o teorema de wedderburn e o teorema de jacobson

o teorema de wedderburn e o teorema de jacobson

Universidade Estadual de Campinas
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
HEITOR BALDO
1
O TEOREMA DE WEDDERBURN E
O TEOREMA DE JACOBSON
Campinas, 2013
1
RA 091492 / E-mail Adress: [email protected]
1
2
Resumo
O objetivo principal desse texto é enunciar e provar o Teorema de Jacobson para anéis, por vezes chamado Teorema de Comutatividade de Jacobson. Também enunciamos e provamos outros teoremas, como o Teorema
de Wedderburn, além de apresentar uma concisa introdução de alguns conceitos muito utilizados em Teoria dos Anéis (principalmente para anéis nãocomutativos) como anéis semisimples e o radical de Jacobson.
3
4
Introdução
Em 1905 Joseph Wedderburn provou em [7] que um anel de divisão finito é
um corpo, que é hoje o tão conhecido Teorema de Wedderburn. Mais tarde,
um dos seus alunos de doutorado na Universidade de Princeton chamado
Nathan Jacobson enunciou e provou um belo teorema que notávelmente é
uma generalização do Teorema de Wedderburn.
No seu famoso paper ”Structure theory for algebraic algebras of bounded
degree” [6], publicado em 1945 no Annals of Mathematics, Jacobson demonstrou que se R é um anel tal que para todo a ∈ R existe um inteiro n(a) > 1
com an(a) = a implica que R é comutativo. Além disso Jacobson foi o reponsável pela demonstração de outros teoremas importantes, como o Teorema da Densidade de Jacobson em seu outro paper de 1945 ”Structure Theory of Simple Rings Without Finiteness Assumptions” [5].
A prova do Teorema de Jacobson apresentada nesse texto utiliza o importante ”Wedderburn Structure Theorem” que afirma que todo anel semisimples é isomorfo a um produto direto finito de anéis de matrizes sobre anéis de
divisão. Não obstante não incluı́mos aqui uma prova desse teorema, apenas
mencionamos que uma prova simples pode ser encontrada em [8].
5
6
1. Definições Básicas
Vamos expor nessa parte várias definições necessárias para o entendimento do texto. Todos os anéis aqui considerados são associativos.
Definição 1.1. Um anel associativo R com elemento unidade, 1 ∈ R, é
dito ser um anel de divisão se todo elemento não nulo de R tem um inverso
multiplicativo, ou seja, ∀a ∈ R\{0}, ∃b ∈ R\{0} tal que ab = ba = 1.
Definição 1.2. Seja R um anel com 1 ∈ R. Um elemento a ∈ R é dito
ser uma unidade de R se existe b ∈ R tal que ab = ba = 1.
Definição 1.3. Um corpo é um anel de divisão comutativo.
Definição 1.4. Seja R um anel. Um elemento a ∈ R é dito idempotente
se a2 = a.
Definição 1.5. Seja R um anel. O centro de R é o subconjunto Z(R) ⊆ R
dado por Z(R) = {x ∈ R | rx = xr, ∀r ∈ R}.
Definição 1.6. Seja R um anel com identidade, 1 ∈ R. Então definimos
a caracterı́stica de R sendo o menor inteiro positivo n tal que n.1 = 0. Se R
tem caracterı́stica n, denotamos char(R) = n.
Definição 1.7. Seja R um anel e I ⊂ R um ideal próprio, i.e., I =
6 R.
Então I é dito ser um ideal maximal de R se não existe ideal próprio J em
R tal que I $ J $ R.
Definição 1.8. Sejam R1 , . . . , Rk anéis com identidade. Então o conjunto Πki=1 Ri = R1 × . . . × Rk = {(r1 , . . . , rk ) | ri ∈ Ri , i ∈ Ik } junto com as
operações:
(r1 , . . . , rk ) + (s1 , . . . , sk ) = (r1 + s1 , . . . , rk + sk )
(r1 , . . . , rk ).(s1 , . . . , sk ) = (r1 s1 , . . . , rk sk )
com ri , si ∈ Ri , é um anel, (Πki=1 Ri , +, .), chamado produto direto finito dos
anéis R1 , . . . , Rk .
Definição 1.11. O Radical de Jacobson de um anel R, denotado por
J(R) (às vezes por rad(R)) é a intersecção de todos ideais maximais à esquerda de R, ou seja:
\
J(R) =
Iλ
7
onde Iλ são os ideais maximais à esquerda de R.
