mecánica de fluidos - Curso de Mecánica de Fluidos UAM

mecánica de fluidos - Curso de Mecánica de Fluidos UAM

MECÁNICA DE FLUIDOS
Curso del Trimestre 07-I
Notas complementarias al libro de texto:
Fenómenos de Transporte
por Bird, Stewart, Lightfoot (Reverte, 1982),
para actualizar el contenido de acuerdo a la nueva edición en inglés
(John Wiley & Sons, 2002)
Prof. Alberto Soria López
0. Los Fenómenos de Transporte
Estudio de las manifestaciones ocurridas cuando se transfiere
una cantidad de interés* en un sistema elegido**
* CANTIDADES:
¾ Mecánica de fluidos → transporte de momentum
¾ Transferencia de calor → transporte de energía
¾ Transferencia de masa → transporte de masa de especies químicas
** SISTEMAS:
¾ Material → sistema lagrangiano → sistema cerrado
¾ Volumen → sistema euleriano → sistema abierto
ESTUDIO SISTEMÁTICO DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE
¾ Los mecanismos que subyacen en los tres fenómenos dependen en común de la
estructura de la materia (movimientos e interacciones moleculares)
¾ Semejanza en mecanismos, ecuaciones y métodos matemáticos
NIVELES DE DESCRIPCIÓN
Ejemplo:
Le
Columna de absorción de pared mojada
Gs
Moléculas de líquido
vz
ρL
ρG
Moléculas de gas
Ls
Ge
NIVEL GLOBAL
Balances globales
NIVEL LOCAL
NIVEL MOLECULAR
balances locales
Leyes de conservación
Ecuaciones de cambio
en partículas
←
←

∫
volumen
∫
espacio fase
2
1. Viscosidad y mecanismos de transporte de momentum
§1.1 Ley de Newton de la viscosidad
Viscosidad = Propiedad física que cuantifica
la resistencia al flujo
EJEMPLO: Flujo entre dos placas planas
y
Y
t < 0, no hay movimiento
x
y
V
x
t = 0, la placa inferior se mueve a velocidad
constante V, por adherencia el fluido en
contacto con la placa se mueve también con
la misma velocidad vx(y=0,t=0)=V
V
t pequeños, el fluido cercano a la placa
adquiere velocidad vx(y,t). El flujo es
transitorio
y
x
V
y
x
V
t grandes, todo el fluido se mueve con
velocidad vx(y), independiente del tiempo.
Por adherencia el fluido en contacto con la
placa superior no se mueve, vx(Y) = 0. El
flujo es estacionario
En la última situación, la fuerza necesaria para mantener V de la placa, es constante. Al
aumentar la fuerza F, aumenta la velocidad V, en tanto que para mantener una velocidad
constante, al reducir Y, debe aumentarse la fuerza F. Entonces podemos proponer que
F V
(1.1)
∝
A Y
La constante de proporcionalidad es la viscosidad. Es decir que
F
V
=µ
(1.2)
A
Y
3
Esta fuerza por unidad de área se transmite a través de todo el fluido, imprimiéndole
movimiento. Así, la placa superior debe sujetarse firmemente, pues si se deja suelta, acabará
por moverse como una balsa en la superficie de un río, como se ve en la siguiente Figura:
Si la placa superior no se sujeta adquiere, a t
grandes, la velocidad de la placa inferior y
de todo el fluido
y
x
V
¿Cuál es la fuerza/área en algún plano al interior del fluido?
En el ejemplo del flujo entre dos placas planas, a régimen estacionario, la fuerza/área es una
constante a través de todo el fluido. Podemos verlo porque la fuerza necesaria para mantener
fija la placa superior es, precisamente, igual y de sentido contrario a la que se ejerce sobre la
placa inferior, es decir que un balance (simplificado) de las fuerzas en dirección x, para todo el
fluido entre las placas, a régimen estacionario, es
F placa superior + F placa inferior = 0
(1.3)
Entonces, la fuerza que ejerce la placa superior es − F y el fluido que está en contacto con esta
placa, ejercerá una fuerza F sobre ella. Balances similares pueden hacerse para diferentes
porciones del fluido, abarcando desde la placa inferior hasta algún plano y = y0 , encontrando
que el fluido por arriba del plano ejerce una fuerza − F sobre el fluido por debajo del
mismo y de manera correspondiente, que el fluido debajo del plano, ejerce una fuerza F
sobre el fluido arriba del plano. Además podemos dividir entre el área A para darnos cuenta
de que por todo el fluido se transmite una fuerza/área constante. Llamaremos esfuerzos
viscosos a esta razón de fuerza/área en cualquier plano del fluido, y los denotaremos por τ yx ,
es decir que
F
(1.4)
= τ yx
A
dvx
V
=−
dy
Y
τ yx
y
Plano y = y0
x
Por otra parte, en el perfil lineal estacionario de la velocidad del fluido, podemos verificar la
igualdad:
4
dvx 0 − V
V
=
=−
(1.4)
dy Y − 0
Y
Entonces escribimos la Ecuación (1.2), para cualquier plano del fluido, como
dv
τ yx = − µ x
(1.5)
dy
Conocida como “Ley” de Newton de la viscosidad. Ésta es en realidad una relación de
comportamiento de un conjunto muy grande y muy importante de fluidos que la cumplen.
Pero hay fluidos que se comportan de otra manera, es decir, fluidos que no presentan una
relación lineal (con ordenada al origen nula) entre los esfuerzos viscosos τ yx y el gradiente de
dv
velocidad x .
dy
Acerca de la notación de τ yx , y aprovechando el ejercicio:
1. La dirección de la velocidad del fluido coincide con la dirección de la fuerza aplicada,
en este caso, la del eje coordenado x.
2. La dirección de una superficie se puede determinar por su vector normal. La dirección
del eje coordenado y es normal al plano y = y0, que es aquel donde se aplica el esfuerzo
τ yx .
3. El movimiento del fluido se propaga desde la placa inferior hacia arriba, es decir, en la
dirección del eje coordenado y. Este movimiento tiene, sin embargo, la dirección x.
Entonces, considerando a τ yx como una fuerza aplicada:
τ ik
Primer índice: dirección
de la superficie
Segundo índice:
dirección de la fuerza
O considerando a τ yx como un flujo de cantidad de movimiento:
τ ik
Primer índice: dirección de la
propagación de momentum
Segundo índice: dirección
del momentum
Dimensiones, unidades y valores de la viscosidad:
M 
F 
µ = viscosidad dinámica,   =  2 t  → ( Pa i s )
 Lt   L 
µ
 L2 
ν = = viscosidad cinemática,   → ( m 2 i s −1 )
ρ
 t 
Ejemplos numéricos:
Aire a 20 0C,
Agua a a 20 0C,
Glicerina a 20 0C,
µ = 1.8 × 10−5 Pa i s
µ = 1.0019 × 10−3 Pa i s
µ = 1.00 Pa i s
5
Ejercicios de tarea
E1.1.
E1.2.
Buscar Tablas de viscosidad de fluidos en los manuales de la biblioteca y hacer
en fotocopias un banco de propiedades, tan completo como se pueda.
Dos placas planas están separadas una distancia Y = 0.1 m y fluye agua al
desplazar la placa inferior a una velocidad V = 1 m/s. Si se sustituye el agua por
aire, ¿cuál debe ser la separación entre las placas, para que con la misma fuerza,
la placa inferior se mueva a la misma velocidad V?
§2.2 Generalización de la ley de Newton de la viscosidad (a tres coordenadas del espacio)
El gradiente de la velocidad
La velocidad de los flujos es un campo vectorial que depende de la posición y del tiempo:
 v x ( x, y , z , t ) 


