Gráficas. D: Τ (a) Df = R − {1}. (b) Las raıces: {−2,2 - Canek

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Gráficas.
D: H
(a) Df = R − { 1 }.
(b) Las raı́ces: { −2, 2 }.
(c) Vamos a derivar la función (x − 1 6= 0)
d
d
(x − 1)2 (x2 − 4) − (x2 − 4) (x − 1)2
d x2 − 4
df
dx
dx
=
=
=
dx
dx (x − 1)2
(x − 1)4
(x − 1)2 (2x) − (x2 − 4)2(x − 1)
(x − 1)[(x − 1)(2x) − (x2 − 4)2]
=
=
=
(x − 1)4
(x − 1)4
2x2 − 2x − 2x2 + 8
(x − 1)(2x) − 2(x2 − 4)
=
=
=
(x − 1)3
(x − 1)3
−2x + 8
x−4
=
=
−2
.
(x − 1)3
(x − 1)3
La raı́z de la derivada es x = 4. La derivada no está definida en x = 1.
x−4
El signo de la primera derivada viene dado por la expresión −
.
x−1
Los intervalos de monotonı́a los calculamos con la tabla siguiente
Intervalo
Valor de prueba
− x−4
x−1
Signo de f 0
x<1
0
− −4
−1
−
1<x<4
2
− 2−4
2−1
+
4<x
10
− 10−4
10−1
−
La función es decreciente en (−∞, 1] y en (4, +∞).
La función es creciente
en (1, 4).
4
En (4, f(4)) = 4,
hay un máximo local estricto.
3
(d) Calculamos la segunda derivada (x − 1 6= 0)
d
3 d
(x
−
4)
−
(x
−
4)
(x − 1)3
(x
−
1)
d f
d
x−4
dx
dx
=
=
= −2
−2
dx2
dx
(x − 1)3
[(x − 1)3 ]2
(x − 1)3 − 3(x − 4)(x − 1)2
(x − 1)3 (1) − (x − 4)3(x − 1)2
=
−2
=
= −2
(x − 1)6
(x − 1)6
(x − 1) − 3(x − 4)
(x − 1)2 [(x − 1) − 3(x − 4)]
=
−2
=
= −2
(x − 1)6
(x − 1)4
x − 1 − 3x + 12
−2x + 11
= −2
= −2
=
4
(x − 1)
(x − 1)4
2x − 11
=2
.
(x − 1)4
2
7
canek.azc.uam.mx: 9/ 2/ 2007
1
2
11
La raı́z de la segunda derivada es x = .
2
El signo de la segunda derivada viene dado por la expresión 2x − 11.
Los intervalos de concavidad los calculamos con la tabla siguiente
Intervalo
x<1
1<x<
11
2
<x
11
2
Valor de prueba 2x − 11 Signo de f 00
0
−11
−
2
−7
−
10
20 − 11
+
S
11
1,
.
La función es cóncava hacia abajo en (−∞, 1)
2
11
, +∞ .
La función es cóncava hacia arriba en
2
(e) Para calcular la ası́ntota horizontal evaluamos
x2 − 4
x2 − 4
lı́m f (x) = lı́m
= lı́m
=
lı́m
x→±∞
x→±∞ (x − 1)2
x→±∞ x2 − 2x + 1
x→±∞
1−
4
x2
1
2
1− + 2
x x
= 1.
Tenemos una única ası́ntota horizontal: y = 1.
Tenemos igualmente una única ası́ntota vertical: x = 1.
Vamos a evaluar la función en algunos puntos
x
f (x)
0
−4
4
1.3333
11
2
1.296
x2 − 4
= −∞ la gráfica de la función
x→1 (x − 1)2
Usando toda la información anterior y lı́m f (x) = lı́m
x→1
f (x) es:
y
b
1
1
−2
b
2
b
b
4
11
2
x
−4b
El máximo local estricto (4, 1.3) resulta ser absoluto.