Descomposición Balanceada para Análisis de Sistemas de

Descomposición Balanceada para Análisis de Sistemas de

DESCOMPOSICION ε BALANCEADA PARA ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA
MEDIANTE PROCESAMIENTO PARALELO
Felipe Morales S.
Hugh Rudnick V. D. W.
Aldo Cipriano Z.
Facultad de Ingeniería, Pontificia Universidad Católica de Chile
Casilla 306, Correo 22, Santiago, Chile
e-mail: [email protected]
RESUMEN
La eficiencia en el procesamiento paralelo de algunos de los
análisis de sistemas de potencia, simplificados al manipular
matrices diagonales por bloques, está asociada al balance en los
bloques y al error de proximidad de éstas respecto de la matriz
original. Este trabajo propone un algoritmo para balancear una
matriz diagonal por bloques obtenida mediante una
descomposición ε. El algoritmo se evalúa en el Jacobiano del
método de Newton; los resultados basados en el flujo de potencia,
y la simulación dinámica del sistema de prueba de Nueva
Inglaterra, reflejan las características de la descomposición ε
balanceada.
ABSTRACT
The efficiency in parallel processing of several power system
analysis, simplified via the treatment of block-diagonal matrices,
is associated to the balance of the blocks and to the error of
proximity of these respect to the original matrix. In this paper an
algorithm for the balance of block-diagonal matrix obtained via
ε-decomposition is proposed. The algorithm is evaluated in the
Jacobian matrix of the Newton method; the results based in the
power flow, and the transient simulation of the New England
test system, reflect the performance of the ε balanced
decomposition.
Keywords: Sistemas de potencia, descomposición ε, solución
bloque iterativa, procesamiento paralelo, balance de carga.
1. INTRODUCCION
Durante años los ingenieros han encontrado dificultades al
momento de analizar sistemas de gran tamaño; si bien en el caso
de los sistemas de potencia éste se ha visto favorecido por la
descripción de problemas mediante matrices, y por la utilización
de computadores digitales para su manipulación, la necesidad de
lograr un equilibrio en la cantidad de información a procesar y
su calidad continúa siendo evidente.
La complejidad alcanzada por los sistemas de potencia, tanto
en términos de tecnología como de dimensión, no sólo dificulta
la evaluación en tiempo real de su seguridad sino también su
control. El procesamiento paralelo ha permitido sobrellevar
algunas de estas dificultades, particularmente en lo que respecta
a la velocidad de procesamiento; siempre que la arquitectura del
computador sea apropiada para el algoritmo que se estudia.
Actualmente se han propuesto soluciones basadas en
procesamiento paralelo para una gran cantidad de los análisis
asociados a los sistemas de potencia; entre éstos se encuentran el
flujo de potencia [1], la simulación dinámica [2], incluyendo la
de transitorios electromagnéticos [3]; el análisis de la estabilidad
transitoria mediante funciones de energía [4], el de la estabilidad
a perturbación pequeña [5] y a la planificación de sistemas
eléctricos de potencia [6].
El procesamiento paralelo es particularmente atractivo si es
posible descomponer el sistema en subsistemas acoplados
débilmente, pero cada uno con sus variables acopladas
fuertemente [7]. En las referencias [8, 9] se ha propuesto la
descomposición eficientemente de un sistema de transmisión,
básicamente ambos algoritmos descomponen una matriz
minimizando alguna norma predefinida; la necesidad de
complementar esta descomposición con un método de balance
automático es evidente cuando se requiere el análisis en línea
del sistema de potencia [1]. En este trabajo se propone un
algoritmo que permite balancear automática y eficientemente los
bloques obtenidos por medio de la descomposición ε de una
matriz [9]. Las características de esta matriz han demostrado ser
adecuados para resolver iterativamente ecuaciones no lineales
por medio del método paralelo de Newton por bloques, el cual
puede ser implementado tanto para la solución del flujo de
potencia [1], como para la simulación dinámica del sistema
obtenida mediante la solución de ecuaciones no lineales; ésto es,
las ecuaciones diferenciales discretizadas, en conjunto o no con
las algebraicas, y agregadas para los períodos de integración que
definen el tiempo de simulación [10].
