texto del original del autor en formato pdf

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AXIOMÁTICA DE LÓGICA POLIVALENTE
Y DE CONJUNTOS POLIVALENTES
Antonio Gotuáiez Carlomán
Oviedo
I
Ár,cnnn¡. DEBooLE Y RETÍcuLo DEBooLE coMPLETo
1. ÁIgebra de Boole
Sobre un colectivo lD se forma un álgebrade Boole si y sólo si, siendou un determinadoelementode
IE, se cumplen las siguientescondiciones:
1oOperaciones
Sepuedendefinir las operaciones:
a) Una operaciónunitaria interna * en IE
De un dato de IE se obtieneun resultadode ID
b) Una operaciónbinaria interna+' en lE
De dos datosde iE se obtieneun resultadode IE
2oAbreviaciones
a) i es una abreviaciónde z*o y por lo tanto
t: u
b) Operaciónbinaria interna . en lE como abreviaciónde una composiciónmediante+' y *
x,y e W -:-+x. y:
(x* +'.y')- ( )t='-+":"induce")
3oAxiomas
a,b,c e E, se cumplenlas siguientesigualdades:
Pma cualesquiera
A1 Conmutatividadde +'
a + ' b : b + 'o
Az Dishibutividad de +/ respectoa .
a+' (b.") : (a+'b). (a+'c)
A.3Absorciónde +' respectoa.
a+'(a.b): a
en +'
Aa Complementación
a + te ' : u
Estaaxiomáticafue publicadapor el autor de estetrabajo en la revista GacetaMatemática del Consejo
Científicas(lu Serie,Tomo XXVIII, Nums.l y 2,Madrid 1976).
Superiorde lnvestigaciones
2. Orden Reticuhr de Boole (Retículo de Boole)
Una relación de orden<'sobre un colectivo iE es un orden reticular de Boole si y sólo si, siendoa, b y c
cualesquieraelementosde iE, se cumplen las siguientescondiciones:
B r El orden<'en IEes un ordenreticular,es decir:
a) Cualquier conjunto, con dos elementos,{a,bl de E tiene minorantesy mayorantesen E respectoa
eseorden.
b) Los minorantes de {a,b) tienen un miáximo en IEoal que llamamos extremo inferior de {a,bl
(nf{a,bl), y los mayorantesde {a,bl tienenun mínimo en IE al que llamamosextremosuperiorde
{a,b} (sup{c,é}).
82 El colectivo IE tiene un mínimo i al que llamamoselementoínfimo, y un mriximo u al que llamamos elementouniversal.
83 El retículo indicadoen B 1 es distributivo, es decir, que
sup{c, inf{á, c}} : inf{sup{c, ó}, sup{4,c}}
es decir, que existeuna biyecciónen IE,/: lE * IE,
84 El retículoindicadoen 81 es complementadoo
de modoque:
a) La biyecciónes involutiva
xeE=+;ffix)):x
b) La biyecciónes antítonaen <l
Patax,y e M
1e1ty=.+fu)<'f(*))
c) La biyección complemerúaa u
¡ e E =--)supft,;(x)): ¡¿
3. Retículo de Boole completo
El retículo de Boole definido en 2 puedeser completoo no:
Un retículo de Boole sobreiE es completo si y sólo si cualquier subconjuntono vacío de E tiene exffe-
mo inferior y superior.
Estudiémoslo:
3.1 Familiasde elementosde E
a) Siendo.I un colectivode elementosa los que llamamosÍndices(normalmente,I es NI* ) y ,É1una
parte no vacía de d si tenemosuna aplicación
a:H-*M
Sabemosque
{s(x)lx e I+:
{It:
{a,lx e III:
(ox)x.n
Y a 4II) en la forma (a,),.n lo llamamosfamilia de elementosmediantex de Il en IB
b) SiendoHy Kpartesno vacíasde 1, si tenemosuna aplicación
b : HxK'* M
Sabemosque
b(HxI} : {tfu,y) | (x,y) e HxI(} : {b,
| (x,y) e HxI{} : (b'y)6y¡"n"r<
y a b(HxIQ en la forma (bo)6y¡.a"xlo llamamosfamilia de elementosmediante(x,y) de HxKenF*
3.2 Si convenimosque fl*¡¡a' : i¡1(s¡)re¡¡, que X'=¡¡d' : sup(g").ren1rsi tenemosen cuenta2, la
axiomáticadel retículo de Boole completosería:
lo Abreviación
ZxeHdx: (fI'.sai)'
2oAxiomas
Br El orden<'es reticular
Bz El orden <'tiene elementoínfimo y universal
Bl El retículo indicadoen ,B1es distributivo
84 El retículo indicadoen ,B1es complementado
85 fl¡¿7c¡('a* (Pataoada.re I1¡
3oRegla
ParacualquiercelE
c1ta, =+ úr(tflr€.¡?cr (para cadax e Il)
4. Observaciones:
Los desarrollosde las axiomáticas1, 2 y 3 estánexpuestosy demostradosen el libro del autor de este
trabajo "Retículo completode Boole, Llgicamatemática, Teoría de conjuntos",publicadopor el Servi-
cio de Publicacionesde la Universidad de oviedo:
del álgebrade Boole.
a) En R-IV-I (libro indicado)se desarrollanlas propiedadesesenciales
b) En R-IV-2 se define xRy: x. y : x, y se ve que la relaciónrRes de orden(reflexiva,antisimétrica
<'por R ( '=" - '2siy
y transitiva ) y se demuestraque es un orden reticular. En adelantesustifuiremos
sólo si" )
c) En R-IV-3 se definey desarrollael retículode Boole.
