Modos Guiados en Fibras Ópticas

Transcripción

Práctica Opcional
X. Práctica E4: Modos Guiados
en Fibras Ópticas
En las páginas dedicadas a Fundamentos de las Comunicaciones Ópticas (parte primera
de las Prácticas) se daba una explicación simplista del fenómeno del guiado de luz por una
fibra. Se explicaban los conceptos de ángulo crítico y de reflexión total, y se llegaba a
establecer como condición de guiado que la luz penetrase en la fibra con un ángulo de
incidencia comprendido en un cono de aceptación, el cual está caracterizado por su
apertura numérica.
También se advertía que, al aplicar una teoría electromagnética rigurosa, los
planteamientos son diferentes. Para que la luz se guíe se requiere, además, que forme
en el interior de la guíaonda una distribución de campo cuya componente transversal
sea estacionaria. Se llama modo a cada una de las distintas "formas" en que puede
conseguirse tal condición. Su expresión matemática se obtiene resolviendo las
ecuaciones de Maxwell correspondientes, con las condiciones de contorno dictadas por el
Laboratorio de Comunicaciones Ópticas –Dpto. Tecnología Fotónica
confinamiento cilíndrico a que se ve sometida la radiación en una guíaonda circular como
es la fibra óptica.
El cálculo exacto de la distribución de modos en guíaondas circulares es bastante
complicado, a causa del confinamiento existente en dos direcciones ortogonales. Los
modos que se originan por esta circunstancia difieren bastante de los simples TE y TM
que surgen en GO planas (confinadas en una sola dimensión), y su tratamiento
exhaustivo resulta muy laborioso.
Afortunadamente existe una aproximación (modos débilmente guiados o weakly-guided
modes, WGM) que simplifica el cálculo de forma notable, y que se puede aplicar en todos
l
os casos de i
nt
er
és
.Se descr
i
ben somer
ament
e a cont
i
nuaci
ón l
as “
f
ami
l
i
as”más
relevantes de modos en fibras ópticas, y posteriormente se desarrolla el modelo
simplificado.
X.1.
MODOS EN GUÍAONDAS PLANAS Y CIRCULARES
Sea una GO plana en la que se propaga
radicación según el eje z, confinada solamente en
la dimensión x. Los modos obtenidos tienen una
componente
Ez o Hz
nula,
es
decir,
son
transversales eléctricos (TE) o magnéticos (TM).
En la Fig. E4-1 se muestra la distribución de
Fig. E4-1.
Modos en una guíaonda plana
simétrica
campo de los cuatro primeros modos TE de una
GO plana simétrica. El campo tiene una variación
armónica en el interior del film o núcleo, y además no está estrictamente confinado al
mismo, sino que aparece una componente residual en la cubierta, llamada campo
evanescente, que se atenúa exponencialmente con la distancia. Obsérvese que la
distribución de campo se desplaza hacia la parte externa al aumentar el orden del modo,
y que la componente evanescente crece también.
X.1.1.
Modos de cubierta
La cubierta no tiene espesor infinito. Si el campo evanescente no se ha hecho nulo (en
realidad despreciable) cuando se alcanza la parte externa de la cubierta, el salto de
índice de ésta puede llegar a ser condición de contorno, y aparecen modos que se
propagan por la cubierta. Este fenómeno se da tanto en GO planas como en fibras. El
problema surge porque ni los modos de núcleo ni los de cubierta están estrictamente
conf
i
nados“
a su t
er
r
eno”
,porl
o que puede sur
gi
run acopl
ami
ent
o ent
r
e el
l
os,que
X-2
Práctica E4: Modos en Fibras Ópticas
generalmente se traduce en una pérdida de potencia de los modos guiados en el núcleo,
en especial los de orden más alto.
En la práctica se suele recubrir la cubierta de la fibra con un material que produzca
pérdidas por radiación hacia el exterior, scattering y/o absorción.
X.1.2.
Modos con pérdidas o leaky
A distancias cortas, la distinción entre modos guiados y no guiados se hace tenue. Una
buena parte de modos inclinados no están bien confinados, y van perdiendo potencia
durante su propagación. Incluso en modos meridionales, la condición de guiado
kn2 kn1
{1}
que separa los modos confinados de los no guiados, no es siempre determinante de que
la señal luminosa se transporte por modos que cumplen esa condición. Recuérdese que
es la constante de propagación, =kn1·sen. Para más detalles, consúltese el apartado
Fund II.2.
En los modos leaky se cumple que
kn2 
{2}
La mayoría de modos de este tipo desaparece al cabo de unos cuantos cm de fibra, pero
al
gunoscon baj
aspér
di
daspueden “
sobr
ev
i
v
i
r
”hast
a 1km.Ent
r
ay
ec
t
oscor
t
os
,una
parte bastante notable de la potencia óptica transportada por la fibra puede deberse a
estos modos.
X.1.3.
Modos meridionales en fibras ópticas
Los modos meridionales en fibras son aquellos que, en comparación con el modelo de
rayos, se propagan en el plano que contiene al eje de la FO. Equivalen por tanto a los
modos TE y TM de las GO planas, con la salvedad de que se necesitan dos subíndices, l
y m, para especificar cada modo, al existir confinamiento en dos dimensiones. Así pues,
en FO se hablará de modos TElm y TMlm, en lugar de los TE0 o TE1 de la Figura E4-1.
(Nota: En el tratamiento matemático posterior, que se realiza en coordenadas cilíndricas, se
emplean como subíndices y m.)
X-3
X.1.4.
Modos inclinados o skew
Además de los modos meridionales, las FO
soportan otros en los que ni Ez ni Hz son nulos.
Estos modos híbridos corresponden a trayectorias
torcidas o inclinadas (“
skew r
ays”
, Fig. E4-2) en
modelo de rayos, que describen órbitas helicoidales
en la FO. Reciben el nombre de modos HElm o
EHlm, dependiendo de si es el campo magnético H
Fig. E4-2.
X.1.5.
Trayectoria helicoidal de un
skew ray
o el eléctrico E el que tiene mayor contribución al
campo transversal.
Modos débilmente guiados
La resolución exacta de las ecuaciones de Maxwell que describe la propagación en
guíaondas dieléctricas homogéneas y cilíndricas (es decir, en fibras ópticas) es
matemáticamente complicada (se deben resolver las seis componentes híbridas del
campo electromagnético) y conduce a resultados complejos. Afortunadamente, se puede
simplificar considerablemente el tratamiento, con muy pocas pérdidas de exactitud, si se
restringe el estudio a las FO empleadas en Comunicaciones Ópticas, o más bien a las FO
con una diferencia de índices muy baja, n1–n2 << n1. La condición implica que sólo se
guiará radiación con incidencia casi rasante, o lo que es lo mismo, que la apertura
numérica NA de la fibra es baja. En tal caso, la distinción entre modos meridionales e
inclinados se difumina.
La aproximación se denomina de modos débilmente guiados o weakly-guided
modes (WGM). Con esta simplificación es preciso resolver sólo cuatro componentes del
campo electromagnético, y las expresiones empiezan a ser manejables.
X.1.6.
Modos linealmente polarizados
La primera consecuencia de la adopción del modelo WGM es la aparición de un nuevo
tipo de modos (¡otro más!) denominados modos linealmente polarizados o modos LP. A
diferencia de los anteriores, estos modos no son soluciones directas de las E.Max. (a
excepción del modo fundamental), sino combinaciones lineales de varias soluciones. Lo
que sucede esque,enWGM,l
osmodosHE yEH son “
casi”t
r
ansv
er
sal
es,yen el
conjunto de soluciones de modos EH, HE, TE y TM aparecen grupos que tienen
constantes de propagación casi idénticas (idénticas en la aproximación). Se dice
entonces que los modos están degenerados. Resulta muy conveniente agrupar tales
X-4
modos degenerados como combinación lineal con una constante de propagación común
ya que, a todos los efectos, la radiación guiada por cualquiera de los modos del grupo se
va a comportar de la misma manera, con independencia del modo concreto que la
transporte. En resumen, la adopción de modos LP permite evitar el uso de los modos EH,
HE, TE y TM anteriores dentro de la aproximación WGM. En la Tabla I se muestran las
correspondencias entre modos exactos y modos LP.
Tabla I. Correspondencia entre modos exactos y LP de menor frecuencia de corte
Modos LP
(ordenados por
frecuencia de corte)
Modos exactos y número
Nº de modos total en
el modo LP
LP01
HE11 2
2
LP11
TE01, TM01, HE21 2
4
LP21
EH11 2, HE31 2
4
LP02
HE12 2
2
EH21 2, HE41 2
4
LP31
LP12
LP41
LP22
LP03
LP51
LP1m
TE02, TM02, HE22 2
EH31 2, HE51 2
EH12 2, HE32 2
HE13 2
EH41 2, HE61 2
TE0m, TM0m, HE2m 2
EHl-1, m 2, HEl+1, m 2
4
4
4
2
4
4
4
LPlm (l0 ó 1)
Por lo que respecta a la práctica de laboratorio, los modos que realmente importan
son precisamente estos modos LP. Ciertamente no son modos individuales, emanados
directamente de las E.Max. Sin embargo, los integrantes de cada modo LP tienen
constantes de propagación tan próximas entre sí que resultan imposibles de separar
en condiciones normales. Así pues, los modos obtenidos experimentalmente serán
siempre combinaciones LP. En la figura E4-4 se pueden observar imágenes de los cuatro
primeros modos LP, que serán el motivo de la práctica.
X-5
Figura E4-4. Los cuatro primeros modos LP
En el siguiente apartado se incluye de forma resumida el tratamiento matemático que
conduce a la obtención de modos. Partiendo de la E.Max., se llega a la ecuación de onda
y se resuelve el caso particular con las condiciones de contorno de la fibra, y la
aproximación WGM. Si no desea profundizar en el desarrollo matemático, puede pasar
directamente al apartado X.3 .
X.2.
RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE LA GUÍAONDA
Para estudiar la propagación de ondas electromagnéticas por una guíaonda cilíndrica,
parece apropiado utilizar un sistema de coordenadas cilíndricas (r, , z). La
propagación de la OEM se hace en el eje z, y las componentes transversales x e y se
transforman en r y , lo que permite aprovechar las propiedades de simetría de la GO.
La OEM que se propaga por z tiene una dependencia funcional
 
