Sistemas Vibratorios de un Grado de Libertad Amortiguados
Transcripción
Sistemas Vibratorios de un Grado de Libertad Amortiguados
Sistemas Vibratorios de un Grado de Libertad Sujetos a Vibración Libre Amortiguada. José Marı́a Rico Martı́nez Departamento de Ingenierı́a Mecánica Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato Salamanca, Gto. 38730, México email: [email protected] 1 Introducción En estas notas se presentan los fundamentos teóricos de los sistemas vibratorios de un grado de libertad sujetos a vibración libre amortiguada. El objetivo de estas notas es su empleo como un auxiliar didáctico en los cursos de vibraciones mecánicas. 2 Sistemas Vibratorios Discretos y Continuos, Grados de Libertad de un Sistema Vibratorio. Considere un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibración libre amortiguada, vea figura 1. Este modelo incluye además de una masa y un elemento elástico, que almacenan energı́a, un amortiguador que disipa energı́a. De manera que este modelo predice que un sistema vibratorio sujeto a vibración libre amortiguada, eventualemente regresa a su posición de equilibrio, un fenómeno que se observa en la realidad, de manera que los resultados que predice este modelo, son mas realistas que en el caso de un sistema vibratorio sujeto a vibración libre no amortiguada. 1 Figure 1: Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Amortiguado. Las suposiciones de este modelo son: 1. La masa del sistema es constante y totalmente rı́gida, se denomina M. 2. El resorte es lineal y de masa despreciable, por lo tanto es posible describir el resorte mediante una única constante, denominada la constante del resorte, k. De manera que la relación entre la fuerza y la deformación del resorte está dada por F = k δ, (1) donde F es la fuerza del resorte y δ es la deformación del resorte. 3. El amortiguamiento presente en el sistema es de masa despreciable, totalmente rı́gido, y lineal, por lo tanto es posible describir el amortiguador mediante una única constante, denominada la constante del amortiguador c. De manera que la relación entre la fuerza y la diferencia de velocidad entre las terminales del amortiguador está dada por F = c v, (2) donde F es la fuerza del amortiguador y v es la velocidad entre las terminales del amortiguador.1 1 Un amortiguador satisface estos requisitos cuando el flujo entre las superficies del amortiguador es laminar o viscoso, esto ocurre para valores del número de Reynolds menores a 2000. 2 4. El movimiento de la masa es translación rectilı́nea. A fı́n de lograr que la traslación de la masa sea rectilı́nea, es frecuente que el sistema emplee guı́as, en cuyo caso debe suponerse que las guı́as están completamente libres de fricción o bien, en este caso, la fricción es lineal y su efecto está ya incluido en el coeficiente c considerado en el punto 3. A fı́n de obtener la ecuación del movimiento del sistema, se parte de posición de equilibrio estático del sistema. En esta posición, la deformación estática del resorte está dada por2 δest = Mg k (3) Para obtener la ecuación de movimiento del sistema. Suponga que a partir de la posición de equilibrio del sistema, el sistema se separa de su posición de equilibrio una distancia y(t) comprimiendo el resorte y se le da una velocidad dada por ẏ(t) en la dirección positiva. Entonces, aplicando la segunda ley de Newton, se tiene que3 ΣFy = M d2 y(t) d t2 − M g + k (δest − y(t)) − c d2 y(t) d y(t) =M , dt d t2 o d2 y(t) d y(t) =M . dt d t2 Por lo tanto, sustituyendo la ecuación (3) que determina la deformación estática del resorte, se obtiene la ecuación de movimiento del sistema vibratorio dy d2 y (4) M 2 + c + ky = 0. dt dt Donde, M es la masa del sistema, k es la constante del resorte, c es la constante del amortiguador, y es la variable que representa el movimiento de la partı́cula y t es el tiempo. Nuevamente, se propone como solución la función −M g + k δest − k y(t) − c y(t) = C eλ t 2 Es importante señalar que el amortiguador no responde a la deformación si no a la velocidad; de manera que en la posición de equilibrio estático la fuerza del amortiguador es nula. 3 Además se supondrá que y(t) < δest , de manera que el resorte está sujeto a tensión. 