Revista de Investigación de Física
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Revista de Investigación de Física
Volumen 17 N.o1 2014 ISSN 1605-7724 e-ISSN 1728-2977 Revista de Investigación de Físia Instituto de Investigación de Física — Facultad de Ciencias Físicas Universidad Nacional Mayor de San Marcos Universidad del Perú, Decana de América Lima – Perú Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ciencias Físicas Instituto de Investigación de Física Revista de Investigación de Física Rector Dr. Pedro Atilio Cotillo Zegarra Vicerrectora Académica Dra. Antonia Castro Rodríguez Vicerrector de Investigación Dr. Bernardino Ramírez Bautista Consejo Superior de Investigaciones Mg. Jesús Rumiche Briceño Facultad de Ciencias Físicas Dr. Ángel Bustamante Domínguez Instituto de Investigación de Física Dr. Joel Rojas Acuña La Revista de Investigación de Física es una publicación -arbitrada por pares-, de la Facultad de Ciencias Físicas de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Perú, auspiciado por el Consejo Superior de Investigación, dedicado a la publicación de los resultados de trabajos e investigaciones en el área de la física. La Revista de Investigación de Física publica artículos realizados por los docentes y estudiantes de pre y posgrado de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos y de otras instituciones nacionales y extranjeras dedicados al avance de la física. Editores Dr. Pablo H. Rivera Dr. Carlos V. Landauro Dr. Justo A. Rojas Tapia Dr. César A. Quispe Gonzáles Comité Internacional Dr. Jean-Marc Greneche Institut de Recherche en Ingénierie Moléculaire et Matériaux Fonctionnels, Université du Maine, Le Mans, France Dr. Peter A. Schulz Instituto de Física “Gleb Wataghin”, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, São Paulo, Brasil Dr. Diego Grosz Instituto Tecnológico de Buenos Aires, Buenos Aires, Argentina Dr. Luis A. Dalguer Swiss Federal Institute of Technology, Swiss Seismology Service, CH-8092 Zurich, Switzerland Dr. Rafael A. Benites GNS Science, Te Pü Ao, Lower Hutt 5010, New Zealand Revista de Investigación de Física Instituto de Investigación de Física http://fisica.unmsm.edu.pe c 2014 Revista de Investigación de Física, Instituto de Investigación de Física, Facultad de Ciencias Físicas, UNMSM http://www.rif-fisica.org Rev. Inv. Fis., ISSN 1605-7724 Rev. Inv. Fis., e-ISSN 1728-2977 Para solicitar información adicional: [email protected] Facultad de Ciencias Físicas, UNMSM Ciudad Universitaria, Av Venezuela Cdra. 34 s/n. Lima 1, Perú Apartado Postal: 14-0149 Lima 14 – Perú Teléfono 051-1-619700 Anexo 3801-3810. Telefax 051-1-4526688 Correo electrónico: [email protected] Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ciencias Físicas Instituto de Investigación de Física Revista de Investigación de Física Rev. Inv. Fis. Volumen 17 2014 Número 1 Materia condensada Sistemas cristalinos bidimensionales. Two dimensional crystalline systems; D. I. Arrieta, Y. E. Huamán, M. C. Gutiérrez, R. A. Montalvo y P. H. Rivera . . . . . 141701101 Composition and thickness of gold and silver nose decorations from the tomb of the Lady of Cao determined by combining EDXRF-analysis and X-ray transmission measurements. Composición y espesor de las decoraciones nasales de oro y plata provenientes de la tumba de la Dama de Cao determinados por la combinación del análisis EDXRF y las medidas de transmisión de rayos X ; R. Cesáreo, G. Gigante, J. Fabián, S. Zambrano, R. Franco, A. Fernández y A. Bustamante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141701102 Física de suelos Análisis mineralógico de la fracción arcilla de suelos tropicales del Perú por difractometría de rayos X y espectroscopia Mössbauer. Mineralogical analysis of the clay fraction of tropical soils from Peru by X-ray diffractometry and Mössbauer spectroscopy; Mirian E. Mejia y Jorge A. Bravo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141701401 Dinámica de fluidos Diseño aerodinámico de un túnel de viento de bajas velocidades. Aerodynamical design of a low velocities wind tunnel ; C. A. Quispe Gonzáles, W. J. Urcuhuaranga Esteban y J. E. Chiroque Baldera . . . . 141701601 Enseñanza de la física Dinámica de los operadores de un campo escalar complejo bidimensional en la representación de Heisenberg. Dynamic of the complex two-dimensional scalar field operators in the Heisenberg representation; Fulgencio Villegas Silva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141701751 Física computacional Estrategia para el estimado de los coeficientes de absorción y esparcimiento en medios participantes unidimensionales. Strategy for the estimation of the scattering and absorption coefficients in one-dimensional participating media; M. Berrocal Tito, R. F. Carita Montero, J. A. Bravo y A. J. Silva Neto . . . . . . . . . . . . 141701851 Revista de Investigación de Física 17, 141701101 (2014) Sistemas cristalinos bidimensionales D. I. Arrieta, Y. E. Huamán, M. C. Gutiérrez, R. A. Montalvo y P. H. Rivera∗ Facultad de Ciencias Físicas, Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Perú Recibido 15 junio 2014 – Aceptado 15 julio 2014 Desde la obtención experimental del grafeno en el 2004, los sistemas cristalinos bidimensionales han sido objeto de un profundo estudio tanto teórico como experimental. Los métodos de análisis de la estructura electrónica han abarcado desde el tight binding, la ecuación de Dirac para los puntos K y K’ hasta los métodos de funcionales de densidad. El presente trabajo es un estudio inicial de la estructura electrónica y la estructura de frecuencias de los fonones de los cristales bidimensionales usando la teoría de funcionales de densidad. Para ello hacemos uso de los códigos desarrollados en Fortran 90 por el Exciting y en Python por el GPAW. Los resultados de las estructuras electrónicas obtenidos para algunas redes bidimensionales son mostrados y así como el espectro de frecuencias de los fonones del grafeno. Palabras claves: Sistemas cristalinos 2D, teoría de funcionales de densidad, espectro de fonones, densidad de estados. Two dimensional crystalline systems Since the experimental obtention of graphenen in 2004, the two dimensional crystalline systems was a study subject of strong analysis from theoretical and experimental point of view. The analytical methods goes from tight binding, Dirac equations for K and K’ points to functional density theories. The present work is an initial study of the electronic structure and the phonon frequencies spectra of 2D crystalline systems using functional density theory. We use the Exciting Fortran 90 code and GPAW Python code. The results of electronic structure for some 2D lattices are shown and also the graphene phonon frequencies spectra. Keywords: 2D crystalline systems, density functional theory, phonon spectra, density of states. libre del sistema bidimensional lo que provoca inestabilidades termodinámicas que impiden su formación como red bidimensional según Landau y Peierls [2–4]. Más aún, Mermin considera que las fluctuaciones térmicas provocan desplazamientos mayores que las distancias interatómicas que impiden la estabilidad de las estructuras bidimensionales [5]. Todas estas afirmaciones están corroboradas por una multitud de evidencias experimentales. Más aún, desde hace un tiempo, en la obtención de películas delgadas se observa que la temperatura de fusión disminuye conforme el espesor de la película disminuye [6, 7], esto origina las inestabilidades termomecánicas que se contraponen a la formación de una red cristalina bidimensional. Los sistemas cristalinos bidimensionales son formas de cristalización periódica en la que los átomos o moléculas se distribuyen formando arreglos periódicos de largo y corto alcance en dos dimensiones, estos arreglos son definidos por el vector de traslación tm = m1 a1 +m2 a2 +m3 a3 [1], donde m1 y m2 son cualquier entero positivo, negativo o cero; los vectores denotados por a1 , a2 y a3 representan tres vectores arbitrarios e independientes, mientras que m3 = 1 considerando que la magnitud del vector a3 es una longitud muy grande de modo que la interacción entre los planos establecidos por la periodicidad en la dirección a3 sea mucho menor que las fuerzas de van der Waals y desde este modo los planos de átomos definidos por a1 y a2 pueden ser considerados aislados uno de otro, desde el punto de vista de la simulación numérica. Pero este proceso, en la naturaleza, no minimiza la energía ∗ La opción para contrarrestar estas inestabilidades es construir tales sistemas bidimensionales sobre substratos conformados por otros materiales para minimizar la ener- [email protected] 1 2 gía libre del sistema o permitiendo la formación de nanotubos [8, 9] y buckybolas [10]. El primer caso fue realizado experimentalmente en el 2004 por el grupo de Andrei Geim [11] quienes consiguieron -mediante una técnica relativamente sencilla, usando una cinta adhesiva-, exfoliar capas de grafeno y colocarlas sobre un subtrato de SiO2 que se obtiene oxidando un wafer de Silicio, luego de realizar un proceso de litografías en la muestra consiguieron obtener una geometría para realizar medidas de conductividad que les permitieron deducir que el transporte de los portadores de carga se produce a través de los puntos K y K’ de la estructura electrónica proyectadas en la primera zona de Brillouin y con una velocidad de Fermi próxima al 0.3 % de la velocidad de la luz en el vacío. Tales velocidades son consideradas relativísticas pero el sistema pertenece a la física de la materia condensada. Esta noticia trajo consigo una avalancha de estudios teóricos y experimentales sobre el grafeno [12,13] y la posibilidad de obtener otros sistemas bidimensionales [14] que emulen las propiedades del grafeno o que tengan un comportamiento como semiconductor. Puesto que los portadores de carga moviéndose a velocidades consideradas relativísticas no pueden ser confinados por potenciales electrostáticos debido a la paradoja de Klein [15] que afirma que la transmisión de las partículas relativísticas a través de una barrera es igual a 1, y esto no permitiría el uso del grafeno para la construcción de dispositivos que necesitan de un potencial confinante para discretizar las energías para determinadas aplicaciones optoelectrónicas. Por tanto, el objetivo de este trabajo es el estudio de las propiedades electrónicas y térmicas de los cristales bidimensionales usando la teoría de funcionales de densidad para considerar los efectos de muchos cuerpos que están involucrados en la formación de la energía libre de dichos sistemas. Este trabajo es un estudio sistemático de algunos cristales bidimensionales que desde el punto de vista numérico son tratados casi aislados y a partir de los espectros de autovalores de los portadores de carga y de los iones deducimos las propiedades electrónicas y térmicas de tales sistemas. Este trabajo consta de la primera sección que trata brevemente la evolución de los cálculos de la estructura electrónica desde Hartree hasta la teoría de funcionales de densidad como una buena aproximación al estudio de los sistemas de muchos cuerpos, y las aproximaciones que se usan en la determinación de las propiedades electrónicas y térmicas de tales sistemas. En la sección siguiente de resultados se muestran los espectros de energía y se discuten las propiedades físicas que se deducen de los análisis de los espectros. Finalmente, mostramos las conclusiones de este trabajo. Rev. Inv. Fis. 17, 141701101 (2014) Teoría Consideremos el hamiltoniano del sistema de muchos cuerpos como [16, 17] Ĥ = Ĥe + ĤI + Ĥe−I + V̂ext (1) donde Ĥe es el hamiltoniano de todos los electrones que mide la energía cinética y la energía de interacción coulombiana electrón-electrón, Ĥe = X ~2 k̂i2 1X 1 ei ej + , 2m 2 4πǫ 0 |r̂i − r̂j | i (2) i6=j ĤI es el hamiltoniano de todos los iones que mide la energía cinética y la energía de interacción coulombiana iónión, ĤI = X ~2 q̂J2 1 X 1 ZJ eJ ZK eK , + 2MJ 2 4πǫ0 |R̂J − R̂K | J J 6=K (3) ĤeI es el hamiltoniano de interacción coulombiana entre los iones y electrones Ĥe−I = − X J,i 1 ZJ eJ ei 4πǫ0 |RJ − ri | (4) y finalmente, V̂ext representa a los potenciales externos aplicados. La ecuación de autovalor de este problema está dado por Ĥ|Ei = E|Ei (5) donde E y |Ei representa los autovalores y los autoestados del sistema de muchos cuerpos. Este representa uno de los mayores problemas de la física porque resolver esta ecuación es prácticamente imposible con la tecnología actual que se tiene porque el número de partículas involucrada en los cálculos son del orden del número de Avogadro, Na ∼ 1023 partículas. La primera aproximación que se aplica para resolver el problema es la aproximación adiabática o la aproximación de Born-Opennheimer, que considera que el movimiento de los iones y los electrones que conforman el sólido están desacoplados porque la masa de los electrones es aproximadamente 1800 veces menor que la masa de los iones, de modo que cualquier perturbación en el movimiento de los iones los electrones siente la perturbación de manera instantánea y adiabáticamente, pero lo inverso, cualquier perturbación en el movimiento de los electrones los iones reaccionan mucho después y casi imperceptiblemente, luego los autoestados de energía del sistema de muchos cuerpos se disgrega en dos autoestados, la de los iones y 3 Rev. Inv. Fis. 17, 141701101 (2014) la de los electrones, |Ei = |Ee i ⊗ |EI i, luego aplicando en la Ec.(5) considerando la Ec.(1) se obtiene, 1 1 Ĥe |Ee i + ĤI |EI i+ |Ee i |EI i 1 Ĥe−I |Ee i ⊗ |EI i+ |Ee i ⊗ |EI i 1 V̂ext |Ee i ⊗ |EI i = E |Ee i ⊗ |EI i ⇒ Ee + EI + Ee−I + Eext = E (6) de donde obtenemos las ecuaciones de autovalores para los electrones, iones, el acoplamiento de los iones y electrones y la acción de campos externos sobre los iones y electrones, (7) Ĥe |Ee i = Ee |Ee i (8) ĤI |EI i = EI |EI i Ĥe−I |Ee i ⊗ |EI i = Ee−I |Ee i ⊗ |EI i V̂ext |Ee i ⊗ |EI i = Vext |Ee i ⊗ |EI i , (9) (10) respectivamente. Observando la dinámica de los iones, Ec.(8) y Ec.(9), que oscilan alrededor de un centro de equilibrio para cada uno de los iones, un primer cálculo se realiza considerando los iones estáticos en sus posiciones de equilibrio, ĤI0 , 0 , y luego se considera la dinámica de los iones como Ĥe−I movimientos colectivos que se manifiestan como fonones Ĥph y estas excitaciones colectivas de los iones se acoplan al movimiento de los electrones Ĥe−ph . Luego los hamiltonianos de los iones y la interacción electrón-ión se reescriben como ĤI = ĤI0 + Ĥph Ĥe−I = 0 Ĥe−I (11) (12) + Ĥe−ph de modo que se resuelve la ecuación de autovalor de manera perturbativa. Por tanto, una buena aproximación es resolver la ecuación de autovalor considerando 0 hr|(Ĥe + Ĥe−I )|Ee i = 0 )hr|Ee i = Ee hr|Ee i . (He + He−I (13) Hartree resuelve este problema considerando que la autofunción de muchos cuerpos y la energía de los electrones se expresa como hr|Ee i = hr1 |Ee1 ihr2 |Ee2 i · · · hrN |EeN i = N Y i=1 hri |Eei i y Ee = N X i=1 Eei que al ser reemplazado en la Ec.(13) y considerando las Ecs.(2) y (4), encuentra que la minimización del valor esperado del hamiltoniano de muchos cuerpos desarrollandolo variacionalmente para determinar el estado fundamental del sistema de muchos cuerpos se consigue solo si el hamiltoniano de un electrón simple cumple la ecuación de autovalor dado por ~2 2 − ∇i + V (ri )+ 2m Z |hrj′ |Eej i|2 ′ e2 X drj hri |Eei i = Eei hri |Eei i 4πǫ0 |ri − rj′ | j6=i (15) donde el primer término indica la energía cinética del electrón, el segundo término la energía potencial que los iones ejercen sobre el electrón, este término se denomina el pseudopotencial existiendo técnicas adecuadas para determinar este potencial para todos los elementos de la tabla periódica, y finalmente, el tercer término que corresponde a la interacción coulombiana electrón-electrón que se produce entre una distribución media de los electrones j y el electrón i que se encuentra próximo a la posición ri . A este término se suele denominar como el potencial de Hartree, V H . Existe un problema de simetría ante el operador de intercambio al considerar la autofunción de muchos cuerpos como la Ec.(14), incluyendo los autoestados de espín la autofunción de muchos cuerpos debe ser antisimétrica ante el operador de intercambio. Esta discrepancia fue resuelta por Fock al considerar la autofunción de muchos cuerpos como el determinante de Slater hr1 |Ee1 i hr1 |Ee2 i . . . hr1 |EeN i 1 hr2 |Ee1 i hr2 |Ee2 i . . . hr2 |EeN i hr|Ee i = √ . .. .. .. N! . . ... . hrN |Ee1 i hrN |Ee2 i ... hrN |EeN i (16) De la misma forma Fock calculó el valor esperado del hamiltoniano de muchos cuerpos, usando el método variacional para determinar la minimización del valor esperado y esto solo se consigue si el hamiltoniano de una partícula simple cumple la condición de autovalor dado por 2 X Z |hr ′ |E i|2 2 ej j − ~ ∇2i + V (ri ) + e drj′ − 2m 4πǫ0 |ri − rj′ | j6=i Z hEej |rj′ ihri′ |Eei i ′ e2 X drj hri |Eei i = Eei hri |Eei i , 4πǫ0 |ri − rj′ | j6=i (14) (17) respecto a la Ec.(15), los tres primeros términos son los mismos y el cuarto es la energía potencial de intercambio 4 Rev. Inv. Fis. 17, 141701101 (2014) denominada como potencial de Hartree-Fock o potencial de intercambio, V ex . Resumiendo, la Ec.(17), para un electrón simple se expresa como ~2 2 − ∇ + V (r) + V H + V ex hr|Ee i = Ee hr|Ee i , 2m (18) esta es la ecuación que se resuelve autoconsistemente y que ha permitido el desarrollo de todos los métodos de cálculo aproximados de estructura electrónica desde los años 30s hasta los años 60s del siglo pasado. Desde la década de 1920 existe una aproximación diferente para obtener la energía total de un sistema de muchos cuerpos considerando la densidad electrónica n(r) denominada el método de Thomas-Fermi que consideraba inicialmente el sistema de electrones como un fluido clásico. En esta perspectiva, en 1964, Hohenberg y Khon [18] proponen un cálculo variacional para encontrar la energía mínima del estado fundamental de un sistema de electrones sujeto a un campo externo de iones considerando también la interacción electrón-electrón. Para ello plantean una funcional de energía en función de la densidad electrónica dado por n(r) = hE|rihr|Ei = |hr|Ei|2 . Bajo este contexto, en 1965, Kohn y Sham [19] encuentran que la minimización de tal funcional exige la solución autoconsistente de ecuaciones de partícula simple que incluyen los efectos de correlación e intercambio dados por ~2 2 ∇ + V (r) + V H + V xc hri |Ee1 i = Eei hri |Ee1 i − 2m (19) y que las autofunciones de energía definen la densidad del estado fundamental como X n= (20) Θ(µ − Eei )|hri |Eei i|2 . i En este caso Khon-Sham encuentran el cuarto término de la Ec.(19) como el potencial de intercambio y correlación V xc y en la Ec.(20) la función escalera Θ asegura que los electrones ocupan los autoestados de energía sólo hasta el potencial químico (estado fundamental del sólido). Desde esta perspectiva se define el potencial de Hartree como Z |hr′ |Eej i|2 ′ e2 X VH = dr = 4πǫ0 j6=i |r − r′ | Z e2 X n(r′ ) dr′ (21) 4πǫ0 |r − r′ | j6=i donde la densidad incorpora los espínes ↑ y ↓ de forma n(r′ ) = n↑ (r′ ) + n↓ (r′ ) = |hr′ |Eei ; ↑i|2 + |hr′ |Eei ; ↓i|2 (22) y el potencial de intercambio y correlación se definen en función de la derivada de la energía total de intercambio y correlación respecto a la densidad como [20] V xc = δE xc [n↑ , n↓ ] δn(r) (23) donde la energía de intercambio y correlación no se conoce de antemano, pero Kohn y Sham proponen un método que se denomina Local Density Approximation, LDA [19], que permite calcular la energía de intercambio y correlación en función de la densidad, Z xc ELDA [n↑ , n↓ ] = dr′ n(r′ )exc (n↑ , n↓ ) , (24) donde exc (n↑ , n↓ ) es la energía de intercambio y correlación por partícula para un gas de electrones con densidades de espínes uniformes n↑ y n↓ . Este enfoque funciona muy bien para los solidos formados por los elementos de la tabla periódica que conforman el grupo I de los metales alcalinos. Con los otros elementos como por ejemplo los que poseen los orbitales hibridizados s − p, d y f los resultados no concuerdan con los datos experimentales. Años más tarde, en 1996, Perdew, Burke y Ernzerhof [21] determinan la energía de intercambio y correlación con el método denominado Generalized Gradient Approximation, GGA, que involucra la dependencia de la energía de intercambio y correlación en función de la densidad y el gradiente de la densidad, Z xc (25) EGGA [n↑ , n↓ ] = dr′ f ([n↑ , n↓ ; ∇n↑ , ∇n↓ ) . Este método mejora notablemente los resultados numéricos que se aproximan bastante a los datos experimentales para determinados materiales. Para otros materiales se han desarrollado funcionales para calcular la energía de correlación e intercambio que involucra una mezcla del método LDA y GGA. También existen métodos semiempíricos para LDA y GGA. Todos estos métodos están contenidos en una librería llamada libxc [22, 23] que pueden ser usados por cualquier código de Density Functional Theory, DFT, nombre con el cual se ha denominado a la propuesta de Kohn, Hohemberg y Sham. Procedimiento Para el cálculo de las estructuras electrónicas y de los espectros de los fonones de los cristales bidimensionales hemos utilizado el código Exciting [24]. Este código usa el Fortran 90 y se basa en el método de las ondas planas linearizadas y aumentadas, Linearized Augmented Plane Waves -LAWP-, que consiste en dividir la celda unitaria en dos regiones, la primera región está ocupada por los volúmenes de los átomos conformados por esferas muffin-tin y en ella se usa como base las autofunciones de energía de 5 Rev. Inv. Fis. 17, 141701101 (2014) los orbitales atómicos de cada especie atómica que contiene la celda unitaria porque el cambio de las funciones de onda en esta región varía rápidamente debido a que las autofunciones de energía son muy localizadas a distancias próximas a los átomos. Mientras, la segunda región corresponde al espacio complementario y remanente de los volúmenes ocupados por los átomos dentro de la celda unitaria denominado espacio intersticial, en ella se usan como base un conjunto de ondas planas porque las funciones de onda en esas regiones varían muy lentamente [24]. La solución autoconsistente de la Ec.