Principios de conteo Objetivo general

Transcripción

An
tioq
uia
Universidad de Antioquia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Instituto de Matemáticas
Grupo de Semilleros de Matemáticas
(Semática)
Principios de conteo
Matemática
Lógica
Taller 8
2012 − 1
Objetivo general
rsid
ad
de
La Combinatoria es la rama de las matemáticas que estudia las
formas en las cuales podemos contar y enumerar los objetos de un
conjunto finito. Esta disciplina de estudio despierta gran interés
ya que son muchos los problemas de conteo que surgen frecuentemente en áreas tan diversas de las matemáticas puras como
el álgebra, la probabilidad y la geometrı́a, ası́ como también en
campos aplicados de la fı́sica y las ciencias de la computación.
Un ejemplo de un problema de conteo consiste en encontrar el
número de palabras de cuatro letras que podemos formar con
Figura 1: Mano de póquer
las letras A, M, O y R (incluyendo las palabras que no tienen
sentido). En este Taller te ilustraremos los principios básicos que permiten resolver este tipo de
problemas.
Los primeros conceptos básicos de conteo surgieron en la edad antigua, alrededor del siglo VI a.C.
en la India y posteriormente en Grecia, en el siglo siglo VI a.C., con el Stomachion, un tratado
matemático atribuido a Arquı́medes en el que se describe un rompecabezas similar a un tangram.
En la edad media, las técnicas continuaron su desarrolló con el matemático hindú Mahavira y el
rabı́ Aben Ezra quien estableció la simetrı́a de los coeficientes binomiales. Durante el renacimiento
la teorı́a se enriqueció con los trabajos desarrollados por Pascal, Newton, Jacob Bernoulli y Euler.
En la edad moderna, en los siglos XIX y XX, los trabajos de J. J. Sylvester y Percy MacMahon,
establecieron los fundamentos de la combinatoria.
La combinatoria estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un
conjunto. Estas agrupaciones las podemos realizar de distintas formas, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o
no el orden de colocación de los elementos.
Presentar las técnicas básicas de conteo.
ive
Objetivos especı́ficos
1. Aprender a utilizar los principios multiplicativos y aditivos de conteo.
2. Comprender los conceptos básicos de permutaciones y combinaciones.
Un
3. Familiarizarse con el binomio de Newton.
Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, Universidad de Antioquia. Esta obra es distribuida
bajo una licencia Creative Commons Atribución - No comercial 2.5 Colombia.
2
1.
Introducción
An
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uia
Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, Universidad de Antioquia
Empezamos el Taller aclarando la diferencia entre contar y enumerar. Enumerar consiste en
hacer una lista completa de los objetos que queremos contar. Por ejemplo, una solución para el
problema del número posible de palabras de cuatro letras que podemos formar con las letras A,
M, O y R, consiste en listar todas las posibles palabras una por una:
AMOR
MOAR
ROAM
AMRO
MORA
ROMA
ARMO
MRAO
OAMR
AROM
MROA
OARM
AORM
RAMO
OMAR
AOMR
RAOM
OMRA
MAOR
RMAO
ORMA
MARO
RMOA
ORAM
2.
de
El número de palabras que podemos formar es 24. Enumerar es una técnica de conteo que
resulta útil cuando el número de objetos a contar es pequeño, sin embargo, para problemas de
mayor complejidad, este método de “fuerza bruta” no siempre es posible aplicarlo. El juego de
póquer por ejemplo, consta de un mazo de 52 cartas como las que se ilustran en la figura (1). Un
problema consiste en contar el número total de maneras en las que podemos ordenar el mazo. No
existe suficiente papel en todo el mundo para enumerar todas las posibilidades en las que podemos
ordenar el mazo. El número total de posibilidades es el producto 1 · 2 · 3 · · · 52 que es un número
extremadamente grande, alrededor de 8.07 × 1067 (algo más de 8 seguido de 67 ceros). Este número
es mayor que la cantidad total estimada de átomos en la Vı́a Láctea (1047 ).
En este Taller te enseñaremos algunas fórmulas que te permitirán resolver problemas de conteo
sin recurrir a enumerar los objetos que deseas contar.
