Reflectometría óptica en el dominio del tiempo

Transcripción

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
PREPARADO POR:
M.Sc. LUIS DIEGO MARÍN NARANJO
IE-1020 Temas Especiales 1 Circuitos integrados ópticos
Capítulo 1 Naturaleza de onda de luz
1.3 1
1.3 Velocidad de grupo e índice de grupo
Puesto que en la práctica no existen ondas monocromáticas perfectas, se debe considerar la forma en que
un grupo de ondas con longitudes de onda levemente diferentes, viajarán a lo largo de la dirección z.
La figura 1.7 muestra como dos ondas armónicas perfectas con frecuencias levemente diferentes  - 
y  +  , interfieren para generar paquetes periódicos de ondas que contienen un campo oscilante a la
frecuencia promedio  que es modulada en amplitud por un campo variante lentamente de frecuencia
.
Paquetes periódicos de onda
Paquete simple de onda
Figura 1.7 Dos ondas con longitudes de onda levemente diferentes viajando en la misma dirección
provocan un paquetes de ondas con variación de amplitud que viaja con una velocidad de grupo
El interés es la velocidad del paquete de onda. Las dos ondas senoidales con frecuencias  -  y  +
 , se propagarán con constantes de propagación k - k y k + k respectivamente dentro del material tal
que la suma será:
Ex (z, t) = E0 cos [( - )t – (k - k)z)] + E0 cos [( + )t – (k + k)z)]
Con la identidad trigonométrica cos A + cos B = 2 cos [½ (A – B)] cos [½ (A + B)] se obtiene:
Ex (z, t) =2 E0 cos [()t – (k)z)] cos (t + kz)
Como se muestra en la figura 1.7 esto representa una onda senoidal de frecuencia  modulada en
amplitud por una onda senoidal variable lentamente de frecuencia .
El sistema de ondas moduladas viaja a lo largo de z a una rapidez determinada por el termino modulante
cos [()t – (k)z)]. El máximo en el campo ocurre cuando [()t – (k)z)] = 2m = constante (m es
un entero), y viaja con una velocidad dada por:
δz δ
δt

δk
δω
vg 
δk
(1.3.1)
Donde vg es la velocidad de grupo de las ondas, puesto que determina la rapidez de propagación del
máximo del campo eléctrico a lo largo de z. La velocidad de grupo representa la rapidez con la cual la
energía o información se propaga, puesto que define la rapidez de la envolvente de la variación de
amplitud.
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1.3 2
El máximo del campo eléctrico en la figura 1.7 avanza con velocidad vg mientras las variaciones de fase
del campo eléctrico se propagan a una velocidad de fase v.
Los paquetes de ondas son generados al añadir dos ondas armónicas levemente diferentes tienen un
período 2/. Al añadir muchas ondas armónicas con frecuencias levemente diferentes pero con las
amplitudes correctas, se puede generar un paquete simple de onda que no es periódico, según se muestra
en la figura 1.7.
Este paquete de onda viaja con una velocidad de grupo vg.
Para el vacío  = c0k y la velocidad de grupo es:
v g (vacío) 
δω
 c0  velocidad de fase
δk
(1.3.2)
Para el vacío y aproximadamente para el aire la velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase.
Para una onda EM en un medio, k en ecuación (1.3.1) es la constante de propagación en el medio, el cual
puede ser escrito como k = 2n/0 (0 es la longitud de onda en el vacío). La velocidad de grupo
entonces no es necesariamente la misma que la velocidad de fase v, la cual depende de /k y es dada
como c/n.
La velocidad de grupo vg, por otro lado, es d/dk que depende de cómo cambia la propagación en el
medio k y del cambio de frecuencia , y no es necesariamente igual a /k, cuando el índice de
refracción tiene una dependencia con la longitud de onda.
Suponer que el índice de refracción n = n() es una función de la longitud de onda en el espacio libre,
descrito por alguna de las expresiones de la sección 1.2. Su gradiente sería dn/d0.
Se puede hallar la velocidad de grupo, como se ilustra en el ejemplo 1.3.1, al encontrar primero d  y dk
en términos de dn y d0, y entonces usar la ecuación (1.3.2).
dω
c0
v g (medio) 