E E0 (r , ) exp
j (z t )
{3a}
 
H H0 (r , ) exp
j (z t )
{3b}
que es armónica en z y t. El parámetro es la constante de
propagación, es decir, la componente z del vector de
propagación k. En una GO cilíndrica, su valor viene
determinado por las condiciones de contorno, las cuales se
Fig. E4-5. Coordenadas
cilíndricas del sistema.
establecen más adelante.
Aplicando las E.Max. en coordenadas cilíndricas y
separando las componentes, se obtiene para el campo eléctrico:
1
u
 u
r

r  

r 
Er rE


1 
u
r z
Hr 

 
 H
z 
t  
Hz 
Ez 


{4}
de donde se puede establecer un sistema de ecuaciones. En él se han desarrollado los
términos 
/z y 
/
t, que son:
X-6

E jE
z
{5}

E jE
t
{6}

1 
E
 z jrEjHr
r 

{7a}

E
 z jE r jH
r
{7b}
Las ecuaciones son:
 


1 rE 
Er 

jHz
r

 r

{7c}
Idéntico cálculo puede hacerse con el campo magnético, obteniendo:

1 
H
 z jrHj
Er
r 

{8a}

H
 z jHr j
E
r
{8b}
 


1 rH Hr 

j
Ez

r

r




{8c}
Este es el conjunto de seis ecuaciones que se mencionaba en un principio, antes de
aplicar la aproximación. Como paso previo, las ecuaciones pueden simplificarse por un
proceso de reducción de variables. En concreto interesa que las componentes
transversales queden expresadas en función de Ez y Hz. Estas son las dos componentes
que eventualmente dan cuenta de la propagación.
Así, se puede eliminar por ejemplo E entre {7a} y {8b}, permitiendo que la otra
componente transversal (Hr) se exprese en función de Ez y Hz. Realizando estas
operaciones de forma sistemática se obtiene:
X-7
E z  
Hz 

 r  r  
 


Er 
Hz 
1 E z  
 
j r   r 
E


Hr  q 2 
Hz  E z 

 


