pos. Anillos de polinomios

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pos. Anillos de polinomios
Tema 6.6.1
Nociones preliminares: anillos, cuerpos. Anillos de polinomios
Anillos y cuerpos
Definición 6.1.1.– Un anillo es una terna (A, +, ·) formada por un conjunto
A y dos operaciones binarias +, · verificando:
1. El par (A, +) es un grupo abeliano, cuyo elemento neutro llamaremos
normalmente “cero (0)”.
2. La operación binaria · es asociativa y tiene elemento neutro, que llamaremos normalmente “uno (1)”.
3. La operación · es distributiva a la derecha y a la izquierda respecto de la
operación +, i.e. para todos x, y, z ∈ A, se tiene (x + y) · z = x · z + y · z,
x · (y + z) = x · y + x · z.
Si además la operación · es conmutativa, diremos que el anillo es conmutativo.
Nota 6.1.2.–
1. En general se usará la expresión “sea A un anillo”, sobreentendiendo las
operaciones. La operación · se notará normalmente por simple yuxtaposición.
2. En un anillo A se tiene 0 · x = x · 0 = 0 para todo x ∈ A.
3. Si en un anillo A se tiene 1 = 0, entonces A = {0}.
4. Para todo x, y ∈ A, ese tiene x(−y) = (−x)y = −(xy).
5. Si A1 , . . . , An son anillos, el producto cartesiano A1 × · · · × An posee
una estructura natural de anillo, donde las operaciones están definidas
componente a componente.
Ejemplo 6.1.3.–
1. Z, Q, R, C son anillos conmutativos. La estructura de anillo de Z viene
determinada por la de grupo aditivo: el producto de dos enteros xy coincide con el múltiplo de y con coeficiente x. Ası́ pues, la estructura de anillo
de Z no añade nada nuevo a la de grupo. Esto es falso para Q, R y C
en los que, obviamente, la estructura multiplicativa no viene determinada
por la aditiva.
2. El conjunto M(n) de las matrices n × n sobre Q, R o C es un anillo,
con respecto a la adición y la multiplicación ordinaria de matrices. No es
conmutativo.
1
3. En el grupo (Zn , +) (ver ejemplo 9.1.3, 5) podemos definir un producto
de la siguiente manera:
(a, b) ∈ Zn × Zn → a · b := resto de la división de ab entre n.
De esta forma Zn es un anillo.
Definición 6.1.4.– Sea A un anillo. Una unidad es un elemento que posee un
simétrico multiplicativo (a la izquierda y a la derecha), que llamaremos inverso.
El conjunto de las unidades de A es un grupo para el producto y se notará A∗ .
Un cuerpo es un anillo conmutativo tal que todo elemento distinto de cero es
una unidad, i.e. A∗ = A − {0}. (En algunos textos también se llaman cuerpos
aquellos anillos no necesariamente conmutativos tales que todos sus elementos
no nulos son unidades. En otros textos a estos anillos se les llama anillos de
división).
Ejemplo 6.1.5.–
1. Las unidades de Z son 1, −1. Los anillos Q, R, C son cuerpos.
2. El grupo de las unidades del anillo M(n, k) con k = Q, R ó C es GL(n, k).
Definición 6.1.6.– Sea A un anillo. Un subanillo de A es un subconjunto
B ⊂ A que es un subgrupo de (A, +), que es estable para la operación · y tal
que 1 ∈ B.
Si A es un cuerpo, diremos que B es un subcuerpo de A si es un subanillo y
además x−1 ∈ B para todo x ∈ B − {0}.
A partir de ahora sólo trabajaremos con anillos conmutativos. Ası́ pues, la
palabra ‘anillo’ significará siempre anillo conmutativo.
Definición 6.1.7.– Sea A un anillo. Un elemento x ∈ A se llamará un divisor
de cero si y sólo si es distinto de cero y existe y ∈ A, y = 0, tal que xy = 0.
Un anillo sin divisores de cero se llama un dominio de integridad. Un elemento
x ∈ A se llamará nilpotente si es distinto de cero y existe un entero n > 0 tal
que xn = 0. En un dominio de integridad se da la propiedad cancelativa por el
producto de elementos no nulos:
a = 0, ab = ac ⇒ b = c.
