Resumen de álgebra vectorial y tensorial

Resumen de álgebra vectorial y tensorial

Apéndice A
Resumen de álgebra
vectorial y tensorial
Se resumen aquı́ algunos conceptos y definiciones importantes de vectores y tensores, con pretensión de sencillez y brevedad. En aras de esta
sencillez, nos limitaremos al espacio Euclı́deo ordinario E3 y a coordenadas
cartesianas.
A.1.
Escalares, puntos y vectores
En lo que sigue restringiremos nuestra atención a los números reales R
y el espacio geométrico ordinario E3 , espacio afin de dimensión 3 y dotado
de la métrica euclı́dea.
Los elementos α ∈ R se denominan escalares y pueden considerarse
como tensores de orden cero.
Los elementos A ∈ E3 se denominan puntos. El segmento orientado con
origen en un punto A y final en otro B se denomina vector :
−−→
v = AB = B − A.
(A.1)
El conjunto de los vectores, junto con las operaciones de suma de vectores
mediante la regla del paralelogramo y producto por un escalar tiene la
estructura de espacio vectorial, denominándose V, espacio vectorial asociado
a E3 .
A.1
A.2
A.2.
Apéndice A. RESUMEN DE ÁLGEBRA VECTORIAL Y TENSORIAL
Producto escalar y vectorial
El módulo de un vector es la distancia entre los puntos origen y final
−−→
del mismo, |v|= |AB|= dist(A, B). El producto escalar de dos vectores es
un escalar ∈ R, cuyo valor se define geométricamente como
u · v = |u| |v|cos θ,
(A.2)
siendo θ el ángulo formado por u y v. Cuando el producto escalar de dos
vectores es nulo (u · v = 0) se dice que son normales o perpendiculares. El
producto escalar es conmutativo, es decir,
u·v =v·u
A.3.
∀u, v ∈ V.
(A.3)
Bases y coordenadas
El espacio vectorial euclı́deo V tiene dimensión 3, es decir que se puede
establecer una base de 3 vectores linealmente independientes (e1 , e2 , e3 )
que permite expresar un vector cualquiera v ∈ V como combinación lineal,
v=
3
X
v i ei .
(A.4)
i=1
Los coeficientes (v1 , v2 , v3 ) se denominan coordenadas de v en la base
(e1 , e2 , e3 ). Se puede escoger esta base de forma que sea ortonormal, es
decir formada por vectores unitarios y mutuamente perpendiculares, verificándose
ei · ej = δij .
(A.5)
(Donde los coeficientes δij ó deltas de Kronecker se definen por δij = 0 si
i 6= j y δij = 1 si i = j).
En lo que sigue, salvo indicación expresa en contra, supondremos siempre bases ortonormales1 . Se denomina sistema de referencia cartesiano al
conjunto {O; ei } formado por un punto O ∈ E3 y una base {ei } para
el espacio vectorial asociado V. De esta forma, las coordenadas cartesianas de un punto X ∈ E3 se definen como las coordenadas del vector
−−→ P3
x = OX = i=1
xi ei .
En función de sus coordenadas en una base ortonormal, el producto
escalar de dos vectores puede expresarse como
u·v =
3
X
ui vi = ui vi .
i=1
1
Esta restricción da lugar a los denominados tensores cartesianos.
(A.6)
Aptdo. A.4. Tensores de orden dos
A.3
En esta fórmula y en lo que sigue, con objeto de simplificar la notación,
siempre que en un monomio haya un ı́ndice repetido dos veces se entenderá
que la expresión se suma sobre el rango del ı́ndice, salvo que se indique
expresamente lo contrario.
Mediante el producto escalar se puede asociar a un vector cualquiera
v ∈ V una aplicación lineal v [ : V → R, de forma que le haga corresponder
su producto escalar por v:
V 3 x 7→ v · x ∈ R.
(A.7)
Esta propiedad permite identificar los vectores como tensores de orden uno.
A.4.
Tensores de orden dos
Se denomina tensor de orden dos sobre un espacio vectorial V a una
aplicación lineal T : V → V, de forma que
V 3 v 7→ T · v ∈ V.
(A.8)
La linealidad se traduce en las propiedades siguientes
1. T · (u + v) = T · u + T · v
2. T · (αu) = α(T · u)
∀u, v ∈ V
∀α ∈ R, u ∈ V
El conjunto de tensores de orden dos sobre V se denota por V 2 . Se define
el tensor nulo O ∈ V 2 por O · v = 0 ∀v ∈ V, y el tensor identidad o unidad
1 ∈ V 2 por 1 · v = v ∀v ∈ V.
Además, en V 2 se definen las propiedades y operaciones siguientes.
1. Igualdad. Dos tensores S, T ∈ V 2 son iguales si y sólo si
S·v =T ·v
∀v ∈ V.
(A.9)
2. Suma. Dados S, T ∈ V 2 la suma S + T ∈ V 2 se define por
(S + T ) · v = S · v + T · v
∀v ∈ V
(A.10)
3. Producto por un escalar. Dado S ∈ V 2 y α ∈ R se define el producto
αS ∈ V 2 por
(αS) · v = α(S · v)
(A.11)
∀v ∈ V
A.4
Apéndice A. RESUMEN DE ÁLGEBRA VECTORIAL Y TENSORIAL
4. Producto o composición de tensores. Dados S, T ∈ V 2 se define el
producto S · T ∈ V 2 por
(S · T ) · v = S · (T · v)
∀v ∈ V
(A.12)
Con estas definiciones, es fácil comprobar que la suma de tensores es
conmutativa y asociativa, ası́ como el producto por un escalar. Asimismo, el
producto por un escalar y el producto de tensores son distributivos respecto
de la suma.
Se definen las componentes de un tensor S en una base cualquiera {ei }
como los coeficientes escalares
Sij = ei · (S · ej )
(i, j = 1, 2, 3).
(A.13)
Por tanto, la expresión en componentes de la aplicación de un tensor sobre
un vector es
v =S·u
⇒
vi = ei · v = ei · (S · uj ej ) = Sij uj .
(A.14)
Las componentes de un tensor se pueden escribir en forma de matriz,


