Tema 7

Capı́tulo 7
Viscoelasticidad
La caracterı́stica definitoria de los materiales elásticos es que el estado
tensional en un punto e instante depende exclusivamente de la deformación
en dicho punto, e instante. Esta es una suposición muy restrictiva y, aunque
suficientemente aproximada para gran parte de los análisis en ingenierı́a
mecánica, civil y aeronáutica, no existe ningún material que sea elástico
en todo rango de deformación o de velocidad de deformación. En general,
tanto la historia del material (es decir, el valor de la deformación pasada
del punto) como la tasa de deformación, modifican el valor instantáneo de
la tensión. La incorporación de estos efectos complica las leyes constitutivas
del material pero permiten modelar con más precisión los materiales reales.
Existe una jerarquı́a de modelos materiales que, a base de modelar más
efectos en las ecuaciones representan de manera más fiel la respuesta de los
sólidos reales. La viscoelasticidad supone una elaboración de la respuesta
elástica que incorpora los efectos de dependencia de la velocidad de deformación e historia. Estos efectos son imprescindibles para poder modelar sólidos que poseen fluencia y relajación, dos comportamientos fundamentales
en los polı́meros, los suelos e incluso el hormigón. Dentro de la complejidad
de estos modelos, nos centraremos en este capı́tulo en la descripción de la
viscoelasticidad lineal que, como se explicará, no se refiere a una relación
lineal entre tensión y deformación como en el caso elástico.
La forma más sencilla de abordar la viscoelasticidad es mediante modelos reológicos. Este tipo de idealización extiende el concepto del resorte
y permite aproximarse de manera sencilla e intuitiva al comportamiento
viscoelástico tensorial. De hecho, como se verá en este capı́tulo, los modelos
viscoelásticos tensoriales se basan en una extensión de los modelos reológicos
al ámbito tridimensional.
Antes de comenzar el estudio de la respuesta viscoelástica es necesario
mencionar el papel fundamental que juega la temperatura como modulador de la respuesta, especialmente en los polı́meros. Estos materiales tienen
una temperatura, la llamada temperatura de transición vı́trea, por debajo de
137
138
Mecánica de sólidos,
I. Romero
la cual se comportan de manera frágil y no muestran ninguno de los comportamientos caracterı́sticos de los materiales viscoelásticos. Por encima de
esta temperatura, la respuesta reológica aparece y además es muy sensible
al valor de la temperatura. Existe una temperatura de fusión donde ya el
material deja de ser sólido y cuya respuesta no estudiaremos aquı́.
Para exposiciones más completas de la teorı́a de la viscoelasticidad se
puede consultar el texto clásico [2] o los más recientes [? 4].
7.1.
Modelos reológicos
Existen dos fenómenos, la fluencia y la relajación, que son fundamentales
en el comportamiento de los sólidos, y que no pueden modelarse con leyes
constitutivas elásticas. De hecho, la motivación primera para el desarrollo
de la viscoelasticidad es la formulación de modelos que puedan reproducir
estos dos procesos.
Para acercarnos a estos modelos empleamos los llamados modelos reológicos, que son sistemas mecánicos elementales que capturan de forma sencilla
los distintos tipos de comportamientos, a partir de una combinación de resortes y amortiguadores.
"
"
E
⌘
Figura 7.1: Modelos simplificados de resorte y amortiguador.
En la Figura 7.1 se muestran los dos elementos básicos que emplearemos para describir la viscoelasticidad. El muelle o resorte es el elemento
elástico básico. Cuando se somete a una tensión sufre una deformación "
cuya valor es
"=
E
,
(7.1)
siendo E la constante de rigidez del resorte. Por su lado, el amortiguador
es un elemento cuya tensión es proporcional a la velocidad de deformación
y la relación es:
= ⌘ "˙ ,
(7.2)
siendo (˙) la notación que emplearemos para indicar la derivada con respecto
al tiempo.
Capı́tulo 7. Viscoelasticidad
7.1.1.
