1 Mecánica. E: Un hombre y su paracaídas pesan 160 lb y caen

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Mecánica.
E: Un hombre y su paracaídas pesan 160 lb y caen desde el reposo hacia la Tierra. Antes de que el
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paracaídas se abra, la resistencia del aire (en libras) es numéricamente igual a v (donde v es la
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5 2
velocidad instantánea en pies/s) y, a partir de que se abre, la resistencia es v . Si el paracaídas
8
se abre a los 5 s, calcular la velocidad del paracaidista en cualquier segundo t:
a. Antes de abrirse el paracaídas.
b. Después de abrirse el paracaídas.
D: H Consideramos hacia abajo la posición positiva, tenemos:
Peso D mg D 160 lb ) m D
W
160
D
D 5 ) m D 5 slugs.
g
32
a. Si v.t/ es la velocidad del paracaidista al cabo de t segundos, durante los primeros 5 s,
entonces v.0/ D 0. Además
mv 0 .t/ D mg
ˇv.t/ ) 5v 0.t/ D 160
1
v.t/ )
2
1
1
v.t/ ) v 0 .t/ C v.t/ D 32:
10
10
) v 0 .t/ D 32
Luego, para 0 t 5, la velocidad v.t/ está dada por la solución del PVI:
v 0 .t/ C
1
v.t/ D 32; con v.0/ D 0:
10
t
Resolvemos la ED lineal con factor integrante e 10 . Así:
v 0 .t/ C
t
t
1
1
v.t/ D 32 ) e 10 Œv 0 .t/ C v.t/ D 32e 10 )
10
10
Z
t
t
t
1
d
) Œe 10 v.t/ D 32e 10 ) e 10 v.t/ D 32 e 10 dt )
dt
t
t
t
) e 10 v.t/ D .32/.10/e 10 C C1 D 320e 10 C C1 )
t
) v.t/ D .320e 10 C CC1 /e
Ahora:
t
10
) v.t/ D 320 C C1 e
t
10 :
v.0/ D 0 ) 320 C C1 e 0 D 0 ) C1 D 320:
Por lo que, la velocidad v.t/, para 0 t 5, es
v.t/ D 320.1
e
t
10 /
pies/s.
De aquí que, cuando el paracaídas se abre (al cabo de 5 s) la velocidad del paracaidista es
v.5/ D 320.1
6. canek.azc.uam.mx: 30/ 11/ 2010
e
5
10 /
pies/s ) v.5/ D 126 pies/s:
2
b. Después de abrirse el paracaídas.
Si v.t/ es la velocidad del paracaidista al cabo de t segundos, entonces v.0/ D 126:
Además:
mv 0 .t/ D mg
) v 0 .t/ D 32
5 2
5 2
v .t/ ) 5v 0 .t/ D 160
v .t/ )
8
8
1 2
v .t/ ) 8v 0 .t/ D 256 v 2 .t/:
8
Luego, la velocidad del paracaidista (t segundos después de abrirse el paracaídas) está
dada por la solución del PVI:
8v 0 .t/ D 256
v 2 .t/ con v.0/ D 126:
Resolvemos la ED:
0
8v .t/ D 256
dv
v .t/ ) 8
D 256
dt
2
8 dv
v )
D dt )
256 v 2
2
Z
8 dv
D
256 v 2
Z
dtI
aplicamos el método de fracciones parciales:
8
v2
256
8
A
B
D
C
)
.16 v/.16 C v/
16 v
16 C v
) 8 D A.16 C v/ C B.16 v/ D .A B/v C .16A C 16B/ )
D
8
.16/2
)
˚
v2
D
A B D0
)
16A C 16B D 8
˚
2A 2B D 0
1
) 4A D 1 ) A D
2A C 2B D 1
4
&
1
BD :
4
Por lo tanto
Z
Z Z
Z
1
8 dv
1
1
D
dt )
dv D
dt )
C
256 v 2
4
16 v
16 C v
1
) Œ ln.16 v/ C ln.16 C v/ D t C C1 )
4
) ln.16 C v/ ln.16 v/ D 4 t C 4C1 )
16 C v
16 C v
) ln
D 4 t C C2 )
D e 4tCC2 D e 4t e C2 D C e 4t )
16 v
16 v
16 C v.t/
)
D C e 4t :
16 v.t/
De donde despejamos v.t/:
16 C v
D C e 4t ) 16 C v D C e 4t .16 v/ )
16 v
) 16 C v D 16C e 4t C e 4t v ) v C C e 4t v D 16C e 4t
4t
) v.1 C C e 4t / D 16.C e 4t
Ahora:
v.0/ D 126 )
1/ ) v D
16.C e
1/
:
.1 C C e 4t /
16 C 126
142
D C e0 ) C D
D 1:291:
16 126
110
16 )
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Se tiene entonces que
16. 1:291e 4t 1/
16.1:291e 4t C 1/
v.t/ D
D
I
1:291e 4t C 1
1:291e 4t 1
donde t 0 se mide a partir de que se abre el paracaídas, lo cual sucede 5 s después
de haberse iniciado la caída del paracaidista. Para que esta fórmula tenga validez para
instantes t 5, efectuamos una traslación y escribimos t 5 en vez de t en dicha fórmula.
Por lo tanto, para t 5,
16Œ1:291e 4.t 5/ C 1
:
v.t/ D
1:291e 4.t 5/ 1