PROBLEMA Se consideran varios movimientos de

PROBLEMA Se consideran varios movimientos de

PROBLEMA
Se consideran varios movimientos de sistemas indeformables
(R3 ≡ S / R(1) 3 ≡ S1 )
Son movimientos sencillos por ser habituales y se visualizan a través de su
materialización por representaciones de dispositivos o de mecanismos.
Los movimientos considerados se denominan:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Movimiento
Movimiento
Movimiento
Movimiento
Movimiento
Movimiento
Movimiento
de rotación con eje fijo.
helicoidal o roto-traslacional.
plano.
plano de rodadura sin deslizamiento.
de traslación rectilı́nea.
de traslación circular.
de rotación con punto fijo.
Estando determinado el estado cinemático del movimiento de un sistema
indeformable a través del conocimiento temporal de la velocidad de uno de sus
puntos y del vector rotación. Para cada uno de ellos se pide
(a) Modelización matemática posible.
(b) Invariantes cinemáticos : (ω, vd )
(c) e.i.r(t)
1
RESOLUCIÓN 1) Movimiento de rotación con eje fijo
FIGURA
a)

O ∈ S/vo = 0, ∀t


 
 i = cos ϕi1 + sen ϕj1
S/S1
j = − sen ϕi1 + cos ϕj1


 
k = k1
∧
ϕ = ϕ(t)
b)

dj
dk
di


·k i+
·i j+
· j k = ϕ̇k
 ω=
dt
dt
dt
(ω, vd )
ω


 vd = vo ·
|ω|
ω = ϕ̇k = ϕ̇k1 , vd = 0
c)
e.i.r ≡ Eje fijo; ∀P ∈ e.i.r : vP = vd = 0
2
2) Movimiento helicoidal o roto-traslacional
FIGURA
a)

O ∈ S/vo = vk1 , v = v(t)


 
 i = cos ϕi1 + sen ϕj1
S/S1
j = − sen ϕi1 + cos ϕj1


 
k = k1
∧
ϕ = ϕ(t)
b)
  dj
dk
di




·
k
i
+
·
i
j
+
·
j
k = ϕ̇k



dt
dt
dt


 tan α ≡ p = z ⇒ ϕ = 2π z; ϕ̇ = 2π ż ⇒ ω = 2π v
(ω, vd )

2πR
Rϕ
p
p
p


ω


=v
 vd = vo ·
|ω|
ω = k̇ =
2π
vk1 ; vd = v
p
c)
e.i.r(t) ≡ Eje tornillo (eje móvil) ; ∀P ∈ e.i.r(t) : vp = vd = vk1
3
3) Movimiento plano
FIGURA
a)

O ∈ S/vo = v1 (t)i1 + v2 (t)j1


 
 i = cos ϕi1 + sen ϕj1
S/S1

  j = − sen ϕi1 + cos ϕj1

k = k1
∧
ϕ = ϕ(t)
b)

dj
dk
di


·k i+
·i j+
· j k = ϕ̇k
 ω=
dt
dt
dt
(ω, vd )
ω


 vd = vo ·
|ω|
ω = ϕ̇k = ϕ̇k1 , vd = 0
c)
(
H ∈ e.i.r / OH · ω = O
ω × vo
OH =
⇒ H ∈ π ⊂ S ∧ π(t) = π1
norω
e.i.r ≡ Eje [⊥ π(t) = π1 ] pasando por el punto H(t) ∀P ∈ e.i.r(t) : vp = vd = 0, ∀t
4
4) Movimiento plano de rodadura sin delizamiento
FIGURA
a)

O

 ∈ S/ro = x1 i1 + Rj1 ; vo = ẋi1 = v(t)i1



  i = cos ϕi1 + sen ϕj1
j = − sen ϕi1 + cos ϕj1
∧
ϕ = ϕ(t)
S/S1



k
=
k

1


t : ∃ I(t) ∈ S ⊂ δ1 (y1 = 0)/vI = 0
b)

dj
dk
di


·k i+
·i j+
· j k = ϕ̇k
 ω=
dt
dt
dt
(ω, vd )
ω


 vd = vo ·
|ω|
a)vI = vo + ω × OI ; 0 = vi + ϕ̇k × (−Rj) ; 0 = v + Rϕ̇
f (v, ϕ̇) = 0
b)vo = vI + ω × IO ; vi = 0 + ϕ̇k × Rj ; v = −Rϕ̇
f (v, ϕ̇) = 0 =⇒ ϕ̇ = −
ω = ϕ̇k = −
v
R
v
k1 , vd = 0
R
c)