S11 S12 S13
[S] = S21 S22 S23  ,
(A.15)
S31 S32 S33
indicando el primer ı́ndice fila y el segundo columna de la matriz. Nótese
que para diferenciar la matriz de componentes del tensor respecto del tensor
mismo se emplea la notación [S] en lugar de S. La definición de un tensor
es intrı́nseca, independiente de la base, mientras que sus componentes son
distintas según la base elegida.
Análogamente, escribiremos las componentes de un vector v en una base
(e1 , e2 , e3 ) mediante una matriz columna {v} (el empleo de llaves indicará
la estructura de matriz columna). La traspuesta de ésta será una matriz
fila, que denotaremos por kvk = {v}T (el empleo de doble barra vertical
indicará la estructura de matriz fila):
 
v1 
€

kvk = {v}T = v1 v2 v3 .
{v} = v2 ;
(A.16)
 
v3
De esta forma, en una base dada, el producto de tensores se traduce en
el correspondiente producto de matrices,
U =S·T
⇒
Uij = Sik Tkj
⇔
[U ] = [S][T ].
(A.17)
Aptdo. A.5. Cambio de base
A.5
Por otra parte, el desarrollo de un vector en función de los vectores de la
base puede expresarse mediante la matriz formada por estos últimos,
 
€
 v1 
v = vi ei = e1 , e2 , e3
v2 = {ei }T {v}.
(A.18)
 
v3
El producto tensorial (también llamado diádico) de dos vectores a y b
se define como un tensor de orden dos, de acuerdo a
(a ⊗ b) · v = a(b · v)
∀v ∈ V.
(A.19)
La expresión en componentes es
u = (a ⊗ b) · v
⇒
u i = ai b j v j .
(A.20)
Las componentes del tensor a ⊗ b son
[a ⊗ b]ij = ei · ((a ⊗ b) · ej ) = ei · (a(b · ej )) = ai bj ,
(A.21)
lo que en expresión matricial es
[a ⊗ b] = {a}{b}T .
(A.22)
Mediante el producto tensorial de los vectores de la base, se puede escribir el desarrollo de un tensor en función de sus componentes,
T = Tij ei ⊗ ej .
A.5.
(A.23)
Cambio de base
Establezcamos un cambio de base, desde {ei } a una nueva base {e0i },
ambas ortonormales. El cambio se puede caracterizar mediante un tensor
A que transforma los vectores de la antigua base en los de la nueva:
e0i = A · ei .
(A.24)
Desarrollando las componentes de los nuevos vectores ei0 en la base ei ,
e0i = (ej · ei0 )ej = (ej · (A · ei )) ej = Aji ej .
(A.25)
Empleando la matriz de coordenadas [A] = [Aij ] en la base {ei }, esta
relación puede formularse matricialmente como
 
