Simulación Hidrodinámica de las Turbinas a Instalar en la Central

Transcripción

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA
DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA
Simulación Hidrodinámica de las
Turbinas a Instalar en la Central
Hidroeléctrica “Manuel Piar” en Tocoma
Diplomado de Estudios Avanzados
Presentado por: Edgar de Jesús Gutiérrez Aro, Ing., MSc.
Para cumplir con el Periodo de Investigación del
Doctorado en Ingeniería Mecatrónica
Investigación dirigida por el: Dr. Joaquín Ortega Casanova
Profesor Titular de la Universidad de Málaga en el Área de
Mecánica de Fluidos
Málaga, Marzo de 2009
UNIVERSIDAD DE MÁLAGA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA
DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA
Dr. Joaquín Ortega Casanova, Profesor Titular de la
Universidad de Málaga en el Área de Mecánica de Fluidos,
hace constar
Que es Director del trabajo de Investigación titulado:
“Simulación Hidrodinámica de las Turbinas a Instalar en la
Central Hidroeléctrica “Manuel Piar” en Tocoma”,
realizado por el Ing. Edgar de Jesús Gutiérrez Aro, y que
dicho autor ha llevado a cabo los objetivos de
investigación propuestos para la completa elaboración del
trabajo Investigación Tutelado, y se encuentra en
disposición de la defensa del mismo ante el Tribunal de
Lectura del Trabajo de Investigación
Málaga, Marzo de 2009.
________________________________________
Fdo. Joaquín Ortega Casanova
Dedicatoria:
A mi hijo Dreiber y a mi esposa Ingrid, por ser los
seres más amado de mi vida, motivo de mi gran
lucha para alcanzar metas cada vez más importantes.
También a mi madre, María (Marucha) que me ha
dado siempre su apoyo y comprensión; pero muy
especialmente a padre Valentín, para el que siempre
fui sus ojos y esperanza, y que nunca pudo ver el
crecimiento profesional de su hijo.
ii
Agradecimiento:
Quiero agradecer a mi Universidad, la Universidad
Nacional Experimental Politécnica “Antonio José de
Sucre” (UNEXPO), la cual me formó y me continúa
apoyando para culminar mis estudios Doctorales.
A mi esposa Ingrid, por el apoyo y compresión que
ha tenido para que yo pudiera culminar este trabajo.
Al profesor, Dr. Joaquín Ortega Casanova, por el
apoyo y orientación en la elaboración de este trabajo.
A mi amigo y compadre Henry Herrera, por el
auxilio prestado cuando estuve en España.
iii
Resumen
Es este trabajo se presenta la simulación numérica, mediante el método de los volúmenes
finitos, de las turbina Kaplan que serán instaladas en la Central Hidroeléctrica “Manuel Piar”
en Tocoma, también conocida como Tocoma. La investigación es de tipo aplicada, dado que
se utiliza el método de los volúmenes finitos para simular el comportamiento de la turbina
Kaplan, y así construir las curvas características de la misma. El trabajo es importante por que
permite predecir el comportamiento de las turbinas una vez instaladas, aproximadamente para
el año 2012. La metodología desarrollada consistió, en primer lugar, en establecer el modelo
matemático que se utilizaría para simular el comportamiento fluidodinámico del agua cuando
pasa a través de las paletas directrices y el rodete de la turbina. Luego, se construyeron los
modelos de volúmenes finitos para el volumen de control de las paletas directrices y del
rodete. Seguidamente, se realizó la simulación de las paletas directrices para diferentes grados
de apertura de las mismas, y diferentes caudales de operación, a fin de obtener los perfiles de
velocidad a la salida de las paletas directrices, que serán las condiciones de borde en la
simulación del rodete. Finalmente, se realizó la simulación del rodete para velocidades de
operación entre 0 rpm y 250 rpm, y caudales entre 430 m3/s y 844 m3/s, manteniendo las
paletas directrices completamente abierta. Los resultados muestran, que se pudo establecer una
relación matemática para los perfiles de velocidad a la salida de las paletas directrices como
función del radio, para diferentes inclinaciones de las paletas directrices. También se presentan
las curvas de torque, potencia y eficiencia de la turbina como función del caudal para
diferentes velocidades de operación, y se estable el punto de operación una vez instadas.
iv
Índice General
RESUMEN ............................................................................................................................... iv
ÍNDICE GENERAL ................................................................................................................. v
ÍNDICE DE FIGURAS .........................................................................................................viii
ÍNDICE DE TABLAS ............................................................................................................xii
INTRODUCCIÓN .....................................................................................................................1
CAPÍTULO 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ......................................................3
1.1. INTRODUCCIÓN. ................................................................................................................3
1.2. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA.......................................................................................6
1.3. OBJETIVOS. .........................................................................................................................8
1.3.1. OBJETIVO GENERAL................................................................................................................... 8
1.3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. ........................................................................................................... 8
1.4. LIMITACIONES. ..................................................................................................................9
CAPÍTULO 2. DESARROLLO HIDROELÉCTRICO DEL BAJO CARONÍ ................10
2.1. ANTECEDENTES Y FUTURO DE LA HIDROELECTRICIDAD EN VENEZUELA. ......10
2.2. GENERALIDADES DE LA EMPRESA CVG EDELCA. ....................................................13
2.1.1. MISIÓN. .................................................................................................................................... 13
2.1.2. VISIÓN. ..................................................................................................................................... 13
2.1.3. CENTRALES HIDROELÉCTRICAS DE EDELCA EN EL BAJO CARONÍ. ....................................... 13
2.3. DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO “MANUEL PIAR” EN TOCOMA. .............................19
2.3.1. GENERALIDADES...................................................................................................................... 19
2.3.2. CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LAS TURBINAS A INSTALAR EN TOCOMA....................... 23
CAPÍTULO 3. FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS .........................................26
3.1. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA DE FLUIDOS DIFERENCIAL. ..................................26
3.1.1. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. .................................................................................................. 28
3.1.2. ECUACIÓN DE MOMENTUM...................................................................................................... 28
3.1.3. ECUACIÓN DE ENERGÍA............................................................................................................ 31
3.2. CONDICIONES INICIALES Y DE FRONTERA. ..............................................................32
3.2.1. CONDICIONES INICIALES. ......................................................................................................... 32
v
3.2.2. CONDICIONES DE BORDE. ........................................................................................................ 33
3.3. ANÁLISIS DE FLUJO TURBULENTO. .............................................................................35
3.4. MODELO DE TURBULENCIA PARA ANÁLISIS DEL FLUJO DE FLUIDOS. ...............37
3.4.1. MODELOS BASADOS EN LA VISCOSIDAD DE REMOLINO.......................................................... 38
3.4.2. MODELOS BASADOS EN LOS ESFUERZOS CORTANTE DE REYNOLDS. ..................................... 46
3.4.3. MODELOS NUMÉRICOS DE SIMULACIÓN DE FLUJOS TURBULENTOS. ...................................... 51
3.5. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS...........................................55
3.5.1. DISCRETIZACIÓN DE LOS TÉRMINOS TRANSITORIOS. .............................................................. 57
3.5.2. TAMAÑO ADECUADO DEL PASO DE TIEMPO. ........................................................................... 58
3.5.3. FUNCIONES DE FORMA Y TIPOS DE ELEMENTOS...................................................................... 59
3.5.4. CALIDAD DE LA MALLA DE VOLÚMENES FINITOS................................................................... 66
CAPÍTULO 4. MODELO MATEMÁTICO .........................................................................69
4.1. GENERALIDADES DE LAS CENTRALES HIDROELÉCTRICAS. .................................69
4.1.1. COMPONENTES DE LAS CENTRALES HIDROELÉCTRICAS. ........................................................ 70
4.1.2. TURBINAS KAPLAN. ................................................................................................................. 73
4.2. SIMPLIFICACIONES MATEMÁTICAS, FÍSICAS Y GEOMÉTRICAS. ..........................75
4.2.1. SIMPLIFICACIONES GEOMÉTRICAS........................................................................................... 78
4.2.2. SIMPLIFICACIONES FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. ........................................................................ 80
4.3. MODELO MATEMÁTICO Y DOMINIO DEL PROBLEMA. ...........................................81
4.3.1. MODELO DE LAS PALETAS DIRECTRICES. ................................................................................ 81
4.3.2. MODELO DEL RODETE.............................................................................................................. 84
4.4. ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA. ......................................................85
4.4.1. ESTRATEGIA UTILIZADA EN EL DISTRIBUIDOR........................................................................ 85
4.4.2. ESTRATEGIA UTILIZADA EN EL RODETE. ................................................................................. 88
4.5. MODELOS DE VOLÚMENES FINITOS............................................................................89
4.5.1. MODELOS DE VOLÚMENES FINITOS DEL DISTRIBUIDOR. ........................................................ 89
4.5.2. MODELO DE VOLÚMENES FINITOS DEL RODETE. .................................................................... 91
CAPÍTULO 5. RESULTADOS ..............................................................................................93
5.1. PERFIL DE VELOCIDAD A LA SALIDA DEL DISTRIBUIDOR. ....................................93
5.1.1. EFECTO DE LA INCLINACIÓN DE LAS PALETAS DIRECTRICES. ................................................. 95
5.1.2. EFECTO DEL ÁNGULO DE INCIDENCIA DE LA VELOCIDAD A LA ENTRADA DEL DISTRIBUIDOR.
......................................................................................................................................................... 103
5.1.3. EFECTOS DEL CAUDAL. .......................................................................................................... 106
5.1.4. RELACIÓN FUNCIONAL DE VELOCIDAD A LA SALIDA DEL DISTRIBUIDOR. ........................... 106
5.2. SIMULACIÓN DE LA TURBINA. ....................................................................................113
5.2.1. PERFIL DE VELOCIDAD........................................................................................................... 113
vi
5.2.2. DISTRIBUCIÓN DE PRESIÓN Y ESFUERZO CORTANTE SOBRE LA TURBINA. ........................... 114
5.3. CURVAS CARACTERÍSTICA DE LA TURBINA. ..........................................................117
5.3.1. TORQUE EN EL EJE DE LA TURBINA. ...................................................................................... 118
5.3.2. POTENCIA EN EL EJE DE LA TURBINA. ................................................................................... 120
5.3.3. EFICIENCIA DE LA TURBINA. .................................................................................................. 121
5.3.4. DESNIVEL DEL SALTO REQUERIDO POR LAS TURBINAS. ....................................................... 122
5.4. COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS Y ASPECTOS ADICIONALES. ..................123
5.4.1. PUNTO DE FUNCIONAMIENTO DE LA TURBINA. ..................................................................... 123
5.4.2. POSIBILIDAD DE CAVITACIÓN EN LA TURBINA...................................................................... 124
5.4.3. COMENTARIO ADICIONAL SOBRE SIMULACIÓN DE TURBINAS KAPLAN. .............................. 124
CONCLUSIONES ................................................................................................................ 126
INVESTIGACIONES FUTURAS ...................................................................................... 128
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................... 129
ANEXOS ............................................................................................................................... 133
vii
Índice de Figuras
Figura 1.1. Turbina hidráulica propuesta por Euler. ................................................................. 4
Figura 2.1. Ubicación de las grandes centrales hidroeléctrica a lo largo del Bajo Caroní...... 12
Figura 2.2. Ubicación de los futuros desarrollos hidroeléctricos en el alto Caroní. ............... 12
Figura 2.3. Central hidroeléctrica Macagua I.......................................................................... 14
Figura 2.4. Central hidroeléctrica Macagua II......................................................................... 14
Figura 2.5. Central hidroeléctrica Macagua III.. ..................................................................... 15
Figura 2.6. Parque la llovizna.................................................................................................. 15
Figura 2.7. Vista aérea de la Central hidroeléctrica Guri. ....................................................... 16
Figura 2.8. Vista frontal de la central hidroeléctrica Guri....................................................... 16
Figura 2.9. Vista del complejo hidroeléctrico Caruachi.......................................................... 17
Figura 2.10. Lugar donde se construye Tocoma. .................................................................... 19
Figura 2.11. Esquema de la disposición del desarrollo hidroeléctrico del bajo Caroní. ......... 19
Figura 2.12. Vista de la zona donde se construirá la presa principal de la central Tocoma.... 20
Figura 2.13. Maqueta de lo que será la Central Hidroeléctrica Tocoma................................. 21
Figura 3.1. Esquema de las múltiples condiciones de borde en un problema de flujo de
fluidos. ...................................................................................................................................... 33
Figura 3.2. Comportamiento de un flujo turbulento y laminar. (a) representación gráfica (b)
flujo en un canal. ...................................................................................................................... 35
Figura 3.3. Comportamiento en el tiempo de la componente u de la velocidad en un punto,
para el caso de flujo turbulento. ............................................................................................... 35
Figura 3.4. Representación de una malla de volúmenes finitos. (a) Malla y (b) Elemento. ... 56
Figura 3.5. Elemento tipo hexaedro. (a)Elemento en el sistema de coordenadas normalizado y
(b) elementos en el sistema de coordenadas rectangular.......................................................... 60
Figura 3.6. Elemento tipo cuña. (a)Elemento en el sistema de coordenadas normalizado y (b)
elementos en el sistema de coordenadas rectangular................................................................ 61
Figura 3.7. Elemento tipo pirámide. (a)Elemento en el sistema de coordenadas normalizado y
viii
Figura 3.8. Elemento tipo tetraedro. (a)Elemento en el sistema de coordenadas normalizado y
Figura 4.1. Elementos constitutivos de las centrales hidroeléctricas. ..................................... 71
Figura 4.2. Tipos de tuberías de presión. (a) Central con turbinas Kaplan, (b) Central con
turbinas Francis y (c) Central con turbinas Peltón.. ................................................................. 71
Figura 4.3. Aliviadero de Caruachi. ........................................................................................ 72
Figura 4.4. Componentes básicos de una turbina Kaplan. ...................................................... 74
Figura 4.5. Disposición de los componentes en la central hidroeléctrica Manuel Piar en
Tocoma. .................................................................................................................................... 76
Figura 4.6. Volúmenes de control utilizados para simular las centrales hidroeléctricas......... 77
Figura 4.7. Líneas de corriente desde la toma a la entrada del distribuidor de la central
Caruachi.................................................................................................................................... 78
Figura 4.8. Sección transversal de la turbina a instalar en Tocoma. ....................................... 79
Figura 4.9. Vista tridimensional del volumen de control ocupado por el anillo de distribución.
.................................................................................................................................................. 80
Figura 4.10. Vista tridimensional del volumen ocupado por el rodete. .................................. 80
Figura 4.11. Volumen de control utilizado para modelar el distribuidor a diferentes ángulos de
inclinación (o apertura) de las paletas directrices: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f)
75°............................................................................................................................................. 82
Figura 4.12. Volumen de control del rodete: (a) Vista superior y (b) Vista inferior............... 84
Figura 4.13. Dimensiones del volumen de control utilizado para modelar el distribuidor a
diferentes apertura de las paletas directrices: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°.
.................................................................................................................................................. 86
Figura 4.14. Dimensiones del volumen de control utilizado para modelar el Rodete............. 88
Figura 4.15. Modelos de volúmenes finitos utilizados para realizar el estudio de convergencia.
(a) Modelo de 421.914 nodos, (b) Modelo de 657.737 nodos, (c) Modelo de 902.793 nodos,
(d) Modelo de 1.057.434 nodos y (e) Modelo de 1.223.055 nodos. ........................................ 89
Figura 4.16. Norma infinita como función del número de nodos. .......................................... 90
Figura 4.17. Modelo de volúmenes finitos para diferentes ángulos de inclinación de las
paletas directrices. (a) 15 °, (b) 30°, (c) 45°, (d) 60° y (e) 75°................................................. 91
Figura 4.18. Modelo de volúmenes finitos del Rodete. (a) 496890 nodos, (b) 635392 nodos y
(c) 1014966 nodos. ................................................................................................................... 92
ix
Figura 5.1. Secciones utilizadas para graficar el perfil de velocidad. ..................................... 94
Figura 5.2. Líneas de corrientes a través del distribuidor para un caudal de 680 m3/s,
velocidad de entrada normal a la superficie e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°,
(b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°. ................................................................................ 96
Figura 5.3. Curvas de velocidad constante a la salida del distribuidor y el álabe para un caudal
de 680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y
(f) 75°........................................................................................................................................ 97
Figura 5.4. Módulo de la velocidad a la salida del distribuidor para un caudal de 680 m3/s e
inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°. .... 98
Figura 5.5. Componente axial de la velocidad a la salida del distribuidor para un caudal de
680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y
(f) 75°........................................................................................................................................ 99
Figura 5.6. Componente radial de la velocidad a la salida del distribuidor para un caudal de
680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y
(f) 75°...................................................................................................................................... 100
Figura 5.7. Componente tangencial de la velocidad a la salida del distribuidor para un caudal
de 680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y
(f) 75°...................................................................................................................................... 101
Figura 5.8. Perfil de velocidad a la salida del distribuido para diferentes inclinaciones de las
paletas directrices: (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d)
tangencial................................................................................................................................ 102
Figura 5.9. Efecto de la inclinación de las paletas directrices sobre el perfil de velocidad a la
salida del distribuidor: (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d)
tangencial................................................................................................................................ 103
Figura 5.10. Velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices de
0°, caudal de 680 m3/s y ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor de
0°, 15°, 30°, 45° y 60°. (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d)
tangencial................................................................................................................................ 104
0°, 15°, 30°, 45° y 60°. (a) Módulo de la velocidad, Componentes (b) axial, (c) radial y (d)
tangencial................................................................................................................................ 105
0°, 15°, 30°, 45° y 60°. (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d)
tangencial................................................................................................................................ 105
x
0°, ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor de 0° y caudales de 785,
680, 561, 500 y 400 m3/s. (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d)
tangencial................................................................................................................................ 106
Figura 5.14. Comparación de las curvas reales y las interpolantes de las componentes de la
velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices entre 0° a 30°.
(a) Componente axial, (b) componente radial y (c) componente tangencial.......................... 109
velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices de 45°. (a)
Componente axial, (b) componente radial y (c) componente tangencial. .............................. 111
Componente axial, (b) componente radial y (c) componente tangencial. .............................. 113
Figura 5.17. Líneas de corriente del flujo a través de la turbina para un caudal de 680 m3/s,
inclinación de las paletas directrices de 0° y velocidades de giro de: (a) 0 rpm, (b) 50 rpm, (c)
90 rpm, (d) 150 rpm y (e) 250 rpm......................................................................................... 114
Figura 5.18. Presión estática sobre la turbina para la condición de operación de 680 m3/s,
inclinación de las paletas directrices de 0° y velocidades de giro de: (a) 0 rpm, (b) 50 rpm, (c)
90 rpm, (d) 150 rpm y (e) 250 rpm......................................................................................... 115
Figura 5.19. Esfuerzo cortante sobre la turbina para la condición de operación de un caudal de
680 m3/s, inclinación de las paletas directrices de 0° y velocidades de giro de: (a) 0 rpm, (b) 50
rpm, (c) 90 rpm, (d) 150 rpm y (e) 250 rpm........................................................................... 116
Figura 5.20. Torque en el eje de la turbina como función (a) de las rpm y (b) el caudal...... 118
Figura 5.21. Curva promedio del torque en el eje de la turbina como función del caudal en
m3/s. ........................................................................................................................................ 118
Figura 5.22. Curvas del torque de presión como función del caudal, para diferentes valores de
rpm.......................................................................................................................................... 119
Figura 5.23. Torque viscoso como función (a) de las rpm y (b) el caudal............................ 119
Figura 5.24. Potencia de salida en el eje de la turbina como función (a) de las rpm y (b) el
caudal...................................................................................................................................... 120
Figura 5.25. Eficiencia de la turbina como función (a) de las rpm y (b) el caudal. .............. 121
Figura 5.26. Desnivel requerido en el salto para operar las turbinas. Desnivel como función de
(a) las rpm y (b) el caudal...................................................................................................... 122
Figura 5.27. Zona donde se puede iniciar la cavitación. Condiciones de operación de: (a) 680
m3/s y 90 rpm y (b) 355,4 m3/s y 90 rpm. .............................................................................. 124
xi
Índice de Tablas
Tabla 2.1. Características relevantes del embalse de la central Macagua. .............................. 12
Tabla 2.2. Características de las turbinas instaladas en Macagua. .......................................... 12
Tabla 2.3. Características relevantes de la cuenca y el embalse de Guri................................. 17
Tabla 2.4. Características de las turbinas instaladas en Guri................................................... 17
Tabla 2.5. Características relevantes del embalse de Caruachi. .............................................. 18
Tabla 2.6. Características de las turbinas instaladas en Caruachi............................................ 18
Tabla 2.7. Características relevantes del embalse de Tocoma................................................. 22
Tabla 2.8. Características de las turbinas a instalar en Tocoma. ............................................. 22
Tabla 2.9. Características de los Generadores a instalar en Tocoma....................................... 23
Tabla 2.10. Rugosidades de las superficies del rodete. ........................................................... 24
Tabla 3.1. Comparación entre la formulación diferencial y de volumen de control [7].......... 27
Tabla 3.2. Calidad del elemento como función de la desviación de los ángulos internos....... 67
Tabla 4.1. Selección de la turbina de acuerdo a la velocidad específica (Ns). ........................ 72
Tabla 4.2. Selección de la turbina de acuerdo al salto y caudal del salto................................ 73
Tabla 4.3. Número de álabes de las turbinas Kaplan como función de la velocidad específica.
.................................................................................................................................................. 75
Tabla 4.4. Número de álabes de las turbinas Kaplan como función de la altura del salto. ..... 75
Tabla 4.5. Niveles de operación de las turbinas Kaplan en Tocoma....................................... 76
Tabla 4.6. Componentes de la velocidad a la entrada del distribuidor como función del caudal,
ángulo de las paletas directrices y ángulo de la velocidad respecto a la normal...................... 87
Tabla 4.7. Modelos de volúmenes finitos utilizados para realizar el estudio de convergencia
del distribuidor.......................................................................................................................... 90
Tabla 4.7. Modelos de volúmenes finitos utilizados para realizar el estudio de convergencia
de la turbina. ............................................................................................................................. 91
xii
Introducción
Venezuela es un país que se conoce en el mundo por disponer de grandes reservas de petróleo
y gas (80.582 millones de barriles de petróleo probados (mbp), 236.000 mbp en la faja del
Orinoco en proceso de certificación, y 151.479 billones de pies3 de gas); pero además, dispone
de un gran potencia hidroeléctrico en el río Caroní, el cual se estima en 26.000 MW, de los
cuales 17.448 MW corresponden al bajo Caroní y el resto en el alto Caroní. El río Caroní
cubre aproximadamente 95.000 km2 (10.5% del territorio venezolano) de los cuales, 47.000
km2 corresponden al Alto Caroní, desde su nacimiento en la frontera con Brasil hasta la
confluencia con el río La Paragua; 33.000 km2 forma la cuenca del río La Paragua y los
15.000 km2 restantes corresponden al Bajo Caroní, desde la unión con el río La Paragua hasta
su desembocadura en el río Orinoco, en Ciudad Guayana.
La empresa Electrificación del Caroní (EDELCA) perteneciente a la Corporación Venezolana
de Guayana (CVG) es la encargada del aprovechamiento del potencial Hidroeléctrico del Río
Caroní; por tal motivo, la empresa a construido y esta operando la Central Hidroeléctrica
Antonio José de Sucre en Macagua, conformada por los complejos Macagua I, II y III, la
Central Hidroeléctrica Simón Bolívar en Guri (Guri) y la Central Hidroeléctrica Francisco de
Miranda en Caruachi (Caruachi). Actualmente esta en construcción la Central Hidroeléctrica
Manuel Piar en Tocoma (Tocoma), que viene hacer la ultima central de gran tamaño que se
construiría en el bajo Caroní.
Dado que la Central Hidroeléctrica Manuel Piar en Tocoma esta en proceso de construcción,
CVG EDELCA, ha propuesto verificar mediante simulación numérica y física los
componentes principales del Proyecto Tocoma[3,4] (contrato N° 3.1.104.001.03). En ese
sentido, en este trabajo se presenta la simulación numérica mediante el método de los
volúmenes finitos del comportamiento fluidodinámico del agua cuando pasa a través del
rodete de la turbina, a fin de construir las curvas características de torque, potencia y eficiencia
de las turbinas Kaplan que serán instaladas en ésta Central Hidroeléctrica.
Este trabajo es importante por que permitirá predecir el comportamiento de las turbinas ante
de ser instaladas, y así la empresa podrá tomar la mejor decisión ante de realizar la instalación
de las mimas. Por otra parte, la información presentada viene a servir de base para otros
trabajos de investigación, tales como: Simulación de las turbinas para diferentes grados de
apertura de las paletas directrices e inclinación de los álabes de la turbina, desarrollo de
modelos matemáticos para el control automático de las turbinas, utilizando técnicas
convencionales de control o mediante control inteligente; como el control borroso o el control
neuronal. También, el trabajo puede servir de guía para realizar simulaciones con otros tipos
de perfil de álabes, a fin de optimizar el diseño actual.
1
La investigación tiene como alcance, construir las curvas características de la turbina Kaplan
que serán instaladas en la central Hidroeléctrica “Manuel Piar” en Tocoma, para un rango de
velocidad de operación entre 0 rpm y 250 rpm, siendo ésta última la velocidad máxima de
embalamiento de la turbina, y un rango de caudales entre 430 m3/s y 844 m3/s. El modelo
geométrico del rodete de la turbina que se utilizó en la simulación, fue el suministrado por el
fabricante, y cuyos datos están dados en el informe de pasantía (Entrenamiento Industrial) de
Pietrantoni (2007).
El trabajo esta estructurado en cinco capítulos, donde en el primer capítulo se presenta el
planteamiento del problema, el segundo capítulo muestra una descripción detallada de lo que
ha sido el desarrollo hidroeléctrico del Bajo Caroní y una nota histórica de la generación
hidroeléctrica en Venezuela. En el tercer capítulo se hace una recopilación de la
fundamentación matemática del flujo de fluidos y se describen las bases del método de los
volúmenes finitos. El cuarto capítulo contiene los modelo matemático y los modelos de
volúmenes finitos utilizados para simular las paletas directrices y el rodete de la turbina
Kaplan, y el quinto capítulo contiene el análisis y resultados de las simulaciones realizadas.
Finalmente, se presentan las conclusiones, investigaciones futuras, referencias bibliográficas y
anexos.
2
Capítulo 1
Planteamiento del Problema
Las ruedas hidráulicas son las primeras turbinas desarrolladas, y se dice que aparecieron por el
Asia menor, China e India, dos siglos antes de Cristo; luego pasaron a Egipto y de allí a
Europa y el Cercano Oriente. En América Latina las turbinas hidráulicas se introducen con la
llegada de los españoles. Ahora bien, en Venezuela el uso de la energía hidráulica para
producir electricidad se inicio en Yaracuy, Estado Lara, en 1.896, y aunque al principio hubo
mucho empuje en el desarrollo de éste tipo de energía; con la aparición del petróleo se
comenzaron a desarrollar las plantas termoeléctricas. Para 1947 la generación térmica
representaba el 80% y la hidráulica el 20%; pero actualmente, casi el 70% de la energía
eléctrica que consume el país proviene de la hidroelectricidad, y ésta, se ha continuado
expandiendo en la actualidad. En éste capitulo se presenta una breve introducción del
desarrollo histórico de las turbinas hidráulicas, se describe el planteamiento del problema,
donde se mencionan los antecedentes que motivaron éste trabajo, finalmente se presentan los
objetivos logrados en el mismo.
1.1. Introducción.
El término turbina proviene del latín turbo-inem, que significa rotación o giro de algo; ahora
bien, una turbina hidráulica se puede definir como una máquina que aprovecha la energía
hidráulica del agua para transformarla en potencia útil en un eje. Las turbinas hidráulicas son
usadas en la actualidad para producir electricidad mediante un transformador acoplado al eje
de la misma.
No esta clara la fecha, quien y donde se desarrollaron las turbinas hidráulicas; sin embargo, se
tienen fuertes indicios que éstas surgen a partir de las ruedas persas (o saqia)[1] las cuales se
utilizaban para elevar el agua en algunos ríos (todavía existen en Egipto). Posiblemente, las
primeras ruedas hidráulicas se construyeron en Asia, China e India y luego pasaron a Egipto, y
desde allí a Europa y Cercano Oriente, 600 años después que en Asia.
El primer escrito que se tiene de la existencia de las turbina hidráulicas (primeras turbinas
hidráulicas) data de los años 80 AC y fue realizado por Antiparter de Tesalónica en un
documento de poemas líricos. Los romanos usaron las ruedas hidráulicas para producir trabajo
mecánico, y se atribuye a Vitruvius las modificaciones realizadas para transformar las ruedas
Capítulo 1. Planteamiento del Problema.
persas en molinos. Para el año 762 DC, los sajones masificaron el uso de los molinos en Gran
Bretaña alcanzando unos 5000 para el año 1086.
Leonardo Da Vinci, Galileo, Descarte y otros realizaron los primeros estudios teóricos y
matemáticos de las ruedas hidráulicas, destacándose el Frances Parent (1666-1717), quien
establece que existe una relación óptima entre la velocidad de la rueda y la velocidad de la
corriente de agua. Pero fue hasta 1750 que J. A. Von Segnerd desarrolla la primera turbina
hidráulica sobre la base del molinete hidráulico.
En 1754 Leonard Euler introduce mejoras al
molinete hidráulico de Von Segnerd (Figura 1.1)
y establece las ecuaciones básicas de las
turbomáquinas, la cual fue publicada en las
memorias de Berlin, con el titulo: “Théorie plus
compléte des machines qui sont mises en
mouvement par la reation de l’ eau”, cuya
traducción al español es: “Teoría más completa
de máquinas que son puestas en movimiento por
la reacción del agua”.
Eje
Rueda
dentada
Entrada
de agua
Turbina
Para 1824 el Frances Claude Burdine desarrolla
las bases teóricas de Euler e introduce por
primera vez la palabra “turbina hidráulica” para
definir a ésta clase de máquinas. El trabajo esta
en las memorias de la Academia de Ciencia y
Descarga
lleva por titulo: “Des turbines hydrauliques ou
machines rotatoire á grande vitesse”, que
traducido al español significa: “Teoría de
turbinas hidráulicas o máquinas rotativas a gran
velocidad”. El trabajo de Burdine fue teórico, Figura 1.1. Turbina hidráulica propuesta
pero su discípulo Benoit Fourneyron en 1827 por Euler.
construyó la primera turbina hidráulica Fuente: Referencia 1
experimental, la cual fue mejorando hasta lograr
una turbina de reacción que regulaba el nivel de agua por medio de diversa coronas.
Fourneyron, también estudió y desarrolló el tubo de aspiración de éstas turbinas de reacción.
La firma Escher Wyss en 1840 construyó la turbina tangencial centrípeta con inyección parcial
de agua diseñada por Zuppinger, la cual es muy similar a la Pelton. En 1841 Henschel y
Jonval desarrollaron la primera turbina axial de reacción con tubo de aspiración, la cual tenía
la ventaja de controlar el caudal para saltos variables. Zuppinger para 1842 desarrolló la
turbina tangencial para grandes saltos y caudales reducidos. En 1843 Fontaine construyó la
turbina Jonval para saltos constantes y caudales variables.
En 1848 Schwankrung desarrolló la primera turbina parcial para grandes saltos y caudales
reducidos. En 1849 el ingeniero norteamericano, James Bichano Francis [2], introdujo mejoras
a la turbina hecha por Samuel Dowd en 1843, y pone en funcionamiento la primera turbina de
reacción, de tal forma que desde entonces a la turbina mejorada por Francis lleva su nombre,
4
turbinas Francis. Por otra parte, en 1851, Girard mejoró el diseño de la turbina desarrollada
por Fontaine, de tal forma que podía mantener el salto lo más constante posible.
Haenel, Knop y Lehmann, en 1860 construyeron la turbina Girard que operaba con caudales y
saltos variables. En 1872 Fink introduce las paletas directrices giratorias para realizar la
primera regulación de las turbinas de reacción. Esto permitió que en 1873 Voith construyera la
primera turbina Francis con éste sistema directriz.
En 1880 el norteamericano Lester Allen Pelton [2], carpintero y montador de ejes y poleas,
desarrolló la turbina que lleva su nombre (turbina Pelton) la cual consistía de un conjunto de
cucharas accionadas por una boquilla. Luego, en 1903 Voith construye la primera turbina
activa Mitchell, la cual fue modernizada por Banki entre 1917 y 1918.
La turbina Kaplan fue desarrollada por Viktor Kaplan, quien fue profesor en Checoslovaquia
[2] y realizó sus primeros experimentos en 1912 logrando poner en funcionamiento la primera
turbina Kaplan experimental en 1920, mientras que en 1925 se pone en funcionamiento la
primera turbina Kaplan de gran tamaño.
Leroy F. Harza, propone el diseño de la turbina Straight Flow (Straflow) en 1919 y lo patentó
en 1924. En 1930 Kuhne patentó el diseño de la turbina tubular. En 1933 Escher Wyss patentó
a través de Hugenin la turbina de Bulbo, logrando instalar la primera en 1936. En 1952 Deriaz
propone el diseño de la turbina diagonal la cual fue instalada por English Electric en 1957.
De lo anterior se puede resumir que el desarrollo de las turbinas hidráulicas se dio en tres
etapas:
-
Génesis y gestación, hasta finales del siglo XVIII.
-
Nacimiento, durante el siglo XIX, ya que en éste siglo America comienza a dar su
aporte a desarrollo de las turbinas hidráulicas, con el nacimiento de las turbinas
Pelton y Francis.
-
Desarrollo, a partir del siglo XX ya que en estos años se han realizado las grandes
construcciones y se ha mejorado las técnicas de control de las mismas.
En el caso particular de Venezuela, la generación hidroeléctrica se inicio en Yaracuy, Estado
Lara, en 1.896. Al principio hubo mucho empuje en el desarrollo de éste tipo de energía, pero
debido al alto costo de inversión y a la aparición del petróleo en Venezuela, se comenzaron a
desarrollar las plantas termoeléctricas, de tal forma que en 1947 la generación térmica
representaba el 80% y la hidráulica el 20%. Aunque en el período de 1896 a 1947 se realizaron
construcciones de instalaciones hidroeléctricas, estas estaban basadas principalmente en el
aprovechamiento de ríos relativamente pequeños, aunque a veces las caídas netas eran
considerables; por lo que las potencias instaladas eran pequeñas.
Fue a partir de 1947 que se retoma la construcción de las grandes centrales hidroeléctricas,
después que la Corporación Venezolana de Fomento, de ese entonces, incluye el
aprovechamiento de los saltos inferiores del río Caroní (bajo Caroní) en el Plan Nacional de
Electrificación. A partir de 1.953 se inicia la nueva era de la generación hidroeléctrica en
5
Venezuela, cuando se crea la Comisión de Estudios para la Electrificación del Río Caroní
como una dependencia, del entonces, Ministerio de Fomento, cuya labor culminó en 1.960 con
la puesta en servicio de la central hidroeléctrica Macagua I.
