Septiembre 2002 A1

Matemáticas II
Septiembre 2002
EJERCICIO A
PROBLEMA 1. Dadas las matrices reales:
5 8

A = 
9 4
 2 − 1


 1 1 − 1
 C =  − 3 2 
B = 
2 − 3 2 
 1
4 

3 7
 ,
D = 
1 2
se pide :
a) Calcular la matriz M = A – 2 B C . (1 punto)
b) Justificar que existe la matriz D-1 inversa de D y calcular tal matriz. (0,9 puntos)
c) Calcular las matrices X, Y que cumplen D X = M = Y D. (1,4 puntos)
Solución:
a) M = A – 2 B C =
 2 − 1
 5
5 8
 1 1 − 1 
 − 2 
  − 3 2  = 
= 
9
9 4
2 − 3 2   1
4  

5 8
 − 2 − 3  5 8   4
 − 2 
 = 
 + 
= 
9 4
 15 0   9 4   − 30
8
 2 − 3 −1 −1+ 2 − 4 
 − 2 
 =
4
 4 + 9 + 2 − 2 − 6 + 8
6   9 14 
=

0   − 21 4 
b) La matriz inversa de D existirá si el determinante de D es distinto de cero;
3 7
= 6 − 7 = −1 ≠ 0 luego ∃ D −1
1 2
Calculemos D-1
D =
3 7

D = 
1 2 
D −1
2
αi j

→ 
7
1  2 − 7 − 2

=
=
− 1  − 1 3   1
1
Ai j
 →
3
7 

− 3 
 2 − 1


− 7 3 
 2 − 7
Aj i

 ⇒
→
−1 3 
c) D X = M, multiplicando por la izquierda por D-1
D-1 D X = D-1 M ; I X = D-1 M; X = D-1 M
 − 2 7   9 14   − 18 − 147 − 28 + 28   − 165 0 
 
 = 
=

X = D −1M = 
14 − 12   72
2 
 1 − 3   − 21 4   9 + 63
Y D = M, multiplicando por la derecha por D-1
Y D D-1 = M D-1; Y I = M D-1; Y = M D-1
63 − 42   − 4
21 
 9 14   − 2 7   − 18 + 14
 
 = 
 = 

Y =MD −1 = 
 − 21 4   1 − 3   42 + 4 − 147 − 12   46 − 159 