139
Fluencia
Cuando un material sólido viscoelástico se somete a un estado tensional,
su deformación no permanece constante sino que cambia con el tiempo. De
hecho, el material parece que fluyera, pues la deformación aumenta progresivamente como si fuera un fluido. Para describir el fenómeno de la fluencia
empleamos un modelo reológico compuesto por un resorte y un amortiguador colocados en paralelo, y que se conoce con el nombre del modelo de
Kelvin o Kelvin-Voigt. Véase la Figura 7.2
"
E
⌘
Figura 7.2: Modelo reológico de Kelvin.
Cuando un elemento de Kelvin se somete a una tensión (t) = ¯ , ésta se
reparte entre el resorte y el amortiguador de forma que se verifica en todo
instante
¯ = E"(t) + ⌘ "(t)
˙ .
(7.3)
Si además sabemos que la deformación del elemento en el instante t = 0 es
nula, podemos integrar la ecuación diferencial anterior y obtener la deformación en todo instante:
⌘
E
¯ ⇣
t
"(t) =
1 e ⌘
.
(7.4)
E
Definiendo el tiempo de relajación del elemento como ⌧ = ⌘/E, entonces
se puede escribir de forma alternativa
⌘
¯ ⇣
"(t) =
1 e t/⌧ .
(7.5)
E
Esta ecuación expresa que en el tiempo inicial la deformación es nula y
que ésta aumenta monótonamente hasta alcanzar un valor asintótico "1 =
¯ /E. En este momento toda la tensión la soporta el resorte y el amortiguador
permanece descargado pues la velocidad de deformación tiene a cero. Véase
en la figura 7.3 su representación gráfica.
140
Mecánica de sólidos,
1.2
1
1
0.8
0.8
"
¯ /E
"
¯ /E
1.2
I. Romero
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
2
4
6
8
0
0.1
10
1
t/⌧
10
log(t/⌧ )
Figura 7.3: Fluencia del elemento de Kelvin. A la izquierda en escala normal
y a la derecha, semilogarı́tmica. Nótese cómo el punto de inflexión en la
curva de la derecha ocurre en t/⌧ = e.
El cociente F (t) = "(t)/¯ se conoce con el nombre del módulo de
fluencia y para el modelo de Kelvin es simplemente
F (t) =
7.1.2.
1
e
E
t/⌧
.
(7.6)
Relajación
Otro fenómeno propio de los materiales viscoelásticos es la relajación,
que consiste en la “disminución” del estado tensional cuando un sólido se
somete a una deformación dada. Este comportamiento, dual en cierto sentido
al de la fluencia, se aclara al estudiar el elemento de Maxwell , que combina
un resorte y un amortiguador en serie.
"
⌘
E
Figura 7.4: Modelo reológico de Maxwell.
El modelo de Maxwell se caracteriza porque cuando una tensión se
aplica sobre el mismo, ésta la recibe tanto el resorte como el amortiguador.
Por otro lado, la deformación " del conjunto resulta de las contribuciones de
ambos modelos elementales y por tanto se puede escribir:
"(t)
˙ =
˙ (t)
(t)
+
.
E
⌘
(7.7)
Para calcular la relajación del elemento de Maxwell suponemos que se impone una deformación "(t) = "¯ constante sobre el elemento y calculamos el
valor de la tensión en el tiempo resolviendo la ecuación diferencial lineal (7.7)
Capı́tulo 7. Viscoelasticidad
141
1.2
1
1
0.8
0.8
"¯E
"¯E
1.2
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
2
4
6
8
10
0
0.1
1
t/⌧
10
log(t/⌧ )
Figura 7.5: Relajación del elemento de Maxwell. A la izquierda en escala
normal y a la derecha, semilogarı́tmica. Nótese cómo el punto de inflexión
en la curva de la derecha ocurre en t/⌧ = e.
empleando la condición inicial (0) = E "¯. La solución de ésta es:
(t) = E "¯ e
t/⌧
(7.8)
La relación (t)/"(t) se conoce como el módulo de relajación
R(t) = E e
7.1.3.
t/⌧
.