El trabajo se estructuró de la siguiente manera; en la sección
dos de éste se formula la solución a los problemas del flujo de
potencia y de la simulación dinámica del sistema mediante el
método iterativo de Newton por bloques, también se describe la
implementación de éste en un computador paralelo. En la
sección tres se describen aspectos relativos a la descomposición
ε y al algoritmo propuesto para balancearla. En la misma se
presentan algunos resultados numéricos; se evalúa el efecto que
tiene en la descomposición ε el escalar las ecuaciones, para lo
cual se estudia el flujo de potencia del sistema IEEE de 14
barras. Enseguida se evalúa la descomposición ε balanceada en
el problema de la simulación dinámica del sistema de 10
máquinas y 39 barras de Nueva Inglaterra; finalmente, el trabajo
se complementa con conclusiones y comentarios.
2. METODO ITERATIVO DE NEWTON POR BLOQUES
PARA ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA
Dos problemas se resuelven usualmente por el método
iterativo de Newton; éstos corresponden al flujo de potencia y a
la simulación dinámica del sistema. Mientras que en el flujo de
potencia el conjunto de ecuaciones algebraicas (GFP) está
dispuesto en forma directa, en el caso de la simulación dinámica
las ecuaciones algebraicas (GSD) se obtienen agrupando un
conjunto de ecuaciones discretizadas, asociadas por lo general a
las unidades generadoras, a un conjunto de ecuaciones
algebraicas que describen al sistema de transmisión; finalmente,
el conjunto resultante se agrega para los períodos de integración
que definen el tiempo de simulación [10]. A continuación se
formulan ambos problemas.
2.1 Flujo de Potencia
El flujo de potencia permite determinar las condiciones del
sistema para una operación en estado estacionario.
Generalmente, el problema consiste en obtener una solución al
siguiente sistema de ecuaciones algebraicas no lineales:
n
é esp
ù
Pi − Re{E i å Yij*E*j }ú
ê
j= 1
FP
esp
esp
G ( X, Pi , Qi ) = ê
ú=0,
n
* * ú
êQ esp
i − Im{E i å Yij E j }
êë
úû
j= 1
(1)
[
x T = ω1 Kωg δ1 Kδg E q1 L E qg E fd1 L E fdg
]
(4)
donde ωi, δi, E'qi y Efdi son, respectivamente, la velocidad angular y
la posición angular del rotor relativa a la barra infinita, la tensión
proporcional al enlace de flujo en el eje directo y la tensión de
salida de la excitatriz en la i-ésima unidad; el conjunto de 4*g
ecuaciones diferenciales descrito en la ecuación (3) puede ser
reescrito en forma compacta como:
x = F( x, t )
(5)
Para efectos de obtener la respuesta temporal del sistema, se
discretiza el conjunto de ecuaciones diferenciales aplicando la
regla de integración trapezoidal; las ecuaciones resultantes
corresponden a un conjunto de ecuaciones algebraicas no
lineales que pueden ser reagrupadas para cada uno de los
períodos de integración entre 0<t<ts, ésto es:
donde el vector de incógnitas X viene dado por:
X = [θ i , E i ]
(2)
y θi y |Ei| son, respectivamente, el argumento y la magnitud de la
tensión en la barra i (Ei); yij es el elemento ij de la matriz de
admitancias (Y). El par Piesp , Q esp
corresponde, respectivamente,
i
a la potencia activa y reactiva especificada en la barra i. En
general, para el problema descrito por la ecuación (1) X ∈
ℜ2*b-bPV, donde b es la cantidad de barras y bPV es la cantidad
de barras con tensión controlada.
2.1 Simulación Dinámica del Sistema Eléctrico de Potencia
La simulación dinámica del sistema eléctrico de potencia
permite determinar la evolución temporal de las variables que
operan en el sistema. El conocimiento de éstas permite, entre
otras cosas, tomar acciones de control, ajustar protecciones y
evaluar la seguridad del sistema.
