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Matemáticas
Secundaria y media
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Estructura de la serie
El proyecto Los Caminos del Saber Secundaria y media es un programa
de educación con soluciones tecnológicas que apoyan el libro de texto
para que docentes y estudiantes enriquezcan sus experiencias de enseñanza y aprendizaje.
Este proyecto ofrece:
1. Libro del estudiante
Responde a las exigencias planteadas por el Ministerio de Educación Nacional y que promueve
el desarrollo de competencias.
2. Edición para el docente
Incluye una guía de planeación con una gran variedad de recursos, para apoyar la planeación y
la práctica diaria en el aula.
Allí encuentra:
• Competencias generales para el grado
• Estándares básicos de competencias
• Escala de valoración
• Plan de trabajo por bimestres
Organiz
ador
• Matrices de desempeño
1
• Organizadores conceptuales
Logros
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Temas de
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3. Tics para el estudiante y para el docente
Caminos del Saber Matemáticas Secundaria ofrece un Libromedia en
DVD para cada grado que:
• No requiere conectividad, facilita la práctica docente y se puede personalizar.
• Contiene una amplia variedad de recursos virtuales de aprendizaje y
ofrece múltiples alternativas de estrategias didácticas.
• Se vincula a las aulas como una oportunidad para aumentar la eficacia
en el aprendizaje, a la vez facilita la comprensión de algunos temas difíciles o complejos.
• Cuenta con recursos digitales asociados a los contenidos y herramientas que permiten destacar información, incluir imágenes y desplegar
otras funciones de gran utilidad.
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• Además, ofrece un sitio web: Santillana plus
www.santillanaplus.com.co con:
− Más recursos interactivos y multimedia, en permanente actualización que agregan valor a los procesos educativos.
− Una aplicación Appes (aplicación de pruebas y planeación
Escolar Santillana).
− Acceso al CES (constructor de evaluaciones Santillana) que
permite al docente personalizar las pruebas con las que evaluará a sus estudiantes.
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Estructura de una unidad
Página inicial
Al comienzo de cada unidad se encuentra una página de apertura,
que presenta al estudiante los temas que se abordarán y los logros
que debe alcanzar. Se enumeran los contenidos, las actividades y
las evaluaciones que se encuentran en el libromedia.
Desarrollo de contenidos
El desarrollo de los contenidos está acompañado de ejercicios y
de situaciones en contexto, cuya solución se explica paso a paso.
Además se encuentran actividades para desarrollar competencias.
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En el desarrollo de las temáticas también se encuentran:
En estos recuadros se
encuentran datos acerca
de los acontecimientos
históricos relacionados
con la temática que se
está trabajando.
Propone
preguntas acerca
de la teoría que se
está trabajando.
Este recuadro recuerda
información clave para que
los estudiantes puedan
comprender mejor la teoría.
En estos cuadros se encuentra
una pregunta acerca del tema
siguiente para que se prepare
para la próxima clase.
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Al final de la unidad se encuentran
Ejercicios para repasar
Es una selección de actividades de cada tema para que el estudiante repase y responda allí mismo.
Problemas para repasar
Presenta un problema de alguna de las temáticas y propone más
problemas para que el estudiante resuelva. Contiene espacios para
responder ahí mismo.
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Secciones especiales
Y esto que aprendí, ¿para qué me sirve?
Presenta una lectura para que el estudiante lea y analice situaciones que tienen aplicación con la temática estudiada.
Y esto que aprendí, ¿para qué me sirve?
Galería de
imágenes
…Para saber cómo se genera
una radiografía.
…También sirve para
determinar la velocidad
en las montañas rusas.
Una radiografía es una imagen que se toma del cuerpo
humano, se registra en una placa fotográfica o de forma
digital y sirve para analizar partes del sistema óseo del
cuerpo especialmente. Esta imagen se genera cuando se expone el receptor de imagen radiográfica a una fuente
de radiación de alta energía procedente de isótopos radiactivos. Las sustancias radiactivas que se necesitan para
tomar una radiografía se producen con un dispositivo
denominado ciclotrón.