Note que J(R) é um ideal bilateral.
Definição 1.13. Seja R um anel e seja I ⊂ R um ideal. Então I é
dito ser um ideal principal se ele é gerado por um único elemento a ∈ R e
denotamos I = (a) = Ra = aR = {ar | r ∈ R}.
Definição 1.14. Um anel R é dito ser semisimples se J(R) = (0).
Definição 1.15. Seja F um corpo. Então o menor subcorpo de F
contendo a identidade (multiplicativa) 1F é chamado corpo primo.
Definição 1.16. Dado um corpo F , dizemos que L (corpo) é uma extensão de F se F é subcorpo de L. Denotamos essa extensão de corpos por
F ⊂ L ou L/F .
Definição 1.17. Seja F ⊂ L extensão de corpos e seja a ∈ L. Então a
é dito ser um elemento algébrico sobre F se existe um polinômio não nulo
p(x) ∈ F [x] tal que p(a) = 0.
Definição 1.18. Seja F ⊂ L extensão de corpos e a ∈ L tal que a ∈
/ F.
Então denotamos por F (a) o menor corpo tal que F ⊂ F (a) e a ∈ F (a).
2. Teorema de Wedderburn
Apresentamos aqui uma prova simples do teorema de Wedderburn que
pode ser encontrada em [2]. A Proposição abaixo será utilizada na demonstração desse teorema e sua prova também pode ser encontada em [2].
Proposição 2.1. Seja R um anel de divisão com caracterı́stica char(R) =
n
p 6= 0 e seja Z(R) o seu centro. Se x ∈ R, a ∈
/ Z(R) e é tal que ap = a para
algum inteiro n ≥ 1, então existe um x ∈ R tal que xax−1 = ai 6= a para
algum i ∈ Z.
Teorema 2.2. (Wedderburn) Um anel de divisão finito é um corpo finito.
Demonstração. Como um corpo é um anel de divisão comutativo, vamos
supor que R seja um anel de divisão finito não-comutativo e chegar a uma
contradição. Seja Z(R) o seu centro. Suponha char(R) = p e que R tenha
cardinalidade |R| = pn . Sejam a, b ∈ R tais que ab 6= ba, mas exista um
inteiro t tal que abt = bt a, então bt ∈ Z(R). Sendo Z(bt ) = {x ∈ R | xbt =
8
bt x} um subanel de divisão de R contendo a e b ⇒ Z(bt ) não é comutativo e
então Z(bt ) = R.
Seja u ∈ R e seja m(u) a mı́nima potência positiva tal que um(u) ∈ Z(R).
Escolha a ∈ R com a ∈
/ Z(R) tal que r = m(a) é mı́nimo. Claramente,
então, r é um número primo. Pela Proposição 2.1, existe um x ∈ R tal que
k
xax−1 = ai 6= a para algum i ∈ Z. Daı́ xk ax−k = ai , em particular para
k = r − 1 e desde que ir−1 ≡ 1 mod(r) ⇒ x(r−1) ax−(r−1) = λa, com λ ∈ Z.
Desde que xa 6= ax e xr−1 ∈
/ Z para r − 1 < r, concluı́mos que λ 6= 1. Seja
r−1
b = x . Então temos que bab−1 = λa, daı́ λr ar = (bab−1 )r = bar b−1 = ar e
assim λr = 1. Portanto temos abr = br a e daı́ br ∈ Z.
Considere ar = α ∈ Z e br = β ∈ Z.
Sejam Z(a) = {x ∈ R | xa = ax} e Z(b) = {x ∈ R | xb = bx}.
P
i
Afirmamos que se u0 + r−1
i=1 ui b = 0 com ui ∈ Z(a), então cada ui = 0.
Pk
Para u0 + i=1 ui bmi = 0, considere que m1 < . . . < mk < r seja a
menor relação;
com a e usando o fato a−1 bi a = λi bi , obtemos
Pk combinando
que u0 + i=1 λmi ui bmi = 0. Colocando um contra o outro e usando que
λr = 1, λ 6= 1 e r é primo, obtemos o resultado. Em particular os polinômios
tr − α e tr − β são polinômios mı́nimos para a e b respectivamente sobre
Z(R). Daı́ (Z(a) : Z(R)) = (Z(b) : Z(R)) = r.
