Constantes de polarización lineal en espacios finito dimensionales

Transcripción

Constantes de polarización lineal en espacios
finito dimensionales
Jorge Tomás Rodríguez
Trabajo conjunto con Daniel Carando y Damian Pinasco
Bahía Blanca, Septiembre 2016
Polinomios en espacios de Banach
Funciones multilineales y polinomios homogéneos
Sea X un espacio de Banach, T : X × · · · × X → K es una función
|
{z
veces
k-lineal si es lineal en cada variable.
k
}
Funciones multilineales y polinomios homogéneos
Sea X un espacio de Banach, T : X × · · · × X → K es una función
|
{z
}
veces
k-lineal si es lineal en cada variable.
P : X → K es un polinomio k-homogéneo si existe una función
k-lineal T tal que
P(x) = T (x, . . . , x).
k
Ejemplos
Ejemplos
a) Una funcion lineal ψ ∈ X∗ es un polinomio homogéneo de grado
1.
Ejemplos
1.
b) Si ψ1 , . . . , ψn ∈ X∗ , el producto puntual
polinomio n-homogéneo,
Qn
i=1
ψi : X → K es un
Ejemplos
1.
polinomio n-homogéneo, pues
Qn
i=1
ψi : X → K es un
T (x1 , . . . , xn ) = ψ1 (x1 ) · · · ψn (xn )
es una función n-lineal.
Ejemplos
1.
Qn
i=1
ψi : X → K es un
T (x1 , . . . , xn ) = ψ1 (x1 ) · · · ψn (xn )
Norma de un polinomio
Ejemplos
1.
Qn
i=1
ψi : X → K es un
T (x1 , . . . , xn ) = ψ1 (x1 ) · · · ψn (xn )
kPk
=
sup |P(x)|
kxk≤1
Ejemplos
1.
Qn
i=1
ψi : X → K es un
T (x1 , . . . , xn ) = ψ1 (x1 ) · · · ψn (xn )
kPk
=
sup |P(x)|
kxk≤1
=
sup |P(x)| (P homogéneo)
kxk=1
Ejemplos
1.
Qn
i=1
ψi : X → K es un
T (x1 , . . . , xn ) = ψ1 (x1 ) · · · ψn (xn )
kPk
=
sup |P(x)|
kxk≤1
=
sup |P(x)| (P homogéneo)
kxk=1
=
max |P(x)| (dim(X) < ∞)
kxk=1
Constantes de polarización
• La n-ésima constante de polarización lineal de X es la
mejor constante cn (X) para la cual
kψ1 k · · · kψn k ≤ cn (X) kψ1 · · · ψn k,
para cualquier conjunto de n funciones lineales ψ1 , . . . , ψn ∈ X∗ .
Por homogeneidad alcanza verificarlo para funciones lineales
en
SX∗ = {ψ ∈ X∗ : kψk = 1}.
Por homogeneidad alcanza verificarlo para funciones lineales
en
SX∗ = {ψ ∈ X∗ : kψk = 1}.
• La constante de polarización lineal c(X) de X se define
como
1
c(X) = lim (cn (X)) n .
n→∞
Constantes de polarización - Desigualdad inversa
Observación
Observación
Dadas funciones lineales ψ1 , . . . , ψn : X → K, entonces
kψ1 · · · ψn k
=
sup |ψ1 (x) · · · ψn (x)|
kxk≤1
Observación
kψ1 · · · ψn k
=
sup |ψ1 (x) · · · ψn (x)|
kxk≤1
≤
|ψ1 (x1 ) · · · ψn (xn )|
sup
kx1 k,...,kxn k≤1
Observación
kψ1 · · · ψn k
=
sup |ψ1 (x) · · · ψn (x)|
kxk≤1
≤
|ψ1 (x1 ) · · · ψn (xn )|
sup
kx1 k,...,kxn k≤1
=
kψ1 k · · · kψn k
R. Ryan, B. Turett (1998)
Para cada n existe una constante Kn tal que cn (X) ≤ Kn para cualquier
espacio de Banach X.
J. Arias-de-Reyna (1998)
Si H es un espacio de Hilbert complejo, con dim(H) ≥ n, entonces
n
cn (H) = n 2 .
n
cn (H) = n 2 .
J.C. García-Vázquez, R. Villa (1999) - A. Pappas y S. G. Révész (2004)
Dado un espacio de Hilbert (real o complejo) H, con dim(H) = d,
entonces
Z
c(H) = exp
−
ln |ψ0 (x)|dS(x)
,
SH
n
cn (H) = n 2 .