Desde la construcción de Macagua I, el desarrollo del bajo Caroní no ha parado, lográndose
construir a la fecha, los complejos hidroeléctricos Guri, Macagua II, Macagua III y Caruachi,
lo que representa, que casi el 70% de la energía eléctrica que consume actualmente el país
proviene de la hidroelectricidad; y ésta se ha continuado expandiendo con la construcción de
la central hidroeléctrica Manuel Piar en Tocoma (quinto y último desarrollo del bajo Caroní),
Estado Bolívar, la central Fabricio Ojeda y La Vueltosa en el desarrollo Uribante-Caparo1 de
la región Andina (estados Mérida, Táchira y Barinas). Quedan pendiente, a largo plazo, el
desarrollo del alto Caroní donde se pueden aprovechar 9100 MW.
1.2. Descripción del Problema.
Venezuela, ubicada al norte de Sur América y frente al mar caribe, es un país energético por
excelencia. Cuenta con grandes reservas de petróleo y gas (80.582 millones de barriles de
petróleo probados (mbp), 236.000 mbp en la faja del Orinoco en proceso de certificación, y
151.479 billones de pies3 de gas [3,4]), dispone de un gran potencial hidroeléctrico (estimado
en 26.000 MW en el río Caroní y 1.260 MW en el sector Uribante-Caparo), una irradiación
solar que va desde 4,4 kW-h/m2 a 6,7 kW-h/m2, con muy baja variación durante el año, y en
gran parte de las costas caribeña se puede aprovechar el potencial eólico.
El gran potencial hidroeléctrico de Venezuela se encuentra en el río Caroní, que como se
mencionara anteriormente, esta estimado en 26.000 MW, de los cuales 17.460 MW
corresponden al bajo Caroní, que es donde se encuentran construidos y se están construyendo
los grandes complejos hidroeléctricos de Venezuela. El río caroní cubre aproximadamente
95.000 km2 (10.5% del territorio venezolano) de los cuales, 47.000 km2 corresponden al Alto
Caroní, desde su nacimiento en la frontera con Brasil hasta la confluencia con el río La
Paragua; 33.000 km2 forma la cuenca del río La Paragua y los 15.000 km2 restantes
corresponden al Bajo Caroní, desde la unión con el río La Paragua hasta su desembocadura en
el río Orinoco, en Ciudad Guayana.
La empresa Electrificación del Caroní (EDELCA) perteneciente a la Corporación Venezolana
de Guayana (CVG) es la encargada del aprovechamiento del potencial Hidroeléctrico del Río
Caroní; en ese sentido, la empresa ha construido y esta operando las Centrales Hidroeléctricas
Central Hidroeléctrica Simón Bolívar en Guri (Guri), la Central Hidroeléctrica Francisco de
Miranda en Caruachi (Caruachi), y actualmente esta construyendo la Central Hidroeléctrica
Manuel Piar en Tocoma (Tocoma), que viene a ser la última central de gran tamaño que se
construirá en el bajo Caroní.
1
Comprende los ríos Uribante, Doradas, Camburito y Caparo.
6
La central Macagua I, está ubicada en los llamados saltos inferiores del río Caroní, a 10
kilómetros de su desembocadura en el río Orinoco, en Ciudad Guayana, estado Bolívar. La
central hidroeléctrica Guri o Simón Bolívar, es el segundo complejo construido a lo largo del
bajo Caroní, y está ubicada en el Cañón de Nekuima a 100 kilómetros aguas arriba de la
desembocadura del río Caroní en el río Orinoco. El tercer desarrollo hidroeléctrico construido
en el bajo Caroní, lo conforman los complejos Macagua II y III. Se debe destacar que
Macagua III se desarrolló con la intención de garantizar un flujo de agua permanente de 660
m3/s a los Saltos Cachamay y La Llovizna, y así, mantener la belleza escénica de éstos
escenarios naturales, cumpliendo los requerimientos ambientales.
El complejo Hidroeléctrico Caruachi o Francisco de Miranda, es el cuarto desarrollo a lo largo
del bajo Caroní, está ubicado a unos 59 kilómetros aguas abajo del embalse de Guri. El último
desarrollo hidroeléctrico del bajo Caroní lo representa la central Tocoma (actualmente en
construcción), la cual estará ubicada a 15 km aguas debajo del embalse de Guri. La Central
tendrá una capacidad de 2160 MW y estará formada por 10 turbinas tipo Kaplan de 216 MW
cada una. La construcción de esta central está regida por el contrato N° 3.1.104.001.03 [5,6],
donde se presentan los términos legales del proyecto y las especificaciones técnicas de los
diferentes componentes que lo conforman.
Para validar y comprobar los términos y especificaciones técnicas del contrato de construcción
de Tocoma, CVG EDELCA, realizan pruebas y simulaciones a cada uno de los componentes
que se instalarán, con la finalidad de garantizar la calidad de éstos. En el caso de las turbinas
que se van a instalar, que son del tipo Kaplan, la empresa se ha planteado realizar las
simulaciones necesarias para verificar que las empresas contratantes cumplan con las
especificaciones establecidas en el contrato. Las especificaciones más importantes de las
turbinas son [6]:
- Turbinas tipo Kaplan, de rodete simple y eje vertical. Sentido de giro, visto desde
arriba, en sentido de las agujas del reloj.
- Capacidad Nominal de cada turbina debe ser de 216 MW. Son un total de 10 turbinas.
- Caída o salto nominal de 34,65 m. Máximo normal de 36 m y mínima normal de 33
m. Máximo infrecuente de 37,30 m y mínimo infrecuente de 30,90 m.
- Velocidad nominal de giro debe ser de 90 rpm y una velocidad máxima de
embalamiento fuera de leva de 250 rpm.
En este trabajo se presenta la propuesta de construcción de un modelo matemático para
realizar la simulación numérica del comportamiento fluido dinámico de las turbinas Kaplan
que se instalarán en la Central Hidroeléctrica Manual Piar en Tocoma. La simulación servirá
para comprobar los parámetros de diseño de las turbinas y construir las curvas características
para diferentes ángulos de las paletas directrices.
La simulación es importante, dado que permitirá validar si las especificaciones técnicas
suministradas por el fabricante de las turbinas Kaplan están dentro de los parámetros
establecidos en el contrato N° 3.1.104.001.03, establecer los parámetros de operación más
adecuados e incluso permitirá generar la información de la dinámica de control para el sistema
7
de Gobernación. Por otra parte, el trabajo busca optimizar la turbina en cuanto a los perfiles de
los alabes y algunos otros parámetros dimensionales, de tal manera que dichas modificaciones
se puedan realizar antes de instalar dichas turbinas.
Para la empresa, el trabajo resultará de gran ayuda para la toma de decisiones en cuanto a la
aceptación de las turbinas tal como las ofrece el fabricante, o estableciendo cambios en las
mismas, ante de su instalación en el sitio.
No esta demás comentar que Venezuela tiene un gran potencial hidroeléctrico que ha
desarrollado y continúa en expansión, de aquí la necesidad de tener control de la tecnología
que permite aprovechar estos recursos hídricos. Este trabajo representa un gran aporte a este
desarrollo tecnológico dado que se podrá contar con un modelo que prediga el
comportamiento de las turbina una vez instaladas en la central hidroeléctrica Tocoma.
1.3. Objetivos.
Los objetivos planteados en éste trabajo son los siguientes:
1.3.1. Objetivo General.
Desarrollar un modelo de volumen finito de las turbinas Kaplan que serán instaladas en la
central hidroeléctrica “Manuel Piar” en Tocoma, con la finalidad de simular el
comportamiento del flujo a través de ellas, y con el mismo, construir las curvas características.
1.3.2. Objetivos Específicos.
- Establecer el modelo matemático del flujo a través de las turbinas Kaplan que serán
instaladas en la central Manuel Piar en Tocoma.
- Construir los modelos de volumen finito para las diferentes configuraciones de
operación de la turbina, en cuanto a posición de las paletas directrices y ángulos de
ataque de los alabes de la turbina.
- Resolver los diferentes modelos de volumen finito para calcular el perfil de velocidad y
la distribución de presión en el volumen de control establecido.
- Elaborar las curvas características de las turbinas, a partir de los modelos numéricos.
- Establecer los parámetros de operación más adecuados para las turbinas.
- Verificar los resultados obtenidos con los proporcionados por el fabricante.
- Presentar recomendaciones para la mejora del diseño propuesto por el fabricante.
8
1.4. Limitaciones.
En este trabajo se presentaron algunas dificultades, que no se pudieron resolver a tiempo, y
que de una a otra forma, algunas de las metas trazadas inicialmente tuvieron que ser
modificadas. Estos impedimentos se mencionan a continuación:
- En primer lugar se había propuesto comparar los resultados de la simulación con
resultados experimentales, o pruebas de modelos, a fin de validarla. Para la fecha de
culminación de este trabajo la empresa no había desarrollado mencionadas pruebas, por
lo que no se pudo realizar mencionada validación experimental. Sin embargo, los
modelos utilizados se les realizó un estudio de convergencia de la malla de volúmenes
finitos a fin de garantizar la calidad de la solución.
- Por limitaciones en la capacidad computacional, no se pudo realizar un estudio de
convergencia a la malla de volúmenes finitos del rodete de la turbina con varios
modelos; sin embargo, el modelo utilizado mantiene un error menor del 0,73% con
respecto a primer modelo de volúmenes finito construido.
- Por limitación de tiempo no se pudo construir las curvas características de torque,
potencia, eficiencia y altura del salto para inclinaciones de las paletas directrices
mayores a cero grado. Este estudio se deja para trabajos futuros.
9
Capítulo 2
Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní
En éste capítulo se presenta lo que ha sido el desarrollo hidroeléctrico del bajo Caroní y las
perspectivas futuras del desarrollo del alto Caroní. Primeramente, se hace un recuento de los
antecedentes y el futuro de la generación hidroeléctrica en Venezuela, luego se hace una
memoria descriptiva de la empresa CVG EDELCA, en la cual se describen las diferentes
centrales que opera esta empresa estadal; finalizando con la descripción del proyecto Tocoma
o complejo hidroeléctrico Manuel Piar.
2.1. Antecedentes y Futuro de la Hidroelectricidad en Venezuela.
Se puede mencionar que el uso de la energía eléctrica en Venezuela se inició en 1.873, cuando
el Ing. Vicente Marcano realizó una demostración pública de un dispositivo de arco para el
alumbrado público de la ciudad. La energía para alimentar el dispositivo era un dinámo,
impulsado por una máquina de vapor. Sin embargo, fue en 1.883 cuando se iluminaron
algunos lugares públicos de la ciudad de Caracas, con motivo de la conmemoración del
centenario del natalicio del libertador Simón Bolívar.
En cuanto a la generación hidroeléctrica en Venezuela, se puede decir que ésta se inició en
Yaracuy, Estado Lara, en 1.896, cuando comienzan las operaciones de la primera planta
hidroeléctrica, la cual, se utilizaría para alumbrar la plaza Bolívar, la plaza Miranda y las
calles céntricas de la ciudad. La segunda planta hidroeléctrica del país, ubicada en el río
Guaire, en el sector “El Encanto”, inicia sus operaciones 1.897, y contaba con dos unidades
generadoras con una capacidad total de 420 kW a 50 Hz. En su momento, esta planta fue
considerada la segunda más grande de América y una de las Primeras en el Mundo.
Posteriormente entra en servicio la central hidroeléctrica Los Naranjos con tres unidades de
375 kW cada una.
Para 1.929 se empezó a operar la planta hidroeléctrica Naiguatá, que contaba con dos
generadores de 680 kW cada uno; esta planta fue considerada en ese tiempo, como una
instalación de gran envergadura. En general, para inicio del siglo XX, la generación de
electricidad en Venezuela estuvo basada principalmente en el aprovechamiento hidráulico de
ríos relativamente pequeños, aunque a veces las caídas netas eran considerables. El uso de la
Capítulo 2. Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní.
electricidad era casi exclusivamente para el alumbrado público y por consiguiente las
potencias instaladas eran pequeñas.
A partir de 1.953 se inicia la nueva era de la generación hidroeléctrica en Venezuela, cuando
es creada la Comisión de Estudios para la Electrificación del Río Caroní como una
dependencia, del entonces, Ministerio de Fomento, y su labor culminó en 1.960 con la puesta
en servicio de la central hidroeléctrica Macagua I (actualmente Central Hidroeléctrica Antonio
José de Sucre), con seis (6) turbinas tipo Francis, con una capacidad total instalada de 372
MW. En 1.963, se crea la empresa CVG Electrificación del Caroní C.A. (EDELCA), cuya
misión era continuar el desarrollo hidroeléctrico del río Caroní.
La fase inicial de la primera etapa de la central hidroeléctrica Raúl Leoni en Guri, denominada
actualmente central hidroeléctrica Simón Bolívar (segundo desarrollo en el río Caroní), con
575 MW de potencia instalada, fue inaugurada en 1.968. Por otra parte, en 1.973 se pone en
funcionamiento el complejo hidroeléctrico José Antonio Páez, con 4 unidades de 60 MW cada
una, ubicado en el río Santo Domingo, entre los estados Mérida y Barinas. En el año 1.977 se
concluyó la primera etapa de la Central Hidroeléctrica Simón Bolívar, la cual consta de 10
unidades generadoras con una capacidad instalada de 3.000 MW. En 1.986 fue finalizado
totalmente la central Simón Bolívar para un total de 20 unidades tipo Francis y una capacidad
instalada de 10.000 MW.
En 1.987 comienza a operar la primera central hidroeléctrica en el desarrollo Uribante-Caparo,
la cual tiene por nombre Central San Agatón, con una capacidad instalada de 300 MW.
Actualmente se están culminando (para finales del 2.009 se prevé culminar) los trabajos de la
central Hidroeléctrica la Vueltosa, que tendrá una capacidad de 500 MW; y se han iniciados
los trabajos preliminares para la tercera y última central hidroeléctrica en el sistema UribanteCapara, la central Fabricio Ojeda, que tendrá una capacidad de 460 MW, para así completar el
desarrollo con una capacidad total de 1.260 MW.
Después de la construcción de la central hidroeléctrica Simón Bolívar, se continuó con el
desarrollo del bajo Río Caroní, donde el 7 de julio de 1.988 se da inicio formal a los trabajos
de construcción de la tercera central hidroeléctrica en río Caroní, Macagua II y III, con una
capacidad instalada de 2.384 MW y 172 MW respectivamente, que sumado a los 372 MW de
Macagua I y a los 10.000 MW de la central hidroeléctrica Simón Bolívar en Guri, dio
capacidad para cubrir las necesidades eléctricas de unas seis ciudades como Caracas. Macagua
fue inaugurada oficialmente el 23 de enero de 1.997, por lo que a éste complejo se le
denominó en su momento central hidroeléctrica “23 de Enero”. En la actualidad los tres
complejos Macagua I, II y III llevan el nombre de complejo hidroeléctrica Antonio José de
Sucre, en honor a este gran prócer de la independencia.
El cuarto desarrollo hidroeléctrico del río Caroní lo representó la central hidroeléctrica
Francisco de Miranda en Caruachi (también conocida como Caruachi), la cual se comenzó a
construir en 1997 y la primera unidad entro en operación el abril del 2003. La central
Francisco de Miranda fue formalmente inaugurada el 31 de marzo del 2.006, y está formada
por 12 unidades generadoras tipo Kaplan de 180 MW cada una, para una capacidad instalada
total de 2.160 MW.
11
El quinto y último desarrollo hidroeléctrico
del bajo Caroní lo representa el complejo
hidroeléctrico Manuel Piar en Tocoma
(mejor conocida como Tocoma), el cual
está en etapa de construcción y constará de
10 unidades tipo Kaplan de 216 MW cada
una, para una capacidad instalada total de
2.160 MW. Se tiene previsto que la primera
unidad generadora entre en operación
comercial en el año 2.012 y que la central
esté culminada para el año 2.014. Una vez
culminado este proyecto se habrá concluido
el desarrollo del Bajo Caroní con una
capacidad total instalada de 17.460 MW.
La Figura 2.1 muestra la ubicación de los
complejos hidroeléctricos Guri, Tocoma
(en construcción), Caruachi y Macagua,
que
comprenden
el
desarrollo
hidroeléctrico del bajo Caroní.
Figura 2.1. Ubicación de las grandes centrales
hidroeléctrica a lo largo del Bajo Caroní.
Fuente: http://www.edelca.com.ve/
A futuro se tiene proyectado desarrollar el alto Caroní con un potencial estimado en 9100
MW, lo cuales estarán distribuidos en la centrales hidroeléctricas Tayucay, Eutobarima,
Aripichi y Auraima, cada una con un potencial estimado de 3.100 MW, 2.900 MW, 1.300
MW y 1.800 MW, respectivamente. La Figura 2.2 muestra la ubicación de las centrales
hidroeléctricas que se tiene proyectado construir en el alto Caroní.
Figura 2.2. Ubicación de los futuros desarrollos hidroeléctricos en el alto Caroní.
12
2.2. Generalidades de la Empresa CVG EDELCA.
La Corporación Venezolana de Guayana (CVG) crea formalmente la empresa Electrificación
del Caroní C.A. (EDELCA) el 23 de julio de 1963 para dar cumplimiento con el artículo 31
del Estatuto Orgánico de esta Corporación. Inicialmente, EDELCA tenía como misión
acometer la construcción de Guri y encargarse de la administración del crédito asociado a
dicha central hidroeléctrica, otorgado por el Banco Mundial. Igualmente, entre otras funciones
le correspondió encargarse de la operación de Macagua I.
Actualmente, la empresa CVG EDELCA se encarga de operar las Centrales Hidroeléctricas
Central Hidroeléctrica Simón Bolívar en Guri y la Central Hidroeléctrica Francisco de
Miranda en Caruachi, también está encargada de completar el desarrollo hidroeléctrico del río
Caroní con la construcción de la Central Hidroeléctrica Manuel Piar en Tocoma, y a futuro, la
construcción de las centrales hidroeléctricas Tayucay, Eutobarima, Aripichi y Auraima en el
alto Caroní. Otra de las actividades que realiza EDELCA, es el mantenimiento y operación de
las líneas de transmisión que llevan la energía eléctrica desde la región de Guayana hasta el
Centro y Occidente del País, la Costa Oriental de Colombia y las poblaciones fronterizas del
norte de Brasil. La extensión de las líneas de transmisión superan los 5.700 km.
De acuerdo a los últimos lineamientos del Ejecutivo Nacional, EDELCA, que pasó a ser filial
de la Corporación Eléctrica Nacional, adscrita al Ministerio del Poder Popular para la Energía
y Petróleo, es la empresa de generación hidroeléctrica más importante que posee Venezuela.
Forma parte del conglomerado industrial ubicado en la región Guayana, conformado por las
empresas básicas del aluminio, hierro, acero, carbón, bauxita y actividades afines. Suministra
el 100% de la energía eléctrica requerida para dichas empresas.
2.1.1. Misión.
La misión de la empresa es: Generar, transmitir y distribuir energía eléctrica, de manera
confiable, segura y en armonía con el ambiente; a través del esfuerzo de mujeres y hombres
motivados, capacitados, comprometidos y con el más alto nivel ético y humano; enmarcado
todo en los planes estratégicos de la Nación, para contribuir con el desarrollo social,
económico, endógeno y sustentable del País.
2.1.2. Visión.
La visión de EDELCA es ser: Empresa estratégica del Estado, líder del sector eléctrico, pilar
del desarrollo y bienestar social, modelo de ética y referencia en estándares de calidad,
excelencia, desarrollo tecnológico y uso de nuevas fuentes de generación, promoviendo la
integración Latinoamericana y del Caribe.
2.1.3. Centrales Hidroeléctricas de EDELCA en el Bajo Caroní.
EDELCA se encarga de operar los complejos Hidroeléctricos Macagua, Guri y Caruachi,
todos ellos ubicados el bajo Caroní. A continuación se presenta una breve descripción de cada
uno de éstos complejos.
13
2.1.3.1. Complejo Hidroeléctrico “Antonio José de Sucre” en Macagua.
Como se mencionara en la sección 1.2 del
capítulo 1, la central hidroeléctrica Antonio
Macagua I
José de Sucre (también conocida como
Macagua), esta conformada por los
complejos Macagua I, II y III. Macagua I
(Figura 2.3) fue la primera planta construida
en el bajo Caroní, Su construcción se inicio
en 1956, y su primera unidad entró en
funcionamiento en 1959, mientras que la
última entro en funcionamiento en 1961. La
central
viene
a
representar
un
aprovechamiento a filo de agua, es decir que
no requirió la formación de un embalse para
su operación; y esta formada por una Casa de
Figura 2.3. Central hidroeléctrica Macagua I.
Máquinas (casa de máquinas I) que alberga 6
unidades tipo Francis, que tiene una caída
nominal de 46,4 m y una capacidad nominal de 64 MW cada una, para una capacidad instalada
total de 380 MW.
Los complejos Macagua II
(Figura 2.4) y III es el tercer
proyecto
hidroeléctrico
construido en el bajo Caroní,
sus trabajos de construcción se
iniciaron en 1988 y se
inauguró en 1997. Macagua II
está conformada por una casa
de
máquinas
(casa
de
máquinas II) que alberga 12
unidades tipo Francis que
operan con una caída nominal
de 46,4 m y una capacidad de
216 MW cada una, lo que
representa una capacidad
instalada de 2.540 MW. Para
Figura 2.4. Central hidroeléctrica Macagua II.
el control del nivel del río se
construyó un Aliviadero con
3
12 compuertas capaz de manejar 30.000 m /seg.
Macagua III (Figura 2.5) tiene una casa de máquinas (casa de máquinas III) que alberga dos
turbinas tipo Kaplan que operan con una caída nominal de 22,6 m y una capacidad de 86 MW
cada una, para un total instalado de 172 MW. El diseño de la obra fue realizado con el fin de
perturbar lo menos posible su entorno natural, por estar ubicado en la cercanía del sistema de
parques de Ciudad Guayana (parques Cachamay, Loefling, Punta Vista y La Llovizna). La
14
Figura 2.6 muestra el parque la Llovizna y la desembocadura del aliviadero de Macagua III en
éste, el cual permite mantener el flujo de agua al sistema de parques antes mencionado.
Macagua III
Macagua III
Figura 2.5. Central hidroeléctrica Macagua III.
Fuente: http://www.skyscrapercity.com/
Figura 2.6. Parque la llovizna.
Las características más relevantes del embalse de la central Macagua se muestran en la Tabla
2.1 y los datos de las turbinas en la tabla 2.2.
Tabla 2.1. Características relevantes del embalse de la central Macagua.
Parámetros
Unidad
Valor
km2
Área del embalse a nivel máximo
47,40
(*)
Nivel mínimo de operación normal
msnm
53,70
Nivel promedio de operación normal
msnm
54,10
Nivel máximo
msnm
54,50
Nivel mínimo
msnm
52,00
3
Volumen estimado a nivel máximo
m
3
Caudal máximo probable
m /s
323.000.000,00
30.000,00
(*) Las unidades msnm representan los metros sobre el nivel del mar.
Tabla 2.2. Características de las turbinas instaladas en Macagua.
Parámetros
Unidad
Macagua I
Macagua II
Macagua III
Tipo de turbina
-
Francis
Francis
Kaplan
Cantidad
-
6
12
2
Potencia nominal
MW
64
216
86
Potencia total instalada
MW
380
2.540
172
Caída neta nominal
m
46,40
46,40
22,6
Caída neta máxima
m
50,50
50,50
23
15
2.1.3.2. Complejo Hidroeléctrico “Simón Bolívar” en Guri.
El complejo hidroeléctrico Simón
Bolívar, también conocido como
Guri (Figura 2.7 y 2.8), está ubicado
en el Cañón de Nekuima, 100
kilómetros aguas arriba de la
desembocadura del río Caroní en el
río Orinoco. La primera etapa de la
central se inicio en 1963, y la fase
inicial de esta etapa se culminó en
1968. Pero fue hasta 1978 que se
culminó totalmente esta primera
etapa. La segunda se inició en 1978
y se culminó en 1986.
Esta central hidroeléctrica tiene un
Figura 2.7. Vista aérea de la Central hidroeléctrica Guri.
salto hidráulico de 144 m para una
capacidad instalada de 10.000 MW
distribuidos en dos casas de máquinas, casa de máquinas 1, con una capacidad instalada del
3.006 MW generados con diez (10) unidades tipo Francis de 185 MW, 230 MW y 360 MW; y
casa de máquinas 2, con una capacidad instalada de 7.000 MW, generados con 10 unidades
tipo Francis de 700 MW cada una. Guri es actualmente la tercera central hidroeléctrica de
mayor potencia instalada en el mundo por detrás de la central de Tres Gargantas en China, con
18.000 MW, e Italpú en Brasil con 12.600 MW.
Figura 2.8. Vista frontal de la central hidroeléctrica Guri.
16
Las características más relevantes de la cuenca y el embalse de Guri se muestran en la Tabla
2.3 y los datos de las turbinas instaladas en la Tabla 2.4.
Tabla 2.3. Características relevantes de la cuenca y el embalse de Guri.
Parámetros
Unidad
Valor
km2
95.000,00
3
m /s
4.800,00
2
km
3.919,00
msnm
271,00
Nivel máximo
msnm
271,60
Nivel mínimo
msnm
240,00
Área de la Cuenca
Caudal promedio de río Caroní
Área del embalse a nivel máximo (271,60 msnm)
3
km
111,104
Tabla 2.4. Características de las turbinas instaladas en Guri.
Casa
Casa
Parámetros
Unidad
Máquinas 1
Máquinas 2
Tipo de turbina
-
Francis
Francis
Cantidad
-
10
10
Potencia nominal de cada unidad
MW
185, 230 y 360
700
Velocidad de operación
rpm
120 a 128,6
112,5
m
144
144
MW
3.006
7.000
Caída neta nominal
Capacidad total instalada
2.1.3.3. Complejo Hidroeléctrico “Francisco de Miranda” en Caruachi.
Figura 2.9. Vista del complejo hidroeléctrico Caruachi.
Fuente: Presentación inaugural de CVG Edelca de la central Caruachi
17
Este complejo Hidroeléctrico es el cuarto desarrollo en el bajo Caroní, y también se conoce
con el nombre de Caruachi (Figura 2.9), dado que el lugar donde está ubicada tiene el mismo
nombre. Caruachi está situado a unos 59 kilómetros aguas abajo del embalse de Guri, en cuya
zona, el río discurre sobre un lecho rocoso interrumpido por numerosas islas y su ancho es de
aproximadamente 1.700 metros a una cota de 55,00 msnm. La ubicación de las Presas de tierra
y enrocamiento, Aliviadero y Casa de Máquinas obedece a la optimización de las condiciones
geológicas, topográficas y energéticas del proyecto.
La central Caruachi se comenzó a construir en 1997 y la primera unidad entro en operación en
abril del 2003, quedando completamente concluido e inaugurado en marzo del 2.006. La
central tiene una capacidad instalada de 2.296 MW que se producen en una casa de máquina
que tiene doce (12) turbinas Kaplan de 180 MW con una caída nominal de 35,6 m.
Los datos más relevantes del embalse se muestran en la Tabla 2.5 y los datos de las turbinas
instaladas en la Tabla 2.6.
Tabla 2.5. Características relevantes del embalse de Caruachi.
Parámetros
Unidad
Valor
m3/s
30.000,00
2
Área del embalse a nivel normal (91,25 msnm)
km
236,68
msnm
91,25
Nivel máximo
msnm
92,55
Nivel mínimo
msnm
90,25
3
3.520x106
m
Tabla 2.6. Características de las turbinas instaladas en Caruachi.
Casa
Parámetros
Unidad
Máquinas 1
Tipo de turbinas
-
Kaplan
Cantidad
-
12
MW
180
Velocidad nominal de operación
rpm
94,74
m
35,6
MW
2.196
Caída neta nominal
Vale la pena comentar, que Caruachi fue ganadora de dos record mundiales, como son: las
mayores turbinas Kaplan (180 MW) instaladas en centrales hidroeléctricas y las mayores
compuertas radiales (15x22,60 m) que regulan un aliviadero para 30.000 m3/s. Por otra parte,
sus dificultades técnicas (con más de 1.800.000 m3 de hormigón refrigerado por debajo de 15°
C), los excepcionales medios de ejecución y el cuidadoso diseño de cada una de las difíciles
etapas de construcción, han sido merecedoras de otros reconocimientos, entre los cuales se
pueden mencionar: IX Premio Internacional Puente de Alcántara, Premio Regional de la
Construcción Bolívar 2005, entre otros.
18
2.3. Descripción del Proyecto “Manuel Piar” en Tocoma.
2.3.1. Generalidades.
La central hidroeléctrica Manuel Piar, también
conocida como Tocoma, representa el quinto y
último desarrollo hidroeléctrico del bajo
Caroní. Los trabajos se iniciaron en el 2001 y
se tiene previsto que la primera unidad entre en
operación comercial en el 2012, y que la
central esté totalmente culminada en el 2014.
La central está ubicada a 15 km aguas abajo del
embalse de Guri, en la cercanía de la
desembocadura de río Claro en el río Caroní
(Figura 2.10). La central hidroeléctrica Manuel
Piar tendrá una capacidad instalada de 2.160 Figura 2.10. Lugar donde se construye Tocoma.
MW que se producirán con diez (10) turbinas
tipo Kaplan de 216 MW cada una.
El Proyecto Manuel Piar en Tocoma, conjuntamente con las Centrales Simón Bolívar en Guri,
Francisco de Miranda en Caruachi y Antonio José de Sucre en Macagua, completa el
desarrollo hidroeléctrico del Bajo Caroní, cuya características electro-energéticas
sobresalientes están predeterminadas por la descarga regulada del embalse de Guri. La Figura
2.11 presenta un esquema del desarrollo hidroeléctrico del bajo Caroní, donde se destacan la
disposición de las centrales hidroeléctricas, el salto hidráulico de cada una de ellas y la altura
respecto al nivel del mar de los embalses que las alimentan, destacándose que Tocoma,
Caruachi y Macagua dependen del embalse de Guri.
RÍO
ORINOCO
TOCOM A
GURI
300
271
CARU ACHI
Guri
Guri
10.000MW
MW
8.850
Elevación ( m.s.n.m)
250
200
MACAGUA
Tocom a
2.160 MW
HG
127
150
91.25
Caruachi
Caruachi
2.196
2.196MW
MW
HT
100
54.5
Macagua
Macagua
2.930MW
MW
3.092
HC
50
Río Orinoco
HM
0
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Distancia en kilómetro s desde el Orinoco
Figura 2.11. Esquema de la disposición del desarrollo hidroeléctrico del bajo Caroní.
Fuente: Presentación inaugural de CVG Edelca de la central Caruachi
19
El lugar donde será construido Tocoma, el río Caroní tiene un ancho de aproximadamente
2000 m y discurre sobre un lecho de gneises graníticos característico de la formación Imataca
del Precámbrico inferior del Escudo Guayanés. El análisis económico y los niveles aguas
abajo de la casa de máquinas obtenidos de un modelo matemático calibrado con mediciones
del prototipo, permitió seleccionar el alineamiento más favorable para el desarrollo del
proyecto.
Los componentes principales que conforman el proyecto, incluyendo todos los equipos
electromecánicos asociados, son:
-
Presa de transición izquierda, intermedia y derecha.
-
Presa de tierra y enrocamiento.
-
Presa de enrocamiento con pantalla de concreto.
-
Casa de máquinas integrada a la estructura de Toma, nave de montaje y sala de control.
-
Aliviadero.
-
Obras exteriores.
Presa de Enrocamiento Izquierda.
La presa de enrocamiento izquierda contará con una pantalla de concreto y estará fundada
sobre roca. Se tiene previsto construir una presa de enrocamiento con pantalla de concreto, por
la necesidad de utilizar los materiales provenientes de las excavaciones requeridas para las
estructuras principales y el canal de descarga y por la dificultad de disponer de material
arcilloso en cantidades suficientes, en la margen Izquierda. La utilización de suelos en la
margen izquierda estaría asociada al acarreo de materiales desde la zona ubicada aguas arriba
de la presa izquierda.
Presa Principal y Casa de Máquinas.
La presa principal estará conformada por seis (6) monolitos dobles de 60 metros de ancho, 5
de los cuales contendrán las estructuras de toma y el restante a la nave de montaje. La presa
principal tendrá una altura de 65 metros y una longitud de 360 metros. En la cresta, cuya
elevación será de 130 msnm. y a todo lo largo de las presas, está prevista una carretera de
servicio.
Esta presa principal contiene a las estructuras de toma y está formada por 5 monolitos de 60
m. de ancho, que albergarán las diez (10) unidades generadoras. La casa de máquinas estará
integrada a la estructura de toma y cumplirá funciones de presa principal. La junta de
contracción que separa cada monolito estará parcialmente provista de trabas para optimizar su
comportamiento mecánico. Adicionalmente, la casa de máquinas incluirá en sus extremos al
edificio de operaciones y control. La Figura 2.12 muestra los movimientos de tierra de la zona
donde será construida la presa principal y la Figura 2.13 muestra la maqueta de la central
hidroeléctrica Manuel Piar en Tocoma.
20
Zona donde se ubicará
la presa principal
Figura 2.12. Vista de la zona donde se construirá la presa principal de la central Tocoma.
Figura 2.13. Maqueta de lo que será la Central Hidroeléctrica Tocoma.
Fuente: CVG EDELCA
21
Presas de Transición.
La presa de transición izquierda estará ubicada entre la presa de enrocamiento con pantalla de
concreto y la nave de montaje; constará de tres (3) monolitos de los cuales dos (2) tendrán 18
m cada uno y uno de 30 m, medidos a lo largo de la línea base. La presa de transición
intermedia estará ubicada entre la casa de máquinas y el aliviadero, tendrá una longitud de 70
m y constará de tres (3) monolitos uno (1) de ellos en forma de "cuña". La presa de transición
derecha, ubicada entre el aliviadero y la presa de enrocamiento derecha, constará de cinco (5)
monolitos transversales de geometría variable.
Aliviadero.
El Aliviadero tendrá una capacidad de descarga de 28.750 m3/s, con una longitud de 175,86
m., nueve (9) compuertas radiales con descarga de superficie de 15,24 m de ancho por 21,66
m de altura, con la ojiva a la elevación 106,30 msnm y 18 ductos de fondo de 5,50 m de ancho
por 9,00 m de altura.
Presa de Tierra y Enrocamiento Derecha.
La primera etapa del cierre dejará una abertura en principio de 900 m en el estribo derecho
para pasar el máximo flujo de 14.000 m3/s controlado por Guri. Para cerrar la abertura será
construida una ataguía aguas arriba y otra, aguas abajo en dicha sección, en el medio de las
cuales será construida una presa de tierra con filtro de chimenea. Un aspecto a considerar será
la presencia de lastra y arena en la fundación, la cual varía de unos pocos centímetros a unos
3,0 metros de espesor y su remoción será necesaria en la fundación de los materiales
impermeables y filtros.
En resumen, los datos más relevantes del embalse se muestran en la Tabla 2.7, los datos de las
turbinas a instalar en la Tabla 2.8 y las características de los generadores en la Tabla 2.9.
Tabla 2.7. Características relevantes del embalse de Tocoma.
Parámetros
Unidad
Valor
m3/s
km2
msnm
m3
Área del embalse a nivel normal
28.750,00
87,34
127,00
1.770x106
Tabla 2.8. Características de las turbinas a instalar en Tocoma.