d) En R-IV-3.1 se demuestraque de un álgebrade Boole se deduceun retículode Boolee) En R-IV-3.2 sedemuestraque de un retículode Boole se deduceun álgebrade Boole.
f) En R-V-l se define y desarrollael retículo de Boole completo'
por
g) En R-V-ir se demuestraque si lE es finito, el retículosobreél es completo,ya que,en esecaso'
R-fV-2.6.t,si(a')'.¡¡ : {üir,üiz,-.,ai.l (iLiz,",i. e N*)
- d'it'a'.iz' " '.üi*Y
hf(ur)r.n :inf{u¡rrüirr..,di*)
t,rp(á'jro : sup{c;,,4 i2,..,üi.): üit I' a'i, *' " *t d'in
Esto último acreditala nomenclaturaindicadaen 3.2.
E se pueh) por d) y g), si sobrelE finito se puedeformar un álgebrade Boole, entoncestambién sobre
de formar un retículo completode Boole.
eni) Lhmamos dual de una fórmula demostradamedianteálgebrade Boole a la que resulte de alterar
una
su
axiomática,
con
que
demostrada,
á ;í . y +, y alterarentre si i y z. Se probó, en R-IV-1.10,
formul4 también quedademosüadaautomáticamentesu fórmula dual.
j) Llamamos dual de una fórmula demostradamedianteretículo de Boole completo a la que resulte de
y
Se
alterar entre sí los términos que separa<'además de alterar entre si . y +' y afterar entre sí i z.
autoqueda
demostrada
probó, en R-V-1.4, que demoitada, con su axiomática,una formula, también
máticamentesu formula dual.
5. Retículo de Boole completo con números naturales
Definiendo, paran e N[*,el conjuntode los númerosnaturalesIE, de modo que:
M, : {xp2.xn I x¡x2,..,xn € {0' 1}}
Vemosque:
IE1: {0, 1}
E2 : {00,01, 10,ll}
1 8 3: { 0 0 0 , 0 0 1 , 0 1 0 , 0 1110, 0 ,1 0 1 ,1 1 0 '1 1 1 }
etc.
Que representan,para cadan e N*,todos los númerosnafuralesde n cifras (con cerosa la izquierda)
distintosde I0, es el de 2' (VRÍ).
en basel+l (l+l:10). El númerode elementos
Propiedades:
SobreMroparacadan ) 1, sepuededefinir un álgebrade Boole.
En efecto:
5 . 1S i n : 1
u:
Determinando
elE1, lassiguientescondiciones:
I; secumplen,paracadaar,Pt,yr
1oOperaciones
a) Operaciónunitaria intema * en IE1
a,':l-al
b) Operaciónbinariainterna+' en iE¡
a t l - tF t : m a x { u 1 , p 1 l
2oAbreviaciones
a) i es una abreviaciónde ¡r.
i:u* (o: 1.)
b) Operaciénbinaria interna. eil lEr
a 1c B r : ( a i + ' p i ) .
3oAxiomas
Se cumplenlas igualdadessiguientes:
A1 Conmutatividadde +'
ut +' Ft : B1*t ar (R-I-1.4)
Az Distributividadde +' respectoa '
at +' (Ft . Tt) : (at +' flt). (u, +' Tr) G-I-1.5)
,A.3Absorción de +t resPectoa .
a1+t(a1. Ft): c1 (R-I-1.6)
de +'
A4 complementación
altt ai: z (R-I-1.7)
5.2Sin22
En el conjuntolEo, dadoel elementodeterminadotr:11..1 (n unos)se cumplen,para cualesquiera
condiciones:
ü1d2..ün,frtfrz..Fn,T tTz..Tne IEn,las siguientes
1oOperaciones
a) Operaciónunitaria interna * en IEn
(aúz..un)*: aiui..ai,
b) Operaciónbinariainterna+' en IE,
ü 1 ü 2 . . a n +F' t f l z . . f l n : ( o 1+ ' f l ) ( a z + ' f r ) . . ( a n + ' f r n )
2oAbreviaciones
de u* 7i-- u*¡
a) Í esunaabreviación
b) Operaciónbinaria¡ er lDncomocomposiciónde * y +'
a 1 ü 2 . . ü ¡ .f l t f r 2 . . f l n: ( ( a p 2 . . a , ) * * ' ( f i $ 2 . . f " ) . ) ) .
b1)ap2..an. Ft\z..fl,: (üt . F)(az.
Fz)..(u".É,) (R-VI-l.1-ii-2'-br)
3oAxiomas
de +'
A1 Conmutatividad
(R-VI-l.1-ii-3%Ar)
dtüz..dn+' fl t\z..Fn : fl tfz..f" +t ü 1d,2..d,n
Az Distributividadde +' respectoa'
o r o r . . o n +(' p r p 2 . . p n . T r T z . . T n ) : ( a p 2 . . a oP+r' P 2 . . P n ) . ( a p z . . u n +T'r T z . . / , )( R - v I - 1 . 1 - i i 3'-Az)
A3 Absorciónde +t respectoa.
