Transformada inversa de Laplace ( )( ) ( )

Transcripción

Sinais e Sistemas - 16
Transformada inversa de Laplace
Já foi atrás apresentada a expressão que define a transformada inversa de
Laplace. Esse integral pode ser de resolução complicada. Existem métodos
expeditos de obter a transformada inversa. Vamos aqui apresentar um baseado
na expansão em fracções simples.
Método da expansão em fracções simples
Assume-se que a transformada de Laplace está representada por uma razão de
polinómios, o que ocorre sempre para as funções que nos interessam no âmbito
da engenharia.
N ( s ) bm s m + bm−1s m−1 + ... + b1s + b0 bm s m + bm −1s m −1 + ... + b1s + b0
X (s) =
= n
=
n −1
D( s)
s + a n −1s + ... + a1s + a 0
( s − p n )( s − p n−1 ) ... ( s − p1 )
Rogério Largo – Setúbal 1999
16
Pólos são todos diferentes (pi≠pj se i≠j).
Em geral n>m isto é há mais pólos que zeros pelo que X(s) pode ser escrito
como uma soma de termos em cujo denominador apenas existe um pólo (fracções
simples):
X (s) =
A1
A2
An
+
+ ... +
( s − p1 ) ( s − p 2 )
( s − pn )
N (s)
Ak = ( s − p k )
D(s)
Das tabelas:
Ak e
pkt
Ak é o resíduo de X(s) no pólo pk.
s= pk
Ak
←→
s − pk
TL
17
Exemplo: Obter x(t) a partir da sua transformada de Laplace X(s)
X (s) =
A
5s + 3
A
A
= 1 + 2 + 3
( s + 1)( s + 2 )( s + 3) s + 1 s + 2 s + 3
Os resíduos nos pólos {-1;-2;-3} obtém-se da seguinte maneira:


5s + 3)
(
−5 + 3

A1 =  ( s + 1)
=
= −1
−
+
−
+
1
2
1
3
(
)(
)

( s + 1) ( s + 2 )( s + 3) 

s =−1
 ( 5s + 3 ) 
−7
A2 = 
=
=7

 ( s + 1)( s + 3)  s =−2 −1
 ( 5s + 3) 
−12
A3 = 
=
= −6

s
1
s
2
2
+
+
)( )  s =−3
(
Então X(s) expandido em fracções simples e a sua transformada inversa são:
−1
7
−6
TL−1
+
+

→ x(t ) =  −e −t + 7e −2t − 6e −3t  u (t )
X ( s ) ==
s +1 s + 2 s + 3
18
Pólos de ordem múltipla
Caso existam pólos de ordem superior à primeira (vários pólos iguais) aparecem
no denominador da função termos do tipo (s+si)r.
Exemplo:
X (s) =
N ( s)
( s + s1 )( s + s 2 )( s + s 3 ) r
 B
A1
A2
B2
Br 
1
=
+
+
+
+ ... +

+
s + s1 s + s 2  ( s + s 3 ) r ( s + s 3 ) r −1
s
s
( 3 ) 

O pólo com multiplicidade r tem r resíduos que se calculam da seguinte forma:
r
B1 =  X ( s) ( s + s 3 ) 

 s =− s3
Notar que
X ( s )( s + s 3 ) =
r
N (s)
( s + s1 )( s + s 2 )
d 
r
X (s) ( s + s 3 ) 
 s =− s3
ds 
1 d2 
r

B3 =
X
(
s
)
s
s
+
(
)
3
2 
 s =− s 3
2 ds
B2 =
........
1
d r −1 
r

+
Br =
X
(
s
)
s
s
(
)
3
r −1 
 s =− s3
( r − 1)! ds
Expressão genérica para os resíduos.
19
Exemplo: Obter a transformada inversa de X(s)
1
A1
A2
B1
B2
B3
X (s) =
=
+
+
+
3
3
s ( s + 1) ( s + 2 ) s s + 2 ( s + 1)
( s + 1) 2 ( s + 1)


1
1
=
A1 = 

3
 ( s + 1) ( s + 2 )  s =0 2
Pólo triplo S3=-1 ⇒


1
1
A2 = 
=

3
 s ( s + 1)  s =−2 2
;
X ( s )( s + 1) =
3
1
s ( s + 2 ) . Assim os resíduos B1, B2 e B3
 1 
1
B1 = 
=
= −1

viram:
 s ( s + 2 )  s =−1 −1
B2 =
−(2 s + 2)
d  1 
=


2
ds  s ( s + 2 )  s =−1
s 2 + 2s
(
)
=
0
=0
1
s =−1
1
1
=
Notar que s ( s + 2 ) s 2 + 2 s
20
1 d2
B3 =
2 ds 2