J.C. García-Vázquez, R. Villa (1999) - A. Pappas y S. G. Révész (2004)
Dado un espacio de Hilbert (real o complejo) H, con dim(H) = d,
entonces
Z
c(H) = exp
−
ln |ψ0 (x)|dS(x)
,
SH
en particular, tiene el siguiente crecimiento asintótico en d:
c(H) Constantes de polarización lineal en espacios finito dimensionales
√
d.
Constantes de polarización - Cota inferior
¿Cómo hallamos la constante de polarización de espacios de
Banach de dimensión finita?
Si ψ1n , . . . , ψnn ∈ SX∗ son tales que
1 = kψ1n k · · · kψnn k = cn (X)kψ1n · · · ψnn k,
entonces
1
1
cn (X) n = kψ1n · · · ψnn k− n .
entonces
1
1
cn (X) n = kψ1n · · · ψnn k− n .
Más aún, si xn ∈ BX es un punto donde ψ1n · · · ψnn alcanza su norma
1
cn (X) n
=
1
|ψ1n · · · ψnn (xn )|− n
entonces
1
1
cn (X) n = kψ1n · · · ψnn k− n .
Más aún, si xn ∈ BX es un punto donde ψ1n · · · ψnn alcanza su norma
1
cn (X) n
=
=
1
|ψ1n · · · ψnn (xn )|− n
(
)
n
1X
n
exp −
ln |ψi (xn )| .
n
i=1
Sea fn : SX∗ → R definida como fn (ψ) = ln |ψ(xn )| y ηn es la medida
de probabilidad sobre SX∗ dada por
ηn =
n
1X
n
δψin ,
i=1
ηn =
n
1X
n
δψin ,
i=1
tenemos que:
n
1X
n
ln (|ψin (xn )|) =
Z
i=1
fn (ψ) dηn (ψ) = ηn (fn ).
SX∗
ηn =
n
1X
n
δψin ,
i=1
tenemos que:
n
1X
n
ln (|ψin (xn )|) =
Z
i=1
SX∗
Sea {nk } tal que
•
{xnk } −→ x0 , para algún x0 ∈ SX .
•
{ηnk } −→ η , para alguna medida de probabilidad η .
w∗
ηn =
n
1X
n
δψin ,
i=1
tenemos que:
n
1X
n
ln (|ψin (xn )|) =
Z
i=1
SX∗
Sea {nk } tal que
•
{xnk } −→ x0 , para algún x0 ∈ SX .
•
{ηnk } −→ η , para alguna medida de probabilidad η .
w∗
Podemos hallar c(X) en función de x0 y η ya que ηnk (fnk ) −→ η(f0 ).
Problema: no tenemos ψ1n , . . . , ψnn , por lo tanto tampoco tenemos
x0 ni η .
x0 ni η .
Solución: fijar una medida η de antemano y tomar las funciones
ψ1n , . . . , ψnn de manera tal que las medidas ηn w∗ -convergen a η .
x0 ni η .
Limitación: en lugar de obtener el valor de c(X), obtenemos una
cota inferior.
x0 ni η .
Limitación: en lugar de obtener el valor de c(X), obtenemos una
cota inferior.
La optimalidad de esta cota depende de la elección de η , la cual se
elige tomando en cuenta la geometría del espacio.
Caso `d2 -
Caso `d2 - Dos funciones lineales
Caso `d2 - Cuatro funciones lineales
Caso `d2 - Ocho funciones lineales
Caso `d∞ - Dos funciones lineales (a)
ψ2
ψ1
x0
ψ2
ψ1
Caso `d∞ - Dos funciones lineales (b)
x0
ψ1
ψ2
Elección de η para S(`d∞ )∗ = S`d
1
1
1
π
8
1
π
8
π
8
Elección de η para S(`d )∗ = S`d∞
1
Elección de η para S(`d )∗ = S`d∞
1
π
8
π
8
Constantes de polarización - Cota superior
Cota superior
Dado µ una medida de probabilidad sobre SX vamos a acotar
superiormente cn (x) en función de µ.
Cota superior
Obtener una cota óptima, nuevamente dependerá de la adecuada
elección de la medida µ.
Cota superior
Obtener una cota óptima, nuevamente dependerá de la adecuada
elección de la medida µ.
Para acotar superiormente cn (x) debemos acotar inferiormente
Y
n ψj j=1 ∀ψ1 , · · · , ψn ∈ SX∗ .
Y
n ψj =
j=1  