Principios multiplicativo y aditivo
rsid
ad
Principio 2.1 (Multiplicativo). Si una operación se puede hacer de m maneras diferentes y otra
de n maneras distintas, y si ambas no son excluyentes, sino que se pueden llevar a cabo juntas o
en sucesión, entonces el número total de formas en que pueden realizarse ambas operaciones es
m · n. En general, si se tienen k operaciones que se pueden hacer de m1 , m2 , . . . , mk maneras
distintas, y si se pueden realizar conjuntamente o en sucesión, entonces el número total de formas
en que pueden realizarse las k operaciones es m1 · m2 · · · mk .
ive
Ejercicio 2.1. En un restaurante se ofrecen platos con las siguientes opciones: tres tipos de sopas
diferentes, cuatro secos distintos, dos bebidas a escoger y dos tipos de postre ¿De cuántas formas
diferentes puede un cliente elegir un plato?
Solución. Como se trata de operaciones que se pueden hacer en suseción, entonces el número de
elecciones posibles es 3 · 4 · 2 · 2 = 48.
Un
Principio 2.2 (Aditivo). Si una operación se puede hacer de m maneras diferentes y otra
de n maneras distintas, y si las dos operaciones en cuestión no pueden hacerse juntas ni en
sucesión, por tratarse de operaciones excluyentes, entonces el número total de formas en que
pueden realizarse ambas operaciones es m + n. En general, si se tienen k operaciones que se
pueden hacer de m1 , m2 , . . . , mk maneras distintas, y si no se pueden realizar conjuntamente,
entonces el número total de formas en que pueden realizarse las k operaciones es m1 + m2 +
· · · + mk .
3
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Ejercicio 2.2. Una señora dispone de un pollo para cocinarlo. En su libro de recetas encuentra
tres recetas diferentes para hacerlo al horno, dos para hacerlo frito y cuatro para prepararlo cocido.
¿De cuántas maneras diferentes puede la señora preparar su pollo?
En este caso los métodos para prepararlo son excluyentes, por tanto se puede preparar de
3 + 2 + 4 = 9 maneras diferentes.
3.
Permutaciones
de
Definición 3.1 (Factorial). El factorial de un número entero positivo n se denota por n! y se
define como el producto de los primeros n enteros:
n! = 1 · 2 · · · n
El factorial de cero se define como uno:
0! = 1
ad
El sı́mbolo n! se lee “n factorial”. Por ejemplo 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. De la definición de factorial
4! = 1| ·{z
2 · 3} · 4 = 3! · 4 y en general tenemos la siguiente fórmula de recurrencia:
3!
(1)
rsid
n! = (n − 1)! · n
A un grupo ordenado de elementos de un conjunto se le denomina permutación, mientras que
a un grupo no ordenado de elementos de un conjunto se le denomina combinación. Por ejemplo, el
conjunto {X, Y, Z} puede considerarse una combinación, mientras que cada una de las 6 posibles
combinaciones diferentes de éstas letras es una permutación:
XY Z, XZY, Y XZ, Y ZX, ZXY, ZY X
ive
Definición 3.2 (Permutación). Una permutación es un arreglo ordenado de r objetos, seleccionados de un grupo de n objetos (r ≤ n).
Dependiendo del tipo de selección que realicemos, se pueden presentar las siguientes posibilidades:
Un
1. Permutación sin repetición: los n objetos son distintos y no se permite la repetición al
seleccionar r de ellos.
2. Permutación con repetición: los n objetos son distintos y se permite la repetición al
seleccionar r de ellos.
3. Permutación con objetos no distintos: los n objetos no son todos distintos y los utilizamos todos en el arreglo (este caso lo trataremos en la sección (4.1)).
4
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Ejercicio 3.1 (Permutación sin repetición). Ocho caballos compiten en una carrera hı́pica. Si se
sabe que los caballos nunca cruzan iguales la meta, ¿de cuántas maneras distintas pueden estos
ocho caballos ocupar el primer, segundo y tercer lugar?
Solución. Para este problema elegimos 3 caballos entre 8 y los disponemos en orden. En el arreglo
ordenado no se repiten elementos (nos dicen que no se presentan empates) y por tanto se trata
de una permutación sin repetición. Para contar el número de dichos arreglos debemos realizar
tres selecciones (una para cada uno de los tres primeros puestos de llegada). La primera selección
requiere elegir entre 8 caballos. Puesto que el caballo que llegó de primero no puede llegar de
segundo, la segunda selección requiere elegir entre 7 caballos y ası́ la tercera selección requiere
elegir entre 6 caballos. Por el principios multiplicativo (2.1) tenemos
8 · 7 · 6 = 336
diferentes maneras en las cuales los ocho caballos pueden llegar en primer, segundo y tercer lugar.