Valor
Parámetros
Unidad
Tipo de turbina
Cantidad
Velocidad nominal de operación
Velocidad máxima de embalamiento
Caída neta nominal
MW
rpm
rpm
m
MW
Kaplan
10
216
90
250
34,65
2.160
22
Tabla 2.9. Características de los Generadores a instalar en Tocoma.
Valor
Parámetros
Unidad
Tipo
-
Paraguas
Cantidad
-
10
MW
220
Voltaje nominal
kV
13,8
Frecuencia
Hz
60
Número de fases
-
3
Factor de potencia
-
0,85
2.3.2. Características Principales de las Turbinas a Instalar en Tocoma.
Las turbinas a instalar en Tacoma deberán ser del tipo Kaplan, de rodete y eje simple,
instaladas en caja semiespiral de concreto y provista con tubo de aspiración acodado. El
sentido de giro, visto desde arriba, será el de las agujas del reloj [6].
Los componentes principales de las turbinas Kaplan, son los siguientes:
-
Rodete.
-
Paletas directrices.
-
Cabezal de distribución de aceite.
-
Sellos del eje.
-
Cojinetes.
-
Tubo de aspiración y revestimientos.
-
Anillo de distribución.
-
Anillo inferior.
-
Anillo de descarga.
-
Estructura del cojinete de empuje.
-
Sistema de admisión de aire.
-
Planchas de revestimiento y sellos de las paletas directrices.
-
Mecanismo de operación de las paletas directrices.
Rodete: El rodete deberá ser del tipo de hélice con alas ajustables, operados por un servomotor
hidráulico ubicado en el cubo del rodete y posicionados automáticamente por el gobernador a
la inclinación óptima, correspondiente a la apertura de las paletas directrices y la caída neta del
momento. Los alabes son fabricados en fundición de acero inoxidable, el cubo y el cono del
rodete de acero fundido o fabricados de planchas de acero soldadas. Las rugosidades asociadas
a las superficies del rodete son las mostradas en la Tabla 2.10
23
Tabla 2.10. Rugosidades de las superficies del rodete.
Superficie
Rugosidad [μm]
Álabe, lado succión
3,2
Álabe, lado presión
3,2 - 6,3
Álabe, borde de estrada y salida
3,2
Cubo del rodete
12,5
Muñón del alabe en zonas de los bujes
0,8
Bridas del álabe frente al sello
1,6
Paletas directrices: Las paletas directrices serán fabricadas de planchas de acero al carbono
soldadas, con vástagos fundidos o forjados. Los extremos superior e inferior de las paletas y
las áreas a lo largo de la superficie de contacto con las paletas adyacentes deberán ser
fabricadas en acero o revestidas con acero inoxidable. El área de contacto entre los vástagos de
las paletas y los bujes de material auto lubricante deberá estar provista con camisas o un
revestimiento de acero resistente a la corrosión, de una dureza suficiente para operar
suavemente y sin desgastes excesivos. Las rugosidades de las paletas directrices en el cuerpo
deben ser de 12,5 μm y en el área de contacto de 3,2 μm.
Cabezal de distribución de aceite: El cabezal de distribución de aceite hacia ambos lados del
servomotor de los alabes deberá estar ubicado por encima de la cubierta del generador y
soportado sobre la ménsula superior del mismo. Se deberán proveer dos tubos concéntricos
para el aceite del servomotor, ubicados y soportados dentro del eje, más un tercer tubo
concéntrico, para establecer la columna de aceite y presión requerida en el cubo del rodete
para evitar ingreso de agua al mismo.
Sello del eje: La turbina deberá estar provista con un sello del eje en el lugar donde el eje
principal atraviesa la cubierta superior interior, diseñada de tal forma que los elementos del
sello puedan ser inspeccionados, ajustados o reemplazados sin perturbar el cojinete inferior de
guía del eje principal. El sello del eje deberá ser del tipo de anillo de carbono o de teflón o del
tipo mecánico.
Cojinetes: Las partes rotantes de la unidad serán soportadas en el sentido radial por un
cojinete inferior de guía y un cojinete superior de guía y en el sentido axial por un cojinete de
empuje combinado con el cojinete radial superior.
Tubo de aspiración y revestimiento: El tubo de aspiración será del tipo acodado, con dos
tajamares soportando el techo de su parte inferior. La parte superior del tubo de aspiración
deberá estar provisto con un revestimiento de acero. La parte cónica por debajo del anillo de
descarga deberá tener una longitud suficiente, como para reducir la velocidad del flujo de agua
y asegurar que el revestimiento no se extienda aguas abajo del punto más profundo del tubo de
aspiración. En el revestimiento se deberá proveer una puerta hermética para facilitar el acceso
por debajo del rodete.
Anillo distribuidor: El anillo distribuidor será fabricado de planchas de acero soldadas, con
uniones radiales apernadas o soldadas y deberá consistir de un anillo superior y otro inferior,
24
rígidamente unidos entre sí por medio de las paletas fijas. El anillo distribuidor deberá ser
diseñado para resistir todas las cargas verticales con la caja semiespiral vacía.
Anillo inferior: El anillo inferior deberá ser fabricado de planchas de acero soldadas, dividido
en secciones para facilitar su transporte y manipulación. El anillo inferior formará parte del
techo de la galería circular alrededor del anillo de descarga y deberá ser diseñado.
Anillo de descarga: El anillo de descarga deberá ser fabricado de planchas soldadas entre si y
dividido en secciones para facilitar su transporte y manipulación de la obra. La garganta del
anillo deberá ser fabricada en acero resistente a la corrosión, cavitación y erosión.
Estructura de soporte del cojinete de empuje: La estructura del soporte será fabricada de
planchas de acero soldadas y diseñada para proveer la rigidez adecuada y minimizar las
deflexiones. La estructura deberá tener por lo menos una apertura de tamaño suficiente y un
Winche monorriel, para permitir la manipulación y traslado de los componentes ubicados
dentro de la cubierta. La parte superior de la estructura deberá adaptarse para formar la base
del cojinete de empuje y de su caja.
Sistema de admisión de aire: Deberá proveerse un sistema de admisión de aire atmosférico a
través de la cubierta superior, con el propósito de admitir automáticamente el aire a la cámara
del rodete de la turbina en el caso del cierre brusco de las paletas directrices y suavizar el
efecto del golpe de ariete proveniente desde del tubo de aspiración.
Planchas de revestimiento y sellos de las paletas directrices: Las planchas de revestimiento
de las superficies de la cubierta superior exterior y del anillo inferior alrededor de la zona de
los extremos de las paletas directrices, deberán ser de metales resistentes a la corrosión y al
desgaste. Los sellos de las paletas deberán ser de bronce o de monel, ajustables
automáticamente al desgaste, removibles y renovables, soportados sobre un material elástico.
Mecanismo de operación de las paletas directrices: Este mecanismo estará integrado por un
máximo de cuatro servomotores principales de doble acción, un número idéntico de
servomotores auxiliares de simple acción.
25
Capítulo 3
Fundamentos del Flujo de Fluidos
En éste capítulo se hace un recuento de los aspectos físico y matemático del flujo de fluidos, el
mismo inicia con la presentación de las ecuaciones diferenciales que rigen el flujo de fluidos,
seguido de una descripción de las condiciones iniciales y de borde que se utilizan para resolver
los problemas de flujo; posteriormente se presentan los modelos más importantes utilizados
para simular el flujo turbulento y finaliza con la descripción del método de los volúmenes
finitos, el cual se utilizó para realizar la simulación de las turbinas.
3.1. Fundamentos de Mecánica de Fluidos Diferencial.
Las leyes que se utilizan para el análisis del flujo de fluidos son:
- Ley de conservación de la masa: La cual establece que la masa no se crea ni se destruye,
sólo se puede transportar o almacenar.
- Las tres leyes de Newton:
o Primera ley: Una masa permanece en estado de equilibrio, esto es, en reposo ó a
velocidad constante, al menos que sobre ella actúe una fuerza externa.
o Segunda ley: La velocidad de cambio de la cantidad de rmovimiento de una masa es
r
proporcional a la fuerza neta que actúa sobre ella ( F = d (mV ) ).
dt
o Tercera ley: Cualquier acción de una fuerza tiene una fuerza de reacción igual en
magnitud y opuesta en dirección.
- Primera ley de la termodinámica (ley de conservación de la energía): La energía no se crea
ni se destruye, sólo se puede transportar, almacenar y transformar.
- Segunda ley de la termodinámica: La segunda ley trata de la disponibilidad de la energía
para realizar trabajo útil y se puede enunciar como: La entropía del universo debe aumentar
o, en el caso ideal, permanecer constante en todos los procesos naturales ( ds ≥ dq ).
T
Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos.
- Ecuaciones de estado o relaciones entre las propiedades: Las relaciones que existen entre
las propiedades de los fluidos, tal es el caso de: la ley de los gases ideales, ley de viscosidad
de Newton y relaciones establecidas en las tablas de vapor de agua, entre otras.
Se debe comentar que la ecuación de continuidad, ecuación de momentum o segunda Ley de
Newton y ecuación de energía se les conoce con el nombre de Ecuaciones de Transporte.
Por otra parte, para analizar los flujos de fluidos, en la actualidad, se utilizan dos enfoques,
que son: La formulación de volumen de control (también se le conoce como enfoque integral)
y la formulación diferencial.
La formulación de volumen de control, mediante la aplicación de las leyes fundamentales,
permite determinar mediante un modelo matemático, las propiedades de los fluidos
(velocidad, presión, etc) en dicho volumen y en sus fronteras. La precisión de éste método va a
depender de las suposiciones que se realicen.
La formulación diferencial aplica las leyes fundamentales a nivel de un elemento diferencial,
generando modelos matemáticos más precisos que normalmente se deben resolver mediante
computadoras. En ésta sección se describen las ecuaciones fundamentales de mecánica de los
fluidos en forma diferencial.
En la Tabla 3.1 se presenta un resumen comparativo entre la formulación (ó método) de
volumen de control y el diferencial.
Tabla 3.1. Comparación entre la formulación diferencial y de volumen de control. [7]
Tipo de Formulación
Ventajas
Desventajas
Formulación del volumen
de control
- La matemática utilizada es simple.
- Las hipótesis y aproximaciones son
menos sensibles; con frecuencia se
obtiene información aproximada muy
útil con suposiciones simples.
- No se requiere computadora, sólo una
pequeña calculadora permite resolver
los problemas en tiempos muy cortos.
- Con frecuencia sólo se obtiene la
información que realmente se
requiere.
- No revela todos los detalles del flujo.
- No obliga al fluido a obedecer las
leyes fundamentales en cada punto.
- Normalmente sólo se obtienen
soluciones aproximadas.
- Se requiere más información de
entrada, tal como una distribución de
velocidad en fronteras convenientes,
entre otras.
- Normalmente no proporciona tanta
información como la requerida.
Formulación diferencial
- Revela todos los detalles del flujo.
- Se fuerza al fluido a obedecer las
leyes fundamentales en todos los
puntos.
- Resuelve el problema con un mínimo
de información, que normalmente son
las condiciones de borde.
- Produce ecuaciones diferenciales que
son muy difícil de resolver.
- Normalmente se requiere
computadora para resolver las
ecuaciones diferenciales que se
generan en los modelos matemáticos
- Pueden proporcionar más información
de la que se requiere.
27
3.1.1. Ecuación de Continuidad.
La ecuación de continuidad en forma diferencial se puede escribir de la siguiente manera:
∂ρ ∂ ( ρu ) ∂ ( ρv) ∂ ( ρw)
+
+
+
= 0,
∂t
∂x
∂y
∂z
(3.1)
donde:
ρ : Es la densidad del fluido
u, v, w : Son las componentes en la dirección x, y, z, respectivamente, del vector
velocidad.
En notación tensorial, la ecuación de continuidad es escribe de la siguiente manera:
∂ρ
+ ∇ ⋅ ( ρU) = 0 ,
∂t
(3.2)
donde:
U = uiˆ + vˆj + wkˆ : Es el vector velocidad.
∂
∂
∂
∇ = iˆ + ˆj + kˆ : Es el operador Nabla.
∂x
∂y
∂z
iˆ, ˆj , kˆ : Son los vectores unitarios en los ejes cartesianos x, y, z, respectivamente.
Para un flujo estacionario, la ecuación se reduce a:
∂ ( ρu ) ∂ ( ρv) ∂ ( ρw)
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
ó
∇ ⋅ ( ρU ) = 0 .
(3.3)
Para un fluido incompresible, donde la densidad se puede considerar constante, como el caso
que se analizará en este trabajo, la ecuación de continuidad se simplifica:
∂u ∂v ∂w
+
+
=0
∂x ∂y ∂z
ó
∇⋅U = 0.
(3.4)
3.1.2. Ecuación de Momentum.
3.1.2.1. Ecuación de Cauchy
La ecuación de Cauchy se obtiene cuando se aplica la segunda ley de Newton a un elemento
diferencial de fluido. El análisis completo de la ecuación se desarrolla en las referencias 8 y 9.
28
∂ τ yx
∂ τ zx ⎞
∂u
∂u
∂u
∂u
1 ⎛ ∂σ x
⎜⎜
⎟+ gx
+ u
+ v
+ w
=
+
+
∂t
∂x
∂y
∂z
∂y
∂ z ⎟⎠
ρ ⎝ ∂x
∂σ y
∂ τ zy ⎞
∂v
∂v
∂v
∂v
1 ⎛ ∂ τ xy
⎜⎜
⎟+ gy
+ u
+ v
+ w
=
+
+
∂y
∂ z ⎟⎠
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ⎝ ∂x
∂ τ yz
∂σ z ⎞
∂w
∂w
∂w
∂w
1 ⎛ ∂ τ xz
⎜⎜
⎟+ gz
+ u
+ v
+ w
=
+
+
∂t
∂x
∂y
∂z
∂y
∂ z ⎟⎠
ρ ⎝ ∂x
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪.
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪⎭
(3.5)
Donde σ x ,σ y ,σ z son los esfuerzos normales que actúan en un punto y τ xy ,τ xz ,τ yx ,τ yz ,τ zx ,τ zy
son esfuerzos cortantes que actúan en un punto. Por otra parte, el tensor de esfuerzo se define
como:
⎡σ x
⎢
τ = ⎢τ xy
⎢τ xz
⎣
τ yx τ zx ⎤
⎥
σ y τ zy ⎥ .
τ yz σ z ⎥⎦
(3.6)
Usando la notación tensorial, la ecuación (3.6) se puede expresar de la siguiente forma:
1
DU ∂U
=
+ (U ⋅ ∇)U = τ ⋅ ∇ + g ,
Dt
ρ
∂t
(3.7)
donde:
∂
∂
D ∂
∂
= + u + v + w : Es el operador de derivada sustancia o total.
∂x
∂y
Dt ∂t
∂z
g = g x iˆ + g y ˆj + g z kˆ : Es el vector aceleración de la gravedad.
Cuando se está en equilibro respecto a rotación de una partícula de fluidos, se cumple que:
τ xy = τ yx , τ xz = τ zx , τ yz = τ zy (ver referencia 10 la demostración completa de éstas ecuaciones).
3.1.2.2. Ecuación de Navier-Stokes
Para un fluido newtoniano las ecuaciones constitutivas (o relaciones de esfuerzo velocidad de
deformación) se pueden expresar de la siguiente forma [11]:
⎛ ∂u
∂v ⎞
σ x = − p + 2μ
∂u
+ λ∇ ⋅ U ,
∂x
σ y = − p + 2μ
∂v
+ λ∇ ⋅ U,
∂y
τ xz = τ zx = μ ⎜
σ z = − p + 2μ
∂w
+ λ∇ ⋅ U,
∂z
⎟⎟ ,
τ yz = τ zy = μ ⎜⎜ +
⎝ ∂z ∂y ⎠
⎟⎟ ,
+
τ xy = τ yx = μ ⎜⎜
⎝ ∂y ∂x ⎠
⎛ ∂u ∂w ⎞
+
⎟,
⎝ ∂z ∂x ⎠
⎛ ∂v
(3.8)
∂w ⎞
29
donde μ es la viscosidad del fluido y λ es el segundo coeficiente de viscosidad.
La ecuación (3.8) se puede simplificar utilizando notación tensorial con subíndice, esto es:
⎛ ∂ui
τ ij = − pδ ij + μ ⎜⎜
⎝ ∂xi
+
∂u j ⎞
⎟ + δ ij λ ∂ui
∂x j ⎟⎠
∂xi
para i, j = 1,2,3 ,
(3.9)
donde:
u1 = u, u 2 = v, u3 = w ,
x1 = x, x2 = y, x3 = z ,
σ i = τ ii ,
δ ij : Es el delta de Kronecker (es 1 si j = i y 0 si j ≠ i ).
Para los fluidos incompresibles (líquidos) homogéneos se tiene que ∇ ⋅ U = 0 , por lo que la
ecuación (3.8) se transforma en:
⎛ ∂u
∂v ⎞
σ x = − p + 2μ
∂u
,
∂x
τ xy = τ yx = μ ⎜⎜ + ⎟⎟,
⎝ ∂y ∂x ⎠
σ y = − p + 2μ
∂v
,
∂y
τ xz = τ zx = μ ⎜
σ z = − p + 2μ
∂w
,
∂z
τ yz = τ zy = μ ⎜⎜ + ⎟⎟.
⎝ ∂z ∂y ⎠
⎛ ∂u ∂w ⎞
+
⎟,
⎝ ∂z ∂x ⎠
⎛ ∂v
(3.10)
∂w ⎞
Sustituyendo las ecuaciones constitutivas (3.8) en la(s) ecuación(es) de Cauchy (Ec. 3.5) se
obtiene la(s) ecuación(es) de Navier-Stokes para fluido incompresible homogéneos, la cual se
expresa de la siguiente manera:
⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞
1 ∂p
∂u
∂u
∂u
∂u
+u
+v +w = −
+ υ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ + g x ,
ρ ∂x ⎝ ∂x
∂t
∂x
∂y
∂z
∂y
∂z ⎠
⎛ ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v ⎞
1 ∂p
∂v
∂v
∂v
∂v
+u +v + w = −
+ υ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ + g y ,
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂y
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
(3.11)
⎛ ∂2w ∂2w ∂2w ⎞
1 ∂p
∂w
∂w
∂w
∂w
+ υ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ + g z .
=−
+w
+v
+u
ρ ∂z
∂z
∂y
∂x
∂t
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
3.1.2.3. Representación General de la Ecuación de Momentum.
La forma general utilizando notación tensorial de la ecuación de momentum es la siguiente:
30
∂ ( ρU )
+ ∇ ⋅ ( ρU ⊗ U) = −∇p + ∇ ⋅ τ + ρg + FM ,
∂t
(3.12)
donde:
(
)
τ = μ ∇U + (∇U ) + λδ(∇ ⋅ U) : Tensor de esfuerzo de la ecuación (3.9).
T
⎡1 0 0 ⎤
δ = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ : Delta de Kronecker.
⎢⎣0 0 1⎥⎦
g = g x iˆ + g y ˆj + g z kˆ : Vector aceleración de la gravedad.
FM : Generación de cantidad de movimiento (término fuente).
⎡ uu
U ⊗ U = ⎢⎢ vu
⎢⎣ wu
uw ⎤
vv vw ⎥⎥ : Es el operador Dyadic.
wv ww⎥⎦
uv
⎡ ∂
⎤
∂
∂
⎢ ∂x ( ρuu ) + ∂y ( ρvu ) + ∂z ( ρwu ) ⎥
⎢
⎥
∂
∂
∂
⎢
∇ ⋅ ( ρU ⊗ U ) =
( ρuv) + ( ρvv) +
( ρwv) ⎥ .
⎢ ∂x
⎥
∂y
∂w
⎢∂
⎥
∂
∂
⎢ ( ρuw) + ( ρvw) + ( ρww)⎥
∂y
∂z
⎣⎢ ∂x
⎦⎥
3.1.3. Ecuación de Energía
La primera ley de la termodinámica en forma diferencial para el flujo de un fluido homogéneo
se expresa de la siguiente forma [12]:
ρcP
DT
Dp
= ∇ ⋅ (k∇T ) + β T
+ μΦ + q ' ,
Dt
Dt
(3.13)
donde ρ es la densidad, cp es el calor específico a presión constante, k es la conductividad
térmica del fluido, β es el coeficiente volumétrico de expansión térmica, p la presión, μ la
viscosidad dinámica, q´ la generación de calor y μΦ es disipación viscosa, que se obtiene por
la siguiente ecuación:
2
2
⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎛ ∂v ∂w ⎞ ⎛ ∂w ∂u ⎞
⎟⎟ + ⎜
Φ = ⎜⎜ + ⎟⎟ + ⎜⎜ +
+ ⎟
⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎝ ∂z ∂y ⎠ ⎝ ∂x ∂z ⎠
⎡⎛ ∂u ⎞ 2 ⎛ ∂v ⎞ 2 ⎛ ∂w ⎞ 2 ⎤ 2 ⎛ ∂u ∂v ∂w ⎞ 2
⎟⎟ .
+ 2⎢⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ − ⎜⎜ + +
⎢⎣⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎥⎦ 3 ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
2
(3.14)
31
Los primeros tres términos del lado derecho de la ecuación (3.14), al ser multiplicados por μ
representan los esfuerzos cortantes viscosos y el resto a los esfuerzos normales.
Colectivamente, los términos representan la velocidad a la que la energía cinética se convierte
en forma irreversible a energía térmica debido a los efectos viscosos.
Para un líquido incompresible ( β = 0 ), la ecuación (3.13) se simplifica:
ρc P
DT
= ∇ ⋅ ( k∇T ) + μΦ + q ' .
Dt
(3.15)
3.1.3.1. Representación General de la Ecuación de Energía.
La representación general de la ecuación de energía en forma tensorial es la siguiente:
∂ ( ρc P Tt )
∂p
+ ∇ ⋅ ( ρc P Tt U) =
+ ∇ ⋅ (k∇Tt ) + ∇ ⋅ (U ⋅ τ ) + U ⋅ FM + q ' ,
∂t
∂t
(3.16)
donde:
Tt = T +
U2
: Temperatura total.
2c P
T: Temperatura estática.
∇ ⋅ (U ⋅ τ ) : Se llama término de trabajo viscoso.
U ⋅ FM : Es el término del trabajo debido a las fuentes de momentum.
q' : Es la generación de calor.
3.2. Condiciones Iniciales y de Frontera.
Resolver un problema de flujo de fluidos mediante el enfoque diferencial, implica, que se
deben resolver las ecuaciones de continuidad, momentum y energía. La ecuación de energía
interviene cuando dentro del flujo hay gradientes de temperatura, de lo contrario el problema
de flujo sólo implica resolver la ecuación de continuidad y de momentum.
Cuando se trata de un problema de flujo transitorio (no estacionario) se tiene un problema de
condiciones iniciales y para el caso de un problema de flujo estacionario se tiene un problema
de borde.
3.2.1. Condiciones iniciales.
El problema de condiciones iniciales para un flujo de fluidos consiste en determinar la
velocidad, presión y temperatura (la temperatura se determina si hay gradiente de temperatura
dentro del flujo) dentro del flujo para un tiempo t > 0 conocida la distribución de velocidad y
presión en un tiempo inicial t = 0.
En forma matemática las condiciones iniciales se expresan de la siguiente manera:
32
U ( x, y , z , t = o) = U i ( x, y , z ) ⎫
⎪
p ( x, y , z , t = o ) = p i ( x, y , z ) ⎬
T ( x , y , z , t = o ) = Ti ( x , y , z ) ⎪⎭
en
donde Ω es el dominio o volumen
control donde se resuelve el problema
pi ( x , y , z )
flujo y U i ( x, y, z ) ,
Ti ( x, y, z ) son funciones conocidas
todo en dominio.
Ω,
de
de
y
en
(3.17)
Pared
Fluido 1
Us
Un
Interfaz
U ent
3.2.2. Condiciones de Borde.
U sal
Fluido 2
Las condiciones de frontera se definen en
los borde ( ∂Ω ) del dominio Ω y en las
interfaces de fluidos inmiscibles, tal como
se muestra en la Figura 3.1.
Figura 3.1. Esquema de las múltiples
condiciones de borde en un problema
de flujo de fluidos.
Las condiciones de borde se pueden
generalizar en las siguientes:
Condición de borde en fronteras sólidas (pared):
En las fronteras sólidas la componente de la velocidad que es normal a la pared es nula; de
igual forma la componente tangencial de la velocidad relativa a la pared es también nula
cuando no ocurre deslizamiento. Esto es:
U n ( x, y , z , t ) = 0 ⎫
⎬
U s ( x, y , z , t ) = 0 ⎭
en
∀( x, y, z ) ∈ Frontera sólida , tal que t > 0 .
(3.18)
Cabe destacar que cuando la pared es una superficie porosa o permeable, la componente
normal a la superficie es distinta de cero y la componente tangencial es nula si no ocurre
deslizamiento.
En cuanto a la condición térmica, en las superficies sólidas se pueden definir tres tipos de
condiciones de borde, que son:
-
Especificación del valor de temperatura (temperatura prescrita):
T ( x, y, z , t ) = Ts ( x, y, z , t )
-
en
∀( x, y, z ) ∈ Frontera sólida, tal que t > 0 .
(3.19)
Definición del flujo de calor:
−k
∂T
= q s ( x, y , z , t )
∂n
en
∀( x, y, z ) ∈ Frontera sólida, tal que t > 0 .
(3.20)
33
donde n es un vector normal a la superficie y qs el flujo de calor por unidad de área de
la superficie.
-
Definición de la condición de borde natural:
−k
∂T
= h(T − T∞ )
∂n
∀( x, y, z ) ∈ Frontera sólida, tal que t > 0 ,
en
(3.21)
donde n es un vector normal a la superficie, h se le llama coeficiente de convección y
T∞ es la temperatura de corriente libre o del flujo.
Sección de entrada del flujo al volumen de control (o dominio):
En la entrada del flujo se debe conocer la distribución de presión y la velocidad para todo
instante de tiempo, es decir:
U = U ent ( x, y, z, t )⎫
⎪
p = pent ( x, y, z, t ) ⎬
T = Tent ( x, y, z, t ) ⎪⎭
en
∀( x, y, z ) ∈ Frontera de entrada, tal que , t > 0 .
(3.22)
Sección de salida del flujo del volumen de control:
En la salida del flujo se debe conocer la distribución de presión y la velocidad para todo
instante de tiempo:
U = U sal ( x, y, z, t )⎫
⎪
p = p sal ( x, y, z, t ) ⎬
T = Tsal ( x, y, z, t ) ⎪⎭
en
∀( x, y, z ) ∈ Frontera de entrada, tal que , t > 0 .
(3.23)
Interfaz de dos fluidos inmiscibles:
La velocidad de cada fluido normal a la interfaz, deben ser igual a la velocidad misma de la
interfaz. Los esfuerzos cortantes de cada fluido deben ser iguales en la interfaz. La presión de
cada fluido en la interfaz deben ser iguales, excepto para efectos de tensión superficial.
= U int ( x, y, z , t )⎫
⎪⎪
τ ( x, y, z , t ) Fluido 1 = τ ( x, y, z, t ) Fluido 2 ⎬
⎪
p ( x, y, z , t ) Fluido 1 = p( x, y, z , t ) Fluido 2 ⎪⎭
Un
Fluido 1
= Un
Fluido 2
en
∀( x, y, z , t > 0) ∈ Interfaz .
(3.24)
Cuando el problema se resuelve en estado estacionario, el problema se convierte en un
problema de borde, donde dadas las condiciones de borde se deben determinar los perfiles de
presión y velocidad dentro del dominio Ω .
34
3.3. Análisis de Flujo Turbulento.
El flujo de fluido puede tener dos comportamiento según su régimen, laminar y turbulento. En
el flujo laminar las partículas se mueven en trayectorias suaves, mientras que en el flujo
turbulento el movimiento es desordenado y aleatorio. La turbulencia consiste en fluctuaciones
del campo de flujo en tiempo y espacio. El flujo turbulento se presenta para números de
Reynolds grande; en este caso las fuerzas inerciales son muy grande en comparación con las
fuerzas viscosas. La Figura 3.2 muestra la diferencia entre un flujo laminar y uno turbulento.
En el flujo turbulento, la velocidad en un mismo punto varía en forma fluctuante con el
tiempo, tal como se representa en la Figura 3.3; en ese sentido dicha velocidad se puede
expresar matemáticamente como:
(a)
(b)
u
u’
u
t
Figura 3.2. Comportamiento de un flujo turbulento y
laminar. (a) representación gráfica (b) flujo en un canal.
Fuente: Referencia 13.
Figura 3.3. Comportamiento en el
tiempo de la componente u de la
velocidad en un punto, para el caso de
flujo turbulento.
u = u + u' ,
(3.25)
donde u es el valor promedio de la velocidad en un intervalo de tiempo δ t y u' es la
fluctuación de la velocidad en torno a u . El promedio de la velocidad (o de otra propiedad) se
determina por:
u=
1 t +δt
udt ,
δt ∫t
(3.26)
donde se puede demostrar que:
1 t +δt
u ' dt = 0 .
δt ∫t
(3.27)
Para el vector velocidad, la ecuación (3.25) se escribe de la siguiente manera:
U = U + U' .
(3.28)
El resto de las propiedades, también se pueden expresar en término de las fluctuaciones:
35
p = p + p' , T = T + T ' .
(3.29)
En las propiedades turbulentas se cumplen las siguientes relaciones [12]:
u + v = u + v , u u ' = 0, uv = u v + u ' v',
⎛ ∂u ⎞ ∂u
,
u 2 = u 2 + u '2 , ⎜ ⎟ =
⎝ ∂x ⎠ ∂x
∂u
⎛ ∂u ⎞
= 0, ⎜ ⎟ = 0 .
∂t
⎝ ∂t ⎠
Las ecuaciones de transporte para flujo turbulento, se obtiene al introducir las magnitudes en
términos del promedio y la fluctuación, en las ecuaciones generales. Las ecuaciones
resultantes se les conoce con el nombre de ecuaciones de Reynolds promedio Navier-Stokes
cuyas siglas en ingles son RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes).
La ecuación de continuidad no cambia por lo que es igual a la ecuación (3.2):
∂ρ
+ ∇ ⋅ ( ρU) = 0 .
∂t
(3.30)
La ecuación de momentum, en forma tensorial, se transforma en:
(
)
∂ ( ρU )
+ ∇ ⋅ ( ρU ⊗ U) = −∇p + ∇ ⋅ τ − ρ U'⊗U' + ρg + FM ,
∂t
(3.31)
donde τ es el tensor de esfuerzo dado por la ecuación (3.9) y el término − ρ U'⊗U' es los
denominados esfuerzos de Reynolds o esfuerzos turbulentos. Las fuerzas por unidad de
volumen (fuerza turbulenta de Reynolds) debido a los esfuerzos turbulento Reynolds son:
(
σ R = −∇ ⋅ ρ U'⊗U'
)
(3.32)
ó lo que es lo mismo
⎫
∂
∂
∂
( ρu ' u ') − ( ρv' u ') − ( ρw' u ') ⎪
∂z
∂x
∂y
⎪
∂
∂
∂
⎪
R
( ρw' v') ⎬ .
σ y = − ( ρu ' v' ) − ( ρv' v') −
∂x
∂y
∂w
⎪
∂
∂
∂
R
σ z = − ( ρu ' w') − ( ρv' w') − ( ρw' w')⎪⎪
∂x
∂y
∂z
⎭
σ xR = −
(3.33)
La ecuación de energía se expresa de la siguiente manera:
∂ ( ρc PTt )
∂p
+ ∇ ⋅ ( ρc PTt U) =
+ ∇ ⋅ (k∇Tt − ρc P U' Tt ) + ∇ ⋅ (U ⋅ τ ) + U ⋅ FM + q ' ,
∂t
∂t
(3.34)
donde el término de turbulencia es − ρcP U' Tt y representa la disminución del flujo debido a la
turbulencia del fluido.
36
Par el caso de flujo incompresible en estado estacionario, donde no hay fuentes que generen
momento ni calor, y las propiedades del fluido se consideran constantes, se tiene que las
ecuaciones de transporte en término de las propiedades promedio, se escriben de la siguiente
manera:
Continuidad.
∂u ∂v ∂w
+
+
= 0.
∂x ∂y ∂z
(3.35)
Momentum.
( )
( )
(
( )
( )
( )
)
1 ∂p
∂
∂
∂
∂u
∂u
∂u
u '2 −
u ' v' −
u ' w' + g x ,
+v
+w
=−
+ υ∇ 2u −
ρ ∂x
∂z
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
1 ∂p
∂
∂
∂
∂v
∂v
∂v
(3.36)
u
u ' v' −
v '2 −
v ' w' + g y ,
+ υ∇ 2 v −
+v
+w
=−
ρ ∂y
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
1 ∂p
∂
∂
∂
∂w
∂w
∂w
u
u ' w' −
v ' w' −
w'2 + g z ,
+v
+w
=−
+ υ∇ 2 w −
ρ ∂z
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
u
(
donde υ =
)
( )
( )
μ
es la viscosidad cinemática.
ρ
La ecuación de momento se llama Ecuación de Reynolds-Navier-Stokes.
Energía.
u
( )
( )
(
)
∂T
∂T
∂T
∂
∂
∂
+v
+w
= α ∇ 2T −
u 'T ' −
v 'T ' −
w'T ' ,
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
donde α =
(3.37)
k
es la difusividad térmica (o coeficiente de difusión térmica).
ρc P
Cuando el fluido es isotérmico, como el caso del problema que se analiza en éste trabajo, solo
es necesario resolver la ecuación de continuidad y la ecuación de momentum, ya que la
ecuación de energía se satisface automáticamente.
3.4. Modelo de Turbulencia para Análisis del Flujo de Fluidos.
Como se puede observar, en la ecuación de momentum (3.31), el término de turbulencia está
en función de la fluctuación de la velocidad, por lo que se debe buscar una relación que
permita calcular dicho término. Para tal fin, existen básicamente tres enfoques ó modelos que
se utilizan para calcular la turbulencia del fluido. Estos métodos son:
-
Modelos de turbulencias basados en la viscosidad de remolino.
37
-
Modelos de turbulencia basados en los esfuerzos cortantes de Reynolds.
-
Modelos numéricos de simulación de flujos turbulentos.
En ésta sección sólo se presentan las ecuaciones de momentum utilizadas para modelar la
turbulencia, dejando por fuera la ecuación de energía dado que el problema que se analizará se
puede considerar isotérmico.
3.4.1. Modelos Basados en la Viscosidad de Remolino.
A éstos modelos también se le llaman modelos basados en la viscosidad de Eddy, donde eddy
significa remolino en ingles. Los modelos sugieren que la turbulencia consiste de pequeños
remolinos que se forman y disipan continuamente, y asumen que los esfuerzos de Reynolds
son proporcionales al gradiente de velocidad.
La hipótesis del modelo de viscosidad de remolino consiste en asumir que los esfuerzos de
Reynolds se relacionan con el gradiente de velocidad y la viscosidad de remolino o turbulencia
mediante la hipótesis del gradiente de difusión, de manera similar a la relación entre el tensor
de esfuerzo y deformación del flujo laminar Newtoniano. Esta hipótesis se conoce con el
nombre de hipótesis de Boussinesq [14] y se representa mediante la siguiente ecuación:
ρ U'⊗U' = μ t (∇U + (∇U) T ) − δ(ρk + μ t ∇ ⋅ U ) ,
2
3
(3.38)
donde μ t es la viscosidad de remolino, viscosidad de Eddy o viscosidad turbulenta, la cual
debe ser modelada, y k es la energía turbulenta, que se define como:
k=
(
)
1 2 1
U' = u ' u ' + v' v' + w' w' .