(19) permite calcular la energía total del estado fundamental de los sistemas cristalinos bidimensionales. La energía de intercambio y correlación se calcula bajo la aproximación GGA [21]. conducción, se tiene que recurrir a la teoría GW [27, 28] o a la ecuación de Bethe y Salpeter [29, 30] o a otros métodos como el Time Dependent Density Functional Theory, TDDFT [31] que determinan con mayor exactitud los estados excitados. En el lado derecho de la Fig. 1 se muestra de densidad de estados para todas las bandas. El diamante es un material aislante desde el punto de vista eléctrico porque el gap es mucho mayor que las excitaciones térmicas e impiden a los electrones saltar el gap por activación térmica. La densidad de estados, DOS, es mostrada en el lado derecho de la Fig. 1 mostrando el gap indirecto. En esta sección mostramos los resultados de los cálculos de la estructura electrónica de las redes cristalinas bidimensionales usando la teoría de funcionales de densidad, DFT. Pero, antes mostramos la estructura electrónica del diamante. Energía (eV) Propiedades electrónicas 30 30 20 20 10 10 0 0 -10 -10 -20 -20 Diamante En primer lugar, mostramos la estructura electrónica del diamante por cuestiones metodológicas. Esto es, queremos verificar que los resultados obtenidos por el Exciting son compatibles con los resultados que se encuentran en la literatura [25]. La Figura 1 muestra la estructura electrónica del diamante, en este caso los átomos de carbono se unen via los estados hibridizados sp3 que en intensidad energética son menores que los orbitales hibridizados sp2 . Los orbitales del diamante se distribuyen espacialmente formando dos redes cúbicas de cara centrada que se desplazan una distancia, a lo largo de la diagonal, (1/4, 1/4, 1/4)a donde a = 3.567 Å = 6.740653 Bohr es el parámetro de la red cúbica de cara centrada [26]. El máximo de la banda de valencia se encuentra en el punto Γ y el mínimo de la banda de conducción se encuentra en la 2/3 partes del camino entre el punto Γ y el punto X, con un gap indirecto de 4.088 eV, mientras que el valor experimental está en 5.47 eV a 300 K. En la literatura sobre DFT se menciona sobre la dificultad que se tiene para calcular las estructuras tetraedrales como el diamante, la celta unitaria del diamante con los vectores a1 = (0, 0.5, 0.5)a, a2 = (0.5, 0, 0.5)a y a3 = (0.5, 0.5, 0)a es un tetraedro con los átomos de carbono posicionados en los puntos (0, 0, 0)a y (0.25, 0.25, 0.25)a. Lo que el DFT garantiza es que la banda de valencia está muy bien calculada y esto se aprecia observando la misma en la Fig.1, cuya evolución en las direcciones L, X, W, K son semejantes a los encontrados en la literatura, se observan la evolución de los autoestados s y p ligantes que generan la banda de valencia. Para determinar, con mejor exactitud la banda de L Γ X W Κ Γ 0 1 2 DOS(estados/eV) Figura 1: Se muestra la estructura electrónica y la densidad de estados del diamante obtenida mediante el Exciting. Grafito Para el grafito los átomos de carbono forman enlaces covalentes sp2 en el plano xy formando una estructura planar hexagonal tipo panal de abeja y en la dirección z los enlaces entre los planos son de tipo van der Waals. Este tipo de interacción en z produce unas propiedades mecánicas interesantes en el grafito, pues las capas de carbono son exfoliadas por un esfuerzo mecánico en la dirección xy y son utilizadas ampliamente en la industria por esta propiedad como lubricantes en seco para evitar el rozamiento directo entre un par de placas metálicas y componentes de este tipo existen en casi todas las actividades industriales de la humanidad desde la automovilística hasta la aeroespacial, la seguna aplicación más difundida es el uso en los lápices que casi todo el mundo los usan desde temprana edad. La estructura electrónica del grafito está calculada con una red unitaria √ definida por los vectores a1 = (1, 0, 0)a, a √2 = (0.5, 3/2, 0)a y a3 = (0, 0, 1)c/a, donde a = 3dCC = 2.464 Å = 4.6562 Bohr, dCC = 1.4226 Å = 2.6883 Bohr y c = 6.711 Å = 12.681952 Bohr. Las posiciones de los átomos de carbono en la celda unitaria son (0,0,0), (2/3,2/3,0),(1/3,1/3,1/2) y (1,1,1/2). 6 Rev. Inv. Fis. 17, 141701101 (2014) Energía (eV) Los puntos de simetría que se muestran en la primera zona de Brillouin de la Fig. 2 pertenecen a una estructura hexagonal, asimismo se aprecia en los puntos K que las bandas de conducción y de valencia se degeneran lo que implica que en estos puntos el grafito es un semimetal, esa degeneración existe también en los puntos H cuyas coordenadas en el espacio k son (2/3,1/3,1/2) estos puntos no están en el plano kx ky como lo están los puntos K con coordenadas (2/3,1/3,0). También se observa que en el punto Γ los orbitales tipo p ligantes de la banda de valencia tiene un máximo en ∼ −2.56 eV que no es observado en los modelos tight-binding [32]. En el lado derecho de la Fig. 2 se muestra la densidad de estados de todas las bandas incluyendo la degeneración en los puntos K y H. 15 15 10 10 5 5 0 0 -5 -5 -10 -10 -15 -15 -20 Κ Γ Μ Κ Η L Α -20 Η 0 1 2 3 4 DOS (estados/eV) próximos a estos puntos la energía depende linealmente de la magnitud del vector k ≈ (2/3, 1/3, 0), E± ≈ ±vF |k|, y los portadores de carga se mueven a vF ∼ 106 m/s, esto es, 0.3 % de la velocidad de la luz c [34]. Figura 3: Esquema de las dos redes triangulares que conforman la red hexagonal tipo panal de abeja del grafeno. Este comportamiento semimetálico con portadores de carga casi relativísticos ha despertado mucho interés en la comunidad científica. Como la paradoja de Klein [15] impide controlar el comportamiento relativístico de los portadores de carga, observando el punto M de la estructura electrónica se observa la posibilidad de usar el grafeno como un componente optoelectrónico porque en los puntos próximos de M hacia K, las bandas de conducción y valencia forman una planicie de transición directa con posibilidad de inducir la formación de excitones con fotones de ∼ 4.5 eV que se encuentran en la región ultravioleta, esto permitiría utilizar el grafeno en celdas solares en las regiones andinas donde existe una baja absorción de los rayos ultravioletas y en las misiones espaciales. Figura 2: La estructura electrónica y la densidad de estados del grafito obtenidas mediante el Exciting son mostradas. A partir de aquí, analizamos los cristales bidimensionales. La característica más importante de estos cristales son la estructura hexagonal tipo panal de abeja que se forma en el plano xy formado por dos redes triangulares que se muestran en rojo y azul en el esquema que se muestra en la Fig. 3, se aprecia la celda unitaria que engloba las dos redes triangulares incorporando un átomo de cada red triangular que se unen mediante enlaces tipo sp2 formados por los orbitales 2px , 2py y 2s que se hibridizan formando los tres enlaces σ. Experimentalmente el grafeno tiene ondulaciones que dependen en algunos casos de la morfología del substrato [33] y está modulado por el orbital 2pz que forman enlaces tipo π en la dirección z y se adhieren al substrato mediante un potencial van der Waals. La celda unitaria está √ definida por los vectores a1 = (1, √ 0, 0)a, a2 = (0.5, 3/2, 0)a y a3 = (0, 0, 0) con a = 3dCC = 2.464 Å = 4.6562 Bohr y dCC = 1.4226 Å = 2.6883 Bohr. La estructura electrónica, Fig. 4, muestra que las bandas de valencia y conducción degeneran en los puntos K, estos puntos son los puntos de Dirac puesto que Energía (eV) Grafeno 15 15 10 10 5 5 0 0 -5 -5 -10 -10 -15 -15 -20 -20 Κ Γ Μ Κ 0 0.5 1 1.5 2 DOS (estados/eV) Figura 4: Se muestra la estructura electrónica y la densidad de estados del grafeno obtenida mediante el Exciting. Por otro lado, en el lado derecho de la Fig. 4 se observa la DOS de todas las bandas que se muestran en el lado izquierdo, pero en los puntos K, la densidad de estados no muestran el comportamiento lineal que sí se observa en el caso del grafito en los mismos puntos K, Fig. 2. Este podría ser una deficiencia del Exciting para la determinación de la DOS que se arrastraría en los otros materiales. Hemos realizado diferentes aproximaciones para el el cáluclo 7 15 15 10 10 5 5 0 0 −5 −5 −10 −10 −15 −15 −20 K M K 10 5 5 0 0 -5 -5 -10 -10 Κ Γ Μ Κ 0 2 4 6 8 DOS (estados/eV) Figura 6: Se muestra la estructura electrónica y la densidad de estados del siliceno obtenida mediante el Exciting. −20 Γ 10 DOS Figura 5: Se muestra la estructura electrónica y la densidad de estados del grafeno obtenida mediante el GPAW. Siliceno Otro cristal bidimensional que ha despertado interés en la comunidad científica es el siliceno. De manera semejante al grafeno conformado por átomos de carbono, el siliceno también tendría una estructura hexagonal tipo panal de abeja conformada por átomos de silicio, por el hecho de encontrarse el silicio debajo del carbono en la tabla periódica y podría tener la hibridización de los orbitales 3s, 3px y 3py para conformar tres enlaces covalentes sp2 -orbitales σ-, para formar la red hexagonal en el plano xy. En una estructura 3D, el silicio es semejante al diamante y la forma de su estructura electrónica es morfológicamente semejante al diamante [25] teniendo un gap indirecto casi en el mismo punto que el diamante, en la dirección del punto Γ hacia y próximo al punto X, con Eg = 1.1242 eV a T = 300 K, donde el parámetro de la red cúbica de cara centrada es a = 5.4311 Å [36, 37] mayor que la del diamante, a = 3.567 Å. Pero una estructura semejante al grafito, planos hexagonales con orbitales σ en xy y con orbitales π en z que permiten las interacciones van der Waals entre los planos, no existe en la naturaleza. Por ese motivo, la creación de una red planar hexagonal tipo panal de abeja se obtiene artificialmente [37] con un parámetro de red a = 3.87979 Å y una distancia Si-Si de 2.24 Å. La estructura electrónica del siliceno obtenida mediante el Exciting se muestra en la Fig. 6 y mediante el GPAW en la Fig. 7. En ambos casos se aprecia que la banda de valencia y la banda de conducción se degeneran en los puntos X de forma muy semejante a la del grafeno, los puntos de Dirac, pero los anchos de las bandas de valencia son energéticamente diferentes. Con el GPAW se consigue incorporar más bandas en el cálculo poblando la banda de conducción con más autoestados, pero los modelos DFT no son muy confiables en la determinación exacta de los estados excitados como habíamos mencionado líneas atrás. Más aún si comparamos los puntos X de las figuras 6 y 7, tenemos que el Exciting predice una energía de Fermi por debajo del punto X lo que manifiesta un metal normal, mientras que el GPAW la energía de Fermi coincide con el punto K prediciendo un semimetal con portadores de carga relativísticos en el punto de Dirac, aunque la diferencia de energía entre ambos resultados es de 0.2556 eV, pero algunos experimentos confirman [37] que los portadores de carga son los fermiones de Dirac. 5 5 0 0 −5 −5 −10 −10 E-EF (eV) E-EF (eV) de la DOS y todas han resultado infructuosas. Los métodos tight-binding calculan mejor la DOS para los cristales bidimensionales. Para resolver este problema hemos usado también el método Grid-projector Plane Augmented Wave, GPAW [35], y hemos encontrado que mediante este método la DOS se determina relativamente bien y nos permite incorporar más bandas. E - EF (eV) Rev. Inv. Fis. 17, 141701101 (2014) K Γ M K DOS Figura 7: Se muestra la estructura electrónica y la densidad de estados del siliceno obtenida mediante el GPAW. En el lado derecho de ambas figuras se muestra la DOS 8 Rev. Inv. Fis. 17, 141701101 (2014) y las discrepancias entre ellas se ha explicado en el caso del grafeno y que se siguen manifestando en el siliceno. También, se aprecia que en el punto M la probabilidad de inducir excitones con fotones de ∼ 1.47 eV que pertenecen a la región del infrarrojo es posible. En esta región del espectro electromagnético este dispositivo tendría aplicaciones en termoterapia para ablación de células cancerígenas. Fosforeno Hemos afirmado en la subsección anterior que en el caso del silicio no existe un material en capas como el grafito, pero el silicio con número atómico Z=14 tiene como vecino al fósforo con número atómico Z=15 que posee varios alótropos semejantes al grafito que se caracterizan por su color -por estar relacionados con el gap entre sus bandas de valencia y conducción-, que se conocen como fósforo blanco, rojo, violeta y negro. La estructura más estable y más conocida es la del fósforo negro que tiene una estructura como se muestra en el lado izquierdo de la Fig. 8, mientras que el lado derecho muestra el fosforeno azul cuya proyección en el plano xy semeja a una red hexagonal tipo panal de abeja como el grafeno [39]. Vista de encima En la literatura existen análisis detallados sobre el fosforeno negro 3D, mientras que el primer trabajo sobre el fosforeno azul 2D ha sido publicado recientemente [39] y así como para otros alótropos del fósforo [40]. Nuestro interés inicial es simular una red artificial hexagonal de átomos de fósforo para el cual hemos utilizado el Exciting y los resultados de esa corrida se muestra en la Fig. 9. Estamos considerando una red unitaria hexagonal √ con los vectores habituales a1 = (1, √ 0, 0)a, a2 = (1/2, 3/2, 0)a y a3 = (0, 0, 0) con a = 3dPP = 3.32 Å = 6.273890762 Bohr, considerando que dPP = 1.9168 Å. Las posiciones de los átomos de fósforo respecto a los vectores de la celda unitaria son (0, 0, 0) y (02/3,2/3,0). Este espectro, Fig. 9, tiene el mismo aspecto que las estructuras electrónicas del grafeno, Figs. 4, 5 y del siliceno artificial, Fig. 6, en el sentido de que en los puntos K las bandas de valencia y conducción se degeneran, pero esta degeneración ocurre debajo de la energía de Fermi lo que significa que el fosforeno artificial sería un metal, inclusive se aprecia que en el punto M el nivel de Fermi intersecta la banda de conducción permitiendo que cualquier excitación térmica puede activar el transporte de electrones puesto que este fosforeno artificial es metálico desde el punto K hasta el punto M, mientras que en puntos cercanos al punto Γ es un asilante con un gap indirecto de ∼ 2 eV. Vista de encima Vista de lado 10 10 5 5 0 0 -5 -5 -10 -10 Figura 8: Se muestra la estructura de la red del fosforeno negro E - EF (eV) Vista de lado en el lado izquierdo y el fosforeno azul en el lado derecho. -15 10 E - EF (eV) Κ 5 5 0 0 -5 -5 -10 -10 -15 -15 Κ -15 10 Γ Μ Κ Γ Μ Κ 0 1 2 3 4 5 DOS (estados/eV) Figura 10: Se muestra la estructura electrónica y la densidad de estados del fosforeno azul obtenido mediante el Exciting. 0 2 4 6 DOS (estados/eV) Figura 9: Se muestra la estructura electrónica y la densidad de estados de un alótropo artifical del fósforo obtenido mediante el Exciting. La estructura electrónica y la densidad de estados del fosforeno azul se muestra en la figura 10, en este caso la posición del segundo átomo de fósforo cambia de (2/3, 2/3, 0) a (2/3, 2/3, 0.03163) y el efecto sobre la estructura electrónica es bastante sorprendente porque la figura 10 muestra a un material semiconductor de gap casi directo en un punto intermediario entre Γ y M. Aquí el gap es ∼ 1.8 eV, los excitones que se forman en este punto emiten fotones en la región del infrarrojo. Se observa que la banda de conducción es plana desde este punto hasta el punto M. La energía de Fermi está en el centro del gap y el eje de las energías está considerada como la diferencia 9 Rev. Inv. Fis. 17, 141701101 (2014) de la energía menos la energía de Fermi. La densidad de estados muestra el gap de energía y la formación de las singularidades de Van Hove en las bandas de valencia y conducción. c = 3.763 Å para una segunda fase de la tungstenita. En la Fig. 12 se muestra la estructura electrónica y la densidad de estados de la molibdenita [41] y en la Fig. 13 se muestra la estructura electrónica y la densidad de estados de la tungstenita. 10 10 5 5 0 0 −5 −5 −10 −10 −15 K −15 Γ M K DOS Figura 12: Se muestra la estructura electrónica y la densidad de estados de la molidenita, MoS2 obtenida mediante el GPAW. E-EF (eV) Una estructura interesante y algo compleja es la molibdenita, el disulfuro de molibdeno, MoS2 . Este es un material bastante utilizado en la industria de componentes altamente tecnológicos como lubricante en seco para evitar la fricción entre dos superficies metálicas. Se utiliza desde los años 60s en la producción de armamentos y municiones avanzados. El Perú cuenta con algunos yacimientos en la Región de Huancavelica, que se explota mezclado con otros minerales como la tungstenita, WS2 . Ambos materiales son conocidos desde el siglo XIX en Europa. La estructura de ambos materiales son parecidos teniendo casi las mismas dimensiones de la celda unitaria, los átomos de molibdeno (tungsteno) y los átomos de azufre forman estructuras hexagonales en planos xy que están separados una distancia de 1.558 Å. Una monocapa de molibdenita (tungstenita) está conformado por dos capas de azufre y una capa intermedia de molibdeno (tungsteno) que tiene un corrimiento a/2, donde a = 3.16 Å, desde el centro de un hexagono de átomos de azufre al centro del otro hexágono de átomos de molibdeno (tungsteno). Aquí se observa algo interesante, la proyección de los tres planos sobre el plano xy forma una red hexagonal tipo panal de abeja donde los átomos de azufre forman una red triangular y los átomos de molibdeno (tungsteno) forman la otra red triangular que se asemejan al grafeno, ver la Fig. 11 E-EF (eV) Molibdenita y tungstenita 10 10 5 5 0 0 −5 −5 −10 −10 Vista de encima −15 K −15 Γ M K DOS Figura 13: Se muestra la estructura electrónica y la densidad de estados de la tungstenita, WS2 , fase 1 mencionada en el texto, obtenida mediante el GPAW. Vista de lado Figura 11: Se muestra la estructura de la molibdenita y la tungstenita, donde los átomos en color azul representa los átomos de molibdeno y tungsteno, respectivamente, mientras que los átomos en color anaranjado representan los átomos de azufre. Los vectores √ de la celda unitaria son a1 = (1, 0, 0)a, a2 = (1/2, 3/2, 0)a y a3 = (0, 0, 0.998078)c/a, donde a = dS-S = dMo-Mo = 3.122 Å, en el plano xy y c = 3.116 Å para la molibdenita, mientras que a = dW-W = 3.155 Å y c = 3.686 Å para una fase y dW-W = 3.204 Å y Se observa que la molibdenita en la configuración estructural que se ha mencionado es un material semiconductor de gap directo en los puntos X. La densidad de estados ratifica el gap de energía de ∼ 1.74 eV. Las transiciones directas en estos puntos involucra fotones en la región del infrarrojo. En la literatura existe un trabajo realizado con el Exciting donde encuentran un gap directo en X de 1.79 eV [42]. Mientras que la tungstenita muestra un semiconductor de gap indirecto de ∼ 1.0769 eV entre el punto X -máximo de la banda de valencia-, y un punto intermedio entre X y Γ con un mínimo en la banda de conducción para la primera fase y para la segunda fase en el mismo punto, X y X→ Γ presenta un gap indirecto de ∼ 1.0606 eV. En ambos casos, las transiciones ópticas involcradas son fotones del infrarrojo. 10 Rev. Inv. Fis. 17, 141701101 (2014) Los orbitales atómicos involucrados en la ligación de estos materiales son los orbitales 3p del azufre y los orbitales 4d del molibdeno y 5d del tungsteno. de simetría de la red hexagonal y la densidad de estados en las bandas de frecuencias del grafito. 