Investigación de Operaciones I Problemas de Programación Lineal

Transcripción

Investigación Operativa I
Programación Lineal
EJERCICIOS DE PROGRAMACION LINEAL
1. RMC es una empresa pequeña que produce diversos productos químicos. En un
proceso de producción en particular se utilizan tres materia primas para elaborar
dos productos: un aditivo para combustible y una base disolvente. El aditivo para
combustible se vende a empresas petroleras y se utiliza en la producción de
gasolina y otros combustibles relacionados. La base disolvente se vende a varias
empresas químicas y se utiliza tanto para productos de limpieza para el hogar
como industriales. Para formar el aditivo para combustible y la base de
disolvente de mezclan tres materia primas, según apara ce en la siguiente tabla.
NECESIDADES DE MATERIA PRIMA POR TONALADA
Materia Prima
Producto
1
2
3
Aditivo para combustible
2/5
0
3/5
Base disolvente
1/2
1/5
3/10
Utiliza ½ toneladas de materia prima 1 en cada tonelada de base de disolvente.
La producción de RMC está limitada por la disponibilidad de las tres materia
primas. Para el período de producción actual, RMC tiene disponibles las
cantidades siguientes de cada una de las materia primas
Materia Prima
Materia prima 1
Materia Prima 2
Materia prima 3
Cantidades disponibles
para la producción
20 toneladas
5 toneladas
21 toneladas
Debido a deterioro y la naturaleza del proceso de producción, cualquier
materia prima que no se utilice para producción actual resulta inútil y debe
descartarse.
El departamento de control de calidad ha analizado las cifras de producción,
asignando todos los costos correspondientes, y para ambos productos llegó a
precios que resultarán en una contribución a la utilidad de 40 dólares por
tonelada de aditivo para combustible producida y de 30 dólares por cada
tonelada de base disolvente producido. La administración de RMC, después de
una análisis de la demanda potencial, ha concluido que los precios
establecidos asegurarán la venta de todo el aditivo para combustible y de toda
la base disolvente que se produzca.
El problema de RMC es determinar cuántas tonelada de cada producto deberá
producir para maximizar la contribución total de la utilidad. Si Ud. Estuviera a
cargo de la programación de la producción para RMC. ¿qupe decisión tomaría?
Esto es, ¿Cuántas tonaladas de aditivo para combustible y cuántas toneladas
Oswaldo Paul Rivadeneira
Página: 1
de base disolvente produciría usted para el período actual de producción?
Escriba sus decisiones abajo y encuentre sus resultados.1
Solución:
Diseño del modelo matemático:

Definición de variables
X1 = número de toneladas de aditivo para combustible
X2 = número de toneladas de base disolvente

Función objetivo:
Maximizar la contribución a la utilidad, Z = 40 X1 + 30 X2

Restricciones
Toneladas de materia prima 1 2/5X1 + 1/2X2 ≤ 20
Toneladas de materia prima 2
1/5X2 ≤ 5
Toneladas de materia prima 3 3/5X1 + 3/10X2 ≤ 21

No negatividad
Xi ≥0; i=1,2
Entrada de datos para Solver
Salida de resultados
1
Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial
Thomson. Página 220.
Página: 2
Informe del problema:
Orden de producción:
25 toneladas de aditivo
20 toneladas de base disolvente
con:
20 toneladas de materia prima 1,
4 toneladas de materia prima 2, y
21 toneladas de materia prima 3
2. Innis Investments administra fondos de empresas y clientes pudientes. La
estrategia de inversión se adecua a las necesidades de cada cliente. Para un
cliente nuevo, a Innis se le ha autorizado invertir hasta 1’200.00 dólares en
fondos de inversión: un fondo de acciones y un fondo del mercado de dinero.
Cada unidad del fondo de acciones cuesta 50 dólares, con una tasa de
rendimiento anual de 10%; cada unidad del fondo de mercado de dinero cuesta
100 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 4%.
El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso anual sobre
la inversión de por lo menos 60.000 dólares. De acuerdo con el sistema de
medición del riesgo del Innis, cada unidad adquirida en el fondo de acciones
tiene un índice de riesgo del 8, y cada unidad adquirida en el fondo de
mercado de dinero tiene un índice de riesgo de 3. El índice de riesgo más
elevado con el fondo de acciones indica, simplemente que se trata de un a
inversión más riesgosa. El cliente de Innis también ha especificado que se
inviertan por lo menos 3.000 dólares en el fondo de mercado de dinero.
¿Cuántas de cada uno de los fondos deberá adquirir Innis para el cliente, si el
objetivo es minimizar el índice de riesgo total para esa cartera?2
Solución:
Diseño del modelo matemático:

X1 = número de unidades adquiridas en el fondo de acciones
X2 = número de unidades adquiridas en el fondo del mercado de
dinero

Función objetivo:
Minimizar el riesgo, Z = 8 X1 + 3 X2

Restricciones
Fondos disponibles 50X1 + 100X2 ≤ 1’200.000
Ingreso anual
5 X1 +
4X2 ≥ 60.000
Unidades en fondo
100X2 ≥ 3.000
2
Página: 3

No negatividad
Xi ≥0; i=1,2
Datos de salida del Solver
Informe de asesoría:
Innis Investments aconseja al cliente que adquiera 400 unidades a 50 dólares
cada una en Acciones y 10.000 unidades a 100 dólares cada en el mercado de
dinero para obtener una ganancia de 62.000 dólares al año.
3. PAR es un pequeño fabricante de equipo y accesorios para golf cuyo distribuidor
lo convenció de que existe un mercado tanto para la bolsa de golf de precio
medio, conocida como modelo estándar, como para una bolsa de golf de precio
elevado, conocida como modelo deluxe. El distribuidor tiene tanta confianza en
el mercado que si PAR puede fabricar las bolsas a un precio competitivo, el
distribuidor está de acuerdo en adquirir todas las bolsas que PAR pueda fabricar
en los siguientes tres meses. Un análisis cuidadoso de los requerimientos de
fabricación dieron como resultado la tabla siguiente, que muestra las
necesidades de tiempo de producción para las cuatro operaciones de
manufactura requeridas y la estimación por parte del departamento de
contabilidad de la contribución a la utilidad por bolsa.
Tiempo de producción
Corte
y Costura
Terminado
Inspección
Utilidad por
Página: 4
Producto
Estándar
Deluxe
teñido
7/10
1
1/2
5/6
1
2/3
y empaque
1/10
1/4
Bolsa
$10
$9
El director da manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarán
disponibles 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de tiempo de
costura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspección
y empaque para la producción de las bolsas de golf.
a)
b)
c)
d)
Si la empresa desea maximizar la contribución total a la
utilidad,¿Cuántas bolsas de cada modelo deberá fabricar?
¿Qué contribución a la utilidad puede obtener PAR de estas cantidades
de producción?
¿Cuántas horas de producción se programarán para cada operación?
¿Cuál es el tiempo de holgura de cada operación?3
Solución:
Formulación del modelo:
 Definición de variables
X1 = Cantidad de unidades de bolsas de golf estandar
X2 = Cantidad de unidades de bolsas de golf de lujo

Función Objetivo
Z max = 10X1 + 9X2

Restricciones
0.7X1 + 1.0X2 ≤ 630 Horas de Corte y teñido
0.5X1 + 0.8334X2 ≤ 600 Horas de Costura
1.0X1 + 0.6667X2 ≤ 708 Horas de Terminado
0.1X1 + 0.25X2 ≤ 35 Horas de Inspección y Empaque

No negatividad
Xi ≥0; i=1,2
Solución gráfica:
3
Thomson. Página 264. Problema 15.
Página: 5
Entrada de datos Solver:
Solución Solver:
Página: 6
a) Debe fabricar 539,98 bolsas de golf estándar y 252,01 bolsas de golf de
Lujo.
b) Contribución total = $ 7.667,942
c) Se programarán 620 horas de Corte y Teñido, 480.02 horas de Costura,
708 horas de Terminado y 117 horas de Inspección y Empaque.
d) Los tiempos de holgura son de 119.98 para Costura y 18 horas para
Inspección y Empaque. Las operaciones de Corte y Teñido, y Terminado no
tienen holgura.
4. PAR es un pequeño fabricante de equipo y accesorios para golf cuyo distribuidor
lo convenció de que existe un mercado tanto para la bolsa de golf de precio
medio, conocida como modelo estándar, como para una bolsa de golf de precio
elevado, conocida como modelo Deluxe. El distribuidor tiene tanta confianza en
el mercado que si PAR puede fabricar las bolsas a un precio competitivo, el
distribuidor está de acuerdo en adquirir todas las bolsas que PAR pueda fabricar
en los siguientes tres meses. Un análisis cuidadoso de los requerimientos de
fabricación dieron como resultado la tabla siguiente, que muestra las
necesidades de tiempo de producción para las cuatro operaciones de
manufactura requeridas y la estimación por parte del departamento de
contabilidad de la contribución a la unidad por bolsa.
Producto
Estándar
Deluxe
Tiempo de producción
Corte
y Costura
teñido
7/10
1/2
1
5/6
Terminado
1
2/3
Inspección
y empaque
1/10
1/4
Utilidad por
Bolsa
$10
$9
El director da manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarán
disponibles 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de tiempo de
costura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspección
y empaque para la producción de las bolsas de golf.
Resuelva el problema descrito y luego responda a las siguientes preguntas:
a)
b)
c)
El departamento de contabilidad revisa su estimación de contribución a
la utilidad para la bolsa Deluxe a 18 dólares por bolsa.
Aparece disponible una nueva materia prima de bajo costo para la bolsa
estándar, y la contribución a la unidad por la bolsa estándar puede
incrementarse a 20 dólares por bolsa. (suponga que la contribución a la
utilidad por la bolsa Deluxe es el valor original de 9 dólares)
Se puede obtener nuevo equipo de costura que incrementará la
capacidad de operación de costura a 750 horas.(suponga que 10X1 +
9X2 es la función objetivo apropiada)
Página: 7
Si cada una de estas situaciones se encuentra por separado, ¿Cuál sería la
solución óptima y la contribución total a la utilidad?4
Solución:
X1 = Cantidad de unidades de bolsas de golf estandar
X2 = Cantidad de unidades de bolsas de golf de lujo

Función Objetivo
Z max = 10X1 + 9X2

Restricciones
0.7X1 + 1.0X2 ≤ 630 Horas de Corte y teñido
0.5X1 + 0.8334X2 ≤ 600 Horas de Costura
1.0X1 + 0.6667X2 ≤ 708 Horas de Terminado
0.1X1 + 0.25X2 ≤ 135 Horas de Inspección y Empaque

No negatividad
Xi ≥0; i=1,2
X2
700
Solución
GLP
665
630 Payoff: 10.0000 X1 + 9.0000 X2 = 7667.9417
595
560
525
490
455
: 0.5000 X1 + 0.8334 X2 = 600.0000
420
385
350
: 0.1000 X1 + 0.2500 X2 = 135.0000
315
: 0.7000 X1 + 1.0000 X2 = 630.0000
280
245
210
175
: 1.0000 X1 + 0.6667 X2 = 708.0000
140
105
70
35
0
0
60
120
180
240
300
360
420
480
540
600
660
720
780
840
900
960
Optimal Decisions(X1,X2): (539.9842, 252.0110)
: 0.7000X1 + 1.0000X2 <= 630.0000
: 0.5000X1 + 0.8334X2 <= 600.0000
: 1.0000X1 + 0.6667X2 <= 708.0000
: 0.1000X1 + 0.2500X2 <= 135.0000
4
Página: 8
1020
1080 1140
12
Entrada de datos Solver:
Solución Solver:
a)
b)
Página: 9
c)
La solución óptima es la alternativa b) donde se incrementa la contribución a
la utilidad de las bolsas estándar a $20 y su contribución total es de $ 14.160
fabricando sólo bolsas de golf estándar.
5. Kelson Sporting Equipment fabrica dos modelos de guantes de béisbol: uno
normal y una manopla de catcher. La empresa tiene disponibles 900 horas de
tiempo de producción en su departamento y corte y costura, 300 horas
disponibles en el departamento de terminado y 100 horas disponibles en el
departamento de empaque y embarque. Los requerimientos de tiempo de
producción y la contribución a la utilidad de cada uno de losa productos es:
Modelo
Normal
Catcher
Tiempo
Corte
y
costura
1
3/2
de producción(horas)
Terminado Empaque y Utilidad por
Guante
embarque
1/2
1/8
$5
1/3
1/4
$8
Suponga que la empresa está interesada en maximizar la contribución total de
la utilidad.
a)
b)
¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema?
Encuentre la solución óptima. ¿Cuántos guantes de cada modelo deberá
fabricar Kelson?
Página: 10
c)
d)
e)
¿Cuál es la contribución total a la utilidad que puede ganar Nelson con
las cantidades de producción arriba citadas?
¿Cuántas horas de producción serían programadas en cada
departamento?
¿Cuál es el tiempo libre de cada departamento?5
Solución:
a) Formulación del modelo:
X1 = Cantidad de guantes de Béisbol normal
X2 = Cantidad de guantes de Béisbol tipo Manopla

Función Objetivo
Z max = 5X1 + 8X2

Restricciones
X1 + 1.5X2 ≤ 900 horas de Corte y Costura
0.5X1 + 0.3334X2 ≤ 300 horas de Terminado
0.125X1 + 0.25X2 ≤ 100 horas de Empaque y Embarque

No negatividad
Xi ≥0; i=1,2
Solución GLP
5
Página: 11
630
595
560
Investigación
Operativa I
525
490
455
420
Payoff: 5.0 X1 + 8.0 X2 = 3699.9
385
350
315
280
245
210
175
140
105
70
35
0
: 0.1 X1 + 0.3 X2 = 100.0
: 0.5 X1 + 0.3 X2 = 300.0
: 1.0 X1 + 1.5 X2 = 900.0
0
60
120
180
240
300
360
420
480
540
600
660
720
780
840
: 1.0X1 + 1.5X2 <= 900.0
: 0.5X1 + 0.3X2 <= 300.0
: 0.1X1 + 0.3X2 <= 100.0
Datos de entrada de Solver:
Salida del Solver:
Página: 12
900
960
6. George Johnson heredó recientemente una gran suma de dinero; desea utilizar
parte de este dinero para establecer un fideicomiso para sus dos hijos. El
fideicomiso tiene dos opciones de inversión: (1) un fondo de bonos y (2) un
fondo de acciones. Los rendimientos proyectados durante la vida de las
inversiones son 6% para el fondo de bonos y 10% para el de acciones.
Independientemente de la porción de la herencia que finalmente decida
comprometer al fideicomiso, desea invertir por lo menos 30% de dicha cantidad
en el fondo de bonos. Además, desea seleccionar una combinación que le
permita obtener un rendimiento total de por lo menos 7.5%.
a)
b)
Formule un modelo de programación lineal que pueda utilizarse para
determinar el porcentaje que debe asignarse a cada una de las posibles
alternativas de inversión.
Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica y
por solver6
Solución:

X1 = cantidad de dinero invertido en fondo de bonos
X2 = cantidad de dinero invertido en fondo de acciones

Función Objetivo
Zmax = 1X1 + 1X2

Restricciones
X1 ≥ 30% (100) inversión en fondo de bonos
6% X1 + 10% X2 ≥ 7.5% (100) rendimiento total
X1 + X2 ≤ 100 relación entre inversiones

No negatividad
Xi ≥0; i=1,2
Datos entrada Solver
6
Página: 13
Resultados del Solver:
Solución gráfica:
7. El propietario de Sea Warf Restaurant desearía determinar cual es la mejor forma
de asignar un prosupuesto mensual de publicidad de 1.000 dólares entre
Página: 14
periódicos y la radio. La administración ha decidido que por lo menos 25% del
presupuesto debe utilizarse en cada uno de estos dos tipos de medios y que el
monto del dinero gastado en publicidad en periódicos locales debe tener por lo
menos el doble de los que se gaste en radio. Un asesor de mercadotecnia ha
desarrollado un índice que mide la exposición del auditorio por dólar de
publicidad en una escala de 0 al 100, donde valores más elevados del índice
indican mayores exposiciones al auditorio. Si el valor del índice para publicidad
en los periódicos locales es de 50, y para el anuncio de radio es de 80, ¿Cómo
debería asignar la administración el presupuesto de publicidad, a fin de
maximizar el valor de exposición total en el auditorio?
a)
b)
Formule un modelo de programación lineal que se pueda utilizar para
determinar la manera en que la administración debe asignar el
presupuesto de publicidad a fin de maximizar el valor de la exposición
total del auditorio.
Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica y
por solver7
Solución:
X1 = Cantidad de dólares asignados a periódicos
X2 = Cantidad de dólares asignados a radio

Función Objetivo
Zmax= 50X1 + 80X2

Restricciones
X1 ≥ 0.25(X1 + X2)
mínimo para periódicos
X2 ≥ 0.25(X1 + X2)
mínimo para radio
X1 ≥ 2X2 relación periódicos y radio
X1 + X2 ≤ 1000 presupuesto
No negatividad
Xi ≥0; i=1,2

Solución GLP
7
Página: 15
X2
400
380
360
340
320
300
280
260
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
Payoff: 50.00 X1 + 80.00 X2 = 46000.00
: 1.00 X1 + 2.00 X2 = 1000.00
: 0.75 X1 - 0.25 X2 = 0.00
: -0.25 X1 + 0.75 X2 = 0.00
: 1.00 X1 - 2.00 X2 = 0.00
0
33
66
99
132
165
198
231
264
297
330
363
396
429
462
495
528
561
594
627
: 0.75X1 - 0.25X2 >= 0.00
: -0.25X1 + 0.75X2 >= 0.00
: 1.00X1 - 2.00X2 >= 0.00
: 1.00X1 + 2.00X2 <= 1000.00
8. Invesment Advisors es una empresa de corretaje que administra carteras de
valores para clientes. Un cliente nuevo ha solicitado que la empresa maneje una
cartera de inversiones de $80.000. Como estrategia inicial de inversión, el
cliente desea restringir la cartera a una combinación de las acciones siguientes:
Acción
U.S. OIL
Hub Properties
Precio
Acción
$25
$50
por Rendimiento
anual Índice de riego
estimado por acción
$3
0.50
$5
0.25
El índice de riesgo por acción es una clasificación del riesgo relativo de dos
alternativas de inversión. Para los datos dados, se piensa que U.S. OIL es la
inversión sujeta a más riesgo. Al restringir el riesgo total de la cartera, la firma
de inversiones evita colocar cantidades excesivas de la cartera en inversiones
potencialmente de rendimiento alto y riesgo elevado. Para la cartera actual se
ha establecido un límite superior a 700 para el índice de riesgo total de todas las
inversiones, también la empresa ha establecido un límite superior de 1.000
acciones para los valores U.S. OIL más riesgosos. ¿Cuántas acciones de cada
uno de estos valores deben ser adquiridos a fin de maximizar en rendimiento
anual total?8
Solución:
8
Página: 16
660
X1 = Cantidad de acciones en U.S.Oil
X2 = Cantidad de acciones en Hub Properties

Función Objetivo
Z max = 3X1 + 5X2

Restricciones
0.50X1 + 0.25X2 ≤ 700 por riesgo
X1
≤ 1000 inversión en U.S. OIL
25X1 + 50X2 = 80.000 inversión en acciones

No negatividad
Xi ≥0; i=1,2
Solucion GLP
X2 Payoff: 3.00 X1 + 5.00 X2 = 8400.00
1580
1501
1422
1343
1264
1185
1106
1027
948
869
790
711
632
553
474
: 25.00 X1 + 50.00 X2 = 80000.00
395
316
237
: 1.00 X1 + 0.00 X2 = 1000.00
158
79
0
: 0.50 X1 + 0.25 X2 = 700.00
0
49 98 147 196 245 294 343 392 441 490 539 588 637 686 735 784 833 882 931 980
X1
: 0.50X1 + 0.25X2 <= 700.00
: 1.00X1 + 0.00X2 <= 1000.00
: 25.00X1 + 50.00X2 <= 80000.00
Datos de entrada SOLVER
Página: 17
PLANIFICACION TRABAJO INVESTMENT ADVISORS
Acciones
Cantidad
Contrib. Utilidad
U.S.Oil
HUB
1
3
Restricciones
Riesgo
En U.S.Oil
Inversión
0,5
1
25
1 max
5
8
No
Utilizado
Límite
Utiliz
0,25
0,75 ≤
700
699,25
1 ≤
1000
999
50
75 ≤
80000
79925
Datos de salida SOLVER
PLANIFICACION TRABAJO INVESTMENT ADVISORS
Acciones
Cantidad
Contrib. Utilidad
U.S.Oil
HUB
800
1200 max
3
5
8400
Restricciones
Riesgo
En U.S.Oil
Inversión
0,5
1
25
No
Utilizado
Límite
Utiliz
0,25
700 ≤
700 -7,4E-10
800 ≤
1000
200
50
80000 ≤
80000 -7,3E-08
9. Tom’s produce varios productos alimenticios mexicanos y los vende a Western
Foods, cadena de tiendas de abarrotes localizada en Texas y Nuevo México.
Tom’s fabrica dos salsas: Western Foods Salsa y México City Salsa.
Esencialmente, ambos productos son mezclas de tomates enteros, 30% de salsa
de tomate y 20% de pasta de tomate. La México City Salsa, que tiene una
consistencia más espesa y troceada, está elaborada con 70% de tomates
enteros, 10% de salsa de tomate y 20% de pasta de tomate. Cada tarro de
salsa producida pesa 10 onzas. Para el período de producción actual, Tom’s
puede adquirir hasta 280 libras de tomates enteros, 130 libras de salsa de
tomate y 100 libras de pasta de tomate, el precio por libra de estos ingredientes
es $0.96, $0.64 y $0.56 respectivamente. El costo de las especias y de los
demás ingredientes es de aproximadamente $0.10 por recipiente. Tom’s compra
tarros de vidrio vacíos a $0.02 cada uno, y los costos de etiquetado y llenado se
estiman en $0.03 por cada tarro de salsa producido. El contrato de Tom’s con
Western Foods resulta en ingresos por ventas de $1.64 por cada tarro de
Western Foods Salsa y de $1.93 por cada tarro de México City Salsa.
a. Desarrolle un modelo de programación lineal que le permita a Tom’s
determinar la mezcla de salsa que maximice la contribución total a la utilidad.
b. Haga una gráfica de la región factible.
c. Resuelva las ecuaciones lineales simultáneas apropiadas a fin de determinar
las coordenadas de cada punto extremo.
Página: 18
d. Encuentre la solución óptima9
Solución:
X1 = Cantidad de tarros de salsa Western Foods
X2 = Cantidad de tarros de salsa México City

Función Objetivo
Z max =
(1.64 – (0.10+0.02+0.03+50%(10)(0.96)/16+30%(10)(0.64)/16+20%(10)(0.56)/16))X1
(1.93 – (0.10+0.02+0.03+70%(10)(0.96)/16+10%(10)(0.64)/16+20%(10)(0.56)/16))X2
Z max = (1.64 – (0.15 + 0.3 + 0.12 + 0.07))X1 + (1.93 – (0.15 + 0.42 + 0.04 + 0.07))X2
Z max = 1X1 + 1.25X2