(1.3.3)
dk
 dn 

n  λ0 
 dλ0 
Esto puede escribirse como:
v g (medio) 
c0
Ng
(1.3.4)
Donde:
 dn 

N g  n  λ0 
(1.3.5)
 dλ0 
La ecuación (1.3.5) se define como el índice de grupo de un medio y determina el efecto del medio sobre
la velocidad de grupo a través de la ecuación (1.3.4). Lo que es importante de las ecuaciones (1.3.4) y
(1.3.5) es el gradiente de índice de refracción dn/d0. Si el índice de refracción es constante e
independiente de la longitud de onda, al menos sobre el intervalo de interés, entonces Ng = n, y las
velocidades de fase y de grupo son las mismas.
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1.3 3
En general, para muchos materiales el índice de refracción n y por ello el índice de grupo Ng depende de
la longitud de onda, en virtud de la dependencia de r con la frecuencia. Entonces tanto la velocidad de
fase como la velocidad de grupo depende de la longitud de onda y el medio se denomina dispersivo.
El índice de refracción n y el índice de grupo Ng del vidrio de sílice puro SiO2, son parámetros
importantes en el diseño de fibras ópticas para comunicaciones. Ambos parámetros dependen de la
longitud de onda, como se muestra en la figura 1.8.
Longitud de onda/nm
Figura 1.8 Índice de refracción e índice de grupo de sílice puro como función de la longitud de onda
Alrededor de 1300 nm, Ng es un mínimo, lo que significa que para longitudes de onda cercanas a 1300
nm, Ng es independiente de la longitud de onda. Así ondas de radiación con longitudes de onda
cercanas a 1300 nm, viajan con la misma velocidad de grupo y no experimentan dispersión. Este
fenómeno es significativo en la propagación en fibras ópticas.
Ejemplo 1.3.1 Velocidad de grupo.
Considerar dos ondas senoidales cercanas en frecuencia  -  y  + , de acuerdo a la figura 1.7.
Sus constantes de propagación son k - k y k + k. Suponer que las ondas siguen una función seno por
lo que la onda resultante será:
Ex (z, t) = E0 sen [( - )t – (k - k)z)] + E0 sen [( + )t – (k + k)z)]
Con la identidad trigonométrica sen A + sen B = 2 sen [½ (A + B)] cos [½ (A - B)] se obtiene:
Ex (z, t) =2 E0 cos [()t – (k)z)] sen (t + kz)
Esto representa una onda senoidal de frecuencia  modulada en amplitud por una onda senoidal variable
lentamente de frecuencia .
Las ondas moduladas viajan a lo largo de z a una rapidez determinada por el termino modulante cos
[()t – (k)z)]. Como antes el máximo en el campo ocurre cuando [()t – (k)z)] = 2m = constante
(m es un entero) y viajan con una velocidad dada por:
δω
δz δ
δt

δk
o
vg 
δk
Esta es la velocidad de grupo de las ondas, ecuación (1.3.1) y determina la rapidez de propagación del
máximo del campo eléctrico a lo largo de z. El resultado es similar con función coseno.
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1.3 4
Ejemplo 1.3.2 Velocidad de grupo e índice de refracción.
Considerar  = 2c0/0 y k = 2n/0 para el espacio libre. Al hallar expresiones para d  y dk en
términos de dn y d0, derivar la ecuación (1.3.4) para la velocidad de grupo.
Solución.
Al diferenciar  se obtiene: d = -(2c0/02)d0. Al diferenciar k se obtiene: dk =   2π2  n  λ0 dn dλ0
d0 
 λ0 
Entonces en ecuación (1.3.1):
vg 
dω

dk
c0
 dn 

n  λ0 
 dλ0 
Ejemplo 1.3.3 Velocidad de grupo y de fase.
Considerar una onda de radiación óptica que viaja en vidrio de sílice fundido Si la longitud de onda es
1 m y el índice de refracción a esta longitud de onda es 1.45074, hallar la velocidad de fase, el índice
de grupo y la velocidad de grupo.
Solución.
La velocidad de fase es dada por: v = c0/n = (2,99792458  108 m s-1)/1,45074 = 2,0665  108 m s-1
De la figura 1.8 Ng = 1,463 a 1000 nm por tanto la velocidad de grupo es: v g 
(2,99792458  108 m s-1)/1,463 = 2,0491  108 m s-1
La velocidad se grupo es  99,158 % menor que la velocidad de fase.
c0
=
Ng

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