3 De manera que su primera y segunda derivada están dadas por d y(t) d C eλ t = = C λ eλ t , dt dt d2 y(t) d C λ eλ t = = C λ2 eλ t 2 dt dt Sustituyendo estos resultados en la ecuación (4) se tiene que MC λ2 eλ t + cC λ eλ t + kC eλ t ≡ 0 ∀ t ≥ 0. Rearreglando la ecuación se llega a C eλ t M λ2 + c λ + k ≡ 0 ∀ t ≥ 0. Es posible considerar tres posibles casos 1. C = 0, este caso es matemáticamente posible, pero su significado fı́sico conduce a que la solución de la ecuación está dada por y(t) = Ceλ t = 0 eλ t ≡ 0 ∀t ≥ 0. Este resultado indica que el sistema continua en reposo, una solución perfectamente factible pero que no es interesante. 2. eλ t ≡ 0 ∀t ≥ 0, está solución es matemáticamente imposible pues para t = 0, se tiene que y(0) = eλ 0 = e0 = 1 = 0. 3. La última opción, es la importante y se obtiene la ecuación caracterı́stica del sistema, dada por M λ2 + c λ + k = 0 (5) La solución de la ecuación caracterı́tica del sistema, (5), conduce a las soluciones de λ dadas por √ c c 2 k −c ± c2 − 4 M k =− ± (6) − . λ= 2M 2M 2M M Ası́ pues, las dos soluciones de la ecuación diferencial están dadas por − 2 cM y1 (t) = C1 e t e ( 2 cM ) 2 k −M t y − 2 cM y2 (t) = C2 e t − e ( 2 cM ) 2 k −M t (7) 4 Es posible decir que las soluciones dadas por la ecuación (7) permiten determinar la solución general del sistema, sin embargo, es conveniente distinguir tres casos particulares. 1. Sistemas Sobreamortiguados. En este primer caso c2 − 4 M k > 0, por lo tanto la raiz cuadrada es real c 2M además c > 2M 2 − k ∈ , M c 2M 2 − k . M Resumiendo, en este caso las dos soluciones son negativas c 0 > λ1 = − + 2M 2 k c − >− − M 2M 2 k = λ2 , M (8) y 0 > λ1 > λ2 . La solución general de la ecuación de movimiento del sistema vibratorio amortiguado, es en este caso, c 2M c 2M − yG (t) = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t . (9) Puede probarse que el sistema no vibra, de manera mas especı́fica, si el sistema se excita con cualquiera de las siguientes dos condiciones iniciales: (a) Para t = 0, y(0) = y0 , ẏ(0) = 0. (b) Para t = 0, y(0) = 0, ẏ(0) = ẏ0 . El sistema nunca regresa a la posición de equilibrio. 2. Sistemas Crı́ticamente Amortiguados. En este segundo caso c2 − 4 M k = 0, 5 por lo tanto, la raiz cuadrada desaparece; es decir: c 2M 2 − k = 0. M El valor de amortiguamiento que satisface esta condición, se denomina amortiguamiento crı́tico, se denota por cc , y está dado por c2c − 4 M k = 0 √ cc = 2 M k = 2 M o k = 2 M ωn , M (10) donde ωn es la frecuencia natural del sistema no amortiguado asociado; es decir la frecuencia natural de un sistema vibratorio de un grado de libertad de las mismas caracterı́sticas excepto que no tiene amortiguamiento alguno. Resumiendo, en este caso las dos raices de la ecuación caracterı́stica son iguales c c = − ωn , λ1 = λ2 = − (11) 2M cc donde ccc se denomina la relación del amortiguamiento. Cuando las dos raices son iguales, las dos soluciones no pueden ser linealmente independientes. De la teorı́a de las ecuaciones diferenciales lineales, se sabe que dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial son c y1 (t) = e− cc ωn t y c y2 (t) = t e− cc ωn t (12) Puede probarse que ambas funciones son, realmente, soluciones de la ecuación diferencial (4), por lo tanto, la solución general de la ecuación de movimiento del sistema vibratorio amortiguado, está dado por c c yG (t) = C1 e− cc ωn t + C2 t e− cc ωn t . (13) Puede probarse que el sistema no vibra, de manera mas especı́fica, si el sistema se excita con cualquiera de las siguientes dos condiciones iniciales: (a) Para t = 0, y(0) = y0 , ẏ(0) = 0. (b) Para t = 0, y(0) = 0, ẏ(0) = ẏ0 . 