Restricciones
5X1 + 7X2 ≤ 4480 libras de tomates enteros
3X1 + 1X2 ≤ 2080 libras de salsa de tomate
2X1 + 2X2 ≤ 1600 libras de pasta de tomate

No negatividad
Xi ≥0; i=1,2
Solución con GLP
9
Página: 19
+
X2
1000
950
900
850
800
750
700
Payoff: 1.00 X1 + 1.25 X2 = 860.00
650
600
: 2.00 X1 + 2.00 X2 = 1600.00
550
: 3.00 X1 + 1.00 X2 = 2080.00
500
450
: 5.00 X1 + 7.00 X2 = 4480.00
400
350
300
250
200
150
100
50
0
1
50
99
148
197
246
295
344
393
442
491
540
589
638
687
736
785
834
883
932
: 5.00X1 + 7.00X2 <= 4480.00
: 3.00X1 + 1.00X2 <= 2080.00
: 2.00X1 + 2.00X2 <= 1600.00
Datos entrada SOLVER
Planificación para Tom’s
Western
Foods
SALSA
Cantidad de tarros
Utilidad
México
City
1
1
1 Max
1.25
2.25
Restricciones
tomates enteros
salsa de tomate
pasta de tomate
Utilizado
Límite No utiliz
7
12 ≤ 4480
4468
1
4 ≤ 2080
2076
2
4 ≤ 1600
1596
5
3
2
Salida de datos SOLVER
Planificación para Tom’s
SALSA
Cantidad de tarros
Utilidad
Western México
Foods
City
560
1
240 Max
1.25
860
Página: 20
981
X1
Restricciones
tomates enteros
salsa de tomate
pasta de tomate
5
3
2
Utilizado
7
4480 ≤
1
1920 ≤
2
1600 ≤
Límite
No utiliz
4480 -6.2E-09
2080
160
1600 -3.7E-09
10. El editor de producción de Rayburn Publishing Company tiene 1.800 páginas de
manuscrito que debe ser revisadas. Debido al poco tiempo involucrado, sólo hay
dos revisores disponibles Erhan Mergen y Sue Smith. Erhan tiene diez días
disponibles y Sue doce días. Erhan puede procesar 100 páginas de manuscrito
por día, y Sue 150 páginas diarias. Rayburn Publishing Company ha desarrollado
un índice para medir la calidad general de un revisor en una escala de 1 (peor)
a 10 (mejor). La calidad de Erhan es 9 y la de Sue es 6, además, Erhan cobra 3
dólares por página de manuscrito revisado, Sue cobra 2 dólares por página. Se
ha asignado un presupuesto de $4.800 para la revisión, ¿cuántas páginas deben
ser asignadas a cada revisor para completar el proyecto con la calidad más
elevada posible?10
Solución:
X1 = cantidad de páginas revisadas por Erhan
X2 = cantidad de páginas revisadas por Sue

Función Objetivo
Z max = 9X1 + 6X2

Restricciones
3X1 + 2X2 ≤ 4.800 presupuesto
X1 + X2 = 1.800 número de páginas
X1/100 ≤ 10 días disponibles de Erhan
X2/150 ≤ 12 días disponibles de Sue

No negatividad
Xi ≥0; i=1,2
Solución GLP
10
Página: 21
Payoff: 9.0 X1 + 6.0 X2 = 13800.0
X2
2000
1900
1800
1700
1600
1500
1400
1300
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
: 3.0 X1 + 2.0 X2 = 4800.0
: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 1800.0
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 1000.0
: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 1800.0
0
60
120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 780 840 900 960 1020108011401200
X1
: 3.0X1 + 2.0X2 <= 4800.0
: 1.0X1 + 1.0X2 <= 1800.0
: 1.0X1 + 0.0X2 <= 1000.0
: 0.0X1 + 1.0X2 <= 1800.0
Páginas revisadas
Cantidad
Calidad
Ehran Sue
1
1 Max
9
6
15
Restricciones
Presupuesto
3
Horas Ehran
1
Horas Sue
Núm. Páginas
1
Utilizado
2
5
1
1
1
1
2
≤
≤
≤
≤
Limite
No utiliz
4800
4795
1000
999
1800
1799
1800
1798
Utilizado
2
4600 ≤
Limite
No utiliz
4800
200
Salida SOLVER
PLANIFICACIÓN TRABAJO RAYBURN
Páginas revisadas
Cantidad
Calidad
Ehran Sue
1000 800 Max
9
6
13800
Restricciones
Presupuesto
3
Página: 22
Horas Ehran
Horas Sue
Núm. Páginas
1
1
1
1
1000 ≤
800 ≤
1800 ≤
1000 -1,1E-10
1800
1000
1800 -4,2E-09
11. Car Phones vende dos modelos de teléfono para automóvil: X y Y Los registros
muestran que se utilizan 3 horas de tiempo de ventas por cada modelo de
teléfono X vendido, y 5 horas de tiempo de ventas por cada teléfono de modelo
Y. Están disponibles un total de 600 horas de venta para el siguiente período de
cuatro semanas. Además, las políticas de planeación de la administración
exigen metas mínimas de ventas de 25 unidades, tanto para el X como para el
Y.
a. Muestre la región factible
b. Si la empresa obtiene una contribución a la utilidad de 40 dólares por cada
modelo X vendido y una contribución a la utilidad de 50 dólares por cada
modelo Y vendido. ¿Cuál es la meta óptima de ventas para la empresa durante
el período de 4 semanas?
c. Desarrolle una restricción y muestre la región factible si la administración
agrega la restricción que Car Phones debe vender por lo menos tantos
teléfonos Y como teléfonos X.
d. ¿Cuál es la nueva solución óptima si al problema se le agrega la restricción
del inciso (c)?11
Solución:
X1 = Número de unidades de teléfonos modelo X
X2 = Número de unidades de teléfonos modelo Y

Función Objetivo
Zmax = 40X1 + 50X2

Restricciones
3X1 + 5X2 ≤ 600
horas de venta disponibles
X1 ≥ 25 meta mínima de venta
X2 ≥ 25 meta mínima de venta

No negatividad
Xi ≥0; i=1,2
Solución GLP
11
Página: 23
Payoff: 40.0 X1 + 50.0 X2 = 7583.3
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 25.0
: 3.0 X1 + 5.0 X2 = 600.0
: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 25.0
X2
2
2
X1
: 3.0X1 + 5.0X2 <= 600.0
: 1.0X1 + 0.0X2 >= 25.0
: 0.0X1 + 1.0X2 >= 25.0
PLANIFICACION DE CAR PHONES
Modelo Modelo
X
Y
1
1 Max
40
50
90
Teléfono
Cantidad
Utilidad
Restricciones
Horas disp.
Venta min X
Venta min Y
3
1
Utilizado
5
8 ≤
1 ≥
1
1 ≥
No
Límite
Utiliz
600
592
25
-24
25
-24
Datos de Salida SOLVER
PLANIFICACION DE CAR PHONES
Teléfono
Cantidad
Utilidad
Modelo
Modelo
X
Y
158,3333
25 Max
40
50 7583,333
Restricciones
Horas disp.
Venta min X
Venta min Y
3
1
Utilizado
5
600 ≤
158,3333 ≥
1
25 ≥
Límite
No Utiliz
600 -1,4E-09
25 133,3333
25 2,64E-12
Página: 24
12. Greentree Kennels proporciona alojamiento por una noche para mascotas. Una
característica particular en Greentree es la calidad del cuidado que reciben las
mascotas, incluyendo una excelente alimentación. La comida para perros de la
perrera se elabora mezclado dos alimentos de marca para perros a fin de
obtener lo que la perrera identifica como una “dieta para perros bien
balanceada”. Los datos para las dos comidas con las siguientes:
Comida
Bark Bits
Canine Chow
Costo/onza
0.06
0.05
Proteínas %
30
20
Grasa %
15
30
Si Greentree desea asegurarse de que los perros reciban por lo menos 5 onzas
de proteínas y como mínimo 3 onzas de grasas cada día, ¿Cuál es la mezcla de
costo mínimo de los alimentos para perros?12
Solución:
X1 = Cantidad de onzas de comida Bark Bits
X2 = Cantidad de onzas de comida Canine Chow

Función Objetivo
Zmin = 0.06X1 + 0.05X2

Restricciones
0.3X1 + 0.2X2 ≥ 5 contenido de proteínas
0.15 X1 + 0.3 X2 ≥ 3 contenido de grasas

No negatividad
Xi ≥0; i=1,2
Solución GLP
12
Página: 25
54
48
42
36
30
24
Payoff: 0.06 X1 + 0.05 X2 = 1.02
18
: 0.30 X1 + 0.20 X2 = 5.00
12
: 0.15 X1 + 0.30 X2 = 3.00
6
0
0
10
20
30
40
50
60
70
: 0.30X1 + 0.20X2 >= 5.00
: 0.15X1 + 0.30X2 >= 3.00
Entrada de datos SOLVER
PLANIFICACIÓN TRABAJO Greentree Kennels
Comida
Cantidad
Calidad
Proteinas
Grasas
Bark
Bits
Canine
Chow
1
0,06
Restricciones
0,3
0,15
1 Min
0,05
0,11
No
Utilizado
Limite utiliz
0,2
0,5 ≥
5
4,5
0,3
0,45 ≥
3
2,55
Salida de datos SOLVER
PLANIFICACIÓN TRABAJO Greentree Kennels
Comida
Cantidad
Calidad
Bark
Bits
Canine
Chow
15
2,5 Min
0,06
0,05
1,025
Página: 26
80
Restricciones
Proteinas
Grasas
Utilizado
0,3
0,2
0,15
0,3
No
Limite utiliz
-3,3E5 ≥
5
12
-2,2E3 ≥
3
12
13. La New England Cheese Company produce dos quesos crema mezclando quesos
chedar tanto suave como extrafuerte. Los quesos crema se empacan en
recipientes de 12 onzas, que después se venden a distribuidores en todo el
noroeste. La mezcla Regular contiene 80% de chedar suave y 20% de
extrafuerte y la mezcla Zesty contiene 60% de chedar suave y 40% de
extrafuerte. Este año, una cooperativa lechera local ha ofrecido entregar hasta
8.100 libras de queso chedar a $1.20 por libra y hasta 3.000 libras de queso
chedar extrafuerte a $1.40 por libra. El costo de mezclar y empacar estos
quesos crema, excluyendo el costo del queso mismo, es de $0.20 por recipiente.
Si cada recipiente de Regular se vente a $1.95 y cada recipiente Zesty se vende
a $2.20. ¿Cuántos recipientes deberá producir New England Cheese de Regular
y Zesty?13
Solución:
X1 = Cantidad (en miles) de recipientes de queso Regular
X2 = Cantidad (en miles) de recipientes de queso Zesty



Función Objetivo
Zmax = (1.95 – 0.20 - 0.80*0.75*1.20 – 0.60*0.75*1.40)X1 +
(2.20 – 2.0 – 0.20*0.75*1.20 – 0.40*0.75*1.40)X2
Zmax = 0.40X1 + 1.40X2
Restricciones
0.80*0.75X1 + 0.60*0.75X2 ≤ 8,1 queso chedar suave
0.20*0.75X1 + 0.40*0.75X2 ≤ 3,0 queso chedar extrafuerte
No negatividad
Xi ≥0; i=1,2
Solución GLP
13
Página: 27
: 0.2
0.8 X1 + 0.4
0.6 X
X2
10
Payoff: 0.4 X1 + 1.4 X2 = 14.0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Optimal Decisions(X1,X2): ( 0.0, 10.0)
: 0.8X1 + 0.6X2 <= 10.8
: 0.2X1 + 0.4X2 <= 4.0
PLANIFICACION TRABAJO en New England Cheese Company
Recipientes queso
Cantidad en miles
Utilidad
Regular
Restricciones
Queso Ch. suave
Tiempo prod. min
Zesty
1
0,4
1 max
1,4
1,8
0,8
0,2
No
Utilizado
Límite Utiliz
0,6
1,4 ≤
10,8
9,4
0,4
0,6 ≤
4
3,4
Recipientes queso
Cantidad en miles
Utilidad
Restricciones
Queso Ch. suave
Tiempo prod. min
Regular Zesty
0
10 max
0,4
1,4
14
0,8
0,2
Utilizado
0,6
6 ≤
0,4
4 ≤
No
Límite
Utiliz
10,8
4,8
4 -5,5E-12
Página: 28
14
X1
14. Los administradores de Healthtech Foods están considerando desarrollar un
nuevo bocadillo bajo en grasas. Se trata de una mescla de dos tipos de
cereales, cada una de ellos con distintas características en fibras, grasas y
proteínas. La tabla siguiente muestra estas características por onza de cada tipo
de cereal.
Cereal
A
B
Fibra dietética
(gramos)
2
1.5
Grasas
(gramos)
2
3
Proteínas
(gramos)
4
3
Note que cada onza de cereal A proporciona dos gramos de fibra dietética y que
cada onza de cereal B da 1.5 gramos de fibra dietética, por lo que si Healthtech
fuera a desarrollar el nuevo producto utilizando una mezcla formada de 50% de
cereal A y 50% de cereal B, una onza de éste contendría 1.75 gramos de fibra
dietética. Los requisitos nutricionales de Healthtech exigen que cada onza del
nuevo alimento tenga por lo menos 1.7 gramos de fibra dietética, no más de 2.8
gramos de grasa y no más de 3.6 gramos de proteínas. El costo del cereal A es
de $0.02 por onza y el del B es de $0.025 por onza. Healthtech desea
determinar cuánto de cada cereal es necesario para producir una onza del
nuevo producto al menor costo posible.
a. Formule el modelo de programación lineal para esta situación
b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica
c. ¿Cuáles son las variables de holgura y de excedente
d. Si Healthtech pone en el mercado el nuevo cereal en un paquete de 8 onzas.
¿Cuál sería el costo del paquete?14
Solución:
X1 = Cantidad de onzas de cereal A
X2 = Cantidad de onzas de cereal B

Función Objetivo
Zmin = 0.02X1 + 0.025X2

Restricciones
2X1 + 1.5X2 ≥ 1.7 por fibra dietética
2X1 + 3X2 ≤ 2.8 por grasas
4X1 + 3X2 ≤ 3.6 por proteínas
X1 + X2 = 1 onzas
14
Página: 29

No negatividad
Xi ≥0; i=1,2
Solución GLP
X2
1
Payoff: 0.020 X1 + 0.025 X2 = 0.017
: 4.000 X1 + 3.000 X2 = 3.600
: 2.000 X1 + 3.000 X2 = 2.800
0
: 2.000 X1 + 1.500 X2 = 1.700
0
1
: 2.000X1 + 1.500X2 >= 1.700
: 2.000X1 + 3.000X2 <= 2.800
: 4.000X1 + 3.000X2 <= 3.600
Planificacion de Healthtech Foods
Cereal
Cantidad en onzas
Costo
A
B
1
0,02
Restricciones
fibra dietética
por grasas
por proteinas
2
2
4
1 min
0,025
0,045
Utilizado
1,5
3,5 ≥
3
5 ≤
3
7 ≤
No
Límite
Utiliz
1,7
1,8
2,8
-2,2
3,6
-3,4
Datos salida SOLVER
Planificacion de Healthtech Foods
Cereal
Cantidad en onzas
A
B
0,85
0 min
Página: 30
X1
Costo
0,02
0,025
Restricciones
fibra dietética
por grasas
por proteinas
0,017
Utilizado
2
2
4
1,5
3
3
1,7 ≥
1,7 ≤
3,4 ≤
No
Utiliz
9,12E1,7
13
2,8
1,1
3,6
0,2
Límite
15. MD Chemical produce dos productos que se venden como materia prima para
empresas fabricantes de jabones para baño, detergentes para lavandería y otros
productos de jabón. Apoyándose en un análisis de los niveles actuales de
inventarios y de la demanda potencial para el mes siguiente, la administración
de MD ha especificado que la producción total de los productos 1 y 2
combinados debe ser de por lo menos 350 galones. Además debe cumplir con
un pedido de un cliente de importancia de 125 galones del producto 1. El
tiempo de procesado del producto 1 requiere dos horas por galón, y del
producto 2 requiere de una hora; para el mes siguiente, hay disponibilidades de
600 horas de proceso. Los costos de producción son 2 dólares por galón del
producto 1 y 3 dólares del producto 2.
a. Determine las cantidades de producción que satisfagan los requisitos
especificados al costo mínimo.
b. ¿Cuál es el costo total del producto?
c. Identifique la cantidad de cualquier producción excedente.15
Solución:
X1 = Cantidad de galones del producto 1
X2 = Cantidad de galones de producto 2

Función Objetivo
Zmin = 2X1 + 3X2

Restricciones
X1 + X2 ≥ 350 galones producidos
X1 ≥ 125 pedido de un cliente
2X1 + 1X2 ≤600 horas de proceso

No negatividad
Xi ≥0; i=1,2
Solución GLP
15
Página: 31
X2
440
418
396
374
352
330
308
286
264 Payoff: 2.0 X1 + 3.0 X2 = 800.0
242
220
198
176
154
132
110
88
: 2.0 X1 + 1.0 X2 = 600.0
66
44
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 125.0
22
0
: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 350.0
0
20
40
60
80
100 120 140 160 180
200 220 240 260 280 300 320 340 360
380 400
: 1.0X1 + 1.0X2 >= 350.0
: 1.0X1 + 0.0X2 >= 125.0
: 2.0X1 + 1.0X2 <= 600.0
Planificacion de 55. M&D Chemical
Producto
Cantidad galones
Costo
1
1
2
Restricciones
Galones
producidos
Pedido cliente
Horas proceso
2
1 min
3
5
Utilizado
1
1
2
1
1
2 ≥
1 ≥
3 ≤
Límite
350
125
600
No
Utiliz
-348
124
597
Datos salida SOLVER
Planificacion de M&D Chemical
Producto
Cantidad galones
Costo
1
250
2
2
100 min
3
800
Página: 32
X1
Restricciones
Galones
producidos
Pedido cliente
Horas proceso
Utilizado
1
1
2
1
1
350 ≥
250 ≥
600 ≤
Límite
350
125
600
No Utiliz
8,11E-10
-125
-2,9E-10
16. Photo Chemicals produce dos tipos de fluido para revelado fotográfico. Ambos
productos le cuestan a la empresa un dólar por galón producirlos. Con base e
una análisis de niveles actuales de inventario y en las órdenes en mano para el
mes siguiente, la administración de Photo Chemicals ha decidido que durante
las siguientes dos semanas se produzcan por los menos 30 galones del producto
1 y por lo menos 20 galones del producto 2. También ha dicho la administración
que en el transcurso de las siguientes dos semanas debe utilizarse el inventario
existente de una materia prima muy perecedera necesaria en la producción de
ambos fluidos. El inventario actual de esta materia prima muy perecedera es de
80 libras. Aunque de ser necesario se puede ordenar más de esta materia
prima, cualquier parte del inventario actual no utilizada se echará a perder
dentro de las siguientes dos semanas; de ahí el requerimiento de la
administración de que por lo menos se utilicen las 80 libras en las siguientes dos
semanas. Además, el producto 1 requiere de una libra de esta materia prima
perecedera por galón, y el producto 2 requiere 2 libras de la materia prima por
galón. Dado que el objetivo de la administración es mantener los costos de
producción al mínimo nivel posible, están buscando un plan de producción de
costo mínimo que utilice la totalidad de las 80 libras de la materia prima
perecedera y que obtenga por lo menos 30 galones del producto 1 y por lo
menos 20 galones del producto 2. ¿Cuál es la solución de costo mínimo?16
Solución:
X1 = Cantidad de galones de fluido tipo 1
X2 = Cantidad de galones de fluido tipo 2

Función Objetivo
Zmin = X1 + X2

Restricciones
X1 ≥ 30 producción mínima de producto 1
X2 ≥ 20 producción mínima de producto 2
X1 + 2X2 ≥ 80 libras de materia prima

No negatividad
Xi ≥0; i=1,2
16
Página: 33
Solucion GLP
Payoff: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 60.0
X2
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
: 1.0 X1 + 2.0 X2 = 80.0
: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 20.0
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 30.0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
: 1.0X1 + 0.0X2 >= 30.0
: 0.0X1 + 1.0X2 >= 20.0
: 1.0X1 + 2.0X2 <= 80.0
17. Bryant’s Pizza es un productor de pizzas congeladas. La empresa tiene una
utilidad de un dólar por cada pizza normal que produzca y de 1.5 dólares por
cada pizza de lujo. Cada pizza incluye una combinación de pasta de harina y de
mezcla de relleno. Actualmente la empresa tiene 150 libras de mezcla de pasta
y de 50 libras de mezcla de relleno. Cada pizza normal utiliza una libra de
mezcla de pasta de harina y 4 onzas de mezcla de pasta de relleno. Cada pizza
de lujo utiliza una libra de mezcla de pasta de harina y 8 onzas de mezcal de
relleno. Con base en la demanda del pasado, Bryant puede vender por lo menos
50 pizzas normales y por lo menos 25 pizzas de lujo. ¿Cuántas pizzas normales
y de lujo deberá fabricar la empresa para maximizar la utilidad?
a. ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema?
b. Escriba este programa lineal en su forma estándar.
c. Encuentre la solución óptima.
d. ¿Cuáles son los valores e interpretaciones de todas las variables de holgura y
de excedente?
e. ¿Qué restricciones están asociadas con recursos limitantes?17
Solución:
17
Página: 34
X1

X1 = Cantidad de Pizzas Normales
X2 = Cantidad de Pizzas De Lujo

Función Objetivo
Zmax = 1X1 + 1.5X2

Restricciones
X1 + X2 ≤ 150 pasta de harina
0.25X1 + 0.5X2 ≤ 50 pasta de relleno
X1 ≥ 50 venta de pizzas Normales
X2 ≥ 25 venta de pizzas De Lujo