 

r
r







H
 
1 Hz   
E z 
 


r   r 
{9}
siendo q 2 2 
2 k 2 2 .
Sustituyendo las dos ecuaciones inferiores en {8c} se obtiene la correspondiente
ecuación de onda en coordenadas cilíndricas:
2 E z 1 
E z 1 2 E z


q 2 E z 0
r 2 r r r 2 2
{10}
y con las otras dos se obtiene la equivalente para Hz:
2 Hz 1 Hz 1 2 Hz


q 2 Hz 0
r 2 r r r 2 2
{11}
Si se observan las ecuaciones {10} y {11}, se comprueba que Ez y Hz aparecen de forma
independiente. Aparentemente, las componentes longitudinales de E y H están
desacopladas, y se puede escoger cualquier valor arbitrario de una sin que la otra se
afecte. Lo cierto es que aún no hemos impuesto las condiciones de contorno que dicta la
propagación por una GO cilíndrica. Si estas condiciones no implicasen, en algún caso, el
acoplamiento entre E y H, se podrían obtener soluciones con Ez = 0 (modos TE) o Hz = 0
(modos TM). En los demás casos, si tanto Ez 0 como Hz 0, se obtendrán modos HE o
EH, como ya se comentó. Incidentalmente, estos modos híbridos de las GO dieléctricas
no aparecen en GO metálicas huecas, que sólo tienen soluciones TE y TM.
X.2.1.
Resolución de la Ecuación de Onda en Fibras de
Índice Abrupto
Para resolver la ecuación {10} se recurre al método de separación de variables. Según
este método, supondremos que la solución para Ez tiene la forma
E z AF1 (r ) F2 () F3 ( z ) F4 (t )
{12}
siendo A una constante arbitraria, y F1-4 funciones independientes entre sí de cada una
de las variables.
X-8
Los factores F3(z) y F4(t) vienen dados por la propia definición de campo realizada
en {3}:
F3 ( z ) F4 (t ) exp
j (z t )
{13}
La función F2() puede evaluarse considerando la simetría circular de la GO (al fin y al
cabo, para eso utilizamos coordenadas cilíndricas). Se supone implícitamente que la
sección de la FO es perfectamente circular y constante y que el perfil de índices tiene
simetría radial. Todo ello es bastante exacto en fibras con perfiles especiales.
La dependencia funcional ha de ser tal que las componentes del campo no se
modifiquen cuando la coordenada  se incrementa o decrementa en cantidades
múltiplo de 2. Suponemos por tanto una dependencia funcional periódica de la forma:
F2 () exp( j)
{14}
Para cumplir la condición, la constante ha de ser entera, positiva o negativa. La
imposición de una condición periódica dictada por la periodicidad del campo da lugar
a la aparición de modos (estrictamente, familias de modos).
Sustituyendo en la ecuación de onda {10} los factores evaluados hasta ahora, nos
queda:
2 F1 1 
F1  2 2 


q  F 0
r 2 r r  r 2 1
{15}
En esta ecuación se observa que el factor F1 que nos faltaba, y que contiene la
función radial, tiene una dependencia que corresponde a la forma diferencial de las
funciones de Bessel. Se puede deducir una ecuación idéntica para Hz.
Para la resolución del sistema en una fibra óptica de índice abrupto (FOIA) se va a
realizar una suposición adicional, y es que la cubierta se extiende hasta radio infinito. Así
la GO que se está estudiando se compone de un núcleo cilíndrico con índice n1, que a
una cierta distancia r del eje se transforma bruscamente en n2, el cual se extiende hasta
infinito. La suposición se hace necesaria porque, como se veía en la Fig. E4-1, existe un
campo no nulo en la frontera con la cubierta, que se va atenuando exponencialmente.
Desde un punto de vista matemático estricto, el campo se hace nulo únicamente en el .
Así pues, aparecería como condición de contorno adicional el tránsito n2  nx, el
recubrimiento exterior de la cubierta, complicando innecesariamente el cálculo. La
introducción de esta aproximación no supone errores en la práctica, ya que las FO se
suelen construir con cubiertas suficientemente gruesas, de modo que la intensidad de
campo en la interfase n2 | nx, es despreciable.
X-9
Para
resolver
la
ecuación {15} se ha de tener
en cuenta que, para cada
modo guiado, el campo ha
de ser finito en el núcleo, y
en concreto para r0, mientras que en la cubierta habrá
de tender a 0 cuando r.
En estas circunstancias, las
soluciones para r<a (siendo a
el radio del núcleo) habrán
de ser funciones de Bessel
de primera clase y orden 
Fig. E4-6.
Funciones J de Bessel de los tres órdenes más bajos.
Los cortes por 0 determinan los rangos de los modos.
(Fig. E4-6), para las que
emplearemos la notación J(ur), siendo
u  k12 2  k 2 n12 2
{16}
Así pues, las expresiones para Ez y Hz en el núcleo quedan como sigue:
E z (r a ) AJ (ur ) exp( j) exp[ j (z t )]
{17}
Hz (r a ) BJ (ur ) exp( j) exp[ j (z t )]
{18}
siendo A y B constantes arbitrarias.
En la parte externa (r>a), las soluciones que se adaptan a las condiciones
expuestas son las funciones de Bessel modificadas de segunda clase, para las que
usaremos la notación K(wr), siendo
w  2 k22  2 k 2 n22
{19}
Las expresiones para Ez y Hz en la cubierta quedan:
E z (r a ) CK( wr ) exp( j) exp[ j (z t )]
{20}
Hz (r a ) DK( wr ) exp( j) exp[ j (z t )]
{21}
Las funciones K de Bessel (Fig. E4-7) tienen la particularidad de que, cuando wr,
K(wr)  exp(-wr). Para que la expresión tenga sentido físico, se tiene que dar que K
(wr)0 para wr. Por consiguiente, w ha de ser positivo. De ahí se deduce
w 0  k 2
X-10
{22}
que es un límite inferior para . El límite superior viene dado por el comportamiento de
J(ur). Para que F1 sea real en el núcleo, u ha de ser real. Por lo tanto
k1
{23}
Así pues, el rango de soluciones aceptables para es:
kn2 k 2 k1 kn1
{24}
siendo k=2/=/c, la constante de propagación en el vacío, y k1=/v1 y k2=/v2, las
respectivas constantes de propagación en ambos medios.
X.2.2.
Las
Ecuación Modal
soluciones
para