v =  v y ( x, y , z , t ) 
(1.6)
 v z ( x, y , z , t ) 


dvx
, que hemos llamado el gradiente de la velocidad, es más bien
de modo que el término
dy
uno de los elementos de dicho gradiente. El operador “nabla”, en notación vectorial y
coordenadas cartesianas, es:
 ∂ 
 
 ∂x 
 ∂ 
(1.7)
∇= 
∂y
 
 ∂ 
 
 ∂z 
de modo que el gradiente de la velocidad es:
 ∂vx ∂v y ∂vz 
 ∂ 


 
 ∂x ∂x ∂x 
 ∂x 
 ∂v ∂v y ∂vz 
 ∂ 
(1.8)
∇v =   ( v x v y v z ) =  x
∂y
∂y ∂y ∂y 


 
 ∂vx ∂v y ∂vz 
 ∂ 
 


 ∂z 
∂z
∂z 
 ∂z
en tanto que su divergencia es:
 vx 
∂    ∂vx ∂v y ∂vz
(1.9)
+
+
 vy =
∂z    ∂x ∂y ∂z
 vz 
así, mientras el gradiente de v es un arreglo matricial 3 × 3 , la divergencia de v es un escalar.
 ∂
∇i v = 
 ∂x
∂
∂y
6
El tensor de esfuerzos viscosos
Los esfuerzos viscosos del ejemplo anterior, τ yx , son en realidad, sólo una componente de los
esfuerzos que pueden existir en un caso general, donde hay tres componentes de la velocidad.
En un flujo general, el tensor de esfuerzos viscosos es el arreglo:
 τ xx τ xy τ xz 


(1.10)
τ = τ yx τ yy τ yz 
τ

 zx τ zy τ zz 
que se puede también expresar como τ ik , (para i = 1, 2, 3; k=1, 2, 3) donde los ejes
coordenados ( x y z ) se representan de manera equivalente como (1 2 3) . Además, los
esfuerzos fuera de la diagonal principal tienen dirección tangencial al plano considerado
[porque la dirección de la (normal a la) superficie es ortogonal a la dirección de la fuerza], en
tanto que los esfuerzos de la diagonal principal, los τ ii (para i = 1, 2, 3) son normales al plano.
Además, los esfuerzos viscosos son simétricos, es decir, que el elemento en la posición ik del
arreglo (1.10) es igual al elemento en la posición ki del arreglo, es decir que τ ik = τ ki . Esto se
escribe en notación tensorial (tensores y vectores en negritas) como τ = τT [donde τT es la
transpuesta del arreglo (1.10)] y se cumple si su relación lineal con el gradiente de la
velocidad (que no es simétrico) se propone, más bien, en términos de funciones simétricas
lineales de ∇v . Entonces podemos proponer el caso más general:
T
2

τ = − µ  ∇v + ( ∇ v )  +  µ + κ  ( ∇ i v ) δ
(1.11)

