
El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una
línea por sus adjuntos correspondientes:
Ejemplo
= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63
Cálculo de determinantes
|a 11| = a 11
|-2| = -2
= a 11 a 22 - a 12 a 21
Se aplica la regla de Sarrus:
Cálculo de un determinante de cualquier orden
Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos
nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1.
Seguiremos los siguientes pasos:
1.Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila
o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el
mayor número posible de elementos nulos).
2.En caso negativo:
1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y
operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con
alguna línea paralela ).
2.Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el
determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor común
en una línea de uno de sus elementos.
3.Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los
elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.
4.Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de
orden inferior en una unidad al original.
= 2(-58)
Propiedades de los determinantes
1.|At|= |A|
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.
2. |A|=0
Si:
Posee dos líneas iguales
Todos los elementos de una línea son nulos.
Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.
F3 = F1 + F2
3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal
principal..
4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante
cambia de signo.
5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela
multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.
6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho
número cualquier línea, pero sólo una.
7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos,
dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.
8. |A·B| =|A|·|B|
El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.
Matriz inversa
Cálculo de la matriz inversa
Cálculo de la matriz inversa
1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la
matriz no tendrá inversa.
2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por
su adjunto.
3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.
4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz
traspuesta de la adjunta.
También puedes calcular la matriz inversa por el método Gauss.
Rango de una matriz
Es el número de filas o columnas linealmente independientes, utilizando esta definición
se puede calcular usando el método de Gauss.
También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no
nula. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes.
Cálculo del rango de una matriz por determinantes
1. Podemos descartar una línea si:.
Todos sus coeficientes son ceros.
Hay dos líneas iguales.
Una línea es proporcional a otra.
Una línea es combinación lineal de otras.
Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras: c3 = c1 +
c2
2. Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un
elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo.
|2|=2≠0
3. Tendrá rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su
determinante no sea nulo.
4. Tendrá rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su
determinante no sea nulo.
Como todos los determinantes de las submatrices son nulos no tiene rango 3, por tanto r(B)
= 2.
5. Si tiene rango 3 y existe alguna submatriz de orden 4, cuyo determinante no sea
nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango
superior a 4.
Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss.
RESUMEN - Determinantes
Definición de determinante
A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante
de A , denotado por |A| o por det (A).
|a 11| = a 11
= a 11 a 22 - a 12 a 21
=
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.
Regla de Sarrus
Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los
Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los
Menor complementario
Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n-1
que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.
Adjunto
Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:
El signo es + si i+j es par.
El signo es - si i+j es impar.
El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos
de una línea por sus adjuntos correspondientes:
Determinante de orden superior a tres
Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por
elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1 .
Seguiremos los siguientes pasos:
1.Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas:
la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que
contenga el mayor número posible de elementos nulos).
2.En caso negativo:
1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de
elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea
sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela ).
2.Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos
multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es
decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos.
3.Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los
elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.
4.Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante
de orden inferior en una unidad al original.
Propiedades de los determinantes
1.|At|= |A|
2. |A|=0
Si:
Posee dos líneas iguales
Todos los elementos de una línea son nulos.
Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.
3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la
diagonal principal..
4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante
cambia de signo.
5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela
multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.
6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por
dicho número cualquier línea, pero sólo una.
7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos,
dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.
8. |A·B| =|A|·|B|
Matriz inversa
Rango de una matriz
El rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Determinantes. Ejercicios y problemas
1Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:
2Sabiendo que |A|=5, calcula los otros determinantes.
3 Demostrar que los siguientes determinantes son múltiplos de 5 y 4 respectivamente, sin
desarrollarlos
4Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15:
5Demuéstrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los determinantes:
6 Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.
7 Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:
8 Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:
9Calcular los determinantes de Vandermonde:
10 Hallar la matriz inversa de:
11 Para qué valores de x la matriz
12 Calcular el rango de las siguientes matrices:
13 Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:
1A · X = B
2X·A+B=C
no admite matriz inversa?
SOLUCION DE EJERCICIOS PROPUESTOS
Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos
1
Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:
Tiene dos líneas proporcionales.
La tercera columna es igual a la suma de las otras dos.
2
Sabiendo que |A|=5, calcula los otros determinantes.
3
Demostrar que los siguientes determinantes son múltiplos de 5 y 4 respectivamente, sin
desarrollarlos
4
Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15:
5
Demuéstrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los determinantes:
6
Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.
7
Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:
8
Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:
9
Calcular los determinantes de Vandermonde:
10
Hallar la matriz inversa de:
11
Para qué valores de x la matriz
Para x = 0 la matriz A no tiene inversa.
12
Calcular el rango de las siguientes matrices:
|2|=2 ≠0
r(A) = 2
r(B) = 4
Eliminamos la tercera columna por ser nula, la cuarta por ser proporcional a la primera, y la
quinta porque combinación lineal de la primera y segunda: c5 = -2 · c1 + c2
r(C) = 2
13
Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:
1A · X = B
|A|=1 ≠ 0, existe la matriz inversa A-1 .
A-1 (A · X) = A-1 · B
( A-1 · A) · X = A-1 · B
I · X = A-1 · B
X = A-1 · B
2X·A+B=C
|A| = 1 ≠ 0
(X · A + B) - B = C - B
X · A + (B - B) = C - B
X·A+0=C-B
X·A=C-B
X · A · A-1 = ( C - B) · A-1
X (A · A-1 ) = ( C - B) · A-1
X · I = ( C - B) · A-1
X = ( C - B) · A-1
MAS EJERCICIOS PROPUESTOS
Determinantes. Ejercicios
1Si el valor del determinante
. Calcular el valor de:
2Demostrar que el siguiente determinante es divisible por 21:
3 Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:
4Calcular el valor de los siguientes determinantes:
5¿Para qué valores de x la matriz
6Resolver las ecuación matricial:
A·X+2·B=3·C
MAS EJERCICIOS RESUELTOS
1
Si el valor del determinante
calcular el valor de:
2
Demostrar que el siguiente determinante es divisible por 21:
3
Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:
4
Calcular el valor de los siguientes determinantes:
5
¿Para qué valores de x la matriz
Para cualquier valor real de m existe la matriz inversa A-1
6
A·X+2·B=3·C
|A| = 1 ≠ 0
(A · X +2 · B) - 2 · B = 3 · C - 2B
A· X + ( 2 · B- 2 · B) = 3 · C - 2B
A· X + 0= 3 · C - 2B
A· X = 3 · C - 2B
( A-1 · A) · X = A-1 · (3 · C - 2B)
I · X = A-1 · (3· C - 2B)
X = A-1 · (3 · C - 2B)

Determinantes - FIE - 2015 A

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