(7.9)
El sólido lineal estándar
Como acabamos de ver el modelo de Kelvin experimenta una respuesta
al someterlo a una tensión constante que se puede identificar con la fluencia.
Por su parte, el elemento de Maxwell exhibe relajación de tensiones al someterlo a un campo de deformaciones constante. Sin embargo, ninguno de
los dos modelos es capaz de representar ambos fenómenos y por tanto, para
acercarnos más al estudio del comportamiento viscoelástico debemos emplear un modelo reológico algo más complejo. El modelo del sólido lineal
estándar combina un elemento de Maxwell en paralelo con un resorte, como se indica en la Figura 7.6 (en algunos trabajos se define un sólido lineal
distinto con un elemento de Kelvin en serie con un resorte).
Repartiendo la tensión entre las dos ramas del elemento y la deformación " entre los dos componentes del elemento de Maxwell se obtiene la
ecuación diferencial que describe el comportamiento del sólido estándar:
˙ (t) +
E1
E1 E1
(t) = (E1 + E1 )"(t)
˙ +
"(t)
⌘
⌘
(7.10)
Si definimos el tiempo de relajación ⌧ = ⌘/E1 entonces la relación anterior
también se puede expresar como
˙ (t) +
(t)
E1
= (E1 + E1 )"(t)
˙ +
"(t)
⌧
⌧
(7.11)
A partir de la ecuación diferencial anterior podemos calcular los módulos
de fluencia y relajación del elemento estándar. Si la tensión aplicada sobre
142
Mecánica de sólidos,
I. Romero
"
E1
⌘
E1
Figura 7.6: El modelo del sólido lineal estándar.
el elemento estándar es (t) = ¯ constante y la deformación inicial "(0) =
¯ /(E1 + E1 ) encontramos que
✓
◆
E1
t
¯
E1
E
+E
⌧
1
1
"(t) =
1
e
(7.12)
E1
E1 + E 1
y por lo tanto el módulo de fluencia F (t) = "(t)/¯ será
✓
◆
E1
t
1
E1
E
+E
⌧
1
F (t) =
1
e 1
E1
E1 + E1
(7.13)
Como en el caso del elemento de Kelvin, podemos obtener el módulo de
relajación sometiendo el elemento a una deformación constante "(t) = "¯ y
razonando que la tensión inicial vale (0) = (E1 +E1 )¯
" que permite obtener
R(t) = E1 + E1 e
t/⌧
.
(7.14)
. Ejemplo 7.1.1. Sobre un cilindro de 200 mm de longitud y 40 mm2 de
sección se coloca un peso de 100 N y se registra, como se indica en la figura 7.7, la longitud en cada instante del cilindro. Si se supone que el modelo
del sólido lineal estándar es una buena aproximación para la respuesta del
material del tubo, ¿Cuáles son los valores de E1 , E1 , ⌘ del mismo?
La gráfica de la figura 7.7 representa la longitud instantánea del cilindro durante un ensayo de fluencia, cuando la tensión es = 100/40 =
2,5 MPa, por lo cual podemos obtener los datos pedidos a partir de la
relación
"(t) = F (t) ,
siendo F la función de fluencia 7.13. Cuando el tiempo transcurrido en el
ensayo es muy grande (t ! 1) la deformación longitudinal del cilindro es
lı́mt!1 "(t) = 192200200 = 0,04. Además, el valor de la función de fluencia
es lı́mt!1 F (t) = E11 , y por lo tanto
0,04 =
1
( 2,5) ,
E1
Capı́tulo 7. Viscoelasticidad
143
F = 100 N
L (mm)
200
L
198
A = 40 mm2
196
194
192
2
4
6
8
10
t (h)
Figura 7.7: Ejemplo 7.1.1
y concluimos que E1 = 62,5 MPa. Además, cuando t = 0, la deformación
1
longitudinal es "(0) = 198200200 = 0,01 y F (0) = E11
E1 +E1 , por lo que
se sigue que E1 = 20,83 MPa. Finalmente, para encontrar ⌧ necesitamos un
punto más en la history de la evolución de ✏. Por ejemplo, para t = 2 h, la
deformación longitudinal es "(2) = 194200200 = 0,03 y podemos despejar el
valor del tiempo caracterı́stico de la relación
✓

◆
62,5
2
1
62,5
0,03 =
1
exp
,
62,5
62,5 + 20,83
62,5 + 20,83 ⌧
obteniendo ⌧ = 1,36 h. El coeficiente viscoso es, finalmente, ⌘ = ⌧ E1 =
28,45 MPa·h.
