Paper sobre distorsión

Medición de distorsión y ruido: comparación entre el método analógico y
el digital
Resumen: Se comparan dos métodos independientes para medir distorsión armónica total
(THD) y ruido (N) en sistemas de audio: a) El método clásico usando un analizador de
espectro y una red pasiva doble T (analógico) y b) el método moderno usando una interfaz
conectada a un pc (DAW) y un analizador de espectro basado en software (digital). Se
propone una técnica para cuantificar con mayor exactitud el segundo armónico y se
comparan resultados obtenidos con ambos métodos midiendo un oscilador que genera
distorsión y ruido de manera predecible.
1. Antecedentes
La medición de THD y ruido es una herramienta crucial para el diseñador electrónico de
audio profesional. Su importancia se debe principalmente a la cantidad de sistemas por los
cuales la señal pasa, desde la fuente original hasta el reproductor final, sumado al hecho
que la distorsión y el ruido son acumulativos. Es así que la THD+N es una figura de mérito
ya establecida en las especificaciones electrónicas para audio.
La gran mayoría de analizadores de distorsión se basan en un filtro de ranura (notch filter)
y un voltímetro de onda o analizador de espectro, y son equipos de laboratorio
especializados [1][4]. La abundancia actual de DAW sugiere otro método más accequible
que ya ha sido usado en la literatura [11]. En éste se pasa la señal directamente por un ADC
y se analiza el espectro del archivo obtenido via software (FFT). No parece existir un
estudio comparativo entre ambos métodos de medición (junio 2013).
El problema principal del método moderno de medición, radica en la imprecisión a bajo
nivel del ADC. Se observa que:
1-La red eléctrica asociada a un pc y una interfaz incluye fuentes conmutadas que obligan a
realizar las mediciones en presencia de niveles de interferencia altos.
2-Las técnicas usadas para mejorar la linealidad en conversores atentan casi siempre en
contra de la resolución [15].
3- Los espectros virtuales presentan tonos piloto, pseudocomponentes, frecuencias sumas y
diferencias parásitas, e incluso densidades irregulares en el piso de ruido. Estos errores
pueden afectar las mediciones de amónicos de manera impredecible.
4- La electrónica analógica asociada al ADC puede contribuir a aumentar o disminuir el
nivel de un armónico específico. Los mejores resultados se obtienen con interfases de
mayor calidad.
5- El tipo de ventana usado en el FFT afecta la resolución en frecuencia y la precisión en
nivel del espectro [2].
El mismo sistema puede dar resultados diferentes en distintas condiciones, incluso
diferentes canales de la misma interfaz pueden arrojar resultados dispares.
En la Tabla 1.1 se puede apreciar este efecto a 1KHz en una interfaz comercial con una
especificación de THD+N de 0.002%:
Tabla 1.1 Comparación de THD entre canales de una misma interfaz
Todas la mediciones representan la misma fuente y fueron hechas en un intervalo de
tiempo de pocos minutos con los equipos en equilibrio térmico. Se incluye la lectura de los
segundos armónicos ya que en este componente la variabilidad es mayor. Claramente un
50% de diferencia entre la mayor lectura y la menor, incluso en este rango relativamente
alto de distorsión, pone en cuestión la exactitud de la medición. Es más, la desviación
estándar de las mediciones sugiere que este efecto hace muy imprecisas mediciones bajo
10ppm (0.001%).
La práctica demuestra que balancear la señal disminuye los efectos antes mencionados.
Las mediciones hechas con dos interfases diferentes, de forma balanceada y desbalanceada,
se resumen en la Tabla 1.2
Tabla 1.2 Comparación de THD entre interfases en modo balanceado y desbalanceado
Si bien las mediciones balanceadas presentan mejor concordancia, la diferencia absoluta
es del orden de 34% y no hay forma de saber si están cerca del valor verdadero.
Se puede concluir que hay mucha variabilidad entre equipos de distintas especificaciones y
que esta diferencia aumenta en mediciones desbalanceadas.