ü t ü 2 . . ü n+ t ( u p 2 . . a r . f t F z . . F n =
) ü t ü 2 . . ü nG - V I - 1 . 1 - i i - 3 q A l )
de +'
Aa Complementación
d tü2..d.
n +t (a ñ2..a n)* : u (R-VI-1.1-ii-3"-44)
5.3. Con el desarrollode la axiomáticaanterior,se defineel orden<'de modo que
n
d.1ü2..ü
n a' F, fl 2..fl" = ü rü2..ün . f t Fz..F" : ü 1d,2..ü
Y esteordendefrneun retículo de Boole completo,ya que IB' es finito (4-g)
5.4.arüz,&nl' fltfr2..F,= at I Fr A az I Fz A..A ün 1 P" &-Vl-2'2)
1 fl tfz..B" R-VI-2.3)
5.5.aúz..a, a' fl tfz..fln =+ Q1fl2..a"
5.6. Con los elementosde lflu,sin los ceros a la izquierda,se forma la siguientesucesióncreciente
respectoal orden< numérico:
1 01 1 . . 1 1
0 < I < l 0 < l l < . . . < 1 1 . .<
Que en base9+1 sería:
0 < 1 < 2 < 3 < . . . < -22 < 2 - L
Observemosque se cumple:
IElc IE2c IE:c...
6. Retículo de Boole completo con números racionales
Definiendo,peran € N*, el conjuntode los númerosracionalesIF, de modo que:
F, : {frF
I xp2.xnE En}
Vemosque:
F' : {*, i}
: {#, +' -it,+i
lFz
¡! ¡ - -- ¡ 0 0 0 0 0 1' 0 1 0t 0 l l , 1 0 0' l 0 l ' l l 0 t l l l 1
J
t lll ' lll
lll
lll ,
lll
lll
lll
lll
etc.
Propiedades:
SobreFr, paracadan ) 1, sepuededefinir un álgebrade Boole en Queu : I
6.1 OperacionesdefinidassobreIFnparan e N*
a) Operaciónunitaria * en JF,
: ryf
("'{l'.'.'i').
b) Operaciónbinaria+' en IF,
dtd,¡..do . t BtBt..Bo
'
11..1
11..1
(a1+' B)(a2+' p2¡..1a,+'Bn¡
11..1
6.2Bnla aplicaciónf, l0o -* lF,, tal que
g#f
dtrd2,..,clnG iEn=--+(a1a
z..an):
Se cumplen:
a) Es biyectiva
b) Sonhomomorfas,y por lo tantoisomorfas,las dos estructurasMn,*o +t y F no*, +'
Y como la estructuraIDn,*, +t forma un álgebrade Boole ypor lo tanto un retículo de Boole completo,
entoncestambién la estructura IFno*, +/ formará un álgebra de Boole y por lo tanto un retículo de
Boole completo.
6.3 Con los elementosde 1Fr,sin los cerosa la izquierda,se forma la siguientesucesióncrecienterespecto al orden < numérico:
Si n:l
En basel+l y en base9+l
0<l
Si n:2
En base1+1
o.i<-l{-<t
En base9+1
o . * < ] < t
Si n:3
En base1+l
o. # . r+ . # . jS " j+f<'l.lf< t
En base9+l
0.i.tr.i.i.1.*.r
Sin>4
En base1+1
0.#r.+5
En base9+1
o<+<h
Estassucesionessonprogresionesaritméticasque, en el casode base9+l yn € NI*, tienen2 térmicomo su diferencia.
nos, 0 como primer término, 1 como último término y h
II
Ár,cngRA DE BooLE Y RETÍcuLo DE BooLE coMPLETo
DE LÓGICAPOLIVALENTE
l.Familia de proposiciones polivalentes
a) Siendo U el universodel discurso; si P representaal colectivo de proposicionessimplesy compuestas,H aunaparteno vacíade U(o inclusode N[*), y dadauna aplicación
P:H-P
Sabemosque
P(II) : {P(x) | ¡e /4 : {P, I x e III : (P,),.n
xdeHenP.
Y aP(II), enlaforma(P,)r.n,lallamamosfamiliadeproposicionesmediante
b) SiendoH y Kpartesno vacíasde U(o inclusode N*), si tenemosuna aplicación
R: IIxK-* P
Sabemosque
R(Hxn:
{R(x,y) I (¡,y) e f/xK)} : {R,,
| (¡,y) € HxK)} :(R*y)utt.t¡x
Y aR(HxK) en la forma (R,)G'D.H*K, la llamamosfamilia de proposicionesmediante(x,y) de HxK
enP.
2. Proposicionescuantificadas
Medianteestasfamilias,y suponiendoque r e y act(ancomo variablessujetosenP, Y R'y (o siendo
x,y e N*), definimos,en R-II-5, las proposicionescuantificadas:
a) Y onP,; b) t'.xPr;
c) Vos3r*¡R'yi
d) V'.¡¡V yxRr;
etc-
3. Valoración polivalente de las proposicioneslégicassobre IFn(n e N*)
SiendoF el colectivo de todas las proposicionessimples,compuestaso cuantificadascon sujetosde U
(o elementosde N* si se trata de familias de proposiciones)y IF, el conjuntode númerosracionales
que forma un retículo completode Boole (I-6) definimos:
@:lF-*F'n
de la siguientemanera:
Ú(P,)*n una famiP,Q e F y cualquierfamilia (P'),.n de H e¡F, y representando
Paracualesquiera
lia de Ilen iF"
l" Si P es una proposiciónsimPle
Asignamos " ¿¡g) un valor en la escala de lFn, respectoal orden < de los números racionales,que
-uryu. el gradode fiabilidadde la verdadde P (0 SÓ(P) I 1) teniendoen cuenta:
a) Las proposicionessimplesque tenganvalor cero (0) de IFn,tienen el grado mínimo de fiabilidad de
verdad;tienenfiabilidad nula, sontotalmentefalsas.
b) Las proposicionessimplesque tenganvalor uno (1) de Fn,tienen el grado mráximode fiabilidad de
verdad; sontotalmenteverdaderas.
c) Las proposicionessimplesque tenganvalor fraccionariode lFn, tienen un grado fraccionariode fiabilidad de verdad,es decir, tienenpérdida de verdad;pero no toda'
2' Si P es una proposiciónsimple, compuestao cuantificada
ó(-,P): ó(P).
