´ µ 2xcosy + [2y cosy − (x 2 + y2) sin y]y ´ µ xdy + ydx = 0 ´ µ 2x(sin y
Transcripción
´ µ 2xcosy + [2y cosy − (x 2 + y2) sin y]y ´ µ xdy + ydx = 0 ´ µ 2x(sin y
3. heti gyakorlat: Egzakt d.e. a Dr. Simon Károly (Feladatok az 5. hétre) anyagból és 2. heti elmaradások. 1. Oldjuk meg az alábbi diereniálegyenleteket: (a) 2x cos y + [2y cos y − (x2 + y 2 ) sin y] y ′ = 0, (b) xdy + ydx = 0, y x ′ () x2 +y 2 y = x2 +y 2 , (d) 2x(sin y + 1) + x2 cos y · y ′ = 0. 2. Alkalmazza az egzisztenia és uniitási tételt a 2. heti gyakorlat 5. feladatában! 3. Rajzolja le a fázisvonalakat, vázolja az iránymez®t és osztályozza az egyensúlyi megoldásokat: y ′ = y 4 − 2y 3 − 15y 2, y(0) = y0 ∈ R Eredmények 1a. Az y ′ = az egyenlet dy dx -et felírva és dx-el mindkét oldalt beszorozva kapjuk, hogy 2x cos y dx + 2y cos y − (x2 + y 2 ) sin y dy = 0 | {z } | {z } M (x,y) alakú. Mivel N (x,y) ∂M ∂N ≡ = −2x sin y ∂y ∂x ezért a diereniálegyenlet homogén tehát van olyan F : R2 → R függvény, amelyre grad(F ) = (M, N). Vagyis ∂F = M, ∂x Ezért F (x, y) = Z ∂F = N. ∂y M(x, y)dx + h(y) = x2 cos y + h(y). 1 (1) A h(y) függvény abból az egyenletb®l határozzuk meg hogy: Vagyis: ∂F ∂y = N. ∂F = −x2 sin y + h′ (y) = 2y cos y − (x2 + y 2 ) sin y . | {z } ∂y N Innen h′ (y) = 2y cos y − y 2 sin y. Innen: h(y) = y 2 cos y. Ezt vissza helyettesítve (1)-be adódik, hogy: F (x, y) = (x2 + y 2 ) cos y. Vagyis a diereniálegyenlet általános megoldása: (x2 + y 2) cos y = Const. 1b. xy = Const 1. arctan xy = Const. 1d. x2 sin y + x2 = Const. 3. feladat megoldásában a jobb oldal gyökeit és el®jelét nézve: y = −3: aszimptotikusan stabil, y = 0: félig stabil, y = 5: instabil egyens¶lyi megoldás. 2