Sin pérdida de generalidad, se asume un sistema de potencia
multimáquina compuesto de g generadores síncronos conectados
a través de un sistema de transmisión. Las cargas son
representadas por impedancias constantes y la potencia
mecánica de entrada a cada generador se asume constante. Los
generadores se describen utilizando las ecuaciones de Park por
un modelo de tercer orden con un circuito de campo en el eje
directo. Los generadores incorporan un sistema de excitación
descrito por un modelo de primer orden representando al
regulador automático de tensión. Si durante el período de
simulación 0≤t≤ts el sistema no presenta cambios estructurales,
el modelo no lineal del sistema de potencia viene dado por el
conjunto de ecuaciones diferenciales:
δ i = ω n (ω i − ω 0 )
2 Hω i = Pmi − Pei − D(ω i − ω 0 )
T ' E ' = E − E ' − ( x − x ' )i
do
qi
fd
qi
di
di
, i=1...g.
di
Tai E fdi = K ai ( Vrefi − Vti ) − E fdi
Definiendo el vector de estado x ∈ ℜ4*g como:
(3)
ù
é 1
∆t 1
0
( F( x1 ) + F( x 0 )) ú
ê x −x −
2
ú
ê
2
ê x 2 − x1 − ∆t ( F( x2 ) + F( x1 )) ú
SD
G ( X, Pmi , Vrefi ) = ê
ú = 0 , (6)
2
ú
ê
M
ú
ê
s
t
∆
−
1
−
1
s
s
s
s
êx − x −
( F( x ) + F( x ) ú
úû
êë
2
donde XT=[x1,...,xs] es el vector de incógnitas; Pmi y Vrefi son,
respectivamente, la potencia mecánica de entrada y la tensión de
referencia en la i-ésima unidad generadora; ∆tk=tk-tk-1 (k=1,...,s)
es el período de integración k-ésimo. Generalmente, si sólo las
unidades generadoras se modelan dinámicamente, y si cada una
es descrita por una cantidad igual de estados, n; la dimensión del
problema es n*g*s. Particularmente, para el problema descrito
en la ecuación (6) X ∈ ℜ4*g*s.
2.2 Método Iterativo de Newton por Bloques
Las soluciones al problema del flujo de potencia y de la
simulación dinámica del sistema pueden ser obtenidas
resolviendo un sistema de ecuaciones del tipo:
~ ~
G ( X) = 0
(7)
~
~
donde X es el vector de incógnitas y G el conjunto de
~
relaciones no lineales en X ; la iteración de Newton
simplificada:
~
~
~
X k +1 = X k + ∆X k ,
(8)
donde ∇ denota al operador gradiente, permite mejorar la k~
ésima aproximación ( X k ) a través de la corrección:
~
~ ~
∆X k = − (∇G ( X)
~ )
X0
−1 ~
~
~ ~ ~
G ( X k ) = − J −1G ( X k )
(9)
~
en la cual la matriz Jacobiana ( J ) es evaluada sólo en la
~
primera iteración. Para algún ε suficientemente pequeño J
resultaría en una matriz permutada (J) y podría ser
descompuesta como:
~
J = HJH T = J D + ε J O ,
(10)
donde H es la matriz que permuta al vector de incógnitas en
~
X = HX ; JD es una matriz diagonal por bloques y J O es una
matriz cuyos elementos tienen magnitud no mayor a uno. Esto
sugiere aproximar la iteración dada por la ecuación (8) por:
X k +1 = X k − J −D1G ( X k )
(11)
~ (⋅) es el conjunto de ecuaciones permutado.
donde G (⋅) = HG
2.4 Implementación del Método en un Computador Paralelo
La implementación del método iterativo de Newton por
bloques en un computador paralelo se describe en el diagrama
esquemático presentado en la Figura 2.1, y en el cual se asume
que XT=[X1 X2 ... XP] y GT(X)=[G1(X) G2(X) ... GP(X)] están
particionados en acuerdo a los P bloques definidos en JD.
