ECUACIÓN DE BERNOULLI

ECUACIÓN DE BERNOULLI
Restricciones a la ecuación de Bernoulli
Aunque la ecuación de Bernoulli es aplicable a una gran cantidad de problemas prácticos,
existen algunas limitaciones que deben tenerse en cuenta con el fin de aplicar la ecuación de
manera correcta.
1. Es válida solamente para fluidos incompresibles, puesto que el peso específico del
fluido se tomó como el mismo en las dos secciones de interés.
2. No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés que
pudieran agregar o eliminar energía del sistema, ya que la ecuación establece que la
energía total del fluido es constante.
3. No puede haber transferencias de calor hacia dentro o fuera del fluido.
4. No puede haber perdidas de energía debido a la fricción
FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO
No todos los conductos para transportar fluido de una posición a otra son redondos, pero la
mayoría de los que se usan lo son. Estos incluyen tubos para agua, mangueras hidráulicas y
otros conductos que son designados para resistir una considerable diferencia de presión
sobre sus paredes sin llegar a deformarse. Los otros conductos en donde su área transversal
no es circular normalmente se usan en sistemas de calefacción y aire acondicionado donde
las diferencias de presiones entre el interior y el exterior son muy pequeñas. Para este
capitulo se va ha considerar que el fluido ocupa en su totalidad el área del tubo
Flujo en un tubo
Flujo en un canal abierto
Flujo Laminar o Flujo Turbulento
Figura. (a)Experimento que muestra el tipo de flujo en un tubo. (b) Trayectorias de un
trazador
Para un flujo laminar en un tubo solo hay una componente de velocidad, V= vx. Para un flujo
turbulento vx , es también predominante en un tubo pero va cambiando muy rápidamente,
además de ir acompañada de las componentes normales al eje del tubo,
V=vx+vy+vz. semejante movimiento ocurre muy rapido para seguirlo con nuestra vista
Figura. Dependencia de la velocidad del fluido en un punto, del tiempo
Nosotros no podemos definir si el flujo turbulento o laminar en un tubo son grandes o
pequeños. Para eso nos ayudaremos de un parámetro adimensional llamado Número de
Reynolds:
Re =
fuerzas inerciales
ρVD
=
fuerzas vis cos as
µ
Proyectar v7-1
Por lo que un flujo va ha ser Laminar, Transitorio o Turbulento de acuerdo al valor del
Numero de Reynolds. No solamente la velocidad del fluido determina el carácter del flujo, si
no también su densidad, viscosidad y el tamaño del tubo. Los rangos para definir la categoría
de cada flujo de acuerdo al Número de Reynolds son:
Re < 2100
el flujo es la min ar
Re > 4100
el flujo es Turbulento
Para Reynolds entre estos dos limites el flujo puede estar entre laminar y turbulento a lo que
se le llamara transitorio
Perfiles de Velocidad
El fluido entra al tubo con una velocidad casi uniforme (1), conforme el fluido se mueve a
través del tubo por los efectos viscosos este se adhiere a la pared del tubo, produciéndose,
así, una capa limite a lo largo de la pared del tubo en la cual los efectos por los esfuerzos
cortantes son importantes haciendo cambiar el perfil de la velocidad inicial dependiendo de la
distancia del tubo en la dirección X, hasta que alcanza el final de la zona de entrada (2),
cuando el perfil de velocidad no varia con la distancia X, la capa limite ha alcanzado su
espesor total.
La forma del perfil de velocidad en el tubo depende de si el flujo es laminar o turbulento, así,
como la longitud de la region de entrada, (le).
La adimensional cantidad de le/D, se relaciona muy bien con el numero de Reynolds, asi,
que la longitud de la entrada es dada por.
le
= 0.06 Re para flujo la min ar
D
1
le
= 4.4(Re )6 para flujo turbulento
D
El calculo del perfil de la velocidad y la distribución de la presión en la zona de entrada es
muy compleja. Sin embargo una vez que el fluido a alcanzado el final de la zona de entrada,
la velocidad queda únicamente en función de la distancia al centro del tubo e independiente
de X. esto es cierto hasta que la dirección o forma del tubo cambia, como un cambio de
diámetro, o cuando el fluido pasa a través de una válvula, un codo o un doblez.