3" Si P o p sonproposicionessimples,compuestaso cuantificadas
ú(Pv g) : ú(P)+' ú(Q)
4o Si la familia (P")r.a estáformadapor proposicionessimples,compuestaso cuantificadas
ó(Y,.nP,) : tnfÓ(P,)*.a
5o Si convenimosque P AQ y 1r.nP, son respectivamenteabreviacionesde -(--'PV--Q)
--y ,.H-Pr, resultariaque se podríanvalorar tales abreviacionesaplicando 1o,2o,3oo 4o.
y de
Observernosqrc para valorar 1outilizamos el orden numérico( en IFn, para valorar 2" y 3outilizamos
(ten
el álg€bra¿e noon en F,, y para valorar 4o utilizamos el retículo de Boole completo con su orden
TF'
{ u.
Propiedades:
P, Q e IFy cualquierfamilia (P,),.n de,ltlen lF
Paracualesquiera
3.r ó(P AQ): ú(P)- d(9) G-VII-I.1)
3.2ó(1,¿P,) : supd(P')".¡¡(R-VII-I.2)
3.3 Suponiendoque P es una proposición simple con un predicadop y ura variable sujeto z e U y
convenimosqueP : Áz),podríamos definir la aplicación
ór: U * IFr,talque
ze(J-óp(z):ó(p(r))
Esta aplicacióndefine la familia Q@QD*u. Y esta familia de valoresde lF, nos indica el grado del
cumplimientode la predicaciónp para cadaelementode U.
4. Relaciónesen IFmediante valores de IFnpara r e lf
a) Relación <+en F
X e !:- ó(X) : ó(J/) (léase:X equivalea!)
(<+es relación de equivalenciapor ser reflexiva, simétricay transitiva, por R-VII-2.1)
b) Relación= en iF
(léase:XimplicalógicamenteaJ)@orI-5'5),X+!-7*ÓV)=ú(y))
X=y=ó(X)='ú(y)
por R-ry-2')
1+ es relaciónde ordónpor serreflexiva,antisimétricay transitiva'
5. Á[ebra de Boole de la lógica polivalente
Propiedades:
proposicióntal que ó(u) : I; parccualesquieraP,Q,R e lP y valorandosobrelF,, para
Siendou LLna
n e lf , se cumplen:
5.1 Siendoi una abreviaciónde --¿
i e '-u (ó(i): ú(-u))
5.2 P AQ e ---'(--PV-Q) (Ó(P AQ) : Ó('-(-#V -QD R-VII-3.2)
5.3 Conmutatividadde V
PY Q e Qv P (Ó(Pv g) : OQY P) (R-VII-3.3)
5.4 Distributividad de V respectoa A
p v ( g A R ) < +( P v Q ) ^ ( P v R ) ( Ó ( P v ( Q A R ) ) : d ( ( P v Q ) ^ ( P v R ) ) ( R - V I I - 3 . 4 )
10
5.5 Absorciónde V respectoa I
Pv (P AQ) o P (ó(P v (PA 8D: d(P)) (R-VII-3.5)
en disyunción
5.6 Complementación
--P
($(P
a u
Pv
V--P) : ó(u)) (R-VII-3.6)
Y vemos,al observarla definición indicadaen I-1, que estaspropiedadesvalidana la lógica polivalentecomo un álgebrade Boole.Recordemosque cualquieraxiomáticasólo dependede las formulasy
reglas(su estructura)sin imporüarnoscómo éstasfueron construídasni el tipo de lenguajeutilizado para ello.
Las diferenciaslingüísticasentre la axiomática abstractadel álgebra de Boole y la misma axiomática
aplicadaa la lógicapolivalentesonlas siguientes:
"-'i por "o". b) Cambiar la operacionbinaria abreviad¿"." por la operaciónbinaria abrea) Cambiar
"*" por la operaciónunitaria "-". d) Cambiar la operación
viada "A". c) Cambiar la operaciónunitaria
"V".
binaria"+"'¡)or la operaciónbinaria
En resumen,tu tOgióupolivalentees un modelo de la axiomáticaabstractade álgebrade Boole definida
enI-1.
Observemosque estaaxiomáticade álgebrade Boole de la lógica polivalentees idéntica a la axiomática de álgebrádeBoole de la lógicabinariaestudiadaen R-IV-I' llibro¡.
6. Retículo de Boole de la légica polivalente
Como vimos, en I-4-d, que de un álgebrade Boole se deduce,en R-fV-3'.1', un retículode Boole, entoncesdel álgebrade Boole de las proposicionespolivalentesse deduce,por la identidadanteriormente
al idénticodeducidoen R-fV-3'.1'.