Bus bidireccional
Procesador 1
Procesador 2
Procesador P
while max(e1,e2,..,eP)>tol, while max(e1,e2,..,eP)>tol,
while max(e1,e2,..,eP)>tol,
∆X1k=-JD1-1G1(Xk);
∆X2k=-JD2-1G2(Xk);
∆XPk=-JDP-1GP(Xk);
X1k=X1k+∆X1k;
X2k=X2k+∆X2k;
XPk=XPk+∆XPk;
k
enviar X1k;
enviar X2k;
... enviar XP ;
for j=1:P,
for j=1:P,
for j=1:P,
recibir Xkj≠2;
recibir Xkj≠1;
recibir Xkj≠P;
evaluar G1(Xk);
evaluar G2(Xk);
evaluar GP(Xk);
e1=max(|G1(Xk)|);
e2=max(|G2(Xk)|);
eP=max(|GP(Xk)|);
enviar e2;
enviar e1;
enviar eP;
for j=1:P,
for j=1:P,
for j=1:P,
recibir ej≠1;
recibir ej≠2;
recibir ej≠P;
end
end
end
Fig. 2.1: Representación esquemática de la implementación del
método de Newton por bloques en un computador paralelo.
Cada procesador ejecuta un programa como el descrito en el
diagrama de la Fig. 2.1; las letras cursivas indican que el
procesador realiza un proceso de comunicación, éste sólo
requiere intercambiar X ij y G ij ( X) para cada iteración. Note
que si cada uno de los bloques de JD es cuasivacío, la corrección
X ij puede ser obtenida mediante técnicas adecuadas como lo
son los métodos directos de bifactorización [11] o de la matriz
W [12].
3. DESCOMPOSICION ε BALANCEADA
3.1 Nociones Básicas en la Teoría de Grafos
Los conceptos asociados a una descomposición ε hacen
necesario exponer algunas nociones sobre la teoría de grafos.
Un digrafo es un par orientado D=(V, R), donde V={v1, v2,...,vm}
es un conjunto de nodos, y R es un conjunto de ramas denotadas
(vj, vi) y dirigidas desde el nodo vj al nodo vi. Si (vj, vi) ∈ R,
entonces vj es adyacente a vi. La relación de adyacencia puede
ser descrita por una matriz binaria A=(aij) ∈ ℜm×m denominada
la matriz de adyacencia, donde aij=1 si y sólo si (vj, vi) ∈ R. Un
subgrafo Dq=(Vq, Rq) de D es un digrafo tal que Vq⊆V y Rq⊆R.
Una descomposición Z de V es una colección {V1,V2,...,VM} de M
subconjuntos disjuntos Vi tal que 7qM=1 Vq=V. Si Dq es el subgrafo
formado por Vq, q ∈ M={1,2,..,M}, entonces la colección
Z={D1,D2,..,DM} es una descomposición de D. La condensación
de D con respecto a una descomposición Z es un digrafo
L=(W,U), donde W={w1,wq,...,wM} y wq representa al subconjunto
Vq, y (wq, wo) ∈ U si y sólo si q≠o, y al menos un nodo en el
subconjunto Vq alcanza un nodo en el subconjunto Vo.
3.2 Descomposición ε
La motivación básica al buscar una descomposición ε, es
explotar el paralelismo natural que presentan los problemas de
dimensión elevada y que son descritos por medio de ecuaciones
dispuestas en forma matricial. Este concepto se formaliza a
través de la siguiente definición:
~
Definición 1: Sea J ∈ ℜm×m una matriz constante y H una
~
~
matriz de permutación tal que J = HJH T es la matriz J
permutada en sus filas y columnas; entonces, la matriz diagonal
~
por bloques JD obtenida a través de una descomposición ε de J
satisface que:
J − JD
∞
≤ βε,
β = cte.
(12)
Esto es, JD es una aproximación subóptima de J en el sentido de
la norma infinita ( ⋅ ∞ ) .
La matriz JD puede ser obtenida de diversas formas; una de
éstas consiste en efectuar la operación:
~
HJH T
(13)
y luego rescatar los elementos que permanecen dentro de los
bloques diagonales que se deseen formar. Esta manera de
descomponer no asegura que los elementos fuera de los bloques
sean pequeños en magnitud; entonces, la cantidad de matrices
permutadas que se deben analizar para evaluar cual presenta una
aproximación que minimiza (12) podría ser considerable.