El perfil de velocidad es el mismo en cualquier sección del tubo, pero es diferente
dependiendo de si el flujo es laminar o turbulento. El conocimiento del perfil de velocidad
puede ayudarnos a obtener información importante sobre la pérdida de presión, pérdidas,
flujo. Existen numerosas alternativas para analizar en primero instancia el flujo laminar de las
cuales analizaremos 1, y después cuando se vea análisis adimensional analizaremos la otra.
PÉRDIDAS DE ENERGIA DEBIDO A LA FRICCIÓN
El flujo turbulento puede ser muy complejo, resultando ser un tópico difícil, habiendo todavía
un desafió para tratar el tema teóricamente. Así la mayoría de los análisis en flujos
turbulentos en tubos son basados en datos experimentales y formulas semiempiricas. Estos
datos son expresados en formas dimensionales.
A veces es necesario determinar las perdidas (hL) que ocurren en el flujo en un tubo, así que
la ecuación de la energía para flujos uniformes puede ser usada en el análisis de problemas
de flujo en los tubos:
psalida
Donde:
γ
hs =
+
2
Vsalida
p
V2
+ zsalida = entrada + entrada + zentrada + hs + hL
2g
γ
2g
Wentrada de la flecha
g
o
=
w entrada de la flecha
mg
o
=
w entrada de la flecha
γQ
Como se muestra en la figura un sistema típico de tuberías consiste de tubos rectos
conectados con varios tipos de componentes (codos, válvulas, etc), la perdida en el sistema
tuberías consiste de la perdida debido a los efectos viscosos en las partes rectas de la
tubería, que se conoce por el nombre de perdidas primarías (perdidas mayores) y las
perdidas que ocurren en los componentes que se encuentran en la tubería (codos, válvulas,
reducciones de diámetro, etc), que se denominan perdidas secundarias (perdidas menores)
hL = hLprimarias + hL sec undarias
Pérdidas Primarias (Perdidas Mayores)
La caída de presión y la perdida de energía en un tubo son dependientes de los esfuerzos
cortantes, τw, entre el fluido y la pared del tubo. Una diferencia fundamental entre flujo
laminar y flujo turbulento es que los esfuerzos cortantes para flujo turbulento están en función
de la densidad del fluido, ρ. Para flujo laminar el esfuerzo cortante es independiente de la
densidad, dependiendo solamente de la viscosidad del fluido, µ.
La caída de presión (ΔP) para un fluido incomprensible y un flujo turbulento en un tubo
horizontal esta en función de las siguientes variables:
Δp = F (V , D, l , ε , µ, ρ )
Donde V es la velocidad Promedio, l es la longitud del tubo y ε es una medida de la
rugosidad de la pared del tubo. Mientras que la caída de presión del tubo (Δp) para flujo
laminar es independiente de la rugosidad de la pared del tubo. Así para un flujo turbulento la
caída de presión esta en función de la rugosidad del tubo y para un flujo laminar ahí no hay
una capa delgada viscosa, predominando los efectos viscosos. Así relativamente pequeñas
rugosidades tienen efectos despreciables en flujo laminares en tubos, pero para tubos muy
rugosos (ε/D≥0.1) el flujo quizá este en función de la rugosidad.
De la lista de las variables donde ΔP esta en función de ellas hacen un total de 7 variables (k
= 7), dejando 3 términos dimensionales MLT (r = 3), por lo que la ecuación anterior puede
ser escrita en forma adimensional k – r = 4 grupos adimensionales.
Δp
* ρVD l ε '
= φ ((
, , %%
1
µ
D D&
2
)
ρV
2
Δp
i *
ε'
= φ ( Re, %
1
D&
ρV 2 D )
2
l ρV 2
Δp = f
D 2
Donde:
ε#
&
f = θ $ Re, !
D"
%
Para un flujo laminar el valor es mas simple ƒ = 64/Re, debido a que es independiente
ε/D, para flujo turbulento la funcional dependencia del factor de fricción sobre el numero
Reynolds y la rugosidad, ƒ = φ(Re, ε/D) es mas compleja y no puede ser obtenida todavía
un análisis teórico. Por lo que los resultados obtenidos son de una rigurosa serie
experimentos y usualmente presentados en forma grafica.
