pos. Anillos de polinomios
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pos. Anillos de polinomios
Tema 6.6.1 Nociones preliminares: anillos, cuerpos. Anillos de polinomios Anillos y cuerpos Definición 6.1.1.– Un anillo es una terna (A, +, ·) formada por un conjunto A y dos operaciones binarias +, · verificando: 1. El par (A, +) es un grupo abeliano, cuyo elemento neutro llamaremos normalmente “cero (0)”. 2. La operación binaria · es asociativa y tiene elemento neutro, que llamaremos normalmente “uno (1)”. 3. La operación · es distributiva a la derecha y a la izquierda respecto de la operación +, i.e. para todos x, y, z ∈ A, se tiene (x + y) · z = x · z + y · z, x · (y + z) = x · y + x · z. Si además la operación · es conmutativa, diremos que el anillo es conmutativo. Nota 6.1.2.– 1. En general se usará la expresión “sea A un anillo”, sobreentendiendo las operaciones. La operación · se notará normalmente por simple yuxtaposición. 2. En un anillo A se tiene 0 · x = x · 0 = 0 para todo x ∈ A. 3. Si en un anillo A se tiene 1 = 0, entonces A = {0}. 4. Para todo x, y ∈ A, ese tiene x(−y) = (−x)y = −(xy). 5. Si A1 , . . . , An son anillos, el producto cartesiano A1 × · · · × An posee una estructura natural de anillo, donde las operaciones están definidas componente a componente. Ejemplo 6.1.3.– 1. Z, Q, R, C son anillos conmutativos. La estructura de anillo de Z viene determinada por la de grupo aditivo: el producto de dos enteros xy coincide con el múltiplo de y con coeficiente x. Ası́ pues, la estructura de anillo de Z no añade nada nuevo a la de grupo. Esto es falso para Q, R y C en los que, obviamente, la estructura multiplicativa no viene determinada por la aditiva. 2. El conjunto M(n) de las matrices n × n sobre Q, R o C es un anillo, con respecto a la adición y la multiplicación ordinaria de matrices. No es conmutativo. 1 3. En el grupo (Zn , +) (ver ejemplo 9.1.3, 5) podemos definir un producto de la siguiente manera: (a, b) ∈ Zn × Zn → a · b := resto de la división de ab entre n. De esta forma Zn es un anillo. Definición 6.1.4.– Sea A un anillo. Una unidad es un elemento que posee un simétrico multiplicativo (a la izquierda y a la derecha), que llamaremos inverso. El conjunto de las unidades de A es un grupo para el producto y se notará A∗ . Un cuerpo es un anillo conmutativo tal que todo elemento distinto de cero es una unidad, i.e. A∗ = A − {0}. (En algunos textos también se llaman cuerpos aquellos anillos no necesariamente conmutativos tales que todos sus elementos no nulos son unidades. En otros textos a estos anillos se les llama anillos de división). Ejemplo 6.1.5.– 1. Las unidades de Z son 1, −1. Los anillos Q, R, C son cuerpos. 2. El grupo de las unidades del anillo M(n, k) con k = Q, R ó C es GL(n, k). Definición 6.1.6.– Sea A un anillo. Un subanillo de A es un subconjunto B ⊂ A que es un subgrupo de (A, +), que es estable para la operación · y tal que 1 ∈ B. Si A es un cuerpo, diremos que B es un subcuerpo de A si es un subanillo y además x−1 ∈ B para todo x ∈ B − {0}. A partir de ahora sólo trabajaremos con anillos conmutativos. Ası́ pues, la palabra ‘anillo’ significará siempre anillo conmutativo. Definición 6.1.7.