6 El sistema regresa a la posición de equilibrio cuando t → ∞. 3. Sistemas Subamortiguados. En este tercer y último caso4 c2 − 4 M k ≤ 0, por lo tanto la raiz cuadrada es imaginaria c 2M 2 − k ∈ , M y puede reescribirse como c 2M 2 k − M = −1 k c − M 2M c 1− cc = i ωn 2 = i ωn2 − c ωn cc 2 2 , donde ωn es la frecuencia natural del sistema no amortiguado asociado; es decir la frecuencia natural de un sistema vibratorio de un grado de libertad de las mismas caracterı́sticas excepto que no tiene amortiguamiento alguno y ccc se denomina la relación de amortiguamiento. Por lo tanto, las dos raices de la ecuación caracterı́stica son c c λ1 = − ω n + i ω n 1 − cc cc 2 c c λ2 = − ω n − i ω n 1 − cc cc 2 y las dos soluciones de la ecuación diferencial, están dadas por y1 (t) = e − cc ωn +i ωn c y2 (t) = e − cc ωn −i ωn c 1−( c cc ) 1−( cc c ) 2 2 t − cc ωn t i ωn =e t c e 1−( cc c ) 2 t − cc ωn t −i ωn =e c e 1−( cc c ) 2 t Estas soluciones son matemáticamente correctas, excepto que es deseable que la solución de una ecuación diferencial real sea una solución 4 Es importante señalar que, después de definir el amortiguamiento crı́tico como se indica en la ecuación (10), estos tres posibles casos pueden caracterizarse en términos de la relación de amortiguameinto ccc , como: Sobreamortiguados ccc > 1, crı́ticamente amortiguados ccc = 1 y subamortiguados ccc < 1. 7 real. De hecho, de la teorı́a de las ecuaciones diferenciales lineales, se sabe que la solución general de una ecuación diferencial lineal de segundo orden constituye un espacio vectorial de dimensión 2 en el espacio vectorial de funciones reales continuamente diferenciables. De manera que si se encuentran dos funciones reales, que sean: (a) Soluciones de la ecuación diferencial dada por la ecuación (4), digamos yr1 (t) y yr2(t), (b) Que las funciones sean linealmente independiente. Entonces la solución general de la ecuación (4), yG (t), estará dada por una combinación lineal de las dos soluciones, es decir yG (t) = C1 yr1(t) + C2 yr2(t). La pista para encontrar estas soluciones reales está dada por la identidad de Euler, que indica que +i ωn e 1−( cc c ) 1−( cc ) −i ωn e c 2 2 t = Cos ωn 1 − (c/cc )2 t + i Sen ωn 1 − (c/cc )2 t t = Cos ωn 1 − (c/cc )2 t − i Sen ωn 1 − (c/cc )2 t Por lo tanto, dos candidatos naturales de las soluciones reales de la ecuación (4) son c yr1 (t) = e− cc ωn t Cos ωn 1 − (c/cc )2 t y c yr2 (t) = e− cc ωn t Sen ωn 1 − (c/cc )2 t, es fácil probar que ambas funciones candidatas son soluciones de la ecuación diferencial, de manera que la solución general de la ecuación (4) está dada por − cc ωn t yG (t) = e c A Cos ωn 1 − (c/cc ) 2 t + B Sen ωn 1 − (c/cc ) 2 (14) donde A y B son constantes arbitrarias. 8 t Este caso, el de sistemas vibratorios subamortiguados es el mas común en la práctica y se estudia mas a profundidad a continuación. El segundo término, que está dentro de paréntesis, en el lado derecho de la ecuación (14) representa una vibración periódica y armónica cuya frecuencia natural, q, está dada por 2 c (15) q = ωn 1 − cc Sin embargo, el primer término del lado derecho de la ecuación (14), conocido como decaimiento exponencial, impide que la vibración dada por la ecuación (14) sea periódica. De modo que, de manera estricta, no es posible determinar la amplitud y frecuencia de esta vibración aperiódica. No obstante, en la siguiente discusión se emplearán los términos amplitud y frecuencia natural de