Ejercicio 3.2 (Permutación con repetición). ¿Cuántos números de 3 dı́gitos se pueden formar
utilizando los dı́gitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si se permiten dı́gitos repetidos?
de
Solución. Para este problema elegimos 3 dı́tigos entre 10 opciones y los disponemos en orden.
En el arreglo ordenado se pueden repetir elementos y por tanto se trata de una permutación
con repetición. Cada selección requiere elegir 1 dı́gito de 10 opciones disponibles. Por el principio
multiplicativo (2.1), tenemos
10 · 10 · 10 = 1000
posibilidades.
La solución del ejercicio anterior es un caso particular del siguiente enunciado
ad
Propiedad 3.1. El número de arreglos ordenados de r objetos, seleccionados entre n objetos
distintos y permitiendo elementos repetidos es nr .
Si no se presentan repeticiones tenemos
rsid
Definición 3.3. La notación P (n, r) representa el número de arreglos ordenados de r objetos,
seleccionados entre n objetos distintos en los que no se permiten repeticiones.
Para el ejercicio (3.1) por ejemplo, tenemos n = 8, r = 3 y P (8, 3) = 8 · 7 · 6 = 336.
Ejercicio 3.3. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 5 libros distintos sobre una repisa?
ive
Solución. Como los 5 libros son distintos, una vez elijamos uno, éste no se repetirá en el arreglo.
Utilizando el principio multiplicativo (2.1) y la notación de la definición (3.3) tenemos n = 5, r = 5
y
P (5, 5) = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 maneras
La solución del ejercicio anterior es un caso particular del siguiente enunciado
Un
Proposición 3.2. El número de permutaciones de n elementos está dada por
n · (n − 1) · · · 3 · 2 · 1 = n!
En otras palabras, existen n! maneras distintas para ordenar n elementos.
P (n, n) = n!, ¿pero cómo hallar en general P (n, r)? En otras palabras ¿cómo hallar el número
de permutaciones distintas de r objetos tomados de un conjunto de n objetos? El primer elemento
5
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lo podemos elegir de n modos, el segundo elemento en cualquiera de los n − 1 modos restantes
y ası́ sucesivamente hasta elegir el elemento de orden r en cualquiera de los n − (r − 1) modos
restantes:
P (n, r) = n · (n − 1) · · · (n − (r − 1)) = n · (n − 1) · · · (n − (r − 1)) ·
n!
(n − r)!
=
(n − r)!
(n − r)!
Proposición 3.3 (Permutación de r objetos tomados entre n objetos distintos, sin repetición).
El número de arreglos de n objetos utilizando r ≤ n de ellos donde:
1. los n objetos son distintos,
2. una vez utilizado un objeto no se puede usar de nuevo, y
3. el orden importa
está dado por
P (n, r) =
n!
(n − r)!
1. P (7, 4)
2. P (6, 2)
de
Actividad 3.4. Evalúe:
3. P (8, 0)
Ejercicio 3.4. ¿De cuántas maneras pueden dos personas cumplir años en fechas distintas? Suponga que en todos los años hay 365 dı́as.
4.
365!
365 · 364 · 363!
365!
=
=
= 365 · 364 = 132860
(365 − 2)!
363!
363!
Combinaciones
rsid
P (365, 2) =
ad
Solución. Debemos elegir fechas de cumpleaños entre 365 posibles sin permitir repeticiones. Se
trata de una permutación sin repetición donde n = 365, r = 2 y
A diferencia de lo que ocurre con las permutaciones, en las combinaciones el orden de aparición
de los objetos es irrelevante (no importa). En un juego de póquer por ejemplo, no importa el orden
en que uno reciba las cartas sino la combinación de las cartas.
ive
Definición 4.1 (Combinación). Una combinación es un arreglo de r objetos seleccionados
de n
objetos distintos sin repetir, en el que el orden no importa. La notación C(n, r) ó nr representan
el número de combinaciones de n objetos distintos utilizando r de ellos.
Un
Ejemplo 4.1. Consideremos el conjunto {a, b, c, d} y enumeremos todas las combinaciones de dos
objetos (r = 2) de los 4 objetos disponibles (n = 4). Como el orden de aparición no importa, tener
ab es lo mismo que tener ba y por tanto el total de parejas que podemos formar es
ab, ac, ad, bc, bd, cd
y
C(4, 2) = 6.