En términos de grafos, encontrar una matriz de permutación
H es equivalente a descomponer el digrafo D correspondiente a
~
J en M subgrafos Dq, q ∈ M, tal que las ramas interconectando
~
los subgrafos corresponden a los elementos de J con
ε
magnitudes no mayores a ε. Tal descomposición, Z de D, es
llamada una descomposición ε.
3.3 Descomposición ε Balanceada
Los algoritmos de descomposición basados en los trabajos
presentados en [8, 9] no aseguran que los bloques resultantes
sean balanceados en términos de los nodos que contiene cada
uno. En un proceso de descomposición del sistema de
transmisión no es extraño obtener subsistemas compuestos de
sólo una de las barras del sistema; ésto debido a la ausencia en
los algoritmos de una etapa de balance que opere en conjunto a
la etapa de descomposición. Evidentemente esta situación no
favorece la utilización del procesamiento paralelo. Si bien el
balance puede ser mejorado a través de reglas muy simples, la
automatización de este proceso no es obvia y se hace
imprescindible a medida que el problema crece en dimensión.
Un resultado atractivo en términos del balance de una
descomposición ε se obtiene por medio del escalamiento de las
ecuaciones que describen el problema; por ejemplo, para
descomponer el sistema de transmisión, en el cual generalmente
se cumple que:
y ii >> y ij ,
i, j: 1... b ,
(14)
donde b es la dimensión de la matriz de admitancias (Y), se
propone descomponer:
æ yij ö
Y = ( y ij ) = ç
÷
è yii ø
i, j: 1. . . b .
(15)
En general, la descomposición de la matriz Y resulta en
bloques mejor balanceados que la descomposición de Y. Si bien
tal escalamiento mejora considerablemente el balance; éste no
presenta resultados que aseguren una aplicación eficiente en
computadores paralelos [1]. Además, el escalamiento de las
ecuaciones presenta unos efectos en términos de las
descomposiciones que se obtendrán; a fin de aclarar este
concepto observe en la Fig. 3.1 los resultados obtenidos al
aplicar la descomposición ε balanceada al problema del flujo de
potencia del sistema de prueba IEEE de 14 barras. En ésta se
muestra como a partir de matrices escaladas en forma diferente
se obtienen descomposiciones diferentes, las que varían la
cantidad de iteraciones requeridas para lograr convergencia a la
solución (indicadas entre paréntesis). La descomposición J1 se
realiza en el Jacobiano evaluado en la iteración 1, durante el
resto de las iteraciones se conserva tanto la descomposición
como el Jacobiano; la descomposición J2 se realiza en el
Jacobiano sin escalamiento y es reevaluada para cada iteración,
la descomposición J3 se realiza en el Jacobiano escalado
mediante el proceso descrito en la ecuación (15) y también es
reevaluada; finalmente, observando en la ecuación (9) que la késima corrección puede ser escrita como:
~
~ ~
~
~
~
~ ~
∆X ik = − jii−1 ( − ji1∆X1k −...− jii−1∆X ik−1 + G i ( X k ) −...
~
~ ~
~
...- jii+1∆X ik+1 −...− jin ∆X kn ),
(16)
y que en muchos casos la matriz Jacobiana posee elementos
dominantes en la diagonal, la aproximación:
~ ~ ~
~
∆X kj ≈ jjj−1G j ( X k )
(17)
permite evaluar en una primera instancia el impacto de las
~
incógnitas ∆X kj , ∀j ≠ i en la ecuación (16); ésto propone
descomponer al Jacobiano escalado de la siguiente forma:
~ ~~ ~ ~
jij = jii−1 jij jjj−1G j ( X k )
(18)
~
donde jij y jij son, respectivamente, los elementos ij de la
matriz escalada y del Jacobiano. La descomposición J4 se
realiza en el Jacobiano evaluado en cada iteración y escalado
según la ecuación (18). Este escalamiento resulta atractivo
~ (X
~ ) presenta elementos disímiles.
cuando el vector G
A continuación se describe el algoritmo propuesto para
balancear automáticamente la cantidad de nodos en cada bloque
obtenido mediante una descomposición ε; éste no requiere que
las ecuaciones sean previamente escaladas, la necesidad de
efectuar tal operación sólo responde al resultado obtenido en
términos del error respecto de la solución buscada.