 1 
1 d  − ( 2s + 2 ) 
=
=


2

2
 s ( s + 2 )  s =−1 2 ds  s + 2s 

 s =−1
(
(
2

1  −2 s + 2 s
2

)
2
)
(
)
+ ( 2s + 2 ) 2 ( 2s + 2 ) s 2 + 2s 

= −2
4

2
s + 2s
 s =−1
(
)
A expansão em fracções simples e a transformada inversa vem:
1
1
0
−1
−2
 1 1 − 2 t 1 2 −t
TL−1
−t 
2
2
X ( s) =
x
(
t
)
e
t
e
2
e

→

=
+
+
−
+
+
+
+
u (t )
2 2
s
s + 2 (s + 1)3 (s + 1)2 (s + 1)
2


21
Pólos de complexos conjugados
Pólos complexos conjugados ocorrem em pares complexos conjugados: S1⇒ S1*
Na expansão em fracções simples, os resíduos A1 e A1* também são complexos
conjugados:
*
[
]
A1
A1
* − s1*t
− s1t
TL−1
=
+
→
 A1e + A1 e
u (t )
*
*
( s + s1 )( s + s1 ) ( s + s1 ) ( s + s1 )
N (s)
22
Exemplo:
s +1
s +1
=
( s 2 + s + 1) s ( s + 0.5 + j 0.866)( s + 0.5 − j 0.866) s
α s + α2 A
+
F ( s ) = 21
s + s +1 s

s +1
⇔
α1s + α 2 s = −0.5 − j 0.866 = 2
( s 2 + s + 1)
( s + s + 1) s
 s = −0.5 − j 0.866
F (s) =
0.5 − j 0.866
⇔
− 0.5 − j 0.866
0.5 − j 0.866 = α1 (0.25 + j 0.866 − 0.75) + α 2 (−0.5 − j 0.866) ⇔
α1 (−0.5 − j 0.866) + α 2 =
 − 0.5α1 − 0.5α 2 = 0.5
α1 = −1


−
=
−
0
.
866
α
0
.
866
α
0
.
866
1
2
 α2 = 0

 ( s + 1)

A= 2
s = 1
 s ( s + s + 1)  s = 0
23
−s
1
+
s2 + s +1 s
 −s 
−1  1 
TL−1 [F ( s )] = TL−1  2
+
TL
=



 s + s + 1
s
F (s) =


s
TL−1 [F ( s )] = −TL−1 
+ u (t ) =

2
 ( s − 0.5) + 3 / 4 




3





s − 0.5
 2 
−1
−1 
−1 
2
TL [F ( s )] = −TL 
(−0.5)
+ TL 
 + u (t )
2
2
 3 
 3 
 3


2
2




 ( s − 0.5) +  2 

 ( s − 0.5) +  2  

 





f (t ) = −e
0. 5 t
3
3
0. 5 t
cos( ) + e sin( ) + u (t )
2
2
24
Resolução de equações diferenciais
Aplicação da transformada de Laplace à resolução de equações diferenciais:
Tomando a equação diferencial seguinte com as condições iniciais dadas:
d 2 x(t )
dx(t )
+
3
+ 2 x(t ) = 5u (t )
2
dt
dt
 x(0) = −1

