Leyes 0-1

Leyes 0-1
Leyes 0-1: Notación
Dado: Vocabulario σ.
- Recuerde que una propiedad P sobre σ (σ-propiedad) es un
subconjunto de struct[σ].
Notación:
- snσ : Número de σ-estructuras con dominio {1, . . . , n}.
- snσ (P): Número de σ-estructuras con dominio {1, . . . , n} que
satisfacen la propiedad P.
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Leyes 0-1: Notación
Ejemplos: Sea σ = {R(·, ·)}.
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- snσ = 2n ,
- si P es el conjunto de estructuras que satisfacen la
dependencia funcional:
∀x∀y∀z (R(x, y) ∧ R(x, z) → y = z),
entonces snσ (P) = (n + 1)n .
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Leyes 0-1: Probabilidad asintótica
sn (P)
σ
µn
: Representa la probabilidad de que una σ-estructura
σ (P) =
sn
σ
satisfaga la propiedad P.
Definición: µσ (P) = lı́m µn
σ (P).
n→∞
Ejemplo: Sea σ = {R(·, ·)}.
- Si P es el conjunto de estructuras que satisfacen la dependencia
funcional:
∀x∀y∀z (R(x, y) ∧ R(x, z) → y = z),
entonces µσ (P) = 0.
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Leyes 0-1: Ejercicios
Notación: Dada una oración ϕ en alguna lógica,
snσ (ϕ) = |{A ∈ struct[σ] | A = {1, . . . , n} y A |= ϕ}|.
1. Sea ϕ = ∀x∃yR(x, y). Demuestre que µσ (ϕ) = 1.
2. Demuestre que µσ (P) puede no estar definido.
3. Demuestre que µσ (P) puede tomar un valor distinto de 0 y 1.
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Leyes 0-1: Definición
Definición: Una lógica LO tiene la ley 0-1 para un vocabulario σ
si para cada σ-propiedad P definible en LO, se tiene que µσ (P) = 0
o µσ (P) = 1.
Teorema (Glebskii-Kogan-Liogon’kii-Talanov & Fagin): Si
σ es un vocabulario que sólo contiene relaciones, entonces LPO
tiene la ley 0-1 para σ.
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Leyes 0-1: Usos
¿Para que nos sirve esta ley?
- Nos indica que una lógica no puede contar.
- Podemos utilizarla para demostrar que una propiedad no es
expresable en alguna lógica.
Ejemplo: Sea σ = ∅ y PARIDAD = {A ∈ struct[σ] | dominio de A tiene
un número par de elementos}.
Vamos a demostrar que PARIDAD no es expresable en LPO.
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Leyes 0-1: Paridad
Supongamos que PARIDAD si es expresable en LPO.
Entonces: Existe ϕ en LPO tal que A |= ϕ si y sólo si el dominio de A
tiene un número par de elementos.
Dado que LPO tiene la ley 0-1: µσ (ϕ) = 0 o µσ (ϕ) = 1.
Pero:
sn
σ (ϕ)
=
8
<0
:1
n es impar
n es par
Como sn
σ = 1, concluimos que µσ (ϕ) no está definido, lo cual contradice
que µσ (ϕ) = 0 o µσ (ϕ) = 1.
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Leyes 0-1: Vocabularios con constantes
Vamos a mostrar que LPO no necesariamente tiene la ley 0-1 para
vocabularios con constantes.
Sea σ = {P (·), c} y ϕ = P (c). Vamos a demostrar que µkσ (ϕ) =
1
2
para
todo k ≥ 1.
- Por lo tanto: µσ (ϕ) = 12 .
Sea:
Sk
=
{A ∈ struct[σ] | A = {1, . . . , k} y A |= ϕ},
Nk
=
{A ∈ struct[σ] | A = {1, . . . , k} y A |= ¬ϕ}.
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Leyes 0-1: Vocabularios con constantes
Vamos a demostrar que |Sk | = |Nk |.
- De esto se concluye que µkσ (ϕ) =
1
2
ya que skσ = |Sk | + |Nk | y
skσ (ϕ) = |Sk |.
Sea f : Sk → Nk definida como:
f (hA, P A , cA i)
=
hA, A r P A , cA i.
La función f es una biyección, de lo cual se concluye que |Sk | = |Nk |.
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Ley 0-1 para LPO: Demostración
Vamos a demostrar que LPO tiene la ley 0-1.
Suponemos que σ = {R(·, ·)}.
- El caso general se demuestra de la misma forma.
Pieza fundamental: Axiomas de extensión.
- Está es la demostración dada por Fagin.
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Axiomas de extensión: Definición
Dado: Variables x1 , . . ., xn (n ≥ 0) y z.
- Aσ (x1 , . . . , xn ): Conjunto de todas las fórmulas atómicas de la
forma R(u, v), donde {u, v} ⊆ {x1 , . . . , xn }.
- Para cada F ⊆ Aσ (x1 , . . . , xn ), definimos χF (x1 , . . . , xn ) como:
„ ^ « „
«
^
ϕ ∧
¬ψ .
ϕ∈F
ψ∈(Aσ (x1 ,...,xn )\F )
- Dado F ⊆ Aσ (x1 , . . . , xn ) y G ⊆ Aσ (x1 , . . . , xn , z), decimos que G
extiende a F si F = G ∩ Aσ (x1 , . . . , xn ).
Nota: Si n = 0, entonces Aσ (x1 , . . . , xn ) = ∅.
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Axiomas de extensión: Definición
Dado F ⊆ Aσ (x1 , . . . , xn ) y G ⊆ Aσ (x1 , . . . , xn , z) tal que G extiende a
F , definimos AE F,G como
∀x1 · · · ∀xn
„„
^
xi 6= xj ∧ χF (x1 , . . . , xn )
1≤i<j≤n
∃z
„^
n
i=1
«
→
««
z=
6 xi ∧ χG (x1 , . . . , xn , z)
.
AE F,G : Axioma de extensión.
Nota: Si n = 0, entonces obtenemos el axioma de extensión ∃zχG (z).
- Tenemos dos posibilidades: ∃zR(z, z) o ∃z¬R(z, z).
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Axiomas de extensión: Algunas propiedades
Sea AE el conjunto de todos los axiomas de extensión.
- Para estudiar AE también tenemos que considerar modelos
infinitos.
Proposición: AE es consistente. Además, cada modelo de AE es
infinito.
Demostración: Usando compacidad.
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Axiomas de extensión: Algunas propiedades
Sea AE k la siguiente oración en LPO:
^
{AE F,G | existe i ∈ [0, k − 1] tal que
F ⊆ Aσ (x1 , . . . , xi ), G ⊆ Aσ (x1 , . . . , xi , z) y G extiende a F }
Lema: Si A, B ∈ struct[σ] satisfacen AE k , entonces A ≡k B.
Ejercicio: Demuestre el lema.
Proposición: Si A y B son modelos de AE y ϕ es una oración en LPO,
entonces A |= ϕ si y sólo si B |= ϕ.
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