No negatividad
Xi ≥0; i=1,2
X2
Solución GLP
160
152
144
136
: 1.00 X1 + 0.00 X2 = 50.00
128
120
112
104
96
88
: 1.00 X1 + 1.00 X2 = 150.00
80
72
64
Payoff: 1.00 X1 + 1.50 X2 = 175.00
56
48
40
: 0.00 X1 + 1.00 X2 = 25.00
32
24
: 0.25 X1 + 0.50 X2 = 50.00
16
8
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
: 1.00X1 + 1.00X2 <= 150.00
: 0.25X1 + 0.50X2 <= 50.00
: 1.00X1 + 0.00X2 >= 50.00
: 0.00X1 + 1.00X2 >= 25.00
PLANIFICACION TRABAJO BRYANT'S PIZZA
Pizzas
Cantidad
Normal Lujo
1
1 max
Página: 35
150
160
170
Utilidad
1
Restricciones
Pasta harina
1
Relleno
0,25
Pizzas Normales
1
Pizzas Lujo
1,5
2,5
Utilizado
1
2
0,5
0,75
1
1
1
≤
≤
≥
≥
No
Límite
Utiliz
150
148
50
49,25
50
-49
25
-24
≤
≤
≥
≥
No
Límite
Utiliz
150 -3,4E-10
50
-6E-11
50
50
25
25
PLANIFICACION TRABAJO BRYANT'S PIZZA
Pizzas
Cantidad
Utilidad
Normal Lujo
100
50 max
1 1,5
175
Restricciones
Pasta harina
1
Relleno
0,25
Pizzas Normales
1
Pizzas Lujo
Utilizado
1
150
0,5
50
100
1
50
18. English Motors, Ltd. (EML), ha desarrollado un nuevo vehículo deportivo de
utilería, con tracción en la cuatro llantas. Como parte de la campaña de
mercadotecnia, EML ha desarrollado una presentación de ventas en video cinta
que se enviará tanto a propietarios de vehículos de tracción en las cuatro ruedas
EML actuales, como a propietarios de vehículos utilitarios deportivos de cuatro
ruedas ofrecidos por los competidores EML se refiere a estos dos mercados
objetivo como mercado de clientes actual y mercado de clientes nuevo. Los
individuos que reciban el nuevo video promocional también recibirán un cupón
para un recorrido de prueba del nuevo modelo EML, durante un fin de semana.
Un factor clave en el éxito de esta nueva promoción es la tasa de respuesta, es
decir el porcentaje de individuos que reciban la nueva promoción y hagan el
recorrido de prueba del nuevo modelo, EML estima que la tasa de respuesta
para el mercado de clientes actual es de 25% y para el mercado de cliente
nuevo es de 20%. La tasa de ventas es el porcentaje de individuos que reciba
la nueva promoción, haga el recorrido de prueba y efectúe la compra. Los
estudios de investigación de mercado indican que la tasa de ventas el de 12%
para el mercado de clientes actual y de 20% para el mercado de clientes nuevo.
El costo de cada promoción, excluyendo los costos de recorrido de prueba, es
de 5 dólares por cada promoción enviada al mercado de clientes actual y de 4
dólares por cada promoción enviada al mercado de clientes nuevo. La
administración también ha decidido que se deberá enviar la nueva promoción a
un mínimo d 30.000 clientes actuales y a un mínimo de 10.000 clientes nuevos.
Además, el número de clientes actuales que haga el recorrido de prueba del
Página: 36
nuevo vehículo debe ser de por lo menos el doble del número de clientes
nuevos que hagan recorrido de prueba del nuevo vehículo. Si el presupuesto de
mercadotecnia, incluyendo los costos del recorrido de prueba, es de 1’200.000
dólares, ¿Cuántas promociones deberán ser enviadas a cada grupo de clientes
para maximizar las ventas totales?18
Solución:
X1 = Cantidad de promociones enviadas a clientes actuales
X2 = Cantidad de promociones enviadas a clientes nuevos

Función Objetivo
Zmax = 0.12*5X1 + 0.20*4X2

Restricciones
X1 ≥ 30.000 clientes actuales
X2 ≥ 10.000 clientes nuevos
0.25X1 ≥ 2*0.20X2 relación entre clientes que responden a la promoción
5X1 + 4X2 ≤1’200.000 presupuesto

No negatividad
Xi ≥ 0; i=1,2
Solución GLP
18
Página: 37
X2
273
260
247
234
221 Payoff: 0.60 X1 + 0.80 X2 = 176.00
208
195
182
169
156
143
: 1.00 X1 + 0.00 X2 = 30.00
130
117
104
91
78
65
52
39
26
13
0
0
13
26
39
52
65
: 5.00 X1 + 4.00 X2 = 1200.00
: 0.25 X1 - 0.40 X2 = 0.00
: 0.00 X1 + 1.00 X2 = 10.00
78
91
104
117
130
143
156
169
182
195
208
221
: 1.00X1 + 0.00X2 >= 30.00
: 0.00X1 + 1.00X2 >= 10.00
: 0.25X1 - 0.40X2 >= 0.00
: 5.00X1 + 4.00X2 <= 1200.00
PLANIFICACION TRABAJO ENGLISH MOTOR LTD.
Promociones
Cantidad en
miles
Ventas
Restricciones
Clientes actuales
Clientes nuevos
Relacion clientes
Presupuesto
Clientes Clientes
Actuales Nuevos
1
0,6
1
0,25
5
1 max
0,8
1,4
Utilizado
1
1
1
-0,4
-0,15
4
9
≥
≥
≥
≤
No
Límite
Utiliz
30
29
10
9
0
-0,15
1200
-1191
Datos salida SOLVER
PLANIFICACION TRABAJO ENGLISH MOTOR LTD.
Promociones
Cantidad en
miles
Ventas
Clientes Clientes
Actuales Nuevos
160
0,6
100 max
0,8
176
Página: 38
234
247
260
Restricciones
Clientes actuales
Clientes nuevos
Relacion clientes
Presupuesto
1
0,25
5
Utilizado
160
1
100
-0,4 -1,1E-11
4
1200
≥
≥
≥
≤
Límite
No Utiliz
30
-130
10
-90
0
-1,1E-11
1200
2,78E-09
19. Creative Sports Designs (CSD) fabrica raquetas de tamaño estándar y
extragrande. Las raquetas de la empresa son extremadamente ligeras, debido a
uso de una aleación de magnesio y grafito inventada por el fundador de la
empresa. Cada raqueta de tamaño estándar utiliza 0,125 kilos de aleación y
cada raqueta extragrande utiliza 0,4 kilos; para el siguiente período de
producción de dos semanas sólo hay disponibles 80 kilos de aleación. Cada
raqueta de tamaño estándar ocupa 10 minutos de tiempo de fabricación y cada
raqueta de tamaño extragrande ocupa 12 minutos. Las contribuciones a la
utilidad son de 10 dólares por cada raqueta estándar y de 15 dólares por cada
raqueta extragrande y están disponibles 40 horas de tiempo de producción por
semana. La administración ha especificado que por lo menos 20% de la
producción total debe ser de raqueta de tamaño estándar. ¿Cuántas raquetas
de cada tipo deberá fabricar CSD en las dos semanas siguientes, a fin de
maximizar la contribución a la utilidad? Suponga que, debido a la naturaleza
única de sus productos, CSD puede vender tantas raquetas como pueda
producir.19
Solución:
X1 = Cantidad de unidades de raquetas estandar
X2 = cantidad de unidades de raquetas extra grande

Función Objetivo
Zmax = 10X1 + 15X2

Restricciones
0.125X1 + 0.4X2 ≤ 80 kilos de aleación
10X1 + 12X2 ≤ 40*60 minutos de tiempo de producción
X1 ≥ 0.20(X1 + X2)

No negatividad
Xi ≥0; i=1,2
Solución GLP
19
Página: 39
X2
200
190
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
: 0.125 X1 + 0.400 X2 = 80.000
Payoff: 10.000 X1 + 15.000 X2 = 2896.551
: 10.000 X1 + 12.000 X2 = 2400.000
: 0.800 X1 - 0.200 X2 = 0.000
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42
X1
: 0.125X1 + 0.400X2 <= 80.000
: 10.000X1 + 12.000X2 <= 2400.000
: 0.800X1 - 0.200X2 >= 0.000
PLANIFICACION TRABAJO 59. Creative Sports Designs
Raquetas
Cantidad
Contrib. Utilidad
Estandar Extra G
1
1 max
10
15
25
Restricciones
Kilos aleación
Tiempo prod. min
20% prod estand
0,125
10
0,8
No
Utilizado
Límite
Utiliz
0,4
0,525 ≤
80
79,475
12
22 ≤
2400
2378
-0,2
0,6 ≥
0
0,6
Datos salida SOLVER
PLANIFICACION TRABAJO 59. Creative Sports Designs
Raquetas
Cantidad
Contrib. Utilidad
Restricciones
Kilos aleación
Tiempo prod. min
Estandar Extra G
41,37931 165,5172 max
10
15 2896,552
0,125
10
Utilizado
Límite
No Utiliz
0,4 71,37931 ≤
80
8,62069
12
2400 ≤
2400
3,03E-10
Página: 40
20% prod estand
0,8
-0,2
9,03E-11 ≥
0
9,03E-11
20. La administración de High Tech Service (HTS) desea desarrollar un modelo que le
ayude a asignar el tiempo de sus técnicos entre llamada de servicio por
contrato a clientes tanto normales como nuevos. En el período de planeación de
dos semanas hay disponible un máximo de 80 horas de tiempo de técnico. A fin
de satisfacer los requisitos de flujo de caja, deben generarse por lo menos 800
dólares de ingresos (por técnico) durante el período de dos semanas. El tiempo
de técnico para los clientes normales genera 25 dólares por hora, pero para
clientes nuevos sólo genera un promedio de 8 dólares la hora, porque en
muchos casos el contacto con el cliente no llega a generar servicios facturables.
Para asegurarse de que se mantienen contactos nuevos, el tiempo de técnico
utilizado en contactos con clientes nuevos debe ser por lo menos 60% del
tiempo utilizado en contactos con clientes normales. Para los requerimientos de
ingresos y políticas enunciadas, HTS desearía determinar cómo asignar el
tiempo de los técnicos entre clientes normales y nuevos, a fin de maximizar el
número total de clientes en contacto durante el período de dos semanas. Los
técnicos requieren un promedio de 50 minutos por cada contacto de cliente
normal y de una hora por cada contacto con cliente nuevo.
a. Desarrolle un modelo de programación lineal que le permita a HTS asignar el
tiempo de los técnicos entre clientes normales y nuevos.
b. Haga una gráfica de la región factible
c. Resuelva las ecuaciones lineales simultáneas apropiadas para determinar los
valores de X1 y X2 en cada punto extremo de la región factible.
d. Encuentre la solución óptima20
REFERENCIA: Página 274 Problema 63. Métodos Cuantitativos para los
Negocios. 7ma Edición. Anderson Sweeney Willams. Editorial Thomson.
Solución:
X1 = Numero de horas de técnico asignado a clientes normales
X2 = Numero de horas de técnico asignado a clientes nuevos

Función Objetivo
Zmax = 60X1/50+ 60X2/60

Restricciones
X1 + X2 ≤ 80
horas disponibles de técnico
X2 ≥ 0.6X1
relación de tiempo de técnico
25X1 + 8X2 ≥ 800
ingresos en dólares

No negatividad
Xi ≥ 0; i=1,2
número de clientes
20
Página: 41
156
143
130
117
Solución GLP
104
91
Payoff: 1.20 X1 + 1.00 X2 = 90.00
78
65
52
39
: 25.00 X1 + 8.00 X2 = 800.00
: -0.60 X1 + 1.00 X2 = 0.00
26
13
: 1.00 X1 + 1.00 X2 = 80.00
0
0
11
22
33
44
55
66
: 1.00X1 + 1.00X2 <= 80.00
: -0.60X1 + 1.00X2 >= 0.00
: 25.00X1 + 8.00X2 >= 800.00
Entrada de datos SOLVER
PLANIFICACION TRABAJO High Tech Service
Clientes
Clientes
normales nuevos
1
1 max
1.2
1
2.2
Horas de trabajo
Cantidad horas
Número clientes
Restricciones
Horas
disponibles
Relación tiempo
Ingresos
Utilizado
1
-0.6
25
1
1
8
2 ≤
0.4 ≥
33 ≥
Límite
80
0
800
No Utiliz
78
-0.4
-767
Horas de trabajo
Cantidad horas
Número clientes
Clientes
Clientes
normales nuevos
50
30 max
1.2
1
90
Página: 42
77
Restricciones
Horas
disponibles
Relación tiempo
Ingresos
Utilizado
1
-0.6
25
1
1
8
80 ≤
-2.2E-11 ≥
1490 ≥
Límite
80
0
800
No Utiliz
-1.8E-10
2.18E-11
690
21. Jackson Hole Manufacturing es un pequeño fabricante de productos de plástico
que se utilizan en las industrias automotrices y de computación. Tiene un
importante contrato con una empresa de computadoras que implica la
producción de cajas de plástico para las impresoras portátiles de dicha empresa.
Las cajas de impresora se producen en dos máquinas de moldeo por inyección.
La máquina M100 tiene una capacidad de producción de 20 cajas de impresora
por hora y la máquina M200 tiene una capacidad de 40 cajas por hora. Ambas
máquina utilizan la misma materia prima química para producir las cajas de
impresora.; la M100 utiliza 40 libras de materia prima por hora, y la M200 utiliza
50 por hora. La empresa de computadoras le ha pedido a Jackson Hole que
produzca tantas cajas durante la semana que sigue como sea posible, y la ha
dicho que le pagará 18 dólares por cada caja que pueda entregar. Sin embargo,
la siguiente semana es un período normal de vacaciones programadas para la
mayor parte de los empleados de producción de Jackson Hole. Durante este
tiempo, se efectúa el mantenimiento anual de todo el equipo de la planta.
Debido al tiempo parado para mantenimiento, la M100 no estará disponible
durante más de 15 horas y la M200 durante más de 10 horas. Sin embargo, en
razón del elevado costo de preparación involucrado en ambas máquinas, la
administración requiere que, si el programa de producción en cualquiera de
estas máquinas, la máquina deberá operar por lo menos durante 5 horas. El
proveedor de la materia química utilizada en el proceso de producción le ha
informado a Jackson Hole que tendrá disponible un máximo de 1.000 libras de
la materia prima para la producción de la siguiente semana. El costo de la
materia prima es de 6 dólares por libra. Además del costo de la materia prima,
Jackson Hole estima que el costo horario de operación de la M100 y la M200
son de 50 y 75 dólares, respectivamente.
a. Formule un modelo de programación lineal que se pueda utilizar para
maximizar la contribución de la utilidad.
b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica.21
Solución:
X1 = Numero de horas de trabajo de maquina M100
X2 = Numero de horas de trabajo de maquina M200

Función Objetivo
Zmax = (20X1*18 – 40X1*6 – 50X1) + (40X2*18 – 50X2*6 – 75X2)
21
Página: 43
30
Zmax = (360 – 240 – 50)X1 + (720 – 300 – 75)X2
Zmax = 70X1 + 345X2

Restricciones
X1
horas máximas de trabajo M100
24 ≤ 15
X2 ≤ 10 horas máximas de trabajo de M200
X1 ≥ 5
horas mínimas de trabajo de M100
X2 ≥ 5
horas mínimas de trabajo de M200
40X1 + 50X2 ≤ 1000 libras de materia prima disponibles

No
18 negatividad
Xi ≥ 0; i=1,2
Solución GLP
Payoff: 70.0 X1 + 345.0 X2 = 4325.0
12
6
: 40.0 X1 + 50.0 X2 = 1000.0
: 0.0 X1 + 2.0 X2 = 5.0
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 5.0
: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 10.0
0
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 15.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
: 1.0X1 + 0.0X2 <= 15.0
: 0.0X1 + 1.0X2 <= 10.0
: 1.0X1 + 0.0X2 >= 5.0
: 0.0X1 + 2.0X2 >= 5.0
: 40.0X1 + 50.0X2 <= 1000.0
Horas de trabajo
Cantidad horas
Contrib. utilidad
Restricciones
Horas max M100
Horas max M200
Maquina Maquina
M100
M200
1
1 max
70
345
415
1
0
0
1
Utilizado
1 ≤
1 ≤
Límite
No Utiliz
15
14
10
9
Página: 44
24
25
26
27
Horas min M100
Horas min M200
Libras disponibles
1
0
40
0
1
50
1 ≥
1 ≥
90 ≤
5
5
1000
-4
-4
910
Horas de trabajo
Cantidad horas
Contrib. utilidad
Restricciones
Horas max M100
Horas max M200
Horas min M100
Horas min M200
Libras disponibles
Maquina Maquina
M100
M200
12.5
10 max
70
345
4325
1
0
1
0
40
0
1
0
1
50
Utilizado
12.5
10
12.5
10
1000
≤
≤
≥
≥
≤
Límite
No Utiliz
15
2.5
10
-9.9E-13
5
7.5
5
5
1000
-1.5E-09
22. Electronic Comunications fabrica radios portátiles que pueden utilizarse en
comunicaciones de dos vías. El nuevo producto de la empresa que tiene un
rango de hasta 25 millas, es adecuado para una diversidad de usos comerciales
y personales. Los canales de distribución para el nuevo radio son:
1.
2.
3.
4.
distribuidores de equipo marino,
distribuidores de equipo de oficina,
cadenas nacionales de tiendas al menudeo,
pedidos por correo.
Debido a diferentes costos de distribución y promocionales, la reditualidad del
producto variará según el canal de distribución. Además, el costo de publicidad
y el esfuerzo de ventas personales requerido también variarán de acuerdo con
los canales de distribución. La tabla siguiente resume la distribución de la
utilidad, el costo de publicidad y los datos de esfuerzo de ventas personales
correspondientes al problema de Electronic Comunications. La empresa a
formulado un presupuesto de publicidad de 5.000 dólares, y está disponible un
máximo de 1800 horas de la fuerza de ventas para asignar al esfuerzo de
ventas. Finalmente, un contrato vigente con la cadena nacional de tiendas al
menudeo requiere que por lo menos de distribuyan 150 unidades a través de
este canal de distribución.
Datos de Utilidades, costos y esfuerzo del personal de ventas para Electronic
Esfuerzo del
Canal de
Utilidades por
Costo de publicidad personal de ventas
distribución
unidad vendida
por unidad vendida por unidad vendida
Distrib. Marinos
$90
$10
2 horas
Página: 45
Distrib. de oficinas
Tiendas nacionales
Pedidos por correo
$84
$70
$60
$8
$9
$15
3 horas
3 horas
Ninguna
Electronic Comunications ahora se enfrenta al problema de establecer un
estrategia de distribución para los radios, que maximice la reditualidad general
de la producción de nuevos radios. Debe tomarse decisiones en relación con
cuantas unidades deben asignarse a cada uno de los cuatro canales de
distribución, así como asignar el presupuesto de publicidad y el esfuerzo de la
fuerza de ventas a cada uno de los canales de distribución.22
Solución:
X1 = Numero de radios
asignados
asignados
asignados
asignados
a
a
a
a
distribuidores de equipo marino
distribuidores de equipos de oficina
cadenas nacionales de tiendas
pedidos por correo

Función Objetivo
Zmax = 90X1 + 84X2 + 70X3 + 60X4

Restricciones
10X1 + 8X2 + 9X3 + 15X4 ≤ 5.000 por presupuesto
2X1 + 3X2 + 3X3 ≤ 1.800 horas de esfuerzo en ventas
X3 ≥ 150 unidades mínimas para cadenas nacionales

No negatividad
Xi ≥ 0; i=1,4
ELECTRONIC COMUNICATION
Distribuidores
Cadenas pedidos
Equipo
Equipos de nacionales
por
Radios asignados a
Marino
Oficina
de tiendas correo
Número de Radios
1
1
1
1 Max
Utlidades
90
84
70
60
304
RESTRICCIONES
Presupuesto
Esfuerzo laboral
Contrato cadena nacion
USO DE
RECUROS
10
2
8
3
9
3
1
15
Utilizado
42 ≤
8 ≤
1 ≥
LIMITE
No utiliz
5000 4958.00
1800 1792.00
150 -149.00
22
Página: 46
ELECTRONIC COMUNICATION
Distribuidores
Cadenas pedidos
Equipo
Equipos
nacionales
por
Radios asignados a
Marino
de Oficina de tiendas correo
Número de Radios
10.71429 442.85714
150
0 Max
Utlidades
90
84
70
60 48664.29
RESTRICCIONES
Presupuesto
Esfuerzo laboral
Contrato cadena
nacion
USO DE
RECUROS
10
2
8
3
Utilizado
LIMITE No utiliz
15
5000 ≤
5000
0.00
1800 ≤
1800
0.00
9
3
1
150 ≥
150
23. National Insurance Associates mantiene una cartera de inversiones en acciones,
bonos y otras alternativas de inversión. Actualmente hay fondos disponibles por
200.000 dólares y deben ser tomados en consideración para nuevas
oportunidades de inversión. Las cuatro opciones de valores que National está
considerando así como los datos financieros relevantes correspondientes son los
que siguen:
Acción
Datos financieros
Precio por acción ($)
Tasa anual de rendimiento
Medida de riego por dólar
A
100
0.12
0.10
B
50
0.08
0.07
C
80
0.06
0.05
D
40
0.10
0.08
La medida de riesgo indica la incertidumbre relativa asociada con la acción, en
función de su capacidad de alcanzar su rendimiento anual proyectado; valores
más elevados indican mayor riesgo. Las medidas de riesgo son proporcionadas
por el principal asesor financiero de la empresa.
La administración general de National ha estipulado las siguientes vías de acción
para las inversiones:
1. La tasa de rendimiento anual de la cartera debe ser por lo menos 9%
2. Ninguno de los valores puede representar más del 50% de la inversión
total en dólares.
a. Utilice la programación lineal para desarrollar una cartera de inversiones que
minimice el riesgo.
b. Si la empresa ignora el riesgo y utiliza una estrategia de máximo rendimiento
sobre la inversión, ¿Cuál sería la cartera de inversiones?
Página: 47
0.00
c. ¿Cuál es la diferencia en dólares entre las carteras de inversiones de los
incisos (a) y (b)? ¿Por qué preferiría la empresa la solución desarrollada en el
inciso (a)23
REFERENCIA: Página 316 Problema 16. Métodos Cuantitativos para los
Negocios. 7ma Edición. Anderson Sweeney Willams. Editorial Thomson.
Solución a):
X1 = Cantidad de acciones
asignados
asignados
asignados
asignados
a
a
a
a
opción A
opción B
opción C
opción D

Función Objetivo
Zmin = 10X1 + 3.5X2 + 4.0X3 + 3.2X4

Restricciones
100X1 + 50X2 + 80X3 + 40X4 ≤ 200.000 dólares disponibles
12X1 + 4.0X2 + 4.8X3 + 4.0X4 ≥ 0.09*200.000 rendimiento
100X1 ≤ 0.5*200.000
inversión máxima de X1
50X2 ≤ 0.5*200.000
80X3 ≤ 0.5*200.000
40X4 ≤ 0.5*200.000