 x ′(0) = 2
Aplicando transformada de Laplace a ambos os membros:
S 2 X ( S ) − Sx(0) − x′(0) + 3SX ( S ) − 3 x(0) + 2 X ( S ) =
(
)
5
S ⇔
5
S + 3S + 2 X ( S ) = − S − 1 +
S
2
− S2 − S +5
Então: X ( S ) = S S 2 + 3S + 2
(
)
Para obter a expressão temporal de x(t) é só calcular a transformada inversa.
25
Representação de Fourier dos Sinais
O estudo de sinais e sistemas usando representação sinusoidal é designado por
análise de Fourier (Joseph Fourier, 1768-1830).
A representação de Fourier a aplicar depende da classe dos sinais. A tabela
apresentada abaixo mostra essa relação:
Tabela – Relações entre as propriedades no tempo dos sinais e a
representação de Fourier adequada.
Propriedade
Periódico
Não Periódico
temporal
Transformada
Continuo
Série de Fourier
de Fourier
Transformada Discreta
Discreto
Série Discreta de Fourier
de Fourier
26
Transformada de Fourier (Sinais não periódicos em tempo
contínuo)
Uma apresentação da transformada de Fourier pode ser feita como um limite
das series de Fourier quando o período tende para infinito.
Definição de transformada de Fourier:
∞
X ( jw) = ∫ x(t )e − jwt dt
−∞
x(t ) =
1
2π
∞
∫−∞
X ( jw)e jwt dw
Transformada de Fourier (Eq. de análise)
Transformada inversa de Fourier (Eq. de síntese)
TF
x(t ) ←→
X ( jw)
X(jw) descreve o sinal x(t) como uma função de frequência w e designa-se
como a sua representação no domínio da frequência.
27
Condições de convergência: Condições para garantir que X(jw) é finito é que
x(t) seja de quadrado integrável (isto é que tenha energia finita):
∞
∫−∞
2
x(t ) dt < ∞
Uma condição equivalente é estabelecida se x(t) for absolutamente integrável:
∞
∫−∞ x(t ) dt < ∞
e tiver um número finito de descontinuidades e de máximos ou mínimos locais
em qualquer intervalo finito, e essas descontinuidades forem finitas.
28
Transformada de Fourier de sinais básicos
Função exponencial:
a) x(t) = e-atu(t), a>0
∞
∞
−∞
0
X ( jw) = ∫ e − at u (t )e − jwt dt = ∫
− ( a + jw ) t
e
e − ( a + jw)t dt = −
a + jw
∞
0
=
1
, a>0
a + jw
X(jw) é uma função complexa. Pode ser representado em módulo e fase:
X ( jw) = X ( jw) e j∠X ( jw) ,
x(t)
X ( jw) =
0.5
2
0.4
1
0.3
0
0.2
-1
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.1
-5
0
 w
, ∠X ( jw) = −tg −1  
a
Fase de X(jw)
1
0
a 2 + w2
|X(jw)|
0.8
0
1
5
-2
-5
0
5
29
b) x(t) = e-a|t|u(t), a>0
∞
X ( jw) = ∫ e
−a t
−∞
x(t)
0
∞
−∞
0
e − jwt dt = ∫ e ( a − jw)t dt + ∫ e − ( a + jw)t dt
1
1
1
2a
=
+
= 2
, a>0
a − jw a + jw a + w 2
0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
Neste caso X(jw) é real.
Nota: - Em (a) e (b), se a for complexo o resultado é o mesmo. Apenas a
condição será Re{a} >0 .
Impulso de Dirac: x(t) = δ(t)
1
δ(t)
1
w
t
∞
X ( jw) = ∫ δ (t )e − jwt dt = 1
0
−∞
X(w)
0
Notar que δ(t) = 0 para t ≠ 0 e que ej0 = 1.
30
1, t < T1
x(t ) = 
0, t > T1
Função rectangular:
∞
X ( jw) = ∫ x(t )e
−∞
=
− jwt
1
dt = ∫
T1
−T1
(
2 1
e jwT1 − e − jwT1
.
w 2j
)
-T1
T1
t
1
e jwT1 − e − jwT1
jw
sen( wT1 ) Sinc(w) = sen(w)/w
2
= sen( wT1 ) = 2T1
w
wT1
e − jwt dt = −
)
(