pueden determinarse a partir
de
las
condiciones
de
contorno. Las componentes
tangenciales de Ez y E han
de conservarse a uno y otro
lado de la interfase, tomando
el mismo valor para r=a. Lo
mismo sucede para Hz y H.
Con ello podemos plantear
un
sistema
ecuaciones
de
que
cuatro
permita
calcular las cuatro incógnitas
A, B, C y D. Así, igualando
{17} y {22} para componentes
tangenciales
(Ez1=Ez2,
en
r=a Fig. E4-7.
dentro=fuera)
Funciones K de Bessel de orden más bajo.
queda
AJ (ua) CK( wa )
{25}
La componente sale de la segunda ecuación de {9}. El factor q2 dentro del núcleo viene
dado por
q 2 u 2 k 2 n12 2 k12 2
{26}
Por otra parte, en la cubierta se cumple
w 2 2 k 22
X-11
{27}
Utilizando las ecuaciones {9} con {17} y {18} se puede calcular E1, mientras que si se
emplea con {20} y {21} se puede calcular E2. Igualando para r=a
j
E1 E2  2
u
j
 2
w
 j

A
J(ua ) BuJ' (ua )

 a

 j

C
K( wa ) BwK' ( wa )0

 a

{28}
donde X’indica diferenciación respecto al argumento. Idéntico tratamiento puede
aplicarse a H, obteniendo un juego equivalente de ecuaciones:
BJ (ua ) DK( wa )
j
H 1 H 2  2
u
j
 2
w
{29}
 j

B
J(ua ) A1uJ' (ua )

 a

 j

D
K( wa ) C2 wK' ( wa )0

 a

{30}
(Obsérvese que en {28} se utiliza una sola permeabilidad –que será igual a la del
vacío–mientras que en {30} se distingue entre 
1 y 
2.) Componiendo {25}, {28}, {29} y
{30} como sistema de ecuaciones se plantea el determinante:
J(ua )

J(ua )
au 2
0
j
 1 J' (ua )
u
0
K( wa )
j '

J(ua )
K( wa )
u
aw2
J(ua)
0

j
J (ua )  2 K' ( wa )
2 
au
w
0
j '
K( wa )
w
0
K( wa )

K( wa )
aw2
{31}
que se iguala a 0 para encontrar las soluciones. La evaluación de este determinante
produce la siguiente ecuación de autovalores para :
1 
1
(J K)(k J k K)   2  2 
w 
a u
2
2
1 
2
2
2
{32}
siendo
J ' (ua )
J  
uJ(ua)
K ' ( wa )
K  
wK( wa)
{33}
En {24} se imponía un rango de existencia a . En {32} se restringe aún más el panel de
valores aceptables de , que queda reducido a una serie de valores discretos dentro del
rango mencionado. La ecuación {32} se debe resolver en general por cálculo numérico.
Aquí se abordan las soluciones de algunos modos de orden bajo en una FOIA.
X-12
X.3.
MODOS EN FIBRAS DE ÍNDICE ABRUPTO
Las funciones J de Bessel tienen un comportamiento oscilatorio amortiguado (Fig. E4-6)
que hace que cada una corte por cero m veces, es decir, que cada tenga m raíces.
Llamaremos m a estas raíces. Los modos que definen serán TEm, TMm, HEm o EHm
(Fig. E-8). En una GO dieléctrica circular, todos los modos son híbridos excepto los
de =0. En estos últimos, se anula el miembro derecho de {32} y se obtienen dos
ecuaciones:
J0 K 0 0
{34}
k12 J0 k 22K 0 0
{35}
y utilizando las relaciones de recurrencia
J 0' (r ) J1 (r ) K 0' (r ) K1 (r )
{36}
J1 (ua )
K ( wa )
 1
0
uJ 0 (ua ) wK0 ( wa )
{37a}
k12 J1 (ua ) k 22 K1 ( wa )

0
uJ 0 (ua ) wK0 ( wa )
{37b}
quedan
La primera corresponde a los modos TMom y la segunda a los TE0m.
Cuando 0, la solución estricta de {32} ha de hacerse por cálculo numérico,
como ya se ha comentado. Existen sin embargo excelentes aproximaciones basadas en
la proximidad de índices entre núcleo y cubierta, es decir, en la suposición que soporta la
propia aproximación WGM. El tratamiento completo de esta aproximación, demasiado
extensa para incluirla aquí, puede encontrarse en: D. Gloge, “
Weakl
ygui
di
ng f
i
ber
s”
,
Appl. Opt. 10, 2252 (1971), y en: A.W. Snyder, “
Asympt
ot
i
c expr
essi
ons f
or
ei
genf
unct
i
onsandei
genval
uesofadi
el
ec
t
r
i
coropt
i
calwavegui
de”
, Trans. IEEE Microw.
Theory Tech. MTT-17, 1130 (1969). El tipo de soluciones obtenidas en esta aproximación
permite establecer relaciones como:
u
J 1 (ua )
K ( wa )
w 1
J (ua )
K( wa )
X-13
{38}
que conducen eventualmente a la
definición de modos LP. Estos
modos, que no son valores propios
(autovalores),
sino
combinaciones
lineales de éstos, se deberían aplicar
desde un punto de vista estricto a
modos degenerados (es decir, con
idéntica
).
Las
combinaciones
escogidas corresponden a modos
que son degenerados dentro de la
aproximación;
por
utilización
modos
de
lo
tanto,
la
LP
será Fig. E4-8. Soluciones exactas HE, EH, TE y TM obtenidas en
una FOIA, en función de la frecuencia normalizada
aceptable o no dependiendo de lo
V. Obsérvese cómo se asocian uno o varios
modos con constantes de propagación muy
similares para formar modos LP.
buena que la propia aproximación
sea, lo cual depende en último
término de la proximidad de los índices de núcleo y cubierta.
Tabla II. Condiciones de corte de los modos exactos en una GO circular
Índice