 3

donde δ ik es el tensor unitario o delta de Kronecker, dado por
1 0 0


(1.12)
δ = δ ik =  0 1 0 
0 0 1


µ = viscosidad dinámica
κ = viscosidad dilatacional o volumétrica
Generalmente no se requiere conocer κ porque muchas veces los líquidos se consideran
incompresibles y entonces ∇i v = 0 y para muchos gases se puede proponer como
aproximación un resultado encontrado válido para gases monoatómicos ideales que cumplen
κ =0.
Además la presión es también una fuerza normal a la superficie, que no ha sido considerada en
los esfuerzos viscosos τ ii . Habría que sumarla para tener un tensor de esfuerzos totales o
tensor de presiones π ik , de modo que
(1.13)
π ik = pδ ik + τ ik
Nota sobre los signos de τ
El signo negativo en (1.11) es compatible con la observación hecha al definir τ yx , es decir, que
los esfuerzos viscosos se toman en la dirección positiva del eje coordenado, para el fluido más
cercano al eje coordenado (debajo del plano y = y0 , ver discusión del flujo entre dos placas
7
planas) y se toman negativos para el fluido más lejano al eje coordenado (arriba del plano
y = y0 ). En algunos textos se propone lo contrario ( τ yx positiva arriba y negativa abajo del
plano y = y0 ), lo cual es compatible con un signo positivo para la ley de Newton de la
viscosidad, resultando en conjunto un resultado idéntico al de la convención que aquí usamos.
§1.3 Dependencia de la viscosidad con la presión y la temperatura
Se usa un enfoque derivado de la ley de estados correspondientes, para lo cual es necesario
conocer las constantes críticas de cada material
pc = presión crítica
Tc = temperatura crítica
µc = viscosidad crítica
Con estos datos se definen las propiedades reducidas pr =
p
T
µ
, Tr =
y µr =
y se utiliza
Tc
pc
µc
la Gráfica correspondiente del texto.
Hay pocos datos de la viscosidad crítica, pero puede estimarse de dos maneras:
(1) Si se conoce un valor de la viscosidad a una presión y temperatura reducidas, se
localiza el punto en la Gráfica, se encuentra la viscosidad reducida y se despeja la
viscosidad crítica (cuanto más cerca el punto del valor requerido, mejor).
(2) Se usan relaciones empíricas, cuidando las conversiones de unidades, para estimar µc .
(3) Para fluidos multicomponentes se usan propiedades “pseudocríticas”.
§1.7 Transporte convectivo de momentum
Además del transporte molecular de momentum, que resulta como consecuencia de la
transferencia de movimiento entre las moléculas, también existe un flujo de momentum
debido al movimiento de bulto o movimiento convectivo del fluido. Esta transferencia de
movimiento tiene que ver con el flux másico ρ v , que atraviesa un plano dado del fluido. El
flux másico atraviesa un plano dado, debido a su componente de velocidad normal a dicho
plano, así en el plano xy tenemos:
8
y
y
ρv
ρ v = ρ vye y
ρ vx
y0
x
x0
El flux másico atravesando el
plano x = x0 es ρ vx
x0
x
El flux másico atravesando el plano x = x0 es cero,
pero el que atraviesa el plano y = y0 es ρ v y
El flux convectivo de momentum es el producto del flux másico por la velocidad, es decir
ρ vv . Entonces, el flux convectivo de momentum atravesando el plano x = x0 es ρ vx v , el flux
convectivo de momentum atravesando el plano y = y0 es ρ v y v y por extensión a la
coordenada z, se tiene también el flux convectivo de momentum atravesando el plano z = z0 ,
como ρ vz v . Cada uno de estos fluxes es un vector, tiene tres componentes, que corresponden
a las direcciones de las componentes de la velocidad.
El flux combinado de momentum φ es la suma del flux molecular de momentum, que
corresponde a los esfuerzos totales más el flux convectivo de momentum:
φ = π + ρ vv = pδ + τ + ρ vv
(1.14)
Así, la componente ϕ yx del flux combinado de momentum tiene el significado:
ϕ yx = flux combinado de momentum en la dirección x,
atravesando una superficie perpendicular a la dirección y
Y se expresa como:
ϕ yx = π yx + ρ v y vx = pδ yx + τ yx + ρ v y vx
(1.15)
Aquí hay que recordar que δ yx = 0 , lo cual elimina el efecto de la presión en esta componente
[ver la definición de δ ik en la Ecuación (1.12)]. Esto es así debido a que la presión es una
fuerza normal a la superficie considerada.
Ejercicios de tarea
E1.3.
Problema 1.A del texto
E1.4.
Problema 1.B del texto
9
E1.5.
E1.6.
Problema 1.C del texto
Encuentra las componentes no cero del flux combinado de momentum si la
velocidad de flujo de un fluido newtoniano en coordenadas cartesianas y la
presión son, respectivamente:
x 

V 1 + t 


2y 

v= V
p = P0 ( x + 2 y )
 1+ t 


 0 


Donde P0 y V son constantes.
Autoevaluación 1
1. ¿Cuáles son las unidades de momentum por unidad de área por unidad de tiempo en
términos de fuerza?
2. Escribe la ley de Newton de la viscosidad y nombra cada uno de sus elementos.
3. Dibuja un sistema coordenado (x, y, z), luego representa los esfuerzos viscosos
τ xx ,τ xy ,τ xz en el punto ( x0 , y0 , 0 ) , así como el plano considerado.
4. Escribe la expresión del flux combinado de momentum y nombra cada uno de sus
términos.
5. Encuentra las componentes del flux combinado de momentum si
 V (1 − y 2 ) 