La montaña rusa debe su nombre a los grandes toboganes de madera que se construían en Rusia para lanzar
trineos deslizables sobre nieve. Posteriormente, apareció
en Francia un modelo de montaña rusa en el que se
adaptaron rieles y vagones. Esta idea de montaña rusa
se introdujo en Estados Unidos como una atracción popular llamada Roller coaster. En la actualidad, la montaña
rusa es una de las atracciones mecánicas más llamativas
para las personas y se utiliza en ferias o parque temáticos
alrededor del mundo, donde se pueden encontrar las más
rápidas, extensas, vertiginosas o altas.
El ciclotrón es un dispositivo de tipo circular que permite acelerar partículas subatómicas a grandes velocidades
hasta hacerlas chocar con un blanco, produciendo una
reacción nuclear, y así generar elementos radiactivos.
Su funcionamiento inicia con el ingreso de un protón
(partícula subatómica con carga eléctrica positiva) en
dos semicírculos llamados D’s por su forma de “d mayúscula”. Gracias a la interacción de campos eléctricos y
magnéticos la partícula se mueve en forma espiral como
se muestra en la figura 1.
Básicamente la montaña rusa consiste en el desplazamiento de uno o más vagones por medio de un riel que
tiene altibajos, de tal forma que los vagones alcanzan,
en algún punto del riel, una altura máxima desde la que
caen libremente aprovechando la energía potencial gravitacional que alcanzan.
1. Calcula la energía con que sale un protón al pasar por
un ciclotrón de campo magnético de 0,4 T y radio
1,2 m.
2. Completa la tabla con la energía de cada protón para
los diferentes radios y realiza la gráfica de K respecto
a R para un campo magnético de 0,52 T.
0,6
Radio (m)
Energía (J)
0,8
1,0
1,2
A continuación se relacionan las montañas rusas más
altas del mundo.
Nombre
1,4
3. ¿Cuál es el radio requerido de un ciclotrón para acelerar protones hasta una energía de 7,06 3 10210 J
utilizando un campo magnético de 4,8 T?
Figura 1. Trayectoria espiral del protón sobre el ciclotrón.
115 metros
126,5 metros
128 metros
Kingda ka
Jersey, Estados Unidos
139 metros
v2 5 2gh
Donde v es la velocidad final del objeto, g es la constante
gravitacional cuyo valor aproximado es 9,8 m/s2 y h es la
altura de la cual cae libremente el objeto.
Ciclotrón de Medical Systems utilizado
para el tratamiento de tumores cancerosos.
Altura
Australia
Ohio, Estados Unidos
La relación es:
q2 B2 R2
2m
La energía (K) del protón cuando sale del ciclotrón depende del cuadrado del radio (R) de los semicírculos. (q)
es la carga del protón equivalente a 1,6 3 1029 C, (B) es
el campo magnético al cual se somete el protón cuando
viaja por el ciclotrón y (m) es la masa del protón equivalente a 1,67 3 10227 kg.
Figura 1. La montaña rusa Kingda ka ubicada en Jersey
tiene 139 metros de altura.
Ubicación
California, Estados Unidos
Top thrill dragster
Existe una expresión proveniente de la energía cinética y
la energía potencial que relaciona la velocidad y la altura
a la que cae libremente un objeto como sucede en las
montañas rusas más altas del mundo.
Cuando alcanza la energía necesaria, la partícula choca
con el blanco y la energía de la partícula subatómica se
puede calcular de acuerdo con la siguiente expresión:
K 5
Tower of terror II dreamword
Superman Escape of krypton
158
1. Calcula la velocidad máxima que se alcanza en cada
una de las montañas rusas mencionadas en la tabla.
2. La energía cinética es la energía en movimiento que
poseen los cuerpos y se halla mediante la expresión:
2
E C 5 mv
2
Si un vagón de la Kingda ka con 10 personas tiene
una masa aproximada de 1.200 kg, ¿cuál es su energía
cinética máxima?
1 59
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Trabaja con…
Presenta diferentes programas informáticos para que el estudiante desarrolle los temas de la unidad. Propone programas que no
necesitan licencias, se pueden descargar libremente y tampoco
tienen límite de tiempo para su uso.