50 50 40 40 30 30 20 20 10 10 Analizamos las propiedades térmicas de los cristales bidimensionales a partir del espectro de frecuencias de las ramas acústicas y ópticas obtenidas mediante el Exciting. Solo presentamos el caso del grafeno y discutimos brevemente la importancia de los resultados del grafeno comparados con la del diamante y el grafito. Frecuencia (THz) Propiedades térmicas Diamante 0 Κ Γ Μ Κ Η L Α Η 0 0 0.5 1 1.5 DOS (estados/THz) Frecuencia (THz) Figura 15: Se muestra el espectro de fonones y la densidad de 40 40 30 30 20 20 10 10 estados del grafito obtenido mediante el Exciting. Se observa que en el punto Γ se encuentra las bandas máximas de frecuencias ópticas que alcanzan los 45 THz, esto suponen que el grafito poseen mejores propiedades térmicas que el diamante. Se verifica las tres ramas acústicas y las tres ramas ópticas. La primera rama óptica es menor que dos ramas acústicas en los puntos K, H, L. Grafeno 0 Γ X K Γ L Κ W 0 X 0 0.2 0.4 0.6 DOS (estados/THz) Metodológicamente calculamos el espectro de fonones del diamante para comparar con los resultados que se encuentran en la literatura y si el Exciting reproduce dichos resultados. En la Fig. 14 mostramos el espectro de fonones y la densidad de estados de las bandas que están involucradas en las dos redes cúbicas de caras centradas desplazadas a lo largo de la diagonal y cuyas oscilaciones se muestran. Uno de los puntos experimentales que se muestran en la literatura es el máximo de la banda de frecuencias en el punto Γ de 40 THz, y el Exciting reproduce casi exactamente este punto y la evolución de los demás puntos de simetría son congruentes con los de la literatura. Por tanto, el Exciting muestra ser una herramienta confiable para calcular el espectro de fonones para otros materiales. Grafito El segundo caso que analizamos con el Exciting es el caso de grafito. La Figura 15 muestra el espectro de fonones en la primera zona de Brillouin mostrando los puntos Frecuencia (THz) Figura 14: Se muestra el espectro de fonones y la densidad de estados del diamante obtenido mediante el Exciting. 60 60 50 50 40 40 30 30 20 20 10 10 0 Κ Γ Μ Κ 0 0 0.2 0.4 DOS (estados/THz) Figura 16: Se muestra el espectro de fonones y la densidad de estados del grafeno obtenido mediante el Exciting. Los resultados que muestra el Exciting para el grafeno, Fig. 16, son bastante sorprendentes si lo comparamos con el grafito y el diamante. En primer lugar, el espectro de frecuencias presenta las tres habituales ramas acústicas y sólo dos ramas ópticas. Hay que considerar que estamos simulando solo la red hexagonal tipo panal de abeja con las dos redes triangulares mencionadas líneas atrás. No estamos considerando el substrato. El máximo de la banda Rev. Inv. Fis. 17, 141701101 (2014) de frecuencias ópticas se observa en el punto Γ a la frecuencia de 60 THz. Este valor es mayor que la del grafito y la del diamante. Esto le permite al grafeno como una estructura cristalina bidimensional tener unas mejores propiedades térmicas como disipador de energía porque posee un mayor rango de frecuencias para realizar dicha tarea. Conclusiones En los últimos 10 años, se han estudiado los cristales bidimensionales tanto desde el punto de vista experimental así como desde el punto de vista computacional. Algunos de ellos presentan propiedades interesantes como el grafeno que posee dos puntos X y X’ donde se degeneran las bandas de valencia y conducción formando los puntos de Referencias [1] Gerald Burns, Solid State Physics, Academic Press, Inc., Orlando (1985). [2] A. K. Geim y K. S. Novoselov; The rise of graphene, Nature Materials 6, 183 (2007). [3] R. E. Peierls; Quelques proprietes typiques des corpses solides, Ann. I. H. Poincare 5, 177 (1935). [4] L. D. Landau; Zur theorie der phasenumwandlungen II, Phys. Z. Sowjetunion 11, 26 (1937). 11 Dirac donde los portadores de carga se comportan como fermiones de Dirac y se mueven casi relativísticamente. Pero desde el punto de vista del control del transporte de carga, el grafeno no es un material de interés porque no presenta un gap, en cambio otros materiales como la molibdenita, el fosforeno y la tungstenita si presentan gaps directos e indirectos en regiones próximas al infrarrojo. Esta posibilidad está alimentando el interés de la comunidad para el estudio experimental de estos cristales bidimensionales por su aplicabilidad en la producción de excitones en la región del infrarrojo que permitiría aplicaciones en biomedicina para el tratamiento del cáncer. Hemos mostrado que el grafeno posee propiedades térmicas interesantes porque la banda de frecuencias tiene un máximo de 60 THz, un valor mayor si lo comparamos con el grafito y el diamante. [12] A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres, K. S. Novoselov y A. K. 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Bustamante3 1 Dipartimento di Matematica e Fisica, Università di Sassari, Sassari, Italia Dipartimento di Energetica, Università di Roma “La Sapienza”, Roma, Italia 3 Facultad de Ciencias Físicas, Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Perú 4 PACEB Museo Cao, Fundación Wiese, Trujillo, Perú 2 Received May 20, 2014 – Accepted July 10, 2014 Thirty four nose decorations from the tomb of the Lady of Cao has been analyzed by EDXRF-analysis and transmission measurements. These nose decorations are made partially on gold, and partially on silver. EDXRF-analysis showed that, while gold areas all show a similar composition, silver areas exhibit an erratic composition, and also an unusual high percentage of gold, up to 35 %. To verify that this erratic composition is not depending on surface enrichment processes, X-ray transmission measurements were carried out, which gives the bulk composition of the samples. These last measurements completely confirm EDXRF-results. Therefore the conclusion could be that a high quantity of gold was added intentionally to the silver alloys, for not clear reasons, may be to avoid the oxidation process typical of high concentration silver in silver alloys. Keywords: Energy-dispersive X-ray fluorescence, Au-Ag-Cu alloy, Moche pre-hispanic culture. Composición y espesor de las decoraciones nasales de oro y plata provenientes de la tumba de la Dama de Cao determinados por la combinación del análisis EDXRF y las medidas de transmisión de rayos X Treinta y cuatro adornos de nariz de la tumba de la Señora de Cao han sido analizados por análisis de EDXRF y medidas de transmisión. Estas decoraciones de nariz están hechas en parte en oro, y en parte en plata. Análisis EDXRF mostró que, mientras que las áreas de oro todas muestran una composición similar, las áreas de plata exhiben una composición irregular, y también un alto porcentaje inusual de oro, de hasta 35 %. Para verificar que esta composición errática no depende de los procesos de enriquecimiento en la superficie, se llevaron a cabo medidas de transmisión de rayos-X, lo que da la composición en el bulk de las muestras. Estas últimas mediciones confirman completamente los resultados de EDXRF. Por lo tanto, la conclusión podría ser que una gran cantidad de oro fue añadida intencionalmente a las aleaciones de plata, por razones no claras, se puede evitar los procesos de oxidación típica de alta concentración de plata en aleaciones de plata. Palabras claves: Fluorescencia de energía dispersiva de rayos X, aleacionesde Au-Ag-Cu, cultura pre hispánica Moche. Energy-dispersive X-ray fluorescence, EDXRF-analysis, is a technique which, in the case of metals, analyzes thin surface layers. For example, when gold and silver-alloys are analyzed, it typically interests a depth of microns up to a maximum of tens of microns. Therefore it can give wrong results or be affected by a large indetermination when the sample composition is altered because of surface slide pa∗ tina, as often happens in the case of oxidation of silver alloys, and sometimes in the case of gold-alloys rich on copper or silver. A complementary technique was therefore developed, of bulk analysis, which use the same equipment employed for EDXRF-analysis; the X-ray beam from the X-ray tube is monochromatized by means of a tin secondary target, [email protected] 1 2 Rev. Inv. Fis. 17, 141701102 (2014) which K-lines bracket the silver-K discontinuity. The sample to be analyzed is positioned between the secondary target and the detector. This technique is able to determine, by measuring the attenuation of tin-K rays, thickness and/or composition of gold and silver alloys having a thickness of less than about 120 µm for gold and about 0.7 mm for silver. The method was tested with proper AuAg-Cu alloys with known composition and thickness, and then applied to gold and silver artifacts from the tomb of the Lady of Cao, belonging to the Moche pre-hispanic culture from the North of Peru, dating about 300 AD. Theoretical background The attenuation coefficient of all elements versus energy, in the range of X-rays, is characterized by a Kdiscontinuity (Kab ) and by three L-discontinuities (LI, LII and LIII). The relative minimum and maximum of the attenuation coefficient are just below and above the energy Kab of the discontinuity [1]. This fact can be usefully employed to measure in an accurate manner the thickness of a metal sheet, but also, for example, to selectively visualize single elements in radiography and tomography by differential attenuation [2]. To determine the thickness of a thin sheet of element a -alone or in the form of an alloy-, a second element, b, can be therefore employed, which X-rays (Kα and Kβ ) bracket the photoelectric discontinuity K, see Figure 1. The intensity ratio of Kα /Kβ (or in a similar manner Lα /Lβ ) versus thickness of element a is then given by Kα Kβ = a Kα Kβ exp[∆µd(a)] , (1) b0 where (Kα /Kβ )b0 is the ratio (Kα /Kβ )b in absence of element a; ∆µ = µaβ − µaα is the difference of linear attenuation coefficients of element a between energy of Kα(Lα )-rays and Kβ (Lβ ) and d(a) is the thickness of element a in cm. For example, to measure the thickness of a silver sheet, which K-discontinuity has an energy of 25.52 keV, a sheet of tin can be employed, having K X-rays at 25.2 and 28.5 keV respectively (Figure 2). In this case Eq.(1) may be written as Sn Kα Kβ = 5.8 exp[335.0d(Ag)] (2) where 5.8 = Sn(Kα /Kβ )-ratio in absence of Agabsorbers, this value was not corrected for the detector efficiency, and, therefore, depends on the X-ray detector. Figure 1: Attenuation and differential attenuation to determine the thickness of an element a or approximate composition of an alloy of element a. A second element b may be employed, emitting Kα and Kβ X-rays which bracket the photoelectric discontinuity of element a (image at the right). When crossing a sheet of element a (or alloy of element a) these K-X rays are selectively absorbed according to their thickness. The attenuation of Kα and Kβ -lines separately (or Lα and Lβ -lines) emitted by element b can be employed to determine the thickness of sheet a. This attenuation is given by [Kα ] = exp[−µaα da ] [Kα ]0 (3) [Kβ ] = exp[−µαβ da ] [Kβ ]0 In Eqs.(3), [Kα ]0 and [Kβ ]0 indicate Kα and Kβ values of element b, in absence of element a. When sheet a is not a single element, for example Ag or Au, but an Ag or Au-alloy, which are typically composed by three elements, Ag-Cu-Au and Au-Ag-Cu, then Eqs.(1) and (3) may be written as Kα Kβ b = exp − [∆µca + ∆µ′ ca′ + ∆µ′′ ca′′ ]ρalloy d Kα Kβ b0 (4) [Kα ] = exp − (µaα ca + µa′ α ca′ + µa′′ α ca′′ )ρalloy d [Kα ]0 (5) [Kβ ] = exp − (µαβ ca + µα′ β ca′ + µα′′ β ca′′ )ρalloy d [Kβ ]0 (6) ∆µ, ∆µ′ and ∆µ′′ indicates the attenuation coefficient difference, at energies of Kα and Kβ -rays of element b of the three elements of the alloy respectively; ca , ca′ and ca′′ are the concentration values (in % of weight) of the three elements in the alloy; ρalloy in g/cm3 is the density of the alloy and d its thickness. [Kα ]0 and [Kβ ]0 indicate Kα and Kβ values of element b, with no element a. µa , 3 Rev. Inv. Fis. 17, 141701102 (2014) µa′ , µa′′ indicate the attenuation coefficient of the three elements in the alloy, for example Au, Ag, Cu in a Au-alloy. The density ρalloy of the alloy in g/cm3 is given by 1 cAg cCu cAu = + + . ρalloy ρAg ρCu ρAu (7) related to a thin surface layer and can be affected by surface processes which alter the surface composition and the reliability of EDXRF-analysis [4]. Experimental setup The experimental set-up is shown in Figure 3. It includes a Ag-anode X-ray tube working at 40 kV and 200 µA maximum voltage and current, respectively [5], a Si-drift X-ray detector [5] and a Sn-target, which monochromatize the X-ray tube output allowing a bulk analysis of thin sheets of Ag or Au-alloys. The photons emitted by the Xray tube, filtered and collimated, irradiate the Sn-target, (8) producing by photoelectric effect Sn-K X-rays at 25.2 and + 41.5cAu ρalloy d 28.5 keV respectively. The Ag or Au-sheets to be measured are inserted between the Sn-target and the detector (9) entrance. The Si-drift detector entrance is collimated, in order to approximate the good geometry conditions [6]. + 30.0cAu ρalloy d For a Ag-Cu-Au alloy, Eqs.(4),(5) and (6) may be written as α Sn K K h βi = exp 31.5cAg − 5cCu − 11.5cAu ρalloy d α Sn K Kβ 0 (SnKα ) = exp − 9.0cAg + 17.5cCu (SnKα )0 (SnKβ ) = exp − 40.5cAg + 12.4cCu (SnKβ )0 (10) Each of the Eqs.(8), (9) and (10) can be employed to determine the thickness of the alloy. The values of mass attenuation coefficients were taken from the program XCOM [3], Figure 2. Figure Figure 2: Linear attenuation coefficient of silver, showing its photoelectric discontinuity and the position of the Sn K-lines. Sn-Kβ lines are more attenuated than Sn-Kα lines, and the ratio Sn-Kα /Sn-Kβ increases versus Au-thickness. Alternatively, when the thickness of the alloy is known or can be measured, and has a value approximately less than 0.7 mm for silver alloys, and less than 120 µm for gold-alloys, then Eqs.(7) can be employed to determine, with some approximation, the alloy composition, or, at least, to confirm measurements carried out using EDXRFanalysis. That gives the possibility to check, with a simple volume analysis based on transmission of monoenergetic X-rays, analytical results from EDXRF-analysis, which are 3: Experimental set-up for the transmissionmeasurements on Ag or Au thin sheets. The X-ray tube emits Bremsstrahlung radiation which is filtered and collimated. This radiation induces photo-electric effect in a Sn-target, with emission of Sn-K rays, of 25.2 and 28.5 keV. The Ag or Au-sheet of unknown thickness or composition is put between the Sntarget and the detector and selectively absorbs the Sn-K rays according to ist thickness and composition. Results ans discussion The Figure 4 shows, as an example, the application of the theoretical background described in previous section to the analysis of 33 nose decorations on gold and silveralloys from the tomb of the Lady of Cao a Mochica queen and religeous figure from the 300 A.D. approximately (an example of these beautiful nose decorations in shown in Figure 5). 4 Rev. Inv. Fis. 17, 141701102 (2014) Figure 4: Attenuation of Sn-Kα line versus thickness of Ag, Au and Cu layers. Results on following standard samples are reported (red colour): 1) d(Au)=23 µm (Sn-Kα / Sn-Kα0 = 0.147); 2) d(Au)=46 µm (Sn-Kα / Sn-K0α =0.019); 3) Au=90 %, Ag=10 % , d=100 µm (Sn-Kα / Sn-Kα0 =0.001); 4) Ag=90 %, Au=10 % , d=200 µm (Sn-Kα / Sn-Kα0 = 0.07); 5) Ag=80 %, Au=20 % , d=200 µm (Sn-Kα / Sn-Kα0 = 0.013); 6) Au=50 %, Ag=50 %, d=196 µm (Sn-Kα / Sn-Kα0 = 0.001); 7) Ag=40 %, Au=40 %, Cu=20 %, d=130 µm (Sn-Kα /Sn-Kα0 = 0.0008); 8) Cu=100 %, d=335 µm (Sn-Kα / Sn-Kα0 = 0.0075); 9) Ag=90 %, Au=10 %, d=180 µm (Sn-Kα /Sn-Kα0 = 0.105). Also typical results on nose decorations from the Lady of Cao are reported (black numbers). Details on the nose decorations are reported in Table 1 and 2. PACEB-F4 Gold areas Numbers 2 11 13 17 23 EDXRF measurements Au( %) Ag( %) Cu( %) 74.5 81.0 78.0 78.5 82.0 19.5 13.5 19.0 16.5 14.5 5.5 5.5 3.0 5.0 3.5 X-ray transmission Au∼ 80 %, Au∼ 80 %, Au∼ 80 %, Au∼ 75 %, Au∼ 85 %, Ag+Cu∼ 20 %, Ag+Cu∼ 20 %, Ag+Cu∼ 20 %, Ag+Cu∼ 25 %, Ag+Cu∼ 15 %, d=90 µm d=105 µm d=100 µm d=105 µm d=90 µm Table 1: EDXRF and X-ray transmission results on gold areas of nose decorations from the tomb of the Lady of Cao. 5 Rev. Inv. Fis. 17, 141701102 (2014) PACEB-F4 Numbers 2 3 6 8 10 11 12 13 17 23 29 EDXRF measurements Au( %) Ag( %) Cu( %) 99.2 83.0 91.5 41.0 52.0 64.0 45.5 85.5 64.0 76.0 57.5 0.02 7.50 4.00 25.00 21.00 21.00 35.5 10.5 16.0 11.5 25.5 0.8 9.5 4.5 34.0 27.0 15.0 19.0 4.0 20.0 12.5 17.0 X-ray transmission Ag∼ 99 %, Ag∼ 85 %; Ag∼ 88 %; Ag∼ 40 %, Ag∼ 50 %, Ag∼ 60 %, Ag∼ 50 %, Ag∼ 85 %, Ag∼ 60 %, Ag∼ 75 %, Ag∼ 60 %, Au+Cu∼ 1 %, d=180 µm Au+Cu∼ 15 %, d=350 µm Au+Cu∼ 12 %, d=210 µm Au+Cu∼ 60 %, d=170 µm Au+Cu∼ 50 %, d=150 µm Au+Cu∼ 40 %, d=95 µm Au+Cu∼ 50 %, d=190 µm Au+Cu∼ 15 %, d=350 µm Au+Cu∼ 40 %, d=250 µm Au+Cu∼ 25 %, d=230 µm Au+Cu∼ 40 %, d=110 µm Table 2: EDXRF and X-ray transmission results on silver areas of nose decorations from the tomb of the Lady of Cao. Figure 5: Nose decoration N.10, on gold and on silver-alloys. Following concentrations were determined by EDXRF-analysis, gold: Au=78 %, Ag=18.5 %, Cu=3.5 %; silver: Ag=52 % , Au=27 %, Cu=21 %. Transmission measurements on the four iguanas confirm these results, giving also dAg = 150 µm. Energy-dispersive X-ray fluorescence analysis carried out in 2013 gave following results. The gold composition is approximately the same for all golden areas, i.e., Au=78 %, Ag=17.5 %, Cu=4.5 %; also the thickness of the gold-leaf seems to be the same, i.e. about 100 µm; the silver composition is completely erratic, Ag=(45-99) %, Au=(1-34) %, Cu=(0-33) %; also the thickness of the silver sheets is erratic, ranging from about 100 µm to about 400 µm. 6 To test these results, and especially those concerning the Ag-sheets, the method of X-ray transmission using a Sn-secondary target was developed. This method is able to determine the approximate composition of the three components of gold or silver-sheets (Ag-Au-Cu) when their thickness is known, or the determine the thickness of these sheets when the composition is known, or, finally, to check the approximate composition and thickness of the sheets. Conclusions From the analysis of the 33 nose decorations from the tomb of the Lady of Cao by using both EDXRFanalysis and X-ray transmission measurements, following may be concluded. Transmission measurements using the monoenergetic X-lines emitted by a Sn- secondary target confirm the previous measurements carried out by using energy-dispersive X-ray fluorescence analysis; it is therefore confirmed that the areas on silver have a very erratic Referencias [1] R. Cesareo, X-Ray Physics in: La Rivista del Nuovo Cimento, (Ed. Compositori), Bologna (2000). [2] R. Cesareo, Differential attenuation of X-rays : analytical applications , Nucl. Instrum. Methods in Phys. Res. A239, 367 (1985). [3] M.J. Berger and J.H. Hubbell, XCOM: Photon cross sections on a personal computer; US Dept. of Commerce, NBSIR 87-3597. Rev. Inv. Fis. 17, 141701102 (2014) composition and thickness; these areas also contain a high concentration of gold (up to 34 %). The areas on gold have, at the contrary, a very similar composition and thickness, i.e., Au=78 %, Ag=17.5 %, Cu=4.5 %. Additional measurements would be required to better understand the strange composition of silver areas and to specifically analyze the soldering areas between gold and silver areas. Finally, transmission of monoenergetic X-rays could be an useful method to complement energy dispersive X-ray fluorescence analysis, especially in all cases where this last method is affected by large uncertainties due to surface enrichment processes. Acknowlegdements This work was carried out with the support of CONCYTEC of Perú and CNR of Italy. [4] R. Cesareo, Analysis of silver alloys by elastic and inelastic scattering of gamma rays, Nucl. Instrum. Methods 179, 545 (1981). [5] AMPTEK Inc., 6 De Angelo Drive, Bedford, MA 01730-2204, USA; www.amptek.com. [6] R. Cesareo, C. Mancini, non destructive analysis of silver alloys by means of low energy gamma-rays and neutron transmission measurements; Int. J. Appl. Radiat. Isotopes 30, 589 (1979). Revista de Investigación de Física 17, 141701401 (2014) Análisis mineralógico de la fracción arcilla de suelos tropicales del Perú por difractometría de rayos X y espectroscopia Mössbauer Mirian E. Mejia∗ y Jorge A. Bravo Facultad de Ciencias Físicas, Universidad Nacional Mayor de San Marcos, A.P. 14-0149, Lima 14, Perú Recibido 08 mayo 2014 – Aceptado 10 junio 2014 El propósito de este trabajo fue la identificación y la caracterización de los principales minerales en las fracciones arcilla de muestras de suelos tropicales que fueron seleccionadas de la Reserva Forestal de la Universidad Agraria de la Selva, localizada en la Región de Huánuco, Perú, con énfasis en el estudio de los sesquióxidos de hierro (óxidos, hidróxidos y oxidróxidos de hierro) y minerales de arcilla con sustitución de hierro. Se utilizó el método químico de disolución selectiva utilizando ditionito-citrato-bicarbonato, DCB, [1] para la disolución de óxidos de hierro cristalinos, lo cual favorece la identificación de minerales de arcilla. Asimismo fueron utilizadas las técnicas analíticas de difractometría de rayos X, DRX, y espectroscopia Mössbauer por transmisión, EMT, a temperatura ambiente, TA, y a 110 K para determinar la composición mineralógica de las muestras. En este