El primer paso consiste en obtener una descomposición ε en
la cual cada bloque (Bi) contenga un número de nodos (NºNBi)
no mayor al índice de balance deseado, dicho a ser γ. Para una
aplicación eficiente en términos de procesamiento paralelo este
índice es:
γ=
m
,
P
(19)
donde m es la dimensión de la matriz a descomponer y P el
número de procesadores disponibles. Note que si una
descomposición ε1 genera algún bloque Bi en el que NºNBi≤γ,
una descomposición ε2 que satisface ε2>ε1 podría descomponer
Bi; ésto puede ser evitado si Bi es guardado previamente.
Si el número de bloques (NºB) es mayor que el deseado (P),
el segundo paso consiste en reagrupar bloques. El proceso se
puede realizar de la siguiente manera: primero se ordenan los
bloques de mayor a menor en orden a la cantidad de nodos en
cada uno; es decir, {B1, B2,...,BNºB} tal que NºNBi≥NºNBi+1 ∀ i.
Luego se reagrupan los bloques ubicados en la posición P y
P+1; ésto es, BP=BP∪BP+1; el proceso de ordenar y reagrupar
continúa hasta que se obtiene un número de bloques igual al
número de procesadores (NºB=P). Este algoritmo de balance es
muy simple, su fundamento se basa en que luego de obtener una
partición con bloques de tamaño menor o igual al índice de
balance γ, el p-ésimo bloque con menor número de nodos es el
que requiere con más urgencia incrementar su carga, y su
reagrupación con el p+1-ésimo bloque en el peor de los casos
minimiza el excedente en el índice de balance γ. El algoritmo
propuesto para balancear una descomposición ε se representa a
través del flujograma mostrado en la Fig. 3.2.
3.4 Aplicación de la Descomposición ε Balanceada al Problema
de la Simulación del Sistema de Potencia
La simulación dinámica obtenida mediante integración
trapezoidal es muy atractiva en términos de la estabilidad del
método. Además, como la convergencia del método de Newton
es casi independiente de la dimensión del problema a resolver;
la paralelización temporal se ve favorecida y así también la
utilización de técnicas para tratar matrices cuasivacías.
Fig. 3.1: GFP(Xk, Piesp, Qiesp): error máximo entre la potencia activa y reactiva especificada y la obtenida para cada iteración.
Flujo de potencia del sistema de prueba IEEE de 14 barras.
Datos, i=1, j=0, ε=ε0
Descomposición ε ∀ Bi≠B*i
NºNBi ≤ γ ?
i=1,
j=0,
ε=ε+δ
si
no
i=i+1
B*i=Bi
j=j+1
no
si
i=NºB ?
si
j>0 ?
no
NºB*=P ?
si
Imprima
columnas se reordenaron para lograr la disposición bloque
diagonal. Tal descomposición no es atractiva en términos de
balance, para una descomposición ε=0.038 se obtienen 17
bloques, de los cuales el mayor contiene 144 nodos; para una
descomposición ε=0.045 se obtienen 18 bloques, logrando así
descomponer el bloque anteriormente mencionado en dos
nuevos bloques, uno de los cuales contiene una cantidad de
nodos igual al índice de balance óptimo (γ=120). Finalmente, la
reagrupación de bloques permite obtener un balance óptimo;
ésto es, 120 nodos en cada uno. En la Fig. 3.5 se puede observar
la matriz Jacobiana reordenada por filas y columnas según la
descomposición ε balanceada; a su vez, en la Fig. 3.6 se observa
la matriz Jacobiana descompuesta. Observe que tal
descomposición conserva los bloques obtenidos de la
descomposición natural del natural del Jacobiano (ε=0).
no
Ordene {B*1,B*2,..,B*NºB*}, tal que
NºNB*i≥NºNB*i+1, i:1...NºB*
Reagrupe: B*p=B*p ∪ B*p+1
NºB*=NºB*-1
Fig. 3.2: Flujograma de la descomposición ε balanceada.