Ejemplo 6.1.8.–
1. Las unidades no son divisores de cero. Ası́, todo cuerpo es un dominio de
integridad.
2. Z es un dominio de integridad.
3. El anillo Z4 no es un dominio de integridad. El anillo Z3 es un cuerpo.
2
4. El elemento 2 es nilpotente en Z4 .
Definición 6.1.9.– Sea A un anillo. Un ideal de A es un subconjunto I de A
que verifica:
1. I es un subgrupo del grupo aditivo de A.
2. Para todo a ∈ I , x ∈ A se tiene xa ∈ I.
Nota 6.1.10.– Sea I ⊂ A un ideal de A. Se tiene:
1. Si I contiene una unidad, entonces I = A.
2. Si A es un cuerpo, sus únicos ideales son {0} y A.
3. El grupo cociente A/I admite una estructura canónica de anillo. En efecto,
basta ver que la fórmula
(a + I)(b + I) = ab + I
define una operación en A/I. Si a + I = a + I y b + I = b + I es a − a ∈ I,
y b − b ∈ I. Ası́
ab − a b = ab − ab + ab − a b = a(b − b ) + (a − a )b ∈ I,
lo que prueba nuestro aserto.
4. Los ideales de Z y los subgrupos son la misma cosa, pues la estructura
multiplicativa viene determinada por la aditiva.
Definición 6.1.11.– Sea I un ideal de A. Decimos que I es primo si xy ∈ I
implica que x ∈ I o bien y ∈ I.
Proposición 6.1.12.– Sea A un anillo, I ideal de A. Entonces A/I es dominio
de integridad si y solamente si I es un ideal primo.
Definición 6.1.13.– Si A es un anillo y S ⊂ A no vacı́o. El ideal generado o
engendrado por S es el menor ideal en A que contiene a S. Lo notaremos por
(S) o bien S. Es fácil ver que
S = {x1 a1 + · · · + xn an | x1 , . . . , xn ∈ A, a1 , . . . , an ∈ S}.
Si S = {a} el ideal de llama principal. Todo ideal de Z es principal.
Definición 6.1.14.– Sean A, B anillos, f : A → B una aplicación. Se dirá que
f es un homomorfismo de anillos si verifica:
1. Para todos x, y ∈ A, es f (x + y) = f (x) + f (y).
2. Para todos x, y ∈ A, es f (xy) = f (x)f (y).
3. f (1) = 1.
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Un homomorfismo biyectivo se llama un isomorfismo.
Proposición 6.1.15.– Sea f : A → B un homomorfismo de anillos. Se tienen
las siguientes propiedades:
1. ker(f ) := {a ∈ A | f (a) = 0} es un ideal de A, y f es inyectivo si y sólo si
ker(f ) = {0}.
2. Si u ∈ A es una unidad, entonces f (u) es una unidad en B. En particular
cualquier homomorfismo (de anillos) entre cuerpos es inyectivo.
3. Im(f ) = {b ∈ B | ∃a ∈ A, f (a) = b} es un subanillo de B.
Proposición 6.1.16.– Primer teorema de isomorfı́a. Sea f : A → B un
morfismo de anillos. Entonces A/ ker(f ) es isomorfo a Im(f ).
Proposición 6.1.17.– Segundo teorema de isomorfı́a. Sea A un anillo, I ⊂ A
un ideal, y B ⊂ A un subanillo. Entonces B + I es un subanillo de A, I es un
ideal de B + I, B ∩ I es un ideal de B, y existe un isomorfismo de anillos
(B + I)/I ∼
= B/(B ∩ I).
Proposición 6.1.18.– Tercer teorema de isomorfı́a. Sea A un anillo y sean
I, J ideales de A con i ⊂ J. Entonces J/I es un ideal de A/I y
A/J ∼
= (A/I)/(J/I).
6.2
Anillos de polinomios
Sea Z+ el conjunto de enteros no negativos. Si A es un anillo, llamamos A[X]
al conjunto de funciones f : Z+ → A tales que f (n) = 0 para todo n ∈ Z+ salvo
un número finito de ellos. Definimos las operaciones
(f + g)(n)
= f (n) + g(n)
(f g)(n) = nm=0 f (m)g(n − m).