2
2
(3.39)
Al sustituir (3.38) en la ecuación de momentum (3.12) se puede obtener la ecuación de
momentum para flujo turbulento basados en las viscosidad de remolino. Esto es:
∂ ( ρU )
+ ∇ ⋅ ( ρU ⊗ U) = −∇~
p + ∇ ⋅ μ e (∇U + (∇U) T ) + ρg + FM ,
∂t
[
]
(3.40)
donde μ e es la viscosidad efectiva o total, definida por:
μe = μ + μt ,
(3.41)
y ~
p es una presión modificada que se define por:
2
2
~
p = p + ρk + μ t ∇ ⋅ U .
3
3
(3.42)
38
Como se puede observar en la ecuación (3.41), μ es la viscosidad dinámica del fluido, que es
una propiedad conocida; sin embargo, μ t es la viscosidad turbulenta la cual se debe modelar.
Hay muchos modelos que se utilizan para modelar μ t , sin embargo, los más importantes son:
-
Modelo de Ecuación Cero.
Modelo k-ε estándar.
Modelo k-ε RNG (Grupos renormalizados).
Modelo k-ε realizable.
3.4.1.1. Modelo de Ecuación Cero.
El modelo de ecuación cero es una fórmula empírica simple propuesta por Prandtl y
Kolmogorov, y plantea que la viscosidad de remolino es proporcional a la velocidad turbulenta
y a una longitud característica, es decir:
μ t = ρf μ U t lt ,
(3.43)
donde:
f μ : Constante de proporcionalidad que se obtiene en forma empírica.
U t : Se le llama velocidad de turbulencia y representa la forma genérica de las
fluctuaciones de velocidad en el flujo turbulento.
l t : Longitud de mezcla o longitud de turbulencia.
La longitud de mezcla ( l t ) es una estimación de la distancia que ha de recorrer una partícula
de fluido en una cierta dirección para que las componentes, en esa dirección de su posición, y
su velocidad pierdan su correlación. Esta longitud se puede estimar mediante la siguiente
correlación:
1
V 3
lt = D ,
7
(3.44)
donde V D es el volumen del dominio fluido (o volumen de control).
Este modelo es recomendado para realizar una primera iteración pero no para los cálculos
definitivos.
3.4.1.2. Modelo de Spalart-Allmaras.
El modelo de Spalart-Allmaras [15] es un modelo empírico bastante simple de una ecuación,
que resuelve la ecuación de transporte para una cierta variable υ~ , la cual se identifica como la
viscosidad cinemática turbulenta en la cercanía de la pared, y se relaciona con la viscosidad de
remolino mediante la siguiente relación:
39
υt =
μt ~
= υ fυ 1 ,
ρ
(3.45)
donde
⎛ υ~ ⎞
⎜ ⎟
υ
fυ 1 = ⎝ 3 ⎠
.
~
⎛υ ⎞
3
⎜ ⎟ + Cυ1
⎝υ ⎠
Cυ1 : Es una constante.
3
(3.46)
La ecuación de transporte para υ~ , en notación tensorial con subíndice, es la siguiente:
2
⎛ ∂υ~ ⎞ ⎤
Dυ~
1 ⎡ ∂ ⎛
∂υ~ ⎞
~
⎟ + Cb 2 ρ ⎜⎜
⎟ ⎥ + Pυ − Yυ ,
⎢ ⎜ (μ + ρυ )
=
ρ
Dt σ υ~ ⎢ ∂xi ⎜⎝
∂xi ⎟⎠
∂xi ⎟⎠ ⎥
⎝
⎣
⎦
i = 1,2,3 ,
(3.47)
donde Pυ es la producción de viscosidad turbulenta, Yυ es la destrucción de la viscosidad
turbulenta que ocurre cerca de la pared, σ υ~ y Cb 2 son constantes empíricas que se pueden
obtener en la referencia 16.
La producción viscosa se puede calcular con el siguiente modelo:
~
Pυ = Cb1 ρυ~S ,
(3.48)
donde
~ ⎛
ρ
⎞
S = ⎜ S + 2 2 fυ 2 ⎟ .
κ d
⎠
⎝
~
⎛υ ⎞
⎜ ⎟
⎝υ ⎠
.
fυ 2 = 1 −
⎛ υ~ ⎞
1 + ⎜ ⎟ fυ 1
⎝υ ⎠
(3.49)
(3.50)
Cb1 y κ : Constantes empíricas.
d: Distancia desde la pared.
S: Es una medida escalar o módulo del tensor vorticidad, y se calcula por la ecuación
siguiente:
S = 2ωijωij
para i, j = 1,2,3 ,
(3.51)
40
donde ωij es el tensor velocidad (o rapidez) angular,1 y cuya expresión en notación tensorial
con subíndice, es:
1 ⎛ ∂u
∂u ⎞
ωij = ⎜⎜ j − i ⎟⎟
2 ⎝ ∂xi ∂x j ⎠
para i, j = 1,2,3 .
(3.52)
En la referencia 17 se propone una modificación para el cálculo de S.
Por otra parte, el término de destrucción de la turbulencia viscosa se calcula mediante el
siguiente modelo.
⎛ υ~ ⎞
Yυ = C w1 ρf w ⎜ ⎟ ,
⎝d ⎠
2
(3.53)
donde:
1
⎛ 1+ C6 ⎞6
f w = g w ⎜⎜ 6 w36 ⎟⎟ .
⎝ g w + C w3 ⎠
(3.54)
g w = rw + C w 2 (rw6 − rw ) .
(3.55)
υ~
rw = ~ 2 2 .
Sκ d
(3.56)
~
C w1 , C w 2 y C w3 son constantes y S se calcula con la ecuación (3.49).
Los valores típicos de las constantes definidas para éste modelo [15], son:
Cb1 = 0,1335;
κ = 0,41;
2
3
σ υ~ = ;
Cb 2 = 0,622;
C w1 =
Cb1
κ
2
+
1 + Cb 2
σ υ~
;
Cυ1 = 7,1;
C w 2 = 0,3;
C w3 = 2,0.
El modelo de Spalart-Allmaras se diseñó específicamente para aplicaciones aerospaciales que
involucran flujos alrededores de las paredes y se ha mostrado que da buenos resultados para
las capas del límite sujetas a gradientes de presión adversos. También se usa en aplicaciones
de turbomaquinarias. Sin embargo, éste modelo es relativamente nuevo, por lo que no es
conveniente usarlo en problemas complejos de ingeniería, tales como: predicción de pérdida
de homogeneidad de un flujo, turbulencia isotrópica, entre otras.
1
El tensor velocidad angular en forma vectorial es: ω =
{ω }= 1 (∇U + (∇U) ) .
T
ij
2
41
En forma general, a los modelos de una ecuación se les critica la dificultad que tienen de
adaptarse rápidamente a la longitud de mezcla (o longitud de escala) para cambios bruscos de
capa límite a flujo de borde libre.
3.4.1.3. Modelo k-ε Estándar.
El modelo k − ε en un modelo de dos ecuaciones diferenciales que fue propuesto por Jones y
Launder [18, 19], y establece que la viscosidad de remolino (o turbulenta) se relaciona con la
energía cinética turbulenta (k) y la disipación de energía turbulenta ( ε ), mediante la siguiente
relación:
μ t = ρC μ
k2
ε
,
(3.57)
donde:
C μ = 0,09 : Constante obtenida en forma experimental.
(
)
k=
1
u ' u ' + v' v' + w' w' : Energía cinética turbulenta.
2
ε=
μ ⎛ ∂u ' ∂u ' ∂v' ∂v' ∂w' ∂w' ⎞
⎜
⎟ : Disipación de energía cinética turbulenta.
+
+
ρ ⎜⎝ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂y ⎟⎠
Las ecuaciones de transporte para la energía turbulenta y la disipación de energía turbulenta en
notación tensorial con subíndice, son:
μt
D( ρk ) ∂ ⎡⎛
=
⎢⎜⎜ μ +
σk
Dt
∂xi ⎣⎝
⎞ ∂k ⎤
⎟⎟
⎥ + Pk + Bk − ρε − YM ,
⎠ ∂xi ⎦
(3.58)
μt
D( ρε ) ∂ ⎡⎛
=
⎢⎜⎜ μ +
Dt
σε
∂xi ⎣⎝
⎞ ∂ε ⎤
ε
ε2
⎟⎟
(
)
ρ
C
P
C
B
C
+
+
−
,
⎥
ε1
k
ε3 k
ε2
k
k
⎠ ∂xi ⎦
(3.59)
donde:
DΦ ∂Φ
+ ∇ ⋅ (ΦU) : Derivada sustancial o total.
=
Dt
∂t
∂ ⎡ ∂Φ ⎤
⎢A
⎥ = ∇ ⋅ [ A∇Φ ] : Relación entre la notación tensorial con subíndice y vectorial.
∂xi ⎣ ∂xi ⎦
Cε 1 = 1,44 y Cε 2 = 1,92 : Son constantes.
σ k = 1,0 y σ ε = 1,3 : Número de turbulencia de Prandtl de k y ε, respectivamente.
42
Pk : es la generación de energía cinética turbulenta debido al gradiente de velocidad y se
calcula con la ecuación (3.60).
Bk : Generación de energía cinética turbulenta debido a las fuerzas de flotación y se
calcula con la ecuación (3.62).
YM : Es la contribución de las fluctuaciones por dilatación de los fluidos compresibles
(efecto de compresibilidad en la turbulencia del fluido), y se calcula con la ecuación
(3.65). Para el caso de fluidos incompresibles éste término es nulo.
La generación de energía cinética turbulencia debido al gradiente de velocidad, φ K , se calcula
mediante la siguiente relación:
Pk = − ρ ui′u′ ′j
∂u j
∂xi
,
(3.60)
donde i, j = 1,2,3 , u1 = u , u 2 = v, u3 = w, x1 = x, x2 = y, x3 = z .
Según la hipótesis de Boussinesq [14], se tiene que:
Pk = μ t S 2 ,
(3.61)
donde S es el módulo del tensor rapidez de deformación que se calcula con la ecuación (3.51).
La generación de energía cinética turbulencia debido a las fuerzas de flotación, Bk , se calcula
con la siguiente relación:
Bk =
μt β
Prt
gi
∂T μ t β
=
g ⋅ ∇T ,
Prt
∂xi
(3.62)
donde Prt es el número de Prandtl turbulento y β es el coeficiente de expansión térmica, el
cual se define como:
1 ⎛ ∂ρ ⎞
β =− ⎜ ⎟ .
ρ ⎝ ∂T ⎠ p
(3.63)
Como se puede observar en la ecuación (3.59), el grado en ε se ve afectado por la fuerza de
flotación que está regulado por la constante Cε 3 , la cual se define como [20]:
Cε 3 = tgh
us
,
un
(3.64)
donde u s es la componente de la velocidad paralela al flujo y u n es la componente normal al
flujo.
43
Por otra parte, el efecto de la compresibilidad del fluido por la turbulencia se calcula por [21]:
YM = 2 ρεM t2 ,
(3.65)
donde Mt es el número de Mach turbulento, que se define como:
k
,
a2
Mt =
(3.66)
donde a = γRT y γ =
cp
cv
es la relación de calores específicos.
3.4.1.4. Modelo k-ε RNG.
El modelo k-ε RNG [22, 23, 24] se basa en una renormalización de las constantes usadas en el
modelo k-ε estándar. Es decir se resuelven las mismas ecuaciones (3.58) y (3.59) pero las
constantes que se utilizan son:
Cε 1 = 1,42 − fη ,
(3.67)
donde:
⎛
η ⎜1 −
η ⎞
⎟
4,38 ⎠
⎝
fη =
,
1 + β Rη 3
η=
φk
ρCμRε
(3.68)
.
(3.69)
Por otra parte, φk es la producción turbulenta dada por la ecuación (3.61).
Y las constantes que se utilizan en éste modelo son:
Cε 2 = 1,68 ;
C μ = C μR = 0,0845 ;
σ k = 0,7179 ;
σ ε = 0,7179 .
β R = 0,012 ;
3.4.1.5. Modelo k-ε Realizable.
El modelo k-ε Realizable fue propuesto por Shih y otro [25], y se caracteriza por que se
propone una nueva formulación para la viscosidad de remolino, y a la ecuación de transporte
para la disipación de energía cinética turbulenta se le introducen algunos cambios; sin
embargo, la ecuación de transporte para la energía cinética turbulenta permanece igual.
44
El método tiene una mejor precisión para flujo con alto número de Reynolds, flujo sobre
superficies planas y curvas, flujo rotacional, recirculación, capa límites con gradientes de
presión adversos, separación de la capa límite, entre otros. Dadas las ventajas que tiene éste
método, aunque aun en etapa experimental, se utilizará éste modelo para resolver el problema
que se plantea en éste trabajo.
La nueva forma de la ecuación de la viscosidad de remolino es:
μ t = ρC μ
k2
ε
,
(3.70)
donde
Cμ =
Ao +
1
.
As kU *
(3.71)
ε
~ ~
U * = S ij S ij + Ω ij Ω ij .
(3.72)
~
Ω ij = Ω ij − 2εwk .
(3.73)
Ω ij = ωij − εwk .
(3.74)
ωij : Tensor promedio de velocidad angular (Ec. 3.52) visto desde un sistema de
referencia que rota con la velocidad angular wk .
1 ⎛ ∂u j ∂ui
+
S ij = ⎜
2 ⎜⎝ ∂xi ∂x j
⎞
⎟ : Rapidez de deformación.2
⎟
⎠
A0 = 4,04 : Es una constante.
As = 6 cos(ϕ ) .
1
3
)
ϕ = arccos 6W .
(3.76)
S ij S jk S ki
.
~
S
(2.77)
W=
2
(
(3.75)
{ } 1 (∇U − (∇U) ).
El tensor rapidez de deformación escrito en forma vectorial es: S = S ij =
T
2
45
~
S = S ij S ij .
(3.78)
Por otra parte, las ecuaciones de transporte para k y ε, son:
μt
∂ ⎡⎛
D( ρk )
=
⎢⎜⎜ μ +
∂xi ⎣⎝
σk
Dt
⎞ ∂k ⎤
⎟⎟
⎥ + Pk + Bk − ρε − YM ,
⎠ ∂xi ⎦
μt
D( ρε )
∂ ⎡⎛
=
⎢⎜⎜ μ +
Dt
σε
∂xi ⎣⎝
⎞ ∂ε ⎤
⎛ ε2
⎟⎟
ρ
ε
ρ
C
S
C
+
−
⎥
1
2⎜
⎜ k + υε
⎝
⎠ ∂xi ⎦
(3.79)
⎞
ε
⎟⎟ + Cε 1Cε 3 Bk ,
k
⎠
(3.80)
donde
⎛
η ⎞
C1 = máx⎜⎜ 0,43;
⎟.
η + 5 ⎟⎠
⎝
k
η=S .
ε
(3.81)
(3.82)
C1ε = 1,44 y C 2 = 1,9 : Son constantes.
σ k = 1,0 y σ ε = 1,2 : Número de turbulencia de Prandtl de k y ε, respectivamente.
3.4.2. Modelos Basados en los Esfuerzos Cortante de Reynolds.
Este modelo no involucra las hipótesis de los de viscosidad de remolino y se basa en resolver
el término de los esfuerzo de Reynolds (esfuerzos turbulentos) − ρ U'⊗U' , de la ecuación
(3.31), mediante una ecuación de transporte [26, 27], es decir:
k
∂
⎛
⎞
( ρ U'⊗U') + ∇ ⋅ ( ρ U'⊗U' ⊗ U) − ∇ ⋅ ⎜ ( ρC U'⊗U')(∇ U'⊗U') T ⎟
ε
∂t
⎝
⎠
2
= P + B + φ − δρε ,
3
(3.83)
donde:
P : Es el término que asocia la generación de energía cinética turbulencia debido al
gradiente de velocidad.
B : Es el término que asocia la generación de energía cinética turbulencia debido a las
fuerzas de flotación. La dirección es contraria al vector aceleración de gravedad.
φ : Tensor de deformación debido a la presión que se calcula con la ecuación (3.89).
C: Constante.
Como se puede observar en la ecuación (3.83), ésta contiene los términos k y ε, por lo que se
debe resolver la ecuación de transporte para cada uno de éstos términos, lo que conlleva a
46
resolver cinco ecuaciones adicionales a las ecuaciones de continuidad, momentum y energía.
Por ésta razón, el modelo de los esfuerzos cortante de Reynolds se le denomina comúnmente,
modelo de cinco ecuaciones.
La modelación exacta del término esfuerzo de Reynolds, a través de la ecuación de transporte,
la cual contempla los efectos anisotrópicos, hace que los modelos de cinco ecuaciones sean
más precisos para el caso de flujos complejos; sin embargo, la práctica ha demostrado que la
calidad en la solución no es en gran mediada diferente a la obtenida por lo modelos de dos
ecuaciones, como lo es el modelo k-ε. Sin embargo, el tiempo de procesamiento y los
requerimientos en la capacidad computacional para el modelo de cinco ecuaciones es muy
superior al requerido por los modelos de dos ecuaciones, llegándose al extremo de que en
algunos casos, los problemas de flujo donde se utilicen modelos de cinco ecuaciones no se
puedan resolver en ordenadores convencionales.
Para la modelación basada en los esfuerzos cortantes de Reynolds, la ecuación de momentum
conviene escribirla de la siguiente manera:
(
)
∂ ( ρU )
+ ∇ ⋅ ( ρU ⊗ U) − ∇ ⋅ (μ∇U ) = −∇~
p − ∇ ⋅ ρ U'⊗U' + ρg + FM ,
(3.84)
∂t
donde FM es la generación de cantidad de movimiento y ~
p es la presión modificada, la cual
se calcula por:
⎞
⎛2
~
p = p + ⎜ μ − ζ ⎟∇ ⋅ U ,
⎠
⎝3
(3.85)
donde ζ es la viscosidad de volumen o viscosidad compresibilidad.
Existen varias modalidades o modelos basados en los esfuerzos cortantes de Reynolds, por lo
que en éste trabajo solo se presentará el modelo estándar.
3.4.2.1. Modelo Estándar de los Esfuerzos de Reynolds.
El modelo de los esfuerzo de Reynolds estándar está basado en el modelo de la ecuación de ε
(energía cinética turbulenta). En ese sentido la ecuación de transporte asociada a los esfuerzos
de Reynolds utilizando notación tensorial con subíndice es la siguiente:
(
)
(
)
(
)
D
ρ ui′u ′j = DijT + DijL + Pij + Bij + φij + ε ij + Fij ,
Dt
(2.86)
donde:
(
)
(
)
D
∂
∂
ρ ui′u ′j = ρ ui′u ′j +
ρu k ui′u ′j : Derivada sustancia o total.
Dt
∂t
∂xk
∂
∂
ρ ui′u ′j = ( ρ U'⊗U') : Derivada temporal.
∂t
∂t
47
(
)
(
)
Cij =
∂
ρu k ui′u ′j = ∇ ⋅ ρU ⊗ U'⊗U' : Término convectivo.
∂xk
DijT =
∂
ρ ui′u ′j u k′ + p(δ kj ui′ + δ ik u ′j ) : Término de difusión turbulenta.
∂xk
DijL =
∂
∂xk
(
)
⎛ ∂ui′u ′j
⎜μ
⎜ ∂xk
⎝
⎞
⎟ : Término de difusión molecular.
⎟
⎠
∂u j
⎛
∂u
+ u ′j u k′ i
Pij = − ρ ⎜⎜ ui′u k′
∂xk
∂xk
⎝
3
turbulencia.
(
⎞
⎟⎟ : Término que asocia la generación de energía cinética
⎠
)
Bij = − ρβ g i u ′jθ + g j ui′θ : Término que asocia la generación de energía cinética
turbulenta debido a las fuerzas de flotación
⎛ ∂u ′
∂u ′ ⎞
φij = p⎜⎜ i + j ⎟⎟ : Tensor deformación debido a la presión.
⎝ ∂x j ∂xi ⎠
ε ij = 2 μ
∂ui′ ∂u ′j
: Término de disipación viscosa.
∂xk ∂xk
(
)
Fij = 2 ρwk u ′j u m′ ε ikm + ui′u m′ ε jkm : Es la producción debido a la rotación del sistema.
Los términos Cij , DijL , Pij y Fij no requieren de un modelo para resolver la ecuación (3.86); sin
embargo, los términos DijT , Bij ,φij y ε ij si requieren de un modelo adecuado.
Para el término de difusión turbulenta, DijT , Daly y Harlow [28] proponen la siguiente
relación:
DijT = C s
∂
∂xk
⎛ k u ′k ul′ ∂ui′u ′j ⎞
⎟.
⎜ρ
⎟
⎜
ε
x
∂
l ⎠
⎝
(3.87)
Como la ecuación (3.87) es inestable al momento de resolver la ecuación en forma numérica,
se prefiere usar la ecuación siguiente [29]:
3
(
)
La forma vectorial de generación de energía turbulenta es: P = − ρ U'⊗U'(∇U )T + (∇U )U'⊗U' .
48
DijT =
⎛ μ t ∂ui′u ′j
⎜
⎜ σ k ∂xk
⎝
∂
∂xk
⎞
⎟,
⎟
⎠
(3.88)
donde σ k es el número de turbulencia de Prandtl para k, el cual tiene un valor, según la
referencia 29, de σ k = 0,82 , y μ t es la viscosidad turbulenta que se calcula con la ecuación
(3.57) del modelo k-ε, para el cual C μ = 0,09 .
Para modelar el tensor deformación debido a la presión, φij , se puede utilizar el modelo lineal
propuesto en las referencias [27, 30,31]:
φij = φij1 + φij2 + φijw ,
(3.89)
donde:
φij1 : Término de bajas deformaciones por presión.
φij2 : Término de rapidez de deformaciones por presión.
φijw : Término reflección en la pared.
El término de bajas deformaciones por presión, φij1 , se calcula mediante la siguiente relación:
2
ε⎛
⎞
φij1 = −C1 ρ ⎜ ui′u ′j − kδ ij ⎟ ,
k⎝
3
(3.90)
⎠
donde C1 = 1,8 .
Por otra parte, el término de rapidez de deformaciones por presión, φij2 , se calcula con la
siguiente ecuación:
⎛
⎝
⎞
⎠
φij2 = −C 2 ⎜ Pij + Fij + Bij − Cij − δ ij (P + B − C )⎟ ,
2
3
(3.91)
donde Pij , Fij , Bij y Cij son los términos definidos en la ecuación (3.86), C 2 = 0,6 , P = 12 Pkk ,
G = 12 Gkk y C = 12 Ckk .
También, el término reflección en la pared, φijw , se define como:
3
3
3
ε⎛
⎞ k 2
φ = C1′ ⎜ u k′ u m′ n k n mδ ij − u i′u k′ n j n k − u ′j u k′ ni n k ⎟
k⎝
2
2
⎠ C l dε
w
ij
3
(3.92)
3
3
⎛ 2
⎞ k 2
n k n m δ ij − φ ik2 n j n k − φ jk2 ni n k ⎟
,
+ C 2′ ⎜ φ km
2
2
⎝
⎠ C l dε
49
donde C1′ = 0,5 , C 2′ = 0,3 , nk es el vector unitario normal a la pared en xk , d es la distancia
3
normal a la pared y Cl =
Cμ 4
κ , donde C μ = 0,09 y κ = 0,41 .
El término φijw es el responsable de la redistribución de los esfuerzos normales cerca de la
pared, por lo que es importante cuando se analizan capas límites, sin embargo, si este efecto
no se estudia éste término se puede despreciar.
Cuando el flujo que se analiza es a bajo número de Reynolds, Launder y Shima [32],
recomienda que se utilicen las siguientes constantes para los modelos anteriores:
(
)
C1 = 1 + 2,58 A A 2 1 − e − (0,0067 Ret ) ,
(3.93)
C2 = 0,75 A ,
(3.94)
2
C1′ = − C1 + 1,67 ,
3
(3.95)
⎛ 2C − 1 ⎞
C 2′ = máx⎜⎜ 0, 3 2 6 ⎟⎟ ,
C2 ⎠
⎝
(3.96)
donde Re t = ρk
2
2
με es el número de Reynolds turbulento y el parámetro A está en término de
los tensores invariantes A2 y A3.
A = 1−
9
( A 2 − A3 ) ,
8
(3.97)
A2 = aik aki ,
(3.98)
A3 = aik akj a ji ,
(3.99)
donde aij es la parte anisotrópica del tensor esfuerzo de Reynolds, definido como:
2
ρkδ ij − ρ ui′u ′j
3
aij = −
.
ρk
(3.100)
En la referencia 33 se presenta una propuesta para calcular φij utilizando un modelo
cuadrático.
El término que asocia la generación de energía cinética turbulencia debido a las fuerzas de
flotación, Bij , se puede calcular utilizando la siguiente ecuación:
50
Bij =
μ t β ⎛⎜
Prt ⎜⎝
gi
∂T
∂T ⎞⎟
+gj
,
∂x j
∂xi ⎟⎠
(3.101)
donde Prt es en número de Prandtl turbulento para la energía, cuyo valor típico es de 0,85.
La tasa de disipación viscosa, ε ij , se puede calcular por el modelo propuesto por Sarka y
Balakrishnan [21].
ε ij = δ ij (ρε + YM ) ,
2
3
(3.102)
donde YM se calcula por la ecuación (3.65).
Como se notara, varios de los términos de la ecuación (3.86) están en función de la energía
cinética turbulenta, k, y la disipación de energía cinética turbulenta, ε; así como también la
ecuación (3.88) esta en función de la viscosidad turbulenta. Por esta razón, también se deben
resolver las ecuaciones de transporte para k y ε, cuya forma en notación tensorial con
subíndice son:
D ( ρk )
∂
=
Dt
∂x j
⎡⎛
μt
⎢⎜⎜ μ +
σk
⎢⎣⎝
⎞ ∂k ⎤ 1
2
⎟⎟
⎥ + (Pii + Bii ) − ρε 1 + 2M t ,
2
∂
x
⎠ j ⎥⎦
(3.103)
D( ρε )
∂
=
Dt
∂x j
⎡⎛
μt
⎢⎜⎜ μ +
σε
⎣⎢⎝
⎞ ∂ε ⎤
ε
ε2
⎟⎟
,
⎥ + Cε 1 (Pii + Cε 3 Bii ) − Cε 2 ρ
2k
k
⎠ ∂x j ⎦⎥
(3.104)
(
)
donde las constantes utilizadas para éste modelo son:
σ k = 0,82 ;
σ ε = 1,0 ;
Cε 1 = 1,44 ;
Cε 2 = 1,92 ;
y Cε 3 se calcula con la ecuación (3.64).
3.4.3. Modelos Numéricos de Simulación de Flujos Turbulentos.
Existen varios métodos numéricos para simulación de flujos turbulentos, entre los más
importantes se pueden mencionar:
-
Simulación Numérica Directa: Sus siglas en ingles son DNS (Direct Numerical
Simulation), está basada en resolver la ecuación de Navier-Stokes y consiste en
resolver directamente, y de forma explícita, las ecuaciones en todas las escalas que
envuelven el flujo turbulento, y que están presentes en el dominio computacional. Por
lo anterior, el método es adecuado para bajo números de Reynolds ya que los límites o
grados de libertad, N, están relacionados con el número de Reynolds [34,35]:
51
⎧⎪Re 2
N ≈⎨ 9
⎪⎩Re 4
Flujo 2D
(3.105)
Flujo 3D
-
Generación estocástica: Sus siglas en ingles son SG (Stochastic Generation) y buscan
generar flujos turbulentos artificiales con unas propiedades estadísticas concretas, sin
resolver las ecuaciones de la dinámica de los fluidos. Están basados en la ecuación de
Oerstein-Uhlenbeck y una de las técnicas más utilizadas para crear la función de
corriente es la de Langevin [36].
-
Simulación cinemática: Sus siglas en ingles son KS (Kinematics Simulation) y
consiste, al igual que la generación estocástica, en introducir el espectro de energía
como parámetro de simulación, además no existe un flujo real de energía entre escalas.
La energía de cada escala es establecida por el modelo y se mantiene constante durante
toda la simulación. En el método KS el campo de velocidad se crea directamente a
partir del espectro.
-
Simulación de Grandes Remolinos: Sus siglas en ingles son LES (Large Eddy
Simulation) y al igual que DNS resuelve la ecuación de Navier-Stoker, pero modifica
las ecuaciones de la dinámica de forma que las variables representan el
comportamiento del flujo para escalas mayores que la determinada por la
discretización del dominio. Las interacciones con las escalas menores se deben
modelar.
Dado que en éste trabajo, el problema planteado, se resolverá con el modelo k-ε realizable,
solo se presentará en forma reducida la descripción del método LES, dada la importancia que
hoy tiene este método.
3.4.3.1. Modelo Basado en la Simulación de Grandes Remolino (LES).
LES es recomendado para problemas de flujo con alto número de Reynolds y bajo las
siguientes circunstancias:
-
Flujo que tienden a ser inestable, con grandes fluctuaciones en el cizallamiento de la
capa límite o desbordamiento de los vórtices.
-
Flujos no estacionarios con estructura coherentes, como ocurre en los ciclones.
-
Cuando hay simetría geométrica y de flujo.
-
Para flujo donde influyen las fuerzas de flotación, con grandes regiones inestables
creadas por la transferencia de calor. Por ejemplo, flujo multifásico en tuberías
inclinadas.
-
Cuando hay alta anisotropía en la turbulencia del flujo.
-
Cuando se requiere una buena representación de la estructura turbulenta del flujo,
como el caso de procesos a escalas pequeñas, micro mezclas o reacciones químicas.
52
-
Cuando se quiere calcular el ruido del flujo, y especialmente cuando la contribución de
la banda ancha es importante.
-
Cuando se requieren calcular las fuerzas de fluctuación, ráfagas de viento, entre otros.
LES no es recomendable para problema de flujo alrededor de paredes (flujo de capa límite)
dado a los altos requerimiento de resolución y prolongado tiempo de procesamiento en
computadoras. LES es poco usado debido a que se requieren ordenadores de alta capacidad de
almacenamiento y memoria. Problemas complicados pueden tardar hasta semanas en
resolverlo con ordenadores de 8 y 16 procesadores.
En la referencia 37 se presenta una descripción detallada de LES, el cual a diferencia de la
DNS, no simula explícitamente todas las escalas de la turbulencia, por lo que requiere de
algún modelo que represente la transferencia de energía a las escalas pequeñas.
El método pasa por definir una función filtro, también llamado filtro Gaussiano, que ésta
asocia a un determinado campo f (x, t ) , con malla de tamaño Δx , a fin de definir las
ecuaciones de gobierno del flujo a gran escala.
Para cualquier flujo, la variable f (x, t ) se puede escribir de la siguiente manera:
f = f + f ′,
(3.106)
donde f es la parte de gran escala, que se define en el dominio como:
f (x, t ) = ∫ G (x − x') f (x' , t )dx' = ∫ G (x') f (x − x' , t )dx' ,
Ω
(3.107)
Ω
donde G (x − x') es la función filtro y Ω es el dominio de flujo (o volumen de control).
El filtro G (x − x') , generalmente es una curva Gausssiana de tamaño σ 2 ~ Δx 2 . Siempre que
Δx sea constante en toda la malla, esta operación de filtrado conmuta con las derivadas
espaciales. Debido a esto, si la variable considerada es la velocidad, la ecuación de
continuidad y ecuación de Navier-Stoker para fluido incompresible después de ser filtrada
queda de la siguiente manera:
∂ρ ∂ρui
+
=0,
∂t
∂xi
∂
∂
(ρui u j ) = − ∂p + ∂
( ρu i ) +
∂t
∂x j
∂xi ∂x j
(3.108)
⎛ ∂u i
⎜μ
⎜ ∂x
j
⎝
⎞ ∂τ ij
⎟−
+ ρg i + f M ,i , i, j = 1,2,3 ,
⎟ ∂x
i
⎠
(3.109)
donde f M ,i es la fuente de generación de momentum, y τ ij es el tensor de esfuerzo de escala
de sub-malla, definido como:
53
(
) (
(
)
)
τ ij = ρ u i u j − u i u j = ρ u i u j + u i u ′j + u j u i′ + u i′u ′j − u i u j .
(3.110)
Normalmente, el modelo que se utiliza para el tensor de esfuerzo de escala de sub-malla es el
siguiente:
1
3
τ ij = τ kk δ ij − 2 μ t S ij ,
(3.111)
donde μ t es la viscosidad turbulenta de la sub-malla y S ij es el tensor de deformación del
campo filtrado, definido como:
S ij =
1 ⎛⎜ ∂u i ∂u j
+
2 ⎜⎝ ∂x j ∂xi
⎞
⎟.
⎟
⎠
(3.112)
Por otra parte, el modelo que se utiliza para la viscosidad turbulenta de la sub-malla fue
propuesto por Smagorinsky [38] y desarrollado por Lilly [39]:
μ t = ρL2s S ,
(3.113)
donde:
Ls: Longitud de mezcla para la sub-malla.
S = C s 2 S ij S ij .
(3.114)
C s : Constante de Smagorinsky.
El valor de C s fue determinado por Lilly y tiene el valor de 0,23 para turbulencia isotrópica
homogénea en el sub-rango inercial. Sin embargo, para flujos transitorios o que tienen grandes
escalas de fluctuaciones es recomendable usar C s = 1 .
La longitud de mezcla para la sub-malla se puede calcular por:
1
Ls = min⎛⎜ κd , C sV 3 ⎞⎟ ,
⎝
⎠
(3.115)
donde κ = 0,42 , d es la distancia a la pared cerrada y V es el volumen de la celda
computacional.
También, en la referencia [40] se propone un modelo para calcular la viscosidad turbulenta de
la sub-malla, basada en la teoría de grupos renormalizados (RNG), donde esa viscosidad está
dada por:
1
⎡
⎞⎤ 3
⎛ μ s2 μ e
⎜
μ e = μ ⎢1 + H ⎜ 3 − C ⎟⎟⎥ ,
⎠⎥⎦
⎝ μ
⎣⎢
(3.116)
54
donde μ e = μ + μ t es la viscosidad efectiva de la sub-malla, y además:
μ s = ⎛⎜ C RNGV
⎝
1
3
⎞⎟
⎠
2
2 S ij S ij ,
⎧x , x > 0 ,
H ( x) = ⎨
⎩0 , x ≤ 0,
(3.117)
(3.118)
C RNG = 0,157 y C = 100 son constantes.
Para regiones de alta turbulencia en el flujo, se tiene que μ t >> μ , μ e ≅ μ s .
El modelo RNG es recomendado para flujos con bajo número de Reynolds, como son: flujos
transitorios y cerca de la pared.
3.5. Descripción del Método de Volúmenes Finitos.
El método de volúmenes finitos es un procedimiento de resolución de ecuaciones diferenciales
mediante discretización de dominio. Es muy utilizado en la mecánica de los fluidos para
resolver las ecuaciones de continuidad, momentum y energía, entre otras. El método parte de
las relaciones integrales en un volumen fluido (finito), para obtener luego las relaciones
matemáticas para una partícula fluida, al reducir el volumen a niveles infinitesimales.