En el ejemplo anterior fue posible hallar C(4, 2) porque enumeramos todas las combinaciones
posibles, pero en general, ¿cómo hallamos C(n, r) cuando no podemos enumerar todas las combinaciones? Observemos que por la proposición (3.2) el número de combinaciones de r objetos
6
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distintos es igual a r! y por lo tanto, si el número total de combinaciones C(n, r) lo multiplicamos
por r!, obtenemos el número total de permutaciones P (n, r). Por consiguiente:
r!C(n, r) = P (n, r)
=⇒
n!
n!
P (n, r)
(n − r)!
=
=
C(n, r) =
r!
r!
r!(n − r)!
Proposición 4.1 (Combinación de n objetos distintos tomando r a la vez). El número de
arreglos de n objetos utilizando r ≤ n de ellos donde:
1. los n objetos son distintos,
2. una vez utilizado un objeto no se puede usar de nuevo, y
3. el no orden importa
está dado por
n!
n
C(n, r) =
=
r
r! (n − r)!
(2)
de
Observación 1. La fórmula (2) da el número de subconjuntos distintos de r elementos que es posible
formar a partir de un conjunto de n elementos.
Ejercicio 4.1. ¿De cuántas maneras distintas se puede formar un comité de 5 personas a partir
de un grupo de 12 personas?
ad
Solución. Puesto que un comité no va a depender del orden en que elijamos a sus miembros,
debemos calcular el número de combinaciones de 5 personas seleccionados de un grupo de 12. Por
medio de la fórmula (2) obtenemos
12!
12
C(12, 5) =
=
= 792.
5! 7!
5
rsid
Ejercicio 4.2. ¿De cuántas maneras se puede formar un comité compuesto por 5 abogados y 3
economistas, si se cuenta con 7 abogados y 6 economistas elegibles para formar parte de él?
Solución. El problema lo podemos dividir en dos partes: el número de maneras en las que es posible
elegir 5 abogados de un total de 7 disponibles C(7, 5) y el número de maneras en las que es posible
elegir 3 economistas de 6 disponibles C(6, 3). Por el principio multiplicativo (2.1)
4.1.
ive
7 6
7!
42 120
6!
7 · 6 · 5! 6 · 5 · 4 · 3!
C(7, 5) · C(6, 3) =
=
·
=
·
=
·
= 420.
5 3
5! · 2! 3! · 3!
2
6
2! · 5!
3! · 3!
Permutaciones con objetos indistinguibles
Un
En ocasiones hay interés en permutar ciertos objetos de los cuales hay algunos que, si bien son
diferentes objetivamente hablando, para fines prácticos son considerados como si fuesen iguales e
idénticos. Este tipo de objetos se denominan objetos indistinguibles. El número de permutaciones
posibles de n objetos de los cuales n1 son de un tipo, n2 son de un segundo tipo, · · · , nk son de
un k-ésimo tipo (n = n1 + n2 + · · · + nk ), se denota por Pnn1 ,...,nk y está dado por
n!
n1 ! · n2 ! · · · nk !
(3)
Ejercicio 4.3. Seis fichas rojas, tres blancas y dos azules se colocan en fila. Se supone que las
fichas de un mismo color no son distinguibles entre si. ¿Cuántas colocaciones son posibles?
7
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Solución. Tenemos 11 fichas conformadas por fichas rojas, blancas y azules. Las fichas de cada color
son consideradas como objetos indistinguibles, por tal motivo el número total de colocaciones es
11!
= 4620
6! · 3! · 2!
Otra forma de hacer este cálculo es la siguiente
11 5 2
= 462 · 10 · 1 = 4620
6
3 2
5.
El binomio de Newton
Sabemos que si a y b son números reales, entonces
(a ± b)0 = 1
1
(a ± b)1 = a ± b
1
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
1
(a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3
1
1
.
.
..
.
2
3
4
de
(a ± b)4 = a4 ± 4a3 b + 6a2 b2 ± 4ab3 + b4
.
.
1
1
3
6
.
.
1
4
.
.
1
.
.
.
.
rsid
ad
Los coeficientes de las anteriores expansiones coinciden con las filas del triángulo de Pascal.