/
7.1.4.
El modelo de Maxwell generalizado
El modelo del sólido estándar se puede generalizar, incrementando el
número de elementos de Maxwell en paralelo, como en el ejemplo de la Figura 7.8. Cuando se aumenta el número de elementos de Maxwell, el elemento
resultante tiene un mayor número de tiempos de relajación caracterı́sticos
⌧k = ⌘k /Ek ,
(7.15)
y el módulo de relajación que resulta es
R(t) = E1 +
K
X
Ek e
t/⌧k
,
(7.16)
k=1
siendo K el número de elementos de Maxwell en paralelo. Este modelo
reológico recibe el nombre de modelo de Maxwell generalizado o modelo de Wiechert.
144
Mecánica de sólidos,
I. Romero
"
E1
1
E1
⌘1
2
E2
⌘2
3
E3
⌘3
4
E4
⌘4
Figura 7.8: Modelo de Maxwell generalizado con 5 elementos de Maxwell en
paralelo
En general, el valor de las rigideces E1 , Ek y de los tiempos de relajación ⌧k de cada elemento se escoge de forma que la función de relajación
se ajuste a los valores obtenidos de forma experimental. Las series de la
forma (7.16) se llaman series de Prony y existen varios métodos especialmente diseñados para seleccionar los parámetros de Prony y ajustar la
respuesta ([3, 5, 1]). De hecho, este tipo de series se emplea a menudo en
teorı́a de la señal.
7.1.5.
La integral de Duhamel
Todos los modelos reológicos explicados en esta sección se describen con
ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Este resultado
expresa analı́ticamente el principio de Boltzmann que establece que la
respuesta viscoelástica es función, en cada instante, de la historia de deformación y que cada escalón de deformación contribuye de forma independiente al valor de la tensión, siendo el valor total la suma de cada una de las
contribuciones. Este resultado se puede utilizar para obtener la respuesta
Capı́tulo 7. Viscoelasticidad
145
100
"¯ = 5
"¯ = 10
"¯ = 20
E(t)/E1
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
t
Figura 7.9: Módulos de relajación para tres escalones de deformación distintos. Ilustración de la linealidad en la respuesta viscoelástica
en tensión a cualquier deformación "(t), no necesariamente la del ensayo de
relajación.
Para ello, recordamos que la función de Heaviside, o escalón unidad, se
define como
(
0 si t < ⇠ ,
H⇠ (t) =
(7.17)
1 si t ⇠ ,
verificándose además que
H⇠ (t) = H0 (t
⇠) .
(7.18)
Llamemos R [f ] a la respuesta reológica correspondiente a una deformación f . El módulo de relajación R(t) se ha calculado hasta ahora como la
respuesta a un escalón unitario de deformación en el instante t = 0, es decir, R(t) = R [H0 ](t). Sin embargo, si el escalón se produce en t = ⇠, es
immediato comprobar que la respuesta es simplemente R [H⇠ ] = R(t ⇠).
Dicho de otra manera, la respuesta a una deformación "(t) = H(t ⇠) es
R(t ⇠). El principio de Boltzmann establece además que la respuesta a una
deformación "(t) = "¯1 H⇠1 (t) + "¯2 H⇠2 (t) es
R[
"¯1 H⇠1 (t) +
"¯2 H⇠2 (t)] =
"¯1
=
R [H⇠1 ](t)
"¯1 R(t
+
⇠1 ) +
"¯2
R [H⇠2 ](t)
"¯2 R(t
⇠2 ) .
