Aplicación de curvas residuo y de permeato a sistemas

Aplicación de curvas residuo y de permeato a sistemas

Aplicación de curvas residuo y de permeato a sistemas batch y
en continuo
Alan Didier Pérez Ávila
En el presente trabajo se presentara de manera breve como obtener las ecuaciones que generan las
curvas de residuo, de permeato y de permeato acumulado para sistemas batch y en continuo,
aplicándolo a sistemas de permeación de gases, sin embargo el modelo aplica de igual forma para
sistemas de pervaporación, lo único que cambia es la fuerza impulsora del flux. El modelo se aplica
un caso de estudio para permeación gaseosa y se muestran los resultados obtenidos.
Modelo matemático
Sistema de operación en batch
Las curvas residuo y de permeato se generan a partir de un balance de materia (global y por
componente), alrededor del sistema mostrado e la figura 1.
Figura 1. Sistema de separación con membrana en batch [1].
Balance Global:

P
dR
dt
(1)
Balance para el componente i:

 P yi 
d
R  xi 
dt
(2)
Resolviendo la derivada del producto de la ecuación dos se obtiene:

P yi  R
dxi
dR
 xi
0
dt
dt
(2*)
Igualando las ecuaciones (1) y (2*)

P yi  R
dxi 
 P xi  0
dt

P y i  xi   R
dxi
0
dt

dxi P
  xi  y i 
dt
R
(3)
Se define un tiempo adimensional tal que:

d P

dt R
(4)
Al reemplazar la ecuación (4) en (1)

d

dt
dR
dt  d   dR
R
R
Integrando desde τ = 0 donde R = R(t = 0) hasta τ = τ donde R = R(t = t), se obtiene:
 R(0) 

  ln 
 R(t ) 
(5)
Aplicando la regla de la cadena:
dxi dxi dt


d
dt d
(6)
Reemplazando las ecuaciones (3) y (4) en (6)

dxi P
R
  xi  y i   
d
R
P
dxi
  xi  y i 
d
(7)
La ecuación (7) se resuelve para valores de τ que van desde cero hasta infinito, sin embargo se debe
conocer también la composición en el lado del permeato, para lo cual se plantea las siguientes
ecuaciones:
Flux del componente i para permeación gaseosa [1,2].

N i  Pi  R xi   P yi 
(8)
O también se puede definir de forma general el flux como:

Py
Ni  i
Am
(9)
La composición de vapor de la sustancia que atraviesa la membrana yi es desconocida pero se sabe
que la siguiente condición se debe cumplir:
c
y
i
1
(10)
i
De esta forma se obtiene la siguiente expresión:
yi 
Ni
(11)
c
N
i
i
En resumen el modelo de las curvas residuo de membrana para la pervaporación viene dado por el
siguiente sistema de ecuaciones:
dxi
  xi  y i 
d
(7)

N i  Pi  R xi   P yi 
yi 
Ni
(11)
c
N
(8)
i
i
Para obtener las curvas residuo se integra la ecuación (7) para un valor inicial de xi, para el cual se
debe conocer su correspondiente yi, que se obtiene al resolver iterativamente las ecuaciones (8) y
(11), de modo que para cada paso de integración se repite el cálculo de la composición del permeato
con las ecuaciones (8) y (11).
Para determinar la composición acumulada de permeato se sigue el sistema que se muestra en la
figura 2, y se realizan los respectivos balances.
Figura 2. Sistema de separación con membrana en batch con acumulación de permeato [2].
Ahora bien si se considera que hay acumulación del permeato, se pude realizar un balance de
materia (global y por componente) en función del tiempo [2].
R(0)  R(t )  P t
(12)
R(0) xi (0)  R(t ) xi (t )  P yi ,acct
(13)
Reorganizando la ecuación (5) se tiene:
R(t )  e  R(0)
(5*)
Al reemplazar la ecuación (5*) en las ecuaciones (12) y (13) y combinar estas dos últimas
ecuaciones despejando la composición de permeato acumulado se obtiene la siguiente expresión:
yi ,acc (t ) 
xi (0)  e  xi (t )
1  e 
(14)
De esta forma se observa que para determinar la composición de permeato acumulado es necesario
determinar una curva residuo a una composición de alimentación dada, y reemplazar los valores de
xi(t), correspondientes a cada valor de τ.
Sistema de operación en continuo
Análogamente se define el sistema en continuo, a diferencia de que no se determina en función del
tiempo y de un tiempo adimensional, si no del área (A) y un área adimensional (A´).
dxi
 xi  yi 
dA´
(15)
 F 