– Sea A un anillo. Un elemento x ∈ A se llamará un divisor de cero si y sólo si es distinto de cero y existe y ∈ A, y = 0, tal que xy = 0. Un anillo sin divisores de cero se llama un dominio de integridad. Un elemento x ∈ A se llamará nilpotente si es distinto de cero y existe un entero n > 0 tal que xn = 0. En un dominio de integridad se da la propiedad cancelativa por el producto de elementos no nulos: a = 0, ab = ac ⇒ b = c. Ejemplo 6.1.8.– 1. Las unidades no son divisores de cero. Ası́, todo cuerpo es un dominio de integridad. 2. Z es un dominio de integridad. 3. El anillo Z4 no es un dominio de integridad. El anillo Z3 es un cuerpo. 2 4. El elemento 2 es nilpotente en Z4 . Definición 6.1.9.– Sea A un anillo. Un ideal de A es un subconjunto I de A que verifica: 1. I es un subgrupo del grupo aditivo de A. 2. Para todo a ∈ I , x ∈ A se tiene xa ∈ I. Nota 6.1.10.– Sea I ⊂ A un ideal de A. Se tiene: 1. Si I contiene una unidad, entonces I = A. 2. Si A es un cuerpo, sus únicos ideales son {0} y A. 3. El grupo cociente A/I admite una estructura canónica de anillo. En efecto, basta ver que la fórmula (a + I)(b + I) = ab + I define una operación en A/I. Si a + I = a + I y b + I = b + I es a − a ∈ I, y b − b ∈ I. Ası́ ab − a b = ab − ab + ab − a b = a(b − b ) + (a − a )b ∈ I, lo que prueba nuestro aserto. 4. Los ideales de Z y los subgrupos son la misma cosa, pues la estructura multiplicativa viene determinada por la aditiva. Definición 6.1.11.– Sea I un ideal de A. Decimos que I es primo si xy ∈ I implica que x ∈ I o bien y ∈ I. Proposición 6.1.12.– Sea A un anillo, I ideal de A. Entonces A/I es dominio de integridad si y solamente si I es un ideal primo. Definición 6.1.13.– Si A es un anillo y S ⊂ A no vacı́o. El ideal generado o engendrado por S es el menor ideal en A que contiene a S. Lo notaremos por (S) o bien S. Es fácil ver que S = {x1 a1 + · · · + xn an | x1 , . . . , xn ∈ A, a1 , . . . , an ∈ S}. Si S = {a} el ideal de llama principal. Todo ideal de Z es principal. Definición 6.1.14.– Sean A, B anillos, f : A → B una aplicación. Se dirá que f es un homomorfismo de anillos si verifica: 1. Para todos x, y ∈ A, es f (x + y) = f (x) + f (y). 2. Para todos x, y ∈ A, es f (xy) = f (x)f (y). 3. f (1) = 1. 3 Un homomorfismo biyectivo se llama un isomorfismo. Proposición 6.1.15.– Sea f : A → B un homomorfismo de anillos. Se tienen las siguientes propiedades: 1. ker(f ) := {a ∈ A | f (a) = 0} es un ideal de A, y f es inyectivo si y sólo si ker(f ) = {0}. 2. Si u ∈ A es una unidad, entonces f (u) es una unidad en B. En particular cualquier homomorfismo (de anillos) entre cuerpos es inyectivo. 3. Im(f ) = {b ∈ B | ∃a ∈ A, f (a) = b} es un subanillo de B. Proposición 6.1.16.– Primer teorema de isomorfı́a. Sea f : A → B un morfismo de anillos. Entonces A/ ker(f ) es isomorfo a Im(f ). Proposición 6.1.17.– Segundo teorema de isomorfı́a. Sea A un anillo, I ⊂ A un ideal, y B ⊂ A un subanillo. Entonces B + I es un subanillo de A, I es un ideal de B + I, B ∩ I es un ideal de B, y existe un isomorfismo de anillos (B + I)/I ∼ = B/(B ∩ I). Proposición 6.1.18.– Tercer teorema de isomorfı́a. Sea A un anillo y sean I, J ideales de A con i ⊂ J. Entonces J/I es un ideal de A/I y A/J ∼ = (A/I)/(J/I). 