2. Análisis
Obviamente una medición perfecta de THD implica un instrumento de medición
completamente lineal, instrumento que no existe. Para medir la distorsión de una señal, es
necesario pasarla por circuitos que también tienen distorsión en algún grado. Es intuitivo
pensar que estas alinealidades interactúan y que por lo tanto el resultado final de una
medición presenta un porcentaje de error que depende del instrumento usado. Esto es lo que
se observa en los datos de la Tabla 1.1 y 1.2. Menos intuitivo es el hecho que la distorsión
medida puede se menor que la verdadera.
Analizando el fenómeno se puede ver que el segundo componente armónico es en el cuál
se observan las mayores diferencias entre sistemas y dentro del mismo sistema. La razón de
esta variabilidad se basa en que la no linealidad asimétrica en la ganancia de cada
subsistema, asimetría que genera los armónicos pares, puede estar desfasada 180 grados
entre subsistemas. Dicho desfase tiende a cancelar el armónico, de la misma manera que lo
puede reforzar si está en fase. Esta asimetría se puede modelar agregando un componente
cuadrático a la ganancia del subsistema:
VOUT = G1 ⋅ V IN + G2 ⋅ VIN 2
(2.0)
Supongamos una señal de entrada que solo contiene la frecuencia fundamental y el
segundo armónico desfasado un ángulo ø:
VIN = A1 ⋅ e − jωt + A2 ⋅ e − jφ ⋅ e − j 2ω t
(2.1)
En este caso la distorsión armónica debida a este segundo armónico sería:
THD2nd
A 2 ⋅ e − jφ
∝
A1
(2.2)
Al aplicar esta señal a un sistema con términos cuadráticos en su ganancia resulta la
siguiente expresión:
VOUT = [G1 ⋅ A1] ⋅ e − jωt + [G1 ⋅ A 2 ⋅ e − jφ + G 2 ⋅ A12 ] ⋅ e − j 2 ωt
+ [2 ⋅ G2 ⋅ A1 ⋅ A 2 ⋅ e − jφ ] ⋅ e − j 3ωt + [G2 ⋅ A22 ⋅ e − j 2 φ ] ⋅ e − j4 ωt
(2.3)
Las magnitudes entre paréntesis son las ganacias de cada componente armónico (hasta el
cuarto). La distorsión armónica debida al segundo armónico sería:
A2 ⋅ e − jφ G2 ⋅ A1
G2 ⋅ A1
THD′ 2nd ∝
+
∝ THD2nd +
A1
G1
G1
(2.4)
Claramente esto contiene un término de error que no se puede cuantificar pues se
desconoce G2 (se debe conocer G1 también que es la ganancia como tal del sistema).
Supongamos ahora que la misma señal de entrada se desfasa 180 grados:
VIN = − A1 ⋅ e − jωt − A2 ⋅ e − jφ ⋅ e − j2 ωt
(2.5)
Al pasar esta señal por el mismo sistema con efectos cuadráticos resulta:
A 2 ⋅ e − jφ G2 ⋅ A1
G2 ⋅ A 1
THD′′2nd ∝
−
∝ THD2nd −
A1
G1
G1
(2.6)
Si se suman (2.4) y (2.6):
THD′ 2nd + THD′′ 2nd ∝ THD2nd
(2.7)
Y si se restan:
THD′ 2nd − THD′′ 2nd ∝ G2
(2.8)
Es decir en teoría se puede obtener el THD provocado por el segundo armónico de forma
exacta a partir de dos mediciones en el mismo sistema cada una 180º fuera de fase.
También se puede estimar de esta forma la componente cuadrática en la ganancia del
sistema. Este método también es aplicable al caso que el sistema tenga una alinealidad
cúbica adicional y la señal contenga el tercer armónico (Apéndice II).
3. Datos iniciales
Para comprobar estos resultados se armó el siguiente setup. Se pasó la salida del prototipo
de un oscilador RC sinusoidal de baja distorsión y alta estabilidad por un switch inversor
balanceado y la salida de este se conectó a una entrada de línea de la interfaz Maudio
Profire 2626. Una resistencia de 4.99KΩ en paralelo con la impedancia de entrada de la
interfaz (20KΩ), resultan en una carga total de alrededor de 4KΩ.