(7.19)
En el lı́mite, cuando el número de escalones es infinito, la deformación se
puede escribir como
Z t
"(t) =
"(⇠)H
˙
(7.20)
⇠ (t) d⇠ ,
0
146
Mecánica de sólidos,
I. Romero
y por tanto la tensión como
(t) =
=
=
R
Z
Z
t
Z
t
"(⇠)
˙ d⇠
0
˙
R ["(⇠)H
⇠ (t)]
(7.21)
d⇠
0
t
"(⇠)
˙ R(t
⇠) d⇠
0
Este integral, conocida como la integral de Duhamel , es una convolución
de la función de relajación y la tasa de deformación, y escribimos
= "˙ ⇤ R ,
(7.22)
lo cual sugiere que el análisis de ésta se puede simplificar empleando la
transformada de Laplace.
7.2.
Respuesta en frecuencia
Cuando un material elástico se somete a una tensión que varı́a en el
tiempo, su deformación también será variable en el tiempo pero la relación
entre tensión y deformación será siempre constante. Cuando un material
viscoelástico es sometido a una tensión variable, la deformación se desfasa
con respecto a la tensión.
Supongamos un material viscoelástico sometido a una deformación armónica
"(t) = "¯ cos(!t) ,
(7.23)
siendo ! su frecuencia. En general, la tensión no estará en fase con la deformación sino que será de la forma
(t) = ¯ cos(!t + ) = ¯ cos( ) cos(!t)
¯ sin( ) sin(!t) ,
que se puede escribir de forma alternativa como
(
¯0
0
00
(t) = ¯ cos(!t) ¯ sin(!t) , siendo
¯ 00
= ¯ cos( ) ,
= ¯ sin( ) .
(7.24)
(7.25)
Estudiando la relación entre deformación y tensión usando números complejos, tal y como se hace en teorı́a de circuitos, observamos que la deformación y tensión se pueden expresar como las partes reales de los complejos
"c = "¯ ei!t ,
c
= ¯ ei(!t+
)
,
(7.26)
donde se puede interpretar ahora como el ángulo de adelanto de la tensión
respecto a la deformación. Reescribiendo la tensión como
c
= ¯ ei ei!t = (¯ cos( ) + i ¯ sin( )) ei!t = (¯ 0 + i¯ 00 ) ei!t ,
(7.27)
Capı́tulo 7. Viscoelasticidad
147
e imponiendo una relación entre tensión y deformación de la forma
c
= E c "c ,
(7.28)
se sigue que el módulo de rigidez complejo E c ha de ser de la forma
E c = E 0 + i E 00
con
E0 =
¯0
,
"¯
E 00 =
¯ 00
,
"¯
(7.29)
Estas dos cantidades se conocen, respectivamente, como el módulo de almacenamiento y de pérdida del material y su ratio coincide con la tangente de , dependen de la frecuencia !. Las relaciones E 0 (!) y E 00 (! 00 )
caracterizan completamente la respuesta viscoelástica lineal de un material,
y por ello se obtienen habitualmente y se emplean para describir las propiedades mecánica de los materiales viscoelásticos. En ocasiones, se emplean
expresiones simplificadas para estos dos módulos como por ejemplo
⇣ ! ⌘a
E c = Eoc
,
(7.30)
2⇡
siendo Eoc una constante compleja y a un exponente real. Sin embargo, es
más habitual describir la respuesta en frecuencia de un material mediante
una representación gráfica como la de la figura 7.10.
Figura 7.10: Módulos de almacenamiento y pérdida como funciones de la
frecuencia en un policarbonato a 25o C (de Wikipedia).
La razón por la que E 0 y E 00 se conocen con los nombres de módulo de
almacenamiento y pérdida tiene relación con el balance energético sobre un
elemento visco-elástico. Para comprender el significado del módulo de pérdida E 00 , supongamos un material viscoelástico sometido a una deformación
148
Mecánica de sólidos,
I. Romero
armónica como (7.23). Entonces, el trabajo que hay que hacer en un ciclo
de carga, por unidad de volumen del material es:
W =
=
=
Z
Z
Z
2⇡/!