De la ecuación de energía para fluidos incompresibles y perfiles no uniformes
de
de
de
de
V12
p2
V22
+ α1
+ z1 =
+ α2
+ z2 + hL
γ
2g
γ
2g
p1
Donde hL, son las pérdidas que existen entre la sección 1 y 2, suponiendo un diámetro
constante D1 = D2, así que también V1 = V2, y tubo horizontal (z1 = z2), con un flujo
completamente desarrollado (α1 = α2) por lo que la ecuación se convierte en Δp = p1 – p2
puede ser combinada con la ecuación anterior para dar:
hLprimarias = f
l V2
D 2g
Que es llamada la ecuación de Darcy – Weisbach, que es valida solamente para flujos
desarrollados e incompresibles.
No es facil determinar la dependencia funcional del factor de fricción sobre el número de
Reynolds y la rugosidad del tubo. Mucha de esta información es un resultado de
experimentos conducidos por J. Nikurase en 1933 y ampliado por muchos otros después de
el. En tubos comerciales la rugosidad no es uniforme, sin embargo es posible obtener una
medida de esta y asi obtener el factor de fricción.
La siguiente grafica muestra la funcional dependencia de ƒ sobre Re y ε/D y es llamada
diagrama de Moody
Existe otra ecuación que es valida para toda la región que no es laminar dentro del diagrama
de Moody y de denomina ecuación de Colebrook:
&ε
1
2.51
= −2.0 log$ D +
$ 3.7 Re f
f
%
#
!
!
"
Perdidas Secundarias (Perdidas Menores)
Las pérdidas que ocurren en los componentes que se encuentran en la tubería (codos,
válvulas, reducciones de diámetro, etc), se denominan perdidas secundarias (perdidas
JWCL068_ch08_383-460.qxd 9/23/08 10:53 AM Page 416
menores). El propósito de una válvula es regular el flujo que pasa a través de ella, haciendo
que vaya cambiando la geometría por la que atraviesa el flujo, lo cual altera las perdidas
asociadas con el paso del flujo a través de la válvula. La información de las perdidas debido
a todos estos componentes es dada por análisis adimensional y basada en datos
experimentales.
416
Chapter 8 ■ Viscous Flow in Pipes
Q
Q
(b)
(a)
F I G U R E
8.21
Flow through a valve.
so that
1
2
¢p pérdidas
! KL 2rV o caídas de presión esta basado
El método más común usado para determinar las
en un coeficienteorde pérdidas KL el cual es definido como:
V2
hL, minor
hL, minor ~ V 2
(8.36)
hL minor Δ
!pKL
h
2g
K L = Lmenor
=
1
(V 2 %
V 2coefficient of K ! 1 is equal to the dynamic
& that
# has aρloss
The pressure drop across a component
L
&
#
2
g $ and the
pressure, rV 2"2. As shown by Eq.' 2
8.36
figure in the margin, for a given value of KL the
head loss is proportional to the square of the velocity.
The actual value of KL is strongly dependent on the geometry of the component considered.
It may also be dependent on the fluid properties.
V 2 That is,
V
hLmenor = kL
f1geometry,
Re2
KL ! 2
g
where Re ! rVD"m is the pipe Reynolds number. For many practical applications the Reynolds
number is large enough so that the flow through the component is dominated by inertia effects, with
viscous effects being of secondary importance. This is true because of the relatively large accelerations and decelerations experienced by the fluid as it flows along a rather curved, variable area
La caída de presión a través de un componente con un coeficiente de pérdida de KL = 1, es
igual a la presión a la presión dinámica, ρV2/2. El valor de KL es fuertemente dependiente de
la geometría del componente considerado, además de depender también depender de las
propiedades del fluido. Esto es.
KL = φ(geometria, Re)
Flow pattern and pressure distribution for a sharp-edged entrance.
Pérdidas bajo condiciones de entrada del fluido
Coeficiente de pérdidas para diferentes condiciones de entrada del fluido. (a) Reentrant, KL =
0.8, (b) sharp-edged, KL = 0.5, (c) slightly rounded, KL = 0.2 (see Fig. 8.24), (d) well-rounded,
KL = 0.04 (see Fig. 8.24).
Coeficiente de perdidas en la entrada de un fluido como función del ángulo de alisamiento
de las esquinas (Ref. 9).
Notas Adicionales:
r/d
K
0.02
0.28
0.04
0.24
0.06
0.15
0.10
0.09
>0.15
0.04
Pérdidas bajo condiciones de salida del fluido
Coeficiente de perdidas bajo condiciones de salida del fluido . (a) Reentrant, KL = 1.0, (b)
sharp-edged, KL = 1.0, (c) slightly rounded, KL = 1.0, (d) well-rounded, KL = 1.0.