Fig 3.1 Setup de medición para el método digital
Se grabaron sucesivamente dos archivos de 30 segundos de duración, en calidad 24bit y
96KHz, uno en fase y el otro en contrafase, para cada frecuencia del oscilador y se realizó
análisis de espectro con el software Amadeus, utilizando una ventana de Hann de 65536
puntos.
Las mediciones del segundo armónico para cada test se sumaron y dividieron por dos.
Se calculó el THD usando este promedio y los resultados más altos (peor escenario) de
todos los demás armónicos (casi puro tercer armónico para la mayoría de las frecuencias).
Para 20KHz la frecuencia de muestreo fue de 192KHz.
Este prototipo de oscilador es muy estable en nivel y frecuencia,pero no posee una etapa
de salida como tal y su distorsión aumenta perceptiblemente al ser cargado y en frecuencias
altas y bajas. Para cuantificar este fenómeno, se repitió el test sin la resistencia de 4.99KΩ.
El nivel fue de 2Volts para todas las frecuencias y se usó internamente el modo
intermedio de nivel (+20) en el oscilador [este modo tiene menor distorsión que el modo
alto (+27) pero es más rápido que el modo de baja distorsión (+10)].
El test completo duró 30 minutos y se realizó con todos los equipos en equilibrio térmico.
Los resultados pueden apreciarse en la Fig. 3.2:
Fig 3.2 Resultados de THD y niveles de armónicos individuales iniciales
La distorsión en frecuencias medias con RL=20KΩ esta por debajo de 1ppm. La pregunta es
si se puede confiar en un resultado así, medido con una máquina que tiene un THD+N de
0.0008%.
4. Test de Comprobación
Para confirmar los resultados de THD anteriores se realizaron mediciones usando el
método clásico del analizador y la red pasiva doble T.
Este método ha sido criticado en la literatura [4] [8] por ser muy tediosa e inestable la
sintonización de la red doble T. No se justificaron estas críticas en la experiencia realizada.
Se lograron atenuaciones de la fundamental entre –45.5dBc y –64dBc que fueron estables
por al menos 1000 segundos (la duración de un barrido completo del analizador) con un
error menor a 0.5dB.
La siguiente figura muestra el setup para estas mediciones:
Fig 4.1 Setup de medición para el método clásico
La atenuación en la fundamental se consideró como numericamente igual a 20logVA/VB,
pues los niveles de los armónicos presentes contribuyen muy poco al valor rms (0.003% en
el peor de los casos).
Mayor influencia podría tener el ruido de banda ancha presente. Este afecta
principalmente a la medida en el punto A (VA) que es del orden de 1mV y en el peor de los
casos el error es de 0.054% (BW=20KHz). Este error tiende a subestimar la atenuación de
la fundamental, por lo que hace las medidas de THD más conservadoras. Ambos errores
fueron despreciados ya que son pequeños en comparación al error del instrumento de
medida.
Asumiendo el máximo error en un sentido en A y en el sentido contrario en B, el error en
la atenuación de la fundamental, producto del voltímetro, sería menor que ±0.15dB, que es
pequeño en comparación a la mínima medida observable en el analizador (±1dB).
Por todo lo anterior se consideró la tolerancia total en la medición del nivel de los
armónicos como 1dB.
Se escogió una frecuencia de 2KHz y se construyó la siguiente red pasiva (TwinT en el
diagrama) cuya impedancia de entrada a 2KHz es de aproximadamente 7KΩ.