(t) "(t)
˙ dt
0
2⇡/!
(E 0 "¯ cos !t
E 00 "¯ sin !t)( !)¯
" sin !t dt
0
2⇡/!
(7.31)
"¯2 !( E 0 cos !t sin !t + E 00 sin2 !t) dt
0
2
= "¯ ⇡E 00 .
Se deduce, por tanto, que las pérdidas, es decir, el trabajo necesario para
deformar armónicamente el material, es proporcional al módulo de pérdida.
La componente de la tensión que está en fase con la deformación, ¯ 0 no
produce trabajo neto en un ciclo. Este trabajo es una función armónica de
periodo ⇡/! cuyo valor máximo instantáneo, 12 E 0 "¯2 !, que es proporcional
al módulo de almacenamiento.
Como el módulo de rigidez complejo es el cociente entre la tensión y la
deformación complejas se sigue que
Ec =
c
"c
=
¯ ei!t ei
¯ ei
=
= Ēei
"¯ei!t
bar"
(7.32)
por lo que E c es un complejo de módulo Ē, ángulo constante , igual al
ángulo de desfase entre la tensión y la deformación complejas. El inverso del
módulo complejo es la flexibilidad compleja
J c = (E c )
1
=
E 0 iE 00
= J0
(E 0 )2 + (E 00 )2
que permite expresar la relación constitutiva "c = J c
7.2.1.
iJ 00
(7.33)
c.
Caracterización en frecuencia de los modelos reológicos elementales
Cuando la deformación es de la forma (7.23), la tensión en un elemento
de Kelvin es
(t) = E cos(!t)
⌘! sin(!t) = E cos(!t)
E⌧ ! sin(!t) .
(7.34)
Identificando en esta expresión obtenemos que los módulos de almacenamiento y pérdida en un elemento de Kelvin son:
E 0 (!) = E ,
E 00 (!) = E⌧ !
(7.35)
Capı́tulo 7. Viscoelasticidad
100
10
149
E 0 /E
E 00 /E
1
0.1
0.01
0.001
0.0001
1e-05
0.01
0.1
1
10
100
10
100
!⌧
100
10
E 0 /E
E 00 /E
1
0.1
0.01
0.001
0.0001
1e-05
0.01
0.1
1
!⌧
Figura 7.11: Módulos de almacenamiento y pérdida para los modelos de
Kelvin (arriba) y Maxwell (abajo).
150
Mecánica de sólidos,
I. Romero
De la misma forma se puede calcular analı́ticamente la expresión de los
módulos de almacenamiento y pérdida en el modelo de Maxwell:
E 0 (!) =
E(!⌧ )2
,
1 + (!⌧ )2
E 00 (!) =
E(!⌧ )
,
1 + (!⌧ )2
(7.36)
En la Figura 7.11 se puede apreciar la dependencia de los módulos de
almacenamiento y pérdida en los modelos de Kelvin Maxwell. En ambos
casos se identifica un punto especial que corresponde a ! = 1/⌧ .
7.2.2.
Series de Prony
Como se mencionó anteriormente, dada la respuesta en frecuencia de
un material como por ejemplo el de la Figura 7.10, se puede definir un
modelo de Maxwell generalizado cuya respuesta en frecuencia se ajuste con
la tolerancia deseada a los datos experimentales del material. El método que
se utiliza habitualmente es el basado en las llamadas series de Prony .
Las series de Prony describen las funciones de relajación de la forma
!
n
X
RP rony (t) = Eo 1
pi (1 e t/⌧i ) ,
(7.37)
i=1
siendo E0 el módulo de rigidez instantánea, pi los coeficientes de Prony y ⌧i
los tiempos de relajación caracterı́sticos.
Dado un modelo basado en series de Prony, se puede demostrar que los
módulos de almacenamiento y pérdida tienen por expresión [6]:
!
n
n
X
X
pi ⌧i2 ! 2
0
E (!) = Eo 1
pi + Eo
2!2 ,
1
+
⌧
i
i=1
i=1
(7.38)
n
X
pi ⌧ i !