Modo
Condición de corte
0
TE0m, TM0m
J 0 ( ua ) 0
1
HE1m, EH1m
J1 ( ua ) 0
>1
EHm
J ( ua ) 0
n12 
ua
J ( ua )
 2 1J 1( ua ) 
1 
n2 
HEm
X.3.1.
Condiciones de Corte para los Modos
Para calcular el corte de un modo concreto, utilizaremos el criterio siguiente: cuando el
modo comience a no quedar confinado en el núcleo diremos que está al corte, ya
que ha dejado de ser un modo guiado. Ese criterio es equivalente a calcular las
condiciones para las que la intensidad de campo en la cubierta deja de decaer al
aumentar el radio. Así, según la condición {27}, se puede calcular {37} para w20. Las
ecuaciones obtenidas son también bastante complicadas, por lo que se indicarán
simplemente las condiciones de corte de los modos (Tabla II). Obsérvese que el corte
viene dictado por el valor de , independientemente de m.
X-14
Las condiciones de corte pueden expresarse en función de la frecuencia
normalizada, también llamada parámetro V:
2a
V

n
2
1
2a
n22 
NA

{39}
siendo NA la apertura numérica. Asimismo se puede relacionar con u y w:
V a
u
2
w 2 
{40}
Fig. E4-9. Diagrama b-V de modos LP para fibras ópticas de índice abrupto. Los puntos b=0
representan las frecuencias de corte de cada modo. El modo LP01 carece de frecuencia de
corte. El siguiente modo (LP11) corta a V=2,405. La FO, pues, es monomodo hasta esa V.
siendo a el radio del núcleo. V puede utilizarse también para medir el número de modos
que una FO puede soportar. Para ello se usa una representación normalizada, que ya se
vio en la Sección Fundamentos de las CCOO, llamada diagrama b-V. El parámetro b,
llamado constante de propagación normalizada, se define como:
a 2 w 2 (/ k ) 2 n22
b 2  2
V
n1 n22
X-15
{41}
X.3.2.
Diagrama b-V de los modos LP
En resumen, el diagrama de la figura E4-8 se suele expresar comúnmente en función de
parámetros normalizados. El resultado es un diagrama b-V como el de la Fig. E4-9. En
esta figura, además, se han introducido modos LP, combinaciones lineales de los modos
de la anterior figura agrupados del modo que se mostraba en la misma.
Cada modo es guiado a partir de un valor concreto de V. Los modos se cortan
cuando =kn2 (esto es, cuando b=0). El modo HE11 carece de frecuencia de corte; sólo
deja de propagarse cuando se hace cero el diámetro del núcleo.
Los números de los cuadros de la figura corresponden a índices m de los modos
LP. Para saber de qué modos
exactos procede cada modo LP,
basta con observar el valor de ,
tal como se puede comprobar en
la Tabla III. Nótese que sólo
aparecen modos TE y TM con
Tabla III. Modos que intervienen en la combinación
lineal de cada modo LP .
Índice del
modo LP
TE
TM
HE
EH
0
--
--
1
--
1
0
0
2
--
>1
--
--
+1
–1
=0, es decir, pertenecientes a la
curva J0 de Bessel (véase {34}).
Es interesante relacionar los valores obtenidos aquí con una gráfica normalizada
de las funciones de Bessel (Fig. E4-10). Se observa que cada frecuencia de corte
corresponde al paso por cero de una determinada curva. Por ejemplo, el modo LP02
comienza a existir a partir de V=3,83, primer corte de J1 por cero, mientras que el modo
LP12 existe a partir de V=5,52, segundo corte de J0 por cero. Tanto en esta figura como
en la anterior se advierte que existe un valor de V por debajo del cual sólo se propaga un
modo. Este valor es V=2,405. Cualquier FO cuya frecuencia normalizada V sea inferior se
comportará como monomodo.
X-16
Así pues, para conseguir
una
fibra
óptica
monomodo
basta con reducir su parámetro
V por debajo de 2,4. Según la
expresión de este parámetro
que se daba en {39}, para
reducirlo se puede:
 Reducir el radio del
núcleo de la fibra.
 Reducir
la
apertura
numérica NA, aproximando los índices de núcleo y
cubierta.
Fig. E4-10. Los cortes por cero de las funciones J de
Bessel determinan las frecuencias de corte de
 Aumentar la longitud de
los modos.
onda.
Una FO monomodo actual tiene un núcleo con un diámetro entre 4 y 9 m (unas
pocas longitudes de onda). La diferencia de índices es también muy baja, n0,10,2%. La longitud de onda suele venir predeterminada por la aplicación, por lo que no
suele ser un parámetro con el que se pueda contar en este contexto. En todo caso,
conviene recordar que una FO monomodo en 3ª ventana, por ejemplo, no es
necesariamente monomodo en 2ª ó 1ª ventana. Expresado de otra forma, para calificar
una FO de monomodal hay que especificar la longitud de onda a que se trabaja; cualquier
FO deja de ser monomodo reduciendo lo suficiente.
X.3.3.
Selección de FOs para la práctica
Tomaremos como ejemplo las fibras utilizadas en la práctica. Para el diseño de una
práctica de visualización de modos, se necesita una fibra que guíe unos pocos modos,
suficientes para que la práctica tenga sentido, pero no demasiados, para que puedan
separarse. Es difícil encontrar FO comerciales que guíen tres o cuatro modos: o son
monomodo, o son multimodo y guían centenares de modos.
Lo que sí puede hacerse es aprovechar fibras diseñadas para otra longitud de
onda. En esta práctica interesa utilizar radiación visible de 632,8 nm (láser de He-Ne). Si
se escoge una fibra monomodo en segunda ventana:
 AN = 0,11
 Ø núcleo = 8m
X-17
El cálculo de V (ver {39}) es 2,11 para esa longitud de onda (1310 nm). Como V es
inversamente proporcional a , aumenta hasta V = 4,37 a 632,8 nm. Llevado al diagrama
b-V, se observa que a esa se guían los 4 primeros modos LP, que son los mostrados
en la Figura E4-4.
X.3.4.
Modos e intensidad luminosa
Los modos guiados de una FO son soluciones matemáticas que predicen distribuciones
de campo eléctrico aceptables dentro de las condiciones establecidas por el medio
dieléctrico y el confinamiento. Sería de esperar que tales soluciones se correspondieran
con algo más tangible, como es la distribución de potencia luminosa en el plano
transversal de la FO. La cuestión tiene dos facetas: la propia distribución transversal de