manera relajada, para evitar explicaciones demasiado largas. La respuesta del sistema consiste, pues, en una vibración armónica de “frecuencia” q, cuya “amplitud” disminuye exponencialmente. De manera que la la solución general de la ecuación (4) está dada por c yG (t) = e− cc ωn t [A Cosq t + B Senq t] (16) donde A y B son constantes arbitrarias. Mas aún, si el sistema tiene muy poco amortiguamiento, ccc < 0.2, se tiene que √ c 2 = ωn 1 − 0.22 = 0.9797 ωn . q = ωn 1 − cc De manera que si es sistema tiene muy poco amortiguamiento, la diferencia entre la “frecuencia” natural de la vibración libre amortiguada q y la frecuencia natural del sistema no amortiguado asociado, ωn es tan pequeña que puede despreciarse. Esta relación puede apreciarse en la Figura 2, que muestra la gráfica de la función q = ωn 2.1 c 1− cc 2 Determinación experimental de la constante de amortiguamiento de un sistema vibratorio de un grado de libertad amortiguado. Uno de los problemas prácticos que este análisis permite resolver es la determinación experimental de la constante de amortiguamiento de un sistema 9 Figure 2: Gráfica de la Relación q ωn Versus c . cc vibratorio de un grado de libertad, a partir de los resultados experimentales. Para tal fı́n, suponga que las condiciones iniciales a las que se sujeta el sistema vibratorio amortiguado son y(0) = y0 , Para t = 0, y ẏ(0) = 0. Derivando la ecuación (16), respecto al tiempo, se tiene que c c c ẏG (t) = e− cc ωn t [−A q Senq t + B q Cosq t]− ωn e− cc ωn t [A Cosq t + B Senq t] cc (17) Sustituyendo las condiciones iniciales, se tiene que c y0 = e− cc ωn 0 [A Cosq 0 + B Senq 0] = A, c 0 = e− cc ωn 0 [−A q Senq 0 + B q Cosq 0] − = Bq− c ωn A, cc por lo tanto A = y0 0 = B ωn 1 − c c ωn e− cc ωn 0 [A Cosq 0 + B Senq 0] cc c cc 2 − c ωn A cc y finalmente, se tiene que A = y0 , y c y0 B = cc 2 1 − ccc 10 (18) Asi pues, la solución particular del sistema está dada, en forma algebraica, por ⎡ y0 yP (t) = 2 e 1 − ccc − cc ωn c t ⎣ 1− c cc ⎤ 2 Cosq t + c Senq t⎦ , cc (19) y, en forma polar, por y0 yP (t) = 2 e 1 − ccc − cc ωn c t Sen (q t + φ) , 1− donde T an φ = c cc c cc 2 . (20) Además, se tiene que c Cos φ = cc Sen φ = 1− c cc 2 Respuesta de un Sistema Subamortiguado 5 4 3 Desplazamiento, u.l. 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 0 1 2 3 4 5 6 Tiempo, segundos 7 8 9 10 Figure 3: Vibración Resultante de un Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Subamortiguado. 11 Un ejemplo de la respuesta de un sistema subamortiguado a estas condiciones iniciales, se muestra en la figura 9. Suponga que, de alguna manera, se obtiene un registro de la respuesta de un sistema subamortiguado como el mostrado en la figura 9. En particular, suponga que se conocen los valores de los máximos de la respuesta del sistema. Los tiempos para los cuales se obtienen los máximos se determinan derivando, respecto al tiempo, la solución particular , vea ecuación (20), e igualando la derivada a 0, de modo que y0 c y0 − cc ωn t − cc ωn t 0 = q Cos (q t + φ) − Sen (q t + φ) 2 e c 2 c ωn e c c c c 1 − cc 1 − cc ⎡ y0 − cc ωn c 0 = 2 e 1 − ccc 0 = − 0 = − y0 1− y0 c cc 1− c cc 2 t ⎣ωn c 1− cc ⎡ − cc ωn c ωn e 2 ⎤ c Cos (q t + φ) − ωn Sen (q t + φ)⎦ cc c t⎣ − 1− cc 2 ⎤ c Cos (q t + φ) + Sen (q t + φ)⎦ cc c 2 ωn e− cc ωn t [−Sen φ Cos (q t + φ) + Cos φ Sen (q t + φ)] c c y0 ωn e− cc ωn t y0 ωn e− cc ωn t 0 = − 2 Sen [(q t + φ) − φ] = − 2 Sen q t 1 − ccc 1 − ccc Los puntos crı́ticos de la función se presentan cuando: 1. Cuando c e− cc ωn t = 0. Esta condition se presenta cuando t → ∞, pero este resultado implica que y(t) = 0 y simplemente indica que la vibración desaparece para cuando t tiende al infinito y no es de interés. 