A[X] tiene estructura de anillo con ellas (ejercicio). A[X] se denomina el anillo de polinomios en la indeterminada X y coeficientes en A. Nótese que la
indeterminada X no aparece en la definición de A[X]. Para ver que nuestra
definición coincide con la que estamos acostumbrados, definimos X como una
función sobre Z+ de la forma
1 si m = 1
X(m) =
0 si m = 1
4
n
Entonces la función X = X · . . . · X verifica
1 si m = n
n
X (m) =
0 si m =
n
n
Entonces todo elemento f ∈ A[X] se puede escribir de manera única como
f=
f (n)X n
n≥0
donde la suma se refiere a un número finito de sumandos, donde no se anula f .
Observemos que la función X 0 identifica la función 1 : Z+ → A definida por
1 si m = 0
1(m) =
0 si m > 0
Se tiene que



an X n  
n≥0

bn X n  =
n≥0
donde
cn =
n
cn X n
n≥0
am bn−m .
m=0
El grado de f (X) es
el mayor n tal que an es no nulo. Si grado(f (X)) = n
n
escribiremos f (X) = k=0 ak X k . El coeficiente an se denomina coeficiente lı́der
de f (X). Si es igual a 1, decimos que f (X) es un polinomio mónico. Asignamos
grado(0) = −∞, y por conveniencia en el manejo de fórmulas establecemos que
−∞ < n y −∞ + n = −∞ para cualquier n ∈ Z+ . S
De forma completamente análoga se puede definir el anillo de polinomios en
varias variables A[X1 , . . . , Xn ] = A[X1 , . . . , Xn−1 ][Xn ], y todo elemento de este
anillo se puede escribir
ai1 ...in X1i1 · · · Xnin .
f (X1 , . . . , Xn ) =
finita
Definición 6.2.1.– Sea A un anillo y k un subcuerpo de A (i.e. k es un
subanillo de A que es un cuerpo). Dado un polinomio f (X) = ad X d + · · · + a0 ∈
k[X] y dado α ∈ A definimos “el valor de f (X) en α” como:
f (α) = ad αd + · · · + a0 ∈ A.
Diremos que α es una raı́z (o un cero) de f (X) si f (α) = 0.
Proposición 6.2.2.– (Propiedad universal de los anillos de polinomios) Sea
φ : A → B un homomorfismo de anillos y b ∈ B. Entonces existe un único
homomorfismo de anillos Φ : A[X] → B tal que Φ(X) = b y P hi(a) = φ(a) para
todo a ∈ A.
5
Ejemplo 6.2.3.– Si en la definición anterior tomamos A = k[X] y α = X + a,
con a ∈ k, el homomorfismo de “sustitución”
f (X) ∈ k[X] → f (X + a) ∈ k[X]
es de hecho un automorfismo de anillos.
Por ejemplo, sea k = Q; la sustitución de X por X − 1 lleva al polinomio
X 2 + X + 1 sobre
(X − 1)2 + (X − 1) + 1 = X 2 − X + 1,
y la sustitución de X por X + 1 lleva a X 2 − X + 1 sobre
(X + 1)2 − (X + 1) + 1 = X 2 + X + 1.
Lema 6.2.4.– Sea A un anillo y f (X), g(X) ∈ A[X]. Entonces
1. grado(f (X) + g(X)) ≤ max{grado(f (X)), grado(g(X))}.
2. grado(f (X)g(X)) ≤ grado(f (X)) + grado(g(X)).
3. La igualdad se tiene en el caso anterior si los coeficientes lı́deres de f (X)
y g(X) no son divisores de cero. En particular, cuando A es un dominio
de integridad.