No negatividad
Xi ≥ 0; i=1,4
National Insurance Associates
Acciones
Accionea asignadas a
Cantidad
Riesgo
RESTRICCIONES
Dólares disponibles
Rendimiento annual
Invesión máx en A
Invesión máx en B
Invesión máx en C
Invesión máx en D
A
B
1
10
1
3.5
USO DE RECUROS
100
50
12
4
100
50
C
D
1
4
80
4.8
80
1 Min
3.2
20.7
Utilizado
40
270
4
24.8
100
50
80
40
40
≤
≥
≤
≤
≤
≤
LIMITE No utiliz
200000 199730.00
18000 -17975.20
100000
99900.00
100000
99950.00
100000
99920.00
100000
99960.00
23
Página: 48
Resultados del SOLVER
National Insurance Associates
Acciones
Accionea asignadas a
Cantidad
Riesgo
RESTRICCIONES
Dólares disponibles
Rendimiento annual
Invesión máx en A
Invesión máx en B
Invesión máx en C
Invesión máx en D
A
333.3333
10
USO DE
RECUROS
100
12
100
B
C
0 833.333333
3.5
4
50
4
80
4.8
50
80
D
2500 Min
3.2 14666.67
Utilizado
40
200000
4
18000
33333.33
0
66666.67
40
100000
≤
≥
≤
≤
≤
≤
LIMITE
No utiliz
200000
0.00
18000
0.00
100000 66666.67
100000 100000.00
100000 33333.33
100000
0.00
24. La administración de Carson Stapler Manufacturing Company pronostica para el
trimestre que viene una demanda de 5000 unidades para su modelo Sure-Hold.
Esta engrapadora se ensambla a partir de tres componentes principales: la
base, el cartucho de grapa y la manija. Hasta ahora Carson ha fabricado los tres
componentes. Sin embargo, el pronóstico de 5000 unidades es un nuevo
volumen máximo de venta y la empresa quizá no tenga suficiente capacidad de
producción para la fabricación de todos los componentes. La administración está
pensando contratar una empresa maquiladora local para producir por lo menos
una parte de los componentes. Los requisitos de tiempos de producción por
unidad son como sigue:
Departamento
A
B
C
Tiempo de producción (horas)
Base
Cartucho
Manija
0.03
0.02
0.05
0.04
0.02
0.04
0.02
0.03
0.01
Tiempo
disponible
(horas)
400
400
400
Note que cada componente fabricado por Carson ocupa tiempo de producción
en cada uno de los tres departamentos.
Después de tomar en consideración los gastos generales, las materias primas y
los costos de mano de obra de la empresa, el departamento de contabilidad ha
llegado al costo unitario, en dólares, de manufactura de cada componente.
Estos datos junto con las cotizaciones de la empresa maquiladora de los precios
de compra, en dólares, son como sigue:
Componente
Base
Cartucho
Manija
Costo de manufactura
0.75
0.40
1.10
Costo de adquisición
0.95
0.55
1.40
Página: 49
a. Determine cuál sería la decisión de fabricar o comprar para Carson, que haga
que pueda cumplirse la demanda de 5000 unidades a un costo total mínimo.
De cada componente, ¿Cuántas unidades deberán ser fabricadas y cuantas
deberán ser adquiridas?
b. ¿Qué departamentos están limitando el volumen de fabricación? Si pudiera
considerarse tiempo extraordinario a un costo adicional de $3 la hora, ¿Qué
departamento o departamentos deberían ser motivo de tiempo extra?
Explique.
c. Suponga que en el departamento A se pueden programar hasta 80 horas de
tiempo extra. ¿Qué recomendaría usted?24
Solución:
X11 = Numero de bases para grapadoras producidas
X12 = Numero de cartuchos para grapadoras producidos
X13 = Numero de manijas producidas para grapadoras producidas
X21 = Numero de bases para grapadoras adquiridas
X22 = Numero de cartuchos para grapadoras adquiridos
X23 = Numero de manijas para grapadoras adquiridas

Función Objetivo
Zmin = 0.75X11 + 0.40X12 + 1.10X13 + 0.95X21 + 0.55X22 + 1.40X23

Restricciones
0.03X11 + 0.02X12
0.04X11 + 0.02X12
0.02X11 + 0.03X12
X11 + X21 = 5.000
X12 + X22 = 5.000
X13 + X23 = 5.000

No negatividad
Xij ≥0; i=1,2; j=1,3
+ 0.05X13 ≤ 400
horas disponibles Dep. A
+ 0.04X13 ≤ 400
horas disponibles Dep. B
+ 0.01X13 ≤ 400
horas disponibles Dep. C
cantidad de bases
cantidad de cartuchos
cantidad de manijas
Unidades de
Cantidad
Costos
Carson Stapler Manufacturing Company
Producidas
Grapas
Cartuchos Manijas Grapas
1
1
1
1
0.75
0.4
1.1
0.95
Adquiridas
Cartuchos
1
0.55
Manijas
1
1.4
Min
5.15
24
Página: 50
RESTRICCIONES
Horas Departamento A
Horas Departamento B
Horas Departamento C
Cantidad de bases
Cantidad de cartuchos
Cantidad de manijas
USO DE RECUROS
0.03
0.02
0.04
0.02
0.02
0.03
1
1
1
Utilizado
0.1
0.1
0.06
2
2
2
Manijas
1250
1.4
Min
11875
1
Utilizado
400
400
262.5
5000
5000
5000
0.05
0.04
0.01
1
1
1
≤
≤
≤
=
=
=
LIMITE
400
400
400
5000
5000
5000
No utiliz
399.90
399.90
399.94
4998.00
4998.00
4998.00
≤
≤
≤
=
=
=
LIMITE
400
400
400
5000
5000
5000
No utiliz
0.00
0.00
137.50
0.00
0.00
0.00
Datos de salida de SOLVER
Unidades de
Cantidad
Costos
RESTRICCIONES
Horas Departamento A
Horas Departamento B
Horas Departamento C
Cantidad de bases
Cantidad de cartuchos
Cantidad de manijas
Carson Stapler Manufacturing Company
Producidas
Grapas
Cartuchos Manijas Grapas
3750
5000
3750
1250
0.75
0.4
1.1
0.95
USO DE RECUROS
0.03
0.02
0.04
0.02
0.02
0.03
1
1
Adquiridas
Cartuchos
0
0.55
0.05
0.04
0.01
1
1
1
25. Golf Shafts (GSI) produce palos de grafito para varios fabricantes de palos de
golf. Dos instalaciones de fabricación de GSI, una localizada en San Diego y otra
en Tampa, tienen capacidad para producir palos en diversos grados de rigidez,
desde modelos normales, principalmente utilizados por golfistas promedio, hasta
modelos extrarígidos, utilizados principalmente por golfistas con bajo handicap y
profesionales. GSI acaba de recibir un contrato para la producción de 200.000
palos normales y 75.000 rígidos. Dado que ambas plantas actualmente están
produciendo palos de golf para cumplir con órdenes anteriores, ningún de las
plantas tiene capacidad suficiente, por si misma, para llenar el nuevo pedido. La
planta de San diego puede producir hasta un total de 120.000 palos, y la de
Tampa, hasta un total de 180.000 palos de golf. Debido a diferencias en
equipamiento en cada una de las plantas y de distintos costos de mano de obra,
los costos de producción unitarios son distintos, como se muestra a
continuación:
Palo normal
Palo rígido
Costo de San Diego
$ 5.25
$ 5.45
Costo de Tampa
$ 4.95
$ 5.70
a. Formule un modelo de programación lineal para determinar la manera en que
GSI deberá programar la producción de este nuevo pedido para minimizar el
costo total de producción.
b. Utilice cualquier código de programación lineal para resolver el modelo
desarrollado en el inciso (a)
c. Suponga que algunas de las órdenes anteriores de la planta de Tampa podrían
ser reprogramadas para liberar la capacidad adicional para esta nueva orden.
¿Merecería esto la pena? Explique.
d. Suponga que el costo de producir un palo de golf rígido en Tampa fue
incorrectamente calculado, y que el costo correcto es de 5.30 dólares por palo.
Página: 51
¿Qué efecto, si es que hubiera alguno, tendría lo anterior sobre la solución
óptima desarrollada en el inciso (b)? ¿Qué efecto tendría lo anterior sobre el
costo total de producción?25
Solución a):
X1 = Numero de unid. de palos de golf normales fabricados en San Diego
X2 = Numero de unid. de palos de golf extrarígidos fabricados en San Diego
X3 = Numero de palos de golf normales fabricados en Tampa
X4 = Numero de palos de golf extrarígidos fabricados en Tampa

Función Objetivo
Zmin = 5.25X1 + 5.45X2 + 4.95X3 + 5.70X4

Restricciones
X1 + X3 = 200.000
X2 + X4 = 75.000
X1 + X2 ≤ 120.000
X3 + X4 ≤ 180.000
 No negatividad
Xi ≥ 0; i=1,4
palos
palos
palos
palos
de golf normales
de golf extrarígidos
fabricados en San Diego
fabricados en Tampa
Golf Shafts (GSI)
San Diego
Palos de Golf
Tampa
Normales
Extrarígid
Normales
Extrarígid
1
1
1
1
5.25
5.25
4.95
5.7
Cantidad
Costos
RESTRICCIONES
USO DE RECUROS
Palos normales
Palos
extrarígidos
1
Fabric. San Diego
1
21.15
Utilizado
1
1
Fabric. Tampa
Min
1
1
1
1
LIMITE
No utiliz
2
≥
200000
199998.00
2
≥
75000
74998.00
2
≤
120000
119998.00
2
≤
180000
179998.00
25
Página: 52
Golf Shafts (GSI)
San Diego
Palos de Golf
Cantidad
Costos
Tampa
Normales
Extrarígid
Normales
Extrarígid
20000
75000
180000
0
5.25
5.25
4.95
5.7
RESTRICCIONES
USO DE RECUROS
Palos normales
Palos
extrarígidos
1
Fabric. San Diego
1
1E+06
Utilizado
1
1
Fabric. Tampa
Min
1
1
1
1
LIMITE
No utiliz
2E+05
≥
200000
0.00
75000
≥
75000
0.00
95000
≤
120000
25000.00
2E+05
≤
180000
0.00
26. La Pfeiffer Company administra aproximadamente 15 millones de dólares para sus
clientes. Para cada Cliente, Pfeiffer escoge una mezcla de tres tipos de
inversiones: un fondo de valores de crecimiento, un fondo de ingresos y un
fondo de mercado de dinero. Cada cliente tiene objetivos de inversión distintos
y diferentes tolerancias de riesgo. Para dar gusto a estas diferencias, Pfeiffer
establece límites en cada cartera para los porcentajes que pueden ser invertidos
en estos tres fondos y a cada cliente le asigna un índice de riesgo.
Así como este sistema funciona para Dennos Hartmann, uno de los clientes de
Pfeiffer Con base en una evaluación de la tolerancia al riesgo de Hartmann,
Pfeiffer le ha asignado a la cartera de Hartmann un índice de 0.05. Además,
para mantener cierta diversidad, la fracción de la cartera de Hartmann invertida
en fondos de crecimiento y de ingresos debe ser por lo menos de 10% cada una
y por lo menos 20% deberá estar invertido en fondos de mercado de dinero.
Las evaluaciones de riego para los fondos de crecimiento, de ingresos y de
mercado de dinero son respectivamente 0.10, 0.05 y 0.01. El índice de riesgo de
cada una se calcula como el promedio ponderado de la valuaciones de riesgo de
los tres fondos, donde los coeficientes de ponderación son iguales a la fracción
de la cartera invertida en cada uno de los tres fondos. Hartmann le ha dado
300.000 dólares a Pfeiffer para su administración. Pfeiffer está pronosticando
actualmente un rendimiento del 20% en el fondo de crecimiento, 10% en el
fondo de ingresos y 6% en el fondo de mercad de dinero.
a. Desarrolle un modelo de programación lineal para seleccionar la
mejor mezcla de inversiones para el cartera Hartmann.
b. Resuelva el modelo desarrollado en el inciso (a)
c. ¿Cuánto pueden variar los rendimientos de los tres fondos, antes
que Pfeiffer tenga que modificar la composición de la cartera de
Hartmann?
d. Si Hartmann fuera mas tolerante al riesgo. ¿qué aumento de
rendimiento podría esperar? Por ejemplo, ¿Qué pasaría si su índice
de riesgo de cartera aumentaría al 0.06?
Página: 53
e. Si Pfeiffer revisa hacia abajo su estimación de rendimiento para el
fondo de crecimiento hasta 0.10, ¿Cómo recomendaría usted que se
modificara la cartera de Hartmann?
f. ¿Qué información debe mantener Pfeiffer sobre cada cliente para
utilizar este sistema para la administración de las carteras de los
clientes?
g. En base semanaria Pfeiffer revisa las estimaciones de rendimiento
de cada uno de los tres fondos. Suponga que Pfeiffer tiene 50
clientes. Describe la forma en que Pfeiffer podría ser modificaciones
semanales en cada cartera de cliente, y asignar los fondos totales
administrados entre los tres fondos de inversión.26
Solución a):
X1 = Cantidad de dólares asignados a valores de crecimiento
X2 = Cantidad de dólares asignados a ingresos
X3 = Cantidad de dólares asignados a mercado de dinero

Función Objetivo
Zmax = 0.20X1 + 0.10X2 + 0.06X3

Restricciones
X1 ≥ 0.10*300.000 para valores de crecimiento
X2 ≥ 0.10*300.000 para ingresos
X3 ≥ 0.20*300.000 para mercado de dinero
X1 + X2 +X3 ≤ 300.000 cartera
0.10X1 + 0.05X2 + 0.01X3 ≤ 0.05*300.000 riesgo de cartera

No negatividad
Xi ≥ 0; i=1,3
La Pfeiffer Company
Asignados a
Cantidad de
dólares
Crecimiento
Ingresos
Mercado
1
1
1
Rendimiento
0.2
0.1
0.06
RESTRICCIONES
USO DE RECUROS
Crecimiento
Riesgo
Cartera
LIMITE
No utiliz
1
≥
30000
-29999.00
1
≥
30000
-29999.00
1
1
≥
60000
-59999.00
1
Mercado de dinero
0.36
Utilizado
1
Ingresos
Max
0.1
0.05
0.01
0.16
≤
15000
14999.84
1
1
1
3
≤
300000
299997.00
26
Thomson. Página 317. Problema 19
Página: 54
La Pfeiffer Company
Asignados a
Cantidad de
dólares
Crecimiento
Ingresos
Mercado
120000
30000
150000
Rendimiento
0.2
0.1
0.06
RESTRICCIONES
USO DE RECUROS
Crecimiento
Riesgo
Cartera
LIMITE
No utiliz
1E+05
≥
30000
90000.00
30000
≥
30000
0.00
1
2E+05
≥
60000
90000.00
1
Mercado de dinero
36000
Utilizado
1
Ingresos
Max
0.1
0.05
0.01
15000
≤
15000
0.00
1
1
1
3E+05
≤
300000
0.00
27. La Jolla Beverage Products está pensando en producir un refresco de vino, que
sería mezcla de un vino blanco, de un vino rosado y de jugo de fruta. A fin de
llenar las especificaciones de sabor, el refresco de vino debe estar hecho con
por lo menos 50% de vino blanco, un mínimo de un 20% y no más de un 30%
de rosado, y 20% de jugo de fruta. La Jolla adquiere el vino de los viñedos o
lugares cercanos y el jugo de frutas de una planta procesadora en San
Francisco. Para el período actual de producción, pueden adquirirse 10.000
galones de vino blanco y 8.000 galones de vino rosado, no hay límite en la
cantidad de jugo de fruta que se puede pedir. El costo de los vinos es de un
dólar por galón para el vino blanco y de 1.50 dólares por galón para el vino
rosado; el jugo de fruta se puede adquirir a 0.50 por galón. La Jolla Beverage
Products puede vender todo el refresco que pueda producir a 2.50 dólares por
galón.
a. ¿En esta situación, es el costo de vino y el costo de frutas un costo hundido,
o uno relevante? Explique.
b. Formule un programa lineal para determinar el número de galones que La
Jolla Beverage Products deberá adquirir de cada ingrediente y la contribución
a la utilidad total que obtendrán de esta mezcla.
c. Si La Jolla Beverage Products pudiera obtener cantidades adicionales de vino
blanco, ¿debería hacerlo? De hacerlo, ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar
por cada galón adicional, y cuantos galones adicionales desearía adquirir?
d. Si La Jolla Beverage Products pudiera obtener cantidades adicionales de vino
rosado, ¿debería hacerlo? De hacerlo, ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar
por cada galón adicional, y cuanto galones adicionales desearía adquirir?
e. Interprete el precio dual para la restricción que corresponde al requisito de
que el refresco de vino debe contener por lo menos 50% de vino blanco.¿Cual
sería su consejo a la administración respecto a este precio dual?
f. Interprete el precio dual de la restricción que correspóndela requisito de que al
refresco de vino debe contener exactamente el 20% de jugo de frutas.¿Cual
es su consejo a la administración respecto a este precio dual?27
27
Página: 55
Solución b):
X1 = Cantidad de galones de vino blanco
X2 = Cantidad de galones de vino rosado
X3 = Cantidad de galones de jugo de frutas

Función Objetivo
Zmax = 2.5*(X1+X2+X3) – 1X1 – 1.5X2 -0.5X3

Restricciones
X1 ≤ 10.000 cantidad máxima de vino blanco
X2 ≤ 8.000 cantidad máxima de vino rosado
X1 ≥ 0.5(X1 +X2 + X3) dosificación máxima de vino blanco
X2 ≥ 0.2(X1 +X2 +X3) dosificación mínima de vino rosado
X2 ≤ 0.3(X1 +X2 +X3) dosificación máxima de vino rosado
X3 ≤ 0.2(X1 +X2 +X3) dosificación de jugo de frutas

No negatividad
Xi ≥ 0; i=1,3
Galones de
La Pfeiffer Company
Vino
V.
Blanco
Rosado
Cantidad
Utilidad
Frutas
1
1
1
1.5
1
2
RESTRICCIONES
USO DE RECUROS
Vino blanco
1
Vino rosado
Max
4.5
Utilizado
1
LIMITE
No utiliz
1
≤
10000
9999.00
1
≤
8000
7999.00
Min. vino blanco
0.5
-1
-1
-1.5
≥
0
-1.50
Min. vino rosado
-0.2
0.8
-0.2
0.4
≥
0
-0.40
Max. vino rosado
-0.3
0.7
-0.3
0.1
≤
0
-0.10
Max. frutas
-0.2
-0.2
0.8
0.4
≤
0
-0.40
Galones de
La Pfeiffer Company
Vino
V.
Blanco
Rosado
Cantidad
Utilidad
Frutas
10000
3000
2000
1.5
1
2
Max
22000
Página: 56
RESTRICCIONES
USO DE RECUROS
Vino blanco
1
Vino rosado
Utilizado
1
LIMITE
No utiliz
10000
≤
10000
0.00
3000
≤
8000
5000.00
Min. vino blanco
0.5
-1
-1
1E-08
≥
0
0.00
Min. vino rosado
-0.2
0.8
-0.2
6E-09
≥
0
0.00
Max. vino rosado
-0.3
0.7
-0.3
-1500
≤
0
1500.00
Max. frutas
-0.2
-0.2
0.8
-1000
≤
0
1000.00
28. El gerente de programación del Canal 10 desea determinar la mejor forma de
asignar el tiempo para la difusión de las noticias vespertinas de las 11:00 a las
11:30. Específicamente le gustaría determinar el número de minutos de tiempo
de difusión dedicado a noticias locales, noticias nacionales, el clima y los
deportes. A lo largo de los 30 minutos de difusión, se reservan 10 minutos para
nubilidad. La política de difusión indica que por lo menos 15% del tiempo
disponible deberá dedicarse a cobertura de noticias locales el tiempo dedicado a
noticias locales y nacionales deberá ser por lo menos 50% del tiempo total de
difusión; el tiempo dedicado al segmento del clima deberá ser inferior o igual al
tiempo que se dedique al segmento de deportes; el tiempo dedicado al
segmento de deportes no deberá ser superior al tiempo total dedicado a
noticias locales y nacionales; y por lo menos, 20% del tiempo deberá dedicarse
al segmento del clima. Los costos de producción por minuto son de 300 dólares
para noticias locales, 200 dólares para noticias nacionales, 100 dólares para el
clima y 100 dólares para deportes.
Solución:
X1 = número de minutos
para noticias locales
para noticias nacionales
sobre clima
sobre deportes

Función Objetivo
Z min = 300X1 + 200X2 + 100X3 + 100X4

Restricciones
X1 ≥ 15%(X1 + X2 + X3 + X4) tiempo noticias locales
X1 + X2 ≥ 50%(X1 + X2 + X3 + X4) tiempo noticias locales y nacionales
X3 ≤ X4 tiempo de noticias del clima
X4 ≤ (X1 + X2) tiempo para deportes
X3 ≥ 20%(X1 + X2 + X3 +X4) tiempo para clima
X1 +X2 + X3 + X4 = 20 tiempo disponible en minutos
No negatividad
Xi ≥ 0; i=1,4

PROGRAMACIÓN CANAL 10
Página: 57
MINUTOS en
Noticias
Locales
Cantidad
Costos
Nacionales
Clima
Deportes
1
1
1
1
300
200
100
100
RESTRICCIONES
Min
700
USO DE RECUROS
Noticias Locales
Not. Locales y Nac
Noticias Clima
Tiempo disponible
LIMITE
No utiliz
0,85
-0,15
-0,15
-0,15
0,4
≥
0
-0,40
0,5
0,5
-0,5
-0,5
0
≥
0
0,00
1
-1
0
≤
0
0,00
0
-1,00
Noticias Clima
Noticias Deportes
Utilizado
1
1
-1
1
≥
-0,2
-0,2
0,8
-0,2
0,2
≥
0
-0,20
1
1
1
1
4
≤
20
16,00
PROGRAMACIÓN CANAL 10
MINUTOS en
Noticias
Locales
Nacionales
Clima
Deportes
3
7
5
5
300
200
100
100
Cantidad
Costos
RESTRICCIONES
Noticias Locales
USO DE RECUROS
Min
3300
Utilizado
LIMITE
No utiliz
0,85
-0,15
-0,15
-0,15
-2E-12
≥
0
0,00
0,5
0,5
-0,5
-0,5
9E-12
≥
0
0,00
1
-1
0
≤
0
0,00
-1
5
≥
0
-5,00
Not. Locales y Nac
Noticias Clima
Noticias Deportes
Noticias Clima
Tiempo disponible
1
1
-0,2
-0,2
0,8
-0,2
1
≥
0
-1,00
1
1
1
1
20
≤
20
0,00
29. Gulf Coast Electronics está listo para asignar contratos para la impresión de su
informe anual. Durante los últimos años, un informe anual a cuatro colores ha
sido impreso por Johnson Printing y Likeside Litho. Una nueva empresa,
Benson Printing, ha inquirido sobre la posibilidad de efectuar una parte de la
impresión. El nivel de calidad y servicio de Likeside Litho ha sido
extremadamente elevado; de hecho sólo el 0,05% de sus informes tuvieron que
ser descartados por problemas de calidad. Johnson Printing también ha tenido
un nivel histórico elevado de calidad, produciendo un promedio de sólo 1% de
informes no aceptables. Dado que la Gulf Coast Electronics no ha tenido
experiencia con Benson Printing, ha estimado su tasa de defectos en 10%. A
Gulf Coast Electronics le gustaría determinar cuantos informes deberán ser
impresos por cada una de estas empresas, para obtener 75.000 informes de
calidad aceptables. Para asegurarse de que Benson Printing recibirá una parte
del contrato de la administración ha especificado que el número de informes
asignados a Benson Printing deberá ser, por lo menos 10% del volumen que se
asigne a Johnson Printing. Además el volumen total asignado a Benson Printing,
Johnson Printing y Likeside Lithono deberá exceder 30.000, 50.000 y 50.000
ejemplares respectivamente. Debido a la larga relación desarrollada con Likeside
Litho, la administración también ha indicado que a Likeside Litho se le deberá
Página: 58
asignar por lo menos 30.000 informes. El costo por ejemplar es de 2.45 dólares
para Benson Printing, 2.50 dólares para Johnson Printing, y 2.75 dólares para
Likeside Litho.
a. Formule y resuelva un programa lineal para determinar cuántos ejemplares
deberán asignarse a cada empresa impresora, para maximizar el costo total de
obtener 75.000 informes de calidad aceptable.
b. Suponga que el nivel de calidad de Benson Printing resulta mucho mejor a lo
estimado. ¿Qué efecto, si es que existe alguno, tendría?
c. Suponga que la administración está dispuesta a reconsiderar su requisito de
que a Likeside Litho se le den por lo menos 30.000 informes.¿Que efecto, si es
que hay alguno, tendría esto?
Solución:
X1 = cantidad de ejemplares asignados a Litho
X2 = cantidad de ejemplares asignados a Johnson
X3 = cantidad de ejemplares asignados a Benson