0
v=
p = P0 y .
,


0




Donde P0 y V son constantes.
Auto-evaluación 2
1. Define el concepto de viscosidad (no fórmulas).
2. ¿Qué es un esfuerzo cortante?
3. ¿Qué significa la “condición de adherencia”?
4. ¿Qué es el régimen transitorio?
5. ¿Qué le pasa a la viscosidad de un líquido cuando aumenta la temperatura?
6. ¿Qué le pasa a la viscosidad de un gas cuando aumenta la temperatura?
7. ¿En qué dimensiones se mide la viscosidad?
8. ¿Qué es 1 poise?
9. Define la cantidad de movimiento o momentum lineal de un fluido
10. ¿Qué diferencia física hay entre ( ∇v ) y ( ∇ ⋅ v ) ?
10
2. Balances de momentum en envolturas y distribuciones de velocidad
con flujo laminar
Flujo laminar ⇒ El fluido se desplaza ordenadamente, como en láminas o capas
Flujo turbulento ⇒ El fluido se desplaza aparentemente con desorden, siguiendo patrones
muy complejos con movimientos transversales a la dirección de flujo principal
§ 2.1 Balances de momentum en envolturas y condiciones a la frontera
La envoltura es el sistema, se elige una rebanada delgada del espacio, al interior del flujo, que
conserva las características geométricas del sistema global, con sus caras paralelas o
perpendiculares a la dirección del flujo (las componentes de la velocidad).
Se aplica un balance de momentum a esta envoltura, considerando los términos importantes en
cada una de sus superficies (o caras). El balance de momentum es:
 Flujo de momentum   Flujo de momentum   Fuerza de gravedad  Tasa de cambio 

 
 
 

combinado entrando  −  combinado saliendo  +  actuando sobre  =  del momentum 
 a la envoltura   de la envoltura  
  en el sistema 
el sistema

 
 
 