Trabaja con Winplot
Objetivo:analizarlagráficadelafunciónf(x)5ax21bx1c,apartirdelavariacióndelosparámetrosa, byc,
reconociendoloselementosdelafuncióncuadrática.
10
Descripción:representarunafuncióncuadráticaparticularydespuéslafamiliadefuncionesf(x)5ax21bx1c,
enelprogramaWinplot.Luego,hacervariarlosparámetrosa, bycparaencontrargeneralidadesyformular
conclusionesacercadelascaracterísticasdelagráficadeunafuncióncuadrática.
ParaaccederaWinplot,ingresaydescarga
elprogramaenwinplot.softonic.com
1
6
Haz doble clic en el icono wplotsp.exe.
2
Activa la opción Ventana y selecciona 2-dim.
3
Activa la opción Ecua, en el menú y selecciona
Explicita. Luego, en la ventana que se despliega, escribe la expresión x2 1 2x 2 3, como se
observa en la ilustración.
7
f(x) =
-3.00000
Ceros
5.00000
densidad de dibujo 1
ok
A
Haz clic en ok y observa dos ventanas: la gráfica de la función y otra que se denomina inventario.
8
sinnombre1.wp2
Archivo
Ecua
Ver
Btns
y = x 2 + 2x - 3
4
Una
Dos
Anim
Misc
3
siguiente extremo de
4
Coordenadas
del vértice.
-4
como
En la ventana inventario observa qué pasa
cuando haces clic en las herramientas editar,
gráfico,ecuación y tabla. Describe en tu cuaderno lo que ves en cada una.
9
editar
borrar
gráfico
ecuación
dupl
nombre
copiar
derivar
tabla
red
familia
-2
-5
Responde las siguientes preguntas a partir de
las gráficas de funciones cuadráticas.
Ecua
Ver
Btns
Una
Dos
Anim
Misc
y
4
3
2
1
x
-4
-3
f(x) 5 x2 1 4x 1 3
-2
-1
1
2
3
4
f(x) 5 2x2 2 20x 1 57
d. f(x) 5 26x2 2 12x 2 5
16
Resuelve el siguiente problema aplicando el
programa de Winplot.
Se lanza una pelota de béisbol a través de un
campo de juego a partir de una altura de 0,8
metros sobre el suelo, en un ángulo de 45°
respecto a la horizontal, a una velocidad de
8,5 m/s. Aplicando las leyes de la física sobre
la trayectoria de la pelota es posible establecer
una función para la altura (y) de la pelota en
términos de la distancia recorrida (x), así:
-1
-2
f (x) � �
cerrar
a. ¿Cuál es el color de la gráfica de la función
cuadrática si a . 1?
ax 2+bx+c
x inf
-5.00000
x sup
5.00000
ok
b. ¿Cuál es el color de la gráfica de la función
cuadrática si a , 0?
hacer periódica
densidad de dibujo 1
cancelar
9, 8 2
x � x � 0, 8
72, 25
-4
y = f(x)
ancho de lápiz 1
4
-4
Para ello, cambia los parámetros de a, b y c,
según corresponda.
13
cerrar
bloquear el intervalo
y = x 2 + 2x - 3
3
Realiza la representación gráfica de cada función en el programa Winplot. Luego, halla los
ceros de la función y encuentra las coordenadas exactas del vértice.
a.
Y
Repite el paso 3 con f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, como
se observa en la ilustración.
f(x) =
inventario [sinnombre1.wp2]
2
b. f(x) 5 2x2 1 6x 1 4
-3
5
1
-3
X
A
-1
cerrar
c.
x = -1.00000
y = -4.00000
guardar
-3
-2
def D
diapositivas
Función cuadrática.wp2
2
-2
Misc
y
15
Archivo
1
-1
Anim
1
-3
Flechas
auto cicl
23
y = x 2 + 2x - 3
x
-1
Dos
4
Utiliza Winplot para analizar las siguientes funciones cuadráticas:
valores extremos
1
-2
Una
x
auto rev
automostrar
Activa la opción Una, en el menú, y selecciona
Extremos. Luego, en la ventana que se despliega aparecen las coordenadas del vértice de
la gráfica de la función f(x) 5 x2 1 2x 2 3, como
aparece en la figura.