Función Objetivo
Zmax = 2.75X1 + 2.5X2 +2.45X3

Restricciones
99.5%X1 + 99%X2 + 90%X3 ≤ 75.000 ejemplares de buena calidad
X3 ≥ 10%X2 asignación mínima Benson
X3 ≤ 30.000 asignación max a Benson
X2 ≤ 50.000 asignación max a Johnson
X1 ≤ 50.000 asignación max a Litho
X1 ≥ 30.000 asignación min a Litho

No negatividad
Xi ≥0; i=1,3
PROGRAMACIÓN Gulf Coast Electronics
Ejemplares
Cantidad
Costos
RESTRICCIONES
Litho
Johnson
Benson
1
1
1
2,75
2,5
2,45
USO DE RECUROS
Max
7,7
Utilizado
LIMITE
No utiliz
Página: 59
Ejemplares de calidad
0,995
Johnson y Benson
0,99
0,9
2,885
≤
75000
74997,12
-0,1
1
0,9
≥
0
1
1
≤
30000
-0,90
29999,00
1
≤
50000
49999,00
1
≤
50000
49999,00
1
≥
30000
-29999
Ejemplares Benson
Ejemplares Johnson
1
1
1
Ejemplares Litho
Ejemplares Litho
Datos salida SOLVER
PROGRAMACIÓN Gulf Coast Electronics
Ejemplares
Litho
Cantidad
Costos
RESTRICCIONES
Ejemplares de calidad
Johnson
Benson
50000
0
28055,6
2,75
2,5
2,45
USO DE RECUROS
0,995
Johnson y Benson
Ejemplares Litho
Ejemplares Litho
206236
Utilizado
LIMITE
No utiliz
0,99
0,9
75000
≤
75000
-0,1
1
28055,6
≥
0
0,00
28055,56
1
28055,6
≤
30000
-1944,44
0
≤
50000
50000,00
50000
≤
50000
0,00
50000
≥
30000
20000
Ejemplares Benson
Ejemplares Johnson
Max
1
1
1
30. Como una ilustración de la asignación de recursos que usa la programación lineal,
considere el problema siguiente acerca de la planificación de producción en una
tienda. La producción debe fijarse para dos tipos de máquinas, la maquina 1 y la
máquina 2. Ciento veinte horas de tiempo enlatables pueden fijarse para
máquina1, y 80 horas para máquina 2. La producción durante el periodo de
planificación se limita a dos productos. A y B, cada unidad del producto A requiere
2 horas de tiempo del proceso en cada máquina. Cada unidad de producto que B
requiere de 3 horas en la máquina 1 y de 1.5 horas en la máquina 2. El margen
de la contribución es $4.00 por cada unidad de producto A y $5.00 por cada
unidad de producto B. Ambos tipos de productos pueden comercializarse
prontamente; por consiguiente, la producción debe fijarse con el objetivo de
aumentar al máximo la ganancia.28
La formulación:
Dado,
X1 = número de unidades del producto A para producción
X2 = número de unidades del producto B para producción
Maximizar la contribución en la ganancia, Z = 4X1 + 5X2
28
Sets, Matrices, and Linear Programming. Robert L. Childress
Página: 60
Sujeto a:
2X1 + 3X2 ≤ 120 (recurso máquina 1)
2X1 + 1.5X2 ≤ 80 (recurso máquina 2)
X1 ≥ 0
(no negatividad)
X2 ≥ 0
(no negatividad)
Datos de entrada para Solver
Solución: opción b)
Solución
Z max
X1
X2
a)
213.33
20
25
b)
213.33
20
26.667
c)
313.33
25
26.667
d)
213.33
15
25
e)
213.33
20
16.667
31. Para ilustrar un problema de la programación lineal en que el costo se minimiza,
considere el problema que enfrenta el fabricante de metales. La empresa produce
una aleación que es hecho de acero y metal de trozos. El costo por la tonelada de
acero es $50 y el costo por la tonelada de trozo es de $20. Los requisitos
tecnológicos para la aleación son (1) un mínimo de una tonelada de acero se
Página: 61
requiere para cada dos toneladas de trozo; (2) una hora de tiempo de
procesamiento se requiere por cada tonelada de acero, y se requieren cuatro
horas de tiempo de procesamiento por cada tonelada de trozo; (3) el acero y el
trozo se combinan linealmente para hacer la aleación. La pérdida en proceso del
acero es 10 por ciento y la pérdida en proceso del trozo es 20 por ciento. Aunque
la producción puede exceder la demanda, un mínimo de 40 toneladas de la
aleación debe fabricarse. Para mantener el funcionamiento de la planta
eficazmente, un mínimo de 80 horas de tiempo de procesamiento debe usarse. El
suministro tanto de los trozos como del acero es adecuado para la producción de
la aleación. El objetivo del fabricante es producir la aleación a un costo mínimo.29
La formulación matemática al problema de programación lineal puede plantearse
de la siguiente manera
Dado,
X1 = número de toneladas de acero para producción de aleación
X2 = número de toneladas de trozo para producción de aleación
Minimizar el costo Z = 50X1 + 20X2
Análisis:
(1) un mínimo de una tonelada de acero se requiere por cada dos toneladas de
trozo
1 X1

2 X 2 ; X 2  2X 1 ; X2 – 2X1 ≥ 0 ; 2X1 – X2 ≥ 0
(2) se necesitan una hora de procesamiento por cada tonelada de acero y
cuatro horas de tiempo de procesamiento por cada tonelada de trozo y un
mínimo de 80 horas
1X1 + 4X2 ≥ 80
(3) La pérdida en proceso es del 10% de acero y el 20% de trozo, demanda
mínima d 40 toneladas de aleación
rendimiento del acero (1-10%)X1
rendimiento del trozo (1-20%)X2
(1-10%)X1 + (1-20%)X2 ≥ 40
0.90X1 + 0.80X2 ≥ 40
Sujeto a:
2X1 – X2 ≥ 0
(1)
1X1 + 4X2 ≥ 80
(2)
0.90X1 + 0.80X2 ≥ 40
(3)
X1 ≥ 0
(no negatividad)
29
Sets, Matrices, and Linear Programming. Robert L. Childress
Página: 62
X2 ≥ 0
(no negatividad)
Solución: opción a)
Solución
Z max
X1
X2
a)
1.440
16
32
b)
1.440
32
16
c)
144
16
26.667
d)
1.440
15
25
e)
1.044
32
16.667
32. La Kenmore Corporation, un fabricante progresista de mecanismos civiles y
militares, fabrica actualmente una línea de armas para civiles, con una producción
actual diaria de 30 unidades del modelo Z-1200 y de 120 unidades del modelo Z1500. El vicepresidente de manufactura quiere saber si podría aumentarse las
ganancias cambiando la mezcla de productos entre los dos modelos. Se compiló la
Página: 63
siguiente información sobre las horas requeridas para la fabricación de cada
modelo y las capacidades de los departamentos de la fábrica.30
Horas-Hombre requeridas
Departamentos Modelo
Z- Modelo
1200
1500
Dep. 1
2
0
Dep. 2
0
3
Dep. 5
2
2
Dep. 4
1 1/5
1 1/2
Contribución
por unidad
$ 50
$ 40
Capacidad
Z- Departamental
diarias)
300
540
440
300
(horas
Formulación del problema:

X1 = Cantidad de unidades del modelo Z-1200
X2 = Cantidad de unidades del modelo Z-1500

Función Objetivo: Maximizar Z = 50 X1 + 40 X2

Restricciones:

2 X1 + 0 X2 ≤ 300
por Dep. 1
0 X1 + 3 X2 ≤ 540
por Dep. 2
2 X1 + 2 X2 ≤ 440
por Dep. 5
1.2 X1 + 1.5 X2 ≤ 300
por Dep. 4
No negatividad:
X i ≥ 0; i = 1, 2
Solución gráfica por computador (usando el GLP)
30
Robert J. Thierauf y Richard A. Grosse. Toma de decisiones por medio de Investigación de
Operaciones. Limusa. Pag 273
Página: 64
Solución con SOLVER:
Datos de entrada
Página: 65
Datos de salida:
Producción Actual: Z = 50(30) + 40(120) = $ 6.300
Producción Nueva: Z = 50(150) + 40(70) = $ 10.300
Aumenta las ganancias en: 10.300 – 6.300 = $ 4.000
Respuestas múltiples: respuesta correcta d)
a)
b)
c)
d)
e)
aumenta las ganancias en
no aumenta las ganancias
$
$
$
$
3.000
6.300
10.300
4.000
Página: 66
33. Reddy Mikks produce pinturas tanto para interiores como para exteriores a partir
de dos materias primas, M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos básicos
del problema:
Toneladas de materia prima
por tonelada de
Pintura para Pintura para
exteriores
interiores
6
4
1
2
Materia prima, M1
Materia prima, M2
Utilidad
por
tonelada
$5
(1000 dólares)
Disponibilidad
máxima
diaria
en toneladas
24
6
$4
Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para
interiores a 2 toneladas. Además la demanda diaria de pintura para interiores
no puede exceder a la de pintura para exteriores por más de 1 tonelada.
Reddy Mikks quiere determinar la mezcla de producto óptima (la mejor) de
pinturas para interiores y para exteriores que maximice la utilidad diaria
total.31

Definición de variables:
X1 = Número de toneladas de Pintura para Exteriores
X2 = Número de toneladas de Pintura para Interiores

Función objetivo: Maximizar Z = 5.000 X1 + 4.000 X2

Restricciones
6 X1 + 4 X2 ≤ 24
1 X1 + 2 X2 ≤ 6
0 X1 + 1 X2 ≤ 2
-1X1 + 1 X2 ≤ 1

No negatividad:
por disp. Materia prima M1
por disp. Materia prima M2
máximo diario de pint. Int.
demanda diaria
X i ≥ 0; i = 1, 2
31
Handy A. Taha. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Prentice Hall. Pag. 11
Página: 67
Datos de entrada
Datos de salida:
Página: 68
Solución:
Producir diariamente 3 toneladas de pintura para exteriores y 1.5 toneladas de
pintura para interiores, para producir una ganancia máxima de $ 21.000,00
Solución múltiple: respuesta correcta c)
Rubro
Pint. Ext (ton)
Pint. Int (ton)
Ganan. max.($)
a
1.5
3.0
21.000
b
3.0
1.5
20.000
Respuestas
c
3.0
1.5
21.000
d
1.5
1.5
20.000
e
3.5
2.0
21.000
34. Ozark Farms utiliza diariamente 800 libras de alimento especial. El alimento
especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes
composiciones:
Maíz
Semilla de Soya
Libra por libra de alimento
para ganado
Costo (/libra)
Proteínas
Fibra
0.09
0.02
0.30
0.60
0.06
0.90
Los requerimientos dietéticos diarios del alimento especial estipulan que por lo
menos un 30% de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. Ozark Farms desea
determinar el costo mínimo diario de la mezcla de alimento.32
 Definición de variables:
X1 = Cantidad de libras de Maíz
X2 = Cantidad de libras de Semilla de Soya
32
Página: 69

Función Objetivo: Minimizar Z = 0.30 X1 + 0.90 X2

Restricciones:
0.09 X1 + 0.60 X2 ≥ 0.30*(X1 + X2)
0.02 X1 + 0.06 X2 ≤ 0.05*(X1 + X2)
X1 +
X2 ≥ 800
 No negatividad:
por proteínas
por fibra
producción
X i ≥ 0; i = 1, 2
Página: 70
Datos de entrada
Datos de Salida:
Solución:
470.59 libras de maíz,
329.41 libras de semilla de soya
costo mínimo del alimento: 437.65 por día.
Solución múltiple: respuesta correcta b)
a)
b)
c)
d)
e)
$
$
$
$
$
457.65
437.65
417.65
517.65
537.65
por
por
por
por
por
día
día
día
día
día
35. Jack es un estudiante emprendedor de primer año de la UTE. Comprende que
“sólo el trabajo y nada de diversión hacen de Jack un muchacho aburrido”.
Como resultado de esto, Jack quiere distribuir su tiempo disponible, de
alrededor de 10 horas al día, entre el trabajo y la diversión. Calcula que el juego
es dos veces más divertido que el trabajo. También quiere estudiar por lo
menos tanto como juega. Sin embargo, Jack comprende que si quiere terminar
todas sus tareas universitarias, no puede jugar más de cuatro horas al día.
Página: 71
¿Cómo debe distribuir Jack su tiempo para maximizar su satisfacción tanto en el
trabajo como en el juego?33
X1 = número de horas de juego
X2 = número de horas de trabajo
 Función objetivo: Maximizar Z = 2X1 + X2
 Restricciones:
X1 + X2 = 10
disponibilidad de tiempo
X2 ≥ X1
X1 – X2 ≤ 0
trabajar por lo menos tanto como juega
X1 ≤ 4
límite de juego
 No negatividad
Xi ≥ 0; i= 1, 2
Solución GLP
X2
Payoff:
: 1.0:2.0
X1
1.0
X1
+: X1
+
1.0
1.0
- 1.0
X2
X1
1.0
X2
=
+X2
10.0
=0.0
=14.0
X2
0.0= 4.0
: 1.0X1 + 1.0X2 <= 10.0
: 1.0X1 - 1.0X2 <= 0.0
: 1.0X1 + 0.0X2 <= 4.0
Datos de Entrada Solver
33
Página: 72
Datos de Salida Solver
Juega cuatro horas y trabaja 6 horas.
Solución múltiple: respuesta correcta d)
Rubro
Juega
Trabaja
Satisfacción max
a
1.5
3.0
14.0
b
3.0
6.0
20.0
Respuestas
c
3.0
6.0
14.0
d
4.0
6.0
14.0
e
6.0
2.0
21.000
36. John debe trabajar por lo menos 20 horas a la semana para completar su
ingreso mientras asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos
tiendas al detalle: en la tienda 1 John puede trabajar entre 5 y 12 horas a la
semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas
pagan el mismo salario por hora. De manera que John quiere basar su decisión
acerca de cuántas horas debe trabajar en cada tienda en un criterio diferente: el
factor del estrés en el trabajo. Basándose en entrevistas con los empleados
actuales, John calcula que, en una escala de 1 a 10, los factores des estrés son
de 8 y 6 en las tiendas 1 y 2, respectivamente. Debido a que el estrés aumenta
por hora, él supone que el estrés total al final de la semana es proporcional al
Página: 73
número de horas que trabaja en la tienda. ¿Cuántas horas debe trabajar en
cada tienda?34
X1 = número de horas de trabajo en la tienda 1
X2 = número de horas de trabajo en la tienda 2

Función objetivo: Minimizar Z = 8X1 + 6X2

Restricciones:
X1 ≥ 5
X1 ≤ 12
X2 ≥ 6
X2 ≤ 10
X1 + X2 ≥ 20

No negatividad
Xi ≥ 0; i = 1, 2
Solución GLP
Payoff: 8.0 x1 + 6.0 X2 = 140.0
: 1.0 x1 + 1.0 X2 = 20.0
: 1.0 x1 + 0.0 X2 = 5.0
X2
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
: 0.0 x1 + 1.0 X2 = 10.0
: 0.0 x1 + 1.0 X2 = 6.0
: 1.0 x1 + 0.0 X2 = 12.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x1
Optimal Decisions(x1,X2): (10.0, 10.0)
: 1.0x1 + 0.0X2 >= 5.0
: 1.0x1 + 0.0X2 <= 12.0
: 0.0x1 + 1.0X2 >= 6.0
: 0.0x1 + 1.0X2 <= 10.0
: 1.0x1 + 1.0X2 >= 20.0
34
Página: 74
Datos de entrada Solver
Datos de salida Solver
Solución:
John debe trabajar 10 horas a la semana en la tienda 1 y 10 horas en la tienda 2
Rubro
Tienda 1
Tienda 2
Estrés min
a
11
11
14.0
b
10
10
20.0
Respuestas
c
10
6.0
14.0
d
10
10
140
e
10
10
21.000
Página: 75
37. La Dumont Company, fabricante de equipo de pruebas, tiene tres
departamentos principales para la manufactura de sus modelos S-1000 y S2000. Las capacidades mensuales son las siguientes:
Departamentos
De Estructura principal
De Alambrado eléctrico
De Ensamble
Requerimientos unitarios
de tiempo (horas)
Modelo
Modelo SS-1000
2000
4
2
2.5
1
4.5
1.5
Horas disponibles en
el presente mes
1600
1200
1600
La contribución del modelo S-1000 es de $ 40 000 por unidad, y la del modelo S2000 es de $ 10 000 por unidad. Suponiendo que la compañía puede vender
cualquier cantidad de cada uno de sus productos, debido a las condiciones
favorables de mercado. Determínese la salida óptima para cada modelo, la
contribución más alta posible para el presente mes y el tiempo sobrante en los
tres departamentos.35
X1 = número de unidades del modelo S-1000
X2 = número de unidades del modelo S-2000


Función objetivo: Maximizar Z = 40.000X1 + 10.000X2
Restricciones
4X1 + 2X2 ≤ 1600
Dep. de Estructuras
2.5X1 + 1X2 ≤ 1200
Dep. alambrado eléctrico
4.5X1 + 1.5X2 ≤ 1600
Dep. ensamblaje
 No negatividad
Xi ≥ 0; i = 1, 2
Solución GLP
35
Página: 76
: 2.5 X1 + 1.0 X2 = 1200.0
Payoff: 40.0 X1 + 10.0 X2 = 14222.2
X2
: 4.5 X1 + 1.5 X2 = 1600.0
240
228
216
204
192
180
168
156
144
132
120
108
96
84
72
60
48
36
24
12
0
: 4.0 X1 + 2.0 X2 = 1600.0
221
229
237
245
253
261
269
277
285
293
301
309
317
325
333
341
349
357
365
: 4.0X1 + 2.0X2 <= 1600.0
: 2.5X1 + 1.0X2 <= 1200.0
: 4.5X1 + 1.5X2 <= 1600.0
Datos entrada para Solver
Datos salida del Solver
Página: 77
373
381
389
Fabricar 355,5 unidades del Modelo S-1000 solamente para producir un beneficio
de $14 222,20
Si la restricción es fabricar componentes completos, fabricar 355 unidades del
modelo S-1000 y 1 unidad del modelo S-2000 para producir un beneficio de $ 14
210,00
Rubro
Modelo S-1000
Modelo S-2000
Contribución max
a
255.5
0.0
14.210
b
355.5
0.0
14.222,2
Respuestas
c
355.5
10.0
14.222,2
d
350
6.0
14.220
e
350
10.0
14.222,2
38. La Cincinnati Chemical Company debe producir 10 000 libras de una mezcla
especial para un cliente. La mezcla se compone de los ingredientes: X1, X2 y
X3. X1 cuesta $8/libra, X2 $ 10/libra y X3 $ 11/libra. No pueden usarse mas de
3 000 libras de X1 y por lo menos deberían usarse 1 500 libras de X2. Además
se requieren por lo menos 2 000 libras de X3.
a)
b)
c)
Calcúlese el número de libras de cada ingrediente que habrá que
emplear. A fin de reducir la mínimo el costo total de las 10 000 libras.
Calcúlese el costo total más bajo posible.
¿Hay libras sobrantes en el problema? 36
(Ref: Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones.
Thierauf. Limusa. Pag 274)
Formulación del problema

X1 = número de libras del ingrediente X1
36
Página: 78

Función objetivo: Minimizar Z = 8X1 + 10X2 + 11X3

Restricciones:

X1 + X2 + X3 = 10.000
cantidad de producción
X1 ≤ 3.000
cantidad de X1
X2 ≥1.500
cantidad de X2
X3 ≥ 2.000
cantidad de X3
No negatividad
Xi ≥ 0; i = 1, 3
Solución:
a)
b)
c)
X1= 3000 libras
X2= 5000 libras
X3= 2000 libras
Costo más bajo = $ 96 000,00
Debo utilizar 3500 libras más de X2
Página: 79
Rubro
Ingrediente X1
Ingrediente X2
Ingrediente X3
Costo min
¿Hay sobrantes?
a
3.000
5.000
2.000
96.000
No
b
2.500
6.000
1.500
69.000
Si
Respuestas
c
3.000
6.000
1.000
69.000
No
d
4.000
4.000
2.000
96.000
Si
e
3.000
5.000
2.000
69.000
No
39. La Gray Manufacturing Company ha seguido constantemente una política de
fabricación de aquellos productos que contribuyan con la mayor cantidad a los
costos fijos y a las ganancias. Sin embargo, siempre se ha procurado producir
los requerimientos mínimos semanales de venta, que son los siguientes para los
productos K, L, M y N:
Producto K
25 unidades
Producto L
30 unidades
Producto M
30 unidades
Producto N
25 unidades
Los requerimientos de producción y el tiempo disponible para la semana
siguiente son:
Departamento
Tiempo
Tiempo requerido por producto (horas) disponible la
semana prox.
K
L
M
N
(horas)
Departamento1
0.25
0.20
0.15
0.25
400
Departamento 2
0.30
0.40
0.50
0.30
1000
Departamento 3
0.25
0.30
0.25
0.30
500
Departamento 4
0.25
0.25
0.25
0.25
500
$ 9.00
$ 8.00
$ 10.0
Contribución por
unidad
$ 10.50
Actualmente, la mezcla semanal de producción (considerando los
requerimientos mínimos de venta), es de:
Página: 80
Producto K
1 533 unidades
Producto L
30 unidades
Producto M
30 unidades
Producto N
25 unidades
¿Son la mezcla actual de productos y la contribución, para la empresa,
óptimas? En caso contrario ¿Cuál es la contribución actual? ¿Cuáles deben ser
las óptimas?37