indicada,el rétículode Boole correspondiente
:
La diferencialingüísticaestii en el cambiodel signoS' (* a'y x . / : x), que indicael ordenreticu(X - U =.XAy € ,t), queindicaelordenreticulardelalógicapolilarabstracto,poielsigno+
valente.La definición-X = ! = 6@) l'ó(y), indicadaen 4-b,no esüíen desacuerdocon la obtenida
al desarrollarel álgebrade Boole, puestoque:
xAy e x= 0(¿)r'ó(y))
(x Ay e X = 4@ny) : +(n = +W)'O(D : ü(X)=+(X)s'|(y))'
7. Retículo de Boole completo de lógica polivalente
7.1 Como vimos, en VII-4.2, que la axiomáticadel retículode Boole completode lógicapolivalentees
tres nuevaspropiedades;estastres nuevaspropiedadesson:
la del retículode Boole añadiéndole
1) Abreviación
ar.nP, <+ --V'dq'-P* ( R-VU-3.7)
2) axioma
Y,.nP, > P, (parucadax e 11) (R-VII-3.8)
3) Regla
g = Pt -+ Q + Y *.nP, (paracadax € ¡,
(R-VII-3'9)
ll
')
7.2 Por ser la axiomáticade retículode Boole completoen lógicabinaria(V-1 idénticaa la axiomática de retículo de Boole completoen lógicapolivalente,se cumple en lógicapolivalente,si 0<m<2 y
H : {it,í2,..,i*l (H c U o 11c -l/*) que:
/.5t)
a)Y ,.¡1P,o Pir APi, A..A P¡- (V-l
b)1'.aP' o Pir V Pi, V ..Y Pi, (V-1'.5')
c) ó(Y naP'): ú(P,,¡ . 6(Pi) .... ó(Pi) (3.1)
d) ó(1nnP*) : ó(P,,) +' Q(Pi) +' .. +' $(Pi) (3-3)
8. Conclusión
Existe sólo un soporteaxiomático para las distintas sucesionesque valoran las proposicioneslógicas
de valores:Wt,2r; W2,22; W3,
la diferenciaest¡ísóloen la longitudde dichassucesiones
polivalentes,
tL 3).. . ) 'L. r nFt )- n .
En el libro indicado en I-4, tenemosdemostradas,sobre el soporteaxiomático común, los siguientes
IV-l',lY-2'o IV-3',V-l' yY-2',válidas paracualquiersucesiónde valores.
bloquesdepropiedades:
Evidentemente,puedenobtenersenuevaspropiedadesde la axiomática.
n
Ár,cg,nn¡ DE BooLE Y RETÍcuLo DE BooLE coMPLETo
DE CONJUNTOS POLIVALENTES
i. Proposicionesconjuntistas polivalentes
Dado un universodel discursoU, un elementoó de (I y un conjuntoA de U (A eP(U) ), la expresión
b e A (b pertenecea,4) es una proposiciónconjuntista(á sujeto,e verboy,4 complementodel predica-*
do). Ahora podemosrepresentar,en la aplicaciónvalorativa/ : IP IF, (r e N*), más explícitamente,unaproposicióncerradaPdeFenlaformabeA,ysifueseabierta,enlaformaxeA.Eneste
último caso,podríamosdefurirla aplicación
ól:U-Fn,talque
xeU=ú.q(x):Q@eA)
Esta aplicaciónnos definela familia ó1@),.u. Y estafamilia de valoresde JFonos indica el gradode
pertenencia en el conjunto A óe cadaelementode U; definiendo,por lo tanto, al conjuntopolivalenteI
deU:
a) Los elementosde Uque tenganenl gradode pertenenciacero (0) no estánenl.
sin ninb) Los elementosde U que tenganen,4 gradode pertenenciauno (1), esüinen I enteramente,
gunapérdida de pertenencia.
c) Los elementosde U que tengan en A gradosde pertenenciafraccionariosestrínen A fraccionariamente,es decir,tienenpérdidade pertenencia;pero no toda.
t2
2. Otras definicione
a) Conjuntouniversalpolivalente
Es el conjuntoque contienetodos los elementosdel universodel discursoy cadauno de ellos con grado de pertenenciauno (1). Semencionacomoel universodel discurso,conjuntoU.
b) Conjuntovacío polivalente
Es el conjuntosin elementosdel universodel discurso,y por lo tanto el gradode pertenenciade cada
uno de los elementosde Ua él es cero (0). Semencionacon el signo0, conjunto0.
c) Conjuntospolivalentesiguales
Dos conjuntospolivalentes A y B son igualessi y sólo si, para cada elementode {1, su grado de pertenenciaen I es igual a su grado de pertenenciaen B.
A : B = Q/x) : $n(x) (paracadax e LD
"t)A:B=xeAaxeB
: - x e A < +- r e B )
Q4: B = Sd(x): $r(x) = Ó(xeA): f(xeB)
d) Inclusión normal de dos coqiuntospolivalentes
Un conjunto polivalenteA estáincluido normalmenteen un conjunto polivalenteB, y lo representamos
porA é B, si y sólo si, parc cadaelementode U, su grado de pertenenciaen A es igual o anterior a su
gradode pertenenciaen B respectoal ordenretícular<'.
A c B : - ó , t @ ) l ' ó n ( x ) ( y t a n c a d a x d e Q @ o r I - 5 . 5A, c B -
Ól(x)=Ón(x))
dr)lcB=xeA+xeB
(A s B = Qa(x)S'úa(x) = ú(x e A) <' $(x€ B) : x e A = x e B)
e) Inclusión estrictade dos conjuntospolivalentes
Un conjuntopolivalenteA est6incluído estríctamenteen un conjuntopolivalenteB, y lo representamos
en,4 es anteriora su grado
por
A c f, si y sólo si, paracadaelementode U, su gradode.pertenencia
'depertenenciaenBrespéctoalordenreticular
<' (a<'b e a<'b Aa + b)'
de A (PorI-5.5,A c B A c B = $e(x) <' óu@) (ptaracadax
Ót@) < Óu(x))
3. Conjuntos polivalentesdeducidosde otros
a) Complementariodel conjuntopolivalenteA de U
Llamamos complementariodel conjunto polivalente A de U, y lo representamospor A-, al conjunto
polivalentede U
A- : {x l-.¡ e ,,a} (Uimplícito)
I J
x e Utalesque
Queesel conjuntodeloselementos
Q@eA-):ó(--xeA)+a
a 1) Por la definición , Para cadax e U
xeA-
e --úeA (Il-4-a)
a2) Para cadax e [-J
ó.n-(x): ga(x)"
-: Ó's@).)