2
-3
Btns
2
f(x) 5 ax2 1 bx
y
3
-4
Ver
3
f(x) 5 ax2 1 bx 1 c
4
Ecua
-1
f(x) 5 ax2 1 c
cerrar
graficar punto
ayuda
Archivo
-4
0.00000
f(x) 5 ax2
siguiente
guardar x como
color
cancelar
Determina por ensayo y error en Winplot, la
ecuación de la función cuadrática que aparece
en la siguiente figura. Luego, encuentra las
coordenadas exactas del vértice.
valor actual de A
def l
12
y = x 2 + 2x - 3
hacer periódica
-5.00000
ancho de lápiz 1
14
Despliega la herramienta Anim del menú, selecciona la opción Parámetros A-W. En ella
podrás cambiar los valores de a, b y c seleccionando cada parámetro y moviendo las flechas
hacia la derecha o la izquierda.
A
ceros
x 2+2x-3
bloquear el intervalo
x inf
Haz clic en ok y observa que la gráfica es una
línea recta. Esto sucede porque el programa
asigna los valores de a, b y c igual a cero (por
defecto).
Parámetro
Activa la opción Una, en el menú, y selecciona
Ceros. Luego, en la ventana que se despliega,
identifica los ceros de f(x) 5 x2 1 2x 2 3. Haz
clic en siguiente para encontrar otros ceros,
como se ve en la figura.
y = f(x)
x sup
11
Observa en la herramienta tabla, los cortes de
la función f(x) 5 x2 1 2x 2 3 con los ejes e identifica el vértice. Luego, confirma con la gráfica
de la función que sean los mismos.
c. ¿Qué diferencias encuentras entre las gráficas de las funciones representadas en
Winplot? Escribe dos.
color
ayuda
0,8 m
x
Encuentra la altura máxima que alcanza la pelota de béisbol.
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−Geogebra
−Wirirs
− Stadis 1.05
−Excel
−Geonext
−Winplot
− Smart Studio
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Hiperpágina
Propone la ampliación de uno de los temas de la unidad, de una
manera visual para facilitar su comprensión.
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Fortalezas de Caminos del Saber Matemáticas
Secundaria
• En la serie se maneja con propiedad el lenguaje propio de las
matemáticas.
• Los Caminos del Saber traen una cronología (línea de tiempo)
que cuenta a los estudiantes la historia de cada una de las temáticas trabajadas en cada unidad.
• Contiene mayor cantidad de ejercicios (para cada temática explicada y en general por unidad). Y las actividades que
se proponen inmediatamente después de la teoría están de
acuerdo con la temática tratada y el nivel de los estudiantes.
• Las actividades en Caminos del Saber Matemáticas se encuentran ordenadas de menor a mayor dificultad, y son clasificadas
según los procesos de matemáticas: ejercitar, razonar, modelar
comunicar y solucionar problemas con el fin de que los profesores puedan evaluar esos procesos en sus estudiantes, también en las competencias interpretar, argumentar y proponer.
• En la serie se proponen ejercicios y problemas con espacio para
responder allí mismo (se pueden utilizar como taller de repaso).
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• Se enseña un procedimiento claro y sistemático para resolver
problemas mediante pasos, en el cual se plantea un problema y
se explica cómo se resuelve de principio a fin.
• En la sección Trabaja con, se proponen programas que no tienen necesidad de utilizar licencia.
• Integra de manera efectiva los contenidos impresos con los
contenidos digitales. El libro del estudiante indica los objetos
digitales que se relacionan con los contenidos del libro y se
pueden encontrar en el Libromedia o en la página web.
• Las evaluaciones que hay por unidad están relacionadas en la
página inicial y tienen el estilo de las que propone el estado,
esto hace que los estudiantes se enfrenten a una prueba lo más
real posible, y no se limiten a responder un cuestionario de selección múltiple.
• Se ofrece un gran número de objetos digitales de aprendizaje que favorecen la consolidación y apropiación de los conocimientos. En el libromedia encuentran: galerías de imagen,
actividades interactivas, recursos imprimibles, ampliaciones,
enlaces web y audios.
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