X1 = Número de unidades del producto K
X2 = Número de unidades del producto L
X3 = Número de unidades del producto M
X4 = Número de unidades del producto N

Función objetivo:
Maximizar Z = 10.5X1 + 9.0X2 + 8.0X3 + 10.0X4


Restricciones
0.25X1 + 0.20X2 + 0.15X3 + 0.25X4 ≤ 400
Disp. Dep. 1
0.30X1 + 0.40X2 + 0.50X3 + 0.30X4 ≤ 1000
Disp. Dep. 2
0.25X1 + 0.30X2 + 0.25X3 + 0.30X4 ≤ 500
Disp. Dep. 3
0.25X1 + 0.25X2 + 0.25X3 +0.25X4 ≤ 500
Disp. Dep. 4
X1 ≥ 25
Venta mínima de K
X2 ≥ 30
Venta mínima de L
X3 ≥ 30
Venta mínima de M
X4 ≥ 25
Venta mínima de N
No negatividad
Xi ≥ 0; i = 1,4
Datos de entrada para el Solver
37
Página: 81
Rubro
¿Mezcla óptima?
Contribución act
Contribución opt.
Producto K
Producto L
Producto M
Producto N
a
Si
18.433,2
16.856,5
976.5
30
957.5
25
Respuestas
b
c
No
Si
16.856,5
16.556.0
18.433,25
14.055.0
976.5
906.5
30
25
957.5
975.6
25
30
d
No
16.856.5
18.500.0
950
30
956.0
25
e
Si
16.500.0
14.500.0
976
30
950.0
35
Página: 82
40. La LaCross Manufacturing Company esta considerando la fabricación de una
línea de productos, compuesta de cuatro productos. Cada producto puede
fabricarse con dos métodos diferentes y completamente distintos, uno de los
cuales consta de dos procesos y el otro de tres. Se fabricarán basándose en el
segundo turno. El precio de venta de estos productos y sus costos variables, así
como las cantidades que probablemente puedan venderse, de acuerdo con el
grupo de investigaciones de mercadotecnia, son los siguientes:38
Producto
1
2
3
4
Precio de venta al mayoreo (40% de
descuento)
$ 100
$ 150
$ 125
$ 140
Costos variables – Método A
$ 80
$ 135
$ 120
$ 135
Costos variables – Método B
$ 110
$ 150
$ 100
$ 110
Cantidad que puede venderse
1000
3000
4000
6000
La sección de manufactura de la empresa ha determinado que los tiempos de
manufactura para cada proceso son los siguientes:
Producto
1
2
3
4
3.0
3.6
2.0
3.5
10.0
8.0
9.0
1.0
1.0
0.5
0.5
Departamento 31
4.0
4.0
2.0
4.0
Departamento 32
5.0
8.0
4.0
3.0
Método A
Departamento 20
Departamento 21
Departamento 22
9.0
Método B
Las horas disponibles al mes:
Departamento 20
15 000
Departamento 21
50 000
Departamento 22
8 000
38
Página: 83
Departamento 31
10 000
Departamento 32
10 000

X11 = Número de unidades del producto 1 elaborados con el método A
X12 = Número de unidades del producto 1 elaborados con el método B

Función Objetivo:
Maximizar Z = (100-80)X11 + (150-135)X21 + (125-120)X31 +
(140-135)X41 + (100-110)X12 + (150-150)X22 + (125-100)X32 +
(140-110)X24


Restricciones
X11 + X12 ≤ 1000
Venta producto 1
X21 + X22 ≤ 3000
Venta producto 2
X31 + X32 ≤ 4000
Venta producto 3
X41 + X42 ≤ 6000
Venta producto 4
3.0X11 + 3.6 X21 + 2.0X31 + 3.5X41 ≤ 15.000
Horas Dep. 20
9.0X11 + 10.0X21 + 8.0X31 + 9.0X41 ≤ 50.000
Horas Dep. 21
1.0X11 + 1.0X21 + 0.5X31 + 0.5X41 ≤ 8.000
Horas Dep. 22
4.0X12 + 4.0X22 + 2.0X32 + 4.0X42 ≤ 10.000
Horas Dep. 31
5.0X12 + 8.0X22 + 4.0X32 + 3.0X42 ≤ 10.000
Horas Dep. 32
No negatividad
Xij ≤0; i= 1,4; j = 1,2
Datos de entrada para el solver
Página: 84
Solución:
P1= 1 000 unidades (Método A)
P2= 3 000 unidades (Método A)
P3= 600 unidades (Método A)
P3= 1 000 unidades (Método B)
P4= 2 000 unidades (Método B)
Contribución, $ 153 000,00
41. Una fábrica elabora dos productos, A, B. Cada uno de ellos debe ser procesado
en dos máquinas diferentes. Una máquina tiene una capacidad disponible de 24
Página: 85
horas y la otra de 16 horas. Cada unidad del producto A requiere de dos horas
en ambas máquinas. Cada unidad del producto B necesita de tres horas en la
primera máquina y de una hora en la segunda. La utilidad incremental es de $6
por unidad del producto A y de $7 por unidad del producto B, y la fábrica puede
vender tantas unidades de cada producto como pueda fabricar.
El objetivo de la fábrica es maximizar las utilidades. El problema está en
determinar cuántas unidades del producto A y del producto B podrían producirse
dentro de los límites disponibles por la capacidad de las máquinas.39
Resumen:
Máquinas
1
2
Utilidad en $
Productos
A
2 horas
2 horas
6
B
3 horas
1 hora
7
Capacidad de
las máquinas
24 horas
16 horas
X1 = número de unidades del producto A
X2 = número de unidades del producto B

Función objetivo: Maximizar Z = 6X1 + 7X2

Restricciones
2X1 + 3X2 ≤24
2X1 + 1X2 ≤ 16

No negatividad
Xi ≥0 ; i = 1, 2
capacidad de máquina 1
capacidad de máquina 2
Solución con GLP
39
Bonini, Hansman, Bierman. Análisis Cuantitativo para los Negocios. Novena Edición. Irwin McGrawHill. Pag. 43
Página: 86
13
12
Investigación
Operativa I
11
10
9
8
7
:
2 X1 +
1 X2 =
16
6
:
5
2 X1 +
3 X2 =
24
4
3
Payoff:
6 X1 +
7 X2 =
64
2
1
0
0
1
2
3
Optimal Decisions(X1,X2): ( 6,
: 2X1 + 3X2 <= 24
: 2X1 + 1X2 <= 16
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4)
Datos salida del Solver
Página: 87
15
16
Solución:
X1 = 6
X2 = 4
Z = 64
42. Al mezclar diferentes hidrocarburos, se obtiene gasolina de diferentes grados,
que es el resultado directo de las operaciones de refinería. En una operación
real de refinación, se realizan varias mezclas de hidrocarburos, que dan muchas
clases de gasolina como producto final (por ejemplo, gasolina de distintos
grados para avión y para carro), con características importantes para los
distintos grados de la composición de la gasolina (por ejemplo, octanaje,
presión del vapor, contenido de azufre y contenido de oxidante). En este
ejemplo simplificado, se supone que una refinería dispone sólo de dos tipos de
gasolina, cuyas características se presentan en la siguiente tabla:
Características de las mezclas de gasolina
Mezclas
disponibles
Gasolina tipo 1
Gasolina tipo 2
Octanaje
104
94
Presión de
vapor
5
9
Cantidad
Disponible
30 000 barriles
70 000 barriles
Estos tipos de gasolina pueden ser combinados para producir dos productos
finales, gasolina para avión y gasolina para carro. Las cualidades que
requieren estos productos finales aparecen en la siguiente tabla:
Características de la gasolina como producto final
Presión
Productos
Octanaje
Máxima
Ventas
finales
mínimo
de vapor
máximas
Gasolina avión
102
6
20 000 barriles
Gasolina carro
96
8
cualquiera
Precio
De venta
(por barril)
$45.10
$32.40
Cuando la gasolina se combina, la mezcla resultante tiene un octanaje y una
presión de vapor proporcional al volumen de cada tipo de gasolina que se
mezcló. Por
ejemplo, si se mezclan 1 000 barriles de gasolina tipo 1 con 1
000 barriles gasolina tipo 2, la gasolina resultante tendrá un octanaje de 99:
1.000 x104  1.000 x94
 99
2.000
Y una presión de vapor de 7:
1.000 x5  1.000 x9
7
2.000
Página: 88
La empresa desea maximizar los ingresos por la venta de gasolina como
producto final.40
X1 = número de barriles
de
de
de
de
gasolina
gasolina
gasolina
gasolina
Tipo
Tipo
Tipo
Tipo
1,
1,
2,
2,
utilizada
utilizada
utilizada
utilizada
para
para
para
para
gasolina
gasolina
gasolina
gasolina
de avión
de carro
de avión
de carro

Función objetivo: Maximizar Z = 45.10 (X1 + X3) + 32.40 (X2 + X4)
Z = 45.10 X1 + 32.40X2 + 45.10X3 + 32.40X4
 Restricciones
104 X 1  94 X 3
 102
X1  X 3
2X1 – 8X3 ≥ 0
oct. para avión
104 X 2  94 X 4
 96
X2  X4
8X2 – 2X4 ≥ 0
oct. para carro
5 X1  9 X 3
6
X1  X 3
-1X1 + 3X3 ≤0
pres. para avión
5X 2  9X 4
8
X2  X4
-3X2 + X4 ≤ 0
pres. para carro
X1 + X2 ≤ 30.000
disponibilidad de gas Tipo 1
X3 + X4 ≤ 70.000
disponibilidad gas Tipo 2
X1 + x3 ≤ 20.000
venta gasolina para avión

No negatividad
Xi ≥0 ; i = 1, 4
40
Página: 89
Solución:
Z = 3´355.454.5
X1 = 7.272,72
X2 = 22.727,27
X3 = 1.818,18
X4 = 68.181,82
43. Una fábrica produce cuatro artículos: A, B, C y D. Cada cantidad del producto A
requiere de dos horas de maquinado, una hora de montaje y $10 de inventario
en proceso. Cada unidad del producto B requiere de una hora de maquinado,
tres horas de montaje y $5 de inventario en proceso. Cada unidad del producto
C requiere de dos y media horas de maquinado, dos y media horas de montaje
y $2 de inventario en proceso. Finalmente, cada unidad del producto D requiere
de cinco horas de maquinado, ninguna de montaje y $12 de inventario en
proceso.
Página: 90
La fábrica dispone de 120 000 horas de tiempo de maquinado y 160 000 horas
de tiempo de montaje. Además, no puede tener más de un millón de dólares de
inventario en proceso.
Cada unidad del producto A genera una utilidad de $40, cada unidad del
producto B genera una utilidad de $24, cada unidad de producto C genera una
utilidad de $36 y cada unidad del producto D genera una utilidad de $23. No
pueden venderse más de 20 000 unidades del producto A, 16 000 unidades del
producto C, y pueden venderse la cantidad que se quiera de los productos B y
D. Sin embargo, deben producir y vender por lo menos 10 000 unidades del
producto D para cumplir con los requerimientos de un contrato.
Sobre estas condiciones, formular un problema de programación lineal. El
objetivo de la fábrica es maximizar la utilidad resultante de la venta de los
cuatro productos.41
Resumen:
Producto
Proceso
Maquinado
Montaje
Inventario
Utilidad
A
2 hr
1 hr
$10
$40
B
1 hr
3 hr
$5
$24
C
2,5 hr
2,5 hr
$2
$36
D
5 hr
0 hr
$12
$23
Disponible
(horas)
120.000
160.000
1’000.000

X1 = Número de unidades

Función objetivo: Maximizar Z = 40X1 + 24X2 + 36X3 + 23X4

Restricciones:
2X1 + X2 + 2.5X3 + 5X4 ≤ 120.000
disponibilidad de maquinado
X1 + 3X2 + 2.5X3 + 0X4 ≤ 160.000
disponibilidad de montaje
10X1 + 5X2 + 2X3 + 12X4 ≤ 1’000.000 disponibilidad de inventario
X1 ≤ 20.000
limite de venta producto A
X3 ≤ 16.000
límite de venta del producto C
X4 ≥ 10.000
contrato del producto D

No negatividad:
Xi ≥0 ; i = 1, 4
del
del
del
del
producto
producto
producto
producto
A
B
C
D
41
Página: 91
Solución:
Z = 1’830.000
X1 = 10.000
X2 = 50.000
X3 = 0
X4 = 10.000
44. La U-Save Loan Company está planeando sus operaciones para el próximo año.
La empresa hace cinco tipos de préstamos, que se indican a continuación, con
un retorno anual (en porcentaje) para ella.
Tipo de préstamo
Préstamos quirografarios
Préstamos para muebles
Préstamos para automóviles
Hipotecas de bienes raíces en segundo grado
Retorno anual
15
12
9
10
Página: 92
Hipotecas de bienes raíces en primer grado
7
Los requerimientos legales y la política de la empresa establecen los siguientes
límites en las cantidades de los distintos tipos de préstamos.
Los préstamos quirografarios no pueden exceder del 10% del total de Tipo de
préstamos. La cantidad de préstamos quirografarios y para muebles no puede
exceder de 20% del total de tipo de préstamos. Las hipotecas en primer grado
deben ser por lo menos de 40% del total de hipotecas y, por lo menos, 20%
de la cantidad total de tipo de préstamos. Las hipotecas en segundo grado no
pueden exceder de 25% de la cantidad total de tipo de préstamos.
La empresa debe maximizar los ingresos de los intereses de los préstamos,
sujetándose a las restricciones indicadas. La empresa puede prestar un
máximo de $1,5 millones.42
Formulación del Problema:
X1 = Monto en dólares para
Préstamos Quirografarios
Préstamos para Muebles
préstamos para Automóviles
Hipotecas de bienes raíces en segundo grado
Hipotecas de bienes raíces en primer grado

Función objetivo:
Maximizar Z = 0.15X1 + 0.12X2 + 0.09X3 + 0.10X4 + 0.07X5

Restricciones
X1 ≤ 0.10 (X1 +X2 +X3 + X4 + X5)
límite en monto de pres. quirograf.
0.90X1 – 0.10X2 – 0.10X3 – 0.10X4 – 0.10X5 ≤ 0
X1 + X2 ≤ 0.20 (X1 + X2 + X3 + X4 + X5)
límite en monto para prest.
0.80X1 + 0.80X2 – 0.20X3 – 0.20X4 – 0.20X5 ≤ 0 quiro. + muebles
X5 ≥ 0.40 (X4 + X5)
- 0.40X4 + 0.60X5 ≥ 0
límite de monto en hipotecas
X5 ≥ 0.20 (X1 + X2 + X3 + X4 + X5) límite monto del total de prest.
- 0.20X1 – 0.20X2 – 0.20X3 – 0.20X4 + 0.80X5 ≥ 0
X4 ≤ 0.25(X1 + X2 + X3 + X4 + X5) límite en hipotecas de 2do grado
- 0.25X1 – 0.25X2 – 0.25X3 + 0.75X4 – 0.25X5 ≤ 0
X1 + X2 + X3+ X4 + X5 ≤ 1’500.000 monto disponible
42
Página: 93

No negatividad
Xi ≥0 ; i = 1, 5
45. Una fábrica venden dos tipos de productos diferentes, A y B. La información
sobre el precio de venta y el costo incremental es la siguiente:
Precio de venta
Costo incremental
Utilidad incremental
Producto A
$60
$30
$30
Producto B
$40
$10
$30
Los dos productos se fabrican dentro de un proceso común y se venden en
dos mercados diferentes.
El proceso de producción tiene una capacidad de 30 000 horas de mano de
obra, se requiere de tres horas para elaborar una unidad de A y una hora para
producir una unidad de B. El mercado ya fue estudiado, por lo que los
funcionarios de la empresa consideran que la cantidad máxima de las unidades
de A que puede venderse es de 8 000; la cantidad máxima de B es de 12 000
Página: 94
unidades. De acuerdo con estas limitaciones, los productos pueden venderse
en cualquier combinación. Formular esta situación como un problema de
programación lineal.43

X1 = Número de unidades del producto A
X2 = Número de unidades del producto B


Restricciones
3X1 + 1X2 ≤ 30.000
por mano de obra
X1 ≤ 8.000
venta de A
X2 ≤ 12.000
venta de B

No negatividad
Xi ≥0 ; i = 1, 2
Solución GLP
Payoff: 30.0 X1 + 30.0 X2 = 540000.0
X2
11995
11400
10805
10210
9615
9020
8425
7830
7235
6640
6045
5450
4855
4260
3665
3070
2475
1880
1285
690
95
30
: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 12000.0
: 3.0 X1 + 1.0 X2 = 30000.0
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 8000.0
428
826
1224 1622 2020 2418 2816 3214 3612 4010 4408 4806 5204 5602 6000 6398 6796 7194 7592 7990
: 3.0X1 + 1.0X2 <= 30000.0
: 1.0X1 + 0.0X2 <= 8000.0
: 0.0X1 + 1.0X2 <= 12000.0
43
Página: 95
X1
Datos salida Solver
46. Recientemente, la empresa EMBUTIDOS experimentó drásticos cambios en los
precios de la materia prima; por los que el gerente ordenó a un analista
reexaminar las proporciones de las mezclas de los ingredientes para la
producción de salchichas.
La producción de salchichas implica cumplir con dos requisitos esenciales para el
producto. El porcentaje de proteínas, por peso, debe ser al menos 15%, y el
porcentaje de grasa, por peso, no puede exceder de 30% (el peso restante es
relleno). La empresa tiene cuatro materia primas disponibles para la mezcla, con
las siguientes características:
Ingrediente
A
B
C
D
Porcentaje de
Proteínas
40
20
10
5
Porcentaje de
Grasa
10
15
35
40
Costo por
Libra
$1.80
$0.75
$0.40
$0.15
Página: 96
Formular el problema de programación lineal que le ayude a la empresa a
determinar el problema de mezcla más apropiado44
X1 = Cantidad en libras del
ingrediente
ingrediente
ingrediente
ingrediente
A
B
C
D

Función objetivo
Minimizar Z = 1.80X1 + 0.75X2 + 0.40X3 + 0.15X4

Restricciones
0.40X1 + 0.20X2 + 0.10X3 + 0.05X4 ≥ 0.15 proteínas
0.10X1 + 0.15X2 + 0.35X3 + 0.40X4 ≤ 0.30 grasas
X1 + X2 + X3 + X4 = 1 total libra de mezcla

No negatividad
Xi ≥0 ; i = 1, 4
44
Página: 97
47. Un fabricante de muebles produce dos tipos de escritorios: estándar y ejecutivo.
Estos escritorios se venden a un mayorista de mobiliario de oficina; y para todo
fin práctico existe un mercado ilimitado para cualquier mezcla de ellos; al menos
dentro de la capacidad de producción del fabricante. Cada escritorio debe pasar
por cuatro operaciones básicas: corte de madera, ensamble de las piezas, preacabado y acabado final. Cada unidad producida del escritorio del escritorio
estándar requiere de 48 min de tiempo de corte, 2 horas de ensamble, 40 min
de pre-acabado y 5 horas y 20 min de tiempo de acabado final. Cada unidad de
escritorio ejecutivo requiere de 72 min de corte, 3 horas de ensamble, 2 horas
de pre-acabado y 4 horas de tiempo de acabado final. La capacidad diaria para
cada operación equivale a 16 horas de corte, 30 horas de ensamble, 16 horas
de pre-acabado y 64 horas de acabado final. El beneficio por unidad producida
es de $40 para el escritorio estándar y de $50 para el escritorio ejecutivo. ¿Qué
mezcla de productos es óptima?45
X1 = Número de unidades de escritorios estándar
X2 = Número de unidades de escritorios ejecutivos


Restricciones
0.8X1 + 1.2X2 ≤ 16
2.0X1 + 3.0X2 ≤ 30
0.6667X1 + 2.0X2 ≤ 16
5.3334X1 + 4.0X2 ≤ 64

No negatividad
Xi ≥0 ; i = 1, 2
horas
horas
horas
horas
de corte
de ensamblaje
de pre-acabado
acabado final
Solución GLP
45
Hans G. Daellenbach. Introducción a Técnicas de Investigación de Operaciones. CECSA. Pag.59
Página: 98
16
15
14
13
12
11
10
Payoff: 40.000 X1 + 50.000 X2 = 559.998
9
8
: 5.333 X1 + 4.000 X2 = 64.000
7
6
5
: 0.667 X1 + 2.000 X2 = 16.000
4
: 0.800 X1 + 1.200 X2 = 16.000
: 2.000 X1 + 3.000 X2 = 30.000
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
: 0.800X1 + 1.200X2 <= 16.000
: 2.000X1 + 3.000X2 <= 30.000
: 0.667X1 + 2.000X2 <= 16.000
: 5.333X1 + 4.000X2 <= 64.000
Datos salida Solver
Página: 99
17
18
19
48. Un fabricante de alimento para pollos desea determinar la mezcla de menor
costo para una fórmula de altas proteínas que contiene 90 gr. de nutriente A, 48
gr. de nutriente B, 20 gr. de nutriente C y 1.5 gr. de vitamina X por cada kg. de
alimento. Puede mezclar la fórmula empleando dos ingredientes y otro de
relleno. El ingrediente 1 contiene 100 gr. de nutriente A, 80 gr. de nutriente B,
40 gr. de nutriente C y 10 gr. de vitamina X; y cuesta $0.40 por Kg. El
ingrediente 2 contiene 200 gr. de A, 150 gr. de B, 20 gr. de C, nada de vitamina
X y cuesta $0.60 por kg.46
X1 = Cantidad de Kg. de ingrediente Tipo 1
X2 = Cantidad de Kg. de ingrediente Tipo 2


Función objetivo: Minimizar Z = 0.40X1 + 0.60X2
Restricciones
100X1 + 200X2 = 90
Nutriente A
80X1 + 150X2 = 48
Nutriente B
40X1 + 20X2 = 20
Nutriente C
10X1 + 0X2 = 1.5
Vitamina X

No negatividad
Xi ≥0 ; i = 1, 2
Son ecuaciones redundantes, para su solución se asume que cumplirán al
menos los pedidos de los ingredientes, sus resultados serán analizados por un
dietista para no incurrir en daños a los pollos, entonces:

46
Restricciones
100X1 + 200X2 ≥ 90
80X1 + 150X2 ≥ 48
40X1 + 20X2 ≥ 20
10X1 + 0X2 ≥ 1.5
Nutriente A
Nutriente B
Nutriente C
Vitamina X
Hans G. Daellenbach. Introducción a Técnicas de Investigación de Operaciones. CECSA. Pag. 90
Página: 100
Datos salida Solver
En la solución gráfica puede notarse las ecuaciones redundantes:
Página: 101
49. Una compañía produce tres tipos de productos químicos refinados: A, B y C. Es
necesario producir diariamente al menos 4 ton de A, 2 ton de B y 1 ton de C.
Los productos de entrada son los compuestos X y Y. Cada tonelada de X
proporciona 0.25 ton de A, 0.25 ton de B y 0,0834 ton de C. Cada tonelada de Y
rinde 0.5 ton de A, 0.10 ton de B y 0.0834 ton de C. La tonelada de compuesto
X cuesta $250 y el compuesto Y $400. El costo de procesamiento es de $250
por ton de X y $200 por ton de Y. Las cantidades producidas que excedan los
requerimientos diarios no tienen valor, ya que el producto sufre cambios
químicos si no se utiliza de inmediato. El problema consiste en determinar la
mezcla con costo mínimo de entrada.47