potencia y el transporte de dicha potencia luminosa por la FO. Este segundo aspecto no
se trata aquí. Por lo que respecta a la distribución, conviene recordar que el hecho de
que una guía soporte un determinado modo no significa necesariamente que dicho
modo contenga energía luminosa. En la práctica modificaremos la propagación en la
fibra para hacer que la potencia se guíe preferentemente por uno u otro modo
Identificación de modos por su distribución luminosa
Como curiosidad, es posible saber qué modo LP corresponde a una determinada distribución transversal de
luz. Recuérdese para ello que el índice del modo aparece ligado a la dependencia angular (variable )
mientras que m, asociado a cortes en funciones de Bessel, es un índice radial.
El primero de los índices, , se calcula contando el número de máximos de intensidad que aparecen
en una vuelta completa a la sección, tomando como centro el eje de la FO. El índice es la mitad del resultado
2
(nótese que el número de máximos de intensidad es el doble que el de campo, ya que va con |E| ). El
segundo es el número de máximos que corta un radio desde el centro hasta la interfase con la cubierta.
Cuando se acopla un emisor a una fibra, se excitan unos modos más que otros,
dependiendo del perfil de emisión de la fuente, de las condiciones del acoplo, y de las
características de la fibra. En teoría se puede llegar a excitar específicamente un modo,
con lo que un corte transversal de la fibra presentaría una distribución de intensidad como
las de la figura E4-11 (¡suponiendo que se guiasen!). Sin embargo, es importante
percatarse de que la teoría de modos desarrollada hasta aquí supone implícitamente que
la GO es perfecta (lo que no está muy lejos de la realidad) y que es perfectamente recta
(lo que ya resulta bastante menos creíble excepto en experimentos de laboratorio).
X-18
Cualquier imperfección o curvatura de la
FO genera un nuevo juego de modos que se
haría cargo de la potencia transmitida por el
hipotético modo solitario. Este tipo de reparto se
denomina termalización puesto que equivale a la
migración de calor entre una parte fría y otra
caliente de un material o fluido. El mismo
mecanismo excita ocasionalmente modos no
guiados, influyendo en la atenuación de la FO
Fig. E4-11. Boceto de la intensidad luminosa que se observaría en un corte
transversal de una FO si sólo se
excitase un modo.
(pérdidas en curvaturas por encima de radio
crítico, por ejemplo).
Por esta razón, la distribución luminosa que se observa en el extremo de una FO
suele carecer de los máximos radiales y circulares predichos por la teoría de modos,
aunque en laboratorio pueden llegar a separarse al menos en trayectos cortos. Por
ejemplo:
puede variarse el ángulo de incidencia, y aprovechar la dependencia con el
ángulo de las constantes de propagación.
también puede recurrirse al uso de polarizadores. Al ser linealmente
polarizados, unos modos LP son ortogonales respecto a otros, pudiendo
visualizarse por separado sin más que interponer un polarizador entre la fibra y
la pantalla de proyección.
X-19
Desarrollo de la Práctica
MATERIAL NECESARIO
 2 Láseres He-Ne rojos (632,8 nm)
 1 Soporte fibra FC
 1 Láser He-Ne verde (543,5 nm)
 1 Soporte fibra desnuda
 1 Caja de emisores
 1 Cable coaxial RCA - RCA (2,5 m)
 1 Kit de acoplo a fibra desnuda
 1 Cordón de Fibra SM (1300 nm)
 2 Kits de acoplo He-Ne  FC
 1 Cordón de Fibra SM (visible)
 1 Cámara de vídeo
 1 Cinta métrica
 1 Ordenador con tarjeta capturadora
de vídeo
Introducción al manejo de la videocámara
Durante el desarrollo de esta práctica se utilizará una videocámara con visión infrarroja para
capturar las imágenes obtenidas. Sobre el objetivo de la cámara se ha colocado un difusor
graduado sobre el que se proyectarán los patrones de campo lejano. Para enfocar dichos
patrones y obtener imágenes nítidas se seguirán las instrucciones siguientes.
Power: Este mando situado en el lateral del
objetivo debe estar en modo "Camera"
Nightshot: Situado junto al anterior sirve para
eliminar los filtros infrarrojos que habitualmente
se utilizan para corregir el color. Este mando solo
se pondrá en la posición "ON" cuando se mida en
primera ventana, nunca en visible.
Programa: El programa se selecciona con el
mando circular "Program AE" que se encuentra en el lateral izquierdo de la cámara. Se
utilizará siempre en modo automático.
X-20
Enfoque: El enfoque "Focus" se utilizará en modo manual y se puede ajustar con la rueda
situada bajo el objetivo en el lateral izquierdo de la cámara.
Exposure: Este mando, situado en la parte posterior de la cámara, nos permite ajustar la
velocidad del obturador de modo manual. Para comprobar si está activado gire la rueda "Sel
/ Push Exec" y compruebe que varía la
luminosidad de la imagen. En caso contrario
pulse el botón "Exposure" para activarlo.
Las imágenes recogidas por la cámara no
deben estar saturadas. Para ello, cuando
proyecte la salida de una fibra sobre el difusor
del objetivo debe ajustar el obturador hasta
que no haya zonas blancas. En caso
contrario las medidas realizadas serían erróneas.
Menú: Junto a la rueda de selección de modo se encuentra un pulsador con el epígrafe
"Menu". Este mando se utiliza en combinación con la rueda que se encuentra en la parte
posterior de la cámara "Sel / Push Exec", que se utiliza asimismo para seleccionar la
velocidad del obturador como ya se ha explicado. Girando y presionando la rueda se
seleccionan las distintas opciones de los menús. Únicamente se utilizará la opción menú
para restaurar los valores iniciales que se hayan perdido por alguna manipulación errónea.
Los valores iniciales principales son:
 Modo Demo OFF
 LED infrarrojo de iluminación nocturna OFF
 Zoom Digital OFF
X-21
X.4.
VISUALIZACIÓN DE MODOS TRANSMITIDOS EN UNA FIBRA
Objetivo: El objetivo de esta práctica es confirmar visualmente los patrones de campo
