Manual de Algebra Lineal Por: José Barros Troncoso Página 24

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Manual de Algebra Lineal Por: José Barros Troncoso Página 24
Ejercicio. Calcule la inversa de cada matriz:
ʹ ͷ
Ͷ
1. ൥ͳ Ͷ
͵൩
ͳ െ͵ െʹ
ͳ
͵ ͷ
5. ൥െͳ െͳ ʹ൩
ͳ
ͷ ͳ
ͳ ʹ
2. ൥ͳ ͳ
ͷ ʹ
͵ ͳ
3. ൥ͳ ʹ
ͳ ͳ
Ͷ
͵൩
Ͷ
ʹ
7. ൥͵
ͳ
ͳ ͷ
Ͷ
6. ൥ͳ Ͷ
͵൩
ͳ െ͵ െʹ
ʹ
͵൩
ͳ
ͳ ʹ ͵
4. ൥െͳ ͷ ͸൩
െͳ ͵ ͵
ͳ ͳ
Ͳ ͳ൩
ͳ ͳ
ECUACIONES MATRICIALES
También se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales multiplicando ambos lados de la
ecuación por el inverso de la matriz de coeficientes.
De la misma manera que escribimos el sistema de tres ecuaciones como ecuación matricial de
la forma AX =B, podemos hacerlo de forma general. Si A es una matriz de n x n, B y X son
matrices de n x 1, entonces:
AX = B
Es una ecuación matricial.
Si existe la inversa de la matriz A, entonces podemos usar esa inversa para despejar la
matriz X en la ecuación matricial. El método de solución general es como sigue:
AX =B
Multiplicamos ambos lados de la igualdad por A-1,
A-1 (AX) = A-1 B
(A-1 A)X = A-1 B
IX = A-1 B
X = A-1 B
Por lo tanto las matrices inversas se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones.
Desafortunadamente este sistema funciona si solo si existe la inversa de la matriz de
coeficientes
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Ejercicio. Use la matriz inversa para resolver cada sistema de ecuaciones
1. –x
+z =1
x + 4y – 3z = -3
x – 2y + z = 3
͸
4. ൥ ͳ
ʹͲ
2. x + y + z = 3
2x + y + z = 4
2x + 2y + z = 10
3. 2x – y – 2z = 2
3x – y + z = -3
x+y–z=7
͵
െͺ ‫ݔ‬
ͳ
͵ െͳ Ͳ ‫ݔ‬
ͳͳ
‫ݕ‬
‫ݕ‬
൩
ቈ
቉
ൌ
൥
൩
5.
൥
൩
ቈ
቉
ൌ
൥
Ͳ
െ͵
െʹ
ʹ െͳ ͳ
ͻ൩
െͳʹ ʹ ‫ݖ‬
ͳͲ
െͳ ͳ െ͵ ‫ݖ‬
െͺ
ͳ ͳ
6. ൥ʹ ͳ
ʹ ʹ
ʹ ‫ݔ‬
ͺ
‫ݕ‬
൩
ቈ
቉
ൌ
൥
ͳ
͹൩
ͳ ‫ݖ‬
ͳͲ
APLICACIÓN DE LAS MATRICES
Modelos de Entrada-Salida de Leontief
El modelo desarrollado por Wassily Leontief, es una aplicación interesante de las matrices,
que fue útil para pronosticar los efectos en los cambios de precios o las variaciones de las
erogaciones gubernamentales sobre la economía.