n


Y
exp ln  sup
|ψj (x)|


x∈SX
j=1
Y
n ψj =
j=1 =
 

n


Y
exp ln  sup
|ψj (x)|


x∈SX
j=1


n


X
exp sup
ln |ψj (x)|
x∈SX

j=1
Y
n ψj =
j=1 =
≥
 

n


Y
exp ln  sup
|ψj (x)|


x∈SX
j=1


n


X
exp sup
ln |ψj (x)|
x∈SX

j=1


n
Z X

exp
ln |ψj (x)| dµ(x)
 SX

j=1
Y
n ψj =
j=1 =
≥
=
 

n


Y
exp ln  sup
|ψj (x)|


x∈SX
j=1


n


X
exp sup
ln |ψj (x)|
x∈SX

j=1


n
Z X

exp
ln |ψj (x)| dµ(x)
 SX

j=1


n Z
X

exp
ln |ψj (x)| dµ(x)


SX
j=1
Y
n ψj =
j=1 =
≥
=
≥
 

n


Y
exp ln  sup
|ψj (x)|


x∈SX
j=1


n


X
exp sup
ln |ψj (x)|
x∈SX

j=1


n
Z X

exp
ln |ψj (x)| dµ(x)
 SX

j=1


n Z
X

exp
ln |ψj (x)| dµ(x)


j=1 SX
Z
exp n
ln |ψ0 (x)| dµ(x) .
SX
Entonces
cn (X) ≤ exp
Z
−n
ln |ψ0 (x)| dµ(x)
SX
,
Entonces
cn (X) ≤ exp
Z
−n
ln |ψ0 (x)| dµ(x)
SX
en particular
Z
c(X) ≤ exp −
ln |ψ0 (x)| dµ(x) .
SX
,
Entonces
cn (X) ≤ exp
Z
−n
ln |ψ0 (x)| dµ(x)
,
SX
en particular
Z
c(X) ≤ exp −
ln |ψ0 (x)| dµ(x) .
SX
¿Qué medida µ elegimos para obtener una buena cota superior en
los espacios `p ?
Construimos una medida análoga a como construimos las medidas
η , proyectando en la esfera.
Teorema (D. Carando, D. Pinasco, J. T. R.)
Para los espacios `dp (K), con 1 ≤ p < ∞, se tiene la siguiente estimación de las constantes de polarización
c(`dp (K))  √
 d
 √
p
d
si
p≥2
si
p ≤ 2.
Teorema (D. Carando, D. Pinasco, J. T. R.)
Para los espacios `dp (K), con 1 ≤ p < ∞, se tiene la siguiente estimación de las constantes de polarización
c(`dp (K))  √
 d
 √
p
d
si
p≥2
si
p ≤ 2.
Para p = ∞ tenemos
√
d ≺ c(`d∞ (K)) ≺
p
ln(d) d.
¡Gracias!

Constantes de polarización lineal en espacios finito dimensionales

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Fecha de entrega: 27/10/2015 SISTEMAS ESTELARES Práctica N

Fecha de entrega: 27/10/2016 SISTEMAS ESTELARES Práctica N

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