artículo presentamos solo los resultados obtenidos con dos muestras seleccionadas por sus características contrastantes. Palabras claves: fraccion arcilla, sesquióxidos de hierro, difractometria de rayos X, espectroscopia Mössbauer. Mineralogical analysis of the clay fraction of tropical soils from Peru by X-ray diffractometry and Mössbauer spectroscopy The purpose of this work was to identify and to some extent characterize the main minerals in the clay fractions of soil samples from the Forest Reserve of the Universidad Agraria de la Selva, located in the Region of Huánuco, Peru, with emphasis on the iron oxides and iron-bearing clay minerals, using chemical dissolutive methods, such as dithionite-citrate-bicarbonate, DCB, [1] to dissolve preferentially crystalline iron oxides, and analytical techniques such as X ray diffractometry, XRD, and transmission Mössbauer spectroscopy, TMS, at room temperature, RT, and at 110 K was used to determine their mineralogical composition. This paper details the results obtained with two selected samples with contrasting characteristics. Keywords: clay fraction, iron oxides, X-ray diffractometry, Mössbauer spectroscopy. En la Región Amazónica Peruana sólo el 2.9 % de los suelos son actualmente usados como tierras de cultivo y el 7.6 % son usados como pastizales; y alrededor del 89.5 % es potencialmente para explotación forestal. Las muestras estudiadas en este trabajo fueron colectadas del área nativa de la Reserva Forestal de la Universidad Nacional de la Selva, BRUNAS, con coordenadas geográficas de 9°09’ S y 75°35’O, localizada en el área tropical de Tingo María, Región de Huánuco, Perú, ver Figura 1, a una altitud de 1100 msnm, dentro de un área montañosa con lluvias anuales de 3079 mm y una temperatura promedio de 23℃. De las muestras estudiadas se seleccionaron las correspondientes a Supte y Tornillo debido a sus características contrastantes, por el diferente porcentaje en contenido hierro y por la presencia de hierro en estado superparamagnético. Las ∗ muestras de suelo fueron colectadas a una profundidad de 0.30 m desde la superficie del suelo. El análisis mineralógico de las fracciones arcillosas, que fueron separadas por sedimentación de acuerdo al procedimiento descrito por Jackson [1], se llevó a cabo usando difractometría de rayos X, DRX [2,3] y espectroscopia Mössbauer por transmisión, EMT [4]. Debido a la superposición de algunos picos de reflexión de rayos X del cuarzo y de minerales de arcilla, así como también a la baja concentración de los minerales de arcilla en la fracción arcillosa, es difícil distinguir las reflexiones de los minerales de arcilla, aún más si éstos están recubiertos de sesquióxidos de hierro [5] y aluminio. La aplicación de la técnica de DCB permite que las reflexiones de los minerales de arcilla se intensifiquen. Por EMT es posible [email protected] 1 2 obtener más información acerca de los minerales que contienen hierro por sustitución catiónica, indiferentemente de su estado amorfo o cristalino, sin interferencia de otros minerales que no contienen hierro. Rev. Inv. Fis. 17, 141701401 (2014) de los espectros se realizó con la ayuda del programa de ajuste Normos [7]. Los parámetros hiperfinos obtenidos se muestran en la Tabla 1. Medidas de pH y determinación del valor Munsell Los resultados de las medidas de pH de la muestra Supte corresponde a un suelo ligeramente ácido, pH=6.4, mientras que la muestra Tornillo corresponde a un suelo relativamente ácido, pH=4.6. Con la ayuda de la cartilla Munsell, edición 2009, se determinó el color de las muestras; para el caso de la muestra Supte le corresponde el código Munsell 10 YR (7/4) asignado al color marrón muy pálido, y para la muestra Tornillo le corresponde el código Munsell 7,5 YR (6/3) asignado al color marrón claro. Análisis por difractometría de rayos X Figura 1: Mapa geológico de la región de Tingo María. Los círculos rojos muestran el área en estudio. Métodos Experimentales Las dos muestras de suelos seleccionadas fueron etiquetadas como Supte y Tornillo. Las fracciones arcillosas menores a 2 µ m de estas muestras fueron obtenidas por el proceso de sedimentación o método del hidrómetro. Para tal proceso se utilizó 50 g de muestra de suelo a la cual se agregó unos 5 ml de un agente dispersante, hexametafosfato de sodio y carbonato de sodio, dejando embeber la muestra por una noche; luego se agregó unos 700 ml de agua destilada; la solución agua-suelo obtenida se agitó por unos 15 min para después ser vertida en un bouyouco, el cual se enrasó al nivel superior de 1250 ml con agua destilada; después de 7 h de reposo se sifoneó el sobrenadante para ser llevado a secar en una mufla a 60℃. Las fracciones arcillosas obtenidas fueron sometidas a un tratamiento químico de disolución selectiva de sesquióxidos de Fe cristalinos usando ditionito- citratobicarbonato según el método de Mehra Jackson [6]. Después de este tratamiento las muestras fueron lavadas para eliminar las sales y secadas a una temperatura no superior de 45℃, obteniéndose un total de cuatro muestras, las fracciones arcillosas de Supte y Tornillo con y sin tratamiento DCB. Las muestras en polvo fueron analizadas por DRX. La radiación utilizada fue de rayos-X provenientes de CoKα, aplicando 32.5 kV y 25 mA en los rangos de 4°<2θ <80°a barrido continuo. Además, se utilizó un espectrómetro convencional para el analisis por EMT, consistente de una fuente de 50 mCi de 57 Co en matriz de Rh. Los espectros fueron tomados a temperatura ambiente (TA) y a 110 K; se utilizó 250 mg y 100 mg de las muestras para las medidas a TA y 110 K respectivamente. El ajuste En la Figura 2 presentamos los difractogramas de DRX de las fracciones arcillosas de Supte con y sin tratamiento DCB. La fracción sin DCB muestra la ocurrencia de fases no magnéticas tales como cuarzo y caolinita, y sesquióxidos de Fe ordenados magnéticamente como hematita y goethita. En la fracción tratada con DCB se aprecia una disminución en la intensidad de las reflexiones de la hematita, así como la ocurrencia de reflexiones características débiles de fases mineralógicas de clorita y partheita, Ca2 Al4 Si4 O15 (OH)2 (H2 O)4 , lo cual indica que gracias al tratamiento DCB fue posible observar reflexiones características débiles que no fue posible observar en la muestra no tratada. Figura 2: DRX de la fracción arcillosa Supte sin tratar y tratada con DCB. Los acrónimos son Pth= partheite, Cl= clorita, Kao= caolinita, Q= cuarzo, Hm= hematita, Gth= goethita, V= vermiculita, Mont= montmorillonita, Mus = moscovita. En la Figura 3 se muestran los difractogramas de la fracción arcillosa de la muestra Tornillo con y sin tratamiento DCB. A diferencia de la fracción arcillosa Supte, esta muestra presenta menor concentración de la fase de Rev. Inv. Fis. 17, 141701401 (2014) cuarzo. En la fracción no tratada con DCB, se observa la ocurrencia de alúmino silicatos como illita y moscovita, y minerales interestratificados de caolinita-montmorillonita y clorita-vermiculita-montmorillonta que siguen aún presentes después que la muestra fue tratada con DCB. Las reflexiones de los sesquióxidos de Fe sufren disminución en sus intensidades después del tratamiento con DCB. La presencia de la fase partheita está también presente en la fracción tratada como se observa en la muestra Supte. Cabe mencionar que no se pudo asignar las reflexiones características observadas a 12.88°y 20.26°(2θ) a ningún mineral comúnmente encontrado en un suelo. Figura 3: DRX de la fracción arcillosa de la muestra de Tornillo sin tratar y tratada con DCB. Los acrónimos son Pth= partheite, Cl= clorita, K= caolinita, Q= cuarzo, Hm= hematita, Gth= goethita, V= vermiculita, Mont= montmorillonita, Mus = moscovita. Espectros Mössbauer Los espectros Mössbauer de las fracciones arcilla con y sin tratamiento DCB, fueron tomados a temperatura ambiente y a la temperatura T=110 K. Los correspondientes espectros las muestras de Subte y Tornillo se muestran en la Figuras 4. Los espectros de las muestras Supte no tratada y tratada a TA fueron ajustados con una incipiente componente magnética y dos dobletes asignados a sitios de Fe3+ ; los dobletes de Fe3+ pueden ser debidos al hierro estructural de los minerales de arcilla y/o a los sesquióxidos de hierro en estado superparamagnético. Como resultado del tratamiento químico, el área total de resonancia decrece 3 alrededor del 62 %; la presencia del pequeño doblete a TA está relacionado a la goethita en estado superparamagnético. El espectro a T=110 K de la muestra tratada con DCB fue ajustada con un sexteto asignado a la hematita, una distribución de campo magnético asignada a la goethita, un doblete paramagnético asignado al sitio de Fe3+ y dos dobletes paramagnéticos asignados a sitios de Fe2+ . Para el caso de la muestra no tratada el ajuste por distribución contiene un área total de aproximadamente 72 % que es asignada a la goethita. El tratamiento con DCB causa que el área total de resonancia decrezca alrededor del 47 % y afecta la distribución relativa de las áreas de los sitios, mientras que el área relativa de la goethita disminuye proporcionalmente, en concordancia con la interpretación dada a los espectros tomados a TA. Los valores correspondientes a los parámetros hiperfinos se muestran para las muestras Supte y Tornillo en la Tabla 1. En el caso de la muestra Tornillo, los espectros tomados a TA para la muestra no tratada y tratada, fueron ajustados con dos sitios magnéticos y dos dobletes paramagnéticos; uno de los sitios magnéticos está caracterizado por un ancho de línea estrecho y un campo hiperfino mayor; mientras que el segundo sitio magnético está caracterizado por un ancho de línea grande y un campo hiperfino menor, el cual está probablemente asociado a una fase amorfa; ambos sextetos son asignados a la hematita; uno de los dobletes fue asignado a un sitio de Fe3+ y el otro, el cual es mucho más débil, se le asignó a un sitio de Fe2+ . Para la muestra no tratada el área de los sextetos da cuenta de alrededor del 53 % del área total. El tratamiento químico causa que el área total decrezca alrededor del 8 %, debido a la remoción del hierro de todos los sitios; observándose en el espectro un incremento de la intensidad relativa del sexteto de mayor campo hiperfino. Para el ajuste de los espectros tomados a 110 K, fue necesario incluir un sitio magnético, dos dobletes y una distribución de campo hiperfino. Uno de los dobletes fue asignado al sitio de Fe3+ y el otro fue asignado al sitio de Fe2+ . Los sitios de estos dobletes pueden estar localizados en los minerales arcillosos; el doblete más intenso podría estar asociado a moscovita, illita o minerales interestratificados, como se evidencia por DRX. Debido al tratamiento con DCB se puede apreciar un crecimiento del área magnetica por sitio en alrededor de un 30 %, y una disminución del área magnética asociada a la distribución, la cual está asociada a la goethita. Los valores correspondientes de los parámetros hiperfinos de la muestra Tornillo se muestran en la Tabla 1. 4 Rev. Inv. Fis. 17, 141701401 (2014) Figura 4: Espectros Mössbauer de la fracción arcilla de las muestras de suelo de Supte y Tornillo. 5 Rev. Inv. Fis. 17, 141701401 (2014) Asignación δ (mm/s) 2ε(mm/s) ∆Eq (mm/s) Bhf (T) A(mm/s) A( %) 51.10 0.010 0.043 0.125 5.69 24.03 70.28 50.95 0.008 0.009 0.051 12.30 13.59 74.11 40.00 52.40 0.134 0.009 0.005 0.004 0.035 71.36 4.95 2.89 2.03 18.77 40.10 52.40 0.055 0.008 0.003 0.002 0.031 55.34 8.80 2.94 1.80 31.12 51.17 49.89 0.023 0.033 0.007 0.042 21.58 31.51 6.91 40.00 51.64 49.65 0.041 0.012 0.004 0,040 41.86 12.19 4.61 41,34 41.40 52.49 0.025 0.028 0.002 0.025 31.11 34.69 2.93 31.27 40.40 52.49 0.017 0.048 0.002 0.042 15.72 44.21 1.87 38.20 Supte sin tratamiento DCB y a T=300 K Fe mag Fe3+ Fe3+ 0.39 0.37 0.36 -0.21 0.40 0.67 Supte con tratamiento DCB y a T=300 K Fe mag Fe3+ Fe3+ 0.40 0.38 0.37 -0.25 0.48 0.65 Supte sin tratamiento DCB y a T=110 K Dist. Gth Fe mag Fe2+ Fe2+ Fe3+ 0.48 0.47 0.54 1.19 0.50 -0.25 -0.20 2.59 3.00 0.60 Supte con tratamiento DCB y a T=110 K Dist. Gth Fe mag Fe2+ Fe2+ Fe3+ 0.48 0.47 0.66 1.32 0.48 -0.25 -0.20 2.40 3.00 0.66 Tornillo sin tratamiento DCB y a T=300 K Fe mag Fe mag Fe2+ Fe3+ 0.37 0.38 1.43 0.34 -0.23 -0.23 2.23 0.61 Tornillo con tratamiento DCB y a T=300 K Fe mag Fe mag Fe2+ Fe3+ 0.38 0.42 1.48 0,35 -0.21 -0.34 2.22 0,63 Tornillo sin tratamiento DCB y a T=110 K Dist. Gth Fe mag Fe2+ Fe3+ 0.50 0.49 0.99 0.48 -0.23 -0.22 3.40 0.59 Tornillo con tratamiento DCB y a T=110 K Dist. Gth Fe mag Fe2+ Fe3+ 0.58 0.49 1.00 0.48 -0.23 0.22 3.41 0.59 Tabla 1: Parámetros hiperfinos Mössbauer a T=300K y a T=110 K de la fracción arcilla de las muestras de suelos de Supte y Tornillo sin y con tratamiento DCB. Los valores de δ están referidos al Fe metálico. 6 Conclusiones En los suelos tropicales como se observa en el caso de la muestra de Tornillo, el efecto de una intensa intemperización causa la pérdida de Si, incrementando la concentración de los sesquióxidos de Fe y Al. Esto podría explicar la diferente composición mineralógica de los dos suelos estudiados. Los principales sesquióxidos de Fe encontrados en los suelos estudiados han sido identificados como hematita y goethita. En el caso de la muestra de Supte la hematita aparece como una componente magnética alrededor de cinco veces menor respecto a la muestra de Tornillo. La efectividad del tratamiento de disolución selectiva sobre los sesquióxidos de Fe es clara, esto puede ser evaluado por la disminución de las áreas de absorción resonante después del tratamiento DCB, particularmente concerniente a la disolución de goethita en el estado superparamagnético para ambas muestras. El doblete intenso de Fe3+ , para el caso de la muestra Supte, es asignado a la caolinita y esto es confirmado por los resultados de DRX. En el caso de la muestra de Tornillo, el doblete más intenso podría estar asociado a la moscovita, illita o minerales interestratificados, como se evidencia en DRX. Los espectros de EMT a TA de las muestras sin tratar indican que la muestra de Supte contiene el doble de hierro que la muestra de Tornillo. Por otro lado, los espectros EMT a 110 K revelan otra característica contrastante entre las dos muestras por la presencia de una distribución de tamaño de grano más fino para los sesquióxidos de hierro Referencias [1] M. L. Jackson: Soil chemical analysis, advanced course, second edition, University of Wisconsin, Madison (1985). [2] D. M. Moore y R. C. Reynolds (Eds.); X-Ray Diffraction and the Identification and Analysis of Clay Materials, Oxford University Press, Oxford (1997). [3] Dorothy Carroll; Clay Minerals: A guide to their Xray identification, Special paper 126, The Geological Society of America, Boulder (1969). [4] T. C. Gibbs; Principles of Mössbauer Spectroscopy, Halsted, London (1976). Rev. Inv. Fis. 17, 141701401 (2014) en la muestra de Supte que da lugar a la mayor presencia de efectos superparamagnéticos en esta muestra. Los espectros tomados a 110 K, para ambas muestras no tratadas y tratadas, revela la existencia de sitios ocupados por Fe2+ , los cuales no son visibles en los espectros a TA. Esto podría ser producto de un proceso de transferencia de electrones de valencia (inter valence charge transfer, IVCT) [8]. Esto se puede dar en el caso de un compuesto que contiene cationes vecinos del tipo A3+ B2+ (de valencia mixta) y donde existe la posibilidad de que un electrón de valencia del sitio B sea transferido al sitio A, creando A2+ B3+ ; ejemplos de compuestos mineralógicos de valencia mixta son: magnetita, ilvaita, y vivianita. Este proceso permite comprender algunas de las propiedades físicas de los minerales de valencia mixta, ya sea que dicho proceso ocurra como manifestación natural o producido químicamente, activo a TA pero suprimido a muy bajas temperaturas [8, 9]. Se requiere más estudios sobre este fenómeno. Agradecimientos Los autores agradecen al Departamento de Química de la Universidad Federal de Minas Gerais, Brasil, por la colaboración en la toma de los espectros Mössbauer a 110 K y la obtención de los difractogramas de rayos X; así también a la Facultad de Ciencias Físicas de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos por sus servicios en la toma de los espectros Mössbauer a TA. [5] R. M. Cornell y U. Schwertmann, The iron oxides: Structure, properties, reactions, occurrence and uses, VCH Publishers, New York (1996). [6] O. P. Mehra y M. L. Jackson; Iron oxide removal from soils and clays by a dithionite-citrate system buffered with sodium bicarbonate; 7th Natl. Conf. on Clays and Clay Minerals, (1960). [7] R. A. Brand; Normos Mössbauer Fitting Program, User’s guide, (1995). [8] Paul R. Lear y Joseph W. Stucki; Clay and Clay Minerals 35(5), 373 (1987). [9] R. B. Scorzelli, E. Baggio-Saitovitch y J. Danon; J. Physique 37, C6-801 (1976). Revista de Investigación de Física 17, 141701601 (2014) Diseño aerodinámico de un túnel de viento de bajas velocidades C. A. Quispe Gonzáles∗, W. J. Urcuhuaranga Esteban y J. E. Chiroque Baldera E. A. P. de Ingeniería Mecánica de Fluidos, Facultad de Ciencias Físicas, Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Perú Recibido 30 abril 2014 – Aceptado 18 junio 2014 El presente trabajo tiene como objetivo desarrollar el diseño aerodinámico y la determinación de las características geométricas de un túnel de viento de baja velocidad. Fue elegido un túnel de viento abierto de tipo Eiffel, de acuerdo a las condiciones requeridas en la cámara de prueba, tales como el área de la sección de ensayo y la velocidad máxima del aire en esta zona; se propone el esquema constructivo con los elementos que conforman el túnel y la geometría de los mismos. Son efectuados los cálculos aerodinámicos para determinar la velocidad, el área de paso y las pérdidas aerodinámicas en las secciones características de la instalación. Se determina la potencia necesaria del ventilador y su selección de acuerdo a las condiciones del mercado nacional. Palabras claves: Túnel de viento, análisis aerodinámico, admisión del túnel, contracción del túnel, sección de prueba, difusor, ventilador del túnel. Aerodynamical design of a low velocities wind tunnel This paper aims to develop the aerodynamical design and the geometric detrmination of a low veñocities wind tunnel. Was elected an Eiffel type open wind tunnel, according to the required conditions in the test chamber, such as the area and maximum air velocity in the test section; we propose the constructive layout with the tunnel elements and the geometry of them. We performe calculations to determine the flow veloctiy, the cross section and the aerodynamical losses in the characteristic sections of the instalation. We determine the required fan power and it’s selection according to the local market conditions. Keywords: Wind tunnel, aerodynamic analysis, tunnel admission, tunnel contraction, test section, difusor, tunnel fan. bargo, el túnel presenta el inconveniente del elevado costo de instalación, especialmente para el ensayo de objetivos de tamaño real. Hoy en día, la utilidad de un túnel de viento es obvia, ya existen túneles de viento de gran tamaño, capaces de ensayar modelos a escala real y que funcionan en una amplia gama de velocidades, como los túneles supersónicos. Las innovaciones introducidas, principalmente en su construcción, planta de potencia y regulación, hacen que sea altamente competitivo en costos y prestaciones, así como adecuado para una gran variedad de aplicaciones, como por ejemplo, ensayos aeronáuticos, ingeniería civil, arquitectura, energías renovables, medio ambiente, entrenamiento deportivo e investigación y desarrollo agrícola. No existe una información apropiada respecto al diseño y la construcción de túneles de viento, debido a la diversidad de tipos de acuerdo a su configuración -circuito abierto y cerrado-, de acuerdo al régimen de trabajo subsónico, transónico, supersónico e hipersónico-, así co- En ingeniería, un túnel de viento o túnel aerodinámico es una instalación de investigación en el que se obtienen flujos de aire rectilíneo y uniforme a una velocidad determinada en la cámara de ensayos, se desarrolla para asistir a los estudios de los efectos del movimiento del aire alrededor de los objetos sólidos. El primer túnel de viento fue construido por Wenham en 1871 y posteriormente otros investigadores como Reynolds, Tsiolkovsky, Lilienthal, Langley, Prandtl, von Karman, entre otros, utilizaron estos túneles en sus trabajos experimentales introduciendo mejoras en su diseño [1]. Un túnel de viento llega a ser una herramienta útil en la investigación de la mecánica de los fluidos teniendo como principales ventajas la reducción del objeto de estudio a un modelo a escala, optimización en el diseño y funcionamiento del modelo, repetitividad de los ensayos, así como el tiempo y la economía, que generan ventajas frente a las pruebas que se realizan en el campo. Sin em∗ [email protected] 1 2 mo por el diseño de la sección de prueba -sección cerrada o sección abierta-. La gran mayoría de la bibliografía