Independientemente de la dimensionalidad del problema (1D, 2D o 3D) se habla de volúmenes
finitos cuando uno se refiere a los trozos (o celdas computacionales) en que se subdivide el
dominio. Aquí lo que siempre se obtiene es un balance (entrada + aportes = salida) en cada
una de las zonas discretas en las que se ha subdividido el dominio global. De aquí que el
proceso comience con la decisión sobre como se va a dividir el dominio, es decir, número,
tamaño, y relación de expansión/contracción de los volúmenes discretizados. Después de la
integración el procedimiento postula variaciones internodales de la solución que permiten
sustituir las derivadas por relaciones algebraicas entre valores nodales.
Al comparar el método de volúmenes finitos con el esquema clásico de diferencias finitas, se
puede notar que este último utiliza discretizaciones que consideran el valor de las variables en
puntos concretos de la malla espacial, mientras que en volúmenes finitos, el dominio de
estudio se divide en una serie de celdas, o volúmenes finitos, y las variables utilizadas en el
esquema numérico representan el valor medio de las variables dependientes en cada celda en
un instante determinado.
Para ilustrar como funciona el método, consideremos la discretización de la ecuación de
continuidad y momentum, las cuales se escriben en notación tensorial con subíndice como:
∂
∂ρ
(ρu j ) = 0 ,
+
∂t ∂x j
j = 1,2,3 ,
(3.119)
55
∂ ( ρu i )
∂
(ρu j ui ) = − ∂p + ∂
+
∂t
∂x j
∂xi ∂x j
⎛ ⎛ ∂u i ∂u j
⎜μ ⎜
+
⎜ e ⎜ ∂x j ∂xi
⎝
⎝
⎞⎞
⎟ ⎟ + ρg i + f M ,i , i, j = 1,2,3 .
⎟⎟
⎠⎠
(3.120)
El primer paso en el proceso de solución de un problema de flujo mediante el método de
volúmenes finitos, es realizar la discretización del volumen de control (dominio), es decir,
dividir dicho volumen en celdas (volumen finitos), tal como se muestra en la Figura 3.4(a).
Las celdas están asociadas con los elementos [Figura 3.4(b)], dado que para construir un
volumen finito se requieren varios elementos, y los elementos se forman con nodos. En cuanto
a las propiedades, las presiones se definen como una cantidad en el centro de la celda y las
velocidades como cantidades en el centro de las caras.
Elemento
Nodo
Nodo
N3
Sectores del
Elementos
Centro del
Elemento
nj
Volumen
Finito
P3
P2
P1
N2
Centro del
Elemento
N1
Punto de
Integración
(b)
(a)
Figura 3.4. Representación de una malla de volúmenes finitos. (a) Malla y (b) Elemento.
Para poder integrar las ecuaciones (3.119) y (3.120) en el volumen finito, éstas se deben
escribir en forma integrar mediante el teorema de Divergencia de Gauss, quedando de la
siguiente manera:
d
ρdV + ∫ ρu j dn j = 0 ,
dt V∫
∂V
⎛ ∂u i ∂u j
d
u
d
V
+
u
u
dn
=
−
pdn
+
ρ
ρ
μ
i
∫∂V j i j ∂∫V j ∂∫V e ⎜⎜ ∂x j + ∂xi
dt V∫
⎝
(3.121)
⎞
⎟dn j + (ρg i + f M ,i )dV ,
∫
⎟
V
⎠
(3.122)
donde V es el volumen finito donde se resuelven las integrales, ∂V es el borde del V y dn j
es el elemento diferencial de superficie cuyo vector normal es n j . Las integrales de volúmenes
representan las fuentes o acumulaciones de cierta propiedad (masa, momentum, energía, entre
otras) y las integrales de superficie representan los flujos a través de las fronteras del volumen
finito.
56
Las integrales de volumen se discretizan por aproximación de los valores de las propiedades
en los sectores de los elementos que están dentro del volumen finito, sumando el aporte de
cada uno. Por otra parte, las integrales de superficie se aproximan evaluando las propiedades
en los puntos de integración, los cuales se ubican equidistantes alrededor del centro de cada
elementos [ver Figura 3.4(b)]. Luego, la forma discreta de las ecuaciones (3.121) y (3.122)
son:
V
dρ
= −∑ (ρu j Δn j )Pi ,
dt
Pi
V
⎛ ⎛ ∂u
∂u j
d ( ρu i )
= −∑ m& Pi (u i )Pi + ∑ ( pΔn j )Pi + ∑ ⎜ μ e ⎜ i +
⎜ ⎜ ∂x j ∂xi
dt
Pi ⎝
Pi
Pi
⎝
(3.123)
⎞
⎞
⎟Δn j ⎟ + V ρg i + f M ,i , (3.124)
⎟
⎟
⎠
⎠ Pi
(
)
donde:
V : Es el volumen de control (volumen de la celda).
Δn j : Superficies del elemento cuya normal esta hacia fuera del volumen de control.
m& Pi = (ρu j Δn j )Pi : Es el flujo másico a través de la superficie del volumen de control.
3.5.1. Discretización de los Términos Transitorios.
Para discretizar los términos transitorios se pueden utilizar aproximaciones de primer orden, es
decir:
dρ ρ m +1 − ρ m
≈
,
dt
Δt
(3.125)
d (ρu i ) (ρu i ) − (ρu i )
≈
,
dt
Δt
m +1
m
(3.126)
donde m es un número entero positivo que representa el paso de tiempo.
De acuerdo al instante de tiempo en que se evalúan los términos del lado derecho de las
ecuaciones (3.125) y (3.126) se generan dos tipos de formulaciones, la explícita y la implícita.
La formulación explícita se obtiene cuando los términos del lado derecho se evalúan en el
instante de tiempo anterior, m, originando una única incógnita en el nuevo nivel de tiempo,
m+1, por lo que la ecuación se puede resolver explícitamente. Por otro lado, la formulación
implícita se obtiene cuando los términos del lado derecho de las ecuaciones (3.125) y (3.126)
se evalúan en el nuevo tiempo m+1, lo que origina una ecuación con varias incógnitas.
La formulación explícita es más simple en su concepto dado que no da origen a sistemas de
ecuaciones, lográndose que la capacidad computacional requerida sea mínima, pero sufre
limitaciones relacionadas con el tamaño del paso de tiempo permisible. Por otra parte, la
57
formulación implícita no tiene limitación en el tamaño del paso de tiempo, pero requiere gran
capacidad computacional al requerir resolver un sistema de ecuaciones.
La formulación explícita para la ecuación de continuidad y momentum es:
⎛ ρ m +1 − ρ m
V ⎜⎜
Δt
⎝
m
⎞
⎡
⎤
⎟⎟ = − ⎢∑ (ρu j Δn j )Pi ⎥ ,
⎣ Pi
⎦
⎠
(3.127)
⎛ (ρui )m+1 − (ρui )m ⎞
⎟=
V ⎜⎜
⎟
Δ
t
⎝
⎠
⎡
⎛ ⎛ ∂u ∂u
⎢− ∑ m& Pi (u i )Pi + ∑ ( pΔn j ) + ∑ ⎜ μ e ⎜ i + j
Pi
⎜ ⎜ ∂x j ∂xi
⎢ Pi
Pi
Pi ⎝
⎝
⎣
⎞
⎞
⎟Δn j ⎟ + V ρg i + f M ,i
⎟
⎟
⎠
⎠ Pi
(
(3.128)
m
⎤
⎥ .
⎥
⎦
)
La formulación implícita de las ecuaciones anteriores es:
⎛ ρ m +1 − ρ m
V ⎜⎜
Δt
⎝
⎞
⎤
⎡
⎟⎟ = − ⎢∑ (ρu j Δn j )Pi ⎥
⎣ Pi
⎦
⎠
m +1
,
(3.129)
⎛ (ρui )m+1 − (ρu i )m ⎞
⎟=
V ⎜⎜
⎟
Δ
t
⎝
⎠
⎡
⎛ ⎛ ∂u ∂u
⎢− ∑ m& Pi (u i )Pi + ∑ ( pΔn j ) + ∑ ⎜ μ e ⎜ i + j
Pi
⎜ ⎜ ∂x j ∂xi
⎢ Pi
Pi
Pi ⎝
⎝
⎣
⎞
⎞
⎟Δn j ⎟ + V ρg i + f M ,i
⎟
⎟
⎠
⎠ Pi
(
⎤
⎥
⎥
⎦
)
(2.130)
m +1
.
Como se puede observar en la formulación implícita, el sistema de ecuaciones diferenciales se
transforma en un sistema algebraico de ecuaciones no lineales cuyas incógnitas son u, v, w y p,
y que normalmente se resuelven por métodos iterativos.
Para aproximar el término transitorio, también se puede utilizar una aproximación de segundo
orden, cuya forma es la siguiente:
dρ
1 ⎛3
1
⎞
≈ ⎜ ρ m + 2 − 2 ρ m +1 + ρ m ⎟ .
dt Δt ⎝ 2
2
⎠
(3.131)
3.5.2. Tamaño Adecuado del Paso de Tiempo.
Tanto el método explícito como el implícito requieren que se defina el tamaño del paso en el
tiempo, Δt . Sin embargo, aunque el método explícito tiene un costo computacional pequeño
corre el peligro de ser inestable si se toma un tamaño de paso de tiempo muy grande. El paso
de tiempo depende del tamaño de la celda, y de acuerdo al criterio de Courant-FriedrichsLewy (CFL) este paso se debe escoger de tal forma que [7]:
58
Δt ≤
1
.
u
v
w
+
+
Δx Δy Δz
(3.132)
Este criterio se puede interpretar como limitar a que la distancia que viaja una partícula de
fluido en un solo paso de tiempo no sea mayor a la de una celda computacional.
Otro criterio que también se utiliza, es el que relaciona la transferencia de cantidad de
movimiento por la viscosidad [7]. Esta relación se expresa de la siguiente manera:
1
Δx 2 Δy 2 Δz 2
,
Δt ≤
2υ Δx 2 + Δy 2 + Δz 2
(3.133)
donde υ es la viscosidad cinemática del fluido que esta en la celda computacional.
Este criterio se puede interpretar como limitar el transporte de cantidad de movimiento debido
a la acción de la viscosidad a no más de una celda computacional en un paso de tiempo.
3.5.3. Funciones de Forma y Tipos de Elementos.
La solución del campo de flujo de forma discreta mediante el método de volúmenes finitos nos
da los valores de u, v, w y p en los puntos nodales; sin embargo, varios términos de la ecuación
de momentum están en término de derivadas parciales que deben ser evaluadas en los punto de
integración de los elementos; en ese sentido, se recurre a las mismas funciones de forma
utilizadas en el método de los elementos finitos para interpolar dichas derivadas parciales.
Las funciones de forma, φi , se seleccionan, de tal modo, que en los puntos nodales el valor de
φi ( xi , y j , z j ) = 1 , es decir:
⎧1
⎩0
φi ( x j , y j , z j ) = ⎨
si
si
i = j,
i ≠ j.
(3.134)
O que es lo mismo, en cada punto del elemento se cumple que:
N
∑ φ ( x, y , z ) = 1 ,
i =1
i
(3.135)
donde N es el número de nodos que forman el elemento.
Cualquiera de las variables dependientes u, v, w, p, entre otras, se pueden interpolar de la
siguiente manera:
N
u ( x, y , z ) = ∑ u i φ i ( x, y , z ) ,
(3.136)
i =1
59
donde u i son los valores de las variables (en éste caso la componente x de la velocidad en
cada nodo) en los puntos nodales del elemento.
De igual forma, se pueden interpolar las coordenadas de los puntos dentro del volumen de
control:
N
N
x = ∑ x i φ i ( x, y , z ) ,
y = ∑ y i φ i ( x, y , z ) ,
i =1
i =1
N
z = ∑ z i φ i ( x, y , z ) ,
(3.137)
i =1
donde (xi,yi,zi) son las coordenadas de los punto nodales.
Los elementos tridimensionales de primer orden que se utilizan para resolver los problemas de
flujo son hexaedros, cuñas, pirámides y tetraedros. Estos elementos se describen a
continuación.
Elementos tipo hexaedros.
La Figura 3.5 muestra la forma geométrica del elemento hexaédrico, El mismo está formado
por ocho (8) nodos, donde cada uno tiene asociado una función de forma. Las funciones de
forma de este elemento son:
φ1 (ξ ,η , ζ ) = (1 − ξ )(1 − η )(1 − ζ )
φ 2 (ξ ,η , ζ ) = ξ (1 − η )(1 − ζ )
φ 3 (ξ ,η , ζ ) = ξη (1 − ζ )
φ 4 (ξ ,η , ζ ) = (1 − ξ )η (1 − ζ )
φ 5 (ξ ,η , ζ ) = (1 − ξ )(1 − η )ζ
φ 6 (ξ ,η , ζ ) = ξ (1 − η )ζ
φ 7 (ξ ,η , ζ ) = ξηζ
φ 8 (ξ ,η , ζ ) = (1 − ξ )ηζ
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪.
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(3.138)
η
η
4
3
8
3
8
7
7
4
1
2
ξ
2
1
5
ζ
ξ
y
6
(a)
ζ
5
x
z
6
(b)
Figura 3.5. Elemento tipo hexaedro. (a)Elemento en el sistema de coordenadas normalizado y (b)
elementos en el sistema de coordenadas rectangular.
60
Elementos tipo cuña.
El elemento tipo cuña es como el mostrado en la Figura 3.6, y esta formado por seis (6) nodos
cuyas funciones de forma son:
φ1 (ξ ,η , ζ ) = (1 − ξ − η )(1 − ζ )
φ2 (ξ ,η , ζ ) = ξ (1 − ζ )
φ3 (ξ ,η , ζ ) = η (1 − ζ )
φ4 (ξ ,η , ζ ) = (1 − ξ − η )ζ
φ5 (ξ ,η , ζ ) = ξζ
φ6 (ξ ,η , ζ ) = ηζ
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬.
⎪
⎪
⎪
⎪⎭
(3.139)
η
η
3
3
6
6
1
2
ξ
2
1
4
ζ
ξ
y
5
ζ
4
x
z
(a)
5
(b)
Figura 3.6. Elemento tipo cuña. (a)Elemento en el sistema de coordenadas normalizado y (b)
Elementos tipo pirámide.
Los elementos tipos pirámides (Figura 3.7) están formados por cinco (5) nodos cuyas
funciones de forma son:
φ1 (ξ ,η , ζ ) = (1 − ξ )(1 − η )(1 − ζ )
φ2 (ξ ,η , ζ ) = ξ (1 − η )(1 − ζ )
φ3 (ξ ,η , ζ ) = ξη (1 − ζ )
φ4 (ξ ,η , ζ ) = (1 − ξ )η (1 − ζ )
φ5 (ξ ,η , ζ ) = ζ
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬.
⎪
⎪
⎪
⎭
(3.140)
61
η
η
4
4
3
3
1
2
ξ
2
1
ξ
y
ζ
5
5
x
ζ
z
(a)
(b)
Figura 3.7. Elemento tipo pirámide. (a)Elemento en el sistema de coordenadas normalizado y (b)
Elementos tipo tetraedro.
El elemento tipo tetraedro es como el mostrado en la Figura 3.8, el cual esta formado por
cuatro (4) nodos cuyas funciones de forma son:
φ1 (ξ ,η , ζ ) = 1 − ξ − η − ζ
φ2 (ξ ,η , ζ ) = ξ
φ3 (ξ ,η , ζ ) = η
φ4 (ξ ,η , ζ ) = ζ
⎫
⎪
⎪
⎬.
⎪
⎪
⎭
(3.141)
η
η
3
3
1
2
ξ
2
1
ξ
y
4
ζ
ζ
4
x
(a)
z
(b)
Figura 3.8. Elemento tipo tetraedro. (a)Elemento en el sistema de coordenadas normalizado y (b)
62
3.5.3.1 .Transformación de Coordenadas.
Al observar los elementos tridimensionales, se nota que las funciones de forma están en
términos de coordenadas locales normalizadas ( ξ ,η , ζ ), por lo que las ecuaciones (3.136) se
deben escribir de la siguiente forma:
N
u ( x, y, z ) = ∑ uiφi (ξ ( x, y, z ),η ( x, y, z ), ζ ( x, y, z )) ,
(3.142)
i =1
donde se debe garantizar la existencia de una relación biunívoca entre los dos sistemas de
coordenadas, la cual se puede representar en forma funcional de la siguiente manera:
x = x(ξ ,η , ζ ),
y = y (ξ ,η , ζ ) ,
ξ = ξ ( x, y, z ),
η = η ( x, y, z ) ,
z = z (ξ ,η , ζ ) ,
(3.143)
ζ = ζ ( x, y, z ) .
(3.144)
De (3.143) se puede demostrar que:
⎫
∂x
∂x
∂x
dξ +
dη +
dζ ⎪
∂ζ
∂ξ
∂η
⎪
⎪
∂y
∂y
∂y
dy =
dξ +
dη +
dζ ⎬ .
∂ξ
∂η
∂ζ
⎪
⎪
∂z
∂z
∂z
dz =
dξ +
dη +
dζ ⎪
∂ζ
∂ξ
∂η
⎭
dx =
(3.145)
O en forma matricial
⎡ ∂x
⎢
⎡ dx ⎤ ⎢ ∂ξ
⎢dy ⎥ = ⎢ ∂y
⎢ ⎥ ⎢ ∂ξ
⎢⎣ dz ⎥⎦ ⎢ ∂z
⎢
⎣ ∂ξ
∂x
∂η
∂y
∂η
∂z
∂η
∂x ⎤
∂ζ ⎥⎥ ⎡dζ ⎤
∂y ⎥ ⎢ ⎥
dη ,
∂ζ ⎥ ⎢ ⎥
∂z ⎥ ⎢⎣ dξ ⎥⎦
⎥
∂ζ ⎦
(3.146)
donde la matriz del Jacobiano es:
⎡ ∂x
⎢ ∂ξ
⎢
∂y
J=⎢
⎢ ∂ξ
⎢ ∂z
⎢
⎣ ∂ξ
∂x
∂η
∂y
∂η
∂z
∂η
∂x
∂ζ
∂y
∂ζ
∂z
∂ζ
⎤
⎥
⎥
⎥.
⎥
⎥
⎥
⎦
(3.147)
Al despejar las coordenadas locales de (3.146), se obtiene:
63
⎡ dx ⎤
⎡ dζ ⎤
⎢ dη ⎥ = J −1 ⎢dy ⎥ ,
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ dz ⎥⎦
⎢⎣ dξ ⎥⎦
(3.148)
donde:
J −1
⎡⎛ ∂y
⎢ ⎜⎜
⎢ ⎝ ∂η
1 ⎢⎛ ∂x
=
⎜
J ⎢ ⎜⎝ ∂ζ
⎢
⎢⎛ ∂ x
⎢ ⎜⎜ ∂η
⎣⎝
∂z ∂y ∂z ⎞
−
⎟
∂ζ ∂ζ ∂η ⎟⎠
∂z ∂x ∂z ⎞
−
⎟
∂η ∂η ∂ζ ⎟⎠
∂y ∂x ∂y ⎞
−
⎟
∂ζ ∂ζ ∂η ⎟⎠
1 ⎛ ∂y
∂ξ
=
⎜
J ⎜⎝ ∂η
∂x
1 ⎛ ∂y
∂ξ
=
⎜
J ⎜⎝ ∂ζ
∂y
⎛ ∂y
⎜⎜
⎝ ∂ζ
⎛ ∂x
⎜⎜
⎝ ∂ξ
⎛ ∂x
⎜⎜
⎝ ∂ζ
∂z ∂y ∂z ⎞
−
⎟
∂ξ ∂ξ ∂ζ ⎟⎠
∂z ∂x ∂z ⎞
−
⎟
∂ζ ∂ζ ∂ξ ⎟⎠
∂y ∂x ∂y ⎞
−
⎟
∂ξ ∂ξ ∂ζ ⎟⎠
∂z
∂y ∂z ⎞⎫
−
⎟⎪
∂ζ
∂ζ ∂η ⎟⎠ ⎪
∂z
∂ y ∂ z ⎞ ⎪⎪
−
⎟⎬,
∂ξ
∂ξ ∂ζ ⎟⎠ ⎪
⎛ ∂y
⎜⎜
⎝ ∂ξ
⎛ ∂x
⎜⎜
⎝ ∂η
⎛ ∂x
⎜⎜
⎝ ∂ξ
∂z ∂y ∂z ⎞ ⎤
−
⎟⎥
∂η ∂η ∂ξ ⎟⎠ ⎥
∂ z ∂ x ∂ z ⎞ ⎥ , (3.149)
−
⎟
∂ξ ∂ξ ∂η ⎟⎠ ⎥⎥
∂y ∂x ∂y ⎞ ⎥
−
⎟
∂η ∂η ∂ξ ⎟⎠ ⎥⎦
(3.150)
1 ⎛ ∂y ∂z
∂ξ
∂ y ∂ z ⎞ ⎪⎪
=
−
⎜⎜
⎟
J ⎝ ∂ξ ∂η
∂z
∂η ∂ξ ⎟⎠ ⎪⎭
∂η
1
=
∂x
J
⎛ ∂x ∂z
∂x ∂z
−
⎜⎜
∂η ∂ζ
⎝ ∂ζ ∂η
⎞⎫
⎟⎟ ⎪
⎠⎪
⎞ ⎪⎪
⎟⎟ ⎬ ,
⎠⎪
⎞⎪
⎟⎟ ⎪
⎠ ⎪⎭
∂η
1 ⎛ ∂x
=
⎜
∂y
J ⎜⎝ ∂ξ
∂η
1 ⎛ ∂x
=
⎜
∂z
J ⎜⎝ ∂η
∂z
∂x ∂z
−
∂ζ
∂ζ ∂ξ
∂ζ
1 ⎛ ∂x
=
⎜
∂x
J ⎜⎝ ∂η
∂ζ
1 ⎛ ∂x
=
⎜
J ⎜⎝ ∂ζ
∂y
∂y
∂x ∂y
−
∂ζ
∂ζ ∂η
∂z
∂x ∂z
−
∂ξ
∂ξ ∂η
∂y
∂x ∂y
−
∂ξ
∂ξ ∂ζ
∂ζ
∂x ∂y
1 ⎛ ∂x ∂y
=
−
⎜⎜
J ⎝ ∂ξ ∂η
∂z
∂η ∂ξ
⎞⎫
⎟⎟ ⎪
⎠⎪
⎞ ⎪⎪
⎟⎟ ⎬ ,
⎠⎪
⎞⎪
⎟⎟ ⎪
⎠ ⎪⎭
(3.151)
(3.152)
64
∂x
=
∂ξ
∂y
=
∂ξ
∂z
=
∂ξ
N
∑
i =1
N
∑
i =1
N
∑
i =1
∂φ i
,
∂ξ
∂φ i
yi
,
∂ξ
∂φ i
zi
,
∂ξ
N
∂φ i
∂x
,
= ∑ xi
∂η
∂η
i =1
N
∂φ i
∂y
,
= ∑ yi
∂η
∂η
i =1
N
∂φ i
∂z
,
= ∑ zi
∂η
∂η
i =1
xi
N
∂φ i ⎫
∂x
= ∑ xi
∂ζ
∂ζ ⎪⎪
i =1
N
∂φ i ⎪
∂y
= ∑ yi
⎬,
∂ζ
∂ζ ⎪
i =1
N
∂φ i ⎪
∂z
= ∑ zi
⎪
∂ζ
∂ζ ⎭
i =1
(3.153)
donde el Jacobiano, o determinante de la matriz del Jacobiano, de la transformación es:
∂x
∂ξ
∂y
J (ξ , η , ζ ) = J =
∂ξ
∂z
∂ξ
∂x
∂η
∂y
∂η
∂z
∂η
∂x
∂ζ
∂y
.
∂ζ
∂z
∂ζ
(3.154)
En general, para calcular las derivadas parciales de la variable u(x,y,z) (o cualquiera otra
variable del flujo) dada por la ecuación (3.142) se procede de manera similar, es decir:
∂u N ∂φi
= ∑ ui
,
∂x i =1 ∂x
∂u N ∂φi
= ∑ ui
,
∂y i =1 ∂y
∂u N ∂φi
= ∑ ui
,
∂z i =1 ∂z
(3.155)
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬.
⎪
⎪
⎪
⎭
(3.156)
donde:
∂φ i ∂φ i ∂ξ ∂φ i ∂η ∂φ i
=
+
+
∂x
∂ξ ∂ x ∂η ∂ x ∂ζ
=
+
+
∂y
∂ξ ∂ y ∂η ∂ y ∂ζ
=
+
+
∂z
∂ξ ∂ z ∂η ∂ z
∂ζ
∂ζ
∂x
∂ζ
∂y
∂ζ
∂z
O en forma matricial
⎡ ∂φ i
⎢ ∂x
⎢ ∂φ
⎢ i
⎢ ∂y
⎢ ∂φ i
⎢
⎣ ∂z
⎤ ⎡ ∂ξ
⎥ ⎢ ∂x
⎥ ⎢ ∂ξ
⎥= ⎢
⎥ ⎢ ∂y
⎥ ⎢ ∂ξ
⎥ ⎢
⎦ ⎣ ∂z
∂η
∂x
∂η
∂y
∂η
∂z
∂ζ
∂x
∂ζ
∂y
∂ζ
∂z
⎤ ⎡ ∂φ i
⎥ ⎢ ∂ξ
⎥ ⎢ ∂φ
⎥⎢ i
⎥ ⎢ ∂η
⎥ ⎢ ∂φ i
⎥⎢
⎦ ⎣ ∂ζ
⎤
⎥
⎥
⎥.
⎥
⎥
⎥
⎦
(3.157)
65
3.5.4. Calidad de la Malla de Volúmenes Finitos.
Las transformaciones entre el sistema de coordenadas local y el sistema de coordenadas
global, descritas en la sección anterior, tiene que se unívoca para que se puedan realizar. Esto
se logra cuando el Jacobiano de la transformación es mayor que cero en todos los elementos
de la malla de volúmenes finitos.
También se puede garantizar la univocidad de la transformación, sin tener que calcular el
Jacobiano, definiendo algunos parámetros geométricos que relacionan la calidad de los
elementos, y que miden el grado de deformación del elemento en el sistema de coordenada
global. Los parámetros de calidad más utilizados son:
-
Relación de aspecto.
-
Relación de las diagonales.
-
Relación de lados.
-
Desviación entre los ángulos internos.
-
Desviación de tamaño.
Relación de Aspecto.
Para el caso de los elementos tetraedros la relación de aspecto se define como:
Q ra =
R
,
3r
(3.158)
donde R y r son los radios de las esferas inscrita y circunscrita respectivamente que se forma
en el tetraedro.
Por definición Qra ≥ 1 , donde Qra = 1 representa un tetraedro equilátero.
En los elementos hexaedros, la relación de aspecto se define como:
Q ra =
max( e1 , e 2 , e 3 )
,
min( e1 , e 2 , e 3 )
(3.159)
donde e1, e2, e3 son las longitudes promedio de los lados en las direcciones x, y, z
respectivamente, y Qra ≥ 1 . Cuando Qra = 1 significa que el elemento es un cubo.
Relación de Diagonales.
Esta relación es aplicada a elementos hexaédricos y se define como:
Q rd =
max( d 1 , d 2 , d 3 , d 4 )
,
min( d 1 , d 2 , d 3 , d 4 )
(3.160)
66
donde d1, d2, d3, d4 son las longitudes de las diagonales de hexaedro y Qrd ≥ 1 . Cuando
Qrd = 1 , significa que el elemento es un cubo.
Relación de Lados.
Esta relación es aplicada a cualquier tipo de elemento y se define como:
Q rl =
max( l1 , l 2 ,..., l n )
,
min( l1 , l 2 ,..., l n )
(3.161)
donde l1, l2, …, ln son las longitudes de los lados del elemento, n el número de lados y Qrl ≥ 1 .
Cuando Qrl = 1 significa que el elemento es equilátero.
Desviación entre los Ángulos Internos.
Es una relación normalizada que se puede aplicar a cualquier tipo de elemento y se define
como:
⎛ θ max − θ eq θ eq − θ min
Q ai = max ⎜
,
⎜ 180 − θ
θ eq
eq
⎝
⎞
⎟,
⎟
⎠
donde θ max y θ min son los ángulos (en grado)
máximos y mínimos respectivamente dentro del
elemento, y θ eq es una ángulo característico
correspondiente a una celda equilátera. Para
elementos tetraédricos θ eq = 60 y para elementos
hexaédricos θ eq = 90 .
Por definición 0 ≤ Q ai ≤ 1 , donde Q ai = 0
representa un elemento equilátero y Q ai = 1 es
un elemento completamente degenerado, en cuyo
caso, la transformación de coordenadas no se
puede realizar. Este parámetro de calidad es quizá
uno de los más usados y se puede caracterizar
según la Tabla 3.2.
(3.162)
Tabla 3.2. Calidad del elemento como
función de la desviación de los ángulos
internos.
Calidad
Qai
Perfecto
Q ai = 0
Excelente
0 < Q ai ≤ 0 , 25
Bueno
0 , 25 < Q ai ≤ 0 , 5
Regular
0 , 5 < Q ai ≤ 0 , 75
Pobre
0 , 75 < Q ai ≤ 0 , 90
Muy Pobre
0 , 90 < Q ai < 1
Degenerado
Q ai = 1
Desviación de tamaño.
Es una relación normalizada que se puede aplicar a cualquier tipo de elemento y se define
como:
Q dt =
S eq − S
S eq
,
(3.163)
67
donde S es el área superficial del elemento y S eq es la máxima área de una celda equilátera de
radio circunscrito que es idéntico a los elementos de la malla. Por definición 0 ≤ Q dt ≤ 1 ,
donde Q dt = 0 representa un elemento equilátero y Q dt = 1 es un elemento completamente
degenerado.
Hay otros parámetros que permiten medir la calidad de una malla de volúmenes finitos, tanto
para volúmenes tridimensionales como bidimensionales, que no se presentan en este trabajo.
68
Capítulo 4
Modelo Matemático
En éste capítulo se desarrolla el modelo matemático que se utiliza para realizar la simulación
de las turbinas Kaplan que serán instaladas en la central hidroeléctrica “Manuel Piar” en
Tocoma. Primeramente se describen los aspectos generales de las centrales hidroeléctricas, las
turbinas Kaplan y algunas consideraciones que se deben tomar para simular las turbinas
hidráulicas, luego se presentan las simplificaciones matemáticas y geométricas necesarias para
desarrollar los modelos matemáticos, posteriormente se describen las estrategias de simulación
utilizadas, finalizando el capítulo con presentación de los modelos de volúmenes finitos
utilizados en la simulación.
4.1. Generalidades de las Centrales Hidroeléctricas.
Las centrales hidroeléctricas son instalaciones que aprovechan la energía potencial contenidas
en la masa de agua que transportan los ríos, debido a los saltos o desniveles, para convertirla
en energía eléctrica. Para lograr este aprovechamiento energético se utilizan turbinas
hidráulicas acopladas a generadores eléctricos.
De acuerdo a que si la central tiene o no embalse para almacenamiento de agua, las centrales
se dividen en Centrales Fluyentes y Centrales con Regulación. Las Centrales Fluyentes son
aquellas donde el caudal del río asegura una aportación regular de agua, y la energía potencial
puede ser aprovechada directamente sin necesidad de embalse o formando un embalse muy
reducido, tal son los casos en Venezuela, de las Centrales Tocoma, Caruachi y Macagua. Por
otro lado, las Centrales con Regulación, son aquellas que requieren de la construcción de un
embalse, o lago artificial, que permita almacenar una cantidad importante de agua para los
períodos de sequía y así poder disponer de energía durante todo el año, como ocurre en la
central hidroeléctrica Guri, cuyo lago tiene una capacidad de almacenamiento de
aproximadamente 111,104 km3. El embalse de Guri de una u otra forma regula la generación
de las centrales Tocoma, Caruachi y Macagua.
Según la estructura de la central hidroeléctrica, existen diferentes esquemas de
emplazamientos hidroeléctricos, siempre ajustados a las características orográficas del lugar
donde se asienta la central, por ello es que cada central es única en su tipo puesto que las
condiciones necesarias para el aprovechamiento del potencial del río varían de un lugar a otro.
Capítulo 4. Modelo Matemático.
No obstante, todos los esquemas de emplazamiento de centrales hidroeléctricas pueden ser
reducidos a dos modelos básicamente, de modo que cada emplazamiento particular suele ser
una variante de uno de ellos o una combinación de ambos. El primer modelo o esquema,
llamado Aprovechamiento por derivación de las aguas, consiste en desviar las aguas del río
mediante una pequeña presa hacia un canal que las conduce con una pérdida de nivel tan
pequeña como sea posible hasta un pequeño depósito llamado cámara de carga. De esta
cámara arranca una tubería forzada que conduce el agua hasta la casa de máquinas de la
central, en donde se encuentran instaladas las turbinas hidráulicas que transforman la energía
cinética del agua, en energía mecánica en el eje de la turbina. Posteriormente, el agua es
restituida al río aguas abajo utilizando un canal de descarga.
El segundo esquema, denominado Aprovechamiento por acumulación de las aguas, consiste
en construir en un tramo del río que ofrezca un apreciable desnivel una presa de determinada
altura a fin de elevar la energía potencial del agua, llevando su nivel a un punto sensiblemente
cercano al extremo superior de la presa. A media altura de la presa, para aprovechar el
volumen del embalse en su cota superior, se encuentra la toma de aguas, por cuyos pasajes se
conducida el agua a la casa de máquinas, que se encuentra provista del grupo turbinagenerador utilizadas para la generación de la energía eléctrica. La central asociada a este tipo
de aprovechamientos suele recibir el nombre de Central de pie de presa.
4.1.1. Componentes de las Centrales Hidroeléctricas.
Las condiciones del terreno donde se instalan las centrales hidroeléctricas y el tipo
condicionarán la cantidad y las características de los elementos constructivos necesarios para
la construcción de la misma; sin embargo, es posible generalizar los elementos que son
comunes. Estos elementos son (ver Figura 4.1):
-
Presa.
-
Tubería de presión.
-
Aliviaderos.
-
Compuertas.
-
Turbinas.
-
Canal o tubo de descarga.
-
Casa de máquinas.
Presa: Es una construcción que se levanta en el lecho del río para recoger el agua,
produciendo una elevación de su nivel que permite la derivación del cuerpo de agua o bien
para almacenarlo regulando el caudal del río. De acuerdo a la finalidad con que fueran
construidas, las presas se dividen en dos grandes grupos: presas de derivación y presas de
embalse. Las presas de derivación tienen casi siempre una función mixta, almacenar y desviar
el agua, y las presas de embalse son aquellas cuyo efecto predominante es la elevación del
nivel de agua para su desviación, o por el contrario, el embalse del agua para tener siempre un
caudal disponible.
70
Embalse
(Aguas arriba)
Presa
Generador
Turbina
Aguas
abajo
Tubo de presión
Turbo de
descarga
Figura 4.1. Elementos constitutivos de las centrales hidroeléctricas.
Tubería o canal de presión: En las instalaciones hidroeléctricas, las tuberías de presión o
tuberías forzadas tienen por objeto conducir el agua a las turbinas cuando, por causa de la
altura del salto, se precisa tal disposición para transformar la energía potencial del agua en
energía cinética que tiene el fluido al pasar a través de la turbina y al final de la tubería
forzada. Para alturas del salto inferiores a unos 15 m, basta con un canal sin carga de presión;
sin embargo, cuando la altura del salto es superior al límite citado, suelen emplearse
conducciones forzadas. La Figura 4.2 muestra un esquema de los tipos de tubería que se deben
construir según el tipo de turbinas a instalar.