Agora b induz um automorfismo de ordem r, φ : Z(a) −→ Z(a), dado
por φ(x) = bxb−1 e desde que (Z(a) : Z(r)) = r e φ deixa o centro Z(R)
fixo, as potências de φ produzem todos os automorfismos de Z(a) que deixa
Z(R) fixo. Pela finitude de Z(a), todo elemento u 6= 0 com u ∈ Z(R)
pode ser escrito como u = xφ(x)...φr−1 (x) com x ∈ Z(a). Em particular
β −1 = yφ(y)...yφr−1 (y), para algum y ∈ Z(A), onde β = br .
Mas (1 − yb)(1 + yb + yφ(y)b2 + . . . + yφ(y)...φr−2 (y)br−1 ) = 0.
Assim ou (1 − yb) = 0 ou (1 + yb + yφ(y)b2 + . . . + yφ(y)...φr−2 (y)br−1 ) =
0. Desde que y ∈ Z(a), nenhuma das duas igualdade acima é possı́vel.
Contradição. 3. Teoremas Preliminares
Nesta parte enunciamos vários teoremas necessários para a demonstração
do Teorema de Jacobson, omitindo suas demosntações por conveniência.
Contudo podemos encontrá-las em [2], [3] e [8].
9
Teorema 3.1. Seja R anel e J(R) o radical de Jacobson de R. Se
x ∈ J(R) ⇒ 1 + x é uma unidade.
Teorema 3.2. Qualquer produto de matrizes sobre anéis de divisão é
semisimples, ou seja se {Ri }i∈Λ são anéis de divisão, então o anel Πki=1 Mni (Ri )
é semisimples, onde Mni (Ri ) são anéis de matrizes ni × ni .
O fato de que todos os anéis semisimples são desta forma está contido na
afirmação do teorema abaixo que é conhecido como Wedderburn Structure
Theorem. Uma prova desse teorema pode ser encontrada em [8].
Teorema 3.3. Todo anel semisimples R é isomorfo a um produto direto
finito de matrizes sobre anéis de divisão.
Ou seja, o teorema acima diz que se R é semisimples então R ∼
= Πki=1 Mni (Ri ),
onde Mni (Ri ) são anéis de matrizes ni × ni sobre anéis de divisão Ri .
É importante dizer também que o produto direto finito de anéis coincide com a soma direta anéis. Assim podemos escrever Πki=1 Mni (Ri ) =
L
k
i=1 Mni (Ri ).
O teorema abaixo é uma consequência imediata do Teorema de Wedderburn.
Teorema 3.4. Se R é um anel de divisão com caracterı́stica char(r) =
p 6= 0 e S ⊂ R é um subgrupo multiplicativo de R, então S é abeliano.
Teorema 3.5. Seja F um corpo e K ⊂ F um corpo primo. Então ou
K ∼
= Q (isomorfo aos racionais) ou K ∼
= Fp , onde Fp é um corpo finito de
ordem p, com p primo.
Teorema 3.6. Se R é um anel de integridade, então ou char(R) = p,
com p primo, ou char(R) = 0.
Teorema 3.7. Seja R um anel de divisão no qual ∀a ∈ R existe um
inteiro n(a) > 1 tal que an(a) = a. Então R é comutativo.
Demonstração. Desde que R seja um anel de integridade, temos que
char(R) = p 6= 0, para algum primo p. Suponha que R não seja comutativo.
Seja Z(R) ⊂ R o centro de R. Como Z(R) é subanel de divisão e é comutativo
⇒ Z(R) é corpo. Seja P ⊂ Z(R) corpo primo. Como R não é comutativo,
existe a ∈ R tal que a ∈
/ Z(R). Desde que a seja algébrico sobre P e pelo
∼
Teorema 3.5, P = Fp ⇒ a cardinalidade do corpo P (a) é uma potência
k
do primo p, i.e., pk , e temos que ap = a. Pela Proposição 2.1, existe um
10
b ∈ R tal que bab−1 = ai 6= a. Isso juntamente com o fato de que a e b são
de perı́odo finito ⇒ a e b geram um subgrupo multiplicativo S ⊂ R. Pelo
Teorema 3.4, S é abeliano, mas a, b ∈ S e ab 6= ba, que não pode ser. Logo
R deve ser comutativo. Teorema 3.8. Seja R um anel com unidade (1 ∈ R) no qual ∀a ∈ R
existe um 1 < n(a) ∈ Z tal que an(a) = a. Então R é comutativo.