Con el fin de observar la efectividad del algoritmo propuesto,
se buscó una descomposición ε balanceada de la matriz
Jacobiana obtenida según la ecuación (8). Considerando una
breve simulación del sistema de prueba de Nueva Inglaterra, y
utilizando integración trapezoidal y paralelización temporal, se
plantearon 480 ecuaciones algebraicas no lineales. La solución
de estas ecuaciones describe el comportamiento del sistema para
un período de falla de 0.06 seg., caracterizado por un
cortocircuito trifásico a tierra en la barra 16. El período de
simulación se discretizó en pasos de integración constantes e
iguales a 0.005 seg. Cada unidad generadora es representada
según el vector de estado definido en la ecuación (4).
En la Fig. 3.3 se observa la disposición natural del Jacobiano
en orden a la formulación planteada en 2.1. Aplicando la
descomposición ε balanceada se obtiene una partición natural de
éste; ésto es, una descomposición ε=0. En la Figura 3.4 se puede
observar la descomposición natural del Jacobiano, las filas y
Fig. 3.3: Matriz Jacobiana utilizada para obtener la simulación
dinámica del sistema de Nueva Inglaterra.
CONCLUSIONES
En este se trabajo se presentó un algoritmo para balancear el
número de nodos asignados a los bloques de una
descomposición ε; el algoritmo sólo requiere ordenar vectores
pequeños, definidos por el número de bloques en la
descomposición, y realizar una reagrupación posterior. El
proceso de ordenar y reagrupar se repite un número de veces
igual al número de bloques menos el número de procesadores
disponibles. La aplicación del algoritmo en un sistema de
3.5: Partición en 4 bloques balanceados.
3.4: Descomposición natural (ε=0).
3.6: Descomposición ε balanceada.
Figs. 3.4 a 3.6: Descomposición ε balanceada para el problema de la simulación dinámica del sistema de Nueva Inglaterra.
prueba demuestra su eficiencia en términos de balance.
Se propuso un escalamiento que considera las características
~ ~
del vector G( X k ) definido en la ecuación (9); si bien éste
presenta características positivas al reducir la cantidad de
iteraciones requeridas para lograr convergencia, su aplicación
requiere de un análisis más detallado. Los resultados
presentados en torno al escalamiento de las ecuaciones permiten
reflejar algunos de sus efectos.
La descomposición ε balanceada es especialmente adecuada
para tratar problemas de gran dimensión mediante el método
paralelo de Newton por bloques, tales como el de la simulación
dinámica del sistema obtenida mediante integración trapezoidal
y paralelismo en el tiempo. Para descomposiciones en las que se
obtengan bloques cuasivacíos el método puede ser
complementado con técnicas especiales. Finalmente, notamos
que la convergencia débil de la descomposición hace
imprescindible su utilización con un método de aceleración [1].
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Pitman Publishing, 1976.
[13] M. Enns, W. F. Tinney and F. L. Alvarado, "Sparse
Matrix Inverse Factors", IEEE Trans. on Power Systems, vol. 5,
pp. 466-473, 1990.
AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen la ayuda prestada por ENDESA S.A. a
través de la Unidad de Investigación y Desarrollo en la
Universidad Católica; así como al Pr. Luis Contesse por su
disponibilidad e interés en discutir los conceptos presentados en
este trabajo. Se agradece también a la Comisión Europea por el
financiamiento otorgado para el proyecto ITDC118 Parallel
Computation on Industrial Automation and Dynamic
Optimization.
RESEÑAS BIOGRAFICAS
Felipe Morales S. Ing. Civil Eléctrico, UCV ('95). Estudiante
del programa de Magister en Cs. de la Ing., PUCCh.
Hugh Rudnick V.D.W. Ing. Civil Electricista, UCh ('70). M.Sc.
UMIST ('77). Ph.D., UMIST ('82). Prof. Titular, PUCCh.
Aldo Cipriano Z. Ing. Civil Electricista, UCh ('73). M.Sc., UCh
('74). Dr. Ing., T. U. München ('81). Prof. Titular, PUCCh.