Embalse
Embalse
Embalse
Tubo de
presión
Tubo de
presión
Tubo de
presión
Turbina
Kaplan
(a)
Turbina
Francis
(b)
Turbina
Pelton
(c)
Figura 4.2. Tipos de tuberías de presión. (a) Central con turbinas Kaplan, (b) Central con turbinas
Francis y (c) Central con turbinas Peltón..
Aliviaderos: Tienen por misión liberar parte del agua retenida en el embalse sin que ésta pase
previamente por la sala de máquinas. Se encuentran generalmente en la pared principal de la
presa y pueden ser de fondo o de superficie (ver Figura 4.3). Las operaciones de alivio son
71
llevadas a cabo cuando se producen incrementos importantes en el nivel del embalse o para
atender necesidades de riego. A fin de evitar que el agua al quedar liberada pueda causar daños
en su caída a los terrenos situados aguas abajo de la presa, se construyen aliviaderos tales que
se logre disipar la energía en la caída del agua, para ello, habitualmente se crean cuencos de
amortiguación en la zona donde el agua cae en el canal de descarga. Para regular la salida del
agua por los aliviaderos, se utilizan compuertas metálicas de gran tamaño. El diseño de los
aliviaderos, por último, exige cálculos muy
detallados y estudios previos sobre los posibles
efectos destructivos del agua, los cuales suelen
realizarse en modelos reducidos, aplicando
Compuertas
posteriormente el factor de escala correspondiente.
Radiales
Compuertas: Las compuertas son equipos
mecánicos utilizados para el control del flujo del
agua y mantenimiento en diferentes secciones de la
presa. Las diferentes formas de las compuertas
dependen de su aplicación. El tipo de compuerta a
utilizar dependerá principalmente del tamaño y
forma del canal a cerrar, de la cabeza estática, del
espacio disponible, del mecanismo de apertura y de
las condiciones particulares de operación.
Figura 4.3. Aliviadero de Caruachi.
Turbinas: Las turbinas son turbomáquinas hidráulicas motoras capaces de convertir energía
hidráulica en energía mecánica, modificando la energía total del caudal de fluido que las
atraviesa. La transferencia de energía entre el fluido y la turbina se da cuando, el agua al actuar
sobre los álabes del rodete impulsa a éste
último haciéndolo girar sobre su propio eje. Tabla 4.1. Selección de la turbina de acuerdo a la
velocidad específica (Ns).
Es entonces cuando la energía mecánica
Tipo de Turbinas
Ns
absorbida por la turbina es utilizada en la
generación de energía eléctrica, mediante el
Pelton con un inyector
De 5 a 30
uso de generadores eléctricos acoplados al
Pelton con varios inyectores
De 30 a 50
eje de salida de la turbina. Existen muchos
Francis lenta
De 50 a 100
tipos de turbinas hidráulicas, pero los más
Francis normal
De 100 a 200
utilizadas son: Pelton, Francis y Kaplan. La
Francis rápida
De 200 a 300
aplicación de cada tipo de turbina depende
de la velocidad específica (Tabla 4.1) y la
Francis doble gemela rápida
De 300 a 500
altura y caudal del salto (Tabla 4.2) que se
Kaplan o de Hélice
Más de 500
desea aprovechar. La velocidad específica
de define como:
Ns =
N W&
h
5
,
(4.1)
4
donde N es la velocidad de giro de la turbina en revoluciones por minutos (rpm), W& es la
potencia en el eje o potencia al freno en caballos de vapor (CV) y h es la altura neta del salto
en metros (m).
72
Tabla 4.2. Selección de la turbina de acuerdo al salto y caudal del salto.
Q [m3/s]
Tipo de Turbinas
H [m]
Perton
Más de 100
Menos de 10
Francis
Lentas: Más de200
Normal: De 20 a 200
Rápidas: Menos de 20
De 10 a 200
Kaplan
Menos de 50
Más de 200
Por otra parte, las turbinas se pueden clasificar según el grado de reacción, en turbinas de
acción y turbinas de reacción, como el caso de las turbinas Kaplan. El grado de reacción se
define como la relación entre la altura de presión (Hp) y la atura total (H) que absorbe la
turbina.
GR =
Hp
H
.
(4.2)
Cuando el GR = 0, las turbinas son de acción y si GR > 0 se les llama turbinas de reacción.
Canal o tubo de descarga: El canal de descarga, recoge el agua a la salida de la turbina para
devolverla nuevamente al río (Figura 4 .1).
Casa de Máquinas: En la casa de máquinas de una central hidroeléctrica se instalan los
equipos necesarios para la producción de la energía eléctrica, así como la maquinaria auxiliar
necesaria para su funcionamiento. Como puede comprenderse, las disposiciones adoptadas
para las casas de máquinas son variadísimas y dependen tanto de las circunstancias, como de
las condiciones del aprovechamiento hidroeléctrico.
4.1.2. Turbinas Kaplan.
Las turbinas Kaplan, son turbomáquinas hidráulicas de reacción y de flujo axial, también se le
conoce como turbina de hélice. Las turbinas Kaplan son generalmente utilizadas en centrales
hidroeléctricas construidas en ríos donde se manejan grandes caudales en pequeños saltos. Son
especialmente recomendadas debido a que dispone dos mecanismos de regulación, uno con las
paletas directrices y otro con los álabes del rodete.
La doble regulación de una turbina Kaplan hace que ésta sea más costosa que una turbina
Francis de igual potencia, por lo que se utilizan en aquellas instalaciones donde se desee
conseguir rapidez de giro y máxima facilidad de regulación.
Los componentes principales de una turbina Kaplan [41] son (ver Figura 4.4):
-
Caja espiral o semi-espiral.
-
Anillo fijo, donde se encuentran instaladas las paletas fijas.
-
Anillo distribuidor, en éste anillo se encuentran instaladas las paletas directrices
móviles.
73
-
Rodete, se encuentra constituido por el cubo y los álabes que se encuentran instalados
en la periferia del primero.
-
Tubo de Aspiración.
Generador
Caja
semi-espiral
Anillo de
Distribución
Anillo
Inferior
Paletas
Directrices
Rodete
Anillo de
Descarga
Tubo de aspiración
Figura 4.4. Componentes básicos de una turbina Kaplan.
Caja espiral o semi–espiral: Es el pasaje de agua o ducto alimentador con forma de caracol y
de sección transversal con geometría variable que circunda al rodete y conduce el agua
necesaria para la operación de la turbina al orientarla alrededor del anillo distribuidor. En el
caso de centrales hidroeléctricas en las que se manejen caídas netas inferiores o cercanas a los
30 m son recomendados los arreglos con cajas semi–espirales, en cambio para alturas
superiores a los 30 m se recomienda el uso de cajas espirales completas. Las paredes de las
cajas semi–espirales son construidas de concreto armado y la sección transversal es en general
rectangular; mientras que, en las cajas espirales las paredes son de acero reforzado y la sección
trasversal es circular.
Anillo Distribuidor: Aro concéntrico al eje de la turbina constituido por dos anillos, superior
e inferior, rígidamente unidos entre sí por un conjunto de paletas fijas, equidistantes entre ellas
y cuya función es la de administrar y dirigir el agua que ingresa a la turbina, dándole el giro
inicial necesario para la máxima transferencia de energía en el rodete.
Paletas Directrices: Es un conjunto de álabes directores que pueden rotar u orientarse dentro
de ciertos límites al girar sobre su propio eje. Tienen como función distribuir y regular el
caudal de agua que fluye hacia la turbina.
74
Anillo de Descarga: Este anillo tiene forma cilíndrica en su parte superior y forma
semiesférica por debajo de la línea central de los álabes del rodete para permitir el giro de
estos últimos; es fabricado en acero inoxidable y se encuentra ubicado a la misma altura de los
álabes del rodete.
Anillo Inferior: Es un aro circular donde se asientan en su parte inferior los muñones de las
paletas directrices. Se encuentra atornillado al Anillo de Descarga por su parte inferior y
perfectamente concéntrico con éste último.
Rodete: Se trata de la pieza fundamental de la turbina, es donde se obtiene la energía
mecánica deseada. El rodete de las turbinas Kaplan tiene forma de hélice y se encuentra
instalado perfectamente concéntrico con el anillo distribuidor y por debajo de éste. Consta de
dos piezas fundamentales: el cubo del rodete y los álabes. Los álabes del rodete en las turbinas
Kaplan se encuentran dotados de movimiento dentro de ciertos límites, con lo que al girar
sobre su propio eje (perpendicular al eje de giro de la turbina), pueden adaptarse a las
condiciones de carga y caudal a las que opere la central. Debido a ésta característica, las
turbinas Kaplan son conocidas como turbinas doblemente
reguladas y tienen como principal ventaja, que pueden ser Tabla 4.3. Número de álabes de
utilizadas en aquellas centrales hidroeléctricas donde la las turbinas Kaplan como función
de la velocidad específica.
caída neta disponible varíe continuamente. La inclinación
Ns
Z
de los álabes es regulada mediante un servomotor hidráulico
instalado en el interior del cubo del rodete.
De 400 a 500
7-8
En número de álabes (Z) que tiene un rodete de la turbinas
Kaplan esta relacionado con velocidad especifica, de
acuerdo a la Tabla 4.3. Por otra parte, la referencia 41
propone una relación (Tabla 4.4) del número de álabes en el
rodete como función de la altura neta en el salto.
De 500 a 600
6
De 600 a 7500
5
De 750 a 900
4
Mayor de 900
3
Tabla 4.4. Número de álabes de las turbinas Kaplan como función de la altura del salto.
Salto neto, H[m]
5
20
40
50
60
70
Z
3
4
5
6
7
8-10
Tubo de Aspiración: Consiste en un ducto acodado que forma parte de la turbina y que la
comunica con el canal de descarga. Tiene como misión principal aumentar la presión y
recuperar así al máximo la energía cinética a la salida del rodete.
4.2. Simplificaciones Matemáticas, Físicas y Geométricas.
La central hidroeléctrica “Manuel Piar” en Tocoma es muy similar a la central “Francisco de
Miranda” en Caruachi, dado que las turbinas que se instalaran son de tipo Kaplan, giran a una
velocidad nominal muy parecidas de 90 rpm para Tocoma y 94,74 rpm en Caruachi; y las
caídas o saltos de agua son también muy parecidas dado que en Tocoma se tendrá 34,65 m y
en Caruachi es de 35,6m. También, la estructura civil y los pasajes del fluido desde la toma
hasta el tubo de aspiración son muy similares a la central hidroeléctrica Caruachi.
75
La diferencia más importante está en que Caruachi tiene 12 turbinas Kaplan de 180 MW y en
Tocoma se van a instalar 10 turbinas de 216 MW. La Figura 4.5 muestra la disposición de los
componentes que conformarán la central hidroeléctrica Manuel Piar en Tocoma.
GRÚA PARA COMPUERTAS
DE TOMA
GRÚA PARA COMPUERTAS
DE MANTENIMIENTO Y REJAS
AGUAS ARRIBA
UNIDADES
CORRIENTE
NIV. MÁX. NORMAL
127,0 msnm
LÍNEA DE ALTO
VOLTAJE
NIVEL DE GENERADORES
GENERADORES
DE 220 MW
AGUAS ABAJO
REJA DE LA
TOMA
NIV. MÁX. NORMAL
92,2 msnm
TURBINAS
KAPLAN DE
216 MW
TUBO DE ASPIRACIÓN
Figura 4.5. Disposición de los componentes en la central hidroeléctrica Manuel Piar en Tocoma.
Los niveles de operación de la central Tocoma para las turbinas Kaplan que se instalarán son
los que se muestran en la Tabla 4.5.
Tabla 4.5. Niveles de operación de las turbinas Kaplan en Tocoma.
Niveles aguas arriba
Niveles aguas abajo
Caída Neta
Condición
[msnm]
[msnm]
[m]
Máximo infrecuente
127,50
92,20
37,30
Máximo normal
127,00
92,20
36,00
Promedio o nominal
126,75
91,60
34,65
Mínimo normal
126,00
90,70
33,00
Mínimo infrecuente
124,80
89,40
30,90
76
Como se puede observar en la Figura 4.5, se hace casi imposible simular todo el volumen de
control de una central hidroeléctrica, desde la toma hasta la descarga, ya los requerimientos
computacionales son muy elevados en cuanto a memoria RAM y velocidad de cómputo. Por
esta razón, se tienen que hacer simplificaciones en el dominio para poderlo resolver con
ordenadores de costos relativamente moderados. En ese sentido, las referencias 42 y 43
recomiendan dos procedimientos bastantes aceptados por la comunidad científica, académica
y los fabricantes de turbinas, tales como GE Hydro, VA TECH, entre otros.
El primer procedimiento es propuesto Thi Vu [42] y consiste en dividir el volumen de control
en dos sub-volúmenes de control, uno que va desde la toma hasta la salida de las paletas
directrices, es decir: toma, tubería de presión o forzada, caja espiral o semi-espiral hasta
después de las paletas fijas. El segundo sub-volumen de control que va desde la entrada a las
paletas directrices hasta la descarga, pasando por el rodete y el tubo de aspiración. Se debe
tener en cuenta que las condiciones del flujo a la salida del primer sub-volumen son las
condiciones de entrada en el segundo sub-vulumen. Éste procedimiento es muy utilizado por
el fabricante de turbina GE Hydro.
El segundo procedimiento [43] consiste en dividir el volumen de control en cuatro subvolúmenes (Figura 4.6), el primero que va desde la toma hasta la caja espiral o semi-espiral, el
segundo lo representa el distribuidor, el tercero es el rodete o turbina y el cuarto va desde la
salida de la turbina hasta la descarga pasando por el tubo de aspiración.
Figura 4.6. Volúmenes de control utilizados para simular las centrales hidroeléctricas.
77
Es de hacer notar que éste último procedimiento requiere de menor capacidad computacional,
por lo que se adoptará para realizar la simulación de la turbina. Como la simulación del rodete
se utiliza para construir las curvas características de la turbina, se estudiará previamente la
influencia que tiene la inclinación de las paletas directrices en el flujo a la entrada de la turbina
por lo que es necesario simular las paletas directrices y el rodete.
4.2.1. Simplificaciones Geométricas.
Como se mencionara en la sección anterior, lo ideal para obtener los mejores resultados sería
simular todo el volumen de control de la central hidroeléctrica, desde la toma hasta la
descarga. Sin embargo, esta misión es casi imposible para los recursos computacionales que se
disponen. En ese sentido, se simulará en primer instante el anillo de distribución donde están
las paletas directrices, a fin de establecer una relación entre la velocidad de entrada al anillo de
distribución y la velocidad de salida de éste, que es la entrada a la turbina, para diferentes
caudales de descarga, ángulo en la velocidad de entrada al anillo y ángulos de inclinación de
las paletas directrices.
Una vez establecida la relación para la velocidad del fluido a la entrada del rodete se procede a
simular la turbina para poder construir las curvas características cuyo objetivo se ha planteado
en éste trabajo. Es importante aclarar, que antes de analizar el anillo de distribución se debe
simular la toma y caja semi-espiral, para poder obtener el perfil de velocidad que se utiliza
como condición de entrada en el distribuidor. Como se puede observar en la Figura 4.7,
correspondiente a la simulación de toma y caja semi-espiral de las turbinas Kaplan instaladas
en la central Caruachi [44], que es similar a la central Tocoma, el módulo de la velocidad varía
poco en la entrada del anillo de distribución, aunque la dirección o ángulo de la velocidad
respecto a la normal si varia desde aproximadamente 0° a 50°.
Figura 4.7. Líneas de corriente desde la toma a la entrada del distribuidor de la central Caruachi.
Fuente: Referencia 44.
78
La Figura 4.8 presenta la sección transversal de la instalación de las turbinas Kaplan en la
central Tocoma, allí se muestran las alturas respecto al mar de la ubicación del anillo de
distribución y la turbina, a partir de los cuales, se construyen los volúmenes de control que se
utilizarán en las simulaciones.
Figura 4.8. Sección transversal de la turbina a instalar en Tocoma.
Fuente: Planos del Proyecto Tocoma.
4.2.1.1. Simplificaciones al Volumen de Control del Distribuidor.
El anillo de distribución esta conformado por veinticuatro (24) paletas directrices distribuidas
uniformemente en forma radial, lo que garantiza una periodicidad geométrica radial. Por otra
parte, de acuerdo a los resultados obtenidos en la referencia 44, la inclinación del vector
velocidad a la entrada del anillo de distribución varía a lo largo de la dirección tangencial, por
lo que no es posible establecer periodicidad en esa dirección. Sin embargo, por limitaciones de
capacidad computacional se considerara la periodicidad en la dirección tangencial (llamada
periodicidad rotacional), por lo que el volumen de control tomado será de un veinticuatroavo
del anillo de distribución, tal como se muestra en la Figura 4.9.
79
Para validar la simplificación realizada, se analizará en el capítulo 4, el efecto que tiene la
inclinación del vector velocidad en el perfil de velocidad a la salida del anillo de distribución
(entrada a la turbina).
Figura 4.9. Vista tridimensional del volumen de control
ocupado por el anillo de distribución. En azul oscuro el
volumen de control estudiado.
Figura 4.10. Vista tridimensional
del volumen ocupado por el rodete.
En azul oscuro el volumen de
control estudiado.
4.2.1.2. Simplificaciones al Volumen de Control del Rodete.
Las turbinas Kaplan que se instalarán en la central hidroeléctrica Tocoma, tendrán cinco
álabes separados equidistantes en forma radial lo que garantiza la existencia de periodicidad
geométrica rotacional, de igual forma, también se considerará periodicidad rotacional. En ese
sentido, el volumen de control que se analizará estará representado por una quinta parte del
volumen ocupado por toda la turbina, tal como se muestra en la Figura 4.10.
4.2.2. Simplificaciones Físicas y Matemáticas.
Antes de describir las simplificaciones físicas y matemáticas que se realizan a los modelos que
se utilizaran para la simulación, se presentan a continuación las propiedades de agua y otras
variables utilizadas para dicha simulación:
-
Densidad, ρ = 996,43 kg / m 3 .
-
Viscosidad dinámica, μ = 0,894 x10 −3 N .s / m 2 .
-
Aceleración de gravedad local, g = 9,781 m / s 2 .
-
Profundidad del anillo de distribución respecto a la superficie libre aguas arriba,
h = 47,5 m .
80
-
Profundidad del rodete respecto a la superficie libre aguas arriba, h = 51,5 m .
Las simplificaciones que se hacen al modelo de las paletas directrices son las siguientes:
-
Existe periodicidad rotacional tanto geométrica como fluidodinámica, por lo que se
toma un veinticuatroavo del volumen del distribuidor.
-
La velocidad de entrada al distribuidor es uniforme.
-
El flujo es turbulento, y se utiliza el modelo “k-ε realizable” para simular el
comportamiento del mismo.
-
La rugosidad de las paletas directrices es de 3,2 μm .
-
La superficie superior e inferior del distribuidor tiene una rugosidad de 12,5μm .
Por otra parte, las simplificaciones que se hace al modelo del rodete son las siguientes:
-
Existe periodicidad rotacional tanto geométrica como fluidodinámica, por lo que se
toma un quinto del volumen del distribuidor.
-
La velocidad de entrada del rodete es la misma de salida del distribuidor.
-
El flujo es turbulento, y se utiliza el modelo “k-ε realizable” para simular el
comportamiento del mismo.
-
La rugosidad de los álabes del rodete del lado succión es de 3,2μm .
-
La rugosidad de los álabes del rodete del lado presión es de 3,2 μm a 6,3μm .
-
La rugosidad de las superficie del cubo es de 12,5μm .
4.3. Modelo Matemático y Dominio del Problema.
4.3.1. Modelo de las Paletas Directrices.
La Figura 4.11 muestra el volumen de control (VC) y las condiciones de borde (CB) que se
utilizaron para modelar el distribuidor (o paletas directrices). En el mismo se destaca que la
velocidad de entrada se define en el borde ∂Ω ent , y es uniforme, la presión se especifica en la
superficie de salida ∂Ω sal , las superficies de periodicidad están definidas por ∂Ω s , el álabe se
define por la superficie ∂Ω a y las paredes superiores e inferiores del distribuidor son,
respectivamente, ∂Ω sup y ∂Ω inf .
La formulación matemática del problema de borde para resolver el flujo de agua a través del
distribuidor de las turbinas Kaplan a instalar en Tocoma, se puede realizar de la siguiente
r
manera: Determinar el campo de velocidad V ( x, y, z ) y la caída de presión (o distribución de
presión) p( x, y, z ) , tal que satisfaga:
81
1.
Las ecuaciones diferenciales (4.3), (4.4), (4.5) y (4.6), mostradas más adelante y
expresadas en notación tensorial con subíndices, dentro del volumen de control ΩVC
mostrado en la Figura 4.11, y cuyo fluido es agua, la cual se considera como un fluido
incompresible:
∂Ω a
∂ Ω sup
∂ Ω ent
∂Ω s
Ω VC
∂Ω s
(c)
(b)
∂ Ω inf
∂ Ω sal
(a)
(e)
(d)
(f)
Figura 4.11. Volumen de control utilizado para modelar el distribuidor a diferentes ángulos de
inclinación (o apertura) de las paletas directrices: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°.
∂u i
= 0,
∂xi
(4.3)
Du i
1 ∂p μ ∂ ⎛⎜ ∂u i ∂u j
=−
+
+
Dt
ρ ∂xi ρ ∂x j ⎜⎝ ∂x j ∂xi
⎞ ∂
⎟+
− u i′u ′j + g i ;
⎟ ∂x
j
⎠
(
)
(4.4)
μt
D( ρk )
∂ ⎡⎛
=
⎢⎜⎜ μ +
Dt
∂xi ⎣⎝
σk
⎞ ∂k ⎤
⎟⎟
⎥ + Pk + Bk − ρε − YM ;
⎠ ∂xi ⎦
(4.5)
μt
∂ ⎡⎛
D( ρε )
=
⎢⎜⎜ μ +
∂xi ⎣⎝
σε
Dt
⎞ ∂ε ⎤
⎛ ε2
⎟⎟
⎥ + ρC1 Sε − ρC2 ⎜⎜
⎝ k + υε
⎠ ∂xi ⎦
⎞
ε
⎟⎟ + Cε 1Cε 3 Bk ;
k
⎠
(4.6)
donde:
82
− u i′u ′j =
μ t = ρC μ
μt
ρ
⎛ ∂u i ∂u j
⎜
+
⎜ ∂x
⎝ j ∂xi
k2
⎞ 2⎛
⎞
⎟ − ⎜ k + μ t ∂u i ⎟δ ij ;
⎟ 3⎜
ρ ∂xi ⎟⎠
⎝
⎠
;
ε
⎛
η ⎞
C1 = máx⎜⎜ 0,43;
⎟;
η + 5 ⎟⎠
⎝
k
η=S ;
ε
C1ε = 1,44 y C 2 = 1,9 : Son constantes;
σ k = 1,0 y σ ε = 1,2 : Son los número de turbulencia de Prandtl de k y ε,
respectivamente;
Pk : es la generación de energía cinética turbulenta debido al gradiente de velocidad;
Bk : Generación de energía cinética turbulenta debido a las fuerzas de flotación;
YM = 0 : Es la contribución de las fluctuaciones por dilatación de los fluidos
compresibles.
2.
Y las condiciones de borde siguientes (mostradas en las Figura 4.11):
U = U ent
∂Ω ent ;
en
(4.7)
p = p sal = 0
en
∂Ω sal ;
(4.8)
U=0
en
∂Ω sup , ∂Ω inf ;
(4.9)
U=0
en
∂Ω a ;
Un
θ
= Un
θ+
π
en
(4.10)
∂Ω s ;
(4.11)
12
donde:
U n : Velocidad normal a la superficie;
π
12
: Ángulo entre las caras donde se presenta la simetría radial;
θ : representa da dirección tangencial;
U ent : Velocidad de entrada al volumen de control;
g : Aceleración de la gravedad.
83
4.3.2. Modelo del Rodete.
El VC utilizado para modelar el rodete y las CB son los mostrados en la Figura 4.12. En la
misma se define la velocidad de entrada en el borde ∂Ω ent , la presión se especifica en la
superficie ∂Ω sal , las superficies de periodicidad están definidas por ∂Ω s , el rodete o turbina
esta definido por la superficie ∂Ω tub y las paredes se especifican por ∂Ω p .
La formulación matemática del problema de borde para resolver el flujo de agua a través del
rodete de las turbinas Kaplan a instalar en Tocoma, se puede hacer de la siguiente manera:
r
Determinar el campo de velocidad V ( x, y, z ) y la caída de presión (o distribución de presión)
p( x, y, z ) , tal que satisfaga:
1.
Las ecuaciones diferenciales (4.3), (4.4), (4.5) y (4.6), presentadas en la sección 4.3.1 y
expresadas en notación tensorial con subíndices, dentro del volumen de control ΩVC
mostrado en la Figura 4.12, y cuyo fluido es agua, la cual se considera como un fluido
incompresible.
∂Ω ent
∂Ω tub
∂Ω s
∂Ω s
∂Ω tub
∂Ω s
∂Ω s
∂Ω p
∂Ω p
Ω VC
(b)
(a)
∂Ω sal
Figura 4.12. Volumen de control del rodete: (a) Vista superior y (b) Vista inferior.
2.
Y las condiciones de borde siguientes, también mostradas en las Figura 4.12.
U = U ent
en
∂Ω ent ;
⎛
u2 ⎞
p = p sal = γ ⎜⎜ h − s ⎟⎟
2g ⎠
⎝
(4.12)
en
∂Ω sal ;
(4.13)
84
U=0
Un
θ
∂Ω p ;
en
= Un
θ+
2π
5
en
(4.14)
∂Ω s ;
(4.15)
donde:
U n : Velocidad normal a la superficie;
U ent : Velocidad de entrada al volumen de control;
h : Profundidad de la superficie de salida del flujo del volumen de control;
u s : Velocidad media del flujo a la salida de la turbina;
g : Aceleración de la gravedad.
4.4. Estrategia de Resolución del Problema.
La estrategia utilizada para resolver el problema y realizar la simulación se divide en dos, una
utilizada para resolver el problema de flujo a través del distribuidor y otra utilizada para
resolver el problema de flujo en el rodete o turbina. Estas estrategias se describen a
continuación.
4.4.1. Estrategia Utilizada en el Distribuidor.
La estrategia a seguir para realizar la simulación del distribuidor se divide en los siguientes
pasos:
1.
Construcción de los modelos sólidos o volúmenes de control: En esta etapa se utilizó el
software de modelación tridimensional SolidEdge y el Gambit 2.2.3. Primeramente se
construyó en SolidEdge el volumen de fluido que ocupa el distribuidor y las paletas
directrices, posteriormente dichos sólidos fueron exportados al Software Gambit donde se
realizaron las operaciones booleanas necesarias para obtener los volúmenes de control
mostrados en la Figura 4.13 y cuyas dimensiones se destacan en el modelo que tiene las
paletas directrices completamente abiertas (cero grados de inclinación).
2.
Generación de los modelos de volúmenes finitos: El generador de malla utilizado fue el
Gambit 2.2.3, pero para seleccionar el modelo de volúmenes finitos a utilizar se realizó un
estudio de convergencia al modelo cuya paleta directriz estaba completamente abierta
(0°), y la misma característica de éste modelo se repitió en los demás modelos
garantizando el mismo refinamiento en la malla de volúmenes finitos. Los detalles de los
modelos utilizados y del estudio de convergencia se muestran en la sección 4.5 de éste
capítulo.
85
(c)
(b)
(a)
(d)
(e)
(f)
Figura 4.13. Dimensiones del volumen de control utilizado para modelar el distribuidor a
diferentes apertura de las paletas directrices: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°.
3.
Resolución de los modelos: Para resolver el problema de flujo se utilizó el modelo de
turbulencia k-ε realizable, dado por las ecuaciones (4.5) y (4.6). Este modelo se adapta
bien a las zonas cercanas a las paredes y alejadas de ellas; por otra parte, en éste problema
sólo se resuelven cuatros ecuaciones diferencias, las dos que corresponden al modelo de
turbulencia, la ecuación de continuidad (ec. 4.3) y la ecuación de momentum (ec. 4.4).
En el distribuidor, el interés está en poder determinar una relación funcional del perfil de
velocidad a la salida del mismo como función de la inclinación de las paletas directrices,
el ángulo de inclinación del vector velocidad a la entrada del distribuidor y el caudal. En
ese sentido, se resuelve el problema bajo las siguientes condiciones:
a. Manteniendo fijo el caudal y el ángulo de inclinación de la velocidad a la entrada del
distribuidor se resuelve el problema para ángulos de inclinación de las paletas
directrices de 0°, 15°, 30°, 45°, 60° y 75°.
b. Manteniendo fijo el caudal y el ángulo de inclinación de las paletas directrices se
resuelve el problema para ángulos de inclinación de la velocidad de entrada 0, 30° y
60°.
c. Manteniendo fijo el ángulo de inclinación de las paletas directrices y el ángulo de
inclinación de la velocidad a la entrada del distribuidor se resuelve el problema para
los caudales de 679 m3/s y 561 m3/s, correspondiente a una potencia de 216 MW y
180 MW, respectivamente.
86
En la Tabla 4.6 se muestran los valores de las componentes de la velocidad a la entrada
del distribuidor para los diferentes caudales, ángulos de las paletas directrices y ángulo de
incidencia del vector velocidad respecto a la normal de la superficie de entrada.
Tabla 4.6. Componentes de la velocidad a la entrada del distribuidor como función del
caudal, ángulo de las paletas directrices y ángulo de la velocidad respecto a la normal.
4.
Velocidad a la entrada [m/s]
Componente
Componente
Normal
Tangencial
Modelo
Q[m^3/s]
Ángulo
Paletas [°]
Ángulo
Velocidad [°]
1
680,00
0
0
5,00
0,00
2
680,00
15
0
5,00
0,00
3
680,00
30
0
5,00
0,00
4
680,00
45
0
5,00
0,00
5
680,00
60
0
5,00
0,00
6
680,00
75
0
5,00
0,00
7
680,00
0
15
5,00
1,34
8
680,00
0
30
5,00
2,89
9
680,00
0
45
5,00
5,00
10
680,00
0
60
5,00
8,66
11
680,00
45
15
5,00
1,34
12
680,00
45
30
5,00
2,89
13
680,00
45
45
5,00
5,00
14
680,00
45
60
5,00
8,66
15
680,00
75
15
5,00
1,34
16
680,00
75
30
5,00
2,89
17
680,00
75
45
5,00
5,00
18
680,00
75
60
5,00
8,66
19
844,00
0
0
5,73
0,00
20
604,00
0
0
4,10
0,00
21
537,00
0
0
3,65
0,00
22
430,00
0
0
2,92
0,00
Generación de resultados: Una vez resuelto el sistema de ecuaciones generado por la
formulación de volúmenes finitos para las condiciones dadas en la Tabla 4.6, se procedió
a graficar la velocidad a la salida del distribuidor para establecer la relación funcional con
la inclinación de las paletas directrices, la inclinación del vector velocidad a la entrada y
el caudal. Esto se mostrará en la sección 5.1 del capítulo 5.
87
4.4.2. Estrategia Utilizada en el Rodete.
El procedimiento a seguir para simular el rodete es muy similar al establecido en la sección
anterior, la diferencia fundamental radica en que para el rodete lo que interesa es calcular el
torque producido por el fluido en la turbina para diferentes velocidades de giro y posición de
las paletas directrices, así como la potencia desarrollada por la turbina. Los pasos a seguir son
los siguientes:
1.
Construcción de los modelos sólidos o
volúmenes de control: Al igual que en el
distribuidor se utilizó SolidEdge y el
Gambit 2.2.3. Con el SolidEdge se
construyó el volumen de fluidos y el
rodete por separado, y luego se exportó a
Gambit donde se realizaron las
operaciones booleanas que permitieron
obtener el volumen de control mostrado
en la Figura 4.14.
2.
Generación de los modelos de
volúmenes finitos: La malla se realizó
con Gambit 2.2.3, pero no se pudo
realizar un estudio de convergencia con
varios modelos (se utilizaron dos) por
limitaciones
en
la
capacidad
computacional disponible. La malla
obtenida fue la más grande que pudo
resolver el ordenador disponible.
3.
Resolución de los modelos: Para resolver
el problema, al igual que en el
distribuidor, se utilizó el modelo de
turbulencia k-ε realizable. En éste caso,
el interés esta en calcular el momento
respecto al eje del rodete (ver Figura
4.14) que ejerce el fluido, a fin de
Figura 4.14. Dimensiones del volumen de
construir la curva torque y potencia como
control utilizado para modelar el Rodete.
función de la velocidad angular de la
turbina y para cada situación de inclinación de las paletas directrices.
Las velocidades de giro de la turbina que se utilizaron para general las curvas de potencia
y de torque son: 0 rpm, 90 rpm (velocidad nominal), 100 rpm, 150 rpm, 200 rpm y 250
rpm (velocidad de embalamiento).
4.
Generación de resultados: Los resultados que se generan en ésta etapa son el torque y la
potencia como función de la velocidad angular de la turbina, y para efecto de futuros
88
estudios en el tubo de aspiración también se generará el perfil de velocidad a la salida de
la turbina para el caso que el rodete gire a 90 rpm. Estos resultados se mostrarán en la
sección 5.3 del capítulo 5.
4.5. Modelos de Volúmenes Finitos.
4.5.1. Modelos de Volúmenes Finitos del Distribuidor.
Como se mencionara en la sección 4.4.1 de éste capítulo, para realizar la discretización del
distribuidor se realizó un estudio de convergencia, sólo para el volumen de control cuya
inclinación de las paletas directrices es de cero grado (0°), con cinco (5) modelos que se
muestran en la Figura 4.15, y cuyo número de nodos, cantidad de celdas y calidad de la malla,
en base al elemento de peor calidad, se presentan en la Tabla 4.7.
(b)
(a)
(d)
(c)
(e)
Figura 4.15. Modelos de volúmenes finitos utilizados para realizar el estudio de convergencia. (a)
Modelo de 421.914 nodos, (b) Modelo de 657.737 nodos, (c) Modelo de 902.793 nodos, (d) Modelo de
1.057.434 nodos y (e) Modelo de 1.223.055 nodos.
89
Al observar los modelos de volúmenes
finitos utilizados para realizar el estudio
de convergencia (Figura 4.15), se nota
que la malla está mapeada y está formada
por elementos del tipo hexaédrico, donde
la calidad de todos los refinamientos es de
0,65.
Para realizar el estudio de convergencia se
utilizó la norma infinita máxima [45], la
cual se define para dominios discretos
como:
e
∞
= u in +1 − u in
en
Tabla 4.7. Modelos de volúmenes finitos utilizados
para realizar el estudio de convergencia del
distribuidor.
Modelo
Celdas
Nodos
Calidad de
la Malla
1
2
3
4
5
400.888
630.600
869.424
1.020.288
1.181.952
421.914
657.737
902.793
1.057.434
1.223.055
0,649883
0,649883
0,649883
0,649883
0,649883
Ω,
(4.16)
donde u in y u in +1 es el valor de la variable dependiente (velocidad, presión, etc) en el nodo i en
un modelo de cierto refinamiento (n) y un modelo de un refinamiento superior (n+1),
respectivamente.