Fig 4.2 Circuito de la red doble T usada en la implementación del método analógico
Los valores de los componentes fueron medidos con un Fluke 289 y por lo tanto
contienen errores según:
Constante Circuital
Resistencia
Capacitancia
Error instrumento
0.05%
1%
Tabla 4.3 Errores en la medición de las constantes circuitales
Según esto y el modelo SPICE del circuito (Apéndice I) se puede calcular una atenuación
máxima de alrededor de –66.5dBc. Esta atenuación en la práctica fue menor, pero lo
importante del modelo es que demuestra que aún cuando la atenuación de la fundamental
suba a –45dBc, la atenuación del segundo armónico es –9±0.2dB y la del tercero
–5±0.12dB, es decir se puede asumir una atenuación de –9dB y –5dB en estos componentes
para cualquier atenuación de la fundamental menor que –45dBc y todavía el error de
observación del analizador es preponderante. Los errores en los valores medidos de los
condensadores no alteran apreciablemente este análisis. La Fig. 4.3 resume gráficamente
esto:
Fig 4.3 Respuesta en frecuencia de la red doble T
Los resultados fueron corregidos para compensar la atenuación debida a la resistencia de
salida del oscilador, atenuación que dificulta la comparación de resultados entre rangos del
atenuador. (Esta resistencia es de 256Ω para el rango de 0dB, de 182Ω para el rango
–2.5dB y de 110Ω para el rango –6dB).
Como se mencionó antes, la duración del barrido del analizador fue de 1000 segundos y
el ancho de banda fue 30Hz. Se midió el voltaje de salida de la red pasiva doble T siempre
al final de los barridos y se usó el promedio de dos lecturas consecutivas para calcular la
atenuación. (por lo que la medida con menor error de “drift” fue siempre la del segundo
armónico.)
Durante 16 horas se registraron barridos para tres posiciones del atenuador del oscilador.
La ganancia se ajustó para generar una salida constante de 2Vrms.
A continuación se usó el setup de la Fig. 3.1 para registrar las mismas combinaciones de
atenuación y ganancia en el pc. También se incluyeron medidas de: a)mismo setup pero
con la red doble T reemplazando a la resistencia de 4.99KΩ y b) setup de la Fig. 4.1
reemplazando el analizador por la interfaz.
La carga vista por el oscilador (RL) es aproximadamente 3993Ω para el setup de la Fig.
3.1, 5329Ω para a) y 7266Ω para b), es decir creciente. Esto tiene una significancia en la
distorsión de salida como ya se mencionó. (se puede demostrar que la THD presenta una
proporcionalidad inversa a RL2).
El error para el método digital, una vez anulado el error del segundo armónico y
discriminando con cuidado entre los armónicos a medir y la interferencia, es en esencia el
error de resolución de la ventana sumado al error del ADC y sus circuitos asociados.
Determinar este último a partir de las especificaciones del ADC en cuestión y los
operacionales que lo preceden es un ejercicio de adivinación (se calculó una THD de entre
0ppm a 2.74ppm), pero usando (2.8) para calcular G2 con las medidas hechas con la
interfaz y sacando un promedio resulta un valor de 0.72ppm para el segundo armónico. La
experiencia nos dice que el nivel del tercer armónico debería estar unos 3dB bajo este
número. El análisis de los resultados para este armónico muestran que su nivel es del orden
de 0.48ppm. Estos datos son coherentes entre si y concuerdan con el resultado final. El
error absoluto depende del nivel de la medida y es inversamente proporcional a esta. Nótese
que este error del tercer armónico siempre hace mayor la lectura de THD, nunca la baja.
El error de resolución de la ventana se tiende a cancelar al promediar las mediciones pues
dicho error es aleatorio y de magnitud fija para una misma cantidad de puntos (65536).
Se asumirá ±0.5dB de error en el nivel del tercer armónico, que es la máxima diferencia
observada entre dos mediciones contiguas.
Estos errores se pueden apreciar en el gráfico de resultados de la Fig. 4.10. A
continuación algunos espectros de ambos métodos:
Fig 4.4 Espectro a 0dB en Analizador
Fig 4.5 Espectro a 0dB en Interfaz
Fig. 4.6 Espectro a –2.5dB en Analizador
Fig. 4.7 Espectro a –2.5dB en Interfaz
Fig. 4.8 Espectro a -6dB en Analizador
Fig.4.9 Espectro a -6dB en Interfaz
El aumento de aproximadamente 4dB en el piso de ruido entre 2f0 y 3f0 de las Fig. 4.4,
4.6 y 4.8, nos muestra que efectivamente estamos observando el ruido del oscilador, ya que
dicho dato concuerda bien con el modelo de la red doble T.
