Prueba nivel 3. Grado 10

20. ¿Cuántas soluciones reales tiene el siguiente sistema
de ecuaciones?
D. 1
01
6
B. 3
E. 1
El siguiente cuestionario consta de 20 preguntas de elección múltiple, para ser resueltas en
un tiempo de 2 horas. En la hoja de respuestas que acompaña a este examen usted marcará
la que considere la elección correcta siguiendo
las instrucciones ahı́ indicadas. Está totalmente
prohibido durante la prueba: la manipulación de
cualquier dispositivo electrónico, las preguntas a
participantes y/o acompañantes del examen.
A.
de
U.
1. ¿Cuál es el número más grande que puedes
obtener al restar dos números de la lista
−2015, −2014, −2013, . . . , 2013, 2014, 2015 ? (Los
puntos indican que en la lista también se incluyen
los números entre −2013 y 2013)
O
M
O
M
U.
de
A.
,2
C. Infinitas
,2
A. 0
01
6
x + y2 = z
y + z2 = x
z + x2 = y
A. 2015
C. 4030
B. 1
D. −2015
E. 0
B. 5
D. 3
de
B. 18
D. 12
E. 4
M
U.
C. 36
O
5. ¿Cuántos enteros positivos n existen tales que 4n es
un número de tres dı́gitos?
A. 100
C. 250
B. 25
D. 225
01
6
D. 15
18. Para a y b enteros positivos, definimos la operación
a4b = a + b + ab. Sea A = {1, 2, 3, . . . , 100}.
¿Cuántas parejas (a, b), de elementos de A satisfacen
que a4b es par?
E. 2
4. Dos enteros positivos a y b son divisores de 36. Si a×b
no es factor de 36, ¿cuál es el valor más pequeño que
puede tomar a × b?
A. 8
B. 9
E. 200
E. 18
A. 1002
B. 100
2
C. 50
E. 100
A.
C. 4
A.
A. 6
,2
3. ¿Cuántos números primos de dos dı́gitos se pueden
formar escogiendo dos dı́gitos diferentes de la lista
2, 7, 8, 9?
C. 12
D. 502
19. Los enteros positivos a, b, c son tales que a × b = 14,
b × c = 10 y c × a = 35. ¿Cuál es el valor de a + b + c?
de
D. 92
A. 6
A. 10
C. 14
B. 12
D. 16
U.
B. 145
E. 70
O
M
C. 124
01
6
A. 172
17. La suma de los n primeros enteros positivos es un
número de tres cifras iguales. ¿Cuál es la suma de
las cifras de n?
,2
2. Jorge tiene billetes de 2000 y 5000 pesos. ¿Cuál es el
menor número de billetes que necesita para obtener
347.000 pesos?
E. 18
A.
C. 23
B. 20
D. 19
E. 17
de
A. 26
M
U.
16. Se tienen n puntos en el plano, tales que no hay
3 de ellos colineales y con la propiedad de que al
marcar estos puntos de cualquier forma con las etiquetas A1 , A2 , . . . , An , entonces la lı́nea quebrada
A1 A2 . . . An no se interseca a sı́ misma. ¿Cuál es el
número máximo de n?
O
A.3
B. 4
C. 5
D. 7
E. Cualquier natural
D. 56
01
6
7. Una sucesión empieza con 1, −1, −1, 1, −1. Después
del quinto término, cada término es igual al producto
de los dos inmediatamente anteriores. ¿Cuál es la
suma de los primeros 2015 términos de la sucesión?
A. −1006
C. 0
B. −671
D. 672
,2
,2
15. Juan elige un número positivo de 5 cifras y borra una
de ellas para obtener ası́ un número de 4 cifras. La
suma de éste número y el inicial es 52713. ¿Cuál es
la suma de las cifras del número original?
B. 54
E. 50
E. 1007
A.
D. 40
C. 24
8. Jorge y Ana participan en un concurso en el cuál le
dan secretamente un número a cada uno. Ellos saben
que sus números son números naturales consecutivos
y el objetivo es adivinar cuál es el número del otro.
Jorge y Ana tiene el siguiente dialogo:
Ana le dice a Jorge: -No sé cuál es tu número.
Jorge le dice a Ana: -Yo tampoco se cuál es tu
número. Ana le dice a Jorge: -Ahh. ya se cuál es
tu número! ¿Cuál número tiene Ana?
de
B. 1
E. 50
A. 48
U.
C. 10
01
6
A. 0
6. ¿Cuál es el promedio de todos los múltiplos positivos
de 7 de dos cifras?
O
M
14. En una plaza hay 100 personas. 50 de ellas son de
Colombia, 60 son hombres y 90 son vegetarianos.
¿Cuántos hombres colombianos y vegetarianos hay
como mı́nimo en la plaza?
A. 2
C. 1
B. 9
D. 3
E. 4
9. Un rectángulo de 2 × 3 y un rectángulo de 3 × 4
están contenidos en un cuadrado, sin superponerse.
Los lados del cuadrado son paralelos a los lados
correspondientes de ambos rectángulos. ¿Cuál es el
menor área posible del cuadrado?
D. 36
01
6
B. 16
E. 64
U.
M
O
C. 60
B. 50
D. 70
E. 80
A.
D. 12
A. 40
12. Una de las siguientes figuras no puede ser doblada
para formar un cubo. ¿Cuál de las figuras es?
de
B. 20
E. 30
U.
C. 5
de
A. 3
O
M
A.
,2
10. Si a, b, c y d son enteros positivos diferentes tales
que a × b = 60, c × d = 60 y a − b = c + d, ¿cuál es
el valor de a?
,2
C. 25
01
6
A. 12
11. ¿Cuál es la longitud de EF (en centı́metros), si AB,
EF y DC son segmentos paralelos?
13. Si el valor de
3x + y
x + 3y
= 1, ¿cuál es el valor de
?
x − 3y
y − 3x
A. -1/5
C. 7
B. -3
D. 1/7
E. -1