El balance de momentum es una relación vectorial, consiste por lo tanto de tres relaciones
escalares, una para cada una de las direcciones de un sistema coordenado ortogonal.
Aplicaremos el balance de momentum a sistemas que tienen solamente una
componente de velocidad, por lo que el balance se aplicará solamente en
la dirección de dicha componente.
Procedimiento para la aplicación, solución y uso de los balances de envoltura
1. Considerando el flujo en la escala global, elige el sistema coordenado que se adapte a
la geometría del flujo (coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas), localiza el
origen y determina la dirección de los ejes coordenados.
2. Identifica la componente de la velocidad que no se anula y la dirección (o las
direcciones) en la(s) que cambia dicha componente [la velocidad depende de la(s)
coordenada(s) correspondiente(s) a dichas direcciones]
3. Determina el lugar de la envoltura, que debe estar inmersa en la región de flujo que te
interesa analizar. La envoltura debe ser delgada en la(s) dirección(es) en la(s) que
cambia la velocidad y amplia en la(s) que no cambia. Dibuja un diagrama de dicha
envoltura.
4. Identifica las componentes del flux combinado de momentum en la dirección del flujo
y anótalos en el diagrama, entrando a la envoltura por la cara correspondiente más
cercana al eje coordenado y saliendo por la más lejana. Agrega la contribución de la
fuerza gravitacional, cuando corresponda.
5. Aplica el balance de momentum en la dirección del flujo.
11
6. Divide el balance entre el volumen de la envoltura y toma el límite cuando el (los)
espesor(es) de la(s) cara(s) delgada(s) de la envoltura tiende(n) a cero, para hacer uso
de la definición de la derivada como el cociente incremental de una función y obtener
así la ecuación diferencial correspondiente.
7. Sustituye las componentes del flux combinado de momentum por los términos que
correspondan, de acuerdo con su definición [Ecuación (1.14)] y con las
especificaciones para cada término [como en el ejemplo de la Ecuación (1.15)].
8. Simplifica la ecuación resultante, considerando la dependencia espacial de la
velocidad (¿de qué coordenadas es función la velocidad?) y de la presión (los cambios
de la presión se producen en la dirección del flujo). El resultado es el balance
diferencial de momentum en la dirección seleccionada.
9. Determina las condiciones a la frontera. Necesitas establecer una condición a la
frontera para cada variable derivada. A veces no se tiene una condición para los
esfuerzos viscosos y su determinación se deja para una etapa posterior (el paso 12 de
esta secuencia). En tal caso se requiere una condición de frontera adicional para la
velocidad.
10. Integra esta ecuación para obtener la distribución del flux de momentum (en la
dirección elegida) y aplica las condiciones a la frontera si es procedente.
11. Sustituye la ley de Newton de la viscosidad (o la relación de comportamiento que
corresponda al fluido), considerando nuevamente la dependencia espacial de la
velocidad para simplificar los términos. Resulta una ecuación diferencial para la
velocidad.
12. Integra esta ecuación y aplica las condiciones a la frontera, para obtener la
distribución de velocidad (el perfil de velocidad).
13. Utiliza la distribución de velocidad para obtener otras cantidades importantes como la
velocidad máxima, el flujo volumétrico o gasto, la fuerza del fluido sobre una
superficie sólida que lo limite o la disipación viscosa.
Condiciones a la frontera
En las fronteras del flujo se encuentran otros materiales, sólidos o fluidos, o bien el mismo
fluido entrando o saliendo del sistema. Las condiciones a la frontera son reglas que se asignan
al comportamiento de la velocidad o de los esfuerzos en las fronteras del sistema. Las que se
usan más frecuentemente son:
a. Interfases sólido-fluido: La velocidad del fluido en contacto con el sólido iguala la
velocidad del sólido. Esta condición se subdivide en (i) condición de adherencia,
para la igualdad de las componentes tangenciales de la velocidad y (ii) condición
de impenetrabilidad, para la igualdad de las componentes normales.
b. Interfases líquido-líquido: Se satisface la condición de adherencia y si no hay
transferencia de masa, también la condición de impenetrabilidad. Además las
componentes del tensor de esfuerzos totales π son continuas.
c. Interfases líquido-gas: Se satisface la condición de adherencia y si no hay
transferencia de masa, también la condición de impenetrabilidad. Además las
componentes del tensor de esfuerzos viscosos τ son cero. Esto es una
aproximación razonable porque la viscosidad de los gases es muy inferior a la de
los líquidos.
12
Al integrar los balances diferenciales también se usan frecuentemente otras reglas para
determinar unívocamente la solución (la distribución de velocidad). Las más usadas son:
d. Los esfuerzos viscosos están acotados ( τ ik no se hacen infinitos) en todo el campo
de flujo.
e. Las variables de campo (presión, velocidad y esfuerzos viscosos) cambian
continuamente en todo el campo de flujo.
§ 2.2 Flujo de una película líquida descendente
Haremos este ejercicio seleccionando un sistema coordenado distinto al del texto, para
mostrarte que los resultados no dependen físicamente de dicha selección, cuando se respetan
las convenciones de signos establecidas en el Capítulo 1. También usaremos el concepto de
flux combinado de momentum en los balances. Esto es una de las mejoras de la segunda
edición del texto. El propósito es que desarrolles una habilidad sintética que te permita tratar
posteriormente los problemas en términos de dicho flux combinado, para expresarlo luego en
términos de sus partes, haciendo las simplificaciones pertinentes de una manera adecuada.
Lee el enunciado del problema en el texto.
1. Elegimos un sistema coordenado cartesiano, pero localizamos el origen en contacto
con el sólido; la coordenada x es ascendente y la coordenada z sigue siendo
descendente (ver Figura).
x
vz ( x )
z
L
2. La componente de la velocidad que no se anula sigue siendo vz y cambia desde cero
(en contacto con la pared sólida) hasta un valor máximo (en contacto con el aire).
Entonces, a régimen estacionario tenemos vz ( x ) → la componente de velocidad en
dirección z depende de la coordenada x.
3. La envoltura debe ser delgada en la dirección x que es aquella en la que cambia la
componente vz y amplia en las direcciones y y z, de las cuales no depende vz .
Entonces dibujamos la envoltura:
13
x + ∆x
x
β
z=0
Dirección de
la gravedad
y =W
y=0
z=L
4. Haremos un balance de momentum en la dirección z, que es la del flujo. Entonces las
componentes del flux combinado de momentum a considerar son aquellas cuyo
segundo índice es z, es decir, ϕ xz , ϕ yz , ϕ zz . Anotamos estos fluxes en las caras
correspondientes de la envoltura, agregando la componente gravitacional en dirección
z:
ϕ xz
ϕ zz
ϕ yz
ρ g cos β
ϕ yz
ϕ zz
ϕ xz
5. Cada uno de los fluxes combinados se multiplica por el área de la superficie donde el
flux entra o sale y se aplica el balance de momentum en la dirección z:
14
(WL ) ϕ xz x + ( L∆x ) ϕ yz y =0 + (W ∆x ) ϕ zz z =0
− (WL ) ϕ xz
x +∆x
− ( L∆x ) ϕ yz
y =W
− (W ∆x ) ϕ zz
z=L
(2.1)
+ (WL∆x ) ρ g cos β = 0
6. Se divide entre el volumen de la envoltura, se agrupan los términos formando es
cociente incremental de los términos con ϕ xz y se toma el lim ∆x → 0 , para obtener la
ecuación diferencial:
ϕ yz y =0 − ϕ yz y =W ϕ zz
− ϕ zz z = L
dϕ
z =0
(2.2)
− xz +
+
+ ρ g cos β = 0
dx
W
L
7. Los fluxes combinados son, en general:
ϕ xz = τ xz + ρ vx vz
ϕ yz = τ yz + ρ v y vz
(2.3)
ϕ zz = p + τ zz + ρ vz vz
8. Pero al considerar que
 0 


v= 0 
 vz ( x ) 