es de tipo descriptivo de experiencias constructivas alrededor del mundo. Pero entre la escasa bibliografía, existen trabajos importantes que son conclusiones de muchos años de trabajo experimental y que sirven de referencia para realizar proyectos de túneles de viento, como el trabajo de Barlow et al. [3], Bell y Metha [4], Metha y Bradshaw [5] y Pope y Goin [6]. Estas informaciones complementadas con conocimientos de aerodinámica y mecánica de fluidos nos permite aventurarnos en la ejecución de proyectos de túneles de viento. En el país, existen algunos túneles de viento, los cuales generalmente son utilizados con fines didácticos en universidades e instituciones de formación profesional. La Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM), en la Escuela Académica Profesional de Ingeniería Mecánica de Fluidos, se puede encontrar uno de estos túneles, el cual a la fecha no ha podido ser puesto en funcionamiento. Otras universidades, como la Universidad Tecnológica del Perú, con el apoyo de la cooperación española; concluyó hace poco la construcción de un túnel de viento con fines didácticos. La organización de cooperación técnica Internacional Intermediate Technology Development Group (ITDG) ejecutó un proyecto de electrificación rural, mediante sistemas de micro-aerogeneradores individuales de 100 W, de fabricación nacional mejorados técnicamente, fueron testados en un laboratorio en el km. 123.5 de la Panamericana Norte, Huacho, donde existe una presencia de vientos en casi todo el año y se sitúa frente al mar. En el fueron efectuados muchos ensayos con un equipo de 100 y 500 W, los resultados obtenidos estaban más asociados a la parte eléctrica, siendo bastante dificultoso obtener resultados referidos a la parte mecánica y aerodinámica debido a que no se podía controlar el régimen del viento. Además, los gastos asociados a la parte experimental eran onerosos, debido al elevado costo de estadía y pérdida de horas hombre, ya que había ocasiones en que no soplaba el viento. Esta situación llevó a la necesidad de contar con un túnel de viento que permita simular condiciones de flujos de aire con bajas velocidades, que permitan simular condiciones de viento a diferentes velocidades y regímenes de trabajo, siendo uno de los motivos el desarrollo del presente trabajo. ITDG firmó un convenio con la Universidad Nacional de Ingeniería UNI para instalar y poner en operación este túnel de viento con cámara de ensayo de 1.20 m y que actualmente se encuentra operativo en el campus universitario de la UNI. Cabe mencionar, que el diseño, construcción e instalación del citado túnel estuvo a cargo de los autores de este paper, quienes pertenecen a la UNMSM. Rev. Inv. Fis. 17, 141701601 (2014) Fundamentos teóricos Un túnel de viento es un dispositivo bastante simple. La mayoría de los diseños tienen seis componentes o secciones características como son las zonas de admisión, de estabilización, de contracción, de prueba o de ensayo, el difusor y la unidad de potencia o ventilador. Estas partes se muestran en la Fig. 1. El diseño total, crea un flujo de aire a alta velocidad y de baja turbulencia, que es dirigido a través de la sección de prueba y permite que en los procesos de investigación se midan las interacciones, que producen el conjunto flujo de aire–modelo, como las fuerzas resultantes, los coeficientes aerodinámicos, los efectos de turbulencia, entre otros. Figura 1: Partes características de un túnel de viento de tipo abierto. Cada componente o sección característica realiza una función en el esquema, que se explica brevemente a continuación. La zona de admisión es prácticamente la entrada al conducto principal del túnel y su función es evitar la desestabilización de las corrientes de aire y la formación y propagación de las turbulencia que se deben a cambios abruptos de la velocidad del viento. La zona de estabilización es una zona de área constante en donde se encuentran el corrector del flujo y las rejillas estabilizadoras. Permite que el flujo entrante pueda pasar a la zona de contracción como un flujo uniforme y de poca turbulencia. La zona de contracción es una zona donde ocurre la disminución del área de paso del túnel y su función es acelerar el flujo y disminuir las variaciones de velocidad. En esta zona, el fluido se acelera hasta alcanzar la velocidad de diseño en la zona de prueba. La sección de trabajo o sección de prueba es la zona donde normalmente se instala el modelo de estudio y en donde la velocidad del flujo alcanza su régimen de prueba, siendo las líneas de corriente uniformes y paralelas. El difusor tiene la función principal de disminuir la velocidad de salida del flujo, gracias a un incremento del área de paso. Con esto, se aumenta paulatinamente la presión y se disminuye la velocidad del flujo, lo cual hace disminuir las pérdidas por fricción. Finalmente, el aire por si solo no va a pasar espontáneamente por el tunel de viento. Para que el aire atraviese el tunel es necesario inducir al aire a atravesar el túnel. Esto se logra con una unidad de potencia, que en la mayoría de los casos es un ventilador, que proporciona la fuerza necesaria para mover 3 Rev. Inv. Fis. 17, 1417011601 (2014) el aire a través del túnel de viento. Existen varias maneras de clasificar los túneles de viento. Atendiendo al tipo de configuración, los túneles pueden ser: a) abierto, en donde un ventilador succiona el aire a través del conducto del túnel y luego, expulsa el aire de nuevo al exterior; b) cerrado, llamado también túnel de recirculación porque el aire es forzado a circular en forma indefinida por el interior del túnel. Otra forma de clasificación de los túneles es de acuerdo a su régimen de trabajo, es decir, a la velocidad del aire en la zona de prueba, aquí se clasifican como: a) subsónicos, en donde la velocidad del aire en la zona de prueba no supera la velocidad crítica con número de Mach menores de 0.7, M < 0.7); b) transónicos con 0.7 < M < 1.2; c) supersónicos con 1.2 < M < 5; y d) hipersónicos con M > 5. Por el diseño de la sección de prueba, los túneles de viento se clasifican como: a) con sección de ensayo cerrada, donde la sección de prueba es una continuación de la sección de salida de la zona de contracción y está limitada por paredes siendo generalmente una zona de sección constante; b) con sección de ensayo abierta, donde la sección de ensayos no está confinada por las paredes, el aire del interior del túnel se mezcla con el exterior, disminuyendo casi totalmente el problema de errores introducidos debido a la proximidad de las paredes al modelo y su interferencia con el flujo. Además de los aspectos descritos para el diseño de un túnel de viento, cabe mencionar la influencia del modelo de prototipo que se pretende ensayar. Las paredes del túnel deben estar bastante alejadas del modelo de prototipo para tener un perfil de flujo bastante similar al real, puesto que si el cociente entre el área frontal del modelo y el área de la sección de ensayos es mayor que 0.075 -otros autores sugieren 0.1-, la obstrucción que supone el modelo al paso del aire a mayores velocidades del flujo entre el modelo y las paredes determina que los coeficientes de sustentación y de arrastre estimados se desvían de los valores reales [7]. Por ello, es deseable que el área de la sección de ensayos sea lo mayor posible, pero a mayor área, el costo de la construcción y la potencia necesaria en el ventilador aumentan considerablemente. Todo esto hace que el tamaño del modelo sea condicionado por el tamaño de la sección de ensayos disponible y por el límite del cociente de las áreas frontales del modelo y la sección de ensayos. El bloqueo del flujo ocurre durante las pruebas con modelos relativamente grandes en la sección de túneles de tamaño limitado. Este bloqueo se define como el radio de la sección frontal del modelo al área de la sección de prueba. Se necesitan radios de bloqueo menores del 10 % de la sección a pesar de que muchas veces se excede este límite con creces. Para las pruebas aerodinámicas, este bloqueo no debe ser mayor que el 5 %. La presencia del modelo en la sección de prueba tiene como resultado que al bloquear el flujo aumenta la presión en las paredes del túnel. Por esta razón, los túneles de sección abierta se emplean a menudo. Las correcciones por bloqueo son todavía un tema de gran interés de investigación. El movimiento del flujo compresible isoentrópico, que pasa por el túnel de viento, puede escribirse como [8], V dV + dp + gdz = 0 ρ (1) siendo V es la velocidad del flujo, p es la presión estática, ρ la densidad, z es la altura respecto a un plano de referencia y g es la constante gravitacional. Para muchos procesos que envuelven gases, las fuerzas gravitacionales pueden ser despreciadas gdz ≈ 0. Para el proceso isoentrópico, p/ρk = const, la Ec. (1) se integra resultando V2 + 2 Z V2 k p dp = const ⇒ + = const . ρ 2 k−1ρ (2) Si se considera que el flujo es incompresible ρ = const, la Ec. (2) se transforma en V2 p + = const . 2 ρ (3) Para el caso de un flujo adiabático sin rozamiento, la velocidad local del sonido se expresa como a2 = (∂p/∂ρ). Considerando un gas ideal con p/ρ = RT , se expresa como una función continua de dos variables de la forma z = f (x, y), además de las relaciones de Maxwell; la velocidad local del sonido a estas condiciones queda definida como [9] 2 a = a= √ ∂p ∂ρ =k s kRT = p ∂p ∂ρ T (4) kp/ρ . El número de Mach se define como la relación entre la velocidad del flujo y la velocidad local del sonido, M = V /a, relacionando la energía cinética del flujo con la energía potencial o energía molecular del gas, expresada a través de la velocidad local del sonido. Se debe indicar, que tanto V como a, cambian de sección en sección por ser de carácter local. Los parámetros de estancamiento del flujo pueden ser expresados a través del número de Mach mediante las siguientes relaciones [8], To k−1 2 =1+ M , T 2 k po k − 1 2 k−1 , = 1+ M p 2 1 k − 1 2 k−1 ρo = 1+ M . ρ 2 (5) Los parámetros críticos del flujo, pueden ser expresados a 4 Rev. Inv. Fis. 17, 141701601 (2014) través de las relaciones T∗ 2 = M2 , To k+1 k k−1 2 p∗ , = po k+1 1 k−1 ρ∗ 2 = . ρo k+1 (6) y el gasto másico específico por unidad de área de un flujo a través de un conducto cualquiera, se expresa como m̄ = ṁ/A = ρV , mientras que el gasto específico reducido q se obtiene al expresar un gasto másico específico respecto al máximo valor del gasto específico, es decir, q= Otro criterio usado y similar al número M , es el coeficiente de velocidad λ o Mach crítico M ∗ , que relaciona la velocidad del flujo con su velocidad crítica λ = M ∗ = V /a∗ . Como en el flujo adiabático To = const, físicamente el coeficiente de velocidad λ relaciona la energía cinética del flujo con su energía total, expresada a través de la temperatura de estancamiento. La relación que existe entre λ y M se determina mediante 1/2 V V a ao k−1 2 = = M 1 + M × a∗ a ao a∗ 2 1/2 k−1 2 k+1 2 2 , M 1+ M = k+1 2 2 λ= (7) ρV ρo ρ V m̄ = ∗ ∗ = ∗ m̄MAX ρ V ρ ρ o a∗ 1 1 k − 1 2 k−1 k + 1 k−1 1− λ. = λ 2 k+1 (11) Esta función q depende del coeficiente de velocidad λ y del índice isoentrópico k, p tiende a cero para dos valores, para λ = 0 y λ = λMAX = (k + 1)/(k − 1); por lo tanto tiene un valor extremo. Cuando dq/dλ = 0 ⇒ λ = 1 Esto indica que la función q tiene un valor máximo para λ = 1, siendo una función bivalente, esto es, q tiene dos valores de λ, uno correspondiente al régimen subsónico y el otro correspondiente al régimen supersónico, tal como se muestra en la Fig. (2). La elección adecuada del valor de λ se realiza en función de las condiciones del problema planteado. de esta expresión, Ec. (7), se observa que M = 0 ⇒ λ = p 0, si M = 1 ⇒ λ = 1 y si M = ∞ ⇒ λ = (k + 1)/(k − 1), por lo que 0 ≤ λ ≤ [(k + a)/k − 1]1/2 . La relación inversa de M y λ se determina mediante M= V a∗ ao V = =λ a a∗ ao a k−1 2 1− λ k+1 −1/2 2 k+1 1/2 1 λ2 k+1 = 1− × k−1 2 λ k+1 1/2 . (8) Los parámetros de estancamiento del flujo en función del coeficiente de velocidad, se determina transformando la Ec. (2) de la forma [8] T k−1 2 =1− λ , To k+1 k (k − 1) 2 k−1 p = 1− λ , po (k + 1) 1 (k − 1) 2 k−1 ρ = 1− λ ; ρo k+1 (9) además, el gasto másico dado por ṁ = ρAV , se expresa en función del coeficiente de velocidad λ como [10], po A ṁ = √ RTo = const ; r 1 2 k − 1 2 k−1 k λ 1− λ k+1 k+1 (10) Figura 2: Dependencia del coeficiente de gasto específico q reducido en función de λ. La función q permite enlazar la geometría del conducto con los parámetros del flujo. Como el gasto másico es constante en cualquier sección del túnel. Al relacionar una sección con área Ai y su sección crítica A∗ , se obtiene: m̄ = ρi Ai Vi = ρ∗ A∗ V ∗ ⇒ q = ρ i Vi A∗ , = ∗ ∗ ρ V Ai (12) así, la función q además de ser una función gasodinámica es también una función geométrica, lo que permite resolver problemas en conductos de forma arbitraria. El gasto másico m̄ es expresado particularmente como una función del gasto másico reducido q. Esto es evidente 5 Rev. Inv. Fis. 17, 1417011601 (2014) si se hace algunas transformaciones a la definición m̄ = ρV A = ρV A A m̄∗ = q ∗ m̄∗ ρ∗ V ∗ A∗ A v u k+1 u k−1 po A t 2 k = q√ k+1 ETo (13) y para un sistema aislado térmicamente T01 = T02 , la ecuación se reduce a A2 q2 p01 = . p02 A1 q1 (14) La ecuación de Bernoulli para el flujo compresible es más compleja que la ecuación de Bernoulli para el flujo incompresible, ya que la densidad del gas no es constante en el transcurso del flujo. Pero también es posible calcular la presión del gas utilizando las ecuaciones del flujo incompresible, siempre que el número M no sea mayor que 0.3. Las pérdidas en los conductos del sistema son debidas a las transformaciones irreversibles que ocurren cuando se mueve el fluido, en gran medida a la transformación de energía mecánica en calor. Son dos los tipos de pérdidas que se encuentran en un sistema de ductos, las pérdidas por fricción y las pérdidas dinámicas. Las pérdidas por fricción son debidas a la viscosidad del fluido y se producen a lo largo de toda la longitud del conducto y se calculan por la ecuación de DarcyColebrook [12], ∆pf = f L ρV 2 , DH 2 (15) donde ∆pf representa las pérdidas por fricción en términos de presión total, f es el factor de fricción; L es la longitud del ducto, DH es el diámetro hidráulico; ρ es la densidad del flujo y V la velocidad promedio. Dentro de la región del flujo laminar el factor de fricción es solo una función del número de Reynolds Re, siendo [12] f = 64/Re. Blasius consiguió un factor de fricción turbulento en tuberías lisas en el intervalo 4.0 × 103 < Re < 105 , proponiendo la siguiente expresión flisa ≈ 0.3164Re−1/4 . A su vez, Prandtl dedujo el factor√de fricción del régimen turbulen√ to para tubería lisa, 1/ f = 2.0 log [Re f ] − 0.8. Von Karman desarrolló una expresión para un flujo completamente √ turbulento en tuberías muy rugosas de la forma 1/ f = −2.0 log [(ε/D)/3.7]. Para un flujo completamente turbulento, el factor de fricción depende del número de Re, la rugosidad de la superficie del conducto y de las protuberancias internas tales como juntas, articulaciones. En la zona de transición rugosa el coeficiente de fricción es calculado por la ecuación de Colebrook, ε 2.51 1 √ √ = −2 log + , (16) 3.7DH f Re f siendo ε el factor de rugosidad absoluta del material, en mm y Re el número de Reynolds. El número de Reynolds es dado por Re = DH V /v, donde v es la viscosidad cinemática. Las pérdidas dinámicas aparecen como resultado de las perturbaciones del flujo causados por equipos montados en los conductos y por los accesorios que cambian la dirección de la trayectoria del flujo de aire y de área. Estos accesorios incluyen entradas y salidas, codos, transiciones, cruces, etc. Una amplia investigación de estos fenómenos con el fin de determinar los coeficientes de pérdidas han llevado a obtener resultados en tres formas, tablas, curvas y ecuaciones [13]. Coeficiente de pérdida local. El coeficiente adimensional kp es usado para definir la pérdida de presión en un conducto porque este coeficiente tiene el mismo valor en corrientes dinámicas similares, es decir, secuencias con tramos geométricamente similares, iguales números de Re e iguales valores de otros criterios necesarios para la similitud dinámica. Está basado sobre la relación de la pérdida de presión total respecto a la presión de velocidad en la sección transversal a la que se hace referencia, es decir, ∆pj ∆Pj Kp = , (17) = ρV 2 /2 pv siendo ∆pj la pérdida total de presión, ρ la densidad del fluido, V la velocidad del fluido y pv la presión dinámica. Para todos los accesorios, excepto los cruces, se puede calcular la pérdida total de presión ∆pj en una sección mediante ∆pj = K0 pv,0 , siendo que el subíndice 0 está referido a la sección transversal en la que se hace referencia a la presión dinámica pv,0 . También se debe indicar que el flujo compresible puede ser tratado como flujo incompresible siempre y cuando la velocidad del flujo no supere a su correspondiente número M = 0.3 [8]. Consideraciones geométricas del diseño Debemos considerar las condiciones iniciales del flujo a la entrada del túnel, pues el fluido a utilizar es el aire atmosférico y dado que la altitud sobre el nivel del mar del lugar de instalación es relativamente pequeña como para ser tomada en cuenta, las propiedades del aire atmosférico serán tomadas a condiciones estándar a nivel del mar, teniendo los siguientes datos de entrada [11], Presión atmosférica Temperatura atmosférica Densidad Constante del aire Índice adiabático del aire Calor específico Viscosidad cinemática p0 = 101.325 kPa T0 = 20℃ = 293 K ρ = 1.225 kg/m3 R = 287 J/kg-K cp = 1.005 J/kg-K k = 1.4 v = 1.46 × 10−5 m2 /s Las condiciones iniciales en la zona de prueba o cámara de prueba están dadas por 6 Rev. Inv. Fis. 17, 141701601 (2014) Velocidad de diseño del flujo 14 m/s Diámetro del área frontal del modelo de ensayo 1.0 m Diámetro a la salida del colector 1.4 m Determinación de las dimensiones de la cámara de prueba Debido al tamaño del modelo, la cámara de prueba debe de ser de tal tamaño, que las paredes no influyan sobre el modelo durante los ensayos y no introduzcan errores en las mediciones. El bloqueo del flujo ocurre durante las pruebas con modelos relativamente grandes en la sección de túneles de tamaño limitado. Este bloqueo se define como el radio de la sección frontal del modelo al área de la sección de prueba. Se necesitan radios de bloqueo menores del 10 % de la sección a pesar de que muchas veces esto se excede con creces. Por esta razón, los túneles de sección abierta se emplean a menudo. El coeficiente de bloqueo debe encontrarse entre 0.075 y 0.10 [7]. Así tenemos que área frontal del modelo dM = área de la zona de prueba dZP (18) ∈ [0.075 − 0.10], siendo dM el diámetro frontal del modelo, que es igual a 1.00 m y dZP el diámetro de la zona de prueba. Entonces: (10/dZP ) = [0.075 − 0.10] ⇒ dZP ∈ [3.10 − 3.65] m. Bajo este criterio, se optó por una sección de prueba con diámetro hidráulico DH = 3.5 m. También se optó por una sección de prueba de forma cuadrada, lo que facilita la instalación del modelo al tener un piso horizontal y para instalar los instrumentos de medición. La longitud de la cámara de prueba requiere de la definición previa del diámetro de la sección de salida del colector y que es anterior a la zona de prueba. Se optó por un diámetro a la salida del colector ds,c con un área cerca del 200 % del modelo, para evitar que la desuniformidad del flujo pueda afectar el trabajo del modelo, este mismo diámetro debe ser mantenido a la entrada del difusor. Así tenemos dM dS,C 2 = 2.0 ⇒ dS,C = 1.414dM = 1.414 m , (19) finalmente, se optó como diámetro de salida del colector dS,C = 1.40 m. La longitud de la cámara de prueba, está en función de la longitud del modelo y la distancia necesaria para eliminar el efecto de una expansión brusca. Según recomendaciones [12] el flujo al salir a una expansión brusca se expande ocupando el mayor área posible. Al ser la cámara de prueba una instalación estanca bajo similares condiciones de presión, las líneas de corriente del flujo tratarán de expandirse al salir del colector. No existe información sobre la longitud de reacomodo de las líneas de corriente, pero en casos de ductos se asume que esta expansión ocurre a una distancia no mayor que el diámetro menor que conforma la expansión brusca e igual a dS.C . Similar situación se tiene para la contracción brusca que se originará a la entrada del difusor. Así, la longitud de la cámara de prueba lC.P = 2lC.P + lM = 4.10 m, optándose finalmente por lC.P = 4.50 m. Así, la cámara estanca que es la zona de prueba, tendrá una sección cuadrada de 3.50 × 3.50 m2 y una longitud de 4.50 m. Consideraciones para el diseño del colector El colector del túnel de viento propuesto está conformado por la admisión, la zona de estabilización y de contracción, a través del cual se lleva un flujo uniforme a la zona de prueba. Generalmente, el diseño de la contracción es la parte más importante del circuito del túnel de viento, aquí el flujo se acelera