00
E (!) = Eo
.
1 + ⌧i2 ! 2
i=1
No existe ninguna fórmula que invierta esta relación, es decir, que permita
calcular directamente los parámetros de Prony a partir de los módulos de
almacenamiento y pérdida.
7.3.
Sólidos deformables viscoelásticos
En este capı́tulo se ha estudiado, hasta ahora, la respuesta viscoelástica
de modelos reológicos unidimensionales. El objetivo ha sido presentar los
aspectos fundamentales del comportamiento viscoelástico de la manera más
sencilla posible. Utilizando los resultados obtenidos se puede calcular la respuesta de un elemento unidimensional viscoelástico (una barra, por ejemplo)
Capı́tulo 7. Viscoelasticidad
151
cuando se somete a una historia de tensión o deformación cualquiera. En esta sección se explica cómo todos ellos se emplean para describir el modelo
constitutivo viscoelástico de un punto en un sólido tridimensional.
En primer lugar se observa experimentalmente que, al igual que en el
caso elástico, el comportamiento volumétrico y desviador en un sólido viscoelástico están desacoplados. Es decir, si "(t) = 13 ✓(t)1 + e(t), siendo ✓(t)
la deformación volumétrica y e(t) la parte desviadora de la deformación,
entonces
p(t) = p(✓(t)) ,
s(t) = s(e(t)) .
(7.39)
Además se observa también experimentalmente que de forma bastante precisa se puede suponer que la respuesta volumétrica es totalmente elástica,
es decir, que en los sólidos viscoelásticos
p(t) = ✓(t) ,
(7.40)
siendo  una constante que, como en el caso elástico, se llama el módulo de
rigidez volumétrico.
La relación entre las partes desviadoras de la deformación y tensión no
es tan sencilla, sino que claramente existen efectos reológicos que hay que
considerar. El modelo viscoelástico más habitual se construye extendiendo
las ideas de los modelos reológicos. Cuando un punto se somete a una deformación desviadora constante e(t) = ē, el estado tensional experimenta una
relajación de tensiones que se puede expresar como
s(t) = G(t)ē ,
(7.41)
siendo G(t) el módulo de relajación a cortante del material. Este módulo se suele expresar a partir del módulo de relajación E(t) extrapolando la
relación elástica
E(t)
G(t) =
,
(7.42)
2(1 + ⌫)
siendo ⌫ el coeficiente de Poisson del material, también constante. Si E(t)
se expresa en forma de una serie de Prony, también el módulo de relajación
a cortante se podrá expresar como
G(t) = Go
1
K
X
k=1
pk (1
e
t/⌧k
)
!
,
(7.43)
donde ⌧k son también los tiempos de relajación caracterı́sticos. Por último,
dada una deformación "(t) podemos extrapolar la integral de Duhamel para
escribir
Z t
tr("(t))
(t) = 
1+
ė(⇠) G(t ⇠) d⇠
(7.44)
3
0
152
7.4.
Mecánica de sólidos,
I. Romero
Efectos de la temperatura en la respuesta viscoelástica
La temperatura a la que un material viscoelástico se encuentra modifica
sustancialmente su respuesta. Afortunadamente, en muchos casos, la dependencia en la temperatura se puede aproximar de forma sencilla y con una
precisión suficiente.
Figura 7.12: Curva maestra de relajación para poli-iso-butileno y dependencia de la misma con la temperatura.
En general, el aumento de la temperatura disminuye la viscosidad de
los materiales, o lo que es lo mismo, los tiempos de relajación. Para muchos materiales existe una correspondencia temperatura-tiempo que se
manifiesta en que un aumento de la temperatura traslada la curva de relajación hacia la derecha, siendo este desplazamiento función monótona del salto
térmico. Llamando aT a este desplazamiento (tiempo) en la temperatura T ,
la ecuación de Williams-Landel-Ferry proporciona
log aT =
17,44(T
51,6 + T
Tg )
,
Tg
(7.45)
siendo Tg la temperatura de referencia a la cual se proporciona la curva
maestra de relajación.