A´ ln 
 R( A) 
(16)
N i  Pi  R xi   P yi ,acc 

yi 
(17)
Ni
(11)
c
N
i
i
yi ,acc ( A) 
xi (0)  e  A' xi ( A)
1  e  A'
(18)
Para el sistema en continuo el modelo se resuelve todo acoplado puesto que el flux depende también
de la composición de permeato acumulado, que es la composición de salida que se acumula
continuamente, a diferencia del batch que es cambiado para cada ciclo de operación.
Caso de estudio
Ciclohexano/Benceno/Hidrógeno
La tabla 1 presente las permeabilidades del sistema [3] y las composiciones iniciales a las que se
desarrollaron los cálculos.
Tabla 1. Condiciones iniciales utilizadas en el sistema y permeabilidades de cada componente.
Componente
Permeabilidad
[mol/(s*Pa*m2)]
Composición
inicial
Ciclohexano
Benceno
Hidrógeno
4.63*10-7
4.807*10-7
2.9923*10-6
0.05
0.05
0.9
La presión en el lado del retentato se fijó a un valor de 101325 Pa (1 atm).
Sistema en batch (πP = 0 Pa)
En la figura 3 se presenta las tres curvas obtenidas (residuo en rojo, permeato en verde y permeato
acumulado en azul).
Las curvas de permeato y permeato acumulado, deberían empezar en el mismo punto, puesto que en
el primer instante la composición acumulada de permeato será la composición que halla en el
permeato, para los instantes siguientes se empezará a acumular en el permeato y estas
composiciones se harán diferentes, sin embargo esto no ocurre para la figura 3, sin embargo se
aprecia que si coincide el punto de inicio respecto a la composición de benceno (xB). Podría ser
algún error de cálculo, no obstante, el hecho de que la presión en el lado del permeato puede influir.
La composición final de permeato acumulado será la composición inicial, puesto que ésta es la
máxima cantidad que se puede acumular, como ocurre en la figura 3.
permeato
xB
residuo
permeato acumulado
x H2
Figura 3. Curva residuo, de permeato y permeato para un sistema de membrana de permeación gaseosa para el sistema de
estudio en batch (πP = 0 Pa).
Sistema en batch (πP = 101.325 Pa)
En la figura 4 se presenta el sistema en batch pero a una presión de vacío en el lado del permeato
mayor a cero.
permeato
xB
residuo
permeato acumulado
x H2
Figura 4. Curva residuo, de permeato y permeato para un sistema de membrana de permeación gaseosa para el sistema de
estudio en batch (πP = 101.325 Pa).
Para este caso no ocurren contrariedades, como en el caso de que la presión en el lado del permeato
era igual a cero, puesto que los puntos de inicio de las composiciones del permeato y del permeato
acumulado coinciden, como se espera a lo explicado anteriormente. La presión en el lado del
permeato aumento y con su aumento trajo un cambio notorio en la curva de permeato, de modo que
las composiciones de la curva residuo y del permeato se hacen similares.
Sistema en continuo (πP = 101.325 Pa)
En la figura 5 se presenta el sistema en continuo a una presión de vacío en el lado del permeato
mayor a cero.
permeato
xB
residuo
permeato acumulado
x H2
Figura 5. Curva residuo, de permeato y permeato para un sistema de membrana de permeación gaseosa para el sistema de
estudio en continuo (πP = 101.325 Pa).
Para el sistema se nota una leve diferencia entre el proceso en batch y continuo puesto que tanto la
curva de residuo como la de permeato en el sistema continuo se hace asintótica un poco antes que
en el sistema en batch, y esto puede ser debido a que ahora la composición que influencia la fuerza
impulsora es la acumulada a lo largo del proceso.
Referencias
[1]
M. Peters, S. Kauchali, D. Hildebrandt, D. Glasser, Derivation and Properties of Membrane
Residue Curve Maps, Industrial & Engineering Chemistry Research. 45 (2006) 9080-9087.
[2]
M. Peters, S. Kauchali, D. Hildebrandt, D. Glasser, Application of Membrane Residue
Curve Maps to Batch and Continuous Processes, Industrial & Engineering Chemistry
Research. 47 (2008) 2361-2376.
[3]
J. Fontalvo Alzate, M.Á. Gómez García, Intensificación de Procesos utilizando Tecnologías
de Membrana, 1st ed., Editorial Blanecolor, Manizales, 2010.