rápidamente, las líneas de corriente están sometidas a una gran tensión, lo que reduce las variaciones del flujo medio y genera una gran razón de contracción de las mismas. Pero, por ser un túnel de baja velocidad, estas condiciones se atenúan. La decisión de tener una entrada curva y de instalar una rejilla estabilizadora obedece a la necesidad de disminuir las pérdidas por estabilización del flujo en el colector. La razón de contracción se encuentra entre 6 a 9 para túneles pequeños [5]. Debido a que las velocidades para el presente proyecto no superan los 14 m/s, el problema de la separación de la capa límite puede ser contrarrestada si es que se elige paredes con superficie de curvatura convexa, sin puntos de inflexión, en donde el área de la sección transversal irá disminuyendo suave y monótonamente, siendo conveniente elegir un perfil de forma parabólica. Así el diámetro efectivo de entrada al colector es dE.C dS.C 2 ∈ [6 − 9] ⇒ dE.C ∈ [2.45 − 3]dS.C ∈ [3.43 − 4.2] m . (20) Además, la recomendación para el grosor del anillo de entrada, la curvatura que debe tener la admisión, indica que debe tener entre [1/5 − 3/8] del diámetro de la cámara de estabilización; se asume un grosor de anillo de entrada de 0.75 m, por lo que la sección de entrada es de dE.C = 4.2 + 0.75 = 4.950 m. La longitud de la zona de contracción se elige en base a consideraciones constructivas y recomendaciones [4] que indican que el rango de la longitud de contracción fluctúa entre 0.9 y 1.8 veces el diámetro de entrada al colector, las longitudes más cortas causan irregularidades en el flujo a la salida. Así, lC ∈ [0.9−1.8]dE,C = [0.9−1.8]×4.95 = [4.95 − 8.91] m optándose por una longitud de 4.5 m. 7 Rev. Inv. Fis. 17, 1417011601 (2014) La zona de estabilización está conformada por una sola sección, donde es instalada una rejilla de alambres de forma circular, para atenuar las irregularidades y las turbulencias generadas por la entrada del flujo de aire al colector. Esta malla de alambre, está instalada inmediatamente después de la sección de entrada al colector. El colector se muestra en la Fig. 3, donde la solución propuesta asume que en un primer tramo, con longitud de 2 m, el colector tenga una sección de forma cuadrada, luego en una longitud de dos metros se efectuará la transición suave de la forma cuadrada a la circular, evitando incrementar las pérdidas hidráulicas y finalmente, se tiene una sección circular de longitud de 50 cm en la salida. De esta forma, el flujo saliente está reconformado con una sección similar a la del modelo. sección de entrada un poco mayor que la sección de salida del colector, tomando como diámetro de entrada al difusor dD = 1.45 m. Según la información bibliográfica [4, 6], los difusores son muy sensibles a los errores de diseño, puede causar vibración en el túnel, oscilación del ventilador y variación en la velocidad de la sección de pruebas. La geometría de los difusores en túneles de viento es de forma de cono truncado, en donde el área de cada siguiente sección es mayor que la anterior. Generalmente se utiliza el concepto de ángulo de abertura del difusor. Según algunos investigadores [7, 12] este ángulo no debe exceder de 7°. Otros recomiendan que para difusores de túneles de viento el ángulo de expansión del difusor no debe exceder de 5° [5]. Para el presente trabajo, se decidió tomar un ángulo de expansión del difusor de 5° en una longitud de 10 metros, limitado por las condiciones de espacio del lugar de instalación. El difusor tendrá sección circular en toda su longitud y en alguna sección de ella, se instalará el equipo de fuerza, el ventilador, encargado de impulsar el aire a través del túnel de viento. Cálculo aerodinámico de los componentes del tunel En primer lugar, es necesario determinar preliminarmente el gasto másico a través del túnel, bajo las condiciones del diseño. Tomando los datos en la sección de salida del colector, donde V = 14 m/s, dS.C = 1.4 m y la densidad del aire ambiental ρ = 1.225 kg/m3 , utilizando la expresión de continuidad en esta sección afectado por un coeficiente de descarga CD = 0.983, se tiene: m̄ = CD ρAV = 25.96 kg/s. Figura 3: Detalle de la geometría del colector del túnel de viento. Esta solución tiene la ventaja que ayuda a disminuir las pérdidas en las esquinas de la sección cuadrada, además de uniformizar el flujo para que al incidir sobre el modelo, pueda bañarlo en igual proporción respecto al eje de giro, el modelo alineado con el eje del túnel de viento. Consideraciones para el diseño del difusor El difusor es una parte importante del túnel de viento, pues aquí el flujo comienza a perder velocidad reponiendo la presión. La reducción de la velocidad es necesaria ya que el flujo es expulsado al medio ambiente, grandes velocidades pueden provocar cargas considerables en los apoyos del sistema, debido al efecto de acción y reacción, y provocar altos niveles de ruido y vibración con la consiguiente contaminación sonora. Se optó por diseñar un difusor con (21) Asumiendo que este gasto másico se hace crítico para alguna sección del túnel de viento, se puede escribir v u k+1 u ∗ k−1 A po t 2 ∗ ṁmx = ṁ = √ ⇒ k k+1 RTo v u √ k+1 u ∗ RT ṁ k + 1 k−1 ot1 ∗ A = . (22) po k 2 Sustituyendo los datos conocidos se obtiene A∗ = 0.1085 m2 . Los parámetros críticos del flujo son 2 = 244.2 K, (23) T ∗ = T0 k+1 k k+1 2 p∗ = p0 = 53.528 kPa, (24) k+1 1 k+1 2 = 0.776 kg/m3 . (25) ρ∗ = ρ0 k+1 8 Rev. Inv. Fis. 17, 141701601 (2014) La velocidad crítica del flujo, para las condiciones dadas, es √ a∗ = kRT ∗ = 313.24 m/s. (26) La secuencia de cálculo para el diseño de las características del tunel de viento la describimos a continuación. i) Cada elemento a calcular, colector y difusor, se divide en tramos menores, por ejemplo, con ∆l = 0.50 m y se determina el área para cada sección i-te. ii) Se calcula el coeficiente de gasto q para cada sección i-te, con la relación qi A∗ /Ai . iii) Luego, se determina el coeficiente de velocidad λi para cada sección i-te, con ayuda de la siguiente relación qi = k+1 2 1 k−1 k+1 2 λi 1− k+1 1 k−1 λi . Esta expresión tiene dos raíces para λi , debiéndose tomar el valor del régimen subsónico, λi < 1.0. El valor supersónico es desechado, puesto que en el túnel las velocidades alcanzadas son subsónicas. iv) A continuación, se determina la velocidad del flujo en la sección i-te con Vi = λi a∗ . v) También se calculan los parámetros de presión, temperatura y densidad, para cada sección i-te, con ayuda de las siguientes relaciones, k−1 2 λi , Ti = To 1 − k+1 k k − 1 2 k−1 pi = po 1 − λi , k+1 1 k − 1 2 k−1 . λi ρi = ρo 1 − k+1 En este caso, los parámetros hallados en este punto, corresponde a un proceso adiabático e isoentrópico. Por lo tanto, estos parámetros son teóricos, específicamente en lo que se refiere al cálculo de la caída de presión a lo largo de cada componente del túnel. vi) Se calcula la presión dinámica para cada sección i-te, siendo pdin−i = ρi Vi2 /2. vii) Se procede a calcular el número de Reynolds para la sección en análisis Re = DH V /v. viii) Con el número Re, se calcula el factor de fricción, utilizando la ecuación apropiada para el régimen del flujo. Se recomienda utilizar la ecuación de Colebrook, que no introduce errores sensibles. 1 ε 2.51 √ = −2 log √ . 3.7DH Re f f ix) Para dos secciones contiguas del elemento dado, se determina el coeficiente de pérdida de presión Kperd , ya sea para contracciones o expansiones continuas, mediante la expresión Kperd = f L/D. x) A continuación, se determina la caída de presión para cada tramo determinado en el punto anterior, ∆pi = Kperd ρi Vi2 , 2 Siendo los valores ρi y Vi los correspondientes a la sección de salida de cada tramo. xi) La caída de presión en todo el elemento, es la suma de las caídas parciales de presión P ∆p = ∆pi . xii) La caída de presión ∆p se transforma a la presión de una columna de agua usando 1 Pa≈ 0.102 mmH2 O. xiii) Si el elemento analizado no tiene una sección circular, adicionalmente se deberá calcular la pérdida de presión por las esquinas, calculando primero el coeficiente de pérdida por medio de 4.55 Kesq = 0.10 + , (log10 Re)2.58 luego, la caída total de presión en el elemento no circular será la suma de todas las caídas parciales de presión. Caída de presión en el colector En la Tabla 1 se muestran los resultados del cálculo de las pérdidas por fricción para el colector del túnel de viento, siguiendo la secuencia de cálculo explicada en la subsección anterior. El colector fue dividido en 9 partes, generando 10 secciones. Para el tramo de sección cuadrada y para el tramo de transición se calcularon las pérdidas por fricción y las pérdidas por los efectos de esquina. Como se puede observar, el mayor componente de pérdida se debe al efecto de esquina, el cual es mayor que la pérdida debido a la fricción. En el colector se instala una malla para estabilizar el flujo. Esta malla también causa una caída de presión, la cual es calculada con la expresión [5]: 55.2 kg = k0 + ; ReD 2 1 − 0.95β ; k0 = 0.95β 2 D área abierta = 1− . β= área total M (27) La pantalla está conformada por una malla de alambre de sección circular de D = 3.175 mm que genera una malla cuadrada con lado M = 25.4 mm. Entonces, el coeficiente de área β = 0.7656 y k0 = 0.1405. Así, kg ≈ 0.141 y la caída de presión debido a la malla estabilizadora es ∆pg = Kg ρ1 V12 = 0.2 Pa = 0.021 mmH2 O. 2 (28) Caída de presión en la zona de prueba La resistencia que encuentra el flujo al ingresar a la zona de prueba se asemeja a una expansión brusca y el coeficiente de pérdida [12] puede ser hallado en función de la razón del diámetro menor DH1 respecto al diámetro mayor DH2 , mediante la expresión " 2 #2 DH1 = 0.7046 . (29) KEXP = 1 − DH2 9 Rev. Inv. Fis. 17, 1417011601 (2014) Además, existe una resistencia suplementaria por que el ducto del colector no termina directamente en la sección de entrada a la zona de prueba si no que está embutido en ella, en una distancia de L = 1.0 m. Igual situación se observa en el lado de la entrada del difusor. Esto provoca una caída de presión adicional que es función de la longitud embutida del tubo respecto a su diámetro y del espesor de la pared del tubo respecto a su diámetro [13]. En la Fig. 4 se muestra el esquema de un conducto embutido en una cámara plena. palas del rotor fueron diseñadas aerodinámicamente para ofrecer menor resistencia al paso del viento, por lo que ρV 2 2 = 62.04 Pa = 6.32 mmH2 O. ∆pM = KM (32) Caída de presión en el difusor La longitud total del difusor es LD = 10 m y el ángulo de abertura adoptado es de α = 5° . De acuerdo a la Ec. (14) se tiene que p01 A2 q2 qED ASC = ⇒ = = p02 A1 q1 qSC AED qED = 0.06678, dSC dEC 2 (33) la nueva sección crítica para el flujo en el difusor es qED = A∗D /AED ⇒ A∗D = 0.1103. (34) y la nueva sección crítica para el flujo en el difusor es Figura 4: Esquema para la pérdida para ductos embutidos en cámaras plenas. qED = A∗D /A : ED ⇒ A∗D = 0.1103 . El coeficiente de pérdida es una función de t/D y L/D, y están tabulados para diferentes condiciones. Para el presente caso t/DH1 = 0.001 y L/D = 0.714, lo cual da un coeficiente Kduc ≈ 0.9 [13]. Este coeficiente se multiplica por dos, considerando la entrada del colector y la salida del difusor. De igual manera, una vez que el fluido pasa por la zona de prueba, para ingresar al ducto del difusor ocurre una pérdida, que es similar a una contracción brusca. Para este caso, el coeficiente de pérdida esta dado por [12], KCONT = 0.5 1 − (DH1 /DH2 )2 = 0.42 . (30) Para efectuar el cálculo aerodinámico del difusor, este fue dividido en 10 tramos de longitud L = 10 m cada uno, sin contar el tramo donde estará instalado el ventilador. Así, cada área posterior es calculada mediante Así, la caída de presión total observada en la zona de prueba está dada por ρV 2 2 = 363 Pa = 37 mmH2 O. ∆pZP = (2Kduc + KZP ) (31) Durante la operación del túnel de viento, el modelo se encuentra instalado en la zona de prueba, por lo tanto, su presencia causa una caída de presión. No existen recomendaciones o datos experimentales que evalúen estas pérdidas por lo que éstas deben asumirse en función de la complejidad de la resistencia que el modelo ofrezca al paso del flujo. Para el presente caso, se asumió que el aerogenerador ocasionará una resistencia que puede ser proporcional al coeficiente KM = 0.5, considerando que las (35) (36) Di+1 = Di + 2L tan (α/2) , y el coeficiente de pérdida en el difusor se calcula mediante KD = f + 0.6 tan (α/2) 8 tan (α/2) . (37) De manera similar al cálculo del colector se realiza el cálculo de la caída de presión debido a la fricción que se tiene en el difusor. Los resultados se presentan en la Tabla 2. En realidad, el difusor puede ser dividido en dos partes. Una primera parte, hasta la sección de entrada del ventilador, que trabaja a régimen de succión, con presión negativa, y otro segundo tramo, desde la sección de salida del ventilador hasta la sección de salida del difusor, que trabaja a sobrepresión, presión estática positiva. La caída de presión en todo el sistema del túnel de viento es igual a la suma de caídas de presión en cada uno de sus elementos, ∆pTotal = ∆pc + ∆pZP + ∆pM + ∆pD = 481.2 Pa = 49.06 mm H2 O. (38) 10 Rev. Inv. Fis. 17, 141701601 (2014) Dimensionamiento del ventilador La potencia requerida por el ventilador se calcula mediante [13], P = Qps ṁps = = 14.4 kW. 1000η 1000ρη La alternativa de fabricar un ventilador a la medida era demasiado costoso comparado con la alternativa de elegir uno de los ventiladores ya desarrollados por ITSA. Es evidente, que la elección lleva consigo el riesgo de sobredimensionar el ventilador, lo cual puede traer consecuencias económicas durante la operación del túnel de viento. Como era la solución más viable, se optó por elegir un ventilador axial ITSA con las siguientes características: a) caudal a libre descarga, 69,000 CFM; b) caudal de 2 pulgadas de columna de agua, 50,000 CFM; c) Motor eléctrico trifásico de 30 HP, d) diámetro externo del ventilador axial, 1.50 m; e) Medida longitudinal del ventilador, 930 mm, f) número de álabes del ventilador, 17. Una vez determinadas las medidas geométricas de los elementos que componen el túnel se procedió a elaborar el plano de la vista general de la instalación, el cual se muestra en la Fig. 5, que muestran también las medidas referenciales del citado laboratorio. Figura 5: Vista superior de la instalación del túnel de viento. Conclusiones El túnel de viento proyectado es de tipo Eiffel, de circuito abierto y zona de prueba abierta, para ensayar modelos de un diámetro de un metro y velocidades de viento máxima de 14 m/s. El túnel consta de 4 partes importantes, el colector con la rejilla de estabilización, la zona de prueba y el difusor. El equipamiento principal está conformado por un ventilador y un variador electrónico de velocidad. Dada la baja velocidad del flujo de aire en las secciones a través del túnel de viento, el efecto de compresibilidad es mínimo, por lo que bien hubiera sido posible diseñar aerodinámicamente el túnel considerando al flujo de aire como incompresible. Las variaciones de densidad son mínimas como muestran los cálculos efectuados en este trabajo. Para determinar la forma del colector, se asumió una contracción continua, sin cambio en la curva del perfil del colector, siendo esta de forma cóncava lo que redujo muchos efectos contrarios, como la compresibilidad, desprendimiento dentro del túnel y formación de inestabilidades y fuerte turbulencia. Dada la baja velocidad de entrada al colector, no fue necesario instalar una zona de estabilización (honeycombs) ya que sólo se requirió de una rejilla o malla de alambre como zona de estabilización. Las caídas de presión más significativas se encuentran en la zona de prueba, debido a varios fenómenos asociados a su configuración (zona de prueba abierta con similaridad a expansión brusca a la salida del colector y contracción brusca a la entrada del difusor, además de la presencia del modelo). En esta zona se calculó una caída de cerca de 40 mm de H2 O, contra los 10 restantes en otros elementos del túnel de viento. La pérdida total de presión fue cerca de 50 mm H2 O. Al estar el ventilador de tipo axial ubicado pasando la zona de prueba, el túnel trabaja en un régimen de succión, con presión negativa corriente arriba del ventilador y presión positiva corriente abajo del ventilador. El difusor no pudo ser diseñado para llevar la velocidad de salida hasta valores cercanos a cero, debido a las limitaciones de espacio que restringían la longitud del difusor. Esto provocó que se tenga un difusor corto, el aire a la salida tiene valores cercanos de 4.5 m/s lo cual provoca ruido relativamente alto por la descarga a velocidad relativamente alta. Se pudo observar durante la etapa de pruebas de funcionamiento, que en la zona de prueba con condición del sistema de aerogeneración instalado, la velocidad máxima alcanzada por el flujo de aire fue de 14.60 m/s, que es un poco mayor a la velocidad de diseño igual a 14 m/s. Esto se debe a que como fue remarcado, no existe en el mercado nacional condiciones para la construcción de grandes ventiladores sobre medida y tuvo que elegirse un ventilador muy cercano a las necesidades, pero que tiene una designación de ventilación minera. Para el caso de la prueba de funcionamiento en vacío, la velocidad que alcanza el flujo de aire en el ventilador es mayor que en la conclusión anterior, superando los 15 m/s. Esto se debe a que la presencia del ventilador causa una caída de presión (parte de la energía es transformada en energía mecánica). El túnel fue testado en condiciones de diseño, instalándose y ensayándose un aerogenerador de 50 W, para obtener la curva de potencia; obteniéndose resultados cercanos a los teóricos, expuestos en aerogeneración. DH (m) A (m2 ) q λ V (m/s) T (K) p (kPa) ρ (kg/m3 ) pV (Pa) Re × 10−5 f Kesq ∆pf (Pa) ∆pesq (Pa) ∆pparc (Pa) ∆ptotal (Pa) ∆ptotal (mm H2 O) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.950 24.503 0.00450 0.00285 0.89 293.0 101.325 1.225 0.488 3.0265 0.0147 0.156 0.00072 0.0764 0.0771 23.49 . 3.767 14.189 0.00778 0.00493 1.54 293.0 101.324 1.225 1.460 3.9839 0.0141 0.153 0.00273 0.2241 0.2268 . . 3.277 10.737 0.01028 0.00652 2.04 293.0 101.322 1.225 2.554 4.5833 0.01385 0.152 0.0054 0.3881 0.3935 . . 2.901 8.414 0.01312 0.00832 2.61 293.0 101.321 1.225 4.159 5.1774 0.01365 0.151 0.00979 0.6269 0.6367 . 2.39 2.584 6.675 0.01653 0.01048 3.28 293.0 101.319 1.225 6.599 5.8087 0.0135 0.150 0.01724 0.9872 1.0044 . . 2.304 5.025 0.02196 0.01392 4.36 293.0 101.314 1.225 11.642 6.8812 0.01328 0.148 0.03355 1.7229 1.7565 . . 2.052 3.758 0.02936 0.01862 5.83 293.0 101.305 1.225 20.830 8.1959 0.01309 0.146 0.06645 3.0498 3.1163 . . 1.820 2.778 0.03972 0.02519 7.89 293.0 101.287 1.225 38.119 9.8328 0.01295 0.145 0.13565 5.5215 5.6572 . . 1.603 2.019 0.05465 0.03465 10.85 292.9 101.254 1.224 72.109 11.9187 0.01284 0.143 0.28873 10.3315 10.6202 . . 1.400 1.540 0.07164 0.04544 14.23 292.9 101.203 1.224 123.967 13.6512 0.01288 0.142 0.5701 17.6294 . . . Rev. Inv. Fis. 17, 1417011601 (2014) Sección Tabla 1: Resultados del cálculo aerodinámico del colector. Sección DH (m) A (m2 ) q λ V (m/s) T (K) p (kPa) ρ (kg/m3 ) pV (Pa) Re × 10−5 f KD ∆pD (Pa) ∆ptotal (Pa) ∆ptotal (mm H2 O) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.450 1.651 0.06679 0.04237 13.27 292.9 101.219 1.224 107.794 13.1802 0.01287 0.06305 6.80 32.50 . 1.537 1.856 0.05942 0.03769 11.81 292.9 101.241 1.224 85.310 12.4300 0.01285 0.06299 5.37 . . 1.625 2.073 0.05321 0.03374 10.57 292.9 101.258 1.224 68.373 11.7590 0.01284 0.06296 4.31 . . 1.712 2.301 0.04792 0.03038 9.52 293.0 101.270 1.225 55.438 11.1567 0.01284 0.06296 3.49 . 3.31 1.799 2.542 0.04339 0.02751 8.62 293.0 101.280 1.225 45.462 10.6178 0.01285 0.06299 2.86 . . 1.886 2.795 0.03946 0.02502 7.84 293.0 101.288 1.225 37.607 10.1251 0.01286 0.06302 2.37 . . 1.974 3.059 0.03605 0.02286 7.16 293.0 101.294 1.225 31.395 9.6790 0.01288 0.06308 1.98 . . 2.061 3.336 0.03306 0.02096 6.57 293.0 101.299 1.225 26.394 9.2669 0.01290 0.06314 1.67 . . 2.148 3.624 0.03043 0.01929 6.04 293.0 101.303 1.225 22.356 8.8897 0.01292 0.06319 1.41 . . 2.235 3.925 0.02810 0.01781 5.58 293.0 101.306 1.225 19.058 8.5411 0.01295 0.06328 1.21 . . 2.323 4.237 0.02603 0.0165 5.17 293.0 101.309 1.225 16.358 8.2218 0.01297 0.06334 1.04 Tabla 2: Resultados del cálculo aerodinámico del difusor. 