6.2 Anillos de polinomios Sea Z+ el conjunto de enteros no negativos. Si A es un anillo, llamamos A[X] al conjunto de funciones f : Z+ → A tales que f (n) = 0 para todo n ∈ Z+ salvo un número finito de ellos. Definimos las operaciones (f + g)(n) = f (n) + g(n) (f g)(n) = nm=0 f (m)g(n − m). A[X] tiene estructura de anillo con ellas (ejercicio). A[X] se denomina el anillo de polinomios en la indeterminada X y coeficientes en A. Nótese que la indeterminada X no aparece en la definición de A[X]. Para ver que nuestra definición coincide con la que estamos acostumbrados, definimos X como una función sobre Z+ de la forma 1 si m = 1 X(m) = 0 si m = 1 4 n Entonces la función X = X · . . . · X verifica 1 si m = n n X (m) = 0 si m = n n Entonces todo elemento f ∈ A[X] se puede escribir de manera única como f= f (n)X n n≥0 donde la suma se refiere a un número finito de sumandos, donde no se anula f . Observemos que la función X 0 identifica la función 1 : Z+ → A definida por 1 si m = 0 1(m) = 0 si m > 0 Se tiene que an X n n≥0 bn X n = n≥0 donde cn = n cn X n n≥0 am bn−m . m=0 El grado de f (X) es el mayor n tal que an es no nulo. Si grado(f (X)) = n n escribiremos f (X) = k=0 ak X k . El coeficiente an se denomina coeficiente lı́der de f (X). Si es igual a 1, decimos que f (X) es un polinomio mónico. Asignamos grado(0) = −∞, y por conveniencia en el manejo de fórmulas establecemos que −∞ < n y −∞ + n = −∞ para cualquier n ∈ Z+ . S De forma completamente análoga se puede definir el anillo de polinomios en varias variables A[X1 , . . . , Xn ] = A[X1 , . . . , Xn−1 ][Xn ], y todo elemento de este anillo se puede escribir ai1 ...in X1i1 · · · Xnin . f (X1 , . . . , Xn ) = finita Definición 6.2.1.– Sea A un anillo y k un subcuerpo de A (i.e. k es un subanillo de A que es un cuerpo). Dado un polinomio f (X) = ad X d + · · · + a0 ∈ k[X] y dado α ∈ A definimos “el valor de f (X) en α” como: f (α) = ad αd + · · · + a0 ∈ A. Diremos que α es una raı́z (o un cero) de f (X) si f (α) = 0. Proposición 6.2.2.– (Propiedad universal de los anillos de polinomios) Sea φ : A → B un homomorfismo de anillos y b ∈ B. Entonces existe un único homomorfismo de anillos Φ : A[X] → B tal que Φ(X) = b y P hi(a) = φ(a) para todo a ∈ A. 5 Ejemplo 6.2.3.– Si en la definición anterior tomamos A = k[X] y α = X + a, con a ∈ k, el homomorfismo de “sustitución” f (X) ∈ k[X] → f (X + a) ∈ k[X] es de hecho un automorfismo de anillos. Por ejemplo, sea k = Q; la sustitución de X por X − 1 lleva al polinomio X 2 + X + 1 sobre (X − 1)2 + (X − 1) + 1 = X 2 − X + 1, y la sustitución de X por X + 1 lleva a X 2 − X + 1 sobre (X + 1)2 − (X + 1) + 1 = X 2 + X + 1. Lema 6.2.4.– Sea A un anillo y f (X), g(X) ∈ A[X]. Entonces 1. grado(f (X) + g(X)) ≤ max{grado(f (X)), grado(g(X))}. 2. grado(f (X)g(X)) ≤ grado(f (X)) + grado(g(X)). 3. La igualdad se tiene en el caso anterior si los coeficientes lı́deres de f (X) y g(X) no son divisores de cero. En particular, cuando A es un dominio de integridad. Corolario 6.2.5.– Si A es un dominio de integridad, entonces 1. A[X] es un dominio de integridad. 2. Las unidades de A[X] son las unidades de A. Nota 6.2.6.