x(t)
1
É uma função da forma
sen( x)
x ,
0.5
0
designada por sinc(x)
-0.5
-15
-10
-5
0
5
10
15
Função rectangular na frequência:
1, w < w0
X ( jw) = 
Aplicando a transformada de Fourier inversa:
0, w > w0
31
1
x(t ) =
2π
=
∞
∫−∞
X ( jw)e
jwt
1
dw =
2π
(
1 1
e jw0t − e − jw0t
.
πt 2 j
)
(
1
jw0t
− jw0t
e
−
e
∫− w0
2π . jt
w sen( w0t )
1
= sen( w0t ) = 0
w0t
πt
π
w0
e jwt dw =
)
Deve salientar-se aqui a dualidade entre as duas funções anteriores: Um
rectângulo num domínio corresponde a uma função “sinc” no outro. É uma
consequência do princípio da dualidade que se enunciará mais à frente.
Nota. A função “sinc”, numa formulação exacta, é definida da seguinte maneira:
sinc(θ ) =
sen(πθ )
πθ
.
Desta forma as suas passagem por zero verificam-se nos pontos θ = ±1, ±2, etc.
32
Sinusóides:
TF{cos(w0 t)}
1 jw0t
π
TF
− jw0t
sin( w0t ) =
(e
) ←→ [δ ( w − w0 ) − δ ( w + w0 )]
−e
π
2j
j
w
1 jw0t
TF
w0
+ e − jw0t ) ←→
π [δ ( w − w0 ) + δ ( w + w0 )] -w0
cos( w0t ) = (e
2
Como é conhecido as funções sinusoidais contêm uma única frequência. Logo
era de esperar que a sua representação em frequência desse conta desse facto.
Em ambos os casos obtiveram-se Dirac’s localizados em ±w0 (apenas diferindo
na fase).
33
Tabela – Transformada de Fourier de funções elementares
Função
temporal
x(t)
Transformada de
Fourier X(jw)
Notas
1
(a + jw)
Re{a}>0
2a
a 2 + w2
Re{a}>0
te u(t)
1
(a + jw) 2
Re{a}>0
δ(t)
δ(t-t0)
1
exp(-jw t0)
Delta de Dirac
Delta atrasado
2T1sinc(w T1 )
Função rectangular
-at
e u(t)
e
-a|t|
-at
rect (
t
)
2T1
w
w0
sinc( w0t ) rect (
)
2π
2 w0
Função rectangular na frequência
34
sen(w0t)
cos(w0t)
exp(jw0 t)
π
j
[δ ( w − w0 ) − δ ( w + w0 )] Função seno
π [δ ( w − w0 ) + δ ( w + w0 )] Função coseno
Exponencial complexa
2πδ(w-w0)
Propriedades da transformada de Fourier
Usando funções simples cujas transformadas podem ser consultadas em
tabelas e recorrendo às propriedades que se enunciam a seguir podem obter-se
facilmente as transformadas de funções mais complicadas.
i.) Linearidade
TF{x(t)} = X(jw)
TF{y(t)} = Y(jw)
⇒ TF{ax(t)+by(t)} = aX(jw) +bY(jw)
35
ii.) Deslocamento no tempo
TF{x(t)} = X(jw) ⇒
TF{x(t-t0)} = exp(-jwt0)X(jw)
A demonstração é simples recorrendo a uma mudança de variável: τ = t-t0 :
∞
∞
∞
−∞
−∞
−∞
TF{x(t − t 0 )} = ∫ x(t − t 0 )e − jwt dt = ∫ x(τ )e − jw(τ −t 0 ) dτ =e − jwt 0 ∫ x(τ )e − jwτ dτ =e − jwt 0 X ( jw)
iii.) Deslocação na frequência (Modulação)
TF {x(t)} = X(jw) ⇒ TF{x(t)exp(jw0t)}=X(j(w-w0))
O espectro do sinal que se encontrava em redor da origem é deslocado para w0.
Fazendo o produto for por sinusóides, recorrendo às fórmulas de Euler obtémse:
1
 X ( j ( w − w0 ) ) − X ( j ( w + w0 ) ) 
2j
1
TF { x(t ) cos ( w0t )} =  X ( j ( w − w0 ) ) − X ( j ( w + w0 ) ) 
2
TF { x(t ) s en ( w0t )} =
36
iv.) Diferenciação e Integração
TF {x(t)} = X(jw) ⇒ TF{x´(t)} = jwX(jw) e TF{x(n)(t)} = (jw)nX(jw)
Também TF
{∫
t
−∞
}
x (τ )dτ =
1
X ( jw ) + π X ( j 0 ) δ ( w)
jw
v.) Escalonamento no tempo e em frequência
TF{x(t)} = X(jw) ⇒
TF { x ( at )} =
1  jw 
X