Ahora vamos a deducir una fórmula que nos permita expandir (a + b)n , con a y b son números
reales y n un entero no-negativo. Sabemos que los coeficientes de (a + b)n se encuentran en la
n-ésima fila del triángulo de Pascal, donde n puede tomar los valores 0, 1, 2 . . .; ahora, sobre la
n-ésima fila consideremos el número que ocupa la r-ésima posición, notemos que r puede tomar
los valores 0, 1, 2, . . . , n. El número que ocupa la r-ésima posición de la n-ésima fila en el triángulo
de Pascal está dado por nr . Por lo tanto tenemos la siguiente fórmula, conocida como el binomio
de Newton:
n X
n n−k k
(a + b)n =
a
b .
(4)
k
k=0
n
n−k k
es
,
Observemos que para k = 0, 1, . . . , n, el coeficiente del término
a
b
en
la
expansión
(4)
k
n
k n−k
de igual manera el coeficiente del término a b
es k .
ive
Ejemplo 5.1. Al expandir (x2 − 2y 3 )6 usando el binomio de Newton obtenemos
6
6
6
6
2 6
3 0
2 5
3 1
2 4
3 2
(x − 2y ) =
(x ) (2y ) −
(x ) (2y ) +
(x ) (2y ) −
(x2 )3 (2y 3 )3
0
1
2
3
6
6
6
2 2
3 4
2 1
3 5
+
(x ) (2y ) −
(x ) (2y ) +
(x2 )0 (2y 3 )6
4
5
6
2
3 6
Un
= x12 − 12x10 y 3 + 60x8 y 6 − 160x6 y 9 + 240x4 y 12 − 192x2 y 15 + 64y 18
Ejemplo 5.2. El coeficiente de x7 y 5 en la expansión de (x + y)12 está dado por
12
= 792
7
8
6.
Ejercicios
Calcula las siguientes cantidades sin utilizar calculadora.
100!
5 7
1.
2.
98!
2 3
6
8
4. 4! · 3! ·
3. 8 P5 ·
4
3
17
P
(17,
3)
3
6.
5. 20
P (20, 3)
3
Escribe las siguientes expresiones sin factoriales:
7.
An
tioq
uia
n!
(n − 2)!
8.
(n + 1)!
(n − 1)!
a) 12
b) 144
c) 24
d ) 72
18. En un estudio médico se clasifica a los pacientes en 8 categorı́as, de acuerdo a si tienen sangre de tipo AB+, AB-, A+, A-,
B+, B-, O+, O- y también de acuerdo a
su presión arterial (baja, normal o alta).
El número de formas en la que un paciente pude ser clasificado en estas categorı́as
es:
a) 11
[Problemas 9-12] Utiliza el binomio de Newton
para expandir:
c) 120
9. (4a − b)3
5
1
2
11.
x+y
3
14. Halla el término
8
x1/2 − y 1/2
de
la
mitad
d ) 110
de
ad
[Problemas 15-17] A, B y C son ciudades que
están comunicadas de la siguiente manera: para
ir desde A hasta C, es necesario pasar por B;
hay tres rutas distintas entre A y B, y cuatro
rutas distintas entre B y C.
19. En su primer semestre de carrera, un estudiante de la Unversidad de Antioquia debe
tomar un curso de ciencias, uno de humanidades y uno de matemáticas. Si él puede
elegir entre 6 cursos de ciencias, 4 de humanidades y 4 de matemáticas, entonces
el número de maneras distintas en las que
puede elegir las materias del primer semestre es:
de
10. (x2 + 2y)3
5
√
1
x− √
12.
x
10
13. Halla el cuarto término de 3x2 − y 3
b) 24
c) 96
d ) 84
b) 7
c) 12
d ) 18
ive
20. El número de maneras distintas en las que
es posible contestar una prueba de verdadero y falso que consta de 5 preguntas es:
a) 10
16. El número de maneras posibles para hacer
un viaje de ida y vuelta desde A hasta C
es:
a) 14
Un
b) 144
d ) 18
b) 24
rsid
15. El número de maneras posibles para viajar
desde A hasta C es:
c) 24
a) 14
17. El número de maneras posibles para hacer
un viaje de ida y vuelta desde A hasta C
sin repetir ruta es:
a) 120
b) 25
c) 64
d ) 32
[Problemas 21-22] Una prueba de opción múltiple consta de 5 preguntas, cada una de ellas con
4 posibles respuestas, de las cuales sólo una es
la correcta.