11 12 Referencias [1] D. D. Baals y W. R. Corliss; Wind Tunnels of NASA, Scientific and Technical Information Branch, NASA SP 440, USA (1981). Disponible en: http://www.hq.nasa.gov/office/pao/History /SP-440/contents.htm, accesado el 08 abril 2014. [2] J. Katz, Annu. Rev. Fluid. Mech. 38, 27 (2006). [3] J. B. Barlow, W. H. Rae y A. Pope; Low speed wind tunnel testing, Wiley & Sons, New York (1999). [4] J. H. Bell y R. D. Mehta; Contraction design for small low-speed wind tunnel, NASA CR-177488, Washington D.C., National Aeronautics and Space Administration (1988). [5] R. D. Mehta, P. Bradshaw; The Aeronautical Journal of the Royal Aeronautical Society, Technical Notes, pp. 443-449, November (1999). [6] A. L. Pope y K. Goin; Wind-tunnel Testing, Willey & Sons, New York (1965). Rev. Inv. Fis. 17, 141701601 (2014) [7] I. Prada y Nogueira, El túnel de viento como herramienta de ensayo aerodinámico en la Fórmula I, Anales de Mecánica y Electricidad, Asociación de Ingenieros del ICAI, Madrid, Nov-Dic (2006). [8] M. J. Zucrow y J. D. Hoffman; Gas Dymanic, Willey & Sons, New York (1976). [9] G. C. Oates, Aerothermodynamics of Gas Turbine and Rocket propulsión, American Institute of Aeronautics and Astronautics, USA (1984). [10] M. E. Deich y A. E. Zariankin; Hidrogasodinámica, Ed. Energoatomizdat, Moscú (1984). [11] P. M. Gerhart, R. J. Gross y J. I. Hochstein; Fundamentos de Mecánica de Fluidos, Addison-Wesley Iberoamericana, México (1995). [12] Crane Co, Engineering Department; Flow of Fluids through valves, fittings and pipe, USA (1988). [13] ASHRAE Handbook – Fundamentals (SI), American Society of Heating Refrigerating and Air-Conditioning Engineers, USA (2005). Revista de Investigación de Física 17, 141701751 (2014) Dinámica de los operadores de un campo escalar complejo bidimensional en la representación de Heisenberg Fulgencio Villegas Silva∗ Facultad de Ciencias Físicas, Universidad Nacional Mayor de San Marcos, A.P. 14-0149, Lima, Perú Recibido 20 junio 2014 – Aceptado 08 julio 2014 Mostramos las ecuaciones de movimiento del operador de campo y momentum canónico que describen el campo escalar complejo bidimensional, usándose para su representación el formalismo de Heisenberg. Este análisis está basado en el lagrangiano del campo escalar complejo bidimensional invariante sobre la simetría global SU(2) donde la matriz de transformación se expande en función de las matrices de Pauli y se parametriza en función de los ángulos de Euler. Palabras claves: Campo de Klein-Gordon, bosones, campo cuántico. Dynamic of the complex two-dimensional scalar field operators in the Heisenberg representation We show the motion equations of the field operator and canonical momentum that describe the complex two-dimensional scalar field, using for it’s representation the Heisenberg formalism. This analysis is based on the complex two-dimensional escalar field lagrangian which is invariant on the SU(2) global symmetry where the transformation matrix is expanded in function of the Pauli matrices and is parameterized as a function of the Euler angles. Keywords: Klein-Gordon field, bosons, quantum field. plejo de dos dimensiones, las ecuaciones dinámicas de sus operadores. La teoría cuántica de campos es una de las teorías más fundamentales de la física, pues proporciona una metodología para estudiar los estados de energía de un sistema de partículas y permite explicar e interpretar los autovalores de energía negativa, así como resolver el problema de la causalidad relacionando la mecánica cuántica con la relatividad especial [1]. En este contexto, el campo escalar complejo cumple una función importante, al igual que el campo escalar real. Gracias al campo escalar complejo podemos describir las partículas como los piones cargados y los electrones. También nos permite desarrollar una estructura para un campo asociado a mesones complejos [2]. En la actualidad, se usan campos escalares complejos para describir modelos de expansión cosmológica, y en el ámbito de la física de partículas es fundamental su contribución al estudio del campo de klein-Gordon; existen propuestas teóricas para extender el doblete del modelo estandard con un triplete o con un singlete escalar complejo en el campo de Higgs, proponiéndose así a una familia de bosones de Higgs [3]. Es un hecho que el estudio del campo escalar complejo tiene consecuencias de mucho interés para la física. En este trabajo calculamos, para el campo escalar com∗ El campo escalar complejo Todo campo complejo está descrito por dos espacios biunívocos independientes, el propio campo complejo φ y su complejo conjugado φ∗ [4]. Un campo escalar complejo corresponde a un campo cargado, es decir, representa a las partículas con carga q y a las antipartículas con carga −q. Se introduce un modelo de campo escalar complejo invariante para el grupo U (1) representado por la función densidad lagrangiana L = ∂µ φ∂ µ φ∗ − V (φ) , 2 ∗ ∗ 2 V (φ) = m φφ + λ(φφ ) (1) (2) donde m es la masa de la partícula cargada y λ es un parámetro positivo. La signatura de la métrica que usamos es (− + ++) y consideramos el sistema de unidades ℏ = c = 1. Consideramos para el campo y su complejo conjugado un modelo [email protected] 1 2 Rev. Inv. Fis. 17, 141701751 (2014) de la forma φ= φ1 + iφ2 φ1 − iφ2 √ √ y φ∗ = , 2 2 (3) de tal manera que satisfagan la ecuación de Klein-Gordon. Esta densidad lagrangiana, Ec.(1), es simétrica sobre la transformación U(1) global φ −→ φeiα ∗ (4) ∗ −iα φ −→ φ e (5) . Como α es una constante, entonces, el campo y su derivada se transforman de la misma manera, es decir, existe covariancia. Por lo tanto, para las transformaciones infinitesimales tenemos que δφ = −iαφ 1 µ 1 ∂ φ1 ∂µ φ1 + ∂ µ φ2 ∂µ φ2 , 2 2 1 2 ∗ 2 φ φ = (φ1 + φ2 ) , 2 ∂ µ φ∗ ∂µ φ = ∗ H= Las variables canónicas φa y los conjugados canónicos cumplen las tres relaciones de conmutación y para el caso de las derivadas ∗ (8) ∗ δ(∂µ φ ) = −iα(∂µ φ ) . (9) La correspondiente corriente de Noether esta definida por [5] Jµ = ∂L δφ∗ ∂L δφ + ∂(∂ µ φ) δα ∂(∂ µ φ∗ ) δα Jµ = ∂µ φ∗ iφ − ∂µ φiφ∗ [φa (~x, t), Πb (~ y , t)] = iδab δ 3 (~x − ~ y) , (19) [φa (~x, t), φb (~ y , t)] = 0 , (20) [Πa (~x, t), Πb (~ y , t)] = 0 . (21) El campo escalar complejo con dos componentes Consideramos dos campos escalares complejos φ1 y φ2 cuyas densidades lagrangianas están dadas por 1 µ (∂ φ1 ∂µ φ∗1 − 2 1 L = (∂ µ φ2 ∂µ φ∗2 − 2 L= (10) Jµ = i[∂µ φ∗ φ − φ∗ ∂µ φ∗ ] Jµ = 2Im[φ∗ ∂µ φ] . 1 2 1 m (φa )2 − λ(φa φa )2 2 4 1 2 Ω (φa )2 2 (φ) ∂L = φ̇a . ∂ φ̇a L= 1 µ m2 (∂ φa(x) )(∂µ φa(x) )∗ − φa(x) φ∗a(x) 2 2 con a = 1, 2. Esta densidad lagrangiana es invariante sobre la simetría clásica global SU(2), por lo tanto, cumple la relación de transformación φa(x) −→ φ′a(x) = Aab φ(x) (12) donde A es una matriz unitaria 2 × 2. La matriz A la expandimos en función de las matrices de Pauli (σj )ab y la parametrizamos por medio de los ángulos de Euler: φ, θ, ψ que son representados por θj con j = 1, 2, 3, de la siguiente forma (14) (15) (23) Aab = [eiθj σj ]ab (13) Aab = [cos(iθ · σ) + i sen(iθ · σ)]ab (24) = [I cos θ + i(σ · n̂) sen θ]ab Por definición de la densidad hamiltoniana tenemos que H = Πa φ̇a − L 1 1 1 H = (Πa )2 + (∇φa )2 + Ω2(φ) (φa )2 2 2 2 (22) (11) donde Ω(φ) = m2 + 12 λ(φa )2 . Sea Πa la variable canónica conjugada de φa , entonces se cumple que [6] Πa = m2 φ1 φ∗1 ) , 2 m2 φ2 φ∗2 ) , 2 las cuales las expresamos en forma compacta como La cuantización del campo escalar complejo puede realizarse usando las reglas de la cuantización canónica, para ello usamos la relación (3) donde φ1 y φ2 son los campos escalares reales, en términos de estos campos escalares reales la densidad lagrangiana se escribe como 1 L = − (∂µ φa )2 − 2 1 L = − (∂µ φa )2 − 2 (17) 1 2 [Π + Π22 + (∂i φ1 )2 + (∂i φ2 )2 + m2 φ21 + m2 φ22 ] 2 1 1 + λ(φ21 + φ22 )2 . (18) 4 (7) δ(∂µ φ) = iα(∂µ φ) (16) entonces la densidad hamiltoniana, Ec.(15), toma la forma (6) δφ = iαφ ∗ Esta densidad hamiltoniana también se reescribe en forma explícita como una función de φ1 y φ2 considerando, previamente, las siguientes relaciones con n̂ = ~ θ ~ , |θ| obteniendo Aab = cos(|~ θ|)δab + in̂~σab sen |~ θ| . (25) Rev. Inv. Fis. 17, 141701751 (2014) 3 Los momentos canónicos se expresan como ∂L 1 ∂L = φ̇∗a = a 2 ∂( ∂φ ) ∂ φ̇ a ∂t ∂L 1 ∂L = φ̇a = Π∗a = ∂φ∗ 2 ∂ φ̇∗a ∂( ∂ta ) Πa = Derivando la expresión anterior con respecto al tiempo obtenemos [7] (26) dfˆ(t) = −i[fˆ(t) , Ĥ] , dt (27) y para calcular la densidad hamiltoniana usamos la relación (14), obteniéndose considerando para nuestro caso fˆ(t) → φ̂a(x) obtenemos la ecuación dinámica para φ̂a(x) como 2 H= 1 ∗ 1 m φ̇ φ̇a + |▽φa |2 + |φa |2 , 2 a 2 2 (28) y promoviendo los campos a operadores obtenemos Z m2 † 1 1 φ̂ φ̂a ]d3 x . (29) Ĥ = [ Π̂†a Π̂a + ∇φ̂†a ∇φ̂a + 2 2 2 a Para calcular el cuadrimomento o momentum generalizado usamos la definición dada por Z Pµ = T 0µ d3 x , (30) V donde T luego 0µ Pµ = es la densidad de flujo de energía y momento, Z V Pµ = 1 2 Z ∂L k ∂L k ∗ ∂ φ a d3 x , ∂ φa + ∂ φ̇∗a ∂ φ̇a (31) (Π∗a ∂ k φa + Πa ∂ k φ∗a )d3 x . (32) V La carga generalizada viene dada por Z Z k k Qk = J0k d3 x = i (Πa σab φb − Π†b σab φ†a )d3 x , (33) (38) d φ̂a(x) = −i[φ̂a(x) , Ĥ] , dt Z d 1 φ̂a(x) = −i [φ̂a(x) , Π̂†b(y) Π̂b(y) + dt 2 1 m2 † ∇φ̂†b(y) ∇φ̂b(y) + φ̂ φ̂b(y) ]d3 y , 2 2 b(y) (39) Z i d [φ̂a(x) , Π̂†b(y) Π̂b(y) ]d3 y , φ̂a(x) = − dt 2 1 d φ̂a(x) = Π†a(x) . dt 2 (40) La ecuación dinámica para el momentum canónico se determina mediante Z d 1 † Π̂a(x) = −i Π̂ Π̂b(y) Π̂a(x) , dt 2 b(y) m2 † 1 φ̂b(y) φ̂b(y) d3 y , + ∇φ̂†b(y) ∇φ̂b(y) + 2 2 Z i h d i Π̂a(x) = − ▽y φ̂†b(y) Π̂a(x) , ▽y φ̂b(y) + dt 2 h i 2 † m φ̂b(y) Π̂a(x) , φ̂b(y) , 1 d Π̂a(x) = (▽2 − m2 )φ̂†a . dt 2 (41) donde k k Jµk = i(∂µ φ∗a σab φb − ∂µ φb σab φ†b ) (34) y promoviendo los campos a operadores se obtiene Z k k Q̂k = i (Π̂a σab φ̂b − Π̂†b σab φ̂†b )d3 x . (35) Combinando las ecuaciones dinámicas (37) y (38) obtenemos como resultado la ecuación de Klein-Gordon (∂µ ∂ µ + m2 )φ̂†a(x) = 0 . Usando la transformada de Fourier determinamos el operador de campo y el momentum canónico como La ecuación dinámica de los operadores En la representación de Heisenberg la evolución temporal de un sistema se describe por operadores dependientes del tiempo y por la función de onda fija en el tiempo. Se considera el operador de acción como Ŝ = e −iĤt fˆ(t) = Ŝ −1 fˆŜ . φ̂a(x) = (37) Z d3 x p âa(k) eiωt+ik·x + 2ω(k) (2π)3 b̂†a(k) e−iωt−ik·x y (36) donde Ĥ es el hamiltoniano del sistema. Se introduciendo un operador dependiente del tiempo f(t) tal que (42) Π̂a(x) = Z d3 x (2π)3 respectivamente. r ω(k) † âa(k) e−iωt−ik·x − 2 b̂a(k) eiωt+ik·x (43) , (44) 4 Rev. Inv. Fis. 17, 141701751 (2014) √ La frecuencia ω(k) = k2 + m2 se puede determinar usando la ecuación de Klein-Gordon [8]. Usando la ecuacion (35) calculamos la carga generalizada, la cual se expresa por Q̂k = k σab 2(2π)3 Z h i aˆ† a (k), âb (k) − h i bˆ† a (k), b̂b (k) d3 x . (45) Referencias [1] L. Ryder; Quantum Field theory, segunda edición, 127129, Cambridge University Press (1996). [2] F. Takehisa; Symmetry and its Braking in Quantum Field Theory, 192-193, Nova Science Publishers, New York (2007). [3] A. Datta; Physics of the Large Hadron Collider, 48-54, Springer-Verlag, New York(2009). [4] H. Goldstein; Classical Mechanics, tercera edición, 696-703, Addison-Wesley (2002). Conclusiones En la representación de Heisenberg es posible calcular las ecuaciones dinámicas de los operadores de campo y momentum canónico para un campo escalar complejo bidimensional; la combinación de las ecuaciones dinámicas de estos operadores cumplen con la ecuación de klein-Gordon. El campo escalar complejo se expande en términos de los modos de frecuencia positiva para las partículas y de frecuencia negativa para las antipartículas. [5] F. Mandl y G. Shaw, Quantum Field Theory, Wiley & Sons, New York (1984). [6] F. Low; Classical Field Theory, 281-331, Wiley-VCH, Berlin (2004). [7] M. Razavy; Heisenberg’s Quantum Mechanics, 39-44, World Scientific, Singapore (2011). [8] S. Weinberg; The Quantum Theory of Fields, 293-294, Cambridge University Press, Cambridge (1995). Revista de Investigación de Física 17, 141701851 (2014) Estrategia para el estimado de los coeficientes de absorción y esparcimiento en medios participantes unidimensionales M. Berrocal Tito∗1 , R. F. Carita Montero1 , J. A. Bravo1 y A. J. da Silva Neto2 1 2 Facultad de Ciencias Físicas, Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Perú Departamento de Ing. Mecánica y Energía, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil Recibido 30 marzo 2014 – Aceptado 15 junio 2014 En este trabajo se presenta una estrategia para la estimación de los coeficientes de absorción y de dispersión en medios participantes de una dimensión. Se considera medios con el coeficiente de absorción en el intervalo [0.1-1.0] y el coeficiente de esparcimiento entre [0.1-1.0]. El problema directo fue resuelto con los métodos de ordenadas discretas y diferencias finitas. Para resolver el problema inverso se presenta la siguiente estrategia que consiste en (a) encontrar la estimativa del coeficiente de absorción considerando el coeficiente de esparcimiento con un valor aproximado a 0.01, (b) se estima el coeficiente de esparcimiento utilizando el valor de coeficiente de absorción ya calculado. La función error es definida como la diferencia entre el valor medido por el detector y el calculado por el problema directo. El algoritmo usado para la solución es minimizar la distancia de Bregman sujeto a la función error. La distancia de Bregman fue construida con la función relacionada a la entropía de Havdra-Charvát. Casos de prueba con ruido aleatorio hasta 2 % en los datos medidos son presentados. Con la finalidad de encontrar la mejor estimativa adoptamos como criterio de comparación de los resultados el error porcentual medio cuadrático. Palabras claves: problema inverso, distancia de Bregman, transferencia de calor, entropía de HavdraCharvát. Strategy for the estimation of the scattering and absorption coefficients in one-dimensional participating media In this work a strategy for the estimation of absorption and scattering coefficients in one-dimensional participating media is presented. Media are considered with the absorption coefficient in the range [0.1 to 1.0] and the scattering coefficient between [0.1-1.0]. The direct problem was solved with the discrete ordinates and finite difference methods. In order to solve the inverse problem the following strategy consists of (a) find the absorption coefficient considering the scattering coefficient with an approximate value. 0.01, (b) find the scattering coefficient value using the absorption coefficient estimated in (a). The error function is defined as the difference between the measured value by the detector and the calculated by the direct problem. The algorithm used for the solution is to minimize the Bregman distance subject to the error function. Bregman distance was constructed with a related function to the entropy of Havdra-Charvát. Cases random noise tests to 2 % in the measured data are presented. In order to find the best estimate we adopt as a criterion for comparison of the relative standard quadratic error. Keywords: inverse problem, Bregman distance, heat transfer, entropy Havdra - Charvát. do, llevando a problemas lineales de solución numérica más simple, pero que poseen aplicaciones tecnológicas relevantes. Dos ejemplos de esta simplificación son la tomografía computadorizada (Computerized Tomography, CT) [1], y la tomografía computadorizada por emisión de fotón único (Single Photon Emission Computerized Tomography, Diferentes tipos de radiación, tales como partículas neutras, cargadas y fotones han sido usados para a identificación de objetos en la industria, en ensayos no destructivos, así como en la medicina, para diagnóstico y terapia. En muchas de las técnicas usadas para la reconstrucción de imágenes, el esparcimiento en el medio no es considera∗ [email protected] 1 2 Rev. Inv. Fis. 17, 141701851 (2014) SPECT), [2]. Para los casos en que el esparcimiento no puede ser despreciado, tal como en la tomografía óptica infrarroja (Near Infrared Optical Tomography, NIROT), el modelo de reconstrucción de la imagen es más complejo y es no lineal. El análisis de la tomografía se encuentra en el mismo contexto del transporte de partículas neutras en los reactores nucleares y en la transferencia de calor por radiación térmica en los medios participantes, donde los fenómenos físicos relevantes como la absorción, emisión y esparcimiento son modelados por la ecuación de transferencia radiativa [3]. Este trabajo es parte de un proyecto para estimar los coeficientes de absorción y esparcimiento en medios de 2 dimensiones (2D) a partir de la solución unidimensional (1D). El método de ordenadas discretas tiene como desventaja la presencia del efecto rayo, cuando es empleado en un medio 2D [4, 5]. El efecto rayo no se presenta en una dimensión. Siendo este el motivo que se propone la aproximación 1D al 2 D [6]. Considerando Iwe e Iee los flujos que ingresan por los puntos de frontera del segmento xe , Figura 1, calculamos la intensidad Ie en el centro de cada segmento xe , mediante ∆x = xe+1 − xe y ∆Il,e = Iel,e − Iwl,e . (3) µl está dentro de los intervalos −1 ≤ µl ≤ 1. Entonces el valor positivo o negativo de µl describe 2 cuadrantes, Figura 2, en los cuales la radiación puede ser propagada o sufrir esparcimiento. El Problema Directo La ecuación de transporte de radiación en coordenadas cartesianas para un medio unidimensional en régimen permanente, considerando simetría azimutal, sin dependencia espectral, en un medio isotrópico y sin fuentes está dado por dIl (x) µl + σt (x)Tl (x) = Ql (x) , (1) dx donde Ql = Lo X σ s (x) wm Im (x) , 4π m=1 con l = 1, 2, ..., L0 ; 0 ≤ x ≤ L y −1 ≤ µ1 ≤ 1, además Il (x) es la intensidad de la radiación, x es la variable espacial, µl es el coseno de la dirección de propagación con el eje x (coseno del ángulo polar), σ s (x) es el coeficiente de esparcimiento, σ a ()x es el coeficiente de absorción, σt (x) = σ a (a) + σ s (x) es el coeficiente de extinción total. La discretización del dominio angular se realiza en lo ángulos sólidos Ωl , donde l = 1, 2, ..., L0 , y wl es el peso de la cuadratura asociada a la dirección l. El ángulo sólido Ωl alrededor del eje x va ser representada por los cosenos directores µl [3]. La Figura 1, presenta el problema físico a resolver en una placa larga de espesor Lx . El dominio espacial es discretizado en E intervalos regulares ∆x, como se aprecia en la Figura 1, la longitud del medio Lx es igual a Lx = E∆x. Producto de la discretización cada segmento espacial va ser identificado por un subíndice e. El centroide del segmento e (ver Figura 1) es determinado por xe = (2e − 1) ∆x . 2 Figura 1: Medio en una dimensión (arriba). Discretización del dominio espacial en diferencias finitas (medio). Aproximación por diferencias (abajo). Aproximando las derivadas por diferencias finitas en la ecuación (1) obtenemos ∆Il,e + σt,e Il,e = Ql,e ; l = 1, 2, ..., L0 , (4) ∆x y reemplazando la ecuación (3) en la ecuación (4), obtenemos Iel,e − Iwl,e µ1 + σt,e Il,e = Ql,e ; l = 1, 2, ..., L0 , (5) ∆x el valor de la intensidad Il,e puede ser aproximado a µ1 Il,e = γIel + (1 − γ)Iwl,e con γ = 0.5 (6) multiplicando la ecuación (5) por γ ∆x, obtenemos (2) µl (γIel,e − γIwl,e ) + γ∆xσt,e Il,e = γ∆xQl,e (7) 3 Rev. Inv. Fis. 17, 1417011851 (2014) donde l = 1, 2, ..., L0 . La intensidad Il,e puede viajar por dos cuadrantes, ver Figura 2. El cuadrante I indica una marcha para el este, con los cosenos directores µl > 0. El cuadrante II indica una marcha para el oeste con µl < 0. La intensidad Il,e para cada marcha es descrita a continuación. cualquier intensidad medida de un detector qe posicionado en un elemento e puede ser escrita como una función de la forma qe,medido = Fk (σ a , σ s ) . (14) El problema inverso Sean los vectores σ a y σ s formado por coeficiente de absorción y del coeficiente de esparcimiento en cada elemento de área, que son las incógnitas del sistema, a σ a = (σ1a , σ2a , . . . , σE ) Figura 2: Cuadrantes descritos por los cosenos directores µl . El cuadrante I, ocurre para µl > 0, la dirección de Il,e está en la dirección de Iw, luego reemplazando la ecuación 8 en la ecuación 7, se tiene 2µ1 Iwl,e + ∆xQl,e , = 2µl + σt,e ∆x Il,e (9) donde l = 1, 2, ..., L0 y e = 1, 2, ..., E. Considerando las condiciones de frontera entre los elementos de área adyacentes. Si e < E tenemos que Iwe+1 = Iee . En el cuadrante II, sucede para µl < 0, la dirección de Il,e está en la dirección de Ie, luego Iwl,e = 2Il,e − Iel,e , (10) reemplazando la ecuación 10 en la ecuación 7, se tiene Il,e = −2µl · Iel,e + ∆xQl,e −2µl + ∆xσt,e (11) donde l = 1, 2, ..., L0 y e = E, E − 1, ..., 1; considerando las condiciones de frontera entre los elementos de área adyacentes. Si e > 1, tenemos Iee−1 = Iwe . (12) Para determinar Ie necesitamos de Ql,e , observamos que Ql,e depende de Il,e . Por lo que es necesario utilizar un procedimiento iterativo para la obtención de una solución aproximada para Il,e . Sea h un contador de iteraciones. La ecuación 9 puede ser escrita como h Il,e h h−1 2µl Iwl,e + ∆xQl,e = , 2µl + σt,e ∆x donde h−1 Ql,e = L−0 X m=1 σS,e h−1 wm · Im,e y l = 1, 2, ...L0 , 4π Siendo E el número de elementos o segmentos en que esta particionado el medio. Las intensidades medidas exk perimentalmente se denotan por qmed con k = 1, . . . , K, donde K es el número total de datos experimentales. La función error Gk (σ a , σ s ), es definida como la difek rencia entre qmed y la intensidad calculada por el problema directo, Fk (σ a , σ s ), (8) Iel,e = 2Il,e − Iwl,e , (13) s σ s = (σ1s , σ2s , . . . , σE ) . (15) k Gk (σ a , σ s ) = qmed − Fk (σ a , σ s ) . (16) El método de máxima entropía está basado en la minimización de la distancia de Bregman D, restringida a la función error, mı́n D(σ, σ0 ) = G(σ) (17) siendo la distancia de Bregman [7] construida con una función convexa η, D(σ, σ0 ) = η(σ) − η(σ0 ) − h∇η(σ0 ), σ − σ0 i , (18) con E X ∂η h∇η(σ0 ), σ − σ0 i = (σe − σ0e ) , ∂σe σ=σ0 e=1 siendo σ0 una información a priori de valor σ. En este trabajo para la construcción de la distancia de Bregman se va utilizar la función convexa relacionadas a las entropías de Havdra-Charvát [8], definida por ηr (σ) = E X σe − σee , con r > 0 . 