Ejercicios #6

MA-2210 Ejercicios #6
1.
Dos tanques y interconectados contienen una mezcla de agua y sal. contiene 4 de mezcla y contiene 2. Inicialmente (en = 0ℎ) la mezcla en contiene 3 de sal y contiene 4 de sal. La
mezcla se mantiene uniforme en cada tanque mediante agitación, se bombea desde hacia a razón de
8/ℎ; y desde hacia a 3/ℎ. Además, al tanque entra desde el exterior una mezcla de agua
y sal con una concentración de sal dada por la expresión = 0,8 / a razón de 5/ℎ y por un
orificio en sale mezcla hacia el exterior con la misma velocidad. Sean y las cantidades de sal
presentes en y , respectivamente, cuando el tiempo transcurrido es ℎ. Dar un sistema de EDs que
modelen la aplicación y resuelva el sistema.
R. 2.
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0 = 3
= 4 − + + 3 = 4 + 1,5 − 2
#$%&'#'$% ($)#'ó% 0 = 4
= 2 − 4
= 2 + 2 + + 2 Inicialmente cada tanque y contiene 10 de agua pura. Para cada instante ≥ 0-'% desde el
exterior entra agua salada al tanque con concentración 0,8 .,+ /. La mezcla entra al tanque ,
pasa desde hasta y desde al exterior, con igual rapidez de 5/-'%, mientras la mezcla en cada
tanque se mantiene homogénea. En cada instante ≥ 0 sean e las cantidades de gramos de sal
en cada tanque respectivamente. Compruebe que:
2 + = 8 .,+
− + 2 + = 0
Escriba las condiciones iniciales y resuelva el sistema de ED
R. 3.
4.
= 4 .,+
= / .,+
Inicialmente (en = 0ℎ) la mezcla del tanque ocupa 3 incluidas 1,25' de sal, y la mezcla del
tanque ocupa 4 incluida 1' de sal. La mezcla, que se mantiene uniforme en los tanques
mediante agitación, se bombea desde el tanque hacia el tanque a razón de 12/ℎ y desde el hacia el a razón de 6/ℎ. Al tanque entra, desde el exterior, una mezcla de agua y sal con una
concentración de sal (variable con el tiempo) dada por 0,5 / '/, a razón de 6/ℎ y por un
orificio en el tanque la mezcla sale al exterior con esa misma velocidad. Sean e las cantidades
de sal, variables con el tiempo , presentes en y respectivamente. Compruebe que e están
definidas por el siguiente PVI (problema de valores iniciales). Resolver el SED.
0 = 1,25
= 2 − 0,75 /
+ 4 − 1,5 = 3 /
R. #$%&'#'$% ($)#'ó% 0 = 1
−4 + + 3 = 0
= 4 − 3 / Los tanques y están interconectados como muestra la figura y contienen 3 y 4 de agua pura
respectivamente. A partir del tiempo cero inicia la entrada de una mezcla de agua y sal al tanque en el
cual la mezcla se mantiene uniforme, que pasa al tanque , en el cual también se mantiene uniforme, y
desde este último parte de la mezcla retorna al tanque y otra se derrama. Sea el tiempo (en minutos)
medido a partir del tiempo cero y para ese instante suponga que la mezcla:
- entra al tanque con rapidez de 6/-'% y concentración de 2,5 2 '/
- pasa de a con rapidez de 12/-'%
- pasa de a con rapidez de 6/-'%
- sale de y se derrama con velocidad 6/-'%
Además, las mezclas se mantienen uniformes. Sean e las cantidades de sal presentes en y respectivamente, en función de .
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(a) Compruebe que e están modeladas por el problema de valores iniciales:
0 = 0
2 + 8 − 3 = 30 2
#$%&'#'$% 0 = 0
−4 + + 3 = 0
(b) Resuelva ese problema de valores iniciales.
R. 5.
Dos tanques y interconectados contienen una disolución de agua y sal. Inicialmente contiene 8
de la disolución con 18 de sal y contiene 4 de la disolución con 12 de sal. A partir del tiempo
cero inicia un intercambio de disoluciones entre los tanques mientras la mezcla se mantiene uniforme en
cada uno. Se bombea desde hacia a razón de 16/ℎ y desde hacia a razón de 6/ℎ.
Además, al tanque entra desde el exterior una disolución de agua y sal con concentración constante de
2/ a razón de 10/ℎ y por un orificio en sale la disolución hacia el exterior con la misma
velocidad. Sean e las cantidades de sal presentes en y , respectivamente, cuando el tiempo
transcurrido es ℎ. Dar un sistema de EDs y condiciones iniciales que modelen la aplicación. Resuelva
el sistema.
R. 6.
= −3 3 + 3 = −10 2 + 4 3 + 6 = 3 − + + 16
= 2 + 2 + + 8
Dos tanques 41 y 42 están interconectados y cada uno contiene 120 de agua pura. A partir del tiempo
cero inicia la entrada de una mezcla de agua y sal al tanque 41, desde el cual pasa al tanque 42 y desde
este último, parte de la mezcla retorna al tanque 41 y otra sale del sistema de tanques. Suponga que en
todo momento la mezcla es uniforme en cada uno de los tanques. Sea el tiempo (en minutos) medido a
partir del tiempo cero y para ese instante suponga que la mezcla:
- entra al tanque 41 con rapidez de 3/-'% y concentración de 67 '/
- pasa del tanque 41 al tanque 42 con rapidez de 4/-'%
- pasa del tanque 42 al tanque 41 con rapidez de 1/-'%
- sale del tanque 42 y se derrama con velocidad 3/-'%
5
a)
Sean e las cantidades de sal presentes en 41 y 42 respectivamente en función de .
Compruebe que e satisfacen:
e indique las condiciones iniciales.
b)
Demuestre que:
9
+ 2. − 9/. = 3 2.
8
9
9
− − 2. = 0
2.
9
9
9
9
9
= −10800 2. + 5400 3. + 5400 /.