La Figura 4.16 muestra la gráfica del error (o norma infinita máxima) como función del
número de nodos; allí se puede observar que el modelo de 1.057.434 nodos y 1.020.288
elementos tipo hexaédricos (modelo 4) es lo suficientemente preciso, dado que la desviación
máxima de la velocidad (errV) es menor de 0,6 m/s, y que el número de nodos es aceptable, ya
que el tiempo de convergencia de la solución es lo suficientemente bueno; en ese sentido, este
modelo es el que se selecciona para realizar la simulación.
Figura 4.16. Norma infinita como función del número de nodos.
Gambit tiene la ventaja de que la malla se puede replicar mediante una macro, por lo que las
características de ésta malla se repite para cada uno de los modelos que tienen las paletas
directrices inclinada en 15°, 30°, 45°, 60° y 75°, generándose los modelos de volúmenes
90
finitos mostrados en la Figura 4.17, donde todos tienen un total de 1.057.434 nodos, 1.020.288
elementos tipo hexaédricos y una calidad en el peor elemento de 0,65.
(c)
(b)
(a)
(e)
(d)
Figura 4.17. Modelo de volúmenes finitos para diferentes ángulos de inclinación de las paletas
directrices. (a) 15 °, (b) 30°, (c) 45°, (d) 60° y (e) 75°.
4.5.2. Modelo de Volúmenes Finitos del Rodete.
Para establecer el modelo de volúmenes
finito que se utilizará para simular el
rodete de la turbina, se realizó el estudio
de convergencia con tres modelos de
496.890, 635.392 y 1.014.966 nodos
(Figura 4.18), cuyas características en
cuanto a la calidad de la malla y número
de celdas, se muestra en la Tabla 4.8.
Tabla 4.7. Modelos de volúmenes finitos utilizados
para realizar el estudio de convergencia de la
turbina.
Modelo
Celdas
Nodos
Calidad de
la Malla
1
2
3
1.260.484
1.558.722
2.344.117
496.890
635.392
1.014.966
0,900195
0,945692
0,918055
91
(a)
(b)
(c)
Figura 4.18. Modelo de volúmenes finitos del Rodete. (a) 496890 nodos, (b) 635392 nodos y (c)
1014966 nodos.
Sin embargo, el tercer modelo no se pudo simular debido a las limitaciones computacionales,
por lo que sólo se pudo procesar los dos primeros modelos. Para realizar el estudio de
convergencia se asumió un perfil de velocidad uniforme a la entrada de la turbina y se
determinó el torque (o momento) respecto al el eje de la turbina, siendo ésta variable la
utilizada para calcular el error. El error porcentual en el torque, calculado entre los dos
primero modelos fue de 0,724%, siendo éste un valor bastante aceptable, por lo que se toma, el
modelo de 635.392 nodos para realizar la simulación. Este modelo tiene un total de 1.558.722
elementos (o celdas) distribuidos en 367.016 hexaédricos (23,55%), 8.960 piramidales
(0,57%) y 1.182.746 tetraédricos (75,88%). La calidad de la malla es menor de 0,839.
92
Capítulo 5
Resultados
En este capítulo se presentan los resultados obtenidos de la simulación numérica mediante el
método de volúmenes finitos de las paletas directrices y el rodete de las turbinas Kaplan que
serán instaladas en la Central Hidroeléctrica “Manuel Piar” en Tocoma. Primeramente se
describen los resultados del perfil de velocidad a la salida del distribuidor como función de la
inclinación de las paletas directrices, el caudal y el ángulo de la velocidad a la entrada del
distribuidor, seguidamente se muestran los resultados de la simulación del rodete y se
construyen las curvas de torque, potencia, eficiencia y desnivel del embalse como función del
caudal y las rpm de la turbina. Finalmente se realiza un análisis de los resultados sobre el
comportamiento que tendría las turbinas cuando se instalen en la central hidroeléctrica.
5.1. Perfil de Velocidad a la Salida del Distribuidor.
En esta sección se presentan los resultados del perfil de velocidad a la salida del distribuidor, y
se analiza la variación del dicho perfil como función de:
-
La inclinación de las paletas directrices.
-
Ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor.
-
Y el caudal que pasa a través de las paletas directrices.
Para graficar el perfil de velocidad en la salida del distribuidor se utilizará coordenadas
cilíndricas, es decir:
v r = v r ( r ,θ , z )
⎫
vθ = vθ (r ,θ , z ) ⎪⎪
,
v z = v z ( r ,θ , z ) ⎬
⎪
V = vr2 + vθ2 + v z2 ⎪⎭
(5.1)
donde v r , vθ , v z y V son las componentes radial, tangencia, axial y el módulo de la velocidad,
respectivamente.
Capítulo5. Resultados.
En la salida del distribuidor (ver Figura
5.1) z
es constante, por lo que la
velocidad sólo depende de r y θ . En ese
sentido, las componentes de las
velocidades se expresan en forma
funcional de la siguiente manera:
v r = v r (r ,θ ) ⎫
⎪
vθ = vθ (r ,θ )⎬ .
v z = v z (r , θ ) ⎪⎭
U
(5.2)
La variación de la velocidad a la salida del
distribuidor con respecto a r y θ , se
obtendrá graficando el módulo y sus
componentes como función del radio, r,
para los ángulos θ = 0°; 3,75°; 7,5°;
11,25° y 15° (Figura 5.1). Por otra parte,
los perfiles de velocidad a la salida del
distribuidor se graficarán en forma
adimensional, es decir:
un
ut
H
θ = 11,25°
θ = 15°
Re
R
z
θ
θ
r
θ = 0°
θ = 3,75°
θ = 7,5°
Figura 5.1. Secciones utilizadas
graficar el perfil de velocidad.
⎫
⎪
⎪
⎪
v ⎛r ⎞
= θ ⎜ ,θ ⎟
⎪
un ⎝R ⎠
⎪
⎬,
vz ⎛ r ⎞
=
⎪
⎜ ,θ ⎟
un ⎝R ⎠
⎪
2
2
2⎪
⎛v ⎞ ⎛v ⎞ ⎛v ⎞ ⎪
= ⎜⎜ r ⎟⎟ + ⎜⎜ θ ⎟⎟ + ⎜⎜ z ⎟⎟ ⎪
⎝un ⎠ ⎝un ⎠ ⎝un ⎠ ⎭
para
vr
v ⎛r ⎞
= r ⎜ ,θ ⎟
un un ⎝R ⎠
vθ
un
vz
un
V
un
(5.3)
donde:
u n : Es la componente normal promedio de la velocidad a la entrada del distribuidor (o
lo que es lo mismo, la componente radial).
R: Es el radio mayor de la sección transversal a la salida del distribuidor, cuyo valor es
4312 mm.
r
: Es el radio relativo, para lo cual: 1,613 ≤ r ≤ 4,312 (m) ⇒
R
0,384 ≤
r
≤ 1.
R
0 ≤ θ ≤ 15° : Es la dirección tangencial.
94
Por otra parte, la componente normal promedio de la velocidad a la entrada del distribuidor se
puede relacionar con el caudal que pasa a través del mismo, mediante la ecuación de
continuidad, esto es:
u n=
Q
,
2πRe H
(5.4)
donde:
Q: Caudal de entrada al distribuidor.
Re: Radio a la entrada del distribuidor.
H: La altura del distribuidor (3,18 m).
También, se puede establecer una relación entre la velocidad axial promedio a la salida del
distribuidor y la componente normal promedio de la velocidad a la entrada del mismo,
utilizando la ecuación de continuidad, donde resulta que:
vz =
2 Re Hu n
,
R 2 − Ri2
(
)
(5.5)
donde Ri = 1613 mm es el radio más pequeño a la salida del distribuidor, R = 4312 mm es el
radio mayor y Re = 6856 mm es el radio de la superficie circular a la entrada del distribuidor.
5.1.1. Efecto de la Inclinación de las Paletas Directrices.
Para verificar el efecto de la inclinación de las paletas directrices en el perfil de velocidad a la
salida del distribuidor, se muestra en la Figura 5.2 las líneas de corriente (barra de colores
según el módulo de la velocidad) para un caudal de 680 m3/s, equivalente a que la componente
normal de la velocidad a la entrada del distribuidor sea de 5 m/s, ángulo de incidencia de la
velocidad a la entrada del distribuidor de 0° (componente tangencial de la velocidad es nula) e
inclinación de las paletas directrices de 0°, 15°, 30°, 45°, 60° y 75°. Se puede observar que la
velocidad en la salida del distribuidor varía con el radio, r, pero muy poco con la dirección
tangencial, θ . A fin de ilustrar con más detalle la variación de la velocidad a la salida del
distribuidor, se muestra en la Figura 5.3 las isocurvas (o contornos de velocidad) a la salida de
las paletas directrices y a la salida del distribuidor.
Para validar el comentario del párrafo anterior, se presenta en la Figura 5.4 las gráficas del
módulo de velocidad adimensional (V/un) a la salida del distribuidor como función del radio
adimensional (r/R) y las direcciones tangenciales θ = 0°; 3,75°; 7,5°; 11,25° y 15°; y para las
diferentes inclinaciones de las paletas directrices. Allí se observa que para cada inclinación de
las paletas directrices, las curvas a diferentes direcciones tangenciales, θ , coinciden en
r
r
0,384 ≤ ≤ 0,9 y difieren parcialmente entre 0,9 < < 1 como consecuencia del efecto de
R
R
turbulencia y separación del fluido cerca de la pared. El efecto es más pronunciado para
inclinaciones de paletas directrices mayores o igual a 45°.
95
V[m/s]
V[m/s]
(b)
(a)
V[m/s]
V[m/s]
(d)
(c)
V[m/s]
V[m/s]
(e)
(f)
Figura 5.2. Líneas de corrientes a través del distribuidor para un caudal de 680 m3/s, velocidad de
entrada normal a la superficie e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d)
45°, (e) 60° y (f) 75°.
96
V[m/s]
V[m/s]
(b)
(a)
V[m/s]
V[m/s]
(c)
(d)
V[m/s]
V[m/s]
(e)
(f)
Figura 5.3. Curvas de velocidad constante a la salida del distribuidor y el álabe para un caudal de
680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°.
97
También se puede observar en las gráficas de la Figura 5.4, que la variación que existe en la
r
magnitud del módulo de la velocidad en 0,9 < < 1 para las diferentes posiciones
R
tangenciales, θ , es pequeña, por lo que se puede despreciar éste efecto, y asumir que el
módulo de la velocidad a la salida del distribuidor es sólo función del radio r, es decir:
1 ⎛r⎞
V
= V⎜ ⎟ .
un un ⎝ R ⎠
3,5
3,5
3,0
3,0
2,5
2,5
V
un
2,0
V/Ve
2,0
V/Ve
V
un
(5.6)
1,5
1,5
1,0
1,0
(a)
0,5
(b)
0,5
0,0
0,0
0,3
0,4
0,5
Ang_0°
Ang_3.75°
0,6
0,7
Ang_7.5°
0,8
Ang_11.25°
0,9
0,3
1,0
Ang_15°
r/R
0,4
0,5
Ang_0°
Ang_3.75°
0,6
0,7
Ang_7.5°
0,8
Ang_11.25°
0,9
1,0
r/R
Ang_15°
4,5
3,5
4,0
3,0
3,5
2,5
3,0
V
un
V
un
V/Ve
V/Ve
2,0
1,5
2,5
2,0
1,5
1,0
1,0
(c)
0,5
(d)
0,5
0,0
0,0
0,3
0,4
Ang_0°
0,5
Ang_3.75°
0,6
0,7
Ang_7.5°
0,8
Ang_11.25°
0,9
0,3
1,0
Ang_15°
r/R
5,0
8,0
4,5
7,0
0,4
0,5
Ang_0°
Ang_3.75°
0,6
0,7
Ang_7.5°
0,8
Ang_11.25°
0,9
1,0
Ang_15°
r/R
4,0
6,0
3,5
5,0
3,0
V
un
2,5
2,0
V/Ve
V/Ve
V
un
4,0
3,0
1,5
2,0
1,0
(e)
0,5
(f)
1,0
0,0
0,0
0,3
0,4
0,5
Ang_0°
Ang_3.75°
0,6
0,7
Ang_7.5°
0,8
Ang_11.25°
0,9
Ang_15°
1,0
r/R
0,3
0,4
0,5
Ang_0°
Ang_3.75°
0,6
0,7
Ang_7.5°
0,8
0,9
Ang_11.25°
Ang_15°
1,0
r/R
Figura 5.4. Módulo de la velocidad a la salida del distribuidor para un caudal de 680 m3/s e
inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°.
98
0,5
0,5
(a)
r/R
0,0
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,3
1,0
r/R
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-0,5
-0,5
-1,0
-1,0
V/Ve
vz
un
V/Ve
vz
un
(b)
0,0
-1,5
-1,5
-2,0
-2,0
-2,5
-2,5
-3,0
-3,0
-3,5
-3,5
Ang_0°
0,5
Ang_3.75°
Ang_7.5°
Ang_11.25°
Ang_15°
(c)
r/R
0,0
0,3
Ang_0°
0,5
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Ang_3.75°
Ang_7.5°
Ang_11.25°
Ang_15°
(d)
r/R
0,0
0,3
1,0
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-0,5
-0,5
-1,0
-1,0
vz
un
V/Ve
V/Ve
vz
-1,5
un
-1,5
-2,0
-2,0
-2,5
-2,5
-3,0
-3,0
-3,5
-3,5
Ang_0°
0,5
Ang_3.75°
Ang_7.5°
Ang_11.25°
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Ang_7.5°
Ang_11.25°
Ang_15°
r/R
0,0
r/R
0,0
Ang_3.75°
(f)
0,5
(e)
0,3
Ang_0°
Ang_15°
-0,5 0,3
1,0
-0,5
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-1,0
-1,5
-1,0
vz
un
V/Ve
V/Ve
vz
-1,5
un
-2,0
-2,0
-2,5
-3,0
-3,5
-2,5
-4,0
-4,5
-3,0
-5,0
-3,5
-5,5
Ang_0°
Ang_3.75°
Ang_7.5°
Ang_11.25°
Ang_15°
Ang_0°
Ang_3.75°
Ang_7.5°
Ang_11.25°
Ang_15°
Figura 5.5. Componente axial de la velocidad a la salida del distribuidor para un caudal de 680 m3/s
e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°.
Por otra parte, se presentan en las Figuras 5.5, 5.6 y 5.7 las gráficas de las componentes axial,
radial y tangencial de la velocidad, respectivamente, como función del radio r y las
direcciones tangenciales θ = 0°; 3,75°; 7,5°; 11,25° y 15°, para las diferentes inclinaciones de
las paletas directrices. En general se puede observar que las componentes axiales, radiales y
tangenciales prácticamente no varía con la dirección tangencial, θ , en 0,384 ≤ r/R ≤ 0,8 , pero
si existe una ligera variación entre 0,8 ≤ r/R ≤ 1 ; donde dicha variación tiende a aumentar para
99
inclinación de las paletas directrices entre 30° y 60°. Sin embargo, dado que la variación de las
componentes de la velocidad en 0,8 ≤ r/R ≤ 1 con θ , no es significativa, se puede asumir de
nuevo que ellas sólo dependen del radio r, por lo que la relación funcional se puede expresar
de la siguiente manera:
vr
1 ⎛r⎞
=
vr ⎜ ⎟,
un un ⎝ R⎠
0,2
vθ
1 ⎛r⎞
=
vθ ⎜ ⎟,
un un ⎝R⎠
0,2
(a)
r/R
0,0
0,3
vr
un
vz
1 ⎛r⎞
vz ⎜ ⎟ .
=
un un ⎝R⎠
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,3
1,0
-0,2
-0,4
-0,4
vr
un
r/R
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
-0,6
-0,8
-0,8
-1,0
-1,0
-1,2
-1,2
-1,4
-1,4
-1,6
-1,6
Ang_0°
0,2
Ang_3.75°
Ang_7.5°
Ang_11.25°
Ang_15°
0,3
Ang_0°
Ang_3.75°
Ang_7.5°
Ang_11.25°
Ang_15°
1,0
(c)
(d)
r/R
0,0
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,5
-0,2
-0,4
vr
un
1,0
V/Ve
V/Ve
(b)
0,0
-0,2
-0,6
(5.7)
r/R
vr0,0
0,3
un
0,4
V/Ve
V/Ve
-0,6
-0,8
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-0,5
-1,0
-1,2
-1,0
-1,4
-1,5
-1,6
Ang_0°
0,2
Ang_3.75°
Ang_7.5°
Ang_11.25°
1,5
(e)
0,0
0,3
Ang_0°
Ang_15°
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Ang_7.5°
Ang_11.25°
Ang_15°
(f)
r/R
0,4
Ang_3.75°
1,0 1,0
-0,2
0,5
-0,4
vr
0,0
un 0,3
-0,6
V/Ve
V/Ve
vr
un
-0,8
r/R
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-0,5
-1,0
-1,2
-1,0
-1,4
-1,6
Ang_0°
-1,5
Ang_3.75°
Ang_7.5°
Ang_11.25°
Ang_15°
Ang_0°
Ang_3.75°
Ang_7.5°
Ang_11.25°
Ang_15°
Figura 5.6. Componente radial de la velocidad a la salida del distribuidor para un caudal de 680
m3/s e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°.
100
0,25
0,1
r/R
0,0
0,20
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-0,1
0,15
-0,2
vθ
un
V/Ve
V/Ve
vθ
un
0,10
-0,3
-0,4
0,05
(a)
-0,5
0,00
0,3
0,4
0,5
Ang_0°
Ang_3.75°
0,6
0,7
0,8
Ang_7.5°
Ang_11.25°
0,1
Ang_0°
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Ang_7.5°
Ang_11.25°
Ang_15°
0,5
1,0
r/R
0,0
-0,3
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-0,5
-0,5
vθ
un
-1,0
V/Ve
V/Ve
vθ
un
Ang_3.75°
1,0
r/R
-0,1 0,3
(b)
-0,6
0,9 r/R 1,0
Ang_15°
-0,7
-1,5
-0,9
-2,0
-1,1
-2,5
-1,3
-3,0
(c)
-1,5
Ang_0°
Ang_3.75°
Ang_7.5°
Ang_11.25°
Ang_15°
Ang_0°
-0,5 0,3
r/R
0,0
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Ang_7.5°
Ang_11.25°
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Ang_15°
r/R
0,9
1,0
-1,0
1,0
-0,5
-1,5
-2,0
-1,0
vθ
un
-1,5
-2,5
-3,0
V/Ve
V/Ve
Ang_3.75°
0,0
0,5
vθ
un
(d)
-3,5
-2,0
-3,5
-4,0
-2,5
-4,5
-5,0
-3,0
-3,5
-4,0
-5,5
(e)
-6,0
(f)
-6,5
Ang_0°
Ang_3.75°
Ang_7.5°
Ang_11.25°
Ang_15°
Ang_0°
Ang_3.75°
Ang_7.5°
Ang_11.25°
Ang_15°
Figura 5.7. Componente tangencial de la velocidad a la salida del distribuidor para un caudal de
680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°.
Es importante observar en las gráficas de la Figura 5.7, que la componente tangencial de la
velocidad es poco significativa para inclinación de las paletas directrices de 0° pero su
magnitud aumenta a media que aumenta la inclinación de las paletas directrices.
También se puede observar en las gráficas del módulo de la velocidad, componentes axial,
radia y tangencial mostradas en las Figuras 5.4, 5.5, 5.6 y 5.7, respectivamente, que el perfil de
velocidad cambia con la inclinación de las paletas directrices, y que para las componentes
axial, radial y el módulo de la velocidad, la variación es poco significativa para inclinación de
las paletas directrices menores de 30°.
101
Para visualizar con más detalles el efecto de la variación del perfil de velocidad a la salida del
distribuidor como función de la inclinación de las paletas directrices, se presenta en la Figura
5.8, las gráficas del módulo, las componentes axial, radial y tangencial de la velocidad como
función del radio, para la dirección tangencial θ = 0° e inclinaciones de las paletas directrices
de 0°, 15°, 30°, 45°, 60° y 75°. Se observa, que en efecto, la variación del módulo de
velocidad, componentes axial, radial y tangencial, se hace más significativo para inclinaciones
de las paletas directrices superior a 30°, mientras que se puede despreciar para inclinaciones
de paletas directrices inferiores a 30°.
0,5
8
r/R
0,0
7
-0,5
6
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-1,0
vz
un
V /V e
5
V /V e
V
un 4
-1,5
-2,0
-2,5
3
-3,0
2
-3,5
-4,0
1
(a)
(b)
-4,5
0
-5,0
0,3
0,4
P_0°
0,5
P_15°
0,6
P_30°
0,7
P_45°
0,8
P_60°
0,9
1,0
P_0°
P_15°
P_30°
P_45°
P_60°
P_75°
r/R
P_75°
0,5
1,5
0,0
-0,5 0,3
1,0
0,4
0,5
0,6
0,7
P_30°
P_45°
0,8
0,9
r/R
1,0
V/Ve
-1,0
-1,5
0,5
-2,0
r/R
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
vθ
un
V /V e
vr
un 0,0
-2,5
-3,0
-3,5
-4,0
-0,5
-4,5
-5,0
-1,0
-5,5
(c)
-6,0
-6,5
-1,5
P_0°
(d)
P_15°
P_30°
P_45°
P_60°
P_75°
P_0°
P_15°
P_60°
P_75°
Figura 5.8. Perfil de velocidad a la salida del distribuido para diferentes inclinaciones de las paletas
directrices: (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d) tangencial.
Para visualizar el comportamiento del efecto que tiene la inclinación de las paletas directrices,
se presenta en la Figura 5.9, las curvas del módulo de la velocidad, componentes axial, radial y
tangencial de la velocidad como función de la inclinación de las paletas directrices para varias
posiciones del radio relativo (o adimensional). Se observa que no es simple establecer una
relación funcional del perfil de velocidad como función del ángulo de inclinación de las
paletas directrices.
102
α
0,0
8,0
-0,5 0
7,0
10
40
50
60
70
80
-1,5
V
5,0
un
4,0
-2,0
-2,5
vz
un -3,0
-3,5
3,0
2,0
(a)
1,0
-4,0
0,0
0
10
20
r/R=0,4
r/R=0,8
30
40
r/R=0,5
r/R=0,9
50
r/R=0,6
60
70
α
-4,5
80
(b)
-5,0
r/R=0,4
r/R=0,8
r/R=0,7
1,5
1
1,0
0
0,5
-1
r/R=0,5
r/R=0,9
r/R=0,6
r/R=0,7
α
0
10
20
30
40
50
60
70
80
α
0
10
20
30
40
50
60
70
-0,5
vθ -2
un
80
-3
-4
-1,0
-1,5
30
-1,0
6,0
vr
0,0
un
20
-5
(c)
(d)
-6
-2,0
r/R=0,4
r/R=0,8
r/R=0,5
r/R=0,9
r/R=0,6
r/R=0,7
r/R=0,4
r/R=0,8
r/R=0,5
r/R=0,9
r/R=0,6
r/R=0,7
Figura 5.9. Efecto de la inclinación de las paletas directrices sobre el perfil de velocidad a la salida
del distribuidor: (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d) tangencial.
5.1.2. Efecto del Ángulo de Incidencia de la Velocidad a la Entrada del
distribuidor.
Para ilustrar el efecto del ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor
sobre el perfil de velocidad a la salida del mismo, se muestra en la Figura 5.10 las gráficas del
módulo de la velocidad en forma adimensional y las componentes axial, radial y tangencial
para ángulos de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor de 0°, 15°, 30°, 45° y
60°, inclinación de las paletas directrices de 0° y caudal de 680 m3/s. Se observa que el perfil
de velocidad cambia para ángulos de incidencia superior a 45°, claro que el cambio del perfil
no es tan significativo en el módulo de la velocidad y en la componente axial, pero es más
importante en la componente radial y tangencial.
103
4,0
r/R
0,0
0,3
3,5
-0,5
3,0
-1,0
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
vz -1,5
un
2,5
V/Ve
V /V e
V
un 2,0
-2,0
1,5
-2,5
1,0
-3,0
0,5
-3,5
0,0
-4,0
0,3
(a)
0,4
0,5
0°
0,6
15°
0,7
30°
0,8
45°
0,9
60°
(b)
1,0
r/R
r/R
0,0
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0°
15°
30°
45°
60°
r/R
1,0
1,0
0,5
-0,5
vr
un
V/Ve
V /V e
vθ 0,0
un 0,3
-1,0
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-0,5
-1,5
-2,0
-1,0
(c)
-1,5
0°
15°
30°
45°
60°
(d)
0°
15°
30°
45°
60°
Figura 5.10. Velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices de 0°,
caudal de 680 m3/s y ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor de 0°, 15°,
30°, 45° y 60°. (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d) tangencial.
También se aprecia en las Figuras 5.11 y 5.12, el efecto del ángulo de incidencia de la
velocidad a la entrada del distribuidor para un caudal de 680 m3/s e inclinación de las paletas
directrices de 45° y 75° respectivamente. Se observa en ambas figuras, que al igual que en el
caso anterior, el módulo de la velocidad no cambia de manera importante con el ángulo de
incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor; sin embargo, se nota que la variación
más importante ocurre para la componente tangencial.
Como la variación en el perfil de velocidad a la salida del distribuidor no cambia en forma
importante con el ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del mismo, se puede
despreciar su efecto, y asumir que el ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del
distribuidor no afecta el perfil de velocidad a la salida del mismo.
104
4,5
0,5
4,0
0,0
r/R
0,3
3,5
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-0,5
3,0
V/Ve
v z -1,0
un
V/Ve
V 2,5
un
-1,5
2,0
1,5
-2,0
1,0
-2,5
0,5
(a)
(b)
-3,0
0,0
0,3
0,4
0,5
0°
0,6
15°
0,7
30°
0,8
45°
0,9
60°
-3,5
1,0
r/R
0°
r/R
1,0
15°
30°
45°
60°
r/R
0,5
0,0
0,3
0,5
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-0,5
vr
0,0
un
0,3
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
V/Ve
V/Ve
vθ -1,0
0,4
1,0 u n
-1,5
-0,5
-2,0
-2,5
-1,0
-3,0
(c)
(d)
-3,5
-1,5
0°
15°
30°
45°
0°
60°
15°
30°
45°
60°
30°, 45° y 60°. (a) Módulo de la velocidad, Componentes (b) axial, (c) radial y (d) tangencial.
8,0
7,0
-0,5
6,0
-1,0
V
u n 4,0
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
v z -2,0
u n -2,5
V/Ve
V/Ve
0,3
-1,5
5,0
3,0
-3,0
2,0
1,0
r/R
0,0
-3,5
-4,0
(a)
-4,5
0,0
0,3
0,4
0,5
0°
0,6
15°
0,7
30°
0,8
45°
0,9
60°
1,5
1,0
r/R
r/R
(b)
-5,0
0°
15°
30°
45°
60°
r/R
0,5
1,0
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-1,5
vθ
u n -2,5
V/Ve
V/Ve
vr
un
-0,5 0,3
0,5
0,0
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-3,5
-0,5
-4,5
-1,0
-5,5
(c)
-1,5
(d)
-6,5
0°
15°
30°
45°
60°
0°
15°
30°
45°
60°
30°, 45° y 60°. (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d) tangencial.
105
5.1.3. Efectos del Caudal.
El efecto del caudal sobre el perfil de velocidad a la salida del distribuidor se puede apreciar
v
y , θ
como
en la Figura 5.13, donde se presentan las relaciones V , v z , v r
un
un
un
un
función del radio y los caudales, para una inclinación de las paletas directrices de 0° y ángulo
de inclinación de la velocidad a la entrada del distribuidor de 0°. Se observar que el perfil de
velocidad no varía con Q y sólo depende del radio r.
0,0
4,0
0,3
3,0
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-1,0
V
un
vz
un
V/Ve
V/Ve
0,4
2,0
-2,0
1,0
-3,0
(a)
(b)
0,0
0,3
0,4
0,5
3
3
685
/s
844
/s
785 m
MCS
685 m
MCS
0,6
0,7
0,8
3
3
604
/s
537
/s
561 m
MCS
500 m
MCS
0,9
1,0
3
430
/s r/R
400 m
MCS
-4,0
3
844
/s
785 m
MCS
3
3
/s
685 m
MCS
604 m
/s
561
MCS
0,4
0,5
3
685
/s
685 m
MCS
604
/s
561 m
MCS
3
3
430
/s r/R
400 m
MCS
0,8
0,9
1,0
3
430
/s r/R
400 m
MCS
537
/s
500 m
MCS
0,3
0,0
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-0,5
V/Ve
vθ 0,2
un
V/Ve
vr
un
-1,0
0,1
-1,5
(d)
(c)
0,0
-2,0
3
785
844 MCS
m /s
3
685 MCS
m /s
3
561
604 MCS
m /s
3
537 MCS
m /s
500
3
430
/s r/R
400 m
MCS
0,3
3
844
/s
785 m
MCS
0,6
0,7
3
3
537
/s
500 m
MCS
ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor de 0° y caudales de 785, 680, 561,
500 y 400 m3/s. (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d) tangencial.
5.1.4. Relación Funcional de Velocidad a la Salida del Distribuidor.
Como se pudo demostrar anteriormente, la velocidad adimensional a la salida del distribuidor
sólo depende del radio r y el ángulo de inclinación α de las paletas directrices. En ese sentido,
se presenta a continuación las relaciones funcionales para las componentes axial, radial y
tangencial de la velocidad adimensional como función del radio y la inclinación de las paletas
directrices, que se obtienen a partir de una curva promedio entre todas las direcciones
106
tangenciales. En otras palabras, la curva que se interpola es la resultante de la media de los
valores de todas las direcciones tangenciales θ = 0°; 3,75°; 7,5°; 11,25° y 15°. En lo sucesivo,
a esta curva se le llamará Curva Real.
5.1.4.1. Relación para Inclinación del las Paletas Directrices entre 0° y 30°.
Como se observó anteriormente, el perfil de velocidad no cambia significativamente para
inclinación de las paletas directrices menores a 30°, por lo que las componentes de la
velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices de
0° ≤ α ≤ 30° , estarán dada por:
Componente Axial:
4
3
2
⎤
vz ⎡ ⎛ r ⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
= ⎢a4 ⎜ ⎟ + a3 ⎜ ⎟ + a2 ⎜ ⎟ + a1 ⎜ ⎟ + a0 ⎥
u n ⎢⎣ ⎝ R ⎠
⎝ R⎠
⎝ R⎠
⎝ R⎠
⎥⎦
⎛R−r⎞
⎛ r − Ri ⎞
⎟⎟
⎟⎟ tanh⎜⎜
tanh⎜⎜
δ
δ
R
R
⎝ 2 ⎠
⎝ 1 ⎠
si
r
r
≤ ≤ 1,
Ri R
(5.8)
donde u n se calcula con la ecuación (5.4) y las constantes de la ecuación (5.8) son:
R = 4,509 m;
a1 = 50,958647;
a4 = -42,035424;
Ri = 1,746 m;
a2 = -116,210339;
δ 1 = 0,0043;
a0 = -11,169998;
a3 = 115,838485;
δ 2 = 0,0060.
El coeficiente de ajuste de la curva dada por la ecuación (5.8), es: R2 = 0,995585.
Componente Radial:
6
5
4
3
2
⎤
vr ⎡ ⎛ r ⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
= ⎢b6 ⎜ ⎟ + b5 ⎜ ⎟ + b4 ⎜ ⎟ + b3 ⎜ ⎟ + b2 ⎜ ⎟ + b1 ⎜ ⎟ + b0 ⎥
u n ⎢⎣ ⎝ R ⎠
⎝R⎠
⎝R⎠
⎝R⎠
⎝R⎠
⎝R⎠
⎦⎥
(5.9)
⎛ r − Ri ⎞
⎛R−r⎞
r
r
⎟⎟ tanh⎜⎜
⎟⎟
tanh⎜⎜
≤ ≤ 1,
si
Ri R
⎝ δ4R ⎠
⎝ δ3R ⎠
donde las constantes de la ecuación (5.9) son:
R = 4,509 m;
b1 = -611,1121;
b4 = 6387,0447;
δ 3 = 0,0040;
Ri = 1,746 m;
b2 = 2516,6934;
b5 = -3948,0222;
δ 4 = 0,0050.
b0 = 59,9603;
b3 = -5405,8524;
b6 = 1000,4936;
107
Componente Tangencial:
4
3
2
⎧⎡ ⎛ r ⎞5
⎤
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
c
c
c
c
+
+
+
⎪⎢ 5 ⎜ ⎟
⎟
⎟
⎟ + c1 ⎜ ⎟ + c0 ⎥
4⎜
3⎜
2⎜
⎝ R⎠
⎝ R⎠
⎝ R⎠
⎝ R⎠
⎪⎢⎣ ⎝ R ⎠
⎥⎦
⎪
⎛ r − Ri ⎞
r r
⎪
⎟⎟ si
⎜⎜
tanh
≤ ≤ 0,62;
⎪
Ri R
vθ ⎪
⎝ δ5 R ⎠
=⎨
5
4
3
2
u n ⎪⎡ ⎛ r ⎞6
⎤
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
d
d
d
d
d
d
d
+
+
+
+
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎥
⎢
6
5
4
3
2
1
0
⎪
R⎠
R⎠
R⎠
R⎠
R⎠
R⎠
⎝
⎝
⎝
⎝
⎝
⎝
⎢
⎦⎥
⎣
⎪
⎪
⎛ R−r ⎞
r
⎪
⎟⎟ si 0,62 < ≤ 1,
tanh⎜⎜
⎪⎩
R
⎝ δ6 R ⎠
(5.10)
R = 4,509 m;
c1 = -844,148185;
c4 = 7250,70644;
d1 = 1437,5621;
d4 = -7105,49464;
δ 5 = 0,0065;
Ri = 1,746 m;
c2 = 3467,42593;
c5 = -2941,04488;
d2 = -4540,15665;
d5 = 3526,16808;
δ 6 = 0,0035.
c0 = 82,283903;
c3 = -7106,01607;
d0 = -188,062621;
d3 = 7595,80403;
d6 = -725,629696;
La curva interpolante dada por la ecuación (5.10) tiene un coeficiente de ajuste de R2 =
0,9989.
La representación gráfica de las curvas para cada componente de la velocidad a la salida del
distribuidor se muestra en la Figura 5.14, donde también se hace la comparación de las curvas
obtenida en la simulación (curvas reales) y las curvas interpolantes.