los fluxes combinados se reducen a
ϕ xz = τ xz
ϕ yz = 0
y
p = p ( x) ,
(2.4)
(2.5)
ϕ zz = p + ρ vz vz
Sustituimos ahora los fluxes combinados en (2.2) para obtener:
( p + ρ v z v z ) z =0 − ( p + ρ v z v z ) z = L
dτ
(2.6)
− xz +
+ ρ g cos β = 0
dx
L
Sin embargo, tanto p como vz son funciones solamente de x, por lo que su
contribución al balance es la misma al evaluarlos en z = 0 y en z = L . Entonces su
diferencia es cero y podemos escribir el balance diferencial de momentum en dirección
z como:
dτ xz
= ρ g cos β
(2.7)
dx
Este balance es idéntico al del texto. El cambio del sistema coordenado no afectó este
resultado. ¿Por qué?
9. La Ecuación diferencial (2.7) requiere una condición a la frontera para τ xz y
posteriormente, al sustituir la relación de Newton de la viscosidad, requerirá una
condición a la frontera para la velocidad. En la interfase de la película con el aire
podemos proponer
(2.8)
τ xz = 0, para x = δ
En tanto que, en la interfase de la película con el sólido proponemos una condición de
adherencia:
vz = 0, para x = 0
(2.9)
15
Las condiciones a la frontera (2.8) y (2.9) difieren de las del texto debido a nuestra
selección de sistema coordenado, pero físicamente el significado es idéntico.
10. Al integrar la ecuación (2.7) y sustituir la condición a la frontera (2.8) tenemos:
(2.10)
τ xz = − ρ g cos β (δ − x )
A diferencia del resultado del texto, los esfuerzos viscosos son aquí negativos. Esto
indica que la propagación del momentum sigue ahora la dirección negativa del eje
coordenado x, lo cual es físicamente idéntico al resultado del texto, ya que hemos
invertido el sentido del eje coordenado en nuestro ejercicio.
11. Sustituimos ahora la relación de Newton de la viscosidad en la ecuación (2.10):
dv
τ xz = − µ z
(2.11)
dx
para obtener una ecuación diferencial para la velocidad:
dvz ρ g cos β
=
(2.12)
(δ − x )
µ
dx
12. Integramos esta ecuación para la velocidad y sustituimos la condición a la frontera
(2.9) para obtener la distribución o perfil de velocidad:
ρ gδ 2 cos β x 
x
(2.13)
vz =
2− 
2µ
δ δ
Esta ecuación tampoco coincide, matemáticamente, con la del texto. Sin embargo
la coincidencia debe darse en cuanto al significado físico del problema, pues es natural
que si mi representación geométrica es distinta, mi resultado matemático esté en
términos de la definición de mis variables. Para comprobar la identidad física del
problema, podemos hacer el cambio de la variable x de nuestro resultado (2.13) por la
variable x′ , que coincide con el eje coordenado del texto, es decir que proponemos
(2.14)
x = δ − x′
Al sustituir este cambio de coordenada en (2.13) obtenemos, después de simplificar:
2
ρ gδ 2 cos β   x′  
(2.15)
vz =
1 −   
2µ
  δ  
que es el resultado del texto y confirma que nuestro desarrollo es, en todo punto,
físicamente equivalente al desarrollo del texto.
13. Podemos ahora utilizar la distribución de velocidad (2.13) o la (2.15) para obtener, con
cualquiera de las dos expresiones, los siguientes parámetros físicos:
a. Velocidad máxima que es el valor máximo que alcanza la velocidad. En este
problema es la velocidad cuando x = δ en la Ecuación (2.13):
ρ gδ 2 cos β
(2.16)
vz ,max =
2µ
b. Flujo volumétrico que es el volumen de fluido que atraviesa la superficie
transversal por unidad de tiempo. Se obtiene integrando la velocidad en dicha
superficie. El elemento diferencial de área es dxdy , de modo que
Wδ
Q = ∫ ∫ vz dxdy =
0 0
ρ gW δ 3 cos β
3µ
(2.17)
de donde puede despejarse el espesor de la película δ . También puede obtenerse el
flujo másico, multiplicando el flujo volumétrico por la densidad w = ρ Q y la
16
velocidad media de flujo, dividiendo el flujo volumétrico entre el área de la sección
transversal:
Q
ρ gδ 2 cos β
=
(2.18)
vz =
δW
3µ
c. Fuerza del fluido sobre la superficie sólida, tiene en general una componente
tangencial y una normal a la superficie sólida. Con la distribución de velocidad
podemos encontrar la componente tangencial de la fuerza Fz , al integrar los
esfuerzos tangenciales (o esfuerzos cortantes) en toda la superficie del sólido. Es
importante recordar la convención que usamos, sobre la aplicación de los
esfuerzos: se consideran positivos en un plano, para la acción del material más
cercano al eje coordenado sobre el material más alejado del eje coordenado. En el
plano x = 0 , al integrar τ xz obtendremos la fuerza que ejerce la superficie sólida
sobre el fluido, en tanto que al integrar −τ xz obtendremos la fuerza que el fluido
ejerce sobre el sólido. Esto es nuevamente, inverso al desarrollo del texto, debido a
la elección invertida del eje coordenado x, pero el resultado debe ser físicamente
equivalente. Entonces, utilizando la distribución de velocidad (2.13):
WL
W L dv
(2.19)
Fz = ∫ ∫ −τ xz
dzdy = ∫ ∫ µ z
dzdy
dx
0 0
0
0
x =0
x =0
que integrado resulta la expresión del texto.
d. Disipación viscosa, es la degradación de energía mecánica a calor, debida a la
resistencia viscosa al flujo. Equivale a la rapidez de la pérdida de trabajo efectuado
por las fuerzas viscosas, integrado para todo el volumen de fluido:
W Lδ
2
W Lδ
dv
 dv 
(2.20)
Ev = − ∫ ∫ ∫ τ xz z dxdzdy = ∫ ∫ ∫ µ  z  dxdzdy
dx
0 00
0 0 0  dx 
Al sustituir la distribución de velocidad e integrar tenemos
δ WL
(2.21)
Ev =
(δρ g cos β )2
3µ
e. Rapidez de trabajo: lo que produce el perfil de velocidad parabólico, expresado por
(2.13) o (2.15), es la presencia de la superficie sólida que frena el movimiento del
líquido. Si dicha superficie pudiera desplazarse sin ofrecer resistencia, viajaría a la
velocidad media de flujo, junto con todo el fluido. Podemos calcular la rapidez de
trabajo (virtual, puesto que la superficie sólida no se mueve) del fluido sobre la
placa, como el producto de la fuerza que ejerce el fluido sobre la placa por su
velocidad media de flujo:
δ WL
(2.22)
Wv = Fz vz =
(δρ g cos β )2
3µ
Notamos que Wv es igual a Ev en este caso particular. Esto ocurre sólo con los
flujos estacionarios, pues los efectos de aceleración de los flujos transitorios
inducen una diferencia.
Este flujo se ha resuelto bajo el supuesto de flujo laminar, pero experimentalmente se pueden
identificar tres regímenes de flujo: laminar sin ondulaciones de la superficie, laminar con
ondulaciones y turbulento. La ocurrencia de uno de estos regímenes está asociada al valor de
su número de Reynolds, definido como
17
Re =
4δ vz ρ
(2.23)
µ
de modo que ocurre un flujo
a. laminar sin ondulaciones importantes, si Re < 20
b. laminar con importantes ondulaciones, si 20 < Re < 1500
c. turbulento, si Re > 1500 .
Ejercicio de tarea
E2.1.
Repite el ejercicio de esta Sección, proponiendo el sistema coordenado como se
muestra en el siguiente diagrama:
vz ( x )
β
z
L
x
Dirección de
la gravedad
§2.3 Ecuación de la hidrostática