(ó;-@:
Ó(--xeA): Ó(xeA)*
ó(xeA-)
a3) Para cadax e U
óu-@):{s{x)
@ u - Q ) : Ó u ( x ) * :1 * : o : d s ( x ) )
at) U- :A
b) Diferenciade A Y B
(1, y la representamospor '4 - B, al conLlamamos diferencia de los conjuntospolivalentesA y B de
junto polivalentede U
A - B : {x I x e A A'-.¡-e B) (UimPlícito)
que
Que es el conjuntode los elementosx e Utales
r
: S ( xe A A
e B) + 0 .
Q @e A - B )
eU
b1) Por la definición,Paracadax
e
xeA- B exeA A--,xB
b2) Paracadax e U
ó*s(x) : ú¿@)'Ón(x)*
-*
:
t B) -- Ó(xe A)' $(xe B)* :
tO"-ifí>:' O(*e t --n)= Ó(xe A A e B) ú(* e A)' Ó(-*
0¿@)' @a(x).)
c) Unión de los conjuntospolivalentesAy B de U
por ,4 U B, al conjunto
Llamamos unión de los conjuntospolivalentesA y B de U, y la representamos
polivalentede U
AUB:
{xlxe AYxeBl (UimPlícito)
que
Que es el conjuntode los elementos.re Utales
+
0
B
)
A
V
x
e
S@eAUB): Q@e
eU
c1) Por la definición,Patacadax
l4
xeA\)BexeAYxaB
c2) Para cadax e U
órun@): ó¿@)+' ós(x)
f O ) r ¡ í x > :ó ( x e A U B ) : O ( x e A Y x e B ) : $ ( x e A ) + ' f i ( x e B ) : Ó ' t ( x ) +Ó' s ( x ) )
Ay B de U
polivalentes
delosconjuntos
d) lntersección
porA n B, al conAy B de (J,y la representamos
polivalentes
de losconjuntos
Llamamosintersección
juntopolivalente
de U
A a B : {t Ix e A Ax e Bl (UimPlícito)
x e Utalesque
Queesel conjuntodeloselementos
Q @ eA n B ) : $ ( x e A A x eB ) + 0
d1) Por la definición,Patacadaxe U
xeAOBexeAAxeB
dz) Paracadaxe U
óna@):Qn@)'Sa@)
: Ó@e A Ax e B) : Q@e A)' Q(xe B) : ÓÁx)' da(x))
fl"i!ft> : ó(x e A ff'ri
+. ÁgeUra de Boole de los conjuntos polivalentes
determinadode
Para cualesquieraconjuntospolivalentesA,B,C € P((4, se ve, siendouel elemento
P(t, (I-1), qr't"s" puedeformar la siguienteaxiomática:
1oOperaciones
a) Operaciónunitaria interna- en P(t/)
b) Operaciónbinaria internaU en P(t/¡
2oAbreviaciones
a) 0 es una abreviaciónde U-
fr: U- (3-a¿)
b) Operaciónbinariainternafl en P({/¡
X,YeP(t4-
XnY:(tr
Uf-)- (xeXOYexe(f
UY)-)
3oAxiomas
A1 Conmutatividadde U
l5
A l ) B : B U A ( x e A U B ( +r € B U A )
Az Distributividadde U respectoa l^l
A U ( B n C ) : ( A U B ) n ( , 4 UC ) ( x e A t ) ( B n C ) e x G ( A U B ) n ( , 4 U C ) )
A3 Absorciónde U respectoa O
A U ( A n B ) : A ( xe A U ( l n B ) o x e A )
en U
Aa Complementación
AUA-:U(xeAl)A-exe(D
Y vemosque estaaxiomáticaes la de un álgebrade Boole al observarla defrniciónindicadaen I-1.
I¿s diferenciaslingüísticasente la axiomática abstractadel álgebrade Boole y la misma axiomática
aplicadaa los conjuntospolivalentessonlas siguientes:
""' por la
binaria abreviada
u) Cu*biu. u . i ,"rp"ctivamente por U y 0. b) Cambiar la operación
"l-.¡".c) Cambiar la operaciónunitaria "*" por la operaciónunitaria 'o-". d)
operaciónbinaria abrwiada
"+"'por la operaciónbinaria "U".
Cambiar la operaciónbinaria
En resumen,los conjuntospolivalentesson un modelo de la axiomáticaabstractade álgebrade Boole
definidaen I-1.
Observemosque esta axiomática de álgebra de Boole de los conjuntos polivalenteses idéntica a la
axiomáticade á,lgebrade Boole de los conjuntosbinariosestudiadosen R-IV-I"(libro;.