2. Cuando Sen q t = 0 es decir, para 12 t= nπ , q n = 0, 1, 2, 3, 4, . . . Mas aún, puede probarse que para n = 0, 2, 4, . . ., la vibración presenta un máximo, mientras que para n = 1, 3, 5, . . . la vibración presenta un mı́nimo. En el resto de esta sección se emplearán los valores máximos.5 Determinando los valores máximos, para t = 0, se tiene que y0 y0 − cc ωn 0 yP (0) = Sen (q 0 + φ) = 2 e c 2 Sen φ c 1 − cc 1 − ccc yP (0) = y0 1− c 1− cc 2 c 2 = y0 . cc La validez de este resultado se verifica en la Figura 9. Para t = 2 nq π , donde n es un número natural arbitrario, se tiene que yn ≡ yP 2nπ q c y0 e− cc ωn 2nπ q = 2 1 − ccc 2 n π cc c − 1− cc c ( ) y0 e = 1− yn+m ≡ yP 2 (n + m) π q 2 (n+m) π cc c − 2 1− cc c = ( ) y0 e 2 c 1− 2 n π cc c 1− cc c ( ) Sen φ = y0 e 2 cc 2 (n+m) π , q Para el máximo, es decir para t = 2nπ Sen q +φ q − 2 2 c c = y0 e− cc ωn 1− 2 (n+1) π q 2 c 2 (n + 1) π +φ Sen q q cc 2 (n+1) π cc c 2 1− cc c − Sen φ = y0 e se tiene que ( ) 2 n π cc c − = y0 e 1− cc c 2 m π cc c 2 ( ) − e 1− cc c ( ) 2 cc 2 m π cc c − = yn e 1− cc c 2 ( ) 5 Un análisis semejante puede llevarse a cabo empleando los valores mı́nimos o mezclando los valores máximos con los valores mı́nimos. 13 Por lo tanto 2 m π cc c yn yn+m 2 m π cc c − =e 1− cc c ( ) 2 yn+m =e yn o 1− cc c ( ) 2 (21) En particular, se tiene que si m = 1, entonces − yn =e yn+1 2 π cc c 1− cc c ( ) 2 yn+1 =e yn o 2 π cc c 1− cc c ( ) 2 (22) Esta es una caracterı́stica de los sistemas vibratorios con amortiguamiento lineal, la relación de “amplitudes” consecutivas, es siempre constante. De la ecuación (21), se deducirá una ecuación para determinar la relación de amortiguamiento. y 2 π ccc n ln = 2 yn+1 1 − ccc Manipulando algebraicamente el resultado anterior, se tiene que c 1− cc y 2 n ln yn+m y 2 n ln yn+m 2 c cc c 2mπ cc = = c cc 2 ⎡ = ⎤ y 2 n ⎦ ln yn+m ⎣4 m2 π 2 + 2 2 2 yn ln yn+m 4 m2 π 2 + 2 ln y yn n+m = ⎡ 1 ⎤2 1 + ⎣ 2 mynπ ⎦ ln y n+m o, finalmente c = cc ⎡ 1 + ⎣ 1 ⎤2 (23) 2 m π ⎦ ln y yn n+m La ecuación (23) proporciona la solución exacta de la relación de amortiguamiento cuando se conocen las “amplitudes” máximas yn y yn+m . Es curioso que esta ecuación (23) no aparezca en muchos de los libros de vibraciones mecánicas pero si en los libros de sistemas de control automático. La 14 razón es que los libros de vibraciones mecánicas emplean, frecuentemente, una aproximación de la ecuación (21), si la relación de amortiguamiento del sistema vibratorio es pequeña, digamos ccc ≤ 0.2, entonces, se tiene que c 1− cc 2 ≈ 1.0 y la ecuación (21) puede aproximarse como yn yn+m c = e−2 m π cc o c yn+m = e2 m π cc yn (24) donde el término δ ≡ 2 m π ccc se denomina decaimiento exponencial, de esta ecuación (24) se deduce que ln yn+m c yn = cc 2mπ (25) Esta ecuación (25) es mas sencilla que la ecuación (23) y puede usarse para determinar la relación de amortiguamiento, después de probar que este es suficientemente pequeño. 3 Simulación de sistemas vibratorios de un grado de libertad sujetos a vibración libre amortiguada En esta sección se mostrará que el comportamiento de un sistema vibratorio de un grado de libertad amortiguado sujeto a vibración libre puede simularse c . Sin embargo, para propósitos de manera muy simple empleando Simulink de simulación, conviene escribir la ecuación de movimiento del sistema, (4) como k d2 y c dy − y. =− 2 dt M dt M Es bien conocido que existen tres diferentes casos de sistemas amortiguados: 15 3.0.1 Sistemas Sobreamortiguados El archivo libamorsob.mdl, cuya carátula se muestra en la figura 4, simula el comportamiento de un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibración libre amortiguada, cuya ecuación de movimento está dada por d2 y dy + 20 + 25y = 0, 2 dt dt junto con las condiciones iniciales Para t = 0, y(0) = 5, y dy (0) = 0. dt Además, se supone que las