La cantidad de mediciones analizadas por rango fue en promedio cuatro para el método
clásico, y tres para el método digital. La siguiente tabla resume, en promedio, los valores
obtenidos para ambos métodos de medición:
Tabla 4.4 Resultados Test 2V, 2KHz
La proporcionalidad del tercer armónico a la atenuación es esperada, ya que dicha
atenuación implica una ganancia proporcional en la etapa amplificadora del oscilador para
sostener 2 volts en la salida. Esta ganancia exige al operacional en cuestión aumentando su
distorsión. Tanto el método analógico como el digital registran esta tendencia, por lo que se
puede asegurar que este efecto viene del oscilador y que ambos métodos demuestran
sensibilidad a fenómenos bajo 2 ppm.
La correlación entre ambos métodos se puede apreciar en la siguiente figura:
Fig 4.10 Resultados Test 2V, 2KHz y error versus atenuación
Observando los datos de la Tabla 4.4 vemos que el segundo armónico tiene mucha más
variabilidad como fue anticipado. Tomando en cuenta todas las medidas para todas las
atenuaciones, el promedio y la desviación serían:
Armónico
Analizador
Interfaz
2nd
1.20ppm con σ= 0.60ppm 1.38ppm con σ= 0.20ppm
3rd
0.96 ppm con σ= 0.46ppm 0.98ppm con σ= 0.37ppm
Tabla 4.5 Promedios y desviaciones de todas la mediciones
Las medidas hechas con el método nuevo y la interfaz son más precisas, en particular en
el caso del segundo armónico.
Si calculamos la THD con los datos de la Tabla 4.5, los resultados para el método clásico
y el moderno difieren solo en 10% (líneas de 1.54ppm y 1.69ppm respectivamente en la
Fig. 4.10) y concuerdan aproximadamente con la medición inicial a esta frecuencia (2ppm).
El promedio de todas las diferencias entre los dos métodos es de 6.2%.
Si graficamos solo las mediciones digitales en función de la impedancia de carga RL se
puede observar la proporcionalidad inversa de la distorsión y además que la curva es
asintótica a una THD de aproximadamente 0.8ppm. Esto representaría la distorsión mínima
que puede medirse con este método y concuerda completamente con los errores asumidos
anteriormente.
Fig 4.11 THD versus RL para el método digital
5. Ruido
El ruido de banda ancha presente en un circuito es relativamente fácil de calcular
teoricamente si se consideran todas las fuentes de ruido, activas y pasivas, y se suman los
cuadrados de sus aportes individuales ponderados por la ganancia que exista desde la fuente
en cuestión a la salida del circuito [7]. Expresado matematicamente:
2
VNOISE
=
( E1 ⋅ AV1 )
2
2
+ (E2 ⋅ AV2 ) + …+ ( EN ⋅ AVN )
2
(5.1)
Es usual expresar este voltaje como densidad de ruido (nV/√Hz), de tal manera de poder
acotar la variable dentro de alguna banda específica de interés, multiplicando esta densidad
por la raíz cuadrada del ancho de banda (BW).
Utilizando (5.1) se calculó la siguiente tabla para la densidad de ruido del prototipo de
oscilador en el rango de menor distorsión (+10) que también es el de mayor ruido:
Tabla 5.1 Ejemplo de cálculo de densidad de ruido en el oscilador
En rojo puede apreciarse el voltaje de ruido total en dBu para este rango, ganancia y
atenuación de salida en el oscilador. También se realizaron los cálculos para los otros
rangos medidos anteriormente.
A continuación se estimaron los pisos de ruido en todas las mediciones con el analizador
y con la interfaz.
Usando los pisos de ruido apreciados visualmente, se calcularon las densidades de ruido a
partir de éstos para un ancho de banda de 30Hz en el caso del analizador y de 0.73Hz en
caso de los espectros FFT. (Pudo notarse en estos últimos una falta de uniformidad en el
valor del BW ).