5. Retícuto de Boole de los conjuntos polivalentes
Como vimos, en I-4-d, que de un álgebrade Boole se deduce,en R-IV-3".\,', un retículo de Boole,
entoncesdel álgebrade Boole de los conjuntospolivalentesse deduce,por Q identidad anteriormente
al idénticodeducidoen R-IV-3"'1"'
indicada,el retíóulode Boole correspondiente
del
signo <' (* l' ! = x'! : x)-' que indica el orden
cambio
en
el
esüi
La diferencia lingüística
reticularabstacto, por el signoc (X e Y = Xf^l Y: E que indica el ordenreticularde los conjuntos
polivalentes.I.a ¿áiuricióni c y = óx(x) l'óy(x), vista en 2-d, no estáen desacuerdocon la obtenida al desarrollarel álgebrade Boole,puestoque:
XnY:X=óx@)S'rÉr(¡)
6 n Y : X = x e X f l Y e x e X = x eX A ¡ e Y e x e X = ú ( x e X Ax c n :
:
=
ó(x e E . $(x e v) : ó(x e E = Óx@)'Óv(x) óx@) óx(x)f'óy(x))
Ú @ eX ) =
6. Familias de conjuntospolivalentes
a) SiendoI un colectivode elementosa los que llamamosíndices(normalmenteI es el conjuntoN*de
los númerosnaturales),y H unaparteno vacíade I, si tenemosuna aplicación
A: H * P(tD
Sabemosque
A(m: {"a(r)I xe 14 : {A' I x.II}:
(/*)'.¡¡
V a A(It) en la forma (A,),.n lo llamamosfamilia de conjuntospolivalentesde Umediantex de H.
t6
b) Si tenemosuna aplicación
B: HxK *p(¿4
Obtenemoscomo antesque
B@"n:
(B,y)6y¡.nx
Y a (B,y)et)e¡rxrlo llamamosfamilia de conjuntospolivalentesde Umediante(x,y) de HxK.
7. Conjuntos polivalentesdeducidosde familias de conjuntos polivalentes
a) Intersecciónde la familia (.4,),.a de conjuntospolivalentesde U
por f).xeaAr, al conjuntopolivalente
Llamamosintersecciónde la familia (Ar)*¿t, y la representamos
deU
),.n A, : {" lY x.az e "4,} (U impicito)
Que es el conjuntode los elementosz e Utales que
ó(z e ),.s A,) : ó(Y *.nz e A,) + 0
a1) por la definición
z€)xeHAreYr.rzeA,,
a2) Para cadaz e U, Y PorlI-7 .2-c
( í t , i 2 , . . , i *€ N * )
ó n , u * ( z ) : \ A , , k ) . ó * r ( z ) . . . . ó . q , , ^ ( z( 0) < m < 2 " )
(ón*u,q,(z): óQ e {fxe¡A,) : ó(Y*.nz e A,) : Ó(t e A,,)' Q@e Air)' ..
. óQ e A¡.) : ú.a,r(z)'ón,r(z)' .. ' $t,.(z))
b) Unión de la familia (A'),.n de conjuntospolivalentesde U
por Urcn A,, alconjuntopolivalentede U
Llamamosunión de la familia (A*)r.u,y la represent¿mos
l)r.n A, : {"lax.n z e A') (U implícito)
Que es el conjuntode los elementosz e Utales que
ó(z e l),.n A,) : Ó(1".nz e A,) + A
b1 Por la definición
z €\JxeHA, e a*rrz e A,
bz) Paracadaz e U, Y Porll-7.2-d
óu*"*(t) : ó.4,r(r)+' ú.s,r(r)+' .. +' fia,*(z)
(óun ¿,Q) :6(z e\J*., Á): ó(3,.u2 e A,): S(ze Ai,) +' $(z e Ai,) +' ..
t7
+' ú(t e A¡) : ú.A,,(z)+' ót,rQ) +' .. +' óa,.Q))
8. Retículo de Boole completo de los conjuntos polivalentes
Como vimos, enL-3.2,que la axiomáticadel retículode Boole completoabstractoes la del retículode
Boole añadiéndoletres nuevaspropiedades;en el casode los conjuntospolivalentes,estastres nuevas
propiedades,al serFn finito, existen,y son:
1) Abreviación
l)rua A, : ()na A;)2) Axiomas
C)r.nA, c- A" (Paracadaxefl)
3) Regla
B c A, =-->B c flr.n A, (parc cadax e Il)
Demostraciónde l) (2-c)
-tz
<+
e.A* € ---'rY
Z € l) rcHA* ? 1a¿¡1z
r.¡7 e A* +'-"rY x¿¡¡ze A; e -(z e l^1".4"4;)
z e (),.a Ar)Demostraciónde 2) (2-dr )
z €)xeH A, + V r.Hz e A, + z e A,
Demostraciónde 3)
-:'
$(zeB)
7 "24 ' )
B c A r = - - +z e B > 2 e , 4 , = * z e B = Y r a ¡ 1 2 e " ! r = ' ' Q Q e B ) S ' Q ( Y * . ¡ e
-:'-+z e B + z a OxeHA" - B c )*.u A,
E
/)
S' ÓQ )xet
9. Conclusión
Existe un sólo soporüeaxiomáficopara las distintas sucesionesque valoran los conjuntospolivalentes'
de valores:IFr. 2r ; Fz, 22; ...;F,, 2'la diferenciaesüisóloen la longituád" dirhut sucesiones
En el libro indicadoen I-4,tenemosdemostradas,sobreel soporteaxiomáticocomún, los siguientes
fV-l",'IV-z",fv-3t', V-ltty Y-2", válidassobrecualquiersucesiónde valobloquesde propiedades:
res.
Evidentemente,puedenobtenersenuevaspropiedadesde la axiomática.