5.1.4.2. Relación para Inclinación del las Paletas Directrices de 45°.
Las componentes de la velocidad a la salida del distribuidor para una inclinación de las paletas
directrices de 45° están dadas por las siguientes correlaciones:
Componente Axial:
5
4
3
2
⎤
vz ⎡ ⎛ r ⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
= ⎢a5 ⎜ ⎟ + a4 ⎜ ⎟ + a3 ⎜ ⎟ + a2 ⎜ ⎟ + a1 ⎜ ⎟ + a0 ⎥
u n ⎢⎣ ⎝ R ⎠
⎝R⎠
⎝R⎠
⎝R⎠
⎝R⎠
⎥⎦
⎛ r − Ri ⎞
⎛ R−r ⎞
r r
⎟⎟ tanh⎜⎜
⎟⎟ si
tanh⎜⎜
≤ ≤ 1,
R
R
R
R
δ
δ
1
2
i
⎝
⎠
⎝
⎠
(5.11)
108
r/R
0,0
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
-0,2
-0,5
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-0,4
-1,0
-0,6
vz -1,5
un
vr -0,8
un
-1,0
-2,0
-2,5
-3,0
r/R
0,0
1,0
-1,2
-1,4
(a)
-1,6
-3,5
Curva Real
(b)
Interpolante
Curva Real
Interpolante
0,20
vθ
un
0,16
0,12
0,08
0,04
(c)
0,00
0,3
0,4
0,5
Curva Real
0,6
0,7
Interpolante 1
0,8
0,9
Interpolante 2
1,0
r/R
velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices entre 0° a 30°. (a)
Componente axial, (b) componente radial y (c) componente tangencial.
R = 4,509 m;
a1 = -1125,53548;
a4 = 3278,27525;
Ri = 1,746 m;
a2 = 3238,6555;
a5 = -916,173683;
a0 = 153,485493;
a3 = -4631,89197;
δ 1 = 0,0061;
δ 2 = 0,0054.
Componente Radial:
6
5
4
3
2
⎤
vr ⎡ ⎛ r ⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
= ⎢b6 ⎜ ⎟ + b5 ⎜ ⎟ + b4 ⎜ ⎟ + b3 ⎜ ⎟ + b2 ⎜ ⎟ + b1 ⎜ ⎟ + b0 ⎥
u n ⎢⎣ ⎝ R ⎠
⎝R⎠
⎝R⎠
⎝R⎠
⎝R⎠
⎝R⎠
⎥⎦
⎛ r − Ri
tanh⎜⎜
⎝ δ3R
⎞
⎛R−r⎞
⎟⎟ tanh⎜⎜
⎟⎟
δ
R
⎝ 4 ⎠
⎠
si
(5.12)
r
r
≤ ≤ 1,
Ri R
R = 4,509 m;
Ri = 1,746 m;
b0 = -260,004411;
109
b1 = 2359,78995;
b4 = -18338,6453;
δ 3 = 0,0069;
b2 = -8741,31064;
b5 = 10384,8948;
δ 4 = 0,0024.
b3 = 17003,9538;
b6 = -2409,39415;
5
4
3
2
⎧⎡ ⎛ r ⎞6
⎤
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎪⎢c6 ⎜ ⎟ + c5 ⎜ ⎟ + c4 ⎜ ⎟ + c3 ⎜ ⎟ + c2 ⎜ ⎟ + c1 ⎜ ⎟ + c0 ⎥
⎝ R⎠
⎝ R⎠
⎝ R⎠
⎝ R⎠
⎝ R⎠
⎪⎣⎢ ⎝ R ⎠
⎦⎥
⎪
⎛ r − Ri ⎞
r r
⎪
⎟⎟ si
≤ ≤ 0,83;
tanh⎜⎜
⎪
Ri R
vθ ⎪
⎝ δ5 R ⎠
=⎨
(5.13)
5
4
3
2
u n ⎪⎡ ⎛ r ⎞6
⎤
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎪⎢d6 ⎜ R ⎟ + d5 ⎜ R ⎟ + d 4 ⎜ R ⎟ + d3 ⎜ R ⎟ + d 2 ⎜ R ⎟ + d1 ⎜ R ⎟ + d0 ⎥
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎥⎦
⎪⎢⎣ ⎝ ⎠
⎪
⎛ R−r ⎞
r
⎪
⎟⎟ si 0,83 < ≤ 1,
tanh⎜⎜
⎪⎩
R
⎝ δ6 R ⎠
R = 4,509 m;
c1 = -13618,6016;
c4 = 138851,933;
d0 = 801630,661;
d3 = -20363124,8;
d6 = 1266079,16;
Ri = 1,746 m;
c2 = 54874,159;
c5 = -87163,3806;
d1 = -5220352,15;
d4 =16463632;
δ 5 = 0,0025;
c0 = 1393,24697;
c3 = -116903,428;
c6 = 22591,35;
d2 = 14133988,4;
d5 = -7081853,99;
δ 6 = 0,0028.
La curva interpolante dada por la ecuación (5.13 tienen un coeficiente de ajuste de R2 =
0,9987.
Las gráficas de las curvas interpolantes para cada componente de la velocidad a la salida del
distribuidor para el caso de una inclinación de las paletas directrices de 45°, se muestran en la
Figura 5.15; allí también se comparan dichas interpolantes con las curvas obtenida en la
simulación (curvas reales).
5.1.4.3. Relación para Inclinación del las Paletas Directrices de 75°.
Las correlaciones de las componentes de velocidad para una inclinación de las paletas
directrices de 75° son las siguientes:
110
1,2
0,5
r/R
0,0
-0,5
0,8
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
vr
un
vz -1,0
un -1,5
0,4
r/R
0,0
0,3
-2,0
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-0,4
-2,5
-3,0
-0,8
(b)
(a)
-3,5
-1,2
Curva Real
Curva Real
Interpolante
Interpolante
r/R
0,00
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-0,50
vθ
un
-1,00
-1,50
-2,00
-2,50
-3,00
(c)
-3,50
Curva Real
Interpolante 1
Interpolante 2
Componente Axial:
6
5
4
3
2
⎤
vz ⎡ ⎛ r ⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
= ⎢a6 ⎜ ⎟ + a5 ⎜ ⎟ + a4 ⎜ ⎟ + a3 ⎜ ⎟ + a2 ⎜ ⎟ + a1 ⎜ ⎟ + a0 ⎥
u n ⎢⎣ ⎝ R ⎠
⎝R⎠
⎝R⎠
⎝R⎠
⎝R⎠
⎝R⎠
⎥⎦
⎛ r − Ri ⎞
⎛ R−r ⎞
r r
⎟⎟ tanh⎜⎜
⎟⎟ si
tanh⎜⎜
≤ ≤ 1,
Ri R
⎝ δ1 R ⎠
⎝ δ2R ⎠
(5.14)
Donde las constantes de la ecuación (5.14) son:
R = 4,509 m;
a1 = -2683,626364;
a4 = 22688,65894;
δ 1 = 0,005;
Ri = 1,746 m;
a0 = 281,127113;
a2 = 10260,95932; a3 = -20465,04166;
a5 = -13351,85686; a6 = 3265,632999;
δ 2 = 0,002.
111
Componente Radial:
6
5
4
3
2
⎤
vr ⎡ ⎛ r ⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
= ⎢b6 ⎜ ⎟ + b5 ⎜ ⎟ + b4 ⎜ ⎟ + b3 ⎜ ⎟ + b2 ⎜ ⎟ + b1 ⎜ ⎟ + b0 ⎥
u n ⎢⎣ ⎝ R ⎠
⎝R⎠
⎝R⎠
⎝R⎠
⎝R⎠
⎝R⎠
⎦⎥
⎛ r − Ri
tanh⎜⎜
⎝ δ3R
⎞
⎛R−r⎞
⎟⎟ tanh⎜⎜
⎟⎟
⎝ δ4R ⎠
⎠
si
(5.15)
r
r
≤ ≤ 1,
Ri R
R = 4,509 m;
b1 = -2847,45949;
b4 = 29317,4196;
δ 3 = 0,0027;
Ri = 1,746 m;
b2 = 11655,6462;
b5 = -18052,6874;
δ 4 = 0,003.
b0 = 282,542629;
b3 = -24892,9634;
b6 = 4536,3277;
La curva dada por la ecuación (5.15) tiene un coeficiente de ajuste de R2 = 0,9991.
6
5
4
3
2
⎤
vθ ⎡ ⎛ r ⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
⎛r⎞
= ⎢c6 ⎜ ⎟ + c5 ⎜ ⎟ + c4 ⎜ ⎟ + c3 ⎜ ⎟ + c2 ⎜ ⎟ + c1 ⎜ ⎟ + c0 ⎥
u n ⎢⎣ ⎝ R ⎠
⎝ R⎠
⎝ R⎠
⎝ R⎠
⎝ R⎠
⎝ R⎠
⎥⎦
⎛ R−r ⎞
⎛ r − Ri ⎞
r r
⎟⎟ si
⎟⎟ tanh⎜⎜
tanh⎜⎜
≤ ≤ 1,
Ri R
⎝ δ6 R ⎠
⎝ δ5R ⎠
(5.16)
R = 4,509 m;
c1 = 212,171135;
c4 = -895,282344;
δ 5 = 0,004;
Ri = 1,746 m;
c2 = -767,042451;
c5 = -85,561733;
δ 6 = 0,0025.
c0 = -23,499935;
c3 = 1305,00099;
c6 = 253,109575;
El coeficiente de ajuste de la interpolante dada por la ecuación (5.16), es: R2 = 0,9998.
Las gráficas de las curvas interpolantes para cada componente de la velocidad a la salida del
distribuidor en el caso de que las paletas directrices estén inclinadas a 75°, se muestran en la
Figura 5.16; allí también se comparan dichas interpolantes con las curvas obtenida en la
simulación (curvas reales).
112
r/R
0,0
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,0
-1,0
0,6
-2,0
vr 0,2
un
vz
un -3,0
r/R
-0,2 0,3
-4,0
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-0,6
-5,0
-1,0
(a)
-6,0
Curva Real
(b)
-1,4
Interpolante
Curva Real
Interpolante
r/R
0,00
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-1,00
-2,00
vθ
un -3,00
-4,00
-5,00
-6,00
(c)
-7,00
Curva Real
Interpolante
5.2. Simulación de la Turbina.
5.2.1. Perfil de Velocidad.
A fin de visualizar el flujo a través de su paso por la turbina, se muestra en la Figura 5.17 las
líneas de corriente para las condiciones de operación de velocidades de giro de la turbina de 0
rpm, 50 rpm, 90 rpm (velocidad nominal), 150 rpm y 250 rpm (velocidad de embalamiento),
para un caudal de 680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de 0°. Se puede observar
que la máxima velocidad ocurre en la zona donde el flujo pasa a través de los álabes; y en ésta
zona la velocidad se incrementa a mediada que aumenta la velocidad de giro de la turbina. Es
importante destacar, que la velocidad máxima cuando la turbina está detenida esta por el orden
de 70,9 m/s y puede alcanzar los 72 m/s cuando la turbina gira a 250 rpm. Cuando la turbina
gira a la velocidad nominal (90 rpm), la velocidad máxima del flujo llega a 71,2 m/s.
113
(b)
(a)
(d)
(c)
(e)
Figura 5.17. Líneas de corriente del flujo a través de la turbina para un caudal de 680 m3/s,
inclinación de las paletas directrices de 0° y velocidades de giro de: (a) 0 rpm, (b) 50 rpm, (c) 90
rpm, (d) 150 rpm y (e) 250 rpm.
5.2.2. Distribución de Presión y Esfuerzo Cortante sobre la Turbina.
La Figura 5.18 muestra la distribución de presión estática sobre la turbina para las condiciones
de operación de velocidades de giro de 0 rpm, 50 rpm, 90 rpm, 150 rpm y 250 rpm, para un
caudal de 680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de 0°. Se observar, que máxima la
presión estática se ubica en la parte superior de los álabes, mientras que la mínima esta en la
punta de los mismos. La presión disminuye de forma importante en la punta del álabe, debida
a que en la zona adyacente a ésta (fuera de la capa límite) la velocidad del fluido es bastante
elevada. Es importante destacar que la presión estática sobre el álabe es la principal causa del
torque de salida de la turbina.
114
(b)
(a)
(c)
(d)
(e)
Figura 5.18. Presión estática sobre la turbina para la condición de operación de 680 m3/s,
inclinación de las paletas directrices de 0° y velocidades de giro de: (a) 0 rpm, (b) 50 rpm, (c) 90
rpm, (d) 150 rpm y (e) 250 rpm.
115
(b)
(a)
(c)
(d)
(e)
Figura 5.19. Esfuerzo cortante sobre la turbina para la condición de operación de un caudal de 680
m3/s, inclinación de las paletas directrices de 0° y velocidades de giro de: (a) 0 rpm, (b) 50 rpm, (c)
90 rpm, (d) 150 rpm y (e) 250 rpm.
116
El esfuerzo cortante sobre la turbina se muestra en la Figura 5.19, para las condiciones de
operación de velocidades de giro de 0 rpm, 50 rpm, 90 rpm, 150 rpm y 250 rpm, caudal de 680
m3/s e inclinación de las paletas directrices de 0°. Se observa, que el esfuerzo cortante máximo
se ubica en la punta de los álabes, como consecuencia de las altas velocidades que ocurren en
la zona adyacente a la capa límite. Es importante comentar que el esfuerzo cortante es el
causante de la disminución del torque de salida de la turbina.
5.3. Curvas Característica de la Turbina.
Normalmente, a las turbinas Kaplan se le construyen el diagrama de colinas de rendimiento, el
cual consiste en graficar las curvas de rendimiento, caudal y rpm como función de la altura de
operación del embalse y la potencia de salida de la turbina, para diferentes inclinaciones de las
paletas directrices e inclinación de los álabes. En este trabajo sólo se presentaran las curvas de
torque, potencia y rendimiento como función del caudal y velocidad de giro de la turbina para
el caso particular de inclinación de las paletas directrices de 0°, y se espera en trabajos futuro
construir las curvas de colinas de rendimiento mediante simulación numérica.
Para construir las curvas características, se calculan numéricamente los parámetros
mencionados anteriormente; en ese sentido, el momento respecto a un punto “P” ubicado a lo
r
largo del eje de rotación de la turbina, M P , está dado por [7]:
r
r
r
r
r
M P = ∫∫ r × pdA − ∫∫ r ×τdA ,
A
(5.17)
A
donde la integral
r
r
r
r
∫∫ r × pdA representa el torque debido a la presión del fluido y ∫∫ r ×τdA es el
A
A
momento debido a los esfuerzos cortante en las superficies de la turbina (torque viscoso).
r
El torque, T, en el eje de la turbina será la componente axial de M P , es decir:
( )
r
T = MP
axial
.
(5.18)
Por otra parte, la potencia de salida de la turbina (potencia en el eje) será:
πTN
W&eje = Tω =
,
30
(5.19)
donde ω es la velocidad angular de la turbina en rad/s y N la velocidad de giro en rpm
(rev/min).
La eficiencia de la turbina se determina mediante la relación siguiente [7]:
W&
T
η = & eje & =
,
Weje + Wv T + Tv
(5.20)
117
donde W& v potencia viscosa (energía perdida por efecto de la fricción viscosa) y Tv es el torque
viscoso en la superficie de la turbina.
A continuación se presentan las curvas de torque, potencia y eficiencia de la turbina como
función de la velocidad de giro de la misma y como función del caudal que pasa a través de
ella, para el caso de que las paletas directrices se mantenga completamente abierta (inclinación
de 0°).
5.3.1. Torque en el Eje de la Turbina.
La Figura 5.20 muestra las curvas del torque en el eje de la turbina como función de las rpm,
para caudales de operación [Figura 5.20(a)]; y como función del caudal, manteniendo la rpm
constante [Figura 5.20(b)]. Se puede observa que el torque depende muy poco de las rpm a la
que gira la turbina, pero si depende en forma importante del caudal.
(a)
T [kN.m]
(b)
T [kN.m]
80000
78000
70000
68000
60000
58000
50000
48000
40000
38000
30000
28000
20000
18000
0
50
430 mcs
736 mcs
100
537 mcs
844 mcs
150
200
685 mcs
10000
400 450 500 550 600 650 700 750 800 850
250
0 rpm
50 rpm
90 rpm
Q [mcs]
N [rpm]
150 rpm
250 rpm
Figura 5.20. Torque en el eje de la turbina como función (a) de las rpm y (b) el caudal.
Si a las curvas de la Figura 5.20(b) se le
construye una curva promedio (Figura
5.21), se podrá realizar una interpolación
polinómica, y establecer una relación
funcional entre el torque y el caudal, para
el rango de velocidad en 0 rpm y 250 rpm.
Esta relación se puede escribir de la
siguiente manera:
T = A + BQ + CQ ,
2
T [kN.m]
80000
70000
60000
50000
40000
30000
(5.21)
donde en torque, T, esta dado en kN.m, el
caudal, Q, en m3/s (mcs) y las constantes
de la ecuación (5.21) son:
20000
10000
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
Q [mcs]
Figura 5.21. Curva promedio del torque en el eje de
la turbina como función del caudal en m3/s.
118
A = 9841,2213 kN.m,
B = - 37,78636 kN.m/(m3/s),
C =0,14034 kN.m/(m3/s)2.
El coeficiente de ajuste del polinomio es: R2 = 0,99991.
Para analizar con más detalle el porque, el
torque en el eje de la turbina depende
solamente del caudal, se presenta en la
Figura 5.22 la gráfica del torque debido a
la presión (torque de presión) como
función del caudal para diferentes valores
de rpm; allí se observa que el torque de
presión básicamente depende del caudal y
no depende de las rpm (o su dependencia
es despreciable). Se observa también en la
Figura 5.22, que el torque debido a la
presión (Tp) depende del caudal elevado al
cuadrado, es decir:
Tp ∝ Q 2 .
(5.22)
Tp [ kN. m]
1 8000
1 6000
1 4000
1 2000
1 0000
8000
6000
4000
2000
0
4 00
450 500
0 rpm
1 50 rpm
5 50 6 00 650 7 00 7 50
50 rp m
90 rpm
25 0 rpm
80 0
850
N [rp m]
Figura 5.22. Curvas del torque de presión como
función del caudal, para diferentes valores de rpm.
Por otra parte, en la Figura 5.23 se
presentan las gráficas del torque debido a los esfuerzos cortante (torque viscoso) como función
de las rpm, para diferentes valores de caudal [Figura 5.23(a)]; y como función del caudal, para
diferentes valores de rpm [Figura 5.23(a)]. Se puede observar que el torque viscoso tiene una
dependencia cuadrática con respecto a las rpm, y de igual forma el torque viscoso también
depende del cuadrado del caudal, esto es:
Tv ∝ N 2
∧
Tv ∝ Q 2 .
(5.23)
(a)
Tv [kN.m]
1000
800
800
600
600
400
400
200
200
0
0
50
430 mcs
736 mcs
100
537 mcs
844 mcs
(b)
Tv [kN.m]
1000
150
200
685 mcs
250
N [rpm]
0
400
450 500
0 rpm
150 rpm
550 600
50 rpm
250 rpm
650
700 750
90 rpm
800
850
N [rpm]
Figura 5.23. Torque viscoso como función (a) de las rpm y (b) el caudal.
119
Ahora bien, al comparar las magnitudes del torque viscoso con el torque de presión, se puede
observar que el torque de presión es mucho más grande que el torque viscoso, es decir,
Tp >> Tv ; y como:
T = Tp − Tv ≈ Tp
⇒
T ∝ Q2 ,
(5.24)
donde se demuestra que el torque en el eje de la turbina es una función cuadrática del caudal,
tal como se expresó en la ecuación (5.21).
5.3.2. Potencia en el Eje de la Turbina.
La Figura 5.24 presenta las curvas de potencia como función de las rpm, para diferentes
valores de caudal [Figura 5.24(a)]; y como función del caudal, para diferentes valores de rpm.
Se verifica en la Figura 5.24, que la potencia de la turbina depende en forma lineal con las rpm
y de forma cuadrática con el caudal, es decir:
W&eje ∝ N
∧
W&eje ∝ Q 2
⇒
W&eje ∝ NQ2 .
(a)
W [MW]
2000
(5.25)
(b)
W [MW]
2000
1750
1800
1600
1500
1400
1250
1200
1000
1000
800
750
600
500
400
200
250
0
0
50
100
430 mcs
736 mcs
537 mcs
844 mcs
150
200
685 mcs
250
0
400
N [rpm]
450 500
0 rpm
150 rpm
550 600
50 rpm
250 rpm
650 700
90 rpm
750
800
850
Q [mcs]
Figura 5.24. Potencia de salida en el eje de la turbina como función (a) de las rpm y (b) el caudal.
Luego, la función de la potencia de potencia se expresa de la siguiente manera:
(
)
W&eje = k w A + BQ + CQ2 N ,
(5.26)
donde W& es la potencia en MW, N es la velocidad de giro de la turbina en rpm, Q el caudal en
m3/s y las constantes de la ecuación son:
kw = 0,01052 MW/rpm;
A = 100,43;
B= - 0,3935 s/m3;
C = 0,0014 s2/m6.
El coeficiente de ajuste es: R2 =0,9998.
120
5.3.3. Eficiencia de la Turbina.
El comportamiento de la eficiencia como función de las rpm, para diferentes valores de
caudal, se presenta en la Figura 5.25(a); mientras que en la Figura 5.25(b) se muestra el
comportamiento de la eficiencia como función del caudal, para diferentes valores de rpm. Se
nota, que para un valor fijo de caudal, la eficiencia disminuye con el incremento de las rpm;
esto se debe a que cuando se incrementan las rpm la velocidad del fluido respecto a los álabes
de las turbina también se incrementa, lo que genera un aumenta del esfuerzos cortante, y en
consecuencia un aumento de las perdidas por fricción viscosa.
Por otra parte, cuando se incrementa el caudal, manteniendo las rpm constante, la eficiencia
aumenta. Esto se debe a que con el aumento del caudal se incrementa el torque debido a la
presión estática, haciendo que las perdidas de energía debido a la fricción viscosa se hagan
comparativamente más pequeña que la energía neta de salida. Es importante observar en la
Figura 5.25(b), una tendencia asintótica de la eficiencia a medida que se incrementa el caudal;
sin embargo, la realidad indica que la curva de eficiencia tiene un máximo y luego disminuye
como consecuencia del los efectos de cavitación que comienzan aparecer. En el análisis
realizado no se tomó en cuenta el efecto de cavitación por lo que no se puede observar este
efecto.
η [%]
η [%]
(a)
100
100
98
98
96
96
94
94
92
92
90
90
88
88
86
0
50
430 mcs
736 mcs
100
537 mcs
844 mcs
150
685 mcs
200
250
86
400
N [rpm]
(b)
450 500
0 rpm
150 rpm
550 600
50 rpm
250 rpm
650 700
90 rpm
750
800
850
Q [mcs]
Figura 5.25. Eficiencia de la turbina como función (a) de las rpm y (b) el caudal.
Mediante interpolación polinómicas de las curvas mostradas en la Figura 5.25, se puede
establecer una relación funcional de la eficiencia como función del caudal y la velocidad de
giro de la turbina. Esta relación es la siguiente:
η = kη (Ac + Bc Q + CcQ 2 + Dc Q3 )(An + Bn N + Cn N 2 + Dn N 3 ) ,
(5.27)
donde η es la eficiencia medida en porcentaje, Q es el caudal en m3/s, N es la velocidad de
giro de la turbina en rpm y las contantes de la ecuación son:
kη = 0,01027;
Ac 86,94737;
Bc = 0,03573522 s/m3;
121
Cc = -3,96186x10-5 s2/m6;
Dc = 1,448393x10-8 s3/m9;
Bn = - 0,0112702 rpm-1;
Cn = -1,010759x10-4 rpm-2; Dn = 1,706589x10-7 rpm-3.
An = 99,15417;
5.3.4. Desnivel del Salto Requerido por las Turbinas.
La relación entre la potencia de salida de las turbinas y el desnivel (o caída) del salto, está
dada por la siguiente relación:
W&eje = ηγQH
⇒
H=
W&eje
ηγQ
,
(5.28)
donde:
W&eje : Es la potencia en el eje de la turbina o potencia de salida.
H : Es el desnivel o caída del salto.
η : Es la eficiencia de la turbina.
Q : Es el caudal.
γ = 9746,08 N / m3 : Es el peso específico del agua.
Al graficar la ecuación (5.28) con los datos obtenidos anteriormente se obtienen las curvas de
la Figura 5.26, donde se puede observa que el desnivel del salto aumenta con el caudal y las
rpm en forma casi lineal.
(a)
[m]
ηH[%]
[m]
ηH[%]
240
240
200
200
160
160
120
120
80
80
40
40
0
0
50
430 mcs
736 mcs
100
537 mcs
844 mcs
150
685 mcs
200
250
Q [mcs]
rpm
0
400
(b)
450 500 550 600 650 700
0 rpm
50 rpm
90 rpm
150 rpm
250 rpm
750
800
850
Q [mcs]
Figura 5.26. Desnivel requerido en el salto para operar las turbinas. Desnivel como función de (a)
las rpm y (b) el caudal.
122
Se puede construir a partir de los datos obtenidos, una curva interpolante para el desnivel del
salto. Esta relación se expresa de la siguiente manera (se prefiere usar una interpolación de
segundo orden aunque una de primer orden tendría buenos resultados):
(
)(
)
H = kh ac + bc Q + cc Q 2 an + bn N + cn N 2 ,
(5.29)
donde H es el desnivel en metro [m], Q es el caudal en m3/s, N es la velocidad de giro de la
turbina en rpm y las contantes de la ecuación son:
kη = 0,0146 m;
ac = 6,864683;
bc = 6,628466x10-2 s/m3;
cc = 3,498776x10-5 s2/m6;
an = 0,1116823;
bn = 0,7798764 rpm-1;
cn = -2,685717x10-4 rpm-2.
5.4. Comparación de los Resultados y Aspectos Adicionales.
5.4.1. Punto de Funcionamiento de la Turbina.
De acuerdo al diagrama de colinas de rendimiento suministrado por el fabricante Va Tech
Hydro (ver Anexo A), para las turbinas Kaplan que serán instaladas en Tocoma, se puede
obtener que los parámetros de funcionamiento son:
Altura, H = 34,65 m;
Velocidad de giro, N = 90 rpm;
Caudal de operación, Q = 680 m3/s;
Potencia de salida, W& = 216 MW;
eje
Eficiencia, η = 94,2 %.
Es importante hacer notar que los valores de operación antes mencionados son los establecidos
en las especificaciones técnicas de la turbina en el Contrato N° 3.1.104.001.03, del Desarrollo
Hidroeléctrico del Bajos Caroní, Proyecto Tocoma.
Por otra parte, los resultados obtenidos a partir de la simulación, considerando que las rpm y la
altura del salto son variables fijas, dado que están condicionadas al tipo de generador a instalar
y el desnivel del salto, fueron:
Altura, H = 34,65 m;
Velocidad de giro, N = 90 rpm;
Caudal de operación, Q = 355,4 m3/s;
Potencia de salida, W& = 130,1 MW;
eje
Eficiencia, η = 95,37 %.
123
Al realiza una comparación del punto de funcionamiento dado por el fabricante y el obtenido
por la simulación, se observa que el caudal de operación dado por el fabricante es 1,91 veces
el caudal obtenido en la simulación, y la potencia dada por el fabricante es 1,66 veces la
potencia calculada en la simulación. En ese sentido, se establece que la geometría del rodete
de la turbina dada en el informe de Pietrantoni [46] no satisfacen las condiciones de potencia y
caudal esperados en el diseño, según el Contrato N° 3.1.104.001.03, del Desarrollo
Hidroeléctrico del Bajos Caroní, Proyecto Tocoma.
Dada la gran discrepancia entre los resultados de la simulación y las especificaciones dadas
por el fabricante, se debe proceder de inmediato a la revisión del diseño actual.
5.4.2. Posibilidad de Cavitación en la Turbina.
Aunque en éste trabajo no se realizó un análisis de cavitación, con la distribución de presión se
puede inferir si existe o no la posibilidad de ocurra cavitación; en ese sentido, se muestra en la
Figura 5.27 la iso-superficie donde se alcanza la presión de vaporización del fluido para el
caso de una temperatura del agua de 26 °C (Pv = 3540 kPa,abs). Se puede observar que
cuando la turbina opera con una velocidad de giro de 90 rpm y un caudal de 680 m3/s, que
serían las condiciones de operación de diseño, la superficie de presión de cavitación ocupa
gran parte del álabe; sin embargo, cuando la turbina opera con un caudal de 355,4 m3/s y 90
rpm, punto de operación arrojado por la simulación, la posibilidad de cavitación se reduce de
manera significativa.
Zona donde se alcanza la
presión de vapor del fluido,
Pv = 3540 kPa,abs
(a)
(b)
Figura 5.27. Zona donde se puede iniciar la cavitación. Condiciones de operación de: (a) 680 m3/s y
90 rpm y (b) 355,4 m3/s y 90 rpm.
De acuerdo a al análisis anterior, se hace necesario realizar un estudio de cavitación a la
turbina a fin comprobar con mayor precisión si este fenómeno se presenta cuando ella entre en
operación
5.4.3. Comentario Adicional Sobre Simulación de Turbinas Kaplan.
A fin de analizar el efecto que se tiene al asumir un perfil de velocidad uniforme como
condición de borde a la entrada de turbina, se resolvió el modelo cuyos parámetros de
124
operación son 90 rpm y 680 m3/s, con un perfil de velocidad uniforme, y se obtuvo que el
error cometido en el torque viscoso era de 4,83%, en el torque de presión era de 1,8% y como
el torque viscoso es mucho más pequeño que el torque de presión, también se obtienen que el
error en el torque neto es de 1,8%.
Por lo comentado en el párrafo anterior, se establece que las turbinas Kaplan se pueden
simular para construir las curvas características utilizando como condición de borde a la
entrada de la turbina un perfil de velocidad uniforme.
125
Conclusiones.
Conclusiones
1.
El modelo matemático del comportamiento fluidodinámico del fluido cuando pasa a
través de las paletas directrices y la turbina, está dado por seis ecuaciones diferenciales
parciales no lineales, la ecuación de continuidad para fluido incompresible, tres
ecuaciones de momentum (una ecuación vectorial tridimensional) y dos ecuaciones de
turbulencia. El modelo de turbulencia utilizado es el k-ε realizable, modelo que tiene
buena precisión con un costo computacional aceptable. El dominio del distribuidor donde
se resuelva las ecuaciones diferenciales, es un dominio periódico formado por una
veinticuatroava parte del distribuidor; mientras que el dominio del rodete, también es
periódico y esta representado por una quinta parte del mismo.
2.
El modelo de volúmenes finitos del distribuidor utilizado para la simulación del mismo,
tiene un error en el cálculo de la velocidad de 0,6 m/s y esta formado por 1.057.434 nodos
y 1.020.288 elementos (o celdas) tipo hexaédricos, y la malla mantiene una calidad menor
de 0,65. Por otra parte, el modelo de volúmenes finitos del rodete tiene un error menor del
0,73% en el cálculo del torque en el rodete, y esta conformado por 635.392 nodos y
1.558.722 elementos, distribuidos de la siguiente manera: 367.016 hexaédricos (23,55%),
8.960 piramidales (0,57%) y 1.182.746 tetraédricos (75,88%). La calidad de la malla del
rodete es menor de 0,839.
3.
Estudios previos, como el presentado en la referencia 44, muestran que el módulo de la
velocidad varía poco a la entrada del anillo de distribución, aunque en al dirección
tangencia, el ángulo de la velocidad respecto a la normal varia aproximadamente entre 0°
a 50°. Sin embargo, se demostró en éste estudio que el perfil de velocidad a la salida del
distribuidor no se ve afectado en forma significativa por la inclinación del vector
velocidad respecto a la normal de la superficie imaginaria a la entrada del distribuidor. Por
tanto, es válido suponer un perfil de velocidad normal a la entrada del distribuidor.
4.
Se demostró que la velocidad adimensional a la salida del distribuidor, definida como la
relación entre el vector velocidad y el módulo de la velocidad normal a la entrada del
distribuidor, depende de la dirección radial y el ángulo de las paletas directrices. Se pudo
establecer relaciones funcionales para el vector velocidad como función del radio, para
diferentes inclinaciones de las paletas directrices.
5.
El torque debido a la presión estática del fluido sobre la turbina se incremente en forma
cuadrática con el caudal, pero prácticamente es independiente de la velocidad de giro de la
turbina. Por otra parte, el torque debido a la viscosidad del fluido se incrementa en forma
cuadrática con el caudal y la velocidad de giro de la turbina. Pero, como el torque debido
a la viscosidad del fluido es mucho más pequeño que el torque debido a la presión
estática, ocurre que el torque neto también se incremente en forma cuadrática con el
caudal.
6.
La potencia en el eje de la turbina aumenta en forma lineal con la velocidad de giro de la
misma y en se incrementa en forma cuadrática con el caudal que pasa a través de ella.
126
Conclusiones.
7.
En el rango de velocidad estudiado se demuestra que la eficiencia de la turbina se
incrementa con el caudal, pero disminuye con la velocidad se giro.
8.
El desnivel o caída del salto se incrementa en forma casi lineal con el caudal y la
velocidad de giro de la turbina. Sin embargo, para mejorar la precisión de la interpolación
se prefiere usar una interpolación de segundo orden, aunque la de primer orden era
suficiente.
9.
El punto de funcionamiento arrojado por la simulación es muy diferente al esperado por la
Empresa según el Contrato N° 3.1.104.001.03, del Desarrollo Hidroeléctrico del Bajos
Caroní, Proyecto Tocoma. La potencia calculada es 39,77 % más pequeña que la esperada
según el Contrato (130,1 MW en vez de 216 MW), y el caudal es 47,73% más pequeño
que el requerido para mantener la potencia establecida. Es importante realizar una revisión
del diseño geométrico de las turbinas actuales.
10. Si la turbina que ha sido analizada en éste trabajo, opera con un caudal de 680 m3/s, tiene
gran probabilidad de cavitar dado que se producen presiones inferiores a la presión de
vaporización del agua en las superficies de los álabes.
11. También se demostró que para efecto de construir las curvas características de las turbinas
Kaplan, se puede asumir un perfil de velocidad uniforme a la entrada de la turbina, dado
que el error cometido en el cálculo del torque es menor del 1,8%.
127
Investigaciones Futuras.
Investigaciones Futuras
Después de culminado este trabajo se abren algunas interrogantes que son interesantes de
desarrollar en trabajo futuros. Estos posibles temas son los siguientes:
1.
Realizar una revisión geométrica del diseño actual de la turbina Kaplan que será instalada
en Tocoma.
2.
Construir las curvas características mediante simulación numérica de las turbinas Kaplan
que serán instaladas en Tocoma, para diferentes inclinaciones de las paletas directrices e
inclinaciones de los alabes del rodete.
3.
Construir el Diagrama de Colinas de Rendimiento de la las turbinas Kaplan a instalar en
Tocoma.
4.
Realizar un estudio de cavitación en los diferentes pasajes del agua, desde la toma hasta la
descarga. Este estudio se puede dividir en cuatro: El primero que analice el flujo desde la
toma hasta el anillo de distribución, el segundo que estudie el anillo de distribución, un
tercero que analice la turbina y el cuarto que estudie el tubo de aspiración hasta la
descarga.
5.
Las curvas características de las turbinas son los modelos matemáticos utilizados para
construir los sistemas de control de la misma, en ese sentido, vale la pena estudiar la
posibilidad de implementar un sistema de control neuronal o un sistema de control
borrosos, y validar la efectividad de éstos sistemas respecto al sistema de control
tradicional.
128
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Anexo A
Colinas de Rendimiento de las Turbinas Kaplan a Instalar en Tocoma
Anexo A. Colinas de Rendimiento de las Turbinas Kaplan a Instalar en Tocoma.
Punto de
Operación
134

Simulación Hidrodinámica de las Turbinas a Instalar en la Central

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