47
X1 = Toneladas de compuesto X
X2 = Toneladas de compuesto Y
Restricciones
0.25X1 + 0.5X2 ≥ 4
toneladas de A
0.25X1 + 0.10X2 ≥ 2
toneladas de B
Página: 102
15
14
13
0.0834X1 + 0.0834X2 ≥ 1
12
11

10
toneladas de C
No negatividad
Xi ≥0; i = 1, 2
Solución GLP
9
Payoff: 500.0000 X1 + 600.0000 X2 = 6396.1630
8
7
: 0.2500 X1 + 0.1000 X2 = 2.0000
6
5
4
: 0.2500 X1 + 0.5000 X2 = 4.0000
3
: 0.0834 X1 + 0.0834 X2 = 1.0000
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
: 0.2500X1 + 0.5000X2 >= 4.0000
: 0.2500X1 + 0.1000X2 >= 2.0000
: 0.0834X1 + 0.0834X2 >= 1.0000
Datos de salida Solver
Página: 103
24
X1
50. La Palysafe Insurane Company of Knockville, ME, dispone de fondos ociosos por
un total de $20 millones, disponible para inversiones a corto y largo plazo. Las
especificaciones gubernamentales requieren que no más del 80% de todas las
inversiones sean a largo plazo; no más del 40% de inviertan a corto plazo; y
que la razón entre las inversiones a largo y corto plazo no sean mayor de 3 a 1.
Actualmente, las inversiones a largo plazo rinden el 15% anual; mientras que la
tasa anual para las inversiones a corto plazo es del 10%. Plantéese este
problema como programa lineal con el objetivo de maximizar el beneficio
ponderado.48
Formulación del Problema
X1 = Cantidad en millones de dólares para inversión a corto plazo
X2 = Cantidad en millones de dólares para inversión a largo plazo

Función objetivo: Maximizar Z = 0.10X1 + 0.15X2

Restricciones
X1 + X2 ≤ 20
X2 ≤ 0.80(X1 + X2)
0.80X1 – 0.20X2 ≥ 0
X2 ≤ 0.40(X1 + X2)
0.40X1 - 0.60X2 ≥ 0
X2/X1 ≤ 3/1
3X1 – X2 ≥ 0

fondos para inversión
inversiones a largo plazo
inversiones a corto plazo
relación entre inversiones
No negatividad
Xi ≥0 ; i = 1, 2
Solución GLP
48
Página: 104
Payoff: 0.1 X1 + 0.1 X2 = 2.4
X2
12
11
: 0.4 X1 - 0.6 X2 = 0.0
10
: 0.8 X1 - 0.2 X2 = 0.0
9
8
: 3.0 X1 - 1.0 X2 = 0.0
7
6
5
: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 20.0
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
X1
: 1.0X1 + 1.0X2 <= 20.0
: 0.8X1 - 0.2X2 >= 0.0
: 0.4X1 - 0.6X2 >= 0.0
: 3.0X1 - 1.0X2 >= 0.0
Datos de salida de Solver
Página: 105
51. Un fabricante de botes de fibra de vidrio produce cuatro modelos diferentes que
deben pasar por tres operaciones diferentes: moldeado, ensamblado y acabado.
La tabla dada contiene toda la información necesaria.
Moldeado
(h/unid)
2.8
2.1
4
3
Modelo
1
2
3
4
Capac./
semana 48 h
Ensamble
(h/unid)
5
3
6
4
Acabado
(h/unid)
10
7.5
12
3
Compuesto de
moldeado
Beneficio
(gal/unid)
($/unid)
200
160
200
124
280
212
220
170
96 h
160 h
4800 gal
Los pronósticos de venta indican que, en promedio, no deben producirse por
semana más de 8 unidades del modelo 4. Excepto por esta restricción, la
demanda será suficiente para absorber cualquier cantidad producida. El objetivo
es maximizar los beneficios.49
Formulación del Problema
X1 = Número de unidades del
49
modelo
modelo
modelo
modelo
1
2
3
4

Función objetivo: Maximizar Z = 160X1 + 124X2 +212X3 + 170 X4

Restricciones
2.8X1 + 2.1X2 + 4X3 + 3X4 ≤ 48
5X1 + 3X2 + 6X3 + 4X4 ≤ 96
10X1 + 7.5X2 + 12X3 + 3X4 ≤ 160
200X1 + 200X2 + 280X3 + 220X4 ≤ 4800
horas de moldeado
horas de ensamble
horas de acabado
galones para moldeado
Página: 106
X4 ≤ 8

No negatividad
Xi ≥0 ; i = 1, 4
52. En una compañía se fabrican tres productos A, B y C. Los tres productos
comparten en sus procesos de producción cuatro máquinas X, Y, S y T. El
producto A utiliza tres operaciones en las máquinas X, S y T. El producto B
utiliza sólo dos operaciones en las máquinas X y S o en las máquinas Y y T. El
producto C puede fabricarse utilizando las maquinas X y S o en las máquinas Y,
S y T. El tiempo necesario en minutos por unidad producida, para cada
posibilidad de producción en cada máquina, y el costo variable de producción
por minuto para cada máquina se condensan en la siguiente tabla.
Tiempo (en min/unidad de máquina)
Producto
Proceso X
Y
A
1
10
B
1
8
2
6
C
1
8
S
6
10
T
3
9
16
Código
A
B1
B2
C1
Página: 107
2
Costo var
/min ($)
0.40
10
3
8
0.50
0.24
0.30
C2
Cada máquina tiene una capacidad diaria de producción de 480 minutos. La
demandas mínimas de los tres productos son 36 para A, 45 para B y 10 para C.
El objetivo consiste en determinar el esquema de producción que minimice el
costo total variable de producción.50

X1 = número de unidades
del
del
del
del
del
producto
producto
producto
producto
producto
A, con
B, con
B, con
C, con
C, con
el
el
el
el
el
proceso 1
proceso 1
proceso 2
proceso 1
proceso 2

Función objetivo:
Minimizar Z = 0.40(10X1 + 8X2 + 8X4) + 0.50(6X3 + 10X5) + 0.24(6X1 +10X2
+ 16X4 + 3X5) + 0.30(3X1 + 9X3 + 8X5)
Minimizar Z = 6.34X1 + 5.6X2 + 5.7X3 + 7.04X4 + 8.12X5

Restricciones
10X1 + 8X2 + 8X4 ≤ 480
capacidad maquina
6X3 + 10X5 ≤ 480
capacidad maquina
6X1 +10X2 + 16X4 + 3X5 ≤ 480
capacidad maquina
3X1 + 9X3 + 8X5 ≤ 480
capacidad maquina
X1 ≥ 36
demanda del producto A
X2 + X3 ≥ 45
demanda del producto B
X4 + X5 ≥ 10
demanda del producto C

No negatividad
Xi ≥0 ; i = 1, 4
X
Y
S
T
50
Página: 108
53. Usted está organizando una fiesta y dispone de de las siguientes cantidades de
licor: 48 onz líquidas de whisky, 72 onz líquidas de vodka, 64 onz líquidas de
vermouth blanco, 72 onz de vermouth rojo, 24 onz líquidas de brandy y 18 onz
líquidas de licor de café. Usted piensa preparar las siguientes bebidas:
Chauncies, Rusos Negros, Italianos Dulces, Cócteles Molotov (Martinis Rusos) y
Whisky en las rocas. Un Chauncy consiste en 2/3 de whisky y 1/3 de vermouth
rojo. Un Ruso Negro consiste de ¾ de vodka y ¼ de licor de café. Un Italiano
Dulce consiste de ¼ de brandy, ½ de vermouth rojo y ¼ vermouth blanco. Los
Cócteles Molotov son una mezcla de 2/3 de vodka y 1/3 de vermouth blanco.
Por último el Whisky en las rocas consiste sólo de whisky. Cada trago contiene 4
onz líquidas. Su objetivo es mezclar los ingredientes, en forma tal, que pueda
prepararse el mayor número de posible de tragos. Sin embargo, Usted
considera que es necesario preparar cuando menos el doble de Cócteles
Molotov que de Rusos Negros, para proporcionar una selección equilibrada.
Plantéese como un problema de programación lineal.51
Resumen:
51
Página: 109
Licores
Whisky
Vodka
Verm.B.
Verm.R.
Brandy
Lic. Café

Mezclas (tragos de
Rusos
Italianos
chauncies negros
dulces
2/3*4
¾*4
¼*4
1/3*4
2/4*4
¼*4
¼*4
X1 = Número de tragos de
4 onzas)
Cócteles
molotov
Whisky
en rocas
1*4
2/3*4
1/3*4
Cantidad
Disponible
(onz)
48
72
64
72
24
18
Chauncies
Rusos Negros
Italianos Dulces
Cócteles Molotov
Whisky en las Rocas

Función objetivo: Maximizar Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5

Restricciones:
2/3*4 X1 + 4X5 ≤ 48
2X1 + 3X5 ≤ 36
por contenido de whisky
¾*4X2 + 2/3*4X4 ≤ 72
9X2 + 8X4 ≤ 216
por contenido de Vodka
¼*4X3 + 1/3*4X4≤ 64
3X3 + 4X4≤ 192
por contenido de Vermouth Blanco
1/3*4X1 + 2/4*4X3 ≤ 72
4X1 + 6X3 ≤ 216
por contenido de vermouth Rojo
¼*4X3 ≤ 24
X3 ≤ 24
por contenido de Brandy
¼*4X2 ≤ 18
X2 ≤ 18
por contenido de Licor de Café
2X2 ≥ X4
2X2 – X4 ≤ 0
relación de Cócteles Molotov/Rusos Negros

No negatividad
Xi ≥0 ; i = 1, 5
Solución:
Página: 110
54. ProTrac,Inc. Produce dos líneas de máquina pesada. Una de sus líneas de
productos, llamada equipo de excavación, se utiliza de manera primordial en
aplicaciones de construcción. La otra línea, denominada equipo de la silvicultura,
está destinada a la industria maderera. Tanto la máquina más grande de la línea
de excavación (la E-9), como la mayor de toda la línea del equipo de silvicultura
(la F-9) son fabricadas en los mismos departamentos y con el mismo equipo.
Empleando las proyecciones económicas correspondientes al siguiente mes, el
gerente de Mercadotecnia de ProTrac ha considerado que durante ese período
será posible vender todas las E-9 y F-9 que la compañía sea capaz de producir.
La gerencia tiene que recomendar ahora una meta de producción para el mes
próximo. Es decir, ¿cuántas E-9 y F-9 deberán fabricar si la dirección de ProTrac
desea maximizar la contribución del mes entrante a la ganancia ( es decir, el
margen de contribución, definido como los ingresos menos los costos variables)
La toma de decisiones requiere la consideración de los siguientes factores
importantes:
a. El margen de contribución unitaria de ProTrac es de $ 5.000 por cada
E-9 vendida y de $ 4.000 por cada F-9
b. Cada producto pasa por las operaciones de maquinado, tanto en el
departamento A como en el departamento B.
Página: 111
c. Para la producción correspondiente al mes próximo, estos dos
departamentos tiene tiempos disponibles de 150 y 160 horas,
respectivamente. La fabricación de cada E-9 requiere 10 horas de
maquinado en el departamento A y 20 horas en el departamento B,
mientras que cada F-9 requiere 15 horas horas en el departamento a y
10 en el B.
d. Para que la administración cumpla con el acuerdo concertado con el
sindicato, las horas totales de trabajo invertidas el la prueba de
productos terminados del siguiente mes no deben ser más allá del 10%
inferior a una meta convenida de 150 horas. Estas pruebas se llevan a
cabo en un tercer departamento y no tienen nada que ver con las
actividades de los departamentos A y B. Cada E-9 es sometida a
pruebas durante 30 horas y cada F-9 durante 10.
e. Con el fin de mantener su posición actual en el mercado, la alta
gerencia ha decretado como política operativa: que deberá construirse
cuando menos una F-9 por cada tres E-9 que sean fabricadas.
f. Uno de los principales distribuidores ha ordenado un total de cuando
menos cinco E-9 y F-9 (en cualquier combinación) para el próximo mes,
por lo cual tendrá que producirse por lo menos esa cantidad.52
Resumen de datos:
Dep. A
Dep. B
Hora de prueba
Maq. E-9
10
20
30
HORAS
Maq. F-9
15
10
10
Total disponible
150
160
135 (150-10%)
Producir cuando menos 1 F-9 por cada 3 E-9: 1( E  9)  3( F  9)
Formulación del modelo
1. Definición de variables (variables de decisión)
E-9 = número de unidades de maquinas tipo E-9
F-9 = número de unidades de máquinas tipo F-9
2. Función objetivo
Maximizar Z = 5000 E-9 + 4000 F-9
3. Restricciones (ecuaciones de restricción)
10(E-9) + 15(F-9) ≤ 150
20(E-9) + 10(F-9) ≤ 160
30(E-9) + 10(F-9) ≥ 135
1(E-9) - 3(F-9) ≤ 0
1(E-9) + 1(F-9) ≥ 5
1(E-9) ≥ 0
1(F-9) ≥ 0
52
Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 69
Página: 112
Solución gráfica:
Solución matemática (analítica)
Datos iniciales antes de aplicas SOLVER:
Definiciones de datos para SOLVER y resolver:
Página: 113
Resultados del modelo:
Página: 114
55. La empresa Crawler Tread, desea mezclar minerales de hierro de cuatro minas
distintas para fabricar rodamientos destinados a un nuevo producto de Protrac:
un tractor tipo oruga de tamaño mediano, el E-6, diseñado especialmente para
competir en el mercado europeo. Por medio del análisis se ha demostrado que ,
para producir una mezcla dotada de las cualidades de tracción adecuadas,
deben cumplirse requerimientos mínimos en relación con tres elementos básicos
que, para simplificar, señalaremos aquí como A, B, C. En términos específicos,
cada tonelada de mineral deberá contener cuando menos cinco libras del
elemento básico A, 100 libras del elemento básico B y 30 libras del elemento
básico C.
El mineral extraído de cada una de las cuatro minas posee los tres elementos
básicos, pero en cantidades distintas. Estas composiciones expresadas en libras
por tonelada, se enumeran en la siguiente tabla:
Composiciones obtenidas de cada mina
Elemento
MINA (libras por tonelada de cada elemento)
básico
1
2
3
4
A
10
3
8
2
B
90
150
75
175
C
45
25
20
37
Costo/tonelada de
mineral
$ 800
$ 400
$ 600
$ 500
El objetivo del administrador es descubrir una mezcla factible de costo
mínimo.53
1. Definición de variables
T1 = fracción de toneladas
de
de
de
de
la
la
la
la
mina 1
mina 2
mina 3
mina 4
2. Función objetivo
Minimizar Z = 800 T1 + 400 T2 + 600 T3 + 500 T4
3. Restricciones
10 T1 +
3 T2 + 8 T3 +
2 T4 ≥ 5 (elemento A)
90 T1 + 150 T2 + 75 T3 + 175 T4 ≥ 100 (elemento B)
45 T1 + 25 T2 + 20 T3 + 37 T4 ≥ 30 (elemento A)
T1 +
T2 +
T3 +
T4 = 1
(balance)
T1, T2, T3, T4 ≥ 0 (no negatividad)
53
Página: 115
Solución: para hoja de cálculo
Datos originales:
Resultados :
Página: 116
56. Una compañía (ASTRO Y COSMOS) fabricante de TV produce dos modelos de
aparatos televisores, el astro y el Cosmo. Hay dos líneas de producción, una
para cada modelo, e intervienen dos departamentos en la producción de cada
modelo. La capacidad de la línea de producción del Astro es de 70 aparatos de
TV por día. La capacidad de la línea Cosmo es de 50 televisores diarios. En el
departamento A se fabrican los cinescopios. En este departamento se requiere
una hora de trabajo para cada modelo Astro y dos horas de trabajo para cada
modelo Cosmo. En la actualidad puede asignarse un máximo de 120 horas de
trabajo diarias para la producción de ambos tipos de aparato en el
departamento A. En el departamento B se construye el chasis. Aquí se requiere
una hora de trabajo para cada televisor Astro y también una hora para cada
modelo Cosmo. Actualmente se puede asignar 90 horas de trabajo al
departamento B para la producción de ambos modelos. La contribución a las
ganancias es de 20 y 10 dólares, respectivamente, por cada televisor Astro y
Cosmo.
Si la compañía sabe que puede vender todos los aparatos Astro y Cosmo que
sea capaz de fabricar. ¿cuál deberá ser el plan de producción por cada día (es
decir, la producción diaria) para cada modelo?54

X1 = número de unidades de TV Astro
X2 = número de unidades de TV Cosmo


Restricciones
X1 + 2X2 ≤ 120
capacidad Dep. A
X1 + X2 ≤ 90
capacidad Dep. B
X1 ≤ 70
capacidad de línea Astro
X2 ≤ 50
capacidad de línea Cosmo
 No negatividad
Xi ≥0 ; i = 1, 2
Solución GLP
54
Página: 117
Payoff: 20.0 X1 + 10.0 X2 = 1600.0
X2
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 50.0
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 70.0
: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 90.0
: 1.0 X1 + 2.0 X2 = 120.0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
: 1.0X1 + 2.0X2 <= 120.0
: 1.0X1 + 1.0X2 <= 90.0
: 1.0X1 + 0.0X2 <= 70.0
: 0.0X1 + 1.0X2 <= 50.0
Datos de entrada para solver
Página: 118
X1
57. De los muchos productos que fabrica la Arco Manufacturing Company, sólo los
productos C, D, E y F pasan por los siguientes departamentos: cepillado,
fresado, taladrado y ensamble. Los requerimientos por unidad de producto en
horas y contribución son los siguientes:
Departamento
Producto Cepillado Fresado Taladrado Ensamble Contr./Unidad
C
0.5
2.0
0.5
3.0
$8
D
1.0
1.0
0.5
1.0
$9
E
1.0
1.0
1.0
2.0
$7
F
0.5
1.0
1.0
3.0
$6
Las capacidades disponibles en este mes para los productos C, D, E y F, así
como los requerimientos mínimos de venta, son:
Departamento Capacidad(horas)
Producto
Req. Mínimos Venta
Cepillado
1800
C
100 unidades
Fresado
2800
D
600 unidades
Taladrado
3000
E
500 unidades
Ensamble
6000
F
400 unidades
Determínese la cantidad de los productos C, D, E y F, que tendrá que fabricar
este mes para maximizar la contribución.55

55
del
del
del
del
producto
producto
producto
producto
C
D
E
F
Thierauf. Toma de Decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Limusa. Pag. 274
Página: 119

Función objetivo: Maximizar Z = 8X1 + 9X2 + 7X3 +6X4

Restricciones
0.5X1 + 1.0X2
2.0X1 + 1.0X2
0.5X1 + 0.5X2
3.0X1 + 1.0X2
X1 ≥ 100
X2 ≥ 600
X3 ≥ 500
X4 ≥ 400

No negatividad
Xi ≥0 ; i = 1, 4
+
+
+
+
1.0X3
1.0X3
1.0X3
2.0X3
+
+
+
+
0.5X4
1.0X4
1.0X4
3.0X4
≤
≤
≤
≤
1.800
2.800
3.000
6.000
capacidad Cepillado
capacidad Fresado
capacidad Taladrado
capacidad Ensamble
venta de C
venta de D
venta de E
venta de F
Página: 120
58. Planificación financiera. Willie Hanes es el presidente de una microempresa de
inversiones que se dedica a administrar las carteras de acciones de varios
clientes. Un nuevo cliente ha solicitado que la compañía se haga cargo de
administrar para él una cartera de $ 100.000. A ese cliente le agradaría
restringir una cartera a una mezcla de tres tipos de acciones únicamente, como
podemos apreciar en la siguiente tabla. Formule UD. un PL para mostrar
cuántas acciones de cada tipo tendría que comprar Willie con el fin de
maximizar el rendimiento anual.56
ACCIONES
Gofer Crude
Can Oil
Sloth Petroleum
PRECIO POR
ACCION($)
60
25
20
RENDIMIENTO
ANUAL
ESTIMADO POR
ACCION ($)
7
3
3
INVERSION
MAXIMA POSIBLE
($)
60.000
25.000
30.000
X1 = Número de acciones de Gofer Crude
X2 = Número de acciones de Can Oil
X3 = Número de acciones de Sloth Petroleum


Función objetivo: Maximizar Z = 7X1 + 3X2 + 3X3
Restricciones
60X1 ≤ 60.000
inversión máxima de Gofer Crude
25X2 ≤ 25.000
inversión máxima de Can Oil
20X3 ≤ 30.000
inversión máxima de Sloth Petroleum
60X1 + 25X2 + 25X3 ≤ 100.000 inversión total

No negatividad
Xi ≥0 ; i = 1, 3
56
Página: 121
59. Planificación de Cartera. Una compañía de inversiones tiene actualmente $ 10
millones disponibles para inversión. La meta que se ha trazado consiste en
maximizar la retribución esperada durante el siguiente año. Sus cuatro
posibilidades de inversión se presentan resumidas en la siguiente tabla.
Además, la compañía ha especificado que cuando menos 30% de los fondos
tendrán que colocarse en acciones ordinarias y bonos de la tesorería y que no
más del 40% del dinero deberá invertirse en fondos del mercado y títulos
municipales. Se invertirá la totalidad de los $ 10 millones actualmente a la
mano. Formule un modelo de PL que indique a la empresa cuánto dinero debe
invertir en cada instrumento.57
POSIBILIDAD DE
INVERSION
Bonos de Tesorería
Acciones Ordinarias
Mercado de Dinero
Títulos Municipales
57
RETRIBUCION
ESPERADA (%)
8
6
12
9
INVERSION MAXIMA
(MILLONES DE $)
5
7
2
4
Página: 122

X1 = cantidad en dólares

Función objetivo: Maximizar Z = 0.08X1 + 0.06X2 + 0.12X3 + 0.09X4

Restricciones
X1 + X2 ≥ 0.30(X1 + X2 + X3 + X4)
0.70X1 + 0.70X2 – 0.30X3 – 0.30X4 ≥ 0
30% de inversión
X3 + X4 ≤ 0.40(X1 + X2 + X3 + X4)
-0.40X1 – 0.40X2 + 0.60X3 +0.60X4 ≤ 0
40% de inversión
X1 ≤ 5’000.000
inversión en Bonos de Tesorería
X2 ≤ 7’000.000
inversión en Acciones Ordinarias
X3 ≤ 2’000.000
inversión en Mercado de Dinero
X4 ≤ 4’000.000
inversión en Títulos Municipales
X1 + X2 + X3 + X4 ≤ 10’000.000
inversión total