Un fluido en reposo está también sujeto a esfuerzos, que son hidrostáticos. Consideremos un
tanque de almacenamiento, sin flujos de entrada y salida. Haremos un balance de envoltura
siguiendo el procedimiento que hemos señalado.
1. Elegimos un sistema coordenado cartesiano y localizamos el origen en el fondo del
tanque. La coordenada importante es la vertical, z, que tomamos positiva en el
sentido ascendente.
2. En este caso la velocidad es cero, pero la presión cambia con la profundidad en el
tanque, es decir que p = p ( z ) .
18
3. La envoltura será delgada en la dirección z y amplia en x y y, como se muestra en el
diagrama:
W
∆z
z = z0
L
z
y
Fondo del tanque
x
4. Haremos un balance de momentum en la dirección z. Entonces las componentes del
flux combinado de momentum a considerar son aquellas cuyo segundo índice es z,
es decir, ϕ xz , ϕ yz , ϕ zz . Anotamos estos fluxes en las caras correspondientes de la
envoltura, agregando la componente gravitacional en dirección z:
ϕ zz
ϕ yz
ρg
z0 +∆z
y =0
ϕ xz
x =0
ϕ yz
y =W
z
ϕ xz
ϕ zz
x= L
z0
y
Fondo del tanque
x
5. Cada uno de los fluxes combinados se multiplica por el área de la superficie donde
el flux entra o sale y se aplica el balance de momentum en la dirección z:
19
(W ∆z ) ϕ xz x=0 + ( L∆z ) ϕ yz
− (W ∆z ) ϕ xz
x= L
− ( L∆z ) ϕ yz
y =0
+ (WL ) ϕ zz
y =W
− (WL ) ϕ zz
z0
z0 +∆z
(2.24)
− (WL∆z ) ρ g = 0
6. Se divide entre el volumen de la envoltura, se agrupan los términos formando el
cociente incremental de los términos con ϕ zz y se toma el lim ∆z → 0 , para obtener
la ecuación diferencial:
ϕ xz x =0 − ϕ xz x = L ϕ yz y =0 − ϕ yz y =W dϕ zz
(2.25)
+
−
− ρg = 0
W
L
dz
7. Los fluxes combinados son, en general:
ϕ xz = τ xz + ρ vx vz
(2.26)
ϕ yz = τ yz + ρ v y vz
ϕ zz = p + τ zz + ρ vz vz
8. Pero al considerar que
ϕ xz = 0
ϕ yz = 0
(2.27)
ϕ zz = p
la ecuación diferencial queda:
dp
= ρg
dz
Podemos interpretar esta ecuación diciendo que
−
(2.28)
En condiciones hidrostáticas los cambios de la presión son
debidos solamente a los efectos gravitacionales.
9. La presión es atmosférica en la superficie libre del líquido en el tanque, que se
encuentra a una altura H del fondo del mismo. Es decir que:
p = patm para z = H
(2.29)
10. Integrando (2.28) y utilizando (2.29) para determinar la constante de integración,
tenemos:
(2.30)
p = patm + ρ g ( H − z )
que se puede arreglar también como
(2.31)
P ( z ) = p ( z ) + ρ gz = patm + ρ gH = constante ,
definiendo la presión modificada P ( z ) , como la suma de la presión interna p ( z )
más el peso de la columna de líquido desde el plano z hasta el origen de
coordenadas. Esta suma, en condiciones hidrostáticas, es una constante igual a la
presión en el fondo del tanque. Cualquier cambio en la presión modificada se verá
reflejado en una imposibilidad de mantener las condiciones hidrostáticas, es decir, se
verá reflejado en la ocurrencia de un flujo.
20
Ejercicios de tarea
E2.2.
Encontrar la presión modificada P ( z ) para un tanque de almacenamiento en
condiciones hidrostáticas, si el origen de coordenadas se localiza al nivel del
líquido en el tanque y la dirección de la coordenada vertical es descendente.
E2.3.
Hacer un balance de momentum en la dirección transversal al flujo (dirección
x), para el flujo de una película líquida descendente (§ 2.2) y demostrar que los
cambios de presión son hidrostáticos. Justificar la Ecuación (2.4b) propuesta
allí.
Autoevaluación
Desarrolla un balance de envoltura para la componente x del momentum del ejercicio de la
tarea. Sugerencia: Considera las coordenadas de la tarea y la misma envoltura, pero considera
los flujos de momentum adecuados y la fuerza de gravedad como corresponda.
§ 2.4 Flujo a través de un tubo circular
Hemos de notar que el único aspecto nuevo es la geometría del tubo, que se adapta mejor al
uso de un sistema de coordenadas cilíndricas. Este sistema debe colocarse con el origen en el
eje axial del tubo. Podría estar dirigido hacia arriba o hacia abajo, pero es preferible localizarlo
en el extremo del tubo por donde entra el fluido y dirigir la coordenada axial en la dirección de
la velocidad del flujo. Así la distribución de velocidad será positiva (Ver las Figuras 2.3-1 y
2.3-2 del libro de texto).
Consecuencia de la geometría seleccionada (coordenadas cilíndricas) en el balance de
momentum es que los flujos combinados en dirección z, entrando por la superficie r y
saliendo por la superficie r + ∆r de la envoltura, dan:
(2.32)
( 2π rLϕrz ) r − ( 2π rLϕrz ) r +∆r
que al dividirse entre el volumen de la envoltura ( 2π r ∆rL ) dan:
2π L ( rϕrz ) r − ( rϕrz ) r +∆r 
(2.33)
2π Lr ∆r
Aquí el término 2π L es constante y se ha expresado como factor común en el numerador. El
radio r del numerador no puede factorizarse, puesto que está evaluado en la cara interna de la
envoltura, para el primer término del corchete ( rϕrz ) r y está evaluado en la cara externa de la
envoltura en el segundo término ( rϕrz ) r +∆r ; por lo tanto no se trata de una constante, sino de
una variable que toma dos valores distintos. Al simplificar la expresión (2.33) eliminando las
constantes 2π L en el numerador y el denominador, y tomando el límite cuando ∆r → 0 ,
obtenemos
( rϕrz ) r − ( rϕrz ) r +∆r 1 ∂
(2.34)
lim
=−
( rϕrz )
∆r →0
r ∆r
r ∂r
Ejercicios de tarea
21
E2.4.
Por una columna de pared mojada escurre un líquido por gravedad, si el gas que
ocupa la región central de la columna está estancado, (a) encuentra la
distribución de velocidad en el líquido, sabiendo que el espesor de la película de
líquido es δ = constante . (b) encuentra la velocidad máxima de flujo, la
velocidad media de flujo y la fuerza tangencial que ejerce el líquido sobre la
δ
<< 1 ,
R
encuentra que la distribución de velocidad es equivalente a la del líquido
escurriendo por una pared plana vertical.
pared. (c) Si el espesor es mucho menor que el radio, es decir si
R
R
líquido
L
δ
E2.5
E2.6.
E2.7.
gas
estancado
Problema 2.E del texto
Ejercicio de la § 2.4 desarrollado en el texto
Problema 2.F del texto
22
3. Ecuaciones de balance en flujos isotérmicos
23
4. Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
§ 4.1 Flujo transitorio de un fluido de Ostwald de Waele
Un espacio semi-infinito está ocupado por un fluido de potencias. En el plano y = 0 se tiene
una placa plana, que se desliza tangencialmente a partir de un determinado instante t = 0 , con
una rapidez constante V . Encontrar la distribución de velocidad vx ( y, t ) aplicando un método
de combinación de variables.
Formulación del problema:
La componente importante del tensor de esfuerzos viscosos para el fluido de Ostwald de
Waele, en este problema, está dado por
n −1
∂vx
∂vx
(4.1)
∂y
∂y
y el balance de momentum en dirección x, en un sistema coordenado cartesiano da:
∂τ
∂v
(4.2)
ρ x = − yx
∂t
∂y
de donde tenemos:
n −1
∂vx m ∂  ∂vx
∂vx 