a  a  , a real não nulo.
Fazendo a = -1, também se obtém: TF{x(-t)}=X(-jw)
Se a > 1 temos uma compressão na escala de tempo de que resulta um
expansão na frequência e vice-versa.
37
vi.) Conjugado
Sendo: TF{x(t)} = X(jw)
então: TF{x* (t)} = X* (-jw),
Note-se que :
*
∞
∞
X ( jw) =  ∫ x ( t ) e − jwt dt  = ∫ x * ( t ) e jwt dt
 −∞

−∞
trocando w por - w fica:
*
∞
X * (− jw) = ∫ x * ( t ) e − jwt dt = TF { x * ( t )}, c.q.d.
−∞
- Propriedade do conjugado simétrico:
Se x(t) for real então x*(t) = x(t), X*(-jw) = X(jw). Ù X(-jw) = X*(jw).
Consequência : |X(jw)| é uma função par e Fase[X(jw)] é impar:
X(-jw)= |X(-jw)|ejΦ(-w)
e
X*(jw)= |X*(jw)|e-jΦ(w)
Sendo X(jw) = X*(-jw) ⇒ |X(jw)|= |X*(-jw)| e Φ(-jw) = -Φ(jw)
De igual modo se vê que Re{X(jw)} é par e Im{X(jw)} é impar.
38
1
Exemplo: Função real: x(t) = e-atu(t), a>0 ⇒ X ( jw) = a + jw
1
X (− jw) =
= X *( jw)
portanto:
, como se esperava.
a − jw
- Consequências da propriedade do conjugado simétrico
(a) x(t) real e par então também X(jw) é real e par:
x(t) = x(-t) ⇒ X(-jw) = X(jw)
(b) x(t) real e impar então X(jw) é imaginária pura e par:
x(t) = -x(-t) ⇒ X(-jw) = -X(jw) e X(jw) = Im[X(jw)]
(c) Separando x(t) nas suas componentes par e impar, atendendo a (a) e (b),
teremos:
x(t) = xP(t) + xI(t) logo TF{x(t)} = TF{xP(t)} + TF{xI(t)}
Pelo que:
TF{xP(t)} = Re[X(jw)]
e TF{xI(t)} = Im[X(jw)]
39
Exemplo: Função real e par: x(t) = e-a|t|, a>0,
1
TF {e u (t )} =
x(t) = 2Par[e-atu(t)] = 2{[e-atu(t)+ e atu(-t)]/2} ,
a + jw
1
2a
− a|t|
TF 2 Par[e − at u (t )] = 2 Re[
]= 2
TF
{
e
}
=
2
logo
c.q.d
a + jw a + w
− at
{
}
vii.) Princípio da dualidade
Sendo: TF{x(t)} = X(jw)
então:
TF{X(t)} = 2π x(-jw)
2a
Sabemos que: FT {e } = a + w2 .
A nossa função no tempo assemelha-se a esta transformada com a=1 , isto é:
 2 
TF

2
Exemplo: Calcular
1 + t  .
{ }
TF e −|t| =
− a|t |
2
1+ w2 .
 2 
−w
2
=
TF 
π
e
2
Pelo princípio da dualidade obtém-se:
+
1
t


40
viii.) Convolução
t
Definição da convolução de x(t) com h(t): x(t ) * h(t ) = ∫−∞ x(τ )h(t − τ )dτ
Esta propriedade estabelece que : TF{x(t)*h(t)} = X(jw)H(jw)
ix.) Relação de Parseval
Estabelece que a energia do sinal x(t) pode ser calculada a partir da sua
transformada:
∞
∫−∞
2
1
x(t ) dt =
2π
∞
∫−∞ X (w)
2
dw
41
Tabela – Propriedades da transformada de Fourier
Função temporal
x(t)
a1x(t) + a2y(t)
x(t-t0)
1  jw 
X 
a  a 
x(at)
x*(t)
x(-t)
e jw0t x(t )
d n x (t )
dt
tx(t)
Transformada de Fourier
Notas
X(jw)
a1X(jw) + a2Y(jw)
Linearidade
Deslocamento no
exp(-jw t0)X(jw)
tempo
n
Escalamento no tempo
X*(-jw)
X(-jw)
X(j(w-w0)
Conjugação
Reflexão no tempo
Modulação
(jw)nX(jw)
Derivação
dX ( jw)
j
dw
Derivação na
frequência
42
t
∫−∞ x (τ )dτ
X ( jw)
+ πX ( j 0)δ ( w)
jw
X(t)
x(t)*y(t)
2πx(-jw)
X(jw)Y(jw)
x(t)y(t)
1
2π
∞
∫−∞ x(t )
2
dt
Dualidade
Convolução no tempo
Convolução
na
frequência
X(jw)*Y(jw)
1
2π
∞
∫−∞ X ( w)
2
Integração
dw
Relação de Parseval
43

Transformada inversa de Laplace ( )( ) ( )

Transcripción

Documentos relacionados

centro hospitalar de setúbal, epe hospital de são bernardo hospital

Setúbal - VisitSetubal Portugal

Cartaz ao alto_baixaresolução - Palmela Turismo

LÓGICA - 2 q → q ~ p q → q ~ q p → ~ p q → ~ p q → ~ ~ p q