Un modelo simplificado de la economía sería:
Entradas
Productos Agrícolas
Bienes Manufacturados
Combustibles
Productos
Agrícolas
0.5
0.2
0.1
Salidas
Bienes
Manufacturados
0.1
0.5
0.3
Combustible
0.1
0.3
0.4
A partir de esta tabla, podemos formar la matriz A, la cual se llama Matriz tecnológica o
Matriz de Leontief
A=
0.5
0,2
0,1
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0,1
0,5
0,3
0,1
0,3
0,4
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La matriz tecnológica no tiene toda la información. En particular, cada industria tiene una
producción bruta. Se puede presentar la matriz de producción bruta para la economía con
una matriz de columna
A=
x1
X2
X3
productos
agrícolas, x2 es
Donde x1 es la producción bruta de los
producción bruta de bienes manufacturados y x3 es la producción bruta de combustibles.
la
La cantidad de las producciones brutas que en la economía usan varias industrias se
determina por medio de AX. Las unidades de producción bruta que no se utilizan en estas
industrias se denominan demandas finales o superávits y s pueden considerar que están
disponibles para los consumidores, el gobierno o la exportación. Si ponemos estos superávits
en una matriz columna D, entonces se puede representar el superávit con la ecuación
X – AX = D ó (I – A) X=D
Donde I es la matriz unidad o identidad. Esta ecuación matricial recibe el nombre de
Ecuación tecnológica para un modelo abierto de Leontief. Se llame modelo abierto porque
algunas mercancías de la economía están “abiertas” o disponibles para entidades ajenas a la
economía
Ejercicio. Si queremos tener un superávit de 85 unidades de producción agrícola, 65 de
productos fabricados y 0 unidades de combustible ¿cuáles deben ser las producciones
brutas?
Por datos
D=
85
65
0
0,1
0,5
0,3
0,1
0,3
0,4
Debemos resolver:
1
0
0
I–A=
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0.5
0,2
0,1
-
0
0
1
-
0,5
0,2
0,1
0,1
0,5
0,3
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0,1
0,3
0,4
X1
X2
X3
x
=
0,5
-0,2
-0,1
=
85
65
0
-0,1
0,5
-0,3
-0,1
-0,3
0,6
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Debemos resolver la ecuación matricial
0,5
-0,2
-0,1
-0,1
0,5
-0,3
-0,1
-0,3
0,6
X1
X2
X3
=
-0,1
-0,3
0,6
85
65
0
85
65
0
La matriz ampliada es
0,5
-0,2
-0,1
-0,1
0,5
-0,3
Si se reduce utilizando el método de Gauss-Jordan, se obtiene
1
0
0
0
1
0
0
0
1
300
400
250
De modo que las producciones brutas de las industrias son
Agricultura:
Manufactura:
Combustible:
X1
X2
X3
=
=
=
300
400
250
La ecuación tecnológica para el modelo de Leontief se puede resolver usando la inversa de
I – A, si esta existe. Es decir,
(I – A)X = D tiene solución X = (I – A) -1D
Problemas
1. Una economía primitiva con una industria maderera y una industria de energía tiene la
siguiente matriz tecnológica
Madera Energía
A=
0,1
0,2
Madera
0,2
0,4
Energía
Si se desean superávits de 30 unidades de madera y 70 unidades de energía, encuentre la
producción bruta de cada industria.
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2. Suponga que una economía tiene dos industrias, agricultura y minería, y la economía tiene
una matriz tecnológica
A M
0.4 0.2 Agricultura
A=
0.1 0.3 Minería
Si desean un superávit de 140 unidades agrícolas y 140 unidades de minerales,
encuentre la producción bruta de cada industria
3. Dada la matriz tecnológica A con industrias a, b, c
ͳǤʹ ͲǤͷ ͲǤ͵ ܽ
A= ൥ͲǤʹ ͲǤͳ ͲǤͳ൩ ܾ
ͲǤʹ ͲǤʹ ͲǤͳ ܿ
Halle la producción bruta de cada industria si se desea obtener la siguiente matriz de
superávits
͹͹
D=൥ͳͷͶ൩
ʹ͵ͳ
4. La economía de una nación en vía de desarrollo tiene la siguiente matriz tecnológica
Agricultura
0,1
0,02
0,05
Siderurgia
0,01
0,13
0,18
Carbón
0,01
0,20
0,05
Agricultura
Siderurgia
Carbón
Encuentre las producciones brutas necesarias para dar superávits de 2 350 toneladas
de productos agrícolas, 4552 toneladas de acero y 911 toneladas de carbón.