permitidos en la propagación de radiación luminosa por una fibra. Para ello, es necesario
seleccionar la propagación individual de cada uno de los modos. Se puede conseguir, como
ya se ha comentado, gracias a que cada modo se propaga con un ángulo diferente. De esta
forma, seleccionando adecuadamente el ángulo con el que se enfoca el haz procedente
del láser sobre la superficie transversal de la fibra, se logra la propagación predominante de
un modo específico (de los posibles guiados).
Si se utilizan fibras de mayor radio; sin embargo, al permitir la propagación de un
número elevado de modos, resulta más complicado seleccionar la propagación individual de
cada uno de ellos.
La obtención de la configuración de campo eléctrico se realiza mediante la técnica
denominada de Campo Cercano. La diferencia entre un patrón de campo lejano o cercano,
está relacionada con la distancia que existe entre la salida de la fibra óptica y el plano de
observación. Si el objetivo de esta práctica fuera la "medida" de los patrones de campo,
deberíamos colocar la pantalla de observación prácticamente pegada a la salida de la fibra,
o bien una lente que amplificara la imagen obtenida justo en la cara final de la fibra.
No obstante, como el objetivo perseguido es una "visualización" de las formas
modales, se puede situar la pantalla a una distancia arbitraria sin perjuicio de la forma modal
(aunque probablemente la distribución puntual de potencia haya cambiado).
Método de medida
Acoplando un láser de He-Ne al extremo de una fibra monomodo (1300nm) desnuda
mediante un kit de acoplo, y proyectando el otro extremo en una pantalla situada en el
objetivo de la cámara. Se utilizan lentes como elementos auxiliares.
El alineamiento completo del sistema de generación de modos puede ser lento y engorroso.
Para facilitar la tarea, el sistema se entrega dentro de los rangos de alineamiento necesarios
para localizar los modos. Así pues, no realice grandes excursiones con los manipuladores.
Se recomienda mover lentamente los controles, y buscar los patrones en recorridos cortos.
Procedimiento Experimental
1.
En primer lugar es necesario acoplar el haz procedente del láser de He-Ne a una
fibra con las características indicadas en el apartado X.3.3 mediante el Kit de acoplo
F-916. Como no se realiza ninguna medida de potencia, el acoplo se considerará
óptimo cuando se observe en la pantalla un patrón de campo de un rojo intenso,
correspondiente a alguno de los patrones mostrados en la en la figura E4-4.
X-22
2.
En principio, proyecte el patrón de salida sobre una pantalla utilizando los postes y
bases necesarios. Observe y dibuje patrón de campo obtenido.
3.
Proyectando el patrón de campo sobre el objetivo de la cámara
digitalice la
configuración observada.
4.
Varíe el ángulo de incidencia del haz de entrada manipulando alguno de los
mandos del Kit de acoplo F-916. Se recomienda una variación muy lenta y
secuencial de los mandos para no perder la señal. Con este procedimiento debe
conseguir la propagación individual de cada uno de los cuatro modos de menor
orden. Dibuje y digitalice las imágenes que obtiene.
5.
Vuelva a jugar con los mandos hasta conseguir una distribución de campo que
crea que corresponde a la propagación de dos modos. Coloque la lámina
polarizadora detrás de la fibra de salida y gírela lentamente hasta visualizar y
digitalizar cada uno de los modos dependiendo de la posición de giro de la lámina.
Mediante este procedimiento aísle los modos de la figura E4-4.
Not
a:Gr
abet
odosl
osf
i
cher
osquedi
gi
t
al
i
ceenel“
escr
i
t
or
i
o”
,cópi
el
osenundi
squet
ealf
i
nal
i
z
arl
a
pr
áct
i
caybór
r
el
osdel“
escr
i
t
or
i
o”acont
i
nuaci
ón.
X.5.
MEDIDA DE LA APERTURA NUMÉRICA EN UNA FIBRA
MONOMODO (1300 NM) A DISTINTAS LONGITUDES DE ONDA
Objetivo: Medida de la apertura numérica de una fibra monomodo a dos longitudes de
onda: 543 nm, y 820 nm. Para poder realizar la medida en primera ventana es necesario
utilizar la cámara en modo Nighshot.
Método de medida: Acoplando un cordón monomodo a 1.300 nm a la salida FC de un
láser verde y de un diodo de primera ventana de la caja de emisores y proyectando la
imagen sobre la pantalla. La apertura numérica se calcula por la relación entre el tamaño
de la imagen proyectada y la distancia del extremo de la fibra a la pantalla.
AN a 820 nm
1. Conecte un extremo del cordón monomodo (amarillo) al LED de 820 nm de la caja de
emisores y el otro extremo al soporte de proyección.
2. Proyecte la salida sobre una pantalla y anote si se observa algo.
3. Varíe la velocidad del obturador de la cámara hasta que la imagen esté
completamente oscura.
4. Sitúe el conmutador Nightshot en la posición ON.
5. Enfoque el extremo situado en el soporte de proyección al objetivo de la cámara.
X-23
6. Ajuste la velocidad del obturador de la cámara hasta que la imagen no esté saturada.
7. Mida el tamaño de la imagen proyectada y la distancia desde el extremo de la fibra a
Puede ser necesaria la utilización de una campana para eliminar la luz ambiente
8. Calcule la apertura numérica a dicha longitud de onda.
9. Suba la corriente de polarización del LED al máximo.
10. Repita los apartados 6, 7, y 8, del ejercicio anterior.
11. Sitúe el conmutador Nightshot en la posición OFF.
12. Baje al mínimo la corriente de polarización del LED y desmonte el cordón del extremo
de la caja de emisores.
AN a 543 nm
1. Conecte un extremo del cordón monomodo (amarillo) al láser verde y el otro extremo
al soporte de proyección.
2. Abra el obturador del láser.
3. Proyecte el extremo de salida sobre una pantalla. Dibuje la distribución modal
observada.
4. Utilice la lámina polarizadora, deberá ser capaz de ver, al menos, variaciones de
luminosidad. Comente por qué no es capaz de separar completamente los modos.
8. Intente separar diferentes modos y aislar alguno de los que observó en la práctica