 0
e 1 
 e1 
€ 0

€

e1 e02 e03 = e1 e2 e3 [A] ⇔
e0 = [A]T e2 . (A.26)
 20 
 
e3
e3
A.6
Apéndice A. RESUMEN DE ÁLGEBRA VECTORIAL Y TENSORIAL
Las componentes de [A] tienen el significado siguiente:
Aij = ei · (A · ej ) = ei · ej0 .
(A.27)
Asimismo, puede obtenerse una expresión directa del tensor de cambio mediante:
3
X
(A.28)
A=
e0k ⊗ ek .
k=1
Veamos ahora la propiedad de ortogonalidad de la matriz de cambio.
Para ello, comenzamos por expresar los vectores de la base antigua (ej ) en
la nueva base,
ej = (ej · e0i )e0i = Aji e0i .
(A.29)
Si sustituimos esta expresión en (A.25) resulta
ei0 = Aji Ajk e0k
(A.30)
(habiendo sustituido el ı́ndice mudo i de (A.29) por k). De esta forma se
deduce inmediatamente la condición que deben cumplir las componentes
del tensor de cambio de base,
δik = Aji Ajk
⇔
[A]T [A] = [1].
(A.31)
Esta propiedad, obtenida basándose en la ortonormalidad de ambas bases,
caracteriza la matriz de cambio de base como matriz ortogonal :
[A]T = [A]−1 .
(A.32)
Veamos ahora la transformación de coordenadas de un vector, al cambiar a la nueva base:
v = vi ei
= vj0 ej0 = vj0 Aij ei ;
(A.33)
luego
vi = Aij vj0
⇒
{v} = [A]{v}0
(A.34)
vj0 = Aij vi
⇒
{v}0 = [A]T {v}
(A.35)
Aptdo. A.6. Operaciones y clases especiales de tensores
A.6.
A.7
Operaciones y clases especiales de tensores
Dado un tensor S definimos su traspuesto, S T , como otro tensor que
verifica
(S · u) · v = u · (S T · v)
∀u, v ∈ V.
(A.36)
Decimos que un tensor S es simétrico si S T = S, mientras que será hemisimétrico si S T = −S.
Un tensor S admite inverso si existe otro tensor S −1 tal que
S · S −1 = S −1 · S = 1.
(A.37)
Decimos que un tensor Q es ortogonal si QT = Q−1 , es decir,
Q · QT = QT · Q = 1.
(A.38)
El tensor A que define un cambio entre bases ortonormales, teniendo en
cuenta (A.31), es un tensor ortogonal:
[A]T [A] = [1]
⇒
AT · A = 1.
(A.39)
Un tensor ortogonal A se denomina rotación si en el cambio de base asociado a partir de un triedro a derechas (es decir, que verifica e3 = e1 ∧ e2 )
se obtiene otro triedro a derechas. Más abajo (apartado A.11) veremos que
una condición equivalente es que su determinante debe valer +1.
A.7.
Cambio de coordenadas de un tensor
Sea un cambio de base definido por las expresiones tensoriales e0i = A·ei
(i = 1, . . . 3), o de forma equivalente, por las expresiones algebraicas e0i =
Aji ej . Un tensor T define una aplicación lineal en V,
v = T · u,
(A.40)
que expresada en unas u otras coordenadas resulta en las siguientes expresiones matriciales:
{v} = [T ]{u},
{v}0 = [T ]0 {u}0 .
(A.41)
Teniendo en cuenta las relaciones de cambio de coordenadas para los vectores, (A.34, A.35):
{v}0 = [A]T {v} = [A]T [T ]{u} = [A]T [T ][A]{u}0 ;
(A.42)
por lo que
[T ]0 = [A]T [T ][A]
⇔
Tij0 = Tkl Aki Alj .
(A.43)
A.8
A.8.
Apéndice A. RESUMEN DE ÁLGEBRA VECTORIAL Y TENSORIAL
Coeficientes de permutación
Se definen a partir de los vectores de una base ortonormal (e1 , e2 , e3 )
mediante la expresión general siguiente:
ijk = (ei ∧ ej ) · ek .
(A.44)
Desarrollando la expresión, comprobamos que su valor es +1, −1 ó 0 según
el caso:


+1 si la permutación (i, j, k) es par:





(1, 2, 3), (2, 3, 1) ó (3, 1, 2);

ijk = −1 si la permutación (i, j, k) es impar:
(A.45)



(1, 3, 2), (2, 1, 3) ó (3, 2, 1);