La Tabla 5.2 resume estos resultados:
Tabla 5.2 Resultados del cálculo y medición de la densidad de ruido y voltaje de ruido en el oscilador
La concordancia entre los datos teóricos y prácticos es muy buena en el caso de las
mediciones hechas con el analizador. Como se mencionó antes, incluso la atenuación de la
red doble T es visible en el piso de ruido de este método.
Lo contrario es cierto en el caso de la interfaz. El piso de ruido del ADC no parece ser el
único causante de la mala correlación entre los datos ya que este sería –100dBu en el peor
de los casos según la especificación [16], y aun cuando estaría demasiado cercano al nivel
de ruido a medir para generar medidas confiables, el ruido observado del instrumento
parece estar 4dB más alto, en alrededor de –96dBu. Se sospecha que la operación del FFT
agrega un nivel de ruido apreciable en forma de dither. Esto último no está confirmado.
6. Conclusiones
1- Se puede obtener precisión en medidas de THD hechas con una interfaz de audio si
se cancela el error del segundo armónico con dos medidas en contrafase. La
conección debe ser balanceada. El método descrito presenta sensibilidad a
fenómenos bajo 2ppm. La sensibilidad última depende del aporte armónico de la
interfaz que en el caso de la Maudio Profire 2626 usada en estos tests es del orden
de 0.8ppm a 2KHz y 2 volts.
2- La técnica presentada para cancelar el error en el segundo armónico es efectiva y
hace que las mediciones del mismo sean más precisas en el método moderno que en
el método clásico con analizador. Esta técnica también es útil para determinar el
orden de magnitud de la THD que aporta el sistema de medida a dicho armónico
siempre y cuando se conozca la ganancia del sistema.
3- La correlación de resultados entre los dos métodos es buena y depende más del
nivel del segundo armónico. Los promedios de todas las medidas difieren
aproximadamente 10% entre métodos. Sin embargo la concordancia disminuye a
medida que el tercer armónico baja de nivel. Con respecto a esto los datos indican
que la sensibilidad máxima es mayor en el método analógico y sugiere que la
combinación de este método con la técnica de cancelación del segundo armónico es
potencialmente precisa bajo 1ppm.
4- Existe una gran similitud entre medidas de ruido realizadas con el método analógico
y el cálculo teórico de las mismas. Esto es cierto siempre y cuando se utilize un
equipo de medición con una especificación adecuada.
5- Medir la densidad de ruido con el método digital es inexacto. El piso típico del
ADC debe ser al menos 20dB más bajo que el ruido a medir para que las
mediciones tengan sentido.
Alejandro R. Silva
Ingeniero de Ejecución en Sonido
Santiago Junio 2013
8. Referencias
[1] Application Note 150-11, Spectrum Analysis…Distortion Measurement, HP Spectrum
Analyzer Series.
[2] Application Note AN014, Understanding FFT Windows, LDS Dactron, 2003
[3] Cabot, Richard C., A Comparision of Nonlinear Distortion Measurement Methods, AES
Preprint 1638, May 1980.
[4] Cabot, Richard C., Fundamentals of Modern Audio Measurement, AES Journal,
Volume 47,Number 9, September 1999.
[5] Elliott, Rod, Distortion Analyser, webarchive www.sound.westhost.com/project52.htm,
December 2007.
[6] Henn, Christian, Intermodulation Distortion (IMD), Burr-Brown Applicaton Bulletin.
[7] Hofer, Bruce, Designing for Ultra-Low THD+N in Analog Circuits, Audio Precision
White Paper, 2013
[8] Leinonen, E., Otala, M., Curl, J., A Method for Measuring Transient Intermodulation
Distortion (TIM), Technical Reserch Centre of Finland.
[9] Metzler, Bob, Audio Measurement Handbook, Audio Precision, August 1993
[10] Moore, Dick, Active Twin T Notch Filter , webarchive www.moorepage.net/TwinT.html, updated October 2012.
[11] Moore, Dick, About THD Analyzers, webarchive www.moorepage.net/Twin-T.html,
updated June 2012.
[12] Neesgaard, Claus, Digital Audio Measurements, Texas Instruments Application Report
SLAA114, January 2001.
[13] Ramus, Xavier, New Technic Accurately Measures Low-Frequency Distortion To <130dBc Levels, Texas Instruments.