anterior. Digitalice las imágenes obtenidas.
9. Cierre el obturador del láser.
10. Desmonte el cordón de la salida del láser.
11. A partir de los valores de apertura numérica calculados y conociendo que el radio del
núcleo de la fibra es de
5 micras calcular cuantos modos es posible acoplar a
543 nm.
X-24
X.6.
MEDIDA DE LA APERTURA NUMÉRICA EN UNA FIBRA
MONOMODO EN EL VISIBLE
Objetivo: Medida de la apertura numérica de una fibra monomodo en visible a
543,5 nm.
Método de medida
Acoplando un cordón monomodo en visible (cordón de color verde) a la salida FC de un
láser verde y proyectando la imagen sobre una pantalla situada sobre el objetivo de una
cámara. La apertura numérica se calcula de modo análogo al apartado anterior.
1. Conecte un extremo del cordón monomodo (verde) al láser verde y el otro extremo al
soporte de proyección.
6. A partir del cálculo de la apertura numérica realizado y sabiendo que el radio del
núcleo de la fibra utilizada es de 2 micras calcule cuantos modos sería posible acoplar
a dicha longitud de onda.
7. Cierre el obturador del láser.
8. Desmonte el cordón y deje todo como lo encontró.
X.7.
VISUALIZACIÓN DE UN PATRÓN DE SPECKLE
Cuando una radiación luminosa coherente (láser) se introduce en una fibra multimodo, en
ésta se excitan un número determinado de modos que se transmitirán por ella. Cada modo
se propagará con una fase relativa respecto al resto pudiendo interferir constructiva o
destructivamente entre ellos en cualquier plano perpendicular a la trayectoria de transmisión
de la fibra.
Recuerde que la luz asociada con una emisión estimulada, como es el caso de un láser, está
en fase. El tiempo en el cual la onda se mantiene continuamente en fase se denomina tiempo
de coherencia, 
c, y depende del ancho espectral de la fuente. La distancia a lo largo de la
dirección de propagación sobre la cual la radiación permanece en fase se denomina longitud
de coherencia, lc.
X-25
Así, el patrón de radiación que se puede observar al final de la fibra adopta una forma
pec
ul
i
ar
,c
ompues
t
apormul
t
i
t
uddepequeñasmanc
hasques
edenomi
nan“
speckles”
.El
número de speckles presentes en el patrón speckle es proporcional al número de modos
que se están propagando por la fibra ya que cada speckleel
se corresponde con la
interferencia de un par de modos específico.
Después de una distancia de propagación suficiente la dispersión modal puede
producir un retardo de propagación relativo entre varios modos que exceda el tiempo de
coherencia de la luz. Si esto sucede, el patrón speckle observado tendrá un fondo con un
nivel de radiación uniforme.
Por otro lado, los modos que se propagan por la fibra, debido a imperfecciones
estructurales de ésta o a causas externas a ella, pueden intercambiar parte de la energía
que portan produciéndose lo que se denomina acoplo entre modos. Este intercambio de
energía repercutirá en el patrón de speckle obtenido haciéndolo inestable en el tiempo.
El hecho de que se genere un patrón de speckle, por sí mismo no presenta
perjuicios significativos en las prestaciones de un sistema de comunicaciones ópticas. Pero
este fenómeno, unido a la existencia de puntos donde se produzcan algún tipo de variación
temporal en las características de propagación modal (por ejemplo, empalmes o acoplos
entre fibras) genera lo que se conoce como ruido modal.
El ruido modal puede llegar a ser un parámetro de considerable importancia en el
diseño de un sistema de transmisión, particularmente en sistemas analógicos donde se
requiere una elevada relación señal-ruido.
Objetivo: Observar el patrón de campo generado al final de una fibra multimodo cuando
a través de ella se transmite una luz altamente coherente (láser).
Método de medida: Acoplar la luz procedente de un láser verde a una Fibra una fibra
multimodo y proyectar el patrón de salida sobre una pantalla.
1. Conecte un extremo del cordón multimodo al láser verde y el otro extremo al soporte
de proyección.
3. Proyecte la radiación de salida de la fibra sobre una pantalla y observe el Patrón
generado.
4. Compruebe la variación del Patrón de Speckle con variaciones en el camino de
transmisión. Para ello mueva el cordón de fibra al tiempo que observa el patrón.
POR FAVOR, AL ACABAR LA PRÁCTICA DEJE EL PUESTO TAL COMO LO ENCONTRÓ. NO
APAGUE EL ORDENADOR NI CIERRE LOS SHUTTER DE LOS LÁSERES.
X-26
APÉNDICE 1:
1. Fuera
del
TRATAMIENTO NUMÉRICO
ALMACENADAS
laboratorio, el alumno
podrá
Y GRÁFICO DE LAS IMÁGENES
realizar
representaciones
gráficas
(bidimensionales o tridimensionales) del perfil de la distribución de energía luminosa.
Se recomienda realizarlo con Matlab mediante el procedimiento siguiente:
 Copi
arelar
chi
v
o“
ar
chi
v
o.
bmp”eneldi
rectorio \MATLAB\toolbox\matlab\iotun
 Teclear en la línea de comandos de Matlab:
>>a=i
mr
ead(
‘
ar
chi
v
o’
,
’
bmp’
)
;
esto nos guarda una matriz (a) de valores de intensidad luminosa del fichero
“
ar
chi
v
o.
bmp”
.
2. Las imágenes que no se vayan a utilizar para medidas de perfil de distribución de
energía se recomienda guardarlas en baja resolución en formato PDF. Para ello se
utilizará una impresora virtual Adobe, que guarda el contenido de la pantalla en
disco con formato PDF. Para imprimir sobre la impresora Adobe, se abrirá la imagen
guar
dadaconcual
qui
erpr
ogr
amadegr
áf
i
cosyseut
i
l
i
z
ar
áelcomando“
Imprimir”del
Menú“
File”
.
APÉNDICE 2: MANEJO DE LA TARJETA CAPTURADORA DE VÍDEO
1. Inicie el programa AVTV98
2. Seleccione el tamaño de pantalla
3. Capture la imagen
4. Salve la imagen
X-27

Modos Guiados en Fibras Ópticas

Transcripción

Documentos relacionados

Paquete de alfalfa grande de fibra larga de 1ª calidad

1 Fibras ópticas de vidrio FE BRL7S 3

Resumen traducido del test dermatológico - Hoko

Tapón con Hexágono Interior

pds raitech ceramitex 5100/5100w tela de fibra ceramica para