Pérdidas en expansiones repentinas y graduales
Volumen de control usado para calcular el coeficiente de pérdidas para una expansión
repentina.
A1V1 = A3V3
p1 A1 − p3 A3 = ρA3V3 (V3 − V1 )
V12 p3 V32
=
+
+ hL
γ 2g γ 2g
se trabaja con estas ecuaciones para que nos de el coeficiente K L
p1
+
&
A #
K L = $$1 − 1 !!
A2 "
%
2
2
,
)
2.6 sen(θ 2 )*1 − &$ D2 #! '
D1 "
+ %
(
Si θ ≤ 45, K =
4
& D2 #
$ D!
1"
%
2
, & D2 # 2 )
*1 − $ D ! '
1" (
%
Si 45 < θ ≤ 180, K = +
4
& D2 #
$ D!
1"
%
2
Coeficiente de pérdidas para una expansión repentina.
Pérdidas en contracción repentina y gradual
2)
,
D
0.5 *1 − &$ 1 #! '
D2 "
+ %
(
KL =
4
& D2 #
$ D!
1"
%
2)
, &D
#
2
0.8 sen(θ 2)*1 − $
! '
% D1 " (
+
Si θ ≤ 45, K =
4
& D2 #
$ D!
1"
%
2
,
)
θ
0.5 *1 − &$ D2 #! ' sen
D1 "
2
+ %
(
Si 45 < θ ≤ 180, , K =
4
& D2 #
$ D!
1"
%
Coeficiente de pérdidas para una contracción repentina.
Coeficiente de pérdidas para un difusor cónico
Pérdidas en dobleces de tubos, codos válvulas etc..
Caracteristicas del flujo en un doblez de tubo de 90°, asociado con el coeficiente de
perdidasnt (Ref. 5).
Character of the flow in a 90° mitered bend and the associated loss coefficient: (a) without
guide vanes, (b) with guide vanes.
Internal structure of various values: (a) globe valve, (b) gate valve, (c) swing check valve, (d)
stop check valve. (Courtesy of Crane Co., Valve Division.
Head loss in a valve is due to dissipation of the kinetic energy of the large-velocity fluid near
the valve seat.
(a)
(b)
guide vanes, (b) with guide vanes.
TA B L E 8 . 2
Loss Coefficients for Pipe Components ahL " KL
Component
a. Elbows
Regular 90°, flanged
Regular 90°, threaded
Long radius 90°, flanged
Long radius 90°, threaded
Long radius 45°, flanged
Regular 45°, threaded
V2
b (Data from Refs. 5, 10, 27)
2g
KL
0.3
1.5
0.2
0.7
0.2
0.4
V
b. 180! return bends
180° return bend, flanged
180° return bend, threaded
0.2
1.5
c. Tees
Line flow, flanged
Line flow, threaded
Branch flow, flanged
Branch flow, threaded
0.2
0.9
1.0
2.0
d. Union, threaded
0.08
*e.
*See
Valves
Globe, fully open
Angle, fully open
Gate, fully open
Gate, 14 closed
Gate, 12 closed
Gate, 34 closed
Swing check, forward flow
Swing check, backward flow
Ball valve, fully open
Ball valve, 13 closed
Ball valve, 23 closed
Fig. 8.32 for typical valve geometry.
V
10
2
0.15
0.26
2.1
17
2
!
0.05
5.5
210
V
V
V
V
Ejemplos de flujo en Tuberías Simples
La naturaleza del proceso de solución para problemas de flujo en tuberías puede depender
fuertemente de cuáles de los diversos parámetros son independientes (“dado”) y cual es el
parámetro dependiente (“por determinar”). Los tres tipos mas comunes de problemas se
muestran en la tabla 8.4 en términos de los parámetros en cuestión. Se supondrá que este
sistema de tubería esta definido en términos de la longitud de las secciones de tubos usados
y del numero de curvas, codos y válvulas necesarios para transportar el fluido entre las
ubicaciones deseadas. En todos los casos se supondrá que se conocen las propiedades del
fluido
Problema (Tipo I, Determinar la caída de presión)
Desde el sótano hasta un segundo piso de un edificio circula agua a 60 oF por una tubería de
cobre con un diámetro de 0.75 plg (0.0625 ft) a un caudal Q = 12.0 gal/min = 0.0267 ft3/seg y
sale a través de un grifo que tiene un diámetro de 0.50 plg como se muestra en la figura.