– Sea f (X) = a0 + a1 X + . . . + an X n ∈ A[X] y g(X) = b0 + b1 X + . . . bm−1 X m−1 + X m un polinomio mónico, de grado m ≥ 1. Si n ≥ m, sea q1 (X) = an X n−m . Entonces f1 (X) = f (X) − g(X)q1 (X) tiene grado menor o igual que n − 1. Si grado(f1 (X)) ≥ m, repetimos el proceso con f1 (X). Tras un número finito de pasos llegamos a un polinomio fs (X) de grado estrictamente menor que m. Si llamamos q(X) = q1 (X) + . . . + qs (X) y r(X) = f (X) − q(X)g(X) obtenemos una ecuación f (X) = g(X)q(X) + r(X) donde grado(r(X)) < grado(g(X)). Este proceso no es más que la tradicional división de polinomios. Proposición 6.2.7.– Algoritmo de división. Sea A un anillo, f (X), g(X) ∈ A[X] con g(X)mónico. Entonces existen unos únicos q(X), r(X) ∈ A[X] con grado(r(X)) < grado(g(X)) tales que f (X) = g(X)q(X) + r(X). 6 Decimos que g(X) divide a f (X) si en lo anterior se obtiene r(X) = 0. Corolario 6.2.8.– Sea A un anillo y a ∈ A. Entonces para cualquier f (X) ∈ A[X] existe q(X) ∈ A[X] tal que f (X) = (X − a)q(X) + f (a). Corolario 6.2.9.– Sea f (X) ∈ A[X] y a ∈ A. Entonces f (a) = 0 si y solamente si X − a divide a f (X). Corolario 6.2.10.– Sea A un dominio de integridad y f (X) = 0 ∈ A[X] un polinomio de grado n. Entonces existen a lo más n raı́ces de f (X) en A. Corolario 6.2.11.– Sea A un dominio de integridad y f (X), g(X) ∈ A[X] de grado menor o igual que n. Si f (a) = g(a) para n + 1 valores distintos de a ∈ A, entonces f (X) = g(X). Definición 6.2.12.– Sea f (X) ∈ A[X] un polinomio no nulo y a ∈ A una raı́z de f (X). Entonces X − a divide a f (X) en A[X]. Al máximo entero s > 0 tal que (X − a)s |f (X) se le llama la multiplicidad de a como raı́z de f (X). Se dirá que a es una raı́z simple de f (X) si s = 1. En caso contrario se dirá que es múltiple. Definición 6.2.13.– Sea A un anillo y f (X) = X n + a1 X n−1 + . . . + an−1 X + an ∈ A[X]. Se define la derivada por la regla formal f (X) = d f (X) = nX n−1 + (n − 1)a1 X n−2 + . . . + an−1 . dX De la misma forma que en Cálculo elemental, se prueban las siguientes propiedades de la derivación de polinomios: 1. (f (X) + g(X)) = f (X) + g (X). 2. Si a ∈ A, es (af (X)) = af (X). 3. (f (X)g(X)) = f (X)g(X) + f (X)g (X) Las derivadas de orden superior f (i) (X) se definen como las derivadas sucesivas de f (X). Proposición 6.2.14.– Sea k el cuerpo Q, R o C, f (X) ∈ k[X] un polinomio no nulo y α ∈ k una raı́z de f (X). La multiplicidad de la raı́z α de f (X) es el entero s tal que f (i) (α) = 0, para todo i = 0, 1, . . . , s − 1 y f (s) (α) = 0 (por derivada de orden cero se entiende el polinomio). Definición 6.2.15.– Sea A un dominio de integridad. Diremos que A es un dominio euclı́deo si existe una aplicación δ : A \ {0} → N tal que: 7 1. Si a, b ∈ A \ {0} y a|b, entonces δ(a) ≤ δ(b). 2. (División entera con resto respecto de δ) Dados D, d ∈ A, d = 0, existen c, r ∈ A tales que D = dc + r y r = 0 o bien δ(r) < δ(d). Por el comentario anterior es obvio que Z y k[X] son dominios euclı́deos, para δ(a) = |a| en el primer caso, y δ(f ) = grado(f ) en el segundo. En la segunda propiedad de la definición no se exige que el “cociente” c y el “resto” r sean únicos. De hecho después veremos ejemplos en los que no se da esta unicidad. 8