Corolario 6.2.5.– Si A es un dominio de integridad, entonces
1. A[X] es un dominio de integridad.
2. Las unidades de A[X] son las unidades de A.
Nota 6.2.6.– Sea f (X) = a0 + a1 X + . . . + an X n ∈ A[X] y g(X) = b0 +
b1 X + . . . bm−1 X m−1 + X m un polinomio mónico, de grado m ≥ 1. Si n ≥
m, sea q1 (X) = an X n−m . Entonces f1 (X) = f (X) − g(X)q1 (X) tiene grado
menor o igual que n − 1. Si grado(f1 (X)) ≥ m, repetimos el proceso con
f1 (X). Tras un número finito de pasos llegamos a un polinomio fs (X) de
grado estrictamente menor que m. Si llamamos q(X) = q1 (X) + . . . + qs (X) y
r(X) = f (X) − q(X)g(X) obtenemos una ecuación
f (X) = g(X)q(X) + r(X)
donde grado(r(X)) < grado(g(X)). Este proceso no es más que la tradicional
división de polinomios.
Proposición 6.2.7.– Algoritmo de división. Sea A un anillo, f (X), g(X) ∈
A[X] con g(X)mónico. Entonces existen unos únicos q(X), r(X) ∈ A[X] con
grado(r(X)) < grado(g(X)) tales que
f (X) = g(X)q(X) + r(X).
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Decimos que g(X) divide a f (X) si en lo anterior se obtiene r(X) = 0.
Corolario 6.2.8.– Sea A un anillo y a ∈ A. Entonces para cualquier f (X) ∈
A[X] existe q(X) ∈ A[X] tal que
f (X) = (X − a)q(X) + f (a).
Corolario 6.2.9.– Sea f (X) ∈ A[X] y a ∈ A. Entonces f (a) = 0 si y
solamente si X − a divide a f (X).
Corolario 6.2.10.– Sea A un dominio de integridad y f (X) = 0 ∈ A[X] un
polinomio de grado n. Entonces existen a lo más n raı́ces de f (X) en A.
Corolario 6.2.11.– Sea A un dominio de integridad y f (X), g(X) ∈ A[X] de
grado menor o igual que n. Si f (a) = g(a) para n + 1 valores distintos de a ∈ A,
entonces f (X) = g(X).
Definición 6.2.12.– Sea f (X) ∈ A[X] un polinomio no nulo y a ∈ A una raı́z
de f (X). Entonces X − a divide a f (X) en A[X]. Al máximo entero s > 0 tal
que (X − a)s |f (X) se le llama la multiplicidad de a como raı́z de f (X). Se dirá
que a es una raı́z simple de f (X) si s = 1. En caso contrario se dirá que es
múltiple.
Definición 6.2.13.– Sea A un anillo y
f (X) = X n + a1 X n−1 + . . . + an−1 X + an ∈ A[X].
Se define la derivada por la regla formal
f (X) =
d
f (X) = nX n−1 + (n − 1)a1 X n−2 + . . . + an−1 .
dX
De la misma forma que en Cálculo elemental, se prueban las siguientes propiedades de la derivación de polinomios:
1. (f (X) + g(X)) = f (X) + g (X).
2. Si a ∈ A, es (af (X)) = af (X).
3. (f (X)g(X)) = f (X)g(X) + f (X)g (X)
Las derivadas de orden superior f (i) (X) se definen como las derivadas sucesivas
de f (X).
Proposición 6.2.14.– Sea k el cuerpo Q, R o C, f (X) ∈ k[X] un polinomio
no nulo y α ∈ k una raı́z de f (X). La multiplicidad de la raı́z α de f (X) es
el entero s tal que f (i) (α) = 0, para todo i = 0, 1, . . . , s − 1 y f (s) (α) = 0 (por
derivada de orden cero se entiende el polinomio).
Definición 6.2.15.– Sea A un dominio de integridad. Diremos que A es un
dominio euclı́deo si existe una aplicación δ : A \ {0} → N tal que:
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1. Si a, b ∈ A \ {0} y a|b, entonces δ(a) ≤ δ(b).
2. (División entera con resto respecto de δ) Dados D, d ∈ A, d = 0, existen
c, r ∈ A tales que D = dc + r y r = 0 o bien δ(r) < δ(d).
Por el comentario anterior es obvio que Z y k[X] son dominios euclı́deos,
para δ(a) = |a| en el primer caso, y δ(f ) = grado(f ) en el segundo.
En la segunda propiedad de la definición no se exige que el “cociente” c y el
“resto” r sean únicos. De hecho después veremos ejemplos en los que no se da
esta unicidad.
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