Demonstração. Vamos considerar que R seja um anel semisimples, pois
se R não é semisimples, então J(R) 6= (0), daı́ existe um x 6= 0 em J(R) e
como x ∈ R, por hipótese existe inteiro n(x) > 1 tal que xn(x) = x, ou seja
x(1 − xn(x)−1 ) = 0. Mas x ∈ J(R) ⇒ (−xn(x)−1 ) ∈ J(R). Pelo Teorema 3.1,
1 − xn(x)−1 é uma unidade, então existe y ∈ R tal que (1 − xn(x)−1 )y = 1.
Mas x(1 − xn(x)−1 ) = 0 ⇒ x(1 − xn(x)−1 )y = 0 ⇒ x = 0, que não pode ser.
Logo basta provar para os anéis semisimples.
Lk
Seja então R anel semisimples. Pelo Teorema 3.3 temos que R ∼
= i=1 Mni (Ri ),
onde Mni (Ri ) são anéis de matrizes ni × ni sobre anéis de divisão Ri . Por
hipótese, ∀A ∈ M existe um inteiro n(A) > 1 tal que An(A) = A. Considere
ni > 1 e seja A ∈ Mni (Ri ) um elemento da forma


0 1 0 ... 0
0 0 0 . . . 0


 ..
..
.. 
.
.
.
0 0 0 ... 0
então A2 = 0, que não pode ser, pois daı́ não existe
Lk inteiro n(A) > 1 tal que
n(A)
∼
A
= A. Assim ni = 1 para todo i ⇒ R = i=1 Ri , mas pelo Teorema
3.7 cada Ri é comutativo ⇒ R é também comutativo. 4. O Teorema de Jacobson
Chegamos agora ao objetivo principal deste texto que é a demonstração de
uma ampla e notável generalização do Teorema de Wedderburn. No Teorema
11 do artigo [6] Jacobson provou (de maneira diferente da exposta aqui) o
seguinte:
Teorema 4.1. (Jacobson) Seja R um anel tal que para todo elemento
a ∈ R existe um inteiro n(a) > 1, que depende de a, tal que an(a) = a. Então
R é um anel comutativo.
11
Demonstração. Sejam a, b ∈ R. Como ab − ba ∈ R, por hipótese se
n(ab − ba) = m ⇒ (ab − ba)m = ab − ba ⇒ ((ab − ba)m−1 )2 = (ab − ba)m−1 ,
ou seja, (ab − ba)m−1 é um elemento idempotente de R.
Seja u ∈ R um elemento idempotente qualquer. Então ∀a ∈ R temos
(au − uau)2 = 0, para ver isso basta expandir e usar o fato de que u2 = u. Se
(au − uau) 6= 0, não podemos ter (au − uau)k = (au − uau) 6= 0, para algum
k = n(au − uau) > 1. Então (au − uau) = 0. Igualmente podemos mostrar
que (ua − uau) = 0. Agora, subtraindo temos (au − uau) − (ua − uau) =
0 = au − ua ⇒ au = ua, que significa que todo elemento idempotente u de
R está no centro Z(R).
Considere R0 = uR = Ru (ideal principal). Então R0 é um anel com
u um elemento idempotente. Pelo Teorema 3.8 ⇒ R0 é comutativo. Daı́
para todos a, b ∈ R, temos que abu = (au)(bu) = (bu)(au) = bau. Portanto
(ab − ba)u = 0 para todo idempotente u ∈ R.
Desde que (ab − ba)m−1 seja idempotente, (ab − ba)(ab − ba)m−1 = (ab −
ba)m = (ab − ba) = 0. Assim ab = ba ⇒ R é comutativo. 12
Referências Bibliográficas
[1] I. N. Herstein. Topics in Algebra. New York, NY: John Wiley, 1975.
[2] I. N. Herstein. Noncommutative Rings. Washington, DC: The Mathematical Assoc. of America, 1994.
[3] T. Y. Lam. A first course in noncommutative rings. New York, NY:
Springer, 2nd ed, 2001.
[4] I. N. Herstein. An elementary proof of a theorem of Jacobson. Duke
Math. J.21 (1954), 45-48.
[5] N. Jacobson. Structure Theory of Simple Rings Without Finiteness
Assumptions. Trans. Amer. Math. Soc., vol. 57 (1945), 228-245.
[6] N. Jacobson. Structure theory for algebraic algebras of bounded degree.
Ann. of Math. 46 (1945), 695-707.
[7] J. H. M. Wedderburn. A theorem on finite algebras. Trans. Amer.
Math. Soc., vol. 6 (1905), 349-352.
[8] B. Farb and R. K. Dennis. Noncommutative Algebra. New York, NY:
Springer, 1993.
13