21. El número de maneras distintas para que
un estudiante asigne una respuesta a cada
pregunta es:
a) 1024
b) 20
c) 64
d ) 243
22. El número de maneras distintas en que un
estudiante puede asignar una respuesta a
cada una de las preguntas y tener todas
las respuestas incorrectas es:
a) 1024
b) 243
27. Jairo empaca su maleta para irse de vacaciones. Él decide llevarse 3 camisetas de
manga larga, 4 camisetas de manga corta y 2 pantalones. Si en su armario hay 16
camisetas de manga larga, 20 camisetas de
manga corta y 13 pantalones, de cuántas
maneras diferentes puede empacar la maleta?
28. El número de formas posibles para asignar
6 maestros a 4 secciones de un curso introductorio de psicologı́a, si a ningún maestro
se le puede asignar más de una sección es:
c) 184
a) 270
d ) 118
[Problemas 23-26]
1, 2, 3, 4 y 5.
b) 360
Considera
los
d ) 1296
de
b) 210
b) 12
c) 64
c) 60
d ) 343
d ) 72
a) 36
a) 340
rsid
b) 60
c) 9
d ) 36
ive
25. La cantidad de números pares de 3 dı́gitos
distintos que es posible formar es:
b) 64
b) 3
c) 12
d ) 36
Un
26. La cantidad de números distintos de 3 dı́gitos que empiecen en 1 y terminen en 5 es:
a) 24
30. Con 10 jugadores de microfútbol, el número de equipos de 5 jugadores que podemos
formar si el centrodelantero y el portero
son siempre los mismos es:
ad
24. La cantidad de números impares de 3 dı́gitos distintos que pueden formarse es:
a) 24
29. El número de señales distintas que puedes
hacer con 7 banderas izando 3 cada vez es:
a) 21
a) 125
d ) 48
c) 256
números
23. La cantidad de números distintos de 3 dı́gitos que es posible formar es:
c) 10
9
An
tioq
uia
b) 150
c) 184
d ) 336
31. Con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, la
cantidad de números de 4 cifras distintas
que podemos formar es:
a) 6561
b) 3024
c) 3600
d ) 1256
32. El número de maneras en las que podemos
ubicar 5 libros en un estante es:
a) 120
b) 5040
c) 140
d ) 24
10
An
tioq
uia
33. El número de palabras que se puede formar
con las letras de la palabra MISSISSIPPI
es:
b) 42
c) 48
d ) 54
e) 60
a) 56720
b) 14120
c) 34650
d ) 98570
34. El número de formas en que se pueden
reordenar las letras de la palabra CAMISA
si se quiere que las vocales queden juntas
es:
a) 12
b) 16
c) 18
a) 6!
4!3!
b)
2!
c) 4!2!
d ) 20
e) 24
39. La cantidad de números de cuatro dı́gitos
tales que el producto de sus dı́gitos sea 21
es:
35. Durante un partido entre los equipo A y B,
el comentarista acostumbra escribir los resultados de los goles en el orden en que van
ocurriendo, como en el cuadro que aparece
a continuación:
Gol 3
Y
Gol 4
.
Gol 5
.
b) 10
c) 12
d ) 18
e) 24
40. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas
de igual color no se distinguen entre sı́,
¿de cuántas formas posibles puedes ordenarlos?
ad
Gol 2
Y
a) 6
de
d ) 4!
Gol 1
X
38. Los atletas A, B, C y D compitieron en
una prueba. Se sabe que el atleta A no
ganó y que no hubo empates. El número
de formas en que se pudo dar el orden de
llegada es:
rsid
En cierto partido entre Colombia y Argentina se hicieron 5 goles y Colombia ganó el
partido. El número de cuadros diferentes
que el comentarista pudo haber anotado
es:
[Problemas 41-42]. Marı́a Alejandra tiene en un
estante de su casa 4 libros distintos de matemátia) 16.
cas, 6 libros distintos de fı́sica y 2 libros de
b) 20.
quı́mica distintos.
c) 24.
41. El número de formas en los que los pued ) 30.
de organizar para que los libros de cada
materia queden juntos es:
e) 32.
a) 396
b) 574
Un
c) 1512
ive
36. La cantidad de números naturales mayores a 7000 que tienen cuatro dı́gitos, todos
diferentes es:
d ) 1008
e) 2016
37. El número de diagonales que pasan por el
centro de un dodecágono regular es:
a) 24
a) 120.540
b) 207.360
c) 264.320
d ) 362.146
42. Si solamente los libros de matemáticas deben estar juntos, el número de formas en
los que los puede organizar es:
a) 4! · 6! · 2! · 3!
b) 9!
c) 9! · 4!
d ) 6! · 3!