(4.3)
=
ρ ∂y  ∂y
∂t
∂y 


Pero en el semiplano superior ( y > 0 ), la velocidad vx ( y, t ) disminuye cuando y aumenta,
τ yx = − m
entonces
∂vx
∂v
=− x
∂y
∂y
y la ecuación de gobierno se convierte en:
n
∂vx
m ∂  ∂vx  
 −

=−
ρ ∂y  ∂y  
∂t


Con las condiciones iniciales y de frontera:
vx ( y > 0, t = 0 ) = 0
vx ( y = 0, t ≥ 0 ) = V
(4.4)
(4.5)
(4.6)
vx ( y → ∞ ) = 0
El método de combinación de variables será aplicable si existe una variable combinada
η ( y, t ) , que reduce el problema planteado en (4.5) y (4.6) a una EDO con dos condiciones de
frontera compatibles. Proponemos que
η ( y, t ) = Cyt p
(4.7)
De modo que la solución es solamente función de η :
vx η ( y, t ) 
(4.8)
Entonces
24
∂vx dvx ∂η
dv
=
= Cpyt p −1 x
∂t
dη ∂t
dη
∂vx
dvx ∂η
dv
−
=−
= −Ct p x
∂y
dη ∂y
dη
(4.9)
(4.10)
n
n
n −1 2

d vx
∂  ∂vx   ∂ 
p dvx 
2 2p 
p dvx 
 −
  =  −Ct
  = − nC t  −Ct

∂y  ∂y   ∂y 
dη  
dη  dη 2





de donde la ecuación (4.5) da:
dvx mn C n t np +1  dvx 
=
−

dη
py  dη 
ρ
n −1
d 2 vx
dη 2
(4.11)
(4.12)
25