[14] Terman, F. E. and Pettit, J. M., Electronic Measurements, McGraw-Hill Book
Company Inc., 1935, 1952.
[15] Watkinson, John, The Art of Digital Audio, Focal Press, 1994.
[16] http://www.akm.com/akm/en/file/datasheet/AK4620BVF.pdf
[17] http://semicon.njr.co.jp/eng/PDF/NJM4580_E.pdf
[18] http://www.amplifier.cd/Technische_Berichte/Amplifier_reiner_Sinus
[19]
http://www.amplifier.cd/Technische_Berichte/distortion_measurement/ultra_low_distortion
_measurement.html
Apéndice I
Este es el modelo SPICE para la red doble T. Con Ro=44+Rsec se hacen obvias las
correcciones utilizadas en las atenuaciones de segundo y tercer armónico.
Twin T Filter
V1 1 0 AC 1
Ro 1 2 44 *+Rsec=256, 182 y 110 ohms
C1 3 0 22.2N
R1 2 3 7.5K
C2 2 5 10.28N
R12 3 4 7.5K
C22 5 4 10.29N
R2 5 0 4.062K
RL 4 0 1MEGK
Cl 4 0 28P
.control
ac dec 2000 1000 10K
plot db(v(4))
plot ph(v(4))
.endc
.end
Apéndice II
Si el voltaje de entrada contiene segundo y tercer armónicos, es decir:
VIN = A 1 ⋅ e − jωt + A2 ⋅ e
− j ( 2ωt +φ 2
)
+ A3 ⋅ e
− j( 3ωt +φ 3 )
Y suponiendo una función de transferencia
VOUT = G1 ⋅ VIN + G2 ⋅ VIN 2 + G3 ⋅ VIN 3
Entonces la salida sería igual a
[
]
VOUT = G1 ⋅ A1 ⋅ e − jωt + G1 ⋅ A 2 ⋅ e − jφ2 + G 2 ⋅ A12 ⋅ e − j2ωt
[
]
+ G1 ⋅ A3 ⋅ e − jφ 3 + 2 ⋅ G2 ⋅ A1 ⋅ e − jφ 2 + G3 ⋅ A13 ⋅ e − j3ωt
[
]
+ 2 ⋅ G2 ⋅ A1 ⋅ A 3 ⋅ e − jφ 3 + 3 ⋅ G3 ⋅ A12 ⋅ A2 ⋅ e − jφ 2 ⋅ e − j 4ωt
[
+ 2 ⋅ G2 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ e − jφ 2 ⋅ e − jφ 3 + 3 ⋅ G3 ⋅ A12 ⋅ A3 ⋅ e − jφ 3 + 3 ⋅ G3 ⋅ A1 ⋅ A 2 2 ⋅ e − j2 φ2
[
]
⋅
e− j 5ωt
]
+ 6 ⋅ G3 ⋅ A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ e − jφ 2 ⋅ e − jφ 3 + G3 ⋅ A23 ⋅ e− j3 φ3 ⋅ e − j 6ωt
[
]
+ 3 ⋅ G3 ⋅ A1 ⋅ A 3 2 ⋅ e − j 2φ 3 + 3⋅ G3 ⋅ A2 2 ⋅ A3 ⋅ e − j 2φ 2 ⋅ e − jφ 3 ⋅ e − j 7 ωt
[
]
+ 3⋅ G3 ⋅ A 2 ⋅ A 3 2 ⋅ e − jφ 2 ⋅ e − jφ 3 ⋅ e − j 8ωt
[
]
+ G3 ⋅ A 3 3 ⋅ e − j 3φ3 ⋅ e − j9ω t
En donde cada paréntesis es proporcional al armónico de ese orden (desde segundo a
noveno). Podemos ver que el término de error en la THD del segundo armónico es idéntico
al caso anterior estudiado sin tercer armónico y sin efectos cúbicos en la función de
transferencia.
THD′ 2nd ∝
A2 ⋅ e − jφ G2 ⋅ A1
G2 ⋅ A1
+
∝ THD2nd +
A1
G1
G1