5. Una economía simple tiene una industria de calzado y una de ganadería con la matriz
tecnológica
C
G
0.1 0.1
Calzado
A=
0.2 0.05 Ganadería
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Se desean superávits de 850 unidades de calzado y 275 unidades de ganado.
Encuentre la producción bruta de cada industria.
6. La economía de una nación tiene la siguiente matriz tecnológica
Agricultura
0,43
0,3
0,23
Industria
0,08
0,17
0,22
Servicios
0,06
Agricultura
0,05
Industria
0,1
Servicio
Encuentre las producciones brutas necesarias para dar superávits de 490 unidades de
productos agrícolas, 1 050 en la industria y 1 910 de servicios.
Modelo Cerrado de Leontief.
Si se desarrolla un modelo en el que todas las entradas y salidas se usan dentro de los
sistemas, entonces dicho modelo recibe el nombre de Modelo Cerrado de Leontief. En dicho
modelo, se debe incluir el trabajo (mano de obra). En este caso no hay superávits, de manera
que la matriz D=0. La ecuación para el modelo cerrado de Leontief está dada por:
(I – A)X = 0
donde 0 es una matriz de columnas 0.
Para los modelos cerrados, la ecuación tecnológica no tiene solución única, de modo que la
matriz (I –A) no existe y por tanto no es posible usarla para encontrar la solución.
Ejercicio.
1.
Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple
se determina por medio de la matriz A, encuentre las producciones brutas de la
industria
L
NL T
0.4 0.3 0.4
Lucrativos
A = 0.2 0.4 0.2
No lucrativos
0.4 0.3 0.4
Trabajo
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2. Se da la matriz parcialmente reducida para la producción bruta de cada industria
de un modelo cerrado de Leontief. Encuentre la producción bruta de cada industria
GE A T
3
-10 -7
Generación de Energía
0
20 -10
Agricultura
0
0
0
Trabajo
3. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple
se determina mediante.
A=
P
M T
0.5 0.1 0.2
0.1 0.3 0
0.4 0.6 0.8
Productos
Maquinarias
Trabajo
Encuentre las producciones brutas de la industria
4. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple
se determina mediante.
A=
G
I
T
0.4 0.1 0.3
0.4 0.3 0.2
0.2 0.6 0.5
Gobierno
Industria
Trabajo
Encuentre las producciones brutas de la industria
5. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple
se determina mediante.
A=
G
I
0.4 0.2
0.2 0.3
0.4 0.5
T
0.2
0.3
0.5
Gobierno
Industria
Trabajo
Encuentre las producciones brutas de la industria
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6. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple
se determina mediante.
A=
E
M T
0.2 0.1 0.1
0.6 0.5 0.1
0.2 0.4 0.8
Embarques
Manufactura
Trabajo
Encuentre las producciones brutas de la industria
7. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple
se determina mediante.
A=
M
0.5
0.4
0.1
GE T
0.4 0.3
0.5 0.3
0.1 0.4
Manufactura
Generación de Energía
Trabajo
Encuentre las producciones brutas de la industria
8. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple
se determina mediante.
A=
G
L NL
0.3 0.2 0.1
0.2 0.3 0.1
0.2 0.1 0.2
0.3 0.4 0.6
T
0.05
0.1
0.1
0.75
Gobierno
Lucrativas
No Lucrativas
Trabajo
Encuentre las producciones brutas de la industria
9. Suponga que una economía consiste en los sectores de carbón electricidad y el
trabajo. El carbón para su producción necesita del 0% de carbón, 40% de
electricidad y 60% de la mano de obra. Para la electricidad se necesita 60% de
carbón, 10% de electricidad y 20% de la mano de obra. La mano de obra necesita
40% de carbón, 50% de electricidad y 20% de ella misma. Encuentre y explique la
producción bruta de cada industria.
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