1−r e=1 (19) Para cada valor de r se tiene un η diferente, por tanto una distancia de Bregman diferente que puede ser usada en la construcción del lagrangiano Lr (σ, σo , λ) = D(σ, σ0 ) + K X [λk Gk (σ)] (20) k=1 donde λk son los multiplicadores de Lagrange, donde k = 1, . . . , K; observe que la Ec. 20 presenta como incógnita el vector σ formado por los σe donde e = 1, 2, . . . , E. Lo que da un total de (E + K) incógnitas. De las Ecs. 18, 19 y 20 obtenemos el lagrangiano 4 Rev. Inv. Fis. 17, 141701851 (2014) # " E K E E X X X X 1 r−1 r r [λk Gk (σ)] . (1 − rσ0e )(σe − σ0e ) + (σ0e − σ0e ) − (σe − σe ) − Lr (σ, σ0 , λ) = 1 − r e=1 e=1 e=1 (21) k=1 Si r → 1, " 2E X # K X σe L1 (σ, σ0 , λ) = − (σe − σ0e − σe ln [λk Gk (σ)] , )+ σ0e e=1 k=1 cuando r = 1, la función η coincide con la entropía de Shannon [11]. Para el estimado de las incógnitas σ a y σ s debemos resolver las Ecs. (21) o (22) según sea el caso, buscamos el punto crítico del lagrangiano, es decir, buscamos el σ , que haga tender a cero el lagrangiano. Para eso, igualamos a cero as derivadas del lagrangiano con respecto a todas sus incógnitas, ∂ L(σ, σ0 , λ) = 0, ∂σe e = 1, 2, . . . , E , ∂ L(σ, σ0 , λ) = 0, ∂λk k = 1, 2, . . . , K. (24) Nuestro objetivo es encontrar las mejores condiciones como son el mejor r, los mejores valores iniciales y el mínimo número de detectores a ser empleado, para estimar el coeficiente de esparcimiento considerando datos con ruido aleatorio. En todos los casos se considera que la intensidad de la fuente es igual a 1. t En la Fig. 3, los detectores qE y q1t , miden los flujos r r transmitidos y los detectores q1 y qE los flujos reflejados. Las intensidades de los detectores son calculadas por las ecuaciones wl Iel,E µl , l=1,µl >0 q1r = L0 X l=1,µl <0 wl Iwl,1 µl , l=1,µl >0 r qE = Lo X l=1,µl <0 (26) −wl Iel,E µl . Figura 3: Geometría usada para la posición de los detectores Resultados L0 X Lo X (23) Las ecuaciones 23 y 24 ofrecen (E +K) ecuaciones, por lo que ahora tenemos un sistema formado de (E + K) incógnitas y (E + K) ecuaciones; para resolver este sistema de ecuaciones, fue escrito un código en MATLAB. Este m-file hace uso de las herramientas encontradas en el Toolbox de optimización del MATLAB. La minimización de este sistema fue obtenida con los algoritmos Quasi-Newton y busca lineal. t qE = q1t = (22) (25) −wl Iwl,1 µl Es muy importante considerar la forma de cómo los datos, medidos en los detectores, van a ser empleados, pues ellos también influyen en el error para la estimación de σ a y σ s . Existen dos modos para ello, el primero, para la estimación del coeficiente de absorción se consideran las medidas t de 4 detectores, los transmitidos q1t y qE y los reflejados r q1r y qE . Mientras que en el segundo modo, para la estimación del coeficiente de esparcimiento se consideran solo r las medidas de los detectores reflejados q1r y qE . Buscando un número que nos indique la calidad de las estimaciones de las incógnitas, definimos el error porcentual medio v u E uX σe,exacto − σe,calculado 2 EP = 100 %t (27) σe,exacto e=1 donde el subíndice e indica un elemento discretizado del dominio y E el número total de segmentos. La validación de nuestro programa fue realizada comparando nuestros resultados con los resultados publicados [9, 10]. La Tabla 1, muestra el proceso de comparación. La tabla 2 presenta el conjunto de ángulos y pesos, LSH S10 , que discretiza el espacio angular, empleado en este trabajo. Se observa que el método empleado en este trabajo y el método de elementos finitos combinado con el LSH S10 son los valores más próximos a los valores exactos. 5 Rev. Inv. Fis. 17, 1417011851 (2014) σt Valores exactos Armónicos esféricos Pl Elementos Finitos LSH S10 Diferencias Finitas LSH S10 Diferencias Finitas Gauss-Legendre S20 0.0 0.1 0.5 1.0 5.0 1.0000 0.9157 0.7040 0.5532 0.2077 1.0000 0.9302 0.7273 0.5714 0.2105 1.0000 0.9138 0.7027 0.5530 0.2076 1.0000 0.9138 0.7026 0.5529 0.2078 1.0000 0.9145 0.7026 0.5517 0.2070 Tabla 1: Valores calculados de qmed para el problema propuesto por Fiveland [10]. Punto Número Ordenadas µl Pesos wl Punto Número Ordenadas µl Pesos wl 1 2 3 4 5 0.1372719 0.5046889 0.7004129 0.8523177 0.9809754 2.0122 2.1071 0.5990 1.1872 0.3778 6 7 8 9 10 -0.1372719 -0.5046889 -0.7004129 -0.8523177 -0.9809754 2.0122 2.1071 0.5990 1.1872 0.3778 Tabla 2: Puntos de colocación y peso de la cuadratura LSHS10 , L0 = 10. La estimación del coeficiente de absorción empleando la función ηr (σe ) = (σe − σer ) 1−r en la construcción de la distancia de Bregman se comienza encontrando el mejor valor de r. El mejor r va a depender de la información de los valores iniciales, del ruido en las medidas de los detectores y del número de detectores a ser empleados. Después de muchas pruebas se observó que σ a,s ∼ 10−6 proporcionan mejores resultados para minimizar el sistema de Ecs. (23) y (24), cuando no se tiene conocimiento alguno de los valores de las incógnitas. Figura 4: Error porcentual en la estimación de σa empleando diferentes valores r. Datos exactos. Aquí se presentan dos casos para encontrar el mejor r para estimar el σ a y σ s . En el primer caso, se obtiene el mejor r para la estimación de σ a considerando un valor de σ s conocido para un medio homogéneo dado. Para el cual empleamos los cuatro detectores que se consideran en el primer modo con valor un inicial σ a,0 = 10−6 . La Fig. 4(a) presenta los errores porcentuales en la estimación del coeficiente de absorción, AC, iguales a 0.1, 0.2, . . . , 1.0, usando datos de los detectores del primer modo y sin ruido aleatorio. En la Fig. 4(b) se tiene r entre 1 a 20. Obsérvase que r = 10 es un buen valor para ser utilizado en la construcción de la distancia de Bregman. En la Fig. 5(a) y 5(b) se observan los resultados de los errores porcentuales en la estimación de los coeficientes de absorción empleando valores de r ∈ [0.0, 1.0] y r ∈ [1.0, 10.0] con datos a los cuales se han adicionado ruido aleatorio hasta el 2 %, respectivamente. Figura 5: Error porcentual al estimar los coeficientes de absorción , σa , empleando (a) r = [0.1 − 1], y (b) r = [1 − 20], con 2 % de error en los datos. El segundo caso es la estimación de σ s con el σ a conocido para un medio determinado, para encontrar el mejor r se considera dos posiblidades, la primera ocurre cuando σ s > 0.1, aquí se emplea los detectores reflejados en el segundo modo y un valor de los coeficientes de esparcimiento inicial de σ s,0 = 10−6 . La Fig.6, presenta el error 6 porcentual en la estimación del coeficiente de esparcimiento (sc) en el intervalo de [0.1 − 1.0], empleando diferentes valores de r que varían entre 1 y 20. En la Fig. 6(a) se emplearon datos exactos y en la Fig. 6(b) se emplearon datos con ruido aleatorio hasta de 2 %. En este caso, un buen resultado se obtuvo con r = 6, para datos exactos y con ruido aleatorio. La segunda posibilidad ocurre cuando σ s ≤ 0.1, en la cual se emplean solo detectores reflejados y un valor de los coeficientes de esparcimiento inicial de σ s,o = 10−6 . La Fig. 7, presenta el error porcentual al estimar el coeficiente de esparcimiento (sc) en el intervalo de [0.01 − 0.1], empleando diferentes valores de r que varían entre 1 y 20. En la Fig. 7(a) se emplearon los datos exactos y en la Fig. 7(b) se grafican los datos con ruido aleatorio de hasta 2 %. En este caso un buen resultado se obtuvo con r = 3 , para datos exactos y con ruido aleatorio. Rev. Inv. Fis. 17, 141701851 (2014) reales experimentales estos algoritmos se vuelven inestables e inciertos como sucede en el caso que presentamos a continuación. En el experimento simulamos los datos exactos de cuatro detectores y realizamos las estimaciones para σ s > 0.1. En la Fig. 8(a) y (b) mostramos que los errores porcentuales son muy pequeños considerando que los datos mostrados en la Fig. 8(b) son datos incluyendo un ruido aleatorio menor a 0.5 %. Pero estos errores porcentuales son muy superiores a los errores porcentuales obtenidos en la Fig. 7(b) con ruido aleatorio de hasta 2 %. Figura 8: Error porcentual obtenido con cuatro detectores en la estimación de σs < 0.1 Figura 6: Error porcentual en la estimación de σs > 0.1, con diferentes valores de r. Los errores porcentuales de los dos primeros casos para estimar σ a y σ s , se disminuye si utilizamos los σ a y σ s obtenidos después de una corrida, como valores iniciales para resolver nuevamente el sistema de ecuaciones dados por la Ecs. (23) y (24), este proceso se repite de manera iterativa tal como se describe a continuación. Para la estimación de σ a y σ s , para un medio homogéneo, siendo ambos desconocidos procedemos a (1) minimizar las Ecs. (23) y (24) para la estimación de σ a empleando los datos de cuatro detectores y considerando σ a,0 = 10−6 , σ s = 0.001, r = 10 y calculamos σ̄ a = E X σea /E ; e=1 Figura 7: Error porcentual en la estimación de σs < 0.1, con diferentes valores de r. Ahora calculamos el parámetro r, cuando los valores iniciales de σ a y de σ s están entre el 10 y 15 %. Comparando los EP de las estimaciones de σ a y σ s , obtenidas variando los valores de r entre 0 y 20, encontramos que el mejor r fue para r = 4. En todo este proceso, el objetivo es determinar un algoritmo que nos proporcione una buena estimación de los coeficientes de absorción y esparcimiento al emplear datos con ruido aleatorio que simulen las medidas reales. Es posible encontrar los valores de r, que ofrecen muy buenos resultados cuando usamos datos exactos, sin embargo, cuando le adicionamos ruido aleatorio o utilizamos datos (2) minimizamos las Ecs. (23) y (24) para la estimación de σ s empleando los datos de los detectores reflejados, con σ s,0 = 10−6 , σ̄ a obtenido del proceso anterior, r = 6 y calculamos E X σ̄ s = σes /E ; e=1 (3) minimizamos nuevamente las Ecs. (23) y (24) para la estimación de σ a empleando los datos de los cuatro detectores, con σ a,0 = σ̄ a , σ̄ s obtenido del proceso anterior, r = 4 y calculamos σ̄ a = E X σea /E ; e=1 (4) minimizamos las Ecs. (23) y (24) para la estimación de σ s empleando los datos de los detectores reflejados, con 7 Rev. Inv. Fis. 17, 1417011851 (2014) σ s,0 = σ̄ s , con σ̄ a obtenido del paso anterior, con r = 4 y calculando E X σes /E ; σ̄ s = calculamos los dos coeficientes de los medios 1 y 2 σ̄1a = e=1 los procesos (3) y (4) se repiten iterativamente hasta obtener los errores porcentuales razonablemente bajos. En la Fig. 9, se presenta los errores porcentuales de los procesos 1 hasta el proceso 6, para el estimado de los coeficientes σ s y σ s , cuando se añade un ruido aleatorio de hasta 2 % en los datos de los detectores. σ̄2a = E2 X e=E1 +1 E1 X σea , E1 e=1 σea ; E2 − E1 (2) minimizar las Ecs. (23) y (24) para la estimación de σ s empleando los datos de los detectores reflejados con σ s,0 = 10−6 , σ̄1a y σ̄2a obtenidos en proceso anterior, con r = 6 y calculando σ̄ s = E2 X σes /E ; e=1 (3) minimizar las Ecs. (23) y (24) para la estimación de σ a empleando los datos de todos los detectores con σ a,0 = 10−6 , σ̄ s obtenido del paso anterior, r = 4 y calculando nuevamente σ̄1a = σ̄2a = E2 X e=E1 +1 E1 X σea , E1 e=1 σea ; E2 − E1 (4) minimizar las Ecs. (23) y (24) para la estimación de σ s empleando los datos de los detectores reflejados con σ s,0 = 10−6 , con σ̄1a y σ̄2a obtenidos en el proceso anterior, con r = 4 y luego calculamos σ̄ s = E2 X σes /E e=1 a partir de aquí los procesos (3) y (4) se repiten iterativamente hasta alcanzar un mínimo en los errores porcentuales. Para todos los procesos hemos considerando un ruido aleatorio menor a 1 % añadidos a las medidas de los detectores. Figura 9: Errores porcentuales obtenidos en la estimación de σa y σs , ambos obtenidos entre 0.1 − 1.0 usando datos con ruido aleatorio menores de 2 %. a Finalmente, procedemos a estimar los coeficientes σ y σ s para un medio formado por dos capas. El medio está esquematizado en la Fig. 10, donde las dos capas tiene una interface común y estimamos los coeficientes de absorción σ1a en el medio 1, σ2a en el medio 2 y el coeficiente de esparcimiento σ s para ambos medios. En este caso el procedimiento de cálculo iterativo de la estimación de los coeficientes de absorción y esparcimiento consiste en (1) minimizar las Ecs. (23) y (24) para la estimación de σ a empleando los datos de los cuatro detectores, con σ a,0 = 10−6 , con σ s = 0.09, con r = 10 y Figura 10: Geometría para el cálculo de los coeficientes de dos medios. La Fig. 11(arriba), muestra los errores porcentuales obtenidos al estimar los coeficientes de absorción y esparcimiento para 7 procesos de iteración. Se observa que los errores porcentuales disminuyen. La Fig. 11(medio) representa los resultados obtenidos para el coeficiente de absorción y esparcimiento, variando el medio 2, entre [0.1-1.0], el coeficiente de absorción en el medio 1 se mantiene en 0.3 y el coeficiente de esparcimiento en 0.5. La Fig. 11(abajo) muestra los resultados en la estimación del coeficiente de absorción obtenidos en 10 casos con ruido aleatorio hasta 8 de 1 %. La placa 1 tiene σ = 0.3 y la placa 2 σ a = 0.7, en ambas placas σ s = 0.5. Rev. Inv. Fis. 17, 141701851 (2014) Conclusiones El empleo de la distancia de Bregman construída con la funcional relacionada a la entropía de Havdra-Charvát proporciona un conjunto de resultados para cada parámetro de r. Encontramos que, cuando no se tiene un conocimiento previo de los valores a ser estimados, un valor óptimo para la estimación de del coeficinte de absorción es r = 10 y para la estimación del coeficiente de esparcimiento, r = 6. Usando en ambos casos como valor inicial del coeficiente respectivo 10−6 . En el caso que se tenga un conocimiento previo de los posibles valores de σ a y σ s , el valor óptimo del parámetro r para la estimacións de los coeficientes de absorción y esparcimiento es r = 4. Esta información es empleada como estrategia y descrita en los procesos de iteración descritos en la sección anterior. Los procesos iterativos 1-4 son los más importantes y la repetición de los procesos 3 y 4 ayuda a mejorar nuestras estimaciones. En un trabajo futuro pretendemos expandir el problema unidimensional para la estimación de σ a y σ s en un medio bidimensional. Agradecimientos Figura 11: Resultados con ruido aleatorio hasta el 1 %. Referencias [1] G. T. Herman, Image Reconstruction from Projections: The Fundamentals of Computerized Tomography, Academic Press (1980). M. J. Berrocal Tito y R. F. Carita Montero agradecen al profesor N. C. Roberty por las discusiones acerca del presente trabajo. [6] M. J. Berrocal Tito, N. C. Roberty, A. J. Silva Neto, J. B. Cabrejos; Anais V EMC 2002, pp. 284-294 (2002). [7] L. M. Bregman, USSR Comp. and Math. Phys. J. 7, 200 (1967). [2] F. Natterer y F. Wubbeling, Mathematical Methods Image reconstruction, segunda edición, SIAM, Philadelphia (2001). [8] J. Havdra y F. Charvat; Kybernetika 3, 30 (1967). [3] F. M. Modest, Radioative Heat Transfer, McGraw-Hill, Inc., New York (2013). [9] S. Chandrasekhar, Radiative Transfer, Dover Publications, New York (1960). [4] K. D. Lathrop, Nuclear Sci. and Eng. 32, 357 (1968). [10] W. A. Fiveland, J. Heat transfer 109, 809 (1987). [5] J. C. Chai, H. S. Lee y S. V. Pantakar; Numerical Heat Transfer 24(B), 373 (1993). [11] C. E. Shannon, Bell System Tech. J. 27, 379 (1948). Pautas para los autores: http://www.rif-fisica.org Título Título del artículo. En LATEX colocar: 15 Feb 09 & 6.0 & 6.1 & Sechura \\ \bottomrule \end{tabular} \captab{ ... . \label{tab1}} \end{tab} \title{Título del artículo} Autores Colocar el nombre de cada autor tal como los identifica en su historial científico. En LATEX colocar Las figuras deben tener los captions respectivos que expliquen los pormenores o contexto de las figuras. Por ejemplo \author{1}{A. Legano} \author{2}{Carlos Delgado} Afiliaciones Instituciones a donde pertenecen los autores. En LATEXcolocar \affil{1}{Afiliación del primer autor} \affil{2}{Afiliación del segundo autor} Resumen Sea breve. En LATEX escribir del modo siguiente: \begin{document} \maketitle \begin{res} Aquí va el resumen. \clav{Palabras claves en español} \end{res} \tit{title in english} \begin{abst} The abstract stay here. \key{The keywords here} \end{abst} Aquí comienza el tenor del artículo. Se sugiere usar el LATEX. Introducción Escriba la introducción del artículo aquí. Se expone el estado del arte de los antecedentes de la investigación realizada y se cita la literatura más relevante en el área de su trabajo. Teoría o experimento Se describe la teoría utilizada o el procedimiento experimental realizado. Resultados y análisis Se muestran los resultados teóricos, numéricos o experimentales. Las tablas deben poseer los captions que describan los datos o el contexto de las tablas. En LATEXescriba así \begin{tab} \begin{tabular}{lrrl} \toprule Fecha & NEIC & P.T. & Lugar \\ \midrule 02 Feb 09 & 6.0 & 5.8 & Pisco \\ % figura 1 \begin{fig} \includegraphics[scale=0.45]{fig1.ps} \capfig{ ... . \label{fig1}} \end{fig} Las figuras deben enviarse separadamente. No incluir las figuras en el texto del artículo. Se requiere que las figuras tengan una buena resolución. Los formatos aceptados son Postscript, Encapsulated Postscript, PDF, svg. Con alta resolución se aceptan los formatos png, gif, jpeg, tiff, bmp. Conclusiones Las conclusiones van aquí. Agradecimientos Los agradecimientos por apoyo financiero, becas y contratos van aquí. Se puede individualizar los agradecimientos usando las iniciales de los nombres de los autores. Referencias Las citas de la literatura deben indicarse en números arábigos encerrados entre corchetes. Si usa el LATEX colocar de la forma siguiente: \begin{thebibliography}{5} \bibitem{1} J.D. Mac Brayer, R.M. Swanson y T.W. Sigmon; J. Electrochem. Soc. \textbf{133}, 1242 (1986). \bibitem{2} S. Das Sarma, G. Gervais y Xiaoqing Zhou; arxiv:cond-mat 1007.1688. \bibitem{3} Feng Duan y Jin Guojun; Introduction to Condensed Matter Physics; World Scientific, Singapore (2005). \end{thebibliography} Las referencias de artículos se presentan por los nombres de los autores, iniciales de primeros nombres y apellido(s), el acrónimo de la revista, volumen en negrita, página inicial o código del artículo y el año entre paréntesis. Las referencias de libros son por autores (nombres y apellido(s)), título del libro en cursiva, páginas o volumen (si el autor considera necesario), editorial, ciudad (año). Las tesis se deben referenciar como libros, donde la editorial es la universidad. Revista de Investigación de Física Volumen 17 2014 Número 1 Materia condensada Sistemas cristalinos bidimensionales. Two dimensional crystalline systems; D. I. Arrieta, Y. E. Huamán, M. C. Gutiérrez, R. A. Montalvo y P. H. Rivera 141701101 Composition and thickness of gold and silver nose decorations from the tomb of the Lady of Cao determined by combining EDXRF-analysis and X-ray transmission measurements. Composición y espesor de las decoraciones nasales de oro y plata provenientes de la tumba de la Dama de Cao determinados por la combinación del análisis EDXRF y las medidas de transmisión de rayos X ; R. Cesáreo, G. Gigante, J. Fabián, S. Zambrano, R. Franco, A. Fernández y A. Bustamante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141701102 Física de suelos Análisis mineralógico de la fracción arcilla de suelos tropicales del Perú por difractometría de rayos X y espectroscopia Mössbauer. Mineralogical analysis of the clay fraction of tropical soils from Peru by X-ray diffractometry and Mössbauer spectroscopy ; Mirian E. Mejia y Jorge A. Bravo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141701401 Dinámica de fluidos Diseño aerodinámico de un túnel de viento de bajas velocidades. Aerodynamical design of a low velocities wind tunnel ; C. A. Quispe Gonzáles, W. J. Urcuhuaranga Esteban y J. E. Chiroque Baldera 141701601 Enseñanza de la física Dinámica de los operadores de un campo escalar complejo bidimensional en la representación de Heisenberg. Dynamic of the complex two-dimensional scalar field operators in the Heisenberg representation; Fulgencio Villegas Silva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141701751 Física computacional Estrategia para el estimado de los coeficientes de absorción y esparcimiento en medios participantes unidimensionales. Strategy for the estimation of the scattering and absorption coefficients in one-dimensional participating media; M. Berrocal Tito, R. F. Carita Montero, J. A. Bravo y A. J. Silva Neto . . . 141701851