unidades son consistentes y corresponden a un sistema de unidades, digamos el Sistema Internacional. Figure 4: Simulación de un Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sobreamortiguado. Por lo tanto ωn = k = M rad. 25 =5 1 seg. De aquı́ que cc = 2Mωn = (2)(1)(5) = 10 16 kgm. seg. Obviamente, el sistema es sobreamortiguado, pues 20 kgm. c seg. = kgm. = 2. cc 10 seg. Puede mostrarse que el sistema no vibra. El archivo libamorsob.mdl permite verificar el comportamiento de un sistema vibratorio sobreamortiguado y la solución particular. En particular, la figura 5 muestra la vibración del sistema vibratorio de un grado de libertad sobreamortiguado. Respuesta de un Sistema Sobreamortiguado 5 4.5 4 Desplazamiento, u.l. 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 Tiempo, segundos 7 8 9 10 Figure 5: Vibración Resultante de un Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sobreamortiguado. 3.0.2 Sistemas Crı́ticamente Amortiguados El archivo libamorcri.mdl cuya carátula se muestra en la figura 6, simula el comportamiento de un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibración libre amortiguada, cuya ecuación de movimento está dada por dy d2 y + 10 + 25y = 0, 2 dt dt junto con las condiciones iniciales Para t = 0, y(0) = 5, 17 y dy (0) = 0. dt Además, se supone que las unidades son consistentes y corresponden a un sistema de unidades, digamos el Sistema Internacional. Figure 6: Simulación de un Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Crı́ticamente Amortiguado. Por lo tanto ωn = k = M rad. 25 =5 1 seg. De aquı́ que cc = 2Mωn = (2)(1)(5) = 10 kgm. seg. Obviamente, el sistema está crı́ticamente amortiguado, pues 10 kgm. c seg. = kgm. = 1. cc 10 seg. Puede mostrarse que el sistema no vibra. El archivo libamorcri.mdl permite verificar el comportamiento de un sistema vibratorio crı́ticamente amortiguado y la solución particular. En particular, la figura 7 muestra la vibración del sistema vibratorio de un grado de libertad sobreamortiguado. 18 Respuesta de un Sistema Criticamente Amortiguado 5 4.5 4 Desplazamiento, u.l. 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 Tiempo, segundos 7 8 9 10 Figure 7: Vibración Resultante de un Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sobreamortiguado. 3.0.3 Sistemas Subamortiguados El archivo libamorsub.mdl cuya carátula se muestra en la figura 8, simula el comportamiento de un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibración libre amortiguada, cuya ecuación de movimento está dada por d2 y dy + 25y = 0, + 1 dt2 dt junto con las condiciones iniciales dy Para t = 0, y(0) = 5, y (0) = 0. dt Además, se supone que las unidades son consistentes y corresponden a un sistema de unidades, digamos el Sistema Internacional. Por lo tanto rad. k 25 = =5 ωn = M 1 seg. De aquı́ que kgm. cc = 2Mωn = (2)(1)(5) = 10 seg. Obviamente, el sistema es subamortiguado, pues 1 kgm. c = seg. = 0.1 cc 10 kgm. seg. 19 Figure 8: Simulación de un Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Subamortiguado. Puede mostrarse que el sistema vibra. Mas aún, los resultados del archivo libamorsub.mdl permiten verificar la relación de amortiguamiento, a partir de la medición de las amplitudes consecutivas del registro de la vibración. El archivo libamorsub.mdl permite verificar el comportamiento de un sistema vibratorio subamortiguado y la solución particular. En particular, la figura 9 muestra la vibración del sistema vibratorio de un grado de libertad subamortiguado. 20 Respuesta de un Sistema Subamortiguado 5 4 3 Desplazamiento, u.l. 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 0 1 2 3 4 5 6 Tiempo, segundos 7 8 9 10 Figure 9: Vibración Resultante de un Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Subamortiguado. 21