 H ∈ e.i.r / OH · ω = 0
ω × vo
ϕ̇k × vi
v
=
= j = −Rj ⇒ H ≡ I
 OH =
2
norω
ϕ̇
ϕ̇
e.i.r ≡ Eje [⊥ π(t) = π1 ] pasando por el punto I(t) ∀P ∈ e.i.r(t) : vp = vd = 0, ∀t
5
5) Movimiento de traslación rectilı́nea
FIGURA
a)
S/S1



















O ∈ S/ro = x1 i1 , vo = ẋi1 = vo (t)i1
∃
I(t) ∈ S / vI/S2 (t) = 0 Λ rI (t) = −Rj
 i = i1
j = j1

k = k1
S2 /S1 : Movimiento de rotación con eje fijo [Ω = Ω(t)k1 ]
t : ∃ I(t) ∈ S ⊂ δ1 (y1 = 0)/vI = 0
vI/S1 = VI/S2 + vI,S2 /S1 = 0 + Ω × OI = Ωk1 × (−Rj1 ) = ΩRi1 ≡ vi1
b)

dj
dk
di


ω=
·k i+
·i j+
·j k=0


dt
dt
dt


 ω = 0 , ∀t =⇒ Movimiento de traslación
(ω, vd )

ω
= 0 =⇒6 ∃vd ∧ vp = v(t) , ∀P ∈ S




v
=
vI + ω × IP = vI = vi1 ≡ vo (t)i1
p


vp = vo (t)i1 , ∀P ∈ S =⇒ Movimiento de traslación rectilı́neo
ω = 0 , ∀t , vp = ΩRi1 = v(t)i1 , ∀P
Si : Ω = cte =⇒ v = cte
vp = cte , ∀P ∧ ∀t
v = cte =⇒
=⇒ Mov. traslación rectilı́neo y uniforme
ro = x1 i1
c)
ω = 0 , ∀t =⇒6 ∃ e.i.r(t) , ∀t
6
6) Movimiento de traslación crcular
FIGURA
a)

vo = −aϕ̇ sen ϕi1 + aϕ̇ cos ϕj1


O∈S
∧ ϕ = ϕ(t)


ro (0) = ai1

i = i1
S/S1


j
= j1



k = k1
b)

dj
dk
di


ω=
·k i+
·i j+
·j k=0


dt
dt
dt
 (ω, vd )
ω = 0 , ∀t =⇒ Movimiento de traslación



ω = 0 =⇒6 ∃vd ∧ vp = vo (t)


vp = vo + ω × OP = vo (t)
ω = 0 , ∀t , vp = vo (t) , ∀P
vo = −aϕ̇ sen ϕi1 + aϕ̇ cos ϕj1
=⇒ ro = a cos ϕi1 + cos ϕj1
ro (0) = ai1
2
ro = a cos ϕi1 + cos ϕj1 ⇒ x2O,1 + yO,1
= a2 ⇒ Mov. traslación circular
Si ϕ̇ ≡ Ω = cte ⇒ |vo (t)| = aΩ = cte ⇒ Mov. traslación circular uniforme
c)
ω = 0, ∀t =⇒6 ∃ e.i.r(t), ∀t
7
NOTA:
Los casos B), C’), C”) y D) también corresponden a la situación considerada
con las variantes o modificaciones siguientes a tener en cuenta:
B) ro = ai1 + (H − h)j1
C’) y C”) : Movimiento de traslación circular S/S’


vi1 , ∀P ∈ S 0

 vo = 

0

x1 i1 + Hj1
a) S /S1 : ωS 0 /S1 = 0, ∀t ∧



 ro =

x1 i1 + Rj1




 i = i0
j = j0 ⇐⇒ ωS/S 0 = 0
 b)S/S 0 :




k = k0



0
0

v

o = −aϕ̇ sen ϕi + aϕ̇ cos ϕj

∧ ϕ = ϕ(t)
 O∈S
ro = ai0
D) Movimiento de traslación circular S ≡ S3 /S1
S2 /S1 : ω21 ≡ ω = ϕ̇k1 , rO2 = Hk1
S3 /S2 : ω32 = −ω = −θ̇k1 ; θ̇ = ϕ̇, rO3 = ai2