Determine la presión en el punto (1) si : (a) todas las perdidas son despreciadas, (b)
solamente se incluyen las perdidas mayores, (c) Todas las perdidas son incluidas.
Distribución de Presión a lo largo de la tubería
Flujo presentado en término de los conceptos de línea de energía
Problema 2. Problema (Tipo I, Determinar la perdida de carga)
Aceite crudo a 140 oF con un γ = 53.7 lb/ft3 y µ = 8x10-5 lb.seg/ft2 (aproximadamente 4 veces
la viscosidad del agua) es bombeado en Alaska a través de una línea de bombeo de 799.00
millas de longitud y 4 ft de diámetro. El material con el que esta construido la tubería es
acero, el caudal es de Q = 2.4 millones de barriles/por día = 117 ft3/seg o V = Q/A = 9.31
ft/seg. Determine la potencia de la bomba necesaria para poder manejar este sistema
Problema 3. Problema (Tipo II, Determinar el caudal)
La turbina mostrada en la figura, extrae 50 hp del agua que circula a través de ella. . La línea
de tubería tiene 300 ft de longitud y 1 ft de diámetro, y se asume que tiene un factor de
fricción de 0.02. Las perdidas menores son despreciables. Determine el caudal que fluye a
través del tubo y la turbina.
Problema 4. Problema (Tipo III, Sin Perdidas menores determinar el diámetro)
Airea temperatura y presión normales circula por una tubería horizontal de hierro galvanizado
(ε = 0.0005 ft) a 2.0 ft3/seg. Determinar el diámetro mínimo de la tubería si la caída de
presión no debe ser mayor que o.50 lbf/plg2 por 100 pies de tubería.
Problema 5. Problema (Tipo III, con Perdidas menores determinar el diámetro)
Agua a 60 oF (ν = 1.21 x 10-5 ft2/seg, ver tabla 1.5) fluye de un deposito A a un deposito B a
través de una tubería de una longitud de 1700 ft y una rugosidad de 0.0005 ft, el caudal es de
26 ft3/seg como se muestra en la figura. El sistema contiene una entrada con esquinas y 4
codos bridados de 45o. Determine el diámetro del tubo necesario
Conductos No Circulares
Las correlaciones empíricas para el flujo de tubería también pueden emplearse en cálculos
que implican ductos no circulares, siempre que sus secciones transversales no sean
demasiados exageradas. Estos ductos de sección transversal cuadrada o rectangular
pueden tratarse si la razón de la altura al ancho es aproximadamente menor que 3 o 4.
A pesar de la diferente forma del área transversal, los efectoa inerciales en un flujo
desarrollado laminar son nulos de aquí que el factor de fricción pueda ser escrito en la
siguiente forma:
f =
C
Re h
Donde la constante C depende de la forma particular del ducto y ReH es el número de
Reynolds basado en el diámetro hidráulico (DH):
ρVDH
µ
4A
DH =
P
ReH =
2
4&$ πD #!
4"
4A
DH =
= %
=D
P
πD
#V 2
f &$ l
!
D
H"
hL = %
2g
Donde A es el área, y P es el perímetro mojado del tubo, también se usa DH en la rugosidad
relativa ε/DH. El valor de C = ƒReH para flujo laminar ha sido bien obtenido de la teoría y de
datos experimentales para varias formas de tubos.
Los cálculos para flujo completamente desarrollado turbulento en ductos no circulares son
usualmente utilizando el diagrama de Moody que se utiliza para tubos redondo, con la
diferencia que se utiliza el diámetro hidráulico. Estos cálculos tienen una precisión del 15%.
Problema 2.
Aire bajo condiciones Standard esta fluyendo a través de una sección de prueba (secciones
5 y 6) en un circuito cerrado de un tunal de viento como se muestra en la figura, con una
velocidad de 200 ft/seg. El flujo es manejado por un ventilador que esencialmente incrementa
la presión estática por la cantidad p1-p9, que es la necesaria para vencer las perdidas debido
a que el fluido fluye a través de un circuito. Estime el valor de P1-P9 y la potencia
suministrada a el fluido por el ventilador.