No negatividad
Xi ≥0 ; i = 1, 4
en
en
en
en
Bonos de Tesorería
Acciones Ordinarias
Mercado de Dinero
Títulos Municipales
Página: 123
60. Wood Walter es propietario de un pequeño taller de fabricación de muebles. En
este taller fabrica tres tipos diferentes de mesas: A, B y C. Con cada mesa, se
requiere determinado tiempo para cortar las partes que la constituyen,
ensamblarlas y pintar la pieza terminada. Word podrá vender todas las mesas
que consiga fabricar. Además, el modelo C puede venderse sin pintar. Word
emplea a varias personas, las cuales trabajan en turnos parciales, por lo cual el
tiempo disponible para realizar cada una de estas actividades es variable de uno
a otro mes. A partir de los datos siguientes, formule UD. un modelo de
programación lineal que ayude a Word a determinar la mezcla de productos que
le permitirá maximizar sus ganancias en el próximo mes.58
Modelo
A
B
C
C sin pintar
Capacidad
Corte
(hrs)
3
1
4
4
150
Montaje
(hrs)
4
2
5
5
200
Pintura
(hrs)
5
5
4
0
300
Ganancia por
mesa ($)
25
20
50
30
Solución al problema
X1 = Cantidad de mesas Modelo A
X2 = Cantidad de mesas Modelo B
X3 = Cantidad de mesas Modelo C
X4 = Cantidad de mesa Modelo C sin pintar


58
Función objetivo: Maximizar Z = 25X1
Restricciones
3X1 + X2 + 4X3 + 4X4 ≤ 150
4X1 + 2X2 + 5X3 + 5X4 ≤ 200
5X1 + 5X2 + 4X3 + 0X4 ≤ 300
+ 20X2 + 50X3 + 30X4
horas en Corte
horas en Montaje
horas en Pintura
Página: 124

No negatividad
Xi ≥0 ; i = 1, 4
61. Douglas E. Starr, administrador de la perrera Heavenly Hound Kennels, Inc,
ofrece alojamiento en plan de pensión para mascotas. La comida de los perros
alojados en la perrera se prepara mezclando tres productos granulados, con lo
cual se obtiene una dieta bien balanceada para los canes. La información sobre
los tres productos se muestra en la siguiente tabla. Si Douglas quiere
asegurarse de que cada uno de sus perros ingiera diariamente cuando menos 8
onzas de proteínas, 1 onza de carbohidratos y no más de 0.5 onzas de
grasas.¿qué cantidad de cada producto en grano deberá incluirse en el alimento
de los perros a fin de minimizar los costos de Douglas? (Nota: 16 onzas = 1
libra)59
PRODUCTO
EN GRANO
A
B
C
COSTO POR
LIBRA($)
0.45
0.38
0.27
PROTEINAS
(%)
62
55
36
CARBOHIDRATOS
(%)
5
10
20
GRASAS
(%)
3
2
1
Solución del problema
59
Página: 125

X1 = Cantidad en libras de producto A
X2 = Cantidad en libras del producto B
X3 = Cantidad en libras del producto C


Función objetivo: Minimizar Z = 0.45X1 + 0.38X2 + 0.27X3
Restricciones
0.62X1 + 0.55X2 + 0.36X3 ≥ 0.5
por proteínas
0.05X1 + 0.10X2 + 0.20X3 ≥ 0.0625
por carbohidratos
0.03X1 + 0.02X2 + 0.01X3 ≤ 0.03125
por grasas
No negatividad
Xi ≥0 ; i = 1, 3

62. McNaughton, Inc. Produce dos salsas para carne: Spicy Diablo y Red Baron (la
más suave). Esta salsa de hacen mezclando dos ingrediente, A y B. Se permite
cierto nivel de flexibilidad en las fórmulas de estos productos. Los porcentajes
permisibles, así como la información de ingresos y costos, aparecen en la
siguiente tabla. Es posible comprar hasta 40 litros de A y 30 de B. McNaughton
puede vender toda la salsa que elabore. Formule un modelo de programación
Página: 126
lineal cuyo objetivo sea maximizar las ganancias netas obtenidas por la venta de
estas salsas.60
INGREDIENTE
SALSA
A
B
Spicy Diablo
Cuando menos 25%
Cuando menos 50%
Red Baron
Cuando mucho 75%
*
Costo por litro 1.60
2.59
* no existe un porcentaje máximo o mínimo explícito
X1 = Cantidad de litros
de
de
de
de
ingrediente
ingrediente
ingrediente
ingrediente
A para
A para
B para
B para
PRECIO DE VENTA
POR LITRO
3.35
2.85
Salsa Spicy Diablo
Salsa Red Baron
Salsa Spicy Diablo
Salsa Red Baron

Función objetivo: Maximizar Z = 3.35(X1 + X3) + 2.85(X2 + X4) –
1.6(X1 + X2) – 2.59(X3 + X4)
Z = 1.75X1 + 0.76X2 + 1.25X3 + 0.26X4

Restricciones
X1 ≥ 0.25(X1 + X3)
0.75X1 – 0.25X3 ≥ 0
X2 ≤ 0.75(X2 + X4)
0.25X2 – 0.75X4 ≤ 0
X3 ≥ 0.50(X1 + X3)
-0.50X1 + 0.50X3 ≥ 0
X1 + X2 ≤ 40
X3 + X4 ≤ 30

contenido de A en la salsa Spicy
contenido de A en la salsa Red
contenido de B en la salsa Spicy
máxima compra de litros de A
máxima compra de litros de B
No negatividad
Xi ≥0 ; i = 1, 4
Datos para entrada del Solver
60
Página: 127
Salida del Solver
63. La Corey Ander’s Spice Company dispone de una cantidad limitada de tres
ingredientes que se utiliza para producción de condimentos. Corey emplea los
tres ingredientes (HB01, HB02 y HB03) para la elaboración de cúrcuma y
pimentón. El departamento de mercadotecnia informa que la compañía puede
vender todo el pimentón que sea capaz de producir, pero solamente se puede
vender un máximo de 1700 botellas de cúrcuma. Los ingredientes no utilizados
podrán venderse en el mercado. Los precios están expresados en $/onza. Los
precios actuales son: HB01, $0.60; HB02, $0.70; HB03, $0.55. Además, Corey
ha firmado un contrato para suministrar 600 botellas de pimentón a Wal-Mart.
En la siguiente tabla se ofrece información adicional. Formule el problema de
Corey como un modelo de programación lineal para maximización de ingresos.61
Cúrcuma
Pimentón
Disponibilidad
61
INGREDIENTES
(ONZ/BOTELLA)
HB01
HB02
HB03
4
2
1
3
2
3
DEMANDA
(BOTELLAS)
1700
ilimitada
PRECIO
VENTA
/BOTELLA
3.25
2.75
Página: 128
(onzas)
8000
9000
7000
X1 = Cantidad de botellas de Cúrcuma
X2 = Cantidad de botellas de Pimentón

Función objetivo
Maximizar Z = 3.25X1 + 2.75X2 + 0.60(8000 – 4X1 – 3X2)
+ 0.70(9000 – 2X1 – 2X2) + 0.55(7000 – X1 – 3X2)
Z = 14.950 – 5.45X1 – 6.95X2
 Restricciones
4X1 + 3X2 ≤ 8000
por onzas de HB01
2X1 + 2X2 ≤ 9000
por onzas de HB02
1X1 + 3X2 ≤ 7000
por onzas de HB03
X1 ≤ 1.700
botellas de Cúrcuma
X2 ≥ 600
contrato para Pimentón

No negatividad
Xi ≥ 0; i = 1, 2
Solución GLP
: 2.0 X1 + 2.0 X2 = 9000.0
X2
1701
1621
1541
1461
1381
1301
1221
1141
1061
981
901
821
741
661
581
501
421
341
261
181
101
: 4.0 X1 + 3.0 X2 = 8000.0
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 1700.0
: 1.0 X1 + 3.0 X2 = 7000.0
: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 600.0
Payoff: 1.1 X1 + 2.1 X2 = 1260.0
0 90180
270
360
450
540
630
720
810
900
990
1080
1170
1260
1350
1440
1530
1620
1710
1800
X1
: 4.0X1 + 3.0X2 <= 8000.0
: 2.0X1 + 2.0X2 <= 9000.0
: 1.0X1 + 3.0X2 <= 7000.0
: 1.0X1 + 0.0X2 <= 1700.0
: 0.0X1 + 1.0X2 >= 600.0
Página: 129
Salida del Solver
64. Guy Chung, superintendente de los edificios y del terreno circundante de la
Universidad Gótica, ha planeado aplicar fertilizante al césped del área
cuadrangular a principios de la primavera. Ese prado necesita por lo menos las
cantidades de nitrógeno, fósforo y potasio que figuran en la siguiente tabla:
MINERAL
Nitrógeno
Fósforo
Potasio
PESO MINIMO(LIBRAS)
10
7
5
Hay tres tipos de fertilizante comercial disponibles; los análisis y precios por
1000 libras se enlistan en la siguiente tabla. Guy puede comprar cualquier
cantidad de cualquiera de los fertilizantes que quiera y combinarlos antes de
aplicarlos al césped. Formule un modelo de PL que determine la cantidad de
Página: 130
cada fertilizante que debe comprar para satisfacer los requerimientos con un
costo mínimo.62
Fertilizante
I
II
III
Contenido de
nitrógeno (lib)
25
10
5
Contenido de Contenido de
fósforo (lib)
potasio (lib)
10
5
5
10
10
5
Precio ($)
10
8
7
X1 = Miles de libras de Fertilizante I
X2 = Miles de libras de Fertilizante II
X3 = Miles de libras de Fertilizante III


Función objetivo: Minimizar Z = 10X1 + 8X2 + 7X3
Restricciones
25X1 + 10X2 + 5X3 ≥ 10
contenido de nitrógeno
10X1 + 5X2 + 10X3 ≥ 7
contenido de fósforo
5X1 + 10X2 + 5X3 ≥ 5
contenido de potasio
 No negatividad
Xi ≥ 0; i = 1, 3
62
Página: 131
65. La Ebel Mining Company es propietaria de dos minas que producen cierto tipo
de mineral. Dichas minas está localizadas en distintas partes del país y, en
consecuencia, presentan diferencias en sus capacidades de producción y en la
calidad de su mineral. Después de ser molido el mineral se clasifica en tres
clases dependiendo de la calidad: alta. Media y baja. Ebel ha sido contratada
para suministrar semanalmente a la planta de fundición de su compañía matriz
12 toneladas de mineral de alta calidad, 8 toneladas de calidad mediana y 24
toneladas de calidad baja. A Ebel le cuesta $ 20.000 diarios operar la primera
mina y $ 16.000 la segunda. Sin embargo en un día de operación la primera
mina produce 6 tonelada de mineral de alta calidad, 2 toneladas de mediana y 4
toneladas de baja, mientras que la segunda produce 2 toneladas diarias de
material de alta calidad, 2 de mediana y 12 de baja. ¿Cuántos días a la semana
tendrá que funcionar cada mina para cumplir los compromisos de Ebel de la
manera más económica posible? (En este caso resulta aceptable programar la
operación de las minas en fracciones de día)63
63

X1 = Número de días a la semana (fracción de semana) de trabajo de
la Mina 1
X2 = Número de días a la semana (fracción de semana) de trabajo de la
Mina 2

Función objetivo: Minimizar Z = 20X1 + 16X2 miles de dólares

Restricciones
6X1 + 2X2 ≥ 12
2X1 + 2X2 ≥ 8
4X1 + 12X2 ≥ 24
X1 + X2 = 5

No negatividad
Xi ≥ 0; i = 1, 2
mineral de alta calidad
mineral de calidad mediana
mineral de baja calidad
máximo tiempo 1 semana (5 días)
Página: 132
8
Solución GLP
6
: 6.0 X1 + 2.0 X2 = 12.0
Payoff: 20.0 X1 + 16.0 X2 = 68.0
4
: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 5.0
2
: 4.0 X1 + 12.0 X2 = 24.0
: 2.0 X1 + 2.0 X2 = 8.0
0
0
2
4
6
8
10
: 6.0X1 + 2.0X2 >= 12.0
: 2.0X1 + 2.0X2 >= 8.0
: 4.0X1 + 12.0X2 >= 24.0
: 1.0X1 + 1.0X2 <= 5.0
PRODUCCION DE MINERALES EN EBEL MINING COMPANY
Producción en
Días de la semana
Costo diario de operación
RESTRICCIONES
Producción mineral alta c.
Producción mineral mediana c.
Producción mineral baja c.
Tiempo máximo una semana
Mina
Mina 1
2
1
1 MIN
20000 16000
36000
USO DE
RECURSOS
6
2
4
1
2
2
12
1
UTILIZADO
8
4
16
2
≥
≥
≥
≤
NO
LIMITE UTILIZADO
12
-4
8
-4
24
-8
5
3
Producción en
Días de la semana
Costo diario de operación
Mina
1
Mina
2
1
3 MIN
20000 16000
68000
Página: 133
RESTRICCIONES
Producción mineral alta c.
Producción mineral mediana
c.
Producción mineral baja c.
Tiempo máximo una semana
6
2
4
1
UTILIZADO
2
12
2
12
1
8
40
4
≥
≥
≥
≤
NO
LIMITE
UTILIZADO
12
9,32E-12
8
24
5
9,32E-12
16
1
66. La Sally Solar Car CO., tiene una planta que fabrica automóviles sedán,
deportivos y camionetas. Los precios de venta, costos variables y costos fijos
correspondientes a la manufactura de estos vehículos se presentan en la
siguiente tabla:
MODELO
Sedan
Camioneta
Deportivo
CONTRIBUCION A
LAS GANANCIAS
($)
6.000
8.000
11.000
VARIABLE DE
PRODUCCION
TIEMPO(HRS)
12
15
24
COSTOS
FIJOS
($)
2.000.000
3.000.000
7.000.000
Rally ha recibido recientemente pedidos por un total de 100 automóviles sedan,
200 camionetas y 300 automóviles deportivos. Deberá atender todos estos
pedidos. Ella desea planear la producción de manera que pueda alcanzar el
punto de equilibrio con la mayor rapidez posible, es decir, quiere asegurarse
que el margen total de contribución sea igual al total de costos fijos y que los
costos variables de producción sean mínimos. Formule este problema como un
modelo de programación lineal y resuélvalo.64
Solución del problema:
X1 = cantidad de automóviles Sedan
X2 = cantidad de Camionetas
X3 = Cantidad de automóviles Deportivos



64
Función objetivo: Tiempo Mínimo Z = 12X1 + 15X2 + 24X3
Restricciones
6X1 - 2000 ≥ 0
producción de automóviles sedan
8X2 – 3000 ≥ 0
producción de camionetas
11X3 – 7000 ≥ 0
producción de automóviles deportivos
x1 ≥ 100
cantidad de automóviles sedan
x2 ≥ 200
cantidad de camionetas
X3 ≥ 300
cantidad de automóviles deportivos
No negatividad
Xi ≥ 0; i = 1, 3
Página: 134
Salida del Solver
67. Reese Eichler, fabricante de equipo complementario para filtración del aire,
produce dos tipos de unidades, el Umidaire y el Depollinator. Los datos
referentes a los precios de venta y a los costos aparecen en la siguiente tabla.
La compañía Resse ha sido contratada para suministrar 500 Umidaire y desea
calcular las cantidades del punto de equilibrio de ambos tipos de unidad.
Formule el modelo de PL para minimizar los costos y resuélvalo.65
Producto
Umidaire
Depollinator
65
Precio de venta Costos variables Costos fijos ($)
por unidad ($)
por unidad ($)
450
240
150.000
700
360
240.000

X1 = Cantidad de unidades de Umidaire
X2 = Cantidad de unidades de Depollinator


Restricciones
450X1 – 240X1 – 150000 ≥ 0 ; 210X1 ≥ 150000
Página: 135

700X2 – 360X2 – 240000 ≥ 0 ; 340X2 ≥ 240000
X1 ≥ 500
No negatividad
Xi ≥ 0; i = 1, 2
Solución GLP
: 210.0 X1 + 0.0 X2 = 150000.0
Payoff: 240.0 X1 + 360.0 X2 = 425546.2
X2
1000
950
900
850
800
750
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 500.0
: 0.0 X1 + 340.0 X2 = 240000.0
0
50
100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000
X1
: 210.0X1 + 0.0X2 >= 150000.0
: 0.0X1 + 340.0X2 >= 240000.0
: 1.0X1 + 0.0X2 >= 500.0
Punto de equilibrio x1 > 500 y x2 > 705.9
Salida Solver
Página: 136
68. Una compañía opera cuatro granjas, cuyos grados de productividad son
comparables. Cada una de las granjas tiene cierta cantidad de hectáreas útiles y
de horas de trabajo para plantar y cuidar la cosecha. Los datos
correspondientes a la próxima temporada aparecen en la siguiente tabla.
HECTAREAS
UTILES
500
900
300
700
GRANJA
1
2
3
4
HORAS DE TRABAJO
DISPONIBLES
POR MES
1700
3000
900
2200
La organización está considerando la opción de plantar tres cultivos distintos.
Las diferencias principales entre estos cultivos son las ganancias esperadas por
hectárea y la cantidad de mano de obra que cada uno requiere, como se indica
en la siguiente tabla.
CULTIVO
A
B
C
HECTAREAS
MAXIMAS
700
800
300
HORAS MENSUALES
DE TRABAJO
POR HECTAREA
2
4
3
GANACIAS
ESPERADAS
POR HECTAREA ($)
500
200
300
Además, el total de las hectáreas que pueden ser dedicadas a cualquier cultivo
en particular están limitadas por los requerimientos asociados por concepto de
equipo de ciega. Con la finalidad de mantener una carga de trabajo más o
menos uniforme entre las distintas granjas, la política de la administración
recomienda que el porcentaje de hectáreas plantadas deberá ser igual para
todas las granjas. Sin embargo, en cualquiera de esas fincas puede crecer
cualquier combinación de cultivos, siempre y cuando se satisfagan todas las
restricciones (incluido el requerimiento de la carga de trabajo sea uniforme). La
administración desea saber cuantas hectáreas de cada cultivo tendrá que
Página: 137
plantar en sus respectivas granjas, A fin de maximizar las ganancias
esperadas.66

X11 = Cantidad de Ha del

Función objetivo: Maximizar Z = 500X11 + 500X12 + 500X13 + 500X14 +
200X21 + 200X22 + 200X23 + 200X24 + 300X31 + 300X32 + 300X33 +
300X34
Restricciones
X11 + X21 + X31 ≤ 500 Ha de cultivo en Granja 1
2X11 + 4X21 + 3X31 ≤ 1700 Horas de trabajo en Granja 1
X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 700 Ha de cultivo A
X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 800 Ha de cultivo B
X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 300 Ha de cultivo C

Cultivo
Cultivo
Cultivo
Cultivo
Cultivo
Cultivo
Cultivo
Cultivo
Cultivo
Cultivo
Cultivo
Cultivo
A
A
A
A
B
B
B
B
C
C
C
C
en
en
en
en
en
en
en
en
en
en
en
en
la Granja 1
la Granja 2
la Granja 3
la Granja 4
la Granja 1
la Granja 2
la Granja 3
la Granja 4
la Granja 1
la Granja 2
la Granja 3
la Granja 4
Cumplimiento de distribución uniforme
500
900
300


X 11  X 21  X 31 X 12  X 22  X 32 X 13  X 23  X 33
900(X11 + X21 + X31) – 500(X12 + X22 + X32)
500(X13 + X23 + X33) – 300(X11 + X21 + X31)
700(X11 + X21 + X31) – 500(X14 + X24 + X34)

700
X 14  X 24  X 34
= 0 Distr. G1 y G2
= 0 Distr. G1 y G3
= 0 Distr. G1 y G4

No negatividad
Xij ≥ 0; i = 1, 3; j = 1, 4
i = Cultivo; j = Granja
66
Página: 138
Salida Solver
69. La administración de un viñedo desea combinar cuatro cosechas distintas para
producir tres tipos distintos de vinos en forma combinada. Las existencias de las
cosechas y los precios de venta de los vinos combinados se muestran en la
siguiente tabla, junto con ciertas restricciones sobre los porcentajes incluidos en
la composición de las tres mezclas. En particular, las cosechas 2 y 3 en conjunto
deberán constituir cuando menos 75% de la mezcla de A y cuando menos 35%
de la mezcla C. Además, la mezcla A deberá contener cuando menos el 8% de
la cosecha 4, mientras que la mezcla B deberá contener por lo menos 10% de la
cosecha 2 y a lo sumo 35% de la cosecha 4. Se podrá vender cualquier cantidad
Página: 139
que se elabore de las mezclas A, B y C. Formule un modelo PL que aproveche
de mejor forma las cosechas disponibles y resuélvalo.67
Mezcla
A
1
*
B
*
C
*
Cosecha
2
3
4
cuando menos 75% 2 Y 3 cuando
en cualquier proporción
menos 8%
cuando menos *
cuando
10%
mucho 35%
Cuando menos 35% 2 y 3 *
en cualquier proporción
200
150
350
Precio de
venta/galón
80
50
35
Existencias 130
(galones)
* indica que no existe restricción alguna

X11 = Cantidad de galones
de
de
de
de
de
de
de
de
de
de
de
de
vino
vino
vino
vino
vino
vino
vino
vino
vino
vino
vino
vino
de
de
de
de
de
de
de
de
de
de
de
de
la
la
la
la
la
la
la
la
la
la
la
la
cosecha
cosecha
cosecha
cosecha
cosecha
cosecha
cosecha
cosecha
cosecha
cosecha
cosecha
cosecha
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para
para
mezcla
mezcla
mezcla
mezcla
mezcla
mezcla
mezcla
mezcla
mezcla
mezcla
mezcla
mezcla
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C

Función Objetivo
Maximizar Z= 80X11 + 80X21 + 80X31 + 80X41 + 50X12 + 50X22 + 50X32 +
50X42 + 35X13 + 35X23 + 35X33 + 35X43
 Restricciones
X21 + X31 ≥ 0.75(X11 + X21 + X31 + X41) por lo menos 75% de 2 y 3 en A
X41 ≥ 0.08(X11 + X21 + X31 + X41) cuando menos el 8% en A
X22 ≥ 0.10(X12 + X22 + X32 + X42) cuando menos el 10% en B
X42 ≤ 0.35(X12 + X22 + X32 + X42) cuando mucho el 35% en B
X23 + X33 ≥ 0.35(X13 + X23 + X33 + X43) por lo menos 35% de 2 y 3 en C
X11 + X12 + X13 ≤ 130 máximo de galones de cosecha 1

67
No negatividad
Xij ≥ 0; i = 1, 4; j = 1, 3
Página: 140
i = Cosecha; j = Mezcla
Salida del Solver
Página: 141

Investigación de Operaciones I Problemas de Programación Lineal

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