 ω31 = ω32 + ω21 = 0 ⇒ Mov. traslación : vp = vO3 (t), ∀P ∈ S ≡ S3
rO3 = a cos ϕi1 + a sen ϕj1 + Hk1 ⇒ Mov. traslación circular

Si : ω ≡ ϕ̇ = cte ⇒ Mov. traslación circular uniforme
8
7) Movimiento de rotación con punto fijo
7.1- FIGURA
a)


i2




S2 /S1 :  j2




k2
∃ O ∈ (S ≡ S3 ) / vo = 0, ∀t


i3



 j3

S
/S
:

3
2


k3
 
i3




 j3




k3
(S ≡ S3 ) /S1


i3



 j3




k
3



i1
cos α
sen α 0
 =  − sen α cos α 0   j1
k1
0
0
1
 

1
0
0
i2
= 0
cos β
sen β   j2
0 − sen β cos β
k2



0
cos α
sen β   − sen α
cos β
0


i1
 = [C32 (β)] [C21 (α)]  j1 
k1
1
0
= 0
cos β
0 − sen β

9
sen α
cos α
0






0
i1
0   j1 
1
k1
b)
(ω, vd )




































ω =≡ ωS/S1 ≡ ωS3 /S1










dk3
di3
dj3



 ω = dt · k3 i3 + dt · i3 j3 + dt · j3 k3
 


i3 = i2








ω32 ≡ β̇

ω ≡ ω31 = ω32 + ω21 = ω32 i3 + ω21 k2


k2 = k1






ω21 ≡ α̇
ω
=0
vd = vo ·
|ω|
c)
e.i.r(t) ≡ δ O, ω ≡ ωS/S1 (t) ∀P ∈ e.i.r(t) : vp = vd = 0; ∀t
10
7.2- FIGURA





S2 /S1










S3 /S2
∃ O ∈ (S ≡ S3 ) / vo = 0, ∀t













 S4 /S3

 
i2
:  j2  = 
k2

 
i3
:  j3  = 
k3

 
i4
:  j4  = 
k4
11

0
i1
0   j1
1
k1

1
0
0
i2
0
cos β
sen β   j2
0 − sen β cos β
k2

cos γ
sen γ 0
i3
− sen γ cos γ 0   j3
0
0
1
k3
cos α
− sen α
0
sen α
cos α
0






(S ≡ S4 )/S3 /S2 /S1



 
i4
i1



 j4  = [C41 (α, β, γ)]  j1 





k4
k1






cos γ
sen γ 0
1
0

cos β
[C41 ] ≡  − sen γ cos γ 0   0


0
0
1
0 − sen β









i4
i1



 j4  = [C43 (γ)] [C32 (β)] [C21 (α)]  j1 



k4
k1

0
cos α
sen β   − sen α
cos β
0
sen α
cos α
0

0
0 
1
b)
(ω, vd )












