IV
LENGUAJE MATEMÁTICO POLIVALENTE
1. Expansión del universo del discurso (del discurrir)
Dado un universodel discurso[], universobaseoconstruímosla sucesiónde universosexpansivosde
18
U :
u(r : UUP(tr, (IQ : tlt U elflt), U{t : (JQU P(d2),...
Resultandoque:
Uc(f1 c.(JQcd3c...
queda
l.l Si elegimoscomouniversodel discursoa U o algunode susuniversosexpansivos,entonces
el
sobre
inalterablelo dicho sobrevaloracióncon lFnoen II-3, de las proposicioneslógicaso, en III-1,
gradode pertenenciaa un conjuntode cadaelementodel universoen cuestión2. Elementopareja ordenada,elementotriplete ordenado,etc'
a) Elementoparejaordenada
Dadosdos elementosa1,a2 e [], sabemosque {ar} y {at,azl son conjuntosde^Uy elementosde
(l\2. A esteelemento
LÁ1,así comotambié" que {{at},{q,az}} "s conjuntode U(l y elementode
por (at,az)
representarla
y convenimos
{{a11,{a1,az}} de tlz líffamamor elementoparejaordenada
primera y segundacomponentes.
f.üf*i"iOn de-Kuratovski),en eue 01 ! a2 son respectivamentesu
b) Elementotripleteordenado
a1,a2,a3e [], sabemosque (a1,a2),a3e IJQoy su elementoparejaordenada
Dadostres elementos
por (41,a2,a3),,1o
representar
(fo. n ásteeiemento((at,az),a) que convenimos
((ir,or),o).
primera,
segunday
su
respectivamente
son
llamamoselementotriplete ordenadoen que aroct2] 43
terceracomPonentes.
induciendo,obtendremoselementoscuatripletesde U(6y, si / > 5' r-pletesde
c) y así,sucesivamente
¡¡(2(t-t).
Propiedad:
Se demuestraqtJe,parat>2
( x t , x z r . . , x t ) :( x ' 1 , x ' 2 r . . ,+x 'xr )1 : x ' 1A x 2 : x i A " A x t : x t t
3. Producto cartesiano de conjuntos polivalentes
a) Productocartesianode dos conjuntospolivalentes
por
Llamamosproducto cartesianode los conjuntospolivalentesAt Y Az de U, y lo representamos
A1 x A2, al conjuntopolivalentede (Í2
A1xA2:
{(xr,¡z) I ¡r e At AxzeAzl lutz implícito)
que
Que es el conjuntode los elementos(xt,xz) e Ú2 tales
0
e
A
t
AxzeA2)+
.^
ó(@ux) e AlxAz):Ó(u
y ó: P2 * F-n)
U{'
sobre
proposiciones
las
de
iodas
fit,
el
colectilo
iS'ü"Oo
l9
a¡ ) Por la definición
( x t , x z ) eA l x A z e x 1 e A 1 A x z e A z
b) Productocartesianode tres conjuntospolivalentesA1,A2,A3 € P(¿/)
(A1 x A2) x
(I!2, y su.producto.cartesiano
SabemosqueAt x Az y 13 son conjuntospolivalentesde
.43, QueconvenimosrepresentarpotA1 x A2 x A3' as un conjuntopolivalentede ut"'
polivac) y así, sucesivamenteinduciendo,obtendríamosproductos cartesianosde cuatro conjuntos
0-l)
y(2
.
f.*, á. (fu ,, si t > 2, productoscartesianosde f cónjuntospolivalentet¿"
Propiedad:
(t-1)
>
el colectivode todaslas proposicionessobre(J2 , por II-3.1, paru t 2 y
SiendolPz.f,-r)
* IFn
@: IF2q¡-1;
'
:
Se,*r" *,(xr,x2o--,xt) Ó'qr(x) S4(xz)' "' Ó'q,(x')
ió),ir,in',(xt,xz,..,xt):ó((*r,*r,--,i,)tAvx42x"xA¡):4(xt€AtAxz€,42A"A
t A , ) : Ó o , ( * t ) 'Ó u @ ) ' " ' 5 1 , ( x ) )
; , ¿ Á ; : ó ( x t e A r ) . ó @ ze A z ) . . . ' Ó @ e
4. Correspondenciassobre productos cartesianos
sobreesteproductocartesianoa
Siendot > 2 y dadoA1 x A2 x ..x At,llamamos correspondencia
cualquiersubconjuntode é1.
sobredichoproductocartesianoy
Si K, c A1x A2 x .. x A¡o K¡ es una correspondencia
<' 0,tr(xr)' ó¡r(x2)' .. ' Ót,{x,)
ór,(x1,x2,..,x,)
: Ónr@t)' Q4(xz) ' " ' $e,(x,))
(O"ir, ,i2,..,xi:,)
1,x2,..,x¡)
3iót,*r" .,.t,(te
5. Las correspondenciasson la esenciadel lenguaje matemático
Soncorrespondencias:
Las apliLas relacionesde equivalenciasobreun conjunto.Las relacionesde orden sobreun conjunto.
cacionessobre dos ionjuntos. Las operacionesunitarias internaso externas.Las operacionesbinarias
internaso externas.etc.
6. Notas
"Lenguaje
1) Lo tratado en este capítulo está desarrollado,por el autor de estetrabajo, en el libro
Matemático-(632pp.), publicadopor el Serviciode Publicacionesde la Universidadde Oviedo.
conjuntistay valoradobinariamenteen F'1; pero creo que
2) El libro estiádesarrolladocon lenguaje
-Fn,
páru n2-2, siguiendola marchadesarrolladaen los capísobre
podriu valorarsepolivalentemente
tulos II, III y IV de estetrabajo.
20