Capı́tulo 7. Viscoelasticidad
153
log(E(t)/E1 )
100
10
1
0.1
0.01
0.1
1
10
100
1000
log(t/⌧ )
Figura 7.13: Ejemplo de la correspondencia temperatura-tiempo. La curva
verde se “desplaza” hacia la derecha cuando la temperatura aumenta. El
desplazamiento es constante y únicamente función de la temperatura.
Problemas
7.1. (Termodinámica del modelo estándar) El modelo estándar viene definido por una energı́a libre (para problemas isotermos) y una relación cinética
1
1
A(", ) = E1 "2 + E1 ("
2
2
)2 ,
˙ = ⌘E1 ("
).
a) Interpreta las dos contribuciones de la energı́a libre.
b) Razona por qué la ecuación cinética expresa la relación constitutiva
habitual del amortiguador ˙ = ⌘ .
c) Utilizando los resultados del capı́tulo 8.39, demuestra que el modelo
anterior es termodinámicamente correcto.
"
E1
E2
⌘
Figura 7.14: Sólido viscoelástico estándar basado en el modelo de Kelvin.
154
Mecánica de sólidos,
I. Romero
7.2. Para el modelo estándar de la figura 7.14,
a) Encuentra la ecuación diferencial que gobierna su respuesta.
b) Encuentra la función de fluencia.
c) Calcula la función de relajación.
7.3. Calcula los módulos de pérdida y almacenamiento de un elemento
reológico que tiene por función de relajación R(t) = R1 + R1 e t/⌧ ,
7.4. Un peso de 10 kg se cuelga con una cuerda de 4 m de longitud y 4 mm2
de sección. El material de la cuerda es viscoelástico, y su comportamiento se
puede describir con un modelo estándar de constantes E1 = 3 GPa, E1 = 2
GPa, ⌘ = 1 GPa·s. Dibuja un gráfica con la evolución de la longitud de la
cuerda e indica cuál es la longitud máxima que ésta alcanzará.
50
(MPa)
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
14
t (s)
Figura 7.15: Historia de cargas del problema 7.5.
7.5. Un material viscoelástico se representa con un modelo reológico de
Kelvin de constantes E = 2 GPa y ⌘ = 1 GPa·s. Calcular la historia de
deformación en el mismo cuando se somete a una tensión como la indicada
en la figura 7.15.
7.6. Una generador de energı́a eléctrica se coloca sobre una base de volumen
0.01 m3 de forma que se puede considerar, en una primera aproximación,
que el estado de carga de la base es de tracción uniaxial. El material de
la base es viscoelástico y se conoce su respuesta en frecuencia en algunos
puntos:
!
(Hz)
20
40
60
80
E0
(GPa)
2.1
2.0
1.8
1.1
E 00
(GPa)
1.0
1.3
1.5
2.1
Bibliografı́a
155
Si la máquina está funcionando a 50 Hz y la tensión que se ejerce sobre
la base es armónica con amplitud 20 MPa, calcular el calor disipado por la
base en 10 minutos de funcionamiento.
Bibliografı́a
[1] Tzikang Chen. Determining a prony series for a viscoelastic material from
time varying strain data. Technical Report NASA/TM-2000-210123,
U.S. Army Research Laboratory, 2000.
[2] Wilhem Flügge. Viscoelasticity. Blaisdell Publishing Company, 1967.
[3] SW Park and RA Schapery. Methods of interconversion between linear
viscoelastic material functions. Part I—a numerical method based on
Prony series. Int. J. Solids Struct., 36(11):1653–1675, 1999.
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[5] R A Schapery and S W Park. Methods of interconversion between linear viscoelastic material functions. Part II—An approximate analytical
method. Int. J. Solids Struct., 36(11):1677–1699, 1999.
[6] Si. ABAQUS theory manual, 6.7 edition.