11
An
tioq
uia
d ) 330
43. De 12 libros, el número de maneras en las
que podemos seleccionar 5 libros es
49. Siete viejos amigos se reúnen para celebrar
el cumpleaños de uno de ellos. Al encontrarse los siete, cada uno le da la mano a
otro. El número de apretones de mano que
se dan en total es:
a) 792
b) 60
c) 720
d ) 24
a) 42
44. De un total de 8 candidatos, el número de
ternas que puedes elegir es:
b) 21
c) 7
a) 336
d ) 14
b) 56
d ) 320
[Problemas 45-48]. Un colegio participa en 12
partidos de fútbol en una temporada.
45. El número de maneras posibles en las que
el equipo puede terminar la temporada con
7 victorias es:
a) 792
50. Una caja contiene 6 balotas blancas y 4
negras. El número de formas diferentes en
las que puedes extraer 3 balotas del mismo
color es:
a) 10
b) 120
c) 210
d ) 24
de
c) 120
51. El número de formas posibles para seleccionar 5 candidatos de un total de 10 recién graduados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una firma
contable es:
b) 124
c) 5040
ad
d ) 64
2 empates es:
rsid
c) 720
d ) 5040
c) 720
d ) 3604
ive
b) 64
d ) 184
52. El número de maneras posibles de extraer
2 balotas de una bolsa que contiene 4 amarillas y 3 rojas es:
3 derrotas es:
a) 220
b) 240
c) 252
a) 124
b) 66
a) 120
Un
7 victorias, 3 derrotas, y 2 empates es:
a) 36
b) 12
c) 21
d) 7
53. Al reunirse un grupo de personas se dan
la mano para saludarse. Si en total se dieron 105 apretones de mano, el número de
personas que se saludaron fue
a) 52
a) 7920
b) 35
b) 720
c) 51
c) 792
d ) 15
12
An
tioq
uia
7.
Pequeños retos
54. Considera dos conjuntos X y Y disjuntos
con n y m elementos respectivamente. ¿De
cuántas maneras distintas podemos formar
subconjuntos de X ∪Y con r + s elementos
si r de sus elementos deben provenir de X
y s de Y ?
acuerdo con esta condición, ¿cuántas trayectorias distintas existen para desplazarse
desde el punto A hasta el punto B?
55. Determine el número de diagonales de un
pentágono y un hexágono. Con base en estos casos establece una fórmula que determine el número de diagonales de un
polı́gono de n lados.
Referencias
rsid
ad
de
56. Si sobre una circunferencia se marcan n
puntos igualmente espaciados, esos puntos se pueden unir por segmentos de recta contiguos (sin levantar el lápiz). Si se
unen los puntos consecutivos, se obtiene
un polı́gono regular de n lados (eso no tiene gracia). Pero si unes puntos no contiguos (saltándose de a uno, o de a dos o de Reemplace los valores adecuados en el binomio
a tres, etc.), se obtienen polı́gonos estre- de Newton para demostrar que
llados algunas veces y otras veces no son
58.
estrellados. ¿Cuáles son los casos en que
n X
n
resultan polı́gonos estrellados? La estrella
= 2n .
k
de 5 picos (tan famosa) es un ejemplo de
k=0
ellos.
59.
n
X
57. Suponga que la figura siguiente representa
k n
= 0.
(−1)
un mapa de parte de una ciudad muy bien
k
k=0
trazada, donde las lı́neas son calles. Una
persona está en el punto A y desea despla60.
n zarse hasta el punto B, pero la condición
X
n
(a − 1)k = an .
es que solo puede escoger trayectorias por
k
k=0
las calles a la derecha o hacia arriba. De
[1] N.L. Biggs, E.K. Lloyd, R.J. Wilson, The history of combinatorics, Handbook of Combinatorics, Elsevier Science, 1995.
ive
[2] G. Velasco Sotomayor, P. M. Wisniewski, Probabilidad y estadı́stica para ingenierı́a y ciencias,
Thomson editores, S.A., 2001.
Un
[3] M. Sullivan., Álgebra y Trigonometrı́a, séptima edición, editorial Pearson, 2006.

Principios de conteo Objetivo general

Transcripción

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