0
si en (i, j, k) algún ı́ndice está repetido.
Se comprueba fácilmente la propiedad de hemisimetrı́a para los coeficientes,
jik = −ijk ;
ikj = −ijk .
(A.46)
A partir de (A.44) se deduce inmediatamente que ei ∧ ej = ijk ek , por lo
que el producto vectorial de dos vectores cualesquiera será
u ∧ v = ijk ui vj ek .
(A.47)
Análogamente, el producto mixto de tres vectores vale
[a, b, c] = (a ∧ b) · c = ijk ai bj ck .
(A.48)
Los coeficientes hemisimétricos ijk corresponden a las coordenadas de un
tensor de orden tres, aunque no entraremos en más detalles sobre este aspecto.
A.9.
Forma cuadrática asociada a un tensor
Un tensor de orden 2 cualquiera T define una forma cuadrática asociada,
V × V → R, de forma que
V × V 3 (u, v) 7→ u · (T · v) ∈ R.
(A.49)
Esta forma cuadrática es bilineal, es decir, lineal en cada uno de sus dos
argumentos. Decimos que el tensor T es definido positivo si la forma cuadrática asociada lo es, es decir,
u · (T · u) > 0 ∀u ∈ V, u 6= 0.
(A.50)
Análogamente, cabrı́a definir los conceptos de tensor definido negativo, semidefinido negativo, semidefinido positivo e indefinido.
Aptdo. A.10. Vector axial asociado a un tensor hemisimétrico
A.10.
A.9
Vector axial asociado a un tensor hemisimétrico
La forma cuadrática asociada a un tensor hemisimétrico es igualmente
hemisimétrica:
si T = −T T ,
u · (T · v) = −v · (T · u) ∀u, v ∈ V.
(A.51)
Particularizando esta propiedad para los vectores de la base (u = ei , v =
ej ), deducimos que la matriz de coordenadas es también hemisimétrica:
Tij = −Tji
∀i, j = 1, 2, 3.
(A.52)
Una propiedad importante de un tensor hemisimétrico es que existe siempre
un vector axial asociado, que lo hace equivalente a un producto vectorial:
W ∈ V 2 , W = −W T
⇒
∃w ∈ V, W · x = w ∧ x ∀x ∈ V. (A.53)
Desarrollando las componentes de esta expresión,
Wki xi ek = ijk wi xj ek ,
(A.54)
ijk wi xj = Wki xj ,
| {z }
(A.55)
e igualando éstas,
=jik wj xi
por lo que
Wij = wk kji .
(A.56)
Asimismo, se puede invertir esta relación para obtener
1
wi = jik Wjk .
2
(A.57)
El tensor hemisimétrico asociado a un vector w lo denominaremos también
b ó w∧. La equivalencia es por tanto
w,
b
W = w∧ = w
 
w1 
{w} = w2 ,
 
w3
m
(A.58)


0
−w3 w2
b =  w3
−w1  .
[W ] = [w]
0
−w2 w1
0
(A.59)
A.10
Apéndice A. RESUMEN DE ÁLGEBRA VECTORIAL Y TENSORIAL
A.11.
Traza y determinante
La traza es una operación tensorial lineal que asocia a un tensor de orden
dos un escalar. Aplicada al producto tensorial de dos vectores, cumple
tr(a ⊗ b) = a · b ∀a, b ∈ V.
(A.60)
Por tanto, para los vectores de la base —ortonormal—,
(A.61)
tr(ei ⊗ ej ) = δij ,
y aplicando esta expresión en el desarrollo de un tensor T ,
tr T = tr(Tij ei ⊗ ej ) = Tij δij = Tii = T11 + T22 + T33 .
(A.62)
Conviene recalcar que, al tratarse de una operación tensorial intrı́nseca, el
resultado es independiente del sistema de coordenadas en el que se calcule.
Por este motivo se dice que la traza es un invariante del tensor.
El determinante de un tensor es un escalar cuyo valor coincide con el
determinante de la matriz de componentes asociada en una base dada.
det T = det[T ].
(A.63)
En función de los coeficientes de permutación puede expresarse como
det T = ijk Ti1 Tj2 T3k = ijk T1i T2j Tk3 .
(A.64)
Se trata igualmente de una operación tensorial intrı́nseca, por lo que el
resultado es el mismo independientemente de la base empleada para calcular
las coordenadas. Es por tanto otro invariante del tensor.
El determinante tiene las propiedades siguientes.
1. Un tensor cuyo determinante es no nulo posee siempre inverso:
det T 6= 0
⇒
∃T −1 | T · T −1 = 1.
(A.65)
2. El determinante de un producto de tensores es el producto de los
determinantes,
det(A · B) = det(A) det(B)
(A.66)
3. El determinante del tensor identidad vale 1, y el del inverso de un
tensor es el inverso del determinante,
det 1 = 1,
det T −1 =
1
.
det T
(A.67)
Aptdo. A.11. Traza y determinante
A.11
4. El determinante del traspuesto de un tensor es igual al determinante
del tensor original,
€ 
det T T = det (T )
(A.68)
5. El determinante de un tensor ortogonal vale ±1,

€
1 = det(1) = det RT R = (det R)2 ⇒ det R = ±1.
(A.69)
Se dice que un tensor ortogonal corresponde a una rotación propia (ver
apartado A.6) cuando su determinante vale +1. En este caso puede comprobarse que un triedro a derechas es transformado siempre en otro triedro
a derechas.