ω ≡ ωS/S1 ≡ ωS4 /S1










dk4
di4
dj4


·
k
·
i
·
j
i
+
j
+
ω
=

4
4
4 k4
4
4

dt
dt
dt




 k4 = k3







ω43 ≡ γ̇




 i =i


3
2


ω ≡ ω41 = ω43 + ω32 + ω21 = ω43 k4 + ω32 i3 + ω21 k2


ω
≡
β̇


32






k
=
k


2
1




ω21 ≡ α̇
ω
vd = vo ·
=0
|ω|
c)
e.i.r(t) ≡ δ O, ω ≡ ωS/S1 (t) ∀P ∈ e.i.r(t) : vp = vd = 0; ∀t
12
PROBLEMA
I.- Se tienen un cilindro de altua h y radio R y un cono de altura h y
semiángulo cónico α que se mueven sobre un plano sin perder su contacto.
La configuración en cada instante de ambos queda por ejemplo definida a través
de las coordenadas del punto C de cada uno y por los ángulos θ y ϕ representados. Se utilizan los sistemas auxiliares S : (C, x, y, z) no solidarios a dichos
sólidos, ası́ mismo representados.
Obtener para cada sólido, expresados en (C, x, y, z):
1) ω ≡ ωCil/S1 y α ≡ αCil/S1 = ω̇Cil/S1
2) ω ≡ ωCon/S1 y α ≡ αCon/S1 = ω̇Con/S1
II.-Un vástago AB(S2 ) de longitud L se mueve en torno a un eje vertical
arrastrando a una rueda (S3 ) de radio R que tiene por centro el extremo del
vástago y puede girar libremente respecto de él, a la vez que se apoya sobre el
suelo.
Para definir la configuración del sistema se utilizan los ángulos ϕ y θ y se toman
como referencias en (S2 ) y (S1 ) a (i2 , j2 , k2 ) y (i3 , j3 , k3 ) respectivamente como
se muestran en la figura.
13
3) Obtener ω21 y α21 expresados en S1 y los axoides de S2 /S1
4) Obtener ω32 y α32 expresados en S2 y los axoides de S3 /S2
5) Obtener ω31 y α31 expresados en S3 y en S1 . Halle la relación que debe
existir entre ϕ̇ y θ̇; f (ϕ̇, θ̇) = 0, si la rueda no desliza sobre el suela y diga
cuando se da esta condición cuáles son los axoides de S3 /S1 .
6) Deducir la matriz de cambio de base que relaciona (i3 , j3 , k3 ) con (i1 , j1 , k1 )
expresándola en la forma habitual con notación ”pseudomatricial”.
III.- Una rueda (S) de radio R se mueve sobre un suelo horizontal de forma
que el plano de la rueda siempre es vertical al mismo. Para definir la configuración del sistema se utilizan las coordenadas del punto C o las del punto de
la rueda que en cada instante contacta con el suelo y los ángulos ϕ y θ representados. Se toma como referencia en S a (i, j, k) y se toma ası́ mismo como
referencia auxiliar no solidaria a S la S 0 :(ξ, η, k) mostradas en la figura.
7) Obtener ω ≡ ωS/S1 expresado en S,S 0 y S1 .
8) Obtener α ≡ αS/S1 expresado en S y S1 .
14
Soluciones:
I.1) ω = ϕ̇i + θ̇k ; α = ϕ̈i + θ̇ϕ̇j + θ̈k
2) ω = (ϕ̇ + θ̇ sen α)i + θ̇ cos αk ; α = (ϕ̈ + θ̈ sen α)i + θ̇ϕ̇ cos αj + θ̈ cos αk
II.5) ω31 = θ̇k3 + ϕ̇k1 = ϕ̇ sen θi3 + ϕ̇ cos θj3 + θ̇k3 = θ̇ cos ϕi1 + θ̇ sen ϕj1 + ϕ̇k1
α31 = (ϕ̈ sen θ + ϕ̇ cos θθ̇)i3 + (ϕ̈ cos θ − ϕ̇ sen θθ̇)j3 + θ̈k3 =
= (θ̈ cos ϕ − θ̇ sen ϕϕ̇)i1 + (θ̈ sen ϕ + θ̇ cos ϕϕ̇)j1 + ϕ̈k1
f (ϕ̇, θ̇) ≡ Lϕ̇ + Rθ̇ = 0
6)

 



i3
0
cos θ
sen θ
cos ϕ
sen ϕ 0
i1
 j3  =  0 − sen θ cos θ   − sen ϕ cos ϕ 0   j1 
k3
1
0
0
0
0
1
k1
III.7) ω = ϕ̇ sen θi + ϕ̇ cos θj + θ̇k = θ̇k + ϕ̇η = θ̇ cos ϕi1 + θ̇ sen ϕj1 + ϕ̇k1
8) α = (ϕ̈ sen θ + ϕ̇ cos θθ̇)i + (ϕ̈ cos θ − ϕ̇ sen θϕ̇)j + θ̈k =
= (θ̈ cos ϕ − senϕ
˙ ϕ̇)i1 + (θ̈ sen ϕ + cosϕ
˙ ϕ̇)j1 + ϕ̈k1
15